centro nacional de investigaci~n y desarrollo … · cuernavaca, morelos ing. gerard0 cortés...
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S.E.I.T. D.G.I.T. S.E.P.
CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N
Y DESARROLLO TECNOL~GICO
cenidet CONTROL ROBUSTO DE MOTORES DE INDUCCIÓN
UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS
EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA
P R E S E N T A
ING. GERARDO CORTÉS LOZANO
CENTRO DE INFORMAC~O O G ' 4
- W - Q 8 Q 6
SEp CENIDET I DIRECTOR DE TESIS: Dr. GERARDO VICEXTE GUERRERO RAMIREZ CO-DIRECTOR: M.C. PATRICIA CARATOZZOLO MARTELLIT1
CUERNAVACA, MORELOS DICIEMBRE 2002
ACADEMIA DE LA MAESTRÍA EN ELECTRÓNICA FORMA R11
ACEPTACION DEL TRABAJO DE TESIS
Cuernavaca, Mor.
Dr. Jesús Arnoldo Bautista Corral Director del cenidet Presente
At'n. Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquer Jefe del Depto. de Electrónica
Después de haber revisado el trabajo de tesis titulado: "Control Robusto de Motores de Inducción utilizando la Técnica de Rediseño de Lyapunov", elaborado por el alumno Gerardo Cortés Lozano, bajo la dirección del Dr. Gerardo Vicente Guerrero Rarnírez y de la M.C. Olga Patricia Caratozzolo Martelliti, el trabajo presentado se ACEPTA para proceder a su impresión.
A T E N T A M E N T E
Dr. Luis Gerardo Vela Valdés
- fl&+ I
Dr. Enrique QuinterolMarrnol Márquez
C.C.P.: Dr. Marco Antonio Oliver Salazar / Pdte. de la Academia de Electrónica Lic. Olivia Maquinay Díaz / Jefa del Depto. de Servicios Escolares Expediente.
INTERIOR INTERNADO PALMIRA SIN. COL, PALMIRA. A.P. 5-164, CP. 62490, CUERNAVACA. MOR. - MÉXICO TELS. (777) 312 23 14. 318 7741. FAX (777) 312 2434 EMAIL [email protected]
Cuernavaca, Morelos
Ing. Gerard0 Cortés Lozano Candidato al grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica Presente
Después de haber sometido a revisión su trabajo final de tesis titulado: "Control Robusto de Motores de Inducción utilizando la Técnica de Rediseño de Lyapunov", y habiendo cumplido con todas las indicaciones que el jurado revisor de tesis le hizo, le comunico que se le concede autorización para que proceda a la impresión de la misma. como requisito para la obtención del grado.
Reciba un cordial saludo.
A T E N T A M E N T E
- I,%@ N
Dr. Enrique Quinfero-Mármol Márquez Jefe del Depto. de Electrónica
C.C.P. expediente.
INTERIOR INTERNADO PALMIRA SIN. COL, PALMIRA , A.P. 5-164. CP. 62490. CUERNAVACA, MOR. -MÉXICO TELS. (777) 312 23 14.318 77 41. FAX (777) 312 24 34 EMAIL [email protected]
I A mi papá y mamá:
Por enseñarme a ser fuerte, ya que con su ejemplo aprendí que todo se logra con esfuerzo y constancia. Por el amor, consejos y alegrías que me han dado, poFque .eso siempre me impulsa para seguir adelante. Gracias por haber estado siempre conmigo.
A mi hermano:
Por ser mi mejor amigo toda la vida, con todo mi cariño.
A mis abuelitos:
Por ser un ejemplo a seguir, por todo el amor y el cariño que me han brindado.
A mis tíos Ramiro y Mary y a mis primas Aileen y Junes:
Gracias por todo.
A don Blas, doña Gloria y doña Tere:
Por todo el apoyo y cariño'brindados.
A mi gordita:
Mi amor, a ti por todo tu ahor y comprensión. Gracias por estar a mí lado a cada momento y por compartir tu vida conmigo. Te amo.
A Dios
Gracias señor por darme una familia en donde no me falta nada. Gracias señor porque me has dado la fuerza para empezar y terminar lo que me he propuesto en esta vida. Gracias señor por poner gente buena en mi camino que me ha seguido guiar y motivar a seguir adelante. Gracias señor porque me has dado la vida.
ii ' AGRADEClMiENTOS
I1
A mis asesores Dr. Gerardo Guerrero Ramírez y M.C. Patricia Caratozzolo Martelliti, a quienes1 agradezco sus orientaciones y el tiempo dedicado a edte trabajo, que representa la culminación de un anhelo. Gracias.
AI comité de revisores por sus valiosos comentarios y Dr. Enrique Quintero Márm'ol, Dr. Gerardo
A mis profesores de cenidet, gracias porjayudarme en mi
sugerencias: Vela Valdés y Dr..Marco. A. Oliver Salazar.
formación académica.
A mis amigos de generación: borrego, CUI, brian, fernando, miriam, neto, magnolia, sergio, 'bctaviano, alex, jorge, josué, israel, mosh, por esos buenos momentos que pasamos juntos.
A todo el personal de cenidet. Ir AI CONACyT y a la SEP, que me proporcionaron los
medios económicos para desarrollar los estudios de maestría.
INDiCE
INDICE
Pág.
1 111 IV
i
INDICE LISTA DE TABLAS LISTA DE FIGURAS
CAPITULO I INTRODUCCI~N
1.1 Estado del arte ........................................... ~ ............................. 2 1.2 Justificacion ............................................................................ 5 1.3 Alcance ................................................................................. 5 1.4 Aportacion .............................................................................. 6 1.5 Organización del trabajo de tesis ... . . . .. . . .. .. . . . . . . .;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6
.,
.,
CAP~TULO 11 MÉTODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE I N D U C C I ~ N 8
2.1 Métodos tradicionales de modelado del motor de inducción ...... ...... ... ..... 2.2 Método de Euler - Lagrange.. ... . . . . . . . , , . . . . . , . . . , . , . , , . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . ...
2.2.1 La ecuación Euler - Lagrange.. . . . . . . . .. . . , . . . . . , . . .. . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . .. 2.2.2 Modelo trifásico del motor de inducción .,.. ... ... ..... .__. . .. ... . .... . . . .. 2.2.3 Teoría del marco de referencia ...... ... .. . . ... .... . ........ . . ..... ... . 2.2.4 Modelo equivalente bifásico ... ...... , ..... ... .. ... . ... ... ... ... .. . ... ... . . ..
2.3 Simulaciones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 10 11 15
20 ........... . 22
CAP~TULO 111 ANÁLISIS, MODELADO Y SIMULACIÓN DEL SISTEMA MOTOR - CARGA EN LAZO ABIERTO.
3.1 Modelo del sistema completo motor de inducción -robot. ..... ....... 3.2 Simulacion del sistema ............................................................... 36
28
.,
CAP~TULO IV CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCIÓN BASADO EN PASIVIDAD 41
4.1 introduccion ........ . ..._.. ..... ... .... .......................... <.................. 41 4.2 Planteamiento del problema ......... ... _.. ... ... ..._. .... ..... . ... ..._. . ... .. . ... .. . 43 4.3 Diseño del controlador nominal ... . . . . . , , , . , . , . . . . . . , . . . , , . . . . . . . . . . .
4.3.1 Diseño de las señales deseadas ...... ... ...... ...., . ... ...... ... .. .... . ,. .... 44 4.4 Análisis de estabilidad ................................................................ 51
4.4.1 Análisis de estabilidad del subsistema eléctrico ...... ......... . .. . ........ 52 4.4.2 Análisis de estabilidad del subsistema mecánico .........._. ..... . .. . .... 55
.,
I
INDICE
ii 4.5 Simulación del sistema en lazo cerrado ... ... .. . . .. .... . . . . . .... ;. .. . . . . . .. . . . . ..... 57 I/
CAPITULO V
LA TÉCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
5.1 Técnica de rediseño de Lyapunov .... ..... ... ... . ........ .. ....... .. . . .. ..... ....... 64 5.2 Diseño del controlador robusto para el subsistema mecánico .... . . .. . .. . . .. . ... 66 5.3 Análisis de estabilidad del subsistema mecánico ................................. 68 5.4 Diseño del controlador robusto para el subsistema eléctrico ._.... ., .... .. . .. .._ 71 5.5 Análisis de estabilidad del subsistema eléctrico ................ ! .................. 74
I) 5.6 Simulacion del sistema ............................................................... 77
CONTROL ROBUSTO DE MOTORES DE I N D U C C I ~ N UTILIZANDO 63
I
. I
CAPITULO VI ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES 85
6.1 Análisis del índice de desempeño.. , ... ... ..... . .. . . . . ... , .. . .... :1.. . . . , , ,. ,.. ...... 85 I1 6.2 Conclusiones ................................................ ~ .......................... 94
6.3 Trabajos futuros ........................................................................ 96
REFERENCIAS 97
APÉNDICE A B A-1 I1
A 1 Función S, herramienta de Simulink de Matlab ....... .. . ......... .. . . . _ . ........ A.2 Manual para el uso de los programas de simulación ........... . . . , , ,. ..... . ., ...
A-1 A-3
INDICE DE TABLAS
Tabla Pág.
10
24 25 27 27
Ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de un
Parhetros de simulación para un M.I. de 1 hp. Parámetros de simulación para un M.I. de 3 hp. Comparación de resultados contra el esquema propuesto por [Ong,98] Comparación de resultados contra el esquema proptiesto por
2'1 motor de inducción 2.2 2.3 2.4
2'5 [Krause,95]
3'' Parámetros de los motores de inducción que accionan al robot rígido giratorio de dos grados de libertad.
Parámetros de los motores de inducción que accionan al robot rígido giratorio de dos grados de libertad
37
58 4'1
5.1 Parámetros nominales del robot 77
79 5'2 Parámetros nominales de los motores de inducción que accionan al robot rígido giratorio de dos grados de libertad
A.l A.2 Programas generados A.3 Parametros de simulación
Rutinas de la función S contenida en un archivo .M A-3 A-4 A-5
INDICE
INDICE DE FIGURAS
Figura
1.1
2.1
2.2
2.3 2.4 2.5 2.6
3.1
3.2
3.3 3.4
3.5 3.6
4.1 4.2
4.3
4.4 4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
Pág.
3 II Entradas y salidas de un circuito eléctrico no lineal
Máquina de inducción trifásica, simétrica, dos polos, conectada en estrella, (a) diagrama esquemáiico; (b) diagrama eléctrico de los devanados de estator y rotor. Diagrama a bloques de flujo de datos para el programa de simulación 23 del motor de inducción Corrientes de los devanados de a) estator; b) rotor 24 a) Velocidad; b) Par electromagnético generado 25 Corrientes de los devanados de a) estator; b) rotor 26 a) Velocidad; b) Par electromagnético generado 26
11
9
28 Robot rígido giratorio accionado por motores de inducción, caso
Diagrama a bloques del programa de simulación para el robot rígido particular de dos grados de libertad
giratorio de dos grados de libertad accionado directamente por motores de inducción Corrientes de los devanados de a) estator motor 1; b) rotor motor 1 a) Velocidad del motor 1 ; motor 1 Corrientes de los devanados de a) estator motor 2; b) rotor motor 2 a) Velocidad del motor 2; motor 2
I 37
38
38 39
39
‘e b) Par electromagnético generado por el
b) Par electromagnético generado por el
Diagrama a bloques del sistema pasivo Representación polar de los flujos del rotor Diagrama a bloques del controlador basado en pasividad para el robot rígido giratorio accionado por motores de inducción Trayectoria de posición deseada Primera, segunda y tercera derivada de la trayectoria de posición deseada a)error de seguimiento de posición motor 1 b)error de seguimiento de velocidad motor 1 a)error de seguimiento de posición motor 2 b)error de seguimiento de
a)Corrientes de los devanados de estator motor 1 b)Corrientes de los devanados de rotor motor 1 a)Voltajes de alimentación para el motor 1 b)Par electromagnético generado por el motor 1 a)Corrientes de los devanados de estator motor 2 b)Corrientes de los devanados de rotor motor 2
I II
I1 . . velocidad motor 2 ‘e
44 45
58
59 59
60
60
61
61
62
IV
INDICE
62 a)Voltajes de alimentación para el motor 2 generado por el motor 2
Diagrama a bloques para describir al sistema en lazo cerrado con perturbaciones Diagrama a bloques del flujo de datos para el esquema de control propuesto a) Error del seguimiento de trayectoria de posición para el motor 1 b) Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 1 a) Error del seguimiento de trayectoria de posición para el motor 2 b) Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 2 a) Error del seguimiento de trayectoria de posición para el motor 1 b) Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 1 a) Error del seguimiento de trayectoria de posición para el motor 2 b) Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 2
b)Par electromagnético 4'1
65
78
5.1
5.2
5'3
5'4
5S
s.' 5.7
5.8
8.9
5.10
5.1 1
5.12
6.1
6.2
6.3
6.4
6.8
6.6
6.1
6.8
6.9
6.10
a) Error deiseguimiento de trayectoria de posición para el motor 1 b) Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 1 a) Error del seguimiento de trayectoria de posición para el motor 2 b) Error de seguimiento de la trayectoria de velocidad para el motor 2 a) Corrientes en los devanados de estator del motor 1 b) Corrientes en los devanados de rotor del motor I a) Voltajes de alimentación para el motor 1 b) Par electromagnético generado por el motor 1 a) Corrientes en los devanados de estator del motor 2 b) Corrientes en los devanados de rotor del motor 2 a) Voltajes de alimentación para el motor 2 b) Par electromagnético generado por el motor 2
a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 1 b) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 2 b) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 1 b) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 2 b) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 1 b) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 2 b) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 1 b) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 2 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1 b) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 1 b) JTAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 2 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor I b)
82
82
83
83
84
84
86
86
87
87
88
88
89
90
91
91
V
i INDICE
'I
'I ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 2 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1 b) ITAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2 a) lTAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1 b) lTAE de seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2 a) Comparación del seguimiento de trayectoria de posición para el motor 1 b) Comparación del seguimiento de trayectoria de velocidad para el motor 1 a) Comparación del seguimiento de trayectoria de posición para el motor 2 b) Comparación del seguimiento de trayectoria de velocidad para el motor 2
92
92
93
' ' I 2
6.33
lii 6.14 94
VI
Simbologia
B Bo
C D e f f f, G fmm go
C
Coeficiente de fricción viscosa en N m shad Regresor para la parte eléctrica Constante positiva Matriz de términos de Coriolis Matriz de inercias Errores para el subsistema eléctrico Fuerzas generalizadas Representa cualquier sisiema trifásico de variables eléctricas Funciones continuas Fuerza magnetomotriz Vector independiente de los parámetros inciertos para la parte mecánica Vector independiente de los parámetros inciertos para la parte eléctrica Momento de inercia para el eslabón 1 del robot Momento de inercia para el eslabón 2 del robot Corriente en las fases a, b, c del rotor Corriente en las fases a, b, c del estator Matriz identidad de nxn Inercia del rotor en Kg m2 Matriz antisimétrica Matriz cuya diagonal es {re, O} Matriz de transformación de elementos de circuitos trifásicos estacionarios o variables a un marco de referencia arbitrario Matriz de transformación inversa Longitud del primer eslabón del robot Longitud del segundo eslabón del robot Centro de gravedad del eslabón I del robot Centro de gravedad del eslabón 2 del robot Inductancia de dispersión Inductancia de magnetización Matriz de inductancias de rotor, inductancia de rotor Matriz de inductancias de estator, inductancia de estator Valor máximo de la inductancia mutua Matriz de inductancias mutuas Matriz constante Matriz de inercias combinadas Masa del eslabón 1 del robot Masa del eslabón 2 del robot Número de vueltas en los devanados de rotor Número de vueltas en los devanados de estator Momento generalizado Coordenada generalizada Fuerzas externas
Coordenada generalizada para la parte eléctrica, carga eléctrica Coordenada generalizada para la parte mecánica, posición angular Error de seguimiento de posición Coeficiente de fricción viscosa del rotor Resistencia de los devanados de rotor Resistencia de los devanados de estator Matriz de transformación de Blondel Co-energía cinética Co-energía cinética del robot Co-energia cinética del robot debida a los iiioviiiiicnios roiacioniilcs Co-energía cinética del robot debida a los movimientos traslacionales Vector de entrada de un sistema no lineal Voltajes deseados de estator para los motores 1 y 2 Energía potencial, Función candidata de Lyapunov Voltaje en las fases a, b, c del rotor Voltaje en las fases a, b, c del estator Señal de control adicional para contrarrestar la; incertidumbres Vector de señales de compensación para la parte eléctrica Vector de señales de compensación para la parte mecánica Coordenada de posición para el robot Vector de salida de un sistema no lineal Regresor para la parte mecánica
Funciones de clase k Indica variación Función continua que agrupa los términos inciertos Parámetro de diseño para la parte eléctrica Parámetro de diseño para la parte mecánica Matriz de ganancias positiva definida para el subsistema eléctrico Matriz de ganancias definida positiva para el subsistema mecánico Enlaces de flujo. Enlaces de flujo en las fases a, b, c del rotor Enlaces de flujo en las fases a, b, c del estator Desplazamiento angular de las variables nuevas del marco de referencia arbitrario Posición real Vector de parámetros nominales para la parte mecánica Vector de parámetros inciertos para la parte eléctrica Vector de parámetros nominales para la parte eléctrica Vector de parámetros inciertos para la parte medánica Posición angular de la flecha del rotor Posición de referencia Posición angular deseada del vector de flujo Par electromagnético generado por el M.I. en N m.
I1 I' I I1
il
II 14
,:
I
V E
Par de la carga en N m Par electromagnético del sistema nominal Par electromagnético del sistema con incertidumbre Velocidad angular del marco de referencia arbitrario Velocidad real Velocidad angular del rotor en rad/seg Velocidad de referencia Variable auxiliar de integración Señal de control nominal
Velocidad generalizada Lagrangian0 Función de disipación de Rayleigh Matriz de rotación Velocidades para el robot Función de almacenamiento total de energía del sistema Producto interno truncado Derivada del flujo deseado del rotor
Derivada de los errores del subsistema eléctrico Derivada de la función candidata de Lyapunov Parámetro de diseño Error de seguimiento de velocidad
Velocidad de referencia Error combinado de seguimiento Medida de la incertidumbre Componente de control extra
OOm - 8, 0 0 , - o e Valor de la norma del flujo del rotor Norma euclidiana
Subíndice, representa un sistema de variables trifásicas Subíndice, indica variables deseadas Subindice, denota cantidades en el sistema eléctrico Subindice, denota cantidades en el sistema mecánico Subindice, representa un sistema de variables bifásicas Subíndice, indica cantidades en el rotor Subíndice, indica cantidades en el estator
Capítulo I
Los motores de inducción (M.I.) son ampliamente utilizados en aplicaciones industriales que requieren velocidades prácticamente constantes, esto debido a su simplicidad de operación, robustez, su necesidad prácticamente nula de mantenimiento y su costo reducido en comparación con otras máquinas.
Actualmente, debido a los avances en la teona del control no lineal, de máquinas eléctricas, de la electrónica de potencia y de los procesadores digitales, hay una tendencia a buscar un mejor desempeño dinámico en las máquinas eléctricas a través del diseño de sistemas de control más sofisticados.
En el caso de los motores de inducción existen ciertos desafíos en la búsqueda por mejorar el diseño de sus sistemas de control. Esto debido principalmente a que: Su dinámica exhibe no linealidades muy significativas, no todos los estados están disponibles para su medición, es un sistema altamente acoplado y sus parámetros pueden variar significativamente de sus valores nominales durante su operación.
En años recientes, se han desarrollado una amplia variedad de técnicas de control no lineal para controlar a los motores de inducción tales como: El control vectorial, el control basado en pasividad, los controladores basados en la linealización por retroalimentación, etc., obteniendo muy buenas características de desempeño. Por lo anterior, los motores de inducción han encontrado aplicación en sistemas de alta precisión, anteriormente reservados Únicamente a las máquinas de CD.
CONTROL DE MOTORES DE UiDUCCI6N UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
1.1 Estado del arte d d
En la actualidad existen diferentes métodos de control del motor de inducción y entre ellos se encuentran:
a). Control en régimen permanente:
Considerado como u n método clásico, se basa en la linealización del modelo del motor en un punto de operación de régimen permanente. Su ventaja principal consiste en que es posible aplicar la teoría de control lineal en el diseño del'controlador; sin embargo, el comportamiento dinámico es variable y depende de qué tan kerca esté funcionando el motor del punto de operación supuesto [Taylor,94]. Algunos métodos de control en régimen permanente usados son el control voltaje / frecuencia (V/Hz.) constante y el control de la frecuencia de deslizamiento y comente del estator [Kosow,72].
b). Control no lineal:
Control vectorial:
Es el método de control estándar para máquinas de induc~ión y utiliza el modelo no lineal del motor. Su objetivo es hacer que el motor de inducción se comporte como un motor de CD de excitación separada, con las variables par electromagnético y flujo magnético desacopladas. En esencia, el método consiste en una transformación no lineal de coordenadas (rotación) y una retroalimentación no lineal para lograr el desacoplamiento del par electromagnético y del flujo magnético. Algunas técnicas de control vectorial son el control por orientación del flujo del rotor, del flujo del estator y del flujo de magnetización [Blashke,721, [Vas,90], [Novotny,96]. 1
Control no lineal moderno
1 .-
Es uno de los diseños de control más comunes para las máquinas eléctricas actuales. El concepto de diseño está basado en una estructura de dos lazos; en el primer paso de diseño, se busca una compensación no lineal, de manera que se cancelen las no linealidades en el motor (sin considerarla para algún objetivo de control específico); esta compensación es implementada como un lazo de retroalimentacion interior. En el segundo paso d e diseño, se obtiene una nueva compensación sobre la b b e d e la dinámica lineal resultante del motor pre-compensado, de manera que se alcance algún objetivo de control
Diseño por linealización exacta [Taylor,94]:
. ,1 .
CAPITULO I INTRODUCCION
definido; esta compensación lineal es implementada como un lazo de retroalimentación exterior. La ventaja de una dinámica lineal en lazo cerrado es que la selección de los parámetros del controlador se simplifica de sobremanera y la respuesta transitoria es predecible. Sin embargo, no todos los sistemas no lineales pueden ser controlados mediante el uso de esta técnica. La linealización exacta no es realmente una sola metodología, sino que existen dos nociones de linealización: Linealización entrada-salida, que puede ser aplicada solo a sistemas de fase minima con grado relativo bien definido; Linealización entrada-estado, que puede ser aplicada eliminando cualquier dificultad con la dinámica interna del sistema, pero es menos intuitiva y por lo tanto más difícil de aplicar en la práctica.
2.-
Utilizan la formulación de Euler-Lagrange para el modelo del motor de inducción, considerando ciertas propiedades físicas tales como la conservación de la energía y pasividad.
La principal característica que se obtiene al hacer uso de la técnica de modelado de Euler - Lagrange es que tiene gran relación con las caracteristicas físicas del sistema. Esto facilita la interpretación del modelo matemático obtenido; además, una gran variedad de sistemas en ingeniería pueden ser tratados con esta metodología. Otra propiedad importante es que también provee automáticamente las funciones de almacenamiento y disipación de la energía del sistema, que son de gran utilidad en e l diseño de los sistemas de control basados en pasividad.
Para explicar brevemente el concepto de pasividad es necesario primero definir la propiedad de disipatividad; este concepto está íntimamente relacionado con el fenómeno de pérdida y disipación de la energía. Ejemplos típicos de sistemas disipativos son los circuitos eléctricos, en los cuales parte de la energía eléctrica es disipada en forma de calor en las resistencias del circuito, Matemáticamente, para definir la propiedad de disipatividad es necesario introducir dos fúnciones: La razón de suministro de energía y la función de almacenamiento, la cuál mide la cantidad de energía que es almacenada dentro del sistema. Estas funciones son relacionadas a través de la desigualdad de disipación, la cuál establece que un sistema disipativo no almacena más energía que la que le es suministrada desde e l exterior, siendo la diferencia la energía disipada. Consideremos e l ejemplo del circuito eléctrico no lineal como el que se muestra en la figura 1 .1 [Sastry,99], siendo las entradas un conjunto fuentes de voltaje y corriente independientes, y las salidas los voltajes y corrientes dependientes.
Diseño basado en pasividad y el moldeo de energía [Sastry,99]:
Figura 1.1 Salidas y entradas de un circuito eléctrico no lineal
CONTROL DE MOTORES DE INDI!í:CIl>N IITII..IZANDO 1.A TECNICA DE REDISEfiO DE LYAPUNOV
B La cantidad u([)' 1. y(t) es interpretada como la potencia instantánea de entrada al
circuito, con las direcciones de referencia mostradas en la figura. Se dice que e¡i.circuito anterior es pasivo si la cantidad de energía en la entrada (integral de la potencia) no ercede el cambio en la cantidad de energía almacenada en el circuito.11 Si elicircuito no lineal comienza con todos sus elementos almacenadores (inductores y capacitores) descargados, el circuito es pasivo si :
I loT.' (t)y(t)dt 2 O, para t0d.a T
3.-
Se divide al sistema en subsistemas de menor orden, se Cige uno de éstos y se le diseña un controlador por retroalimentación como si no existieran otras dinámicas y se obtiene u n pseudo control. Si en este proceso no aparece la señal de control verdadera, se repite el procedimiento con los demás subsistemas hasta que ésta aparezca..
Diseño basado en redes neuronales y lógica difusa [Vas,99]:
Diseno basado en backstepping [Taylor,94]:
4 4.-
li Los desarrollos recientes en la teoría de control son tales que las técnicas convencionales para el diseño de controladores están siendo reemplazadas por alternativas que adoptan estrategias diferentes. Estas estrategias hacen uso de lo que se llama inteligencia Artificial (redes neuronales, lógica difusa, redes neuro-difusas y algoritmos genéticos). Su principal característica es que usan la experienciade los humanos. En la literatura, la mayoría de las publicaciones sobre la aplicación de la Inteligencia artificial en máquinas eléctricas describen aplicaciones a controladores de posición y velocidad basados en lógica difusa y redes neuronales. También se describen problemas de estimación de parámetros, observadores y sensores. 'I
5.- Diseño basado en modos deslizantes:
El objetivo del control basado en modos deslizantes es forzar al cstado de una planta a deslizarse sobre una superficie dada en el espacio de estado (st¡perficie deslizante). En este régimen de deslizamiento, las trayectorias de estado están localizadas en la superficie deslizante y por lo tanto son invariantes, independientemente de los parámetros de la planta y disturbios externos [Buja,93]. Las características que hacen interesante la aplicación de la teoría de los modos deslizantes en máquinas e!éctricas son: Alta precisión, respuesta dinámica rápida, buena estabilidad, simplicidad en el diseño e implementación y sobre todo robustez. La robustez se refiere principalmente a baja sensitividad a desviaciones en los parámetros del sistema y disturbios externos La teoría de los modos deslizantes ha sido aplicada al control de posición y velocidad en motores de CD y sistemas de control de posición para motores de inducción y motores síncronos [Sen,87].
CAPITUU) I INTRODUCCION
1.2 Justificación
Actualmente los métodos de control no lineal son aplicados cada vez con mayor frecuencia a procesos industnaies, debido a que se obtienen mejores desempeños dinámicos. En el caso de los motores de inducción (M.I.), algunos de sus parámetros vm'an durante su operación, debido a esto se utilizan métodos de control que puedan enfrentar estas incertidumbres. Dentro de estas técnicas están: El control adaptable, el control por modos deslizantes, los controles basados en lógica difusa y redes neuronales, y el control robusto, por citar algunos.
En el Cenidet existe UM tesis previa para el control de motores de inducción en la cual se consideró conocido el modelo del motor, en esa tesis se diseñó un controlador nominal basado en pasividad [Miguel,Ol]. Ahora, en el presente trabajo se considera que los modelos del M.I. y de la carga no son conocidos con precisión, para lo cuál se propone el uso de la técnica de rediseño de Lyapunov. Utilizando esta técnica se diseñarán señales de control que son agregadas a la ley de control nominal para hacer frente a las incertidumbres paramétricas del sistema. Por considerarla de interés práctico y de complejidad aceptable, la carga utilizada es un robot rígido giratorio de 2 grados de libertad, sin embargo, el planteamiento se hizo de manera general, siendo aplicable al caso de n grados de libertad.
1 3 Alcance
El objetivo de la tesis es el estudio de un esquema de control no lineal robusto en el dominio del tiempo con la capacidad de hacer frente a las variaciones paramétricas inherentes a los motores de inducción. Adicionalmente se considera la incertidumbre en los parámetros de la carga, para éste trabajo la carga considerada es un robot rígido giratorio de dos grados de libertad.
Como alcances se tienen los siguientes:
a).- rígido giratorio.
b).- y velocidad) de un robot rígido giratorio accionado por motores de inducción.
c).-
Obtener el modelo matemático del sistema completo motor de inducción - robot
Diseñar un controlador robusto para lograr el seguimiento de trayectorias (posición
Validar el sistema resultante mediante simulaciones en computadora
C O ~ O L DE MOTORES DE INDUCCI~N UTIL~ZANDO LA TÉCNICA DE REDISERO DE LYAPUNOV
1.4 Aportación I/ El trabajo de tesis intenta darle solución al problema de la incertidumbre
paramétrica en los motores de inducción, el cuál ya ha sido re&elto utilizando algunas otras técnicas como lo son el control adaptable [Marino911 y el control inteligente, a saber, lógica difusa y redes neuronales. El uso de estos métodos tiene la desventaja de aumentar el orden del sistema controlador-planta, mientras que utilizando el control robusto se obtiene una ley de control que no incrementa el orden del sistema.
La tesis aportará bases sólidas en la aplicación de la ,;écnica de rediseño de Lyapunov para el diseño de controladores robustos, además de contribuir en la línea de investigación de máquinas eléctricas y de control no lineal en las que se trabaja en este centro de investigación.
1 5 Organización del trabajo de tesis
El capítulo 2 presenta diferentes métodos de modelado del M.I., en él se describen las técnicas de modelado tradicionales y se hace una breve exposición del método de modelado basado en la técnica vanacional, con una breve explicación sobre la obtención de la ecuación de Euler - Lagrange. Posteriormente se obtiene el modelo matemático del M.I. aplicando esta última técnica. De manera que se simplifique el modelo del M.I., se aplica la teoría del marco de referencia para obtener una representación bifásica del modelo del M.I. Por último, en éste capítulo se simula la operación del M.I. en lazo abierto.
'! El capítulo 3 consiste del análisis y modelado del sistema completo, motor - carga,
que para este trabajo consiste de un robot ngido giratorio de, dos grados de libertad accionado por M.I. acoplados directamente a sus uniones; también se simula la operación del sistema en lazo abierto.
IR En el capítulo 4 se plantea el problema de control para posteriormente diseñar el controlador del M.I. basado en pasividad. Este controlador recibe l a denominación de nominal ya que se considera que los parámetros del sistema son completamente conocidos, además se exponen los resultados de simulación.
I! En el capítulo 5 se hace una breve exposición sobre el método de diseño que utiliza
la técnica de rediseño de Lyapunov; ésta técnica de control robusto se utiliza para hacer frente a las incertidumbres paramétricas del sistema motor-carga. Para este trabajo las incertidumbres consideradas son: Los valores de resistencia del estator y del rotor, y además los parámetros del robot rígido de dos grados de libertad, tales como las inercias,
, . . .. .,L.
CAPITULO I INTRODUCCION
las masas y los centros de gravedad. resultados de simulación al aplicar el controlador robusto en el sistema.
Para finalizar con el capítulo se muestran los
Para concluir, en el capítulo 6 se hacen las observaciones sobre el desempefio del controlador robusto, el análisis comparativo de los controladores nominal y robusto y las conclusiones.
Capítulo 11 ‘I
MÉTODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN
En el modelado de sistemas físicos, existen dos técnicas para la obtención de las ecuaciones que describen el comportamiento de los sistemas [Wellstead,78]; una es utilizando las leyes de fuerzas ya sea mecánicas, eléctricas, etc., la segunda técnica es mediante la aplicación de principios variacionales para seleccionar las funciones de energía. Para sistemas que tienen sólo elementos de la misma “naturaleza” la primera técnica es usualmente suficiente. De hecho, para sistemas puramente mecánicos o puramente eléctricos, por ejemplo, aplicando la segunda ley de Newton y las leyes de Kirclihoff respectivamente, obtendremos las ecuaciones deseadas. Este método puede aún ser usado en sistemas de naturaleza “mixta”, es decir que incluyen sistemas de diferente naturaleza, como por ejemplo sistemas electromecánicos, electroneumáticos, etc. En este caso las fuerzas de interacción se obtienen mediante métodos de desplazamientos arbitrarios y conservación de la energía. Pero este método tiene varios inconvenientes, como por ejemplo, que es necesario hacer un estudio muy profundo sobre los tipos de sistemas involucrados, sobre todo en problemas más complicados. A fin de obtener las ecuaciones que describan a un sistema de una manera sistemática, se requiere de un método más general, esta es la meta de la técnica variadonal.
En este capítulo se presenta el modelado del M.I. utilizando las técnicas tradicionales y el procedimiento de modelado utilizando la metodología de Euler-Lagrange; además se simula la operación del M.I. sin carga acoplada y en lazo abierto.
2.1 Métodos tradicionales de modelado del M.I.
El análisis completo del motor de inducción comprende la determinación de las fuerzas magnetomotrices V;.rn) resultantes en el entrehierro de la máquina, las densidades de flujo magnético, los enlaces de flujo, además del conocimiento de los paráinetros de la máquina, como son las inductancias propias y mutuas, las resistencias, etc.
8
CAPITUU) I1 METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
Una vez conocidos los parámetros fisicos de la máquina se plantean las ecuaciones de los voltajes inducidos, los voltajes aplicados en los devanados, y a partir de éstas se pueden determinar las demás variables de interés como son las corrientes, el par electromagnético, la velocidad, etc. I1
I1
A continuación se presenta el esquema fundamental del M.1. que se está considerando [Krause,95]; obsérvese la disposición física de los devanados del estator y del rotor cilíndrico, y el diagrama eléctrico de los mismos:
................. L ..... ej. a,
rjr cr I
íb)
estrella, (a) diagrama esquemático; (b) diagrama eléctrico de los devanados de estator y rotor. Figura 2-1 Máquina de inducción trifásica tipo jaula de ardilla, simétrica, dos polos, conectada en
iI La inclinación intencional del circuito eléctrico de la derecha en la figura 2-1 (b) es
con la finalidad de enfatizar el defasamiento existente entre estator y rotor.
que describen al sistema. (Tabla 2. I ) Utilizando las leyes de Ohm y Kirchhoff se obtienen las ecuaciones diferenciales
CONTROL DE MOTORES DE iNDUCCi6N UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISEhO DE LYAPUNOV
Ecuaciones de voltaje en los devanados de fase del estator:
Ecuaciones de voltaje en los devanados de fase del rotor:
d L v,, = i,,R, + - dt
v,, = i,,R, + - dh, dt
dt vbr = ibsRr + -
dh,, va, = i,,R, + -
vbr = i,brRr + --
v, = i,,R, + -
dt
dt dhcr dt
dhbr
donde: a, b, c, denotan las' tres fases del M.I., s denota a las variables y parámetros asociados al estator, r denota a las variables y parámetros asociados . . al rotor, h son los enlaces de flujo, R son las resistencias en los devanados de estator y rotor, v es el voltaje aplicado a cada una de las fases, i es la corriente en cada fase,
y para la parte mecánica del M.I. se obtiene la siguiente expresión
. dw dt
zem =~--'+Bw,+z,,
donde: j es la inercia del rotor en Kg m2, B es el coeficiente de fricción viscosa en N m shad, or es la velocidad angular del rotor en rad/seg, q. es el par de la carga en N m, T~~ es el par electromagnético generado por el M.I. en N m.
La solución de las ecuaciones diferenciales anteriores, permite determinar el comportamiento del M.I. en sus diferentes regímenes de operación.
2.2 Método de Euler - Lagrange
La liga común entre los diferentes subsistemas que conforman a un sistema de naturaleza energética mixta, es que todos estos subsistemas transforman la energía. Por lo tanto, parece natural formular el problema del modelado en términos de cantidades de energía. El punto de inicio del método variacional [Pierre,69] [Ortega,98] es la definición de funciones de energía en términos de conjuntos de variables generalizadas, poSteriormente, este procedimiento nos lleva a la definición de la función Lagrangiano, así como al planteamiento de la ecuación de Euler - Lagrange. Para obtener finalmente las
' . I r - , l . ?
*. : . - I.. .~ IO
lil CAPITULO II METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
ecuaciones diferenciales que describen el funcionamiento del sistema, sólo es necesario resolver la ecuación de Euler-Lagrange, para cada una de las variables generalizadas.
b
I1 2.2.1 La ecuación Euler - Lagrange
La configuración de un sistema físico es descrita generalmente por un conjunto de cantidades llamadas coordenadas. Por ejemplo, para una sola partícula de masa en el espacio, las coordenadas necesarias para describir su configuraEiÓn podrían ser un vector tridimensional que describa la posición de la partícula respecto a un punto de referencia en un sistema coordenado. Desde un punto de vista dinámico, se puede ver a un sistema fisico como formado por varias partículas, las cuales están interconectadas, de lo que resultan ciertas restricciones en el comportamiento del sistema. Ya que un sistema físico frecuentemente es una parte aislada de un sistema mucho más grande, el medio circundante también impone ciertas restricciones en su cornportamiento, o dicho en otras palabras, un sistema físico puede ser visto como un conjunto de subsistemas, los cuales están de cierta manera interconectados, esto genera ciertas restricciones y dependencias. El medio ambiente también impone ciertas restricciones al comportamiento del sistema.
Para sistemas en equilibrio estático, las coordenadas generalizadas bastan para describir completamente al sistema; cuando el sistema tiene un comportamiento dinámico, es necesario definir un conjunto extra de variables dinámicasfque nos den información acerca de cómo la configuración del sistema cambia con el tiempo. Una opción para este conjunto extra de coordenadas es utilizar las primeras derivadas de las coordenadas (velocidades generalizadas) [Ortega,98][Drazin,92].
Cuando se considera a un sistema como un conjunto ,de subsistemas interconectados, es posible que las restricciones surgidas de estas interconexiones reduzcan el número de variables usadas para describir al sistema, 'ksto debido a que estas restricciones generan relaciones entre las diferentes variables que no son independientes.
En el caso de las restricciones llamadas holonómicas [Wellstead,78], éstas son expresadas como relaciones entre coordenadas o velocidades y tienen la forma fj(q1,. ..,qn;t) = O para j = 1 ,..., m, donde qi = 1 ,..., n, es el número de coordenadas y m el número de restricciones. i
9
Es posible seleccionar un conjunto de n - m coordenadas independientes o generalizadas (el número de grados de libertad) tales que eliminen la necesidad de las ecuaciones de las restricciones.
Una vez seleccionadas las coordenadas generalizadas se define el Lagrangian0 (Ver apéndice B) cómo L(q1, ..., qn;q ,,..., q,; t) , con q ,,..., q, el conjunto de velocidades generalizadas, que caracteriza al sistema, dependiente de ,las coordenadas, de las velocidades y del tiempo, pero no de la trayectoria seguida para ir de un estado inicial a otro final. La diferencial total de L es [Guerrero,OO]: ..e.
CONTROL DE MOTORES DE INDUCCibN UTILIZANDO L4 TÉCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
dL(q, ,..., q, ;ql,.'..,qn; t) = 2%qr + -dt SL , k=1 'qk St
c o n k = 1, ..., n.
En el caso de sistemas conservativos, para determinar L se elige una trayectoria de integración que mantiene todas las variables q, (velocidades generalizadas) constantes para la integración con respecto a las q k (coordenadas generalizadas) y mantiene todas las qk constantes para la integración con respecto a las q , , además las integraciones pueden ser desarrolladas para un valor específico de tiempo t. Así:
donde (,)' identifica a las variables auxiliares de integración. Sustituyendo (2.2) en (2.3) y separando términos se obtiene
6L(q', ,..., q', ;o ,..., o; t) L(q ,. . .; q " ; q, ,. . .> 9" ; t ) = Joq8,.oq" 2 d q ' k
k=l ' q 'k <,..I
y se observa que el primer término de la derecha depende de las coordenadas y del tiempo pero es completamente independiente de las velocidades, y el segundo término es función de los valores finales de las coordenadas y de las velocidades. Si se definen las fuerzas generalizadas fk como las derivadas parciales del Lagrangiano con respecto de las posiciones generalizadas:
la energía potencial V es:
El momento generalizado pk se define como la derivada parcial del Lagrangiano con respecto de las velocidades generalizadas [Ortega98]:
CAPITULO I1 METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
y la co-energía cinetica T*
i/ , . , . el Lagrangiano L se define como la diferencia entre la co-energia clnetlca y la energía potencial:
' 11 que se puede utilizar para cualquier tipo de sistema, independientemente de su naturaleza energética.
Ahora bien, el principio de Hamilton establece que [Ortega,98] la trayectoria dinámica real de un sistema descrito por el Lagrangiano, desde un tiempo ti hasta el tiempo tz es tal que la integral de línea I = I"L(q ,,..., q,;q ,,..., qn; t ) es un extremo, por lo que la
primera variación 61 de la integral de línea I, que es independiente del tiempo, debe ser igual a cero, esto es [Sage77][kwong77]:
li 11
61 = 6 y- L(q, ,..., q";ql ,..., q";t)it = o [ I
(2.1 O) I sujeta a las restricciones 6q(ti)=0 y 6q(tZ)=O . cero, se obtiene:
Evaluando esta variación e igualando a
(2.1 I )
El extremo 61 = O debe mantenerse para toda variación 6qk de cualquier coordenada q k y como éstas son independientes, el término entre paréntesis de la ecuación (2.1 I ) , debe ser igual a cero para toda k, por lo que se obtiene la ecuación: il 6L d 6L ----= 0, 6q, dt 6q,
'1 (2.12)
li conocida como "ecuación Euler - Lagrange (EL)" .
Para extender el análisis anterior al caso de sistemas no conservativos se deben considerar las fuerzas no conservativas (externas al sistema conservativo) Q E R" que pueden ser de 3 tipos: Las acciones de control, la disipación y las interacciones del sistema con el medio ambiente. Se supone que las acciones de control (consideradas como fuerzas impulsoras aplicadas a la parte conservativa del sistema independientes de las coordenadas y velocidades generalizadas) entran IinealmenteI al sistema en la forma
13
ii
CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIbN UTILIZANDO L á TkCNiCA DE REDlSE&O DE LYAPUNOV
Mu E R" , donde M E R m u es una matriz constante y u E R"" es el vector de control. Las fuerzas disipativas (dependientes de las velocidades generalizadas) son de la forma --, 6 F ( 4
6q donde F(q) es la función de disipación de Rayleigh. ambiente Q E R " pueden ser usadas para modelar el efecto de las perturbaciones. para sistemas no conservativos la ecuación EL toma la siguiente forma [Ortega,98]:
Las fuerzas de interacción con el Así,
(2.13)
donde q = [qi ,...,qnlT y q=[q ,,...,qnT son los vectores de coordenadas y velocidades generalizadas, respectivamente.
Por otro lado, si el número de entradas de control es igual al número de grados de libertad (nu = n), se dice que el sistema es completamente actuado y en el caso contrario (nu < n) es subactuado, esto es, existen algunas coordenadas generalizadas a las cuales no se les aplica una fuerza externa. Por último, el desarrollo de la ecuación EL proporciona las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del sistema dinámico.
Para el caso de sistemas electromecánicos es necesario establecer qué variables pueden ser elegidas como variables generalizadas. Para la parte mecánica está bien definido el significado de coordenada, velocidad, fuerza y momento, por lo que es usual elegir los desplazamientos mecánicos (qm E R"- ) como coordenadas generalizadas. Sin embargo, para la parte eléctrica no existe esta correspondencia y se tiene la opción de elegir como coordenadas generalizadas a las cargas eléctricas (4. E R"'.) Ó a los enlaces de flujo (h~R"~)[Guerrero,OO]. En este trabajo se elige a las cargas eléctricas como las coordenadas generalizadas para la parte eléctrica.
La función de energía total (el Lagrangiano) es una combinación de las funciones de energía de los subsistemas [Wellstead,78]:
L = L, + L, = (T *, -v,)+ (T *e -ve) = (T *m +T *J- (v, +ve) = T * -v,
donde los subindices e y m se usan para denotar cantidades de los subsistemas eléctrico y mecánico respectivamente; n, + ne = n, T* es la co-energía cinética total y V la energía potencial total. En el subsistema eléctrico, la co-energía cinética está relacionada con los campos magnéticos y la energía potencial con los campos eléctricos. Para el tipo de sistemas de interés se supone que la función de co-energía cinética total tiene la forma:
(2.14)
(2.15)
14
IA CAPITULO I I METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
I
donde D,(q) = D:(q) > O y D, > O son las matrices de inercias generalizadas, de los subsistemas eléctrico y mecánico, respectivamente. La función de energía potencial sólo depende de las coordenadas generalizadas y está acotada por debajo, esto es, existe un c E R tal que V(q) 2 c para todo q E R" y c E R. [Ortega,98]. 11
Hay que tener en cuenta que la co-energía del subsistema hecánico generalmente no depende de las coordenadas eléctricas, pero la co-energía del subsistema eléctrico sí depende de las coordenadas mecánicas.
2.2.2 Modelo trifásico del M.I. j/ El M.I. está formado por n, = n, + n, devanados en el estator y rotor
respectivamente. También son consideradas fases simétricas y devanados de fase senoidalmente distribuidos. La permeabilidad del núcleo se considera infinita, además, la saturación, las pérdidas en el hierro y el efecto de las ranuras soq despreciados. Sólo son considerados materiales magnéticos lineales, y además se asume que todos los parametros son constantes y conocidos. I
Teniendo en cuenta las afirmaciones anteriores, la aplicación de las leyes de Gauss y Ampere dan como resultado las siguientes relaciones entre los vectores enlaces de flujo h y corrientes q, :
1 = D,(q,)q, (2.16) 1)
con A = [k ,,..., A, r, q, = [q ,,..., qnc y, q, E R"- la posición angular mecánica del rotor, y D,(q,) = D,'(q,) > O la matriz de inductancias de los devanados.
I/ Si se definen las coordenadas generalizadas del sistema como las cargas eléctricas q,, i = I , ..., ne, y la posición angular del rotor qm, la co-energía del campo magnético puede ser calculada como (con ' denotando la variable de integración):
(2.17)
1 2
y la co-energía cinética mecánica como
rotacional del rotor. TL(q,) = -D,qk, donde D, > O es la inercia
Despreciando los efectos capacitivos en los devanados del motor, y considerando una flecha rígida, la energía potencial V del sistema es so1amentel"debida a las interacciones entre materiales magnéticos en el estator y el rotor, o sea V = V(q,). Esta contribución de energía es cero si hay solamente materiales magnéticos en una sola parte (estaior o rotor) dc
CONTROL DE MOTORES DE iNDUCCl6N UTILIZANDO LA TECNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
la máquina, y las propiedades de reluctancia de la otra parte son uniformes, este es el caso del M.I. tipo jaula de ardilla, por lo que V (q,) = O.
Para modelar las fuerzas externas, se asumirá que los efectos disipativos son lineales e invariantes en el tiempo. Estas fuerzas externas son: Para la parte eléctrica, las resistencias en los devanados &, > O, i = 1 ,...,ne, y para la parte mecánica, al coeficiente de fricción viscosa R, O. Por lo tanto las funciones de disipación de Rayleigh correspondiente a las partes eléctrica y mecánica del modelo toman la siguiente forma:
(2.1 8)
donde & = diag { R I , ..., Rne} 1 O.
Las fuerzas de control son los voltajes aplicados a los devanados u E R", , n,<n,. Es conveniente la partición del vector de coordenadas eléctricas generalizados como qe = [q:, q:lT E R"- , 9% E R". , qr E Rnr , n, = ne - n,, donde los subíndices s, r son usados para denotar las variables relacionadas a los devanados de estator y rotor respectivamente.
En el caso de un motor de inducción del tipo jaula de ardilla, se tienen 3 devanados fijos en el estator y 3 devanados en el rotor, por 10 que ne = 6, n, = n, = 3, las coordenadas generalizadas ara el subsistema eléctrico (cargas eléctricas) son qe = [ q, qr ] - [qsi qa qs3 qri qr2 qr3] y para el subsistema mecánico (posición angular de la flecha del rotor) se usará qm, Como solamente se tienen señales de entrada en los devanados del estator, el vector de entradas es u =[u, u2 u3 IT y la correspondiente matriz de entrada es M = [ 13 03 IT, con I3 una matriz identidad de 3x3 [Ortega,98].
T T T -
P
Por la consideración de simetría, las resistencias de los devanados del estator son iguales y lo mismo sucede con los devanados del rotor, por lo que la matriz de resistencias es :
(2.19)
donde Rr y R, son los valores de resistencia de los devanados de estator y rotor. respectivamente y I, es una matriz identidad de 3x3.
La matriz de inductancias es:
(2.20)
donde :
li CAPITULO I I METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
I.
I!
(2.21)
(2.22)
(2.23) cos(e,) cos(e, +Y) cos(e, -Y)
L,,= I,, cos(e, -Y) cos(e,) cos(e, +Y) 1 : ” , Y = - cos(e, +Y) cos(e, -Y) cos(e,)
!I !
L,, L,, L,, representan a las matrices de inductancias de los devanados del estator, rotor y mutuas respectivamente; LI y L, representan a las inductancias de dispersión y de magnetización, respectivamente, I,, es el valor máximo de la inductancia mutua y 0, es la posición angular de la flecha del rotor.
li Del análisis anterior resulta el modelo matemático para un motor de inducción trifásico que consta de 8 ecuaciones diferenciales no lineales acopladas, 6 referentes a la parte del subsistema eléctrico y 2 referentes al subsistema mecánico, que deben resolverse para determinar el comportamiento dinámico del M.I. en cualquier condición de operación, , estas ecuaciones desarrolladas son [Miguel,Ol]:
2rr . - 2n,1,,sen~,[i,,i, + i b r i b r + icjc ,]- 2n,,1~~sen(0, + --)[iasibr + ibsisr + i c s i a r ] - dt J 3
2n . . 3
- 2n,1,,sen(~, - - ) [ I ~ ~ I ~ ~ + i,,i, + icribr]- BU, - T~
Ii 17
CONTROL DE MOTORES DE iNDUCCi6N UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
- Rj,, + i,,n,o,l,,sen(e, - -) 2n + ib,n,o,l,,sen8, . + i,,nPo,l,,sen(8, + 3
I 2n . 2n . 3 3
- Rj, , + i,,n,w,l,,sen(O, + -) + i,,n,w,l,,sen(B, - -) + i,,n,o,l,,sen8, + v,,
1 2n 2n . 3 3
+i,n,w,l,,sen(O, --)+i,,n,w,l,,sen(~, + -)+i,,n,w,l,,sen8, -R,(, +v,,
(2.23a)
en donde 8, es la posición angular de la flecha del rotor, wr es la velocidad de la flecha del rotor, i,, ib, i, son las corrientes en cada una de las fases tanto de estator como de rotor y np es el número de pares de polos.
2.2.3 Teoría del marco de referencia
Como pudo observarse en la sección anterior, el modelo matemático del M.I. es muy complicado (debido al número de ecuaciones y a la dependencia de éstas con el tiempo), para reducir la complejidad de estas ecuaciones frecuentemente se utiliza un cambio de variables que resulta en un modelo matemático similar pero con un número menor de ecuaciones. Existen diferentes cambios de variables que están contenidos en una transformación general que refiere las variables de la máquina a un marco de referencia el cuál gira a una velocidad angular arbitraria. Todas las transformaciones reales son obtenidas de esta transformación general simplemente asignando la velocidad de rotación del marco de referencia.
CAPITULO I I METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
Un cambio de variables, el cuál formula una transformación de elementos de circuitos trifásicos estacionarios o variables a un marco de referencia arbitrario puede ser expresado por [Krause,95]: 'I
1
(2.24)
donde f : representa a cualquier sistema trifásico de variables eléctricas (voltajes, corrientes, pares, etc.,) defasadas 120" eléctricos entre si,
ab& sistema de variables originales, qdO: sistema de variables resultantes.
(2.25)
(2.26)
donde: 5 es una variable auxiliar de integración, 0 es un desplazamiento angular de las variables nuevas del marco de referencia arbitrario, o es la velocidad angular del marco de referencia arbitrario.
I1 La transformación inversa es:
(K$)-' =
' I COS e sin 0
(2.27)
CONTROL DE MOTORES DE lNDUCCl6N UTILIZANDO LA TECNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
2.2.4 Modelo equivalente bifasico
Considerando las suposiciones acerca de los devanados del estator y del rotor (simétricos, balanceados y senoidalmente distribuidos) es posible encontrar un conjunto equivalente de devanados que produzca efectos eléctricos y magnéticos equivalentes en el M.I. Se ha encontrado que dos devanados equivalentes en el estator y dos en el rotor son suficientes para representar a una máquina trifásica, por lo que es posible obtener una representación equivalente con un número menor de ecuaciones, y en consecuencia, se hace más sencillo el análisis matemático [Krause,95]. Si se parte del modelo trifásico del Motor de Inducción, el modelo equivalente de dos fases se obtiene aplicando la transformación de Blondel [Méndez,Ol], [Ortega,98]:
(2.28)
Es importante observar que la transformación anterior es equivalente a la transformación general utilizando argumentos de proyección de variables.
El modelo resultante es conocido como ap y su característica principal es que las variables equivalentes tienen un defasamiento de 90" eléctricos entre si y están referidas a su parte correspondiente (estator o rotor), esto es, los ejes del estator tienen una posición fija mientras que aquellos correspondientes al rotor están girando a la velocidad angular eléctrica del rotor. Las matrices anteriormente descritas (ecuaciones 2.19 y 2.20), toman la siguiente forma al aplicarles la transformación de Blondel:
r
R.=[ RJZ 1, Me=[O,], J=[ o - 1 ]=-.IT, R A I O
con:
(2.29)
(2.30)
(2.3 I )
donde, como fue definido anteriormente: L,, L,, I,, > O son las inductancias de estator, rotor y la inductancia mutua respectivamente, R,, R, > O son las resistencias de estator y rotor respectivamente. I2 es una matriz identidad de 2x2, J es una matriz antisimétrica, eJnPq" es una matriz de rotación y Me es la matriz de entrada.
. . i
I i ._. 20
'1
CAPITULO I1 METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION.
En la literatura existente sobre los M.1. existen algunas repbesentaciones que utilizan parámetros equivalentes a los aquí mostrados [Krause,95][Shi,97], entre los más comunes se encuentran los siguientes, con su respectiva correspondencia a los parámetros de este trabajo [Guerrero,OO]:
L, = Lis + 312 L,,, L, = Li, + 3/2L,,, I,, = 3/2L,,, L,, = L,, = I,, (2.32)
li Para obtener el modelo matemático del M.I. tenemos:
'!
los términos disipativos toman la forma:
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
El Lagrangian0 del sistema completo es:
' T 1 ' 2 (2.37) L = ,q,D,(q,h. + ,q,D,(q,,) L L
Planteando la ecuación de Euler - Lagrange, sin tomar el efecto de perturbaciones (de la ecuación 2.13) resulta la siguiente expresión:
, . en donde por facilidad de aquí en adelante se omiten los argumentos. El subindice e,m indica que la ecuación se debe resolver tanto para las coordenadas generalizadas de la parte eléctrica, como de la parte mecánica. 11
Resolviendo la ecuación (2.38) para cada una de las coordenadas generalizadas, obtenemos el modelo completo para un M.I. en su representación bifásica:
I1 21
c 7 '< ! I3rT
CONTROL DE MOTORES DE iNDUCCl6N UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDlSElvO DE LYAPUNOV
con:
(2.39) (2.40)
(2.41)
(2.42)
donde todos los parárnetros fueron descritos anteriormente (ecuaciones. 2.29, 2.30 y 2.3 I ) , además D, es la inercia rotacional del rotor, R, es el coeficiente de fricción viscosa de la flecha del rotor, TL es el par de carga que es aplicado a la flecha del motor y iem es el par electromagnético generado por el M.I.
2.3 Simulaciones
Para la simulación del sistema se obtuvo la representación en espacio de estado del modelo matemático del M.I. obtenido anteriormente (ecuaciones 2.39, 2.40), donde se considera tanto la parte eléctrica como la parte mecánica.
La forma general de la representación en espacio de estado es la siguiente:
x = f(x, t) + g(x, t)u (2.43)
Para este trabajo la representación en espacio de estado que se obtuvo es:
q = -D-'[WTq]+ M,u + k (2.44)
en donde:
D = diag{D,,D,,} (2.45)
q = [ q T . qmr =[q: q: q,], (2.46)
(2.47)
CAPITULO I1 METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
- Conversidn de
(2.48)
Corrientes de estator Eleclriw
con W definida por la ecuación (2.42), D, es la inercia rotacional del rotor, R, es el coeficiente de fricción viscosa del rotor y donde k es un vector donde aparece el par de carga aplicado al M.I., esto es: II
k = [ O O O O - q I T (2.49)
Todas las simulaciones realizadas en este trabajo, fueron hechas utilizando la función S [apéndice A], que es una herramienta de Simulink de Matlab. La siguiente figura, describe en que forma se hizo la simulación utilizando la función S de Simulink de Matlab:
- ; (Transfomaci6n de Parelectmmagné Par electromagnétiw
Par de carga
Figura 2.2. Diagrama de flujo de datos para el programa de simulación del M.1
Subsistema Mednicn
IB Con la finalidad de hacer comparaciones para poder validar el desempeño de este
modelo, los resultados fueron comparados con los esquemas de simulación propuestos en I .-[ Ong,98] y 2.- [ Krause,95 1.
: !
Posici6n de la flecha del rotor Velocidad de la Recha del rotor
1.- Los parámetros físicos de una máquina trifásica de ‘1 1 hp, 60 Hz y alimentada con 200 V son [Ong,98]: li
!I
CONTROL DE MOTORES DE INDUCCldN UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
Tabla 2.2 Parámetros de un M.I. de I hp
Parámetro Resistencias de estator Resistencias de rotor Inductancia de estator Inductancia de rotor Inductancia mutua Coeficiente de fricción
Valor 3.35 ohms 1.99 ohms 252.535 mH 252.535 mH 245.595 mH O
viscosa Inercia del rotor No. de pares de polos Carga
Los resultados de simulación utilizando el modelo obtenido en este trabajo, para la máquina de 1 hp son los siguientes:
0.1 Kg m2 4 O
I I . . . . . . . . .
. . . . . . . .
Figura 2.3 a) Corrientes de los devanados de estator, b) Corrientes de los devanados de rotor
24
CAPITULO I1
Y.I<iCld.d
Parámetro Resistencias de estator Resistencias de rotor Inductancia de estator Inductancia de rotor Inductancia mutua Coeficiente de fricción
METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION
I j P., ~lDcl lDm.Dl l icO nme,.m
Valor '1
0.435 ohms 0.816 ohms 105.965 mH 105.965 mH 103.965 mH O 11
o 0.2 0.4 0.e 0.8 1.2 I
viscosa Inercia del rotor No. de pares de polos Carga
Figura 2.4 a)Veiocidad, b) Par electromagnético generado I
il 0.089 Kg mz I) 4 O
2.- Los parámetros fisicos de una máquina trifásica de 3 hp, 60 Hz y alimentada con 220 V son los siguientes [Krause,95]:
1: Parámetros para un M.I. de 3 hp. Tabla 2.3
Los resultados de simulación para el motor de 3 hp, utilizando el modelo obtenido
I/ en este trabajo, son los siguientes: I
. . . . . . . . ..... ............ ...... .... ..... -- . ___ - - - -. -
. . 1.0 . . . . . . . . . , . , , , . , . , , , , . , , . , , , , , . . , , . , 120. .... J ...... : .................... L ..... 1 ...... : ..... : ...... :...~.- , , . . , . , . , , , . , . . , . , , . . , , . , , . , , , , . . , , . , , , , . , , , .
, , , , . , , E ,o0 ...... ...... ~ .......... ...I ...... ..... > ...... % ............. L ...... . . . . . . . . . , < < . , . , . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
. ~ : ...... : ...... : ..... : ...... ; ..... : ...... : ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
................ ; ..... i ...... L ...... : ...... ~ ...... , , . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.............. ..: ..... : ...... 1 ..... : ...... : ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... I : : : : : : 1 ......,..... ,......I. ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . ; , : ; : : , . , . , . . . . . . . . . , . . , , . . , . , , , , . , . , . , , , , . , . , ,
-20
Figura 2.5 a) Corrientes de los devanados de estator, b) Corrientes de los devanados de rotor
$00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , . , , , , , , , , , 1~ ................................ ~ ......,.. ....
...... j ...... i ..... j ...... i ......
í ................. ~ ...... L ..... ; ...... ; ..!.I ...... : ...... !. .... .:. .... .:. .... .:. ... ~:.. ... .:. ... .:...... ; ...... , . . , . < . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! " " " '
j ; : j . , w ! .... 1.: ...... I ............. I ...... : ...... ; ...... ; ............. c ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , , , , , , , . ,
.... ...... ...... ; ..... ...... ..... i ...... : ...... ..... : . ~ .... : ...... : ...... ; .... ~2 ...... ; ..... : ...... ; ......
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20 +. . : ...... : .................... 1 ..... : ...... : ..... : ...... : ......
,o ., ......................... : ...... : ..... 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ : ............. : ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , . , . , , , , ,
I : : : : : : : : ~
O ' , o 0.m s.7 0.15 0.2 0.15 o3 0.15 0.4 O.<$ 0.6
a) b)
Figura 2.6 a) Velocidad, 'b) Par electromagnético generado
Como se esperaría en un ensayo experimental de un M.I., los resultados de simulación, tanto del motor de 1 hp como del motor de 3 hp, muestran que:
1,
Cuando un M.I. es arrancado con la tensión nominal aplicada a las terminales del estator, desarrollará un par de arranque que determinará un aumento de velocidad. Cuando la velocidad aumenta desde el reposo, su deslizamiento disminuirá y su par aumentará hasta aquel valor de deslizamiento en que se desarrolla el par máximo, esto determina que la velocidad aumente aún más reduciendo el deslizamiento y el par desarrollado por el motor
26
CAPITULO I1 METODOS DE MODELADO DEL MOTOR DE INDUCCION '1
. Tabla 2.4 Comparación de resultados contra el esquema propuesto por Corriente de rítator Corriente de Par Par electromagnético a l arranque estator en estado olectromngnética en estado ertacionsrio .
estacionario máximo Ong 21 Amp. 1.8 Amp. 18Nm. O Tesis 22 Amp. 1.5 Amp. 20 Nm. O !,
'Ong981 Velocidad en estado rstncionsrio 1800 revlmin. I800 revlmin.
Cabe hacer la aclaración que los valores obtenidos con el esquema de simulación utilizado en esta tesis y los esquemas contra los que se comparó, a pesar de que los parámetros de los M.I. son similares, no arrojaron los mismos resultados. Esto puede tener varias razones: Los métodos de integración, el tamaño de los pasos de integración, el programa utilizado para hacer las simulaciones, etc., además de que los modelos matemáticos utilizados no son iguales. Sin embargo, el ''objetivo de hacer estas comparaciones no era el de establecer una correspondencia eiacta entre los diferentes esquemas comparados, sino simplemente mostrar que estos resultados son similares a los resultados obtenidos por otros autores.
Kraus Tesis
Corriente de estater Corriente de Par Par electromagnético Velocidad en SI arranque Citator en estado eIectrOmagn~tlCO en estado estacionario estado
85 Amp. 8.3 Amp. 120Nm. O 1800 revlmin. 90 Amp. 7.5 Amp. 135 Nm. O 1800 revlmin.
estacionario máximo LltPCiO"ari0
Capítulo I11
ANÁLISIS, MODELADO Y SIMULACI~N DEL SISTEMA MOTOR-CARGA EN LAZO ABIERTO
En este capitulo, siguiendo el método de modelado basado en la formulación de Euler-Lagrange, se obtiene el modelo completo del sistema motor - carga, además se simula la operación del sistema resultante en lazo abierto.
3.1 Modelo del sistema completo motor de inducción - robot
El sistema a modelar es un robot rígido accionado directamente por M.1 en cada una de sus uniones, el esquema básico se muestra en la siguiente figura:
Figura 3-1 Robot rigido giratorio accionado por motores de inducción, caso particular de 2 grados de libertad.
28
CAPITULO 111 ANALISIS, MODELADO Y SUMULAC16N DEL SISTEMA MOTOR - CARGA EN LAZO ABIERTO
Como se vió en el capítulo anterior, e l punto de inicio de esta metodología es la definición de las funciones de energía del sistema, por lo tanto, la co-energía cinética del sistema completo es:
T '=Tik+Ti,+TcL, k = l , . , . ,n (3.1) IB
definiendo: il
Tek*: es la co-energía cinética de la parte eléctrica del k-ésimo motor, Tm:: es la co-energía cinética de la parte niecinica del k-ésimo motor, Tr': es la co-energía cinética del robot, I1
con Dek las matrices de inductancias (ecuación 2.29) y Dmk las 1:inercias de los rotores de cada uno de los motores, siendo este valor un escalar; cabe hacer la aclaración de que para el desarrollo del modelo completo del sistema se utilizará el modelo a dos fases del M.1 que fué obtenido en el capítulo anterior (sección 2.2.4).
li. Para el caso particular descrito en la figura 3.1, un robot planar de dos grados de
libertad, son necesarios dos motores de inducción que son acoplados directamente a cada una de las uniones del robot. Para este trabajo en particular, también se considera que el robot se mueve en un plano horizontal. Los parámetros fisicos necesarios para describir al robot rígido giratorio son los siguientes: 11, 12 son los momentos de inercia de los eslabones 1 y 2 respectivamente, 11 y 12 son las longitudes de los eslabon&, la posición angular del lazo 1 I con respecto del eje horizontal es qml y la del eslabón 2 con respecto al eslabón 1 es qm2. Se supone que las masas ml y m2 de los eslabones están concentradas en sus respectivos centros de gravedad I C ] y 1,2. Se considera la energía cinética total del robot (T,*) debida a los movimientos traslacionales (T,,*) y rotyionales Las coordenadas y velocidades (traslacionales) de los centros de gravedad de los eslabones son [Spong,89]:
(T,,*).
derivando, para obtener las expresiones para las velocidades' * I!
-- ' - - - - -- - . - .- - . -- _ - ~ ~ ~
.- . . ._ .
CONTROL DE MOTORES DE INDUCC16N UTILIZANDO LA TeCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
de donde se obtiene: 1,
2 2 ' 2 VI = x; +y; = I,,q,, (3.10)
que se usan para determinar la co-energía cinética traslacional dada por:
1 2 1 2 * - -mlvI +-m2v2 2 T " - 2 (3.12)
y ya que la co-energía cinética debida al movimiento rotacional (usando como referencia la coordenada x) es [Spong,89]:
(3.13)
sustituyendo vt2 y v; en (3.12) y sumando esta nueva expresión a (3.13), la energía cinética total del robot, para el caso particular de 2 grados de libertad, es:
ya que para este trabajo se considera que el sistema se mueve en un plano horizontal, la energía potencial del sistema V = O
Ahora, para el sistema completo que considera el robot rígido y los motores de inducción, se obtiene el Lagrangiano, que es determinado por la diferencia de la co-energía cinética y la energía potencial, L = T*-V. Ya que en este caso en particular se hace la consideración de que el sistema se mueve en un piano horizontal, la energía potencial del sistema es igual a cero, por lo tanto el Lagrangiano es igual a la co-energía cinética total del sistema:
CAPITULO 111 ANALISIS, MODELADO Y SUMULACIÓN DEL SISTEMA MOTOR- CARGA EN LAZO ABIERTO
li . donde los subíndices 1 y 2 indican que el término corresponde a la unión del motor 1 con el eslabón I , o a la unión del motor 2 con el eslabón 2 respectivamente.
El siguiente paso para obtener las ecuaciones diferenciales que describen al sistema es plantear la ecuación de Euler - Lagrange para posteriormente resolverla para cada una de las coordenadas generalizadas. Recordando, las coordenadas generalizadas son para el
I subsistema eléctrico las cargas eléctricas y para el subsistema ''mecánico las posiciones angulares de los eslabones del robot. Las ecuaciones a resolver para la parte eléctrica son las siguientes (es decir la ecuación Euler - Lagrange, que viene de la ecuación 2.13, sin perturbaciones externas):
- - -- aL + d F , , = M , u , " ( dt ai,, as,, a%,
Para la ecuación (3.16) se tiene:
il
!i
R Las fuerzas de disipación de Rayleigh correspondientes son:
1 ' 2 Fel( ieJ = p , R , ,
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
31 I
ie
CONTROL DE MOTORES D E lNDüCCi6N UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDlSEfiO DE LYAPUNOV
para ecuación (3.17), se tiene: ~
- = O aL a q e 2
Las fuerzas de disipación de Rayleigh correspondientes son:
Las ecuaciones a resolver para la parte mecánica son:
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
con respecto a las coordenadas generalizadas correspondientes a la parte mecánica. Para la ecuación (3.22) se tiene:
i C4PITULO 111 ,ANALISIS, MODELADO > * Y SUMULACI6N DEL SISTEMA MOTOR- CARCA EN LAZO ABIERTO
(3.24)
1 Las fuerzas de disipación de Rayleigh para la parte mecanica son:
(3.25) ! para la ecuación (3.23) se tiene:
Las fuerzas de disipación de Rayleigh son: I (3.26)
(3.27)
Las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico del sistema completo son:
(3.28)
(3.29)
CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIÓN UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
Para una mejor visualización y por facilidad para la simulación, se arregla el grupo de ecuaciones anteriores en forma matricial, además, también se separan los subsistemas eléctrico y mecánico.
Para el subsistema eléctrico se obtiene:
en donde
Y
(3.32)
(3.33)
(3.34)
Para el subsistema mecánico, ecuaciones (3.30) y (3.31), se observa que aparecen 2 tipos de términos relacionados con las coordenadas generalizadas correspondientes a la parte mecánica. segunda derivada de las coordenadas generalizadas. El segundo tipo incluye términos cuadráticos de las primeras derivadas de las coordenadas generalizadas. Éstos últimos también se pueden clasificar en dos tipos: aquellos que incluyen un producto del tipo qf son llamados centrífugos, mientras que aquellos que envuelven un producto del tipo q,q, donde i # j , son llamados términos de Coriolis [Spong,89].
El primer tipo incluye la
1
cuenta los tipos de términos descritos anteriormente se obtiene: Arreglando las ecuaciones (3.30) y (3.31) de una manera matricial y tomando en
m l ~ ~ l + m2(1: + 1: + ~ ~ , I , , c o s ( ~ , ~ ) ) + I, + 1, m2(1t2 + ~,l,,cos(q,;))+ 1, m$:2 + ~,~,2c0s(qrn2,)+ I2 m2c2 + '2
CAPITULO 111 I ANALISIS, MODELADO Y SUMULACIÓN DEL SISTEMA MOTOR - CARGA EN LAZO ABIERTO
‘I - m2~,~,2sin(q,2)~,2 - m2~142~in(q,2)(qml + q,2> qmi m2~142~i~(%2)qml O ][q,2]+[R;’ Ry[qj=[::::] 1 (3.35)
En forma abreviada, la ecuación del subsistema eléctrico (ecuación 3.32) puede ser expresada de la siguiente forma: ,I
D,q, + WR,q, = M,u lii
(3.36)
en donde D,=diag {Dei,Dcd, q, = [q:, q:2r, W=diag{Wi q m I 1 W ,\2qm2 ’ 1, %=diag{Rei,Red Y Me = [ M ~ I Mez IT
La ecuación del sistema mecánico que combina tanto la parte mecánica de los motores, como la dinámica del robot (ecuación 3.39, también es posible expresarla de una manera abreviada como sigue: ‘I Mi, +Cq, = T,, (3.37)
(3.40) if L
además q, = [q,, generados por los M.I.
qm2T y T~ = [ ~ ~ ~ l 7,,,,2IT el vector de pares electromagnéticos I/
II
El modelo completo para el sistema motor de inducción - robot rígido está definido por las ecuaciones (3.36) y (3.37). Cuando este grupo de ecuaciones describe a un sistema del cual todos sus parámetros son conocidos, se dice que son las ecuaciones del sistema nominal. IY
El modelo obtenido correspondiente a la parte del subsistema mecánico tiene ciertas propiedades muy interesantes y que son muy útiles para el diseño del sistema de control, estas características son las siguientes [Spong,89], [Bekkouche,98]:
I1
CORTROL DE MOTORES DE INDUCCldN UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
Propiedad I.- La matriz de inercias M es simétrica y positiva definida.
Propiedud 2.- Hay una entrada de control independiente para cada grado de libertad (rigidez). Propiedud 3.- Definiendo la matriz:
A(qmiim)= M(qrn)-2C(qm3im) (3.41)
Entonces A es antisimétrica.
Propiedad 4.- Todos los parámetros constantes tales como las masas, momentos de inercia, aparecen como coeficientes de funciones conocidas de las coordenadas generalizadas, Definiendo cada coeficiente como un parámetro diferente, una relación lineal resulta, de manera que se puede rescribir la ecuación dinámica como
I E R""' es una matriz llamada el regresor, y 0 es un vector de
parámetros.
Las propiedades 3 y 4 mostradas, como se verá más adelante, son de gran utilidad para el diseño del controlador. !
3.2 Simulación del sistema
I Los parámetros de simulación fueron similares a los que utilizó [Bekkouche,98],
siendo la diferencia principal de que en el presente trabajo no se tomó en cuenta los efectos de la fricción. Los parámetros son los siguientes:
Para la combinación de las dinámicas del motor y robot (ecuación 3.37): I
20.5 + 1 1.4cos(qm2) 3.8+5.7cos(qm2) M = [ 3.8 O 0.03
3.8 + 5.7cos(qm,)
donde 02 es una matriz de ceros de 2x2, que, de acuerdo a la ecuación (3.39) corresponde a los valores de los coeficientes de fricción viscosa de los motores. Cabe aclarar que los
CAPITULO 111 ANALISIS. MODELADO Y SUMULACl6N DELSISTEMA MOTOR- CARGA EN LAZO AUIERTO
II valores mostrados anteriormente, son resultado de combinaciones entre los diferentes parámetros del robot, a saber, masas, centros de gravedad, longitudes e inercias. ..
Tabla 3.1
Los parárnetros de los motores que accionan a este robot de dos grados de libertad se muestran en la tabla 3.1.
Parámetros de los motores de inducción que accionan al roboi rígido giratorio de dos grados IP de libertad.
La siguiente figura, describe como se hizo la simulación en Simulink de Matlab, utilizando la función S.
iñ .___________________..~~.~........~...... Funcibn S Salida
a graficar j Robot rígido giratorio de 2 grados de libertad j ! accionado directamente por M.I.
!
Subsistema Subsistema Corrientes de estatar Eleclrico Corrientes da rotor motor 1 motor 2
Pares electromagnéticos electromagnético j Motores 1 y 2
generado
Subsistema mecánico P0SiCiO"eS combinado j , Velocidades
!.......................................
Figura 3.2 Diagrama a de flujo de datos del programa de simulación para el robot rígido de dos grados de libertad accionado directamente por M.I. '1
Las simulaciones fueron realizadas tomando al sistema en lazo abierto, es decir, si se hiciera experimentalmente sería 10 siguiente: Ya que el robot está en lazo abierto, se espera que los motores al arrancar, se comporten como lo harían con cualquier carga
I?
37
I!
CONTROL DE MOTORES DE iNDUCCi6N UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
acoplada. Esto es, los eslabones del robot comenzarían a girar en su respectivo eje, sin seguir ninguna trayectoria, las señales internas generadas por el motor no distarían mucho de lo que se observaría si se tuviera una carga constante. Cabe hacer la aclaración, que debido a la configuración del sjstema, el motor 1, carga una masa mayor que la del motor I . Esto debido a que el motor 1 carga con los dos eslabones del robot, así como con el segundo motor. Los resultados de simulación son los siguientes:
Figura 3.3 a) Corrientes de los devanados estator del motor I b) Corrientes de los devanados de rotor del motor i
Figura 3.4 a) Velocidad de/ motor 1 b) Par electromagnético generado por motor I
CAPITULO 111 ANALISIS, MODELADO Y SUMULACIÓN DEL SISTEMA MOTOR - CARGA EN LAZO ABIERTO I1
Figura 3.5 a) Corrientes de los devanados de estator del motor 2 b) Corrientes de los devanados de rotor del motor 2
"ll0rld.d moto1 2 P., . I . ~ l r o m ~ p n b l l o r n O l O l 2 I--
j 1 120 +-----. -_
1 0 0 . ' ....... : . . ~ . ~ . ~ . . I ........ j .........: .... .... I . . . ~ .,.. j ......... E z . l l o . ...... : . . . ~~~ . . . : ......... ~ ........ 2 .... ~.~.. : ..... ~ ; .........
__.i--
o Y
, . , . , I
. . , . . ~~~ . : .,....... : ,....... . ,, .i , . . <
, . . , . .- . , - , : " . . .!
o 2 1 5 B I 0 2 I 4 5 6 I m m p o s*g.
Figura 3.6 a) Velocidad motor 2 b) Par electromagnético generado por el motor 2
I1 En la literatura consultada, no existen resultados sobre el comportamiento de un
robot rígido giratorio de dos grados de libertad en lazo abierto, en general, la información
ii
. . .~. . - . ~~- . - - ~
.&...
CONTROI. DE MOTORES DE iNDUCCi6N UTILIZANDO LA TECNICA DE REDISEM0 DE LYAI’UNOV
que más frecuentemente se encuentra es aquella en la que diferentes técnicas de control son aplicadas al robot rígido giratorio.
I
De los resultados que se obtienen en las simulaciones se pueden hacer los siguientes comentarios:
Todas las señales, tanto de corrientes como de velocidades y pares electromagnéticos generados, se encuentran dentro de los limites fisicos reales que pueden soportar un M.I. con las características descritas en la tabla 3. I .
Los robots que utilizan el tipo de configuración “Scara”, como el que se está usando en este trabajo, generalmente son diseñados para funcionar a velocidades bajas. Para poder simular esta característica en lazo abierto, se modificó la frecuencia de los voltajes de alimentación, de sus valores nbrmales en las líneas comerciales de 60 Hz , a valores de frecuencia más bajos (aproximadamente 0.5 Hz), por lo tanto, los motores están funcionando a una velocidad de aproximadamente 1.6 radkeg. (gráficas 3.2a y 3.4a).
Debido a la configuración del robot, el motor 1, (figura 3.l), debe de mover una masa mayor, que incluye a los dos eslabones del robot y además al segundo M.I., por lo tanto, debe generar un par elect/-omagnético mayor, de manera que pueda producir la fuerza necesaria para mover al robot, en cambio el motor 2, al no tener que mover igual cantidad de masa, debe producir un par electromagnético menor al del motor 1 , este comportamiento se puede observar al comparar las figuras 3.2b y 3.4b; el par electromagnético generado por el primer motor es de alrededor de 50 Nm mientras que el par electromagnético generado por el segundo motor, es de alrededor de 20 Nm.
Por todo lo anteriormente expuesto, concluimos que el modelo obtenido utilizando la técnica de modelado Euler - Lagrange es correcto y describe el comportamiento dinámico real de un robot rígido giratorio accionado directamente por M.I.
. . ! Capítulo
CONTROL D ~ L MOTOR DE INDUCCI~N BASADO EN PASIVIDAD
En este capítulo se describe el control del M.I. basado en pasividad, utilizando el modelo obtenido por medio de la formulación de Euler-Lagrange. Aunque este desarrollo ya ha sido realizado [Espinosa,93], su estudio es necesario debido a que es la base para el diseño del controlador robusto que es propuesto para este trabajo de tesis.
i /I
4.1 Introducción
Los sistemas pasivos son una clase de sistemas dinámicos en los cuales la energía intercambiada con el ambiente juega un rol central, en los sistemas pasivos no se puede almacenar más energía de la que es suministrada desde e l exterior, la diferencia entre la energía suministrada y la almacenada es la energía disipada. De la definición anterior es claro que la interpretación de pasividad está íntimamente relacionada con la física del sistema, en particular con sus propiedades de estabilidad. De hecho, viendo una interconexión de retroalimentación como un proceso de intercambio de energía, se verifica que la propiedad de pasividad es invariante bajo la retroalimentación negativa. En otras palabras, la conexión en retroaiimentación de dos sistemas pasivos, es todavía pasiva. Si todo el balance de energía del sistema es positivo, en el sentido de que la energía generada por uno de los subsistemas es disipada por e l otro, e l lazo cerrado será estable.
Un sistema Euler-Lag(ange con Q = O (es decir, un sistema en el cuál las perturbaciones externas no se consideran), define un operador pasivo c: u -+ MTq con una función del almacenamiento total de la energía del sistema H(q,q)= T(q,q)+ V(q), donde T es la energía cinética del sistema y V es la energía potencial. Esto es [Ortega,98]:
41
iii CONTROL DE MOTORES DE iNDUCCi6N UTILIZANDO LA TECNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
para toda T > O y para toda u E Lye., donde .I ‘,,T indica el producto interno truncado, el término a la derecha en la ecuación (4.i), representa la energía allmacenada por el sistema durante un tiempo T. 11
Esta propiedad de pasividad de los sistemas EL puede ser establecida tomando la derivada en el tiempo del Lagrangiano, donde por simplicidad se han omitido los argumentos ‘Y
dt
y usando las ecuaciones EL se obtiene:
‘L - (6L) -Q, - 6q dt 6q
aF . con Q =-=(q)+Q, + M u , aq
(4.2)
(4.3a) I/ en donde Qs es una señal externa que modela el efecto de perturbaciones [Ortega,98]. De tal manera que (4.2) se puede rescribir como:
I1 T 6L dq d 6L . .’ q- q Q ,
dt 6q dt dt 6q (4.4)
1 reordenando los términos anteriores y utilizando (4.3a) se obtiene:
o[ dt (yq 6q - .] = qT( M” - as) (4.5) 11 Ahora, se puede notar que el término entre paréntesis en el lado izquierdo de la
ecuación (4.5) coincide con la energía total del sistema, la cuál será denotada por H(q,q) [Drazin,92] [Nijmeijer,90], esto es: II
T (“tq)) q-L(q,q)=T(q,q)+V(q)=H(q,q) (4.6)
I 42
CAPITULO IV CONTROL DEL hlOTOR DE INDUCCION IMSADO EN PASIVIDAD
integrando la expresión desde O a T se establece la ecuación clave de balance de energía:
\ 'W+ suministrada I disipada energia x a c e n a d a
Obsérvese que ya que V(q) está acotada por debajo por c, y T(q,q)> O, se tiene que H(q,q) 2 c. Finalmente, la función de disipación de Rayleigii satisface:
. T 6F. q 7 q > o 6q
de tal manera que (4.1) se cumple.
'1 4.2 Planteamiento del problema
El problema de control se puede describir de la siguiente manera: Se desea que el M.I. siga a una referencia de posición y Lelocidad, teniendo acoplada una carga (brazo de robot) a su eje del rotor, estas trayectorias son impuestas por una trayectoria deseada en el robot.
Considérese a la posiclón de referencia como una función suave y acotada con primera, segunda y tercera derivadas acotadas y conocidas, y la norma deseada para el flujo del rotor como la constante 9 > O. Bajo estas condiciones se diseñará una ley de control que asegure la estabilidad interna, lei seguimiento a la posición y velocidad de referencia y la regulación de la norma del flujo del rotor; con todas las señales uniformemente acotadas. Es decir, que el sistema en lazo'cerrado satisfaga:
iim (e - ercl) = o, iim (o - oref) = O, iim 11 / / = 9 (4.8)
' ,
,+- I+- I+-
I donde 11. j/ es la norma Euclidiana, 0 y eref son la posición real y la posición de referencia respectivamente, o y oref son la velocidad real y la velocidad de referencia respectivamente, 1, es el flujo magnético en el rotor y 9 es el valor constante máximo que puede alcanzar el flujo del rotor.
1
COlrTROL DE MOTOHES DE INDUCCIÓN UTILIZANDO LA TÉCNICA DE HEDISEÑO DE LYAPUNOV
I/ 4.3 Diseño del controlador nominal
Para esta etapa se hacen las siguientes consideraciones:
- Los parámetros del sistema son completamente conocidos - El estado completo está disponible para medición.
El procedimiento de diseño es el siguiente:
Primero se aplica la técnica de moldeo de energía al subsistema eléctrico de tal manera que se preserven sus propiedades de pasividad y considerando al subsistema mecánico como una perturbación pasiva, de tal manera que el sistema pueda ser descrito como en el siguiente diagrama a bloques:
li ii
11
11. * qsi ~"'~q,,
. s
" Subsistema Mecánico
Fig. 4.1 Diagrama a bloques del sistema pasivo
lb Ya que el objetivo es que el M.I. sigua una trayectoria tanto de posición como de velocidad, es necesario que el motor genere un par electromagnético tal que este seguimiento pueda ser ejecutado, a este par le llamaremos par electromagnético deseado Td. Para producir este par electromagnético deseado, primero es necesario cumplir con la condición de que el flujo generado por el motor sea igual al flujo deseado, una vez cumplida esta condición es posible manipular las corrientes, $or lo tanto, es necesario encontrar las señales tanto de flujo como de corriente deseadas que permitirán al M.I. el seguimiento de las trayectorias establecidas.
1 .
r i 4.3.1
a). Flujos deseados
Mediante un grupo polifásico de devanados desplazados en el espacio sobre el inducido, se produce un campo magnético giratorio resultante y constante que gira a la velocidad de sincronismo, si las corrientes que circulan por los "devanados también están
Diseño de las señales deseadas
I)
CAPITULO IV I CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCION BASADO EN PASIVIDAD
defasadas temporalmente. En el caso de un M.I. trifásico se tienen 3 devanados idénticos defasados en el estator en 120" eléctricos por los que circulan corrientes también defasadas 120" en el tiempo, de tal manera que los flujos magnéticos producidos tanto en los devanados de estator como en los del rotor estarán defasados 120" en el tiempo. AI aplicar la transformación de 3 a 2 fases al modelo trifásico del M.I., se obtiene una representación tal, que ahora !se considera que el M.1. está formado por dos devanados equivalentes idénticos en el estator defasados en 90"; de la misma manera en el rotor se generan dos devanados equivalentes y similares a los del estator, defasados de igual manera en 90". De esta forma, ahora los flujos magnéticos generados en estos devanados de rotor tendrán formas de onda senoidales defasadas entre si por 90".
I .
Debido a las características de funcionamiento del M.I., estos flujos no siempre se comportan como se espera, para que esto no afecte los objetivos de control se utiliza la técnica del moldeo de energía para hacer que los flujos se comporten de una manera deseada. i Los vectores de los flujos deseados para los rotores están definidos por:
(4.9)
donde Qk es la amplitud máxima del flujo para el k-ésimo rotor y pkd es ia posición angular deseada del vector de flujo del k-ésimo rotor.
La notación utilizada e+ la siguiente: El primer subíndice, ya sea r Ó s, indica si el parámetro corresponde al rotor o al estator respectivamente. El segundo subíndice indica a que motor se refiere el parámetro, por ejemplo en la ecuación (4.9) indica que se refiere al k-ésimo motor. El tercer subindice "d", indica que se,está refiriendo a una variable deseada. Finalmente, el cuarto subíndice indica a cuál de las dos fases ya sea del estator o del rotor se refiere la variable. !
., 8,
Para obtener Pkd, se tiene la siguiente representación polar de los flujos del rotor:
Fig. 4.2 Representación polar de los flujos del rotor
De la representación polar se tiene
pkd =arc tan - (:::o: 1 (4.10)
II CONTROL DE MOTORES DE lNDUCCl6N UTILIZANDO LA TECNICA DE REDISER0 DE LVAPUNO\'
' 2 y además kkd = .Ih,,,, + Lykd2 (4.1 I ) '1 También será necesario derivar pkd para las ecuaciones de ¡os flujos deseados
pkd = dt [ arc tan( k)]
donde J = [ o - 1 1. I O
li (4.12)
El vector de flujos está relacionado con el vector de corrientes mediante la siguiente expresión (ecuación (2.16) capítulo 11):
(4.13) !I 'kd = Dek(q)qkd
en donde hkd es un vector de flujos deseados de los devanados de estator y rotor, Dek es la matriz de inductancias del k-ésimo motor y qkd es el vector de corrientes deseadas de los devanados de estator y rotor, de tal manera que la expresión anterior es una expresión matricial formada por 4 ecuaciones, dos para el estator y dos para el rotor.
li
Ya que en este trabajo se utiliza un M.1. tipo jaula de ardilla, se tiene que el rotor está formado de varillas de cobre que están cortocircuitadas entr; si, de tal manera que los voltajes en el rotor son iguales a cero. Por lo anterior, la tercera y cuarta ecuación escritas en forma vectorial, (ecuaciones de voltajes en los devanados del rotor) en (4.13) están dadas por:
(4.14) 1
'Ad + R r k q r k d = o I
i
Ij
Despejando la derivada del flujo del rotor de (4.14)
Arkd = -R rk 4 rkd (4.15)
(4.16)
y considerando la siguiente igualdad:
T = hiJqrk
para este caso, ya que se tienen valores de flujo y corriente deseados, la expresión anterior sera equivalente a la del par deseado Tkd para el k-ésiino motor. Sustituyendo (4.15) y I\
CAPITULO IV CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCION BASADO EN PASIVIDAI)
(4.16) en (4.12), podemos encontrar la expresión de la derivada de Pkd en función del par deseado:
(4.17)
I También podemos encontrar una expresión de h,,,ien función del par deseado, para esto, derivando la ecuación (4.b):
sustituyendo (4.17) en (4.18) se obtiene:
(4. 18)
(4.19)
Para asegurar un defasamiento de 90" entre los flujos generados en los devanados del rotor, se consideran las siguientes condiciones iniciales:
I
h,,,(O) = 9 ; k,kd2(0) = O , siendo 9 = Ilkrkd[ = 2 Wb , la amplitud maxima
Desarrollando (4.13) obtenemos las ecuaciones separadas para los flujos de rotor y estator
i
(4.20)
donde: 'rkd = ['rkdi 'rkd,lT 9 qrkd = [qrkdi qrLd2lT>
q,, = [qrkdl valor maximo de la inductancia mutua respectivamente y
q,d2]T, Lrk, L,k, Irrk son las matrices de inductancia del estator, rotor, y el
k-ésimo motor, que fué definida'en la ecuación (2.31) del capítulo I1 sección 2.2.4.
CONTROL DE MOTORES DE lKDUCCl6N UTILIZANDO LATÉCKICA DE REDISENO DE LYAPUKOV
I ' b). Corrientes deseadas
Ya que se tienen las expresiones para el flujo de rotor deseadas, el siguiente paso ahora, es obtener las ecuaciones para los vectores de corrientes deseadas de los motores.
1 Despejando el término de la corriente deseada de rotor en (4.15) y sustituyendo el
término equivalente a h,, de la ecuación (4.19), las corrientes deseadas del rotor son:
It (4.21)
sustituyendo la ecuación anterior (4.21) en la ecuación del flujo del rotor (segunda ecuación de 4.20) y despejando el término correspondiente a las corrientes deseadas del estator se tiene:
con 12 una matriz identidad de 2x2.
(4.22)
1 1
Ya teniendo las expresiones para ...s flujos y cori.-ntes deseadas, proponemos ahora, la dinámica deseada para el subsistema eléctrico (de la ecuación 2.39, capitulo 11, sección 2.2.4):
Dekqekd ' wkirnk4ekd +Rekqcl:d = Mekukd I/ (4.23)
;
La metodología de moldeo de energía debe usar una representación que posea la propiedad de antisimetría. ~ Ésta es.de mucha utilidad'en el análisis de estabilidad de Lyapunov; para poder obtener esta propiedad se suma una matriz Zk(q,mk,q,mk) a la matriz
%k, quedando de la siguiente manera [Espinosa,94]: W k ( q m k k m k . Para que este cambio no afecte a la ecuación, se '1 resta el mismo término a
A:
(4.24)
con k = l,..,n.
Considerando la modificación anterior, la dinámica deseada para el subsistema eléctrico, es decir, la dinámica en donde todas las variables alcarizan sus valores deseados, tiene la forma: ;y
14
CAPITULO IV CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCION BASADO EN PASIVIDAD
(4.25)
En la ecuación anterior (4.25) se puede observar que también es necesario obtener la derivada de las corrientes deseadas, esto se logra derivando las ecuaciones (4.21) y (4.22), quedando de la siguiente manera:
i
(4.26)
(4.28)
Los desarrollos anteriores fueron hechos con el afán de dar un enfoque general al diseño del controlador, esto es, cuando se tuviera el caso de n grados de libertad. Sin embargo, los siguientes desarrollos se acotan para el caso,particular descrito en la figura 3.1, del capítulo 111, un robot rigido de dos grados de libertad. La dinámica deseada para este caso es entonces:
O (4.29)
~
en donde D,], De2 son las matrices de inductancia de los motores 1 y 2 respectivamente; Re, y R,2 son las matrices de resistencias del motor 1 y 2 respectivamente y
" T "T r, [qdl q e d 2 r = b T l d q T l d q s 2 d 1 q d d
La expresión anterior :(ecuación 4.29) se puede descomponer en las partes correspondientes al estator y al rotor, para cada uno de los motores, quedando de la siguiente manera: , ,
49
CONTROL DE MOTORES DE INDUCCldN UTILIZANDO LA TÉCNICA D E REDISENO DE LYAPUNOV
Para el motor 1 :
(4.30)
Para el motor 2:
li Jq "
Lr2;ir2d + ' ~ 2 ~ -'qr2d + 1m2JeJqm*qm2qr2d + Rs2qr2d = "2d
(4.31)
Irr2e-Jqm2qr2d + LDqr2d - I,2Je-Jqmzqm2qr2d + R,,q,, = O
ii en donde u1,2des el vector de señales de voltaje deseadas.
Estas expresiones están en términos de señales deseadas, tanto corrientes como las derivadas de las mismas. Sustituyendo las expresiones equivalentes para las matrices de inductancias, las matrices de términos disipativos, además de las expresiones correspondientes a las corrientes y sus derivadas (ecuaciones 4.21i 4.22,4.26, 4.27, 428) en (4.30) y (4.31) se obtienen las señales de los voltajes deseados para cada uno de los devanados del estator, para el motor 1 :
(4.32)
y para el motor 2:
(4.33)
I CAPITULO I\' CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCION BASADO EN PASIVIDAD
En la siguiente secciónj se probará que, utilizando las señales de voltaje deseadas que se diseñaron anteriormente (ecuaciones 4.32, 4.33, 4.34 y 4.35) se logra el seguimiento de las trayectorias establecidas, además de que se logra una convergencia del error a cero.
I 4
4.4 Análisis de estabilidad
El diseño del controlador se basa en el método de Lyapunov [Clay,71], [Slotine,91], [Perko,91 J, por lo que es necesario encontrar las ecuaciones de error de las variables que se desean controlar, este error generalmente se encuentra restando (para el subsistema eléctrico) a la ecuación original del sistema (ecuación 3.32, capítulo I11 sección 3.1), la ecuación de la dinámica deseada (4.29):
de tal manera que se definen los [errores como:
I/ CONTROL DE MOTORES DE lNDlJCCl6N UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISEÑO DE LYAPUNOV
(4.37)
se tiene ahora la siguiente expresión en función de los errores
(4.38)
11 . si se logra que la dinámica del error sea igual a cero, esto significa que el objetivo dc control se ha cumplido, por lo tanto se tiene lo siguiente:
Se sabe que la segunda y cuarta ecuación es satisfecha por la selección de los valores deseados. Ahora, si se elige u1 = U l d y u2 = U2d la expresión (4.38) se reduce a
de tal manera que las señales de control u1.2 para ambos motores, serán iguales a las señales de voltajes deseadas diseñadas en las ecuaciones (4.32, 4.33, 4.34, 4.35). Para probar la convergencia del error a cero, se utilizará el análisis de estabilidad de Lyapunov.
r
4.4.1 Análisis de estabilidad del subsistema eléctrico
Teniendo en cuenta la expresión para la dinámica del error (ecuación 4.40), se tiene la dificultad que la matriz [Espinosa,94] I!
Re, - Z, (4.41) 4
es de signo indefinido. sistema sea dada por:
Para superar esta dificultad, se propone que la entrada u del
' !I (4.42)
CAPITULO IV CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCION BASADO EN PASIVIDAD
con rei y Tez matrices de ganancias definidas positivas, con valor a definir. Si se extrae energía del sistema original, esto hace que la convergencia a cero se vea acelerada, Tei,2 pueden ser interpretados como términos que inyectan amortiguamiento extra al sistema, de manera que se acelere su convergencia a cero [Shaft,Ol].
Esta nueva ley de contr91 produce que la ecuación del error sea ahora:
0 ]+[R., -0' +K1 O I}[::] = o (4.43) [O' u,][ ::I+{[ "0 z1 w, +z, Re, -z1 + K ,
donde K I = diag { ref, O} y K2 / diag { re2, O}.
[Canudas93]: Se propone como fuhción candidata de Lyapunov [Ortega98], [Seleme99],
1 1 Ve = -eTD,e 2
1 (4.44)
con D, = [De' o 1, Del y DcZ son la matrices de inductancia de los motores (como fue
definido en ecuación 2.29, calítulo I1 sección 2.2.4), eT = [elT e2'IT y en donde el subindice e es utilizado para especificar que se trata del subsistema eléctrico.
0 De,
La primera condición que establece el análisis de estabilidad de Lyapunov es que la función candidata de Lyapunoy sea definida positiva, esta condición se cumple, ya que la matrices de inductancias son definidas positivas.
Para la segunda condi'ión de Lyapunov, se obtiene la derivada de la función candidata:
1 V, = eTD,e + -eTD,e 2 I (4.45)
I sustituyendo Dee (despejado de 4.43) en (4.45)
(4.46) 1 V, = e'[- C,e - (Re + K)e]+ -e?D,e 2 l !
O O ] y K =[: :z] donde KI=diag [""o Re, + Z, con C, =
~
{re], O} y K2=diag {Tez, O}; (&1,2 + 21,2) y (Rel,i - Zi,-J, fueron definidos en la ecuación (4.24). ii.
I
53 i
CONTROL DE MOTORES DE iNDUCCi6N UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
Agrupando el primer y tercer elementos de (4.46)
Ve = eT(D, - 2C,)r - (Re + K)e IB (4.47)
Debido a la propiedad de antisimetría im uesta al subsistema eléctrico, la expresión (De - 2C,) es antisimétrica, esto es eT(D, - 2C,$ = O . Por lo tanto la ecuación se reduce a:
I!
Ve = -e'(R, + K)e (4.48)
1 La derivada de la función candidata de Lyapunov debe cumplir con la restricción de
que tiene que ser definida negativa, por lo tanto para que esta condición se cumpla (Re + K) debe ser definida positiva:
utilizando las siguientes propiedades de rnatrices[Grossrnan,99]:
11 se puede encontrar una expresión equivalente para (4.49)
r
(4.50)
Ahora es necesario encontrar las condiciones que aseguren la positividad de estas Ya que éstas son idénticas, se usará el subíndice 1,2 para indicar que las matrices.
condiciones siguientes se cumplen'de igual manera para ambas matrices:
considerando que J conmuta con e-Jqm y J2 = -12, la ecuación (4.53) se reduce a:
(4.53)
(4.54)
la primera condición se cumple (ecuación 4.52) , ya que al ser Rr1,2 el valor de las resistencias de los devanados del rotor, su valor es siempre positivo y mayor a cero. Para hacer válida la segunda condición, se reduce (4.54) a la siguiente expresión:
rei,2 = __ 12qml.2 , donde O < E < Rr1,2
I 2
(4.55) Lsr1,2 ’ 2
4 E I
con la expresiones anteriores se asegura que cumpla con la positividad de la matriz Re + K, de tal manera que se cumpla; con la segunda condición del análisis de estabilidad de Lyapunov, que la derivada de la función de Lyapunov sea definida negativa.
4.4.2 Análisis de estahidad del subsistema mecánico 1
Este desarrollo se hace con la finalidad de obtener el par deseado Td, para lo cuál se
(4.56) I ’
(4.57)
(4.59)
i define [Slotine,91]:
Error de seguimiento de posición: qm = q, - qmd Error de seguimiento de velocidad: 9, = q, - qmd Velocidad de referencia: i r = q m d -rqqm (4.58) Error combinado de seguimiento: s = q m -qr , s =q, -9 ,
- . .. i
Los términos definidos interiormente son obtenidos utilizando el método de Slotine. y Li [Slotine,91] [Spong,96]. kl vector de velocidades de referencia q,, (formado por el cambio de las velocidades deseadas qmd de acuerdo al error de posición q,), simplemente representa una manipulación nolacional la cual permite trasladar propiedades relacionadas a la energía (expresadas en términos del vector de velocidades en la unión) a propiedades de control de trayectorias (expresadas en términos de la vector de error de velocidad virtual s). El vector s da información acerca de la convergencia y acotamiento de q, y q,,, , ya que la definición de s (4.59) también puede ser vista como una ecuación diferencial estable de primer orden en q,, con s como una entrada. Asumiendo condiciones iniciales acotadas, mostrando acotamiento de s taJbién se muestra el acotamiento de Qrn y i, , y por lo tanto
'1
CONTROL DE MOTORES DE INDUCC16N UTILIZANDO LA TÉChlCA DE REDISENO DE LYAPUNOV
I/ de qm y q,. hacen los vectores qm y q m .
Similarmente, si s tiende a O mientras t tiende al infinito, así también IO - Como se vió anteriormente, para que el motor cumpla con los objetivos de control,
es decir, el seguimiento de las trayectorias de posición y de velokdad, es necesario que se genere un par electromagnético deseado. De manera similar al caso del subsistema eléctrico, se va a definir la dinámica deseada para el subsistema mecánico de la siguiente manera:
Mq, + cq, = Td (4.60)
en donde q, = [qr, vector de velocidades de referencia y T~ es el par deseado. ecuaciones (3.38) y (3.39) respectivamente, capitulo 111, sección 3.1.
qr2r, es el vector de aceleraciones de referencia, q, = [q,, qr2r es el M y C fueron definidas en las
li Restando al subsistema mecánico original (ecuación 3.37) la expresión del
subsistema mecánico de referencia (ecuación 4.60):
Mq, - Mqr + Cqm - Cq, = xd -[Mi, + Cqr] I/ (4.61)
donde:q, = [qm, qm2Y son los vectores de aceleración y velocidad reales. Agrupando, para que la ecuación esté en función del error combinado de seguimiento s (ecuación 4.59), se obtiene:
q,,,r, q, = [q,,
Ms+Cs = xd -[Mi, +Cq,] 11 (4.62)
En los siguientes desarrollos se prueba la convergencia del error a cero, para el La función subsistema mecánico, para esto, se propone utilizar la técnica de Lyapunov.
candidata de Lyapunov propuesta es [Spong,89] [Slotine,91]:
1 V, =-sTMs, 2
(4.63)
en donde el subíndice m indica que se refiere a la parte mecánica. La primera, condición que establece el análisis de Lyapunov, a saber, que la función candidata sea definida positiva, se cumple. Esto de acuerdo a la propiedad 1 del modelo del subsistema mecánico, vista en el capítulo 111. Para la probar la segunda condición se obtiene la derivada de la función candidata:
1 ' 2
V," = s'MS + -sTMs (4.64) IU
sustituyendo MS (despejada de 4.62) en (4.64)
CAPITULO IV CONTROLDELMOTOR DE INDUCCION BASADO E N PASIVIDAD
T,, - Mq, - Cq,= - r, s,
V, = s'[T, - Mq, - Cqr - 2
(4.67)
(4.65)
Despejando Td de ia ecuación (4.67), se obtiene el par deseado Td del M.I. que es necesario para las ecuaciones del controlador:
Td -r,S + M i , + cq, ' i (4.69)
también es necesario obtener la derivada del par deseado, quedando de la siguiente manera: I
id = -rsi + Mq, + Mq, + Cq, + bq, (4.70)
Para concluir con el diseño del controlador basado en pasividad, se puede decir que si se utilizan las señales de U d que fueron diseñadas en este apartado para alimentar al M.I., así como de la señal del par deseado Td, se asegura un seguimiento de las señales de referencia (posición, velocidad),:así como una convergencia de los errores a cero.
:I 4.5 Simulación del sisteira en lazo cerrado
!
El esquema propuesto para el control basado en pasividad se muestra en el siguiente diagrama a bloques (figura 4.3): 11 I
'I
CONTROL DE MOTORES DE iNDUCCi6N UTILIZANDO LA TECNiCA DE REDISEÑO DE LYAPUNOV w Voitajes
Corrientes d e estator
d e estator reales deseadas
I1
Figura 4.3 Diagrama a bloques del flujo de datos para el controlador basado en pasividad para el robot rígido giratorio accionado por motores de inducci6n
1 Los parámetros del robot y de los motores son los utilizados en el capítulo 3 sección
3.2 [Bekkouche,98], para una mayor facilidad en la lectura, se volverán a mostrar estos parámetros: i,
Para la combinación de las dinámicas.de1 motor y robot:
20.5+11.4cos(q,) 3.8+5.7cos(qm2) 0.03 O 11 h4=[ 3.8+5.7cos(q,,) 3.8 ]+[ O o . o ~ ]
Los parámetros de los motores que accionan a este robot de dos grados de libertad se muestran en la tabla 4.1. II
Tabla 4.1 Parámetros de los motores de inducción que accionan al robot rigido giratorio de libertad.
de dos grados
..... ................... . . . . . . . . . - *", , ._ ~
CAPITULO IV , CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCION BASADO EN PASIVIDAD
I La trayectoria que se desea que el robot siga es la siguiente (figura 4.4):
qmd =sin(i -e-5tT)t (4.71)
Figura 4.4 Trayectoria de posicion deseada
Cabe recordar, que aparte de la expresión de la posición deseada, también fue necesario encontrar las expresiones para las primera, segunda y tercera derivada de la posición deseada, estas señales son mostradas en la figura 4.5.
Derkadir ds 18 posicion de rslsisnsis
............................... , . . , . , , . .
___, ......,.. .... 1 ....... , . .
, . , . . , . . . . .
Tiempo SBB.
Figura 4.5 Primera, segunda y tercera derivadas de la posición deseada
I Para mostrar el desempeño del controlador nominal basado en pasividad, se consideró más conveniente mostrar los errores de seguimiento de las trayectorias de posición y velocidad que debía seguir el robot, los resultados son los siguientes:
I1 CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIÓN UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISER0 DE LYAPUNOV
Figura 4.6 a) Error de seguimiento de posición del motor 1 b) Error de seguimiento de velocidad del motor 1
P
Figura 4.7 a) Error de seguimiento de posición del motor 2 b) Error de seguimiento de velocidad del motor 2
li Como se puede observar en las gráficas anteriores, ai inicio el error es grande, para
después ir disminuyendo y llegar a un valor final muy cercano'; cero, en un tiempo de alrededor de 4 seg. y manteniéndose en esta vecindad.
I CAPITULO IV CONTROL DEL MOTOR DE INDUCCION BASADO EN PASIVIDAD
a)
Es importante resaltar] como se ve en las siguientes gráficas, que todas las señales internas de voltajes, corrientes y pares generados, se encuentran acotados dentro de los límites fisicos de'la máquina, (.que es uno de los objetivos del controlador.
1
b)
Figura 4.9 a) Voltajes de alimentación para el motor 1 b) Par electromagnético generado por el motor I I
61
CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIÓN UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
o I 2 1 , I e 7 1 e 40 T e m p <‘D.
a)
Figura 4.10 a) Corrientes de los devanados de estator motor 2 b) Corrientes de los devanados de rotor motor 2
Figura 4.11 a) Voltajes de alimentación para el motor 2 b) Par electromagnético generado por el motor 2
I/ En las gráficas se puede observar lo siguiente: Tanto las señales de voltaje de alimentación, corrientes en los devanados de estator y rotor y el par electromagnético generado son de mayor magnitud en e l motor 1 que en el motor 2, esto ya que, como se vi6 en el capítulo anterior, el motor 1 tiene que mover una masa mayor, es decir la masa total del robot y además la masa del segundo motor. Como sucede con u n motor real, las corrientes del estator (figuras 4.8a y 4.10a), tienen una magnitud y frecuencia mayores que las corrientes que se generan en el rotor. Debido a que en el arranque el par inercia1 de la carga es muy grande, todas las señales (voltaje, corrientes y , par) tienen valores muy elevados, de manera que el motor pueda generar un par electromagnético suficiente para vencer a este par, además, este esfuerzo se requiere para que el motor “alcance” a las señales de posición y velocidad de referencia.
capítulo^
CONTROL ROBUSTO DE MOTORES DE INDUCCI~N ÜTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISEÑO~ DE LYAPUNOV
En este capítulo, siguiLndo la técnica basada en" pasividad desarrollada en el capítulo IV y asumiendo que uba ley de control nominal, diseñada con el conocimiento de los parámetros de la planta, asegura una estabilidad exponencial del sistema en lazo cerrado en la ausencia de incertidumbre paramétrica (como fué demostrado al utilizar el análisis de estabilidad de Lyapunov), se uJa la técnica de rediseño de Lyapunov para diseñar una señal' de realimentación adicional que es agregada a la señal de control nominal para garantizar estabilidad ante la presencia de incertidumbres.
Esta nueva ley de contrdl es robusta ante incertidumbres tanto en los parámetros del motor de inducción (valores de kistencia en los devanados de estator y rotor), así como en los parámetros del manipulador!(masa, inercia y longitud).
método de Lyapunov fue introducido originalmente como una herramienta de análisis, en la a'tualidad muchas técnicas de diseño de sistemas de control están basadas en el hecho de que la derivada de la función candidata de Lyapunov tenga ciertas propiedades que aseguren el acotamiento de trayectorias y convergencia a un punto de equilibrio. La técnica de rediseño de Lyapunov usa una función del sistema nominal para diseñar una componente ad'icional de control para robustecer el diseño ante cierta clase de incertidumbres que satisfagan ciertas condiciones, como se verá más adelante
Conviene resaltar que c/n otros esquemas de control robusto, sólo se tratan las incertidumbres en las resistencias de rotor, en este trabajo, además de considerar la incertidumbre en los parámetrds del subsistema eléctrico (valores de resistencia de los devanados de estator y rotorj, también se toma en cuenta la incertidumbre en los parámetros de la carga mecánica.
I
Aunque el
I
I I, - , .. 63 !
CONTROL I>E MOTORES DE lNDllCCl6N UTILIZANDO I.,\ TÉCNICA DE REDISER0 DE LYAPUNOV
5.1 Técnica de Rediseño de Lyapunov
Un modelo nominal del sistema puede ser tomado como:
(5.1) [ X = f(t,X)+ G(t,x)u
donde x E R" es el vector de estado y u E RPes vector de entradas de control. El término de "nominal" proviene del hecho de que todos los parámetros del sistema son conocidos, es decir no existe incertidumbre alguna en el modelo del sistema (Como en el caso tratado en el capitulo IV).
Diseñando u n controlador de retroalimentación de estados usando el método de Lyapunov, se obtiene una ley de cÓntrol u = y(t, x) de manera que el origen del sistema nominal en lazo cerrado: I
. I ) b lo
I
x =f(t,x)+G(t,x)y(t,x) (5.2)
sea uniformemente asintóticamente estable. También se conoce una función de Lyapunov para (5.1), esto es, se tiene una función continuamente diferenciable V(t, x) que satisface las siguientes desigualdades:
I/
av av at ax
.I - [f(t, x) + G(t, x)w(t, x)] 5 - a ~ ( ~ ~ x ~ ~ ) M Para todo (t,x) E [O,co) x D , donde ai, a2 y a3 son funciones de clase k. Una función de clase k es una función continua a : [O,a) -+ [O,oo), estrictamente creciente, con a(O)=O. [Khali1,96]. If
Si ahora consideramos al sistema [Khali1,96]
X = f ( t , x ) + G ( t , ~ ) [ ~ - I -~(~,x ,u)] \ ( 5 . 5 )
donde x E R" es el vector de*estado y u E RP es el vector de entradas de control. Las funciones f, G, y 6 están definidas para (t,x,u) E [O,m) x D x R P , donde D c R" es un dominio que contiene el origen. Se asume que f, G, y 6 son funciones continuas en t y localmente Lipschitz en x y u tal que con algún control u = y(t,x) , que es continuo en trozos en t y localmente Lipschitz en x, el sistema en lazo cerrado tendrá solución única en todo (to,xo) E [O,m).
11
CAPITULO V CONTROL ROBUSTO DE MOTORES DE INDVCCldN UTILIZANDO LA TECNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
Las funciones f y G se conocen en forma precisa, mientras que 6 es una función desconocida que agrupa varios términos inciertos debidos a la simplificación del modelo, incertidumbre en los parámehos y otros. El término incierto satisface una propiedad estructural importante, a saber1 entra a la ecuación de estado exactamente en el punto donde la variable de control entra, por lo que es siempre posible contrarrestar su efecto. Esta propiedad se denomina “matcking condition” .
I
Asumiendo que con u = y(t,x) + v, el término incierto 6 satisface la siguiente desigualdad
II w, x, w(t, x) + v) I/< P(t> x) + k//vl; (5.6)
es una perturbación del sistema derivada en el tiempo de V(t,x):
donde p : [O,m)x D + R es unh función continua no negativa que indica el tamaño de la incertidumbre. Para este tradajo kllvll = O, esto debido a que éste término se usa para modelar incertidumbres que s8n descritas por funciones. En nuestro caso, solo estamos interesados en incertidumbres !que son descritas por constantes. El estimado anterior (ecuación 5.6) es la única información necesaria para conocer el término incierto 6. Es importante enfatizar que no Je requiere que p sea pequeña, solo se requiere que sea conocida. Conociendo la función de Lyapunov V (ecuaciones 4.44 para el subsistema mecánico y 4.63 para el subSistema mecánico) y la función pque será definida más adelante, se puede diseñar unalseñal de control v = w(t,x) tal que el control completo u = w(t,x) + q/(t,x) estabilice al sistema en presencia de incertidumbres.
Considerando ahora el !¡sterna de la ecuación (5.5) y aplicando el control U = y(t, X) + v. El sistema en lazo cerradd (figura 5.1):
nominal en lazo cerrado (ecuación 5.1). Si se obtiene la
CAPITULO V CONTROL ROBUSiO DE MOTORES DE INDUCC16N UTILIZANDO LA TECNICA DE REDISENO DELYAPUNOV I
T~~~~~~~ = -rss + ~ q , + cqr
La ecuación del error, gomo se vio en el capítulo anterior (ecuación 4.62), es:
(5.14)
MS +Cs = T~ -[Mq, +Cq,] I
Tnarninal = go + -rr,
II
(5.16)
(5.13)
Mq, + CG, = T , ~ ~ I (5.15)
(5.17)
es una matriz llamada regresor, kdemás: I
e,, = [m,i:, +m,i: + I , m2i:2 l rn2~l~c2r (5.19)
l es el vector de parámetros nominales. Este vector está formado por términos que son una combinación de los parámetrosl físicos del robot. Es importante notar que el obtener la
I[ CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIÓN UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISEÑO DE LYAPUNOV
parametrización lineal del modelo matemático del sistema es la base para poder utilizar la técnica de rediseño de Lyapunov. La parametrización tiene como objetivo el separar los términos que no tienen incertidumbre de aquellos que sí la tienen, de tal manera que éstos puedan ser tratados como el término incierto en la ecuación (5.5).
I1 Aprovechando la propiedad de la “matching condition”., es posible agregar una
componente de control extra x0 a la ley de control nominal para hacer frente a las incertidumbres paramétricas, de manera que la ley de control robusto queda de la siguiente forma: , . , .
‘,cal - ‘Tnminai + X O
1
ir .
- , !
(5.20) = go + yoeo, - rs + x o = go + yoeo, - rs + xo y00, = go + yoem + yo% - r, + x0
con x0 = Yow, , 8, el vector de parámetros reales y .?i, =Bo, -0, ; entonces, esta nueva ley de control tendrá la siguiente forma
: ,.
11
iB (5.21)
donde w, será diseñada utilizando el análisis de estabilidad de Lyapunov. Cabe aclarar que la diferencia entre 00, y 8, es que el primer término es un vector de parámetros que son considerados como completamente conocidos, es decir, enteste caso se considera el caso ideal del robot rígido, a diferencia de 8, que es un vector de parámetros inciertos como se consideraría en el caso de un robot real.
)I
5.3 Análisis de estabilidad del subsistema mecánico
Teniendo en cuenta ahora al sistema real (5.15), si selele resta y se le suma la ecuación mecánica de referencia (5.12), la ecuación del error tomando en cuenta el desarrollo (5.21) es :
Mq,-Mq,+Cq,-Cq,=‘~,~ , - [Mq,+Cq, l [, -
~i + cs = go + yoem + ~ ~ ( 0 , + W,J - rs -go - yoO,,
MS+Cs=Y0(0 ,+w, ) -~ , (5.22) 1 Se propone como función candidata de Lyapunov V, = -sTMs , en donde M es la
matriz que combina las matrices de inercias de la parte mecánica del mot0r.y la matriz de inercias del robot rígido giratorio, que además es definida positiva.
. , , ; 21 . .
68
I
CAPITULO V CONTROL ROBUS+O DE MOTORES DE INDUCCIÓN UTILIZANDO LA TECNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
1 ' 2
V, = sTMS + -sTMs
- V,,, =sT[y,,(e, + W , ) I - S ~ I - ~ S
Desarrollando la ecuación
Y, = STYoe, - STYOem +yaw,
(5.23)
(5.24)
(5.25)
(5.25):
- sTr,s (5.26)
- 1 1 V, = sTY(O, + w,) - sTrls - sTCs + -sTMs, agrupando los dos últimos términos de esta
expresión, se puede aplicar la b 2 ropiedad 2 del modelo del robot, como se vio en el capítulo 111, obteniéndose M - 2C = O, entonces:
I
Como se propuso anteriormente, se usará la norma cuadrada para resolver:
lPmll* 5 P m
de la expresión (5.25):
(5.27)
69 I .-
CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIÓN UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISEÑO DE LYAPUNOV I!
de donde se propone: (5 .28 )
I/ (5.29)
1 il ., . .
IP
la expresión anterior (5.29) tiene el inconveniente de ser una funcion discontinua. Para evitar este problema, se propone modificar la expresión para obtener una señal de compensación continua:
(5.30)
II ahora analizando el primer término de la ecuación (5.25) con law, propuesta en (5.30)
70
CAPITULO V CONTROL ROLIUSr DE MOTORES DE lNDUCCl6N UTILIZANDO LA TECNICA DE REDISEi4O DE LYAPUNO\'
5 E,"
de tal manera que se verifica
y t ) s -sTrss +'E,
que:
(5.31)
Por facilidad de lectura, control obtenidas en el diseño del
Para el motor I :
(5.32)
se volverá a escribir las expresiones de las señales de controlador nominal, éstas son:
cumpliéndose esta última condición se asegura que el sistema es estable. Ya que en el límite con E -f O se recupera el desempeño del controladorl;discontinuo, es deseable que el valor de E, sea muy pequeño en comparación con el valor de Ts, por lo que generalmente (5.33) se verifica. 1
I
Para el motor 2:
(5.34)
CONTROL DE MOTORES DE iNDUCCi6N UTILIZANDO LA TkCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
ij Jq .'
L $ 2 q r 2 d + Lsr2e "'qr2d + L r r 2 J e J q m 2 q m 2 q r 2 d + R ~ 2 q r 2 d = '2d
(5.35)
'r2d +Rr2qr2d = O
ii en donde UI,Zdes el vector de señales de voltaje deseadas.
Para el desarrollo del control robusto, las ecuaciones anteriores (5.34) y (5.35) pueden ser agrupadas y factorizadas como (de una manera general):
Ib
= g,, + BOkB,, , k = 1,. . .,n, I1
(5.36)
11 donde &Ok es un vector cuyos elementos son independientes de los parametros inciertos del k-ésimo motor, el subíndice e indica que se trata del subsistema eléctrico. El término de la izquierda en la igualdad (5.36) indica que la ecuación del controlador nominal se separa en una parte para el estator, y en otra parte para el rotor. Ya "que en este caso se está utilizando un M.1. tipo jaula de ardilla, las ecuaciones del rotor son iguales a cero.
Para el caso particular de este trabajo, en el que se ocupan dos M.I. tipo jaula de ardilla, el vector g,o y la matriz BO toman la siguiente forma:
(5.37)
I/ 12
CAPITULO V CONTROL ROBUS20 DE MOTORES DE iNDUCCl6N UTILIZANDO LA TECNICA LIE REDISENO DELYAPUNOV ,
O
O
I Bo _I O
O n
z .- Jh;,,
$1
O O
ii
...
(5.38)
es el regresor de la parte eléctrica, y 1
es un vector de parámetros quL son completamente conocidos, ya que corresponden al controlador nominal.
Como se hizo con la parte mecánica, es posible aprovechar la "matching condition" para agregar una componente e h a de control a la expresión del controlador nominal para hacer frente a la incertidumbre daramétrica. Para el sistema real, la ley de control debe de tener una señal adicional xeo = Bowe, para compensar la incertidumbre en los parámetros, por lo tanto, para este trabajo en particular, la ley de control robusta tiene la forma:
I 13
I
I/
CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIÓN UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISER0 DE LYAPUNOV
1
=g,+BoOd+Xso-KefB08, I1 -
= g, + BOO, + BOOe - Ke +Bow,
= g, +BOO, +Bo(@, + w e ) - Ke -
11 (5.40)
con ge = €Ioe - 8, y donde we será diseñada utilizando el análisis de estabilidad de Lyapunov. Como en el caso de la parte mecánica Oe0 se refiere a un vector de parámetros nominales, es decir, que son conocidos; en cambio, 8, es un vector de parámetros reales
I!
con incertidumbre. I/
li Análisis de estabilidad del subsistema eléctrico
11
5.5
La ecuación del error, tomando en cuenta al sistema real, la ley de control nominal y el término de amortiguamiento es:
I\ + + = M e U d - [Deqed + C c q c d + R e q e d ]
I1 = g, +BOB, + Bo(@, + w e ) - Ke - g, - BOO,
= Bo(8, + we)-Ke
- -
I/ (5.41)
o ] y K =[: donde K~=diag {rcl, O} y K2=diag {re,, O}; (Rc1,2+ [Re'OZ' R,,-Z, '&.2)y (Re,,?- ZI,~), fueron definidos en la ecuación (4.24).
I1 Considerando la función candidata de Lyapunov:
su derivada es:
1 ' 2
Ve = eTDee+-eTD,e
(5.42)
(5.43)
sustituyendo Dee (despejado de 5.41):
C.APITUL0 V CONTROL ROBUSTO DE hlOTORES DE iNi>UCCi6N UTII.IZANI~O 1.A TECiVlC,\ DE Ri:DiSi:ÑO DE I.Y,\PlINO\’
1 2
- V, = eTIBo(B, + we) - Ke - C,e - Reel + ~ eTDce (5.44)
agrupando
-.. V, =eT[B,(B, +w,)]-eT(R, +K)e+eT(De -2C,)r (5.45)
Debido a la propiedad de antisimetria im uesta al subsistema eléctrico, la expresión (De - 2C,) es antisimétrica, esto es eT(De - 2C,& = O. Por lo tanto la ecuación se reduce a :
V = eTIBo(B, + w,)J-eT(Re +K)e (5.46)
Desarrollando (5.46), se obtiene:
V = eTBoBo, + eTB,B, +eTB,wc - eT(R, + K)e (5.47)
comparando nuevamente con la ecuación (5.9), se observa que en la expresión anterior e l primer término corresponde a la aportación del sistema nominal, el segundo término corresponde al sistema real, es decir, a las incertidumbres, e l tercer término es la señal de compensación y finalmente e l cuarto término es un término que involucra la adición de un término de amortiguamiento.
L a segunda condición en e l análisis de estabilidad de Lyapunov. establece que la derivada de la función candidata de Lyapuiiov sea definida negativa. Para que este objetivo se alcance, e l primer término en (5.46) debe de ser cero, con esto y que se cumplan las condiciones de las desigualdades 4.52, 4.53, 4.54 y 4.55 se asegura la positividad de la matriz %+K de manera que la segunda condición del análisis de estabilidad es cumplida.
Como se propuso anteriormente, se usará la norma cuadrada para resolver:
(5.48)
Examinamos e l primer miembro de la derecha de la expresión (5.46):
(5.49)
basa siguiente forma:
en esta expresión, se propone una señal , rctroaliineiitación adicional w, de la
al igual que en la parte mecánica, la señal de compensación no es continua, por lo que se propone modificar su expresión para obtener una función de compensación continua:
ahora analizando el término eTB& + eT Bow, con la w, dada anteriormente (5.51):
CAPITULO V CONTROL ROBUSTO DE MOTORES DE INDUCCI6N UTILIZANDO LA TECNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
< E, (5.52)
de tal manera que se cumple que
Ve 5 -eT(R, + K)e +E, (5.53)
la expresión anterior se cumple siempre y cuando
eT(R, + K)e 2 E,, (5.54)
cumpliéndose esta última condición, se asegura que el sistema es estable. Ya que en el límite con &,-+O se recupera el desempeño del controlador discontinuo, es deseable que el v a l o r , d e ~ , sea muy pequeño en comparación con el valor de ( k + K ) , por lo que generalmente (5.54) se verifica.
5.6 Simulación del sistema
En la figura 5.2, se muestra el esquema propuesto para la implementación del controlador robusto.
Los parámetros del sistema son los siguientes [Spong,96]:
La combinación de parámetros fisicos nominales del robot es:
Tabla 5.1 Parámetros del robot
CONTROL DE MOTORES DE INDUCCI6N UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISEÑO DE LYAPUNOV
Modelo del controlador basado en pasividad
Subsisterna electriw
Vector independientes de 10s parametros r inderios ! r----l + A ! Veciorde
~ parametros j
j
Señal de ~ i .. compensación
Subsisterna rnecániw ................ .............................. Vector independientes i
i de los parhetros i inciertos ; Vector& i padmetros
j
i RegreSOr ; + j
i l l wm
Señal de compensaci6n
! .
Modelo del Sistema (con incedidumbre)
3.36 y 3.37
Y I Corrientes + Corrientes de estalor de estator deseadas reales
Trayectorias
de seguimiento
Trayectorias de referencia
Figura 5.2 Diagrama a bloques del flujo de datos para el esquema de control propuesto
en donde mi, m2 son las masas del eslabón 1 y 2 respectivamente, I I y 12 son las longitudes del eslabón 1 y 2 respectivamente y I,] y IC* son los centros de gravedad de los eslabones.
Los parámetros nominales de los motores que accionan a este robot de dos grados de libertad son se muestran en la tabla 5.2.
CAPITULO V CONTROL’ROÉU~ DE M h R E S DE INDUCCIIÓN UTILIZAMH) LA TECNICA DE REDISER0 DE LYAPUNOV
Parámetro Resistencias de estator Resistencias de rotor inductancia de estator Inductancia de rotor Inductancia mutua Coeficiente de fricción
Valor 0.687 ohms 0.842 ohms 84mH 81 mH 81 mH O
Viscosa inercia del rotor No. de pares de polos
La trayectoria de posición es la mismas que se utilizó en el controlador nominal (figura 4.4, ecuación 4.71 ).
Para comprobar el funcionamiento del controlador, se hicieron las siguientes pruebas, cabe aclarar que en cada una de las siguientes dficas se encuentran 4 diferentes señales, las cuales se identifican de la siguiente manera:
0.03 Kg mz 2
Incertidumbre de los parámetros de 25% Incertidumbre de los parámeiros de 50% Incertidumbre de los parámetros de 75% Incertidumbre de los parámetros de 100%
- - __ -
. - - > f
0 incertidumbre únicamente en los parámetros del robot
5 ) , -* t 1 -?, 2 : ‘l
Los parámeiros inciertos para el subsistema combinado robot-motor, son los mostrados en la tabla 5.1. Pam probar el funcionamiento del mtrolador, la primera prueba es la de variar en un intervaio de 25 a 100% los valores de los parsmetros del subsistema mecánico. Estas variaciones se hacen desde el inicio de la simulación, y variando todos los p&&os al mismo tiempo en una misma proporci6n hacia arriba. F’reviamente a esta prueba, se hicieron pruebas modificando en forma aleahria diferentes parámetros del sistema. Sin embargo, para mostrar el desempefío del controlador, se utilizaron 16s casos más demandantes, es decir, con una variación de todos los parámekos; tanto eléctricos como mecánicos. Los resultados obtenidos son los siguienh para esta prueba: -
CONTROL DE MOTORES DE INDUCCl6N UTILIZANDO LA "IkiUrCA . . DE REDISER0 . . DE LYAPUNOV .. ',.~ * .., . . . . I . . .. .1
Figura 5.3 a) Error de seguimiento de ladyectoria de posición del motor'i ' seguimiento de la trayecioria de velocidad del motor 1.
b) Error de
_7--
'!i < . . . . . . . . . . .. , : )", . . , . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . .
. . . . , . . , . . . . , , , . , . . . . . . .
. , , . . . , . . , , . . . . . . , o L . . > , > I . , < I 8 s 1 I "
i,.,"yo 'el . 2.v: a. i - 1 'I . .
T . L J3 ' b) .; I 0'. , , . i r ., ' a) FigurS 5.4 a) Error de seguimiento de la trayectoria de posici6n del motor 2
seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2 . b) Emor de
1 - r . , l * . , l . . li.. ' ,,
De las gráficas anteriores se puede ver que el valor de error tiende a una vecindad de cero, el efecto de las incertidumbres sólo es apreciable en el .valor del error al inicio de la
, . 1 l a .i*__ . . - .. , ..
i ; L ,. .* L. simulación. ,.: . 1. .A. ,. 11). i .-: I *
Incertidumbre . . únicamente . L en los parámetros de los motores ,~ , ,,, ~ , .I . .,
., .: . . c .<<. ..- La segunda pkeba para pkbarel funcionamiento del controlador, fue la de variar ahora
sóio .los pardmetros . , . .inciertos ,~ ~ del subsism-a eléctrico (valores de resistencia en . los devanad&. de estator . y ptor). ~1; Como & el caso &mior, I estos, pardmetros . fueron modificad& desde el.'principio ..:. l.. . I * de la 1 simulación ~. . .y todos en ,una misma proporción. Los resultados son los siguientes:
. -
CAPITULO V CONTROL ROBUSTO DE MMORES DE cNDUCCi6N uTILIzAM>o LA TECWCA DE REDISER0 DE LYAFTJNOV
Figura 5.5 a) Error de seguimiento de la trayectoria de posición del motor I seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1.
b) Ermr de
a) b)
Figora 5.6 a) Error de seguimiento de la üayectoria de posición del motor 2 seguimiento de fa trayectoria de velocidad del motor 2
b) Error de
. . . . .
Para este caso, se puede ver que los errores siguen'cer&os a la vecindad de cero. De las &ficas anteriores se concluye que el controiador no es sensible a variaciones en las incertidumbres en los . . valores de los padmetros eléctricas y mecánicos en forma separada.
El siguiente caso de simulación. es c&do existe una <ombmación" de I ., .. I
I I . I , ' , I . .,
, incertidumbres tanto de la parte eléctrica Como de la parte mecánica.
I .~. .. i . ' ' ""; <l. .. ! 'i ,. ., - 1 I . , 3 :; i.
81
CONTROL DE MMORES DE INDUCCIbN uTILIwNw> LA TÉCNICA DE REDISEA0 DE LYAPUNOV 1
incertidumbre tanto en los parámetros del robot como en los p h e t r o s de los motores.
En este caso de simdacib, la variación de los parámetros inciertos, tanto para la parte mecanica como para la parte eléctrica fue echa al mismo tiempo, desde el comienzo de la simulación. Los resuitados de simulaci6n son los siguientes:
Figura 5.7 a) Emr de seguimiento de La trayecmia de posici6n del motor 1 seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1.
b) Error de
I, Y? I l ( 0 i l d . Y "ljl0, : 'r; ; ~ ~ I . . . . . . ; : : . . . . . , . . , , . . . . . . . . . . , . , , . , , , I I .i .... ; ...... ; ...... i ...... ; ...... i ............. i .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . , , . . , , . , , ...... .... ...... :.. .~..: ...... ; ...... : ...... : . ~ .... : .... . . . . . . . . . , , . , , . , , . . . . . . . . . . . . , , . , . . ,
. . , I . . . . . . . . . . . . . . 0 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I . . , . . . . . . , , , . , , . . " "
. . . . . . I . . . , . . . . . , . . < . , . . ,
.n I .... ......
1111,,1 ,.* .. % > i . ~ , , 1 ! b 2 . I
. . , . .
b) Figura 5.8
. Se observa que ' h a combinación de las incertid&bm tanto en los parámetros del robot como en los parámetros del M.I. no afecta en gran manera el desempeño del controlador, ya que como se vio en los c~sos de simulación anterior, el error al inicio es elevado pero despueS va disminuyendo hasta llegar a m a vecindad de cero. Se puede hacer la observación siguiente: el motor 2 es menos sensible a las incertidumbres en los parámetros que el motor 1, esto puede deberse a que en motor 1 tiene que mover una inercia mayor que el 2. Con el objetivo de. mostrar que todas las señales internas se
a) Error de seguimiento de la trayectoria de pwici6n del mota 2 seguimiento de La trayectoria de velocidad del motor 2
b) Error de
5 3 h /,>I*
.........
CAPITULO V CONTROL ROBUSTO DE MOTORES DE INDUCCIÓN UTILIZANDO LA TECNICA DE REDISENO DELYAPUNOV '
mantienen acotadas, a continuación se muestran las señales de voltaje, corriente y par generadas por los M.I., estas gráficas corresponden al caso en que se simuló una incertidumbre del 25% de los parámetros, tanto de la parte mecánica como de la parte eléctrica.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ., ............
O I 2 3 d 5 6 7 E 9 I[ vo1131e volts
I , . . . . . . , . . <
......... ~ ...................
. . . .
, . , , . , . , , , , , . . . . . . . . .
-=ü 1 i 3 4 5 6 7 E 9 ID Tiempo $88.
Figura 5.9 a) Corrientes en los devanados de estator del motor 1 b) Corrientes de los devanados de rotor en el motor 1
Tiempo ssg
a)
Figura 5.10 a) Voltajes de alimentación para e l
P r riert!omsgnstiso generado malm I 91 ! ! ! ! ! ! ! ! ! - . . . . . . . . .
, . . , .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O 1 2 3 1 5 6 1 E 9 10
.I5
Tiompo 6eg.
b)
motor I b) Par electromagnético generado por el motor I .
83
CONTROL DE MOTORES DE iNDUCCi6N UTII.~ZANDO L A TDCNICA DE REDISEfiO DE I.YAPUNO\'
'I ,
, . I
I . . ........................... ............................
, I , . . . . . . . . . . . , < . . I , . .
.............................
. I . < . < . . < , . < ...........................
. . . . < < . .
. . . , . . , . . I , , < . . . . < . . < , . < I . .
...........................
O I 2 3 A 5 6 7 8 9 I[ 1 2 3 A 5 6 7 ñ 9 10 Tiempo ssg. Tismpo ( 8 8
a) b)
Figura 5.11 a) Corrientes de los devanados de estator del motor 2 b) Corrientes de los devanados de rotor del motor 2.
VoHajra de alirnsnlacion pais SI moloi 2 Par s18rlmmagnelim gmsisdo molor2
< . < < . , . . , . .
, I . < < . < . .
. . . . . .
. . . . , . I . _; ...... i ....... ; ...... ;... . . . . . . . . . I .
. . . . . . . . . , . .
. . . . . . . . . , . . , < .
o i 2 3 4 5 5 7 e 9 io % 1 2 3 4 5 5 7 e 9 i o Tiempo seg. Tiempo 'es.
a) b) Figura 5.12 a) Voltajes de alimentación del motor 2 b) Par electromagnético generado por el motor 2..
Como se puede observar de las figuras anteriores el comportamiento de estas señales sigue siendo semejante a los observados para el control nominal y para el sistema en lazo abierto, es decir: Las señales generadas por el motor 1 tienen una magnitud mayor que las generadas por el motor 2, esto debido, como ya se dijo anteriormente, a que el motor 1 debe mover una masa mayor que el motor 2. Como sucede con el funcionamiento normal de un M.I., las corrientes del rotor de ambos motores tienen una frecuencia y magnitud menores que las corrientes de los devanados de estator de sus respectivos motores. Para un análisis de los resultados obtenidos para el diseño del controlador robusto, en al capítulo VI se hace un análisis de los índices de desempeño, tanto del controlador nominal como del controlador robusto.
, c
Capítulo
ANALISIS
VI "I
DE RESULTADOS Y
En este capítulo se a n a l i i los resultados obtenidos en la simulaci6n de los controladores nominal y robusto estudiados, también se hace una comparación de los índices de desempeño de los controladores nominal y robusto, para finalizar el capítulo se tienen las conclusiones del trabajo.
. , ' I ' I /
6.1 Anhiisis del índice de desempeño
El índice de d-peAo se obtiene a partir de los errores de velocidad y posici6nn. cuanto menor índice de desempeño, es mejor el seguimiento a las referencias (posici6n y velocidad).
El índice de desempeño utilizado en este trabajo es el "índice de desempeño de la integral del producto del valor absoluto del error por el tiempo", conocido como ITAE por sus siglas en inglés, este índice se calcula de la siguiente manera [Ogata,93]:
ITAE = %t .le(t)ldt (6.1)
Estos índices son utilizados para evaluar, como su nombre lo indica el desempeño de las estructuras de control analizadas en este trabajo. A continuación se presentan los índices de desempeño para el controlador robusto, teniendo en cuenta los mismos casos que se vieron en el capítulo V, seccibn 5.6 y además que
I r incertidumbre de los parámetros de 25% - * Incertidumbre de los parámetros de 50% -
CONTROL DE MOTORES DE lNDUCCl6N UTILIZANDO LA TIkNlCA DE REQISaO DE LYAPUNOV
Incertidumbre de los parámetros de 75% Inceitidumbre de los parámehos de 100%
- - ?F ~
a
En este caso, se consider6 variación paramétrica únicamente en los parámetros del robot, (tabla 5.1 del capítulo V). Las variaciones se hicieron desde el comienzo de la simulación; variando todos los parámetm al mismo tiempo y en la misma proporción. Los resultados de simulación son los siguientes:
Incertidumbre únicamente en los parámetros del robot
, . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. , , , , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. * . ; , \ * : , , ; ~ . . . . .
a) . b) Figura 6.1 a) iTAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 1
seguimiento de la trayer ia de velocidad del motor 1. , b) ITAE de
. . . . - . - , 7 ’ . J .
. ’ P . . , ~ ‘ . 1 .. . ’,.; f~ , !p.’;<r 1 , > a .. ~, , , ~ . ’.. i i
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . , , . . . , . . . I . . . . . . . . . . . . . . . , . .
8 . n I . _ I i I 5 < I L / o . ? . 11,.11,,0 , .. . . “ . . . . ’ . , I
b) I I ’ a)
seguimiento de la trayeaoria de velooidad del motor 2 ., ’ ~* Fignra 6.2 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 2 b) ITAE de
.~ .I . , . ’
.., A . . WhWlQ Vi 'ANA~~SISDE RESULTADOS Y cDNCLÜSlOh'@% ' i .: , ' ?.. *
: Pais este caso, se observa que los índices de diiempeño no.vanán mucho de un CBSO a otro; es decir; el controlador no es sensible a las incertidumbres en los parsmetros del robot. I . . ' # .'I , .. J .;: . . * _ / . . '?-*
i .. " ' I , . J>>l>r ::.'.. L . . . . 6, .*
. incertidumbre únicamente en los p&r&tros de los motores . '.' . .
Para este caso de simulación, solamente se variaron los parámetros del subsistema eléctrico (valores de resistencia de los devanados de rotor y éstator). Las variaciones'se hicieron desde el inicio de la simulación, además de que todos estos parámetros se variaron ai mismo tiempo y en la misma proporción. Los resultados de la simulación son los siguientes: : , 'FJ ' .< 1 .... "* '._'I
..,, .' I n .- 1'.
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a) b)
Fiera 6.3 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de pocici6n del motor 1 seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 1.
b) iTAE de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . .
. . . . . ..................................... . . . . . .
. . . . . . . . .
" I , 1 . !. L I P u I S h m e l 'es
b)
Figura ó.4 a) iTAE de seguimiento de la trayectoria de posición del motor 2 seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2 ,
b) ITAE de ~ - I. r i t I
CONTROL DE MOWRPS DE INDüCCI6N UT- LA 7 " l C A DE REDISENO DE LYAPUNOV
Tal como se comentó en el capitulo anterior, es evidente que el controlador es más sensible a las variaciones,paraméir¡cas de la parte eléctrica, en las figurn. anteriores se observa más claramente como el indice de desempeflo es mejor cuando existen solo incertidumbres en los panúnetros del robot (figuras 6.1 y 6.2), y como disminuye cuando existe incertidumbres solo en los parámetms del subsistema eléctrico (figuras 6.3 y 6.4). I
. A;' I incertidumbre tanto en los parámetros del robot como en los pariunetrOs de ,los ,
. motores. i
~ ' 6 9 . ' 7 ' . A
Para este caso de simulación, se varían tanto los padmetros de la parte el6ctrica como de la parte mecánica. Como en los casos anteriores, estas variaciones se hacen desde el comienzo de la simulación, variando todos los parámetros al mismo tiempo y en una misma proporción. Los resultados de simulaci6n son los siguiente:
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Pigum a5 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de p i c i 6 n del motor I seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor I.
b) ITAE de
CAPÍTUU) VI ANALISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES
En las gráficas anteriores, se puede observar que los índices de desempeño tanto de posición como de velocidad del primer motor son peores que en todos los casos anteriores. Es decir, que una combinación de incertidumbres de la parte eléctrica y mechica afectan en un mayor grado el desempeño del controlador; pero por otro lado, se observa que los índices de desempeflo tanto de posición como de velocidad del segundo motor, no varían mucho de los resultados obtenidos cuando solo existe incertidumbre en los parámetros del M.I. Esto indica que para este motor el esfueno necesario para seguir las trayectorias, es menor, además de que el desempeño del controlador no es influenciado en gran manera por las incertidumbres. Todo esto se debe a que, el motor número uno tiene que mover una carga mayor que la del motor 2, lo que se traduce en un incremento de los errores de seguimiento de trayectorias.
Comparación de los índices de desempeño entre el controlador nominal y el mbusto.
Desaforiunadamente la literatura existente sobre controladores robustos basados en la tecnica de rediseño de Lyapunov es muy reducida. Para poder validar los resultados se van a comparar los controladores nominal y robusto. Para esto, se va a tomar en cuenta al sistema con una incertidumbre del 25 % tanto en los padmetros del subsistema mecánico como en los del subsistema eléctrico. A este sistema incierto se le va a aplicar el controlado; nominal y el mbusto. Los resultados obtenidos son los siguientes:
I . I , 1 ” dchde: desempeño del cbntrolador nominal - . I+
’ desempeflo del controlador robusto __ -*a * -
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seguimiento de la tray&&a de posición del motor 2 b) ITAE de
A
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a9
COIVIROL DE MOTORES DE INDUCCIÓN UTIUZANDO LA T&NlCA DE REMSmO DE LYAPUNOV
Figsun 6.8 . a) iTAE de seguirnimio de la trayectoria de velocidad del motM 1 b) ITAE de ' seguimiento de la trayectoria de velocidad del motor 2 ' r
I
* *
* De la figura 6.7 observamos que existe una marcada diferencia entre 'los desempeños del controlador nominal y robusto. El controlador tiene un desempeño loOO? mejor que el desempe4ío del controlador nominal, para el caso del motor 1. Para el caso del segundo motor, el desempeño del controlador robusto es mejor e i un 66% aproximadamente. Esto indica que el controlador robusto hace &nte a las variaciones paramétricas del sistema, y por io tanto, su desempeiío es mejor.
Para el caso mostrado en la figura 6.8, se observa que el desempeño de ambos conmladom es similar. De lo anterior, se concluye que el controlador robusto diseñado u t i l i d o la técnica de rediseño de Lyapunov cumple con el objetivo de hacer frente a las incertidumbres paramétricas del sistema estudiado.
Variaci6n de la velocidad de referencia
Con la finalidad de seguir revisando el comportamiento del controlador robusto, también se hicieron pruebas para observar el desempeflo del controlador ante variaciones en la velocidad de las señales de referencia (posicibn, velocidad). Se considera, al igual que en el caso anterior, que tanto el controlador nominal como el controlador robusto son aplicados a un sistema con incertidumbre paramétrica de 25%. Esta incertidumbre existe tanto en los parámetms de la parte m&ica, como en la paite eléctrica
Con: velocidad aumentada en un 10% - velocidad aumentada en un 20% - velocidad aumeniada en un 30% - velocidad aumentada en un 40% - velocidad aumentada en un 50% -
'1 * : ' . 1 Nominal: . : i . >
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En las siguientes gráficas, se muestian los resultados del índice de desempeño, al variar la velocidad de las señales de referencia que aiimentan al controlador nominal,
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liampo wu ' . UaPD o w
b)
&miento de la tniyedona de. posici6n del motor 2
, '. a)
GrMfa 6.9 .' a) ITAE de &imiwto de la trayectoria de posici6n del moior I b) ITAE de . . . _ _
Robusto: .... I : d
En las siguientes gráficas se muestran los índices de desempeño para el seguimiento de las &yectorias de posición de los dos motores, al:var¡ar la velocidad de las señales de referencia.
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iue dspmichn d.mn!Wl : ! : j j * . . . . . . . . . . . . .
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O - . l 2 3 b 5 6 7 0 9 10 umpo ssg
a) b) . ñigiira á.10 a) ITAE de seguimiento de la trayectoria de posición del moior 1
seguimiento de la trayectoria de posición del motor 2 b) ITAE de
CONfROL DE ML7TORF.S DE INDUtXl6N UT- LA T&NlCA DE REDISESO DE LYAPUNOV
En las graficas anteriores (figuras 6.9 y 6.10) se puede observar que el desempeilo. del controlador robusto ante variaciones en la velocidad de las trayectorias de referencia es me'or que el desempeño del controlador nominal. .. Esta diferencia es de alrededor de 2.7 x io' , tomando en cuenta el caso en el que existe una variaci6n del 50% en la velocidad de las trayectorias de posición (para el motor 1). En el caso del segundo motor, al igual que en el caso anterior, se muestra un mejor desempeño del controlador robusto sobre el nominal, 'siendo '&a 'dif&cia de 6.5 x ' iW3. Siguiendo con la misma prueba, a continuación se~muestran los.&ultados para el índice de desmhpeiio del seguimiento de las trÉyectorias de velocidad para ambos controladores.
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Robusto:
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a) . b) F i g ~ r p 6.12 a) ITAE de seguimiento de la irayesoda de velocidad del motor 1
s&uimiento de la irayectoria de velocidad del motor 2 b) lTAE de
L F L CAP- VI ANALISIS DE RESüLTADW Y CONCLUSIONES
De 10s resultados mostrados en las figuras 6.7 y 6.8, se concluyó que el controlador robusto, es superior en deserneo (como debía esperarse) al controlador nominal; cuando ambos son aplicados a un sistema con incertidumbre paramétrica. Ahora, de los resultados mostrados en las figuras 6.9, 6.10, 6.11, 6.12, se muestra que el controlador robusto también tiene un mejor desempeño en el seguimiento de trayectorias de referencia, cuando se aumenta la velocidad de éstas.
I
rl
Para finalizar con las pruebas realizadas al controlador, a continuación se presenta la comparación entre las trayectorias de posición y velocidad deseadas contra las reales en el caso de haber aumentado ia velocidad de las trayectorias de referencia en un 500%. Los
I
resultados que a continuación se muestran, coksponden al controlador robusto, que es aplicado a un sistema con incertidwibre paramétrica (parámetros eléctricos y mecánicos) de 25%. ,
I
1 93
CONTROL DE MOTORES DE lNDUCci6N LA TI%XICA DE REDISER0 DE LYAPUNOV
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1- "s 'L I - b)
Figura 6.14 a) Comparaci6n de seguimiento de la trayectoria de posici6n del motor 2 b) Comparaci6n de seguimiento de la eayectoria de velocidad del motor 2
Se observa que el seguimiento a las trayectorias de referencia, se sigue ejecuhndo Esto a pesar de que el aumento en las velocidades de las de una manera apropiada.
trayectorias de referencia es grande.
6.2 Conclusiones
Uno de los objetivos iniciales de este trabjo de tesis era el de obtener el modelo matemático completo del sistema, sin hacer separaciones entre subsistemas eléctrico y mechico. Este objetivo fue cumplido en cuanto al obtener el modelo matemático del sistew usando la t b i c a variacional no es necesario hacer separaciones entre subsistemas de diferente naturaleza energética. Sin embargo, ya para el diseño de los diferentes esquemas de control que se desarrollaron en la tesis, se him una separación de subsistemas: la parte eléctrica y la parte mecánica (que combma las dinámicas del robot y los motores), esto tiene varias razones: Para propósitos de visual i ión, es aparente que la separación de estos subsistemas hace más fficil apreciar las diferentes caractersticas que se pueden encontrar en este tipo de sistemas, otra razón es que esta separación facilita la tarea de programaci6n, y finalmente la separación en los diferentes subsistemas facilita de sobremanera la apreciación de la propiedad de entisimetría, que es una parte muy importante al aplicar el anáiisis de estabilidad de Lyapunov.
Se ha aplicado la técnica de rediseft0 de Lyapunov para obtener una señal de reatimentación adicional para garantizar la estabilidad del sistema en presencia de incertidumbres. Los parámw del motor de inducción y los parámetms del manipulador deben ser conocidos para poder aplicar esta tecnica, de la incertidumbre solo es n&o conocer sus cotas para poder obtener las señales de compensaci6n. Es importante recordar también que una condición para poder aplicar esta técnica es la de obtener la
94
CAPiTULO VI ANALISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES
parametrización lineal del sistema (ecuaciones 5.16 y 5.36), de lo contrario, esta técnica no puede ser utilizada.
También se comparó el desempeño de los controladores robusto y nominal. Esta comparación fue hecha de manera que los controladores estuvieran bajo las mismas condiciones, es decir, ambos controladores fueron aplicados al sistema Motor - carga con incertidumbres. De esta comparación se pudo observar que el controlador robusto es el que mejor desempeño mostró (como era de esperarse), ya que este controlador está diseñado especialmente para hacer frente a las incertidumbres del sistema. Esto da la pauta para concluir qÚe el controlador robusto cumple con el objetivo de contrarrestar la incertidumbre paramétrica inherente a los motores de inducción, además de contrarrestar de igual manera la incertidumbre en la parte mecánica del sistema. El seguimiento de las trayectorias deseadas fue ejecutado de manera conveniente, esto se puede decir después de haber observado los errores de seguimiento de trayectorias, cuyos valores son pequeños.
De las demás pruebas realizadas (variación de la velocidad de las trayectorias de referencia), también se concluyó que el controlador robusto tiene un mejor desempeño que el controlador nominal. Otro aspecto importante que se cumplió, fue el hecho de que todas las señales internas generadas por los motores (corrientes, pares electromagnéticos), están acotadas. Esto es importante porque indica que el controlador, no demanda del motor esfuerzos que no estén dentro de sus capacidades fisicas.
En cuanto a la programación de los controladores, el uso de la función S de Simulink de Matlab tiene muchas ventajas sobre la programación basada en el uso de bloques de funciones [Shi,97], [Ivanov,98], entre estas ventajas se tienen: El tiempo de programación se reduce de gran manera, la localización de errores en el programa se hace más fácil y rápido, se puede hacer uso de expresiones matriciales que hacen más fácil la manipulación de las ecuaciones que describen a los sistemas, una propiedad que fue muy útil para este trabajo fue la inversa de matrices. El uso de la función S también tiene algunas desventajas, pero éstas son en el sentido de tiempos y esfuerzos computacionales, debido a las características y forma de funcionamiento de la función S (apéndice A). En toda la bibliografía que se revisó para este trabajo, no se encuentran aplicaciones de la función S de Simulink de Matlab en motores de inducción, por esto podemos decir que su uso en esta tesis es una buena base para trabajos futuros.
1
\ I
I 95
CONTROL DE MOTORES DE iNDUCCi6N UTILIZANDO LA 'TlkNIC,\ DE REDISEIC'O DE LYAPUNO\'
6.3
a
a
Trabajos futuros
Dentro de los trabajos futuros que se podrían hacer se encuentran:
En este trabajo se consideró el uso de un modelo bifásico del'M.1.; el modelo ap, sin incluir las transformaciones en la simulación. Como trabajo futuro se propone considerar el aplicar la transformación de 3 a 2 fases al inicio y al final, volver a realizar la transformación de 2 a 3 fases. Considerar al convertidor electrónico de potencia en el análisis, modelado, diseño del sistema de control y simulación. Considerar que no todos los estados están disponibles para su medición, estos estados no medibles son generalmente las variables del rotor, para lo cuál es necesario el empleo de observadores de estado. Construcción de un prototipo del controlador.
!
- - -~ - . -- -. -. ~ .
CAP~TULO VI ANÁLISIS DE RESULTADOS v CONCLUSIONES
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91 I
CONTROL DE MOTORES DE INDUCCIÓN UTILIZANDO LA TÉCNICA DE REDISENO DE LYAPUNOV
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-,
I O0
Apéndice A I I,
I
A.l Funciones S, herramienta de Simulink de Matlab.
Una función S es una descripción en lenguaje de computadora de un sistema dinámico. Su forma es muy general y se pueden describir sistemas continuos, discretos e híbridos. La función S se incorpora en los modelos de Simulink usando el bloque llamado S-function que está en la librería "Nonlinear Block".
Los usos más comunes de las funciones S son:
i Crear nuevos bloques de propósito general para Simulink
Usar animación gráfica
Incorporar código existente dentro de una simulación Describir a un sistema como un conjunto de ecuaciones
Una ventaja al hacer uso de la función S es que se puede construir un bloque de propósito general que puede ser usado muchas veces, variando solamente sus parámetros.
La siguiente figura describe como funciona la función S mientras se ejecuta la simulación:
...
I
Figura A.1 Como funciona la función S
A-l
APENDICE A
Rutina mdllnitializesizes
mdlDerivatives
Primero Simulink inicializa el modelo; esto incluye inicializar cada bloque, incluyendo las funciones S. Después Simulink entra en el lazo de simulación, donde cada paso de simulación a través del lazo es llamado paso de simulación. Durante cada paso de simulación Simulink ejecuta el bloque de la función S, esto se continúa hasta que la simulación es completada.
Simulink hace repetidas llamadas a las funciones S dentro del modelo. Durante estas llamadas, Simulink ejecuta lo que se llama rutinas, las cuales ejecutan tareas en cada etapa, estas tareas incluyen:
Inicialización: se hace antes del primer lazo de simulación. Durante esta etapa:
- Se inicializa Simstruct, una estructura que contiene información sobre la función S - Se inicializa el tamaño de los puertos de entrada y salida - Se inicializa el bloque de tiempos de muestreo
Cálculo del siguiente tiempo de muestreo: si se ha seleccionado una rutina de integración de paso variable, esta etapa calcula el tamaño del siguiente paso de integración.
Cálculo de las salidas en el mayor tiempo de paso: después de que esta llamada se completa, todos los puertos de salida de los bloques son válidos para el tiempo de paso actual.
Actualización de los estados discretos
Integración: Esta etapa aplica para modelos con estados continuos
Las funciones S contenidas en archivos .m están formadas por varias rutinas, la siguiente tabla enlista estas rutinas :
Tabla A.1 Rutinas de la función S contenida en un archivo .M
Descripción Define las características básicas del bloque de la función S, incluyendo los tiempos de muestreo, condiciones iniciales, y los tamaños de los arreglos. Calcula las derivadas de los estados variables continiioi
mdlUpdate mdloutputs mdlCetTimeO~extVarHit
. -. . . . . . - - Actualiza los estados discretos Calcula las salidas de la función S Calcula el tiemoo del simiente Daso en tiemuo
mdlTerminate
A-2
I
absoluto. Esta rutina solo se utiliza cuando se definen tiempos de muestreo discretos Ejecuta cualquier tarea al finalizar el lazo de simulación
,
I S-function I Programas
-. - ~- - ' -
Descripción
APENDICE A
fsmi2pal .m
Si se requiere mayor informaci acerca del funcionamiento y programación de las funciones S, se refiere ai lector a [Simulink].
Con el propósito de un mejor entendimiento de cómo funciona la función S, a continuación se definen algunos conceptos:
Defección de cruce por cero: Esta técnica es utilizada por Simulink para localizar discontinuidades en el sistema. Funciona de tal manera que Simulink evita simular en la discontinuidad, en donde la variable de estado podría tener un valor indefinido [Simulink2].
Paso de tiempo mayor: Algunos métodos de solución continuos, dividen el intervalo de tiempo a simular en pasos de tiempo mayores o menores; en donde un paso de tiempo menor representa una subdivisión del paso de tiempo mayor. El método de solución, produce un resultado en cada paso de tiempo mayor. El paso de tiempo menor se usa para mejorar la precisión del resultado obtenido en el paso de tiempo mayor. . .
MatIab/Simulink
mbifasmdl Modelo dinámico de M.I. en su representación ap en lazo abierto. Modelo dinámico del sistema de robot ríaido
A. 2 Manual para el uso de los programas de simulación
robotcom
cbprobotm robotcom
conrobusto4.m robotcol .m
Este manual describe cómo emplear los programas basados en Matlab/Simulink para la simulación de los diferentes esquemas de control diseñados en la tesis.
" robotmdl giratorio de dos grados de libertad accionado
directamente por M.1. en lazo abierto. Controlador nominal del sistema motor - carga basado en pasividad. Controlador robusto del sistema motor - carga basado en la técnica de rediseño de Lyapunov.
conpasro.mdl
robusto3.mdl
La siguiente tabla presenta los diferentes programas generados en este trabajo con una breve descripción de cada uno:
A-3
APENDlCE A
1 .- refiérase a la tabla A. 1 para seleccionado.
2.- Una vez que se ha elegido el programa a simular, primero es necesario abrir el paquete computacional de Matlab. Los programas mostrados en la tabla A.l fueron programados utilizando la versión 6.0 de Matlab, por lo que se recomienda utilizar esta misma versión o versiones posteriores.
3.- Para que Simulink reconozca la función S que se va a utilizar, se pueden seguir dos procedimientos. Primero: en el menú &, se escoge la opción set oath, en la ventana que aparece, se enlistan todos los directorios en los cuales Sirnulink va a buscar la función S que se va a utilizar. Si el directorio en el cuál se encuentran los archivos de las funciones S (extensión .m) no está, es necesario agregar esta nueva ruta, de manera que Simulink la pueda reconocer. Para esto, se hace clic en el botón add folder, se selecciona la nueva ruta y se hace clic en save. De esta manera Simulink reconocerá la nueva ruta donde se encuentran los archivos de las funciones S. Segundo: se puede copiar cualquiera de los programas referentes a la función S que se vaya a simular, (archivos con extensión .m) al directorio C:\MatlabR12\work. Por ejemplo: si se desea simular el Controlador robusto del sistema motor - carga, es necesario copiar los archivos conrobusto4.m y robotco1.m al directorio antes mencionado, si se desea, también se puede copiar el archivo robusto3.mdl, aunque esto es opcional.
4.- Si se desean modificar los parámetros tanto del controlador, como del sistema motor - carga, es necesario abrir los archivos conrobusto4.m y robotcolm, para esto, en la ventana principal de Matlab seleccione el menú a y haga clic en m, después proporcione la ruta correcta y seleccione el archivo que desea modificar. Una vez que se han modificado los parámetros deseados, es necesario guardar el archivo antes de simular, para lo cuál se selecciona la opción %del menú fi&.
5.- Para simular es necesario abrir la ventana de Simulink, para esto teclee “Simulink” en la ventana de comandos de Matlab, una vez que esta abierta esta ventana, seleccione del menú a, proporcione la ruta donde se encuentra el archivo de Simulink que desee simular (archivo con extensión .mdl), después de esto aparecerá en pantalla el archivo de Simulink correspondiente. Posteriormente seleccione el menú Simulation y haga clic en Start para comenzar con la simulación. Una vez que el programa termine de simular, abra cualquiera de las ventanas de los osciloscopios para observar el comportamiento de la variable deseada.
El primer paso a realizar es identificar el modelo que se desea simular,
Para finalizar, tabla A.3 se muestran los parámetros de simulación utilizados para Estos parámetros fueron cada uno de los casos mostrados en la tabla A.1.
parámetros que mejoraban los tiempos de simulación. seleccionados mediante un procedimiento de prueba y error, seleccionándose aquellos I
A-4
APENDICE A
Tabla A.3 Parámetros de simulación
Para poder variar estos parámetros, es necesario abrir cualquiera de los archivos .mdl a los cuales se desee cambiar los parámetros, una vez abierto, en el menú Simulation hacer clic en Simulation parameters, aparecerá la ventana de parámetros de simulación, modificar los parámetros deseados y hacer clic en a para que este cambio sea valido. Para información acerca de cada uno de estos parámetros se refiere al lector a [Simulink2].
f
A-5
Apéndice B
I
Con la finalidad de darle un sentido fisico a la definición de Lagrangiano, a continuación se muestra un ejemplo de la aplicación del Lagrangiano en un circuito R-C simple [Moon,98].
Sea el circuito mostrado en la figura (B.I), que consta de una fuente de voltaje conectada en serie con un capacitor y una resistencia. El capacitor es un dispositivo que contiene dos placas conductoras separadas por un material dieléctrico. Cuando se le aplica un voltaje, las cargas positivas se acumulan en una de las placas, y las cargas negativas se acumulan en la otra. De tal manera que se genera un campo eléctrico E en el espacio entre las placas. La integración del campo eléctrico define un voltaje en el capacitor proporcional a la carga positiva total Q:
Figura B.1 Circuito R-C.
2 Q V, = [ Edx = - I C
en donde C es la capacitancia. Si una fuente de carga genera cierta razón de carga, Q, o corriente I, entonces I = dQ / dt. La fuente de carga, o fuente de potencia, se caracteriza generalmente por u n voltaje V(t). El principio dinámico para un circuito eléctrico
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I. 1
i. 6-1
, , i s
APENDICE B
establece que el voltaje aplicado debe ser igual a la suma de los voltajes a través del capacitor y de la resistencia, RJ (Ley de Kirchhoff). De esta manera las ecuaciones de moviniiento para el circuito R-C son:
- = I dQ dt
Q O = -RI -- + V(t) C
Si se comparan estas ecuaciones con las de un circuito mecánico, se pueden hacer las siguientes analogías: Q es la posición generalizada, y la corriente es la velocidad generalizada. Sin embargo en esta analogía, se ve que no hay término análogo para el momento o energía cinética. Si se agrega un inductor al circuito, es decir, un voltaje a través del inductor d(LI)/dt, en donde los enlaces de flujo se escribieron en términos de la inductancia L y la corriente. De tal manera que las ecuaciones que describen al circuito son las siguientes:
- = I dQ dt dLI Q - = -RI - - +V(t) dt C
El capacitor que almacena cargas eléctricas, actúa como un resorte o una función de energía potencial. El inductor, que almacena flujo magnético, actúa como un dispositivo de energía cinética o momento. La resistencia es análoga a un amortiguador lineal.
Es bastante natural, entonces, proponer un Lagrangian0 electromagnético, Le, con Q como una variable de posición generalizada, de la cuál se pueden obtener las ecuaciones del circuito:
En donde F es la función de disipación electromagnética de Rayleigh y Y es la fuerza generalizada, en este caso el voltaje V(t). El primer término de L,, es la co-energía magnética T*(Q) = LQ2/2, mientras que el segundo término puede ser interpretado como una función de energía eléctrica Te(Q). Como en el caso de la energía magnética, se puede definir una con-energía eléctrica la cuál es función del voltaje a través del capacitor, V = Q/C en vez de una función de la carga Q:
T*e(V) = QV - TdQ) (B.5)
8 2 - 0 8 0 6 B-2