cntrol de procesos

5/13/2018 cntrol de procesos - slidepdf.com

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U NIVERSIDAD S IMÓN B OLÍVAR D EPARTAMENTO DE P ROCESOS Y S ISTEMAS S ECCIÓN DE S ISTEMAS DE C ONTROL

I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS

P ROF . J ENNY M ONTBRUN D I F ILIPPO P ROF . Y AMILET S ANCHEZ M ONTERO



I. I NTRODUCCIÓN


J ENNY M ONTBRUN D I F ILIPPO Y AMILET S ANCHEZ M ONTERO 1

I. INTRODUCCIÓN

Para el estudio de los sistemas de control es necesario definir como proceso o sistema

físico a un conjunto de componentes que actúan conjuntamente, interactuando con el

medio. Los procesos o sistemas a estudiar en este curso, serán sistemas físicos, entre

los cuales se encuentran los siguientes.

Mecánicos (transacionales y rotacionales)

Fluídicos

Térmicos

Eléctricos

Dichos procesos pueden ser representados matemáticamente de diferentes formas,

entre las cuales podemos mencionar las siguientes.

Ecuaciones diferenciales

Función de Transferencia

Diagrama de bloques

Diagrama de flujo de señal

Los pasos a seguir por un ingeniero cuando conforta un problema de control de un

sistema dinámico son los siguientes:

Definir el sistema y sus componentes.

Formular el modelo matemático

a. Hacer una lista de las suposiciones necesarias.

b. Escribir las ecuaciones diferenciales.

Resolver las ecuaciones para las variables de salida deseadas.

Examinar las soluciones para validar el modelo matemático. Reanalizar el sistema, las suposiciones y diseñar.

A continuación se desarrollaran cada uno de los puntos mencionados que tengan

relación con la representación matemáticas de sistemas físicos..



II. M ODELAJE DE S ISTEMAS F ÍSICOS



II. MODELAJE DE SISTEMAS FÍSICOS

2.1 Utilidad

Realizar el análisis de la respuesta del sistema ante diferentes situaciones.

Diseño de procesos.

Análisis de sensibilidad a perturbaciones.

Diseño de sistemas de control.

2.2 Elementos básicos

Para el modelaje de sistemas de control se pueden identificar ciertos elementos básicos

que describen el comportamiento de los sistemas.

Fuentes de energía: elementos que proporcionan energía proveniente del medio

externo.

Almacenadores de energía: elementos capaces de almacenar y ceder energía. Son

los elementos dinámicos del sistema.

Disipadores de energía: elementos que provocan pérdidas energéticas al medio

exterior.

Transformadores de energía.

A continuación se mostraran los diferentes elementos para los distintos tipos de

sistemas.

2.3 Sistemas fluídicos

Este tipo de sistemas las variables que se manejan serán la presión P y el caudal Q.

2.3.1 Fuentes

Fuentes de presiónEntradas al sistema

Fuentes de caudal

2.3.2 Almacenadores de energía

Almacenador de energía potencial (capacitor): Un tanque almacena energía en

forma de energía potencial por la altura de la columna fluídica.






Su relación constitutiva es:

0PhgP +⋅⋅ρ= (asumiendo que trabajamos con presiones manométricas)

hgP ⋅⋅ρ=

Derivando la relación constitutiva se obtiene la relación dinámica del elemento

( )dt

hgd

dt

dP ⋅⋅ρ= (como V = h · A)

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⋅⋅= A

Vgρdtd

dtdP

Considerando ρ, g y A constantes se obtiene una relación dinámica particular para el

caso lineal, cuya variable de estado es P.

Qdt

dV

dt

dP

gρ

A==⋅

⋅( 321 uuuQ −+= )

Si se desea tener a la altura h como la variable de estado, la relación dinámica del

elemento se puede escribir como:

Qdt

dhA =⋅

Almacenador de energía cinética (Inercia): la masa de fluido encerrada en una

tubería almacena energía en forma de energía cinética

m, masa encerrada en la tubería

v, velocidad del fluido

La relación constitutiva en este caso será la cantidad de movimiento lineal:

vm p ⋅= (m = ρ · V = ρ · A · L)

vALρ p ⋅⋅⋅=

Derivando se obtendrá la relación dinámica general del elemento inercia






( )vALρdt

d

dt

dp⋅⋅⋅=

Como dP/dt es igual a la fuerza aplicada sobre m se tiene la siguiente relación general:

F =( )vALρdt

d

⋅⋅⋅(v = Q/A y P = F/A)

( )QLρdt

dPA ⋅⋅=⋅

Si la densidad es constante la relación dinámica particular para el caso lineal queda

representada por la siguiente ecuación, cuya variable de estado es Q.

dt

dQ

A

LρP ⋅

⋅= P… Presión total ejercida sobre la masa de fluido

2.3.3 Disipadores de energía

En general la relación constitutiva de estos disipadores son de la forma ∆P = f(Q), la

cual en los siguientes casos particulares es:

Pérdidas por fricción 2Q b∆P ⋅=

Pérdidas por accesorios Q b∆P ⋅= ó P bQ ∆=

2.3.4. Transformadores de energía

11

1 pA

F= 111 QAV =⋅ ; 1

1

1 pA

F= 122 QAV =⋅

Las relaciones de entrada y salida quedan como:

1

212 A

AFF ⋅=

2

112

A

AVV ⋅=

Ejemplo

Para el siguiente sistema se desea obtener un modelo matemático que lo represente.






Fuentes: u1, u2.

Almacenadores: tanque (variable de estado = P), tubería (variable de estado = Q)

Disipadores: fricción, válvula.

Las ecuaciones diferenciales que va a tener en el modelo serán igual al número de

elementos almacenadores de energía, donde las variables involucradas sean

independientes. Se plantean cada una de las relaciones dinámicas expresadas en

función de variables de estado y entradas.

Tanque Quudt

dP

gρ

A21 −+=⋅

⋅Tubería OVÁLVULAFRICCIÓN

P∆PPPdt

dQ

A

Lρ−−−=⋅

⋅

Q bQ bPdt

dQ

A

Lρ2

21 ⋅−⋅−=⋅

⋅

Las ecuaciones anteriores se conocen como una representación de estado.

2.4 Sistemas mecánicos

Este tipo de sistemas se pueden dividir en sistemas mecánicos traslacionales, donde

las variables que se manejan serán la fuerza F y la velocidad lineal v y sistemas

mecánicos rotacionales donde las variables que se manejan serán el torque τ y la

velocidad angular ω.

2.4.1 Fuentes

Traslacionales Rotacionales

Fuentes de fuerza

Fuentes de velocidad

Fuentes de torque

Fuentes de velocidad angular

2.4.2 Almacenadores de energía

Almacenadotes de energía potencial (Capacitadores)

Traslacional : Un resorte almacena energía en forma de energía potencial

x = desplazamiento relativo entre los extremos.

F = fuerza ejercida entre los extremos del resorte.

K = constante de elasticidad, constante o f(x).






La relación constitutiva de este elemento es:

F = k · x

derivando la constitutiva se obtiene la relación dinámica tomando F como la variable de

estado

( )xk dt

d

dt

dF⋅=

Para k constante la relación dinámica particular para el caso lineal es:

vk dt

dF⋅= (v es la velocidad relativa entre los extremos)

También una barra con cierta elasticidad que sufre una compresión o expansión puede

ser representada como un capacitor.

Rotacional : Resortes helicoidales también almacenan energía en forma de energíapotencial

KT = constante de elasticidad torsional.

τ = torque.

φ = desplazamiento angular entre sus extremos.

La relación constitutiva de este elemento es:

τ = KT · φ

derivando la constitutiva, para KT constante, se obtiene la relación dinámica particular

para el caso lineal , tomando τ como variable de estado

ωK dt

dτT ⋅=

Almacenadores de energía cinética (Inercias)

Traslacional: Una masa en movimiento almacena energía en forma de energía cinética.

m = masa del elemento

v = velocidad del elementoLa relación constitutiva del elemento es:

vm p ⋅=

derivando la constitutiva se obtiene la relación dinámica del elemento tomando v como

variable de estado.






( )vmdt

d

dt

dp⋅=

Para m constante se obtiene la relación dinámica particular para el caso lineal

dt

dv

mF ⋅=

Rotacional: Una masa girando almacena energía en forma de energía potencial

J = momento de inercia

ω = velocidad angular

La relación constitutiva del elemento es:

w jH ⋅=

derivando se obtiene la relación dinámica general función de la variable de estado ω

( )ω jdt

d

dt

dH⋅=

Si J es constante la relación dinámica particular para el caso lineal será:

dt

dω jτ =


Traslacional: Elementos cuya relación constitutiva tiene la forma F = f(v)

Roce con una superficie.

Resistencia al viento.

Un amortiguador.

Amortiguador

b = coeficiente de fricción viscosa

x = desplazamiento relativo entre sus

extremos.

F = fuerza aplicada.

v = velocidad entre sus extremos.

Este tipo de elemento proporciona fricción viscosa o amortiguamiento. Absorbe energía

y la disipa como calor. No almacena ni energía cinética ni potencial. Su relación

constitutiva es de la forma F = b⋅v






Rotacional: Elementos cuya relación constitutiva tiene la forma τ = f(ω)

Roce entre elementos que giran.

Resistencia al viento.

2.4.5 Transformadores de energía

22

11

LωV

LωV

⋅=

⋅= →

2

1

2

1

L

L

V

V=

22

11

FL

FL

⋅=τ

⋅=τ →

1

2

2

1

L

L

F

F=

τFR

R ωV

=⋅

⋅=

2

1

2

1

R

R τ=

τ;

1

2

2

1

R

R

ω

ω=

Ejemplo

Considere que en la figura se muestra un esquema simplificado

de una locomotora. Donde F es la fuerza impulsora, m1 y m2 lasmasa de los vagones unidos a través de un resorte y un

amortiguador (Fa = R1 Va ) y el roce con el piso se representa

como f = R2 ⋅ Vi2 (i : Vagón)

Los diferentes elementos que conforman el sistema son los siguientes:

Fuente de fuerza. (F)

Almacenadores: inercia 1 (V1), inercia 2 ( V2), capacitor (FR)

Resistencias: Amortiguador y fricción.

Se tienen 3 elementos almacenadores independientes → 3 ecuaciones de Estado (V1,

V2, FR, F)

Inercia 1 212211R

11 VR )V(VR FF

dt

dVm ⋅−−−−==






Inercia 2 222211R

22 VR )V(VR F

dt

dVm −−−=

Capacitor )VV(k dt

dF21

R −=

2.5 Sistemas térmicos

2.5.1 Fuentes

Fuentes de temperatura.

Fuentes de flujo de calor

2.5.2 Almacenadores

En este tipo de sistemas la única forma de almacenamiento de energía es almacenandocalor, lo cual puede realizarlo cualquier elemento que posea capacidad de

almacenamiento de calor. Por ejemplo una masa como la que se muestra a

continuación.

M = masa del elemento

Cp = Calor específico del elemento

T = Temperatura del elemento

q = Flujo de calor sobre el elemento

La relación constitutiva de dicho elemento será:

qTCpm =⋅⋅

derivando la expresión anterior se obtendrá la relación dinámica general tomando T

como variable de estado.

( ).

qTCpmdt

d •

=⋅⋅

Si m y Cp son constantes, se obtiene la relación dinámica particular para el caso lineal.

.q

dtdTCpm

•=⋅⋅

2.5.3 Disipadores

Se utilizan para representar mecanismos de transferencia de calor, los cuales son los

siguientes:






Conducción: transferencia de calor entre dos cuerpos sólidos:

.

T)(∆x

AK q ∆⋅

⋅=

•

Convección: transferencia de calor entre un sólido y un fluido o dos fluidos:

.

T)(Ahq ∆⋅⋅=•

Radiación: transferencia de calor entre un cuerpo y una fuente luminosa:

.

4TεK q ⋅⋅=•

Ejemplo

Considere la aleta de enfriamiento que se muestre y obtenga su modelo.

Conducción y convección.

Se divide la aleta en tres elementos y se

suponen conocidos todos los

parámetros

Variable de estado = Ti

Los diferentes elementos que conforman el sistema son los siguientes:

Fuentes: T, To

Almacenadores: T1, T2, T3

Mecanismos de transferencia: Conducción y convecciónNúmero de ecuaciones: tres

)T(Tah)T(T∆x

AK )T(T

∆x

AK

dt

dTCpm O11121

.

11

1 −⋅⋅−−⋅⋅

−−⋅⋅

=⋅⋅

)T(Tah)T(T∆x

AK )T(T

∆x

AK

dt

dTCpm O22232

.

122

2 −⋅⋅−−⋅⋅

−−⋅⋅

=⋅⋅

)T(Tah)T(T∆x

AK

dt

dTCpm

O333

.

32

3

3

−⋅⋅−−⋅⋅

=⋅⋅

2.6 Sistemas eléctricos

2.6.1 Fuentes

Fuentes de voltaje.






Fuentes de intensidad de corriente.

2.6.2 Almacenadores

Puesto que la relación constitutiva es lineal sólo se mostrarán las relaciones dinámicas.

Elemento Relación dinámica

Capacitor .

idt

dVC =

Variable de estado: V

Inductancia.

V

dt

diL =

Variable de estado: V

2.6.3 Disipadores

Este tipo de elemento solamente tiene

Relación Constitutiva

.

iR V ⋅=

2.6.4 Transformadores.

21 Vn

1V ⋅=

i1 = n . i2

n = relación de transformación

2.6.5 Leyes de corriente y voltaje de Kirchhoff

Ley de corrientes de Kirchhoff (ley de nodos). “La suma algebraica de todas las

corrientes que entran y salen de un nodo es cero”, o lo que es lo mismo “ la suma de

las corrientes que entran a una nodo es igual a la suma de las que salen del mismo”.

Ley de voltajes de Kirchhoff (ley de mallas). “La suma algebraica de los voltajes

alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero”, o, “la suma de las caídas

de voltaje es igual a la suma de las elevaciones de voltaje alrededor de una malla”.






2.7 Resumen de ecuaciones diferenciales para elementos ideales

2.7.1 Almacenadores inductivos

Inductancia fluídica

dt

dQIP21 =

Masa traslacionaldt

dvMF 2=

Masa rotacionaldt

dwJT 2=

Inercia eléctricadt

diLv 21 =

2.7.2 Almacenadores capacitivos

Capacitancia Fluídicadt

dPCQ 21

f =

Resorte trasnacionaldt

dF

K

1v 21 =

Capacitancia Térmicadt

dTCq 2

t=

Capacitancia eléctricadt

dvCi 21=


Resistencia fluídica21

f

PR

1Q ⋅=

Amortiguador traslacional 21vf F ⋅=

Amortiguador rotacional 21wf T ⋅=

Resistencia térmica 21t

TR 1q ⋅=

Resistencia eléctrica 21vR

1i ⋅=



III. L INEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE T RANSFERENCIA



III. LINEALIZACIÓN Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Para lograr representar un proceso utilizando funciones de transferencia se debe

proceder primero a mostrar como se puede linealizar de un conjunto de ecuaciones no

lineales.

3.1. Linealización

Suponga que en la siguiente figura se muestra una función no lineal que se desea

linealizar alrededor de un punto Po. Para ello se debe tomar la derivada de dicha

función y evaluarse en el dicho punto.

y = x2

pO(x0,y0) ≡ punto de operación

( )OPo xxdx

dym −=

m es la pendiente de la aproximación

lineal

La función linealizada quedará entonces,

( )OPo0 xxdx

dyyy −+= expansión hasta la primera derivada en serie de Taylor

*0

*0

xxx

yyy

=−

=−variables de perturbación ** xmy ⋅=

En forma general, si se tiene una función f 1 no lineal que depende de x variables y u

entradas

)u,...,u,u,x,...,x,x,x,x(f f n21n432111 =

La expresión lineal f 1* en el punto de equilibrio p0

*

n pn

n*

1 p1

1*

n pn

n*

1 p1

1*

1 uu

f

...uu

f

xx

f

...xx

f

f 0000 ∂

∂++∂

∂+∂

∂++∂

∂=

3.2 Función de Transferencia

Se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la

transformada de Laplace de la entrada, para las siguientes condiciones:






Condiciones iniciales iguales a cero.

Independiente de la entrada

Conocido G(s) puedo estudiar C(s) para todo C(s)

G(s) existe si el sistema es lineal e invariante en el tiempo

G es una función de s (G = f(s))

G(s) no aporta información sobre el sistema físico

Siempre se puede establecer la identificación del sistema

La función de transferencia se puede escribir en forma general como)s(D

)s( N)s(G = ,

donde D(s) = 0 se conoce como la ecuación característica del sistema. Las

soluciones de N(s) = 0 son los ceros del sistema y las soluciones de D(s) = 0 son los

polos del sistema.

3.3 Función de transferencia a lazo abierto y a lazo cerrado

Función de transferencia a lazo abierto

)s(H)s(G)s(E

)s(B.A.L.T.F ⋅==

Función de transferencia a lazo directo

)s(G)s(E

)s(C.D.L.T.F ==

Función de transferencia a lazo cerrado

H(s)G(s)1

G(s)

R(s)

C(s)F.T.L.C.

⋅+==

Ecuación característica a lazo cerrado

1 + G(s)·H(s) = 0

3.4 Sistema a lazo cerrado sometido a una perturbación






N(s) = 0 ,)s(H)s(G)s(G1

)s(G)s(G

)s(R

)s(C

21

21R

⋅⋅+⋅

=

R(s) = 0 ,)s(H)s(G)s(G1

)s(G

)s( N

)s(C

21

2 N

⋅⋅+=

C(s) = CR(s) + CN(s)

Un sistema lineal debe cumplir con los siguientes principios:

Principio de superposición x1(t) + x2(2) → y1(t) + y2(2)

Principio de homogeneidad β x(t) → β y(t)

Ejemplo

En la figura 1 se muestra un esquema simplificado de transporte de carga, para el cual

es necesario controlar la velocidad de desplazamiento de la carga, manipulando el

voltaje aplicado al motor. En la figura 2 se muestra en detalle el esquema del

motor donde ee = (eref – em), Ki amplifica dicho valor, Ra la resistencia eléctrica, La la

inductancia, Jm la inercia del motor y ωm la velocidad angular del motor que es

trasmitida a la barra. Las relaciones de transformación en el motor son τm = K2ia y

ea= Kaωm donde ea es la caída de potencial en la armadura. En la figura 3 se tiene la

curva de calibración del medidor de velocidad. La resistencia eléctrica presenta una

relación lineal, en tanto que, la resistencia en la polea es de la forma τ = R1ω2.

Motor

CargaVC

Radio “r”

K T

mC

R 1

J1

K 1

R a La

τ, ωm

ee

amplificador

ia

Jmarmadura

Figura 1 Esquema del sistema Figura 2 Detalle interno del motor

Figura 3 Curva de calibración del elemento de medición






Se desea que usted realice lo siguiente:

Modelo del proceso (sin control y con control )

Diagrama de Bloques del proceso y Diagrama de Bloques del esquema de control,

en el cual estén especificados todas las funciones de transferencia.

Solución:

Elementos del sistema

Almacenadores. Disipadores Transformadores

Inductancia Eléctrica (La)

Inercia del motor (Jm)

Capacitor (KT)

Inercia (J1)

Inercia (mc)Estos dos últimos son

dependientes

Resistencia Eléctrica

Roce en la Polea

Elemento de Medición

(esquema de control)

Transformación de sistema

eléctrico al mecánico

Se plantean tanto las ecuaciones de cada uno de los elementos almacenadores, como

las diferentes relaciones entre las distintas variables.

Modelo del proceso

aaaea ei ReK

dt

di La −⋅−⋅= 1 ...... ea = Ka ωm (1)

bmm

mdt

d J τ τ

ω −= ...... τm = K2ia (2)

1

1ω ω

τ −= m

b

T dt

d

K (3)

211

1

1 ω τ τ ω

⋅−−= Rdt

d J cb (4)

Cc

c Fdt

dV

m = (5)

Para completar el modelo se toman en cuentan las siguientes relaciones conocidas,

τC = r FC y ω1 =VC/r Reacomodando las ecuaciones (4) y (5) queda,

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−τ=

dt

dV

r

J

r

VR

r

1

dt

dVm c1

2c

1 bc

c






⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−τ=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +2

2c1

bc

21

cr

VR

r

1

dt

dV

r

Jm (4’)

En el modelo de control se debe tener definir el error como:

ee = K1 (eref – em) = K1 (eref – m⋅VC)Linealizando:

*a

*aa

*e1

*a K iR eK

dt

diLa ω⋅−⋅−⋅= (6)

**2

*

ba

m

m iK dt

d J τ

ω −⋅= (7)

r

V

dt

d

K

C

m

b

T

**

*1−= ω

τ (8)

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−τ=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ + *

CCo21*

b

*c

21

c VVr

R 2

r

1

dt

dV

r

Jm (9)

NOTA: El punto de operación se calcula igualando a cero las ecuaciones (1), (2), (3) y

(4’) Aplicando Transformada de Laplace, eliminando los * y agrupando términos:

(Las + Ra)ia = K1⋅ee – Ka⋅ωm (6’)

Jm⋅s⋅ωm = K2⋅ia – τb (7’)

r

VcsK

mb

T −= ω τ

1(8’)

r V V

r

Rs

r

J m b

C Coc

τ =⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

31

21 2)( ⇒ IV

r

R 2

r

Jm Co3

121

c =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++ (9’)

Diagrama de Bloques del Esquema de control






Obtención de la Función de Transferencia del proceso GP(s) =)s(e

)s(V

e

C , por reducción del

diagrama de Bloques (sin control):

Modificando el último lazo de la siguiente forma queda:

La sección marcada se reduce a lo siguiente.

T22 T1

K sIr r K G +⋅

⋅=

Rearreglando...

La sección marcada se reduce a: Isr s J

GG

m ⋅+⋅= 1

2

y a partir de allí, el Diagrama de Bloques del esquema de control se puede reducir

como sigue:






3.5 Gráficas de Flujo de Señal

Una gráfica de flujo de señal se puede ver como una versión simplificada de un

diagrama de bloques, cuyos elementos básicos son los siguientes:

Nodos: se utilizan para expresar variables.

Ramas: Son segmentos lineales que tienen ganancias y direcciones asociadas. La

señal se transmite a través de una rama solamente en la dirección de la flecha.

Nodo de entrada (fuente): Es un nodo que tiene solamente ramas de salida.

Nodo de salida (pozo): Es un nodo que tiene solamente ramas de entrada.

Trayectoria: es una sucesión continua de ramas que se dirigen en la misma

dirección.

Trayectoria directa: es una trayectoria que empieza en un nodo de entrada y

termina en un nodo de salida, a lo largo de la cual ningún nodo se atraviesa más de

una vez. Lazo: es una trayectoria que se origina y termina en el mismo nodo y en donde

ningún otro nodo se atraviesa más de una vez.

Ganancia de la trayectoria: Es el producto de las ganancias de las ramas de una

trayectoria.

Lazos disjuntos: Son lazos que no comparten ningún nodo en común.

A partir de estas definiciones es posible plantear el uso de la Fórmula de Ganancia de

Mason para reducir Diagramas de Flujo de señal.Fórmula de Ganancia para gráficas de Flujo de señal:

∑= ∆

∆==

N

1k

K K

ent

sal M

y

yM

en donde:

yent = Variable del nodo de entrada






ysal = Variable del nodo de salida

M = Ganancia entre yent y ysal (Función de Transferencia)

N = Número total de trayectorias directas entre yent y ysal

Mk = Ganancia de la trayectoria directa k-ésima entre yent y ysal

∆ = 1 – (suma de las ganancias de todos los lazos)+(Σ productos de las ganancias de

todas las combinaciones de 2 lazos disjuntos)-(Σ productos de las ganancias de todas

las combinaciones de 3 lazos disjuntos)+...

∆k = igual a ∆ pero eliminando todos los lazos que toquen a la k-ésima trayectoria

directa.

Ejemplo

G4

1 1 G1 G2 G3 1

-H1 -H2

-1

R YE

Número de trayectorias directas = 2M1 = G1 G2 G3) M2 = G1 G4

Ganancias de los Lazos

L1 = G1 G2 (-H1) L2 = G2 G3 (-H2)L3 = G4 (-H2) L4 = G1 G2 G3 (-1)L5 = G1 G4 (-1)

Determinantes∆ = 1 – (L1 + L2 + L3 + L4 + L5)

∆1 = 1; ∆2 = 1

Función de TransferenciaM = (M1⋅∆1 + M2⋅∆1) / ∆

Ejemplo

La siguiente figura muestra un esquema de un intercambiador de calor en el cual se

desea controlar la temperatura de salida TS, manipulando el caudal de la camisa U

El elemento medidor o termopar y el controlador tienen las curvas de calibración que se

U, T2

U, TC

Q, TSQ, T 1






muestran a continuación.

La capacitancias térmicas del líquido encerrado en la camisa y en el interior del

intercambiador son respectivamente MC⋅CpC = CC y Mi⋅Cpi = Ci. El flujo de calor entre la

camisa y el interior del intercambiador es )T(R q 1 ∆=& , en tanto que no existe

transferencia de calor con el medio ambiente. Debe considerarse que la temperatura de

entrada T1 y su flujo Q son perturbaciones y que los valores de T1O, T2O, QO, UO, TO

(ambiente) son conocidos. Suponga además, que conoce la función de transferencia de

la válvula necesaria para implementar el esquema de control,1S

k G V

Válvula +τ= . Se

desea que usted como ingeniero de planta realice lo siguiente: modelo del proceso,

diagrama de flujo de señal (proceso y esquema de control), función de transferencia del

proceso y función de transferencia del esquema de control.

Solución

Variables de estado: TS, TC

Entradas: T1, T2, Q, U

Camisa: ( ) ( )CS1C2CCC

C TTR TTCpUdt

dTC −+−⋅⋅ρ= (1)

Intercambiador: ( ) ( )CS1S1iiS

i TTR TTCpQdt

dTC −+−⋅⋅ρ= (2)

Puesto que T1 y Q son perturbaciones las ecuaciones son no lineales y se deben

linealizar quedando como sigue:

( )*C

*S1

*CCC

*CCC

*2CC

*C

C TTR UoTCpUoTCpUoTCpdt

dTC −+⋅⋅⋅ρ−⋅⋅⋅ρ−⋅⋅⋅ρ=

( ) ( ) ( )*C

*S1S1

*ii

*S

*1ii

*S

S TTR oToTQCpTTQoCpdt

dTC −−−⋅⋅ρ+−⋅⋅ρ=

El esquema de control a implantar es el que se muestra a continuación.

m.. pendiente

Temp

Volts

k C .. pendiente

Error ( Volts)

Acc. Control(Volts )






Para realizar el diagrama de flujo de señal se agrupan los siguientes términos:

K1 = ρc Cpc T20 K2 = ρc Cpc Tc0 K3 = ρc Cpc U0

K4 = ρi Cpi Q0 K5 = ρi Cpi (T10 – Ts0)

A partir de dicho diagrama, se obtiene la función del proceso eliminando todas las otras

entradas diferentes a la variable a manipular (U)

Número de caminos = 1 P1 = (K1 – K2)(1/Ccs)(R1)(1/Cis)

Número de lazos = 3 L1 = -(K3 + R1)/(Ccs) L2 = -(K4 + R1)/(Cis) L3 = R12/CcCis

2

∆ = 1 – (L1 + L2 + L3) + (L1L2)

De allí que, la función de transferencia del proceso será:

Ts(s)/U(s) = ∆1 P1 / ∆



IV. R ESPUESTA T RANSITORIA



IV. RESPUESTA TRANSITORIA

Sea y(t) la respuesta en el tiempo de un sistema en tiempo continuo; entonces:

)t(y)t(y)t(y sst +=

donde yt(t) es la respuesta transitoria (solución homogénea) y yss(t) la respuesta enestado estacionario (solución particular). En la siguiente figura se puede apreciar el

comportamiento dinámico de un sistema, compuesto por la respuesta transitoria y la

permanente

El estudio de la respuesta temporal de un sistema es de vital importancia para el

posterior análisis de su comportamiento y el posible diseño de un sistema de control. A

continuación se estudiara, tanto la respuesta transitoria, como la respuesta permanente

de un sistema.

4.1 Respuesta ante diferentes entradas

4.1.1 Entradas Tipo

A continuación se mostraran las entradas típicas utilizadas para el análisis de la

respuesta de un sistema.

4.1.1.1 Función impulso

0 A

0

r(t) = tot

tot

tot

>=

<

reales NúmerosA ∈ ( ) )t(Atr δ⋅=

donde δ(t) es la función impulso ≡ Delta de Dirac y su

transformada de Laplace es: L AR(s)(r(t)) ==






4.1.1.2 Función escalón

0

A r(t) =

0t

0t

<

>

→ ( ) ( )tuAtr ⋅=

donde u(t) es escalón unitario y su transformada de

Laplace es: L A/sR(s)(r(t)) ==

4.1.1.3 Función rampa

( ) ( )tut btr ⋅⋅= reales Números b ∈ Indica cómo

responde el sistema a señales que cambian

linealmente con el tiempo. Su transformada de

Laplace es: L 2 b/sR(s)(r(t)) ==

4.1.1.4 Función parábola

( ) ( )tu2

tK tr

2

⋅⋅

= R K ∈

El análisis de la respuesta temporal de un sistema se realizará detalladamente para

sistemas de primero y segundo orden, en tanto que, sistemas de orden superior se

analizarán aproximándolos a ordenes inferiores.

4.2 Tipo de un sistema

Además de clasificar a los sistemas según su orden, es importante realizar una

clasificación adicional de los mismos según su tipo, la cual se realiza al escribir en

forma general cualquier función de transferencia como sigue.






( ))1)...(1()1(

)1)...(1()1(

21 +⋅+⋅⋅+⋅⋅

+⋅+⋅⋅+⋅⋅=

ssss

sssK sG

p

N

mba

τ τ τ

τ τ τ

en donde las soluciones del numerador se conocerán como los ceros del sistema y las

del denominador como los polos. A partir de allí, SN representa un polo de multiplicidad

N en el origen, el cual define el tipo del sistema que no necesariamente es igual al

orden del sistema.

N=0 → sistema tipo 0

N=1 → sistema tipo 1

N=n → sistema tipo n

4.3 Sistemas de Primer Orden

La respuesta de sistemas de primer orden se estudiaran tanto a lazo abierto como a

lazo cerrado para sistemas de tipo “cero” y de tipo “uno”.

4.3.1 Sistemas tipo cero.

Para un proceso a lazo abierto como el que se muestra a continuación, donde R(s) es

un escalón de magnitud A, se tiene:

K ........ ganancia del proceso.

τ .......... constante de tiempo del proceso

La respuesta de dicho sistema ante esa entrada se puede obtener realizando la

antitransformada de C(s), tal como se muestra a continuación.

s

A)s(R =

→

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅τ

⋅=1s

K

s

A)s(C

Aplicando fracciones( )

1s

tK A

s

K AsC

+⋅τ⋅⋅

−⋅

=

Antitransformando

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅= τ

−t

e1K Atc






Para t = 0; ( ) ( ) 01 0 =−⋅= eK At c

Para t = τ; ( ) ( ) AK 632,0e1K Atc 1 ⋅⋅=−⋅= −

Para t = ∞, ( ) ( ) K AeK At c ⋅=−⋅= ∞1

En la siguiente figura se aprecia dicha respuesta, en la cual se puede observar que a

mayor τ se tiene menor rapidez de la respuesta y a mayor K mayor valor de

establecimiento (c(∞)).

Además, se puede definir τ como el tiempo que tarda el proceso en alcanzar el 63,2 %

de su valor final y caracterizar también la respuesta transitoria por el tiempo que tarda

en establecerse (ts) tal como sigue:

ts = 3·τ → c(3·τ) = 0,95·c(∞) (Criterio del 5%)

ts = 4·τ → c(4·τ) = 0,98·c(∞) (Criterio del 2%)

Para el mismo sistema anterior también se puede hacer el análisis de su respuesta

transitoria a partir de la función de transferencia a lazo cerrado tal como sigue.

( )( ) )K 1(s

K

1s

K 1

1s

K

sR sC

LALA

LA

LA

LA

LA

LA

++⋅τ=

+⋅τ+

+⋅τ=

a partir de allí se pueden obtener tanto la ganancia del sistema a lazo cerrado como su

constante de tiempo.






LA

LALC K 1

K K

+=

y LA

LALC 1 τ+

τ=τ

→

( )( ) 1s

K

sR

sC

LC

LC

+⋅τ=

KLC = ganancia del sistema; τLC = constante de tiempo

Siendo dicha función de transferencia semejante a la de lazo abierto, la forma de la

respuesta a lazo cerrado también lo será, pero se deben considerar como ganancia a

KLC y τLC como la constante de tiempo. Además, a lazo cerrado se puede calcular el

error en estado estacionario, tal como sigue:

( ) ( )LALA

LAee K 1

A

K 1

AK AcAee

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

⋅−=∞−=∞=

4.3.2 Sistemas tipo 1

Para este tipo de sistema se estudiará solamente el lazo cerrado, pues la respuesta el

lazo abierto no alcanza ningún valor de establecimiento.

Al igual que en el caso anterior se obtienen la ganancia y la constante de tiempo a lazo

cerrado a partir de las de lazo abierto, así como, la respuesta ante una entrada escalón

de magnitud A.

( )( ) LALA

LA

1LA

LA

LA

LA

K s

K

s

K 1

s

K

sR

sC

+⋅τ=

⋅τ+

⋅τ=

( )( ) 1s

1sR sC

+⋅τ=

, LA

LA

K τ=τ

; K=1

Para( )

s

AsR =






aplicando fracciones parciales...

( )( ) τ+

−=τ+⋅

=1s

A

s

A1ss

AsC

Antitransformando…

( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −⋅= τ

−t

e1Atc

,

t = 0 → ( ) ( ) 011 =−⋅= At c

t = τ → ( ) ( ) A632,0e1Atc 1 ⋅=−⋅= −

t = ∞ → ( ) ( ) A At c =−⋅= 01

( ) ( ) 0=−=∞−=∞= A Ac Aeess

En este caso se puede también analizar la respuesta de este tipo de sistema ante una

entrada rampa tal como sigue.

( )2s

AsR =

→

( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

τ+

τ+

τ−⋅=

+⋅τ⋅=

1sss

1A

1ss

AsC

22

→

( ) ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅τ−τ−⋅= τ

−t

etAtc






La rapidez de la respuesta viene dada por τ y el estado estacionario será tal y como se

observa en la figura.

( ) ( ) τ ⋅=∞−⋅=∞= Act Aeess

Ejemplo

En la siguiente figura se muestra un esquema de control de presión para un tanque

presurizado, cuya función de transferencia es desconocida (G1(s)). Con la intención de

averiguar dicha función de transferencia se realiza la siguiente experiencia sobre el

proceso. Estando la presión estable en 12 psi, se le da un escalón de 3 psi a la

referencia y se obtiene la respuesta que se muestra a continuación. Se desea que

usted realice lo siguiente, a partir de dicha información.

1) Identifique la función de transferencia del proceso (G1(s))

2) Grafique la respuesta a lazo abierto si la entrada es 5

2Pr =

.

3) Considere que hubo un error en la medición de la referencia y en realidad, el

escalón en la entrada era de 2,5 psi. Con esta nueva información realice

nuevamente el problema.

Solución

1) Al conocer la entrada y la salida a lazo cerrado, y observando el gráfico de la

respuesta se puede aproximar G1(s) a un sistema de primer orden de tipo cero pues la

respuesta presenta un error al escalón.

11 +⋅=

s

K G

LA

LA

τ Como c(∞)= 14,5 – 12 y el valor de la amplitud es A = 3 se tiene






K LC · 3 = 2,5 → 8333,03

5,2== LC K

La constante de tiempo a lazo cerrado se obtiene a partir de la gráfica, calculando el

63,2 % del valor final y leyendo el tiempo que tarda la repuesta en alcanzar dicho valor.

CSS – Co = C(τ) → (14,5 – 12) · 0,632 = 1,58 →C(τ) = 1,58 + 12 = 13,58

De allí, y por inspección sobre la gráfica, se tiene que la constante de tiempo a lazo

cerrado es 18. Teniendo ahora, tanto la ganancia como la constante de tiempo a lazo

cerrado, se puede conocer las de lazo abierto.

K LA ≈ 518

1=

+=

LA

LA LC

K

τ τ

→

833,01

=+

= LA

LA LC

K

K K

τ LA ≈ 108 → 1108

5 G1 +⋅=

s

2) Conocida la función de transferencia a lazo

abierto se puede graficar la respuesta ante una

entrada igual a 2/5 en la referencia. Como la

amplitud del escalón A es 2/5 y la ganancia a lazo

abierto, KLA, es 5, entonces la respuesta que

tiende a KLA * A, tenderá a 2. Además, la

respuesta alcanza 1,264 (63,2% del valor final)

cuando a transcurrido un tiempo igual a τ.

3) Si la entrada fuese un escalón de magnitud 2,5 y no de 3, el cálculo de la constante

de tiempo a lazo cerrado se realizaría de la siguiente forma:

A.KLC = (14,5 – 12) como A = 2,5 → KLC = 1 y τLC = 18 (de la gráfica)

Además, al observar la gráfica se aprecia que el valor final a lazo cerrado coincide con

la referencia, de donde se deduce que el error en estado permanente es cero. De allí

que, la forma de la función de transferencia a lazo abierto será de primer orden pero no

de tipo 0, sino de tipo 1. Por lo tanto G1 se puede obtener como sigue:

118

1

1 1

1

+⋅=

+ sG

G

→ ( )11 1

18

1G

sG +⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅

= → s

G⋅

=18

11






4.4 Sistemas de segundo orden

Este tipo de sistemas requiere dos variables que definan su estado de energía, por lo

tanto su modelo podrá estar formado por dos ecuaciones diferenciales de primer grado.

Para el estudio de este tipo de sistemas partiremos del siguiente ejemplo. Un tanque de

área A, líquido de densidad ρ, tubería de longitud L y área a.

u

Modelo del proceso

Qudt

dP

ρg

A−=

RQPdt

dQ

a

ρL

−=

Se desea conocer la función de transferencia entre u y Q, para lo cual se toma la

transformada de Laplace de dichas ecuaciones y queda:

s P(s) = (u(s) - Q(s)) / C C = A/ρg

s Q(s) = (P(s) - RQ(s)) / I I = ρL/a

A partir de allí se obtiene la función de transferencia

1)sCR sI(C

1

u(s)

Q(s)2

+⋅⋅+⋅⋅

=

→ 1/CI)sR/I(s

CI1

u(s)

Q(s)2

+⋅+

=

Para realizar el análisis de la respuesta de sistemas de segundo orden su función de

transferencia se escribe en función de ciertos parámetros característicos tal como

sigue:

)ωsω2(s

ωG(s)

2nn

2

2n

++=

ξ

ωn = Frecuencia natural no amortiguada.

ξ = Coeficiente de amortiguación

El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden se describe en términos

de ξ y ωn, los cuales estarán en función de los parámetros físicos del sistema. Para 0 <

ξ < 1 se tiene un sistema Subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Para

ξ > 1 el sistema está sobre amortiguado y si ξ = 1 es sistema es críticamente

subamortiguado; en los dos últimos casos la respuesta no es oscilatoria. Si ξ = 0 no

existe amortiguación y la oscilación es permanente.






Para el ejemplo anterior se pueden expresar ξ y ωn como sigue:

1/CIω2n = CI

1ωn =

R/I2ξ n =ω IC2R 2ICIR ξ ==

Ahora se ha de estudiar la respuesta ante una entrada escalón unitario, para los casos

mencionados anteriormente.

4.4.1 Sistemas subamortiguado (0 < ξ < 1)

( )2nn

2

2n

ωs2ξs

ω

u(s)

Q(s)G(s)

++==

ω

Para una entrada escalón:( )2

nn2

2n

s2ss

1)s(Q

ω+ξω+

ω=

antitransformando se obtiene:⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ω

ξ−

ξ+ω−= ξω− )t(Sen

1)t(Cose1)t(Q d2d

tn

donde ωd = ωn

21 ξ−se conoce como frecuencia natural amortiguada. Se puede

observar que la respuesta transitoria tiene una frecuencia de oscilación igual a ωd quevaría con ξ. Además, nótese que si el sistema no es amortiguado, la respuesta oscila

con ωn. Para sistemas amortiguados la frecuencia que se observa experimentalmente

es ωd. la cual siempre es menor que ωn.

4.4.2 Sistemas críticamente amortiguados (ξ = 1)

( )

2

n

2n

s)s(u

)s(Q

ω+

ω=

Para una entrada escalón: ( )

2

n

2n

ss

)s(Q

ω+

ω=

Antitransformando resulta: Q(t) = 1 – e-ωnt (1+ωnt)

Se puede apreciar que esta respuesta no es oscilatoria y que se parece a la del

sistema de primer orden.






4.4.3 Sistemas sobreamortiguados (ξ > 1)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−ξ

ω+=

−−

2

ts

1

ts

2n

s

e

s

e

12

1)t(c21

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −ξ−ξω=

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −ξ+ξω=

1s

1s

2n2

2n1

donde s1 y s2 son las soluciones de la ecuación característica, o denominador de la

función de transferencia.

Esta respuesta incluye dos términos de caída exponencial. Cuando ξ >> 1 uno de los

dos términos se hace despreciable frente al otro. Para una solución aproximada se

desprecia |s1| >> |s2|

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −ξ−ξω−

−=1t 2

ne1)t(c

4.4.4 Características de la respuesta de un sistema subamortiguado

Al igual que para sistemas de primer orden es necesario caracterizar la respuesta para

sistemas de segundo orden. Para una entrada escalón se especifican los siguientes

parámetros:

a) Tiempo de crecimiento (tr ): Tiempo en que la respuesta crece de un 10% a un 90%

de su valor final.

b) Máximo pico (Mp): valor de máximo pico medido desde el valor final.

c) Tiempo de pico (tp): Tiempo en alcanzar el máximo pico.

d) Tiempo de establecimiento (ts): Es el tiempo necesario para que la respuesta sólo

oscile entre un 2 o 5 % del valor final.

4.4.5 Especificaciones sobre la respuesta transitoria

Para un sistema que presenta la siguiente función de transferencia los valores

característicos de la respuesta pueden expresarse en función de los parámetros de lafunción.

( )22

2

2)(

nn

n

sssG

ω ξω

ω

++=






Tiempo de crecimiento:⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ξωω−

ω=

n

d

darctg

1tr

Tiempo pico: d

tpωπ

=

Máximo pico: Mp = (C(tp) – C(∞))/C(∞)

( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ξ−ξπ−πωξω− ==

2

dn1

eeMp

Tiempo de establecimiento: Criterio del 2% n

44ts

ξω=τ=

Criterio del 5% n

33ts

ξω=τ=

En la siguiente figura se puede observar la relación entre la solución de la ecuación

característica o polos del sistema y su respuesta transitoria.



V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS SISTEMAS I NTRODUCCIÓN ALC ONTROL DE P ROCESOS


V. LOCALIZACIÓN DE LAS RAÍCES Y SU INFLUENCIA EN LA RESPUESTA DE LOS

SISTEMAS La función de transferencia G(s) puede ser representada como (s)f (s)f G(s) 21= , a

partir de la cual se puede decir que la respuesta del sistema dependerá de f 1(s) y

f 2(s). Las raíces de f 1(s) se conocen como los ceros del sistema y las de f 2(s) como

los polos. Además, f 2 se conoce como la ecuación característica del sistema y define

el comportamiento dinámico del mismo. Más específicamente, las soluciones de

dicha ecuación definen el comportamiento dinámico del proceso, por lo tanto, si se

desea modificar la respuesta de un sistema, se lograría modificando la ecuación

característica del mismo. Para un sistema de control a lazo cerrado, donde G(s) y

H(s) representan las funciones de transferencia del proceso, al añadir un controlador

en la línea se podría modificar la ecuación característica de lazo cerrado (ECLC) yasí obtener la respuesta deseada.

+

-

G(s)

)s(H

Gc(s)

)s(H)s(G)s(G1

)s(G)s(G)s(G

c

c

⋅⋅+

⋅=

)s(H)s(G)s(G1ECLC c ⋅⋅+=

La ubicación de dichos polos en el plano complejo define el comportamiento del

sistema, tal como se mostrará a continuación.

5.1 Sistemas de primer orden

(Ecuación característica)

1s

k )s(G

+⋅τ=

01s)s(f 2 =+⋅τ= s = -1/τ (polo del sistema)

El polo del sistema se representa en el plano como se muestra a continuación,

donde se representan los polos de tres sistemas distintos de primer orden.

τ1> τ2> τ3

Se puede apreciar que a medida que τ es mayor el

valor numérico del polo decrece y se acerca más al

eje real.

τ↓ Sistema responde más rápidamente y tarda

menos en establecerse.

τ↑ Sistema responde más lentamente y tarda más

en establecerse.





Se concluye que a medida que el polo del sistema se acerca al eje imaginario, el

sistema tarda más en establecerse, por lo que a dichos polos se les conoce como

polos dominantes del sistemas.

1. 2 Sistemas de segundo orden

2nn

2

2n

s2s)s(G

ω+ξω+

ω=

2

nn 1 js ξ−ω±ξω−=(polos del sistema)

Si ξ<1, los polos son imaginarios y se pueden representar de la siguiente forma en el

plano S.

θ

ξωn

n

21 ωξ

−

ξ

ξ−=

ω/⋅ξ

ω/ξ−=θ

2

n

n2 11

tg

ξω

ξωCosθ

n

n ==

En la siguiente figura se detalla las características de la respuesta transitoria de un

sistema de segundo orden subamortiguado, según la ubicación de sus polos.

σ

ω

Igualωn

IgualωdIgualξ

Igualξωn

x

x

xx

x

x

x

x

Los sistemas cuyos polos se encuentran sobre las líneas punteadas comparten la

característica temporal señalada.

Ejemplo

Dado el siguiente sistema cuya función de transferencia es 1s2s4

1G

2 ++=

, se desea

que usted calcule lo siguiente:





a) Valor de ξ, ωn , Mp, ts 2%

Se debe reescribir la función de transferencia como

41s5.0s

41G

2 ++=

2ξωn =0.5 ωn2 = ¼

ωn = ½ → ξ = 0.5

A partir de los valores de ξ y ωn se calculan las características solicitadas.

164

%2 ==n

tsξω

16.0eM2ξ1

ξπ

p == −

−

b) ¿Cuáles serán las raíces del sistema para los casos en que ωd se duplique y se

cuatriplique sin variar el valor del amortiguamiento? ¿Cuál tendrá mayor rapidez?

¿Cómo variará Mp ?

Como ξ se conserva, a partir de allí se puede calcular ωn para los dos casosωd o = 0,433 ωd 1 = 0,866 ωd 2 = 1,732

1 2nd ξ−ω=ω

ωn 1 = 1 ωn 2 = 2

La rapidez de respuesta se relaciona con la cercanía al origen que tengan los polos

del sistema. A medida que se acercan al eje imaginario el sistema es más lento y

viceversa, de allí que se verifica el valor de ξωn.

ξωn1 = 0,5 ξωn2 = 1

El sistema dos tendrá mayor rapidez de respuesta, en cuánto al pico se tiene que

Mp1 = Mp2 debido a que Mp = f(ξ) y como ξ se conserva, entonces el pico no cambia.

Ejemplo

Se tienen dos sistemas de segundo orden cuyas raíces se muestran en el plano “s” a

partir de allí se desea hacer una comparación entre ambos.

a) Se necesita un sistema que

alcance, lo más rápido posible, la

condición de equilibrio y cuyo

Mp sea menor del 5%. ¿Cuál

escogería A o B?-4

-2

0

2

4

-4 -3 -2 -1 0

AB





b) Si se desea aumentar ξ al doble para el sistema de mayor rapidez, manteniendo la

misma ¿Cuáles deberían ser las raíces?

Solución

a) PA = 3 PB = 2

τA = 1/3 τB = ½

El sistema A es más rápido pues está más lejos del eje imaginario, el máximo pico

de ambos sistemas es igual por tener el mismo ξ .

ξ = Cos θ = Cos 45º = 0,707%32,410004325,0eM

21 p =⋅== ξ−

ξπ−

⇒ Se escoge el sistema A

b) ξ = 0,707 y se desea ξ = 0,407. Como además se debe mantener la rapidez, la

parte real de la raíz se debe mantener igual, la cual es igual a ξωn. De allí se

obtiene el nuevo ωn.

ωn = 2ωno = )32(2 ⋅ = 34

2nn2,1 1s ξ−ω±ξω−=

→ js 328.632,1 ±−=



VI. A NÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS


VI. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA PERMANENTE

Al igual que las características de respuesta transitoria es importante analizar el error

que pueda tener un sistema ante una perturbación dada. Para un sistema a lazo

cerrado como el siguiente.

En forma general se puede escribir la función de transferencia del lazo directo como

( ))1)...(1()1(

)1)...(1()1()(

21 +⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅

==ssss

sssK s H sGFTLA

p

N

mba

τ τ τ

τ τ τ

Donde SN representa un polo de multiplicidad N en el origen. Como se mencionó

anteriormente, dependiendo del valor de N se define el tipo del sistema. A medida

que N aumenta el sistema se hace más exacto (menos error) pero su respuesta

transitoria desmejora considerablemente. Para calcular el error se debe conocer su

función de transferencia respecto de la entrada, la cual se obtiene a partir del

diagrama de bloque, como sigue:

Y(s)X(s)E(s) −= → E(s)G(s)X(s)E(s) −= → )X(s)G(s)1

1(E(s)

+=

Utilizando el teorema del valor final, se puede encontrar el valor del error en estado

estacionario.

( ) ( )( )( )sG

s Rslíms E slímt elímesst

ss +⋅

=⋅==→→∞→ 100

Como el error forma parte de la respuesta de un sistema depende de la entrada a la

cual sea sometido el mismo. A continuación se calcularán los errores en estado

estacionario o estado estable para diferentes tipos de entrada.

6.1 Entrada tipo escalón

Para r(t) = R . u(t), con R = 1 ( ) ( )sGlím1

1

s

1

sG1

slíme

0s0s

ss

→→ +

=⋅+

=

Kp se define como la constante de error de posición estática, cuyo valor dependerá





del tipo del sistema. El error calculado se conoce como error de posición.

( ) ( ) p

ss p0s K 1

1e 0GK sGlím

+===

→

Para un sistema tipo 0,

K )...1s(s)...1s(K límK

10

a

0s p =

+⋅τ⋅+⋅τ⋅=

→

Para un sistema tipo 1 o mayor

Kp = ∞, N ≥ 1

6.2 Entrada tipo rampa

Para r(t) = R . t . u(t), con R = 1( ) ( )sGs

1

s

1

sG1

slíme

20sss ⋅

=⋅+

=→

Kv se define como la constante de error estático de velocidad cuyo valor dependerá

del tipo del sistema. El error calculado se conoce como error de velocidad.

( )v

ss0s

v K

1e sGslímK =⋅=

→

Sistema tipo 0,

0)...1s(

)...1s(K límK

1

a

0sv =

+⋅τ+⋅τ⋅

=→

Sistema tipo 1,

K )...1s(s

)...1s(K slímK

1

a

0sv =

+⋅τ⋅+⋅τ⋅⋅

=→

Sistema tipo 2 o mayor,

1)...s(τs

1)...s(τK slímK

1 N

a

0sv ∞=

+⋅⋅

+⋅⋅⋅=

→

6.3 Entrada tipo Parábola

Para r(t) = R . t2 . u(t), con R = 1 ( ) ( )sGslím1

s1

sG1slíme

2

0s

30sss ⋅

=⋅+

=→

→

Ka se define como la constante de error estático de aceleración, cuyo valor

dependerá del tipo del sistema. El error calculado se conoce como error de

aceleración.

( )a

ss2

0sa K

1e sGslímK =⋅=

→


0)...1s(

)...1s(K slímK

1

a2

0sa =

+⋅τ+⋅τ⋅⋅

=→


0)...1s(s

)...1s(K slímK

1

a2

0sa =

+⋅τ⋅+⋅τ⋅⋅

=→

Para un sistema tipo 2, Para un sistema tipo 3 o mayor,





K )...1s(s

)...1s(K slímK

12

a2

0sa =

+⋅τ⋅+⋅τ⋅⋅

=→

1)...s(τs

1)...s(τK slímK

1 N

a2

0sa ∞=

+⋅⋅

+⋅⋅⋅=

→

Resumiendo

Constante de error Error con retroalimentación unitariaTipo de

sistema Kp Kv Ka Escalón Rampa Parábola

0 K 0 0 ( )K R

+1 ∞ ∞

1 ∞ K 0 0K

R

∞

2 ∞ ∞ K 0 0K

R

3 ∞ ∞ ∞ 0 0 0

6.4 Error a la perturbaciónBasándose en la siguiente figura, se considerará una perturbación P(s) al proceso y

se estudiará su efecto sobre el error.

La respuesta C(s) ante variaciones tanto en R(s) como en P(s) será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sCsCsPsGsR sGsC 2121 +=⋅+⋅=

Donde C1(s) es el componenete de la salida dado R(s) y C2(s) es el componente de

la salida dado P(s). El error del sistema para Gm = 1, será:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tetete GtctcGtr te

Gtctctr te Gtctr te

pr m21m

m21m

+=→−−=

+−=→−=

donde er (t) es el error a la referencia y ep(t) el error a la perturbación. Para el caso en

el que no exista perturbación ep(t) = 0.



VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE C ONTROL L INEALES I NTRODUCCIÓN AL C ONTROL DE P ROCESOS


VII. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE CONTROL LINEALES

A continuación se enumeran ciertos aspectos resaltantes que identifican la

importancia del estudio de la estabilidad de un sistema.

Aspecto dinámico más importante de cualquier sistema.

Se clasifica en estabilidad absoluta y estabilidad relativa.

Un sistema de control está en equilibrio, si la salida permanece en el mismo

estado en ausencia de cualquier perturbación o entrada.

Un sistema de control, es estable (absolutamente) si la salida regresa

eventualmente a su estado de equilibrio cuando el sistema se somete a una

perturbación, y es inestable si la salida o bien oscila indefinidamente, o diverge sin

límite de su estado de equilibrio, cuando el sistema sufre una perturbación.

El grado de estabilidad es una medida de la estabilidad relativa . En un sistema a lazo cerrado la estabilidad es equivalente a la ubicación de los

polos en el plano s. Polos en el semiplano derecho implican una respuesta

oscilatoria creciente y por tanto se dice que el sistema es inestable. Polos a lazo

cerrado en el semiplano izquierdo indican que la respuesta alcanzará el equilibrio

característico de un sistema estable.

La ubicación de los ceros no tiene efecto en la estabilidad del sistema, afecta sólo

la respuesta dinámica.

La estabilidad es una propiedad del sistema en sí y no depende de la entrada o

función excitadora del sistema.

Este criterio se puede aplicar a sistemas a lazo abierto (L.A.) y a lazo cerrado





(L.C.). Recordar que los polos de lazo abierto son diferentes a los de lazo cerrado ya

que ambas funciones de transferencia son distintas.

Un sistema a lazo abierto inestable puede o no generar un sistema a lazo cerrado

estable.

Para estudiar la estabilidad de sistemas lineales se puede utilizar un criterio

conocido como el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz, gracias al cual es posible

determinar la estabilidad de un sistema a partir de su función de transferencia, el

mismo será descrito a continuación.

7.1 Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

Para un sistema o proceso que tenga la siguiente función de transferencia en donde

a y b son constantes y m ≤ n.( )( )

( )( )sA

sB

asa...sasa

bs b...s bs b

sR

sC

n1n1n

1n

0

m1m1m

1m

0 =+⋅++⋅+⋅

+⋅++⋅+⋅=

−−

−−

Para obtener los polos se debe factorizar A(s), y luego verificar en que parte del

plano s se encuentran. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz permite determinar

la cantidad de polos que se encuentran en el semiplano derecho plano s sin

factorizar A(s), cabe destacar que sólo aplica a los polinomios con cantidad finita de

términos.

7.1.1 Procedimiento

1. Escriba el polinomio en s de la siguiente forma:

0... 11

1 =+⋅++⋅+⋅ −−

nn

nn

o asasasa

en donde ai ∈ R. Suponemos que an ≠ 0, se elimina cualquier raíz cero.

2. Si alguno de los coeficientes es menor que cero, ante la presencia de al menos un

coeficiente mayor que cero, hay una raíz o raíces imaginarias o que tiene partes

reales mayor que cero. En tal caso, el sistema no es estable, si lo que se está

analizando es la estabilidad absoluta el procedimiento debe terminar aquí.

(Condición necesaria pero no suficiente)

3. Si todos los ai > 0, ordene los ai en filas y columnas de acuerdo al siguiente

patrón:





sn a0 a2 a4 …

sn-1 a1 a3 a5 …

sn-2 b1 b2 b3 …

sn-3 c1 c2 c3 …

. . . .

. . . .

. . . .

s1 h1 h2

s0 g1

donde

1

30211 a

.aa-.aa b =

1

50411

a

.aa-.aa b =

hasta que las restantes sean cero.

Se sigue el mismo patrón para las c, d,.., etc.

Finalmente, el arreglo completo es triangular

y se conoce como tabla de Routh-Hurwitz

En base a lo anterior el criterio de estabilidad dice lo siguiente:

1. El número de raíces de la ecuación característica con parte real positiva es igual

al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del

arreglo.

2. Condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación

característica se encuentren el semiplano izquierdo del plano s es que todos los

coeficientes de la ecuación característica y todos los términos de la primera columna

del arreglo sean mayores que cero.

Ejemplos1) Verifique la estabilidad de un proceso cuya ecuación característica sea la

siguiente:

a) 06s4ss 23 =++−

Tiene un ai < 0 → no todas las raíces están el en semiplano izquierdo, con

lo que es suficiente para concluir que el proceso es inestable, pero se planteará la

tabla solamente para ejercitarse.

6s

05,2s1

64s

11s

0

2

3

−

65,2

0).4(6.5,2

5,24

6.11.4

1

1

=−−

=

=−

−−=

c

b

Dos cambios de signo implican dos polos en el semiplano derecho.





b) 06s11s6s 23 =+++

como todos los ai son mayores que cero, se cumple la con condición necesaria pero

no suficiente, por lo que se realiza la tabla para concluir respecto a la estabilidad.

6s

010s1

66s

111s

0

2

3

6

10

0.66.10

106

611.6

1

1

=−

=

=−=

c

b

No hay cambio de signo, lo que implica que no hay raíces en el semiplano derecho,

por lo tanto el sistema es estable.

7.1.2 Casos especiales

1) Si alguno de los término de la primera columna de cualquier renglón es cero,pero no los demás o no hay términos restantes, el término cero se sustituye por un

número positivo muy pequeño (un ε que tiende a cero) y se evalúa el resto del

arreglo. Si el signo del coeficiente por encima del cero (ε) es igual al signo que esta

por debajo del mismo, se deduce que existen un par de raíces imaginarias.

2) Si todos los coeficientes de cualquier fila son iguales a cero, existen raíces de

igual magnitud que se encuentran radialmente opuestas en el plano, es decir, dos

raíces con magnitudes iguales y signo opuesto y/o dos raíces imaginarias

conjugadas. En este caso se forma un polinomio auxiliar (P(s)) con coeficientes del

renglón que está justo arriba del renglón de ceros. Dicho polinomio auxiliar, que

siempre es par (potencias pares de s), se deriva P(s) y se colocan sus coeficientes

en la fila de ceros.

Ejemplo

a) 03s2s2ss 234 =++++

0

1

2

3

4

s

s

0s

021s

321s

∞

∞=

=−

=

=−

=

1

2

1

31

0.13.1

01

2.12.1

c

b

b





se debe modificar el arreglo…

3s

03

s

3s

021s

321s

0

1

2

3

4

ε

ε

−

3

30,

3.2

1

11

=

−=⇒→

−=

d

cc ε ε ε

ε

Hay dos cambios de signo, o sea, dos raíces en el semiplano derecho, lo que indica

que el sistema es inestable.

b) 04s7s8s84ss 2345 =+++++

0

1

2

3

4

5

s

000s

044s

066s484s

781s

6

4

4.17.4

64

8.18.4

2

1

=−

=

=−

=

b

b

4

6

0.44.6

46

6.48.6

2

1

=−

=

=−

=

b

c

0

04

4.66.4

2

1

=

=−

=

d

d

Se debe sustituir la fila de ceros por la derivada del polinomio 44)( 2 += ssP ;

sds

sdP8

)(=

4s

008s

044s

066s

484s

781s

0

1

2

3

4

5

No hay cambios de signo, o sea, no hay raíces en el semiplano derecho del plano s.

Resolviendo:( ) js 1s 4s4sP 22 ±=⇒−=⇒+⋅=

tiene dos raíces en el eje jω y es marginalmente estable.

El criterio de Routh-Hurwitz es muy útil cuando la ecuación característica que se

desea analizar tiene algún parámetro involucrado, de forma tal que se podrán

conocer los rangos del parámetro para el cual el sistema es estable.





Ejemplo

04s)2(s3s 23 =++++ k K

La primera condición que se debe cumplir es que todos los coeficientes sean mayor

que cero, lo cual sucederá si y solo si K es mayor que cero. A partir de allí se debe

plantear el arreglo y verificar los posibles valores de K para que no ocurra ningún

cambio de signo en la primera columna de la tabla.

04s

0s

043s

21s

01

1

2

3

b

K

K +

03

4)2(31 ≥

−+=

K

K K b

Para obtener el valor límite de K se debe cumplir que b1 sea mayor o igual a cero en

el límite.

K ≤ -2,528 ó K ≥ 0,528

Debido a que la primera restricción es que K sea mayor que cero, entonces para que

el sistema sea estable se debe cumplir que K ≥ 0,528.

cntrol de procesos

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