cálculo incertidumbre de las estimaciones de las

Cálculo Incertidumbre de las Estimaciones de las Correcciones en

Aceleradores de Altas Energías

Gabriel Enrique Gutiérrez Parra

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Física

Bogotá, Colombia

2018

Cálculo Incertidumbre de las Estimaciones de las Correcciones en

Aceleradores de Altas Energías

Gabriel Enrique Gutiérrez Parra

Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Física

Director (a):

Ph.D. Javier Fernando Cardona

Línea de Investigación:

Física de Aceleradores

Grupo de Investigación:

Física de Aceleradores

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Física, Sede Bogotá

Bogotá, Colombia

2018

Resumen y Abstract V

Resumen

Un acelerador de altas energías es una máquina muy compleja con cientos de miles de

componentes y con muchos problemas técnicos. Uno de los principales problemas tiene

que ver con el control de la trayectoria del haz de partículas. El haz de partículas se

desvía de su trayectoria diseñada principalmente por presencia de errores magnéticos,

los cuales no pueden ser solucionados desmontando los imanes o la electrónica

instalada para realizar las correcciones ya que implica detener la operación del

acelerador, dejar de hacer experimentos y por consiguiente desaprovechar el recurso.

Una alternativa más práctica consiste en cambiar la intensidad de la corriente de uno o

varios imanes con el fin de corregir la trayectoria de las partículas. Para esto es

necesario conocer la intensidad y ubicación del error existente a través de una técnica

como la del método Salto de Acción y Fase el cual se basa en datos experimentales que

reportan los instrumentos electrónicos instalados en el acelerador. Es importante saber la

incertidumbre asociada a estas estimaciones de los errores para determinar qué tan

precisos son. El presente trabajo muestra cómo hallar estas incertidumbres a través del

método de propagación de errores y su implementación en el lenguaje de programación

Python. Al aplicar este método, se logra reducir el tiempo de cómputo calculando la

incertidumbre principalmente para tres variables con un error relativo entre 6% y 17%, los

cuales son comprobados bajo varias pruebas estadísticas.

Palabras clave: propagación de errores, acción y fase, errores magnéticos, Python,

LHC.

VI Título de la tesis o trabajo de investigación

Abstract

A high-energy accelerator is a very complex machine with hundreds of kilometers of

components and many technical problems. One of the main problems has to do with the

control of the path of the particle beam. The particle beam deviates from its trajectory

designed mainly by the presence of magnetic errors, which cannot be solved by

disassembling the magnets or the installed electronics to make the corrections since it

involves stopping the operation of the accelerator, stop doing experiments and

consequently missing the resource. A more practical alternative is to change the intensity

of the current of one or several magnets in order to correct the trajectory of the particles.

For this, it is necessary to know the intensity and location of the existing error through a

technique such as the Jump Action and Phase method, which is based on experimental

data reported by the electronic instruments installed in the accelerator. It is important to

know the uncertainty associated with the estimation of these errors to determine how

accurate they are. The present work shows how to find these uncertainties through the

method of propagation of errors and its implementation in the Python programming

language. By applying this method, it is possible to reduce the computation time by

calculating the uncertainty for mainly three variables with a relative error from 6% to 17%,

which were verified under several statistical tests.

Keywords: error propagation, action and phase, magnetic errors, Python, LHC

Contenido VII

Contenido

1. Introducción ............................................................................................................. 1

2. Marco teórico ............................................................................................................ 4 2.1 Sistema de coordenadas .................................................................................... 4 2.2 Componentes de un acelerador circular ............................................................. 5 2.3 Errores magnéticos ............................................................................................ 7

3. Estado actual del tema ............................................................................................. 9 3.1 Método salto de acción y fase .......................................................................... 11 3.2 Propagación de errores .................................................................................... 16

4. Objetivos ................................................................................................................. 19 4.1 Objetivo general ............................................................................................... 19 4.2 Objetivos específicos ....................................................................................... 19

5. Resultados y análisis ............................................................................................. 21 5.1 Incertidumbres analíticas .................................................................................. 21 5.2 Incertidumbres de datos de simulación ............................................................ 28 5.3 Incertidumbres de datos reales ........................................................................ 30 5.4 Funciones de Python ........................................................................................ 32

6. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................ 39 6.1 Conclusiones .................................................................................................... 39 6.2 Recomendaciones ............................................................................................ 40

VIII Tabla de abreviaciones

Abreviaturas

DMV Data Multivuelta BPM Beam Position Monitor LHC Large Hadron Collider CERN Consejo Europeo para la Investigación Nuclear KeV Kilo Electrón-Voltio GeV Giga Electrón-Voltio TeV Tera Electrón-Voltio SAF Salto de Acción y Fase PAC Particle Accelerator Conference JACOW Joint Accelerator Conferences Website ORM Orbit Response Matrix SVD Singular Value Decomposition

1. Introducción

Los aceleradores de partículas son aparatos electromagnéticos que imprimen gran

velocidad a partículas elementales con el propósito de desintegrar el núcleo de los

átomos que bombardea, como por ejemplo protones o iones. Inicialmente los

aceleradores eran pequeños, de pocos centímetros o pocos metros. Actualmente son

importantes debido a que se hacen innumerables investigaciones y gracias a ellas dan

como resultado aplicaciones como por ejemplo en centros médicos para técnicas de

radioterapia, en la industria para seguridad portuaria, micromaquinado, esterilazión de

comida, en la transformación de desechos nucleares o en la exploración de gas natural

y/o petróleo [1]. Los aceleradores de partículas pueden clasificarse como lineales o

circulares, los cuales operan a altas energías, del orden de los Tera electrón voltios

(TeV), y pueden ser usados, por ejemplo, para el estudio de las propiedades de nuevas

partículas subatómicas producidas por la colisión de dos haces que viajan en sentido

contrario y para tratar de entender o explicar algunos misterios que el modelo estándar1

de partículas aún no ha podido aclarar. Los aceleradores de partículas también permiten

simular bajo condiciones controladas los ambientes donde se presentan algunos

fenómenos tales como la acción de los rayos cósmicos sobre la atmósfera terrestre. De

esta manera se puede analizar más cómodamente qué nuevas partículas se han

generado durante el proceso [2].

El desarrollo de los aceleradores empezó en 1911 cuando el físico Neo Zelandés Ernest

Rutherford investigaba la estructura del núcleo de átomo bombardeando con partículas

alfa una lámina de aluminio [3]. Luego en la década de 1920 se inventó el primer

acelerador electrostático usado para demostrar la desintegración del núcleo de Litio

1 Teoría que trata de explicar la estructura fundamental de la materia de partículas subatómicas.

2 Introducción

cuando se bombardeaba con protones que alcanzaban apenas una energía del orden de

los KeV. Posteriormente, los aceleradores evolucionaron y manejaron una energía del

orden de los GeV pasando hoy en día a energías del orden de los TeV. Esta evolución ha

estado acompañada de desarrollos en diferentes ramas de la ciencia los cuales incluye el

electromagnetismo, propiedades de estado sólido de materiales, física atómica,

superconductividad, física de plasma y física cuántica [4]. Los esfuerzos que se han

hecho para que los aceleradores de altas energías puedan manejar una energía cada

vez más alta son innumerables y presentan retos interesantes que los físicos e

ingenieros deben enfrentar. Uno de los principales retos es hacer que el haz de

partículas sea lo suficientemente fino (del orden de 10-16m) para que cuando llegue a la

región de interacción2 haya la mayor cantidad de choques de partículas, es decir que se

presente una alta luminosidad. En el recorrido del haz se pueden presentar algunos

errores magnéticos bien sea por una inapropiada corriente en las bobinas de los núcleos

de hierros o porque los imanes tienen una posición física desalineada. Los principales

imanes que se emplean en la orientación del haz son los dipolos y los cuadrupolos, los

cuales se encuentran a lo largo del tubo del acelerador. Los cuadrupolos y dipolos son

muy difíciles de calibrar para lograr que las partículas se mueven exactamente por la

órbita diseñada, es decir que cada uno de estos cuadrupolos tiene un error magnético

asociado. Eliminar la presencia de estos errores es prácticamente imposible y costoso

para la operación del acelerador, por eso es necesario realizar correcciones manipulando

la corriente que maneja cada uno de los imanes. La información necesaria para el cálculo

de las correcciones viene de los datos experimentales que el mismo acelerador provee a

través de los Monitores de Posición de Haz (BPM, por sus siglas en inglés). Es claro

pensar entonces que estos cálculos tienen incertidumbres asociadas y sería ideal poder

calcularlas para determinar qué tan exactas son estas mediciones.

Existen algunas técnicas que permiten calcular las correcciones apropiadas para que el

haz corrija su trayectoria justo antes de llegar al punto de interacción. Una de las técnicas

existentes fue desarrollada por J. Cardona [5] y que se conoce como método Salto de

Acción y Fase (SAF). Con este método se puede identificar la coordenada longitudinal

donde se presenta el error y la magnitud del mismo. El método se emplea principalmente

2 Lugar donde se produce la colisión de dos haces.

Introducción 3

para las regiones de interacción, porque es allí donde es más importante corregir

cualquier desviación del haz o de los haces antes de colisionar, y se basa en los datos

reportados por los BPM’s, coordenadas (𝑥, 𝑦) del plano transversal por donde pasa el

haz de partículas y los valores de las funciones de red 𝛽 y 𝜓, que dependen solamente

de la coordenada longitudinal y que son propias de cada acelerador.

La muestra de datos es tomada de un conjunto de varias vueltas, que se conocen como

una data multivuelta (DMV). Para el caso del Gran Colisionador de Hadrones (LHC, por

sus siglas en inglés) una DMV equivale a 6600 vueltas que dan las partículas aceleradas.

Hasta este momento, la forma estadística para determinar las incertidumbres de las

correcciones se realiza por lo menos con información de diez DMV. Sin embargo, en este

trabajo se muestra cómo se pueden calcular estas mismas incertidumbres sólo con una

DMV, siempre y cuando se conozcan las incertidumbres de las variables iniciales para

luego realizar la propagación de errores.

2. Marco teórico

En este capítulo se hace un recuento de los principales conceptos a tener en cuenta para

poder entender el desarrollo y objetivos del presente trabajo.

2.1 Sistema de coordenadas

El sistema de coordenadas que se emplea para caracterizar el movimiento de las

partículas en un acelerador circular está dado por una coordenada 𝑥, que va

perpendicular a la trayectoria diseñada y que aumenta radialmente hacia la parte externa

del acelerador, una coordenada 𝑦, que también va perpendicular a la trayectoria

diseñada, perpendicular al eje 𝑥 y que aumenta hacia la parte superior del acelerador, y

una coordenada 𝑠, que va perpendicular tanto al eje 𝑥 como al eje 𝑦 y que aumenta a lo

largo de la circunferencia del acelerador, tal como se aprecia en la Figura 2-1.

Figura 2-1. Sistema de coordenadas empleadas en el LHC. Por convención la coordenada 𝑧 se

nombra como coordenada 𝑠, en su lugar.

Introducción 5

2.2 Componentes de un acelerador circular

Un acelerador de partículas tiene miles de componentes para su funcionamiento, pero

cuando se trata de controlar la trayectoria de los haces de partículas tenemos

principalmente dos componentes, los dipolos y los cuadrupolos. Los dipolos son imanes,

aproximadamente de 15 m en el caso del LHC, que forman un campo magnético

perpendicular a la trayectoria de las partículas con el fin de alterar la dirección del haz

(ver Figura 2-2). De esta forma el haz estará moviéndose todo el tiempo en forma

circular. En el caso del LHC, por ejemplo, se requieren miles de estos dipolos a lo largo

del recorrido de las partículas con el fin de controlar su trayectoria.

Figura 2-2. Corte transversal de un dipolo. Un dipolo puede tener una longitud de 15 metros. Imagen tomada de [46].

Otros elementos que ayudan a mantener el haz de partículas sobre la trayectoria

diseñada son los cuadrupolos. Estos son imanes que tienen cuatro núcleos colocados

como lo muestra la Figura 2-3. Los cuadrupolos se colocan paralelos al plano transversal

(perpendicular a la trayectoria) y forman un campo magnético tal que si el haz de

partículas, que sale del plano de este documento, está a la derecha o a la izquierda del

eje 𝑦 (ver Figura 2-3) entonces este haz sentirá una fuerza hacia el centro, pero si el haz

de partículas está en la parte superior o inferior del eje 𝑥 entonces el haz sentirá una

fuerza que lo aleja del centro. Para corregir esta última situación, lo que se hace es

colocar otro imán cuadrupolar rotado 90 grados respecto al primer cuadrupolo sobre el

mismo eje longitudinal. De esta forma el haz que se aleja del centro con el primer

cuadrupolo se acerca al centro con el segundo cuadrupolo (ver Figura 2-4).

6 Introducción

Figura 2-3. Esquema de un cuadrupolo. Un cuadrupolo se usa para centrar el haz de partículas. Imagen tomada de [47].

La función principal de los cuadrupolos es hacer que el haz sea lo más fino posible antes

de que colisione con otro haz en sentido contrario y así producir la mayor cantidad de

colisiones entre partículas. La densidad de cuadrupolos aumenta a media que el haz de

partículas se acerca al punto donde se produce la colisión (región de interacción).

Figura 2-4. Esquema de dos cuadrupolos sobre el mismo eje longitudinal. Siempre se manejan al menos dos cuadrupolos seguidos. Imagen tomada de [48]

Otros elementos importantes del acelerador son los BPM’s (Beam Position Monitor) los

cuales son dispositivos electrónicos que registran la posición del haz cuando pasa a

través de un plano transversal ubicado a lo largo del eje longitudinal. Con estas

posiciones registradas, coordenadas (𝑥, 𝑦), se puede saber qué tan alejado está el haz de

la trayectoria diseñada para posteriormente hacer las correcciones necesarias.

Introducción 7

Además de estas coordenadas también se conocen las funciones de red 𝛽(𝑠) y 𝜓(𝑠) que

son propias de cada acelerador y que dependen sólo de la coordenada longitudinal,

usualmente llamada 𝑠. En el caso del LHC, esta coordenada va desde 0 hasta 26658

metros.

2.3 Errores magnéticos

Los errores magnéticos son producidos, por ejemplo, por cambios de intensidad del

campo magnético que forman los imanes que sirven para orientar el haz de partículas.

Estos errores se conocen con el nombre de errores de intensidad y pueden afectar la

dirección del haz a tal punto que este se puede perder al chocar contra las paredes del

tubo por donde circula, ocasionando un accidente grave en la estructura del acelerador.

Otros errores se producen por una posición incorrecta de los imanes. Normalmente esto

ocurre porque el imán queda levemente rotado sobre el eje longitudinal produciendo un

acoplamiento entre los movimientos de las componentes en los ejes 𝑥 y 𝑦, lo que al final

también ocasiona un error de intensidad. Matemáticamente, se puede decir que un error

magnético es una variación del campo magnético representado como [54]

𝐵𝑥 = 𝐵𝑥′ + Δ𝐵𝑥

(1)

𝐵𝑦 = 𝐵𝑦′ + Δ𝐵𝑦

donde 𝐵𝑥 y 𝐵𝑦 representan el campo magnético, en la dirección 𝑥 y 𝑦, respectivamente,

luego de ser afectado el campo magnético ideal 𝐵𝑥′ y 𝐵𝑦

′ por Δ𝐵𝑥 y Δ𝐵𝑦, llamadas también

perturbaciones. Cuando un error se presenta en un cuadrupolo del acelerador, la

deflexión de la trayectoria, debida a dicho error, está dada por [43]

θ𝑥´ = −Δ𝐵𝑦𝑙

𝐵𝜌

(2)

θ𝑦´ =Δ𝐵𝑥𝑙

𝐵𝜌

donde 𝑙 representa la longitud del imán, Δ𝐵𝑥 y Δ𝐵𝑦 representan la variación del campo

magnético en el eje horizontal y el eje vertical, respectivamente, y 𝐵𝜌 representa la rigidez

8 Introducción

magnética3. Si tenemos el cuadrupolo rotado un ángulo 𝜙, el campo magnético se puede

ver afectado acoplando los movimientos en 𝑥 y en 𝑦 dando lugar a la siguiente expresión

para el nuevo campo magnético.

𝐵𝑥 = 𝐵′(𝑦 cos(2𝜙) − 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (2𝜙))

(3)

𝐵𝑦 = 𝐵′(𝑥 cos (2𝜙) + 𝑦 𝑠𝑒𝑛(2𝜙))

donde B' es el gradiente del cuadrupolo.

Teniendo en cuenta la situación donde a este error de rotación se le suma un error de

intensidad, la ecuación (2) toma la siguiente forma

𝜃𝑥′ =𝐵′𝑙

𝐵𝜌

(1 − cos (2𝜙))𝑥 −Δ𝐵′𝑙

𝐵𝜌cos(2𝜙) 𝑥 −

𝐵′𝑙

𝐵𝜌𝑠𝑒𝑛(2𝜙)𝑦 −

Δ𝐵′𝑙

𝐵𝜌𝑠𝑒𝑛(2𝜙)𝑦

(4)

𝜃𝑦′ = −𝐵′𝑙

𝐵𝜌

(1 − cos(2𝜙))𝑦 +Δ𝐵′𝑙

𝐵𝜌cos(2𝜙) 𝑦 −

𝐵′𝑙

𝐵𝜌𝑠𝑒𝑛(2𝜙)𝑥 −

Δ𝐵′𝑙

𝐵𝜌𝑠𝑒𝑛(2𝜙)𝑥

Haciendo la aproximación para ángulos pequeños (𝑠𝑒𝑛(2𝜙) ≈ 0 ; cos (2𝜙) ≈ 2𝜙), la

ecuación (4) se transforma en la expresión

𝜃𝑥′ = −𝐵1𝑥 + 𝐴1𝑦

(5)

𝜃𝑦′ = 𝐵1𝑦 + 𝐴1𝑥

donde 𝐴1 = −2𝜙𝐵´𝑙

𝐵𝜌 y B1 =

𝛥𝐵´𝑙

𝐵𝜌 .

Por lo tanto, si conocemos 𝜃𝑥′ y 𝜃𝑦′ se puede hallar el error skew o de rotación y el error

de gradiente.

3 Cantidad de movimiento por unidad de carga de una partícula que se mueve perpendicularmente a un campo magnético y que es proporcional al producto de la inducción magnética por el radio de curvatura del acelerador.

3. Estado actual del tema

Los métodos para la corrección de órbitas en aceleradores de partículas han

evolucionado junto con los tipos de aceleradores. Una división concisa de los tipos de

aceleradores diseñados a la fecha de acuerdo al método de direccionamiento del haz de

las partículas, es la siguiente [55]:

Direccionamiento por Campo Eléctrico

Electrostáticos: Tubos de rayos catódicos (1897 - ), Van der Graaf (1929 -

1[MeV]),

Cockcroft-Walton (1932 - 700[KeV]), Tandem (-24.5[MeV])

Resonante: aceleradores lineales (1928 - 50[KeV])

Direccionamiento por Campo Magnético

Enfocamiento débil: betatrón (1940 - 300[MeV]), ciclotrón (1931 - 80[KeV]), sincro-

ciclotrón (1946 - 380[MeV]), ciclotrón-isócrono, sincrotrón (1952 - 3[GeV])

Enfocamiento fuerte: sincrotrón (1968 - 33[GeV]), anillos colisionadores y de

almacenamiento (1968 - 30[GeV]).

Donde se señalan entre paréntesis, la fecha aproximada de su comisionamiento y la

energía máxima del primer modelo construido, tomadas de CAS [7].

Con el aumento de la energía máxima alcanzada por un acelerador, se observa el

cambio de eléctrico a magnético en los métodos de enfocamiento en el transcurso del

tiempo, de tal forma que, para los aceleradores de altas energías, se utilizan los campos

eléctricos para acelerar el haz y los campos magnéticos para direccionarlo e incluso

10 Estado actual del tema

enfocarlo hacia puntos específicos donde se desea surjan las interacciones objeto de

estudio.

Esto hizo que las diferentes líneas de estudio de la trayectoria de las partículas en un

acelerador se pudieran dividir, dando origen a los métodos para la corrección de orbitas

(Orbit Correction Methods), particularmente centrados en la modificación de los

elementos magnéticos que componen el acelerador con el fin de modificar las

características de haz.

La evolución inicial de estos métodos fue independiente para cada laboratorio que

invirtiera en esta tecnología, y la necesidad de herramientas para realizar estos análisis

aumentó junto con la energía y complejidad de la red de elementos.

Surgen entonces las primeras publicaciones referentes al tema, publicadas en las

Conferencias de Aceleradores de Partículas (PAC, Particle Accelerator Conference), al

igual que en Asia (APAC), Europa (EPAC), y eventos internacionales (IPAC). A pesar de

no ser una lista rigurosa, en el Portal Conjunto de Conferencias sobre Aceleradores (Joint

Accelerator Conferences Website JACOW, http://www.jacow.org) se resaltan entre los

diversos métodos los siguientes:

Orbit Response Matrix (ORM): Publicaciones [8-21]

Singular Value Decomposition (SVD): Publicaciones [22-35]

Segment by segment: Publicaciones [35]

Action and Phase Jump (Salto de Acción y Fase): Publicaciones [36-43]

En este trabajo se hará énfasis especialmente en el método Salto de Acción y Fase

(SAF), ya que es un método que el grupo de investigación de Física de Aceleradores de

la Universidad Nacional de Colombia ha desarrollado desde hace varios años bajo la

dirección del profesor Javier Cardona. Con este método se pueden determinar tanto la

magnitud del error como la posición del mismo [44]. Se empieza por usar el método

cuando existe un único error y luego se extiende para varios errores, situación en la cual

se puede considerar como si solo hubiera un único error en una posición arbitraria.

El método SAF se desarrolló como alternativa para el análisis global y local de los errores

magnéticos en un acelerador. Se considera un método teórico diferente, que permite la

Marco teórico 11

detección de errores lineales (dipolos y cuadrupolos) y no lineales (séxtupolos en

adelante), en especial para las regiones de interacción, que es donde están ubicados los

experimentos, es decir el lugar donde los haces de partículas colisionan, generando un

subproducto de otras partículas.

Una de las principales aplicaciones del método SAF fue determinar las correcciones que

se deben aplicar para eliminar el error [45]. Actualmente, el cálculo de la incertidumbre de

estas correcciones se hace a partir de varios resultados, cada uno de una DMV diferente,

y posteriormente calculando la desviación estándar de estas correcciones. Se desea

encontrar un método alternativo que a través de sola una DMV se logre el mismo

resultado.

3.1 Método salto de acción y fase

En sus inicios el método SAF permitía determinar si había un error (la magnitud y la

posición del mismo) a lo largo del recorrido de las partículas dentro de un acelerador

circular de altas energías. Según [5], la ecuación de movimiento de las partículas a lo

largo de su trayectoria está dado por la expresión

𝑧(𝑠) = √2𝐽𝑧𝛽𝑧(𝑠) 𝑠𝑖𝑛[𝜓𝑧(𝑠) − 𝛿𝑧] (6)

Como la ecuación (6) se cumple tanto para la coordenada 𝑥 como para la coordenada 𝑦

entonces por notación se usa 𝑧, en su lugar. Es decir que 𝑧(𝑠) representa la coordenada

𝑥 (en metros) o la coordenada 𝑦 (en metros) en la posición longitudinal 𝑠 (en metros), 𝐽𝑧

representa la acción (en metros) para el eje 𝑥 o el eje 𝑦, 𝛽𝑧(𝑠) representa el valor de la

función de red (en metros) 𝛽𝑥 o 𝛽𝑦 para la posición longitudinal 𝑠, 𝜓𝑧(𝑠) representa la

función de red (en radianes) 𝜓𝑥 o 𝜓𝑦 en la posición longitudinal 𝑠 y 𝛿𝑧 representa la fase

(en radianes) para el eje 𝑥 o para el eje 𝑦.

Con los datos que se obtienen de los BPM’s se puede formar un conjunto de ecuaciones

para poder hallar la acción y la fase en una determina coordenada 𝑠. Tomando dos

puntos contiguos (𝑥 o 𝑦) y usando (6) y dos BPM’s, se deducen las ecuaciones, según

[43], para hallar la acción y la fase de ellos, tal como se presentan en las ecuaciones (7)

y (8), respectivamente.


𝐽𝑧𝑖+1=

(𝑧𝑖

√𝛽𝑧𝑖

)

2

+(𝑧𝑖+1

√𝛽𝑧𝑖+1

)

2

2 𝑠𝑖𝑛2(𝜓𝑧𝑖+1−𝜓𝑧𝑖

)−

𝑧𝑖 𝑧𝑖+1 cos(𝜓𝑧𝑖+1−𝜓𝑧𝑖)

√𝛽𝑧𝑖𝛽𝑧𝑖+1

𝑠𝑖𝑛2(𝜓𝑧𝑖+1−𝜓𝑧𝑖

) (7)

𝑡𝑎𝑛 (𝛿)𝑧𝑖+1=

(𝑧𝑖

√𝛽𝑧𝑖

) 𝑠𝑖𝑛(𝜓𝑧𝑖+1)−(

𝑧𝑖+1

√𝛽𝑧𝑖+1

)𝑠𝑖𝑛 (𝜓𝑧𝑖)

(𝑧𝑖

√𝛽𝑧𝑖

) 𝑐𝑜𝑠(𝜓𝑧𝑖+1)−(

𝑧𝑖+1

√𝛽𝑧𝑖+1

)𝑐𝑜𝑠 (𝜓𝑧𝑖)

(8)

Si no existen errores magnéticos la acción y la fase deben ser constantes a lo largo de la

coordenada 𝑠, pero si existe un error magnético se presentará un salto o cambio para el

valor de la acción y para el valor de la fase en la posición donde existe el error

(coordenada 𝑠𝜃), como se muestra en la Figura 3-1.

Figura 3-1. Salto de Acción y Fase. Este método se basa en estas discontinuidades para determinar dónde hay errores y cuál es su magnitud. Imagen tomada de [43]

Se puede demostrar, según [45], que la ecuación de movimiento después de que la

partícula ha pasado a través de un error magnético puede ser descrita por la expresión

𝑧(𝑠) = √2𝐽𝑧0𝛽𝑧(𝑠) 𝑠𝑒𝑛(𝜓𝑧(𝑠) − 𝛿𝑧0

) + 𝜃𝑧√𝛽𝑧(𝑠)𝛽𝑧(𝑠𝜃) 𝑠𝑒𝑛(𝜓𝑧(𝑠) − 𝜓𝑧(𝑠𝜃)) (9)

= √2𝐽𝑧1𝛽𝑧

(𝑠) 𝑠𝑒𝑛(𝜓𝑧(𝑠) − 𝛿𝑧1

) (10)

Marco teórico 13

donde 𝐽𝑧0 y 𝛿𝑧0

representan la acción y fase, respectivamente, antes del error, 𝐽𝑧1 y 𝛿𝑧1

representan la acción y la fase, respectivamente, después del error, y 𝛽𝑧, 𝜓𝑧 son las

funciones de red. El cambio de pendiente de la dirección del haz, kick del error 𝜃𝑧, puede

ser de cualquier orden: dipolar, cuadrupolar, sextupolar, etc. y puede ser estimado, según

[43], por procedimientos matemáticos a través de la expresión

𝜃𝑧 = √2𝐽𝑧0

+ 2𝐽𝑧1− 4√𝐽𝑧0

𝐽𝑧1 𝑐𝑜𝑠(𝛿𝑧0

− 𝛿𝑧1)

𝛽𝑧(𝑠𝜃) (11)

De acuerdo a [50], los componentes multipolares del error magnético, 𝐴𝑛 y 𝐵𝑛, pueden

ser estimados con

𝜃𝑥 = 𝐵0 − 𝐵1𝑥 + 𝐴1𝑦 + 2𝐴2𝑥𝑦 + 𝐵2(𝑦2 − 𝑥2) + ⋯, (12)

𝜃𝑦 = 𝐴0 + 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 2𝐵2𝑥𝑦 + 𝐴2(𝑥2 − 𝑦2) + ⋯, (13)

donde 𝑥 y 𝑦 son evaluados en 𝑠 = 𝑠𝜃. De las ecuaciones (12) y (13) se observan los

componentes dipolares, 𝐴𝑜 y 𝐵𝑜, las componentes cuadrupolares, 𝐴1 y 𝐵1, las

componentes sextupolares, 𝐴2 y 𝐵2, y así sucesivamente.

Las ecuaciones (12) y (13) se reducen a

𝜃𝑥 = −𝐵1𝑥 + 𝐴1𝑦 (14)

𝜃𝑦 = 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 (15)

si se considera solo los términos lineales y asumiendo que los términos cuadráticos son

despreciables. Las constantes dipolares 𝐴0 y 𝐵0 no se consideran ya que restando la

órbita cerrada su efecto se elimina.


En un acelerador de partículas, la sección más interesante es la región de interacción, ya

que allí es donde se efectúan los experimentos y además porqué cualquier alteración

significativa del campo magnético en esta región se reflejará en todo el acelerador. Es

por esto que la región de interacción cuenta con seis imanes cuadrupolares, tres a cada

lado del punto de colisión de los haces (punto de interacción), con el fin de lograr que los

haces estén lo más perfectamente alineados y así aprovechar la mayor cantidad de

colisiones. A estos tres imanes que existen a lado y lado del punto de interacción se les

conocen con el nombre de tripletes.

De acuerdo a [45], en un caso más general, la región de interacción puede tener

múltiples errores magnéticos distribuidos a lo largo de los imanes. En tal caso, el kick

equivalente, tanto para el eje horizontal como para el eje vertical, de los múltiples errores

magnéticos, está dado por

𝜃𝑥,𝑒 = −𝐵1𝑥,𝑒 𝑥𝑒 + 𝐴1,𝑒 𝑦𝑒 (16)

𝜃𝑦,𝑒 = 𝐵1𝑦,𝑒 𝑦𝑒 + 𝐴1,𝑒 𝑥𝑒 (17)

donde las componentes cuadrupolares integradas se definen como

𝐴1,𝑒 =∑ 𝐴1𝑖√𝛽𝑥(𝑠𝑖)𝛽𝑦(𝑠𝑖)6

𝑖=1

√𝛽𝑥(𝑠𝑒)𝛽𝑦(𝑠𝑒) (18)

𝐵1𝑥,𝑒 =1

𝛽𝑥(𝑠𝑒)∑ 𝐵1𝑖

6

𝑖=1

𝛽𝑥(𝑠𝑖) (19)

𝐵1𝑦,𝑒 =1

𝛽𝑦(𝑠𝑒)∑ 𝐵1𝑖

6

𝑖=1

𝛽𝑦(𝑠𝑖) (20)

para cada imán 𝑖 de los tripletes. Si se tiene en cuenta que el error magnético se distribuye homogéneamente a lo largo

del imán con una componente skew 𝐾1𝑠 y una componente normal 𝐾1, entonces las

componentes cuadrupolares integradas se pueden relacionar como

𝐴1𝑖 = 𝐾1𝑠,𝑖 𝐿𝑖 (21)

𝐵1𝑖 = ∆𝐾1𝑖 𝐿𝑖 (22)

Donde 𝐿𝑖 es el largo del 𝑖-ésimo imán.

Marco teórico 15

Usando las ecuaciones (21) y (22), las ecuaciones (18), (19) y (20) se pueden reescribir

como

𝐵1𝑥,𝑒 =1

𝛽𝑥(𝑠𝑒) ∑ ∆𝐾1𝑖 𝐼𝑥,𝑖

6

𝑖=1

(23)

𝐵1𝑦,𝑒 =1

𝛽𝑦(𝑠𝑒) ∑ ∆𝐾1𝑖 𝐼𝑦,𝑖

6

𝑖=1

(24)

𝐴1,𝑒 =∑ 𝐾1𝑠,𝑖 𝐼𝑥𝑦,𝑖

6𝑖=1

√𝛽𝑥(𝑠𝑒)𝛽𝑦(𝑠𝑒) (25)

donde

𝐼𝑥,𝑖 = ∫ 𝛽𝑥(𝑠′) 𝑑𝑠′𝑠𝑟𝑖

𝑠𝑙𝑖

(26)

𝐼𝑦,𝑖 = ∫ 𝛽𝑦(𝑠′) 𝑑𝑠′𝑠𝑟𝑖

𝑠𝑙𝑖

(27)

𝐼𝑥𝑦,𝑖 = ∫ √𝛽𝑥(𝑠′)𝛽𝑦(𝑠′) 𝑑𝑠′𝑠𝑟𝑖

𝑠𝑙𝑖

(28)

Los límites 𝑠𝑙𝑖 y 𝑠𝑟𝑖 de las integrales hacen referencia a la coordenada longitudinal 𝑠 del

comienzo y del final, respectivamente, del imán 𝑖-esimo.

La región de interacción presenta tres imanes normales antes del punto de colisión y tres

imanes normales después del punto de colisión. Para hallar las correcciones que hay que

hacer sobre estos imanes, primero se hallan las componentes cuadrupolares del kick

equivalente. Para esto se escogen dos trayectorias que cumplen ciertas condiciones [45],

y con ellas se obtiene la siguiente posible solución

𝐵1𝑥,𝑒 =𝑦𝑒1𝜃𝑥2,𝑒 − 𝑦𝑒2𝜃𝑥1,𝑒

𝑥𝑒1𝑦𝑒2 − 𝑥𝑒2𝑦𝑒1 (29)


𝐵1𝑦,𝑒 =𝑥𝑒1𝜃𝑦2,𝑒 − 𝑥𝑒2𝜃𝑦1,𝑒


𝐴1𝑥,𝑒 =𝑥𝑒1𝜃𝑥2,𝑒 − 𝑥𝑒2𝜃𝑥1,𝑒


o

𝐴1𝑦,𝑒 =𝑦𝑒2𝜃𝑦1,𝑒 − 𝑦𝑒1𝜃𝑦2,𝑒


Donde el subíndice 1 hace referencia a la trayectoria 1 y el subíndice 2 hace referencia a

la trayectoria 2.

Teniendo en cuenta las ecuaciones (18), (19) y (20), y siguiendo el procedimiento de la

sección VI de [45], se pueden determinar las correcciones de los imanes normales y

skew, que eliminan el error equivalente, mediante

∆𝐾1𝑎 =𝐵1𝑦,𝑒𝛽𝑦(𝑠𝑒)𝐼𝑥,𝑏 − 𝐵1𝑥,𝑒𝛽𝑥(𝑠𝑒)𝐼𝑦,𝑏

𝐼𝑥.𝑎𝐼𝑦,𝑏 − 𝐼𝑥,𝑏𝐼𝑦,𝑎 (33)

∆𝐾1𝑏 =𝐵1𝑥,𝑒𝛽𝑥(𝑠𝑒)𝐼𝑦,𝑎 − 𝐵1𝑦,𝑒𝛽𝑦(𝑠𝑒)𝐼𝑥,𝑎

𝐼𝑥.𝑎𝐼𝑦,𝑏 − 𝐼𝑥,𝑏𝐼𝑦,𝑎 (34)

𝐾1𝑠(𝑐)

= −√𝛽𝑥(𝑠𝑒)𝛽𝑦(𝑠𝑒)

𝐼𝑥𝑦 𝐴1,𝑒 (35)

donde 𝐴1,𝑒 =𝐴1𝑥,𝑒+𝐴1𝑦,2

2.

Los subíndices 𝑎 y 𝑏 sirven para distinguir un imán normal de otro imán normal, mientras

que el subíndice 𝑠 sirve para identificar el imán skew o imán rotado.

3.2 Propagación de errores

En estadística, la propagación de errores tiene que ver con el efecto que producen varias

variables, cada una con cierta incertidumbre, sobre la incertidumbre de una función

basada en ellas. Cuando las variables son mediciones de datos experimentales estas

Marco teórico 17

llevan implícitamente una incertidumbre asociada, dada principalmente por la calidad del

instrumento empleado para hacer la medición [51].

Si, por ejemplo, la función 𝑓 está dada por las variables 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, entonces la

incertidumbre Δ𝑓 asociada a esta función se define como

Δ𝑓 = √(𝜕𝑓

𝜕𝑥1Δ𝑥1)

2

+ (𝜕𝑓

𝜕𝑥2Δ𝑥2)

2

+ (𝜕𝑓

𝜕𝑥3Δ𝑥3)

2

+. . . + (𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑛Δ𝑥𝑛)

2

(36)

donde Δ𝑥1, Δ𝑥2, Δ𝑥3, …, Δ𝑥𝑛 representan la incertidumbre asociada a las variables

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, respectivamente.

Esta definición supone que la variable 𝑓 es derivable y continua para los rangos de

valores que maneja cada variable.

Si las variables 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 están relacionadas entre sí, entonces la expresión para la

incertidumbre es [52]

Δ𝑓 = √∑ ∑𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑗𝑐𝑜𝑣(𝑖, 𝑗)

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

(37)

donde 𝑐𝑜𝑣(𝑖, 𝑗) es un factor que representa la covarianza entre las variables 𝑥𝑖 y 𝑥𝑗.

Para dos variables 𝑥, 𝑦 la covarianza está definida como

𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) =∑ (𝑥𝑖 − 𝑥)(𝑦𝑖 − 𝑦)𝑖

𝑁 − 1 (38)

y es un índice estadístico que pondera la relación cuantitativa entre las variables. En la

medida en que dicha relación sea fuerte, de modo que 𝑥 aumente o disminuya a medida

que 𝑦 también cambie, 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) será positiva y tendrá una magnitud mayor, cuanto


mayor sea el grado de correspondencia entre las variables; si, por el contrario, la

asociación es fuerte, pero una variable aumenta, mientras la otra disminuye, entonces

𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) será negativa, pero su magnitud será también proporcional al grado de

correspondencia entre 𝑥 y 𝑦; y, si la relación es nula o despreciable, 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) debe estar

cercana a cero.

4. Objetivos

Para el presente trabajo se definió un objetivo general y cuatro objetivos específicos, a

saber:

4.1 Objetivo general

Modificar o Implementar un software en el lenguaje de programación Python que permita

calcular la incertidumbre de las estimaciones de las correcciones de errores magnéticos

cuadrupolares en aceleradores de altas energías con información obtenida de una sola

DMV.

4.2 Objetivos específicos

Para dar cumplimiento al objetivo general se procede a desarrollar los siguientes

objetivos específicos:

1. Crear simulaciones con errores en una DMV para reproducir las condiciones y

la información necesaria para el cálculo de las incertidumbres.

2. Determinar los cálculos analíticos de las incertidumbres de las correcciones

para las diferentes fórmulas que se emplean en este caso.

3. Realizar cambios al código existente en el lenguaje de programación Python

para incluir los cálculos de incertidumbres.

4. Verificar que los resultados sobre una órbita real sean satisfactorios.

5. Resultados y análisis

En este capítulo se mostrará inicialmente cómo se determinaron las incertidumbres de

los datos simulados, su comprobación y finalmente cómo aplicar estos resultados a los

datos experimentales.

5.1 Incertidumbres analíticas

A continuación se muestran las diferentes operaciones que se hacen con los datos de las

posiciones (𝑥, 𝑦) del centroide del haz de partículas que recorre el tubo del acelerador y

la forma cómo se calcula su incertidumbre a lo largo de estas operaciones. Teniendo en

cuenta lo mencionado en la sección 3.1, se usará la letra 𝑧 para hacer referencia a la

coordenada 𝑥 o a la coordenada 𝑦, debido a que las ecuaciones aplican para cualquier

eje. En todos los cálculos se aplicará la definición general de propagación de errores

dada en la ecuación (36).

Los cálculos empiezan a partir de los datos reportados por los BPM’s del LHC en un

archivo llamado trackone.sdds.new, similar al que se muestra en la Tabla 5-1. Estos

datos representan las coordenadas (𝑥, 𝑦) para 6600 vueltas a lo largo del eje longitudinal

𝑠. Por convención se toma 𝑓 como un BPM o fila y 𝑐 como una trayectoria o columna de

la Tabla 5-1, donde solo se observan datos de coordenadas 𝑥.

Para determinar las correcciones a los errores magnéticos, se realizan varios cálculos a

lo largo de la ejecución de rutinas o programas de Python. Si se asume que inicialmente

22 Resultados y análisis

las coordenadas (𝑥, 𝑦) de las partículas están afectadas por un ruido4 Gaussiano,

entonces se puede determinar la incertidumbre que produce este a medida que se

realizan varios cálculos con estas coordenadas.

De acuerdo a la sección V de [45], la técnica de promediar cierto número 𝑘 de

trayectorias seleccionadas sirve para reducir el ruido, lo cual se emplea dentro de los

programas de Python. Existen cuatro tipos de promedios de trayectorias, a saber:

avermaxmax, avermaxmin, averminmax y averminmin. Por ejemplo, avermaxmax es un

conjunto de trayectorias que cumplen la condición de que la amplitud para la coordenada

𝑥 es máxima en un punto arbitrario cuya coordenada longitudinal es 𝑠 = 𝑠𝜃 y que también

la amplitud es máxima en el mismo punto para la coordenada 𝑦. Análogamente para los

otros tres tipos de trayectorias.

Tabla 5-1. Muestra de datos de coordenadas 𝑥 para 6600 vueltas. Las coordenadas (𝑥, 𝑦) son reportadas por todos los BPM que están ubicados a lo largo del acelerador.

Un primer cálculo que se hace para cada BPM o fila es el promedio de los datos de las

trayectorias, el cual estará dado por

𝑧�̅� =𝑧𝑓1 + 𝑧𝑓2 + 𝑧𝑓3 + ⋯ + 𝑧𝑓𝑛

𝑛 (39)

4 El ruido Gaussiano son valores estadísticos que se comportan baja la función de densidad igual a la distribución normal.

Resultados y análisis 23

donde 𝑧�̅� es el promedio y 𝑧𝑓1, 𝑧𝑓2, 𝑧𝑓3,…, 𝑧𝑓𝑛 representan los valores de cada una de las

𝑛 trayectorias o columnas, según la Tabla 5-1. Para este trabajo usualmente 𝑛 es 6600.

Dependiendo del conjunto de promedios de trayectorias que se desee trabajar, se

seleccionarán las trayectorias que cumplan con las condiciones respectivas y luego se le

resta a cada trayectoria el promedio dado en la ecuación (39). Si se asume que 𝑃𝑓 es el

resultado final de esta operación para cada fila 𝑓, entonces para 𝑘 trayectorias

seleccionadas se tiene que

𝑃𝑓 =1

𝑘(𝑧𝑓𝑐1

− 𝑧�̅� + 𝑧𝑓𝑐2− 𝑧�̅� + 𝑧𝑓𝑐1

− 𝑧�̅� + ⋯ + 𝑧𝑓𝑐𝑘− 𝑧�̅�) (40)

Reorganizando los términos y teniendo en cuenta la ecuación 39 se obtiene que

𝑃𝑓 =1

𝑘(𝑧𝑓𝑐1

+ 𝑧𝑓𝑐2+ 𝑧𝑓𝑐1

+ ⋯ + 𝑧𝑓𝑐𝑘) −

1

𝑛(𝑧𝑓1 + 𝑧𝑓2 + 𝑧𝑓3 + ⋯ + 𝑧𝑓𝑛) (41)

donde 𝑧𝑓𝑐1, 𝑧𝑓𝑐2

, 𝑧𝑓𝑐1, … 𝑧𝑓𝑐𝑘

representan las 𝑘 diferentes trayectorias o columnas

de la Tabla 5-1 que cumplen las condiciones para estar dentro de las trayectorias

avermaxmax, avermaxmin, averminmax o averminmin.

A partir de la ecuación (41), se puede determinar la incertidumbre de este nuevo

resultado, por lo tanto se cumple que

∆𝑃𝑓2 = (

𝜕𝑃𝑓

𝜕𝑧𝑓1∆𝑧𝑓1)

2

+ (𝜕𝑃𝑓


2

+ (𝜕𝑃𝑓


2

+ ⋯ + (𝜕𝑃𝑓

𝜕𝑧𝑓𝑛∆𝑧𝑓𝑛)

2

(42)

donde ∆𝑧𝑓1, ∆𝑧𝑓2, ∆𝑧𝑓3, … ∆𝑧𝑓𝑛 representa la incertidumbre de las variables

𝑧𝑓1, 𝑧𝑓2, … , ∆𝑧𝑓𝑛, respectivamente.

Haciendo los cálculos correspondientes, se llega a que


∆𝑃𝑓 = ∆𝑧√1

𝑘−

1

𝑛 (43)

donde ∆𝑧 representa el ruido Gaussiano o incertidumbre, la cual se asume como la

misma, para cada variable 𝑧𝑓1, 𝑧𝑓2, … , ∆𝑧𝑓𝑛. Como 𝑘, 𝑛 y Δ𝑧 son constantes entonces

Δ𝑃𝑓 también lo será, de aquí en adelante se denotará simplemente como Δ𝑃.

Posteriormente del cálculo del promedio de las trayectorias seleccionadas, se hace un

cambio de escala y se calcula la posición reducida, denotada como 𝑧𝑓′ , simplemente

dividiendo por el valor de la función beta correspondiente al BPM 𝑓, como lo indica la

ecuación (44).

𝑧𝑓′ =

0.001

√𝛽𝑓

𝑃𝑓 (44)

La incertidumbre asociada a este nuevo cálculo, que se denotará como ∆𝑧𝑓′ , está dada

por la ecuación (45).

∆𝑧𝑓′ =

0.001

√𝛽𝑓

Δ𝑃 (45)

donde 𝛽𝑓 es el valor de la función de red del BPM 𝑓.

Con este vector columna, ecuación (45), se calcula la Acción y la Fase, usando las

ecuaciones (7) y (8), respectivamente.

Para dos valores de filas consecutivas 𝑧𝑓𝑖 y 𝑧𝑓𝑖+1

, de la ecuación (44), se tiene que la

incertidumbre de la Acción en la fila 𝑓𝑖, según la ecuación (7), está dada por

∆𝐽𝑓𝑖=

0.001 ∆𝑃

𝑠𝑒𝑛2(𝜓𝑓𝑖+1− 𝜓𝑓𝑖

)√

[𝑧𝑓𝑖

′ − 𝑧𝑓𝑖+1

′ cos (𝜓𝑓𝑖+1− 𝜓𝑓𝑖

)]2

𝛽𝑓𝑖

+[𝑧𝑓𝑖+1

′ − 𝑧𝑓𝑖

′ cos (𝜓𝑓𝑖+1− 𝜓𝑓𝑖)]

2

𝛽𝑓𝑖+1

(46)

donde 𝜓𝑓 es la fase correspondiente a la fila 𝑓.


Para estos mismos dos valores de filas consecutivas 𝑧𝑓𝑖

′ y 𝑧𝑓𝑖+1

′ , se tiene que la

incertidumbre de la Fase en la fila 𝑓𝑖, según la ecuación (8), está dada por

Δ𝛿𝑓𝑖= |

𝑠𝑒𝑛(𝜓𝑓𝑖+1− 𝜓𝑓𝑖

)

𝑧𝑓𝑖

′2 + 𝑧𝑓𝑖+1

′2 − 2𝑧𝑓𝑖

′ 𝑧𝑓𝑖+1

′ cos (𝜓𝑓𝑖+1− 𝜓𝑓𝑖

)√𝑧𝑓𝑖

′2(Δ𝑧𝑓𝑖+1

′ )2 + 𝑧𝑓𝑖+1

′2 (Δ𝑧𝑓𝑖

′ )2| (47)

Para cada BPM, fila 𝑓, se calcula la Acción y la Fase, y con el promedio de los valores de

las Acciones y de las Fases, antes del error, se determinan las variables 𝐽0 y 𝛿0,

respectivamente. Con el promedio de los valores de las Acciones y de las Fases,

después del error, se determinan las variables 𝐽1 y 𝛿1, respectivamente. Los valores de

las Acciones son cercanos entre sí, pero no son iguales, debido al ruido, por eso se toma

el promedio, los mismo pasa con los valores de las Fases. Al graficar los valores y si hay

un error magnético, debe aparece algo similar a como se aprecia en la Figura 5-1. El

salto o kick de los promedios es debido al error magnético el cual puede ser determinado

a través de la ecuación (11).

Figura 5-1. Saltos de Acción y Fase. A diferencia de la Figura 3-1, en un ambiente real, la gráfica presenta algunas alteraciones. Imagen tomada de [45]

La incertidumbre, la cual se calcula con la fórmula general de propagación de errores,

(sección 3.2), está dada según la ecuación (48). La incertidumbre para las variables 𝐽0,

𝐽1, 𝛿0 y 𝛿1 se toman como la desviación estándar de los diferentes valores promediados.


∆𝜃 =1

𝜃𝛽√[𝐷1]2(∆𝐽0)2 + [𝐷1]2(∆𝐽1)2 + 4𝐽0𝐽1𝑠𝑒𝑛2(𝛿1 − 𝛿0)[(∆𝛿0)2 + (∆𝛿1)2] (48)

Donde 𝐷1 = 1 − √𝐽0

𝐽1 cos (𝛿1 − 𝛿2) y 𝐷2 = 1 − √

𝐽1

𝐽0 cos (𝛿1 − 𝛿2) .

Otro de los cálculos, que se hace dentro del código de Python, es buscar una posición

estimada, la cual está determinada por la ecuación (49).

𝑧(𝑠0) = √𝛽𝑧(𝑠0)

𝛽𝑧(𝑠𝑖) 𝑧(𝑠𝑖)

𝑠𝑒𝑛(𝜓(𝑠0) − 𝜙)

𝑠𝑒𝑛(𝜓(𝑠𝑖) − 𝜙) (49)

La incertidumbre correspondiente a 𝑧(𝑠0) está dada por la ecuación (50)

Δ𝑧(𝑠0) = |√𝛽𝑧(𝑠0)

𝛽𝑧(𝑠𝑖) √𝐴 (Δ𝑧(𝑠𝑖))2 + (𝑧(𝑠𝑖))2 𝐵 (Δ𝜙)2| (50)

Donde 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛2[𝜓(𝑠0)−𝜙]

𝑠𝑒𝑛2[𝜓(𝑠𝑖)−𝜙] y 𝐵 =

𝑠𝑒𝑛2[𝜓(𝑠0)−𝜓(𝑠𝑖)]

𝑠𝑒𝑛4[𝜓(𝑠𝑖)−𝜙] .

Aparte de las anteriores transformaciones, los datos también pasan por las ecuaciones

que se muestran en el artículo que se tomó de referencia para este trabajo (ver [45]).

Una de ellas es la ecuación (29), cuya incertidumbre correspondiente será:

Δ𝐵1𝑥,𝑒 = √𝐷12(Δ𝜃𝑥1,𝑒)2 + 𝐷2

2(Δ𝜃𝑥2,𝑒)2 (51)

donde 𝐷1 = −𝑦2

𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 y 𝐷2 =

𝑦1

𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 .

siendo Δ𝜃𝑥1,𝑒 y Δ𝜃𝑥2,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝜃𝑥1,𝑒 y 𝜃𝑥2,𝑒, respectivamente.

Para la ecuación (30), la incertidumbre correspondiente será:

Δ𝐵1𝑦,𝑒 = √𝐷12(Δ𝜃𝑦1,𝑒)2 + 𝐷2

2(Δ𝜃𝑦2,𝑒)2 (52)


donde 𝐷1 = −𝑥2

𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 y 𝐷2 =

𝑥1

𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 .

siendo Δ𝜃𝑦1,𝑒 y Δ𝜃𝑦2,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝜃𝑦1,𝑒 y 𝜃𝑦2,𝑒, respectivamente.


Δ𝐴1𝑥,𝑒 = √𝐷12(Δ𝜃𝑥1,𝑒)

2+ 𝐷2

2(Δ𝜃𝑥2,𝑒)2 (53)

donde 𝐷1 = −𝑥2

𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 y 𝐷2 =

𝑥1

𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 .

siendo Δ𝜃𝑥1,𝑒 y Δ𝜃𝑥2,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝜃𝑥1,𝑒 y 𝜃𝑥2,𝑒, respectivamente.


Δ𝐴1𝑦,𝑒 = √𝐷12(Δ𝜃𝑦1,𝑒)2 + 𝐷2

2(Δ𝜃𝑦2,𝑒)2 (54)

donde 𝐷1 =𝑦2

𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 y 𝐷2 = −

𝑦1

𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1 .

siendo Δ𝜃𝑦1,𝑒 y Δ𝜃𝑦2,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝜃𝑦1,𝑒 y 𝜃𝑦2,𝑒, respectivamente.

Para la ecuación (33), primera ecuación de corrección, la incertidumbre correspondiente

será:

Δ(∆𝐾1𝑎) = √𝐷12(∆𝐵1𝑥,𝑒)2 + 𝐷2

2(∆𝐵1𝑦,𝑒)2 (55)

donde 𝐷1 = −𝛽𝑥𝐼𝑦,𝑏

𝐼𝑥,𝑎𝐼𝑦,𝑏−𝐼𝑥,𝑏𝐼𝑦,𝑎 y 𝐷2 =

𝛽𝑦𝐼𝑥,𝑏

𝐼𝑥,𝑎𝐼𝑦,𝑏−𝐼𝑥,𝑏𝐼𝑦,𝑎 .

siendo Δ𝐵1𝑥,𝑒 y Δ𝐵1𝑦,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝐵1𝑥,𝑒 y 𝐵1𝑦,𝑒, respectivamente.

Para la ecuación (34), segunda ecuación de corrección, la incertidumbre correspondiente

será:


Δ(∆𝐾1𝑏) = √𝐷12(Δ𝐵1𝑥,𝑒)2 + 𝐷2

2(Δ𝐵1𝑦,𝑒)2 (56)

donde 𝐷1 =𝛽𝑥𝐼𝑦,𝑎

𝐼𝑥,𝑎𝐼𝑦,𝑏−𝐼𝑥,𝑏𝐼𝑦,𝑎 y 𝐷2 = −

𝛽𝑦𝐼𝑥,𝑎

𝐼𝑥,𝑎𝐼𝑦,𝑏−𝐼𝑥,𝑏𝐼𝑦,𝑎 .

siendo Δ𝐵1𝑥,𝑒 y Δ𝐵1𝑦,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝐵1𝑥,𝑒 y 𝐵1𝑦,𝑒, respectivamente.

Para la ecuación (35), tercera ecuación de corrección, la incertidumbre correspondiente

será:

Δ(𝐾1𝑠(𝑐)

) = √𝐷12(Δ𝐴1𝑥,𝑒)2 + 𝐷2

2(Δ𝐴1𝑦,𝑒)2 (57)

donde 𝐷1 = −√𝛽𝑥𝛽𝑦

2𝐼𝑥𝑦 y 𝐷2 = −

√𝛽𝑥𝛽𝑦

2𝐼𝑥𝑦 .

siendo Δ𝐴1𝑥,𝑒 y Δ𝐴1𝑦,𝑒 las incertidumbres de las variables 𝐴1𝑥,𝑒 y 𝐴1𝑦,𝑒, respectivamente.

En el desarrollo de este trabajo se asume que las variables no tienen relación alguna

entre sí, para simplificar el modelo.

Todas estas ecuaciones, correspondientes al cálculo de incertidumbres, se

implementaron en el lenguaje de programación Python por medio de funciones que son

llamadas de los programas originales con los que el proyecto inicio.

5.2 Incertidumbres de datos de simulación

Los datos de una DMV son procesados de diferentes maneras para llegar al resultado

final. Estos procesos son básicamente las fórmulas presentadas en la sección anterior.

Luego de determinar la incertidumbre para la primera fórmula, está se usa como

incertidumbre de una de las variables de la segunda fórmula que a su vez también se le

calcula su incertidumbre para pasar a la siguiente fórmula, y así sucesivamente hasta la

última fórmula empleada. Este procedimiento se refleja en el código de Python que

actualmente se usa para hallar las correcciones. Para elaborar pruebas de simulación, se


empleó el software MAD-X [53], desarrollado por el Concejo Europeo para la

Investigación Nuclear (CERN, por sus siglas en francés), el cual es de libre distribución y

que se ejecuta bajo los sistemas operativos Windows y Linux. Para el desarrollo de este

trabajo se empleó el sistema operativo Linux-Ubuntu versión 14.04, instalado en un

equipo de cómputo del grupo de investigación.

Al ejecutar los programas de Python para simular una partícula dentro de un acelerador,

con características similares al LHC, con condiciones iniciales 𝑥 = 0.0001 y 𝑦 = 0.0001,

que hace un recorrido de 6600 vueltas, o sea una DMV, con errores colocados

intencionalmente de magnitud -8.0E-6 m-2 en el cuadrupolo 𝑄𝑎, -1.1E-5 m-2 en el

cuadrupolo 𝑄𝑏, y 2.0E-4 m-2 en el cuadrupolo skew, y con un ruido Gaussiano, que afecta

las trayectorias, de 0.02 mm, se obtiene el resultado de la Tabla 5-2. En ella se observa

cada corrección con la incertidumbre calculada analíticamente e implementada ya en los

programas de Python.

Tabla 5-2. Correcciones y su incertidumbre respectiva calculadas con propagación de errores y con un ruido de 0.02 mm.

Finalmente, con el fin de comprobar la anterior incertidumbre de las correcciones, se

realizaron trescientas simulaciones, se tomó el promedio de ellas para obtener la

corrección y la desviación estándar para hallar la incertidumbre. Los datos que se

obtuvieron se muestran en la Tabla 5-3.

Tabla 5-3. Correcciones y su incertidumbre respectiva calculadas con 300 simulaciones y con un ruido de 0.02 mm.


Tomando como cierto el dato obtenido por la desviación estándar de los 300 datos, se

puede determinar el error relativo de la incertidumbre asociada a cada corrección. Los

resultados se muestran en la Tabla 5-4.

Tabla 5-4. Error relativo de la incertidumbre de cada corrección.

5.3 Incertidumbres de datos reales

Luego de hacer el análisis de incertidumbres de los datos de prueba se llega a la

conclusión que un parámetro inicial importante es el ruido que tienen los datos,

coordenadas (𝑥, 𝑦) de una determinada DMV. Por lo tanto, hay que saber este dato antes

de ejecutar los programas de Python para poder determinar las incertidumbres buscadas.

Como en cualquier cálculo de incertidumbre por propagación de errores, es

indispensable saber la incertidumbre (ruido) de las mediciones iniciales. Se encontró una

relación entre la desviación estándar de los datos de la Acción y el ruido suministrado

inicialmente a los datos simulados, como se aprecia en la Figura 5-1. Se pretende aplicar

esta misma relación a los datos experimentales partiendo de la desviación estándar de

los datos de la Acción para llegar al ruido asociado.

La incertidumbre o desviación estándar de los datos de la Acción se calcula sólo sobre el

arco o segmento del acelerador que se encuentra justo antes del error. En este caso se

ha tomado el segmento que va desde 20727 m hasta 23497 m.

Sin importar la magnitud del error magnético en un punto arbitrario, la gráfica que se

obtiene es muy similar a la mostrada en la Figura 5-1. Para comprobar esto, se crearon 6

diferentes casos, cada uno con una magnitud de error magnético diferente, y luego se

determinó la desviación estándar de los datos de la Acción en el tramo del acelerador ya

indicado. La gráfica de estos resultados se aprecia en la Figura 5-2.


Figura 5-1. Relación Ruido vs Incertidumbre de la Acción justo antes del punto de interacción. Estos datos dependen de la amplitud con que inicia el haz de partículas que para este caso fue 𝑥 = 0.0001 y 𝑦 = 0.0001

Figura 5-2. Relación Ruido vs Incertidumbre de la Acción justo antes del punto de interacción. Estos datos dependen de la amplitud con que inicia el haz de partículas.

A partir de la ecuación de la gráfica de la Figura 5-1 y teniendo la desviación estándar de

los datos de la Acción se puede determinar el ruido correspondiente. Con este ruido, el

cual es un parámetro de entrada de los programas de Python, se puede generar la


incertidumbre correspondiente de cada una de las correcciones calculadas. Este

procedimiento se realizó sobre datos experimentales, suministrados por el CERN,

produciendo el resultado que se aprecia en la Tabla 5-5.

Tabla 5-5: Correcciones e incertidumbre correspondiente para datos experimentales. Las incertidumbres son calculadas por el método analítico.

Un dato importante, contra el cual se puede hacer comparaciones, es el resultado de la

Tabla 5-6, la desviación estándar de 10 DMV experimentales para cada corrección, la

cual se calculó con varias DMV experimentales.

Tabla 5-6: Correcciones e incertidumbre correspondiente a datos experimentales de 10 DMV. Datos tomados de la Tabla III de [45]

5.4 Funciones de Python

Las funciones que determinan las incertidumbres fueron implementadas en el lenguaje

de programación Python versión 2.7.12. A continuación se muestra el código de dichas

funciones.

6. Conclusiones y recomendaciones

Luego de pasar por un proceso de capacitación en Física de Aceleradores, en Python y

en la herramienta de simulación MAD-X, se hizo un análisis a todo el código desarrollada

con lo cual se puede concluir y recomendar lo siguiente:

6.1 Conclusiones

Gracias al software de simulación MAD-X, se pudieron generar suficientes datos de

órbitas bajo errores intencionales con el fin probar la efectividad del método Salto de

Acción y Fase. Con esta información se calcularon las estimaciones de las correcciones y

posteriormente la incertidumbre respectiva a cada corrección. Todo el procesamiento de

datos se realizó bajo la herramienta de programación Python, versión 2.7.12, en la cual el

grupo de Física de Aceleradores ha venido trabajando en los últimos años. Se revisaron

más de 3000 líneas de código para poder incluir las modificaciones relacionadas con el

cálculo de incertidumbres. Este cálculo se basó en la forma general de propagación de

errores con el cual se hicieron los cálculos analíticos, se implementaron funciones de

Python y finalmente se hicieron las validaciones no solo con datos producidos en

simulaciones sino con datos experimentales tomados del CERN. En los datos simulados

las incertidumbres calculadas presentaron el mismo orden de magnitud que el que se

podría obtener al calcular la desviación estándar de datos generados por al menos diez

DMV. Sin embargo, para los datos experimentales se observó un orden de magnitud de

diferencia, en dos de sus tres incertidumbres, con respecto a registros existentes, lo cual

podría ser debido a que las variables efectivamente tengan una correlación entre ellas y

no que sean totalmente independientes como se asumió desde un comienzo o que

existan otro tipo de errores magnéticos que el modelo no pudo considerar.

40 Conclusiones y recomendaciones

6.2 Recomendaciones

Se recomienda mejorar algunos aspectos relacionados con la creación y administración

del código Python los cuales se presentan a continuación.

No cambiar el nombre de un módulo o programa de Python cada vez que se crea

o mejora una versión, simplemente se guarda una copia sin modificar del

programa en una ubicación destinada para tal y luego se realizan los cambios del

código sin alterar el nombre.

Emplear tuplas o diccionarios para la manipulación de datos en lugar de listas. De

esta manera se podría mejorar el rendimiento en el procesamiento de datos.

Documentar cada uno de los programas de Python con información acerca del

autor, la fecha de creación, la fecha de modificación y el propósito de creación o

modificación.

Crear un manual básico del uso de la herramienta de simulación MAD-X para el

grupo de Física de Aceleradores, ya que la única documentación que existe es

muy técnica.

Crear Scripts que reciban parámetros de entrada para no tener que modificar el

contenido de los programas de Python cada vez que se ejecuta un escenario

diferente.

Referencias

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1a Ed.

[2] ¿Qué es y para qué sirven los aceleradores de partículas?, recuperado el 15 de

febrero de 2017, de http://teresaversyp.com/contenidos/%C2%BFque-es-y-para-que-

sirven-los-aceleradores-de-particulas/, Teresa Versyp

[3] S. Y. Lee, Accelerator Physics, (World Scientific, 1999) Cap. 1, p. 1, 1a Ed.

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[5] J. Cardona, Linear and nonlinear magnetic error measurements using action and

phase jump analysis, 2009

[6] CERN faq LHC. The guide, 2009, p. 35

[7] S. Turner, editor. Fifth general Accelerator Physics Course, volume I. CAS CERN

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1997.

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