colegio portocarrero. curso 2014-2015. departamento de … · 2015-04-08 · 4 un edificio tiene 11...

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.

Departamento de matemáticas.

1 Indica si son verdaderas (V) o falsas (F) cada una de las siguientes afirmaciones, justificando con ejemplos

tus respuestas: a) El cero es un número entero. b) Los números negativos no tienen valor absoluto. c) La suma de un número y su opuesto siempre es cero. d) Calcular el valor absoluto de un número consiste en cambiar a éste de signo. Solución: a) V. Es el entero comprendido entre -1 y 1.

. c) V. Por ejemplo -4 + 4 = 0.

.

2 La siguiente tabla muestra las temperaturas máximas y mínimas de varias ciudades a lo largo de un día de Febrero.

Ciudad Máxima Mínima

Roma 16º 3º

París

5º -4º

Buenos Aires 25º 12º

Madrid 12º 0º

Moscú -2 -7

a) Representa las temperaturas máximas en la recta numérica y ordénalas de menor a mayor. b) Repite el apartado anterior para las temperaturas mínimas. c) ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas máxima y mínima en cada ciudad? ¿En qué ciudad se ha producido mayor variación en las temperaturas? Solución:

a) b) ++|++++++|++++++|+++|+++++++++|++ ++|++|+++|++|++++++++|+++

-2 5 12 16 25 -7 -4 0 3 12

c) La diferencia entre la máxima y la mínima es: En Roma 13º En París 9º En Buenos Aires 13º En Madrid 12º En Moscú 5º La ciudad en la que se ha producido una mayor variación es Buenos Aires.

3 4 amigos deciden una tarde ir a un cine en el que la entrada cuesta 5 euros. A Roberto le faltan 2 euros; Sonia tiene el dinero justo; a Berta le sobran 4 euros y a Rubén le falta un euro. a) Ordena de menor a mayor el dinero que tiene cada uno. b) ¿Podrían entrar todos al cine haciendo fondo común? Solución:

b) F. Todos los números tienen valor absoluto. Por ejemplo -2 2

d) F. Por ejemplo, 5 5



a) Roberto tiene 3 euros; Sonia tiene 5; Berta 9 y Rubén 4: 3 < 4 < 5 < 9 b) Haciendo fondo tendrían: 3 + 4 + 5 + 9 = 21 euros y las entradas les costarían: 4 · 5 = 20 , luego, sí tendrían suficiente.

4 Un edificio tiene 11 plantas además de la planta baja (B) y los dos sótanos (S1 y S2). Alicia sube desde la planta baja al séptimo piso; a continuación Berta sube desde el segundo sótano al sexto piso y después sube Carlos desde el quinto piso al último. Representa en la recta real el movimiento que ha realizado cada uno. ¿Quién ha subido más pisos? Solución: Alicia sube 7 pisos. Berta sube 6 - (-2) = 8 pisos. Carlos sube 11 - 5 = 6 pisos. Berta es la que más sube.

5 Sustituye el signo ? por un número adecuado: a) -1 < ? < 2 b) ? < -2 < ? c) -3 < ? < ? d) ? < ? < 1 Solución: Por ejemplo: a) -1 < 0 < 2 b) -3 < -2 < 0 c) -3 < -1 < 1 d) -2 < 0 < 1

6 La diferencia entre un número y su opuesto es 4. ¿De qué número se trata? Solución: Representándolo en la recta real se ve claramente que el número es 2.

| | | | |

-2 0 2

7 Representa y escribe:

a) Los números negativos mayores que 5. b) Los números positivos menores que 5. c) Todos los números enteros que verifican |x| < 6. d) Todos los números enteros que verifica |x| = 6. Solución:

a) 4, 3, 2, 1 b) 4, 3, 2, 1

c) 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

d) 6 y 6

8 Escribe los números enteros comprendidos entre 13 y 3. Escribe también los opuestos de estos números. ¿Entre qué números enteros están comprendidos estos opuestos? Solución:

12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2

12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2

Entre el 3 y el 13, los opuestos de los iniciales.

9 Indica si son verdaderas (V) o falsas (F) cada una de las siguientes afirmaciones,



justificando con ejemplos tus respuestas: a) Todos los números enteros son negativos. b) Todos los números negativos son enteros. c) El valor absoluto de un número positivo es el mismo número. d) El opuesto de un número negativo es el mismo número. Solución: a) F. Por ejemplo 1 es entero y no es negativo.

b) F. Por ejemplo 2,5 no es entero.

.

d) F. El opuesto siempre tiene signo contrario. Por ejemplo el opuesto de 2 es 2.

10 La siguiente tabla corresponde a la evolución de la temperatura de una ciudad a lo largo de un día. Completa las casillas que faltan.

Hora Temperatura Variación

0 2

4 1 3

8 3

12 7

16 10

20 4

24 1

Solución:

Hora Temperatura Variación

0 2

4 1 3

8 3 2

12 4 7

16 10 6

20 6 4

24 1 5

11 Escribe todos los números enteros que cumplan las siguientes condiciones: a) Su valor absoluto es menor que dos. b) Coincide con su valor absoluto y es menor que 3. c) Coincide con su opuesto. d) Su valor absoluto es mayor que 2 y menor que 5. Solución:

a) 1, 0, 1 b) 0, 1, 2 c) 0 d) 3, 3 , 4, 4

12 Completa las siguientes series:

c) V. Por ejemplo 3 3



a) 8, 5, 2, ..., ... b) 5, 3, 1, ..., ... Solución: a) 8, 5, 2, -1, -4 b) -5, -3, -1, 1, 3

13 Ordena de menor a mayor:

a) 3, 5, 2, 1, 4 b) 3, 5, 2, 1, 4 ¿Qué relación tienen los números de a) con los de b)? ¿Qué conclusión sacas de su ordenación? Solución:

a) 5 < 3 < 4 < 2 < 1 b) 1 < 2 < 3 < 4 < 5 Son los opuestos. Una sucesión de números negativos se ordena de forma contraria a las sucesiones de números positivos.

14 Sabemos que x es un número entero negativo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? a) x < 1 b) x > 0 c) x < 2 d) x < 0 e) |x| > 0 Solución: La b), porque los números negativos son menores que 0, no mayores.

15 Completa con los números enteros que faltan en esta sucesión:

12, 9, ..., ..., 0, 3, ..., ..., 12, ... Solución:

12, 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9, 12, 15

16 Ordena los siguientes números de menor a mayor:

2, 7, |+3|, 6, 0, |8|, 5 Solución:

Como |+3| = 3 y |8| = 8, ordenados son 6, 5, 2, 0, 3, 7, 8

17 Éstas son las notas de matemáticas de 6 alumnos en las dos primeras evaluaciones:

Jorge Beatriz Sonia David Laura Pedro

1ª Evaluación 3 5 8 5 8 6

2º Evaluación 6 4 10 9 5 6

Variación 3

a) Completa la tabla escribiendo la variación de una evaluación a otra de cada alumno. b) ¿Qué alumnos han mejorado? ¿Quiénes han empeorado? c) ¿Quién es el que más ha progresado? ¿Quién el que menos? Solución:



a)

Jorge Beatriz Sonia David Laura Pedro

1ª Evaluación 3 5 8 5 8 6

2º Evaluación 6 4 10 9 5 6

Variación 3 1 2 4 3 0

b) Han mejorado aquellos en que la variación es positiva, que son: Jorge, Sonia y David. Han empeorado Beatriz y Laura. c) El que más ha progresado es David y la que menos Laura.

18 Completa con un número entero en cada caso:

a) (5) + ... = 0 b) (+8) + ... = 0 c) (7) + ... = 0 d) ... + (+3) = 0 ¿Qué relación tienen un número con el otro en cada apartado? Solución:

a) +5 b) 8 c) +7 d) 3 Son opuestos.

19 Indica, de una manera razonada, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) El producto de dos números opuestos es negativo. b) El producto de tres números negativos es positivo. c) Si el cociente de dos números es positivo, entonces los dos números son positivos. d) Si el cociente de dos números es negativo, entonces los números son de distinto signo. Solución: a) Verdadero. Ya que son de distinto signo, excepto en el caso del 0, que es su propio opuesto. b) Falso. Es negativo, por ejemplo: (-1) · (-1) · (-1) = 1 · (-1) = -1 c) Falso. Pueden ser también los dos negativos. d) Verdadero. Si fueran los dos positivos o los dos negativos, el cociente sería positivo.

20 María ha hecho una consulta a su cuenta a través del cajero automático, obteniendo el siguiente recibo:

Fecha Concepto Importe (euros)

19.12.06 Abono de haberes 1205

21.12.06 Compra con tarjeta -90

26.12.06 Abono de intereses s/f 21

03.01.07 Pago recibo comunidad -36

05.01.07 Pago caj. autom. -300

07.01.07 Pago recibo luz -121

SALDO AL 8. 01. 07 695

a) ¿Qué pérdidas o ganancias ha tenido durante los días correspondientes al recibo? b) ¿Cuál era el saldo el día 19.12.06, antes de producirse el abono de haberes? c) ¿Cuál era el saldo el día 01.01.07?



Solución: a) 1205 - 90 + 21 - 36 - 300 - 121 = 679 ha tenido unas ganancias de 679 euros. b) Si después de ganar 679 euros tiene 695, antes tendría 695 - 679 = 16 euros. c) El día 01.01.07 tenía 16 + 1205 - 90 + 21 = 1152 euros.

21 Ángel ha ascendido un desnivel de 650 metros hasta llegar a la cumbre de un pico y a continuación ha bajado a una cueva descendiendo en total 780 metros. Si se encuentra a 55 metros bajo el nivel del mar. ¿A qué altura estaba antes de subir la montaña? ¿Cuál es la altura del pico? Solución: 650 - 780 = -130 Luego está 130 m más abajo de dónde empezó. Como está a -55 m y -55 + 130 = 75, cuando empezó estaba a 75 m sobre el nivel del mar. La altura del pico es de 75 + 650 = 725 m.

22 Escribe cada uno de los siguientes números como producto y como cociente de dos números enteros: -12, 50, 8, -6. Solución: Por ejemplo: -12 = -3 · 4 ; -12 = -24 : 2 50 = 5 · 10 ; 50 = 100 : 2 8 = (-4) · (-2) ; 8 = 24 : 3 -6 = -3 · 2 ; -6 = 12 : (-2)

23 A Enrique le pagan sus padres lo mismo todas las semanas. Aunque debía a su amigo Rafa 15 euros y se ha gastado 10 euros cada semana, ha conseguido ahorrar 55 euros en estas 5 últimas semanas. ¿Cuál es su paga semanal? Solución:

Ha gastado -15 -10 · 5 = -65 euros y tiene 55. Luego, en 5 semanas le han pagado 55 + 65 =120 euros. Es decir, 120: 5 = 24 euros a la semana.

24 Calcula: a) 3 · (-2) · 5 = b) (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = c) (-4) · (-2) · (-5) = d) 8 · (-2) · (-3) = Solución: a) 3 · (-2) · 5 = -30 b) (-1) · (-1) · (-1) · (-1) = 1 c) (-4) · (-2) · (-5) = -40 d) 8 · (-2) · (-3) = 48

25 Calcula: a) (-4 · 3) : (-6) = b) (-25 : 5) · 4 = c) -3 · (-20 : 4) = d) (-12 : 3) · (-10 : 2) = Solución:



a) (-4 · 3) : (-6) = (-12) : (-6) = 2 b) (-25 : 5) · 4 = -5 · 4 = -20 c) -3 · (-20 : 4) = -3 · (-5) = 15 d) (-12 : 3) · (-10 : 2) = (-4) · (-5) = 20

26 Completa:

Números Suma Resta ordenación

7, -3 4 10 -3 < 4 < 7 < 10

-4, -1

5, ... 3

..., -6 1

-3, ... -4

Solución:

Números Suma Resta ordenación

7, -3 4 10 -3 < 4 < 7 < 10

-4, -1 -5 -3 -5 < -4 < -3 < -1

5, -2 3 7 2 < 3 < 5 < 7

-5, -6 -11 1 -11 < -6 < -5 < 1

-3, 1 -2 -4 -4 < -3 < -2 < 1

27 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tus respuestas con ejemplos. a) La resta de dos números enteros siempre es menor que uno de ellos. b) La suma de dos números enteros siempre es mayor que cualquiera de ellos. c) La suma de dos números negativos siempre es un número negativo. d) La resta de dos números negativos siempre es un número negativo. Solución: a) Falso. Por ejemplo: 3 - (-1) = 4 ; 4 > -1 y 4 > 3 b) Falso. Por ejemplo: (-1) + (-2) = -3 ; -3 < -1 y -3 < -2 c) Verdad. Es un número negativo cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos de dichos números. Por ejemplo: -3 + (-2) = -5. d) Falso. Por ejemplo: -2 - (-3) = 1

28 Completa:

Números Signo del producto

Producto

2, -1, 3

-4, 6, -2 + 48

-5, -1, -4 -20

3, -2, 4



Solución:

Números Signo del producto

Producto

2, -1, 3 - -6

-4, 6, -2 + 48

-5, -1, -4 - -20

3, -2, 4 - -24

29 Calcula: a) 4 - (5 + 3 - 1) = b) -7 + [5 - (-1)] + (-4) = c) -(4 - 3 - 2) + (-2 - 1) = Solución: a) 4 - (5 + 3 - 1) = 4 - 7 = -3 b) -7 + [5 - (-1)] + (-4) = -7 + 6 - 4 = -5 c) -(4 - 3 - 2) + (-2 - 1) = -(-1) + (-3) = 1 - 3 = -2

30 Al restar a un número su opuesto obtenemos 6. ¿De qué número se trata? Solución: ? - (-?) = 6 ; ? + ? = 6 ; 2 · ? = 6 El número es 3.

31 Antonio, Beatriz, César y David están jugando a las cartas. Cada vez que gana uno de ellos, cada uno de los otros le tiene que dar 2 euros. Al principio todos tienen 5 euros y el resultado de las 6 primeras partidas es el siguiente:

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

A D A B A B

donde cada letra indica la inicial del ganador. a) Ayudándote de la siguiente tabla averigua cuánto tiene cada uno al finalizar las 6 partidas.

Antonio Beatriz César David

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

b) ¿Cuánto ha ganado o perdido cada uno? Solución: a)



Antonio Beatriz César David

1ª 11 3 3 3

2ª 9 1 1 9

3ª 15 -1 -1 7

4ª 13 5 -3 5

5ª 19 3 -5 3

6ª 17 9 -7 1

Al finalizar tienen: Antonio 17 euros; Beatriz 9; Cesar debe 7 y David tiene 1. b) Como al principio tenían todos 5 euros, Antonio ha ganado 12 euros; Beatriz 4; Cesar ha perdido 12 y David ha perdido 4.

32 Sustituye cada signo ? por los números que corresponda de modo que el resultado de cada operación sea igual a cero:

a) ? + 4 - 1 b) -3 + (-2 + 1) + ? c) 1 - (? + 3) d) ? -(-5 + 2) + 1 Solución: a) -3 + 4 - 1 b) -3 + (-2 + 1) + 4 c) 1 - (-2 + 3) d) -4 - (-5 + 2) + 1

33 Contesta a las siguientes preguntas: a) El dividendo y el divisor en una división son, respectivamente, 125 y 5. ¿El cociente puede ser un número negativo? Razona tu respuesta. b) Al dividir a entre b hemos obtenido de cociente el número -a. ¿Qué puedes decir de b? Solución: a) No puede ser negativo porque, al ser una división exacta, el resto es cero, y por tanto, dividendo = divisor · cociente. b) El signo de b debe ser negativo, por el motivo anterior. Además, como el dividendo coincide con el cociente en valor absoluto, el divisor debe ser 1, con lo cual b = -1.

34 Resuelve las siguientes operaciones: a) -6 + (-5 - 1 + 3) · (-2) + [-9 : (-3) ] =

b) -30 : (10 - 6 : 2 - 1) - [-4 -2 · (-5) ] = Solución: a) -6 + (-5 - 1 + 3) · (-2) + [-9 : (-3) ] = -6 + (-3) · (-2) + 3 = -6 + 6 + 3 = 3 b) -30 : (10 - 6 : 2 - 1) - [-4 - 2 · (-5) ] = -30 : (10 - 3 - 1) - (-4 + 10) = -30 : 6 - 6 = -5 - 6 = -11

35 Un señor inicia su negocio con 5000 euros. En los siete primeros meses sus ingresos mensuales fueron de 2000 euros y sus gastos de 900 euros. En el octavo mes tiene una ganancia de 1500 euros. ¿Cuál es su capital al cabo de los ocho meses? Solución: 5000 + 7 · (2000 - 900) + 1500 = 5000 + 7 · 1100 + 1500 = 5000 + 7700 + 1500 = 14200 euros.

36 El triple de la suma de dos enteros es -36. Uno de ellos es el doble del otro. ¿Cuáles son los enteros? Solución:



La suma será -36 : 3 = -12. Como uno es el doble del otro, ? + 2 · ? = -12 ; 3 · ? = -12 Uno es -4 y el otro es -8.

37 Al enchufar a la corriente un arcón congelador, la temperatura desciende 2º C cada 8 minutos. En el momento de enchufarlo, el interior del arcón está a 16º C. a) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar -24º C? b) ¿A qué temperatura se encontrará al cabo de dos horas de tenerlo enchufado? Solución: a) La temperatura que ha descendido el arcón es -24 - 16 = -40º C, por tanto pasan -40 : (-2) · 8 = 160 minutos. b) 120 : 8 · (-2) = -30º C descenderá en 2 horas, por tanto se encontrará a 16 - 30 = -14º C.

38 Calcula:

a) -9 + [10 : (-3 - 2) -1 ] + 4 · (-3) = b) [-4 · (8 - 5 - 4) + (-9 - 3) : 4] · (-2) = Solución:

a) -9 + [10 : (-3 - 2) -1 ] + 4 · (-3) = -9 + (-2 - 1) - 12 = -24 b) [-4 · (8 - 5 - 4) + (-9 - 3) : 4] · (-2) = [-4 · (-1) + (-3) ] · (-2) = 1 · (-2) = -2

39 Calcula: 10 - 5 · (12 - 4 : 4 - 9) - 4 · [-10 : (3 + 2)] = Solución: 10 - 5 · (12 - 4 : 4 - 9) - 4 · [-10 : (3 + 2)] = 10 - 5 · (12 - 1 - 9 ) - 4 · (-10 : 5) = 10 - 5 · 2 - 4 · (-2) = 10 - 10 + 8 = 8

40 Simplifica y calcula: a) 2 - [-(7 - 2) · 3 + 1] - 4 : 2 =

b) 3 - 3 · [-5 -(6 - 3) - 2] + 6 = c) (10 - 2) : (-4) - [-4 - (9 + 5 - 3) + 2] - 8 : (-2) = Solución: a) 2 - [-5 · 3 + 1] - 2 = 2 - [-15 + 1] - 2 = 2 - (-14) - 2 = 2 + 14 - 2 = 14 b) 3 - 3 · [-5 - 3 - 2] + 6 = 3 - 3 · (-10) + 6 = 3 + 30 + 6 = 39 c) 8 : (-4) - [-4 - 11 + 2] + 4 = -2 - (-13) + 4 = -2 + 13 + 4 = 15

41 Efectúa: {5 · [(-3) · (-9)] - 10} · {[4 · 2 - 2] : 6} = Solución: {5 · (+27) - 10} · {[8 - 2] : 6} = {135 - 10} · {6 : 6} = 125 · 1 = 125

42 Patricia comenzó el año con una deuda de 2700 euros. A lo largo del año tuvo unos gastos de 9870 euros. Si al final del año tenía 450 euros y el único dinero que percibió fue el de su sueldo, ¿cuánto gana al mes? Solución:



Si gana ? al año:

-2700 -9870 + ? = 450 -12570 + ? = 450 ? = 450 + 12570 = 13020 Luego, al mes ganará 13020 : 12 = 1085 euros.

43 Celia ha comprado una revista de 3 euros, 5 CDs, todos del mismo precio, y 3 cintas, cada una de las cuales cuesta la mitad que un CD. En total se ha gastado 55 euros. ¿Cuánto cuesta cada cinta? ¿Y cada CD? Solución: Si una cinta cuesta ? euros, un CD cuesta 2 · ? euros. Entre todas las cintas y los CDs cuestan 3 · ? + 5 · 2 · ? = 13 · ? Este precio ha de ser 55 - 3 = 52, ya que también se ha gastado 3 euros en la revista. 13 · ? = 52, cada cinta cuesta 52 : 13 = 4 euros y cada CD 2 · 4 = 8 euros.

44 Halla el valor de P dado por la expresión P = [x · y - z · (x - 2 · y)] : 2x, siendo x = -4, y = 6, z = -12. Solución: P = [-4 · 6 - (-12) · (-4 - 2 · 6)] : 2 · (-4) = = [-24 + 12 · (-4 - 12)] : 2 · (-4) = = [-24 + 12 · (-16)] : 2 · (-4) = = [-24 - 192] : 2 · (-4) = = -216 : 2 · (-4) = = -108 · (-4) = 432

45 En un depósito hay 500 litros de agua. Por un tubo entran en el depósito 20 litros por minuto y por un grifo salen 30 litros por minuto. a) ¿Cuánta agua habrá en el depósito después de estar 15 minutos funcionando el tubo y el grifo? b) ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse este depósito? Solución: a) 500 + 15 · (20 - 30) = 500 + 15 · (-10) = 500 - 150 = 350 litros. b) Como en un minuto se pierden 20 - 30 = -10 litros, entonces, para conseguir perder 500 litros,

necesitaremos 500 : (-10) = 50 minutos.

46 Este año no es bisiesto y dentro de 10 semanas habrán pasado los mismos días desde que comenzó el año que los que faltan para terminarlo. ¿Qué día es hoy? Solución: 365 : 2 = 182,5 ; luego, el día central del año es el que ocupa el número 183. 183 - 10 · 7 = 113 ; por tanto, hoy es el día que ocupa el lugar 113. Como 113 = 31 + 28 + 31 + 23, estamos a 23 de Abril.

47 Escribe: a) Un polinomio aritmético con cuatro números naturales cuya suma sea cero. b) Un polinomio aritmético con seis números naturales cuya suma sea tres. c) Una suma de dos números enteros que dé cero. d) El mayor número entero negativo y el menor entero positivo. Solución:



a) 4 + 7 - 8 - 3 b) 5 + 8 - 4 + 7 - 9 - 4 c) 3 + (-3) d) -1 y 1

48 Efectúa: a) (-2) · 14 : (-2) + (-8) : (-2) · (-15) : 3 - (+6) · (-1) = b) -6 : 3 · (+5) - 42 : (-7) · (-4) - (-9) : 3 = Solución: a) -28 : (-2) + 4 · (-5) + 6 = 14 - 20 + 6 = 0 b) -2 · (+5) + 6 · (-4) + 3 = -10 - 24 + 3 = -31

49 Sustituye cada signo ? por el número que corresponda. a) (-2)

2 · (-2)

? · (-2) = (-2)

8

b) 76 : 7

? = 7

2

c) [(-3)2]4 = (-3)

?

d) (53)? = 5

6 Solución: a) (-2)

2 · (-2)

5 · (-2) = (-2)

8

b) 76 : 7

4 = 7

2

c) [(-3)2]4 = (-3)

8

d) (53)2 = 5

6

50 ¿Cuántos árboles hay en un bosque que tiene 142 filas de 142 árboles cada una? Solución: Hay 142

2 = 20 164 árboles.

51 Un jardín consta de 6 macizos, cada uno de los cuales tiene 6 filas de 6 plantas cada una. Halla el total de las

plantas del jardín expresándolo previamente en forma de potencia. Solución: Hay 6

3 = 216 plantas.

52 Completa la siguiente tabla:

Producto Base Exponente Resultado

(-3) · 9 · (-3)

-1 5

-2 16

16 · (-4)

Solución:

Producto Base Exponente Resultado



(-3) · 9 · (-3) -3 4 81

(-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1) -1 5 -1

(-2) · (-2) · (-2) · (-2) -2 4 16

16 · (-4) (-4) 3 -64


Producto Potencia Base Exponente Valor

3 -125

4 · (-2)

3 81

-2 · 4 · (-8)

Solución:

Producto Potencia Base Exponente Valor

(-5) · (-5) · (-5) (-5)3 -5 3 -125

4 · (-2) (-2)3 -2 3 -8

3 · 3 · 3 · 3 34 3 4 81

-2 · 4 · (-8) (-2)6 -2 6 64

54 Un virus ha destruido 24 kilobytes del disco duro de un ordenador .

a) ¿Cuántos bytes ha destruido? b) Si el ordenador tenía una capacidad de 2

3 megabytes,

¿cuántos kilobytes quedan? (1 kilobyte = 2

10 bytes; 1 megabyte = 2

10 kilobytes)

Solución: a) 2

4 · 2

10 = 2

14 bytes = 16 384 bytes.

b) 23 · 2

10 - 2

4 = 2

13 - 2

4 = 8 192 - 16 = 8 176 kilobytes.

55 Realiza:

a) (-2)

2

b) -22

c) (-2)

3

d) -23

¿Qué conclusiones puedes sacar? Solución:



a) 4 b) -4 c) -8 d) -8 El signo se ve afectado por el exponente sólo si se encuentra entre paréntesis, formando parte de la base.

56 Escribe cada número como una potencia: 9, -8, 25, -64. Solución: 9 = 3

2, -8 = (-2)

3, 25 = 5

2, -64 = (-4)

3

57 Marta decidió salir todos los domingos a montar en bicicleta. La primera semana recorrió 3 km y se propuso recorrer cada domingo el triple de kilómetros que el domingo anterior. Si esta semana ha recorrido 81 km, ¿cuántos domingos lleva montando en bicicleta? Solución: El primer domingo recorrió 3 km, el segundo 3 · 3 = 3

2, el tercero 3

3 y el cuarto 3

4 = 81.

Por lo que ha salido 4 domingos.

58 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) ó falsas (F), justificando tu respuesta. a) Si el exponente de una potencia es impar, ésta es negativa. b) Si el exponente de una potencia es par, ésta es positiva. c) El cuadrado de un número es igual al cuadrado de su opuesto. d) El cubo de un número es igual al cubo de su opuesto. Solución: a) Falso. Sólo es cierto si la base es negativa. Por ejemplo: 2

3 = 8.

b) Verdad. Esto es cierto, tanto si la base es positiva como si es negativa. Por ejemplo: (-2)4 = 16.

c) Verdad. En ambos casos el resultado es positivo. Por ejemplo: 32 = (-3)

2 = 9.

d) Falso. El cubo de un número negativo es negativo, mientras que el del opuesto a éste será positivo. Por ejemplo: (-2)

3 = -8, 2

3 = 8.

59 Daniel, que tiene 3 años, tiene la quinta parte de la quinta parte de la edad de su abuelo. ¿Cuántos años tiene

su abuelo? Solución: 3 · 5

2 = 75 años.

60 Halla las siguientes sumas en forma de potencias de igual base y mismo exponente:

a) 2 · 5

3 + 3 · 5

3 - 4 · 5

3

b) 22 + 4

2

c) 33 - 54

Solución: a) (2 + 3 - 4) · 5

3 = 1 · 5

3 = 125

b) 22 + (2 · 2)

2 = 2

2 + 2

2 · 2

2 = 2

2 · (1 + 2

2) = 4 · 5 = 20

c) 33 - 2 · 3

3 = 3

3 · (1 - 2) = 27 · (-1) = 27

61 Escribe el enunciado de un problema cuyo resultado sea 12

2.

Solución:



Por ejemplo: Mi cocina tiene forma de cuadrado y la quiero embaldosar. He comprobado que caben 12 baldosas en cada lado. ¿Cuántas baldosas necesito comprar?

62 ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar, utilizando sólo las cifras: 1, 2 y 3? Solución: Hay 3 posibilidades para la primera cifra. Por cada una de ellas hay otras tres para la segunda y así sucesivamente. Se pueden formar, por tanto, 3

4 = 81 números.

63 ¿Cuánto tiene que valer x para que se cumplan las siguientes igualdades?

a) 7

2 + 2 · 7 · x + x

2 = 81

b) 52 + 2 · 5 · x + x

2 = 36

c) 72 - 2 · 7 · x + x

2 = 9

d) 92 - 2 · 9 · x + x

2 = 49

Solución: a) 2 · 7 · x + x

2 es lo que le falta a 49 para llegar a 81, es decir, 32. Por tanto, x = 2.

b) 2 · 5 · x + x2 es lo que le falta a 25 para llegar a 36, es decir, 11. Por tanto, x = 1.

c) -2 · 7 · x + x2 es lo que le falta a 49 para llegar a 9, es decir, -40. Por tanto, x = 4.

d) -2 · 9 · x + x2 es lo que le falta a 81 para llegar a 49, es decir, -32. Por tanto, x = 2.

64 Escribe como una única potencia:

a) [(-5)

3]3 : 25

b) 4 · (-2)3 · [(-2)

2]4

c) 92 : [(-3) · (-3)

2]

d) (1010

· 100) : 10003

Solución: a) [(-5)

3]3 : 25 = (-5)

9 : (-5)

2 = (-5)

7

b) 4 · (-2)3 · [(-2)

2]4 = (-2)

2 · (-2)

3 · (-2)

8 = (-2)

13

c) 92 : [(-3) · (-3)

2] = [(-3)

2]2 : (-3)

3 = (-3)

4 : (-3)

3 = -3

d) (1010

· 100) : 10003 = (10

10 · 10

2) : (10

3)3 = 10

12 : 10

9 = 10

3

65 Calcula el valor de las letras en cada una de las igualdades siguientes: a) (x - 5)

2 = 64

b) (3 · x - 6)2 = 81

c) (8 - x)2 = 36

Solución: a) Como 64 = 8

2, x debe ser 13.

b) Como 81 = 92, entonces 3 · x - 6 debe ser 9, con lo que x = 5.

c) Como 36 = 62, entonces x = 2.

66 Sustituye cada signo ? por el número que corresponda.

a) (-4)

2 · [(-4)

?]2 = (-4)

10

b) (53 · 5

?) : 5

2 = 5

6

c) [(-3)4]2 : (-3)

? = (-3)

2

d) 2? · (2

3)3 = 2

18 Solución:



a) (-4)

2 · [(-4)

4]2 = (-4)

10

b) (53 · 5

5) : 5

2 = 5

6

c) [(-3)4]2 : (-3)

6 = (-3)

2

d) 29 · (2

3)3 = 2

18

67 Cien baldosas están dispuestas formando un cuadrado, y alrededor de éste, hay una cenefa que tiene dos filas de baldosas por cada lado. ¿Cuántas baldosas hay en la cenefa? Solución: Las baldosas centrales forman un cuadrado de lado 10, ya que 10

2 = 100.

El cuadrado total (incluyendo la cenefa) tendrá de lado 10 + 2 + 2 = 14 baldosas, por lo que en total utilizaremos 14

2 = 196 baldosas.

Es decir, la cenefa está formada por 196 - 100 = 96 baldosas.

68 Escribe en forma de potencia: a) 81 · (-27) b) (-8)

3 : 16 c) 25

3 · (-5)

5 · (-125) d) 49

5 : [(-7)

3]2

Solución: a) 81 · (-27) = (-3)

4 · (-3)

3 = (-3)

7

b) (-8)3 : 16 = [(-2)

3]3 : (-2)

4 = (-2)

5

c) 253 · (-5)

5 · (-125) = [(-5)

2]3 · (-5)

5 · (-5)

3 = (-5)

14

d) 495 : [(-7)

3]2 = [(-7)

2]5 : (-7)

6 = (-7)

4 = 7

4


Fracciones Productos cruzados

Cocientes ¿Equivalentes?

3 · 10 = 15 · 2

Sí

21 · 11 15 · 16 0,73 0,76

Solución:

Fracciones Productos cruzados Cocientes ¿Equivalentes?

35 30 0,7 0,6 No

3 · 10 = 15 · 2 0,2 = 0,2

Sí

5

3,

10

7

10

2,

12

9,

16

12

,

5

3,

10

7

10

2,

15

3



12 · 12 = 16 · 9 0,75 Si

21 · 11 15 · 16 0,73 0,76 No

70 En las últimas elecciones de un país se abstuvieron 3 de cada 7 personas con derecho a voto. Si se votaron 16 632 120 personas, ¿cuántos habitantes con derecho a voto tiene el país? Solución: Las siguientes fracciones tienen que ser equivalentes:

71 a) ¿Qué fracción de hora son 20 minutos? b) ¿Qué fracción de litro son dos litros y cuarto? c) ¿Qué fracción de kilogramo son 400 gramos? d) ¿Qué fracción de día son 10 horas? Solución:

72 Completa. (Hay más de una solución).

Solución:

12

9,

16

12

21

16,

15

11

3 16632120 16632120·7, luego total 38808280 habitantes con derecho a voto.

7 total 3

20 1a)

60 31 9

b) 24 4

400 2c)

1000 510 5

d) 24 12

5 5a)

4 34

b) 155 6

c) 7 75 7

d) 6 6



73 Para cada fracción escribe 4 equivalentes: dos cuyo denominador sea menor y otras dos en las que sea mayor al dado.

Solución: Por ejemplo:

74 Tres amigos son aficionados a la natación. Susana va a la piscina dos días a la semana, Andrés 10 días al mes y Mariano 100 días al año. Suponiendo meses de 30 días y años de 365 días, ¿quién acude con más frecuencia a la piscina?¿Quién con menos frecuencia? Solución:

75 Por cada 3 pasos de Ramón, Fermín tiene que dar 5 para recorrer el mismo espacio. Si Ramón ha dado 100 pasos y Fermín 170, ¿quién ha avanzado más? Solución: Considerando como unidad el espacio recorrido por los 3 pasos de Ramón ó los 5 de Fermín, se trata de comparar las siguientes fracciones:

16 4a) Por ejemplo

12 39

b) Por ejemplo 1011

c) Por ejemplo 1411 13

d) Por ejemplo 12 12

10

15,

33

231,

21

7,

18

30

100

150

12

18

4

6

2

3

10

15;

35

245

34

238

1

7

11

77

33

231;

30

10

24

8

6

2

3

1

21

7;

27

45

24

40

6

10

9

15

18

30

2Susana acude el 0,286 de los días.

710

Andrés el 0,33.30100

Mariano el 0,27.365

Luego quien acude con más frecuencia es Andrés y el que nada menos es Mariano.

100 170 y .

3 5



76 En clase de Lengua, los alumnos de 2º B han hecho un trabajo en grupos que han aprobado 6 de los 8 grupos. En Matemáticas también se han puesto en grupos para hacer un trabajo y han aprobado 5 de los 6 grupos. a) ¿En qué asignatura han suspendido más alumnos? b) Si en Lengua han suspendido 6 alumnos, ¿cuántos alumnos hay en 2º B? Solución:

77

Solución: Descomponiendo en factores, observamos que el M.C.D.(32,120) = 8, con lo que,

78 Se llama fracción decimal a aquella que tiene como denominador una potencia de 10 elevada a un exponente natural. De las siguientes fracciones, separa las que sean decimales:

Solución: La 2ª, la 4ª y la 6ª.

79

Solución: Sí, porque si M.C.D.(x,y) = 1, también ocurrirá que M.C.D.(x

2, y

2) = 1, dado que no tienen

tampoco ningún factor en común.

80

Solución:

100 500 510 170Reduciéndolas a común denominador , así que ha avanzado más Fermín.

3 15 15 5

6 18 20 5a) , luego han suspendido más en Lengua.

8 24 24 62 1

b) Como han suspendido que son 6 alumnos, habrá 6 · 4 = 24 alumnos.8 4

32Halla una fracción equivalente a sabiendo que sus dos términos

120tienen 40 como M.C.D.

160una fracción equivalente con M.C.D. = 40 es

600

4 2 26 2 5 3 , , , , ,

3 10 5 100 20 1000

2

2

x xSi la fracción es irreducible, ¿lo es también ?

y y

1 3Escribe tres fracciones mayores que y menores que .

3 5



81

Solución:

82

Solución:

83 ¿Cuántas fracciones hay equivalentes a una dada y de términos menores que los suyos?

Solución: Tantas como divisores tenga el M.C.D. del numerador y del denominador (sin contar el 1).

84

Solución:

5 9Reduciendo a común denominador tenemos las fracciones y , así que las fracciones pueden,

15 156 7 8

por ejemplo ser , , .15 15 15

4¿Podrías escribir una fracción equivalente a con denominador a, sabiendo que a es

3múltiplo de 3? ¿Y si no lo fuera?

4·bSí, a = 3 · b, la fracción es . Si a no es múltiplo de 3, no podemos conseguir b como antes,

apor lo que es imposible.

1 2Escribe una fracción mayor que y menor que .

3 3

2 4Dos fracciones equivalentes a éstas son y respectivamente, de donde una fracción intermedia, puede ser

6 63 1

por ejemplo .6 2

24Por ejemplo: tendrá 5 fracciones equivalentes de términos menores a 24 y 36 respectivamente,

36dado que M.C.D.(24,36) = 12 y 12 tiene 6 divisores (1, 2, 3, 4, 6, 12).

2 4 6 8 12Las fracciones son: , , , ,

3 6 9 12 18

x x · k¿Son equivalentes las fracciones y ? ¿Puedes deducir de este

y y · k

ejercicio alguna regla?



Sí, porque multiplicando en cruz queda: x · y · k = y · x · k. Deducimos que se pueden obtener fracciones equivalentes a una dada multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor.

85

Solución: Sí, porque multiplicando en cruz queda: x · (-y) = y · (-x). Deducimos que se pueden obtener fracciones equivalentes a una dada cambiando de signo del numerador y del denominador.

86 El M.C.D. de los dos términos de una fracción es 60. ¿Cuántas fracciones equivalentes a ésta y con término menores puedes encontrar? Solución: Se pueden obtener tantas como divisores tiene el M.C.D. del numerador y del denominador (sin contar el 1), es decir, como 60 tiene por divisores distintos del 1: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, podemos obtener 11 fracciones equivalentes con términos menores.

87

Solución: Sabemos que y es una potencia natural de 10 y x no es múltiplo ni de 2 ni de 5.

88 Completa

Dividendo Divisor Inversa del

divisor Cociente

Solución:

x x¿Son equivalentes las fracciones y ? ¿Puedes deducir de este ejercicio

y y

alguna regla?

Se llama fracción decimal a aquella que tiene como denominador una potencia de 10

xelevada a un exponente natural. La fracción es irreducible y decimal. ¿Qué puedes decir

y

de los números x e y?

3

2

4

15

7

3

5

6

5

3

10

3

3

5

6

1



Dividendo Divisor Inversa del

divisor Cociente

6 10

89

Solución:

90 Encuentra una fracción para cada frase: a) El doble de tres quintos. b) La cuarta parte de cinco medios. c) El triple de la mitad de cuatro tercios. d) Los tres cuartos de la sexta parte de dos quintos. Solución:

91 Un cuadrado de 9 m2 de área se divide en 16 cuadrados iguales. ¿Cuánto mide el lado de cada uno de ellos?

Solución:

92 Calcula y expresa el resultado en forma de fracción irreducible:

Solución:

2

5

3

2

2

3

4

15

7

3

14

5

5

14

5

6

2

1

3

5

5

3

10

3

3

5

6

1

2 27¿Cuánto cuesta la mitad de los de un terreno que mide 462 m a 850 euros el m ?

11

21 7Son 462 = 147m ; 147 850 124950 euros

2 11

3 6 1 5 5 1 4 3 1 2 1a) 2 b) c) 3 2 d)

5 5 4 2 8 2 3 4 6 5 20

2 29 9 3El área de cada uno es m . El lado mide entonces m .

16 16 4

5 2 1 7 2 1 3 1a) 2 b) 1

8 3 6 4 5 10 4 2



93 Calcula:

Solución:

94 Calcula las siguientes raíces cuadradas con una aproximación de una décima:

Solución:

95

Solución:

Buscamos un número que multiplicado por

200

3

dé 24, es decir , la solución es

16003

4800

200

3:24

gramos.

96

a) ¿Qué fracción de recorrido le queda? b) ¿Cuántos kilómetros tenía la etapa? Solución:

5 8 2 21 5 27 5 9 5 18 16 3a) 2 2 2

8 12 12 12 8 12 8 4 8 8 8 8

20 8 2 15 10 25 5b)

20 20 20 20 20 20 4

1 33:

3 5 10 12 54a) b) c) : :1 6 5 2 4 3 2

32 5 4

3 3 5 5 15 5 4 2 6 20a) : b) : c) 8

4 5 4 6 4 6 15 9 5 3

144 25 169 50a) b) c) d)

25 20 100 4

12 13a) 2,4 b) 1,25 1,1 c) 1,3 d) 12,5 3,5

5 10

3La leche contiene los de su peso en calcio. ¿Cuánta leche se necesita

200para obtener 24 gramos de calcio?

3Un ciclista recorre en los primeros 30 minutos los del recorrido, un cuarto de hora

74

después los del total, y le informan de que aún le quedan 32 km.35



97 Calcula, expresando el resultado en forma de fracción irreducible:

Solución:

98 Completa:

Solución:

99

a) ¿En cuántas partidas le sacará Timoteo el dinero a su primo? b) Si en un principio tenían 16 euros cada uno, ¿cuántos tendrán al acabar? Solución:

3 4 15 4 19 19 16a) , luego le quedan 1 .

7 35 35 35 35 35 3516 32

b) Las fracciones son equivalentes, luego la etapa tenía 35 · 2 = 70 km. 35 total

2 1 3 5a) 2

3 6 4 8

1 5 5b) 2 1 3

7 2 14

4 1 6 5 16 1 5 9a)

6 6 8 8 8 2 8 8

2 35 5 38 19 14 19 5b) 2 1 3 2 2

14 14 14 14 7 7 7 7

? 35 125 ? 9 ? 64 4 ?

a) b) c) d) 3 ? ? 4 ? 216 ? 25

3 35 125 81 9 4 64 4 2

a) b) c) d) 3 27 16 4 6 216 625 25

Timoteo, un experto jugador de cartas, está jugando con su primo a un juego en el que,

partiendo los dos de la misma cantidad de dinero, cada vez que uno pierde debe pagar

al otro de tal forma que éste 5

llegue a tener los del dinero que tenía en ese momento.4

Timoteo se sabe un truco con el que consigue ganar siempre.

a) Si los dos parten del mismo dinero, cuando terminen, Timoteo no podrá tener más del doble de lo que tenía al principio.

5 Se trata de calcular las sucesivas potencias de hasta que el resul

4tado sea mayor que 2.



Luego jugarán 3 veces, ya que a la cuarta su primo no podría pagar.

100

Calcula:

Solución:

101

Solución:

102

Solución:

2 3 45 5 25 5 125 5 625

2, 2, 2, 24 4 16 4 64 4 256

35 2000

b) Timoteo tendrá 16 = 31,25 euros y su primo 16 · 2 31,25 = 0,75 euros.4 64

2a) El cubo de 1+ .

533

b) Una fracción cuyo cuadrado es 1 .49

3 3 3c) Los de los de los .

4 4 43

d) El cuadrado del doble de .5

3 3 27 343 16 4 3 27 6 36

a) b) c) d) 5 125 49 7 4 64 5 25

Camino y Santi se conocieron en el Camino de Santiago, cuando les faltaban 80 km

para terminar su viaje. Salieron de diferentes lugares, y Camino ya llevaba andados los

5 7 de su recorrido y Santi los

6 del suyo cuando se conocieron.

11¿Cuántos kilómetros anduvo en total cada uno?

1A Camino le faltaba , que son 80 km, luego anduvo en total 80 · 6 = 480 km.

64

A Santi le quedaban que son 80 km, luego en total anduvo 20 · 11 = 220 km.11

236Duplicando un lado de un rectángulo y triplicando el otro, obtenemos un cuadrado de m

25de área. ¿Qué dimensiones tenía el rectángulo?



103

Calcula:

Solución:

104

a) ¿Cuántos habitantes hay en la localidad? b) ¿Cuántos son menores de 15 años? Solución:

a) Los mayores de 30 años son que son 16 000, por lo que en la localidad habrá: habitantes.

105

A un instituto acuden diariamente 720 personas. Una de cada 30 personas es profesor o profesora, de cada 20, 19 son alumnos y el resto es personal no docente. a) ¿Qué fracción representan estos últimos? b) ¿Cuántos alumnos, profesores y personal no docente hay? Solución:

106

36 6 6 6 3 6 6 2El lado del cuadrado es , : 2 m medía un lado, el otro : 3 m.

25 5 5 10 5 5 15 5

2 322

2

4 2 2 3 7 81 1a) b) c) d) 3

9 3 3 3 37 36

2 2 22

2 2 3

4 4 3 7 9 3 1 1a) b) 1 c) d) 3

9 9 6 2 37 3 3

2Los de los habitantes de una localidad tienen más de 65 años, la tercera parte tienen

9entre 30 y 65 años y la cuarta parte entre 15 y 30 . Si hay 16 000 habitantes mayores de 30 años:

9

5

3

1

9

2 80028

5

0009·16

5 1 29 7 7 28800·7b) 1 1 , los de 28800 que son 5600 menores de 15 años.

9 4 36 36 36 36

1 19 2 57 59 59 1a) entre profesores y alumnos, 1 representan el personal no docente.

30 20 60 60 60 60 60720 19 720

b) 24 profesores, ·720 684 alumnos y 12 el resto.30 20 60

1Al triplicar el cuadrado de un número y restar al resultado se obtiene 5.

3¿De qué número se trata?



Solución:

107

Un estudiante, el primer día de sus vacaciones hace dos quintos de los ejercicios que le han mandado y el segundo día la tercera parte de los que le quedan. a) ¿Qué fracción del total le queda por hacer todavía? b) Si el primer día hizo 12 ejercicios, ¿cuántos le mandaron? Solución:

108

Calcula:

Solución:

109

Entre Silvia y Sergio han cogido 42 setas. Si Sergio ha cogido las tres cuartas partes de las que ha cogido Silvia, ¿cuántas ha cogido cada uno? Solución:

1 16 16 16El triple del cuadrado será 5 , el cuadrado será entonces : 3 , por tanto el número

3 3 3 9

16 4es .

9 3

2 3a) 1 le quedan después del primer día, la tercera parte de éstos es, que son los que hizo el segundo día.

5 5

2 1 2Por tanto, le quedan por hacer 1 del total.

5 5 5

3 1b) son 12 ejercicios,

5

serán entonces la tercera parte, es decir 4 ejercicios, luego le mandaron 4 · 5 = 20 ejercicios.5

21 1 5 3

a) 13 6 2 4

3 1 3 · 2

4 2 5b)

13

10

1 5 3 1 7 3 4 21 27 10 5a) 1

9 12 4 9 12 4 36 36 36 36 18

3 1 7 3 7 15 14 2914 2 5 4 10 20 20 20b)

29 29 29 29 2

10 10 10 10



110

Si se produjera un incendio en un edificio, sus habitantes tardarían en desalojarlo una hora si utilizasen todos el ascensor, mientras que si utilizasen todos la escalera tardarían 45 minutos. ¿Qué fracción de sus habitantes podrían salvarse en un cuarto de hora utilizando ambas cosas a la vez? Solución:

111

Solución:

112

Calcula:

Solución:

Si dividimos las que ha cogido Silvia en 4 partes, ella habría cogido 4 y Sergio 3, luego de 7 partes, Silvia ha cogido 4,

4 3los y Sergio, los .

7 74 3

Silvia ha cogido entonces 42 24 setas y Sergio 47 7 2 18.

1 1Con el ascensor se salvan cada minuto de los habitantes, por la escalera ,

60 451 1 7

por los dos sitios a la vez: .60 45 180

7 105 7En 15 minutos se salvarán 15 .

180 180 12

3Un viaje se desarrolla de la siguiente manera: En la primera parte se recorren los ,

5que son 90 km, y el resto se realiza en dos partes iguales. ¿De cuántos kilómetros

consta cada una de estas partes?

3 1Cada una de las partes será de 1 : 2 .

5 5

3 1 90Como son 90 km, serán 30 km.

5 5 3

7 1 9 7 4a) 3 2 :

4 3 5 2 5

1 21 2

5 3b)

1 1

3 10



113

Se saca la tercera parte del vino de un tonel y a lo que queda se añaden 10 litros de otra clase de vino para obtener 34 litros de mezcla. ¿Cuántos litros había inicialmente? Solución:

114

Calcula:

Solución:

115

Solución:

116

Calcula:

17 9 27 17 2 18 17 2 33a) 3 2 : 3

12 5 10 6 3 6 6 6 61 1 3 10 7

25 3 15 15 15b) 210 3 7 7

30 30 30 30

2 24 134 10 = 24 litros son de lo que había, 12 litros serán , por tanto, había 12 · 3 = 36 litros.

3 2 3

2

31 3 2 1 1 2a) 2 1 1 b) 2 3

10 4 5 4 2 3

1 7 2 3 1 29 1 29 28 14a) 2 2

10 4 5 4 10 20 10 10 10 5

1 4 27 23 121b) 8 8

2 9 9 18 18

3He colocado los de mi dinero al 6%, y el resto al 5%. Si mi capital son 12 500 euros,

5¿qué interés cobraré al año?

3 3·12500 6·7500 de 12500 = 7500 euros colocados al 6%, por tanto, darán de intereses 6% de 7500 = 450 euros.

5 5 100

El resto son 12500 7500 = 5000 euros colocados al 5%, que darán de intereses el 5 %

5·5000

de 5000 = 250 euros.100

Al año cobraré en total 450 + 250 = 700 euros de intereses.



Solución:

117

No había transcurrido ni una hora cuando se marcharon la cuarta parte de los invitados a una fiesta, al poco rato se fueron la tercera de las personas que se acababan de ir y cuando después se fueron otras 8 personas, ya sólo quedaron la mitad de los que eran al principio. ¿Cuántos invitados fueron a la fiesta? Solución:

118

Solución:

119

Una liebre se halla a 10 saltos suyos de distancia de un galgo cuado éste sale en su persecución. Sabiendo que la distancia que cubren 3 saltos del galgo equivale a la distancia de 5 saltos de liebre, y que en el tiempo que tarda el galgo en dar 2 saltos, la liebre da 3, se desea averiguar, cuando la liebre haya dado 15 saltos desde que el galgo se lanzó en su persecución, a qué distancia de la liebre estará el galgo, expresado en saltos de éste. Solución:

2

2 1 1 1a) 2 1

3 6 3

1 5 4 4b) 1 2 :

4 1 2 9 5

1 5 1 72 5 2 65a) 4

3 6 9 18 18 18 185 2 4 5 5

b) 1 2 : 1 2 16 3 5 6 6

1 1 1 1Los 8 que se fueron representan del total, luego acudieron en total 6 · 8 = 48 personas.

2 4 12 6

7 23 121Un grifo da de litro por minuto, otro de litro por minuto, y un tercero de

4 16 36litro por minuto. ¿Cuántos litros por minuto dan los tres juntos? ¿Cuál es el tiempo

empleado en llenar un depósito de 6 601 litros?

7 23 121 252 207 484 943Los tres juntos dan litros por minuto.

4 16 36 144 144 144 144943 950544

6601: 1008 minutos, que son 1008 : 60 = 16 horas y 48 minutos.144 943



120

Calcula:

Solución:

121

Calcula:

Solución:

3 xComo 5 saltos de la liebre equivalen a 3 de galgo, entonces los 15 saltos que da la liebre equivalen a ,

5 1515·3

por lo que x 9 saltos de galgo.5

Por otro lado, los 10 saltos de liebre iniciales de d

3 xistancia se traducen en , es decir,

5 103·10

x 6 saltos de galgo de distancia.5

2 x 2·15En el tiempo que la liebre da sus 15 saltos, el galgo da , es decir, x 10 saltos.

3 15 3Finalmente, la distancia, m

edida en saltos de galgo a la que se encontrará la liebre respecto de la posición inicial del galgo

será 9 + 6 = 15 saltos de galgo, y como el galgo ha recorrido 10 saltos, se encontrarán a una distancia de 15 10 = 5 saltos

de galgo.

5

9:

8

7

4

3·

2

7

5

6

·32

5:

4

1

8

1

2

1

446

153

17840

6120

360

446

40

17

360

175621

40

320

72

35

40

69

40

3

2

1

72

35

4

3·

10

23

·340

45

2

1

72

35

4

3·

10

3512

·320

2

8

1

2

1

4

3

3

53·

6

54

4

5

3

13:

2

17



122

Calcula:

Solución:

123

Multiplica los siguientes monomios y halla el grado del resultado: a) 5x · yx

3

b) 3xy · 4z3y

2x

c) x2 · (-2x

2y

3 )

Solución: a) 5x

4y

b) 12x2y

3z

3

c) -2x4y

3

d) -2h4j2k

124

Realiza las siguientes divisiones e indica el grado del monomio resultante: a) 4a

2c

3 : 2ac

b) 3mw2k : (-mwk)

14 1 13 5 13 13 5 3 5 6 5 11: :396 992 3 4 2 3 4 2 4 4 4

24 5 9 5 3 19 14 3 266 3 532 27 559 2236 559· ·

6 3 4 6 3 4 18 4 36 36

8

1

4

1

2

12

3

5

11

3

1

2

17

:

3

12

5

14

2

12

4

13

8

13

90

2645630

:112

45

8

13

45

13

2

17

:

15

284

3

8

12416

3

15

3155

2

17

:

15

5303604

28112

290752

26325

581504

52650

1170

5192:

112

45

8

13

90

649

:112

45

3 1d) 4h j · hjk

2

3 2 8 23c) x y z : 6x yz

2



Solución: a) 2ac

2

b) -3w

125

a) Completa la siguiente tabla sabiendo que la madre de Hugo hace 4 años tenía el triple de la edad de su hijo:

Antes Ahora

Edad de la madre

Edad del hijo x

b) Si Hugo tiene 20 años ¿Cuántos tiene su madre? Solución: a)

Antes Ahora

Edad de la madre 3 · (x - 4) 3 · (x - 4) + 4 = 3x - 8

Edad del hijo x- 4 x

b) 3 · 20 - 8 = 52

126

Encuentra una expresión algebraica para cada uno de los siguientes enunciados, simplificándola cuando sea posible: a) Un número impar. b) La mitad del producto de dos números. c) En una caja hay b bolas blancas y el triple de bolas negras. ¿Cuántas hay en total? d) Si p es el precio de unos pantalones y al pagarlos me descuentan el 20%, ¿cuánto pago por ellos? Solución: a) 2n + 1

c) b + 3b = 4b

127

Una barra de pan cuesta x euros. Si compro tres barras y pago con 5 euros: a) ¿Cuánto me devuelven? b) Si con lo que me han devuelto puedo comprar 2 litros de leche y aún me sobra

71c) xyz

4

x yb)

2

20p 80p 4pd) p

100 100 5



un euro, ¿cuánto cuesta cada litro? Solución: a) 5 - 3x

128

Escribe un monomio que verifique: a) Su coeficiente es -3 y la parte literal es w

2xz.

b) Su coeficiente es 2 y es semejante a 4xz. c) Tiene grado 8 y es opuesto a -5x

3y

4z.

Solución: a) -3w

2xz

b) 2xz c) 5x

3y

4z

129

Realiza las siguientes divisiones e indica el grado del monomio resultante: a) 8x

4y

2z

8k : x

2y

2k

b) 2w2x

3y

4 : 4w

2x

3y

Solución: a) 8x

2z

8

130

Al preguntarle Diego a Diana por el dinero que tenía, ésta respondió: “Me falta el triple del dinero que tienes tú para llegar a tener 50 euros”. Si Diego tiene x euros: a) ¿Cuántos tiene Diana? b) ¿Cuánto tienen entre los dos? c) Si hacen un fondo común juntando lo que tienen y se gastan la tercera parte de éste en el cine, ¿cuánto les queda? d) ¿Cuánto les costó cada entrada si Diego tenía en un principio 13 euros? Solución: a) 50 - 3x b) x + 50 - 3x = 50 - 2x

5 3x 1 4 3xb)

2 2

2 3 8 2 71c) x y z : 2xy z

5

31b) y

21

c) xyz10

2 50 2x 100 4 xc)

3 350 2x 50 26

d) Las dos entradas cuestan euros; como x = 13, 8 euros cuesta cada una.3 3



131

Escribe mediante una expresión algebraica cada una de las siguientes frases: a) Sumar 5 al cuadrado de un número. b) En una clase hay x chicos y 2 chicas por cada uno de ellos. ¿Cuántas personas hay en total? c) El triple de la suma de dos números consecutivos. d) El lado de un hexágono regular cuyo perímetro es p. Solución: a) x

2 + 5

b) x + 2x = 3x c) 3 · (x + x + 1) = 6x + 3

132

En casa de Arturo hay tres armarios de distintos tamaños. En el pequeño tiene la mitad de perchas que en el mediano, y al grande le faltan tres perchas para tener tantas como en los otros dos juntos. Si en el pequeño tiene x perchas: a) ¿Cuántas tiene en cada uno de los otros? b) Si pasa la mitad de las perchas del armario pequeño al grande, ¿cuántas tendrá en cada armario? c) Si quisiera tener en todos el mismo número de perchas, ¿cuántas tendría que tener en cada armario? Solución: a) En el mediano 2x y en el grande 3x - 3.

133

Escribe, si es posible, un monomio que verifique: a) Su coeficiente es 4 y es opuesto a -2xy. b) Su coeficiente es -4 y es opuesto a 4z

2.

c) Tiene grado 5 y es semejante a 4x2yz.

d) Su parte literal es w2zh y es opuesto a 5w

2z.

Solución: a) No es posible. b) -4z

2

c) No es posible. d) No es posible.

134

Completa la siguiente tabla sabiendo que el padre de Ignacio dentro de 10 años tendrá el doble de la edad de su hijo:

Edad actual Edad dentro de

10 años

Padre x

pd)

6

x x 7xb) En el pequeño , en el mediano 2x y en el grande 3x 3 + = 3

2 2 2

6x 3c) En total tiene x + 2x + 3x 3 = 6x 3, luego tendría que tener en cada uno 2x 1

3



Hijo

Solución:

Edad actual Edad dentro de

10 años

Padre x

Hijo

135

a) ¿Cuál es la puntuación máxima que se puede obtener? b) Una persona responde correctamente la mitad de preguntas de dos puntos que de uno. Si ha respondido bien y preguntas de dos puntos, ¿cuál será su puntuación? ¿Cuántas preguntas falló? c) Si el test constaba de 35 preguntas y respondió correctamente 8 preguntas de dos puntos, ¿cuál era la puntuación máxima que se podía obtener?¿Qué puntuación obtuvo? Solución:

b) 2y + 2y = 4y puntos obtuvo, falló x - y - 2y = x -3y preguntas.

136

Raquel y Leticia participaron en una carrera popular de x kilómetros. Raquel recorría 3 km cada 15 minutos y Leticia, que iba algo más lenta, en el mismo tiempo hacía dos kilómetros.1 a) ¿Cuánto tardó cada una? b) Cuando Leticia entró en meta, ¿cuánto tiempo había pasado desde que entró Raquel? c) Cuando Raquel entró en meta, ¿cuántos kilómetros le faltaban a Leticia para llegar? d) Si la prueba constaba de 12 kilómetros, ¿cuánto tardó cada una? ¿Cuántos kilómetros le faltaban a Leticia cuando entró Raquel? Solución:

10x

2

10x10

2

10x

2

10x

3De un test de x preguntas, los valen dos puntos y el resto un punto.

7

3 4 10a) 2 x x x

7 7 7

c) Calculando el valor numérico de las expresiones anteriores, se tiene que como mucho podían obtenerse

10 35 50 puntos, y él obtuvo 2 · 8 = 16 puntos.

7



137

Opera y simplifica al máximo posible: a) 6x

4 - 3x

3 · x - x

2y

4 · 3y

3 - (-4x

2y

5 : 2x) - 3xy

4 + 5xy · (y

3xy

3 + 4xy

6)

b) -z2w -(-4z

2 · 5w) + (48z

4w

5h

3 : 12z

2h

3w

4)

Solución: a) 6x

4 - 3x

4 - 3x

2y

7 + 2xy

5 - 3xy

4 + 5x

2y

7 + 20x

2y

7 = 3x

4 + 22x

2y

7+ 2xy

5 - 3xy

4

b) -z2w + 20z

2w + 4z

2w = 23z

2w

138

Realiza las operaciones con monomios y calcula el valor numérico del resultado si x = 1, y = -1, z = 2: a) 5x

3yz : 2x

2y - xz : 4

b) 4x3z : 2xz - 4x · (-2x) + 3

c) 5x2z · z

2 - 4 (xz)

2 + 8

Solución:

b) 2x

2 + 8x

2 + 3 = 10x

2 + 3. Su valor numérico es 13.

c) 5x2z

3 - 4x

2z

2 + 8. Su valor numérico es 40 - 16 + 8 = 32.

139

Encuentra los valores de x para los que el valor numérico de las siguientes expresiones es igual a cero: a) 5 · (3x + 12) b) (x - 5) (2x + 6) c) x · (x + 1) d) (x

2 - 9) (x + 2)

Solución:

a) -4 b) 5 y -3 c) 0 y -1 d) 3, -3y -2

140

Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios:

15 3a) Raquel tarda 5 minutos en recorrer 1 km, en x km tardará 5x minutos, mientras que Leticia tardará del tiempo

3 215

de Raquel, es decir, minutos.2

15 x 5 xb) 5 x minutos.

2 2

c) Leticia re

x

2 2 2x xcorre cada minuto km, 5x minutos habrá recorrido 5 x km, luego le quedan km.

15 15 3 3d) Se trata de calcular el valor numérico en las expresiones anteriores.

Raquel tarda 5 · 12 = 60 minut

15os = 1 hora, Leticia tarda 12 90 minutos = una hora y media.

212

A Leticia le faltaban 4 km.3

5 1 10 1 9 9a) xz xz = xz = xz. Su valor numérico es .

2 4 4 4 4 2



b) (4y

5 + 5y

3 - y + 3) - (3y

4 + 8y

3 - y + 1)

Solución:

b) 4y

5 - 3y

4 - 3y

3 +2

141

Dados P(x) = 2x4 - 5x

2 + 3x

3 - 3 y Q(x) = 3x

2 + 2x,

a) Señala el grado de P(x) · Q(x) y calcúlalo comprobando el resultado. b) Calcula P(x) - Q(x) y señala su grado y su término independiente. c) ¿Cuál es el opuesto de P(x) - Q(x)? ¿Tiene alguna relación con Q(x) - P(x)? Solución: a) Tendrá grado 6. P(x) · Q(x) = (2x

4 - 5x

2 + 3x

3 - 3) · (3x

2 + 2x) = 6x

6 + 4x

5 - 15x

4 - 10x

3 + 9x

5 + 6x

4 - 9x

2 - 6x =

= 6x6 + 13x

5 - 9x

4 - 10x

3 - 9x

2 - 6x

b) P(x) - Q(x) = (2x4 - 5x

2 + 3x

3 - 3) - (3x

2 + 2x) = 2x

4 - 8x

2 + 3x

3 - 2x - 3. Grado 4 y término independiente -3.

c) -(P(x) - Q(x)) = -2x4 + 8x

2 - 3x

3 + 2x + 3. Sí, es Q(x) - P(x).

142

Dados los polinomios P(x) = 4x5 + 3x

3 + x - 3, Q(x) = x

2 - 4x

4 + 1, R(x) = x

3 - x

2 + 5x, opera:

a) P(x) + Q(x) + R(x) b) P(x) - 2Q(x) - R(x) c) P(x) · Q(x) + R(x) d) 4P(x) - 2Q(x) + R(x) Solución: a) 4x

5 - 4x

4 + 4x

3 + 6x - 2

b) 4x5 + 3x

3 + x - 3 - 2(x

2 - 4x

4 + 1) - (x

3 - x

2 + 5x) = 4x

5 + 3x

3 + x - 3 - 2x

2 + 8x

4 - 2 - x

3 + x

2 - 5x =

= 4x5 + 8x

4 + 2x

3 - x

2 -4x -5.

c) (4x5 + 3x

3 + x - 3) · (x

2 - 4x

4 + 1) + x

3 - x

2 + 5x = 4x

7 - 16x

9 + 4x

5 + 3x

5 - 12x

7 + 3x

3 + x

3 - 4x

5 + x - 3x

2 + 12x

4 - 3 +

x3 -

-x2 + 5x = -16x

9 - 8x

7 + 3x

5 + 12x

4 + 5x

3 - 4x

2 + 6x - 3.

d) 16x5 + 12x

3 + 4x - 12 - 2x

2 + 8x

4 - 2 + x

3 - x

2 + 5x = 16x

5 + 8x

4 + 13x

3 - 3x

2 + 9x - 14.

143

En Semana Santa, Matilde se propuso cada día un ejercicio de matemáticas más de los que había hecho el día anterior. a) Si el primer día hizo x ejercicios, ¿cuántos hizo la primera semana? b) Si durante esta primera semana se hubiese querido repartir los ejercicios de tal manera que todos los días hiciese la misma cantidad, ¿cuántos tendría que hacer al día? Solución: a) x + (x +1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6) = 7x + 21

2 21 1a) 8z z 2z z

3 2

2 21c) 5b 5b 5 b b 3

2

27 15a) z z

3 2

29c) b 4b 8

2



144

Simplifica las siguientes expresiones: a) 2(3a - b

2) - a(b + 6) + 3b

2

b) (2x - y) (2x + y) + y(3x + y) c) (2 - x) (x - 2y) + (x - y) (x - y) d) 3(a - 2b)a - 3(a - b) (a - b) Solución: a) 6a - 2b

2 - ab - 6a + 3b

2 = b

2 - ab

b) 4x2 - y

2 + 3xy + y

2 = 4x

2 + 3xy

c) 2x - 4y - x2 + 2xy + x

2 + y

2 - 2xy = y

2 + 2x - 4y

d) 3a2 - 6ab - 3a

2 - 3b

2 + 6ab = -3b

2

145

Efectúa las siguientes operaciones y reduce después términos semejantes: a) (a + 3) (a + 3) - 2a(a + 1) + (a + 2) (a - 2)

b) 2b(a2 + b) + (a - b) (a - b) -(a

2 - b) (b - 1)

c) (x - 2y) (x - 2y) + 2y(2x - y) - 2x2

Solución: a) a

2 + 9 + 6a - 2a

2 - 2a + a

2 - 4 = 4a + 5

b) 2a2b + 2b

2 + a

2 + b

2 - 2ab - a

2b + a

2 + b

2 - b = a

2b + 4b

2 + 2a

2 - 2ab - b

c) x2 + 4y

2 - 4xy + 4xy - 2y

2 - 2x

2 = 2y

2 - x

2

146

El precio de un kilogramo de melocotones viene dado por el polinomio P(x) = x + 3, y el número de kilogramos que se venden diariamente, por K(x) = 2x - 8. Calcula el polinomio que corresponde al precio total de los melocotones vendidos en un día. Solución: El polinomio que corresponde al precio total será el producto del precio por kilogramo y el número de kilogramos, luego: (x + 3) · (2x - 8) = 2x

2 + 6x - 8x - 24 = 2x

2 - 2x -24

147

Una caja vacía pesa 3 kilos y llena de naranjas x kg. a) ¿Cuántos kilos de naranjas hay en diez cajas iguales? b) Si las naranjas están metidas en bolsas de 2 kg cada una y cada bolsa cuesta y euros, ¿cuánto cuestan todas las naranjas? Solución: a) 10 · (x - 3)

148

Los gastos de una empresa vienen dados por el polinomio G(x) = x3 + x

2 - 1, y los ingresos por I(x) = x

3 + x - 5.

¿Cuál será el polinomio que corresponde a los beneficios? Solución: Los beneficios serán los ingresos menos los gastos, luego: I(x) - G(x) = x - x

2 - 4.

14 Escribe en forma de polinomio en una variable y opera:

7x 21b) = x + 3

7

x 3 10b) Hay 5 x 3 bolsas a y euros cada una, 5y · (x 3) euros.

2



9

a) El cuadrado de un número, menos su doble, más su triple, menos cuatro b) El cuadrado del cubo de un número, menos el número elevado a 6, más 32. c) El área de un cuadrado de lado x, menos el área de un triángulo de altura x y base x. Solución: a) x

2 - 2x + 3x - 4 = x

2 + x - 4

b) (x3)2 - x

6 + 32 = 32

150

Encuentra una expresión algebraica para el área de la siguiente figura: x

2 + x

2x +1 x x Solución: La base mayor de este trapecio mide: x

2 + x + 2x = x

2 + 3x

El área es entonces:

151

Escribe tres polinomios que verifiquen: a) De grado 8, en una variable, sin término independiente, con el término de grado 4 de coeficiente -5 y que esté reducido. b) De grado 5, en dos variables, con término independiente -3, cuyo término de grado 3 tenga por coeficiente -2, que no tenga término de grado 1 y no esté reducido. Solución: a) P(x) = x

8 - 5x

4. Q(x) = 3x

8 + x

7 - 5x

4. R(x) = 8x

8 - 5x

4 + x

b) P(x, y) = x2y

3 + x

2y

3 - 2xy

2 - 3. Q(x, y) = 2x

2y

3 -2xy

2 + y

2 + 6y

2 - 3. P(x, y) = 9x

2y

3 - 2xy

2 -5 + 2.

152

Habían transcurrido ya la tercera parte de los días de vacaciones de Vanesa cuando se fue de viaje. Estuvo una semana en Ámsterdam, después se fue a París, donde estuvo x días, y por último viajó a Barcelona, donde estuvo la mitad de los días que había estado en París. a) ¿Cuántos días estuvo de vacaciones? b) ¿Qué fracción de ellos estuvo en el extranjero? c) Si estuvo 6 días en París, ¿cuántos días duraron sus vacaciones? Solución:

2 22 x x

c) x2 2

x2x5x21x2x2x1x2

2

x3xxx 23222



153

Encuentra una expresión algebraica para el perímetro y otra para el área de la siguiente figura: 5 x x y

Solución: Perímetro: 5 + 2x + y + (5 + x) + (y - x) = 10 + 2x + 2y Área: (5 + x)y - x

2 = 5y + xy - x

2

154

Reduce las siguientes expresiones a otras más sencillas:

Solución:

155

Se dice que un número es raíz de un polinomio si el valor numérico de ese polinomio para ese número es cero. Comprueba que x = 3 es raíz de x

2 - 5x + 6. ¿Podrías encontrar otra raíz?

Solución: 9 - 15 + 6 = 0, por lo que sí es raíz. Otra raíz es x = 2.

2 3 x 9 21a) Como estuvo de viaje los de sus vacaciones, éstas duraron x 7 x días.

3 2 2 4 2

x 7 x 7 4 x 28b)

9 21 9 x 42 9 x 42x

4 2 49 21

c) 6 24 días.4 2

1 2a) x 2 1 x

3 3b) x y x y x x y y

c) 2 a 1 a 1 a 1 3a

1 1d) m m 2

4 2

2 2 2 2

2 2 2

1 2 2 2a) x x x

3 3 3 3

b) x y 2xy x xy y y xy y

c) 2a 2 4a a 3a 5a 3a 2

1 1 3d) m m 1 m 1

4 2 4



156

Expresa el área de los siguientes polígonos con un polinomio y calcula su valor numérico para x = 3. Interpreta el resultado del valor numérico en cada caso.

Solución: Área del rectángulo: (x + 5) · (x + 2) = x

2 + 7x + 10. Valor numérico: 40.

Interpretación: El área de un rectángulo de lados 3 + 5 = 8 y 3 + 2 = 5 es 40 unidades cuadradas. Área del triángulo: x · 2x : 2 = x

2. Valor numérico: 9.

Interpretación: El área de un triángulo de base 2 · 3 = 6 y altura 3 es 9 unidades cuadradas. Área de la cruz: (x

2 + 2x) · 3x - 4 · x

2 = 3x

3 + 6x

2 - 4x

2 = 3x

3 + 2x

2. Valor numérico: 81 + 18 = 99.

Interpretación: El área de una cruz de dimensiones 3 y 9 es 99 unidades cuadradas.

157

Utiliza las identidades notables para desarrollar las expresiones siguientes:

Solución:

158

Desarrolla y opera: a) (x + 2)

2 - (x - 2)

2

b) (4x + y)2 - (4x - y)

2

c) (x + 3) - (x + 2) (x - 2) d) (3x - 2) (x - 2) + (x - 1)

2 Solución: a) (x

2 + 4x + 4) - (x

2 - 4x + 4) = x

2 + 4x + 4 - x

2 + 4x - 4 = 8x

2

2

2

(x 3)(x 3) (x 3)a)

3 6x x

b) 1 1 (2x 1)2 2

(x 1) (x 1)(x 1)c)

2 4

2 2 2 2 2 2

2 2 2 22

2 2 2 2 2

x 9 x 6x 9 2x 18 x 6x 9 3 x 6x 9 x 2x 3a)

3 6 6 6 6 2

x x 4 16 x 16 x 4 17 x 16 xb) 1 (4x 4x 1)

4 4 4

x 2x 1 x 1 2x 4x 2 x 1 3x 4x 1c)

2 4 4 4 4



b) (16x

2 + 8xy + y

2) - (16x

2 - 8xy + y

2) = 16x

2 + 8xy + y

2 - 16x

2 + 8xy - y

2 = 16xy

c) (x + 3) - (x2 - 4) = x + 3 - x

2 + 4 = -x

2 + x + 7

d) 3x2 - 6x - 2x + 4 + x

2 - 2x + 1 = 4x

2 - 10x + 5

159

Expresa en forma reducida los siguientes desarrollos de identidades notables: a) x

2 + 2x + 1

b) 4x2 - 12x + 9

c) x4 + 6x

2 + 9

d) x2 - 9

e) 4x4 - 4x

2 + 1

Solución: a) (x + 1)

2

b) (2x -3)2

c) (x2 + 3)

2

d) (x - 3) (x + 3) e) (2x

2 - 1)

2

160

Desarrolla las siguientes identidades notables: a) (10x

5y

2 - 3y

3)2

d) (-6 + 2x

2 )2

Solución:

a) 100x10

y4 60x

5y

5 + 9y

6

d) 36 24x

2 + 4x

4

161

Completa la expresión para conseguir el desarrollo de identidades notables de la forma (a + b)2 ó (a b)

2:

a) x

2 + ... + 9

b) x2 - ... + 9

c) x2 + 12x + ...

d) x2 - 12x + ...

e) x4 + 18x

2 + ...

f) x4 - 18x

2 + ...

Solución: a) x

2 + 6x + 9 = (x + 3)

2

b) x2 - 6x + 9 = (x - 3)

2

c) x2 + 12x + 36 = (x + 6)

2

d) x2 - 12x + 36 = (x - 6)

2

23

2 2

x 3b)

4 2

x y x yc) y y

2 2

6 3

4 22

x 3x 9b)

16 4 4

x yc) y

4



e) x

4 + 18x

2 + 81 = (x

2 + 9)

2

f) x4 - 18x

2 + 81 = (x

2 - 9)

2

162

Completa para que las siguientes expresiones sean desarrollos de identidades notables e indica cuál es la identidad en cada caso: a) 9 + ... + 9x

8

b) 25x2y

4 - ... + 16a

6

c) 64a10

- 48a5 + ...

d) ... + 20z... + z

16 Solución: a) 9 + 18x

4 + 9x

8 = (3 + 3x

4)2

b) 25x2y

4 - 40xy

2a

3 + 16a

6 = (5xy

2 - 4a

3)2

c) 64a10

- 48a5 + 9 = (8a

5 - 3)

2

d) 100 + 20z8 + z

16 = (10 + z

8)2

163

Desarrolla y reduce las siguientes expresiones algebraicas: a) 2(x

2 - 3)

2 + (2x

2 - 3)

2

Solución: a) 2(x

4 - 6x

2 + 9) + (4x

4 - 12x

2 + 9) = 2x

4 - 12x

2 + 18 + 4x

4 - 12x

2 + 9 = 6x

4 - 24x

2 + 27

164

Halla una expresión para el área de estos triángulos:

Solución:

2 22 2

222 2

x xb) 1 1

3 3

25xc) 5x y 5x y 1

2

4 2 4 2 8 6 4 6 4 2 4 2 8 4

4 42 4 2 4

x 2x x 2x x 2x x 2x 4 x 2x x 2x x 2xb) 1 1 1 1

9 3 9 3 81 27 9 27 9 3 9 3 81 9

625 x 625 xc) 25 x y 25 x 1 y 1

4 4



165

Expresa en forma de identidad notable: a) x

4 - 6x

2 + 9

b) 4x2y

2 + 4xy + 1

c) 25x6 - 1

d) 4a2 + 4ab + b

2 Solución: a) (x

2 - 3)

2

b) (2xy + 1)2

c) (5x3 - 1) (5x

3 + 1)

d) (2a + b)2

166

Desarrolla y reduce las siguientes expresiones algebraicas:

b) (5a - 2b)

2 · (2a - 5b)

2 - (10a

2 + 10b

2) (10a

2 - 10b

2)

Solución:

b) (5a - 2b)

2 · (2a - 5b)

2 - (10a

2 + 10b

2) (10a

2 - 10b

2) = (25a

2 - 20ab + 4b

2) · (4a

2 - 20ab + 25b

2) -(100a

4 - 100b

4) =

= 100a3 - 500ab + 625a

2b

2 - 80a

2 - 400ab

3 - 500

167

Obtén el desarrollo de las siguientes expresiones algebraicas y redúcelas: a) [(1 + 3x

3)2 + (2x

2 - 3)

2] · (x + 1)

2

Solución:

2

2 2

4x 3 4x 3 16x 9a)

2 2

5x 7 25x 70x 49b)

2 2

21 1 1

a) x x x2 2 2

22y 2y y

c) 3x 3x 3x3 3 3

2 2 2 2 21 1 1 1a) x x x x x x x 2x

4 4 4 4

22y 2y y

c) 3x 3x 3x3 3 3

22 2

2 2

1 1b) x x

2 2

x y xc) y

2 3 3



a) [1+ 6x

3 + 9x

6 + 4x

4 - 12x

2 + 9] · (x

2 + 2x + 1) = (9x

6 + 4x

4 + 6x

3 - 12x

2 + 10) · (x

2 + 2x + 1) =

= 9x8 + 18x

7 + 13x

6 + 14x

5 + 4x

4 - 18x

3 - 2x

2 + 20x + 10

168

Expresa el área sombreada ayudándote de las identidades notables:

Solución:

169

Completa la expresión para conseguir el desarrollo de identidades notables de la forma (a + b)2 ó (a - b)

2:

a) x

2 + x + ...

b) x2 - x + ...

c) 4x2 - ... + 36

d) ... + 6x + 4

Solución:

c) 4x

2 - 24x + 36 = (2x - 6)

2

2 2

2 2 2 4 2

2 2 2 4 3 2 2 3 42

1 1 1 1b) x x x x 2x 4 x 2x

4 4 2 4

x xy y x 2xy x 11x y 157 x y 11xy yc) y

4 3 9 9 3 36 54 324 27 9

2 2 2 2 2xy xy

x y 4 x 2xy y 4 x y2 2

2xe) ... 49

49

2

2

2

2

1 1a) x + x + x

4 2

1 1b) x x + x

4 2



170

Halla una expresión para el área de estos polígonos:

Solución:

b) (x

2 - 7) (x

2 + 7) = x

4 - 49

171

Sabiendo que 4x2y = 3, calcula el valor de (2x

2 + y)

2 - (2x

2 - y)

2 Solución: (2x

2 + y)

2 - (2x

2 - y)

2 = 4x

4 + 4x

2y + y

2 - (4x

4 - 4x

2y + y

2) = 4x

4 + 4x

2y + y

2 - 4x

4 + 4x

2y - y

2 = 8x

2y.

Como 4x2y = 3, entonces (2x

2 + y)

2 - (2x

2 - y)

2 = 8x

2y = 2 · 4x

2y = 2 · 3 = 6.

172

¿Es el siguiente triángulo rectángulo?

Solución: Veamos si (10x + 15)

2 es igual a (8x + 12)

2 + (6x + 9)

2:

(10x + 15)2 = 100x

2 + 300x + 225

(8x + 12)2 + (6x + 9)

2 = 64x

2 + 192x + 144 + 36x

2 + 108x + 81 = 100x

2 + 300x + 225

por lo que el triángulo sí es rectángulo.

173

Obtén el desarrollo de las siguientes expresiones algebraicas y redúcelas:

22

22

9 x 3 xd) + 6x + 4 = 2

4 2

x xe) 2x 49 7

49 7

2

x 16 3 x 3

3 x 3 3 x 3 9 x 92 2a)

2 2 2

2

a) 1 x y



b) [(5a

2 + 3) (5a

2 - 3) - (a

2 + 1) (a

2 - 1)]

2

Solución:

b) [(25a

4 - 9) - (a

4 - 1)]

2 = (24a

4 - 8)

2 = 576a

8 - 388a

4 + 64

174

Resuelve las siguientes ecuaciones:

Solución:

175


Solución: a) 25 - 6x + 4 = 5x - 15 b) 6 - 3x + 10 - x = 16 - 6x c) 2x - 4 = 6x + 30 d) 7 - 4x + 4 = 2 - 6x + 2 44 = 11x 2x = 0 -4x = 34

2 22 2x xc) 1 1

3 3

2 2 2a) 1 2 x y (x y) 1 + 2x + 2y + x + 2xy + y

2 4 2 4 4 82x x 2x x 2x xc) 1 1 1

3 9 3 9 9 81

x x x 5a)

2 3 4 7

3· 1 xx 2 116b)

3 7 25 7 4

c) x 3 x x2 4 9

42x 28 x 21x 60 60a) ; 42x 28x 21x = 60 ; 7x= 60 ; x=

84 84 714 x 28 696 63 63 x 605 55

b) ; 14x + 63x = 28 696 + 63 ; 77x = 605 ; x=42 42 77 7

90 x 108 63 x 36 x 16c) ; 90x 63x 36x = 108 16 ; 9x

36 36

92 = 92 ; x=

9

6x 4a) 5 x 3

5

b) 3 2 x 10 x 16 6x

x 2 2xc) 5

3 2

d) 7 4 x 1 2 1 3x 2



2x = -7

176

Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x

2 + 2x + 1 = 0

b) x2 +3x + 2 = 0

c) -3x2 + x - 1 = 0

d) x2 + x - 6 = 0

Solución:

177

Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x + 4)

2 = 8x - 24

c) x

2 - 3x + 10 = 0

Solución:

a) x2 + 8x + 16 = 8x 24

x2 + 40 = 0

No tiene solución

17 Resuelve las siguientes ecuaciones:

34 17 7x = 4 x = 0 x =- - x=

4 2 2

2b b 4acAplicando en todos los apartados la fórmula: x se tiene:

2a

2

2

2 2 4 2 0a) x 1

2 2

3 3 8 3 1 1b) x

22 2

1 1 12c) x No tiene solución

6

1 1 24 1 5 2d) x

32 2

2 1b) 2x -2x + 0

2

2

2

4 x 4 x 1 0b)

2 2

4x 4x + 1 = 0

4 16 16 4 0 1 x=

8 8 2

3 9 40c) x= . No tiene solución.

2



8

b) (x - 2) (2 - x) - (x + 2)

2 = -40

c) -2x2 + 4x - 3 = 0

Solución:

179


Solución:

180


2 x 1 1a) (x+1)

2 2

2

2

2

2 2

2

2

x 1 1a) x + 2x + 1

2 2

2x 4 x 2 x 1 1

2 2

2x + 3x = 0

03 9 0 3 3

x= 34 4

2

b) 2x x 4 + 2x x 4x 4 = 40

2x + 32 = 0

x = 16

x= 4

4 16 24c) x= . No tie

4

ne solución.

3x 2x x 13a) 3

7 21 3 35x 1 3 3x

b) 2x 16 2

2x 2x x xc) 4 3,5

3 5 2 3

9 x 2x 63 7 x 91a) ; 9x 2x + 7x = 63 91 ; 14x = 28 ; x = 2

21 2112x 5 x 1 9 9 x 6

b) ; 12x 5x + 9x = 1 9 6 ; 16x = 16 ; x = 16 6

20 x 120 12x 15 x 10 x 105c) ; 20x 12x 15x + 10x = 120 105 ; 3x = 1

30 30

5 ; x = 5



Solución:

181


Solución:

182

Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2x - 1 = (x - 2)

2

b) (2x + 1)2 = 5x + 4

c) x = (6 - x)2

Solución: a) 2x - 1 = x

2 - 4x + 4

x2 - 6x + 5 = 0

b) 4x

2 + 4x + 1 = 5x + 4

4x2 - x - 3 = 0

3 1 xx 2a) 10

3 2

b) 4 x 3 5 :17 5

x 2 x 1 x 1 5c)

6 3 2 2

2x 4 60 9 9 x 55a) ; 2x 9x = 4 + 60 9 ; 7x = 55 ; x=

6 6 74 x 12 5 85 92

b) ; 4x = 12 5 + 85 ; 4x = 92 ; x = 2317 17 4

x 2 2x 2 3 x 3 15 14 7c) ; x 2x 3x = 2 + 2 3 15 ; 4x = 14 ; x=

6 6 4 2

6x 1 x 1a) 15x 6

2 32 x 3 4 x

b) 15 2

c) 6 x 10 3 2x 7 45

90 x 18 x 3 2x 2 36 41a) ; 90x 18x 2x = 3 2 36 ; 70x = 41 ; x=

6 6 704 x 12 20 5 x 10

b) ; 4x + 5x = 20 12 + 10 ; 9x = 18 ; x = 210 10

c) 6x 60 + 6x 21 = 45 ; 6x + 6x = 60 + 21 45 ; 12x = 36 ; x = 3

6 36 20 6 4 5x=

12 2



c) x = 36 - 12x + x

2

x2 - 13x + 36 = 0

183


a) 5(x - 2) -3(2x - 4) = 6(x - 1)

c) -3(x - 1) + x = 5(x - 2) - 2x Solución: a) 5x - 10 - 6x + 12 = 6x - 6 b) 3x + 4x - 5x = 42x + 24 c) -3x + 3 + x = 5x - 10 - 2x -7x = -8 -40x = 24 -5x = -13

184


Solución:

11 1 48 1 7

x = 3-8 8

4

13 169 144 13 5 9x =

42 2

x 2x 5xb) 7x 4

2 3 6

8 24 3 13x x=- - x=

7 40 5 5

2

2

2 2

a) x 2 1 0

5 5 xb) x x

4 8 2

c) x x 1 x 5

2 x x 1d) x 1

3 2 3



185


Solución: a) 3(3x - 5) - 2(6 - x) = 72 b) 40 - 2(x - 1) = 30x + 15 c) 9(x - 1) + 108x - 6(x + 7) = 4(4x + 7) + 396

9x - 15 -12 + 2x = 72 40 - 2x + 2 = 30x + 15 9x - 9 + 108x - 6x - 42 = 16x + 28 + 396 11x = 99 27 = 32x 95x = 475

186


Solución:

a) 4(2x - 3) - 5(x + 1) = 2(3x - 9) + 10 b) 6x - 3 + 4x - 8 = -x + 12x - 15 d) -2(1 + 2x -3x + 3) = 5x

2

2

2

2

b b 4acSimplificando y aplicando la fórmula: x en cada apartado, se tiene:

2a

4 16 12 4 2 3a) x 4x 3 0 ; x12 2

56 36 160 6 14 4b) 8x 6x 5 0 ; x

116 162

2 4 20c) x 2x 5 0 ; x . No tiene s

2

2

olución

4 16 16 4d) x 4x 4 0 ; x 2

2 2

3x 5 6 xa) 12

2 3x 1 1

b) 4 3 x5 2

x 1 x 7 4x 7c) 3x 11

4 6 9

27 475 x = 9 x= x= 5

32 95

2x 3 x 1 3x 9 1a)

5 4 10 2b) 2x 1 3 4 x 2 x 3 4x 5

c) 2 1 2x 3 x 1 5x



8x - 12 - 5x - 5 = 6x - 18 + 10 10x - 11x = -15 + 11 -2 - 4x + 6x - 6 = 5x -3x = 9 -x = -4 -3x = 8

187

Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 6x

2 + x - 2 = 0

d) x

2 - 5x = 5 - x

Solución:

188


Solución: a) 3(3x - 1) - (x - 3) = 12x + 10(x - 2) - 30 9x - 3 - x + 3 = 12x + 10x - 20 - 30 8x = 22x - 50 -14x = -50

b) 10(3x + 1) - 2(2x + 3) + 20 = 12x -10(x - 1) 30x + 10 - 4x - 6 + 20 = 12x - 10x + 10 26x + 24 = 2x + 10

8x=-3 x = 4 x=-

3

3b) x 2

x1

c) x- x 5 02

2b b 4acSimplificando y utilizando la fórmula: x= se tiene:

2a

2

161 1 48 1 7 212a) x

2812 12312

2 4 12 2 4 1b) x + 2x 3 = 0 ; x

32 2c) x = 5 y x = 1

3x 1 x 3 x 2a) 2x 5 1

2 6 3

2 x 11 2x 3 3xb) 3x 1 1

2 10 5 4

50 25x =

14 7



24x = -14

189


Solución:

190


Solución:

14 7x =- -

24 12

2

2

2

7x 6a) x x

4b) x x 3 6 3 x 1

c) x 3 x 1 5 2x

3x x 2d) x 1

8 4

2

2

2

2

b b 4acSimplificando y utilizando luego la fórmula: x en cada apartado, se tiene:

2a

16211 121 96 11 5 8a) 4x 11x 6 0 ; x

6 38 88 4

6 36 36b) x 6x 9 0 ; x 3

2

1 1 8 1 3c) x x 2 0 ; x

2 2

2

21

6 36 48d) 3x 2x 4 8x 8 ; x . Sin solución

6

3x 1a) 1 x 2

5 31 5x 1

b) x 32 4

x 1 2x 3c) 2 x

3 61

d) x 1 2 2 x 13



a) 9x - 15 = 5(x + 2) b) 2x - 12 = 5x - 1 c) 12 - 2(x - 1) = 2x + 3 - 6x d) x + 1 - 6 = 6x - 6 9x - 15 = 5x + 10 -3x = 11 12 - 2x + 2 = -4x + 3 1 = 5x

191

Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x (x + 3) + 5 = 1 - x b) 2x

2 + 3x = 5

c) 3x + 2x2 = -3

d) (x - 4) (x + 1) = 0 Solución:

192


Solución: a) 5x - 4x = 20 b) 9x - 1 - 2x = 3 c) x - 3 - 10x = 3x + 2 d) 5 - 6 + 3x = 2x - 2 - x + 1 x = 20 7x = 4 -12x = 5

11 1 4x = 25 x=- 2x =-11 x =

3 525

x= 4

11 x =-

2

2b b 4acAplicando la fórmula: x después de simplificar cuando sea necesario se tiene:

2a

2

2

2

4 16 16 4a) x + 4x + 4 = 0 ; x 2

2 24

13 9 40 3 7 4b) 2x + 3x 5 = 0 ; x10 54 44 2

3 9 24c) 2x + 3x + 3 = 0 ; x . No tiene solución

4d) x = 4 y x = 1

x xa) 1

4 51 2x

b) 3x 13

1 3xc) x 3 5x 1

2 2d) 5 3 2 x 2 x 1 x 1



2x = 0

193

Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución:

Solución:

194

Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción:

Solución:

195

Resuelve por reducción:

Solución:

196

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, utilizando el método de sustitución:

Solución:

4 5x x = - x = 0

7 12

253y12x

0yx

2311

253xy253x11xx12

253yx12

yx

118y7x

274y3x

6x 8y 54 65x 5

7x 8y 11 1327 3 513x 65

y 34

7y2x

52yx

325y25x

13

3y

3y3

7yx2

10y4x2

7yx2

5y2x

202y4x

102y2x



197


Solución:

198


Solución:

199

Resuelve el siguiente sistema por el método que te parezca más adecuado:

Solución: Un posible método de solución:

200


x y 5 ; 4 · (y 5) 2y 20 ; 4y 20 2y 20 ; 2y 0 ; y 0; x 0 5 ; x 5

72b5a

53b2a

5 3b 5 3ba 5 · 2b 7 ; 25 15b 4b 14 ; 11b 11 ;

2 2

11 5 3 · ( 1)b 1; a 1

11 2

52tx

72tx

x 2t 5 ; (2t 5) 2t 7 ; 4t 12 t 3; x 2 3 5 1

14y6x

1yx

y 1 x6 x 4(1 x) 1 6 x 4 x 4 1 10 x 5

6 x 4 y 1

1x

21 1

y 1 x 12 2

20y5x

202y3x




201


Solución:

202


Solución:

203


7

40

7

20520y

7

20x

x72002040x10x320x)52(20x320yx5

20y2x3

110y3x

105y9x

21

19

3

35

95

3

1)35

1310(

3

1y10x

35

13y

13y35

3y30x9

10y5x9

273y4x

165y3x

55

25

5

3)3·(16

5

x316y

329

87x

87x29

135y15x20

48y15x9

0y4

3x

180

53

5

3y

3

4x




204



205



Sistema incompatible.

206


53 14x 3y 53 3 x x

3 159 34x 533 5 180 4 240 x 81x 53 13 x 33 5 180

1y 0 3y44 4

5

8

5

y

5

7x

20

61

4

5y

5

9x

1178y

1x

x13913961x175200x3620

61

4

x)75(8

5

x9x78y

5

8

5

y

5

x7

20

61

4

y5

5

x9

483y6x

302y4x

Imposible!¡1615x216y

x215y

48y3x6

30y2x4

1,47y5x

2,95y2x




207


Solución:

208


Solución:

209

Resuelve:

0,35

0,722,9y

0,739

27,3x

x3927,37x25x1420,37

1,4x5

5

x22,9

7

1,4x5y

5

x22,9y

1121y8x6

1yx

2

29

2

711x29;11

2

7x21x8;11)

6

121(xx8;

6

1xy

3

1y;

6

2

6

13

6

1

2

1y;

2

1

292

29

x

152y2

5x

8y2

3x

52

10

2

2316y2;x30x32;15

2

x632x5;15)

2

x3162(

2

x5;

2

x316y



Solución:

210


Solución:

211

Resuelve:

Solución:

212


122yx

54

y

2

x

3

28

3

812

3

42·12x

3

4

3

2·2y

22

y3

12y2x

102

yx

1,470,3y2,3x

8,813,1y2,5x

2,3 x 1,47 23 x 14,7 23 x 14,7 7,5 x 71,3 x 45,57y ; 2,5 x 3,1( ) 8,81 ; 8,81

0,3 3 3 3

2,6y0,3

1,47(0,3)2,3y0,3;

63,8

19,14x19,14x63,8;26,4345,57x63,8

32

y

3

5x

54

3y

3

2x

35

2)3·(3

5

)2

y3·(3

x

419

19·4y

194

y19

62

y2

3

x10

254

y15

3

x10



Solución:

213


Solución:

214

Pablo reparte su paga semanal de la siguiente forma: la tercera parte la gasta en el cine, con la sexta parte se compra refrescos y chucherías, reserva la cuarta parte para otros gastos y ahorra 4 euros. ¿Cuánto le pagan a la semana? Solución: Llamando x a su paga semanal:

4x + 2x + 3x + 48 = 12x 48 = 3x x = 16 euros le pagan a la semana.

215

Un billete de metro vale 0,3 € menos que un billete de autobús, el billete de autobús vale el doble que el de metro. Averigua el precio de cada billete. Solución: Supongamos x = billete de metro, y = billete de autobús.

El billete de metro vale 0,3 € y el de autobús 0,6 €.

8,52y7,5x

4y3,5x

y 4 3,5x 7,5x 2(4 3,5x) 8,5 ; 7,5x 8 7x 8,5 ; 0,5x 0,5 x 1; y 4 3,5 · 1 0,5

3b3

23a

0b3

1a

5

3

9b30b39;015

b5b29

3

b

15

b29;0b

3

1)

9

b29(

5

3;

9

b29

3

b3

23

a

9 9 2 ( 3) 9 6 15 5b b 3; a a

3 9 9 9 3

x44

x

6

x

3

x

x y 0,3 ; x 2x 0,3; 0,3 2x x x ; y 2 0,3 0,6

y 2x



216

Solución: Como entre los dos agudos deben sumar 90:

Por tanto los ángulos miden: 90, 40 y 50.

217

Gorka tiene monedas en ambos bolsillos de su pantalón. Si pasase dos del derecho al izquierdo, habría el mismo número de monedas en cada bolsillo. Si pasase tres del izquierdo al derecho, tendría en éste el doble que en el otro. ¿Cuántas monedas tiene Gorka en cada bolsillo? Solución: Sea x el número de monedas del bolsillo derecho e y el del izquierdo. Veamos qué ocurre al mover de un bolsillo a otro:

instante bolsillo derecho bolsillo izquierdo

inicio x y

1er paso x -2 y + 2

2º paso x + 3 y -3

De esta tabla, aplicando las otras condiciones, obtenemos:

Gorka tiene 17 monedas en el bolsillo derecho y 13 en el izquierdo.

218

A Ernesto sus padres le ofrecen como premio cierta cantidad por cada sobresaliente y tres euros menos por cada notable. Al terminar el curso obtuvo 2 sobresalientes y 4 notables, siendo el premio de 60 euros. ¿Cuánto le dieron por cada sobresaliente? Solución: Llamando x a la cantidad que le dieron por cada sobresaliente: 2x + 4(x - 3) = 60 2x + 4x - 12 = 60 6x = 72

219

El cociente de la división de dos números naturales es 8, el resto 66. ¿Podrás calcularlos si además te digo que su diferencia es 570? Solución: D = d · C + R, donde R es el resto. Si x es el primer número e y es el segundo, tenemos:

Halla el valor de cada uno de los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que,

5de sus ángulos agudos, uno mide los del otro.

4

5x x 90 ; 4x + 5x = 360 ; 9x = 360 ; x = 40

4

50404

5

174yx

13y9y24y

9y2x

4yx

3)2(y3x

2y2x

72x 12 euros por cada sobresaliente.

6



220

Un padre tiene 41 años y su hijo 7. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo sea la tercera parte de la del padre? Solución: Si x son los años que han de pasar: 41 + x = 3(7 + x) ; 41 + x = 21 + 3x ; 20 = 2x ; x = 10 años tienen que pasar.

221

Una persona ha leído un libro de 100 páginas en 3 días. El primer día leyó 20 páginas más que el segundo y el tercer día el triple de las que había leído el día anterior. ¿Cuántas páginas leyó cada día? Solución: Llamando x a la que lee el 2º día: El primer día lee 20 + x. El segundo día lee x. El tercer día 3x. 20 + x + x + 3x = 100 ; 5x = 80 ; x = 16 el 2º día; 36 el 1º y 48 el 3º.

222

Akira aceptó un trabajo con las siguientes condiciones: 70,56 € por día trabajado con una penalización de 35,28 € por los días que no asista (por supuesto, esos días no cobra). Después de trabajar durante 58 días, finaliza el trabajo y percibe 3 034,08 €. Calcula los días que trabajó y los que no. Solución: Días que trabaja = x, días que no va = y. En total 58 días, luego:

En total trabajó 48 días y no asistió 10 días.

223

Si al doble del dinero que tiene Alba le restamos el quíntuple de lo que tiene Bea, el resultado es 25 €. Si triplicamos lo que tiene cada una y lo sumamos, el resultado es 27 €. ¿Quién tiene más dinero? Solución: Sea x el dinero de Alba e y el dinero de Bea.

La que tiene más dinero es Alba, y Bea debe 1 €.

64272570y570x

727

504y

504y7

570yx

66y8x

570yx

66y8x

x y 5870,56 x 35,28(58 x) 3 034,08 105,84 x 5080,32

70,56 x 35,28 y 3 034,08

5080,52x 48

105,84

y 58 x 58 48 10

13

10327

3

x327y

1021

210x

210x21

135y15x15

75y15x6

27y3x3

25y5x2



224

Para enmarcar una ventana rectangular necesito 8 m de perfil de aluminio. El precio del perfil horizontal es 5 €/m, el perfil vertical es 10 € y el precio total del marco es 50 €. ¿Qué medidas tiene la ventana? Solución: Si x es la dimensión horizontal e y la dimensión vertical:

Las dimensiones son 3 m horizontal y 1 m vertical.

225

Si pesamos a Xaro y a su gata, Ruth, pesan 60 kg. Si lo que hacemos es pesar a su hermana Lúa con Ruth, el peso es 56 kg. Xaro y Lúa juntas pesan 102 kg. Calcula el peso de cada una. Solución: Llamamos x a lo que pesa Xaro, y a lo que pesa Lúa y z a lo que pesa la gata Ruth.

Luego, Xaro pesa 53 kg, Lúa 49 kg y Ruth 7 kg.

226

Hace diecinueve años, la edad de Emma era el doble que la de su hermana, y dentro de once años la edad de la hermana será siete novenas partes de la de Emma. Calcula sus edades. Solución: Planteamos el problema con los datos que tenemos:

Emma hermana

hoy x y

hace 19 años x -19 y -19

dentro de 11 años x + 11 y + 11

Presentemos ahora el sistema, a la vista de estos datos:

Emma tiene 43 años y su hermana 31.

227

Se quieren mezclar dos clases de café de 7 y 9 euros el kilo respectivamente para obtener una mezcla de 8,5 euros el kilo. ¿Qué cantidad tiene que haber de cada clase para obtener 48 kg de mezcla? Solución:

Si x son los kilos de café de 7 euros, del de 9 euros habrá 48 x. Igualando el precio:

;50x2080x10;50x)20(4x10;x42

x28y;

5010y)(25x)(2

8y2x2

134y;3x;x1030

106x 53kg

x z 60 x z 60 x y 102 2y z 56 y z 56 x y 4 y x 4 53 4 49kgx y 102 z 60 x 60 53 7kgx y 4 2x 106

431931219y2x

315

155y

155y5

22y9x7

133y14x7

22y9x7

19y2x

11)(x9

711y

19)2(y19x



7x + 9(48 - x) = 48 · 8,5 7x + 432 - 9x = 408 24 = 2x x = 12 Habrá entonces 12 kilos del de 7 euros y 48 - 12 = 36 kg del de 9 euros.

228

Araceli ha comprado varios cuadernos iguales por 40 euros. Si le hubieran descontado un euro en cada uno habría podido comprar dos más. ¿Cuántos cuadernos ha comprado? Solución:

De las dos, la solución negativa no tiene sentido, luego ha comprado 8 cuadernos.

229

En un año no bisiesto, la tercera parte de lo que queda de año es igual al doble de lo que habrá transcurrido dentro de 13 días. ¿Qué día es? Solución: Si x son los días transcurridos, quedan 365 - x.

365 x = 6x + 78 287 = 7x x = 41 Han transcurrido 41 días, luego es 10 de febrero.

230

Cuando Teresa le preguntó a su madre en el tren por los kilómetros que faltaban para llegar, ésta respondió: “El doble de los que faltan para llegar a la próxima parada, pero cuando llevemos otros 8 km ya sólo faltará el triple”. ¿Cuántos kilómetros faltaban para llegar? Solución: Llamando x a los kilómetros que faltan para la próxima parada, faltan 2x para llegar. Cuando hayan recorrido otros 8 km, faltaran x - 8 para la próxima parada y 2x - 8 para llegar, luego : 2x - 8 = 3(x - 8) 24 - 8 = x x = 16 16 km faltan para la próxima parada y para llegar faltan 32.

231

Una madre, para animar a su hijo a estudiar matemáticas le hace la siguiente proposición: “Por cada ejercicio que hagas bien te daré un euro y por cada uno que hagas mal tú me darás medio euro”. Si después de hacer 25 ejercicios el hijo tiene 13 euros, ¿cuántos ejercicios hizo bien? Solución: Si x son los ejercicios que hizo bien, los que hizo mal son 25 - x.

2 2

40 40Si ha comprado x, por cada uno ha pagado , con el descuento habría pagado 1 por cada uno de los x + 2 que

x xpodría comprar, luego:

401 x 2 40 ; 40 x x 2 40 x ; 40 x 80 x 2x 40 x ; x 2x 80 0

x

2 4 320 2 18 8x

102 2

13)2(x3

x365



Luego hizo 17 ejercicios bien.

232

En un principio todos los alumnos de 2º A iban a ir de excursión pagando entre todos el autobús, cuyo precio era de 156 euros, pero a última hora dos de ellos no pudieron ir, por lo que cada uno tuvo que pagar medio euro más. ¿Cuántos alumnos son en 2º A? Solución:

Como la solución negativa no tiene sentido en este problema, en 2º A son 26 alumnos.

233

Una piscina rectangular de 25 metros de larga y 15 de ancha, está rodeada por un pasillo de césped de anchura uniforme. Si el área de éste es de 225 m

2, ¿cuál es su anchura?

x 25 15

Solución: El rectángulo exterior mide 25 + 2x metros de largo y 15 + 2x de ancho. El área del césped es la diferencia de las áreas de los rectángulos exterior e interior, por tanto:

234

Interpreta esta representación del número de libros que leen al año los españoles.

173

51x

51x3

26x25x2

13x252

1x

2

156 1Si en 2º A hay x alumnos, fueron de excursión x 2 y cada uno pagó euros, luego:

x 2

156 1 312 x 2 4 2496 2 50 26x 2 156 ; 156 1 156 ; 624 x 2x 0 ; x

24x 2 x 2 2 2

2 225 2x 15 2x 25 15 225 ; 375 50x 30x 4x 375 225 0 ; 4 x 80x 225 0

8

1802

5

8

20

8

10080

8

3600640080x

5La solución negativa no es válida en este problema, luego la anchura del pasillo es de 2,5 metros.

2



% libros

Solución: La gráfica se explica por sí misma, la inmensa mayoría no lee ni un libro al año.

235

A la vista de este pictograma, ¿qué puedes afirmar del número de reparaciones que realizaron cada uno de estos talleres durante el año pasado?

Garaje Lolo Talleres Pepa Auto-reparadores unidos Solución: Sólo podemos afirmar que Talleres Pepa fue el taller que más reparaciones efectuó, seguido de Auto-reparadores unidos y que en último lugar se situó Garaje Lolo.

236

A la vista de esta tabla, realiza una interpretación gráfica:

precipitaciones días

(0- 150cc) 6

(150-250cc) 4

(250-300cc) 1

(300-500cc) 5

(500-1 400cc) 15

Solución: Un posible gráfico: días



237

Interpreta estos datos con un gráfico:

nº hermanos alumnos

0 5

1 1

2 10

3 3

4 4

5 1

Solución: Una representación sería: Nº hermanos

238

Los sueldos de un grupo de personas son los que aparecen en la tabla adjunta:

< 400€ 400-600€ 600-800€

1000 - 1200€

> 1200€

60 23 120 50 10

Realiza un pictograma que explique estos datos. Solución: Una posible representación, sería: Sueldos



euros

239

Realiza una tabla de frecuencias con los siguientes datos, incluyendo los porcentajes: 250 260 220 270 260 260 230 240 250 260 220 270 250 250 240 270 260 220 250 260 240 260 260 240 260 240 250 250 260 230 240 260 220 260 270 240 260 250 240 230 240 220 240 260 250 260 270 220 260 240 250 230 220 260 260 230 260 Solución:

x f %

220 7 12,3

230 5 8,8

240 11 19,3

250 10 17,5

260 19 33,3

270 5 8,8

240

Agrupa los siguientes datos en seis clases: 755, 760, 775, 771, 781, 795, 745, 741, 762, 799, 771, 765, 765, 760, 771, 778, 785, 780, 791, 746, 764, 790. Solución:

clase f

[740, 750) 3

[750, 760) 1

[760, 770) 6

[770, 780) 5

[780, 790) 3

[790, 800) 4

241

El siguiente es el gráfico de las temperaturas de un enfermo en las últimas 12 horas. Si se considera que con una temperatura igual o mayor a 37,5º se tiene fiebre y por debajo de 35º hipotermia, ¿ha sufrido hipotermia en algún momento? ¿Cuántas veces tenía fiebre cuando le tomaron la temperatura?



Solución: Nunca ha estado por debajo de 35º, luego no ha tenido hipotermia. Tenía fiebre tres veces, a la 5ª, 9ª y 10ª horas.

242

Mis notas en los últimos ejercicios de Matemáticas han sido los siguientes: 5, 6, 5, 4, 1, 7, 9, 6, 5, 4, 6, 6, 8 Realiza un gráfico en el que aparezcan mis notas e interpreta el resultado. Solución: Nota

Día A la vista del gráfico, parece que mi trayectoria es un poco irregular, aunque la tónica es obtener más de cinco, hay días en los que no trabajo lo suficiente.

243

Agrupa estos datos de una encuesta de edades de lectores de una revista en intervalos de medida 10: 68, 49, 56, 63, 58, 77, 65, 61, 21, 41, 77, 59, 60, 39, 36, 58, 45, 69, 65, 61, 50, 75, 49, 62, 20, 56, 23, 70, 67, 40, 57, 30, 63, 46, 62, 51, 47, 71, 68, 36, 65, 64, 50, 45, 42, 61, 25, 40, 60, 68, 29, 27, 54, 48, 31, 26, 66. Solución:

edad lectores

[20-30) 7

[30-40) 5

[40-50) 11

[50-60) 10

[60-70) 19

[70-80) 5

244

En un ejercicio de Matemáticas, los resultados podían ser Muy Bien (MB), Bien (B), Regular (R) y Mal (M). Recuéntalos y represéntalos en un diagrama de sectores.

35

36

37

38

39

40

41

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13



Son los siguientes: B, B, B, B, M, R, B, B, MB, R, M, MB, B, B, R, M, MB, B, B, B, B, R, M, MB, B, R, R, MB, B, B, B, M Solución: Ordenamos los datos: M; M; M; M; M; R; R; R; R; R; R; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; B; MB; MB; MB; MB; MB. Tenemos, para un total de 32 alumnos:

resultado alumnos %

M 5 5/32 = 15,63%

R 6 6/32 = 18,75%

B 16 16/32 = 50%

MB 5 5/32 = 15,63%

Resultado de Matemáticas

245

Los siguientes datos se corresponden a la temperatura durante un mes de verano en determinada ciudad. Organízalos en intervalos y haz una representación de los mismos. 30, 31, 29, 21, 20, 31, 31, 35, 26 25, 31, 30, 19, 25, 31, 38, 29, 36, 30, 29, 28, 22, 26, 35, 29, 26, 30, 29, 35, 25, 22. Solución: Ordenamos los valores: 19; 20; 21; 22; 22; 25; 25; 25; 26; 26; 26; 28; 29; 29; 29; 29; 29; 30; 30; 30; 30; 31; 31; 31; 31; 31; 35; 35; 35; 36; 38 Puesto que la temperatura menor es 19 y la mayor 38, creamos las siguientes clases:

Clases días

[15º-20º) 1

[20º-25º) 4

[25º-30º) 12

[30º-35º) 9

[35º-40º) 5

Una posible representación: días



246

A la vista de este gráfico, deduce qué emisora de TV tiene mayor audiencia. Si hoy están viendo la tele 6 000 000 de personas, ¿cuántas estarán viendo el programa de menos audiencia? Audiencia

Solución: Evidentemente, Canal Digital tiene la mayor audiencia, con un 40,38%. El canal de menos audiencia es AutoTV, con un 3,85%, que representa:

247

El siguiente gráfico representa las cantidades depositadas en una oficina bancaria por diferentes familias. Da una estimación de a cuánto asciende el total de los depósitos.

Solución: Tomando como referencia el punto medio de cada clase, podemos estimar que habrá: D = 500 · 6 + 1500 · 9 + 2500 · 5 + 3500 · 12 + 4500 · 3 + 5500 · 9 = 134 000 €.

248

Los siguientes datos se corresponden con el dinero que llevan en el bolsillo 20 personas que pasaban por la calle, a las que les hemos preguntado. Agrupa los datos en intervalos y haz una representación de los mismos. 18,1; 10,40; 9,29; 21,49; 69,93; 28,7; 21,40; 18,32; 22,15; 70,12; 25,24; 44,95; 37,25; 81,20; 102,93; 35,89; 47,23; 68,94; 96,11; 113,64. Solución: Ordenamos los datos de menor a mayor: 9,29; 10,40; 18,1; 18,32; 21,40; 21,49; 22,15; 25,24; 28,7; 35,89; 37,25; 44,95; 47,23; 68,94; 69,93; 70,12; 81,20; 96,11; 102,93; 113,64. Hay 20 elementos; el menor es 9,29; el mayor 113,64. Creamos las siguientes clases:

Dinero (€) personas

3,85 6 000 000Audiencia = 231 000 personas.

100

0

2

4

6

8

10

12

14

[0-1000€) [1000-2000€)

[2000-3000€)

[3000-4000€)

[4000-5000€)

[5000-6000€)



[5-30) 9

[30-55) 4

[55-80) 3

[80-105) 3

[105-130) 1

La representación será: ¿Cuánto dinero lleva?

249

A la vista de la siguiente representación de las horas que dedicamos a las Ciencias Naturales cada día, calcula la media aritmética, la moda y la mediana. Horas dedicadas a las Ciencias Naturales Alumnos

Horas

Solución: Hagamos una tabla con los datos:

tiempo(h) xi

Alumnos fi Fi xi·fi

0 5 5 0

1 4 9 4

2 5 14 10

3 6 20 18

4 1 21 4

N=21 36



250

Si tienes esta representación del número de libros que leen al año los españoles, calcula la varianza y la desviación típica. %

libros Solución: Hacemos una tabla: Consideremos que el valor numérico del grupo “>5” es 5 y agrupemos los datos:

Libros (xi) %(fi) Fi xi·fi

0 70 70 0 -0,53 0,2809 19,663

1 15 85 15 0,47 0,2209 3,3135

2 10 95 20 1,47 2,1609 21,609

3 3 98 9 2,47 6,1009 18,3027

4 1 99 4 3,47 12,0409 12,0409

5 1 100 5 4,47 19,9809 19,9809

100 53 94,91

251

Si tienes esta representación del número de libros que leen al año los españoles, calcula la media aritmética, la moda y la mediana. %

s52min42h11,7121

36X

1014

10,52

212M

3M0

ix x 2

ix x 2

·i ix x f

0,53X

0,9742σ0,9491σ2



libros

Solución: Consideremos que el valor numérico del grupo “>5” es 5 y agrupemos los datos:

Libros(xi) %(fi) Fi xi·fi

0 70 70 0

1 15 85 15

2 10 95 20

3 3 98 9

4 1 99 4

5 1 100 5

N=100 53

252

A la vista de la siguiente representación de las horas que dedicamos a las Ciencias Naturales cada día, calcula la varianza y la desviación típica. Horas dedicadas a las Ciencias Naturales Alumnos

.libros/año0,53100

53X

5070

502

1000M

0M0



Solución: Hacemos una tabla:

Tiempo (h) xi

Alumnos fi Fi xi·fi xi

2 xi

2·fi

0 5 5 0 0 0

1 4 9 4 1 4

2 5 14 10 4 20

3 6 20 18 9 54

4 1 21 4 16 16

21 36 94

253

Calcula la varianza y la desviación típica de las precipitaciones reflejadas en la siguiente tabla:

precipitaciones días

[0-150cc) 6

[150-250cc) 4

[250-300cc) 1

[300-500cc) 5

[500-1 400cc) 15

Solución: Comencemos:

Clases Marca (xi) días Fi xi·fi

[0-150cc) 75 6 6 450 498,3871 248389,6982 1490338,1894

[150-250cc) 200 4 10 800 373,3871 139417,9240 557671,6961

[250-300cc) 275 1 11 275 298,3871 89034,8595 89034,8595

[300-500cc) 400 5 16 2000 173,3871 30063,0853 150315,4266

[500-1 400cc) 950 15 31 14250 376,6129 141837,2789 2127559,1831

31 17775 4414919,3548

σ2 = 142416,7534 σ = 377,3814

254

En un grupo de 2º de ESO hemos preguntado a los alumnos y alumnas por el número de horas diarias que dedicaban a las Matemáticas. Los resultados fueron: 1, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 3, 0, 2, 4, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 0. Calcula la varianza y la desviación típica. Solución: Organizando y ordenando los resultados, obtenemos: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4

22X 1,7143 X = 2,9388 = 1,5374 = 1,2399

ix x2

ix x2

·i ix x f

X 573,3870968



O, lo que es lo mismo:

Tiempos (xi) Alumnos (fi)

Fi xi·fi

0 5 5 0 1,2917 1,6684 8,3420

1 11 16 11 0,2917 0,0851 0,9358

2 5 21 10 0,7083 0,5017 2,5087

3 2 23 6 1,7083 2,9184 5,8368

4 1 24 4 2,7083 7,3351 7,3351

24 31 24,9583

255

En un grupo de 2º de ESO hemos preguntado a los alumnos y alumnas por el número de horas diarias que dedicaban a las Matemáticas. Los resultados fueron: 1, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 3, 0, 2, 4, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 0. Calcula la media aritmética, la moda y la mediana. Solución: Organizando y ordenando los resultados, obtenemos: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4 O, lo que es lo mismo:

Tiempos (xi) Alumnos (fi) Fi xi·fi

0 5 5 0

1 11 16 11

2 5 21 10

3 2 23 6

4 1 24 4

N=24 31

En consecuencia:

256

En mi clase nos han preguntado cuántas horas vemos la tele al día. Las contestaciones que hemos dado han sido: 1, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1,5, 0, 2, 0,5, 1, 0, 0, 1, 1, 2,5, 1,5, 1, 1,5, 1, 1, 0. Calcula la media aritmética, la moda y la mediana. Solución:

ix x2

ix x2

·i ix x f

X= 1,2917

2 1,0198 = 1,0399

s30min17h11,291724

31X

1216

122

N1M

1M0



Ordenando:

Horas (xi) Alumnos (fi) Fi xi·fi

0 5 5 0

0,5 1 6 0,5

1 10 16 10

1,5 3 19 4,5

2 4 23 8

2,5 1 24 2,5

N=24 26

Entonces:

257

En mi clase nos han preguntado cuántas horas vemos la tele al día. Las contestaciones que hemos dado han sido: 1, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1,5, 0, 2, 0,5, 1, 0, 0, 1, 1, 2,5, 1,5, 1, 1,5, 1, 1, 0. Calcula la varianza y la desviación típica. Solución: Ordenando:

Horas Alumnos Fi xi·fi

0 5 5 0 1,0625 1,1289 5,6445

0,5 1 6 0,5 0,5625 0,3164 0,3164

1 10 16 10 0,0625 0,0039 0,0391

1,5 3 19 4,5 0,4375 0,1914 0,5742

2 4 23 8 0,9375 0,8789 3,5156

2,5 1 24 2,5 1,4375 2,0664 2,0664

24 25,5 12,1563

258

A la vista de este gráfico, que representa la capacidad en m3 de los depósitos de las acequias de un grupo de

agricultores, calcula la varianza. Capacidad (m

3)

min5h11,08324

26X

1216

122

N1M

1M0

ix x2

ix x2

·i ix x f

X= 1,0625

2= 0,5065 = 0,7117



Solución: Ordenamos los datos:

Propiedad de: Capacidad (m3)

PEPE 5

ITZIAR 9

PATXI 11

XOÁN 12

ABDEL 22

LOLA 25

JULI 37

La media será:

y la varianza:

259

Los siguientes datos se corresponden con el dinero que llevan en el bolsillo 20 personas que pasaban por la calle, a las que les hemos preguntado. Agrupa los datos y calcula la varianza y la desviación típica. 18,10; 10,40; 9,29; 21,49; 69,93; 28,7; 21,40; 18,32; 22,15; 70,12; 25,24; 44,95; 37,25; 81,20; 102,93; 35,89; 47,23; 68,94; 96,11; 113,64. Solución: Ordenamos los datos de menor a mayor. 9,29; 10,40; 18,10; 18,32; 21,40; 21,49; 22,15; 25,24; 28,7; 35,89; 37,25; 44,95; 47,23; 68,94; 69,93; 70,12; 81,20; 96,11; 102,93; 113,64. Hay 20 elementos; el menor es 9,29; el mayor 113,64. Creamos las siguientes clases:

Clases Marca de clase

(xi) Personas (fi) Fi xi·fi

[5-30) 17,5 9 9 157,5 28,7500 826,5625 7439,0625

[30-55) 42,5 4 13 170 3,7500 14,0625 56,2500

[55-80) 67,5 3 16 202,5 21,2500 451,5625 1354,6875

[80,105) 92,5 3 19 277,5 46,2500 2139,0625 6417,1875

[105,130) 117,5 1 20 117,5 71,2500 5076,5625 5076,5625

3m29,177

372522121195X

108,2041298,79607

36916254841441218125X

n

X

σ 2

n

1i

2i

2

ix x2

ix x2

·i ix x f



20 925 20 343,7500

260

Los siguientes datos se corresponden a la temperatura durante un mes de verano en determinada ciudad. Organízalos en clases y calcula la varianza y la desviación típica. 30, 31, 29, 21, 20, 31, 31, 35, 26 25, 31, 30, 19, 25, 31, 38, 29, 36, 30, 29, 28, 22, 26, 35, 29, 26, 30, 29, 35, 25, 22. Solución: Ordenamos los valores: 19; 20; 21; 22; 22; 25; 25; 25; 26; 26; 26; 28; 29; 29; 29; 29; 29; 30; 30; 30; 30; 31; 31; 31; 31; 31; 35; 35; 35; 36; 38 Puesto que la temperatura menor es 19 y la mayor 38, creamos las siguientes clases:

Clases marca(xi) días(fi) Fi xi·fi

[15º-20º) 17,5 1 1 17,5 12,0968 146,3319 146,3319

[20º-25º) 22,5 4 5 90 7,0968 50,3642 201,4568

[25º-30º) 27,5 12 17 330 2,0968 4,3965 52,7575

[30º-35º) 32,5 9 26 292,5 2,9032 8,4287 75,8585

[35º-40º) 37,5 5 31 187,5 7,9032 62,4610 312,3049

31 917,5 788,7097

261

En un ejercicio de Matemáticas, los resultados podían ser Muy Bien (MB), Bien (B), Regular (R), Mal (M). Son los siguientes: B, B, B, B, M, R, B, B, MB, R, M, MB, B, B, R, M, MB, B, B, B, B, R, M, MB, B, R, R, MB, B, B, B, M Si a M le asignamos el valor 1, a R el 2, a B el 3 y a MB el 4: calcula la media aritmética, la moda y la mediana. Solución: Organicemos:

Resultado Valor (xi)

Alumnos (fi) Fi xi·fi

M 1 5 5 5

R 2 6 11 12

B 3 16 27 48

MB 4 5 32 20

N=32 85

2X= 46,25 1 017,1875 31,8934

ix x2

ix x2

·i ix x f

2X= 29,5968 25,4422 5,0440



262

En un ejercicio de Matemáticas, los resultados podían ser Muy Bien (MB), Bien (B), Regular (R), Mal (M). Son los siguientes: B, B, B, B, M, R, B, B, MB, R, M, MB, B, B, R, M, MB, B, B, B, B, R, M, MB, B, R, R, MB, B, B, B, M Si a M le asignamos el valor 1, a R el 2, a B el 3 y a MB el 4: calcula la desviación típica y la varianza. Solución: Veamos:

Resultado Valor (xi) Alumnos (fi) Fi xi·fi

M 1 5 5 5 1,6563 2,7432 13,7158

R 2 6 11 12 0,6563 0,4307 2,5840

B 3 16 27 48 0,3438 0,1182 1,8906

MB 4 5 32 20 1,3438 1,8057 9,0283

32 85 27,2188

263

Los siguientes datos se corresponden con el dinero que llevan en el bolsillo 20 personas que pasaban por la calle, a las que les hemos preguntado. Agrupa los datos y calcula la media aritmética, la moda y la mediana. 18,10; 10,40; 9,29; 21,49; 69,93; 28,7; 21,40; 18,32; 22,15; 70,12; 25,24; 44,95; 37,25; 81,20; 102,93; 35,89; 47,23; 68,94; 96,11; 113,64. Solución: Ordenamos los datos de menor a mayor. 9,29; 10,40; 18,10; 18,32; 21,40; 21,49; 22,15; 25,24; 28,7; 35,89; 37,25; 44,95; 47,23; 68,94; 69,93; 70,12; 81,20; 96,11; 102,93; 113,64 Hay 20 elementos; el menor es 9,29; el mayor 113,64. Creamos las siguientes clases:

Clases Marca de clase (xi)

Personas

(fi) Fi xi·fi

[5-30) 17,5 9 9 157,5

[30-55) 42,5 4 13 170

[55-80) 67,5 3 16 202,5

[80,105) 92,5 3 19 277,5

[105,130) 117,5 1 20 117,5

N=20 925

Regular2,6632

85X

1627

162

32B3M

B3M0

ix x2

ix x2

·i ix x f

2X= 2,65625 0,8506 0,9223



Luego:

También podemos calcular la mediana a la vista de los datos ordenados: 9,29; 10,40; 18,10; 18,32; 21,40; 21,49; 22,15; 25,24; 28,7; 35,89; 37,25; 44,95; 47,23; 68,94; 69,93; 70,12; 81,20; 96,11; 102,93; 113,64 De este modo:

€46,2520

925X

1013

102

N€42,50M

5,30M0

€.36,572

37,2535,89M

colegio portocarrero. curso 2014-2015. departamento de … · 2015-04-08 · 4 un edificio tiene 11...

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