complejos

LA CLASE VIRTUAL

LOS NUMEROS COMPLEJOS


✔La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en el campo de los números reales.

✔loge(-2) no es un número real.

✔Tampoco es un número real (-2)π


✔Un número complejo α viene dado por un par ordenado (a, b) de números reales. El primero se llama parte real, y se escribe

a=Re(α)✔El segundo se llama parte imaginaria, y se

escribe

b= Im(α)


✔Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto C=R2 de los números complejos y el conjunto E2 de puntos del plano, habiendo fijado un sistema de referencia cartesiano.

✔De modo que el complejo α=(a,b) representa el punto P (llamado afijo), cuyas coordenadas son precisamente a y b.


✔El complejo (0,1) se representa mediante la letra i y es la unidad imaginaria.

✔Los números reales son los números complejos de la forma (a,0), donde a es el número real que se identifica con el complejo (a,0). Los números imaginarios son de la forma (a,b), con b distinto de cero.


✔Los números reales forman el conjunto R al que le corresponde el eje de abscisas. Los números imaginarios puros se corresponden con los puntos del eje de ordenadas.

✔El módulo del complejo α=(a,b) viene dado por y el argumento por el valor de θ tal que . Nótese que si θ es un argumento también lo es θ+2kπ

22 ba +=ρa/btg =θ


✔El argumento se llama principal si ✔La representación módulo argumental del

complejo α=(a,b) viene dada por ρθ

✔La identidad entre los complejos (a,b) y (c,d) equivale a: a=c y b=d

✔La identidad entre los complejos ρθ y σζ equivale a: ρ = σ y θ=ζ+ 2kπ

π≤θ<π−


✔El paso del par ordenado a la forma módulo argumental se logra del siguiente modo:

π≤θ<π−=θ

=θ+=ρ

→

θρ=

θρ=

ρ==α θ

)b(signo)(signo

)a/b(arctgba

sinb

cosa

)b,a(

22


✔La aritmética compleja viene dada por:

✔Se demuestra fácilmente que:

ρθσζ=(ρσ)θ+ζ

)bcad,bdac()d,c)(b,a(

)db,ca()d,c()b,a(

+−=++=+


✔El opuesto de (a,b) es -(a,b)=(-a,-b)✔El inverso de α=(a,b), distinto de cero (0,0),

es

✔También se tiene que para ρθ distinto de cero

)ba

b,

ba

a(

22221

+−

+=α−

θ−−−

θ ρ=ρ )()( 11


✔La forma binómica del complejo (a,b) se escribe a+ib, ya que

✔La forma trigonométrica del complejo ρθ viene dada por ρ(cosθ+isinθ), puesto que

iba)b,a(

)0,b(*)1,0()0,a()b,0()0,a()b,a(

+≡→+=+=

)sini(cos

)sin(i)cos(iba)b,a(

θ+θρ=θρ+θρ=+==ρθ


✔La forma exponencial del complejo ρθ viene dada por

ρθ= ρ eiθ

teniendo en cuenta la fórmula de Euler de la

exponencial compleja:

eiθ =cosθ+ i sinθ


✔Nótese que i2 = -1 y que la ecuación x2+1=0

tiene como soluciones imaginarias i y -i.✔De otra parte:✔Además, si n es un número natural se tiene:

(Fórmula de De Moivre)

etc. ,ii ,1i ,ii 543 ==−=

)nsin(i)ncos()sini(cos

))nsin(i)n(cos()())sini(cos(

)()(

n

nn

)n(nn

θ+θ=θ+θ

→θ+θρ=θ+θρ

→ρ=ρ θθ


✔Las expresiones anteriores son válidas para n negativo.

✔Además:

de donde basta definir

para poder evaluar la expresión

con m y n enteros, n positivo.

mn/1n/m )(α=α

n/1αn/mα


✔La expresión en realidad corresponde a n números complejos diferentes dados por

✔Los afijos de son los vértices de un polígono regular de n lados, centrado en el origen de coordenadas.

n/1α

1-n0,1,2,...,k

,)(n

k2n/1

=

ρ=σ π+θς

ςσ


✔Se justifica lo anterior como sigue:

✔Para los demás valores de k se repiten las soluciones cíclicamente

n/)k2( ,

k2n ,

)(

n/1

n

n

π+θ=ςρ=σ→π+θ=ςρ=σ

→ρ=σ θς


✔La exponencial compleja se define muy fácilmente: Sea α=(a,b), entonces

✔Nótese que:

)bsinib(cose)e(eee aibaiba +=== +α

1e

eee0 =

= β+αβα


✔El logaritmo de un número complejo en realidad son infinitos complejos. En concreto:

,...3,2,1,0k

),k2(iln)ln(

±±±=π+θ+ρ=ρθ


✔La justificación de lo anterior es como sigue:

)k2(ilnivu)ln(

:definitivaen ,k2v

y lnu bien, o ,e

luego ),sini(cos

)vsiniv(coseeeee

: tienese ivu Si

)ln(e

)sini(cos Sea

u

uivuivu

π+θ+ρ=+=ρ=λπ+θ=

ρ=ρ=

θ+θρ=ρ+===

+=λρ=λ→ρ=

θ+θρ=ρ

θ

θ

+λ

θθλ

θ


✔Para k=0 se obtiene el valor principal del logaritmo, con

✔Nótese que:✔Se define µλ mediante

θ+ρ=ρθ iln)(Ln

π≤θ<π−

θρ ρ=θ )ln(e

µλ lne


✔EJEMPLOS:– 1) loge(-2)

– 2) (-2)π

π+=−→π++=π+π+==− π

i2ln)2(Ln)k21(i2ln

)k2(i2ln)2ln()2(loge

))k21sin(i)k21(cos(eee

ee)2()2(222ln)k21(i2ln

))k21(i2(ln)2ln(

2

π++π+=

====−ππ+π

π++ππππ

π π


✔EJEMPLOS:– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor

principal del resultado (con redondeo a cuatro cifras decimales):

– 3) ii

3.7974 i - 7.9662-

)sini(cose)2( 222ln =π+π=− ππ

)k22/())k22/(i1(lni

)1ln(iilnii

ee

eei 2/

π+π−π+π+ =

=== π


✔EJEMPLOS:– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor

principal del resultado (con redondeo a cuatro cifras decimales):

– 4) Hállese las fórmulas del coseno y seno del ángulo doble.

2079.0ei 2/i == π−


✔EJEMPLOS:– Se tiene que

θθ=θθ−θ=θ

→θ+θ=θ+θ

cossin22sin

sincos2cos

)2sini2(cos)sini(cos22

2

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