clases resistencia

Ing Luis Alfredo Vargas Moreno

:319176, :9605573

ELABORADO POR:

ING LUIS ALFREDO VARGAS MORENO

PROFESOR DEL CURSO


:319176, :9605573

Resistencia de Materiales I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN

CRISTOBAL DE HUAMANGA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA

DE MINAS, GEOLOGA Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL

DE INGENIERIA CIVIL


:319176, :9605573SILABO

1. DATOS GENERALES

1.1 Nombre de la Asignatura : RESISTENCIA DE MATERIALES I

1.2 Cdigo : IC-345

1.3 Crditos : 5

1.4 Tipo : Obligatorio

1.5 Requisito : IC-243, MA-242

1.6 Plan de Estudios : 2004

1.7 Semestre Acadmico : 2015-I


:319176, :9605573 1.8 Duracin : 16 semanas

1.9 Perodo de inicio y trmino : 30/03/2015

17/07/2015

1.10 Docentes Responsables :


1.11 N horas de clases semanales

1.11.1 Tericas : 4

1.11.2 Prcticas : 2


:319176, :9605573 1.12 Lugar

1.12.1 Teora : H-216

1.12.2 Prctica : H-216

1.13 Horario

1.13.1 Teora-Practica : MAR 09-11

: MIE 09-11

1.13.2 Teora-Prctica : JUE 07-09


:319176, :96055732. SUMILLA

Segn el plan curricular, la sumilla es la siguiente:

Introduccin, elementos sometidos a accin de fuerza

axial, torsin, flexin pura, carga transversal, deflexin de

vigas, vigas estticamente indeterminadas, vigas

continuas, estado general de esfuerzo y deformacin.

3. OBJETIVOS

3.1 General: Dar a los estudiantes los conocimientos para

la solucin de elementos hiperestaticos, considerando las

fuerzas internas y las deformaciones producidas por

diversos tipos de carga.


:319176, :9605573 3.2 Especifico: Conocimiento de calculo de esfuerzos y

deformaciones, deflexiones diseo de elementos con

posibilidad de pandeo.

4. METODOLOGA

En el desarrollo del curso se promover la participacin

activa del estudiante, utilizando mtodos: inductivo-

deductivo; modo: colectivo explicativo; forma: intuitivo

sensorial; con sus respectivos procedimientos y tcnica

como lluvia de ideas, seminarios, enseanza en grupos,

estudio dirigido, talleres y otros.

RECURSOS DIDACTICOS

Se utilizara proyector multimedia y pizarra acrlica.


:319176, :96055735. SISTEMA DE EVALUACIN

Se evaluara por medio de la rendicin de Tres Examenes.

La nota final se obtendr aplicando la siguiente frmula:

1 1

2

EP EFPF


:319176, :96055736. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

Elementos de Resistencia de Materiales por Timoshenko y

Young.

Resistencia de Materiales, Coleccin Shaum.

Resistencia de Materiales, Jorge Das Mosto.

Resistencia de Materiales, Arteaga


:319176, :9605573

SEM FECHAS CONTENIDO RESP.

01 30/03/2015 Introduccin, Definicin, algunos

conceptos, esfuerzo y deformacin unitaria.

Ley de Hooke, diagrama de esfuerzo-

deformacin unitaria, esfuerzo de trabajo.

Lavm

02 06/04/2015 Deformacin por peso propio, coeficiente

de dilatacin lineal, coeficientes de

expansin trmica de algunos materiales

Forma general de la Ley de Hooke,

desplazamientos de puntos de sistemas de

barras articuladas.

Lavm

6.0 Programa Analtico - Practico


:319176, :9605573SEM FECHAS CONTENIDO RESP.

03 13/04/2015 Tensiones combinadas en un plano

inclinado.

Tensin normal mxima, tensin tangencial

mxima, tensiones combinadas en un

plano inclinado cuando actan dos fuerzas

perpendiculares en planos

perpendiculares, tensiones o esfuerzos que

se pueden presentar en una seccin de un

slido sometido a fuerzas.

Lavm

04 20/04/2015 Estado tensional en un punto.

Estado tensional plano, convencin de

signos, estado tensional plano en un plano

inclinado, determinacin de la tensin

normal y tangencial en un plano inclinado,

Lavm



04 esfuerzos principales y esfuerzo cortante

mximo.

Lavm

05 27/04/2015 Clculo de las tensiones normales

principales, calculo del esfuerzo cortante

mximo, solucin grfica empleando el

crculo de Mhor.

Grfica, convencin de signos.

Lavm

06 04/05/2015 Determinacin de las tensiones en un

plano inclinado de orientacin arbitraria.

Torsin.

Lavm



07 11/05/2015 Clculo del momento torsor, convencin de

signos, diagrama de momentos torsores.

Tensin tangencial y desplazamiento

Angular.

Lavm

08 18/05/2015 Ley de Hooke para desplazamientos,

ngulo de giro mutuo de las secciones.

Lavm

09 25/05/2015 EXAMEN PARCIAL Lavm

10 01/06/2015 Continuacin del ejemplo prctico de

torsin. Esfuerzos y deformaciones

producidos por flexin, anlisis de

deformacin.



11 08/06/2015 Anlisis de esfuerzos, tensiones en la

flexin transversal.

Frmula de Zhuravski.

12 15/06/2015 Problema, diagrama de fuerza cortante y

momento flector.

Desplazamientos en la flexin, flexin de

una viga.

Lavm

13 22/06/2015 Determinacin de las Flechas, mtodo de

la doble integracin, convencin de signos.

Lavm

14 29/06/2015 Mtodo del rea de momentos, teorema 1,

convencin de signos, teorema 2,

convencin de signos.

Problemas.



15 06/07/2015 Teorema de los tres momentos.

16 13/07/2015 EXAMEN FINAL Lavm


:319176, :9605573

La resistencia de materiales es la ciencia que trata de

la resistencia y de la rigidez de los elementos de las

estructuras.

Se considera generalmente que todos los materiales

son continuos y homogneos.

Un material se considera homogneo, cuando

cualquier parte de el tiene las mismas propiedades

independientemente de su volumen.

RESISTENCIA DE MATERIALES I


:319176, :9605573DEFINICIONES

Fragilidad.- Es la tendencia de una sustancia a

fracturarse sin una deformacin significativa.

Ductilidad.- Tendencia al alargamiento bajo un esfuerzo

sin llegar a la ruptura. Es la capacidad de convertirse

en alambre.

Elasticidad.- Capacidad del material para regresar a

su estado original despus de una deformacin.

Dureza.- Es la resistencia del material a la penetracin

y al desgaste. La dureza y la fragilidad estn a

menudo relacionadas.


:319176, :9605573Maleabilidad.- es la tendencia de un material a

aplanarse sin romperse bajo el esfuerzo de

compresin. Plasticidad.- es la capacidad de un material de

deformarse en un estado de esfuerzo, sin romperse y

sin recobrar su forma original. Un material plstico, es

poco elstico. Rigidez.- es la resistencia de un material a doblarse o

deformarse. Resistencia.- es la capacidad de un material de

soportar grandes cargas sin fracturarse. Tenacidad.- es la capacidad de un material para

soportar grandes cargas sin llegar a romperse, esta

relacionada con la resistencia.


:319176, :9605573Resistencia es la capacidad de un cuerpo, elemento o

estructura de soportar cargas de sin colapsar.

Rigidez es la propiedad de un cuerpo, elemento o

estructura de oponerse a las deformaciones. Tambin

podra definirse como la capacidad de soportar cargas o

tensiones sin deformarse o desplazarse excesivamente.

Ambas definiciones son del autor. Si miramos ambas

definiciones veremos que estn asociadas pero no

significan lo mismo.

En la Resistencia lo importante es soportar, aguantar,

mientras que en la Rigidez lo importante es elControl

de las Deformaciones y/o Desplazamientos.


:319176, :9605573La Resistencia depende de las propiedades

Mecnicas de los materiales

constitutivos (Resistencia mecnica, Modulo de

Elasticidad, etc.) y del tamao de la seccin.

La Rigidez depende tambin del Mdulo de Elasticidad,

la seccin, pero tambin de la Inercia y la longitud del

elemento.

Muchos tambin mencionan Rigidez e Inercia como

sinnimos lo cual es incorrecto pues la inercia es solo

uno de los parmetros asociados a la Rigidez.


:319176, :9605573Por otro lado existen muchos tipos de Rigidez:

-Rigidez axial.

-Rigidez flexional.

-Rigidez a cortante.

-Rigidez torsional.


:319176, :9605573

Esfuerzo y Deformacin Unitaria

Cargas


:319176, :9605573

Fuerzas Externas


:319176, :9605573

Fuerzas Internas


:319176, :9605573Esfuerzos


:319176, :9605573

Esfuerzo y Deformacin Unitaria

Cualquier objeto sujeto a fuerzas externas tiende a ser

distorsionado por ellas, sino se aplasta o se rompe,

debe resistir de algn modo y balancear las fuerzas

externas aplicadas.

Se ha determinado experimentalmente:


:319176, :9605573P=Carga axial

PL

EA (1)

L m-m

m

P

seccin

rea =A

m L= Longitud del elemento

inicial

A= rea de la seccin

inicial

E= Modulo de elasticidad

= Deformacin total


:319176, :9605573Deformacin Unitaria () Se llama a la cantidad promedio de distorsin por una

unidad de longitud. A menudo se determina la deformacin unitaria

dividiendo el cambio total en longitud de una muestra

() por la longitud original.

La deformacin unitaria no tiene unidades,

consecuentemente el numero que representa la

deformacin unitaria puede tener cualesquiera

unidades relacionadas con ella.

(2) L


:319176, :9605573Deformacin Transversal ()

Es la deformacin de las dimensiones transversales

de la barra. Se calcula por medio de

la siguiente relacin:

Donde:

a : ancho inicial de la barra.

a1: ancho final de la barra.

(3) 1'a a

a

'

Modulo de Poisson ()

Se le conoce como coeficiente

de deformacin transversal.

Para materiales istropos: 0 0.50


:319176, :9605573Esfuerzo Unitario ()

El esfuerzo unitario promedio, es una medida de las

fuerzas aplicadas y de las fuerzas resistentes y se

determina dividiendo la carga total P entre el rea total

A que se resiste a la deformacin provocada por la

carga. Muestra en equilibrio:

0Fy m

P

m

0A P

P

A

y

x


:319176, :9605573Las unidades de son libras por pulgada cuadrada (psi) o newtons por metro cuadrado (Pascal Pa)

Ley de Hooke

De (1):

1Px

L A E

E

E (4)

Diagrama de Esfuerzo-Deformacin Unitaria (Curva

Tpica del acero)

En la curva esfuerzo-deformacin se llevan en el eje

de las abscisas las deformaciones y en el eje de las

ordenadas los esfuerzos.


:319176, :9605573Durante el aumento brusco de los esfuerzos, la

deformacin es directamente proporcional al

esfuerzo.


:319176, :96055731 Al extremo de la parte recta se le llama LIMITE

PROPORCIONAL.

E

2 La pendiente de la parte recta se le conoce

como modulo de elasticidad (E).

3 Si el esfuerzo no es grande, la muestra tiende a

regresar a su posicin original cuando se retira

la carga. (Rango elstico)

4 Cuando el esfuerzo rebasa cierto punto, la

muestra no regresara a su longitud original.

Este punto se denomina LIMITE ELASTICO.


:319176, :9605573

La porcin de curva mas all de este punto es el

rango plstico.

5 En algunos materiales se llega a un punto

donde la muestra continua alargndose con muy

poca carga adicional, este es el punto de

fluencia, el esfuerzo en este punto es el

ESFUERZO DE FLUENCIA.

6 El esfuerzo mximo que puede soportar una

muestra, es el esfuerzo ultimo.

Para el diseo se considera Limite Proporcional:

Concreto: fc=esfuerzo a la rotura Acero: fy=esfuerzo de fluencia


:319176, :9605573

La elasticidad en primer lugar es la capacidad de ciertos materiales de deformarse ante la aplicacin de un esfuerzo exterior y volver a sus dimensiones

originales pasado dicho esfuerzo. Al hablar de elasticidad tambin tocar comentar sobre la plasticidad la cual ocurre cuando se pierde el concepto de linealidad entre las deformaciones y

esfuerzos.

Elasticidad y Plasticidad


:319176, :9605573Elasticidad En esta existe una relacin lineal entre las deformaciones de los slidos y los esfuerzos externos aplicados a ellos. Esto que acabo de decir conforma prcticamente la ley de Hooke cuya ecuacin dice: *E=, es decir que los esfuerzos () son directamente proporcionales a las deformaciones (), o decir tambin que los esfuerzos son iguales a las deformaciones por el mdulo de elasticidad del material. Para esto hay que tener en cuenta que la deformacin producida por un esfuerzo se manifiesta en el mismo sentido de este.


:319176, :9605573Para la elasticidad existe un lmite al cual se le llama lmite elstico. Si un material sobrepasa este lmite, su comportamiento dejar de ser elstico. Debido a esto se establece un rango elstico del material

Plasticidad

Cuando se somete un material a esfuerzos que los

llevan a sobrepasar su lmite elstico, ocurre que sus

deformaciones se vuelven irreversibles o

permanentes. Cuando esto ocurre las deformaciones

dejan de ser proporcionales a los esfuerzos y por tanto

la ley de Hooke no cumple como modelo explicativo

para estos casos,


:319176, :9605573por tanto se han desarrollado muchos otros modelos

para explicar el comportamiento plstico de los

materiales, los cuales son algo ms complejo y no

pretendo cubrirlos en este artculo.


:319176, :9605573Esfuerzo de Trabajo (t)

Es el esfuerzo admisible o permisible, para el diseo:

,utuN

t: esfuerzo de trabajo u: esfuerzo ltimo (rotura) Nu: factor de seguridad en

materiales frgiles

y

t

yN

y: esfuerzo en el limite de fluencia

Ny: factor de seguridad

en materiales dctiles


:319176, :9605573Nu, Ny > 1 2.0


:319176, :9605573Deformacin:

PL L

EA E

[ ] z zzd

dE

0 0

L Lz

z zd dE

P

z

W

dz

z

Z

dz

dz

P/A

P/A+ L +

_


:319176, :96055732

0

1

2

L

P zz

A E

2

2

PL L

AE E

Problema.- Para la barra tronco cnica mostrada en

la figura, calcular la deformacin total.

Datos, r, R, L, P.


:319176, :9605573R r x

L z

R rx z

L

z

R rr r z

L

0z zA P

z

P

A

R

r

L

P

R-r

r

L x r

r

z


:319176, :96055732

z zA r2

z

R rA r z

L

zz

z

E

zz zd d

E

20 0

L L

z z

Pd d

R rr z E

L

T

PL

RrE

z

z

dz


:319176, :9605573

Esfuerzo de corte ()


:319176, :9605573

m

V

A


:319176, :9605573Esfuerzo de corte en superficies curvas ()

m

F

A


:319176, :9605573

Esfuerzo de adherencia ()

m

P

Ld


:319176, :9605573Recipiente de Pared Delgada

Cilindro


:319176, :9605573

2(2 ) ( )L rt p r

2L

pr

t

(2 ) (2 )c t x p r x

c

pr

t


:319176, :9605573Conclusin.- En cualquier punto del cilindro se

presentan esfuerzos longitudinales y

circunferenciales tal como se muestra en la figura:


:319176, :9605573

De forma anloga puede

demostrarse que para un

recipiente esfrico de radio r y

espesor t, en cualquier punto

de la pared, los esfuerzos en

cualquier direccin son

iguales a:

Esfera

2

pr

t


:319176, :9605573Esfuerzos en conexiones empernadas

Primer Caso

Los elementos que conforman una estructura as como

los sistemas mecnicos, se pueden conectar, por medio

de pernos, pasadores o remaches


:319176, :9605573Esfuerzo de aplastamiento

Cuando acta la carga P, entra en contacto el perno y

los elementos, en una zona de la superficie cilndrica del

agujero, apareciendo esfuerzos de aplastamiento.


:319176, :9605573Diagrama de cuerpo libre

2

2

P

dt

1

1

P

dt


:319176, :9605573Esfuerzo de Corte en el Perno

2

4

m

V

d


:319176, :9605573Segundo Caso


:319176, :9605573Coeficiente de Dilatacin Lineal

Es la variacin de una barra recta sometida a un

cambio de temperatura, por unidad de longitud.

tL L t

tt

Lt

L

Segn la Ley de

Hooke:

E

t tE

tt

L E L tE

L L

t tE

L Lt


:319176, :9605573

MATERIAL 10-6in/in/F

10-6m/m/C

Aluminio 13,00 23,00

Laton 10,00 18,00

Bronce 10,00 18,00

Hierro Fundido 620,00 11,00

Concreto 580,00 10,00

Cobre 920,00 17,00

Vidrio 47,00 85,00

Acero 700,00 13,00

Hierro Forjado 65,00 12,00

Coeficiente promedio de expansin trmica lineal de

algunos materiales


:319176, :9605573Forma general de la Ley de Hooke

Esfuerzos Normales

perpendiculares entre

s: x, y, z.

Deformaciones

Unitarias: ex, ey, ez

1

x x y zeE

x

z

z

x

y

y


:319176, :9605573

1

y y x zeE

1

z z x yeE

1 2

x y z x y ze e eE

=coeficiente de Poisson del material

La variacin unitaria del rea de la seccin transversal

de la barra se puede calcular con la siguiente relacin:


:319176, :9605573

2A

eA

Desplazamientos de los puntos de sistemas de barras

articulados

1) De las ecuaciones de la esttica se calculan los

esfuerzos axiales de todos los elementos elsticos del

sistema. Por la ley de Hooke se hallan las magnitudes

de los alargamientos absolutos de los elementos.

2) Considerando que los elementos del sistema al

deformarse no se separan, por el mtodo de

intersecciones, se plantean las condiciones de

compatibilidad de los desplazamientos


:319176, :9605573

I

II

30

60

P

a

Problema.- Determinar el desplazamiento de los

puntos de aplicacin de la fuerza exterior P y la

tensin normal en la seccin transversal de cada

barra. El sistema en equilibrio

Tringulo de fuerzas

60 90

IT P

Sen Sen

3 / 2IT P

30 90

IIT P

Sen Sen

/ 2IIT P

TI

TII

30

60

P


:319176, :9605573

( 3 / 2) cos30I

Pa

EA

3

4I

Pa

EA

/ 2) 30II

P aSen

EA

4II

Pa

EA


:319176, :9605573

y a b 30 30y I IICos Sen

3 3 1

4 2 4 2y

Pa Pa

EA EA

3 3 18

y

Pa

EA

x c d

30 30x I IISen Cos

3 1 3

4 2 4 2x

Pa Pa

EA EA c

d

3 38

x

Pa

EA


:319176, :96055733

2I

P

A

2II

P

A

Problema.-

Determinar el

desplazamiento

del punto de

aplicacin de la

fuerza exterior P y

la tensin normal

en la seccin

transversal de

cada barra.


:319176, :9605573Problema.- En la barra isosttica mostrada en la figura

dibujar los diagramas de esfuerzo normal y de

deformaciones. Tramo AB, 0


:319176, :9605573(50 100)

105

x

101, xpara x

E

2, 0xpara x

10

10

- +

10/E

- +


:319176, :9605573Problema.- La columna de

la figura, esta cargada con

la fuerza P y con su peso

propio. Determinar la ley

de variacin del rea de la

seccin transversal, de tal

manera que las tensiones

en todas las secciones

sean las mismas e iguales

a P/A0. Constryase el

diagrama de fuerzas

normales, tensiones y

desplazamientos.

A0 P


:319176, :9605573

A0 P

A0 P


:319176, :96055730

0

A z

PzA A e

0A z

PN Pe


:319176, :9605573Tensiones Combinadas en un Plano Inclinado


:319176, :9605573


:319176, :9605573

y

P

ASen

.( ) 0x yA Sen ASen 2 (1)x ySen

0yF

0xF

0x y yA Cos ASen

x y ySen Cos

2 )1

22

(x y ySen


:319176, :9605573Tensin Normal Mxima

12

Sen

x y

Tensin Tangencial Mxima

2 1 22

Sen

4 2

y

x y

Tensiones combinadas en un plano inclinado, cuando

actan dos fuerzas perpendiculares en planos

perpendiculares.


:319176, :9605573


:319176, :96055730xF

( ) .( ) 0x x yA Cos ACos Sen ASen

( ) ( ) 2 (3)2 2

y y y y

x Cos

0yF 0x y x yA Sen ACos Cos ASen

( ) 2 42

( )x y

x y Sen


:319176, :9605573Tensiones o esfuerzos que se pueden presentar en

una seccin de un solid sometido a fuerzas


:319176, :9605573


:319176, :9605573

En un plano cualesquiera, se tienen 6 componentes,

3 fuerzas y 3 momentos: una fuerza normal, dos

fuerzas cortantes, un momento torsionante y dos

momentos flexionantes.


:319176, :9605573Estado de Tensiones en un punto

Por un punto que se analiza, pasan diversos planos, el

conjunto de tensiones que surgen en dichos planos se

denomina Estado Tensional en dicho Punto

El anlisis del estado tensional en un punto, comienza

siempre por la determinacin de las tensiones en las

caras del elemento escogido alrededor del punto.

Por el punto se trazan tres planos ortogonales entre si

cuya orientacin puede ser arbitraria; pero se escoge

de manera que las tensiones que surgen en los

planos sean los mas fciles posibles de determinar.


:319176, :9605573Consideremos alrededor del punto un paraleleppedo

Rectangular en cuyas caras se han determinado las

magnitudes de las tensiones que en estas secciones

surgen.

Disminuyendo las aristas del paraleleppedo, se

reducir este al punto dado. En el caso limite, todas

las caras del paraleleppedo pasaran por el punto A y

se podr considerar que las tensiones en los planos

trazados corresponden al punto en cuestin.


:319176, :9605573

En las caras opuestas del paraleleppedo, actan las

mismas tensiones en sentidos contrario, para que el

punto que se analiza, se encuentre en equilibrio.

y

x

z dx

dz

dy


:319176, :9605573

F o

xF o yF o zF oPero adems, la sumatoria de momentos deber ser

nulo:

M o

xM o yM o zM o

zM o Las fuerzas paralelas al eje z, no producen momento con respecto a este eje:


:319176, :9605573, , , , ,z z yz yz xz xz


:319176, :9605573-Las fuerzas que pasan por el eje z, no producen momento respecto de este eje:

,xy yx - Las fuerzas normales producen momento con

respecto al eje z de sentidos contrarios por lo que se hacen nulos.

. . . . 0yx xydx dz dy dy dz dx

xy yx


:319176, :9605573Anlogamente:

yM o xz zx xM o yz zy

Conclusin: En dos planos perpendiculares entre si,

las componentes de las tensiones tangenciales

perpendiculares a la arista comn son iguales y/o las

dos van dirigidas hacia a la arista o las dos parten de

ella.

Por lo tanto en las caras del paraleleppedo separado

existen seis componentes independientes de las

tensiones.


:319176, :9605573Estado tensional plano

, , , , , 0z z yz yz xz xz

Quedando el siguiente estado de tensiones:

Convencin de signos


:319176, :9605573Estado Tensional Plano, en un Plano Inclinado

Conociendo los esfuerzos en un sistema original xy, es posible

encontrar los esfuerzos para un nuevo sistema xy


:319176, :9605573


:319176, :9605573Determinacin de la tensin normal y tangencial en el

plano inclinado El plano inclinado viene

definido por la normal X, trazada al plano, la que

se mide por medio de un

ngulo () con respecto al eje X.


:319176, :9605573xF o

( ) .( ) ( ) ( ) 0x x y yx xyA Cos ACos Sen ASen Cos ASen Sen ACos

2 2 2x x y xyCos Sen Sen Cos

1 2 1 2( ) ( ) 2

2 2x x y xy

Cos CosSen

( ) ( ) 2 22 2

x y x y

x xyCos Sen

(1)


:319176, :9605573

yF o ( ) .( ) ( ) ( ) 0y x x y yx xyA Sen ACos Cos ASen Sen ACos Cos ACos

( ) 2 22

x y

y x xySen Cos

(2)

Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo

Los valores mximo y mnimo del esfuerzo normal xI,

se denominan esfuerzos principales y pueden

encontrarse igualando la derivada de xI, respecto de


:319176, :9605573

2 2 2 22

x yxxy

dSen Cos

d

2tan 2

xy

p

x y

21arctan

2

xy

p

x y

21arctan

2 2

xy

p

x y

Esta ecuacin tiene dos soluciones para p, que son:


:319176, :9605573Calculo de las tensiones normales principales

Reemplazando los valores de p en las formulas

generales de xI y xIyI, se obtiene:

2

2

max 12 2

x y x y

xy

2

2

min 22 2

x y x y

xy

12 0


:319176, :9605573Anlogamente, para el valor mximo del esfuerzo

cortante se iguala a cero la derivada de la ecuacin

general de xIyI respecto de :

2 2 2 22

x y x y

xy

dCos Sen

d

tan 22

x y

s

xy

Esta ecuacin tiene dos soluciones para s, que son:


:319176, :9605573

1arctan

2 2

x y

s

xy

1arctan

2 2 2

x y

s

xy

Calculo del esfuerzo cortante mximo

Reemplazando los valores de s en las formulas

generales de xI y xIyI, se obtiene:


:319176, :96055732

2

max2

x y

xy

2

2

min2

x y

xy

2

x y

x y m


:319176, :9605573Circulo de Mhor

Mtodo grfico que nos permite hallar los esfuerzos en planos

inclinados respecto a los ejes cartesianos originales.


:319176, :9605573Solucin grafica, empleando el Circulo de Mhor

Recordemos las siguientes expresiones del calculo

analtico:

( ) ( ) 2 22 2

x y x y

x xyCos Sen

( ) 2 22

x y

y x xySen Cos

(1)

(2)

( ) ( ) 2 22 2

x y x y

x xyCos Sen


:319176, :9605573

' '

22

2 2( ) ( ) ( )2 2

x y x y

x xyx y

2 2 2( )x h y R Ecuacin de un circulo

2 2

( ) ( ) 2 22 2

x y x y

x xyCos Sen

22

( ) 2 22

x y

y x xySen Cos


:319176, :9605573: xEjedeabcisas : x yEjedeordenadas

: , ,02

x yCentrodelCirculo h k

2

2

:2

x y

xyRadiodelCirculo

Grafica

Para graficar el circulo, conociendo la recta donde se

ubica el centro; se necesita dos puntos de paso del

circulo.


:319176, :9605573Por lo tanto:

0 x x x y xy

90 x y x y xy

( , )x xyPunto A

( , )x xyPuntoB

Para la grafica se supondr que:

x>y>0 y xy>0Convencin de signos

El Angulo en el circulo de Mhor, se grafica en sentido contrario al indicado en el estado tensional

plano en el punto considerado y se grafica con arco

doble.


:319176, :9605573

X'

X'Y X

XY

Y

XY

-

X

Y

maxmin

max

min

p1

p2

p1

A

B

2

2

2


:319176, :9605573Problema.-

El estado tensional plano en un punto determinado

es el que se muestra en la figura. Calcular analtica y

grficamente:

a) La orientacin de los planos principales

b) Las tensiones principales

c) La tensin cortante mxima

d) La orientacin del plano donde la tensin cortante

e) La tensin normal y cortante en un plano inclinado

cuya normal hace un ngulo de 30 en sentido

antihorario medido a partir del eje x.


:319176, :9605573Datos

1500x

900y

500xy

30

a) 2 (500)2 0.42

1500 900ptg


:319176, :9605573

1 11.31p

2 78.69p

max 2 2

min

1500 900 1500 900( ) 500

2 2

2

max 1000 /Kg cm

2

min 1600 /Kg cm

b)


:319176, :9605573

2 2

max

1500 900( ) 500

2

2

max 1300 /kg cm

1

1 1500 900( ) 33.69

2 2 500s arctg

2

1 1500 900( ) 123.69

2 2 500 2s arctg

c)

d)


:319176, :96055731500 900 1500 900

( ) ( ) (2 30 ) 500 (2 30 )2 2

x Cos Sen

2467 /x kg cm

' '

1500 900( ) (2 30 ) 500 (2 30 )

2x ySen Cos

21289 /x y kg cm


:319176, :9605573

-1500,500

900,-500

1000,01600,0

X

Y

23

15760

X'

X'YX'

Y'

-467,1289

-133,-12891

30

0

900,-500

-1500,500

x

y

1500x

900y

500xy

30


:319176, :9605573

x

y

11.31

1600

1000

X

x

y

1500

900

500

Diagrama de Esfuerzo, para los esfuerzos principales


:319176, :9605573

x

y

x

30

1289

467

Diagrama de Esfuerzo, para el ngulo de 30


:319176, :9605573Determinacin de las tensiones en un plano inclinado

de orientacin arbitraria

( , , )n l m n


:319176, :9605573Donde:

xl Cos

ym Cos

zn Cos

2 2 2( ) ( ) ( ) 1x y zCos Cos Cos

zArea COD ACos An

xArea COB ACos Al

yArea BOD ACos Am


:319176, :9605573

y

x

z dx

dz

dy

X= Esfuerzo Producido en el rea A en la direccin

del x.

Estado tensional en el plano inclinado


:319176, :9605573

Y= Esfuerzo Producido en el rea A en la direccin

del y.

Z= Esfuerzo Producido en el rea A en la direccin

del z.

El cuerpo considerado para el anlisis, se encuentra

en equilibrio, por lo tanto:


:319176, :96055730xF

x xy zxXA Al Am An

x xy zxX l m n

0yF

xy y zxYA Al Am An

xy y zyY l m n


:319176, :9605573

0zF

xz yz zZA Al Am An

xz yz zZ l m n


:319176, :9605573Conclusin

El esfuerzo total que se produce en la seccin con

orientacin arbitraria, esta dado por:

X Y Z

x yx zx

xy y zy

xz yz z

l

m

n

Tensor de Esfuerzos


:319176, :9605573Estado de Deformaciones en un punto


:319176, :9605573Estado de Deformaciones en un punto

Al igual que el estado de tensiones en un punto,

anlogamente, las deformaciones: x, y, z, son denominadas deformaciones normales unitarias, y xy, yz, xz, yx, zy, zx, son deformaciones angulares, las mismas que al igual que los esfuerzos tangenciales

verifican las siguientes relaciones geomtricas:

xy yx xz zx yz zy


:319176, :9605573Estado de Deformaciones Plano, en un Plano Inclinado

El estado plano de las deformaciones en un punto

queda definido por las deformaciones normales (x, y,), y una angular xy.

s

s

y

x s(1+x)

y

x

xy

s(1+y)


:319176, :9605573

y

x

'x

'y

' 'x y

Determinacin de Deformaciones normal y angular de

una nueva orientacin definida por el ngulo


:319176, :9605573

sAC Cos

sBC Sen

x

y

s

A

B

C

y

x

' ' (1 )xA C AC

' ' (1 )S xA C Cos

' ' (1 )YB C BC

' ' (1 )S yB C Sen

Antes de sufrir

deformaciones planas

A

B

C Despues de sufrir

deformaciones planas


:319176, :9605573

A

B

y

x

C

2 2 2

' ' ' ' ' '

2( ' ')( ' ') ( )2

xy

A B A C B C

A C B C Cos

2 2

'

2

[ (1 )] [ (1 )]

[ (1 )]

2[ (1 )][ (1 )] ( )2

s x S x

S y

S x S y xy

Cos

Sen

Cos Sen Cos


:319176, :9605573

' 2 22 2 2

x y x y xy

x Cos Sen

2si

' 2 22 2 2

x y x y xy

y Cos Sen

(1)

(2)

(1)+(2)

'x y x y Invariante de

Deformaciones (3)


:319176, :9605573

y

x 45

(45 )

En el sistema original la deformacin lineal para una

inclinacin de =45, en (1), se obtiene:

45

1( )

2x y xy

452 ( )xy x y


:319176, :9605573

y

x 45

(45 )'

x

' ' 45 ' '2 ' ( )x y x y

(45 ) ( 45 )'

' ' ( 45 ) ' '2 ( )x y x y

( 45 )

(1) 45en

(4)

( 45 ) 2 22 2 2

x y x y xySen Cos

(5)


:319176, :9605573(3) y (5) en (4)

' ' ( ) 2x y x y xyCos

Si definimos:

2

xy

xy

' 2 22 2

x y x y

x xyCos Sen

' ' 2 22

x y

x y xySen Cos

(6)

(7)

' '

' '2

x y

x y


:319176, :9605573

x x y y 2

xy

xy xy

Direcciones y Deformaciones normales principales

21arctan( ) 0 1

2 2

xy

p

x y

ncon n y

Los valores mximo y mnimo de la deformacin normal

unitaria x , se denominan deformaciones principales y para los ngulos en el que se producen se denomina

direcciones principales

Para el calculo la ecuacin (1) se deriva y se iguala a 0:


:319176, :9605573

2 2

min ( ) ( )2 2

x y x y

xy

2 2

max ( ) ( )2 2

x y x y

xy

Direccion y Deformacin angular principal

El valor mximo de la deformacin angular xy, se denomina deformacin principal y para el ngulo en el

que se produce se denomina direccione principal


:319176, :9605573

2 2maxmax ( ) ( )

2 2

x y

xy xy

1arctan( ) 0 1

2 2 2

x y

s

xy

ncon n y

Para el calculo la ecuacin (2) se deriva y se iguala a 0:


:319176, :9605573

A(x,xy)

B(y,-xy)

xy

x

O

P(x,xy) 2

Circulo de Mhor


:319176, :9605573Problema.- El punto H esta sometido a un estado

plano de deformaciones con los siguientes valores:

x=+210x10-6, y=+450x10

-6, xy=-250x10-6rad.

Determine:

a) Las deformaciones

principales y sus

orientaciones. b) La deformacin angular

mxima absoluta. c) Las deformaciones

unitarias y la deformacin

angular para las direcciones

x e y.

y

37 x

x

y

H


:319176, :9605573

6

6 6

21 1 2( 125 10 )tan( ) tan( )

2 2 210 10 450 10

xy

p

x y

xar ar

x x

Orientaciones principales

46.17p 136.17p

2 2

max ( ) ( )2 2

x y x y

xy

6

max 503.28 10x

2 2

min ( ) ( )2 2

x y x y

xy

Deformaciones principales

6 6 6 62 6 2

max

210 10 450 10 210 10 450 10( ) ( 125 10 )

2 2

x x x xx


:319176, :96055736

min 173.28 10x

' cos 2 22 2

x y x y

x xysen

6 6 6 66

'

210 10 450 10 210 10 450 10cos 2(127) ( 125 10 ) 2(127)

2 2x

x x x xx sen

Deformacin unitaria y angular para x, y

6

' 483.24 10x x

6 6 6 66

'

210 10 450 10 210 10 450 10cos2(217) ( 125 10 ) 2(217)

2 2y

x x x xx sen

6

' 176.76 10y x

2 2( ) ( )2 2

xy x y

xy xy

6 62 6 2210 10 450 10( ) ( 125 10 )

2 2

xy

xy

x xx

6 6 6 62 6 2

min

210 10 450 10 210 10 450 10( ) ( 125 10 )

2 2

x x x xx


:319176, :96055736345 10xy x rad

Problema.- Utilizando el circulo de Mhor, calcular las

mismas interrogantes grficamente.


:319176, :9605573Torsin

El momento actuante sobre el eje longitudinal de un

elemento, se denomina momento torsor.

Una barra se encuentra sometida a torsin pura

cuando las fuerzas cortantes, las fuerzas normales y

los momentos flexionantes son iguales a cero.


:319176, :9605573Al calcular una barra sometida a torsin es necesario

resolver, dos problemas:

a) Determinar las tensiones que aparecen en la barra

y que son tangenciales

b) Calcular los desplazamientos angulares

Sea: m1, m2 y m3, cargas de torsin exteriores

aplicadas a la siguiente barra:


:319176, :9605573Diagrama de cuerpo libre de la barra:

m=0, m1+m2+m3+me=0


:319176, :9605573

Si se corta la barra en una seccin tal como la seccin

c y se suprime la parte de la derecha de esta seccin; se deber sustituir la parte suprimida por el

efecto que ejerca sobre la parte de la izquierda; efecto

que consiste en un momento llamado Momento Torsor;

este momento mantiene en equilibrio la parte de la

izquierda bajo la accin de los pares me y m3.

m=0, mt+m3-me=0


:319176, :9605573Calculo del Momento Torsor (Mt) La suma algebraica de los momentos exteriores

situados a un lado de la seccin c, es el Momento Torsor en la seccin c. Convencin de signos

El momento torsor Mt que gira en direccin contraria a

las manecillas del reloj, cuando se observa desde la

normal exterior a la seccin transversal se considera

positivo.


:319176, :9605573Diagrama de Momentos torsores

El diagrama de momentos torsores, es la

representacin grafica de los momentos torsores en

cada una de las secciones de la barra.

Problema.- Para la barra mostrada en la figura,

determinar el diagrama de momentos torsores.

L1

x

x

x m 3m 2m

A

B C

L2


:319176, :9605573* Los momentos estn representados por dos

crculos. El circulo que contiene un punto,

representa una fuerza hacia el observador; el

circulo con un aspa, una fuerza dirigida desde el

observador. Solucin

Tramo AB 0


:319176, :9605573

Problema.- Para la barra mostrada en la figura,

determinar el diagrama de momentos torsores.

+

-

m

2m

Mt +

-

X X X X X X X X X X X X

A B

W=m(kgf-cm/cm

L


:319176, :9605573Solucin

Tramo AB 0


:319176, :9605573Tensin Tangencial () y desplazamiento angular (), causado por torsin

tM M


:319176, :9605573El arco HJ, se puede expresar como:

: Es el ngulo de giro mutuo de dos secciones referido a la distancia entre ellas.

HJ dx

(1)d

rdx

angulode torsion unitari(2) od

dx

HJ rd dx rd

, es el ngulo de distorsin de la superficie cilndrica


:319176, :9605573

Ley de Hooke para desplazamientos

G G= mdulo de

elasticidad de

segundo genero 2(1 )

EG

(5)Gr = la tensin tangencial que surge en la seccin

(4)

(3) en (4)

(3)r (2) en (1)


:319176, :9605573

.tdM r dF

.tA A

dM r dA

(. 6)tA

M r dA

t

A

M Gr rdA 2

t

A

M G r dA

dF dA

(5) en (6)


:319176, :9605573

2

P

A

r dA I t PM GI

t

P

M

GI GIp= rigidez de la barra a la torsin

Angulo de giro mutuo de las secciones ():

d

dx

t

P

Md

dx GI

t

P

Md dx

GI

2

A

r dACaracterstica

puramente

geomtrica

Momento polar

de Inercia de la

Seccin


:319176, :9605573

0

L

t

P

Mdx

GI

L=distancia entre secciones para los

cuales se determina el ngulo de giro

mutuo .

Si Mt (constante) y si la rigidez GIp es constante:

t

P

M L

GI

En (4)

Gr tP

MGr

GI t

P

M r

I

t

P

M

L GI

t

P

M

GI


:319176, :9605573La tensin tangencial () en una seccin vara a lo largo del radio linealmente.

4 4

2 32p

r DI

0r 0

r r maxt

p

M r

GI

Diagrama de Tensiones

Tangenciales


:319176, :9605573


:319176, :9605573Problema.- Construir el diagrama de los momentos

torsores, tensiones tangenciales y ngulos de giro del

rbol en voladizo representado en la figura.

X X X X X X X

X X X

X

X

0.6 0.4 0.6m 0.4

200kg.m/m 400kg.m/m

500kg.m

A B

C E

D


:319176, :9605573

X X X X X X X

X X X

X

X

0.6 0.4 0.6m 0.4

200kg.m/m 400kg.m/m

500kg.m

A B

C E

D

X

500kg.m



0m

120 120 500 0em 500em kg m

+

0.6 0.4 0.6 0.4

X

X X

X

120 120 500

me


:319176, :9605573

Tramo AB 0x 0.60

500 200tM x ( 0) 500t xM

( 0.60) 380t xM

X X X X X X X

X X X

X

X

0.6 0.4 0.6m 0.4

200kg.m/m 400kg.m/m

500kg.m

A B

C E

D

X

500kg.m


:319176, :9605573

( 0) 4

500*0.05 25.0255

0.10.

32

x

pI

500 200 . / 2

p p

x x x

GI GI

( 0.60)

380*0.05 19x

p pI I

X X X X X X X X X X X X

0.6 0.4 0.6m 0.4

200kg.m/m 400kg.m/

m 500kg.m

A B

C E

D

X

500kg.m


:319176, :9605573

X X X X X X X

X X X

X

X

0.6 0.4 0.6 0.4

0.6 0.4 0.6 0.4

X

X X

X

120 120 500

me


:319176, :9605573

( 0) 0x ( 0.60)

264x

pGI

( 0.30)

141x

pGI

Tramo BC 0.60 x 1.00

500 120 380tM cte

380*0.05 19.

p p

cteI I


:319176, :9605573

500 120( 0.30)

p

x x

GI

( 0.60)

264x

pGI

( 1.00)

416x

pGI

500


:319176, :9605573Tramo CD 1.00 x 1.60

400( 1.00) 1500 120 ( 1.00). .

0.60 2t

xM x

400

1.00 0.60

y

x

500

400( 1.00)

0.60y x


:319176, :96055731.00 380tx M

1.60 500tx M

1.40 433tx M

*0.05t

p

M

I

191.00

p

xI

25

1.60p

xI

22

1.40p

xI


:319176, :9605573

2400( 1.00) ( 1.00)500 120( 0.30) *

1.20 3

p

x xx x

GI

( 1.00)

416x

pGI

( 1.60)

668x

pGI

( 1.40)

575x

pGI

500


:319176, :9605573Tramo DE 1.60 x 2.00

500 120 120 500 .tM cte

500*0.05 25.

p p

cteI I

500 120( 0.30) 120( 1.40)

p

x x x

GI

500


:319176, :9605573

( 1.60)

668x

pGI

( 2.00)

868x

pGI


:319176, :9605573


:319176, :9605573Problema.- Construir el diagrama de los momentos

torsores, tensiones tangenciales y ngulos de giro del

rbol bi empotrado representado en la figura.

A B

C

D D

2L L L 2L

D 2D

m 4m



1 2 1 2 2

.3 .3 . .3 4 .20A A

M l M l M l M l M l

Ip G Ip G IpG Ip G Ip G

Giro de la seccin E=0


:319176, :9605573

9

17AM M

Tramo AB 0 x 2L 9

17tM M Cte

4 3

9

917 2.17 *0.20

32

DM

M

D D

1

9

17Mx

GIp

1 1 1 1 1

.3 .3 .3 80

16 16 16

A AM M M M M

IpG IpG IpG IpG IpG


:319176, :96055730 0x

1

182

Mlx l

GIp

Tramo BC 2L x 3L

9 8

17 17

MMt M M

3

8.

17 0.20

M

D


:319176, :9605573

1

9( 2 )

17Mx M x l

GIp

1

182

Mlx l

GIp

1

103

17

Mlx l

GIp

Tramo CD 3L x 4L

8

17Mt M

3

8.

17 1.60

M

D

9 9.3 .( 3 ) ( 3 )

17 17

1 16 1

M l Ml M x l M x l

GIp GIp


:319176, :9605573

103

17 1

Mlx l

GIp

94

17 1

Mlx l

GIp

Tramo DE 4L


:319176, :9605573

4x l 19 Ml

x34 GIp1

6 0x l


:319176, :9605573


:319176, :9605573

Hiptesis bsicas

Torsin en barras rectas de seccin no circular

- Las ecuaciones definidas para secciones circulares

ya no son aplicables.

- Las secciones planas antes de la aplicacin del

momento torsor no se mantiene planas luego de la

aplicacin del momento torsor.

El anlisis de los esfuerzos y las deformaciones en el

caso de secciones no circulares es bastante complejo

y escapa al alcance de este curso. Pero se pueden

conocer ciertas caractersticas que presentan los

esfuerzos cortantes.


:319176, :9605573- Se produce ALABEO en la seccin transversal.


:319176, :9605573


:319176, :9605573Esfuerzos y deformaciones en una seccin rectangular

Para la determinacin de los esfuerzos y

deformaciones en una seccin rectangular de lados a y

b, cuando se le aplica un momento torsor T, se

resuelve aplicando la analoga de la membrana (teora

de Prantl) ; obtenindose la distribucin de esfuerzos

que se muestra en la figura:


:319176, :9605573

max 2

1

T

c ab

2 3 maxc

3

2

d T

dx c ab G


:319176, :9605573

Si: T, a, b, G son constantes

3

2

TL

c ab G

Donde c1, c2, c3, son funciones de la relacin a/b


:319176, :9605573

a/b 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 10.0 C1 0.208 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.291 0.312 0.333

C2 0.141 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.291 0.312 0.333

C3 1.000 0.859 0.795 0.768 0.753 0.745 0.744 0.742 0.740


:319176, :9605573Esfuerzos y Deformaciones producidos por Flexin

Se entiende por flexin el caso de solicitacin cuando

en las secciones transversales de una barra aparecen

momentos flectores.

Si el momento flector en la seccin, es el nico factor

de fuerza existente, mientras que las fuerzas cortantes

y las fuerzas normales son nulas; entonces la Flexin

se denomina Flexin Pura la que nos servir para iniciar el estudio de las deformaciones y esfuerzos que

se producen por flexin.

Ejemplo de sistema a flexin pura:


:319176, :9605573


:319176, :9605573Anlisis de deformaciones

dx

dx


:319176, :9605573

dx

dx


:319176, :9605573


:319176, :9605573

y

dx

x

y

Anlisis de esfuerzos

Por la ley de Hooke, se sabe que:

ACB EBF

E


:319176, :9605573

y

E

Ey

Ey

dF dA

Se sabe que la

fuerza total actuante

en el eje x debe ser igual a cero

(flexin pura).

M


:319176, :9605573Por lo tanto:

0A A

dF dA 0A

EydA

0

A

EydA

0A

ydA Momento esttico del rea de la

seccin respecto al eje neutro; como es

igual a cero, la lnea neutra pasar por

el centro de gravedad de la seccin.

M MdM ydF dM y dA

A

EyM y dA


:319176, :9605573

EN

My

I

De acuerdo con esta expresin, la tensin normal por

flexin vara linealmente.

La tensin mxima en la flexin aparece en los puntos

mas alejados de la lnea neutra.

maxmaxEN EN max

My M M

I I /y w

w: mdulo de la

seccin en la

flexin.

2

A

EM y dA


:319176, :9605573

Tensiones en la Flexin transversal

1 En el caso de la flexin transversal en la seccin

de la barra surge no slo el Momento Flector

M, sino tambin la Fuerza Cortante V, que constituye la resultante de las fuerzas

elementales distribuidas en el plano de la

seccin.

ymax

max

EN


:319176, :9605573 Por lo tanto, en este caso, en las secciones

transversales de la barra surgen no solamente

Tensiones Normales (), sino tambin Tensiones Tangenciales ().

2 La manera de obtener las tensiones tangenciales

(), consiste en determinar las tensiones tangenciales recprocas a estas que aparecen en

los planos longitudinales de la barra


:319176, :9605573

dx

M M+dM V

V+dV

EN

+d

v V+dV

EN

y

dx

b

dA A

y

Seccin

Equilibrio de la porcion de viga considerada de longitud

dx


:319176, :9605573

F

F+dF

dx b

En la seccin de la izquierda:

A

F dA 'A

MF y dA

I

MSF

I

0xF


:319176, :9605573En la seccin de la derecha: (anlogamente)

(M dM)SF dF

I

F-(F+dF)+.bdx=0 .dM S

bdxI

V.S

bIFormula de zhuravski

Las tensiones que surgen en las secciones

transversales son iguales a las tensiones tangenciales

longitudinales halladas por ser recprocas.


:319176, :9605573Problema.- Para la viga mostrada en la figura,

determinar:

a) Reacciones en los apoyos.

b) Diagrama de fuerzas cortantes

c) Diagrama de momentos flectores

d) Momento de inercia de la seccin respecto de su

eje neutro

e) Las tensiones mximas por flexin y su ubicacin

f) Las tensiones mximas por cortante y su ubicacin

g) Las tensiones mximas en un punto 3cm por debajo

de la cara superior.


:319176, :9605573

A B

2000kg/m

1500kg

2m

1000kg-m

2m 2m 2m 1.5m

E=2.1x106kg/cm2

rotula

2000kg/m

Ay By Dy Dy Cy

1000kg-m

1500kg

2cm 2cm

8cm 6

8

1m


:319176, :9605573En el grafico B

MD=0 +

1500 2 4 1000 0Cy

1000Cy Fv=0

1500 1000 0Dy

500Dy

Dy Cy

1000kg-m

1500kg

2m 1.50m 2m


:319176, :9605573En el grafico A

MB=0 +

*4 2000*2*3 *1 0Ay Dy

2875Ay

Fv=0

2875 4000 500 0By

1625By

2m 2m

2000kg/m

Ay By Dy

1m


:319176, :9605573b) Diagrama de Fuerza Cortante

c) Diagrama de Momento Flector


:319176, :960557322000

28752

xM

2875 2000V x 0 1.44V x

2066.40M kg m

d)

12*8*4 8*6*35.00

12*8 8*6y

2cm 2cm

8cm 6

8

y

x

y


:319176, :96055733 3

2 2 42*6 12*22*[ 2*6*2 ] [ 12*2*2 ] 272.0012 12

I cm

e) 2

max( )

2066.40*5*1003798.53 /

272kg cm

2cm 2cm

8cm 6

8

y

x

5


:319176, :9605573

2

max( )

1000*5*1001838 /

272kg cm

2

max

2875*2 (2*5*2.5)132.12 /

4*272

VQ xkg cm

bI

2

max

1125*5051.70 /

4*272kg cm


:319176, :9605573Desplazamientos en la Flexin

Flexin de una viga

La figura que adopta la superficie neutra deformada,

se conoce como curva elstica de la viga.

La flecha es el desplazamiento vertical desde la

posicin original a la deformada de la viga.

Elstica de la Viga


:319176, :9605573Determinacin de la flechas

Para el calculo de las flechas se tiene varios mtodos;

para los fines del curso consideraremos dos de ellos:

1 Mtodo de la Doble Integracin

Por medio del anlisis matemtico, se demuestra que

la elstica o deformada de una viga, esta dada por la

siguiente ecuacin diferencial:

2

2

d yEI M

dx


:319176, :9605573Convencin de signos

La distancia x es positiva hacia la derecha a lo largo de la viga y la flecha y es positiva hacia arriba.

Problema.- Determinar la flecha en cada seccin de la

viga en voladizo sometida a la carga aislada P.

L

P

A

B


:319176, :9605573MA=0 +

0M PL M PL M PL Px

2

2

d yEI Px PL

dx

P

A B

x

y

P L

M

P

A

x


:319176, :96055732

1 .2

x

dy PxEI PLx C EI

dx

3 2

1 26 2

x

Px PLxEIy C x C

10 0 0xPara x C

3 2

6 2x

Px PLxEIy

2

2x

PxEI PLx

20 0 0xPara x y C

L

P

A B


:319176, :96055733

max( )3

x L

PLf

EI

2

2x L

PL

EI


:319176, :9605573

a

L

b P

tgB tgA

AB

A B

2 Mtodo del rea de Momentos

Para la aplicacin de ste mtodo, se tiene dos

teoremas, denominados Teoremas de Mhor:


:319176, :9605573 a

L

b P

tgB tgA

AB

M

A B


:319176, :9605573Teorema N1.- El ngulo AB que hacen las tangentes trazadas por dos puntos a la elstica (A y B), es igual

al rea bajo la curva del diagrama de momentos

flectores entre dichos puntos, dividido entre el

producto EI, llamado tambin diagrama de momento

flector reducido.

. .BAB

A

AreadelDiagramadeM F entre A yBMdx

EI EI Convencin de signos

Si la tangente trazada por B gira en sentido antihorario

con respecto a la tangente trazada por A; el ngulo

AB es positivo


:319176, :9605573Teorema N2.- La distancia vertical , desde un punto B de la elstica a la tangente trazada desde otro punto de

la elstica A; es igual al momento con respecto a la

vertical por B del rea bajo el diagrama de momentos

flectores entre A y B dividido por el producto EI.

. . . ;B

A

Momentodel Areadel Diag M F entre A y B conrespectoa BxMdx

EI EI

Convencin de signos

- Se consideran positivos los momentos de las reas de

los diagramas de M. F. Positivos y los productos

positivos de reas y brazos dan origen a flechas

positivas.


:319176, :9605573- Se toman como positivas las flechas en las que el

punto B esta encima de la tangente trazada por A.

Problema.- Calcule la flecha mxima de la viga

mostrada en la figura:

D A B C

2 4 2m

150kg/m

15cm

20

E=1x105kg/cm2


:319176, :9605573

A

B C

2 4 2m

150kg/m

Por simetra:

150 8600

2y yA D

MB=0 + parte izquierda

.2 150 2 1 0A YM A 900AM

D

Ay Dy

MA MB


:319176, :9605573

D A

B C

2 4 2m

150kg/m

900 MB

600 Dy

300

900

600

150kg/m

B A

1 300 300

150kg/m

B C


:319176, :9605573

+

300

900

1

300 300

150kg/m

600

150kg/m

B A

900

1200

300

-

+

-

-1800

1200

-200

300

400 E


:319176, :96055731200*2 2 300*2 1

( 900*2)*1 ( )* ( )* *2 11002 3 3 4

EI EIf

900

1200

300

-

+

-

-1800

1200

-200

El signo (-) indica que el punto B

esta debajo de la tangente trazada

por A.


:319176, :9605573

1 1

2 300*2 5(2*300* )*( )* *2 500

3 3 8EI EIf

300 + 300

400 E

El signo (+) indica que el

punto A esta encima de la

tangente trazada por E.

Por simetra, la flecha

mxima de la viga esta

ubicada en el eje central,

por lo tanto:


:319176, :96055736

max5 3

1100 500 (1100 500) *101.60

11*10 * 15* 20

12

f cmEI

Problema N2.- En la viga del problema anterior, hallar

la pendiente de la elstica, en una seccin a la

distancia de 6m a partir del apoyo A.

Rpta.: =0.46


:319176, :9605573

P=7,000kg, a=4m, b=3m

A C B

Problema.- Calcule la flecha debajo de la carga y el

ngulo de giro de la seccin C, en la viga mostrada en la figura:

2

4

2'100,000 /

4,000

E kg cm

I cm


:319176, :9605573

C

a

L

b P

A B

C

C

tgB

tgC h

12000

(+)

M


:319176, :9605573

A L

CC b

" Cfc CC

3"

7ACC

C

C

tgB C

a b

L

c A

12000

M

(+)


:319176, :9605573

3 3" 154,000 66,000

7 7ACC x

13 12,000 1 18,000

2c x x x

66,000 18,000 48,000CEIf

6 4 3 8

48,000

2.1 10 10 4 10 10Cf

x x x x x 5.70Cf cm

1 8 14 12,000 3 12,000 5

2 3 2A

x x x x x x

EI


:319176, :9605573

B C BC

1 1 8 1( 4 12,000 3 12,000 5)

7 2 3 2B x x x x x x

EI

EIB

000,22

13 12,000 18,000

2BCEI x x

AB BTg

EIL

C B BC

tgB

tgC hc

BC

B

tgB

tgC hc

BC

tgB

tgC hc

BC

B


:319176, :960557322,000 18,000 4,000CEI

2

4

2'100,000 /

4,000

E kg cm

I cm

5 4 8

4,000 4,0000.00476 .

21 10 10 4,000 10C rad

EI x x x x


:319176, :9605573

3m

9m

18000kg

3m 3m

5I 2I

A C B

Problema.- En la viga mostrada en la figura, calcular:

A, B, C, C.


:319176, :9605573Vigas Estticamente Indeterminadas

Son aquellas vigas donde el numero de reacciones

desconocidas es mayor que el nmero de ecuaciones

de equilibrio disponibles para el sistema.

Vigas Continuas

Son aquellas cuyas dispocisiones de sus apoyos se

encuentran al mismo nivel.


:319176, :9605573

1

I2 I1

3 2

L1 L2

M1 M2 M3

VIGAS CONTINUAS

Teorema de Los Tres Momentos


:319176, :9605573

)(6)(222

22

11

11

2

23

2

2

1

12

1

11

LI

nA

LI

mA

I

LM

I

L

I

LM

I

LM

Dibujar el Diagrama de

Momentos Flectores

Isostticos de cada

tramo .


Fuerzas Cortantes

Isostticos de cada

tramo .

Correcciones al Cortante

dn inn

n

M MC

L


:319176, :9605573Problema.- En la viga mostrada en la figura, calcular

las reacciones en los apoyos, los momentos en los

apoyos, los diagramas de fuerzas cortante y

momento flector.

6 4

2

12000kg

12 3

12000kg/m


:319176, :9605573

2 9,000M kg m

2

36,000 3 24,000 20 2 (6 4) 0 6( )

6 4

x xM

2

8

wLh

2

3A Lh

Pabh

L


:319176, :9605573

9000kg-m 9000kg-m

4500kg-m

12000kg-m

7500kg-m

Diagrama de Momento Flector

+

- -

+


:319176, :96055736000kg

6000kg

6000kg

6000kg

-

+ +

-

-

+

-

+

4500kg 8250kg

7500kg 3750kg

Diagrama de

Fuerza

Cortante

1

9,000 01,500

6C kg

2

0 ( 9,000)2,250

4C kg

VI

V


:319176, :9605573Reacciones

4500kg 15750kg 3750kg

-

+

-

+

4500kg 8250kg

7500kg 3750kg

V


:319176, :9605573

3200kg/m

5m

4800kg

2.5m

A B

D

7m

9800kg

4m

C

Problema.- En la viga mostrada en la figura, calcular

las reacciones y los momentos en los apoyos, as

como dibujar los diagramas de fuerza cortante y

momento flector.


:319176, :9605573


:319176, :9605573

yx

xy

xy

y

z


:319176, :9605573

dx

dy

x

X'

dx


:319176, :9605573

y

x


:319176, :9605573

TgA

TgB

P

M


:319176, :96055731200*2 2 300*2 1

( 900*2)*1 ( )* ( )* *2 11002 3 3 4

EI EIf

El signo (-) indica que el punto B esta debajo de la

tangente trazada por A.

1 1

2 300*2 5(2*300* )*( )* *2 500

3 3 8EI EIf

El signo (+) indica que el punto A esta encima de la

tangente trazada por E.

Por simetra, la flecha mxima de la viga esta ubicada

en el eje central, por lo tanto:


:319176, :9605573

" ' "c CC C C

A L

CC b

3"

7ACC

tgB

A

C

C

C

a b

L c

B

12,000

(+)


:319176, :9605573

3 3 154,000 66,000"

7 7ACC x

EI EI

13 12,000 1

18,0002' "

x x x

C CEI EI

66,000 18,000 48,000C

EI EI EI

1 8 14 12,000 3 12,000 5

2 3 2A

x x x x x x

EI


:319176, :9605573

B BC C

A

B BTgL

1 154000

7B

EI

C B BC

1 8 14 12,000 3 12,000 5

2 3 2A

x x x x x x

EI

22000B

EI

6 4 3 8

48,000

2.1 10 10 4 10 10C

x x x x x 5.70C cm


:319176, :9605573

22,000 8,000 4,000C

EI EI

2

4

2'100,000 /

4,000

E kg cm

I cm

5 4 8

4,000 4,0000.00476 .

21 10 10 4,000 10C rad

EI x x x x

13 12,000

18,0002BC

x x

EI EI


:319176, :9605573Problema.- Calcule la flecha y el ngulo de giro en el

punto medio de la viga anterior.


:319176, :9605573


:319176, :9605573

CAPITULO 5

Tres Momentos


:319176, :9605573

6 4

2

12000kg

12 3

12000kg/m


:319176, :9605573Teorema de Los Tres Momentos

M1 M2 M3


:319176, :9605573

)(6)(222

22

11

11

2

23

2

2

1

12

1

11

LI

nA

LI

mA

I

LM

I

L

I

LM

I

LM


Momentos Flectores

Isostticos de cada

tramo .


Fuerzas Cortantes

Isostticos de cada

tramo .

Correcciones al Cortante

dn inn

n

M MC

L


:319176, :9605573Problema.- En la viga mostrada en la figura, calcular

las reacciones en los apoyos, los momentos en los

apoyos, los diagramas de fuerzas cortante y

momento flector.

6 4

2

12000kg

12 3

12000kg/m


:319176, :9605573


:319176, :9605573

2 9,000M k m

2

36,000 3 24,000 20 2 (6 4) 0 6( )

6 4

x xM


:319176, :9605573

1

9,000 01,500

6C k

2

0 ( 9,000)2,250

4C k

clases resistencia

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