viridiana matlalcuatzi zamora · matlalcuatzi zamora v. (ifuap-buap) difusi on ads julio 2015 3 /...

Difusion AdS

Viridiana Matlalcuatzi Zamora

Trabajo en colaboracion con A. Herrera Aguilar,L.V. Salamanca Jimarez, J.M. Romero y A. Gaona

Instituto de FısicaBenemerita Universidad Autonoma de Puebla

Julio 2015

Matlalcuatzi Zamora V. (IFUAP-BUAP) Difusion AdS Julio 2015 1 / 14

Contenido

1 Motivaciones

2 Ecuacion de Fick–JacobsDifusion en canales

3 Ecuacion del campo escalar masivo en un fondo AdS

4 Relacion entre la ec. del campo escalar y la ec. de Fick-Jacobs

5 Perspectivas


Motivaciones

Motivaciones

Se observa una relacion entre◦Teorıa de Campo Conforme (CFT)◦ Materia Condensada

AdS� ◦ Fluidos (Navier–Stokes)•Mecanica Cuantica Conforme•Difusion (Fick–Jacobs)

Motivados por un ansatz que permite resolver la ec. de Fick–Jacobspara determinadas geometrıas de perfiles de area, se contruyen nuevassoluciones.

Hallar soluciones exactas a la ecuacion de Fick–Jacobs para distintasgeometrıas de canales.

• J.M. Romero y A. Gaona, J. Phys. Conf. Series, 512 (2014) 012028; Mod. Phys.

Lett. A 30 (2015) 05, 1550018.


Ecuacion de Fick–Jacobs Difusion en canales

Difusion en canales

La difusion es la migracion de las partıculas de un soluto bajo laaccion de multiples choques aleatorios con las partıculas deldisolvente.

Figura 1: Difusion

La ecuacion de difusion, deducida en primer lugar por Adolf Fick en1855

∂C(~x, t)

∂t= D∇2C(~x, t). (1)

Sin embargo, en el problema de los flujos en el canal que los conecta, elpapel de la geometrıa es de gran importancia, como demostro Jacobs.



Ecuacion de Fick–Jacobs

La Ecuacion de Fick-Jacobs fue deducida a partir de la primer ley deFick, en 1967 por Jacobs

∂C(x, t)

∂t=

∂

∂x

[D(x)A(x)

∂

∂x

(C(x, t)

A(x)

)], (2)

describe difusion en canales que tienen perfil de superficie de revoluciondado por el perfil de area A(x), donde D(x) es el coefiente de difusion yC(x) es la concentracion de partıculas.Fijando D(x) = D0 entonces la ecuacion de Fick–Jacobs es

∂C(x, t)

∂t= D0

[∂2C

∂x2− 1

A

(∂C

∂x

)(dA

dx

)+

C

A2

(dA

dx

)2

− C

A

d2A

dx2

].

Sin embargo, estudiando la familia de canales dados por

A(x) = (b+ λx)2ν (3)

donde ν, b, λ = cte y y = b+ λx,Matlalcuatzi Zamora V. (IFUAP-BUAP) Difusion AdS Julio 2015 5 / 14


se obtiene

∂C(y, t)

∂t= λ2D0

(∂2

∂y2− 2ν

y

∂

∂y+

2ν

y2

)C(y, t). (4)

Esta ecuacion es invariante bajo las transformaciones

t′ =αt+β

γt+δ, x′=

ax

γt+δ, a=

√αβ−γδ 6=0, (5)

C ′ν(x′, t′

)= (γt+ δ)

1−2ν2 e

14D0

γx2

γt+δCν (x, t) .

Usando la siguiente transformacion

C(y, t) = (b+ λx)νψ(y, t),

la ec. de Fick-Jacobs resulta ser

−∂ψ (y, t)

∂t= H ψ (y, t) , (6)

donde

H = −λ2D0∂2

∂y2+g

y2, g = D0ν(ν − 1).

(C.R. Hagen, Phys. Rev. D 5 (1972) 377; U. Niederer, Helv. Phys. Acta 45 (1972) 802).Matlalcuatzi Zamora V. (IFUAP-BUAP) Difusion AdS Julio 2015 6 / 14


Tomando el ansatz ψ(y, t) = e−EtΦ(y), se tiene

EΨ(y) = HΨ(y). (7)

Nuevamente usando el cambio de variable y = b+ λx, se encuentra que lasolucion exacta para la ecuacion de Fick-Jacobs es

Cν (x, t)=Be−Et(b+λx)2ν+1

2 J±( 2ν−12 )

[±√

E

λ2D0(b+λx)

], (8)

donde B y E se pueden obtener a partir de condiciones de frontera.



Soluciones

C ′ν(x′, t′

)= B (γt+ δ)

1−2ν2 (b+λx)

2ν+12 e−Ete

14D0

γx2

γt+δ

· J±( 2ν−12 )

[±√

E

λ2D0(b+λx)

](9)

C ′′ν = B

(γ

(α′t+ β′

γ′t+ δ′

)+ δ

) 1−2ν2(b+λ

(a′x

γ′t+ δ′

)) 2ν+12

e−E

(α′t+β′γ′t+δ′

)

· e

14D0

γ

(a′x

γ′t+δ′

)2

γ

(α′t+β′γ′t+δ′

)+δJ±( 2ν−1

2 )

[±√

E

λ2D0

(b+λ

(a′x

γ′t+ δ′

))](10)


Ecuacion del campo escalar masivo en un fondo AdS


La accion del campo escalar masivo en AdS

S =

∫dd+1x

√−g{∇a∇aφ+m2φ2

}, (11)

con una metrica en coordenadas de Poincare

ds2d+1 =R2

ζ2(ηµνdx

µdxν + dζ2),

donde ζ es la coordenada holografica, R es el radio de curvatura y µ, ν =0, 1, 2, ..., d.Haciendo la variacion de la accion, obtenemos la eom para el campo φ

∇a∇aφ−m2φ = 0 (12)



(ζ

R

)2 [−d− 1

ζ∂ζφ+ ∂2ζφ+ ∂µ∂µφ

]−m2φ = 0, (13)

para el estudio de esta ec. se propone

φ (x, ζ) = ek·xf(k, ζ)

∂2f

∂ζ2+

(1− d)

ζ

∂f

∂ζ−(k2 +

m2R2

ζ2

)f = 0, (14)

ahora haciendo el siguiente cambio de variable

f(x, ζ) = ζd−12 ψ(ζ, k),

tal que

− 1

R2

d2ψ

dζ2+

∆

ζ2ψ =

M2d

R2ψ, (15)

considerando: kµkµ = M2

d y ∆ = m2 + (d−1)22R2 − 1

R2

(d−12

)(d− 3

2

).


Relacion entre la ec. del campo escalar y la ec. de Fick-Jacobs

Relacion entre un campo escalar y la ec. de Fick-Jacobs

Debido a que la ecuacion de Fick–Jacobs y el campo escalar masivo en unfondo AdS tienen las mismas simetrıas, se puede obtener una relacion entreestos dos sistemas. Realizando el siguiente mapeo

b+ λx ←→ ζ,

λ2D0 ←→ R2 = − 2Λ

d(d− 1),

ν(ν − 1) ←→(d− 1

2

)(d+ 1

2

)+m2R2,

E ←→M2d

R2.

donde la seccion transversal es A(x) = (b+ λx)2ν .J.M. Romero y A. Gaona, J. Phys. Conf. Series, 512 (2014) 012028; Mod. Phys. Lett. A 30

(2015) 05, 1550018.


Perspectivas

Perspectivas

1 Buscar coeficientes de difusion donde este sea funcion de x, tal queD(x).

2 Estudiar difusion en canales que tienen perfil de superficie de revoluciondado por el perfil de area A(x, t), donde estos dependan del tiempo.

3 Considerando 1 y 2, hallar soluciones exactas a la ecuacion de Fick–Jacobs para distintas geometrıas de canales.


Perspectivas

Gracias!!!


Perspectivas

Help

∇a∇aφ =1√−g

∂a

(√−ggab∂bφ

)(16)


viridiana matlalcuatzi zamora · matlalcuatzi zamora v. (ifuap-buap) difusi on ads julio 2015 3 /...

Documents