Índice de capacidad para proceso con doble especificificación

Proceso con sólo una especificación

Índice de capacidad de largo plazo: Pp y Ppk

Índice de capacidad para variables de atributos

Estimación de índices de capacidad mediante una muestra (estimación por

intervalo)

Estudio real (integral) de capacidad

Diseño de tolerancia

Índices de capacidad de

proceso

Proceso con doble

especificación

Cp

Ci

K y Cpk

Z Cpm

Proceso con una

especificación

CPL

Cps

Largo plazo

Pp

Ppk

Variable de atributo

Estimación por intervalo

Análisis de tolerancia

Eliminación de límíte

Fijación de límite

Monte carlo Estudio integral

Capacidad de procesos. Índices de capacidad para procesos con doble especificación Capacidad del proceso.: Es la medida en que las variables de salida de un proceso cumplen con sus especificaciones. Valor nominal= N Especificación inferior = EI Especificación superior=ES

Índice Cp. Es el índice de capacidad potencial del proceso, se define de la siguiente manera.

C P = 𝐸𝑆 ;𝐸𝐼

6𝜎

Donde 𝜎 representa la desviación estándar del proceso, ES y EI son las especificaciones superiores e inferiores para la característica de calidad. El índice de calidad Cp compara el ancho de las especificaciones o variación tolerada para el proceso o variación tolerada para el proceso con la amplitud de la variación real del proceso

𝐶𝑃 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙

La interpretación del índice Cp para que el proceso pueda considerarse potencialmente capaz de cumplir con las especificaciones se requiere que la variación real siempre sea menor que la variación tolerada. De aquí que lo deseable es que el índice Cp sea mayor que 1, y si el valor del índice Cp es menor que es una evidencia de que no cumple con las especificaciones.

Se tiene que índice Cp debe ser mayor que 1,33, o que 1,50 si se requiere tener

un proceso bueno, pero debe ser mayor o igual que dos si se requiere tener un

Proceso de clase mundial.

VALORES DEL CP Y SU INTERPRETACIÓN Tabla 5,1

ÍNDICES: Cr , Cpk , Cpi, Cps

Cr : es la comparación entre la variación real y la tolerada. Representa la proporción

de la banda de especificaciones que es cubiertas por el proceso.

Cpk : evalúa la capacidad real de un proceso, tomando en cuanta las dos

especificaciones, la variación y el tratado del proceso

Cpi : indica si el proceso cumple con las especificaciones inferiores de una

característica de calidad

Cps : mide la manera en que el proceso cumple con las especificación

superior de una de sus variables de salida

𝐶𝑟 = 6𝜎

𝐸𝑆 ;𝐸𝐼, 𝐶𝑝𝑘 = 𝐴𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐶𝑝𝑖 𝑦 𝐶𝑝𝑠

𝐶𝑝𝑖 = 𝜇;𝐸𝐼

3𝜎 𝐶𝑝𝑠 = 𝐸𝑆 ; 𝜇

3𝜎

El índice Cr es el inverso del Cp , ya que compara la variación real contra la

variación tolerada. Con este índice se requiere que el numerador sea menor que

El denominador, es decir, lo deseable son valores Cr pequeños menores que 1

Los dos primeros índices anteriores no toma en cuenta el centrado del proceso ,

como se puede Observar los siguiente índices toman en cuenta la media del

proceso y evalúan la capacidad para cumplir con la especificación inferior y

superior respectivamente. Las distancia de la media a una de las

especificaciones del proceso representa la variación tolerada para el proceso de

un solo lado de la media

Por eso se divide entre 3 𝜎, en lugar de entre 6 𝜎 . Los índices unilaterales se

Interpretan más o menos similar al índice de capacidad CP . De aquí en adelante

entre más grande sean estos índices mejor se cumplirá con las especificaciones

El índice Cpk es igual al índice unilateral más malo, por lo que si el valor del Cpk

es satisfactorio, eso indicará que el proceso en realidad es capaz.

EJEMPLO:

Una característica de calidad importante en la fabricación de un llanta es la longitud

de capa, que para cierto tipo de llanta debe ser de 780 mm con una tolerancia de :;10

mm . La longitud es el resultado de un proceso de corte, por lo que este proceso debe

garantizar que la longitud esté entre las especificaciones inferior EI=770 y la superior

ES=790, con un valor ideal o nominal de N=780. Para monitorear el correcto

Funcionamiento del proceso de corte, cada media hora se toman cinco capas y se

miden. De acuerdo con las mediciones hechas en el último mes, en el que el proceso

Ha estado trabajando de manera estable, se tiene que la media y la desviación

estándar del proceso son 𝜇 = 781 𝑦 𝜎 = 4, respectivamente. Con base en esto se

requiere tener una evaluación de la manera que el proceso ha estado cumpliendo con

las especificaciones. Haremos esto con base en los índices de capacidad.

𝐶𝑝 = 790;7706 4

<2024<0,83

La variación es de 20, pero la variación real de 24 es mayor. Por tanto, el proceso es

incapaz , ya que genera capas con una longitud no satisfactoria. De acuerdo con la

información de la tabla anterior el proceso es de tercera categoría no adecuado para el

trabajo, y en función de la tabla siguiente se espera que aproximadamente 1,64% de

las capas tengan una longitud no satisfactoria.

Proceso con doble especificación

(Índice Cp )

Con respecto a una sola

especificación Cpi y Cps

Valor del índice

% fuera de las dos

especificaciones Partes por millon fuera

% fuera de las dos

especificaciones Partes por millon fuera

0,2 54,8506% 548506,000 27,43% 274253

0,3 36,8120% 368120,000 18,41% 184060

0,4 23,0139% 230139,000 11,51% 115070

0,5 13,3614% 133614,000 6,68% 66807

0,6 7,1861% 71861,000 3,59% 35930

0,7 3,5729% 35729,000 1,79% 17864

0,8 1,6395% 16395,000 0,82% 8198

0,9 0,6934% 6934,000 0,35% 3467

1 0,2700% 2700,000 0,14% 1350

1,2 0,0967% 967,000 0,05% 483

1,3 0,0096% 96,000 0,02% 159

1,4 0,0027% 27,000 0,00% 48

1,5 0,0007% 7,000 0,00% 13

1,6 0,0002% 2,000 0,00% 3

1,7 0,0000% 0,000 0,00% 1

1,8 0,0000% 0,000 0,00% 0

1,9 0,0000% 0,000 0,00% 0

2 0,0000% 0,000 0,00% 0

Los índices Cp , Cpi y Cps en términos de la cantidad de piezas malas (corto plazo)

bajo normalidad y proceso centrado en el cao de la doble especificación

Tabla 5,2

El índice de descentrado de proceso o índice de localización, K, es una medida de

especializada para evaluar el centrado del proceso, ya que mide en términos relativos

y porcentuales que tan descentrado o alejado está de la media de un proceso el valor

nominal, N, para la característica de calidad.

Este índice se calcula de la siguiente manera:

𝑘 = 𝜇;𝑁12 𝐸𝑆;𝐸𝐼

∗100

De esta forma el índice K es igual ala media del proceso 𝜇 menos el valor nominal

para la característica de calidad N, dividida entre la mitad de las especificaciones. Es

decir, el índica mide que tan descentrado está el proceso en función de la mitad de la

amplitud de la especificaciones , y al multiplica por 100 se convierte en una medida

porcentual.

Por ejemplo la longitud de la capa de llanta, el índice K es

𝑘 = 781;78012 790;770

∗100<10%

De esta forma la media está desviada 10% a la derecha del valor nominal, por lo que

el centrado del proceso se puede considerar aceptable y esto no contribuye de manera

Significativa a la baja capacidad del proceso.

Por tanto si el signo del índice K es positivo significa que la media del proceso es

mayor al valor nominal, y será negativo cuando la media sea menor que el valor

nominal

Valores K menores a 20% en términos absolutos se puede considerar como aceptable

pero a medida que el valor absoluto de k sea más grande que 20%, indica un proceso

muy descentrado, lo que puede contribuir de manera significativa a que la capacidad del

proceso para cumplir las especificaciones sea baja.

Índice Cpm (índice de taguchi)

Taguchi propone una definición alternativa de los índices de capacidad del proceso, la

cual se fundamenta en lo que él denomina función de perdida. Al índice propuesto por

Taguchi, que se denota con Cpm, toma en cuenta en forma simultánea el centrado y la

variabilidad del proceso está definido por

𝐶𝑝𝑚 = 𝐸𝑆;𝐸𝐼

6𝜏 donde 𝜏 = 𝜎2 + 𝜇 + 𝑁 2

N el valor nominal de la característica de calidad ; EI y ES son las especificaciones

inferiores y superiores. El valor de N generalmente es igual al punto medio de las

especificaciones, es decir, N=0,5(ES + EI). Nótese que el índice Cpm compara el ancho de

la especificaciones con 6𝜏 , pero 𝜏 no sólo toma en cuenta la variabilidad del proceso a

través de 𝜎2, si no que tambien toma en cuenta el centrado a través de 𝜇 − 𝑁 2 . De

esta forma, si el proceso está centrado, es decir, si 𝜇 = 𝑁 , entonces el Cp y Cpm son

iguales.

Interpretación: Cuando el índice Cpm es mayor que uno, entonces eso quiere decir

Que el proceso cumple con las especificaciones, y en particular que la media del

proceso está dentro de tercera parte media de la banda de las especificaciones.

Si Cpm es mayor que 1,33 entonces el proceso cumple con especificaciones, pero

a demás la media del proceso esta dentro de la quinta parte media del rango de

especificaciones. Por ejemplo para las llantas el índice es:

𝐶𝑝𝑚 = 790;770

6 42: 781:780 2<

2024,74

<0,81

que al ser menor que uno muestra que el proceso que corta la capa de llanta

No es capaz , como ya lo sabíamos por los análisis previos.

Es necesario recordar que las interpretaciones de los índices antes visto, para

que sean aplicables como pronósticos del desempeño del proceso en el futuro

inmediato, es importante que los procesos sean estables. Además se requieren

que las características de calidad se distribuyan en forma normal o por lo menos

no tan diferente de ésta. Algo relevante es que los cálculos de los índices están

basados en los parámetros poblacionales del proceso 𝜇 y 𝜎. Si los cálculos son

basados en una muestra pequeña, la interpretación cambia, como lo veremos

más adelante

En la industria existen gran cantidad de variables con una especificación,, ya sea

variables del tipo entre más grande mejor, donde lo que interesa es que sea

mayores a cierto valor mínimo (EI); o variables del tipo entre más pequeña mejor ,

donde lo que se requiere es que nunca exceda un cierto valor máximo (ES).

Suponga que una característica de calidad tiene especificaciones de 50 :

; 1. Para

tener idea de la capacidad del proceso para cumplir con estas especificaciones , se

obtiene una muestra aleatoria de 40 unidades producidas por el proceso. De las

mediciones de esas 40 unidades se obtiene que la media y la desviación estándar

para la muestra son:

𝑥 = 50,15 𝑦 𝑆 = 0,289

Con ello se pueden estimar los índices

𝐶 𝑝 = 51;496(0,289)

<1,15

𝐶 𝑝𝑘 = 𝑀𝑖𝑛 50,15;493 0,289

, 51;50,153 0,289

= 𝑀𝑖𝑛 1,33 , 0,98 = 0,98

𝐶 𝑝𝑚 = 51;49

6 0,289 2: 50,15;50 2<1,02

Para tener una idea del índice poblacional del proceso, se calcula un intervalo de

confianza con una confianza del 95%

𝐶𝑝 = 1,15 ± 1,96 1,15

2 40;1<1,15±0,26 = (0,89, 1,41) 𝐶 𝑝𝑘 = 0,98 ± 1,96 0,98 2

2 40;1+ 1

9 40

= 0,98 ± 0,24 = 0,74, 1,22

EJEMPLO

𝐶 𝑝𝑚 = 1,02 ± 1,961,02

40

12:

50,15;50 2

0,289 2

1:50,15;50 2

0,289 2

= 1,02 ± 0,22 = 0,8, 1,24

El 0,26, 0,24 y el 0,22 son los errores de estimación y son iguales a la mitad del

intervalo de confianza. De esta manera, con una confianza del 95% el verdadero

valor del índice Cp está entre 0,89 y 1,41, el Cpk se localiza con una confianza del

95% entre 0,74 y 1,22, y el índice Cpm entre 0,80 y 1,24. Por tanto, con base en la

muestra sería riesgoso afirmar que el proceso es potencialmente capaz, ya que el

verdadero valor del Cp podría ser hasta 0,89; pero también sería riesgoso afirmar

que es malo, ya que el verdadero valor del Cp podría ser de 1,41. Lo mismo se puede

decir respecto a la capacidad real, ya que lo mismo puede ser malo (Cpk =0,74 y Cpm

=0,80 ), y bueno si (Cpk = 1,22 y Cpm = 1,24). Para reducir esta incertidumbre y el

error de estimación, es necesario medir mas pieza (incrementar el tamaño de la

muestra)

De manera general, si se toma una muestra aleatoria de un proceso para evaluar

su capacidad, entonces con base en los intervalos de confianza para los índices se

puede encontrar tres tipos de procesos:

1, Procesos con muy buena capacidad. Se tiene este caso cuando el límite inferior

de los intervalos de confianza para los índices es mayor que 1,33 (o por lo menos

Que 1,0).

2, Procesos con muy mala capacidad. Se podrá afirmar esto cuando el límite superior

De los intervalos de confianza para los índices sea menor que 1,0.

3. Procesos con una capacidad intermedia o incertidumbre sobre su capacidad real

Se presenta cuando no esta en ninguno de las dos situaciones anteriores, es decir,

Cuando el intervalo incluya al número uno al 1,33, como en el caso del ejemplo

Anterior. En esta situación , se debe seguir monitoreando el proceso hasta tener un

tamaño de muestra mayor, para así tener una mayor certidumbre sobre la capacidad

Del correspondiente proceso.

ESTUDIO REAL (INTEGRAL) DE CAPACIDAD

(Proceso descentrado). De manera similar a los ejemplos anteriores, en otro modelo

De llanta para automóviles se tiene la longitud de capa debe ser de 550 mm con

Una tolerancia de ± 8 mm. La longitud de la capa es el resultado de un proceso

de corte de una tira de hule, que debe garantizar que la longitud esté entre las espe-

cificaciones inferiores EI = 542 y la superior ES= 558, con un valor ideal o nominal

N = 550. Para detectar la posible presencia de causas especiales de variación, y en

general para monitoriar el correcto funcionamiento del proceso de corte, en este caso,

cada hora toma cinco capas y se mide. Los datos obtenidos en últimos cuatro días se

muestran en la siguiente tabla: