ce14 sesion 1.1 rac superficies cuadricasa

CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA

SECCIONES CÓNICAS Y

SUPERFICIES CUÁDRICAS

ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS

CÁLCULO 2 (CE14)

CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA 2

Habilidades

Reconoce y gráfica una circunferencia, parábola, elipse e

hipérbola según su ecuación.

Grafica planos y describe sus características.

Determinas las propiedades de las superficies cuadráticas y las

gráficas.

Grafica en el primer octante curvas en el espacio como

intersección de dos superficies.

Grafica sólidos en el primer octante.


Las secciones cónicas son las curvas que se generan al cortar un cono con un plano.

SECCIONES CÓNICAS


CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN

222 ryx

CIRCUNFERENCIA

r


PARÁBOLA ECUACIONES 2xky

2ykx

PARÁBOLA

0k

0k

0k

0k


ELIPSE ECUACIONES

12

2

2

2

b

y

a

xa- a

b

- b

12

2

2

2

ay

bx

a

- a

b- b

ELIPSE

ba

ba


HIPÉRBOLA ECUACIONES

12

2

2

2

by

ax

12

2

2

2

bx

ay

- a a

b

- b

- a

a

b- b

HIPÉRBOLA


SISTEMA TRIDIMENSIONAL DE COORDENADAS


ECUACIÓN DEL PLANO

A, B y C son constantes, no todos nulas.

DCBA zyx

CASO 1

xy

z

kx

k

PLANO PARALELO AL PLANO YZ

xy

z

kzk

PLANO PARALELO AL PLANO XYPLANO PARALELO

AL PLANO XZ

x

y

ky

k

z


CASO 2

xy

z

DBA yx

xy

zDCA zx

PLANO PERPENDICULAR

AL PLANO XY

PLANO PERPENDICULAR

AL PLANO XZ

Ejemplo: Grafique cada uno de los siguientes planos:

2143a) yx 2052b) zx 84c) zy

ECUACIÓN DEL PLANO


ECUACIÓN DEL PLANO

CASO 3

Ejemplo: Grafique cada uno de los siguientes planos y halle las ecuaciones de las trazas:

21243a) zyx 824b) zyx

xy

z

DCBA zyx

Trazas de un plano:

Son las rectas de intersección del plano con los planos coordenados.

xy

z

Traza XY

Traz

a X

Z

Traza YZ



Una superficie cuadrática es la gráfica de una ecuación de segundo grado de la forma.

(*)0222 JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx

Estudiaremos solo los casos, cuando los coeficientes D= E= F= 0

Ejemplos22 43) yxza 94) 222 zyxb 0) 222 zyxc

Nota : Toda ecuación de la forma (*) NO representa necesariamente una superficie, ejemplos:

0542 222 zyx 02 222 zyx



12

2

2

2

2

2

b

y

a

x

c

z02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x2

2

2

2

b

y

a

xz

Algunas superficies cuádráticas


GRÁFICAS DE SUPERFICIES CUÁDRICAS

1. Intersecciones con los ejes coordenados

Con el eje x : y=0, z=0.

Con el eje y : x=0, z=0.

Con el eje z : x=0, y=0.

Ejemplo:

Identifique la superficie y determine los puntos de intersección con los ejes coordenados.

194

222

zyx Con el eje x : (2;0;0), (-2;0;0)

Con el eje y : (0;3;0), (0;-3;0)

Con el eje z : No hay intersección



Trazas:

Son las curvas de intersección de la superficie con los planos coordenados.

Secciones planas:

Son curvas que resultan de intersectar la superficie estudiada con planos paralelos a planos coordenados.


2. Intersecciones con los planos coordenados (trazas)

Con el plano xy : z=0.Con el plano yz : x=0.Con el plano xz : y=0.

Ejemplo:

Determine la ecuación e identifique cada una de las trazas

194

222

zyx

Con el plano xy : Con el plano yz Con el plano xz :


194

22

yx

19

22

zy1

42

2

zx

Elipse Hipérbola Hipérbola



3. Secciones planas paralelas a los planos coordenados

Paralelos a xy : z=k.

Paralelos a yz . x=k.

Paralelos a xz : y=k.

Ejemplo:

Determine la ecuación e identifique las secciones planas paralelas a los ejes coordenados

194

222

zyx

Con el plano xy : Familia de elipses

Con el plano yz : Familia de hipérbolas

Con el plano xz : Familia de hipérbolas

222

194

kyx

4

19

22

2 kz

y

91

4

22

2 kz

x


PARABOLOIDE ELÍPTICO

2

2

2

2

b

y

a

xz

El eje del paraboloide elíptico corresponde a la variable elevada a la primera potencia.

TRAZA SECCIONES PLANAS

Plano xy: Elipse Familia de elipses

Plano xz: Parábola Familia de parábolas

Plano yz: Parábola Familia de parábolas


HIPÉRBOLOIDE DE DOS HOJAS

12

2

2

2

2

2

b

y

a

x

c

z


Plano xy: No existe Familia de Elipses

Plano xz: Hipérbola Familia de Hipérbolas

Plano yz: Hipérbola Familia de Hipérbolas

El eje del hiperboloide de dos hojas corresponde a la variable cuyo coeficiente tiene signo diferente de los coeficientes de las otras 2 variables.


CONO ELÍPTICO

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x


Plano xy: punto Familia de elipses

Plano xz: rectas Familia de Hipérbolas

Plano yz: rectas Familia de Hipérbolas

El eje del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente tiene signo diferente de los coeficientes de las otras dos variables.



2

2

2

2

b

x

a

yz 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

En el MTA 1 estudiaremos otras 3 superficies cuadráticas


Un cilindro es una superficie generada por una recta llamada generatriz que se mueve de tal manera que se mantiene siempre paralela a una recta fija dada y corta siempre a una curva plana fija llamada directriz.

Observación: La recta móvil se llama generatriz y la curva fija directriz de la superficie cilíndrica.

SUPERFICIES CILÍNDRICAS


SUPERFICIES CILÍNDRICAS

CILINDRO ELÍPTICO

CILINDRO PARABÓLICO

CILINDRO HIPERBÓLICO

http://enciclopedia.us.es/images/1/18/Cilindro_de_revoluci%C3%B3n.png

http://enciclopedia.us.es/images/a/ae/Cilindro_parab%C3%B3lico.png

http://enciclopedia.us.es/images/0/04/Cilindro_hiperb%C3%B3lico.png


INTERSECCIÓN DE SUPERFICIES

Represente gráficamente la curva C en el primer octante, dada como intersección de las superficies.

2

4:

22

z

yxC


INTERSECCIÓN DE SUPERFICIES

Represente gráficamente la curva C en el primer octante, dada como intersección de las superficies.

2

122

zy

yx

x

y

z

C

ce14 sesion 1.1 rac superficies cuadricasa

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