cinematica de un punto material - vac 2016

CINEMATICA DE UN PUNTO MATERIAL

M.Sc. NORBIL TEJADA CAMPOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CICLO ACADEMICO VACACIONAL 2016

CINEMATICA DE UN PUNTO MATERIAL

CINEMATICA:

0. INTRODUCCION:

Estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo

producen, tambin se puede considerar como la Geometra del

movimiento.

La cinemtica describe como varia la velocidad y aceleracin de un

cuerpo con el tiempo y con sus cambios de posicin.

El movimiento de una partcula es entendido como el cambio deposicin de la partcula a medida que transcurre el tiempo, el cualdebe estar referido a un sistema de referencia, lo que permitir

definir su posicin en cualquier instante.

MOVIMIENTO:

MOVIMIENTO:

x

y

z

0

S

Po

P

x

y

z

0

S

Po

P

x

y

z

0

P

r

x

y

z

0

P

r

x

y

z

0

P(x,y,z)

x

z

y

x

y

z

0

P(x,y,z)

x

z

y

1 Por medio de una Ecuacin Horaria: 2 Por medio de un Vector Posicin:

3 Por medio de sus Coordenadas Rectangulares:

S = f (t) )(tfr

x = x (t)

y = y (t)

z = z (t)

1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION

r

a. Posicin ( ) y desplazamiento ( )

Fig 01. Trayectoria que sigue una partcula

La partcula, en cierto instante, se hallar

en la posicin P, definida por:

kzjyixrP

rd

PQ rrrd

La diferencia de posicin de la partcula en dos

instantes recibe el nombre de desplazamiento

de dicha partcula, la cual se halla en P en el

instante t y en Q en el instante t + t, eldesplazamiento viene dado por:

rd

OQr /

OPr /

1. POSICION, VELOCIDAD y ACELERACION

v

b. velocidad ( ) y aceleracin ( )

La velocidad de una partcula es, por

definicin, la variacin de posicin por unidad

de tiempo:

rdt

rdv

a

La aceleracin de una partcula es, por

definicin, la variacin por unidad de tiempo de

la velocidad.

kvjvivv zyx

kzjyixv

La direccin de la velocidad es la tangente a la trayectoria y el sentido es el del desplazamiento.

El modulo de la velocidad recibe el nombre de celeridad.

vdt

vda

kajaiaa zyx

kzjyixa

a. Posicin y desplazamiento

2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL

b. Velocidad media ( ):v

Dt

P(x,t)

P(x+Dx , t+Dt)

Dx

x

t

X

tO

q

of

of

tt

xx

t

xv

D

D tang

x

tq

D

D

Matemticamente: Grficamente:


c. Velocidad instantnea ( ):v

D t

P

P

Dx

x

t

X

tO

q

P

P

Matemticamente:

x x v dtot

t

o

. )(tvv ;


t

xvv

tm

t D

D

DD 00limlim

dt

dxv

Tenemos:

d. Aceleracin media : aa

v

t

v v

t t

f o

f o

D

D

e. Aceleracin instantnea : a

dt

dv

t

vaa

tt

D

D

DD 00limlim

v v a dtot

t

o

. a a t ( );


Tenemos:

2.1. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU):

Ejemplo 01.-

2. MOVIMIENTO RECTILINEO DE UN PUNTO MATERIAL.- Aplicaciones

2.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA):

x

0 t

x v t ato 1

2

2

to = 0

v

0 t

v = vo + a t

vo

to = 0

a = constante

a

0 t

Ejemplo 02.-


Ejemplo 03.- En la figura, se muestra las coordenadas de un insecto que

camina horizontalmente (en una dimensin, sobre el eje x). Segn dicha

informacin, a) graficar su velocidad y aceleracin en funcin del tiempo;

b) hacer un estudio del movimiento.

2.3. MOVIMIENTO RECTILINEO VARIADO (MRV):


Ejemplo 04.- En el grfico adjunto, se muestra como vara la velocidad en funcin

del tiempo de un cuerpo que se mueve en lnea recta (eje +X). Si en el instante t = 0

s, el mvil se encuentra en xo = 10 m; se pide: a) determine la posicin en t = 5 s,

b) realizar los grficos de x-t y a-t, para el movimiento del cuerpo.


Ejemplo 05.- En el grfico, se muestra la dependencia de la aceleracin en funcin

del tiempo para una partcula que se mueve en lnea recta. Se pide: a) analizar el

tipo de movimiento en los diferentes intervalos de tiempo, b) determinar la

posicin y velocidad que alcance dicha partcula a los 50 segundos despus de

haber iniciado del reposo.


Ejemplo 06.- Un mvil se mueve en lnea recta con una velocidad cuyo cuadrado

decrece linealmente con el desplazamiento entre los puntos A y B que distan 30 m

entre s. Determine el desplazamiento x del mvil durante los 2 s que preceden

la llegada a B.


Ejemplo 07.- En la figura, el rodil B se mueve con aceleracin constante.

Si para t0 = 0 s, x = 0 m y vx = 0 m/s. Determinar la aceleracin del rodil A,

cuando el B est a 3 m del origen y la aceleracin de B es de 6 m/s2.


A

v

Dr

X

0 Y

X

Z

A/

s

Ds

r / r

t

t/

kzjyixtrr

)(

Posicin:

kzjyixtrr

''')(''

Velocidad Media mv

Velocidad:

t

rvm

D

D

vx

ti

y

tj

z

tk

D

D

D

D

D

D

Velocidad Instantnea v

t

rvv

tm

t D

D

DD

00limlim

rdt

rdv

kzjyixkdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv

Dr

v /v //

v ///

A

A

A

Av

T

3. MOVIMIENTO CURVILINEO DE UN PUNTO MATERIAL

3.1. Coordenadas Rectangulares:

PQ

z

0

x

y

Pr

Qr

Pv

Pv

Qv

Qv

v

DPa

Qa

curva

FIGURA.- Variacin de la velocidad a lo largo de la trayectoria en

el movimiento curvilneo

P

Q

z

0

x

y

Pr

Qr

Pv

Pv

Qv

Qv

v

DPa

Qa

curva

P

Q

z

0

x

y

Pr

Qr

Pv

Pv

Qv

Qv

v

DPa

Qa

curva

FIGURA.- Variacin de la velocidad a lo largo de la trayectoria en

el movimiento curvilneo

ma

Aceleracin Media

Aceleracin:

t

vam

D

D

kt

vj

t

vi

t

va z

yx

m

D

D

D

D

D

D

Aceleracin Instantnea a

t

vaa

tm

t D

D

DD

00limlim

rdt

vda

kzjyixkdt

dvj

dt

dvi

dt

dv

dt

vda z

yx

3.1. Coordenadas Rectangulares:


3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones

Ejemplo 08.- Una partcula se mueve en el plano OXY; un observador

colocado en O sabe que las ecuaciones paramtricas de la trayectoria

escritas en el SI son: x = 2 + t, y = 2 + 3t + 2t 2. a) Determinar la forma

explcita de la trayectoria, b) La expresin del vector de posicin, velocidad y

aceleracin, c) Las condiciones iniciales del movimiento, d) Los valores del

vector de posicin y velocidad para t = 2 s. e) Distancia de la partcula al

observador en t = 2 s, f) El vector desplazamiento y el vector velocidad media

entre t = 2 s y t = 5 s.


3.1. Coordenadas Rectangulares.- Aplicaciones

Ejemplo 09.- Una partcula se mueve respecto a un sistema referencial

XYZ, llevando aceleraciones de (3t2, 6t, 0) pies/s2. Si inicialmente

est en la posicin (5,1,0) pies, con velocidad de (3,-2,0) pies/s,

respectivamente. Determinar, para t = 3 s, la posicin y la velocidad

de dicha partcula.


3.2. Aceleracin en Coordenadas Intrinsecas: Tangencial y Normal:

NT aaa

dt

udvu

dt

dv

dt

uvd

dt

vda TT

T

NT uv

udt

dva

2

dt

dvaT

2vaN

22

NT aaa

Mdulos:

2/3

2

2

2

1

dx

yd

dx

dy

rr

r

3

Radio de Curvatura:

PO

z

0

x

y

TaP

Na

a

S

o

Tangente

Normal

curv

a


Ejemplo N 10.- Se lanza un cuerpo horizontalmente con una velocidad inicial de

20 m/s en el campo gravitatorio terrestre. Determinar el radio de curvatura de su

trayectoria a los 2 segundos despus de ser lanzado dicho objeto.

3.2. Aceleracin en Coordenadas Tangencial y Normal: Aplicaciones




Ejemplo N 10.-

Ejemplo N 11.- Una caja se desliza por una gua que tiene forma de hiprbola.

Cuando la caja llega al punto x = 5 m, lleva una celeridad de 5 m/s que disminuye a

razn de 0,5 m/s2. Determine la aceleracin y el radio de curvatura en dicha

posicin.





Ejemplo N 12.- Una partcula se mueve en el plano xy y sus coordenadas estn

dadas por , . Encuentre: a) la ecuacin de la

trayectoria en la que se mueve la partcula su desplazamiento y graficarlo, b) para

cuando 0,25 segundos, la posicin, velocidad, la aceleracin y el radio de curvatura.

(Suponga que las distancias se miden en metros, el tiempo en segundos, y que la

cantidad angular 3t est expresada en radianes).

ttx cos2 tsenty



Ejemplo N 12.-

Ejemplo N 13.- Un tobogn viaja por una curva que puede ser

aproximadamente la parbola y = 0,01x2. Determine la magnitud de su

aceleracin cuando llega al punto A, donde su rapidez es vA = 10 m/s y est

incrementndose a razn de ./3 2smvA



3.3. Coordenadas Polares:

0 x

y

q

ru

Eje Radial

(+)

curva

x

y

Eje Transversal

(+)

qu

P q

r

-x

-y

0 x

y

q

ru

Eje Radial

(+)

curva

x

y

Eje Transversal

(+)

qu

P q

r

-x

-y

jseniur

qq cos

jisenu

)(cos)( qqq

dt

udru

dt

drur

dt

d

dt

rdv rrr

q

qu

dt

dru

dt

drv r

qq ururv r

qqururdt

d

dt

vda r

qqqq urrurra r

22

Aceleracin:

Velocidad:

Vectores unitarios:

Posicin:

rurr


Ejemplo N 14.- El tubo doblado que lleva agua, de seccin transversal uniforme,

gira alrededor del eje vertical AB con velocidad angular constante .

Si la velocidad del agua en la porcin AB del tubo es 400 mm/s (constante),

determine la magnitud de la velocidad y aceleracin de una partcula de agua

inmediatamente antes que salga del tubo en el extremo C.

3.3. Coordenadas Polares.- Aplicaciones


min/140revq

Ejemplo N 15.- El movimiento curvilneo plano de una partcula est definido

en coordenadas polares por y

donde r esta dado en cm, est en radianes y t en segundo. En el instante en

que t = 2 s; determinar las magnitudes de la velocidad, aceleracin y el radio

de curvatura de la trayectoria.

ttr 5833.0 3 23.0 tq



Ejemplo N 16.- La rotacin de la barra OA se define por ,

donde t se expresa en segundos. El collarn B se desliza a lo largo de la barra

de manera tal que su distancia desde O es . Para t = 1 s,

determine: a) su velocidad, b) su aceleracin total y c) su aceleracin relativa a

la barra.



radtt 2342

1 q

mttr 32 9,025,1

Ejemplo N 17.- La barra ranurada se encuentra fija en O y, como

resultado de la velocidad angular constante , conduce a la

partcula P por una breve distancia sobre la gua espiral r = 0,4q (m),

donde q se expresa en radianes. Determine la velocidad y aceleracin de

la partcula en el instante en que abandona la ranura en la barra, es decir,

r = 0,5 m.

srad /3q



Ejemplo N 18.- El perno P se desliza en las ranuras del brazo giratorio

OA y de la barra circular fija BC. Si OA gira con velocidad angular

constante encuentre la velocidad de P cuando .



srad /2q 60q

.

0x

y

q

Ru

Trayectoria

qu

P

r

z

Y

X

Z

R

Zu

0

x

y

q

Ru

Trayectoria

qu

P

r

z

Y

X

Z

R

Zu

ZR uZuRr

jseniuR

)()(cos qq

ZR uZuRdt

d

dt

rdv

ZR uZuRuRv qq

ZR uZuRuRdt

d

dt

vda

qq

ZR uZuRRuRRa qqqq 2

2

Velocidad:

Aceleracn:

Posicin:

Donde:

3.4. Coordenadas Cilndricas:


Ejemplo N 19.- La rampa de un aparcamiento tiene forma de hlice :

que baja 6 m en cada revolucin completa.

Para un automvil que baja por dicha rampa con velocidad constante,

se pide:

a. Determinar su velocidad y su aceleracin cuando = 0b. Determinar su velocidad y su aceleracin cuando = 90c. Demostrar que velocidad y aceleracin son perpendiculares cuando

= 90

msenr qq 315)(

srad /3,0q

3.4. Coordenadas Cilndricas.- Aplicaciones:


3.4. Coordenadas Cilndricas.- Aplicaciones:


Ejemplo 20.- Un automvil recorre la rampa de salida de un aparcamiento con

celeridad constante de 16 km/h. La rampa es una hlice de dimetro 36 m y paso

de rosca 6 m (lo que desciende cada vuelta completa). Determine el mdulo de la

velocidad y aceleracin del auto cuando desciende por la rampa.

PZ

0

X

Y

q

A

qu

ru

u

r

P

Z

0

X

Y

q

A

qu

ru

u

r

kjsensenisenur

)(cos)()cos( qq

ksenjseniu

)()(cos)cos(cos qqq

jisenu

)(cos)( qqq

Vectores unitarios:

rurr

q

q

usenr

ur

urv r

q

qqq

q

q

usenrrsenr

usenrrr

usenrrra r

cos22

cos2 2

222

Posicin:

Velocidad:

Aceleracin:

3.5. Coordenadas Esfricas:


3.5. Coordenadas Esfricas.- Aplicaciones:

Ejemplo 21.- La gra gira en torno al eje CD a la razn constante de 3 rad/min.

Al mismo tiempo, el aguiln AB de 20 cm de largo va descendiendo a la razn

constante de 5 rad/min. Calcular la velocidad y aceleracin del punto B cuando

= 30.


Ejemplo N 22.- El radar, esta siguiendo a un avin en pleno vuelo. En el instante

representado, la posicin de ste viene dada por R=19500 m, =110 y =60.Comparando sta con posiciones anteriores se estiman las derivadas:

Para este instante, determinar:

a. La velocidad y aceleracin del avin en coordenadas esfricas (R,,).b. La velocidad y aceleracin del avin en coordenadas rectangulares tales que

el eje z corresponda al eje = 0 y el eje x corresponda al eje = 90 y = 0c. Determinar los mdulos de la velocidad y aceleracin del avin.

smR /5,85 2/5,4 smR sradx /100,9 3q 26 /100,20 sradx q

26 /100,80 sradx sradx /105,2 3

3.5. Coordenadas Esfricas.- Aplicaciones:


Vectores unitarios:

rurr

Posicin:

Velocidad:

Aceleracin:

3.5. Coordenadas Esfricas:


cinematica de un punto material - vac 2016

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