tiempos de primer paso en procesos de difusi on asociados

Master en Estadıstica Aplicada

Departamento de Estadıstica e Investigacion Operativa

Universidad de Granada

Trabajo fin de master

Tiempos de primer paso enprocesos de difusion asociados a

curvas de crecimiento

Dimicia Deyssi Rojas Huaroc

Granada, septiembre de 2016

Master en Estadıstica Aplicada

Departamento de Estadıstica e Investigacion Operativa

Universidad de Granada

Trabajo de investigacion presentado por Dna. Dimicia DeyssiRojas Huaroc y dirigido por el profesor Dr. D. Francisco deAsıs Torres Ruiz

VoBo

Francisco de Asıs Torres Ruiz

Dimicia Deyssi Rojas Huaroc

Índice general

Introducción CAPITULO 1: ESTUDIO GENERAL DEL PROCESO DE DIFUSIÓN

LOGNORMAL CON FACTORES EXÓGENO…….....................................................4

1.1. Proceso de difusión................................................................................................8

1.2. Proceso de difusión lognormal no homogéneo....................................................11

1.3. Proceso a partir de la ecuación estocástica..........................................................13

1.4. Proceso a partir de la ecuación Kolmogorov.......................................................16

1.5. Características del modelo.................................................................................. 20

CAPITULO 2: CURVAS DE CRECIMIENTO…….....................................................23

2.1. Curva Gompertz.................................................................................................. 24

2.2. Curva Bertalanffy................................................................................................ 26

2.3. Curva Richards.................................................................................................... 29

2.4. Curva Logística................................................................................................... 31

CAPITULO 3: MODELIZACIÓN DE LA CURVA DE CRECIMIENTO LOGISTICO

A PARTIR DEL PROCESO LOGNORMAL NO HOMOGENEOS…….................... 34

3.1. Proceso de difusión tipo logístico…………………………………………..…. 36

CAPITULO 4: TIEMPOS DE PRIMER PASO…………………………………......... 40

4.1. Definición de tiempos de primer paso ……………………………………..…..40

4.1.1. Obtención de la ecuación integral…......................................................... 41

4.1.2. Obtención de la ecuación integral para procesos transformados del proceso

Wiener………………………………………………….………………...43

4.2. Solución de la ecuación integral y soluciones explícitas…………….…………47

4.3. Aplicación………………………………………………….……..….…………48

4.3.1. Particularización del proceso lognormal……..……………..………..…..48

4.3.2. Particularización del proceso logístico…………………………………..54

Referencias

TIEMPOS DE PRIMER PASO EN PROCESOS DE DIFUSIÓN ASOCIADO A CURVAS DE CRECIMIENTO

R o j a s H u a r o c , D i m i c i a D e y s s i

Página 2



Página 3

INTRODUCCIÓN

Muchos fenómenos están modelados por procesos de difusión unidimensionales.

Los siguientes son algunos ejemplos; dinámica de una población de especies que

interactúan actividad neuronal, variación de crecimiento de la población, sustitución de

genes en el desarrollo evolutivo, química cinética, y modelos de la fiabilidad.

Sin embargo en las últimas décadas, ha surgido un número creciente de fenómenos

naturales que no encajan en la relativamente simple descripción de la difusión normal.

En general, hay varios enfoques, como ecuaciones de difusión fraccionarios y modelos

de pasos al azar continuas en el tiempo, para describir estos procesos de difusión.

En todas las aplicaciones se tiene la interrogante sobre el tiempo necesario para el

proceso estocástico para entrar en un subconjunto del espacio de estados por primera

vez.

El tiempo de primer paso (FPT) juega un papel importante en la teoría de los

procesos estocásticos. El problema del FPT, data de la tasa de Kramers que es la teoría

para la reacción química, es uno de los temas clásicos en sistemas dinámicos no lineales

estocásticos. El estudio del problema del FPT comenzó hace más de un siglo, pero sus

diversas y variadas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería en su mayoría surgieron en

las últimas dos o tres décadas. Ha atraído un amplio interés que van desde la bifurcación

y la resonancia estocástica para poblaciones dinámicas y el modelado estocástico.

El problema de FPT para procesos estocásticos consiste en el estudio del instante de

tiempo en el que el proceso alcanza por primera vez un nivel crítico o en general,

atraviesa una barrera dependiente del tiempo. Este problema surge en muchos

contextos. Suponiendo que 𝑋(𝑡) es un proceso estocástico unidimensional, tiempo de

primer paso se define como el tiempo 𝑡 cuando 𝑋(𝑡) cruza primero un umbral.

Debido a su relativa simplicidad, la densidad de FPT del proceso de Ornstein-

Uhlenbeck modulada por excitación periódica, siempre juega un papel prototipo en

diferentes aplicaciones.

El método de la ecuación integral es uno de las más frecuencias métodos utilizados

consiguiente para el cálculo de la primera densidad de tiempo de paso del proceso de

Ornstein-Uhlenbeck. En el fondo de la resonancia estocástica, el método de la ecuación

integral se ha extendido para casos dependientes del tiempo.



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Si el comportamiento de un intruso puede ser caracterizado con algún proceso

estocástico como el movimiento browniano, entonces el enfoque de FPT puede aplicar

para encontrar la solución de forma cerrada de la función de densidad de probabilidad

del tiempo de primer paso. Además, las soluciones a FPT dependen de condiciones de

contorno e iniciales de las correspondientes ecuaciones diferenciales parciales, y

también describen la evolución de PDF con el tiempo. Esto puede sugerir que es posible

modelar los cambios en el comportamiento de un intruso a través del tiempo y las

circunstancias.

Otra de las ventajas del análisis de FPT es que puede ayudar a solucionar algunos

problemas de proceso estocástico no-Markov por ejemplo en el análisis de la fiabilidad

y el análisis de supervivencia. [15]

Esto se conoce como el problema de tiempo de primer paso y las distribuciones de

FPT se estudian en todas las aplicaciones mencionadas. Este problema del tiempo de

primer paso, tiene muchas aplicaciones en los contextos esenciales tales como en la

biología, matemática financiera, seguros, economía, así como las estadísticas, como por

ejemplo, en la neurobiología, un potencial de acción, o impulso nervioso, se produce

cuando la tensión en un lugar determinado en una neurona alcanza un umbral. En el

contexto de crecimiento en las instalaciones ganaderas, el estudio de la talla de los

individuos con el tiempo es fundamental en la selección de muestras para el consumo.

En informática, las aplicaciones del análisis de FPT incluyen: la estimación de los

límites de la probabilidad de éxito de los algoritmos genéticos, el rendimiento de las

redes neuronales artificiales, acceso a medios de comunicación en las redes

inalámbricas. En economía, es importante conocer el momento en que una determinada

variable, al igual que el índice de precios al consumidor o el producto nacional bruto,

alcanza un determinado valor.

Uno de los campos de aplicación importantes han sido la física estadística y análisis

de la estructura (en ingeniería mecánica y civil). En la ciencia física, el problema de

FPT se estudia ampliamente en la física estadística y la química física, especialmente en

el estudio la difusión en los medios fluctuantes, tales como paseos aleatorios en

sistemas dinámicamente desordenados. Además de los métodos analíticos y numéricos,

la simulación de los procesos de difusión es una herramienta importante para estos

estudios.



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Muchos trabajos se han centrado en este tema. Por ejemplo, contiene una selección

de trabajos en un contexto biológico, mientras que en Gutiérrez et al. (1999) [10]

presenta un estudio para el campo económico.

El estudio de los procedimientos para obtener la función de densidad de la FPT

través de límites dependientes del tiempo para los procesos de difusión ha cubierto

varias fases.

En cuanto al caso homogéneo, [19] prueba que un procedimiento está indicado para

estimar pdf del tiempo de primer paso a través de límites variables para una clase de

procesos de difusión. [1] demostró que se prueba que densidad satisface una nueva

ecuación integral Volterra del segundo especie que implica dos funciones continuas

arbitrarias. Para demostrar que los procesos Wiener y Ornstein-Uhlenbeck, la

singularidad del núcleo se puede eliminar mediante una elección adecuada de estas

funciones. Finalmente, [5] generaliza el proceso de regularización del núcleo a la clase

de los procesos de difusión homogéneas.

Estos resultados anteriores han pasado por diversas etapas dependiendo del tipo de

proceso, para el caso no homogéneo, [9] validaron que la densidad del tiempo de

primer paso verifica la ecuación integral de Volterra para una clase de procesos de

difusión en tiempo no homogénea. [10]. Prueban la validez de la ecuación integral de

Volterra para la evaluación de las densidades de tiempo de primer paso a través de

distintas fronteras, estudian, aquellos procesos no homogéneos transformables al

proceso de Wiener y presentan algunos ejemplos para indicar el uso real del método.

Luego, [11] extendieron estos resultados y muestran su validez para la clase de los

procesos de difusión no homogéneos en general. Más recientemente, Di Nardo et

al. (2001) demostró que los resultados anteriores son también válido, en general, para

los procesos de Gauss-Markov.

Sin embargo, para la mayoría de procesos derivados de las aplicaciones, de

expresiones cerradas las soluciones para la ecuación integral no están disponibles, pero

se comprueba que la función de distribución de FPT es la solución de las ecuaciones

integrales. Por esta razón, en los casos sin soluciones explícitas, se necesitan

procedimientos numéricos y uno lleva así a la tarea complicada de determinar las

funciones de la transición en la presencia de límites, para que los métodos numéricos

sean llevados a cabo. En general el acercamiento analítico se hace particularmente



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eficaz cuando el proceso de difusión exhibe algunos rasgos especiales, como la simetría

de su pdf de la transición.

Además, las soluciones analíticas conocidas se limitan al caso unidimensional. El

problema FPT ha sido ampliamente investigado tanto para constantes y tiempos

dependientes de límites, produciendo expresiones explícitas para la densidad de FPT, en

ciencias de la ingeniería, métodos numéricos, como simulación de Monte Carlo y el

método de superficie de respuesta se pueden emplear para hacer frente a la no linealidad

y cuestiones complejas de dimensión más alta.

Esto ha determinado el desarrollo de métodos numéricos para la solución de

ecuaciones integrales de Volterra de primera y segunda especie. Los métodos más

habituales parte de procedimientos numéricos cuadratura, según lo propuesto por [1]

sobre la base del método trapezoidal compuesta. Los procedimientos generales para

ecuaciones integrales de Volterra del segundo tipo son actualmente objeto de estudio, en

este sentido, se introduce la función de (FPTL).

Introducen [22] el uso de la función tiempo primer paso localizado (FPTL) que

permite determinar algunos instantes de tiempo que proporcionan información útil con

el fin de obtener, por medio del esquemas numéricos, buenas densidades aproximadas

con un coste computacional menor. La estrategia empleada se centra en la solución

numérica de la ecuación integral de Volterra.



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CAPÍTULO 1. ESTUDIO GENERAL DEL PROCESO DE

DIFUSIÓN LOGNORMAL CON FACTORES EXÓGENOS

1.1. PROCESO DE DIFUSIÓN

Un proceso de difusión es un proceso de Markov en tiempo continuo {𝑋(𝑡), 𝑡0 ≤

𝑡 ≤ 𝑇 } que verifica ∀𝜀 > 0,∀𝑥 , con probabilidad de transición del proceso

𝐹(𝑥, 𝑡 |𝑦, 𝑠�) y trayectorias continuas. Satisface tres condiciones en 𝑠 ∈ [0,𝑇] 𝑦 𝜀 > 0,

siendo estas condiciones:

Condición 1: Esta condición implica la convergencia en probabilidad

limℎ→0

1ℎ

� 𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡).

|𝑦−𝑥|>𝜀

= 0

Condición 2:

𝐴1(𝑥, 𝑡) = limℎ→0

1ℎ

� (𝑦 − 𝑥)𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡).

|𝑦−𝑥|>𝜀

𝑑𝑦

Condición 3:


1ℎ

� (𝑦 − 𝑥)2𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡).

|𝑦−𝑥|>𝜀

𝑑𝑦

Existen los momentos truncados de los incrementos condicionados 𝐴1(𝑥, 𝑡) y 𝐴2(𝑥, 𝑡),

siempre existen estos momentos truncados, y que frente a los momentos infinitesimales

media y varianza, que no siempre existen, podemos asegurar que si existirán. Si

sabemos que los momentos truncados de orden 𝑝, donde 𝑝 > 2 en general son nulos.

En efecto:

limℎ→0

1ℎ

� |𝑦 − 𝑥|𝑝.

|𝑦−𝑥|≤𝜀

𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡) = 0



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Para comprobar que un proceso es de difusión, se usa en la práctica el siguiente

resultado que proporciona las condiciones suficientes y necesarias, entonces;

Sea un proceso markoviano, con espacio de estados continuos y trayectorias continuas,

verifica:

• Existe 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∀𝑥, limℎ→0 1ℎ

∫|𝑦 − 𝑥|2+𝛿 𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡) = 0

• Con momentos infinitesimales

Media infinitesimal:


1ℎ�(𝑦 − 𝑥)𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡)

Varianza infinitesimal:


1ℎ�(𝑦 − 𝑥)2 𝐹(𝑑𝑦, 𝑡 + ℎ|𝑥, 𝑡)

Si verifica lo anterior, entonces si es un proceso de difusión.

Para que la función de distribución de un proceso de difusión, verifique la ecuación

atrasada de Kolmogorov.

𝜕𝐹(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)𝜕𝑠

+ 𝐴1(𝑦, 𝑠)𝜕𝐹(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)

𝜕𝑦+𝐴2(𝑦, 𝑠)

2𝜕2𝐹(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)

𝜕𝑦2= 0 (1)

Siendo la condición:

lim𝑠↑𝑡 𝐹(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) = �1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝑦0 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑦

�,

se tiene que cumplir que dicha distribución de transición sea dos veces derivable

respecto de y, con derivadas continuas y acotadas. Además, si existen las densidades de

transición 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) , también verificarán dicha ecuación con condición inicial

lim𝑠↑𝑡 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) = 𝛿(𝑥 − 𝑦), siendo 𝛿 la función delta de Dirac.

Para que verifique la ecuación adelantada de Kolmogorov o ecuación de Fokker-Planck

𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)𝜕𝑡

= −𝜕[𝐴1(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)]

𝜕𝑥+

12𝜕2[𝐴2(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)]

𝜕𝑥2 (2)



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Si 𝑡0 < 𝑠 < 𝑡 < 𝑇 con la condición lim𝑠↑𝑡 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) = 𝛿(𝑥 − 𝑦) entonces se dice que

tienen que existir y ser continuas las derivadas.

𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)𝜕𝑡

,𝜕[𝐴1(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)]

𝜕𝑥 𝑦 𝜕2[𝐴2(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠)]

𝜕𝑥2

Si hacemos la suposición de tener momentos infinitesimales 𝐴1 y 𝐴2 verifican, para

todo valor x del espacio de estados y ∀𝑡 ∈ [𝑡0,𝑇], las siguientes condiciones:

• Existe 𝜎0,𝑘 constantes positivas, tales que �|𝐴1(𝑥, 𝑡)| ≤ 𝑘√1 + 𝑥2 0 < 𝜎0 ≤ �𝐴2(𝑥, 𝑡) ≤ 𝑘√1 + 𝑥2

�

• Existe 𝛾,𝑘 constantes positivas, tales que cumple la Condición de Hölder.

�|𝐴1(𝑥, 𝑡) − 𝐴1(𝑦, 𝑡)| ≤ 𝑘|𝑥 − 𝑦|𝛿

|�𝐴2(𝑥, 𝑡) −�𝐴2(𝑦, 𝑡)| ≤ 𝑘|𝑥 − 𝑦|𝛿�

Entonces se dice que verifica:

- La ecuación atrasada tiene una única solución sujeta a la anterior condición

frontera. 𝐹(𝑥, 𝑡;𝑦, 𝑠) es derivable respecto de 𝑥, por lo que admite densidad, que

también verificará la ecuación atrasada con condición frontera del tipo delta de

Dirac.

- Existe un proceso de Markov {𝑋(𝑡): 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇} con trayectorias continuas, que

verifica las condiciones de proceso de difusión y que tiene por función de

distribución de transición 𝐹(𝑥, 𝑡;𝑦, 𝑠).

- Si, las condiciones del enunciado son cumplidas por:

𝜕𝐴1(𝑥, 𝑡)𝜕𝑥

,𝜕𝐴2(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥𝑦 𝜕2𝐴2(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥2

Entonces la función de densidad de transición también es la única solución de la

ecuación adelantada.

- Por último, se tiene que si 𝛾=1, 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) es la densidad de transición de la única

solución de la ecuación integral estocástica.

-

𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑡0) + � 𝐴1(𝑋(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + � �𝐴2(𝑋(𝑠), 𝑠)𝑑𝑊(𝑠)𝑡

𝑡0

𝑡

𝑡0



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1.2.- PROCESO DE DIFUSIÓN LOGNORMAL NO HOMOGÉNEO

Sea {𝑋(𝑡); 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇}, un proceso de difusión lognormal no homogéneo en el

tiempo con momentos infinitesimales: infinitesimales: 𝐴1(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑡)𝑥 y 𝐴2(𝑥) =

𝜎2𝑥2 donde ℎ(𝑡) es una función continúa y acotada en [𝑡0,𝑇],𝜎 > 0, y con distribución

inicial degenerada o lognormal.

Para empezar comprobemos si existe 𝜎0, 𝑘 constantes positivas, tales que:

�|𝐴1(𝑥, 𝑡)| ≤ 𝑘�1 + 𝑥2 0 < 𝜎0 ≤ �𝐴2(𝑥, 𝑡) ≤ 𝑘�1 + 𝑥2

�

Se tiene que, |ℎ(𝑡)𝑥| ≤ |ℎ(𝑡)|𝑥 ≤ |ℎ(𝑡)|√1 + 𝑥2 , luego si 𝑡 ∈ [𝑡0,𝑇] y como h

continua, tenemos que alcanzar su máximo (𝑀) en [𝑡0,𝑇]. Entonces:

|ℎ(𝑡)|√1 + 𝑥2 ≤ |𝑀| ∙ √1 + 𝑥2 con 𝑡 ∈ [𝑡0,𝑇].

Por otro lado, se obtiene que 0 < 𝜎0 ≤ 𝜎𝑥 ≤ 𝑘√1 + 𝑥2.

Luego, tomando 𝑘 = 𝑚𝑎𝑥 (𝜎, |𝑀|) para 𝑡 ∈ [𝑡0,𝑇] y 𝜎0 = 𝜎𝜀 (𝑐𝑜𝑛 𝜀 > 0 𝑡. 𝑞. 𝜀 < 𝑥),

se verificarían las desigualdades.

Para comprobar la condición de Hölder, basta tomar el 𝑘 anterior y 𝛾 = 1 pues

|ℎ(𝑡)𝑥 − ℎ(𝑡)𝑦| ≤ |ℎ(𝑡)||𝑥 − 𝑦|

|𝜎𝑥 − 𝜎𝑦| = 𝜎|𝑥 − 𝑦|. Veamos ahora que las condiciones se cumplen también para las

expresiones siguientes

𝜕𝐴1(𝑥, 𝑡)𝜕𝑥

= ℎ(𝑡); 𝜕𝐴2(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= 2𝜎2𝑥 ;

𝜕2𝐴2(𝑥, 𝑡)𝜕𝑥2

= 2𝜎2

Para las dos primeras expresiones, se tiene:

Que |ℎ(𝑡)| ≤ |𝑀| ≤ |𝑀|√1 + 𝑥2, y que 0 < 𝜎0 ≤ √2𝜎2𝑥 ≤ 𝑘√1 + 𝑥2. Luego ambas

desigualdades se verifican tomando 𝑘 = 𝑚𝑎𝑥�|𝑀|,√2σ2� y 𝜎0 = √2σ2ε (con ϵ < √x).

Para el tercer caso, 0 < 𝜎0 ≤ √2𝜎2 ≤ 𝑘√1 + 𝑥2 , desigualdades que se verifican

tomando 𝑘 = √2σ2 y 𝜎0 = √2σ2



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Por último, veamos la condición de Hölder para las tres expresiones

|ℎ(𝑡) − ℎ(𝑡)| = 0 ≤ 𝑘|𝑥 − 𝑦|, válido ∀k > 0,∀𝛾 > 0 (𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝛾 = 1)

�√2𝜎2𝑥 − �2𝜎2𝑦� = √2𝜎2�√x −�y� ≤ √2𝜎2|x − y|, tomar 𝑘 = √2σ2 y γ = 1

�√2𝜎2 − √2𝜎2� = 0 ≤ 𝑘|𝑥 − 𝑦|, válido ∀k > 0,∀𝛾 > 0 (𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝛾 = 1)

Después de hacer las comparaciones el proceso verifica las condiciones de proceso de

difusión con función de distribución de transición 𝐹(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠�) . Teniendo solo una

solución que es su función de densidad de transición es la única solución de las

ecuaciones atrasadas y adelantada de Kolmogorov

Por tanto concluimos que nuestro proceso verifica las condiciones de proceso de

difusión y que tiene por función de distribución de transición 𝐹(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠). Además su

función de densidad de transición es la única solución de las ecuaciones atrasadas y

adelantada de Kolmogorov, y como 𝛾 = 1, dicha función de transición también verifica

que es la densidad de transición de la única solución de la ecuación integral estocástica

𝑋(𝑡) = 𝑋(𝑡0) + � 𝐴1(𝑋(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + � �𝐴2(𝑋(𝑠), 𝑠)𝑑𝑊(𝑠)𝑡

𝑡0

𝑡

𝑡0

A continuación, vamos a introducir este proceso de dos maneras distintas. La

primera, usando ecuaciones diferenciales estocásticas, obtenidas a partir de la ecuación

de Langevin, y la segunda, a través de las ecuaciones de Fokker-Planck y Kolmogorov,

es decir, desde un punto de vista de ecuaciones en derivadas parciales.



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1.3.- EL PROCESO A PARTIR DE LA ECUACION ESTOCASTICA.

Se tiene una ecuación diferencial estocástica de Itô 𝑋(𝑡) , y 𝑊(𝑡) un proceso

Wiener estándar, independiente de 𝑋0 y 𝑡0 ≤ 𝑡.

𝑋(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑋(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑋(𝑡)𝑑𝑊(𝑡)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0

La ecuación 𝑋(𝑡) se obtiene de la ecuación diferencial ordinaria:

𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡

= ℎ(𝑡)𝑥(𝑡),

Esta ecuación podría ser vista como una generalización del modelo de crecimiento

malthusiano y ℎ(𝑡), será la tasa de fertilidad.

Si a esta tasa le incrementamos Λ(𝑡), entonces seria ℎ(𝑡) + Λ(𝑡), donde Λ(𝑡) es un

ruido blanco con varianza 𝜎2 y así se obtiene la ecuación de Langevin, la cual reescrita

como una ecuación diferencial estocástica da paso a nuestra ecuación inicial.

Veamos en primer lugar, que esta ecuación verifica las condiciones de existencia y

unicidad del siguiente teorema para ecuaciones diferenciales estocásticas:

Teorema 1. Sea la ecuación diferencial estocástica 𝑑𝑋(𝑡), en 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 < ∞

𝑑𝑋(𝑡) = 𝛼(𝑋(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝛽(𝑋(𝑡), 𝑡)𝑑𝑊(𝑡)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0

Siendo 𝑊(𝑡) un proceso Wiener estándar y 𝑋0 una variable independiente de 𝑊(𝑡) −

𝑊(𝑡0) , para 𝑡0 ≤ 𝑡 . Supongamos que las funciones 𝛼 y 𝛽 están definidas y son

medibles en [𝑡0,𝑇], y verifican las siguientes condiciones:

• |𝛼(𝑥, 𝑡) − 𝛼(𝑦, 𝑡)| + |𝛽(𝑥, 𝑡) − 𝛽(𝑦, 𝑡)| ≤ 𝑘|𝑥 − 𝑦|

• |𝛼(𝑥, 𝑡)|2 + |𝛽(𝑥, 𝑡)|2 ≤ 𝑘(1 + |𝑥|2)



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Si 𝑘 > 0 es una constante y ∀𝑡 ∈ [𝑡0,𝑇] y ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, entonces, la ecuación inicial del

enunciado tiene una única solución en [𝑡0,𝑇] , continua con probabilidad uno, que

satisface la condición inicial.

Usando la misma notación que en este resultado, es decir,

𝛼(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑡)𝑥

𝛽(𝑥, 𝑡) = 𝛽(𝑥) = 𝜎𝑥

Tenemos que se cumplen las siguientes desigualdades

• |𝛼(𝑥, 𝑡) − 𝛼(𝑦, 𝑡)| + |𝛽(𝑥, 𝑡) − 𝛽(𝑦, 𝑡)| = (|ℎ(𝑡)|𝜎)|𝑥 − 𝑦| ≤

(max𝑡0≤𝑡≤𝑇|ℎ(𝑡)| + 𝜎) |𝑥 − 𝑦|

• |𝛼(𝑥, 𝑡)|2 + |𝛽(𝑥, 𝑡)|2 = (ℎ(𝑡)2 + 𝜎2)𝑥2 ≤ (max𝑡0≤𝑡≤𝑇 ℎ(𝑡)2 + 𝜎2) (1 + 𝑥2)

Considerando 𝑘 = 𝑚𝑎𝑥{𝑘1,𝑘2} con 𝑘1 = max𝑡0≤𝑡≤𝑇

|ℎ(𝑡)| + 𝜎, y 𝑘2 = max𝑡0≤𝑡≤𝑇

ℎ(𝑡)2 + 𝜎2, se

verifica las condiciones del teorema 1.

Si consideramos la transformación entonces ahora pasamos ahora a resolver la

ecuación.

𝑌(𝑡) = 𝑙𝑛 𝑋(𝑡)

Utilizando el lema de Itô, la ecuación diferencial inicial se convierte en la ecuación

autónoma

𝑑𝑌(𝑡) = �ℎ(𝑡) −𝜎2

2�𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊(𝑡);𝑌(𝑡0) = 𝑙𝑛𝑋0

cuya solución es

𝑌(𝑡) = 𝑙𝑛𝑋0 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0−𝜎2

2(𝑡 − 𝑡0) + 𝜎�𝑊(𝑡) −𝑊(𝑡0)� (3)

Donde 𝑌(𝑡) será un proceso gaussiano sí y sólo sí ln𝑋0 es constante o distribuida

normalmente. En tales casos, las funciones media y covarianza de 𝑌(𝑡) serán:

𝑚(𝑡) = 𝐸[𝑙𝑛𝑋0] + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0−𝜎2

2(𝑡 − 𝑡0)



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𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝑉𝑎𝑟[𝑙𝑛𝑋0] + 𝜎2(𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0)

Con 𝑡 ∧ 𝑠 = 𝑚𝑖𝑛 (𝑡, 𝑠). Por tanto, las distribuciones finito-dimensionales de 𝑌(𝑡) son

normales, es decir,

�𝑌(𝑡1),𝑌(𝑡2),𝑌(𝑡3), … ,𝑌(𝑡𝑛)�′ ∼ 𝑁𝑛(𝜇, Σ)

Donde la i-ésima componente del vector 𝜇 es 𝑚(𝑡𝑖), 𝑖 = 1,2, … ,𝑛 y donde Σ es una

matriz definida positivamente, cuyas componentes son 𝑅�𝑡𝑖, 𝑡𝑗�, 𝑖, 𝑗 = 1,2 … , 𝑛 .

Deshaciendo el cambio de variable, será:

𝑋(𝑡) = 𝑒𝑥 𝑝�𝑌(𝑡)�

= 𝑋0𝑒𝑥 𝑝�� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0− (𝑡 − 𝑡0)

𝜎2

2+ 𝜎�𝑊(𝑡) −𝑊(𝑡0)��

Donde 𝑋0 puede ser una distribución degenerada 𝑃[𝑋(𝑡0) = 𝑋0] = 1 ó 𝑋0~Λ1(𝜇0,𝜎02)

Así, en ambas situaciones, las distribuciones finito-dimensionales serán lognormales

𝛬𝑛(𝜇, Σ). Es decir ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑦 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛 :

�𝑋(𝑡1),𝑋(𝑡2), … ,𝑋(𝑡𝑛)�′ ∼ Λ𝑛(𝜇, Σ)

Donde las componentes del vector 𝜇 = (𝜇1, … , 𝜇𝑛)′ y de la matriz Σ = �𝜎𝑖𝑗�, 𝑖, 𝑗 =

1, … , 𝑛 son respectivamente

𝜇𝑖 = 𝜇0 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0−𝜎2

2(𝑡𝑖 − 𝑡0), 𝑖 = 1, 2, … ,𝑛

𝜎𝑖𝑗 = 𝜎02 + 𝜎2�𝑀𝑖𝑛{𝑡𝑖 , 𝑡𝑗} − 𝑡0�, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … ,𝑛

Concretamente, la distribución unidimensional seguirá la siguiente distribución

𝑋(𝑡) ~ 𝛬1 �𝜇0 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0− (𝑡 − 𝑡0)

𝜎2

2; 𝜎02 + 𝜎2(𝑡 − 𝑡0)�

y la bidimensional



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�𝑋(𝑡)𝑋(𝑠)� ~ Λ2

⎣⎢⎢⎢⎡

⎝

⎜⎛𝜇0 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢

𝑡∨𝑠

𝑡0−𝜎2

2(𝑡 ∨ 𝑠 − 𝑡0)

𝜇0 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡∧𝑠

𝑡0−𝜎2

2(𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0)

⎠

⎟⎞

;𝜎02𝐼2

+ 𝜎2 �𝑡 − 𝑡0 𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0

𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0 𝑠 − 𝑡0�

⎦⎥⎥⎥⎤

Si 𝑡, 𝑠 > 𝑡0 y con 𝐼2 = �1 11 1� usando las propiedades de las distribuciones

condicionadas en el caso lognormal y a partir de esta distribución bidimensional y, se

obtiene que

[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑦] ~ 𝛬1 �𝑙𝑛𝑦 + � ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑠− (𝑡 − 𝑠)

𝜎2

2; 𝜎2(𝑡 − 𝑠)�

Si, 𝑠 < 𝑡 con función de densidad de transición:

𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) =1

𝑥�2𝜋𝜎2(𝑡 − 𝑠)𝑒𝑥𝑝

⎝

⎜⎛−�𝑙𝑛 𝑥𝑦 − ∫ ℎ(𝑠)𝑑𝑠𝑡

𝑠 + 𝜎22 (𝑡 − 𝑠)�

2

2𝜎2(𝑡 − 𝑠)

⎠

⎟⎞

1.4.- EL PROCESO A PARTIR DE LA ECUACIÓN KOLMOGOROV

Para la obtención de la función de densidad de transición del proceso, que es la

única solución de las ecuaciones atrasadas y adelantadas de Kolmogorov. Para ello

vamos a considerar la ecuación atrasada, realizaremos la búsqueda de una función que

transforme dicha ecuación en la del proceso Wiener estándar [18].

La ecuación adelantada o de Fokker-Planck, es la siguiente:



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𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠�)𝜕𝑡

= −ℎ(𝑡)𝜕𝜕𝑥

[𝑥𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠�)] +𝜎2𝜕2

2𝜕𝑥2[𝑥2𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠�)]

La ecuación atrasada o de Kolmogorov, es la siguiente:

𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠�)𝜕𝑠

+ ℎ(𝑠)𝑦𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠�)

𝜕𝑦+𝜎2

2𝑦2𝜕2𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠�)

𝜕𝑦2= 0

Estas ecuaciones verifican las condiciones de existencia y unicidad de la solución con

las condiciones iniciales lim𝑡↓𝑠 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) = 𝛿(𝑥 − 𝑦) y lim𝑠↑𝑡 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) = 𝛿(𝑥 −

𝑦). Vamos a utilizar un resultado, donde se especifica bajo qué condiciones existe una

transformación del tipo

𝑥′ = 𝜓(𝑥, 𝑡); 𝑥0′ = 𝜓(𝑥0, 𝑡0)

𝑡′ = 𝜙(𝑡); 𝑡0′ = 𝜙(𝑡0)

Que transforme la ecuación atrasada de nuestro proceso 𝑋(𝑡) en la del proceso Wiener,

esta es:

𝜕𝑓′(𝑥′, 𝑡′|𝑥0′ , 𝑡0′ )𝜕𝑡0′

+12𝜕2𝑓′(𝑥′, 𝑡′|𝑥0′ , 𝑡0′ )

𝜕𝑥0′= 0 (4)

cuya función de densidad de transición es conocido:

𝑓′(𝑥′, 𝑡′|𝑥0′ , 𝑡0′ ) =1

�2𝜋(𝑡′ − 𝑡0′ )exp�−

12

(𝑥′ − 𝑥0′ )2

(𝑡′ − 𝑡0′ ) �

El resultado al que nos referimos es el siguiente:

Teorema 2. Una condición necesaria y suficiente para que un proceso de difusión con

función densidad de transición 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑥0, 𝑡0) y momentos infinitesimales 𝐴1(𝑥, 𝑡) y

𝐴2(𝑥, 𝑡) pueda transformarse al proceso Wiener estándar es que existan funciones

arbitrarias 𝐶1(𝑡) y 𝐶2(𝑡) que verifiquen.



Página 17

𝐴1(𝑥, 𝑡) =14𝜕𝐴2(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

+�𝐴2(𝑥, 𝑡)

2�𝐶1(𝑡) + �

𝐶2(𝑡)𝐴2(𝑦, 𝑡) + 𝜕𝐴2(𝑦, 𝑡)𝜕𝑡

�(𝐴2(𝑦, 𝑡))3

𝑥

𝑧𝑑𝑦� (5)

En tal caso la transformación es

𝑥′ = 𝜓(𝑥, 𝑡) = �𝑘1 𝑒𝑥𝑝 �−12� 𝐶2(𝑠)𝑡

𝑡0𝑑𝑠��

1�𝐴2(𝑦, 𝑡)

𝑥

𝑧𝑑𝑦

−�𝑘1

2� 𝐶1(𝑠)𝑡

𝑡2𝑒𝑥𝑝 �−

12� 𝐶2(𝜃)𝑠

𝑡0𝑑𝜃�𝑑𝑠 + 𝑘2

𝑡′ = 𝜙(𝑡) = 𝑘1 � 𝑒𝑥𝑝 (−𝑡

𝑡1� 𝐶2(𝜃)𝑠

𝑡0𝑑𝜃)𝑑𝑠 + 𝑘3

Siendo 𝑧 un valor del intervalo de definición del proceso, 𝑡𝑖 ∈ [𝑡0, +∞) 𝑦 𝑘𝑖 constantes

arbitrarias, con restricción 𝑘1 > 0.

Nota. Para cada t, 𝜕𝜓(𝑥,𝑡)𝜕𝑥

= � 𝜙′(𝑡)𝐴2(𝑥,𝑡)�

12� > 0

La transformación 𝑥′ = 𝜓(𝑥, 𝑡) es biyectiva, la relación entre las densidades de

transición del proceso Wiener y el transformado está dado por:

𝑓(𝑥, 𝑡|𝑥0, 𝑡0) =𝜕𝜓(𝑥, 𝑡)𝜕𝑥

𝑓′(𝑥′, 𝑡′|𝑥0′ , 𝑡0′ ) (6)

Veamos si este proceso verifica las condiciones de este teorema. En efecto

Aplicando dicho resultado en nuestro caso, la condición (5) queda:

ℎ(𝑡)𝑥 =14𝜕[𝜎2𝑥2]𝜕𝑥

+𝜎2𝑥2

2�𝐶1(𝑡) + �

𝐶2(𝑡)𝜎2𝑦2 + 𝜕[𝜎2𝑥2]𝜕𝑡

[𝜎2𝑥2]3/2

𝑥

𝑧𝑑𝑦�



Página 18

=𝑥𝜎2

2+𝜎𝑥2𝐶1(𝑡) +

𝐶2(𝑡)𝑥2

�1𝑦𝑑𝑦

𝑥

𝑧

= 𝑥 �𝜎2

2+𝜎2𝐶1(𝑡) + 𝑙𝑛 �

𝑥𝑧�𝐶2(𝑡)

2�

Siendo los siguientes valores

𝐶1(𝑡) =2ℎ(𝑡)𝜎

− 𝜎

𝐶2(𝑡) = 0

Entonces, el proceso Wiener no llevara a la transformación del proceso lognormal no

homogéneo, en efecto:

𝑥′ = 𝜓(𝑥, 𝑡) =�𝑘1𝜎

�1𝑦

𝑥

𝑧𝑑𝑦 −

�𝑘12

� �2ℎ(𝑡)𝜎

− 𝜎�𝑡

𝑡2𝑑𝑠 + 𝑘2

=�𝑘1𝜎

�𝑙𝑛 �𝑥𝑧� − � ℎ(𝑠)𝑑𝑠 + (𝑡 − 𝑡2)

𝑡

𝑡2� + 𝑘2

𝑡′ = 𝜙(𝑡) = 𝑘1 � 𝑑𝑠 𝑡

𝑡1+ 𝑘3 = 𝑘1(𝑡 − 𝑡1) + 𝑘3

Con 𝑧 ∈ ℝ+, 𝑡𝑖 > 0 𝑦 𝑘𝑖 constantes arbitrarias, con k1>0., Para terminar, siguiendo la

nota anterior

𝜕𝜓(𝑥, 𝑡)𝜕𝑥

=�𝑘1𝜎𝑥

Con la relación de la expresión (6) tenemos:

𝑓(𝑥, 𝑡|𝑥0, 𝑡0) =�𝑘1

𝑥�2𝜋𝜎2(𝑡′ − 𝑡0′ )𝑒𝑥𝑝 �−

12

(𝑥′ − 𝑥0′ )2

(𝑡′ − 𝑡0′ ) �

Es decir, la función de densidad de transición del proceso es:

𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠) =1

𝑥�2𝜋𝜎2(𝑡 − 𝑠)𝑒𝑥𝑝

⎝

⎜⎛−�𝑙𝑛 𝑥𝑦 − ∫ ℎ(𝑠)𝑑𝑠𝑡

𝑠 + 𝜎22 (𝑡 − 𝑠)�

2

2𝜎2(𝑡 − 𝑠)

⎠

⎟⎞



Página 19

1.5.- CARACTERÍSTICAS DEL MODELO

Las principales características del proceso se obtienen después de hacer los

cálculos de las distribuciones finitodimensionales. [20] Para la obtención consideramos

𝑋0~Λ1(𝜇0,𝜎02), en este caso lognormal es un caso particular de éste tomando 𝜇0 =

𝑙𝑜𝑔𝑥0 y 𝜎02 = 0. A partir de la siguiente función, podemos definir todas las

características principales:

𝐺𝜆(𝑡|𝑦, 𝜏) = 𝑀(𝑡|𝑦, 𝜏)𝜆1𝑒𝑥𝑝 �𝜆2�𝜎02𝜆3 + 𝜎2(𝑡 − 𝜏)�𝜆4�

Siendo 𝜆 = (𝜆1,𝜆2, 𝜆3, 𝜆4)′ y además

𝑀(𝑡|𝑦, 𝜏) = 𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝜏+ 𝑦 −

𝜎2(𝑡 − 𝜏)2

�

Entonces se tiene la siguiente tabla, donde que para todo 𝑦 :

𝒚 𝝉 𝝀 Se obtienen los momentos

n-ésimos y funciones

𝑦 = 𝜇0 𝜏 = 𝑡0 𝜆 = �𝑛,𝑛2

2, 1,1�

𝑇

𝐸[𝑋(𝑡)𝑛]

𝑦 = 𝑙𝑛𝑥𝑠 𝜏 = 𝑠 𝜆 = �𝑛,𝑛2

2, 0,1�

𝑇

𝐸[𝑋(𝑡)𝑛|𝑋(𝑠) = 𝑥𝑠]

𝑦 = 𝜇0 𝜏 = 𝑡0 𝜆 = (1,−1,1,1)𝑇 𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡)]

𝑦 = 𝑙𝑛𝑥𝑠 𝜏 = 𝑠 𝜆 = (1,−1,0,1)𝑇 𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑥𝑠]

𝑦 = 𝜇0 𝜏 = 𝑡0 𝜆 = �1, 𝑧𝛼 , 1,12�𝑇

𝐶𝛼[𝑋(𝑡)] ; 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛,𝛼

𝑦 = 𝑙𝑛𝑥𝑠 𝜏 = 𝑠 𝜆 = �1, 𝑧𝛼 , 0,12�𝑇

𝐶𝛼[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑥𝑠]

Fuente: Propia

Las expresiones de las funciones de la tabla, quedan de la siguiente manera:



Página 20

• Función media:

𝑚(𝑡) = 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝐸[𝑋(𝑡0)]𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0�

= 𝑒𝑥𝑝 �𝜇0 +𝜎02

2+ � ℎ(𝑢)𝑑𝑢

𝑡

𝑡0� , 𝑡 ≥ 𝑡0

• Función media condicionada:

𝑚(𝑡|𝑠) = 𝐸[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑥𝑠] = 𝑥𝑠𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0� , 𝑡 > 𝑠 ≥ 𝑡0

• Función moda , 𝑡 ≥ 𝑡0:

𝑀𝑜(𝑡) = 𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡)] = 𝑒𝑥𝑝(𝜇0 − 𝜎02)𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0− (𝑡 − 𝑡0)

3𝜎2

2�

• Función moda condicionada, 𝑡 > 𝑠 ≥ 𝑡0:

𝑀𝑜(𝑡|𝑠) = 𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑥𝑠] = 𝑥𝑠𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑠− (𝑡 − 𝑠)

3𝜎2

2�

• Función cuantil de orden 𝛂 :

𝐶𝛼(𝑡) = 𝑥0𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0−𝜎2

2(𝑡 − 𝑡0) + 𝑧𝛼�𝜎02 + 𝜎2(𝑡 − 𝑡0)�

• Función cuantil condicionada de orden 𝛂, 𝑡 > 𝑠 ≥ 𝑡0:

𝐶𝛼(𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑠−𝜎2

2(𝑡 − 𝑠) + 𝑧𝛼𝜎�𝑡 − 𝑡0�

Escribimos las expresiones de otras características:

• Momentos de orden 𝐧:

𝐸[𝑋(𝑡)𝑛] = 𝐸[𝑋(𝑡0)𝑛]𝑒𝑥𝑝 �𝑛� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0+𝑛𝜎2

2(𝑡 − 𝑡0)(𝑛 − 1)� , 𝑡 ≥ 𝑡0

• Momentos cruzados de órdenes 𝐤𝟏 y 𝐤𝟐, donde 𝒌𝒊 > 1:



Página 21

𝐸[𝑋(𝑡 ∨ 𝑠)𝑘1𝑋(𝑡 ∧ 𝑠)𝑘2]

= 𝐸[𝑋(𝑡 ∧ 𝑠)𝑘1+𝑘2]𝑒𝑥𝑝�𝑘1 � ℎ(𝑢)𝑑𝑢 +𝑘1𝜎2(𝑡 ∨ 𝑠 − 𝑡 ∧ 𝑠)

2

𝑡∨𝑠

𝑡∧𝑠(𝑘1 − 1)�

con 𝑠, 𝑡 ≥ 𝑡0

Así para 𝑘1 = 𝑘2 = 1, se tienen los momentos cruzados de orden 1 , 𝑠, 𝑡 ≥ 𝑡0

𝐸[𝑋(𝑡)𝑋(𝑠)] = 𝐸[𝑋(𝑡 ∧ 𝑠)2]𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡∨𝑠

𝑡∧𝑠�

= 𝐸[𝑋(𝑡0)2]𝑒𝑥𝑝�� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0+ � ℎ(𝑢)𝑑𝑢

𝑠

𝑡0+ 𝜎2(𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0)�

• Función Varianza, 𝑡 ≥ 𝑡0:

𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡)] = 𝐸[𝑋(𝑡)2] − 𝐸2[𝑋(𝑡)]

= 𝑒𝑥𝑝 �2� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0� �𝐸[(𝑡0)2]𝑒𝜎2(𝑡−𝑡0) − 𝐸2[𝑋(𝑡0)]�

= 𝑒𝑥𝑝 �2� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0� �𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡0)]𝑒𝜎2(𝑡−𝑡0) + 𝐸2[𝑋(𝑡0)]�𝑒𝜎2(𝑡−𝑡0) − 1��

• Función Covarianza, 𝑠, 𝑡 ≥ 𝑡0 :

𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝐶𝑜𝑣[𝑋(𝑡),𝑋(𝑠)] = 𝐸[𝑋(𝑡)𝑋(𝑠)]−𝑚(𝑡)𝑚(𝑠)

= 𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0+ � ℎ(𝑢)𝑑𝑢

𝑠

𝑡0� �𝐸[𝑋(𝑡0)2]𝑒𝜎2(𝑠−𝑡0) − 𝐸2[𝑋(𝑡0)]�



Página 22

CAPITULO 2: CURVAS DE CRECIMIENTO

Durante mucho tiempo el estudio de los fenómenos asociados al crecimiento

curvas ha llamado la atención de los investigadores. Una amplia gama de curvas se han

aplicado a una variedad de áreas científicas. Malthus [17] propone, a finales del siglo

XVIII, un modelo determinístico de crecimiento para la población humana que

corresponde a una curva de crecimiento de tipo exponencial. Se ha comprobado a lo

largo de los dos siglos siguientes a Malthus que su teoría no es aplicable a poblaciones

humanas, apuntándose un gran número de razones para ello, pero lo cierto es que el

modelo que se deriva de su teoría se puede aplicar, en general, al crecimiento de

especies que se reproducen en un entorno donde no existen depredadores y hay exceso

de alimentos.

La curva logística ha merecido una atención especial y ha sido el génesis de

muchas de las curvas que aparecen más tarde. Esta curva fue introducida por Verhulst

en el siglo XIX, con el propósito de estudiar crecimiento de la población. En la década

de 1920 el interés se reavivó y muchos trabajos de investigación que se han centrado en

él desde entonces, debido al hecho de que es un excelente modelo para el desarrollo y la

evolución de muchos fenómenos de crecimiento.

Existen muchos fenómenos en la naturaleza que muestran una rápido el

crecimiento inicial que luego disminuyó después de una cierto punto (en donde la curva

alcanza un punto de inflexión) hasta un punto de equilibrio o saturación del sistema.

[24]

Los orígenes del modelo logístico se pueden encontrar en la ecología, en donde

sirvió el propósito de explicar el crecimiento de la población, pero tiene También ha

utilizado en la demografía y en Biología y Medicina para el análisis del crecimiento de

bacterias, tumores, y varias especies de animales y plantas.

Otra de las curvas muy usadas es la curva introducida por el biólogo austriaco

Karl Ludwig von Bertalanffy introdujo en 1938, un modelo para estudiar el crecimiento

de individuos pertenecientes a poblaciones animales, [25]. En él se asume que la

característica en estudio de la población considerada posee un valor máximo (o cota),



Página 23

que puede en teoría ser alcanzado, y que la tasa de crecimiento es proporcional a la

diferencia entre dicho valor máximo y el que la población posee en un instante de

tiempo determinado. Actualmente es el modelo más comúnmente empleado en el

estudio de poblaciones de peces, si bien ha demostrado su utilidad al aplicarlo en otras

especies animales. Con posterioridad se generalizó la expresión de esta curva,

apareciendo la denominada curva de von Bertalanffy generalizada [16].

2.1.- CURVA GOMPERTZ

Benjamín Gompertz (1779-1865), fue el matemático el cual introdujo esta curva

que lleva su nombre, para un estudio sobre la ley de la mortalidad humana, como la

función doble exponencial siguiente, está definido por siguiente ecuación:

𝐿𝑋 = 𝑑𝑔𝑞𝑥 ,

⎩⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎧ 𝑙𝑜𝑔 𝑔 =

𝑚𝑞−𝑎

1 − 𝑞𝑟

𝑞 = 𝑝1 𝑟� 𝑚 = 𝑙𝑛𝐿𝑎 − 𝑙𝑛𝐿𝑎+𝑟

𝑑 =𝐿𝑎𝜀

ln (𝜀) =𝑚

1 − 𝑞𝑟

�

Donde:

𝐿𝑋: Tamaño de la población en el instante x

𝑎: Instante inicial

𝑟: Unidad de salto considerada en el tiempo

𝑝: Razón de la progresión geométrica que hay entre el número de personas vivas

en el tiempo.

Desde entonces, la curva ha sufrido varios cambios y modificaciones, siendo reescrita

en diversas formas. Tan en 1986, introduce el proceso Gompertz de nacimiento y

muerte, considera una nueva expresión y con esta expresión, será la que estudiaremos:

se usará una variante de esta curva dada por:

𝑓(𝑡) = 𝑘 𝑒𝑥𝑝 �𝛼𝛽�1 − 𝑒−𝛽(𝑡−𝑡0)�� , 𝑡 ≥ 𝑡0 ≥ 0, 𝑐𝑜𝑛 𝛼 > 𝛽 > 0, 0 < 𝑥0



Página 24

Ahora bien, si tomamos 𝛼 = 𝑚𝑒−𝛽𝑡0 , 0 ≤ 𝑡0 ≤ 𝑡, 𝑐𝑜𝑛 𝑚 > 0,𝛽 > 0, 0 < 𝑥0 esta

expresión queda reparametrizada de la siguiente manera:

𝑥(𝑡) = 𝑥0 𝑒𝑥𝑝 �𝑚𝛽�𝑒−𝛽𝑡0 − 𝑒−𝛽𝑡��

Las características principales son:

• Estrictamente creciente y acotada. Forma sigmoidal

• Cota superior:

𝑘 = lim𝑡→+∞

𝑥(𝑡) = 𝑥0𝑒𝑥𝑝 �𝑚𝛽�𝑒−𝛽𝑡0��

• Presenta un único punto de inflexión en

𝑡𝐼 = �𝑙𝑛 𝑚𝛽𝛽

,𝑘𝑒�

que puede ser visible, es decir, 𝑡𝐼 > 𝑡0 sí y sólo sí 𝑚 > 𝛽𝑒𝛽𝑡0

• Es solución de la ecuación diferencial

�𝑑𝑓(𝑡)𝑑𝑡

= ℎ(𝑡)𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡0) = 𝑥0

�

Siendo ℎ(𝑡) = 𝑚𝑒−𝛽𝑡 , un modelo determinístico asociado a esta clase de

problemas de crecimiento.

Algunos ejemplos de esta curva se muestran a continuación con parámetros

𝑚 = 10.7 𝑦 𝛽 = 0.480, 0.485, 0.490, 0.50 para la primera y la para la segunda

gráfica 𝑚 = 10.5, 10.33, 10.167, 10 𝑦 𝛽 = 0.480, 0.485, 0.490 𝑦 0.50



Página 25

Figura 1.

Figura 2.

2.2.- CURVA BERTALANFFY

Pütter en 1920 elaboró un modelo de crecimiento que se puede considerar la base

de la mayoría de otros modelos de crecimiento, incluido el desarrollo por Karl Ludwig

von Bertalanffy (1934), [25] un biólogo austriaco que introdujo un modelo matemático

para el estudio del crecimiento de individuos. En él se asume que la característica en

estudio de la población considerada posee un valor máximo (o cota), que puede en

teoría ser alcanzado, y que la tasa de crecimiento es proporcional a la diferencia entre

dicho valor máximo y el que la población posee en un instante de tiempo determinado.

Actualmente es el modelo más comúnmente empleado en el estudio del crecimiento (en



Página 26

longitud o peso) que ha demostrado ser ajustable al crecimiento observado en la

mayoría de los peces, también ha demostrado su utilidad al aplicarlo en otras especies

animales, por ejemplo, especies vacunos u ovinos.

El modelo está asociado a una curva sigmoidal, conocida como curva de von

Bertalanffy, y cuya expresión más extendida es

𝐿(𝑡) = 𝐿∞�1 − 𝑒−𝑘(𝑡−𝑎)�

donde 𝐿∞ es la cota superior de la variable en estudio, que indica el máximo valor que

podría alcanzar la variable cuando el tiempo tiende a infinito, y k es el parámetro de

curvatura, o tasa de crecimiento de von Bertalanffy, que indica la velocidad con la que

el individuo alcanza la cota. Con posterioridad se generalizo la expresión de esta curva,

apareciendo la denominada curva de von Bertalanffy generalizada

𝑆(𝑡) = 𝑆∞�1− 𝑒−𝑘(𝑡−𝑎)�𝑏

; 𝑡 ≥ 𝑎,𝑘 > 0, 𝑏 ≥ 1

donde el valor b puede ser conocido o desconocido. Por ejemplo, el valor b = 1 es

usado cuando la variable en estudio es la longitud. Por otro lado, y teniendo en cuenta la

relación existente entre el peso y la longitud, el valor b = 3 está asociado con el peso

cuando el crecimiento del animal es isométrico (la relación longitud/peso permanece

constante para todos los individuos de la especie), mientras que el caso 𝑏 ≠ 1 está

relacionado con el crecimiento alométrico (la relación anterior no permanece constante).

Para este estudio se utilizará una nueva expresión de la curva de von Bertalanffy

generalizada, [23]. Vamos a considerar que el tiempo desde el que Observamos la

variable que toma valores positivos, que en principio, 𝑡0 ≥ 0 , con valor asociado

𝑥0 > 0. Con esta hipótesis realista y fijándonos en la anterior expresión, deducimos que

𝜗 < 𝑡0, ya que esta función es creciente y 𝑆(𝜗) = 0. Por otro lado, suponiendo que

𝑆(𝑡0) = 𝑥0 y denotando 𝑐 = 𝑒𝑘𝜗, se concluye que

𝑆∞ =𝑥0

(1 − 𝑐𝑒−𝑘𝑡0)𝑏

Entonces se tiene que

𝑥(𝑡) = 𝑥0 �1 − 𝑐𝑒−𝑘𝑡

1 − 𝑐𝑒−𝑘𝑡0�𝑏



Página 27

En 𝑡 ≥ 𝑡0; 𝑐, 𝑘 > 0; 𝑏 ≥ 1 que además, dado que la curva toma valores positivos, se

verifica que 𝑙𝑛𝑐𝑘

< 𝑡0.


• Estrictamente creciente y acotada. Sigmoidal

• Cota superior:

𝑘 = 𝑥0/(1 − 𝑐𝑒−𝑘𝑡0)𝑏

• Presenta un punto de inflexión en

𝑡𝐼 = �ln(𝑏𝑐)𝑘

,𝑘 �1 −1𝑏�𝑏

�

Cumpliendo que 𝑡𝐼 > 𝑡0 sí y sólo sí 𝑒𝑐𝑡0

𝑞< 𝑏

• Verifica la ecuación diferencial

𝑥′(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑥(𝑡)

Siendo

ℎ(𝑡) =𝑏𝑐𝑘

𝑒𝑘𝑡 − 𝑐

Un ejemplo de esta curva se muestran a continuación, con parámetro c y para

k=1,5

Figura 3.



Página 28

2.3.- CURVA RICHARDS

La curva Richards fue introducida por F. J. Richards (1959) la cual lleva su

nombre, este autor extendió los trabajos desarrollados por Von Bertalanffy con la idea

de crear una curva que mostrara una mayor flexibilidad para el ajuste de datos que las

existentes hasta la fecha. Por ello la denominación de curva como Bertalanffy-Richards.

Su expresión es la siguiente

𝑓(𝑡) =𝛼 𝛽⁄

�1 + �𝛼 𝛽⁄𝑥0𝑝 − 1� 𝑒𝑥𝑝�−𝑝𝛼(𝑡 − 𝑡0)��

1𝑝

Siendo 𝛼,𝛽,𝑝 > 0 𝑦 𝑡 ≥ 𝑡0. Como en los casos anteriores, se dará una reformulación

de su expresión y será adaptarla a nuestros propósitos. [24], A partir de la expresión

general de la curva

𝑓(𝑡) =𝑎

[1 + 𝑏𝑒𝑥𝑝(−𝑐𝑡)]𝑞

Siendo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑞 > 0 𝑦 𝑡 ≥ 𝑡0 , y obligando a que 𝑓(𝑡0) = 𝑥0 > 0 , obtenemos que

𝑎 = 𝑥0(1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡0)𝑞. Luego la expresión queda de la siguiente forma:

𝑥(𝑡) = 𝑥0 �1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

�𝑞

Con parámetros 𝜃 = (𝑏, 𝑐, 𝑞)𝑇 ∈ Θ = ℝ+3, 𝑡 ≥ 𝑡0 > −𝑙𝑛𝑏𝑐

Comparando con la expresión anterior encontramos las siguientes relaciones entre los

parámetros

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧𝛼𝛽

= 𝑥0𝑝[1 + 𝑏𝑒𝑥𝑝(−𝑐𝑡0)]

𝑐 = 𝛼𝑝𝑞 = 1 𝑝⁄

𝑏 = �𝛼 𝛽⁄𝑥0𝑝 − 1� 𝑒𝑐𝑡0

�




Página 29

• Es estrictamente creciente y acotada.

• Presenta un punto de inflexión en;

𝑡𝐼 = �𝑙𝑛 (𝑏𝑞)

𝑐,𝑘 �

𝑞1 + 𝑞

�𝑞�

Donde

𝑘 = 𝑥0(1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡0)𝑞

es la cota superior de la curva, además 𝑡1 > 𝑡0

• Este punto de inflexión cumple

𝑡𝐼 > 𝑡0 ⇔ 𝑏 >𝑒𝑐𝑡0𝑞

• Verifica la ecuación

𝑥′(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑥(𝑡)

Siendo

ℎ(𝑡) =𝑏𝑐𝑞

𝑏 + 𝑒𝑐𝑡

A continuación se muestran ejemplo de la curva Richards:

Figura 4.



Página 30

Figura 5.

2.4.- CURVA LOGÍSTICA

La curva logística fue introducida por Pierre Verhulst (1838), con el propósito de

estudiar el crecimiento de poblaciones. Desde la década de 1920 el interés aumento y

muchos trabajos de investigación se han centrado en ella desde entonces, por ser un

modelo apropiado para el estudio del desarrollo y evolución de diferentes fenómenos de

crecimiento. Siendo esta curva la génesis de muchas otras que aparecieron más después.

El modelo logístico determinista está definido por siguiente ecuación diferencial:

�𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡

= 𝛼𝑥(𝑡) − 𝛽𝑥2(𝑡).

𝑥(𝑡0) = 𝑥0

�

sean 𝛼 y 𝛽 constantes positivas, donde la constante 𝛼 define la tasa de crecimiento,

mientras que el término −𝛽𝑥2 sirve para inhibir o retardar esta tasa. En este sentido es,

en general, 𝛽 < 𝛼.

La solución del modelo anterior es la curva logística

𝑥(𝑡) =𝛼 𝛽⁄

1 + �𝛼 𝛽⁄𝑥0

− 1� 𝑒−𝛼(𝑡−𝑡0)



Página 31

𝑡 ≥ 𝑡0; 𝛼,𝛽 > 0, cuya expresión más general está dada por:

𝑥(𝑡) =𝑎

1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

Siendo 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 > 0

En este estudio, se trabajará con una reparametrización que consigue que el valor de la

cota dependa del valor inicial 𝑥0. Por ello, si asumimos que 𝑓(𝑡0) = 𝑥0 > 0, entonces

𝑎 = 𝑥0(1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡0), luego la nueva expresión de la curva estaría dada por:

𝑥(𝑡) = 𝑥01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

, 𝑡 ≥ 𝑡0; con (𝑏, 𝑐) ∈ ℝ+xℝ+


• Es estrictamente creciente y acotada, presentando una figura sigmoidal.

• La cota superior,

𝑘 = 𝑥0(1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡0)

• Presenta un punto de inflexión en

𝑡𝐼 = �𝑙𝑛𝑏𝑐

,𝑘2�

siendo visible sí y sólo sí 𝑏 > 𝑒𝑐𝑡0 y se observa que el valor de la función en el

punto de inflexión es la mitad del crecimiento total.

• Verifica la ecuación diferencial

𝑥′(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑥(𝑡)

Siendo

ℎ(𝑡) =𝑏𝑐

𝑏 + 𝑒𝑐𝑡

Algunos ejemplos de esta curva se muestran a continuación:



Página 32

Figura 6.

Figura 7.



Página 33

CAPÍTULO 3: MODELIZACIÓN DE LA CURVA DE

CRECIMIENTO LOGÍSTICO A PARTIR DEL PROCESO

LOGNORMAL NO HOMOGENEO

En el capítulo anterior, se hizo el estudio para las curvas más importantes, que obedecen

una ecuación diferencial ordinaria común 𝑓′(𝑡) = 𝑓(𝑡)ℎ(𝑡), el cual permite definir un

proceso de difusión lognormal no homogéneo, con función media 𝑓(𝑡), y así utilizarlo

para modelizar patrones de comportamiento asociados a dichas curvas. En este capítulo,

desarrollaremos esta teoría e introduciremos una nueva reparametrización de la curva

de crecimiento logística con diferencias significativas a las habitualmente usadas, ya

que verifica que el límite superior es dependiente del valor inicial. [24],

Esto es particularmente útil en alguna situación de la vida real en donde la información

está disponible en el crecimiento de los individuos específicos, cada individuo

exhibiendo un comportamiento logístico, y con un valor límite depende de la inicial,

siendo necesario el desarrollo de un modelo común.

Tenemos la función media y media condicionada de nuestro proceso con distribución

inicial 𝑋0, 𝑚(𝑡) 𝑦 𝑚(𝑡|𝑡0) verifican la ecuación ordinaria diferencial siguiente:

𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡

= ℎ(𝑡)𝑥(𝑡)

Esto puede ser visto como generalización del modelo de crecimiento Malthus con una

tasa de fertilidad ℎ(𝑡), es decir

�𝑚′(𝑡) = 𝑚(𝑡)ℎ(𝑡)

𝑚′(𝑡|𝑡0) = 𝑚(𝑡|𝑡0)ℎ(𝑡)�

Esta propiedad hace que el proceso de difusión definido por la ecuación diferencial

estocástica

�𝑑𝑋(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑋(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑋(𝑡)𝑑𝑊(𝑡)

𝑋(𝑡0) = 𝑋0 �



Página 34

Permite modelar varios patrones de comportamiento (concretamente aquellos que

muestran comportamientos ajustados por 𝑚(𝑡)). Además, la función 𝑚(𝑡|𝑡0) permite

considerar situaciones en las cuales las propiedades de la función media puedan

depender del valor inicial.

𝑓´𝜃(𝑡) = 𝑓𝜃(𝑡)ℎ𝜃(𝑡)

Siendo ℎ𝜃(𝑡) una función continua y acotada en [𝑡0, +∞)

Notemos que la condición anterior nos permite considerar un proceso de difusión

lognormal no homogéneo del tipo

𝑋(𝑡) = 𝑋0𝑒𝑥𝑝 �� ℎ(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑡0−𝜎2

2(𝑡 − 𝑡0) + 𝜎�𝑊(𝑡) −𝑊(𝑡0)��

cuya función media (o media condicionada) tiene un patrón de comportamiento

asociado a la función 𝑓𝜃(𝑡). Para ello debemos considerar:

ℎ𝜃(𝑡) =𝑓′𝜃(𝑡)𝑓𝜃(𝑡)

=𝑔′𝜃(𝑡)𝑔𝜃(𝑡)

Además se considerará el caso de que el valor del límite de 𝑓𝜃(𝑡) cuando 𝑡 → +∞,

depende del valor inicial (un razonamiento similar se puede hacer si depende de otro

valor de la curva). Luego, si

𝑓𝜃(𝑡0) = 𝑥0 = 𝑘(𝜃)𝑔𝜃(𝑡)

se puede escribir

𝑓𝜃(𝑡) = 𝑥0𝑔𝜃(𝑡)𝑔𝜃(𝑡0)



Página 35

3.1.- PROCESO DE DIFUCIÓN TIPO LOGÍSTICO.

Este proceso de difusión empleado para propósitos de comportamientos de tipo

logístico se asocia con la curva Richards, y es la solución a ecuaciones diferenciales

estocásticas al considerar varios patrones para el término volatilidad del sistema, para

valores pequeños de la volatilidad.

𝑓𝜃(𝑡) = 𝑥01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

Teniendo parámetros 𝜃 = (𝑏, 𝑐)𝑇 ∈ Θ = ℝ+2, 𝑡 ≥ 𝑡0 > −𝑙𝑛𝑏𝑐

, es un caso particular del

proceso de difusión lognormal no homogéneo considerando

ℎ𝜃(𝑡) =𝑏𝑐

𝑒𝑐𝑡 + 𝑏

Luego posee los momentos infinitesimales

𝐴1(𝑥, 𝑡) =𝑏𝑐

𝑒𝑐𝑡 + 𝑏𝑥

𝐴2(𝑥) = 𝜎2𝑥2

Las trayectorias del proceso serán en este caso

𝑋(𝑡) = 𝑥01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

𝑒𝑥 𝑝 �−𝜎2

2(𝑡 − 𝑡0) + 𝜎�𝑊(𝑡) −𝑊(𝑡0)��

Para 𝑡 ≥ 𝑡0, con asíntotas

𝑘(𝜃) = 𝑥0(1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡0)

Siendo de manera explícita la función de densidad de transición.

𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝑠�) =1

𝑥�2𝜋𝜎2 (𝑡 − 𝑠)𝑒𝑥𝑝 �

𝑙𝑛 𝑥𝑦 − 𝑙𝑛 �1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑠1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡� + 𝜎2

2 (𝑡 − 𝑠)2

2𝜎2 (𝑡 − 𝑠) �



Página 36

que corresponde a una lognormal de la forma

La cual corresponde a una variable de distribución lognormal

[𝑋(𝑡)|𝑋(𝑠) = 𝑦�] ~ Λ �𝑙𝑛𝑦 + 𝑙𝑛 �1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑠

1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡� −

𝜎2

2(𝑡 − 𝑠);𝜎2 (𝑡 − 𝑠)�

La distribución de 𝑋(𝑡), suponemos que 𝑋0 es distribuido de acuerdo al tipo lognormal

Λ[𝜇0;𝜎02], entonces verifica que 𝑋(𝑡) tiene una distribución lognormal unidimensional,

específicamente 𝑋(𝑡) ↝ Λ[𝑚(𝑡);𝜎2(𝑡) ], dado que:

Las distribuciones unidimensional y bidimensional serán

𝑋(𝑡) ~ 𝛬1[𝜇0 + 𝑙𝑛 �1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

� −𝜎2

2(𝑡 − 𝑡0); 𝜎02 + 𝜎2(𝑡 − 𝑡0)]

Para 𝑡, 𝑠 > 𝑡0

�𝑋(𝑡)𝑋(𝑠)�~Λ2

⎣⎢⎢⎢⎢⎡

⎣⎢⎢⎢⎡𝜇0 + 𝑙𝑛 �

1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

� −𝜎2

2(𝑡 − 𝑡0)

𝜇0 + 𝑙𝑛 �1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑠

� −𝜎2

2(𝑠 − 𝑡0)

⎦⎥⎥⎥⎤

;𝜎02𝐼2

+ 𝜎2 �𝑡 − 𝑡0 𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0

𝑡 ∧ 𝑠 − 𝑡0 𝑠 − 𝑡0�

⎦⎥⎥⎥⎥⎤

En general ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑦 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛, se tendrá que

�𝑋(𝑡1),𝑋(𝑡2), … ,𝑋(𝑡𝑛)�′ ∼ Λ𝑛(𝜇, Σ)

Donde los componentes del vector 𝜇 = (𝜇1, … , 𝜇𝑛)′ y 𝛴 = �𝜎𝑖𝑗�, 𝑖, 𝑗 = 1,2, … ,𝑛 con



Página 37

𝜇𝑖 = 𝜇0 + 𝑙𝑛 �1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡𝑖

� −𝜎2

2(𝑡𝑖 − 𝑡0), 𝑖 = 1,2, … ,𝑛

𝜎𝑖𝑗 = 𝜎02 + 𝜎2�𝑀𝑖𝑛{𝑡𝑖 , 𝑡𝑗} − 𝑡0�, 𝑖, 𝑗 = 1,2, … ,𝑛

A continuación se tiene las diferentes funciones, donde 𝑍𝛼 es el α-cuantil de la

distribución normal estándar, para todos 𝑡 ≥ 𝑡0 y 𝑡 > 𝑠.

Función media:

𝑚(𝑡) = 𝐸[𝑋(𝑡0)]1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

Función moda:

𝑀𝑜(𝑡) = 𝑀𝑜𝑑𝑒[𝑋(𝑡0)]1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

𝑒𝑥𝑝 �−3𝜎2

2(𝑡 − 𝑡0)�

Función cuantil de orden 𝛂 :

𝐶𝛼(𝑡) = 𝛼 − 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙[𝑋(𝑡0)]1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

𝑒𝑥𝑝 �−𝜎2

2(𝑡 − 𝑡0)

+ 𝑧𝛼 ��𝜎2(𝑡 − 𝑡0) + 𝑉𝑎𝑟�𝑙𝑛𝑋(𝑡0)� − �𝑉𝑎𝑟�𝑙𝑛𝑋(𝑡0)��

con 𝑧𝛼 el 𝛼-ésimo cuantil de una normal estándar

En cuanto a las expresiones condicionadas, dados s y 𝑥𝑠, se tiene:

Función media condicionada:

𝑚(𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

Función moda condicionada:

𝑀𝑜(𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

𝑒𝑥𝑝 �−(𝑡 − 𝑠)3𝜎2

2�

Función cuantil condicionada de orden alfa:

𝐶𝛼(𝑡|𝑠) = 𝑥𝑠1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

𝑒𝑥𝑝 �−𝜎2

2(𝑡 − 𝑠) + 𝑧𝛼 ��𝜎2(𝑡 − 𝑠)��



Página 38

Otras funciones para t y s cualesquiera, son:

Momentos de orden 𝐧:

𝐸[𝑋(𝑡)𝑛] = 𝐸[𝑋(𝑡0)𝑛]�1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

�𝑛

𝑒𝑥𝑝 �𝑛𝜎2

2(𝑡 − 𝑡0)(𝑛 − 1)�

Función Varianza:

𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡)] = �1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

�2

�𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑡0)]𝑒𝜎2(𝑡−𝑡0) + 𝐸2[𝑋(𝑡0)]�𝑒𝜎2(𝑡−𝑡0) − 1��

Función Covarianza:

𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝐶𝑜𝑣[𝑋(𝑡),𝑋(𝑠)] = �1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡

� �1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡01 + 𝑏𝑒−𝑐𝑠

� 𝑒2𝜇0+𝜎02�𝑒𝜎2(𝑡∧𝑠−𝑡0)+𝜎02 − 1�

Si 𝑠 < 𝑡:

𝑅(𝑡, 𝑠) = 𝑉𝑎𝑟[𝑋(𝑠)]1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑠

1 + 𝑏𝑒−𝑐𝑡



Página 39

CAPÍTULO 4: TIEMPOS DE PRIMER PASO 4.1.- DEFINICIÓN DE TIEMPOS DE PRIMER PASO

Sea {𝑋(𝑡); 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇} un proceso de difusión definido en un intervalo 𝐼 . Con

media infinitesimal 𝐴1(𝑥, 𝑡) y varianza infinitesimal 𝐴2(𝑥, 𝑡) . Considerando una

función continúa 𝑆(𝑡), denominada barrera definida en [𝑡0 ,𝑇]. La siguiente ecuación

define el tiempo de primer paso del proceso, a través de una barrera dependiente del

tiempo 𝑆(𝑡), condicionada con la variable del tiempo 𝑋(𝑡0) = 𝑥0.

𝑇𝑆(𝑡),𝑥0 =

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝐼𝑛𝑓𝑡≥𝑡0

{ 𝑡:𝑋(𝑡) > 𝑆(𝑡)|𝑋(𝑡0) = 𝑥0�} , 𝑠𝑖 𝑥0 < 𝑆(𝑡0)

|𝐼𝑛𝑓𝑡≥𝑡0

{ 𝑡:𝑋(𝑡) < 𝑆(𝑡)|𝑋(𝑡0) = 𝑥0�} , 𝑠𝑖 𝑥0 > 𝑆(𝑡0)�

Siendo la función de densidad 𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0�).

La ecuación anterior está condicionada por un valor inicial 𝑋(𝑡0) , llamada así

distribución degenerada con un valor inicial fijo 𝑥0, común para todas las trayectorias.

Pero si, el tiempo de primer paso depende de la variable aleatoria 𝑋(𝑡0), esta sería una

distribución inicial sea no degenerada y en efecto puede generalizarse de la manera:

𝑇𝑆(𝑡),𝑋(𝑡0) =

⎩⎪⎨

⎪⎧


{ 𝑡:𝑋(𝑡) > 𝑆(𝑡)} , 𝑠𝑖 𝑋(𝑡0) < 𝑆(𝑡0)


{ 𝑡:𝑋(𝑡) < 𝑆(𝑡)} , 𝑠𝑖 𝑋(𝑡0) > 𝑆(𝑡0) �

Denotamos a J como el rango de variación de 𝑋(𝑡0), entonces la función de densidad de

la variable 𝑇𝑆(𝑡),𝑋(𝑡0) puede ser obtenida de la familia de densidades

{𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0), 𝑥0 ∈ 𝐽 − (𝑆(𝑡0)) �} por medio de la expresión.



Página 40

𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡) = 𝑙𝑖𝑚∈→0+

�� 𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0�)𝑓𝑋(𝑡0)(𝑥0)𝑑𝑥0𝑆(𝑡0)−∈

−∞

+ � 𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0�)𝑓𝑋(𝑡0)(𝑥0)𝑑𝑥0+∞

𝑆(𝑡0)+∈�

Sea 𝑓𝑋(𝑡0) la función de densidad de (𝑥0) y 𝑆(𝑡) es una función continua, siendo

𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) �, la función de densidad del f.p.t. a través de un límite 𝑆(𝑡) para un

proceso de difusión unidimensional que verifica la ecuación integral Volterra de

segunda especie, para todo 𝜏 < 𝑡.

4.1.1.- OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN

Sea (𝑋(𝑡): 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇) un proceso de difusión unidimensional con momentos

infinitesimales, media infinitesimal 𝐴1(𝑥, 𝑡) y varianza infinitesimal 𝐴2(𝑥, 𝑡) . Sea

𝐼 = (𝑟1, 𝑟2) denotamos los intervalos de difusión, con barreras naturales 𝑟1 y 𝑟2. Y sea,

𝑆(𝑡) una función continua de la clase 𝐶[𝑡0, +∞), 𝑡0 ∈ ℝ.

Sea T la variable tiempo de primer paso del proceso a través de S(t), definida como:

𝑇𝑆(𝑡),𝑥0 =

⎩⎪⎨

⎪⎧


{ 𝑡:𝑋(𝑡) > 𝑆(𝑡)|𝑋(𝑡0) = 𝑥0�} , 𝑠𝑖 𝑥0 < 𝑆(𝑡0)


{ 𝑡:𝑋(𝑡) < 𝑆(𝑡)|𝑋(𝑡0) = 𝑥0�} , 𝑠𝑖 𝑥0 > 𝑆(𝑡0)�

Siendo 𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) � a su función de densidad.

Teorema 3. Sea S una función continua en [t0, T] y considerando que para todo

𝑦 ∈ 𝐼 y τ < 𝑡.

𝜙(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝜏) =𝑑𝑑𝑡𝐹(𝑥, 𝑡|𝑦, )

Entonces se verifica:



Página 41

g(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) � =

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧−2𝜑(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) �+ 2� 𝑔(𝑆(𝜏), 𝜏|𝑥0, 𝑡0�)𝜑(𝑆(𝜏), 𝜏|𝑥0, 𝑡0�)𝑑𝜏

𝑡

𝑡0,

𝑥0 < 𝑆(𝑡0).

2𝜑(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) � − 2� 𝑔(𝑆(𝜏), 𝜏|𝑥0, 𝑡0�)𝜑(𝑆(𝜏), 𝜏|𝑥0, 𝑡0�)𝑑𝜏𝑡

𝑡0,

𝑥0 > 𝑆(𝑡0)

�

En el siguiente teorema, se expone una nueva expresión de la ecuación integral anterior,

pero introduciendo en ella dos funciones arbitrarias.

Teorema 4. Sean S, k y r funciones continuas en [t0, T] y considerando que para todo

y ∈ I y τ < 𝑡 .

𝜓(𝑆(𝜏), 𝜏|𝑥0, 𝑡0) =

⎩⎪⎨

⎪⎧𝜙(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) + 𝑘(𝑡)𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) + 𝑟(𝑡)[1 − 𝐹(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏)],

𝑥0 < 𝑆(𝑡0).

𝜙(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) + 𝑘(𝑡)𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) + 𝑟(𝑡)𝐹(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏), 𝑥0 > 𝑆(𝑡0)

�

Entonces se verifica:

𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) � =

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧−2ϕ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) � + 2� 𝑔(𝑆(𝜏), 𝜏|𝑥0, 𝑡0�)Ψ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), �𝜏)𝑑𝜏

𝑡

𝑡0,

𝑥0 < 𝑆(𝑡0).

2ϕ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) � − 2� 𝑔(𝑆(𝜏), 𝜏|𝑥0, 𝑡0�)Ψ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏),�𝜏)𝑑𝜏𝑡

𝑡0,

𝑥0 > 𝑆(𝑡0)

�

Si 𝐹(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) = [𝑋(𝑡) ≤ 𝑥|𝑋(𝜏) = 𝑦�]� y 𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝜏) � = 𝜕𝜕𝑡𝐹(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝜏) � son las

funciones de distribución de transición y densidad de probabilidad del proceso 𝑋(𝑡).

Siendo 𝑘(𝑡) y 𝑟(𝑡) funciones continuas arbitrarias en [𝑡0, +∞).

Para obtener la expresión del núcleo Ψ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) � de la ecuación integral en términos

de momentos infinitesimales del proceso de difusión, calculamos el valor de

φ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) � + 𝑘(𝑡)𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝜏) �, y la función queda de la forma:



Página 42

Ψ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) � = �Γ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) + 𝑟(𝑡)[1 − 𝐹(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) �]�, 𝑥0 < 𝑆(𝑡0)

.Γ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) + 𝑟(𝑡)𝐹(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) ��, 𝑥0 > 𝑆(𝑡0)

�

Siendo:

Γ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) � = 𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) � �𝑆′(𝑡) + 𝑘(𝑡) − 𝐴1(𝑆(𝑡), 𝑡) +12�𝜕𝐴2(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥�𝑥=𝑆(𝑡)

�

+12𝐴2(𝑆(𝑡), 𝑡) �

𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝜏) �


Haciendo uso de teoremas, mediante derivaciones e integraciones con respecto a 𝑥 y 𝑡

en casos que corresponden, para las ecuaciones anteriores. Se puede demostrar que,

cualquiera que sea el proceso de difusión no homogénea, la densidad de transición del

tiempo de primer paso, a través de los límites 𝑆(𝑡) satisface la ecuación integral de

Volterra. Explica [1]. El siguiente paso fue encontrar dos funciones de forma que

suavicen el comportamiento de dicho núcleo que lo hagan no singular, garantizándonos

de esta forma, según la teoría de integrales de Volterra, la existencia de la solución.

4.1.2.- OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN INTEGRAL PARA PROCESOS

TRANSFORMADOS DEL PROCESO DE WIENER

El primer paso fue considerar la familia de procesos transformados del Wiener.

Para ello se considera la transformación dada por el Teorema 2 y se analiza la

repercusión de la misma en el núcleo de la ecuación integral. Así tenemos el siguiente

resultado:

En las hipótesis generales de este apartado, si 𝑆 = 𝑆(𝑡) es una función derivable, y 𝑘, 𝑟

son funciones continuas en [t0, T], entonces para todo y ∈ I y τ < 𝑡 se verifica.



Página 43

Ψ(𝑆(𝜏), 𝜏|𝑥0, 𝑡0)

=

⎩⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎧𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏)ℎ�(𝑡, 𝜏, 𝑦) +

𝑟(𝑡)2

�1 − 𝐸𝑟𝑓 �𝜓�(𝑆(𝑡), 𝑡) − 𝜓�(𝑦, 𝜏)

�2�𝜙(𝑡) − 𝜙(𝜏)��2 �� ,

𝑠𝑖 𝑥0 < 𝑆(𝑡0).

𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏)ℎ�(𝑡, 𝜏, 𝑦) +𝑟(𝑡)

2�1 + 𝐸𝑟𝑓 �

𝜓�(𝑆(𝑡), 𝑡) − 𝜓�(𝑦, 𝜏)

�2�𝜙(𝑡) − 𝜙(𝜏)��2 �� ,

𝑠𝑖 𝑥0 > 𝑆(𝑡0)

�

Donde

ℎ�(𝑡, 𝜏, 𝑦) = 𝑆′(𝑡) +

�𝜕𝜓�(𝑆(𝑡), 𝑡)𝜕𝑡 �

𝑥=𝑆(𝑡)

�𝜕𝜓�(𝑆(𝑡), 𝑡)𝜕𝑥 �

𝑥=𝑆(𝑡)

−[𝜓�(𝑆(𝑡), 𝑡) − 𝜓�(𝑦, 𝜏)]𝜙′(𝑡)

2[𝜙(𝑡) − 𝜙(𝜏)]1

�𝜕𝜓�(𝑆(𝑡), 𝑡)𝜕𝑥 �

𝑥=𝑆(𝑡)

+ 𝑘(𝑡)

Se ve cómo afecta esta transformación en las funciones arbitrarias k(t) y r(t) del

apartado anterior, que garanticen que el núcleo de la ecuación integral de Volterra de

segunda especie, visto en el teorema 2 sea no singular.

Teorema 5. Sean 𝑘(𝑡) y 𝑟(𝑡) dos funciones continuas en el intervalo [t0, T]. Si S es

de clase C2[t0, T], se verifica:

𝑙𝑖𝑚𝜏↑𝑡

Ψ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), 𝜏) = 0 ⇔

⎩⎪⎨

⎪⎧𝑘(𝑡) = −

12⎣⎢⎢⎢⎡𝑆′(𝑡) +

�𝜕𝜓�(𝑆(𝑡), 𝑡)𝜕𝑡 �

𝑥=𝑆(𝑡)

�𝜕𝜓�(𝑆(𝑡), 𝑡)𝜕𝑥 �

𝑥=𝑆(𝑡)⎦⎥⎥⎥⎤

𝑟(𝑡) = 0

�

A consecuencia del teorema anterior, tenemos



Página 44

Ψ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), 𝜏) =

=12𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), 𝜏)

⎩⎪⎨

⎪⎧

𝑆′(𝑡) +

�𝜕𝜓�(𝑆(𝑡), 𝑡)𝜕𝑡 �

𝑥=𝑆(𝑡)

�𝜕𝜓�(𝑆(𝑡), 𝑡)𝜕𝑥 �

𝑥=𝑆(𝑡)

−[𝜓�(𝑆(𝑡), 𝑡) − 𝜓�(𝑦, 𝜏)]ϕ′(t)

2[𝜙(𝑡) − 𝜙(𝜏)]1

�𝜕𝜓�(𝑆(𝑡), 𝑡)𝜕𝑥 �

𝑥=𝑆(𝑡)⎭⎪⎬

⎪⎫

Teniendo en cuenta la expresión de la función 𝜓�(𝑥, 𝑡) y sus derivadas respecto a 𝑥 y 𝑡,

es posible obtener la función 𝑘(𝑡) a través de una caracterización en función de los

momentos infinitesimales, así tendríamos:

𝑘(𝑡) =12�𝐴1(𝑆(𝑡), 𝑡) − 𝑆′(𝑡) − �𝜕𝐴2(𝑥, 𝑡)

4𝜕𝑥�𝑥=𝑆(𝑡)

�

y así la función Ψ(. ) es:

Ψ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), 𝜏)

=12𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) �𝑆′(𝑡) +

34�𝜕𝐴2(𝑥, 𝑡)


− 𝐴1(𝑆(𝑡), 𝑡)�

+12𝐴2(𝑆(𝑡), 𝑡)

𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝜏)𝜕𝑥 𝑥=𝑆(𝑡)

4.2.- SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN INTEGRAL Y SOLUCIONES

EXPLÍCITAS.

Se verifica para un proceso de difusión con función de densidad del tiempo de

primer paso a través de barreras variables 𝑆(𝑡), esta es una ecuación integral de Volterra

de segunda especie y observamos que el núcleo de dicha ecuación integral viene

expresado en términos de dos funciones continuas arbitrarias 𝑘(𝑡) 𝑦 𝑟(𝑡) , Para

garantizar la existencia de solución de la ecuación integral, es necesario determinar

estas dos funciones, porque según la Teoría General de las Ecuaciones de Volterra es



Página 45

necesario que el núcleo de la ecuación integral sea no singular y la no singularidad del

núcleo se expresa así.

𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) � = 2𝑝 �−Ψ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) � + � 𝑔(𝑆(𝜏), 𝜏|𝑥0, 𝑡0�)Ψ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), �𝜏)𝑑𝜏𝑡

𝑡0�

lim𝜏⟶𝑡

Ψ (𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), 𝜏) � = 0 (7)

No singularidad del núcleo de la ecuación integral para procesos de difusión no

homogéneos; El siguiente teorema proporciona una condición necesaria y suficiente, en

términos de las funciones 𝑘(𝑡) y 𝑟(𝑡), para que el núcleo de la ecuación integral de

Volterra sea no singular.

Teorema 6. Sea {𝑋(𝑡); 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇} un proceso de difusión unidimensional no

homogéneo. Si S(t) una función de clase 𝐶2[𝑡0,∞ ] y 𝑘(𝑡) y 𝑟(𝑡) dos funciones

continuas en el intervalo [𝑡0; +∞], entonces se verifica

lim𝜏↑𝑡

Ψ (𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), 𝜏) � = 0 ⇔ �

𝑟(𝑡) = 0

𝑘(𝑡) =12�𝐴1(𝑆(𝑡), 𝑡) − 𝑆′(𝑡) − �𝜕𝐴2(𝑥, 𝑡)

4𝜕𝑥�𝑥=𝑆(𝑡)

��

El núcleo de la ecuación integral, puede expresarse en términos de los momentos

infinitesimales, en efecto:

Ψ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) � =12𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) � �𝑆′(𝑡) − 𝐴1(𝑆(𝑡), 𝑡) +

34�𝜕𝐴2(𝑥, 𝑡)


�

+12𝐴2(𝑆(𝑡), 𝑡) �

𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝜏) �


Esta expresión nos proporciona condiciones sobre las funciones 𝑘(𝑡) 𝑦 𝑟(𝑡) así se

asegura la existencia de solución de la integral de Volterra, siendo esta resolución de la

ecuación integral aun compleja.



Página 46

Teorema 7. Sea {𝑋(𝑡); 𝑡0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇} un proceso de difusión unidimensional

homogéneo, definido en un intervalo 𝐼 = (𝑟1; 𝑟2), siendo 𝑟1 y 𝑟2 las barreras naturales,

y 𝐴1(𝑥) la media infinitesimal y 𝐴2(𝑥) la varianza infinitesimal. Sea S(t) una función

de clase 𝐶2[𝑡0,∞ ]. Y 𝑟(𝑡) = 0, entonces verifica.

lim𝜏↑𝑡

Ψ (𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), 𝜏) � = 0 ⇔ 𝑘(𝑡) =12�𝐴1�𝑆(𝑡)� − 𝑆′(𝑡) −

14𝐴2′ �𝑆(𝑡)��

Entonces el núcleo de la ecuación integral se expresa de la forma

Ψ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) � =12𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) � �𝑆′(𝑡) − 𝐴1(𝑆(𝑡), 𝑡) +

34𝐴2′ �𝑆(𝑡)��

+12𝐴2�𝑆(𝑡)� �

𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝜏) �


Teorema 8. En este caso particular, la no singularidad del núcleo se consigue con la

condición (Ec. 7):

lim𝜏⟶𝑡

Ψ (𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), 𝜏) � = 0

También verifica si, ∀ 𝑡, 𝜏: 𝑡0 ≤ 𝜏 < 𝑡, entonces

Ψ(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), 𝜏) � = 0

Para dar solución a la densidad del tiempo de primer paso sin la necesidad de resolver la

ecuación integral, se puede obtener fácilmente expresiones explicitas, donde la ecuación

de tiempo de primer paso, está expresada por:

𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, � 𝑡0) = 2|Ψ��(𝑆(𝑡), 𝑡 | �𝑥0, 𝑡0|

De esta forma es posible determinar la densidad del tiempo de primer paso a partir de la

ecuación anterior teniendo como barreras 𝑆(𝑡) que verifique ∀ 𝑡, 𝜏: 𝑡0 ≤ 𝜏 < 𝑡. Pero en

general la ecuación integral no es resoluble de manera explícita, por ello es necesario



Página 47

acudir a la solución con esquemas numéricos, por ejemplo hay un método llamado:

Función de localización del tiempo de primer paso, método que se aproxima

numéricamente de la integral que aparece en la expresión de la ecuación integral de

Volterra.

4.3.- APLICACIÓN

4.3.1. Particularización del proceso lognormal

Empezamos por deducir el proceso de difusión lognormal con factores exógenos

Siendo la función de densidad de dicho proceso:

𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝜏) =1

𝑥�2𝜋𝜎2(𝑡 − 𝜏)𝑒𝑥𝑝

⎩⎨

⎧−�𝑙𝑛(𝑥) − 𝑙𝑛(𝜏) − ∫ ℎ(𝑢)𝑡

𝜏 𝑑𝑢 − 𝜎22 (𝑡 − 𝜏)�

2

2𝜎2(𝑡 − 𝜏)⎭⎬

⎫

Realizaremos la derivada de la función de densidad, quedando de la forma:

𝑑𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝜏)𝑑𝑥

= −𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝜏)

𝑥�32

+𝑙𝑛 �𝑥𝜏� − ∫ ℎ(𝑢)𝑡

𝜏 𝑑𝑢𝜎2(𝑡 − 𝜏) �

Ahora calculamos la función 𝜓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), 𝜏), cuya expresión está dada por:

𝜓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), 𝜏)

=12𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) �𝑆′(𝑡) +

34𝜕𝐴2(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥|𝑥=𝑆(𝑡) − 𝐴1(𝑆(𝑡), 𝑡)�

+12𝐴2(𝑆(𝑡), 𝑡)

𝜕𝑓(𝑥, 𝑡|𝑦, 𝜏)𝜕𝑥

|𝑥=𝑆(𝑡)

Sabiendo que en un proceso lognormal 𝐴1(𝑆(𝑡), 𝑡) = ℎ(𝑡)𝑆(𝑡) y 𝐴2(𝑆(𝑡), 𝑡) =

𝜎2𝑆(𝑡)2, tenemos:



Página 48

𝜓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑆(𝜏), 𝜏)

=12𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) �𝑆′(𝑡) +

32𝜎2𝑆(𝑡) − ℎ(𝑡)𝑆(𝑡)�

−12𝜎2𝑆(𝑡)2

𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏)𝑆(𝑡)

�32

+𝑙𝑛 𝑆(𝑡)𝑆(𝜏) − ∫ ℎ(𝑢)𝑡

𝜏 𝑑𝑢

𝜎2(𝑡 − 𝜏) �

=12𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑦, 𝜏) �𝑆′(𝑡) − ℎ(𝑡)𝑆(𝑡) − 𝑆(𝑡)

𝑙𝑛 𝑆(𝑡)𝑆(𝜏) − ∫ ℎ(𝑢)𝑡

𝜏 𝑑𝑢

𝜎2(𝑡 − 𝜏) �

Para encontrar la solución a dicha ecuación integral, imponemos la condición e

igualamos a cero, de la siguiente manera:

�𝑆′(𝑡) − ℎ(𝑡)𝑆(𝑡) − 𝑆(𝑡)𝑙𝑛 𝑆(𝑡)𝑆(𝜏) − ∫ ℎ(𝑢)𝑡

𝜏 𝑑𝑢

𝜎2(𝑡 − 𝜏) � = 0

En esta ecuación diferencial, cambiamos ∫ ℎ(𝑢)𝑡𝜏 𝑑𝑢 = 𝐻(𝑡), por tanto obtendremos:

�𝑆′(𝑡) − ℎ(𝑡)𝑆(𝑡) − 𝑆(𝑡)𝑙𝑛 𝑆(𝑡)𝑆(𝜏) − 𝐻(𝑡) + 𝐻(𝜏)

𝜎2(𝑡 − 𝜏) � = 0

Resolviendo

𝑆′(𝑡)𝑆(𝑡)

− ℎ(𝑡) −𝑙𝑛 𝑆(𝑡)𝑆(𝜏) − 𝐻(𝑡) + 𝐻(𝜏)

𝜎2(𝑡 − 𝜏) = 0

Reemplazamos algunos términos por la variable 𝐾 = 𝑆(𝜏) − 𝐻(𝜏), y a 𝑉(𝑡) = ln 𝑆(𝑡)

obtendremos la ecuación diferencial lineal:

𝑉′(𝑡) − 𝑉(𝑡) = ℎ(𝑡) +𝐾 − 𝐻(𝑡)𝑡 − 𝜏

Así, la solución es:

𝑉(𝑡) = 𝐶(𝑡 − 𝜏) − 𝐾 + 𝐻(𝑡) = 𝐵1 + 𝐵2𝑡 + 𝐻(𝑡)



Página 49

Siendo

�𝐵1 = −𝐾 − 𝐶𝜏

𝐵2 = 𝐾�

Al final obtenemos la siguiente barrera:

𝑆(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝[𝐵1 + 𝐵2𝑡 + 𝐻(𝑡)] = 𝐴𝑒𝑥𝑝[𝐵𝑡 + 𝐻(𝑡)]

Obtenida la barrera de tiempo de primer paso, teniendo solución ecuación diferencial de

Volterra, siendo la función de densidad la variable de tiempo de primer paso la ecuación

es:

𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) = |2𝜓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0)|

= 2 �12𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) �𝑆(𝑡)[𝐵 + ℎ(𝑡)] − ℎ(𝑡)𝑆(𝑡)

− 𝑆(𝑡)𝑙𝑛(𝐴) + 𝐵𝑡 + 𝐻(𝑡) − 𝑙𝑛 (𝑥0) − 𝐻(𝑡) + 𝐻(𝑡0)

(𝑡 − 𝑡0) ��

= 𝑆(𝑡)𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) �𝐵 −𝑙𝑛(𝐴) + 𝐵𝑡 − 𝑙𝑛 (𝑥0) + 𝐻(𝑡0)

(𝑡 − 𝑡0) �

= 𝑆(𝑡)𝑓(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) �𝑙𝑛 �𝐴𝑥0

� + 𝐵𝑡0 + 𝐻(𝑡0)

(𝑡 − 𝑡0) �

Obtenemos la función de densidad de tiempo de primer paso:

𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) =

=�𝑙𝑛 �𝐴𝑥0

� + 𝐵𝑡0 + 𝐻(𝑡0)�

𝜎√2𝜋(𝑡 − 𝑡0)3/2𝑒𝑥𝑝

⎝

⎜⎛−�𝑙𝑛 𝐴𝑥0

+ 𝐵𝑡 + 𝐻(𝑡0) + 𝜎2(𝑡 − 𝑡0)�2

2𝜎2(𝑡 − 𝑡0)

⎠

⎟⎞

Esto se cumple siempre y cuando 𝑙𝑛 � 𝐴𝑥0� + 𝐵𝑡0 + 𝐻(𝑡0) ≠ 0 o lo que es lo mismo,

siempre que 𝑆(𝑡0) ≠ 𝑥0



Página 50

4.3.2. PARTICULARIZACIÓN DEL PROCESO LOGÍSTICO

Así, se puede particularizar para el proceso de logístico, sabiendo que

𝐻(𝑡) = −𝑙𝑛[1 + 𝑏𝑒𝑥𝑝(−𝑐𝑡)]

Por tanto, la barrera para la que tiene solución la ecuación integral de Volterra, tiene la

forma:

𝑆(𝑡) = 𝐴𝑒𝑥𝑝�𝐵𝑡 − 𝑙𝑛[1 + 𝑏𝑒𝑥𝑝(−𝑐𝑡)]� =𝐴𝑒𝑥𝑝(𝐵𝑡)

1 + 𝑏𝑒𝑥𝑝(−𝑐𝑡)

Sustituyendo en la ecuación de la función de densidad del tiempo de primer paso,

obtenemos que la función en un proceso de difusión logístico, sea:

𝑔(𝑆(𝑡), 𝑡|𝑥0, 𝑡0) =

=�𝑙𝑛 𝐴𝑥0

+ 𝐵𝑡0 − 𝑙𝑛[1 + 𝑒𝑥𝑝 (−𝑐𝑡0)]�

𝜎√2𝜋(𝑡 − 𝑡0)3/2𝑒𝑥𝑝

⎩⎪⎨

⎪⎧

−�(𝑙𝑛 𝐴𝑥0

+ 𝐵𝑡 − 𝑙𝑛 [1 + 𝑒𝑥𝑝 (−𝑐𝑡0)] + 𝜎2(𝑡 − 𝑡0)�2

2𝜎2(𝑡 − 𝑡0)

⎭⎪⎬

⎪⎫

Después de obtener la ecuación anterior, procedemos a realizar la simulación de

procesos con sus barreras. La simulación se realizó con 25 trayectorias del proceso

logístico de parámetros 𝑏 = 10, 𝑐 = 0.5 y 𝜎 = 0.01.

El tamaño de cada trayectoria es de 51 datos, se ha tomado 𝑡0 = 0 y distribución inicial

degenerada en 𝑥0 = 1. Siendo, 𝐴 = 1 y 𝐵 = 0.1, entonces la barrera condicionada es:

𝑆(𝑡) =(1) 𝑒𝑥𝑝(0.1𝑡)

1 + 10𝑒𝑥𝑝 (−0.5𝑡)

Con los datos que mencionamos realizamos la gráfica de las 25 trayectorias del proceso

logístico y la barrera 𝑆(𝑡)



Página 51

Figura 8.

Figura 9.

0 10 20 30 40 50

24

68

1012

Trayectorias simuladas de un p

Tiempo

Tray

ecto

rias

20 22 24 26 28

10.0

10.5

11.0

11.5

Trayectorias simuladas de un p

Tiempo

Tray

ecto

rias



Página 52

Figura 10.

Figura 11.

0 10 20 30 40 50

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Densidad de tiempo de primer pa

Tiempo

Den

sida

d

20 22 24 26 28 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Densidad de tiempo de primer pa

Tiempo

Den

sida

d



Página 53

En la figura 8, observamos las 25 trayectorias simuladas en un proceso logístico y el

cruce de la barrera 𝑆(𝑡), sobre estas trayectorias, observando así que la mayor parte de

función de densidad se encuentra en el tiempo donde se produce los cortes. La figura 9

muestra una amplitud de la figura 8, viendo así más claramente estos 25 cortes de la

barrera a las trayectorias que se dan en un intervalo de tiempo entre 23 y 25

aproximado.

La mayor parte de la probabilidad en esos instantes de tiempo se puede observar en la

figura 10 y 11.



Página 54

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