clase 1 mati_1129 (2)
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MATEMATICA
I
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVARSEDE-LITORAL
FORMACIÓN GENERAL Y CIENCIAS BÁSICAS
TEMA 1
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
CONJUNTOS NUMÉRICOS1. Números Naturales (N)
1.1 Consecutividad numérica
Conjunto de la forma:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.
Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir:
• Sucesor
Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1.
n - 1 n + 1
n
Naturales Consecutivos
• Antecesor:Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n - 1
antecesor sucesor
1. Números Naturales (N)
1.2 Paridad e imparidad• Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n}
Son de la forma 2n, con n en los naturales.
Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su
sucesor es 2n+2.
Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2.
2n - 2 2n + 2
2n
Antecesor par Sucesor par
1. Números Naturales (N)
Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1.
• Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}
Son de la forma 2n-1, con n en los naturales.
Sucesor impar:
Antecesor impar:
2n - 3 2n + 1
2n -1
Antecesor impar
Sucesor impar
Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n-3.
1. Números Naturales (N)
2. Números Cardinales ( N0)
Conjunto de la forma:
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.
3. Números Enteros (Z)
Conjunto de la forma:
Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito.
Se puede representar como: Z = Z- U IN0
Z = Z- U {0} U Z+
Recta numérica:
Z- Z+
0-3 -2 -1 1 2 3
Valor absoluto:El valor absoluto de un número representa la distancia del punto al origen (cero de la recta numérica).
Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen.
La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5
-5 505 unidades
5 unidades
Luego, |-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12…
3. Números Enteros (Z)
4.Números Racionales (Q)
Es el conjunto de todos aquellos números que se pueden escribir como fracción, es decir:
a
b/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -2; 7
0,489; 2,18; -0,647-1; 8
14; 3
15, 0
NO es racional
a: numerador y b: denominador
Por ejemplo:
3 es Natural (3 IN),
3 es Cardinal (3 IN0), y como
3 = , 3 es racional (3 Q). 3
1
IN IN0 Z Q
Todo número entero es racional.
Diagrama representativo:
Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos).
5. Números Irracionales (Q*)
,....,,2,3..... Q* =
Q U
Q*=
6. Números Reales (IR)Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.
IR = Q U Q*
Ejemplos:
Diagrama representativo:
3, -89, -2; 7
2,18; ;2 23,491002
7. Números imaginarios (II)Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.
IR
U
II = O
Ejemplo:
Raíces de índice par y parte subradical negativa:
,26 ,4 4 16,25
8. Números complejos (C)Es el conjunto formado por la unión entre los números reales y los números imaginarios.
Ejemplos: ,26 5, -68, -1; 8
-0,647
Diagrama representativo:
EN ESTA ASIGNATURA NOS DEDICAREMOS AL
ESTUDIO DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
REALES (IR)
Propiedades de los números RealesSuma Propiedad Multiplicación
Para todo número real a, b y c se satisface:
Clausura
Conmutativa
AsociativaIdentidad o
Neutro
Inverso
Distributiva de la mutiplicación con respecto a la suma
c)ba()cb(a abba
c)ba()cb(a
a0a 0)a(a
abba
a1a
0acon1)(aa
1
)ca()ba()cb(a
cba cba
(ii)
(iii)
Sea entoncesIRba ,
(i)
aa
bababa
baba
Sea entonces0,0,, baIRba
(ii)
(iii)
(i) aaa 111
(iv)
111 baba
111 baba
111 baba
Sea entoncesIRba ,
000 baba
Sea entoncesIRcba ,,
0 aconcbcaba
cbcaba (i)
(ii)
a b c a b c
(iii) baba
cbacba
baba 0
0,0 dbconcbdad
c
b
a
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
00a
(iv)
IRa INn b nSean y . La potencia de base y exponente define como sigue:
Potencias
n
n factores
a a a a a
0,10 aa mnmn aaa
mnm
n
aa
a
0,1
aa
an
n nnn baba
mnmn aa
n
nn
b
a
b
a
0,
ab
a
b
amn
mnmn
ba, Zmn ,Sean y entoncesPropiedades
Raíces b INn esiman bSean y La Raíz de
es un número real, que se define como
n
mn m bb
Sean Propiedades ba, INmn , y entonces
nnn baba
0 bb
a
b
an
n
n
mn nmmn baba n mmn bb mnn m bb n nn baba
nnn baba
Cuadrados de Binomios
222 2 bababa
222 2 bababa
Cubos de Binomios
32233 33 babbaaba
32233 33 babbaaba
Suma por su Diferencia
Binomios por Trinomios
22 bababa
3322 babababa
3322 babababa
442222 bababa
Caso I
b
b
b
b
bb
11
Caso II
b
b
b
b
bb
n mn
n mn
n mn
n mn m
11
ba
ba
ba
ba
baba
11
ba
ba
ba
ba
baba
11
Caso III
ba
bbaa
ba
bbaa
bbaa
bbaa
baba
3333
33
33
3333
3333
3333
3333
11
ba
bbaa
ba
bbaa
bbaa
bbaa
baba
3333
33
33
3333
3333
3333
3333
11
Ecuación de 1º Grado 0bax
Ecuación de 2º Grado
a
bx
Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo
Y su solución o raíz es
Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo 02 cbxax
Y su solución o raíz es
a
acbbx
2
42
1
a
acbbx
2
42
2
Elaborado por:
Profesora Dorenis Mota ([email protected])
Profesor Ricardo Valles([email protected])
Departamento de Formación General y Ciencias Básicas
FORO I ¿ ¿QUÉ NECESIDAD LLEVÓ AL HOMBRE A LA INVENCIÓN DEL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS REALES??