categorÍa de tesis primer lugar · el precio del subyacente sigue un proceso de difusi´on cuyo...
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CATEGORÍA DE TESIS Primer lugar:
“Cálculo preciso de la volatilidad implícita en el
modelo Black-Scholes-Merton para casos
extremos de los parámetros”
Emilio Antonio Flores Ramírez
Instituto Tecnológico Autónomo de México
Indice general
Introduccion I
1. La Ecuacion de Black-Scholes-Merton 1
1.1. Normalizacion de la Ecuacion de BSM . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Analisis de Sensibilidades 6
2.1. Sensibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Sensibilidades y Aritmetica de Punto Flotante . . . . . . . . . . . 8
2.3. Sensibilidad en el Calculo de la Volatilidad Implıcita . . . . . . . 10
3. El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 13
3.1. El Metodo de Newton y el Teorema de Ostrowski . . . . . . . . . 14
3.2. Convergencia Global del Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Calculo de la Volatilidad Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4. Una aplicacion de la Volatilidad Implıcita 29
4.1. La Cobertura Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.1. Sensibilidad Numerica de la Delta de una Opcion . . . . . 31
4.2. Aplicacion a dos Mercados diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.1. Opciones sobre el IPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.2. Opciones sobre el CAC 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5. Conclusiones 41
Referencias 43
Introduccion
A principios de los anos 70’s, Black, Scholes y Merton derivaron una ecuacion
diferencial que debıa ser satisfecha por el precio de una opcion de compra euro-
pea (call europeo), de manera que no existiesen oportunidades de arbitraje en
el mercado.
En los trabajos realizados antes del documento de 1973 de Black y Scholes
en los que se estudio la valuacion de opciones se proponıan formulas generales
para el precio de las opciones, pero que involucraban parametros arbitrarios.
La desventaja de estos estudios es que no producıan una solucion analıtica al
precio de una opcion que fuese operativa.
Black y Scholes (1973[1]) y Merton (1974[9]) explotaron la idea del no arbitra-
je en el mercado para hallar una solucion analıtica al precio de las opciones,
en la que los parametros son observables. Solo existe un parametro que no es
observable: la Volatilidad del precio del subyacente. La volatilidad es la
desviacion estandar del precio futuro del subyacente con un horizonte de tiempo
de un ano1. Para estimar este parametro existen principalmente dos formas, la
Estimacion Historica y la Estimacion Implıcita.
La estimacion historica (o Volatilidad Historica) consiste en estimar la desviacion
estandar del precio del subyacente a lo largo del tiempo. Evidentemente, este
metodo presenta varios problemas, pues el numero de datos en la muestra
puede variar. Algunas variantes de este metodo consisten en tomar la desviacion
estandar, no de la serie original, sino de los rendimientos logarıtmicos del subya-
cente. Metodos mas avanzados consisten en modelar la volatilidad con procesos
ARCH y GARCH, los cuales suponen que la volatilidad a un tiempo es una fun-
cion del rendimiento y de la volatilidad del subyacente en periodos anteriores.
En la actualidad, existe una gran cantidad de libros y documentos que tratan1Ver el libro de John C. Hull, “Options, Futures and Other Derivatives”, Capıtulo 13.
I
el tema, ademas de que constantemente se dan nuevos avances en el modelado
de la volatilidad historica.
En cuanto a la estimacion implıcita (o Volatilidad Implıcita), esta consiste en
encontrar el parametro que hace que la ecuacion de BSM se cumpla, dado el pre-
cio de la opcion. Esta estimacion de la volatilidad no esta exenta de problemas,
ya que hereda los supuestos del modelo de BSM, siendo uno de los principales,
que el modelo supone que la volatilidad del precio del subyacente es constante
a lo largo del tiempo, a pesar de que en la practica se ha observado que esto
no es cierto; de hecho, la volatilidad implıcita depende del precio de ejercicio de
la opcion. En la practica se ha observado que la curva de la volatilidad implıci-
ta como funcion del precio de ejercicio no tiene una forma especıfica, aunque
frecuentemente muestra al menos dos puntos de inflexion (ver figuras 4.3 y 4.6
en el capıtulo 4), por lo que se ha denominado a esta curva como la mueca de
volatilidad o volatility smirk.
Por otro lado, encontrar la volatilidad implıcita requiere de metodos numericos
ya que por lo general no existe una solucion analıtica a este problema. Existen
diversos metodos numericos y paquetes comerciales que podrıan usarse para
resolver este problema. El metodo mas eficiente es el metodo de Newton, el cual
se estudiara en este trabajo, aunque requiere de un punto inicial adecuado para
hallar la solucion.
Como veremos en el tercer capıtulo, la convergencia local del metodo de New-
ton se garantiza al cumplirse una desigualdad en todo un intervalo que contiene
tanto al punto de inicio como a la solucion. Debido a que esto no es operati-
vo, probaremos un resultado que relaciona al punto inicial con la convergencia
del metodo, guiados por un teorema de Ostrowski. Dicho teorema nos garan-
tiza la existencia de la solucion y la convergencia del metodo con solo probar
una desigualdad para el punto de inicio – mas ciertas condiciones sobre las
derivadas de la funcion –. Para resolver el problema de la volatilidad implıcita,
encontraremos un punto de inicio “ideal” desde el cual el teorema de Ostrowski
nos garantizara que el metodo de Newton converge, aun cuando los parametros
toman valores extremos, donde la sensibilidad de la funcion es muy alta (seccion
2.3).
Como se expondra en el capıtulo 2, los metodos numericos estan sujetos a dos
tipos de errores que pueden producir que la solucion no sea del todo correcta.
El primero de estos poblemas es debido a los errores de redondeo que realizan
las computadoras al realizar operaciones aritmeticas; este problema es conocido
II
como la Aritmetica de Punto Flotante. El segundo problema es debido a las
propiedades analıticas de la funcion que se desea resolver, en nuestro caso, la
ecuacion de BSM. Intuitivamente, el problema es saber que tanto cambia la
volatilidad implıcita si perturbamos un poco el precio de la opcion; a esto se le
llama la Sensibilidad de la funcion. En este capıtulo, estudiaremos el problema
de la Sensibilidad, y como se relaciona este con la aritmetica de punto flotante.
Tambien estudiaremos la sensibilidad de la volatilidad implıcita al precio de la
opcion, y veremos que requerimos de metodos numericos precisos para evitar
que los errores sean costosos.
Para poder trabajar con mayor comodidad con la ecuacion de BSM, en el primer
capıtulo de esta tesis, realizaremos una reparametrizacion del modelo y estudia-
remos algunas propiedades analıticas de la funcion que nos seran de utilidad
a lo largo de este trabajo. Finalmente, en el cuarto capıtulo estudiaremos una
aplicacion de la volatilidad implıcita: el calculo de coberturas. Veremos en este
capıtulo la importancia de calcular la volatilidad con precision, debido a que los
errores numericos pueden producir diferencias millonarias al calcular las cober-
turas; ademas los valores reales en los que se calcula la volatilidad estan por lo
general en zonas crıticas de la funcion, es decir, donde la sensibilidad es muy
alta, y por lo general, los algoritmos no convergen si no parten de un punto
inicial adecuado. Esto lo analizaremos con tres ejemplos. En la primer seccion,
estudiaremos a detalle la cobertura delta de una opcion reportada por una ins-
titucion financiera a la Comision Nacional Bancaria y de Valores (CNBV). En
la segunda seccion, estudiaremos la volatilidad implıcita y la cobertura para dos
opciones: la primera sobre el IPC, cotizada en el Mercado Mexicano de Deriva-
dos (MexDer), y la segunda sobre el CAC 40, el homologo del IPC en la bolsa
de Parıs. Compararemos los resultados obtenidos para estas dos opciones con
los que se obtendrıan al usar el solver de Excel para calcular la volatilidad im-
plıcita. Observaremos que las estimaciones realizadas por el solver de Excel son
significativamente diferentes a las calculadas por nuestra propuesta, de manera
que las coberturas seran por lo general menores.
III
Capıtulo 1
La Ecuacion de
Black-Scholes-Merton
Para derivar la formula de valuacion de opciones, Black, Scholes y Merton supo-
nen “condiciones ideales” en el mercado; los tres supuestos importantes en los
que se basa el modelo son (ver [1] y [9]):
1. No existen oportunidades de arbitraje.
2. La tasa libre de riesgo es conocida y constante a lo largo del tiempo.
3. El precio del subyacente sigue un proceso de difusion cuyo coeficiente de
difusion es proporcional al cuadrado del precio. La constante de propor-
cionalidad se conoce como la volatilidad, σ, del precio del subyacente.
Bajo estos supuestos, la formula propuesta por Black, Scholes y Merton para
valuar una opcion de compra europea esta dada por:
C(S, X, σ, r, t) = SN(d1)−X e−rt N(d2) (1.1)
donde
d1 =ln
S
X+
(r +
σ2
2
)t
σ√
t
d2 = d1 − σ√
t
donde C es el precio de la opcion, el cual esta en funcion del precio del subyacente
S, del precio de ejercicio1 X, de la volatilidad del precio del subyacente σ, de la1A partir de este momento, llamaremos al precio de ejercicio X como el strike de la opcion.
1
La Ecuacion de Black-Scholes-Merton 2
tasa libre de riesgo r y del tiempo remanente de la opcion expresado en anos t.
N(�) es la funcion de distribucion normal estandar.
A lo largo de este capıtulo se exploraran algunas propiedades matematicas de la
ecuacion de BSM que seran relevantes para el calculo de la volatilidad implıcita.
1.1. Normalizacion de la Ecuacion de BSM
Estudiar el precio de una opcion como una funcion de los cinco parametros
definidos en la ecuacion 1.1 no es sencillo; por ello, para simplificar el analisis,
reduciremos el analisis a dos parametros definiendo las siguientes variables:
x =X
Se−rt
b = σ√
t
c(x, b) =C(S, X, σ, r, t)
S= N(u(x, b))− xN(v(x, b)) (1.2)
donde ahora2:
u(x, b) = − lnx
b+
b
2
v(x, b) = − lnx
b− b
2
La variable x es conocida en la literatura como el moneyness de la opcion. La
funcion c(x, b) tiene las siguientes propiedades analıticas:
1. Para cualquier x > 0 se tiene que
lımb→0
c(x, b) = (1− x)+
lımb→∞
c(x, b) = 1
2Como vimos en la ecuacion no normalizada de BSM (ecuacion 1.1), las funciones u y v se
definen comunmente como d1 y d2 respectivamente; sin embargo, por simplicidad de notacion,
las denotamos por u y v.
La Ecuacion de Black-Scholes-Merton 3
2. c(x, b) es una funcion estrictamente creciente respecto de b y decreciente
respecto de x.
∂
∂xc(x, b) = −N(v(x, b))
∂
∂bc(x, b) = n(u(x, b))
donde n(�) es la funcion de densidad normal estandar. La demostracion de
estas derivadas es sencilla tomando en cuenta que n(u(x, b)) = x n(v(x, b)).
3. La funcion c(x, b) esta acotada
(1− x)+ < c(x, b) < 1
Esta propiedad se sigue de las propiedades 1 y 2.
4. Existe una relacion de simetrıa para c(x, b) alrededor de x = 1.
c(x−1, b) = 1− x−1(1− c(x, b))
Esta propiedad se demuestra observando que u(x−1, b) = −v(x, b).
La ultima de las propiedades anteriores nos permite acotar el analisis para
x ∈ (0, 1). Esto es de gran importancia, ya que como lo muestran los lımites
de c(x, b), la funcion tiene comportamientos diferentes cuando el parametro es
menor o mayor a uno. De hecho, podemos demostrar que restringuiendo a x al
intervalo (0, 1), u(x, b) es una funcion convexa respecto a b, y alcanza su mınimo
global en b∗ =√−2 ln x. Ademas u(x, b∗) = b∗ y v(x, b∗) = 0 para cualquier
x ∈ (0, 1).
Este punto b∗ es de gran importancia, ya que nos permitira realizar la segunda
transformacion de la ecuacion de BSM. Ademas, veremos que b∗ es un factor de
escala de nuestro problema.
Segunda Transformacion de la Ecuacion de BSM
Definamos la variable δ =√−2 ln x, y denotamos la funcion c(x, b) como funcion
de δ por3:
γ(δ, b) = N(u(δ, b))− xN(v(δ, b)) (1.3)
3Notese que la variable δ es el punto b∗ donde u(x, b) alcanza su mınimo.
La Ecuacion de Black-Scholes-Merton 4
Figura 1.1: Funcion γ(δ, b)
donde
u(δ, b) =12
(b +
δ2
b
)
v(δ, b) =12
(−b +
δ2
b
)La funcion γ(δ, b) es la que definiremos como la normalizacion de la ecuacion de
BSM. Recordemos que x ∈ (0, 1), b ∈ (0,∞) y γ ∈ (1 − x, 1). A pesar de que
γ(δ, b) es una funcion de dos variables, supondremos a partir de este momento
que δ es fija, dado que la variable de interes es b, por ser esta la que representa
la volatilidad. Debido a lo anterior, cuando escribimos γ′ nos referimos a la
derivada de γ respecto de b. Las propidades analıticas son similares a las de c
por lo que solo escribimos aquellas que son de interes.
1. γ′(δ, b) = n(u(δ, b))
2. γ′′(δ, b) = −14n(u(δ, b))
(b− δ4
b3
)donde n(�) es la funcion de densidad normal estandar. Podemos ver que γ(δ, b)
es una funcion estrictamente creciente respecto a b. En la figura 1.1 se muestra
la grafica de γ como funcion de b, para un valor fijo de x. Observamos que la
funcion parece ser plana para valores de b muy pequenos, igual que para valores
La Ecuacion de Black-Scholes-Merton 5
muy grandes. Esto lo vemos dado que la derivada tiende a cero cuando b → 0
o b →∞. Tambien observamos que la derivada de la funcion nunca es cero, por
lo que no tiene maximo ni mınimo.
Es importante senalar que la primera derivada de la funcion se maximiza cuando
b = δ (Este hecho sera de gran importancia cuando hablemos del calculo de
la volatilidad implıcita en la seccion 3.3). En este punto, b = δ, la segunda
derivada de la funcion se anula. De hecho, γ(δ, b) es convexa antes de δ y es
concava despues de dicho punto. Es tambien de gran importancia observar que
la segunda derivada es acotada; mas aun, alcanza un maximo en la raız positiva
mas pequena del polinomio
b8 − 4b6 − 2b4δ4 − 12b2δ4 + δ8 (1.4)
y alcanza su mınimo en la mas grande. Para demostrar que estas raıces existen
y son positivas, veamos que el polinomio anterior lo podemos transformar en un
polinomio de grado 4 si hacemos b = b2
b4 − 4b3 − 2δ4b2 − 12δ4b + δ8
Por la regla de Descartes, el polinomio anterior tiene dos raıces reales, debido
a que los coeficientes del polinomio cambian dos veces de signo. Por otro lado,
ambas raıces son positivas, basta ver que el polinomio evaluado en 0 es positivo,
en δ2 es negativo y cuando b tiende a infinito, el polinomio tiende a infinito.
Por lo tanto, la segunda derivada alcanza su maximo en la raız positiva mas
pequena del polinomio 1.4, y su mınimo en la mayor de estas.
Capıtulo 2
Analisis de Sensibilidades
En este capıtulo se explica el problema principal que se tiene al calcular la
volatilidad implıcita. Como veremos mas adelante, el calculo de la Volatilidad
Implıcita requiere de la solucion numerica de una ecuacion no lineal, la cual
puede ser resuelta mediante el algoritmo de Newton. Sin embargo, la solucion
de dicha ecuacion esta sujeta a errores numericos, los cuales pueden llevarnos a
soluciones erroneas.
En el capıtulo se discutiran dos problemas de los metodos numericos. El primer
problema es que la funcion relativa al problema puede ser mal condicionada,
es decir, que pequenas perturbaciones en el punto en el que se evalua la fun-
cion pueden producir grandes cambios en su valor. Tal es el caso de la volati-
lidad implıcita. El segundo problema es producido por la aritmetica de punto
flotante. Las aproximaciones que realiza una computadora para evaluar una fun-
cion pueden producir errores graves en los calculos a pesar de que los mismos
paquetes cuenten con herramientas para controlar estos errores.
2.1. Sensibilidades
Sea f : Rn → R continua y diferenciable y sea x0 ∈ Rn. Si f(x0) 6= 0, decimos
que f(x) aproxima a f(x0) con precision ε cuando,
∣∣∣∣f(x)− f(x0)f(x0)
∣∣∣∣ < ε (2.1)
Ahora bien, nos gustarıa que si x ∈ Rn aproxima a x0 6= 0 con precision p = p(ε),
entonces, f(x) aproxime a f(x0) con precision ε.
6
Analisis de Sensibilidades 7
‖x− x0‖‖x0‖
< p(ε) =⇒∣∣∣∣f(x)− f(x0)
f(x0)
∣∣∣∣ < ε (2.2)
En otras palabras, buscamos la mayor diferencia relativa, p(ε), de x respecto de
x0 de manera que el error relativo de f(x) respecto de f(x0) sea menor a ε. Esto
nos lleva a analizar la sensibilidad de f respecto de x0, y en particular respecto
de cada una de sus componentes. Por el Teorema de expansion de Taylor, si x
esta suficientemente cerca de x0, entonces podemos escribir a f(x) como:
f(x) = f(x0) +∇f(x0)T (x− x0) + o(‖x− x0‖) (2.3)
Ahora bien, la definicion de o(‖x − x0‖) nos dice que1 para toda ε > 0 y para
toda x ∈ Vr(ε)(x0):∣∣f(x)− f(x0)−∇f(x0)T (x− x0)∣∣ ≤ ε‖x− x0‖
Aplicando las desigualdades del triangulo de Cauchy-Schwarz obtenemos que:
|f(x)− f(x0)| ≤ ‖∇f(x0)‖ ‖x− x0‖+ ε‖x− x0‖
Dado que esto es para toda ε positiva, si el gradiente de la funcion en x0 no es
nulo, ∇f(x0) 6= 0, podemos tomar a ε = ‖∇f(x0)‖, y por tanto:
|f(x)− f(x0)| ≤ 2 ‖∇f(x0)‖ ‖x− x0‖ (2.4)
La ecuacion anterior es una cota del error absoluto de f(x) respecto de f(x0),
y ‖∇f(x0)‖ es la propagacion de dicho error. Si ahora dividimos entre |f(x0)|,entonces obtendremos una cota para el error relativo.
∣∣∣∣f(x)− f(x0)f(x0)
∣∣∣∣ ≤ 2‖∇f(x0)‖ ‖x0‖
|f(x0)|‖x− x0‖‖x0‖
(2.5)
La propagacion del error absoluto es en este caso
S(f(x0)) =‖∇f(x0)‖ ‖x0‖
|f(x0)|(2.6)
1Dado x0 ∈ Rn, se dice que una funcion diferenciable F : Rn → R es tal que F (x) =
o(‖x− x0‖) si
lımx→x0
|F (x)|‖x− x0‖
= 0
Por la definicion de lımite, para toda ε > 0, existe r(ε) tal que si x ∈ Vr(x0) entonces
|F (x)| < ε‖x− x0‖
Analisis de Sensibilidades 8
La propagacion del error relativo es tambien llamada la Sensibilidad de f en x0
o numero de condicion. Cuando la sensibilidad es muy grande, decimos que la
funcion es mal condicionada en x0. Cuando el numero de condicion es menor a
1/2, podemos decir que el error relativo no es significativo. Ahora reescribamos
la ecuacion 2.3 de la siguiente manera
f(x1, ..., xn) = f(x01, . . . , x
0n) +
n∑i=1
Dif(x01, . . . , x
0n)(xi − x0
i ) + o(‖x− x0‖)
donde Dif(x01, . . . , x
0n) es la derivada parcial de f respecto a la i-esima compo-
nente de x0. Si seguimos la metodologıa anterior, entonces tendremos la siguiente
cota para el error relativo.∣∣∣∣f(x)− f(x0)f(x0)
∣∣∣∣ ≤ 2n∑
i=1
∣∣∣∣x0i Dif(x0
1, . . . , x0n)
f(x0)
∣∣∣∣ ∣∣∣∣xi − x0i
x0i
∣∣∣∣ (2.7)
La sensibilidad de f respecto a la i-esima componente de x0 es
Si(f(x0)) =∣∣∣∣x0
i Dif(x01, . . . , x
0n)
f(x0)
∣∣∣∣ (2.8)
Notemos que si todas las sensibilidades son menores a 1/2, entonces el error en
f(x0) sera menor que en x0, por lo cual es deseable que lo anterior se cumpla.
Sin embargo este no es el caso para todas las funciones, a pesar de que parezcan
ser muy sencillas. Por ejemplo, la suma de dos numeros de signo contrario. Si
f(x, y) = x + y entonces, las sensibilidades son
Sx(f(x, y)) =∣∣∣∣ x
x + y
∣∣∣∣Sy(f(x, y)) =
∣∣∣∣ y
x + y
∣∣∣∣Podemos ver que si x y y tienen signos contrarios, entonces una de las dos
sensibilidades sera mayor a uno, por lo que la suma de dos numeros de signo
contrario es un problema mal condicionado2.
2.2. Sensibilidades y Aritmetica de Punto Flotante
La sensibilidad de una funcion en un punto determinado mide de alguna manera
el cambio que se producirıa si perturbamos un poco dicho punto. En la seccion
anterior analizamos las sensibilidades “teoricas” de una funcion en un punto;
ahora veremos las implicaciones que tiene la aritmetica de punto flotante en las
sensibilidades.2Ver referencias [2] y [3].
Analisis de Sensibilidades 9
Denotaremos por M al conjunto de los numeros de punto flotante, y por fl(E)
la evaluacion en aritmetica de punto flotante de la expresion E. Supongamos
que f : R → R es una funcion continua y diferenciable3. Sea x ∈ R y sea x ∈ Mla aproximacion de punto flotante de x. Como se definio en la seccion anterior,
decimos que f(x) aproxima a f(x) con precision ε si∣∣∣∣f(x)− f(x)f(x)
∣∣∣∣ < ε
Sin embargo, al incorporar la aritmetica de punto flotante, la expresion anterior
sera ahora: ∣∣∣∣fl(f(x))− f(x)f(x)
∣∣∣∣ < ε (2.9)
Para analizar mas a fondo la expresion anterior, dividiremos el error absoluto
en dos partes, a saber, el error debido a la aritmetica de punto flotante, y el
error debido a la sensibilidad de la funcion:
fl(f(x))− f(x) = {fl(f(x))− f(x)}+ {f(x)− f(x)}
Por el teorema de expansion de Taylor:
f(x)− f(x) = f ′(x)(x− x) + o(|x− x|)
Por otro lado, si f solo involucra operaciones elementales independientes, en-
tonces
fl(f(x)) = (1 + ε)f(x)
donde4 |ε| ≤ eps. De las ultimas dos ecuaciones podemos escribir el error abso-
luto de f(x) respecto de f(x) como
|fl(f(x))− f(x)| ≤ |εf(x)|+ 2|f ′(x)(x− x)| (2.10)
Ahora bien, como x es la aproximacion numerica de punto flotante de x, entonces
x = (1 + ε1)x
donde |ε1| ≤ eps. Por lo tanto, de la desigualdad 2.10 obtenemos:
∣∣∣∣fl(f(x))− f(x)f(x)
∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣f(x)f(x)
ε
∣∣∣∣ + 2∣∣∣∣f ′(x)f(x)
xε1
∣∣∣∣≤ eps
{∣∣∣∣f(x)f(x)
∣∣∣∣ + 2∣∣∣∣xf ′(x)
f(x)
∣∣∣∣}3Por lo pronto analizaremos el caso en el que f es una funcion de R a R, para simplificar
el analisis. Despues comentaremos el caso de Rn el cual es un poco mas complicado debido a
la notacion.4eps es llamado el epsilon de la maquina, y representa el maximo numero z en aritmetica
de punto flotante tal que 1⊕ y = 1. En Matlab, este numero es aproximadamente 2.22−16.
Analisis de Sensibilidades 10
En la expresion anterior, observamos que el error relativo de f en x respecto
de x esta determinado por un error debido a la aritmetica de punto flotante, y
otro debido a la sensibilidad de f en x (de hecho, el segundo sumando en el lado
derecho de la expresion es precisamente lo que en la seccion anterior definimos
como la sensibilidad de f en x).
Ahora supongamos que f es una funcion de Rn en R. En este caso, x ∈ Mn es
la aproximacion en aritmetica de punto flotante de x si para toda i = 1, . . . , n
xi es la aproximacion de punto flotante de xi; por tanto xi = (1 + εi)xi donde
|εi| ≤ eps. Matricialmente podemos escribir:
x− x = Ex
donde
E =
ε1 0 . . . 0
0 ε2 . . . 0...
.... . .
...
0 0 . . . εn
A pesar de la diferencia en las notacion, las expresiones anteriores no cambian.
El error absoluto esta acotado por:
|fl(f(x))− f(x)| ≤ |fl(fx))− f(x)|+ |f(x)− f(x)|
≤ |εf(x)|+ 2∣∣∇f(x)T (x− x)
∣∣≤ |εf(x)|+ 2 ‖∇f(x)‖ ‖Ex‖
Dado que hemos supuesto que E es una matriz diagonal cuyas entradas estan
acotadas por eps, entonces es facil demostrar que ‖Ex‖ ≤ eps‖x‖ y por tanto,
podemos escribir el error relativo como:
∣∣∣∣fl(f(x))− f(x)f(x)
∣∣∣∣ ≤ eps
{∣∣∣∣f(x)f(x)
∣∣∣∣ + 2‖∇f(x)‖‖x‖
|f(x)|
}
2.3. Sensibilidad en el Calculo de la Volatilidad
Implıcita
El problema que se estudia en este trabajo es el calculo de la volatilidad implıcita
en la ecuacion de BSM. El problema es que no existe una formula cerrada para
dicha volatilidad, por lo que se ha tenido que recurrir a metodos numericos para
Analisis de Sensibilidades 11
aproximar su valor; sin embargo, como veremos en esta seccion, los errores a los
que estan sujetos los metodos numericos pueden provocar que la aproximacion
hecha de la volatilidad implıcita no sea del todo correcta. De hecho, puede ser
que el algoritmo que usemos converja y, sin embargo, el error en la aproximacion
sea grande.
En el capıtulo anterior definimos una forma normalizada de la ecuacion de BSM
(ecuacion 1.3) que resulta conveniente para nuestro analisis pues reducimos el
numero de variables de cinco a dos. Bajo este esquema, el problema del calculo
de la volatilidad implıcita es que dada x ∈ (0, 1) fija y c∗ ∈ (1− x, 1), debemos
encontrar b∗ > 0 tal que c∗ = γ(δ, b∗).
Como vimos en el capıtulo anterior, γ(δ, b) es una funcion estrictamente creciente
respecto de b, por lo que existe una relacion inyectiva entre γ y b. Por lo tanto,
el problema siempre tiene solucion. Sin embargo, encontrar la solucion implica
encontrar la funcion inversa de γ, la cual, como ya se comento, no tiene una
forma cerrada, por lo cual se deben usar metodos numericos como el algoritmo
de Newton para resolver el problema.
Cualquier algoritmo que se utilice para calcular la volatilidad implıcita en la
ecuacion de BSM, se enfrentara a un problema que de no ser tomado en cuenta,
provocara que la estimacion hecha de la volatilidad no sea precisa. Este proble-
ma, que sera analizado a continuacion, es que la funcion inversa de γ resulta ser
una funcion mal condicionada en algunos puntos.
Denotemos por b(δ, c) a la funcion inversa de γ respecto de b, es decir, b(δ, c) es
tal que c = γ(δ, b(δ, c)). Para ver que b(δ, c) es una funcion mal condicionada,
debemos calcular la sensibilidad de b respecto de c, para lo cual, recordando
la formula de las sensibilidades dada en 2.8, debemos calcular la derivada de b
respecto de c. Por el teorema de la funcion implıcita:
db
dc=
(∂
∂bγ(δ, b)
)−1
=1
n(u(δ, b))
Para simplificar el analisis, recordando las definiciones de las funciones u y v,
podemos escribir la derivada de b respecto de c como:
∂b
∂c=√
2π
xe
v2(δ, b)2
Por tanto, la sensibilidad de b respecto de c esta dada por:
Analisis de Sensibilidades 12
Figura 2.1: Sensibilidad de b respecto de c
Sc(b(δ, c)) =
∣∣∣∣∣∣∣√
2πc
xbe
v2(δ, b)2
∣∣∣∣∣∣∣Dado que γ es una funcion inyectiva, cuando c tiende a 1, b tiende a infinito, y
por tanto:
lımc→1
Sc(b) = lımb→∞
Sc(b) = ∞
De igual forma, cuando c tiende a 1− x, b tiende a cero, por lo que:
lımc→1−x
Sc(b) = lımb→0
Sc(b) = ∞
Por lo anterior, observamos que la sensibilidad de b respecto de c es muy grande
para valores de c cercanos a 1 o a 1 − x. Serıa de gran interes poder ver estas
sensibilidades con algun ejemplo, pero para ello se requiere de un algoritmo
eficaz que nos permita calcular numericamente la funcion inversa de γ, lo cual
sera analizado en el siguiente capıtulo. Por lo pronto, presentamos la grafica de la
sensibilidad de b. Observamos en ella que ninguna de las tres curvas presentadas
es menor a uno en ningun valor de c, por lo que podemos concluir - por la
continuidad de la sensibilidad de la funcion - que para cualquier c, la funcion
inversa de γ es mal condicionada.
Capıtulo 3
El Metodo de Newton y la
Volatilidad Implıcita
Como se observo en la seccion 2.3, el calculo de la volatilidad implıcita es un
problema mal condicionado, y para resolverlo con eficacia requerimos de un al-
goritmo en el que podamos controlar de alguna manera el error de la estimacion
y la velocidad de la convergencia. El metodo de Newton es posiblemente el al-
goritmo mas eficaz para encontrar ceros de funciones no lineales; sin embargo,
tiene la dificultad de necesitar de un punto inicial adecuado para su conver-
gencia. De hecho, la convergencia del algortimo depende del punto inicial que
tomemos.
En este capıtulo analizaremos el metodo de Newton, y haremos uso de el para
calcular la volatilidad implıcita en la ecuacion de BSM. Dada la importancia
del punto de inicio en los metodos numericos para garantizar su convergencia,
encontraremos un punto inicial para el metodo de Newton, que garantice la con-
vergencia en nuestro caso. Para ello, haremos uso de un resultado que relaciona
la existencia de la solucion y la convergencia del metodo con el punto inicial;
este resultado es un Teorema de Ostrowski.
Demostraremos que bajo ciertos supuestos, al comenzar desde el punto de in-
flexion de la funcion objetivo, las iteraciones del metodo de Newton “entran”
en un rango en el cual se cumple el criterio de Ostrowski (este se definira en su
momento), garantizandonos la convergencia al cero de la funcion.
13
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 14
3.1. El Metodo de Newton y el Teorema de Os-
trowski
Antes de comenzar a enunciar los resultados concernientes al metodo de Newton,
definiremos la notacion que usaremos a lo largo de este capıtulo. Supongamos
que f es una funcion continua y diferenciable en un intervalo abierto que contiene
a un punto x∗ tal que f(x∗) = 0. Llamaremos a este punto, x∗, como el cero o la
raız de f . Denotaremos por x0 al punto inicial del algoritmo, y supondremos que
f ′(x0) 6= 0. De hecho, como veremos en los teoremas de convergencia es necesario
que f ′(x) 6= 0 para toda x que se encuentre dentro de un cierto intervalo que
incluye a x∗ y a x0.
Para deducir la sucesion del metodo de Newton, veamos que por el teorema de
Taylor, si expandimos f en x∗ alrededor de x0, tenemos la siguiente expresion:
f(x∗) = f(x0) + f ′(x0)(x∗ − x0) + o(x∗ − x0)
Si en la expresion anterior ignoramos el error, obtenemos una primer aproxi-
macion x1 de x∗ en terminos de x0, a saber:
x∗ ≈ x1 := x0 −f(x0)f ′(x0)
(3.1)
A continuacion, expandimos f(x∗) alrededor de x1, y obtenemos una nueva
aproximacion x2 de x∗. De esta manera, generamos una sucesion N = {xk}k∈N,
la cual llamaremos la sucesion generada por el metodo de Newton, donde:
xk+1 = xk −f(xk)f ′(xk)
(3.2)
La sucesion generada por Newton guarda una estrecha relacion con la sensibili-
dad de la funcion definida en el capıtulo anterior (ecuacion 2.6). Para ver esta
relacion, definamos la diferencia de xk+1 con xk como
hk = − f(xk)f ′(xk)
La norma del paso de la k-esima iteracion de Newton, hk, es el inverso de la
sensibilidad de la funcion en xk, multiplicada por un factor de escala:
‖hk‖ =‖xk‖
S(f(xk))
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 15
Figura 3.1: Funcion f(x) = N(x)− 0.2
Lo anterior implica que entre mas sensible sea la funcion en xk, menor sera el
paso que tome la sucesion al siguiente iterando, de manera que el algoritmo
debera realizar mas iteraciones cuanto mas sensible sea la funcion.
Por otro lado, la sucesion {xk} no siempre converge al cero de la funcion x∗, ya
que la convergencia depende del punto inicial x0 que tomemos. De hecho, antes
de demostrar los teoremas de convergencia y enunciar los supuestos que debe
tener la funcion f para que el algortimo converga tanto local como globalmente,
veremos un ejemplo en el que no necesariamente se da la convergencia.
Ejemplo 1. Tomemos como ejemplo un caso interesante, que ademas de tener
una gran cantidad de aplicaciones, nos servira para ejemplificar el problema
del calculo de la volatilidad implıcita. Consideremos la funcion de distribucion
normal estandar. Supongamos que deseamos calcular un cierto percentil α de
dicha distribucion. En nuestro contexto, calcular el percentil α de la distribucion,
implica resolver la ecuacion
N(x) = 1− α
donde N(x) es la funcion de distribucion normal estandar. Para nuestro caso,
tomemos α = 0.8, por tanto, consideraremos la funcion f(x) = N(x)−0.2, cuya
grafica se muestra en la figura 3.1. Podemos observar en la grafica que el cero
de la funcion se encuentra entre [−1, 0].
Tomando como punto inicial a x0 = 0, el algoritmo requiere solo de 4 iteraciones
para hallar una aproximacion a la solucion con una precision de 10−10. La
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 16
Cuadro 3.1: Iteraciones del Metodo de Newton para la funcion f(x) = N(x)−0.2,
iniciando en x0 = 0
It x f(x)
0 0.000000 0.491462
1 -0.751988 -0.014858
2 -0.838553 0.000369
3 -0.841617 -0.000000
4 -0.841621 -0.000000
solucion aproximada es −0.8416. El cuadro 3.1 muestra las iteraciones realizadas
por el algoritmo.
Ahora, observemos lo que sucede cuando iniciamos en un punto un poco mas
alejado de la solucion, por ejemplo, en x0 = 1.5. En este punto tenemos que
f(x0) = 0.7332, f ′(x0) = 0.1295, y por tanto, la siguiente aproximacion a la
solucion es x1 = −4.1610. Observamos que la nueva aproximacion se encuentra
mucho mas alejada de la solucion que el punto con el que iniciamos; esto ya es
un indicador de que el algoritmo no esta funcionando, pues nos ha alejado de la
solucion en apenas una iteracion. Si continuasemos con el algoritmo, al evaluar la
derivada en x1, obtenemos que esta ya es demasiado pequena f ′(x1) ≈ 6.9∗10−5,
de manera que la siguiente iteracion debera de darnos un punto mucho mas
alejado de la solucion que x1; de hecho, si hacemos los calculos, la siguiente
iteracion sera x2 = 2877.66
Hemos visto en este ejemplo la importancia que tiene el punto de inicio en el
metodo de Newton. Esta es una caracterıstica no muy deseable del algoritmo,
y nos gustarıa saber bajo que condiciones el metodo funciona a pesar de que
el punto inicial no se encuentre suficientemente cerca de la solucion. Antes de
analizar y demostrar las condiciones de convergencia global, debemos demostrar
que localmente el algoritmo converge. Para ello, enunciaremos y demostraremos
el teorema clasico de convergencia de Newton.
Teorema 1 (Newton) Sean f : R → R y x∗ ∈ R tales que:
a) f es una funcion continua y dos veces diferenciable.
b) f(x∗) = 0 y f ′(x∗) 6= 0
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 17
Entonces, la sucesion generada por Newton converge a x∗ si el punto inicial x0
esta suficientemente cerca de x∗.
Demostracion. En primer lugar, dado que suponemos que f ′(x∗) 6= 0, y que
x0 esta sufiencientemente cerca de x∗, entonces podemos suponer que existe δ
tal que x0 ∈ (x∗−δ, x∗+δ) y f ′(x) 6= 0 para toda x ∈ (x∗−δ, x∗+δ). Definamos
g(x) = x− f(x)f ′(x)
Dado que supusimos que f ′(x) 6= 0, en Vδ(x∗), entonces la funcion g(x) esta bien
definida en dicha vecindad. Notemos que g(x∗) = x∗. Ahora bien,
g′(x) =f(x)f ′′(x)(f ′(x))2
entonces g′ es continua y g′(x∗) = 0, por lo que podemos suponer que
|g′(x)| ≤ K < 1
para toda x ∈ Vδ(x∗)
Ademas, si x ∈ Vδ(x∗) entonces, g(x) ∈ Vδ(x∗), pues:
|g(x)− x∗| = |g(x)− g(x∗)|
= |g′(ξ)| |x− x∗|
< |x− x∗|
La segunda igualdad se deduce del teorema del valor medio. Ahora bien, para
demostrar la convergencia de la sucesion, veremos que la sucesion de los errores,
|xk − x∗| es siempre menor a una sucesion que sabemos converge a cero, y por
tanto, la sucesion de los errores tambien convergera a cero, por ser positiva.
|xk − x∗| = |g(xk−1)− g(x∗)|
= |g′(ξk)| |xk−1 − x∗|
≤ K |xk−1 − x∗|
Siguiendo las expresiones anteriores, podemos demostrar por induccion que
|xk − x∗| ≤ Kk |x0 − x∗|
Dado que K < 1, entonces la sucesion Kk converge a cero, y por tanto, la
sucesion generada por el metodo de Newton converge a x∗.
. . .�
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 18
Debemos hacer notar que en el teorema anterior, hemos supuesto que x0 esta su-
ficientemente cerca de x∗, pero no dijimos cuanto es suficiente. Sin embargo, en
la prueba hemos visto que lo unico necesario para garantizar la convergencia, es
que ∣∣∣∣f(x)f ′′(x)(f ′(x))2
∣∣∣∣ ≤ K < 1 (3.3)
para toda x que se encuentre en una vecindad δ de x∗, la cual contiene a x0.
Por ello, para asegurar que el metodo de Newton converge, debemos probar que
se cumple una desigualdad en todo un intervalo que contiene tanto a la raız de
la funcion como al punto inicial. Una condicion mas operativa que garantiza la
convergencia del metodo esta dada por el siguiente teorema de Ostrowski1.
Teorema 2 (Ostrowski) Sea f : R → R continua y dos veces diferenciable.
Supongamos que f(x0)f ′(x0) 6= 0. Sean h0 = −f(x0)/f ′(x0) y x1 = x0 + h0.
Consideremos el intervalo2 J0 = Int {x0, x0 + 2h0} y definamos M = supJ0|f ′′(x)|.
Si
2|h0|M|f ′(x0)|
≤ 1 (3.4)
y definimos xk+1 = xk − fk/f ′k (iteracion de Newton), entonces xk ∈ J0 y
xk → x∗ (k →∞), con x∗ ∈ J0 Mas aun, se tienen las siguientes relaciones∣∣∣∣xk+1 − xk
xk − xk−1
∣∣∣∣ ≤ M
2|f ′k|
|x∗ − xk+1| ≤ M
2|f ′k||xk − xk−1|2
Demostracion. Demostraremos que el intervalo J1 = Int {x1, x1 + 2h1} esta con-
tenido en J0, donde h1 = −f1/f ′1 y x1 = x0 + h0. Entonces,
J1 = Int {x0 + h0, x0 + h0 + 2h1}
Es evidente que si |h1| ≤ 12 |h0|, entonces el teorema quedara demostrado. Por
el teorema de Taylor, sabemos que
f ′(x1) = f ′(x0) + f ′′(ξ1)(x1 − x0)
= f ′(x0) + f ′′(ξ1)h0
donde ξ1 esta entre x1 y x0. Tomamos valores absolutos
|f ′(x1)− f ′(x0)| = |f ′′(ξ1)h0|
≤ |h0|M
≤ 12|f ′(x0)|
1Ver Ostrowski 1973, pp. 56 a 60.2Denotamos por Int{a, b} al intervalo [a, b] cuando a < b, y al intervalo [b, a] cuando a > b
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 19
donde la ultima desigualdad se deduce por el supuesto del teorema, ecuacion
3.4. Por propiedades del valor absoluto
|f ′(x1)| − |f ′(x0)| ≤ |f ′(x1)− f ′(x0)| ≤12|f ′(x0)|
⇒ |f ′(x1)| ≥12|f ′(x0)| (3.5)
Por otro lado, tenemos que
f(x1) = f(x0) + f ′(x0)(x1 − x0) +12f ′′(ξ2)(x1 − x0)2
= f(x0) + f ′(x0)h0 +12f ′′(ξ2)h2
0
donde otra vez ξ2 esta entre x1 y x0. Por la definicion de x1 deducimos que
f(x1) =12f ′′(ξ2)h2
0
|f(x1)| ≤ 12|h0|2M (3.6)
De la definicion de h1 y de las ecuaciones 3.5 y 3.6 tenemos que
|h1| =∣∣∣∣− f(x1)
f ′(x1)
∣∣∣∣ ≤ h20M
|f ′(x0)|
Finalmente, por la ecuacion 3.4
|h1| ≤12|h0|
Hasta aquı hemos demostrado que el intervalo J1 ⊂ J0 y ademas, la longitud de
J1 es a lo mas la mitad de la longitud de J0. Inductivamente podemos demostrar
que Jk+1 ⊂ Jk, tomando a x1 como el nuevo punto de inicio. Esto hace visible
que la sucesion debe converger, y como ademas J0 es compacto, la sucesion
debe converger a un punto en J0. Matematicamente escribimos que xk → x∗
con x∗ ∈ J0
Ahora bien, para probar que x∗ es una raız de f , observamos la definicion de
xk y tomamos lımites
xk+1 = xk −fk
f ′k=⇒ x∗ = x∗ − f(x∗)
f ′(x∗)
por lo tanto, f(x∗) = 0.
. . .�
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 20
Es importante hacer notar que el teorema asegura dos cosas. La primera es que
de cumplirse la desigualdad 3.4, existe un punto al cual converge la sucesion ge-
nerada por Newton, y ademas, dicho punto es una raız de la funcion. La segunda
parte es que, otra vez, de cumplirse la desigualdad, la sucesion se encontrara en
su totalidad dentro de un intervalo que hemos definido por J0.
Antes de continuar, llamaremos la desigualdad 3.4 como el criterio de Ostrowski,
y definiremos la funcion siguiente
ω(x) = 2M(x)∣∣∣∣ h(x)f ′(x)
∣∣∣∣ (3.7)
donde M(x) = supJ{|f ′′(ξ)|}, h(x) = −f(x)/f ′(x) y J = Int{x, x + 2h(x)}
Es facil observar que el criterio de Ostrowski implica la desigualdad 3.3. Por ello,
el criterio de Ostrowski es mas restrictivo que el teorema de Newton, sin embargo
al plicar los resultados a un caso particular, es mejor pensar en la desigualdad
dada por el criterio de Ostrowski dado que esta debe probarse solo para el punto
inicial, y no para todo un intervalo J0 como en el caso de la desigualdad 3.3.
En la siguiente seccion usaremos esta propiedad para demostrar que el metodo
de Newton converge globalmente bajo ciertos supuestos, que en el caso de la
funcion de BSM (que es el caso que nos interesa) se cumplen.
3.2. Convergencia Global del Metodo de New-
ton
En la seccion anterior discutimos la convergencia local del metodo de Newton, y
expusimos un resultado importante para nuestro analisis que, como comentamos
en su momento, a pesar de que resulta ser mas restrictivo que los supuestos del
teorema de convergencia local, nos permite pensar solo en el punto inicial y
no en todo un intervalo. En esta seccion demostraremos que a pesar de que
los supuestos de estos teoremas no se cumplan del todo, el algoritmo puede
converger si la funcion cumple con ciertos supuestos adicionales. Estos supuestos
estan dados por algunas propiedades de la funcion de nuestro interes, γ(δ, b)
(ecuacion 1.3).
Recordemos que hemos hecho el supuesto que δ es un parametro fijo de γ, y que
por tanto, la variable de nuestro interes es b. Como se observo en la seccion 1.1,
γ es una funcion estrictamente creciente, definida en (0,∞), cuya concavidad es
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 21
positiva en (0, δ) y negativa en (δ,∞). El punto δ, ademas de ser el punto de
inflexion de la funcion, es tambien el punto donde se maximiza la pendiente.
Si observamos que el metodo de Newton en R busca la direccion de maximo
descenso (o ascenso) para tomar el paso al siguiente elemento de la sucesion, y
que la derivada de la funcion es de hecho esa direccion, entonces la intuicion nos
dirıa que un “buen” punto de inicio es aquel en el que se maximiza la derivada.
Dado que dicho punto es δ, dividiremos el analisis en dos casos, a saber, cuando
la raız se encuentra a la izquierda de δ, y cuando se encuentra a la derecha. En
el primer caso, la funcion es estrictamente creciente y convexa, mientras que en
el segundo es concava. Iniciemos analizando el primer caso.
Supongamos que tenemos una funcion f continua y dos veces diferenciable.
Supongamos que f ′(x) > 0 y f ′′(x) ≥ 0 para toda x en un intervalo J cerrado,
en el cual existe un unico punto x∗ tal que f(x∗) = 0. Definamos la funcion de
Ostrowski como en 3.7; esta funcion es continua y vale cero solo en x∗. Definamos
tambien el conjunto
S = {x ∈ J | ω(x) ≤ 1}
Este es un Intervalo Cerrado3.
Teorema 3 Sea f : R → R continua y dos veces diferenciable. Supongamos que
f ′(x) > 0 y que f ′′(x) ≥ 0 para toda x en J . Supongamos que existe una unica
raız de f en J , denotada por x∗. Si x0 > x∗, entonces el metodo de Newton
genera una sucesion estrictamente decreciente que converge dentro de S.
Demostracion. Observamos que bajo los supuestos del teorema f(x0) > 0,
debido a que la funcion es estrictamente creciente en [x∗, x0]. Para probar que
la sucesion generada por Newton es estrictamente decreciente, demostraremos
por induccion que si f(xk) > 0, entonces xk+1 < xk y que f(xk+1) ≥ 0 por lo
que xk+1 ≥ x∗.
Por definicion x1 = x0 + h0 donde
h0 = − f(x0)f ′(x0)
< 0
3Para aclarar esta afirmacion, veamos que A = {x ∈ J | ω(x) < 1} es un conjunto abierto,
y como tal, puede escribirse como la union de intervalos abiertos ajenos A = ∪nkAk. Como en
cada intervalo Ak el criterio de Ostrowski es menor que uno, existe una raız en cada intervalo,
pero supusimos que solo existe una raız, por lo que A es solo un intervalo abierto. Si definimos
a S como la cerradura de A, entonces S es un intervalo cerrado
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 22
Por lo tanto, x1 < x0. Ahora bien, por el teorema de Taylor, tenemos que
f(x1) = f(x0) + f ′(x0)(x1 − x0) +12f ′′(ξ0)(x1 − x0)2
donde ξ0 ∈ (x1, x0). Por la definicion de x1, f(x0) + f ′(x0)(x1− x0) = 0 y dado
que supusimos que la funcion es convexa f ′′(ξ0) > 0, tenemos que
f(x1) = f ′′(ξ0)(x1 − x0)2 > 0
y por tanto, x∗ < x1. Utilizando los mismos argumentos podemos demostrar
que xk+1 < xk y que f(xk+1) > 0 para toda k = 0, 1, . . .
Por lo tanto, el metodo de Newton generara una sucesion estrictamente decre-
ciente, acotada por x∗ y por lo tanto converge. Ahora debemos demostrar que la
sucesion converge dentro de S, y por tanto, converge a x∗. La prueba la haremos
por contradiccion.
Supongamos que la sucesion converge a un punto x que se encuentra fuera de
S. Como la sucesion esta acotada por x∗, entonces x > x∗. Dado que S es
un intervalo cerrado, entonces existe una vecindad V de radio r de x tal que
S ∩ V = ∅.
Si la sucesion {xn} converge a x, entonces tenemos que para toda δ > 0, existe
Nδ ∈ N tal que si n > Nδ entonces |xn − x| < δ. Si ademas tomamos δ < r,
entonces
|hn| = |xn+1 − xn| ≤ |xn+1 − x|+ |xn − x| ≤ 2δ
Dado que para toda x ∈ V se tiene que ω(x) > 1, entonces
|f ′(x)| < 2M(x)|h(x)| ≤ 2M |h(x)|
donde M = sup{|f ′′(ξ)|}. De las desigualdades anteriores tenemos que
f ′(xn) < 2M |hn| ≤ 4Mδ (3.8)
La desigualdad anterior se cumple para toda δ < r si n > Nδ. Si definimos
ε = 4Mδ entonces tenemos que para toda ε > 0 existe N tal que si n > N
entonces |f ′(xn)| < ε. Por tanto, la sucesion f ′(xn) converge a 0, y dado que f
es una funcion continua, entonces f ′(x) = 0 lo cual es una contradiccion.
Por lo tanto, la sucesion xn converge a un punto dentro de S.
. . .�
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 23
Debemos hacer notar que el teorema anterior solo nos garantiza que el metodo
de Newton convergera dentro de una region que contiene a la raız de la funcion,
pero no nos dice que convergamos a ella. Sin embargo, esto esta implıcito, pues la
region a la que converge es aquella en la que se cumple el criterio de Ostrowski, y
como ya hemos demostrado en la seccion anterior, cuando se cumple el criterio,
podemos garantizar que la sucesion convergera a la raız de la funcion.
Ahora bien, hace falta resolver el problema para el otro caso, es decir, cuando
la funcion es concava y la raız se encuentra a la derecha del punto inicial. En
este caso, suponiendo que f ′′(x) < 0 para toda x ∈ J y que x0 < x∗ la sucesion
generada sera estrictamente creciente, y de igual forma convergera a la raız.
3.3. Calculo de la Volatilidad Implıcita
En la seccion anterior estudiamos algunos resultados que nos garantizan que
el metodo de Newton converge. En particular, revisamos el caso en el que la
funcion es estrictamente creciente demostrando que si f(x0)f ′′(x) ≥ 0 para
toda x dentro de un intervalo que contiene a la raız de la funcion, entonces el
metodo de Newton generara una sucesion estrictamente monotona, creciente o
decreciente, dependiendo del signo de la segunda derivada.
En esta seccion realizaremos una implementacion practica de los resultados es-
tudiados, aplicandolos al calculo de la volatilidad implıcita. Matematicamente,
podemos plantear nuestro problema de la siguiente manera: dado un parametro
x ∈ (0, 1) y un punto c∗ ∈ (1 − x, 1), deseamos encontrar b∗ ∈ (0,∞) tal que
γ(δ, b∗) = c∗. El problema se reduce entonces a encontrar la unica raız de la
funcion
fx(b) = γ(δ, b)− c∗
Si recordamos las propiedades analıticas de γ, veremos que fx es una funcion es-
trictamente creciente definida en (0,∞) que tiene un punto de inflexion en b = δ
donde fx(δ) = N(δ)−c∗. Para resolver el problema mediante el metodo de New-
ton, debemos elegir un punto inicial adecuado para garantizar la convergencia
del algoritmo.
Eligamos como punto inicial a b0 = δ. En el caso que c∗ < N(δ), sabemos
que la raız de la funcion estara a la izquierda del punto inicial, en el intervalo
(0, δ) donde la segunda derivada de γ es positiva. Por tanto, por el teorema de
convergencia global visto en la seccion anterior, el algoritmo convergera a la raız
de la funcion. En el otro caso, en el que c∗ > N(δ), la raız de la funcion estara a
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 24
Cuadro 3.2: Prueba 1
It x c∗ Punto Inicial Iteraciones Convergencia Solucion
1 0.9 0.3 δ = 0.459 3 Si 0.6637
2 0.9 0.3 0.1 5 Si 0.6637
3 0.9 0.3 0.5 3 Si 0.6637
4 0.9 0.9 δ = 0.459 6 Si 3.2380
5 0.9 0.9 0.1 6 Si 3.2380
6 0.9 0.9 0.5 6 Si 3.2380
7 0.5 0.6 δ = 1.177 3 Si 1.0239
8 0.5 0.6 0.1 - No -
9 0.5 0.6 2 5 Si 1.0239
10 0.5 0.9 δ = 1.177 6 Si 2.9219
11 0.5 0.9 0.5 7 Si 2.9219
12 0.5 0.9 2 5 Si 2.2919
la derecha del punto inicial, en (δ,∞) donde la segunda derivada es negativa; por
tanto, el algoritmo tambien converge en este caso. Entonces, para garantizar en
nuestro caso que el metodo de Newton convergera, basta con elegir como punto
de inicio el punto de inflexion de la funcion.
Una vez expuestos los resultados teoricos debemos comprobar que estos son
aplicables y que producen los resultados esperados. La primer prueba que re-
alizamos consiste en iniciar el metodo de Newton en diferentes puntos para
diversos valores de c∗ y de x, de manera que comprobemos que el mejor punto
inicial es δ, en el sentido de que resulve el problema sin importar el valor de c∗
o de x, y ademas es en general el punto desde el cual el algoritmo realiza menos
iteraciones.
La tabla 3.2 muestra los resultados de las pruebas realizadas. Observemos que
solo en la 8a muestra, el algoritmo no logro la convergencia, debido a que la
derivada en el punto inicial es casi cero. Vemos en la tabla que, a excepcion
del caso en el que x = 0.5 y c∗ = 0.9, el algoritmo realiza el menor numero de
iteraciones si toma como punto inicial a δ. Debemos hacer notar que la precision
con la que el algoritmo calcula los resultados es del epsilon de la maquina que
es alrededor de 2.2x10−16.
En la prueba anterior, tomamos puntos c∗ que no se encontraban demasiado
alejados de N(δ) por lo que el algoritmo convergio rapidamente a la solucion en
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 25
la mayorıa de los casos. Sin embargo, como lo comentamos en la seccion 2.3 los
problemas del calculo de la volatilidad implıcita se presentan cuando la solucion
del problema es muy cercana a cero o es muy grande; nos referimos a valores de
c∗ que estan muy pegados a 1 o a 1− x.
La prueba que mostraremos a continuacion compara el metodo de Newton ini-
ciando en δ con dos funciones que utilizan Matlab para hallar ceros de funciones
no lineales. La primer funcion que usaremos es fzero, la cual usa los metodos de
biseccion y de la secante para hallar ceros de funciones no lineales4. La segunda
funcion que usaremos es la funcion fsolve. Esta funcion es mas compleja que la
anterior, ya que esta se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.
Por esta razon, fsolve utiliza diferentes algoritmos que dependen de la cercanıa
del punto inicial a la solucion; originalmente la funcion usa un algoritmo de
mınimos cuadrados no lineales, aunque esta opcion puede cambiarse para usar
otros algoritmos como regiones de confianza y busquedas lineales entre otros.
En las pruebas realizadas, se observo que ninguno de los tres metodos produce
errores significativos. De hecho, el metodo fsolve es el que resulto ser el menos
preciso, pues con x = 0.9 y c∗ = 0.1001 existe un error despreciable respecto de
los otros dos metodos de 10−15. Por otro lado, la funcion fsolve realiza en general,
menos iteraciones que los otros metodos. Fsolve realiza muchas mas iteraciones
que los otros metodos por usar el algortimo de biseccion para hallar la raız de la
funcion. El metodo de Newton resulto ser el de mayor precision, ademas de que
por lo general realiza las mismas iteraciones que fsolve. La precision en estos
ejercicios puede ser alcanzada debido a que hemos elegido como punto de inicio
a δ. Si elegimos otro punto de inicio, los resultados ya no son los esperados. De
hecho, si elegimos puntos de inicio en zonas donde la derivada es casi cero, las
iteraciones nos llevaran a soluciones negativas.
Para concluir este capıtulo, en las siguientes graficas se muestra la funcion γ (a
la derecha) y su respectiva inversa (a la izquierda) para diferentes valores de x.
Observamos en las graficas de la derecha que conforme disminuye el valor de x,
la curva de la funcion se desplaza a la derecha, y la escala de γ disminuye; esto
ultimo debido a que la funcion γ esta acotada entre 1 − x y 1, de manera que
conforme mas pequena sea x, mas pequeno sera el intervalo de la grafica, y por
tanto, requerimos de mayor precision al calcular la funcion inversa. En todas
las graficas observamos que cuando b es mayor que 6, el valor de la funcion γ
es practicamente igual a uno, por lo que aumentos en esta variable no implican4Ver la Ayuda de Matlab.
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 26
Cuadro 3.3: Comparacion de los calculos de la volatilidad mediante la
metodologıa propuesta con las funciones de Matlab fsolve y fzero.
x c Metodo Solucion b γ(δ, b) Iteraciones
fzero 0.01072192 0.011 + 10−16 34
0.99 0.011 fsolve 0.01072192 0.010999 5
Newton 0.01072192 0.011 5
fzero 0.04324757 0.1001 41
0.9 0.1001 fsolve 0.04324757 0.1001+3.2 10−15 8
Newton 0.04324757 0.1001 9
fzero 0.06112015 0.101 33
0.9 0.101 fsolve 0.06112015 0.101 7
Newton 0.06112015 0.101 7
grandes aumentos en el valor de la funcion, es decir, γ(δ, b) no es sensible a
cambios en el valor de b para valores grandes (aproximadamente mayores a 6).
Sin embargo, cuando el problema es calcular el valor de la funcion inversa b(δ, c)
para valores de c cercanos a uno, la sensibilidad es muy alta, como se puede
observar en las graficas de la izquierda. Lo que se observa es que para valores
de c cercanos a la unidad, el valor de b puede aumentar o disminuir consider-
ablemente si cambiamos un poco el valor de c. A pesar de la alta sensibilidad,
la metodologıa propuesta en este trabajo para calcular el valor de la volatilidad
implıcita, calcula el valor de b con una gran precision, lo cual se observa en las
graficas.
Ahora bien, el desplazamiento de las curvas de la funcion γ a la derecha con-
forme disminuye el valor de x hace visible que para valores de b pequenos, el
valor de la funcion es practicamente igual a cero. Al igual que en el caso an-
terior, esto implica una baja sensibilidad de γ para valores pequenos de b, y
una alta sensibilidad de la funcion inversa para valores de c cercanos a 1 − x.
En las graficas observamos que a pesar de la alta sensibilidad de la funcion, la
metodologıa calcula el valor de b con gran precision.
Es importante resaltar que conforme disminuye el valor de x, la escala de las
graficas disminuye, lo cual implica que requerimos de mayor precision al calcular
la funcion inversa, ya que la curva de γ es cada vez mas plana y menos sensible
al valor de b, y por el contrario la funcion inversa es cada vez mas sensible al
valor de c (ver tambien la figura 2.1).
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 27
Este metodo para calcular la volatilidad implıcita sirve para calcular raıces
de funciones monotonas que tienen un punto de inflexion x0, cuando para toda
x ∈ J se tenga que f(x0)f ′′(x) > 0 donde J es un intervalo que contiene a la raız
de la funcion. La aplicacion directa de este resultado es el calculo de percentiles
para funciones de distribucion que cumplan con los supuestos anteriores, como
es el caso de las distribuciones normal, gamma, beta, entre otras (ver ejemplo 1
pp. 15).
Figura 3.2: Inversa de γ con x = 0.9
Figura 3.3: Inversa de γ con x = 0.5
El Metodo de Newton y la Volatilidad Implıcita 28
Figura 3.4: Inversa de γ con x = 0.1
Figura 3.5: Inversa de γ con x = 0.01
Capıtulo 4
Una aplicacion de la
Volatilidad Implıcita
Una aplicacion directa y de gran interes de la Volatilidad Implıcita es el calculo
de coberturas. Cubrir una posicion o realizar una estrategia de cobertura es
balancear un portafolio de manera que podamos reducir o eliminar un riesgo
en particular. Cuando una estrategia de cobertura elimina totalmente el riesgo
que se desea cubrir, se dice que la cobertura es perfecta. Sin embargo, debido
a la aleatoriedad de los mercados financieros, las coberturas perfectas son poco
comunes. En este sentido, lo mejor que se puede obtener es un portafolio que se
rebalancea en el tiempo, de manera que se minimice el riesgo en cada momento;
esto es, una cobertura dinamica, en contraste con una cobertura estatica.
Se pueden realizar estrategias de cobertura para minimizar el riesgo de cambios
en el precio del subyecente, en la tasa de interes, en el tiempo y en la volatilidad
del subyecente, entre otros. Sin embargo, en la practica la mayorıa de las veces,
solo se cubre el riesgo por cambios en el precio del subyacente, debido a que
otras coberturas pueden resultar ser demasiado costosas1.
En este capıtulo estudiaremos brevemente la llamada cobertura delta de una
opcion de compra, bajo el modelo de Black y Scholes, y analizaremos la impor-
tancia de calcular la volatilidad implıcita de forma precisa para que las cober-
turas que se realicen sobre la opcion realmente minimicen el riesgo deseado.1Esto es debido a que para realizar otras coberturas se requiere comprar otros derivados
relacionados al subyacente, lo cual no siempre es posible, es costoso y/o aumenta el riesgo del
portafolio en vez de reducirlo.
29
Una aplicacion de la Volatilidad Implıcita 30
4.1. La Cobertura Delta
Como se menciono, una estrategia de cobertura consiste en balancear un portafo-
lio de manera que podamos reducir o eliminar un cierto riesgo. Por ejemplo,
supongamos que un inversionista ha vendido un call europeo sobre el precio
de algun bien subyacente, es decir, tiene una posicion corta en el subyacente.
Si en algun momento de la vida del contrato, el precio del bien subyacente
aumenta, el valor del contrato tambien aumentara, lo cual no es conveniente
para el inversionista; si por el contrario, el precio baja, el valor del contrato
tambien descendera y el inversionista tendra una ganancia. Supongamos que el
inverionista desea cubrir esta posicion, es decir, que las fluctuaciones del precio
del subyacente no afecten el valor de su portafolio2. Para realizar la cobertura,
el inversionista puede comprar cierta cantidad del subyacente, de manera que
cuando el precio aumenta, tendra una perdida derivada de la opcion que ha ven-
dido, y una ganancia debida a las unidades del subyacente que ha comprado.
Para eliminar el riesgo, debe de comprar las unidades del subyacente necesarias
para que las ganancias compensen las perdidas.
Esta cobertura es conocida en la literatura como la cobertura delta o delta
hedging3. El calculo de la cobertura delta consiste en encontrar la cantidad
k del bien subyacente que se debe comprar para neutralizar las perdidas del
portafolio debidas a los cambios del precio del subyacente S; es decir el inver-
sionista debe comprar una cantidad k del suyacente, de manera que el cambio
en el valor de la opcion sea igual a k veces el cambio en el precio del subyacente:
∆C = k∆S
Si suponemos que el valor de la opcion solo cambia debido a cambios en el precio
del subyacente, por el teorema de Taylor, podemos escribir el cambio en el valor
de la opcion como:
∆C =∂C
∂S∆S + o(∆S) (4.1)
donde o(∆S) representa un error que tiende a cero conforme ∆S tiende a cero.
Si ignoramos dicho error, la cantidad del subyacente que se debe comprar para
realizar la cobertura es:
k =∂C
∂S2En este ejemplo, el inversionista esta minimizando el riesgo de que el valor de su portafolio
disminuya debido a aumentos en el precio del subyacente.3Este nombre esta dado debido a que la cobertura esta relacionada, como se vera a con-
tinuacion, con la primera derivada del valor de la opcion respecto del precio del subyacente,
la cual es conocida como la delta de la opcion. Ver el capıtulo 15 del libro de Hull: Options,
Futures and Other Derivatives.
Una aplicacion de la Volatilidad Implıcita 31
En el modelo de Black-Scholes, el valor de una opcion tipo call, esta dada por
la ecuacion 1.1, y de acuerdo a la notacion que hemos usado en los capıtulos
anteriores es4:
C(S, X, σ, r, t) = S γ(δ, b)
De esta manera, la cobertura delta, la cual denotaremos a partir de este mo-
mento por ∆, esta dada por:
∆ =∂C
∂S= N(u(δ, b))
Por ejemplo, supongamos que un inversionista vende un call europeo sobre el
tipo de cambio peso-dolar, con las siguientes condiciones:
N Nominal 500,000,000
S Subyacente 10.42
X Precio de Ejercicio 10.43
r Tasa de Interes Domestica 8.6 %
q Tasa de Interes Externa 4.7 %
s Volatilidad 7.6%
T Plazo del Contrato 365
El valor del contrato es entonces:
C = $ 257,732,593.12
Sin tomar en cuenta el nominal, la delta de la opcion es:
∆ = N(u(δ, b)) = 0.7036
lo cual quiere decir que por cada peso que se desee cubrir, el inversionista de-
bera comprar, en este caso, 0.7036 dolares5.
4.1.1. Sensibilidad Numerica de la Delta de una Opcion
Al igual que en la seccion 2.3, en la que se estudio la sensibilidad de la volati-
lidad implıcita respecto del valor de la opcion, analizaremos a continuacion la4Recordemos que hemos supuesto que el parametro x = Xe−rt/S es menor a uno, por lo
que la relacion es cierta cuando esto es cierto. Por lo pronto supondremos que esto es cierto;
en un ejemplo posterior, mostraremos el caso en el que x > 1.5Este ejemplo esta tomado con datos de la CNBV, es decir, la opcion realmente se ha
comercializado en el mercado mexicano.
Una aplicacion de la Volatilidad Implıcita 32
Figura 4.1: Delta de una opcion como funcion de la volatilidad.
sensibilidad de la Delta de la opcion (o de la cobertura Delta) respecto de la
volatilidad.
Recordemos que la sensibilidad de una funcion f de una variable en un punto
x, esta dada por:
S(f(x)) =∣∣∣∣xf ′(x)
f(x)
∣∣∣∣En este caso, deseamos encontrar la sensibilidad respecto de b de la funcion
∆(b) = N(u(δ, b)), la cual esta dada por:
Sb(∆) = −v(δ, b)n(u(δ, b))N(u(δ, b))
En la grafica 4.1, se muestra el comportamiento de la Delta de una opcion con
respecto a la volatilidad. Observamos en la grafica que la funcion presenta un
rapido descenso en un principio, para luego alcanzar un mınimo en b = δ. En la
grafica 4.2 se muestra la derivada de la funcion ∆(b) para diferentes valores de
x. En ella podemos ver que la derivada esta acotada, por lo cual esperamos que
la sensibilidad de la cobertura tambien sea acotada.
Debido a ello, si cambiamos en 1% la volatilidad del subyacente, el cambio
en la Delta de la opcion sera menor a 1 %. Sin embargo, si traducimos este
cambio porcentual a unidades monetarias, el cambio ya no parecera tan pequeno.
Volviendo al ejemplo anterior, la delta de la opcion es ∆ = 0.7036, por lo que un
Una aplicacion de la Volatilidad Implıcita 33
Figura 4.2: Derivada de la Delta de una opcion como funcion de la volatilidad.
inversionista debe comprar Se−qT ∆ = $ 335,508,111 para cubrir esta posicion.
Si cambiamos en 1 % la volatilidad, es decir, de 7.6 % pasamos a 7.7 %, entonces
la Delta de la opcion sera ahora ∆ = 0.7012, lo cual implica que la cobertura
es de $ 334,374,875. Porcentualmente el cambio no es significativo, -0.33 %, sin
embargo, el cambio absoluto es de mas de un millon de pesos.
4.2. Aplicacion a dos Mercados diferentes
En esta seccion usaremos los resultados obtenidos en los capıtulos anteriores,
sobre el calculo de la volatilidad implıcita, para calcular la cobertura de opciones
cotizadas en dos mercados diferentes. Primero calcularemos la cobertura delta
a lo largo del tiempo, para una opcion sobre el IPC cotizada en el Mercado
Mexicano de Derivados (MexDer). Despues realizaremos el ejercicio para una
opcion cotizada en el mercado europeo, concretamente en la Bolsa de Paris.
El ejercicio consiste en tomar el precio de una opcion a lo largo del tiempo y
calcular la volatilidad implıcita en dicho precio. La volatilidad sera calculada de
dos formas diferentes, a saber, usando el Solver de Excel y usando la metodologıa
descrita en el capıtulo anterior.
Una aplicacion de la Volatilidad Implıcita 34
Figura 4.3: Volatilidad implıcita del IPC para diferentes valores del Strike.
4.2.1. Opciones sobre el IPC
Tomamos el precio de las opciones sobre el IPC cotizadas en el MexDer del
3 de agosto de 2006 al 3 de noviembre del mismo ano, con vencimiento al 15
de diciembre para diferentes valores del precio de ejercicio (Strike)6. La grafica
4.3 muestra la volatilidad implıcita del IPC (calculada mediante la metodologıa
presentada en el capıtulo anterior), para diferentes valores del precio de ejercicio.
Observamos en la grafica que para diferentes valores del precio de ejercicio a un
mismo tiempo, la diferencia en la volatilidad es mayor en los ultimos dıas del
estudio que al prinicipio. Tambien observamos un aumento en la volatilidad el
15 de agosto, debido a un aumento en el precio de las opciones el mismo dıa.
Ademas de calcular la volatilidad implıcita del IPC mediante la metodologıa
propuesta, se calculo usando el solver de Excel. Esta herramienta arroja ma-
yores volatilidades a las calculadas con la metodologıa propuesta. La maxima
diferencia se da el 29 de agosto con precio de ejercicio de $21,000. La volatilidad
calculada por la hoja de calculo es 35.59 %, y la calculada por la metodologıa
propuesta es 34.90%; el error relativo es de casi 2 %, que traducido a la delta
de la opcion, representa un cambio del 12 % (de 0.53 en Excel a 0.61).6Los datos son tomados de la pagina web del MexDer, sin embargo, en esta pagina se
actualizan los datos cada 3 meses, por lo que al momento de realizar los ejercicios no se
contaba con datos del ultimo trimestre del 2006. Para completar la historia, se tomaron los
datos del servidor de Bloomberg. No existen diferencias entre los dos reportes.
Una aplicacion de la Volatilidad Implıcita 35
Figura 4.4: Delta de una opcion sobre el IPC calculada por el solver de Excel y
calculada por la metodologıa propuesta.
La mınima diferencia se da el 30 de octubre con precio de ejercicio igual a
$23,500. Las volatilidades calculadas son 22.30 % en Excel a 22.24%, y las cober-
turas son 0.29 a 0.32 respectivamente. En la tabla 4.1 se muestran los resultados
obtenidos por ambos metodos para los ultimos cuatro dıas del periodo estudi-
ado, y para la maxima y mınima diferencia en la volatilidad. La diferencia en
la volatilidad no es significativa, aunque en las coberturas si lo es; mas aun si
tomamos en cuenta que la sensibilidad de la delta de la opcion es menor a uno.
En la grafica 4.4 se muestra la delta de la opcion calculada mediante ambas
metodologıas, para diferentes precios de ejercicio. En la grafica se observa que las
coberturas calculadas mediante la metodologıa propuesta son mas grandes que
las calculadas por Excel, debido a que el ultimo produce mayores volatilidades.
Es interesante observar que en los ultimos dıas la cobertura es mayor que en los
primeros dıas, y para precios de ejercicio menores la cobertura es mayor.
Una aplicacion de la Volatilidad Implıcita 36
Cuadro 4.1: Volatilidad Implıcita y Delta de la Opcion sobre el IPC para difer-
entes valores de precio de ejercicio. Comparativo entre metodologıas.
Fecha IPC Strike Volatilidad Delta
Met Propia Excel Met Propia Excel
29/08/2006 21,282.08 21,000 34.90% 35.59% 60.86% 53.16%
30/10/2006 22,370.09 23,000 22.21% 22.28% 42.20% 39.14%
03/11/2006 23,169.87 24,000 22.93 % 23.00 % 38.01 % 35.10%
23,500 23.09 % 23.16 % 48.57 % 45.44 %
23,000 23.34 % 23.42 % 59.30 % 56.15 %
22,500 23.68 % 23.75 % 69.31 % 66.36 %
22,000 26.95 % 27.07 % 75.75 % 72.68 %
21,500 24.23 % 24.32 % 85.18 % 83.10 %
21,000 27.26 % 27.39 % 88.32 % 86.26 %
01/11/2006 23,042.28 24,000 22.63 % 22.70 % 35.71 % 32.84%
23,500 22.85 % 22.92 % 46.07 % 42.93 %
23,000 23.03 % 23.11 % 56.75 % 53.54 %
22,500 23.28 % 23.35 % 66.97 % 63.92 %
22,000 27.82 % 27.96 % 73.01 % 69.59 %
21,500 23.67 % 23.75 % 83.71 % 81.50 %
21,000 28.63 % 28.78 % 85.62 % 83.09 %
31/10/2006 23,046.95 24,000 22.14 % 22.21 % 35.72 % 32.88%
23,500 22.74 % 22.82 % 46.32 % 43.15 %
23,000 22.90 % 22.97 % 56.92 % 53.70 %
22,500 23.12 % 23.20 % 67.09 % 64.02 %
22,000 26.56 % 26.68 % 73.76 % 70.51 %
21,500 23.44 % 23.52 % 83.80 % 81.59 %
21,000 26.83 % 26.96 % 86.88 % 84.63 %
30/10/2006 22,370.09 24,000 21.80 % 21.87 % 22.72 % 20.50%
23,500 22.24 % 22.31 % 32.03 % 29.29 %
23,000 22.21 % 22.28 % 42.20 % 39.14 %
22,500 22.35 % 22.42 % 53.19 % 50.00 %
22,000 25.73 % 25.84 % 62.75 % 59.17 %
21,500 22.76 % 22.84 % 73.85 % 71.07 %
21,000 26.17 % 26.30 % 79.35 % 76.46 %
Una aplicacion de la Volatilidad Implıcita 37
Figura 4.5: Evolucion del CAC 40. Precio en Euros.
4.2.2. Opciones sobre el CAC 40
El CAC es el homologo del IPC en la bolsa de Paris, Francia. En la bolsa de Paris,
existen varios ındices CAC: el CAC 40, CAC Next20, CAC MID100, entre otros.
El mas importante de ellos es el CAC 40, el cual se calcula a partir del precio
de los 40 valores mas importantes de dicha bolsa. La composicion del ındice se
revisa trimestralmente7. Para tener una idea de los niveles y la volatilidad del
ındice CAC 40, en la grafica 4.5 se muestra la evolucion del ındice del 1 de enero
2005 al 3 de noviembre del 2006. Observamos en la grafica que el precio del
ındice se encuentra en niveles de entre 5,300 y 5,400 euros en los ultimos dıas.
En cuanto a la volatilidad del ındice, la grafica 4.6 muestra la volatilidad im-
plıcita en el precio de las opciones, del 3 de agosto al 3 de noviembre de 2006. Si
comparamos esta grafica con la figura 4.3, vemos que el CAC 40 presenta menor
volatilidad que el IPC, y de hecho, la volatilidad del CAC 40 es mas estable que
la del IPC.
Por otro lado, en la grafica 4.6 observamos que la volatilidad del CAC 40 muestra
la llamada “mueca de volatilidad” o “volatility smirk” en ingles. La mueca de
volatilidad es la volatilidad como funcion del precio de ejercicico (strike); dado
que empıricamente se ha visto que dicha funcion es decreciente, se ha nombrado7Fuente: www.euronext.com y Bloomberg.
Una aplicacion de la Volatilidad Implıcita 38
Figura 4.6: Volatilidad implıcita del CAC 40 para diferentes valores del strike.
a la curva como la mueca de volatilidad – esto es lo que observamos en la
grafica8 –. Observamos, en la grafica 4.3, que la volatilidad del IPC no presenta
esta mueca, al menos no de forma consistente como se observa para el CAC 40.
Esto puede ser debido a que el mercado mexicano no es tan maduro como el
mercado frances. De hecho, en el mercado mexicano se usa en muchas ocasiones
la volatilidad historica del subyacente para dar precio a las opciones, y no se les
da como consenso del mercado.
Al igual que con el IPC, se calculo la volatilidad implıcita del CAC 40 en Excel
y mediante la metodologıa propuesta. Los resultados son similares a los del IPC,
la hoja de calculo produce estimaciones mas grandes que las de la metodologıa
propuesta, aunque la diferencia absoluta para el CAC 40 es mucho menor que
para el IPC (en parte porque el primero presenta niveles de volatilidad menores).
En este caso, la maxima diferencia se da el 7 de agosto, con precio de ejercicio
igual a 5,300; la volatilidad calculada por la metodologıa es 16.41 %, mientras
que la calculada en la hoja de calculo es 16.49 %. A pesar de que la diferen-
cia no es significativa, las coberturas estimadas si difieren bastante, 0.30 para
la metodologıa propuesta y 0.27 para la hoja de calculo. En la grafica 4.7 ob-8Empıricamente se ha observado que cuando el subyacente de la opcion es una accion o un
ındice accionario como el IPC y el CAC 40 la curva de volatilidad presenta la llamada mueca
o smirk ; cuando el subyacente es una moneda extranjera, la volatilidad presenta la llamada
sonrisa o smile.
Una aplicacion de la Volatilidad Implıcita 39
Figura 4.7: Delta de una opcion sobre el CAC 40 calculada mediante el solver
de Excel y calculada por la metodologıa propuesta.
servamos la diferencia en la cobertura estimada mediante ambas metodologıas.
Observamos que la diferencia no es tan grande como en el caso del IPC. En
la tabla 4.2 se muestran los resultados obtenidos para esta opcion, mediante
ambos metodos, para los ultimos cinco dıas del periodo de estudio. Observamos
que las diferencias en la volatilidad son menores a las de la opcion del IPC, sin
embargo las diferencias en las coberturas son mayores.
Una aplicacion de la Volatilidad Implıcita 40
Cuadro 4.2: Volatilidad Implıcita y Delta de la Opcion sobre el CAC 40 para
diferentes valores de precio de ejercicio. Comparativo entre metodologıas.
Fecha CAC 40 Strike Volatilidad Delta
Met Propia Excel Met Propia Excel
07/08/2006 4,956.34 5,300 16.41% 16.49% 30.01% 26.75%
31/10/2006 5,348.73 5,600 10.95% 10.95% 14.41% 13.54%
03/11/2006 5,336.30 5,700 10.67% 10.65% 4.59 % 4.22 %
5,600 10.24 % 10.24 % 10.52 % 9.91%
5,500 10.58 % 10.59 % 23.81 % 22.72%
5,400 11.03 % 11.04 % 42.28 % 40.81%
5,300 11.57 % 11.58 % 61.37 % 59.84%
02/11/2006 5,310.07 5,700 10.69% 10.70% 3.65 % 3.37 %
5,600 10.87 % 10.87 % 9.81 % 9.19%
5,500 11.17 % 11.18 % 21.50 % 20.40%
5,400 11.74 % 11.75 % 38.32 % 36.79%
5,300 12.51 % 12.52 % 56.20 % 54.49%
01/11/2006 5,370.86 5,700 10.28% 10.28% 6.34 % 5.90 %
5,600 10.52 % 10.52 % 15.64 % 14.78%
5,500 10.93 % 10.93 % 30.90 % 29.57%
5,400 11.51 % 11.52 % 49.38 % 47.77%
5,300 12.01 % 12.02 % 66.71 % 65.16%
31/10/2006 5,348.73 5,700 10.68% 10.68% 5.95 % 5.51 %
5,600 10.95 % 10.95 % 14.41 % 13.54%
5,500 11.36 % 11.37 % 28.29 % 26.96%
5,400 12.08 % 12.09 % 45.71 % 44.02%
5,300 12.67 % 12.68 % 62.42 % 60.70%
30/10/2006 5,362.23 5,700 11.11% 11.12% 7.88 % 7.32 %
5,600 11.39 % 11.39 % 17.27 % 16.26%
5,500 11.80 % 11.81 % 31.50 % 30.02%
5,400 12.52 % 12.53 % 48.34 % 46.56%
5,300 13.11 % 13.13 % 64.10 % 62.32%
Capıtulo 5
Conclusiones
La volatilidad implıcita es una estimacion de la volatilidad del precio futuro del
subyacente que, a pesar de heredar los supuestos erroneos del modelo de Black
y Scholes, es usada para calcular coberturas. Calcular la volatilidad implıcita
requiere de metodos numericos que estan sujetos a errores debidos tanto a la
aritmetica de punto flotante como a ciertas propiedades de la ecuacion de Black
y Scholes.
Para poder obtener estimaciones precisas de la volatilidad implıcita, estudiamos
en el capıtulo 3 el metodo de Newton, observando que el metodo requiere para
su convergencia de un punto inicial adecuado. En este capıtulo se demostro que
para funciones estrictamente crecientes que tienen un punto de inflexion, pode-
mos elegir este punto como inicio para el algoritmo, de manera que la conver-
gencia se garantiza. Este resultado es importante pues en la ecuacion de Black
y Scholes el punto de inflexion es el punto que caracteriza toda la forma de la
funcion, es decir, es el punto de maxima pendiente, el punto de inflexion y es
un factor de escala del problema.
Al comparar los resultados obtenidos mediante el metodo de Newton (como
se decribio en su momento), con los obtenidos mediante el solver de Excel,
observamos que los resultados son significativamente distintos, en el sentido
que a pesar de que el error relativo es pequeno, el error absoluto es grande
considerando que las cifras con las que trabajamos son menores a la unidad.
Si traducimos la volatilidad implıcita en la cobertura delta, observamos que
el calculo preciso de la volatilidad puede reducir o aumentar los costos de la
cobertura. En la seccion 4.1 tomamos una opcion sobre el tipo de cambio con
41
Conclusiones 42
informacion de la CNBV. Observamos que con esta opcion, el costo de la cober-
tura aumenta en mas de un millon de pesos al ser calculada con precision, aunque
el cambio relativo en la cobertura es menor al 1 % respecto de la reportada por
la CNBV.
Finalmente, se compararon los resultados obtenidos mediante la metodologıa
propuesta con los obtenidos en Excel al calcular la volatilidad implıcita y la
cobertura delta de dos opciones cotizadas en dos mercados diferentes: una opcion
sobre el IPC, cotizada en el MexDer, y una opcion sobre el CAC 40, cotizada
en la bolsa de Parıs. Los resultados obtenidos son que por lo general, Excel
calcula volatilidades mayores a las de la metodologıa propuesta. En cuanto a
la cobertura, debido a que no contamos con la informacion de las posiciones
en cualquiera de las dos opciones por parte de algun inversionista, no podemos
estimar el incremento o disminucion del costo de la cobertura calculada por
ambos metodos; sin embargo, observamos que existe un error de alrededor de
tres decimales en el calculo de las coberturas, lo cual nos indica que si existe
una diferencia que puede conllevar a errores graves.
Referencias
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Delta et de la Couverture Delta-Gamma d’un portefeuille dans le cadre
du modele de Black et Scholes”. Finance computationnelle et gestion des
risques (en proceso).
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