clase # 4 serie simplificada de fourier y espectros

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. Docente: Martha Guzmán.CLASE # 11 Página # 1 de 8. COMPETENCIAS: Manejar los conceptos de ESPECTROS DE AMPLITUD Y FASE. Calcular la potencia Asociada con un armónico.Tema: CONSTRUCCIÓN E INTERPRETACIÓN DE ESPECTROS DE AMPLITUD, FASE Y POTENCIA..

FORMA SIMPLIFICADA DE LA SERIE DE FOURIER

La serie de fourier para una función periódica f ( t ), puede escribirse de varias formas aparentemente distintas, pero en realidad equivalentes. Una de las cuales es la siguiente, que llamaremos FORMA SIMPLIFICADA, en donde se cumple para todos los valores de n (enteros positivos) que:

{ an Cos (wn t ) + bn Sen (wn t ) } = cn Cos ( wn t + өn ) Entonces la serie de fourier puede re-escribirse como: +∞

f ( t ) = a0 + ∑ cn Cos ( wn t + өn ) ; y se llama serie de fourier simplificada. n = 1 ______________

Donde el valor del término a0 es el mismo de la serie generalizada.

Donde la fórmula para calcular los términos cn es:

cn = ( an 2 + bn

2 ) ½ ; Observe que se requiere conocer los an y los bn. [ Y tiene las mismas unidades de los an y los bn ].

Y las fórmulas para calcular los términos өn son:

өn = - tg -1 ( bn ), [ rad ] ; Se usa siempre que: an ≠ 0. an

өn = sen -1 ( bn ), [ rad ] ; Se usa sólo cuando: an = 0. cn

өn = cos -1 ( an ), [ rad ] ; Se usa sólo cuando: an = 0. cn

EJEMPLO. Dada una señal periódica V ( t ):

Y conocida su serie generalizada de fourier:

V ( t ) = 2.5 + 3.18 Cos (1.57 t ) + 0 Cos ( 3.14 t ) - 1.06 Cos ( 4.71 t ) + …….. + 3.18 Sen (1.57 t ) + 3.18 Sen ( 3.14 t ) + 1.06 Sen ( 4.71 t ) + ……….

Es posible calcular la correspondiente serie simplificada de fourier para la V ( t ), hasta n = 3, así: 3

V ( t ) = a0 + ∑ cn Cos ( wn t + өn )

n = 1 ______________

V = V(t), Voltios.

t seg.

10 voltios

1 4 5 8 9

T = 4 seg. w0 = (л/2) (rad/seg). Amplitud = 10 voltios.

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PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA SERIE SIMPLIFICADA DE FOURIER :

1) Expandir la fórmula para la serie simplificada de FOURIER, hasta el n seleccionado, así:

V ( t ) = a0 + c1 Cos ( w1 t + ө1 ) + c2 Cos ( w2 t + ө2 ) + c3 Cos ( w3 t + ө3 ) + …

2) Identificar en la serie generalizada, el valor de las frecuencias angulares wn que son necesarias, aquí: w1 , w2 , w3 .

w1 = 1.57 ( rad/seg )w2 = 3.14 ( rad/seg ) w3 = 4.71 ( rad/seg )

3) Identificar en la serie generalizada, el valor del a0 para utilizar el mismo valor en la serie simplificada:

a0 = 2.5 voltios

4) Identificar en la serie generalizada, los valores de los términos an y bn necesarios para calcular

todas las cn así:a1 = 3.18 voltios. b1 = 3.18 voltios. a2 = 0 voltios. b2 = 3.18 voltios. a3 = -1.06 voltios. b3 = 1.06 voltios.

5) Calcular los cn utilizando la fórmula: cn = ( an 2 + bn

2 ) ½ .

c1 = ( a1 2 + b1

2 ) ½ = ( (3.18) 2 + (3.18)2 ) ½ = ( 10.11 + 10.11 ) ½ = 4.4972 voltios.

c1 = 4.4972 voltios.

c2 = ( a2 2 + b2

2 ) ½ = ( (0) 2 + (3.18)2 ) ½ = ( 0 + 10.11 ) ½ = 3.18 voltios.

c2 = 3.18 voltios.

c3 = ( a3 2 + b3

2 ) ½ = ( (-1.06) 2 + (1.06)2 ) ½ = ( 1.12 + 1.12 ) ½ = 1.4991 voltios.

c3 = 1.4991 voltios.

6) Calcular los өn utilizando la fórmula correspondiente para cada caso, y utilizando la calculadora en el MODE: RAD.

ө1 = - tg -1 ( b1 ); Se usa por que: a1 = 3.18 ≠ 0. a1

ө1 = - tg -1 ( 3.18 ) = - tg -1 ( 1 ) = - 0.7854 rad. 3.18

ө1 = - 0.7854 rad.


ө2 = sen -1 ( b2 ) ; Se usa por que en este caso: a2 = 0. c2

ө2 = sen -1 ( 3.18 ) = sen -1 ( 1 ) = 1.5708 rad. 3.18

ө2 = 1.5708 rad.

ө3 = - tg - 1 ( b3 ) ; Se usa por que: a3 = - 1.06 ≠ 0. a3

ө3 = - tg - 1 ( 1.06 ) = - tg - 1 ( - 1 ) = - ( - 0.785 ) = 0.7854 rad. - 1.06

ө3 = 0.7854 rad.

7) Conocidos todos los valores necesarios, se reemplazan en la EXPANSIÓN de la serie hasta n = 3 escrita en el numeral 1) de este procedimiento:

V ( t ) = a0 + c1 Cos ( w1 t + ө1 ) + c2 Cos ( w2 t + ө2 ) + c3 Cos ( w3 t + ө3 ) + …

V ( t ) = 2.5 + 4.4972 Cos ( 1.57 t - 0.7854) + 3.18 Cos ( 3.14 t + 1.5708 ) + 1.4991 Cos ( 4.71 t + 0.7854 ) + …

Podemos decir que esta es la SERIE DE FOURIER SIMPLIFICADA para la función periódica inicial: V ( t ).

Esta es una pobre representación por que se utilizaron pocos armónicos.


CONSTRUCCIÓN DE ESPECTROS

En la clase de hoy trabajamos la definición de SERIE DE FOURIER SIMPLIFICADA, para una señal periódica f ( t ).

+∞

f ( t ) = a0 + ∑ cn Cos ( wn t + өn ) . n = 1 ______________

A continuación aplicaremos esta última serie, a la construcción de gráficas de barras en el dominio de wn, que llamaremos ESPECTROS. Aprenderemos a construir e interpretar espectros llamados de AMPLITUD, de FASE y de POTENCIA. Comencemos por sus definiciones:

ESPECTRO DE AMPLITUD: Es una gráfica de barras, cuyo dominio es wn, y cuyo rango son los términos

cn de una función periódica f ( t ) que ha sido representada con una serie simplificada de fourier. Mejor dicho, un espectro de

amplitud es una gráfica de la función: cn ( wn ). O sea: cn función de wn.

ESPECTRO DE FASE: Es una gráfica de barras, cuyo dominio es wn, y cuyo rango son los términos өn de una función periódica f ( t ) que ha sido representada con una serie simplificada de fourier. Mejor dicho, un espectro de fase es

una gráfica de la función: өn ( wn ). O sea: өn función de wn.

ESPECTRO DE POTENCIA: Es una gráfica de barras, cuyo dominio es wn, y cuyo rango son los

términos ( Pn / 2 ) = ( Cn2 / 2 ), de una función periódica f ( t ) que ha sido representada con una serie

simplificada de fourier.

Mejor dicho, un espectro de potencia es una gráfica de la función: Pn ( wn ). 2 Donde ( Pn / 2 ): Es la mitad de la POTENCIA ASOCIADA al armónico número n. Donde: Pn = Cn

2 = Potencia total asociada al armónico n de una serie.

Aclaremos algunas definiciones:

POTENCIA = Pn: Es la rapidez de cambio de la energía asociada con el armónico n, dada en [ watts ].

Pn = v * i = v * ( v ) = v 2 [ voltios 2 ] = v 2 [ Wattios ] R R ohmios R

cn ( Las mismas unidades de la f ( t ) )

wn ( rad/seg )

Su dominio se construye solo para valores positivos.

w1 w2 w3

c2

c3

c1

өn ( Radianes )

wn ( rad / seg )

Su dominio se construye solo para valores positivos.

w1 w2 w3

ө3

ө1

ө2


Consideremos una señal f ( t ) = V ( t ) que tiene unidades de voltaje, entonces su representación en series de fourier implicará que sus Cn

( amplitudes de los armónicos ), tendrán unidades de voltios.

Y consideremos que para todos los análisis la resistencia de comparación será: R = 1 ohmio.

Podemos re-escribir la fórmula para calcular la potencia así:

Pn = v 2 [ voltios 2 ] = Cn2 [ voltios 2 ] = Cn

2 [ Wattios ] R ohmios 1 ohmios

Pn = Cn2 [ Wattios ] = Potencia asociada con el armónico número n, y se calcula utilizando

solamente la amplitud del armónico simplificado número n, Cn.

Entonces la mitad de la potencia del armónico n será: ( Pn / 2 ) = ( Cn2 / 2 )

EJEMPLO DE CONSTRUCCIÓN DE ESPECTRO DE AMPLITUD

Considere la siguiente señal periódica V ( t ) y Construya su correspondiente espectro de AMPLITUD:

Su correspondiente serie de fourier generalizada:

V(t) = 2.5 + 3.18 Cos (1.57 t ) + 0 Cos ( 3.14 t ) - 1.06 Cos ( 4.71 t ) + ….. + 3.18 Sen (1.57 t ) + 3.18 Sen ( 3.14 t ) + 1.06 Sen ( 4.71 t ) + ….

Su correspondiente serie de fourier simplificada:

V ( t ) = 2.5 + 4.4972 Cos ( 1.57 t - 0.7854) + 3.18 Cos ( 3.14 t + 1.5708 ) + 1.4991 Cos ( 4.71 t + 0.7854 ) + …

Para construír los ESPECTROS, la serie que resulta útil es ésta última serie simplificada.

( Pn / 2 ) = ( Cn2/ 2 ) ( Wattios )

wn ( rad / seg )

Su dominio se construye tanto para valores positivos como negativos.

w1 w2 w3 - w3 - w2 - w1

P1 /2

P3 /2

P2 /2

V = V (t), Voltios.

t seg.

10 voltios

1 4 5 8 9

T = 4 seg. w0 = (л/2) (rad/seg). Amplitud = 10 voltios.


El procedimiento para calcular el espectro de amplitud, es identificar los términos n, wn y cn , así:

n wn Cn 1 1.57 4.49722 3.14 3.183 4.71 1.4991

Utilizando estos valores se construye el correspondiene ESPECTRO DE AMPLITUD para V ( t ):

Si se presentara el caso contrario al del ejemplo, o sea, que fuera conocido desde el comienzo el ESPECTRO DE AMPLITUD, y se necesitara información sobre la función periódica, es fácil ver que del espectro es posible

leer los Cn y los wn.

Observando el espectro y recordando que: wn = n w0 podemos leer información directamente de la gráfica, por ejemplo: ¿ Cuanto vale w2 ? 3.14 ( rad/seg ) ¿ Cuanto vale C2 ? 3.18 ( voltios )

EJEMPLO DE CONSTRUCCIÓN DE ESPECTRO DE FASE

Para la misma señal del ejemplo anterior, construya el respectivo ESPECTRO DE FASE:

El procedimiento para calcular el espectro de FASE, es identificar los términos n, wn y өn , así:

n wn өn

1 1.57 - 0.78542 3.14 1.57083 4.71 0.7854

Utilizando estos valores se construye el correspondiene ESPECTRO DE FASE para V ( t ):

Cn [ voltios]

wn ( rad/seg )

Observe que cada “barra” corresponde a la AMPLITUD de uno de los armónicos de la serie simplificada de FOURIER.

1.57 3.14 4.71

4.49

3.18

1.49


Si se presentara el caso contrario al del ejemplo, o sea, que fuera conocido desde el comienzo el ESPECTRO DE FASE, y se necesitara información sobre la función periódica, es fácil ver que del espectro es posible leer los

өn y los wn.

Observando el espectro y recordando que: wn = n w0 podemos leer información directamente de la gráfica, por ejemplo:

¿ Cuanto vale w1 ? 1.57 ( rad/seg ) ¿ Cuanto vale ө1 ? - 0.7854 ( radianes )

EJEMPLO DE CONSTRUCCIÓN DE ESPECTRO DE POTENCIA

Para la misma señal del ejemplo anterior, construya el respectivo ESPECTRO DE POTENCIA:

El procedimiento para calcular el espectro de POTENCIA, es identificar los términos n, wn , Cn , para calcular los términos Pn , así:

n wn Cn Pn = Cn2 ( Pn / 2 )

1 1.57 4.4972 20.2248 10.1124

2 3.14 3.18 10.1124 5.0562

3 4.71 1.4991 2.2473 1.1236

Si se presentara el caso contrario al del ejemplo, o sea, que fuera conocido desde el comienzo el ESPECTRO DE POTENCIA, y se necesitara información sobre la función periódica, es fácil ver que del espectro es posible

leer los Pn / 2 , los wn. y calcular los Pn .

өn ( Radianes )

wn ( rad / seg )

Observe que cada “barra” representa el ángulo de DESFASE o FASE de uno de los armónicos de la serie simplificada de FOURIER.

1.57 3.14 4.71

1.5708

0.7854

- 0.7854

( Pn / 2 ) = ( Cn2/ 2 ) ( Wattios )

wn ( rad / seg )

Observe que cada “barra” corresponde a la mitad de la potencia de un armónico de la serie simplificada de FOURIER.

1.57 3.14 4.71 - 4.71 - 3.14 - 1.57

10.1124

5.0562

1.1236


Observando el espectro y recordando que: wn = n w0 podemos leer información directamente de la gráfica, por ejemplo:

¿ Cuanto vale w3 ? 4.71 ( rad/seg ) ¿ Cuanto vale P3 / 2 ? 1.1236 ( watios ) ¿ Cuanto vale P3 ? 1.1236 * 2 ( watios ) = 2.2473 ( watios )

Es posible calcular amplitudes de los armónicos de la serie simplificada, viendo solamente el Espectro de Potencia, así:

¿ Cuanto vale C3 ? Como P3 = C32 entonces: ( P3 ) ½ = ( C3 2 ) ½

( 2.2473 ) ½ = C3 1.4990 = C3

ORIENTACIÓN PARA SU T.I. DE 6 HORAS CORRESPONDIENTE A ÉSTA SEMANA:

1. Consulte en un libro de cálculo sobre el tema de “Desplazamiento de señales sobre el dominio del tiempo” y enfatice sobre desfases en atraso y adelanto para las funciones trigonométricas seno( t ) y coseno( t ).

2. Consulte en un libro de ANÁLISIS DE REDES, o de SISTEMAS DE COMUNICACIONES, las definiciones de ESPECTROS DE AMPLITUD, FASE Y POTENCIA.

3. Repase los procedimientos y métodos de integración: por SUSTITUCION, y por PARTES, en cualquier libro de Cálculo. Y busque ayuda con los docentes ASESORES que el ITM ha programado para USTED, en horarios que aparecen publicados en la Decanatura de Ciencias Básicas.

4. Estudie el DOCUMENTO DE APOYO A LA CLASE # 11 .

5. Realice el Taller de PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE # 11, sobre construcción e interpretación de ESPECTROS DE AMPLITUD, FASE Y POTENCIA.

6. Realice el Taller sobre PROBLEMAS PROPUESTOS. TPP CLASE # 11. Puede utilizar las salas:

G-305, H-401, H-402, Laboratorio de Física del H primer piso, en los respectivos horarios de Atención a Estudiantes. Este trabajo debe entregarlo la próxima clase.

BIBLIOGRAFÍA:

NOTAS DE CLASE. Documento de apoyo a la clase # 4. Cualquier libro de ANÁLISIS DE REDES para estudiar ejemplos de análisis de Fourier, por ejemplo el de VAN

VALKENBURG. ANÁLISIS DE FOURIER. Hsu Hwei. Cualquier libro de Cálculo para repasar el tema del DESPLAZAMIENTO DE LA SEÑAL sobre el dominio. Cualquier libro de Cálculo para repasar el tema del ÁNGULO DEL DESFASE en señales seno y coseno.

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