Cinemática vectorial

¿Qué estudia la cinemática vectorial?

Vector posición, itinerario y trayectoria

y

x

)(tr

x(t)

y(t)

jtyitxt ˆ)(ˆ)()( +=r

Función itinerario:

Si se elimina el parámetro t se obtiene la ecuación de la trayectoria:

y = f (x)

x = f (t)

y = f (t)

Son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

A continuación veremos un ejemplo...

Vector posición, itinerario y trayectoria

x = 3 t

y = 2 t2

Ejemplo 1.

El itinerario de una partícula que se mueve en el plano x – y es el siguiente:

jtit ˆ2ˆ3 2+=r 0 < t < 5 s, x : m

Son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

- Determinar la posición de la partícula en los instantes t = 1, 2, 3, 4 s

32124

1893

862

231

y (m)x (m)t (s)

-Dibujar la trayectoria de la partícula.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x (m)

y (m)

Vector posición, itinerario y trayectoria

-¿Posición en t = 2 s?

-¿Posición en t = 3 s?

-¿Cuál es la ecuación de la trayectoria?

2

9

2xy =

Si se elimina el parámetro t se obtiene la ecuación de la trayectoria

Vectorposición en

t = 2 s

Vectorposición en

t = 3 s

)(ˆ8ˆ6)2( mji +=r

)(ˆ18ˆ9)3( mji +=r

jtit ˆ2ˆ3 2+=r

Vectores desplazamiento y Velocidad mediay

x

Posición inicial

1r

2r

r∆

1r2r

jyix

jyyixx

ˆˆ

ˆ)(ˆ)( 1212

12

∆+∆=∆

−+−=∆

−=∆

rr

rrr

Velocidad media:

jt

yi

t

x

tmˆˆ

∆∆+

∆∆=

∆∆= rv -¿Cuál es el desplazamiento de la partícula

entre t = 2 s y t = 4 s?

6i+24j m

-¿Cuál es el vector velocidad media de la partícula en ese intervalo?

3i+12j m/s

Posición después de un intervalo ∆t

Desplazamiento:

jtit ˆ2ˆ3 2+=rEn el ejemplo 1:

Velocidad instantánea

dt

d

t

rrv =∆∆= lim

jdt

dyi

dt

dx ˆˆ +=v

jviv yxˆˆ +=v

vr∆

El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria.

v

xv

yv Nótese que el movimiento en el plano puede considerarse como la combinación de dos movimientos ortogonales.

Volvamos al ejemplo 1:- ¿Cuál es la velocidad instantánea de la partícula en función del tiempo?

jtit ˆ2ˆ3 2+=rPuesto que:

Entonces:

jtidt

d ˆ4ˆ3 +== rv

- ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el instante t = 2 s?

)/(ˆ8ˆ32 smjit +==v- ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el instante t = 3 s?

)/(ˆ12ˆ33 smjit +==v

Representemos estos vectores velocidad en el gráfico de la trayectoria...

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x (m)

y (m)

Vectores velocidad

)2(v

)3(v

smv /54.8)2( =⟩⟨

smv /4.12)3( =⟩⟨

smv

smv

y

x

/8

/3

==

smv

smv

y

x

/12

/3

==

Componentes:

Módulo:

Componentes:

Módulo:

)/(ˆ8ˆ32 smjit +==vVelocidad en t = 2 s

Velocidad en t = 3 s

)/(ˆ12ˆ33 smjit +==v

Aceleración media

1v 2v

1v−v∆

ttm ∆−=

∆∆= 12 vvva

En el intervalo ∆t hay un cambio de velocidad:

12 vvv −=∆Se define la aceleración media como:

Como:

jviv

jvvivv

jviv

jviv

yx

yyxx

yx

yx

ˆˆ

ˆ)(ˆ)(

ˆˆ

ˆˆ

1212

222

111

∆+∆=∆

−+−=∆

+=

+=

v

v

v

vPor lo tanto el vector aceleración tiene la misma direccón que el vector ∆v.

v∆a

jt

vi

t

v yxm

ˆˆ∆

∆+

∆∆=a

Aceleración instantánea

jdt

dvi

dt

dv

dt

vd

t

v

yx ˆˆ

lim

+=

=∆∆=

a

a

jaia yxˆˆ +=a

En el ejemplo 1 teníamos que la posición en función del tiempo era:

jtit ˆ2ˆ3 2+=r

Y la velocidad en función del tiempo:

jti ˆ4ˆ3 +=v

Entonces:

- ¿Cuál es la aceleración en función del tiempo?

2/ˆ4

ˆ)4(ˆ)3(

smj

jdt

tdi

dt

d

=

+=

a

a

La aceleración de la partícula es constante, apunta en la dirección del eje y y su módulo es 4 m/s2.

Lanzamiento de un proyectil

vox

vx

vy

ovv

v

voy

y

x

En todo lanzamiento

jg ˆ−=a en que

2

2

/10

/8.9

smg

smg

≈=

Es decir:

oxx

x

vv

a

== 0

oyy

y

vtgv

ga

+−=

−=

oox xtvx += ooy ytvtgy ++−= 2

2

1

Si consideramos que:θθ senvvyvv ooyoox == cos

se obtiene para el itinerario las siguientes ecuaciones:

oo xtvx += )(cosθ

oo ytsenvtgy ++−= )(2

1 2 θ

θ

Ejemplo 2:Desde el origen se lanza un proyectil con una velocidad de 76,2 m/s, en una dirección que forma un ángulo de 66,8° con la horizontal.

a) Determine la máxima altura ym que alcanza el proyectil.

tsenvtgy o )(2

1 2 θ+−=

θsenvtgv oy +−=

en que yo = 0, vo = 76,2 m/s, θ = 66,8°

Pero para y máxima vy = 0 y, por lo tanto, g

senvt o

ym

θ=

y, sustituyendo t en la ecuación para y, se obtiene:

g

senvy o

m 2

22 θ=Reemplazando los datos: ym = 245,3 metros.

Las ecuaciones para este movimiento son:

oo xtvx += )(cosθ

.cos ctevv ox == θ

Continuación del ejemplo 2...

b) ¿A qué distancia del origen cae el proyectil? (Alcance)

La simetría indica que si demora tym en alcanzar la máxima altura, demora el doble en llegar de vuelta al suelo. Por lo tanto:

g

senvt o

xm

θ2= y reemplazando en la ecuación para x,

0)(cos == oo xporquetvx θ

g

senvx o

m

θθ cos2 2

= θ22

seng

vx o

m =o, lo que es igual:

Reemplazando los datos, xm = 420,5 metros.

Verifique que el alcance máximo se obtiene para un ángulo θ = 45°

Movimiento circular uniforme

y

x

P

θ

jyix ˆˆ +=rθθ

senry

rx

== cos

jsenrir ˆˆcos θθ +=rr

v

Se trata de um MCU de un objeto P que se mueve en dirección contraria a los punteros del reloj.Nótese que Velocidad angular

.ctedt

d == θω Unidades de ω: rad/s o s-1

Velocidad:

jdt

dri

dt

dsenr

dt

d ˆcosˆ θθθθ +−== rv

.. cteperocter ≠= r

jrisenr ˆ)cos(ˆ)( θωθω +−=v

En que:

y

x

P

θ

jsenrir ˆˆcos θθ +=r

r

vjrisenr ˆ)cos(ˆ)( θωθω +−=v

Tenemos, entonces que:

Hagamos el producto punto entre estos dos vectores. Se obtiene:

0=•rvEs decir, v es perpendicular a r en todo instante.El módulo de v se obtiene haciendo el producto punto:

2222222 )cos( ωθθω rsenrv =+==•vvPor lo tanto: ω⋅= rv y si consideramos que:

T

πω 2=

en que T es el período del movimiento, obtenemos:T

rv

π2=

y

x

P

θjtsenritr ˆ)(ˆ)(cos ωω +=r

r

v

jtritsenr ˆ)(cosˆ)( ωωωω +−=v

En resumen:

Puesto que ω = cte.

ω⋅= rvT

πω 2=en que T es el período del movimientoT

rv

π2=

t⋅= ωθEn un MCU, el itinerario es:

y la velocidad en función del tiempo es:

Además, se cumple que:

Ejemplo 3.En una prueba de resistencia, un astronauta está sentado en una plataforma, a 4 metros del centro de giro. La plataforma está girando a razón de media vuelta/segundo.a) Anote los vectores posición y velocidad del astronauta en función del tiempo.

jtsenritr ˆ)(ˆ)(cos ωω +=r pero, mrys 41 == −πω

jtsenritr ˆ)(ˆ)(cos ωω +=r y derivando obtenemos...

jtitsen ˆ)(cos4ˆ)(4 ππππ +−=v π4=ven que

b) Anote los valores de la rapidez del astronauta, su velocidad angular y el período de giro.

smv /57.1214.34 =⋅=114.3 −= sω

sT 222 ===ππ

ωπ

y

x

P

θ

a

vjtritsenr ˆ)(cosˆ)( ωωωω +−=v

ra ⋅= 2ωen que T es el período del movimiento

2

24

T

ra

π=

Por lo tanto, el vector aceleración tiene dirección opuesta a r, es decir, apunta siempre hacia el centro de giro.

Se le llama aceleración centrípeta.

Aceleración en el movimiento circular uniforme

dt

dva =

jtsenritr ˆ)(ˆ)cos( 22 ωωωω −−=a

Pero Por lo tanto:

[ ]jtsenritr ˆ)(ˆ)cos(2 ωωω +−=a

a = -ω2 r

r

va

2

=

Además se cumplen las siguientes relaciones:

Volvamos al ejemplo 3.En una prueba de resistencia, un astronauta está sentado en una plataforma, a 4 metros del centro de giro. La plataforma está girando a razón de media vuelta/segundo.

c) Anote los vectores posición, velocidad y aceleración del astronauta en función del tiempo.

jtsenit ˆ)(4ˆ)(cos4 ππ +=r

jtitsen ˆ)(cos4ˆ)(4 ππππ +−=v

d) ¿Cuánto vale el módulo de la aceleración centrípeta del astronauta?

jtsenit ˆ)(4ˆ)cos(4 22 ππππ −−=a

222 /5.39414.3 smra =⋅=⋅= ω

y

x

r

v

Por lo tanto, en el instante t = 0.5 s...

Sigamos con el ejemplo 3...

jtsenritr ˆ)(ˆ)cos( 22 ωωωω −−=a

f) Dibuje estos tres vectores.

e) Anote los vectores posición, velocidad y aceleración del astronauta en el instante t = 0.5 s.

jtsenit ˆ)(4ˆ)(cos4 ππ +=r

jtitsen ˆ)(cos4ˆ)(4 ππππ +−=v

r = 4 j (m)

a

v = -12.6 i (m/s)

a = -39.5 j (m/s2)

y

x

rθ

jtyitxt ˆ)(ˆ)()( +=r

Movimiento circular no uniforme

)(

cos

t

senry

rx

θθθθ

===

.ctedt

d ≠= ωθ

θθsen

dt

drvx −=

θω senrvx −=

θθcos

dt

drvy =

θω cosrvy =

θωθω sendt

drrax −−= cos2 θωθω cos2

dt

drsenray +−=

ωrv =

dt

dangularnaceleració

ω=

Las componentes de la velocidad son:

y el módulo de la velocidad es:

Derivando se obtienen las componentes de la aceleración:

Componentes tangencial y normalDefinamos los siguientes vectores unitarios:

jv

vi

v

v

vT yx ˆˆˆ +== v

jv

vi

v

vN xy ˆˆˆ −=

0ˆˆ =• NT

Vector unitario tangente a la trayectoria.

Vector unitario normal a la trayectoria.

Componente tangencial de la aceleración

v

vava

v

va

v

vaTa yyxxyyxx

t

+=+=•= ˆa

Pero,v

vavavv

dt

d

dt

dv yyxxyx

+=+= 22 Por lo tanto,

dt

dvat =

T̂

N̂

Componente normal de la aceleración (Aceleración centrípeta)

v

va

v

vaNa xyyx

n −=•= ˆa

ωθθω

r

senran

)(cos 2232 +−= Es decir,2ωran −=

r

van

2

−=

NaTa ntˆˆ +=a

Nr

vT

dt

dv ˆˆ2

−=a

Tatˆ

Nanˆ

a

Por lo tanto, el vector aceleración en componentes tangencial y normal es el siguiente:

Ejemplos de aplicación de: Nr

vT

dt

dv ˆˆ2

−=a1. Movimiento circular uniforme

Puesto que: 0=dt

dv Nr

v ˆ2

−=a

r

va

2

=

a

y su módulo es

2. Objeto aumentando su rapidez en una trayectoria curva.

dt

dvat =

r

van

2

= En que r es el radio de curvatura de la trayectoria.

tata

na

na

aa

a