La sucesin de Fibonacci

Serie de FibonacciLeonardo de Pisa (1170-1250) fue un matemtico italiano famoso por la invencin de la sucesin de Fibonacci, surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos, y por popularizar el sistema decimal en Europa.Conocido por Fibonacci, con motivo de sus continuos viajes a Oriente fue l quien dio a conocer en Occidente los mtodos de los matemticos hindes.1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,

Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo la secuencia urea haba sido descubierta por matemticos hindes investigando los patrones rtmicos que se formaban con slabas o notas de uno o dos pulsos. Kepler tambin describi los nmeros de Fibonacci. El matemtico escocs Robert Simson descubri en 1753 que la relacin entre dos nmeros sucesivos de Fibonacci se acerca a la relacin urea fi () cuanto ms se acerque n a infinito.Obtencin del nmero ureo ():Se divide un segmento cualquiera en dos partes de forma que la razn entre la totalidad del segmento y una parte (la mayor) sea igual a la razn entre esta parte y la otra:Esta razn,que cumple la propiedad, es denominada razn urea.Se puede obtener este nmero a partir de la expresin anterior:

Se puede despejar a utilizando la frmula general de las ecuaciones de segundo grado, teniendo en cuenta que a>0 y b>0:Dividiendo todo por b se obtiene:El nmero de oro se estudi desde la antigedad, ya que aparece regularmente en la geometra. Desde la antigua Grecia ha sido utilizado por los artistas tanto en pintura como arquitectura, escultura o msica para lograr el equilibrio y la belleza.El Partenn, mostrando los rectngulos ureos utilizados posiblemente en su construccin.

Los trminos de la sucesin de fibonacci vienen dados por la siguiente funcin recursiva:Se puede obtener una expresin que nos proporcione el trmino n-esimo de la sucesin, a sta se la conoce como frmula de Binet (1843), aunque se dice que Euler ya la public en 1765 :Donde Phi es el nmero ureo y phi su recproco (phi=1-Phi)

O de forma equivalente:Propiedades: Es una frmula sorprendente! A pesar de tratar con potencias de phi, que es nmero irracional, nos devuelve un nmero entero para cualquier valor entero de n. Si F(p)=a, tal que a es un nmero primo, entonces p tambin es un nmero primo, con una nica excepcin: F(4)=3. La suma infinita de los trminos de la secuencia F(n)/10n es exactamente 10/89 La suma de diez nmeros de Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al sptimo nmero de la serie.La suma de los n primeros nmeros es igual al nmero que ocupa la posicin n+2 menos unostas frmulas son vlidas para n>0

El ltimo dgito de cada nmero se repite peridicamente cada 60 nmeros. los dos ltimos cada 300; a partir de ah, se repiten cada 1,5x10^n nmeros Tan slo un trmino de cada tres es par, uno de cada cuatro es mltiplo de 3, uno de cada cinco es mltiplo de 5Esto se puede generalizar de forma que la sucesin de Fibonacci es peridica en las congruencias de mdulo m, para cualquier m. Cualquier nmero natural se puede escribir mediante la suma de un nmero limitado de trminos de la secuencia de Fibonacci, cada uno de ellos distinto de los dems. Por ejemplo, 17=13+3+1, 65=55+8+2

n0.Por lo tanto la frmula de Binet es vlida para todo n entero.

De esta forma la sucesin de fibonacci se extiende hasta el infinito en ambas direcciones, positiva y negativa.Donde x es el trmino de la sucesin de Fibonacci y F(x) el nmero de Fibonacci correspondiente a dicho trmino.

Y si n es racional?Fib(n)= (Phin (-phi)n)/5El segundo trmino (-phi)n muestra que tenemos que calcular la raz n-sima de un numero negativo.El trmino n-simo para n racionales viene dado por la siguiente frmula:

Donde x es a lo que hemos llamado anteriormente n.Esta funcin extiende la sucesin de Fibonacci al plano complejo!Demostracin:Partimos de la ecuacin de Binet:para extenderla al plano complejo.

Para ello utilizamos la ecuacin de Euler:Sustituyendo esto en la frmula de Binet obtenemos :Expresamos e^in utilizando la expresin:Sustituyendo de nuevo en la frmula de Binet obtenemos la frmula esperada:

Qu pasa si representamos grficamente F(n), dada por la frmula de Binet,en un diagrama de Argand?La representacin azul es para valores positivos de n comprendidos entre 0 y 6. Esta curva corta al eje de abscisas (que representa la parte real del nmero complejo) en los nmeros de Fibonacci 0,1,2,3,5,8. Hay un looping en x=1 de forma que sta es una raz doble. De esta forma obtenemos la serie completa de Fibonacci:0,1,1,2,3,5,8como los puntos de corte con el eje.La representacin roja es para valores negativos de n comprendidos entre -6 y 0. Tambin corta al eje x en los puntos -8,5,-3,2,-1,1 y 0 que corresponden a los nmeros de Fibonacci F(-6), F(-5), F(-4), F(-39, F(-2), F(-1) Y F(0) respectivamente.Se puede ver una representacin 3D del diagrama de Argand anterior (aadiendo un eje con n) en el siguiente link: http://members.aol.com/kwpapke/Binet3D.html

Para n>0 el cociente entre dos trminos consecutivos tiende a Phi cuando n tiende a infinito. Sucede lo mismo para n

Sucesin de Fibonacci en la naturaleza:Fibonacci obtuvo la sucesin que lleva su nombre observando un proceso natural, los ciclos reproductivos de los conejos. Tuvo en cuenta dos reglas bsicas: los conejos slo tienen una pareja de cras cada temporada y un conejo tarda una temporada en alcanzar la edad madura para poder reproducirse.

Las abejas comunes viven en colonias. En cada colonia hay una sola reina (hembra), muchas trabajadoras (hembras estriles), y algunos znganos (machos). Los machos nacen de huevos no fertilizados, por lo que tienen madre, pero no padre. Las hembras nacen de huevos fertilizados y, por tanto tienen madre y padre. Estudiemos el rbol genealgico de 1 zngano: tiene 1 madre,2 abuelos (su madre tiene madre y padre), 3 bisabuelos, 5 tatarabuelos, 8 tatara-tatarabuelos, 13 tatara-tatara-tatarabuelosLa secuencia 1,1,2,3,5,8,13 es la serie de Fibonacci.Muchas plantas tienen un nmero de ptalos que coincide con esa secuencia de nmeros: la flor del iris tiene 3 ptalos, la rosa silvestre 5, la del dephinium 8, la de la cineraria 13, la de la chicoria 21 (las hay con 34,55 y 89 ptalos)El papel del nmero ureo en botnica recibe el nombre de ley de Ludwig

El nmero de espirales cercanas al centro de un girasol que van hacia la izquierda y las que van hacia la derecha son ,ambos, nmeros de fibonacci.El nmero de espirales que en ambos sentidos presenta la piel de las pias coincide con sendos nmeros de Fibonacci.El nmero de hojas del cactus es un nmero de Fibonacci

Las relaciones corporales entre muchas partes corporales de los humanos y los animales:La relacin entre la altura del ser humano y la altura de su ombligoLa relacin entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedosLa relacin entre la altura de la cadera y la altura de la rodillaLa relacin entre las divisiones vertebralesLa relacin entre las articulaciones de las manos y los pies

La secuencia de Fibonacci en el arte:-Relaciones arquitectnicas en las Pirmides de Egipto-La relacin entre las partes, el techo y las columnas del Partenn-En los violines, la ubicacin de las efes se relaciona con el nmero ureo.-En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfona de Beethoven, en obras de Schubert

La secuencia de Fibonacci en ciencia:El inters por esta secuencia ha sido avivado por desarrollos recientes en programacin de ordenadores, ya que al parecer tiene aplicacin en clasificacin de datos, recuperacin de informaciones, generacin de nmeros aleatorios, e incluso mtodos rpidos de calculo aproximado de valores mximos o mnimos de funciones complicadas, en casos donde no se conoce la derivada.Los nmeros de Fibonacci tambin se ajustan, en economa, al comportamiento del mercado.Leo Moser ha estudiado las trayectorias de rayos luminosos que inciden oblicuamente sobre dos lminas de vidrio planas y en contacto. Los rayos que no experimentan reflexin alguna atraviesan ambas lminas de slo una forma; para los rayos que sufren una reflexin hay dos rutas posibles; cuando sufren dos reflexiones , las trayectorias son de tres tipos, y cuando sufren tres, de cinco. Al ir creciendo el nmero n de reflexiones, el nmero de trayectorias posibles se va ajustando a la sucesin de Fibonacci: para n reflexiones el nmero de trayectorias es Fn+2. La sucesin puede utilizarse de forma parecida para contar el nmero de distintas rutas que puede seguir una abeja que va recorriendo las celdillas hexagonales del panal; suponemos que la abeja se dirige a la celdilla contigua y a la derecha de la que ocupa. Poco cuesta probar que hay slo una ruta hasta la primera casilla, dos hasta la segunda, tres hasta la tercera, cinco hasta la cuarta, y as sucesivamente.

Pero el ms notable de los problemas abiertos concernientes a sucesiones de Fibonacci es el de si contienen o no colecciones infinitas de nmeros primos.

Parece ser que la naturaleza siga a raja tabla la sucesin de Fibonacci. Esto no es as, pero si representsemos grficamente nuestros objetos de estudio frente a conjuntos de nmeros, veramos un pico en el conjunto que contuviese los nmeros de Fibonacci.Por qu sucede esto?En muchos casos, cmo en los vegetales expuestos (semillas de girasol, ramificacin de rboles o pias) esto sucede porque la sucesin de fibonacci es la manera ms eficiente de rellenar el espacio con formas crecientesLa naturaleza no intenta utilizar los nmeros de Fibonacci, estos aparecen como parte de un proceso fsico ms profundo, esta es la razn del porqu las espirales que vemos en el centro de un girasol, o en las pias de las coniferas, no son perfectas, no siguen una regla matemtica, simplemente responden a restricciones fsicas.De todas formas sigue siendo sorprendente encontrar estos patrones en casos tan diferentes.