Clase

Funciones

MT-21

Resumen de la clase anterior

Inecuación lineal de primer grado

Planteo

Solucióndesigualdad

Soluciónintervalo

Solucióngráfica

Sistemas de inecuacionesde primer grado

Propiedades

Aprendizajes esperados

• Definir relación y función estableciendo las diferencias entre un concepto y otro.

• Determinar si una relación es función.

• Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas.

• Determinar dominio y recorrido de una función.

• Nociones de gráfica de una función en el plano cartesiano.

• Evaluar una función.

Pregunta oficial PSU

26. Si f(x) = 5x, entonces 5∙f(5x) es igual a

A) 125x B) 25x C) 125x2 D) 25x2 E) ninguna de las expresiones anteriores.

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2008.

1. Relaciones

2. Funciones

1. Relaciones

1.1. Definición

Ejemplo:

Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:

R = { (a, b) A x B / b es múltiplo de a}

A x B = {(2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 4); (3, 5); (3, 6); (7, 4); (7, 5); (7, 6)}

R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B

, entonces:

Una relación R de un conjunto A a un conjunto B (R: A B), es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B determinado por una o más condiciones.

A x B es el producto cartesiano entre los dos conjuntos, es decir, todos los pares ordenados que se puedan formar, tomando un elemento de A y un elemento de B, en ese orden.

1. Relaciones

1.1. Definición

Utilizaremos el ejemplo anterior para explicar algunos conceptos.

R = {(2, 4); (2, 6); (3, 6)} A x B

2

3

7

4

5

6

A B

R

Conj. de partida Conj. de llegada (Codominio)

Pre-imágenes {2, 3} Imágenes {4, 6}

De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que:

2 es pre-imagen de 4 y de 6 , y 4 es imagen de 2

1. Relaciones

1.2. Dominio y recorrido

Dominio:

Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que son pre-imagen de algún elemento del conjunto de llegada.

Ejemplo:

Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de llegada que son imagen de algún elemento del conjunto de partida.

Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:

, entonces:R = {(2,4); (2,6); (3,6)}

Dom(R)

Rec(R)

= {2, 3}

= {4, 6}

Recorrido:

2. Funciones

2.1. Definición

Una “función f” es una relación, tal que todo elemento del conjunto de partida tiene imagen, y esta es única.

Ejemplos:1. Determine si la siguiente relación R es función:

a

b

c

d

e

f

A BR

La relación R NO es función, porque c tiene dos imágenes.

R (c) = e

R (c) = f

• Dom f = A• Cada pre-imagen tiene una única imagen.

2.1. Definición

2. Determine si la siguiente relación R es función:

3

5

4

6

7

9

A BR

R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida tiene imagen y esta es única.

2. Funciones

f (3) = 6

f (5) = 6

f (4) = 7

3

5

4

6

7

9

A Bf

Además:

Dominio(f) = A

Recorrido(f) = {6, 7}

2.2. Evaluación de funciones

Sea f una función, definida en los reales como:

f(x) = 2x + 3.

a) f (1) =

Determinar:IR IR

f

b) f (3) =

c) f (7) =

d) f (12) =

= 24 + 3

= 27

Ejemplo 1:

1

3712…x

5

9

17

27…

f(x)2·1 + 3 = 5

2·3 + 3 = 9

2·7 + 3 = 17

2·12 + 3

2. Funciones

2.2. Evaluación de funciones

2·4 + 3 – 3(2·0 + 3)2(– 1) + 3

f (4) – 3·f (0)f (– 1)

=

8 + 3 – 3(3)

1

2

11 – 9

=

=

=

e) Para f(x) = 2x + 3, determinar

2. Funciones

2.3. Dominio y recorrido

Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3.

f(x) = 2x + 3 es función afín, Dom(f) = IR y Rec(f) = IR

2. Funciones

Cuando x es 1, el valor de y es 5. Luego, f(1) = 5.

Es decir, y = f(x) → (x, y)

punto en elplano cartesiano

2.3. Dominio y recorrido

Ejemplo 1:Sea

¿Es posible calcular este cuociente siempre?

Como la división por 0 no está definida, x – 1 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 1.

Luego, Dom(f) = IR – {1}

Respuesta:

IR IR

f

2

1

-1

…

f(x)

2

3

-1

x

1

f(x) = 2 x – 1

2. Funciones

2. Funciones

2.3. Dominio y recorrido

Ejemplo 2:

Dom(f) = [– 2, +∞ [

¿Por qué?

Sea f(x) = x + 2

2. Funciones

2.3. Dominio y recorrido

Como la división por 0 no está definida, x – 3 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 3.

Luego, Dom(f) = IR – {3}

Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x.

y(x – 3) = x

yx – 3y = x

yx – x = 3y

x(y – 1) = 3y

Luego, Rec(f) = IR – {1}

y = x x – 3

x = 3y y – 1

Ejemplo 3: f(x) = x x – 3

2. Funciones

2.3. Dominio y recorrido

Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones, determinando el dominio y recorrido de aquellos que representen una función.

Ejemplo 4:

Dom(f) = IR

Rec(f) = {2}

y = 2

-1,6

Dom(f) =

5,2

5

Rec(f) =

5

16,

5

8

2. Funciones

2.3. Dominio y recorrido

Dom(f) = IR

Rec(f) = ] – ∞ , 4]No es función

x = 3

26. Si f(x) = 5x, entonces 5∙f(5x) es igual a

A) 125x B) 25x C) 125x2 D) 25x2 E) ninguna de las expresiones anteriores.

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2008.

Pregunta oficial PSU

ALTERNATIVA CORRECTA

A

Síntesis de la clase

Relacionesy funciones

RelacionesDominio Recorrido

Funciones

Gráfica Evaluación

Equipo Editorial Matemática