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CARACTERÍSTICAS DEL RAZONAMIENTO CONFIGURAL EN ESTUDIANTES PARA MAESTRO EN LA RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS DE PROBAR DE GEOMETRÍA
Francisco Clemente Císcar
DEPARTAMENTO DE INNOVACIÓN Y FORMACIÓN DIDÁCTICA
CARACTERÍSTICAS DEL RAZONAMIENTO CONFIGURAL EN
ESTUDIANTES PARA MAESTRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE
PROBAR DE GEOMETRÍA
TESIS DOCTORAL
FRANCISCO CLEMENTE CÍSCAR
Alicante, diciembre de 2015
CARACTERÍSTICAS DEL RAZONAMIENTO CONFIGURAL EN
ESTUDIANTES PARA MAESTRO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE
PROBAR DE GEOMETRÍA
Memoria que presenta D. Francisco Clemente Císcar para optar al grado de doctor
Fdo.: D. Francisco Clemente Císcar
Trabajo realizado bajo la dirección del Dr. Salvador Llinares Ciscar
Fdo.: Dr. Salvador Llinares Ciscar
Alicante, diciembre de 2015
AGRADECIMIENTOS
Quiero mostrar mi gratitud al Dr. Salvador Llinares Ciscar, director de esta tesis,
por su rigor científico, por su apoyo permanente y, especialmente, por su exquisita
cortesía.
Gracias también al Dr. Germán Torregrosa Gironés y a la Dra. Julia Valls
González, por sus comentarios durante la elaboración de este trabajo que han
contribuido a la mejora de esta investigación. Asimismo, a todos los miembros del área
de Didáctica de las Matemáticas del Departamento de Innovación y Formación
Didáctica de la Universidad de Alicante, por sus aportaciones y amabilidad.
A Rebeca, Jaume i Guillem
Índice Francisco Clemente Císcar
i
ÍNDICE
INTRODUCIÓN ............................................................................................................... 1
CAPÍTULO 1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ...................................................... 5
1.1. La visualización y el aprendizaje de las matemáticas y la geometría ........................ 6
1.2. Las figuras prototípicas ............................................................................................ 13
1.3. Lectura y construcción de pruebas ........................................................................... 18
1.4. Los mediadores semióticos y la prueba .................................................................... 23
1.4.1. El lenguaje natural .......................................................................................... 24
1.4.2. Las interacciones de los estudiantes con las configuraciones ........................ 27
1.4.3. Las expresiones gestuales y verbales como signos ........................................ 30
1.4.4. El espacio para el trabajo geométrico (SGW) ............................................... 31
1.4.5. La enseñanza de la prueba: los ejemplos heurísticos ..................................... 34
1.5. Relación entre el conocimiento y los procesos de probar ........................................ 37
1.6. Los profesores y la prueba ........................................................................................ 44
1.6.1. El conocimiento sobre la prueba .................................................................... 46
Índice Francisco Clemente Císcar
ii
1.6.2. La práctica de la prueba .................................................................................. 48
1.7. Las creencias acerca de la prueba ............................................................................. 51
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO .............................................................................. 57
2.1. El concepto figural de Fischbein ............................................................................. 59
2.2. El modelo cognitivo de Duval .................................................................................. 62
2.2.1. Procesos cognitivos ........................................................................................ 62
2.2.2. Aprehensiones ................................................................................................ 64
2.3. Los procesos de visualización y razonamiento ........................................................ 67
2.4. El razonamiento configural ...................................................................................... 69
2.4.1. Truncamiento y bucle ..................................................................................... 71
2.5. Preguntas de investigación ....................................................................................... 74
CAPÍTULO 3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN .................................................... 75
3.1. Estudio 1 .................................................................................................................. 76
3.1.1. Participantes y contexto ................................................................................. 76
3.1.2. Instrumentos de recogida de datos ................................................................. 77
3.1.3. Análisis ........................................................................................................... 80
3.1.3.1. Fase I: identificación de elementos relevantes en la resolución ........ 80
3.1.3.2. Fase II: identificación de la organización establecida entre los
hechos geométricos en la resolución de la prueba .............................. 85
3.2. Estudio 2 .................................................................................................................. 93
3.2.1. Participantes y contexto ................................................................................. 94
3.2.2. Instrumentos de recogida de datos ................................................................. 94
3.2.3. Análisis ........................................................................................................... 98
3.2.3.1. Realización de las Fases I y II: identificación de elementos
relevantes y su organización en la resolución de la prueba ............... 98
Índice Francisco Clemente Císcar
iii
3.2.3.2. Fase III: asociación de un vector a la respuesta del alumno con
el fin de identificar diferentes trayectorias de resolución ................ 100
CAPÍTULO 4. RESULTADOS ................................................................................... 113
4.1. Resultados del Estudio 1 ........................................................................................ 114
4.1.1. Reconocimiento de una subconfiguración relevante .................................... 115
4.1.2. Dos momentos significativos en la resolución de problemas de probar ...... 118
4.1.3. Características del proceso de comunicación del razonamiento configural
y la prueba ..................................................................................................... 121
4.2. Resultados del Estudio 2 ........................................................................................ 125
4.2.1. Influencia de las figuras prototípicas en el inicio del razonamiento
configural ...................................................................................................... 126
4.2.2. Conocimientos geométricos activados en función de la subconfiguración
identificada .................................................................................................... 134
4.2.3. Trayectoria de resolución vinculada a la subconfiguración identificada ..... 132
4.2.4. Del razonamiento configural a la construcción de una prueba ..................... 136
CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES ...................................................... 145
5.1. Características de la configuración inicial del problema y el conocimiento
geométrico previo ................................................................................................... 145
5.2. La forma del discurso escrito y el razonamiento configural ................................. 149
5.3. El truncamiento del razonamiento configural como cambio de estatus lógico
de un hecho geométrico ......................................................................................... 153
5.4. Implicaciones para futuras investigaciones ............................................................ 158
REFERENCIAS ............................................................................................................ 161
INTRODUCCIÓN
Introducción Francisco Clemente Císcar
1
INTRODUCCIÓN
El conocimiento de geometría que debe tener un maestro es un tema que
preocupa a los educadores matemáticos desde hace algún tiempo al ser una variable que
determina la manera en la que pueden apoyar el desarrollo del pensamiento geométrico
de los estudiantes.
Nuestra investigación se centra en el análisis de las relaciones entre los procesos
de visualización y el conocimiento de geometría en la resolución de problemas de
probar, que han puesto de manifiesto las dificultades que tienen algunos resolutores en
aplicar el conocimiento de geometría previamente aprendido.
Un aspecto del conocimiento de geometría del maestro está relacionado con el
desarrollo de la visualización y los procesos de exploración vinculados a esta, que
pueden favorecer que los estudiantes establezcan relaciones entre las definiciones y las
propiedades geométricas. En este ámbito, la idea de razonamiento configural ayuda a
comprender cómo los estudiantes para maestro resuelven los problemas de probar
centrando la atención en la relación entre los procesos de visualización y el
Introducción Francisco Clemente Císcar
2
conocimiento de geometría, como una característica de su aprendizaje de los contenidos
geométricos.
Esta investigación tiene como objetivo el estudio de las características del
razonamiento configural en estudiantes para maestro cuando resuelven problemas de
probar de geometría.
La tesis doctoral que presentamos consta de cinco capítulos.
En el primer capítulo mostramos el contexto donde situamos la investigación,
realizando una revisión de las aportaciones previas en las que nos hemos basado y que
dan sentido a este estudio. Efectuamos un recorrido sobre las contribuciones referentes
al aprendizaje de las matemáticas y de la geometría, identificando sus relaciones con los
procesos de visualización y de prueba, así como entre el conocimiento geométrico y los
procesos de probar.
En el segundo capítulo presentamos el marco teórico utilizado en el desarrollo
de esta investigación. Analizamos las teorías de Fischbein y Duval que proponen
respectivamente el modelo del concepto figural y el modelo cognitivo del razonamiento
geométrico. A partir de estos modelos se usa el razonamiento configural introducido por
Torregrosa y Quesada, que nos han permitido plantear las preguntas de nuestra
investigación.
En el tercer capítulo se describe el diseño de la investigación realizado a partir
de dos estudios. En el primero hemos analizado las características del razonamiento
configural cuando se resuelven problemas geométricos de prueba y el rol de la
visualización en su desarrollo. A partir de los resultados obtenidos se genera la
necesidad elaborar un segundo estudio centrado en identificar trayectorias de resolución
que permiten caracterizar el truncamiento del razonamiento configural. En este apartado
Introducción Francisco Clemente Císcar
3
indicamos los participantes y el contexto, los instrumentos de recogida de datos y el
proceso de análisis.
En el cuarto capítulo se presentan los resultados obtenidos y su interpretación
desde el marco teórico de los dos estudios. En el primer estudio se ha identificado la
importancia del reconocimiento de una subconfiguración relevante, la existencia de dos
momentos significativos en la resolución de problemas de probar, y los estilos
cognitivos y de comunicación en el razonamiento configural. En el segundo,
describimos la influencia de las figuras prototípicas en el inicio del razonamiento
configural, el papel del reconocimiento de una subconfiguración en la generación de
determinadas trayectorias de resolución, y la clasificación de las trayectorias de
resolución seguidas por los estudiantes como características del truncamiento del
razonamiento configural.
En el quinto y último capítulo, se exponen las conclusiones y la discusión sobre
los resultados obtenidos. Se subrayan las características de la configuración inicial del
problema y el conocimiento geométrico previo, el modo en que los estudiantes
relacionan lógicamente la información generada en las aprehensiones discursivas, y el
truncamiento del razonamiento configural interpretado como el cambio de estatus lógico
de un hecho geométrico. Finalizamos considerando las limitaciones de este trabajo así
como las implicaciones para futuras investigaciones.
CAPÍTULO 1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
5
CAPÍTULO 1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
El conocimiento matemático que debe poseer un maestro ha sido una
preocupación de los educadores matemáticos durante las dos últimas décadas (Ball,
Thames y Phelps, 2008; Cooney y Wiegel, 2003; Davis y Simmt, 2006; Ma, 1999). Sin
embargo, existen menos investigaciones sobre el conocimiento geométrico de los
maestros de primaria (Chinnappan y Lawson, 2005; Gutiérrez y Jaime, 1999) y sus
concepciones sobre la enseñanza de la geometría (Barrantes y Blanco, 2006; Lin, Yang,
Lo, Tsamir, Tirosh y Stylianides, 2012; Nason, Chalmers y Yeh, 2012).
El presente trabajo trata de la relación entre la visualización y el aprendizaje de
la geometría. El estudio se centra en proporcionar información sobre el conocimiento
geométrico de los estudiantes para maestros de primaria en el contexto de los procesos
de probar.
Este primer capítulo está organizado en seis secciones. En la primera,
describimos el proceso de visualización y su relación con el aprendizaje de las
matemáticas y la geometría. En la segunda, referimos el papel que desempeñan las
figuras prototípicas en el aprendizaje de la geometría. En la tercera, mostramos la
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
6
relación entre la visualización y la prueba. En la cuarta, exponemos el rol de los
mediadores semióticos en el desarrollo de la prueba. En la quinta, reseñamos la relación
entre el conocimiento y los procesos de probar. Finalizaremos el capítulo, haciendo
referencia a los resultados de las investigaciones sobre el conocimiento de los
profesores y la prueba.
1.1. La visualización y el aprendizaje de las matemáticas y la geometría
Desde finales de la década de 1990 la investigación de la visualización ha
adquirido una gran relevancia siendo reconocida como un campo importante para la
educación matemática. Presmeg (2006) describe diferentes investigaciones realizadas
sobre la visualización que incorporan aspectos del desarrollo curricular, y en particular,
que abordan el aprendizaje de áreas específicas de matemáticas: el cálculo, la
trigonometría, la estadística, el álgebra y la geometría. También describe estudios que
exploran la influencia de la tecnología, especialmente en entornos informáticos
dinámicos, así como las diferencias de género en la utilización de la visualización
matemática y el uso de las imágenes por parte de los matemáticos en su trabajo. A partir
de la década de 2000 se ha observado una ampliación del enfoque en la visualización
para incluir aspectos y teorías semióticas. A pesar de la favorable evolución registrada
en los últimos años, Presmeg (2006) reconoce la necesidad de continuar con este tipo de
investigaciones para establecer teorías generales que podrían unificar todo el campo de
la visualización en la educación matemática.
La terminología empleada para definir la visualización se ha precisado en los
últimos años (Bishop, 1983; Fischbein, 1993; Duval, 1995; Zazkis, Dubinsky y
Dautermann, 1996; Alsina, Fortuna y Pérez, 1997; Plasencia, 2000; Arcavi, 2003). En
este estudio el significado que atribuimos a la visualización se refiere a lo indicado por
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
7
Hershkowitz, Parzysz, y Van Dermolen, (1996): «Entendemos por visualización la
transferencia de objetos, conceptos, fenómenos, procesos y sus representaciones a algún
tipo de representación visual y viceversa. Esto incluye también la transferencia de un
tipo de representación visual a otra» (p. 163).
Utilizar la idea de transferencia referida en el párrafo anterior implica diferenciar
entre dos conceptos primordiales de la teoría cognitiva: figura (objeto geométrico
abstracto caracterizado por propiedades matemáticas); y dibujo (representación
particular de una figura). Estos dos conceptos están íntimamente relacionados en
matemáticas por lo que en muchas ocasiones nos movemos inconscientemente entre
ellos (Quesada, 2014).
El siguiente ejemplo está considerado un clásico de la representación visual de la
información, a partir del cual se han creado la gran mayoría de los planos de transporte
público de muchas ciudades; se trata del mapa del metro de Londres diseñado en 1931
por Henry Charles Beck (1902-1974), un ingeniero eléctrico inglés. La estrategia
utilizada por Beck fue dar más importancia a la función que a la precisión geográfica.
En un viaje subterráneo el usuario no está interesado en la topografía exacta de la ruta,
en realidad le importa cómo llegar de un sitio a otro, qué línea de tren tomar y por qué
estaciones debe pasar para llegar a su destino. Para conseguir su objetivo, Beck realizó
su diseño como si estuviera dibujando un circuito eléctrico; utilizando segmentos de
distintos colores, verticales, horizontales o con ángulos de ±45 grados; distribuyó las
estaciones sin preocuparse por las distancias reales entre ellas, obteniendo una
representación visual coherente y comprensible de un sistema complejo.
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
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Figura 1.1. Mapa del metro de Londres diseñado en 1931 por Henry Charles Beck.
Para Arcavi (2003), la visualización puede tener un rol complementario de gran
alcance en el aprendizaje de las matemáticas en lo referente a tres aspectos: el apoyo y
la ilustración de los resultados esencialmente simbólicos (y probablemente proporcionar
una prueba en sí misma); una posible manera de resolver el conflicto entre soluciones
simbólicas e intuiciones; y un modo de ayudarnos a volver a recuperar fundamentos
conceptuales que pueden ser fácilmente anulados por soluciones formales.
Veamos un ejemplo del papel que puede desempeñar la visualización en el
aprendizaje de las matemáticas. A continuación, se muestra la representación visual de
la suma infinita de la serie geométrica siguiente:
34 =
34 +
316 +
364 + ⋯ = 1
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
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Figura 1.2. Representación visual de la suma de una serie.
En el dibujo anterior, partimos de un triángulo equilátero de área una unidad,
posteriormente, a partir del punto medio de cada uno de sus lados lo dividimos en
cuatro triángulos semejantes al primero, pero de área un cuarto de unidad; repitiendo
este procedimiento construimos un objeto fractal (Mandelbrot, 1975) autosimilar de
profundidad infinita que mediante un razonamiento visual nos posibilita reconocer la
convergencia de la serie. Esta forma de argumentación ayuda a resolver problemas
analíticos utilizando el auxilio de un dibujo que permite la transferencia de conceptos
matemáticos complejos a algún tipo de representación visual y viceversa. En el ejemplo
mostrado, la adición de cada nuevo sumando de la serie se corresponde con el
incremento de la superficie que recubre al triángulo inicial con nuevas
subconfiguraciones (triángulos semejantes pero cuya área es un cuarto del área del
triángulo del paso anterior) que, tras infinitos pasos, consigue ocuparlo completamente.
Esta representación visual puede crear la imagen mental de infinitos triángulos
semejantes cada vez más pequeños que colapsan hacia el interior de un triángulo
equilátero, ocupando completamente su superficie finita.
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
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La importancia de la visualización en el aprendizaje de la geometría es conocida
desde hace mucho tiempo. La prueba del teorema de Pitágoras realizada por el
matemático hindú Bhaskara en el siglo XII es un ejemplo de cómo los matemáticos
antiguos encontraron evidencias de relaciones matemáticas haciendo dibujos. Las
pruebas visuales también están siendo utilizadas por algunos matemáticos modernos
(Rufus, 1978; Nelsen, 1993), en especial desde la década de 1970 en que comenzaron a
publicarse artículos bajo la denominación: “Pruebas Sin Palabras” (Proofs Without
Words). Por ejemplo, la prueba visual del teorema de Viviani (Kawasaki, 2005), cuyo
enunciado dice: «La suma de las distancias desde un punto interior a un triángulo
equilátero a cada uno de sus lados es igual a la altura del triángulo».
Figura 1.3. Prueba visual del teorema de Viviani (adaptado de Kawasaki (2005)).
Arcavi (2003) defiende la validez del razonamiento visual, ya que entiende la
visualización como un proceso que no tiene por finalidad excluir la verbalización (o
símbolos), sino más bien complementarla; sin embargo, reconoce la dificultad cognitiva
que surge de la necesidad de alcanzar una traducción flexible y competente entre las
representaciones visuales y analíticas de la misma situación matemática.
Dreyfus (1991) indica que la reticencia básica de los estudiantes a utilizar la
visualización en matemáticas es fruto del bajo estatus otorgado a los aspectos visuales
de las matemáticas en el aula. Piensa que el razonamiento visual no está destinado solo
a apoyar el descubrimiento de nuevos resultados y maneras de probar, sino que debe
desarrollarse como una forma aceptada de razonamiento, incluyendo la demostración de
teoremas matemáticos (Dreyfus, 1994). Esta idea no es compartida por Brown (1999),
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11
para quien la naturaleza del razonamiento visual le excluye de ser considerado «prueba»
ya que carece de estructura formal y semántica lógica, por lo que no puede garantizar
ningún tipo de verdad. Considera que los dibujos son un mecanismo heurístico,
psicológicamente sugerente y pedagógicamente importante, pero que no pueden probar
nada, ya que un dibujo solo puede representar un caso especial; así que, incluso si esa
imagen parece ser convincente, no tiene manera sistemática de eliminar dudas sobre el
caso general.
En la práctica educativa, está muy arraigada la idea de que algunas personas son
mejores en el procesamiento de palabras mientras que otras lo son en el procesamiento
de imágenes (Mayer y Massa, 2003); lo que se denomina hipótesis verbalizador-
visualizador. Esta hipótesis se considera particularmente relevante para el diseño de la
formación multimedia porque implica la presentación de palabras e imágenes para los
estudiantes; sin embargo, también puede servir para entender la construcción del estilo
cognitivo de los alumnos. El estudio realizado por Mayer y Massa (2003) contribuye a
la conceptualización de la dimensión visualizador-verbalizador, descomponiéndola en
tres facetas: la capacidad cognitiva (las cosas que la gente es capaz de hacer: baja o alta
capacidad espacial); el estilo cognitivo (las formas en que las personas procesan y
representan la información: pensar con palabras o imágenes); y el aprendizaje de
preferencia (predilección por la instrucción con texto o gráficos). Según sus resultados,
la dimensión visualizador-verbalizador reúne un conjunto de habilidades, estilos y
subfactores de preferencia.
En estudios realizados en varios países respecto a la utilización por los
estudiantes de un determinado modo de pensamiento matemático (Presmeg, 2006), se
ha comprobado que la preferencia por la visualización matemática sigue una
distribución gaussiana estándar en las poblaciones analizadas. Para la mayoría de la
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gente, la tarea en sí, las instrucciones para hacer la tarea de una manera determinada, los
factores socioculturales y las situaciones de enseñanza influyen en el uso del
pensamiento visual en matemáticas. Sin embargo, hay algunas personas que siempre
sienten la necesidad de emplear el modo visual de conocimiento matemático mientras
que otras no sienten esta necesidad en absoluto.
Gal y Linchevski (2010) sugieren que mediante la aplicación en las aulas de las
teorías de la percepción visual, los maestros están mejor equipados para prever,
identificar, entender, analizar y hacer frente a situaciones de la enseñanza de la
geometría, ya que les puede ayudar a comprender los procesos de pensamiento de los
estudiantes, logrando ser una herramienta poderosa para explicar una amplia gama de
dificultades asociadas al procesamiento visual de las matemáticas. También indican que
los profesores provistos del conocimiento sobre la percepción visual están en mejor
disposición de ser conscientes de estas dificultades, siendo capaces de hacer frente a
ellas proporcionando a sus alumnos diferentes estrategias para encontrar las
descomposiciones más adecuadas de las figuras (por ejemplo, usando capas de
transparencias); o bien, para identificar subconfiguraciones (por ejemplo, utilizando
primero transformaciones físicas antes de realizar transformaciones mentales); y de
interpretar determinados datos en las figuras, lo que les puede permitir resolver los
problemas de geometría planteados en el aula.
Un aspecto del conocimiento de geometría del maestro está relacionado con el
desarrollo de la visualización (Battista, 2007, 2008; Brown y Weatley, 1997; Presmeg,
2006) y los procesos de exploración e indagación vinculados a esta, que pueden
favorecer el que los estudiantes establezcan relaciones entre las definiciones y
propiedades geométricas (Clemente y Llinares, 2013; Hanna y Sidoli, 2007). Por lo que,
la relación entre lo visual y el sistema lógico-deductivo es un primer paso para que los
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
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estudiantes puedan establecer relaciones entre las definiciones y propiedades
geométricas (Hanna, 1998; Hershkowitz, 1990).
1.2. Las figuras prototípicas
Los modelos de Van Hiele (1986) de niveles de comprensión geométrica y de
Vinner (1991) son reconocidos como algunos de los más completos en relación con el
aprendizaje de la geometría para orientar a los profesores e investigadores en su
actividad de comprensión de los procesos mentales de los estudiantes. De acuerdo con
el modelo de Vinner, cuando escuchamos o leemos el nombre de un concepto conocido
nuestra memoria se estimula y evoca un conjunto de elementos (representaciones
visuales, imágenes, propiedades o experiencias), que no suelen coincidir con la
definición formal del concepto. Este conjunto de elementos que se pueden evocar
constituye la imagen del concepto, que para un estudiante puede incluir varias figuras
que recuerda como ejemplos del concepto y de sus propiedades. Además, los
estudiantes también pueden memorizar una definición verbal, que es la definición del
concepto.
Las propiedades incluidas en la imagen del concepto no siempre son propiedades
matemáticas, ya que también pueden ser consideradas características físicas
irrelevantes, especialmente, por los estudiantes que se encuentran en el primer nivel de
Van Hiele (Gutiérrez, Jaime y Fortuny, 1991). Por ejemplo, según se muestra en la
figura 1.4., para muchos niños de la escuela primaria, la imagen del concepto de un
triángulo consiste en un conjunto de triángulos específicos en posición estándar y varias
propiedades de estas figuras, como un triángulo que tiene un ángulo recto o los lados
laterales inclinados de igual longitud (Hershkowitz, 1989).
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
14
Figura 1.4. Ejemplos de la imagen del concepto “triángulo” para niños de la escuela
primaria.
Cuando el estudiante está resolviendo una tarea, la imagen del concepto puede
no coincidir con la definición del concepto matemático correspondiente y no estar
necesariamente ligados. Por ejemplo, muchos estudiantes incluyen en la definición de
rectángulo la condición de que no todos los lados son de la misma longitud, aunque
previamente hayan identificado los cuadrados como rectángulos cuando se les presentan
estas figuras. Sin embargo, hay otros estudiantes que definen un rectángulo como un
paralelogramo con ángulos rectos, pero no admiten cuadrados como rectángulos porque
todos los lados son de la misma longitud (Wilson, 1990).
Las experiencias de los estudiantes y de los ejemplos de un concepto tienen un
rol significativo en la formación de la imagen del concepto. Frecuentemente, los
estudiantes poseen unos pocos ejemplos de un concepto geométrico con una
característica visual específica común, es entonces cuando estos ejemplos se convierten
en prototipos (Hershkowitz, 1989), y constituyen las únicas referencias disponibles para
el estudiante cuando debe decidir sobre casos nuevos.
Según Vinner podemos distinguir tres tipos de comportamiento de acuerdo a la
calidad de la imagen del concepto (Hershkowitz, 1990):
• Los estudiantes con la imagen del concepto poco desarrollada a partir de
algunos ejemplos prototípicos y propiedades visuales; por lo que basan sus
juicios sobre el aspecto visual de estos prototipos, comparándolos con las figuras
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
15
que se les muestra en la tarea y rechazando aquellas que no coinciden con los
prototipos de su concepto imagen.
• Los estudiantes con la imagen del concepto un poco más desarrollada que se
apoyan en algunos ejemplos prototípicos y en algunas propiedades matemáticas
de esos ejemplos. Intentan aplicar estas propiedades a las figuras con las que
tienen que trabajar, rechazando aquellas que no se ajustan a estas propiedades.
• Los estudiantes con la imagen del concepto completamente desarrollada, por
tanto, poseen imágenes que incluyen una amplia variedad de ejemplos y todas
las propiedades importantes de estos ejemplos, siendo capaces de hacer juicios
correctos basados en el uso y análisis de las propiedades críticas de los
conceptos.
El modelo de Vinner se ha aplicado en varios estudios. Por ejemplo, Gutiérrez y
Jaime (1999) dan cuenta de la influencia de la representación prototípica de la altura de
un triángulo en la capacidad que poseían los estudiantes de reconocerla. En particular se
mostró la dificultad que tenían los alumnos en reconocer las alturas de triángulos
obtusángulos y como consecuencia la dificultad en reconocer alturas externas al
triángulo. Por ejemplo, en el triángulo de la figura 1.5., la altura desde el vértice A (hA)
que es exterior resulta difícil de reconocer a los estudiantes ya que la imagen prototípica
que poseen de la altura de un triángulo es un segmento que pasa por el interior del
triángulo.
Figura 1.5. Triángulo obtusángulo en el que la altura respecto al vértice A (hA) es
exterior al triángulo.
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
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Mesquita (1998) ha identificado diversas características relevantes que contienen
algunas figuras con el estatus de prototípicas. Las figuras prototípicas son
representaciones que corresponden a una organización regular del contorno, orientación
y forma. Se perciben preferentemente contornos cerrados; direcciones horizontales y
verticales; formas regulares, simples y simétricas; así como componentes de la figura
(lados y ángulos) que tienen dimensiones similares. Todas estas características
consiguen reforzar la percepción de unas determinadas configuraciones respecto a otras
y pueden tener un efecto heurístico, ya que incrementan la visibilidad de una figura
particular y sus posibilidades de reorganización, que puede desempeñar un papel
esencial en la búsqueda de una solución en un problema de geometría.
Sin embargo, algunas veces este apoyo visual hace evidente a los resolutores
relaciones no verdaderas, lo que puede llegar a abortar el desarrollo de un razonamiento
adecuado. La idea de la tipicidad de una representación (Hershkowitz, 1990) intenta
poner de relieve la influencia que tiene el uso de figuras prototípicas para mostrar más
claramente algún atributo geométrico. El estudio del reconocimiento de figuras
geométricas ha mostrado las diferencias cognitivas entre las posibles representaciones.
Por ejemplo, según se muestra en la figura 1.6., las dificultades que tienen algunos
estudiantes en la identificación de triángulos rectángulos cuando sus lados
perpendiculares dejaban de ser paralelos a los márgenes del papel en que están
representados (Hershkowitz, 1989). La imagen prototípica que los estudiantes han
generado a lo largo de su experiencia escolar influye en su capacidad de reconocer
figuras o construir determinados objetos geométricos (Vinner y Hershkowitz, 1980).
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
17
Figura 1.6. Triángulo rectángulo representado en posición prototípica (a) y no
prototípica (b).
Para Gal y Linchevski (2010) el proceso de reconocimiento visual de figuras
prototípicas puede ser explicado como el resultado del análisis de diversas
características, en el que el objeto se segmenta en un conjunto de subobjetos (por
ejemplo, la identificación de cuatro triángulos formados por las diagonales de un
cuadrilátero). Cuando se reconocen las piezas que forman el objeto y su configuración,
el objeto se reconoce como un patrón compuesto de estas piezas.
En el caso particular de los problemas de probar en geometría que proporcionan
una configuración, la importancia de la identificación de una configuración durante su
resolución radica en que ayuda a activar algunos conocimientos de geometría frente a
otros. En este sentido, en la medida en la que el resolutor identifique una configuración
prototípica que esté vinculada a ítems de conocimientos relacionados entre sí estará en
mejor condición de resolver el problema de geometría (Gal y Linchevski, 2010).
Para Hollebrands, Laborde y StráBer (2008) las configuraciones en geometría,
tanto en entornos de lápiz y papel como en software de geometría dinámica (DGS:
Dynamical Geometry Software), permiten un camino adicional en el aprendizaje ya que
pueden presentar multitud de relaciones geométricas. En este sentido, la fortaleza del
resolutor experto radica en sus habilidades para pasar de la configuración al discurso y
reconocer formas y configuraciones vinculadas al razonamiento deductivo basado en
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
18
conocimientos teóricos, sin embargo, esta práctica no es espontánea para los estudiantes
inexpertos.
1.3. Lectura y construcción de pruebas
Según indica Schoenfeld (1994), cuando las actividades realizadas en el aula
consisten principalmente en copiar y repetir las pruebas, los estudiantes perciben
incorrectamente que la forma de una respuesta matemática es más importante que su
significado. Las tareas relativas a hacer pruebas necesitan establecer conjeturas y
probar, y normalmente los profesores las diseñan para que los estudiantes manipulen las
figuras geométricas involucradas en la visualización y observen las relaciones de las
propiedades de las figuras. Pero cuando los estudiantes se centran en la visualización
pueden percibir la idea errónea de que "conjeturar es verificar" o “ver para creer”,
porque premisas y conclusiones suelen estar implícitas y la construcción siempre es más
intuitiva que la validación durante este tipo de actividades. Prior y Torregrosa (2013)
han identificado una serie de conductas diferentes en relación con la verificación de una
proposición matemática; entre otras, un comportamiento caracterizado por
razonamientos configurales que desembocan en conjeturas sin demostración de tipo
empírico, utilizando únicamente procedimientos de verificación perceptivos.
Lectura y escritura de pruebas
La investigación sobre la validación de la prueba está estrechamente relacionada
con la investigación sobre comprensión lectora de la prueba. Selden y Selden (1995)
utilizaron el término validación para describir el proceso en el que un individuo
determina si una prueba es correcta y si consigue demostrar ese teorema en particular.
La comprensión lectora de la prueba de geometría requiere verificar el conocimiento de
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los elementos esenciales de cómo funciona una prueba, que esta es correcta y saber lo
que una prueba puede demostrar. Sin embargo, el proceso de lectura de pruebas y la
comprensión resultante son difíciles de observar porque no toda ella es consciente, ya
que alguna comprensión se produce a nivel subconsciente.
Yang y Lin (2008) investigaron un constructo de la comprensión lectora de la
prueba de geometría (RCGP: Reading Comprehension of Geometry Proof), estudiando
cinco facetas (conocimientos básicos, estatus lógico, resumen, generalización y
aplicación) y la estructura de cada una. A raíz de sus resultados, propusieron un modelo
en el que caracterizaron varios niveles de la comprensión lectora de la prueba (Figura
1.7.)
Figura 1.7. Clasificación en niveles de las cinco facetas de la comprensión lectora de la
prueba de geometría (RCGP), según el modelo de Yang y Lin (2008); (adaptado de Yang y Lin (2008)).
De acuerdo con este modelo, los estudiantes que comprenden la mayor parte de
las definiciones y propiedades (conocimientos básicos) en el contexto de la lectura de
una proposición y su prueba, están por encima del nivel de la superficie y próximos al
segundo nivel; los que identifican las premisas, conclusiones o propiedades aplicadas
(estado lógico) y controlan el núcleo de esta prueba o la idea crítica de la prueba
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(resumen) están más allá del nivel de reconocimiento de elementos y próximos al tercer
nivel; los que identifican lo que es validado por la prueba (generalización) y saben cómo
aplicar la proposición o la prueba (aplicación) está más allá del nivel de encadenamiento
de elementos y próximos al nivel de encapsulación. Sin embargo, estos autores
advierten que todavía es una cuestión abierta conocer si la trayectoria de aprendizaje de
los estudiantes es consistente con esta estructura.
Para comprender una prueba, es esencial reconocer el papel de un ejemplo,
discriminar premisas y conclusiones, la abstracción implícita de hipótesis o
propiedades, y generalizar o aplicar algunas propiedades o ideas. Cuando se construye
una prueba, es importante contar con diversas ideas que vienen a la mente en el
"momento adecuado", reorganizar estas ideas, y escribir formalmente la prueba. No es
fácil comparar las complejidades de la comprensión frente a la construcción. Sin
embargo, la mayoría de los estudiantes leen las pruebas matemáticas sin llegar a
construir demostraciones y la comprensión lectora de la prueba de geometría (RCGP)
generalmente ha sido ignorada tanto en los planes de estudios como en la investigación
en general. Por ello, Yang y Lin (2008) propusieron una metodología para medir la
RCGP, aunque también consideraron la necesidad de ampliar estas investigaciones para
esclarecer las características de cómo funciona el pensamiento de los estudiantes al
comprender una demostración matemática y cómo los factores cognitivos afectan a su
comprensión de la prueba de geometría. En un estudio posterior, Yang y Lin (2012)
compararon los efectos sobre la comprensión lectora de la prueba de geometría (RCGP)
de las tareas orientadas a la lectura (presentación del problema) y tareas orientadas a la
escritura (instrucción habitual para la escritura de una prueba). Los resultados mostraron
que el grupo en el que se realizaron tareas orientadas a la lectura obtuvo resultados
significativamente mejores en casi todas las facetas de la comprensión lectora de la
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prueba de geometría (RCGP), que el grupo en el que se realizaron tareas orientadas a la
escritura.
Argumentación y prueba
Prusak, Hershkowitz y Schwarz (2012) indican que, a través del diseño de tareas
argumentativas, los alumnos (en su estudio: maestros en prácticas) pueden transitar
desde el razonamiento visual a la necesidad lógica de la prueba en geometría. En su
análisis, muestran el diseño de ciertas tareas que llevan a la argumentación productiva
entre compañeros sin ser guiados por el profesor. Indican que las prácticas
argumentativas son muy beneficiosas para el aprendizaje, pero son muy difíciles de
sostener. Estos autores afirman que la ayuda de los profesores puede ser beneficiosa
para facilitar la argumentación; sin embargo, resulta un gran desafío para ellos y para
los estudiantes. A pesar de las dificultades que encuentran los profesores en apoyar el
diálogo argumentativo de los alumnos, el diseño de las tareas iniciales considerando
esta variable parece una dirección prometedora para la generación de la argumentación
productiva. Por último, Prusak et al. (2012) indican que los avances teóricos y
empíricos ya realizados subrayan el rol desempeñado por la argumentación en el
aprendizaje de geometría. Es por ello que, el ámbito de la geometría está especialmente
indicado para estudiar el papel del diseño de tareas para activar la argumentación
productiva.
En esta dirección, Andriessen y Schwarz (2009) introdujeron la idea del diseño
argumentativo, definiéndolo como: "El diseño de las situaciones de colaboración en
contextos educativos en los que los participantes asumen la argumentación productiva,
o la exploración de un espacio de diálogo" (p. 145).
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En su estudio, Prusak et al. (2012) enumeran tres principios necesarios en el
diseño argumentativo y sugieren que la combinación de estos permite la generación de
un diálogo argumentativo productivo. El primer principio de diseño consiste en la
creación de una situación de conflicto cognitivo, el cual se produce cuando la
información recibida no parece coherente con la previamente asumida por los
estudiantes (Johnsson y Johnsson, 2009). El segundo principio reside en la creación de
una situación de colaboración, que es aquella en la que “dos o más personas aprenden o
intentar aprender algo juntas" (Dillenbourg, 1999). Las situaciones de colaboración se
pueden crear a través de acuerdos sociales entre los estudiantes convocados en grupos
pequeños con instrucciones al respecto (por ejemplo, se les anima a dar opiniones
contradictorias), que genera la necesidad de hacer frente a puntos de vista conflictivos y
que conducen a la colaboración que es beneficiosa para el aprendizaje. Sin embargo, las
situaciones de colaboración, no conducen necesariamente a la argumentación productiva
(Barron, 2003), por ello es necesario un tercer principio que se fundamenta en
proporcionar herramientas a los estudiantes para la generación y la comprobación de
hipótesis (Prusack et al., 2012).
En las últimas décadas, los educadores matemáticos han desarrollado
herramientas que permiten la participación en estrategias basadas en la investigación y
apoyan la argumentación en la geometría. El software de Geometría Dinámica (DG)
representa una clase de herramientas para este fin, ya que permite acciones diversas
sobre las figuras (por ejemplo, arrastrando puntos, segmentos y ángulos y cambiar sus
medidas y posiciones). La provisión de estas nuevas herramientas para el aprendizaje de
la geometría ha contribuido a la redefinición de las relaciones entre la visualización, la
argumentación informal y la elaboración de las pruebas. Sin embargo, algunos
investigadores en educación matemática han señalado las incompatibilidades existentes
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entre la prueba y la argumentación. Duval (1998) afirma que hay una brecha entre el
proceso discursivo natural y el proceso discursivo teórico, y que uno de los principales
problemas de la enseñanza de la geometría consiste en la incapacidad de la mayoría de
los alumnos en conseguir traspasar este vacío; por tanto, es necesario que los
estudiantes descubran cómo se organiza el razonamiento deductivo. Otros educadores
matemáticos piensan de manera diferente, Rasmussen, Zandieh, King y Teppo (2005)
opinan que con el uso del software de geometría dinámica (y otras herramientas) en los
centros educativos, los educadores de matemáticas podrían poner en práctica
actividades que involucraron formas informales de hacer matemáticas, y establecer un
puente entre estas y las formales.
1.4. Los mediadores semióticos y la prueba
La manera en la que los estudiantes pueden identificar elementos en una
configuración geométrica y asociarlos a hechos geométricos conocidos, o la manera en
la que su conocimiento previo de geometría les ayuda a identificar elementos relevantes
en una configuración para resolver un problema, pueden estar mediadas por sus
preferencias cognitivas (Kruteski, 1976) entendidas estas como el modo en que los
estudiantes suelen procesar la información (Pitta-Pantazi y Christou, 2009; Mayer y
Massa, 2003). Estas preferencias se manifiestan en el discurso que los estudiantes
generan cuando tienen que comunicar la resolución de un problema, y pueden
considerarse recursos semióticos usados por los estudiantes cuando se implican en la
resolución del problema y en comunicar dicha resolución (Robotti, 2012; Chen y
Herbst, 2013).
Duval (2007) afirma que las actividades matemáticas deben organizarse en tres
etapas: la exploración, la investigación específica de la organización deductiva de las
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proposiciones en un registro no discursivo y una descripción verbal. Siguiendo esta
afirmación, Hesselbart (2007) opina que la prueba matemática es una actividad que
requiere un discurso estructurado y, por tanto, para tener éxito en ella se necesita una
forma estructurada de “crear” la prueba. Por ello, una buena manera de iniciar a los
alumnos en una forma más estructurada de la prueba matemática debería realizarse
mediante tres fases: la libre exploración, la gráfica proposicional y la descripción
verbal; esto satisface además la coordinación de registros útiles para la comprensión.
Durante la fase de libre exploración los estudiantes deben familiarizarse con el
problema y ser conscientes de cuáles son las hipótesis, las proposiciones y la conclusión
a la que queremos llegar. En la fase gráfica proposicional se deben considerar todas las
proposiciones y organizarlas en función de su estatus (premisa, conclusión…).
Finalmente, se realiza la descripción verbal que ayuda al estudiante a tener en cuenta el
valor epistémico de las proposiciones y, sobre todo, la transformación del valor
epistémico a través del razonamiento deductivo.
1.4.1. El lenguaje natural
Desde el punto de vista educativo, el pensamiento puede considerarse como un
caso especial de la actividad de la comunicación y, recíprocamente, el lenguaje no solo
expresa el pensamiento, sino que también lo genera (Sfard, 2001). Por ello, el lenguaje
natural puede ser visto como una herramienta para apoyar los procesos cognitivos de los
estudiantes, ya que les puede ayudar en el proceso de resolución de problemas de
geometría de probar, desde la simple observación del dibujo hasta la organización del
razonamiento deductivo. La resolución de una prueba en geometría plana es un proceso
muy complejo en el que están implicados el lenguaje natural, las figuras geométricas y
el conocimiento de los estudiantes.
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En un estudio realizado por Robotti (2012), investiga el papel de la verbalización
producido por pares de estudiantes para resolver un problema de geometría plana. Su
análisis se centra en la interacción entre los aspectos figurativos y conceptuales
implicados en la resolución de este tipo de problemas. Admite que, en geometría, están
siempre involucrados tres registros: el figural, el del lenguaje natural y el del lenguaje
simbólico. Centrando su investigación en la relación entre el registro figural y el
registro del lenguaje natural, que le ha llevado a reconocer los múltiples cambios
producidos en el discurso generado por los estudiantes entre el dominio del espacio
gráfico (dibujo) y el dominio teórico (objeto teórico).
Para analizar la dialéctica entre lo figural (dominio del espacio gráfico) y lo
conceptual (dominio teórico) en el proceso de resolución de problemas de probar en
geometría, Duval (1995) hace referencia a las diferentes maneras de transformar una
figura, es decir, las diferentes formas de operar con entidades gráficas. Duval define tres
tipos de aprehensiones: perceptiva, discursiva y operativa. La aprehensión perceptiva
permite a los estudiantes reconocer de inmediato una forma; la aprehensión operativa
consiste en la modificación de una figura para considerar otras subconfiguraciones, esto
se puede hacer añadiendo o quitando nuevos elementos geométricos, manipulando las
diferentes partes de una configuración geométrica como un puzle para fijar la atención
sobre subconfiguraciones particulares o, simplemente, fijando la atención sobre una
parte específica de la configuración; y la aprehensión discursiva es el reconocimiento de
propiedades o relaciones en las configuraciones, o la asociación de configuraciones o
subconfiguraciones con afirmaciones matemáticas.
Estos diferentes tipos de aprehensiones se pueden poner en relación con los dos
medios diferentes de progresión discursiva que Duval define como "acumulación" y
"sustitución". La acumulación la define como una yuxtaposición de proposiciones
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independientes unidas entre sí solo por su contenido. La sustitución la caracteriza como
la progresión lógica en el discurso que permite la transición entre las proposiciones
realizadas mediante inferencias, que no depende exclusivamente de su contenido, sino
también de su estatus en la frase (premisas, conclusión, etc.). Los modos de progresión
de discurso también se identifican por el valor de las proposiciones; el valor semántico
epistémico está vinculado al modo de acumulación y el valor lógico con el que se unen
está vinculado al modo de sustitución (Robotti, 2012). Esto permite caracterizar
diferentes modalidades para expresar la estructura de razonamiento.
Para Laborde (1999), el desarrollo de un proceso de demostración en geometría
plana describe la relación entre el dominio del espacio gráfico y el dominio teórico;
haciendo hincapié en que la transición entre estos es esencial para la solución de este
tipo de problemas. La interacción entre las referencias teóricas en el dominio
geométrico (dominio teórico) y las entidades gráficas en las que es posible operar
(dominio del espacio gráfico) es una parte esencial del significado de la geometría.
Según Robotti (2012), el lenguaje natural proporciona a los estudiantes
diferentes tipos de ayuda para la resolución de problemas. Por ejemplo, un uso
particular del lenguaje natural guía el proceso de resolución de los estudiantes, les
permite controlar el proceso, y hace que sea posible asociar "etiquetas" (la combinación
entre las palabras y las configuraciones) a conceptos que pertenecen al sistema de
conocimiento del estudiante y que son útiles para resolver el problema en cuestión.
Robotti (2008) ha definido este tipo de ayuda como diferentes funciones del lenguaje
natural (función de guía, función de asociación, etc.); haciendo hincapié en las
condiciones en que estas funciones desempeñan un papel importante en el proceso de
resolución. Finalmente, destaca la idea de que el lenguaje natural puede considerarse
también como una herramienta para el investigador que arroja luz sobre la evolución de
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los procesos cognitivos de los estudiantes. El análisis de los procesos de verbalización
de los estudiantes puede ayudar a revelar la evolución en los procesos cognitivos
implicados cuando estos buscan resolver problemas de geometría plana, expresados a
través de la evolución en su discurso.
1.4.2. Las interacciones de los estudiantes con las configuraciones
Diversas investigaciones (Duval, 1995; Fischbein, 1993; Laborde, 1999) han
analizado la brecha existente entre las propiedades físicas de una configuración y las
propiedades geométricas de una figura (objeto matemático al que se refiere el signo);
por lo que la capacidad de percibir una figura a través de una configuración se ha
identificado como un obstáculo para la comprensión de una figura conceptualmente.
Duval (1995) ha argumentado que las configuraciones demandan diferentes
tipos de aprehensiones; los estudiantes pueden aprehender la figura perceptualmente (la
reconocen por su forma), operativamente (la modifican), o discursivamente (establecen
sus propiedades matemáticas).
Fischbein (1993) refiere propiedades figurales y conceptuales cuando los
estudiantes están trabajando en problemas geométricos con configuraciones, a los que
pueden acceder mediante la imagen visualizada de los objetos geométricos así como al
concepto de esos objetos, indicando que la relación entre estas dos propiedades puede
ser complicada.
En relación con este aspecto, Laborde (1999) propone dos tipos de propiedades
de una figura: espacio-gráficas y teóricas; que pueden ser reveladas cuando los
estudiantes están trabajando en problemas geométricos con configuraciones. Las
propiedades teóricas son necesarias para la definición de la figura mientras que las
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propiedades espacio-gráficas son las que están supeditadas a los casos específicos de la
configuración (por ejemplo, la orientación, los valores angulares, longitudes de los
lados, etc.). Según Laborde, en la identificación e interpretación de las figuras, los
principiantes en geometría tienden a basarse en las propiedades espacio-gráficas
representadas en las configuraciones (por ejemplo, los estudiantes pueden determinar
que un ángulo es de 90° por la medición real con un transportador de su representación
en la configuración); por ello, para promover la comprensión de las figuras a nivel
teórico, los estudiantes necesitan participar en la exploración y la justificación.
En el ámbito de la geometría y para analizar las interacciones de los estudiantes
con las configuraciones, Herbst y Arbor (2004) proponen cuatro modos de interacción
entre un actor (sujeto), una configuración (representación física) y un objeto geométrico
teórico (figura), denominados: empírico, representacional, descriptivo y generativo.
Estos modos de interacciones crean un conjunto de relaciones entre estos tres elementos
(actor, diagrama y objeto).
En las interacciones empíricas el actor se basa en las características físicas de
una configuración para hacer una declaración sobre una figura. En este modo, los
componentes de una configuración se identifican con los componentes de una figura
(por ejemplo, una mancha circular es un punto y un trazo es un segmento), como si no
hubiera mediación semiótica o como si el dibujo fuera la figura.
Por el contrario, en las interacciones representacionales el actor utiliza las
propiedades teóricas de una figura para hacer una afirmación sobre una configuración
(por ejemplo, para decir lo que la configuración quiere mostrar; lo que a menudo
incluye la ayuda de marcas de control, flechas, etc.). Dentro de este modo de
interacción, los componentes de una configuración son vistos como símbolos de objetos
geométricos (componentes de una figura).
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En las interacciones descriptivas, las configuraciones incluyen dos niveles: por
un lado, representan los datos del problema y contienen otros elementos que pueden
representar propiedades justificadas a través de la prueba. Por otra parte, encarnan con
bastante precisión las propiedades que podrían ser consideradas fuera de las
configuraciones, lo que sugiere al usuario lo que se podría afirmar acerca de la figura.
El modo descriptivo es un modo híbrido de interacción, ya que los estudiantes utilizan
la percepción visual para realizar hipótesis de lo que podría ser verdad (interactuando
así con la configuración en el modo empírico); a la vez que utilizan las marcas para
detectar qué elementos de un diagrama significan elementos de la figura (interactuando
en el modo representacional).
Las interacciones generativas, son necesarias para que los estudiantes hagan
conjeturas razonadas y construyan conocimiento matemático. En este modo se incluye
la creación de nuevos objetos en la configuración atribuyéndoles un estatus de objetos
geométricos, así como la prescripción de hipotéticas propiedades de las figuras basadas
en esos nuevos objetos. Una diferencia importante entre los modos de interacción
generativo y descriptivo es que las interacciones generativas ponen al actor en contacto
próximo con la figura, alterándola, a diferencia del modo descriptivo en el que el
contacto está limitado a la percepción. Las acciones generativas permiten generar
argumentos matemáticos, por ejemplo en el dibujo mostrado a continuación, se observa
que si se desliza el vértice A del triángulo ABC sobre una línea paralela al lado
opuesto hasta la nueva posición A’, la altura h y la base CB serán constantes, por lo que
el área será la misma.
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Figura 1.8. Ejemplo de acción generativa.
1.4.3. Las expresiones gestuales y verbales como signos
McNeill (1998) indica que las expresiones gestuales y verbales necesitan ser
observadas para examinar con eficacia el razonamiento de los estudiantes a través de las
interacciones con las configuraciones, porque los gestos y las palabras crean una
representación multimodal de los objetos matemáticos.
Arzarello (2006) propone la noción de conjunto semiótico para identificar los
diferentes tipos de signos que utilizan los estudiantes mientras realizan algún
razonamiento geométrico en público durante la clase de geometría, ya que los
estudiantes piensan gracias a estos signos y el aprendizaje y el pensamiento se producen
cuando interactúan con estos. Para Arzarello, el conjunto semiótico puede implicar a los
diagramas, los gestos y el lenguaje escrito u oral, en aquellas actividades en las que el
razonamiento de los estudiantes interactúa con las configuraciones.
Los gestos pueden ser interpretados como parte de la comunicación de los
estudiantes, especialmente cuando sus conceptos matemáticos aún no están bien
desarrollados (Goldin-Meadow & Singer, 2003); además, mediante el uso de las
expresiones verbales y gestuales, los estudiantes pueden mostrar su percepción de la
configuración de forma más explícita (Presmeg, 2001).
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Kendon (2004) sugiere que la interpretación de las expresiones gestuales y
verbales debe ser contextualizada, por ello, para averiguar el rol de los gestos en el
razonamiento geométrico, es importante examinar cómo se emplean los gestos en las
interacciones con las configuraciones. Cuando los estudiantes necesitan hacer conjeturas
acerca de una figura, los gestos son recursos semióticos visibles con los que pueden
describir lo que están considerando en los diagramas. Los gestos pueden ser utilizados
como herramientas para determinar lo que podría o debería ser cierto sobre una figura
representada de una manera particular por un diagrama.
Con la finalidad de entender cómo las expresiones gestuales y verbales ayudan a
comprender el razonamiento geométrico, Chen y Herbst (2013) realizaron un estudio en
el que analizaban cómo interactúan los estudiantes con una configuración. Para ello,
analizaron el razonamiento geométrico de los estudiantes realizado en público durante
la clase de geometría, teniendo en cuenta los sistemas semióticos utilizados en la
actividad matemática. Los resultados indican que los estudiantes hacen uso de
expresiones gestuales y verbales para compensar las limitaciones en la información
dada en una configuración cuando se enfrentan a la tarea de hacer y probar conjeturas.
De tal manera, las configuraciones, los gestos y los sistemas lingüísticos son recursos
semióticos que los estudiantes pueden utilizar para generar el razonamiento geométrico.
1.4.4. El espacio para el trabajo geométrico (SGW)
Cuando los estudiantes tratan de resolver problemas geométricos pueden usar
figuras e instrumentos de diversas maneras, incluyendo algunas propiedades como una
fuente de conocimiento o de validación. Por ello, es necesario observar las prácticas
geométricas dentro del aula para comprender los usos comunes de las figuras y
herramientas matemáticas, como una manera de llegar a entender los procesos de
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resolución de problemas en los que hay que probar un hecho geométrico en una
configuración.
Con el fin de describir la complejidad de estas prácticas Kuzniak y Rauscher
(2011) introdujeron la noción de espacio para el trabajo geométrico. El SGW (Space for
Geometric Work) establece la referencia del entorno complejo en el que actúa el
resolutor del problema geométrico, que puede ser un experto en matemáticas o un
estudiante. Para estructurar el SGW se han introducido dos planos interconectados: el
plano epistemológico y el plano cognitivo.
La geometría se presenta desde un punto de vista epistemológico como una
forma de organizar el conocimiento en virtud de las normas codificadas. A cambio, este
conocimiento contribuye a la construcción del significado de los objetos en un
determinado sentido. En el plano epistemológico, se relacionan tres elementos:
• Un espacio real y local (objetos concretos y tangibles)
• Un conjunto de artefactos (por ejemplo, instrumentos de dibujo y software)
• Un conocimiento teórico de referencia basado en definiciones y propiedades
El plano cognitivo se introdujo para describir la actividad cognitiva de un solo
individuo, adaptando la idea de Duval (2005) acerca de los tres procesos cognitivos
implicados en la actividad geométrica:
• Un proceso de visualización conectado a la representación del espacio y
soporte material
• Un proceso de construcción determinado por instrumentos (regla, compás, etc.)
y configuraciones geométricas
• Un proceso discursivo que transmite la argumentación y prueba
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Ambos planos, cognitivo y epistemológico, deben articularse con el fin de
garantizar un trabajo geométrico coherente y completo (Gómez-Chacón y Kuzniak,
2013); este proceso supone la presencia de algunas transformaciones que es posible
definir a través de tres génesis, denominadas: Figural, Instrumental y Discursiva;
estrictamente relacionadas según se muestra en el diagrama siguiente:
Figura 1.9. Diagrama del trabajo geométrico apoyado en tres génesis (adaptado de
Gómez-Chacón y Kuzniak (2013)).
La génesis figural es el proceso semiótico asociado con el pensamiento visual y
la transición desde una perspectiva sintáctica a una perspectiva semántica de los objetos
geométricos. Duval (2005) menciona dos niveles de las operaciones correspondientes a
este proceso: uno icónico (se asocia con el reconocimiento perceptivo de las formas) y
otro nivel relacionado con una interpretación más abstracta de los signos (la figura
como un objeto simbólico).
La génesis instrumental transforma los artefactos en instrumentos dentro del
proceso de construcción. Gómez-Chacón y Kuzniak (2013) reconocen que las
computadoras han modificado el rol de los instrumentos en matemáticas, facilitando su
uso y ofreciendo la posibilidad de pruebas dinámicas. Artigue (2002) destacó la
necesidad de una génesis instrumental con dos direcciones principales: la transición
“hacia arriba” que denomina instrumentación, describe la manipulación y el dominio de
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las herramientas de dibujo por los usuarios; y la transición “hacia abajo” que denomina
instrumentalización, está relacionada con los procedimientos de construcción
geométrica.
En la génesis discursiva de la prueba, las propiedades utilizadas en el
razonamiento matemático se ajustan a un proceso de validación bidireccional: uno
deductivo (con un discurso apoyado en las propiedades y conocimiento de referencia) y
otro, las propiedades y definiciones deben ser consideradas después de los tratamientos
instrumentales o visuales.
Gómez-Chacón y Kuzniak (2013) indican que estos tres tipos de génesis no
operan por separado, ya que necesitan interactuar con el fin de dar al trabajo geométrico
un significado. Para estos autores, el uso de los diagramas SGW permite describir la
evolución del razonamiento cuando los estudiantes tratan de resolver problemas
geométricos, especialmente cuando se trabaja en entornos de geometría dinámica (DGS:
Dynamical Geometry Software). En este sentido, Guven (2008) afirma que los entornos
de geometría dinámica pueden generar una eficaz interacción entre las exploraciones
empíricas y las pruebas formales, ya que tienen el potencial de promover vínculos entre
el razonamiento empírico y deductivo.
1.4.5. La enseñanza de la prueba: los ejemplos heurísticos
En el aprendizaje de la geometría es importante que los estudiantes comprendan
la construcción de la prueba matemática. Sin embargo, diversos estudios (Healy y
Hoyles, 1998; Reiss, Klieme y Heinze, 2001) han resaltado la dificultad que tienen los
estudiantes en la comprensión y construcción de pruebas.
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Se han propuesto procedimientos con un conjunto de estrategias que pueden ser
útiles para el aprendizaje de los alumnos de la prueba (Pólya, 1973; Boero, 1999); pero
la prueba matemática es una actividad compleja, combinación de procesos heurísticos
para generar una conjetura, búsqueda de evidencias y argumentación lógica.
Los ejemplos resueltos tradicionales permiten al alumno estudiar una solución
algorítmica de un problema particular. Estos ejemplos se emplean típicamente en el
aprendizaje de áreas de conocimiento bien estructurado como las matemáticas o la física
y son de gran importancia en la adquisición inicial de habilidades. Sin embargo, según
Schoenfeld (1988), el empleo de ejemplos resueltos tradicionales para la búsqueda de
pruebas es problemático, ya que consisten en una especie de sencillo proceso de
solución algorítmica que no refleja la realidad de la prueba, ya que en la práctica esta no
se construye como una simple secuencia sistemática y lógica de pasos como se expresa
en el lenguaje matemático formal, sino que es necesario dar pasos hacia atrás, conjeturar
y explorar repetidamente. Por lo tanto, trabajar con ejemplos reforzaría en el estudiante
la creencia de que probar es una actividad deductiva directa.
También hay un tipo especial de ejemplos resueltos, los ejemplos heurísticos,
que pueden ayudar a los estudiantes a desarrollar un mejor conocimiento conceptual
sobre la prueba matemática (Hilbert, Renkl, Kessler y Reiss, 2008).
Los “ejemplos heurísticos” en la resolución de un problema de probar consiste
en que los alumnos deben identificar los argumentos que apoyan la solución dada y
explorar el contexto del problema con el fin de entender plenamente la hipótesis. Al
final del proceso de exploración heurística se presenta una prueba correcta y detallada
de la hipótesis. En consecuencia, un ejemplo heurístico incluirá las siguientes fases:
producción de una hipótesis, formulación de una afirmación, exploración de la hipótesis
y la selección y combinación de argumentos coherentes en una cadena deductiva.
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Reiss y Renkl (2002) indican que, aunque lo ejemplos heurísticos son un método
adecuado de aprendizaje de las matemáticas y son relativamente fáciles de implementar
en el aula, sin embargo, son convenientes principalmente para áreas de contenido
algorítmico. Estos autores proponen utilizar ejemplos heurísticos que no proporcionan
directamente una solución de un problema algorítmico, sino que ofrecen pasos que
conducen hacia la búsqueda de una prueba. Los resultados de un estudio experimental
realizado por Reiss, Heinze, Renkl y Groß (2008), sugieren que la resolución de
ejemplos heurísticos son una herramienta más eficaz para el aprendizaje de la
argumentación y la prueba que la instrucción habitual del aula.
Por otra parte, Kim y Ju (2012) describen un estudio realizado en Corea con
alumnos de secundaria que participaron en una clase experimental diseñada para
enseñar geometría denominada: GIC (Geometry Inquiry Classroom), centrado
especialmente en la enseñanza de la prueba basada en la propia investigación de los
estudiantes. En el discurso generado por los participantes en el GIC identificaron tres
etapas por las que se transformó la práctica de la prueba matemática: "comprensión
emergente de la prueba", "aprendizaje de la prueba como una actividad orientada hacia
los objetivos" y "experimentación de la prueba como práctica de las matemáticas”. En el
estudio se encontró que a medida que el aprendizaje se desarrollaba a través de estas
etapas, el papel del profesor de matemáticas pasaba de ser un instructor a un mediador
de la comunicación, mostrando que el GIC conseguía crear un ambiente de aprendizaje
donde los estudiantes desarrollaban su competencia en la construcción de la
demostración matemática.
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1.5. Relación entre el conocimiento y los procesos de probar
Algunos investigadores están interesados en examinar cómo los diversos
elementos de información matemática están conectados en estructuras útiles y
significativas. Hay un creciente consenso acerca de la idea de que una base de
conocimientos matemáticos bien organizados e integrados facilita el acceso a la
información adecuada, además de determinar la manera en que se desarrolla la
información en la búsqueda de la solución a un problema (Prawat, 1989; Lawson y
Chinnappan, 1994). De acuerdo con este punto de vista, la calidad de la organización
del conocimiento que reside en la memoria a largo plazo podría permitir o impedir la
activación de ese conocimiento durante la resolución de problemas matemáticos. Para
Chinnapan (1998), la manera en que los estudiantes realizan en su memoria el
procesamiento y recuperación de la información en el dominio de la geometría podría
tener una fuerte influencia respecto a si esta información se activa.
La investigación ha usado diversos marcos teóricos para abordar la cuestión de
la naturaleza y el rol del conocimiento de los estudiantes en la resolución de problemas
matemáticos (Mayer, 1975; Halford, 1993); en particular, las nociones de esquemas y
modelos mentales.
Chinnapan (1998), define el término “esquema” como un conjunto de
conocimientos que contienen información sobre los conceptos básicos, las relaciones
entre estos conceptos y los conocimientos acerca de cómo y cuándo usar estos
conceptos. Como estructuras de conocimiento organizados, los esquemas guían la
aceptación y recuperación de información, así como su uso posterior. Desde esta
perspectiva, cuando los estudiantes adquieren conceptos matemáticos, principios y
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procedimientos, estos se organizan en esquemas que proporcionan la base de
conocimientos para su posterior actividad matemática.
Para Chinnapan (1998), una manera útil de visualizar los esquemas geométricos
sería la búsqueda de conceptos clave que anclan a otros conceptos. En el campo de la
geometría euclidiana los diagramas jugarían un papel central en torno al cual otros
conocimientos son construidos; por lo tanto, un esquema geométrico podría
identificarse con una forma particular. Por ejemplo, se podría hablar del “esquema
triángulo rectángulo” (ETR). La característica central de este esquema es un triángulo
rectángulo alrededor del cual otras relaciones, conceptos y conocimientos
procedimentales y condicionales se construyen. En este caso, el teorema de Pitágoras
puede ser considerado como parte del ETR ya que describe la relación entre las
longitudes de los tres lados del triángulo rectángulo.
Para entender los esquemas geométricos, Chinnapan (1998) menciona dos
características importantes: organización y difusión. La organización se refiere al
establecimiento de conexiones entre las ideas, mientras que difusión describe la medida
de esas conexiones. En este sentido, un esquema geométrico se dice que es sofisticado
cuando tiene un alto grado de organización y difusión.
El término “modelo mental” se ha utilizado en psicología para describir las
representaciones cognitivas que los individuos construyen en diversas situaciones de
aprendizaje (English, 1997; Halford, 1993). Una manera de examinar cómo los
estudiantes integran los diversos esquemas geométricos durante la búsqueda de una
solución es examinar su modelo mental del problema en cuestión, ya que permite
entender la aplicación del conocimiento matemático de los estudiantes durante la
representación del problema (Glaser, 1984). Halford (1993) describe los modelos
mentales como representaciones que están activas mientras un estudiante intenta
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
39
resolver un problema particular. De acuerdo con este enfoque, los modelos mentales
limitan una serie de acciones cognitivas (incluyendo las inferencias y decisiones que los
esquemas activan) e implementan un determinado conocimiento durante la búsqueda de
la solución a un problema. Estas representaciones cognitivas se consideran en el espacio
de trabajo del pensamiento y comprensión del problema, y deben tener un alto grado de
correspondencia con el entorno del problema que representan. La importancia de los
modelos mentales en el aprendizaje de las matemáticas y en la resolución de problemas
radica en su estructura relacional. Los modelos mentales que los profesores tratan de
ayudar a construir en sus estudiantes, son aquellos en los que las relaciones esenciales
entre los esquemas y componentes matemáticos aprendidos previamente están
claramente representados en un problema dado (English y Halford, 1995).
Comprender por qué en muchas ocasiones los estudiantes no aplican los
conocimientos y habilidades previamente aprendidos es un gran desafío para los
educadores de matemáticas. Para analizar la capacidad de los alumnos a acceder y hacer
un uso flexible del conocimiento geométrico previamente aprendido, Chinnapan (1998)
realizó un estudio relativo a la resolución de problemas de geometría por parte de
estudiantes de secundaria, en que examinaba los posibles vínculos entre los modelos
mentales construidos por los estudiantes, la calidad de la organización de los
conocimientos geométricos previos de los alumnos, y el uso de ese conocimiento en la
resolución de problemas. Para ello, aplicó los constructos: esquemas y modelos
mentales para examinar el acceso al conocimiento y el uso que realizaron de ellos los
estudiantes cuando trataron de resolver un problema de geometría plana euclidiana. Los
tres objetivos de su estudio fueron: identificar los esquemas geométricos que los
estudiantes utilizan en una tarea de resolución de problemas, determinar la frecuencia
con la que estos se activan, y generar una descripción sobre la naturaleza de los modelos
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
40
mentales que los estudiantes utilizan y/o construyen durante la resolución del problema.
En sus conclusiones destacó que la calidad del conocimiento geométrico que desarrollan
los estudiantes podría tener un importante efecto en sus modelos mentales y en el
posterior uso de ese conocimiento; ya que comparando las respuestas de los estudiantes
de bajo y alto rendimiento, observó que estos últimos activaban esquemas geométricos
más sofisticados, accedían a ellos con mayor frecuencia y, probablemente, generaban
modelos mentales que indicaban un alto grado de comprensión estructural del problema
planteado.
En los últimos años se han propuesto reformas en la educación matemática que
defienden la necesidad de que los docentes proporcionen entornos de aprendizaje que
estimulen la comprensión de conceptos matemáticos de los estudiantes de manera
significativa. Desde esta perspectiva, el papel del profesor de matemáticas consistiría en
ayudar a los alumnos a desarrollar las estructuras de conocimiento que les permitan
explorar de manera productiva una gama adecuada de problemas matemáticos. Knapp
(1997) considera que la adopción por parte de los maestros de este cambio en la
conceptualización de la enseñanza, es uno de los elementos centrales del movimiento de
reforma en las matemáticas.
Algunos investigadores interesados en mejorar el rendimiento matemático de los
estudiantes han argumentado que la calidad del propio conocimiento de los profesores
tiene una fuerte influencia en cómo se accede a ese conocimiento (Lawson y
Chinnappan, 1994; Schoenfeld, 1992). Por ello, resulta crucial especificar el rol que el
conocimiento de los docentes juega para influir en el conocimiento y la comprensión
construido por los estudiantes.
En general se acepta que, en igualdad de circunstancias, un profesor con unos
conocimientos de mejor calidad será más capaz de ayudar a los estudiantes que otro con
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
41
conocimientos de menor calidad (Grossman, 1995; Munby, Russell y Martin, 2001).
Los investigadores han hecho hincapié en la importancia de reconocer la naturaleza
interconectada de la base de conocimientos del profesor. Robinson, Even y Tirosh
(1992) sugirieron que, a fin de comprender la profundidad de los conocimientos de los
profesores era necesario examinar la red de esquemas y procedimientos interconectados
que forman la base de esos conocimientos. Schoenfeld (1988) observó que el desarrollo
del pensamiento matemático requiere no solo el dominio de diversos hechos y
procedimientos, sino también la comprensión de las conexiones entre ellos, y sugirió
que las descripciones detalladas de estas estructuras apoyan este tipo de pensamiento.
Mayer (1975) detalló la acumulación de la nueva información en la memoria a
largo plazo como la adición de nuevos nodos a la memoria y la conexión de estos con
los componentes de la red existente; describió la conectividad interna como el grado en
el que los nuevos nodos de información están conectados uno con el otro para formar
una sola estructura o esquema bien definido. Este sentido de conexión representa tanto a
la presencia de nodos relacionados con un esquema, como a la calidad de las relaciones
que se establecen entre los nodos. Mayer se refirió a la conectividad externa como el
grado en que las estructuras de conocimiento de reciente creación están conectadas con
las estructuras ya existentes en la base de conocimientos del alumno. Por ejemplo, un
maestro podría relacionar un esquema de proporción con los esquemas de relación o
fracción.
Una dimensión importante relacionada con la calidad es la identificación de qué
conexiones están presentes en una estructura de conocimiento. En igualdad de
condiciones, cuanto más completas son las conexiones en una estructura de
conocimiento, más elaborada es esta y más útil será en la resolución de problemas
(Anderson, 2000). Sin embargo, también es evidente que la naturaleza de las conexiones
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
42
dentro de una estructura de conocimiento es también importante y no solo el número de
conexiones.
Chinnapan y Lawson (2005) propusieron un modelo para describir y analizar la
calidad del conocimiento de contenido matemático de un profesor. El propósito de su
estudio fue doble, en primer lugar, desarrollaron un marco para identificar las
dimensiones de la calidad del conocimiento y la enseñanza en un área del dominio de la
geometría, en su caso investigaron el concepto de "cuadrado"; en segundo lugar,
utilizaron este marco para describir el conocimiento proporcionado por dos profesores
de enseñanza secundaria que completaron una serie de tareas, que fueron diseñadas para
tener acceso a su conocimiento de este concepto. Según se muestra en la Figura 1.10,
para la representación de la estructura del conocimiento utilizaron mapas conceptuales
en red, que son gráficos que constan de nodos y líneas (Lawson, 1994). Los nodos se
utilizan para indicar los conceptos, mientras que las líneas corresponden a una relación
entre pares de conceptos.
Figura 1.10. Plantilla del mapa conceptual para la representación de la conectividad
(adaptado de Chinnapan y Lawson (2005)).
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
43
En sus conclusiones, Chinnapan y Lawson (2005) indicaron que la falta de
integración entre las diferentes ramas del conocimiento del esquema de los profesores
podría tener un impacto en su enseñanza, ya que en los intercambios en el aula los
profesores y sus estudiantes no pueden obtener las distinciones y similitudes
importantes entre los esquemas de conocimiento clave.
Chinnappan, Ekanayake y Brown (2012) analizaron tres componentes de
conocimiento que los estudiantes aportan a la comprensión y construcción de pruebas
de geometría: “contenido de conocimientos de geometría”, “habilidades para resolver
problemas generales” y “habilidades de razonamiento geométrico”. Sus resultados
indican que estos tres componentes de conocimiento desempeñaron funciones
importantes en el desarrollo de las pruebas; y sugieren que, si bien es importante para
los estudiantes la adquisición del conocimiento del contenido geométrico, también se
necesita la activación y la utilización de este conocimiento durante la construcción de la
prueba, que debe ser guiado por las habilidades generales de resolución de problemas y
razonamiento.
Finalmente, las investigaciones han demostrado que los estudiantes de todos los
niveles tienen gran dificultad con la tarea de construcción de la prueba (Martin y Harel,
1989; Thompson, 1996; Harel y Sowder, 1998). Las dificultades de los alumnos pueden
ser clasificadas en dos categorías (Weber, 2001): la primera dificultad es que estos no
tienen una concepción precisa de lo que constituye una prueba matemática (Martin y
Harel, 1989; Harel y Sowder, 1998); por ejemplo, muchos estudiantes creen que
verificar un teorema general en uno o en varios casos específicos es una prueba
suficiente. La segunda dificultad reside en que los estudiantes pueden carecer de la
comprensión de un teorema o un concepto y sistemáticamente lo aplican mal (Moore,
1994). En un estudio realizado por Weber (2001) con dos grupos, uno de estudiantes de
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
44
doctorado y otro de estudiantes universitarios pregraduados, analizó la capacidad de
construir pruebas en dominios de matemáticas avanzadas. En sus conclusiones indicó
que los resolutores eficaces de problemas a menudo poseen un conocimiento estratégico
que les permite utilizar directrices heurísticas para elegir qué acción aplicar entre varias
alternativas; es decir, poseen el conocimiento de cómo elegir los hechos y teoremas que
se deben emplear. Para ilustrar la necesidad del conocimiento estratégico, Weber
explica el caso de un jugador de ajedrez al que se le pide encontrar una secuencia de tres
movimientos para dar jaque mate al rival. Debido a que pueden existir millones de
combinaciones, los jugadores de ajedrez expertos emplean regularmente el
conocimiento estratégico para restringir la búsqueda de una solución a este problema;
por ejemplo, considerando únicamente los movimientos en que las piezas más
poderosas pueden hacer jaque o no moviendo los peones que están lejos del rey rival.
Por tanto, para Weber, el conocimiento estratégico deficiente es una causa importante
de la dificultad de los estudiantes para construir una prueba.
1.6. Los profesores y la prueba
La noción de "prueba" se ha utilizado de diferentes formas en la educación
matemática sin estar siempre conceptualizada explícitamente (Balacheff, 2002). Para
Stylianides, Stylianides y Shilling-Traina (2013), en el concepto de prueba se deben
incluir no solo consideraciones matemáticas sobre su significado, sino también factores
cognitivos de su desarrollo que la hacen apropiada incluso para los estudiantes de
primaria.
Lin et al. (2012) analizaron tres componentes que consideran esenciales para los
docentes en el aprendizaje y enseñanza de la prueba matemática: el conocimiento de la
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
45
prueba, la práctica de la prueba y las creencias acerca de la prueba; concluyendo que
estos componentes están relacionados entre sí.
Como la enseñanza de las matemáticas implica conceptos matemáticos,
estrategias y métodos de razonamiento, los profesores deben tener los conocimientos
matemáticos necesarios para llevar a cabo esta enseñanza (Ball et al. 2008);
análogamente, la enseñanza de la prueba requiere la comprensión del contenido
matemático y exige a los docentes conocimientos específicos para explicar por qué una
prueba o algún método de prueba es válido, así como para validar las pruebas realizadas
por los estudiantes. En la práctica de la prueba, los docentes eligen y diseñan tareas para
la aplicación de los conocimientos matemáticos de los estudiantes y la evaluación de sus
diversos modos de argumentación. Las creencias de los profesores sobre el aprendizaje
de las matemáticas pueden tener un impacto importante en la forma en que las enseñan
en el aula (Philipp, 2007), ya que los profesores de matemáticas toman muchas
decisiones de acuerdo a sus creencias acerca de la prueba y su didáctica (Knuth, 2002).
En varias investigaciones se ha analizado las relaciones existentes entre los
conocimientos requeridos para la enseñanza de la prueba y las creencias de los
profesores acerca de la naturaleza y la didáctica de la prueba (Knuth, 2002; Stylianides
y Ball, 2008); sin embargo, ha sido menos investigada la manera en que los maestros
convierten sus conocimientos y creencias en la instrucción práctica en el aula. No
obstante, en los documentos curriculares de todo el mundo existe un creciente
reconocimiento de que la prueba debe ser tratada como una herramienta para el
aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles (Lin et al., 2012). La prueba está en
el centro de la construcción del sentido matemático de los estudiantes, sin embargo,
tiende a tener un lugar marginal en las aulas de la escuela primaria. Esta situación puede
atribuirse en parte al hecho de que muchos futuros maestros de primaria tienen un débil
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
46
conocimiento matemático sobre el razonamiento y la prueba, además de creencias
contraproducentes sobre su enseñanza (Stylianides et al., 2013). Frecuentemente, se
introduce la enseñanza de la prueba en la escuela secundaria en el contexto de la
geometría euclidiana mediante la construcción de un sistema formal de axiomas,
definiciones y teoremas (Martin, Mccrone, Bower y Dindyal, 2005). La enseñanza de
las matemáticas se ha centrado en los tipos formales de prueba, tales como los métodos
de inducción y las pruebas algorítmicas. No obstante, los modos de representación y
argumentación son diferentes entre las clases de matemáticas de primaria y secundaria;
por ello, los docentes podrían encontrar desafíos pedagógicos específicos respecto a sus
niveles de enseñanza.
1.6.1. El conocimiento sobre la prueba
En relación con el conocimiento de la prueba de los maestros de enseñanza
primaria, Wittmann (2009) argumentó que los alumnos, y por lo tanto sus maestros,
deben contar con la oportunidad de desarrollar "pruebas operativas" con las
características siguientes:
• Surgen de la exploración de un problema matemático
• Se basan en las operaciones con objetos matemáticos "cuasi reales"
• Son transmisibles en un lenguaje orientado a los problemas con poco
simbolismo
Por ejemplo, para obtener la generalización de la suma S de números impares,
los estudiantes de primaria podrían utilizar la representación mostrada en el dibujo
siguiente en lugar de los símbolos formales de la ecuación [1].
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
47
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 7
푆 = 1 + 3 + 5 + ⋯+ (2푘 − 1) = 푘 [1]
Figura 1.11. Representación visual de la suma de números impares.
Este hecho incide en el argumento que está detrás de la demostración. En
relación a este aspecto Lo, Grant y Flowers (2008) afirman que muchos maestros de
primaria aceptan la validez de un argumento matemático basándose en la autoridad
externa (como libros de texto, profesores universitarios o compañeros más capaces).
Otros investigadores (Goulding, Rowland y Barber, 2002; Stylianides y Stylianides
2009) indican que los maestros también creen que es posible afirmar la validez de una
generalización matemática a través de algunos ejemplos. Martin y Harel (1989)
destacan que, con frecuencia, es el aspecto formal de una prueba en lugar de la
corrección del argumento, el que influye en los maestros para aceptar su validez.
En el estudio de Stylianides, Stylianides y Philippou (2007), con estudiantes para
maestro en la Universidad de Chipre, identificaron dos tipos principales de dificultades
con la prueba: en primer lugar, que carecían de la comprensión de los fundamentos
lógicos matemáticos de diferentes modos de argumentación; y en segundo lugar, la
dificultad en utilizar correctamente diferentes modos de representación matemática.
Respecto al conocimiento de la prueba de los profesores de enseñanza
secundaria, Tsamir, Tirosh, Dreyfus, Tabach y Barkai (2009), en un estudio de 50
profesores que evaluaban las pruebas verbales, encontraron que la mitad de los
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
48
profesores rechazaron pruebas verbales correctas alegando que estas justificaciones
carecían de generalidad y eran meros ejemplos. Asimismo, Knuth (2002) informó que,
cuando es necesario determinar la validez de un argumento matemático, los profesores
parecen centrarse únicamente en la corrección de las operaciones algebraicas; es decir,
cuando se les presentó una justificación algebraica, los profesores se centraron
exclusivamente en el examen de cada paso sin evaluar la validez del argumento en su
conjunto.
Hilbert et al. (2008) destacan tres factores acerca del conocimiento sobre la
prueba: (a) el aprendizaje con ejemplos heurísticos conduce a una mejora en las
habilidades de los alumnos que demuestran su conocimiento conceptual sobre la prueba;
(b) las indicaciones para identificar las fases de prueba ayudan a la adquisición
simultánea de las habilidades para demostrar y del conocimiento conceptual sobre el
proceso de demostración; y (c) los huecos para ser rellenados en los ejemplos
heurísticos disminuyen la eficacia de estos. Estos autores también indican que,
contrariamente a lo que se suele suponer, los métodos expositivos didácticos guiados
pueden emplearse con éxito para enseñar habilidades heurísticas.
1.6.2. La práctica de la prueba
Estudios realizados sobre la práctica de la prueba en maestros de primaria,
consideran que las actividades de prueba en el aula deben ser interactivas, de modo que
la comunidad de aula influye en lo que puede ser aceptado como una explicación
aceptable estableciendo de este modo una norma sociomatemática (Yackel y Cobb,
1996). Como miembro de la comunidad de aula, el profesor juega un papel central en el
establecimiento de un ambiente basado en la investigación (Ball y Bass, 2003),
gestionando las actividades de prueba en su aula.
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
49
Para examinar las interacciones entre el estudiante y el profesor, Cobb (1999)
propuso un análisis desde una perspectiva social en el que se incluyen tres elementos:
las normas sociales, las normas sociomatemáticas y las prácticas matemáticas de aula.
Las normas sociales se definen como aspectos normativos de las aulas que pueden
aplicarse a cualquier área de conocimiento, por ejemplo, que todas las soluciones deben
estar justificadas. Las normas sociomatemáticas se refieren específicamente a las
matemáticas, entre otras, lo que se considera un argumento o prueba aceptable. Las
prácticas matemáticas de aula se describen como experiencias compartidas que se
relacionan con ideas matemáticas concretas, tales como métodos aceptados para probar
la congruencia de triángulos. Cobb indica que estos elementos se deben desarrollar
simultáneamente para la correcta comprensión de la prueba por parte de los estudiantes.
Herbst (2002) sugirió que las decisiones pedagógicas del maestro dependen de
su sentido de la responsabilidad de comunicar conocimientos a los estudiantes, así como
de sus expectativas respecto al rol de sus alumnos en el proceso de aprendizaje. Este
punto de vista se basa en el concepto de contrato didáctico descrito por Brousseau
(1984), que detalla la estructura de interacciones en el aula y las expectativas de los
participantes sobre cómo se comunica el conocimiento. Brousseau señaló que a menudo
los profesores y los estudiantes se comportan como si existiese entre ellos un contrato,
ya que los objetivos institucionales vinculan los roles del profesor y de los estudiantes,
configurando su trabajo de tal manera que se cumplan estos objetivos.
Para Herbst (2002), el contrato didáctico implica responsabilidades tanto para el
profesor como para los alumnos. Por ejemplo, en una clase de matemáticas basada en la
prueba, la responsabilidad del maestro consiste en ayudar a los estudiantes a generar
argumentos matemáticamente válidos que cumplan con los estándares de rigor
establecidos, además, el maestro debe marcar expectativas que sean razonables y
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
50
alcanzables por la mayoría de sus estudiantes. Por otro lado, la responsabilidad de los
estudiantes reside en hacer todo lo posible para desarrollar una comprensión del proceso
de construcción de la prueba, cumpliendo los requisitos de validez que les permitan
producir argumentos matemáticos que satisfagan las expectativas del maestro. Los
estudiantes deben confiar en la experiencia del profesor y, como consecuencia,
participar en las actividades de aprendizaje que se establecen para ellos dentro de los
límites de las normas sociales y sociomatemáticas establecidas en el aula.
Herbst (2002) analizó la enseñanza de la geometría en secundaria para
determinar las acciones de los profesores que ayudan a los estudiantes a demostrar
proposiciones geométricas; encontró que estas acciones se centraban en la forma de
probar, sin hacer hincapié en las ideas de la prueba, lo que puede llevar a los estudiantes
a centrarse en la forma, pero no en la lógica. Herbst (2009) planteó la hipótesis de que
existe un contrato didáctico entre el profesor y los estudiantes sobre el conocimiento de
las pruebas que los estudiantes deben aprender. Según Douek (2009), la incorporación
de la prueba en la práctica del aula requiere un cambio profundo en los hábitos
matemáticos ya establecidos, por lo que el maestro necesita renegociar el contrato
didáctico con sus alumnos y llegar a normas sociomatemáticas más adecuadas.
Stylianides (2008) utiliza la expresión razonamiento-y-prueba (reasoning-and-
proving) para describir una familia de actividades que apoyan la investigación de por
qué "las cosas funcionan" en diferentes dominios de las matemáticas (álgebra,
geometría, etc.). De acuerdo con esta conceptualización, la participación en el
“razonamiento-y-prueba” con frecuencia implica dos actividades principales: hacer
generalizaciones, (por ejemplo, en forma de conjeturas) sobre las posibles relaciones
matemáticas; y argumentar acerca de la verdad o falsedad de las generalizaciones,
algunas de las cuales pueden calificarse como pruebas. Además, una prueba en el
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
51
contexto de una comunidad de aula en un momento determinado es un argumento
matemático con tres características (Stylianides et al., 2013):
• Utiliza un conjunto de enunciados aceptados por la comunidad de aula que son
verdaderos y disponibles sin más justificación
• Emplea formas de razonamiento (modos de argumentación) que son válidas y
conocidas, o dentro del alcance conceptual de la comunidad de aula
• Se comunica con formas de expresión (modos de representación de la
argumentación) que sean apropiadas y conocidas por, o dentro del alcance
conceptual de la comunidad de aula
Leikin y Grossman (2013) estudiaron las diferencias entre los profesores que
utilizan en sus clases un ambiente de geometría dinámica (DGE: Dynamic Geometry
Environment) y los que no lo hacen, respecto a la realización de transformaciones en los
problemas de geometría de probar. Para ello, elaboraron un marco para el análisis de
diferentes problemas de geometría y transformaciones generadas por los profesores e
introdujeron distinciones entre transformaciones estáticas y dinámicas. De los
resultados obtenidos sugieren que los profesores que utilizan un ambiente de geometría
dinámica (DGE) en sus clases, desarrollan una mejor comprensión de las tareas de
investigación geométrica y no tienen dificultad en la realización de transformaciones en
los problemas de geometría de probar.
1.7. Las creencias acerca de la prueba
Las creencias acerca de la prueba de los profesores también se relacionan con la
práctica del aula. Por lo tanto, un profesor que valora las pruebas y considera que es
importante que los estudiantes experimenten con la prueba, desarrollará en el aula
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
52
actividades de este tipo. Raymond (1997) encontró que muchos maestros de primaria
todavía tienen un punto de vista tradicional sobre la naturaleza de las matemáticas; por
ejemplo, realizando afirmaciones como: "La matemática es una colección de hechos,
reglas y habilidades"; o "La matemática es fija, predecible, absoluta, cierta y aplicable"
(p. 556). Este punto de vista de las matemáticas con frecuencia se acompaña de
determinadas prácticas de enseñanza centradas en el maestro, que efectúa exposiciones
controladas sin dar participación al estudiante.
Al investigar la evaluación de argumentos basados en el razonamiento visual,
Biza, Nardi y Zachariades (2009) encontraron que algunos profesores de secundaria
pueden aceptar un argumento visual que refuta una proposición, pero no uno que se
utiliza para probarla. Estos profesores opinaban que para probar la validez de una
proposición era necesario que los estudiantes proporcionaran un argumento algebraico,
no aceptando ningún argumento gráfico. Estos resultados ilustran el debate existente
dentro de la comunidad de docentes sobre si una representación visual puede ser
aceptada como prueba (Hanna, 2000).
En este debate Sun (2009) diferencia el papel de las pruebas en dos ámbitos:
para los matemáticos y para los estudiantes en la escuela. Según afirma, los
matemáticos desarrollan la prueba con el fin de establecer la verdad de una proposición;
por el contrario, los estudiantes reciben las pruebas ya hechas presentadas por sus
maestros conforme a sus libros de texto y programa de estudios y luego memorizan
rutinariamente teoremas y demostraciones.
Harel y Sowder (1998) proponen un modelo para interpretar las concepciones de
la prueba, analizando las expresiones verbales y acciones en el aula de los estudiantes.
Describen una clasificación en tres tipos de esquemas de prueba de los estudiantes: por
convicción externa, en que apelan a una autoridad externa para determinar la validez
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
53
matemática de un argumento; empíricos, donde se recurre a ejemplos específicos o
patrones percibidos para la validación; y analíticos, que utilizan deducciones lógicas
para validar conjeturas.
Muchos estudiantes consideran que las verificaciones experimentales son
suficientes para demostrar la validez de una proposición, el uso de software de
geometría dinámica, donde se pueden generar numerosos ejemplos, puede incrementar
esta creencia. Kunimune, Fujita y Jones (2009) encontraron que la tendencia hacia la
prueba experimental es difícil de cambiar, especialmente en estudiantes de nivel
inferior; Fischbein (1982) también encontró una predisposición similar hacia la prueba
empírica en el contexto de la teoría de números. Por ello, los profesores se enfrentan al
problema de despertar en los estudiantes la necesidad de buscar argumentos generales
para realizar la prueba deductiva.
Prusak et al. (2012) indican que, en el contexto particular de los problemas de
probar en geometría, para los estudiantes no es fácil el paso de la argumentación basada
en consideraciones intuitivas y visuales a consideraciones lógico-deductivas, por tanto,
es importante para el profesor caracterizar las condiciones que favorezcan esta
transición.
Prior y Torregrosa (2013) han identificado cuatro conductas diferentes en
relación con la verificación de una proposición matemática, que denominan:
comportamiento empírico, deductivo, empírico-analítico y conceptual-deductivo; estos
dos últimos comportamientos se encuentran en estadios de transición entre el empírico y
el deductivo. En el comportamiento empírico se utiliza únicamente procedimientos de
verificación perceptivos; en el deductivo se recurre a las leyes hipotético-deductivas del
sistema axiomático (propiedades, definiciones, etc.); en el empírico-analítico se
comienzan a tener en cuenta las leyes hipotético-deductivas y, en concreto, el papel del
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
54
estatus de las proposiciones; y en el conceptual-deductivo se abandonan las respuestas
de tipo empírico y se tratan de solucionar los problemas siguiendo las leyes hipotético-
deductivas.
Por otra parte y en relación a los profesores, Martin et al. (2005) indican que las
acciones del profesor pueden ser resultado de decisiones pedagógicas cuidadosamente
consideradas, o bien, de las reacciones espontáneas a los acontecimientos del aula. Las
decisiones de los maestros incluyen las expectativas respecto al posible desempeño de
sus alumnos, la elección de tareas matemáticas y estrategias de enseñanza, tales como
plantear cuestiones al grupo, la instrucción directa y el aprendizaje cooperativo. Estos
autores realizaron un estudio para investigar la interacción entre las acciones del
profesor y las acciones de los estudiantes analizando la naturaleza del discurso generado
en el aula y su papel en el desarrollo del aprendizaje de los estudiantes acerca de la
prueba matemática. La prueba matemática es en sí misma una forma de actividad
discursiva (Sfard, 2000), por ello, el objetivo del profesor es enseñar a sus estudiantes a
participar en el discurso de la demostración matemática de acuerdo con un conjunto de
reglas. En el estudio de Martin et al. (2005), el discurso se interpretaba ampliamente
para expresar tanto las reglas de la comunicación entre los miembros de la comunidad,
así como el contenido de los intercambios verbales y no verbales entre los participantes,
considerando el nivel social y matemático. En el plano social y siguiendo el modelo de
Cobb (1999), incluyeron las normas sociales en el aula referidas a cuestiones tales
como: ¿El conocimiento está valorado? ¿Quién tiene estatus en el grupo? ¿Cómo se
ofrecen opiniones? ¿Cómo se introducen nuevas ideas o prácticas? En el nivel
matemático, consideraron las normas sociomatemáticas y las prácticas matemáticas en
el aula, con preguntas del tipo: ¿Qué constituye un argumento matemático convincente?
¿Qué términos especiales, signos o símbolos son aceptables para su uso en pruebas
1. Problema de Investigación Francisco Clemente Císcar
55
matemáticas escritas o habladas y cuándo se pueden usar estos términos? En sus
conclusiones observaron que cuando un profesor involucra a los estudiantes en el
razonamiento verbal, esto proporciona un entorno favorable para la prueba, ya que los
alumnos tienen la oportunidad de realizar contribuciones y justificaciones dentro de una
comunidad matemática para determinar si cumplen con los estándares de razonamiento
necesarios en ese contexto, de tal manera, que si el profesor interactúa con sus
estudiantes puede controlar e influir en el desarrollo de la capacidad de estos para
construir cadenas de razonamiento. Dentro de este entorno, la participación activa entre
los estudiantes y maestros puede contribuir a la negociación de las prácticas
matemáticas en el aula, así como al desarrollo de la capacidad individual para construir
demostraciones formales.
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
57
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO
En el presente capítulo describiremos los referentes teóricos que nos permitan
comprender la forma en que los estudiantes aplican el conocimiento de geometría
previamente aprendido en la resolución de problemas de probar.
La investigación sobre la resolución de problemas de geometría ha seguido dos
líneas de investigación diferenciadas (Torregrosa, Quesada y Penalva, 2010). La
primera, basada en la prueba y en sus distintos desarrollos (Balacheff, 1988; Harel y
Sowder, 1998; Ibañes, 2001). La segunda, centrada en caracterizar los procesos
cognitivos que desarrollan los estudiantes cuando resuelven este tipo de problemas
(Bishop, 1983; Fischbein, 1987; Del Grande, 1990; Hershkowitz et al., 1996; Zazkis et
al., 1996; Duval, 1998; Koleza y Kabani, 2006), considerando la enseñanza y el
aprendizaje desde el punto de vista cognitivo.
De acuerdo con esta segunda perspectiva se han planteado diversos modelos
teóricos con el propósito de estudiar estos procesos cognitivos. Krutetskii (1976)
identificó distintas habilidades en la resolución de problemas y clasificó a los individuos
en tres tipos (analítico, geométrico y armónico). Bishop (1989) distinguió dos acciones
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
58
cognitivas (procesamiento visual e interpretación de información figural), que han
permitido estudiar el rol de las imágenes mentales, las representaciones externas, los
procesos y habilidades en la resolución de problemas de geometría (Gutiérrez, 1996).
Zazkis et al. (1996) propusieron el modelo analizador/visualizador edificado sobre la
coordinación de estos procesos cognitivos, destacando la relevancia de entender cómo
se combinan los enfoques visuales y analíticos en la resolución de problemas
matemáticos. Presmeg (1986) formuló un modelo que ha puesto de manifiesto la
importancia de la relación entre lo visual y lo analítico en el estudio de los procesos de
resolución de problemas de geometría y Fishbein (1993) desarrolló la teoría del
concepto figural. Por otro lado, Duval (1993) indica que el alumno debe coordinar los
distintos procesos cognitivos y los distintos registros de representación para ordenar y
construir pruebas en la resolución de problemas, proponiendo la teoría del modelo
cognitivo del aprendizaje geométrico (Duval, 1998). Torregrosa, Quesada y Penalva
(2007, 2010), adoptando la orientación de la investigación de Duval, desarrollaron un
modelo que han denominado razonamiento configural, que caracteriza las interacciones
entre los procesos de visualización y razonamiento que intervienen en la resolución de
problemas de geometría (Quesada, 2014).
En nuestra investigación se adopta el significado de concepto figural de
Fischbein (1993) y el modelo cognitivo de Duval (1995, 1998, 1999) en relación con el
aprendizaje de la geometría. En particular, el papel que desempeñan los procesos de
visualización en el reconocimiento de propiedades y relaciones en las figuras
geométricas y en los procesos de justificación. Usamos el término figura siguiendo a
Mesquita (1998) para indicar la representación externa e icónica de un concepto o
situación geométrica considerado un sistema semiótico específico o registro (Duval,
1995). En geometría, el registro figurativo se vincula al sistema visual de percepción
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
59
(Presmeg, 2006) y Mesquita (1998) indica que: «La representación externa de un
problema geométrico, per se, no permite resolver el problema, pero puede contribuir a
la definición de una estructura del problema para facilitar su tratamiento» (p. 184). En
este sentido, Duval (1995) y Fischbein (1993) subrayan el papel heurístico de las figuras
en el aprendizaje y en el desarrollo de los procesos de visualizar, justificar y construir en
los contextos geométricos.
2.1. El concepto figural de Fischbein
Según Fischbein (1993), la geometría trata con entidades mentales (figuras
geométricas) que poseen simultáneamente propiedades conceptuales y figurales.
Introduce la noción de concepto figural para poner de relieve el hecho de que estamos
frente a un determinado tipo de entidades mentales que no son reductibles ni a imágenes
ni a conceptos; por ello, la imagen y el concepto deberían fusionarse en un único objeto
mental.
Según este modelo, imágenes y conceptos interactúan en la actividad cognitiva,
por tanto, muchos de los errores que los estudiantes cometen en su razonamiento
geométrico pueden ser explicados por este tipo de división entre el aspecto conceptual
y el figural. La estructura figural puede dominar la dinámica del razonamiento en lugar
de ser controlado por las correspondientes limitaciones formales. Como consecuencia,
muchos estudiantes no entienden la verdadera naturaleza de una prueba geométrica y
tienden a experimentar la necesidad de completarla con verificaciones empíricas. Por
tanto, una de las tareas de la educación matemática en el dominio de la geometría
debería ser crear situaciones didácticas que sistemáticamente soliciten una cooperación
estrecha entre los dos aspectos, hasta su fusión en los objetos mentales unitarios.
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
60
Para ilustrar esta idea Fischbein (1993, p.142) propone el siguiente ejemplo
(Figura 2.1.): «En una circunferencia con centro en O trazamos dos diámetros
perpendiculares AB y CD. Hemos elegido arbitrariamente un punto M y se traza MP y
MN perpendiculares a los dos diámetros. ¿Cuál es la longitud de PN?».
Figura 2.1. El concepto figural (adaptado de Fischbein (1993)).
A primera vista, parece que el problema no se puede resolver porque las
longitudes de los segmentos MP y MNdependen de la posición del punto M. Pero, si
observamos que MPON es un rectángulo y que el segmento MO es una de sus
diagonales, podremos deducir que PN = MO, siendo MO el radio de la circunferencia.
La igualdad de las diagonales y de los radios no se cuestiona, ya que estas relaciones no
dependen del propio dibujo por estar impuestas por definiciones y teoremas
Por tanto, la conclusión no se ha obtenido al considerar por separado la imagen y
las restricciones formales, sino por un proceso único en el que es considerada una figura
dejando al descubierto las relaciones lógicas. En este caso, el proceso de idealización de
la figura se realiza automáticamente con el fin de convertirse en una componente
integral y activa de un razonamiento lógico estricto.
El hecho de obtener la conclusión PN = MO = radio = constante, se produce en
el momento en que hemos comprendido que el rectángulo PONM es considerado no
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
61
como una imagen ordinaria, sino como una estructura ya lógicamente controlada, en la
que la fusión entre concepto y figura tiende a ser completa; es decir, los conceptos
figurales reflejan propiedades espaciales tales como forma, posición y magnitud; y al
mismo tiempo, poseen cualidades conceptuales, como idealidad, abstracción y
generalidad.
Fischbein (1993) mantiene que en los problemas de probar es posible usar
simultáneamente los aspectos figurales y conceptuales, ya que las propiedades de las
figuras geométricas (representaciones) proceden de las definiciones y relaciones
geométricas usadas en su construcción. Fischbein indica que una figura geométrica, por
ejemplo un trapecio isósceles dibujado en un folio, es una figura controlada por la
definición de trapecio isósceles y las propiedades geométricas derivadas de poseer dos
lados paralelos y dos lados no paralelos congruentes. Esta doble naturaleza de la figura
geométrica define el concepto figural (entidad mental). La idea del concepto figural
resalta el hecho según el cual imponer relaciones en los dibujos no depende del propio
dibujo sino de las definiciones y teoremas previamente conocidos. Además, Fischbein
indica que inferir información adicional sobre la configuración no procede de
considerar de manera separada la figura y las relaciones lógicas entre los hechos
geométricos en un proceso deductivo, sino de un único proceso en el que la figura se
“ve de otra manera” permitiendo revelar relaciones lógicas. Fischbein caracteriza este
proceso indicando que la figura no es una imagen ordinaria sino una estructura
controlada lógicamente. En este sentido, la fusión entre el concepto y la figura para
desarrollar el razonamiento geométrico es un objetivo de la enseñanza y puede ser
considerado una característica clave del conocimiento de geometría para el maestro.
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
62
2.2. El modelo cognitivo de Duval
El modelo cognitivo de Duval refina y matiza el modelo propuesto por
Fischbein. A continuación, describimos algunos aspectos relevantes del mismo.
2.2.1. Procesos cognitivos
Para Duval (1998), la geometría involucra tres clases de procesos cognitivos que
cumplen con funciones epistemológicas específicas:
• Los procesos de visualización intervienen en la representación espacial para la
ilustración de proposiciones, en la representación de resultados, en la
exploración heurística de una situación compleja, en el logro de una visión
sinóptica de la misma y en la obtención de una verificación subjetiva de la
misma.
• Los procesos de razonamiento, en relación con procesos discursivos, facilitan
la extensión del conocimiento, la demostración y la explicación.
• Los procesos de construcción mediante herramientas, sirven para construir
configuraciones como modelos en los que la acción sobre los representantes y
los resultados obtenidos están relacionados con los objetos matemáticos
representados.
De acuerdo con estos tres tipos de procesos Duval indica que:
a) Las tres clases de procesos deben ser desarrollados separadamente. Se puede
realizar un proceso de razonamiento mediante un discurso teórico sin haber
realizado ningún proceso de visualización, basado únicamente en afirmaciones
matemáticas como definiciones, proposiciones o axiomas.
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
63
b) Es necesario realizar un trabajo de diferenciación entre diferentes procesos de
visualización y entre diferentes procesos de razonamiento, pues existen varias
formas de ver una figura; de la misma manera que hay varias formas de razonar.
Sin embargo, estos procesos cognitivos están intrínsecamente conectados y su
sinergia es necesaria para la adquisición de competencia en la resolución de
problemas geométricos.
c) La coordinación de estas tres clases de procesos puede ocurrir realmente solo
después de este trabajo de diferenciación.
En particular, es necesario tener en cuenta el registro gráfico en el que se sitúan
las distintas configuraciones de puntos en geometría, ya que este registro no siempre
ayuda al desarrollo de la prueba. Llamamos configuración de puntos, o simplemente
configuración, a cualquier representación plana de los objetos geométricos, que
consideraremos conjuntos de puntos. Las dificultades que pueden surgir hacen
referencia a cómo el individuo percibe las configuraciones, y cómo estas poseen
factores que pueden despertar o inhibir en el alumno la manera en que son percibidas y
la capacidad de aprehender determinadas propiedades geométricas de la configuración.
Mesquita (1989), Padilla (1990) y Duval (1998) describen en sus investigaciones
factores que influyen facilitando/dificultando la identificación de la configuración
relevante en los procesos de probar. Algunos de estos factores son: convexidad de la
subconfiguración relevante, complementariedad de las subconfiguraciones
constituyentes, existencia de subconfiguraciones visualmente predominantes y la
congruencia semántica que se da cuando las subconfiguraciones que muestra la figura
son las mismas a las que el enunciado refiere. Otra causa tiene origen epistemológico;
mientras que en otros campos del conocimiento como la física o la química, la verdad
de una proposición se obtiene a partir de datos procedentes de la percepción, gracias a
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
64
mediciones con algún aparato técnico, en matemáticas la verdad de una proposición se
obtiene siempre que esta se puede situar deductivamente en una serie de otras
proposiciones, donde las proposiciones anteriores tienen valor de verdad (Duval, 2007).
2.2.2. Aprehensiones
Podemos considerar en los procesos de visualización diferentes tipos de
aprehensión, cuya definición, según el diccionario de la Real Academia Española
(2012), es: “La que capta las formas de las cosas sin hacer juicio de ellas o sin afirmar
ni negar”, cuya coordinación permite la construcción de la prueba (Torregrosa y
Quesada, 2007). Duval caracteriza las aprehensiones de la siguiente manera:
• La aprehensión perceptiva se caracteriza por ser la identificación simple de
una configuración. Es la primera en aparecer en el desarrollo cognitivo del
aprendiz y es la acción más intuitiva y evidente de todas las que se van a
describir.
• La aprehensión discursiva es la acción por la que se produce una asociación de
la configuración identificada con afirmaciones matemáticas (definiciones,
teoremas, axiomas...). Esta asociación puede realizarse de dos maneras según la
dirección de transferencia realizada, ya sea desde el discurso hacia la
configuración o viceversa, mediante un cambio de anclaje de visual a discursivo
y de discursivo a visual (Figura 2.3.).
• La aprehensión operativa viene determinada por realizar alguna modificación
(física o mental) sobre la configuración inicial, pudiendo extraer, introducir o
manipular las distintas subconfiguraciones. Dependiendo de la modificación
producida, podemos distinguir dos tipos: la aprehensión operativa de cambio
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
65
figural en donde a la configuración inicial se le añaden elementos geométricos
(nuevas subconfiguraciones), y la aprehensión operativa de reconfiguración en la
que las subconfiguraciones iniciales son manipuladas como las piezas de un
puzle (Figuras 2.4. y 2.5.).
Figura 2.3. Aprehensión discursiva con cambio del anclaje visual al anclaje discursivo
(a); y del anclaje discursivo al anclaje visual (b), (Torregrosa y Quesada, 2007)
Figura 2.4. Aprehensión operativa con cambio figural (Torregrosa y Quesada, 2007).
Figura 2.5. Aprehensión operativa con reconfiguración. Prueba del Teorema de
Pitágoras, , realizada por Bhaskara en el siglo XII (Nelsen, 1993). 푐 = 푎 + 푏
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
66
En cuanto a estos tres tipos de aprehensión, la perceptiva está conectada con la
discursiva y la operativa. La Figura 2.6. muestra que la aprehensión perceptiva es la
base para el desenvolvimiento de las otras. A medida que se desarrollan la aprehensión
operativa y la discursiva, queda más atenuada la acción en la que subyace la
aprehensión perceptiva como mero nexo entre ellas (Torregrosa y Quesada, 2007).
Figura 2.6. La conexión entre los tres tipos de aprehensiones (Torregrosa y Quesada,
2007).
Estas aprehensiones descritas por Duval están relacionadas con los modos de
interacción empírico y representacional propuestos por Herbst y Arbor (2004) entre un
actor (sujeto), una configuración (representación física) y un objeto geométrico teórico
(figura). En las interacciones empíricas el actor identifica los componentes de una
configuración con los componentes de una figura (análogamente a una aprehensión
discursiva); mientras que en las interacciones representacionales el actor utiliza las
propiedades teóricas de una figura para hacer una afirmación sobre una configuración lo
que a menudo incluye la ayuda de marcas (a modo de una aprehensión operativa).
Identificar las diferentes aprehensiones puede facilitar el análisis de las
respuestas dadas por el estudiante a los problemas de geometría; además, también puede
mostrar los cambios de anclaje en la aprehensión discursiva (de visual a discursivo y de
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
67
discursivo a visual), así como los tipos de modificación en la aprehensión operativa
(figural y reconfiguración).
El cambio de anclaje es de gran importancia para coordinar los distintos modos
de representación al resolver problemas geométricos (Quesada, 2014). En relación a los
modos de representación hay que destacar que, debido a las características del contenido
geométrico, muchas tareas vienen dadas en el modo figurativo y demandan traslaciones
al modo numérico/simbólico y viceversa (Escudero, 2003). Por ello, si la formación de
conceptos implica una coordinación de sistemas de representación (Duval, 1993),
entonces es importante en el aprendizaje de las matemáticas no solo la automatización
de ciertas técnicas operatorias (cálculo) sino también el aprendizaje de dicha
coordinación (Penalva y Torregrosa, 2001). Por tanto, resulta relevante la coordinación
entre las distintas aprehensiones y los cambios de representación (conversiones), para el
desarrollo de los procesos de razonamiento relacionados con el discurso en la resolución
de problemas de geometría (Torregrosa, Quesada y Penalva, 2010).
2.3. Los procesos de visualización y razonamiento
Identificar y caracterizar las aprehensiones y su coordinación que los estudiantes
generan cuando están resolviendo problemas de probar en geometría puede facilitar el
análisis de las respuestas dadas y poner de manifiesto las acciones que desarrollan.
Además, aunque la visualización es de gran importancia para la resolución de
problemas en geometría, los procesos de visualización están íntimamente relacionados
con los procesos de razonamiento (Torregrosa, Quesada y Penalva, 2010); lo que ha
motivado que muchas de las investigaciones de corte psicológico estén interesadas en
observar los procesos de razonamiento (Gutiérrez, 1998; Presmeg, 2006).
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
68
Según Duval (1998), el razonamiento es cualquier procedimiento que nos
permite desprender nueva información de informaciones dadas. Para Fischbein (1993),
tanto en situaciones de la vida diaria como en la científica, el razonamiento incluye una
interacción permanente entre las dinámicas conceptuales e imaginativas. Asimismo, en
el curso de esa interacción, los significados cambian de una categoría a otra, las
imágenes obtienen significados más generalizados y los conceptos enriquecen
ampliamente sus connotaciones y su poder combinatorio; todo esto, también se verifica
para el razonamiento en geometría. Jones (1998), siguiendo las ideas de Fischbein,
argumenta que el razonamiento geométrico puede ser caracterizado como la interacción
entre el aspecto figural y el aspecto conceptual de las representaciones. Mariotti (1995)
indica que el razonamiento geométrico puede ser interpretado en términos de un proceso
dialéctico entre los aspectos figurales y conceptuales; es decir, el razonamiento
geométrico involucra una relación entre las imágenes y los conceptos. Las descripciones
del razonamiento geométrico mencionadas introducen características del proceso de
visualización, tales como la modificación de las representaciones y la asociación de
aspectos conceptuales, que permiten definir el razonamiento en un sentido amplio
como: cualquier acción, ensayo y error o estrategia para resolver una dificultad, que
permita obtener nueva información a partir de informaciones previas, sean estas
proporcionadas por el problema o derivadas del conocimiento previo (Quesada, 2014).
Los procesos de razonamiento son considerados como una variedad de acciones
que realizan los estudiantes para comunicarse y explicar a otros, tanto como a ellos
mismos, lo que ven, descubren, piensan y concluyen (Hershkowitz, 1998).
Duval (1998) diferencia dos tipos de razonamiento en relación con los procesos
discursivos desarrollados: el proceso discursivo natural y el proceso discursivo teórico;
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
69
posteriormente, Torregrosa et al. (2007, 2010) añadieron el proceso configural. A partir
de estos, podemos definir:
• Razonamiento discursivo natural: Este proceso se realiza espontáneamente en
el acto de la comunicación ordinaria. Se realiza espontáneamente en lenguaje
natural a través de descripciones, explicaciones o argumentaciones. Para poder
identificar el proceso es necesario distinguir las operaciones discursivas básicas,
los conectores, así como símbolos verbales, entre otros, que puedan aparecer en
la resolución de problemas de geometría
• Razonamiento discursivo teórico: Este proceso utiliza solo teoremas, axiomas
o definiciones para llegar a la conclusión, a través de la deducción. Puede ser
realizado en un registro estrictamente simbólico o en el registro natural, pero
siempre mediante una estructura deductiva.
• El razonamiento como un proceso configural: Es la coordinación de la
aprehensión discursiva y operativa, gracias al desarrollo de la acción coordinada
aprehensión discursiva/aprehensión operativa que efectúa el estudiante cuando
resuelve un problema de geometría, lo cual genera una interacción entre la
configuración inicial y sus posibles modificaciones con las afirmaciones
matemáticas adecuadas (Torregrosa y Quesada, 2007).
2.4. El razonamiento configural
La interacción entre la aprehensión operativa y la discursiva puede ayudarnos a
comprender cómo las relaciones entre las propiedades geométricas gobiernan la
manipulación de las figuras en la resolución de problemas de probar en geometría.
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
70
El foco de atención sobre la coordinación de las aprehensiones operativa y
discursiva en situaciones de resolución de problemas (Torregrosa y Quesada, 2007;
Prior y Torregrosa, 2013) que ha permitido identificar algunas características de cómo
funciona la relación entre las figuras, los hechos geométricos y la generación de
relaciones lógicas entre ellos. Torregrosa y Quesada han denominado a este proceso
“razonamiento configural” para subrayar la relación interactiva entre la identificación de
elementos en una configuración geométrica y su vinculación con algún hecho
geométrico, que el estudiante puede usar para resolver un problema planteado.
Figura 2.7. Razonamiento configural: coordinación entre la aprehensión operativa y
discursiva.
El razonamiento configural es un tipo de razonamiento caracterizado por la
coordinación entre la aprehensión discursiva y la aprehensión operativa. Esta
coordinación debe ser comprendida como el conjunto de acciones que realiza el
resolutor para razonar en geometría y debe distinguirse de las acciones que realiza en
los procesos de comunicación. Es decir, el razonamiento configural es el desarrollo de
las aprehensiones (aprehensión discursiva/aprehensión operativa) realizadas y
coordinadas por el estudiante cuando está resolviendo un problema de geometría. La
resolución de un problema de geometría de probar exige relacionar la configuración
inicial y las posibles modificaciones de esta con las afirmaciones matemáticas
oportunas, lo que permite identificar el razonamiento configural involucrado, que puede
ayudarnos a comprender mejor los procesos que permiten el desarrollo de la prueba.
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
71
2.4.1. Truncamiento y bucle
El razonamiento configural (Torregrosa, Quesada y Penalva, 2010) puede
desembocar en un truncamiento (la coordinación proporciona la “idea” para resolver
deductivamente el problema) y permite generar un proceso deductivo; o bien en un
bucle (situación de bloqueo que no permite el avance hacia la solución).
El término “truncamiento” se usa para dar cuenta del momento en el que los
resolutores dejan el razonamiento visual al generarse la necesidad lógica de la
argumentación (Prusak et al., 2012). Durante este proceso, el estudiante manipula
conceptos figurales, es decir, imágenes intrínsecamente controladas por los conceptos,
pero también es posible que los hechos y propiedades geométricas conocidos por el
estudiante guíen de alguna manera el proceso de identificación de subconfiguraciones
relevantes. Únicamente cuando las figuras son intrínsecamente controladas por las
condiciones conceptuales se logra la resolución de un problema al generarse un
“truncamiento” en el razonamiento configural que permite generar una cadena lógica de
proposiciones y hechos geométricos. En este proceso, la identificación en la
configuración inicial de elementos que puedan asociarse a algún hecho o propiedad
geométrica (interacción entre las aprehensiones operativas y discursivas) puede ser
condición necesaria para desencadenar el razonamiento configural pero no ser una
condición suficiente para generar el truncamiento (Clemente y Llinares, 2015).
Asumir la posibilidad de reconocer que un hecho geométrico puede desempeñar
papeles diferentes en el proceso de resolución de los problemas (Herbst et al., 2009;
Herbst y Arbor, 2004), puede ser relevante para el truncamiento del razonamiento
configural. Herbst se refiere a este último aspecto como la relación dinámica entre lo
que es conocido y cómo es conocido al generar conjeturas razonadas. Este hecho
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
72
permite subrayar los diferentes momentos en la resolución de problemas de probar
diferenciando los modos en los que las interacciones de los estudiantes con las
configuraciones pueden apoyar el trabajo de conjeturar, hacer la prueba y construir
conjeturas razonadas —usar razonamiento deductivo para averiguar lo que podría o
debería ser verdad— (Herbst y Arbor, 2004).
En la resolución de estos problemas, algunos estudiantes tienen dificultades en
“truncar” el proceso de razonamiento configural para inferir información adicional
sobre la configuración (razonamiento deductivo). Esta evidencia pone de manifiesto la
necesidad de comprender mejor la relación entre el razonamiento configural y la
generación de procesos deductivos durante la resolución de problemas de probar en
geometría.
Esta situación plantea la necesidad de estudiar cómo los resolutores consideran
los hechos y proposiciones geométricas identificadas en una configuración, o dadas
como datos de un problema, como premisas en secuencias deductivas. Llegar a
comprender mejor cómo se relacionan los ítems de conocimiento geométrico en este
proceso puede ayudarnos a entender lo que favorece el truncamiento del razonamiento
configural.
En el desarrollo de la coordinación de las aprehensiones operativas y
discursivas, y por tanto, en el inicio del razonamiento configural que se desencadena
mediante la identificación de una subconfiguración relevante, desempeña un papel
importante la figura prototípica que el estudiante es capaz de identificar. Esto quiere
decir que de entre las varias figuras que el estudiante puede observar en la configuración
inicial, la que logra llamar su atención estará vinculada con alguna de las figuras
prototípicas que guarda en su memoria. En las situaciones en las que hay que generar
una prueba y en la que hay que establecer algún vínculo entre la argumentación visual y
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
73
la argumentación lógico-deductiva se plantea la necesidad de estudiar el papel que
desempeña la identificación de una subconfiguración particular a partir de la cual se
inician las coordinaciones entre las aprehensiones discursivas y operativas que
constituyen el razonamiento configural.
En los problemas de probar en geometría, no es fácil para los estudiantes la
transición de la argumentación basada en consideraciones intuitivas y visuales a otras
lógico-deductivas (Prusak et al., 2012), por ello, es significativo determinar las
condiciones que favorezcan esta transición. En los problemas de probar en los que se
proporciona una configuración inicial, la importancia de la identificación de una
subconfiguración relevante para la resolución del problema reside en que refuerza la
activación de los conocimientos de geometría adecuados para la prueba. Es decir, el
acceso y uso del conocimiento durante la resolución de problemas viene determinado
por la naturaleza de las relaciones que el resolutor haya podido establecer previamente
entre los ítems de conocimiento. Consecuentemente, determinar cómo la identificación
de una configuración permite movilizar determinados ítems de conocimiento puede
aportar información sobre la naturaleza de la relación entre la visualización y el
conocimiento usado de manera productiva durante la resolución del problema
(Chinnappan, 1998) al iniciar el razonamiento configural. De esta manera, indagar en
las relaciones entre el papel desempeñado por la identificación de figuras prototípicas en
las configuraciones dadas, y el conocimiento de geometría que permite activar
conjeturas razonadas que están en el desarrollo del razonamiento configural, puede
proporcionarnos una información que nos ayude a comprender mejor cómo se dan estos
procesos.
2. Marco Teórico Francisco Clemente Císcar
74
2.5. Preguntas de investigación
A partir del marco teórico expuesto, el objetivo marcado en esta investigación se
dirige al análisis de las relaciones entre los procesos de visualización y el conocimiento
de geometría en la resolución de problemas de probar. Especificando, las dos preguntas
a las que pretendemos dar respuesta son:
a) ¿Cuáles son las características del razonamiento configural desencadenado en
la resolución de problemas geométricos de prueba?
a1) ¿Qué relación existe entre la forma del discurso escrito creado por los
estudiantes para maestro al resolver problemas de geometría de probar y
las características del razonamiento configural generado?
b) ¿Cuál es el papel de la visualización (puesto de manifiesto al identificar una
subconfiguración relevante) al iniciar el razonamiento configural
determinando una trayectoria de resolución?
b1) ¿Qué relaciones existen entre la identificación de figuras prototípicas y el
conocimiento de geometría activado que permite iniciar el razonamiento
configural durante la resolución de problemas de probar?
CAPÍTULO 3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
75
CAPÍTULO 3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
En este capítulo se presenta el diseño de la investigación realizada que se ha
llevado a cabo mediante dos estudios. El estudio 1 se efectuó con la finalidad de dar
respuesta a la primera pregunta de investigación a) y a1), centrada en caracterizar los
procesos cognitivos que evidencian los estudiantes en su discurso escrito. Esta primera
aproximación nos permitió identificar algunas características de estos procesos que
serían posteriormente analizados con mayor profundidad. Análogamente, hemos
realizado el estudio 2 para responder a la segunda pregunta de investigación b) y b1),
completando lo anterior y para tratar de explicar la relación entre la identificación de
una subconfiguración relevante y la movilización del conocimiento de geometría que
define diferentes trayectorias de resolución. Para ambos estudios, en primer lugar,
haremos referencia a los participantes y su contexto. En segundo lugar, indicaremos
cómo diseñamos los instrumentos de recogida de la información. Finalmente,
mostraremos el proceso de análisis de los datos realizado en diferentes fases.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
76
3.1. Estudio 1
En el estudio 1, pretendemos dar respuesta a la primera pregunta de
investigación: a) ¿Cuáles son las características del razonamiento configural
desencadenado en la resolución de problemas geométricos de prueba?; así como a una
cuestión derivada de esta: a1) ¿Qué relación existe entre la forma del discurso escrito
creado por los estudiantes para maestro al resolver problemas de geometría de probar y
las características del razonamiento configural generado?
3.1.1. Participantes y contexto
En el estudio 1 participaron 97 estudiantes para maestro que habían seguido un
curso de geometría entre los años 2011-2012, organizado considerando los procesos de
visualización, construcción y prueba (Duval, 1999). El objetivo del curso era que los
estudiantes para maestro desarrollaran la habilidad de reconocer diferentes propiedades
geométricas mediante aprehensiones discursivas y operativas de conceptos geométricos
del currículo de educación primaria (Duval, 2007), y desarrollaran el razonamiento
configural (Torregrosa y Quesada, 2007; Torregrosa, Quesada y Penalva 2010).
Algunos de los contenidos en esta asignatura eran las características, propiedades y
clasificación de las figuras geométricas (polígonos, cuadriláteros, triángulos). Una parte
de este curso consistía en resolver actividades de visualización, tareas de construcción
geométrica y resolución de problemas geométricos de probar.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
77
3.1.2. Instrumentos de recogida de datos
Al finalizar el curso, los estudiantes para maestro resolvieron un cuestionario
que incluía dos problemas de probar (Problemas 2 y 3) como parte de la evaluación de
la asignatura (Figura 3.1.).
Problema 2 Problema 3
BD es la mediana del triángulo ACB, AE⏊BF y CF⏊BF. Probar que AE≡CF.
Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son congruentes.
Figura 3.1. Problemas del cuestionario del estudio 1.
El objetivo de estos dos problemas era determinar cómo los estudiantes
reconocían y relacionaban diferentes propiedades geométricas para deducir nuevos
hechos y propiedades de las figuras. La resolución implicaba reconocer e identificar en
las configuraciones geométricas propiedades y definiciones mediante aprehensiones
operativas y discursivas, crear diferentes organizaciones posibles de estas proposiciones
(resultados geométricos), para inferir nueva información sobre la configuración inicial
mediante procesos de deducción lógica (Duval, 2007), y construir una prueba. Se pidió
a un grupo de formadores de maestros identificar los conocimientos geométricos que
podían usarse en la resolución de cada problema considerando el contenido curricular.
La Tabla 3.1. recoge estos conocimientos geométricos identificados.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
78
Tabla 3.1. Conocimiento geométrico susceptible de ser utilizado en ambos problemas del estudio 1 (CAi= código usado para indicar el ítem de conocimiento geométrico
susceptible de ser usado en algún momento de la resolución de los problemas) P2 P3
Asociación directa de elementos geométricos a la configuración:
(CA1) Definición de triángulo
(CA2) Definición de perpendicularidad
(CA3) Definición de mediana de un triángulo
(CA4) Ángulos opuestos por el vértice son iguales
(CA5) Si una secante corta a dos rectas paralelas, forma con ellas ángulos alternos-internos iguales (alternos-externos iguales)
(CA6) Si una recta secante a dos rectas forma con ellas ángulos alternos-internos / alternos-externos iguales, entonces las dos rectas son paralelas
Elementos geométricos susceptibles de ser usados para inferir información adicional:
(CA7) Si dos rectas forman ángulos rectos con otra tercera son paralelas
(CA8) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º (conocidos dos ángulos de un triángulo, conocemos el tercero)
(CA9) Criterios de congruencia de triángulos: A-L-A, L-A-L, L-L-L
Asociación directa de elementos geométricos a la configuración:
(CA1) Definición de triángulo
(CA10) Definición de bisectriz de un ángulo
(CA11) Definición de triángulo isósceles: un triángulo es isósceles si tiene dos lados iguales (si un triángulo tiene dos ángulos iguales también son iguales los lados opuestos - por tanto es un isósceles)
Elementos geométricos susceptibles de ser usados para inferir información adicional:
(CA8) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º [conocidos dos ángulos de un triángulo, conocemos el tercero]
(CA9) Criterios de congruencia de triángulos: A-L-A, L-A-L, L-L-L
En cada una de las figuras iniciales en los dos problemas se pueden identificar
varias configuraciones que logran favorecer la generación de ideas claves para una
solución. Mesquita (1998) indica que el poder de una figura depende directamente de
las condiciones de reorganizar las estructuras geométricas específicas. Los problemas se
diseñaron considerando la existencia de al menos una configuración relevante (Figura
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
79
3.2.), y fueron elegidos pensando en que las figuras representan un doble papel en el
proceso de resolución. Por una parte, un papel descriptivo, ya que su función es
proporcionar un contexto para la aprehensión de las propiedades mencionadas en el
enunciado del problema (tales como "BD es una mediana del triángulo ABC"), pero no
tiene por qué sugerir un tratamiento específico (Duval, 1999). Es decir, la figura y el
enunciado ayudan a representar la situación geométrica que se plantea en cada caso en
general. Por otra parte, un papel heurístico, ya que da la posibilidad de identificar
alguna configuración relevante, que puede depender de la conducta individual de cada
estudiante.
Problema 2 Problema 3
Figura 3.2. Subconfiguraciones relevantes inicialmente consideradas en el diseño de
los problemas del cuestionario del estudio 1.
Las subconfiguraciones en las representaciones de los dos problemas tienen
características heurísticas diferentes. La única subconfiguración en el problema 2 y la
subconfiguración c en el problema 3 podían ser consideradas parte de la configuración
inicial. Mientras que las subconfiguraciones a y b en el problema 3 son
subconfiguraciones que se solapan en la configuración inicial, y debe realizarse una
acción cognitiva más compleja (aprehensión operativa) para visualizarlas por separado.
Otro aspecto relevante a considerar es la figura inicial del problema 2, donde se muestra
el triángulo rectángulo CDF con una etiqueta para indicar el ángulo recto en el punto
F, lo que facilitaría su identificación. Por el contrario, la subconfiguración c en el
a
b
c
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
80
problema 3 carece de etiqueta para indicar el punto de intersección F de los segmentos
EC y BD lo que podría dificultar su identificación (Chen y Herbst, 2013). Además, en la
configuración inicial del problema 3 hay una “pista” perceptiva al resaltarse uno de los
triángulos que se forman con una de las bisectrices del triángulo isósceles. De esta
manera, el problema 3 permitía estudiar la influencia de dicha pista perceptual en la
identificación de una subconfiguración y en la generación del proceso de razonamiento
configural.
3.1.3. Análisis
Los datos usados en esta investigación son las respuestas dadas por los
estudiantes a estos dos problemas. Inicialmente identificamos en el discurso textual
generado en cada resolución los elementos significativos, que indicaban cómo el
estudiante estaba construyendo su argumentación como consecuencia de algunas
aprehensiones operativas y discursivas y su coordinación. El análisis (Clement, 2000) se
realizó en tres fases que describimos a continuación.
Para identificar en la investigación la respuesta de un alumno a un problema en
cada estudio, hemos utilizado la siguiente codificación: AiPjEk. Donde Ai representa el
alumno que resuelve el problema (A1 hasta A97 en el estudio 1 y A1 hasta A182 en el
estudio 2); Pj muestra el problema (P2 o P3 en el estudio 1 y P1 o P2 en el estudio 2);
Ek indica el estudio (E1 en el estudio 1 y E2 en el estudio 2). Por ejemplo, la respuesta
del alumno 37 al problema 2 del estudio 1, se denota como: A37P2E1.
3.1.3.1. Fase I: identificación de elementos relevantes en la resolución
En la primera fase, el discurso textual generado por los estudiantes fue
descompuesto en unidades de análisis para identificar las aprehensiones operativas y
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
81
discursivas puestas de manifiesto (Torregrosa et al., 2010). Consideramos como una
unidad de análisis las partes del discurso (dibujo, asignación de etiquetas o marcas a
partes de la figura y/o del texto escrito), que podían reflejar la identificación por parte
de los estudiantes para maestro de un hecho geométrico; es decir, si el resolutor
relacionaba propiedades o definiciones a la configuración geométrica dada mediante la
asociación directa e individual de hechos geométricos, primando en este caso el sentido
configural. Este proceso es lo que Herbst (2004) ha denominado interacción
representacional entre el estudiante y la configuración en el proceso de resolver
problemas de geometría.
A partir de la respuesta de cada estudiante (Figura 3.3.), en la fase I,
identificamos:
• Evidencias de que los estudiantes han generado alguna aprehensión operativa
identificando alguna subconfiguración. Por ejemplo, en el problema 2, cuando el
estudiante indica de alguna manera que está considerando los triángulos AED
y DCF (Figura 3.4.). Análogamente, en el problema 3 las posibles
subconfiguraciones que pueden ser reconocidas son: BDC y BEC (a);
BAD y EAC (b); o bien, BEF, FDC y BFC (c).
• Si los estudiantes reconocían los objetos geométricos dados como datos del
problema en la configuración. Por ejemplo, en el problema 2, si indicaban que
los ángulos ∡AED y ∡DFC eran rectos por ser AE⏊BF y CF⏊BF, es decir, si
identificaban los ángulos ∡AED y ∡DFC como congruentes (Figura 3.5.); que
los segmentos AD y DC son congruentes por ser BD mediana de ABC (Figura
3.6.); que los ángulos ∡ADE y ∡FDC son congruentes por ser opuestos por el
vértice en D (Figura 3.7.)
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
82
Las figuras siguientes muestran un ejemplo de cómo, a partir del el texto escrito
(Figura 3.3.), identificamos los elementos geométricos y relaciones usadas en la
respuesta de un estudiante al problema 2. En primer lugar, se comprueba que ha
generado una aprehensión operativa identificando alguna subconfiguración relevante
(Figura 3.4.); a continuación, se buscan evidencias en el discurso generado por el
estudiante de una asociación directa de elementos geométricos a la configuración
(Figuras 3.5., 3.6. y 3.7.).
Figura 3.3. Respuesta del alumno 41 al problema 2 (A41P2E1).
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
83
Figura 3.4. En la fase I del análisis se comprueba que el estudiante ha generado una aprehensión operativa identificando alguna subconfiguración relevante (triángulos
AED y DCF).
Figura 3.5. Evidencia en el discurso generado por el estudiante de una asociación
directa de elementos geométricos a la configuración; en este caso, utilizando el conocimiento geométrico «definición de perpendicularidad» (CA2).
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
84
Figura 3.6. El análisis continúa en la fase I con la identificación de nuevas evidencias en el discurso escrito; en este caso, utilizando el conocimiento geométrico «definición
de mediana de un triángulo» (CA3).
Figura 3.7. Utilización del conocimiento geométrico «ángulos opuestos por el vértice
son iguales» (CA4) para inferir que los ángulos ∡ADE y ∡FDC son congruentes.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
85
Finalmente, mediante un esquema gráfico se resume la identificación de la
subconfiguración relevante y el reconocimiento de los objetos geométricos dados como
datos del problema en la configuración inicial, según se muestra a continuación en la
Figura 3.8.
Figura 3.8. En la fase I del análisis, el discurso textual generado por el estudiante es
descompuesto en unidades de análisis (ADi = Aprehensión Discursiva; AOi = Aprehensión Operativa).
3.1.3.2. Fase II: identificación de la organización establecida entre los hechos
geométricos en la resolución de la prueba
En la segunda fase del análisis identificamos en el discurso escrito de los
estudiantes la utilización de conocimiento externo a los datos del problema para inferir
nueva información, así como el uso de varios hechos geométricos que se relacionan
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
86
mediante cadenas deductivas “si… entonces…”, primando en este caso las relaciones
lógicas.
En la segunda fase, el texto de los estudiantes fue agrupado en dos momentos del
proceso de resolución:
• Visualización: cuando los estudiantes asocian afirmaciones matemáticas
(datos del problema o información nueva) a la configuración mediante
aprehensiones discursivas y operativas entre varios hechos geométricos.
• Organización de las proposiciones: cuando los estudiantes encadenan
lógicamente proposiciones para inferir/probar hechos.
De esta manera, consideramos cómo los estudiantes para maestro asocian a la
configuración afirmaciones matemáticas, procedentes de los datos del problema u
obtenidas como nueva información, y las integran en su discurso para explicitar lo que
van a considerar como premisas de una cadena deductiva. La identificación de la
subconfiguración y las organizaciones de las proposiciones derivadas buscaba reconocer
la manera en la que los estudiantes relacionaban los contenidos geométricos para
generar procesos deductivos (Prusack et al., 2012). Para ello, considerábamos cómo el
estudiante organizaba las proposiciones (afirmaciones matemáticas, entendidas como
definiciones, teoremas, corolarios, propiedades geométricas, etc.), que le permitían usar
las afirmaciones matemáticas que había identificado como hipótesis de algún teorema o
proposición conocido. Es en este paso en el que los estudiantes que realizan un
truncamiento del razonamiento configural tienen en cuenta los hechos geométricos que
están considerando como premisas de teoremas, en este caso los criterios de
congruencia de triángulos, para deducir información nueva sobre la configuración (lo
que había que probar).
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
87
De esta manera pudimos identificar:
• Si los estudiantes usaban un conocimiento externo a los datos del problema
para generar información adicional. Por ejemplo, en el problema 2,
si utilizaban el hecho de que los ángulos interiores de un triángulo suman
180º, y por tanto, conocidos dos ángulos en un triángulo podemos conocer
el tercero (Figura 3.9.)
Figura 3.9. En la fase II del análisis identificamos si el estudiante utiliza un
conocimiento externo a los datos del problema para generar información adicional; en este caso, usando el conocimiento geométrico «suma de los ángulos internos de un
triángulo es igual a 180º» (CA8).
• Si los estudiantes volvían a usar un hecho geométrico externo a los datos del
problema para generar información adicional sobre la configuración, utilizando
información obtenida previamente como premisas en una cadena deductiva. Por
ejemplo, si usaban el criterio de congruencia de triángulos A-L-A al reconocer la
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
88
información reunida en la configuración como premisas de este criterio de
congruencia (Figura 3.10.)
Figura 3.10. El estudiante utiliza información obtenida previamente como premisas en una cadena deductiva, usando el conocimiento geométrico «criterio de congruencia de
triángulos A-L-A» (CA9).
La Figura 3.11. recoge de manera gráfica lo obtenido en la fase II, agrupando las
unidades de análisis del discurso textual generado por el estudiante en un segundo
momento del proceso de razonamiento configural:
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
89
Figura 3.11. El discurso textual generado por el estudiante es descompuesto en
unidades de análisis y se agrupa en un segundo momento del proceso de razonamiento configural.
Mientras que en la fase I del análisis, desde el texto escrito identificamos los
elementos geométricos y relaciones usadas en la respuesta a cada problema para mostrar
la coordinación de las aprehensiones discursivas y operativas que inferíamos realizaba
el estudiante, en la fase II, agrupamos los diferentes pasos del proceso de resolución en
dos momentos para identificar el razonamiento configural y la generación de relaciones
lógicas entre los hechos geométricos, al llegar a considerar algunos ítems de
información como premisas de alguna proposición o teorema geométrico. De esta
manera, podíamos identificar cuándo el resolutor establecía una relación lógica entre los
hechos geométricos vinculados a la configuración y deducía el hecho geométrico que
había que probar. De este modo pudimos identificar los momentos en los que los ítems
de conocimiento pueden desempeñar papeles diferentes, desde lo configural a
desempeñar un estatus lógico en un proceso deductivo, y la manera en la que los
estudiantes usaban las configuraciones en cada una de las trayectorias de resolución
seguidas.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
90
La Figura 3.12. muestra el producto de la fase II del análisis que nos permite
determinar características del razonamiento configural, que se apoya en la coordinación
de los procesos de visualización (aprehensión operativa y aprehensión discursiva). Esta
forma de proceder permite, por ejemplo, en el análisis de la respuesta A41P2E1,
reconocer que el razonamiento configural se inicia con la identificación de una
subconfiguración relevante mediante una aprehensión operativa (AO0), en la que
desempeña un papel importante la figura prototípica de triángulo rectángulo. A
continuación, comienzan una serie de coordinaciones sucesivas entre aprehensiones
operativas y discursivas (AO1-AD1, AO2-AD2, AO3-AD3) definidas por la obtención de
información a partir de los datos del problema, gracias a la asociación directa de
elementos geométricos a la configuración inicial, que gráficamente se representa
mediante aprehensiones discursivas de las que únicamente salen flechas.
Posteriormente, se identifican dos momentos del proceso de razonamiento configural;
en el segundo de estos momentos aparecen coordinaciones entre aprehensiones
operativas y discursivas (AO4-AD4, AO5-AD5) en las que se recurre a elementos
geométricos susceptibles de ser usados para inferir información adicional, relacionando
los hechos geométricos mediante cadenas lógicas de inferencias “si… entonces…”,
produciéndose el «truncamiento» en este tipo de coordinaciones y, posteriormente, el
alumno consigue obtener las conclusiones que le permiten resolver deductivamente el
problema.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
91
Figura 3.12. Ejemplo de esquema gráfico del razonamiento configural obtenido tras
realizar las fases I y II del análisis a la respuesta del alumno 41 al problema 2 (A41P2E1).
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
92
Además, hicimos un análisis adicional de la forma del discurso comparando las
distintas respuestas relativas a la identificación de la subconfiguración y la organización
de las proposiciones derivadas, permitiendo explicar de qué manera inicialmente los
contenidos geométricos elementales son relacionados y vinculados a configuraciones
mediante procesos de visualización, para posteriormente, generar procesos deductivos.
En esta etapa también consideramos la forma del discurso que los estudiantes
generaban reflejando un mayor o menor apoyo en la representación gráfica de las
configuraciones (Figura 3.13.), o basándose en un discurso con lenguaje textual-
simbólico (Figuras 3.14. y 3.15), que podía depender del estilo cognitivo del estudiante
(Mayer y Massa, 2003). Esta manera de proceder nos permitía tener un registro de cómo
el estudiante se implicaba en comunicar el proceso de resolución. De este modo
consideramos las interacciones de los estudiantes con los sistemas semióticos (el
discurso escrito y las representaciones de las configuraciones) como instrumentales en
la resolución de los problemas de probar. Estas relaciones son las que intentamos
explorar con nuestros datos.
Figura 3.13. Fragmento de la respuesta del alumno 14 al problema 3 (A14P3E1) que
refleja una representación gráfica de la subconfiguración relevante.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
93
Figura 3.14. Fragmento de la respuesta del alumno 19 al problema 2 (A19P2E1), en la que utiliza una representación con formato mixto gráfico-texto de la subconfiguración
relevante.
Figura 3.15. Fragmento de la respuesta del alumno 33 al problema 2 (A33P2E1), que
identifica la subconfiguración relevante exclusivamente mediante lenguaje textual-simbólico.
3.2. Estudio 2
Los resultados obtenidos permitieron subrayar el papel clave que la
identificación de subconfiguraciones relevantes desempeñaba en definir trayectorias de
resolución caracterizadas por el uso de unos ítems de conocimiento geométrico
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
94
determinado. Esto generó una cuestión de investigación adicional que llevó a la
realización del estudio 2.
En el estudio 2, generado a partir de los resultados del estudio 1, intentamos
responder a la segunda pregunta de investigación: b) ¿Cuál es el papel de la
visualización (puesto de manifiesto al identificar una subconfiguración relevante) al
iniciar el razonamiento configural determinando una trayectoria de resolución?; así
como a una cuestión derivada: b1) ¿Qué relaciones existen entre la identificación de
figuras prototípicas y el conocimiento de geometría activado que permite iniciar el
razonamiento configural durante la resolución de problemas de probar?
3.2.1. Participantes y contexto
En el estudio 2 participaron 182 estudiantes para maestro que habían cursado
una asignatura sobre Sentido Geométrico entre los años 2012-2013, organizada
considerando los procesos cognitivos de visualización, construcción y prueba (Duval,
1999), con las mismas características de los alumnos del estudio 1.
3.2.2. Instrumentos de recogida de datos
Como parte de la evaluación del curso se pidió a los estudiantes que resolvieran
dos problemas de probar (Figura 3.16.) en los que se presentaba una configuración
geométrica e información de algunos hechos geométricos vinculados a la configuración.
Los problemas pedían probar la congruencia de dos segmentos en la configuración
dada. Para su resolución, los estudiantes debían desarrollar aprehensiones operativas y
discursivas para identificar alguna subconfiguración que les permitiera reconocer
hechos geométricos que podían relacionar para generar la prueba.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
95
Problema 1 Problema 2
Dado el triángulo ABC de la figura, con AB≡AC y ∡RCB≡∡TBC. Probar que RC≡BT
En la figura, AM es bisectriz de ∡CAB, ACB es un triángulo rectángulo en C y MN⏊AB en N. Probar que CM≡MN
Figura 3.16. Problemas de probar en el estudio 2.
De la misma manera que en el estudio 1, se pidió a un grupo de formadores de
maestros que presentaran diferentes alternativas para la resolución de los problemas en
el contexto en el que se encuentran los resolutores, con el objetivo de identificar los
hechos geométricos que definían los problemas y que podrían usarse para resolverlos.
En la Tabla 3.2., indicamos primero los elementos geométricos que podían proceder de
realizar asociaciones directas de elementos geométricos a la configuración a partir de
los datos del problema; y, en segundo lugar, los elementos geométricos susceptibles de
ser usados para inferir información adicional.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
96
Tabla 3.2. Conocimiento geométrico susceptible de ser utilizado en ambos problemas del estudio 2 (CAi= código usado para indicar el ítem de conocimiento geométrico
susceptible de ser usado en algún momento de la resolución de los problemas). Problema 1 Problema 2
Asociación directa de elementos geométricos a la configuración:
(CA1) Definición de triángulo (CA4) Ángulos opuestos por el vértice
son congruentes
Elementos geométricos susceptibles de ser usados para inferir información adicional:
(CA2) Caracterización de triángulo isósceles (dos lados congruentes, y por tanto, dos ángulos congruentes). En un triángulo, los ángulos opuestos a dos lados congruentes son congruentes y los lados opuestos a dos ángulos congruentes son congruentes
(CA3) Propiedad aditiva de los ángulos congruentes (si a dos ángulos congruentes se les resta la misma parte lo que queda son ángulos congruentes)
(CA9) Criterio de congruencia de triángulos A-L-A
Asociación directa de elementos geométricos a la configuración:
(CA1) Definición de triángulo (CA5) Definición de bisectriz de un
ángulo (es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes congruentes)
(CA6) Definición de rectas perpendiculares
(CA7) Definición de triángulo rectángulo
Elementos geométricos susceptibles de ser usados para inferir información adicional:
(CA8) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º (conocidos dos ángulos en un triángulo, conocemos el tercero)
(CA9) Criterio de congruencia de triángulos A-L-A
En las configuraciones iniciales de los dos problemas se pueden identificar
subconfiguraciones que logran ayudar a la generación de diferentes trayectorias de
resolución (Mesquita, 1998). En la Figura 3.17. mostramos las posibles
subconfiguraciones relevantes que podían ser identificadas en los problemas del estudio
2 mediante alguna aprehensión operativa, y que podían permitir reconocer triángulos
con ángulos congruentes y lados congruentes como premisas de alguno de los criterios
de congruencia de triángulos.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
97
Problema 1 Problema 2
Figura 3.17. Posibles subconfiguraciones consideradas en la resolución de los problemas del estudio 2.
Las subconfiguraciones relevantes de los dos problemas (tres en el problema 1 y
una en el problema 2) tienen características heurísticas diferentes. Las
subconfiguraciones “a” y “b” en el problema 1 se solapan en la configuración inicial
por lo que requieren una aprehensión operativa para visualizarlas por separado; mientras
que la subconfiguración “c” en el problema 1 y la subconfiguración del problema 2
podían ser consideradas parte de la configuración inicial. Además, la subconfiguración
“c” en el problema 1 carece de etiqueta para indicar el punto de intersección F de los
segmentos RC y BT lo que podría dificultar su identificación (Chen y Herbst, 2013).
Otro aspecto relevante a considerar es la figura inicial del problema 1, donde se muestra
el triángulo ABC isósceles (AB≡AC) representado en una posición no prototípica, que
puede dificultar su reconocimiento para algunos estudiantes. Asimismo, en la única
subconfiguración del problema 2, el triángulo rectángulo ACM se muestra en su
representación prototípica (sus lados perpendiculares son paralelos a los bordes del
papel en que está dibujado), lo que facilitaría su identificación (Hershkowitz, 1989).
Estas características eran similares a las de los problemas usados en el estudio 1
excepto que en este caso, como ya se ha indicado, el triángulo isósceles del problema 1
está en una posición no prototípica, mientras que en el estudio 1 se presentaba el
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
98
triángulo isósceles en su posición prototípica. Esta modificación en una de las
características de la configuración presentada, estaba pensada para intentar obtener
información adicional sobre el papel que puede desempeñar la identificación de una
subconfiguración relevante al inicio del razonamiento configural, generando una
determinada trayectoria de resolución.
3.2.3. Análisis
Los datos usados en esta investigación son las respuestas dadas por los
estudiantes a estos dos problemas. Inicialmente identificamos en el discurso textual
generado en cada resolución los elementos significativos (unidades de análisis), que
indicaban cómo el estudiante estaba construyendo su argumentación como
consecuencia de algunas aprehensiones operativas y discursivas y su coordinación. El
análisis se realizó en tres fases siguiendo el estudio 1, que describimos a continuación.
3.2.3.1. Realización de las Fases I y II: identificación de elementos relevantes y su
organización en la resolución de la prueba
Análogamente a lo descrito en el estudio 1, a partir de la respuesta de cada
estudiante, en la fase I, identificamos:
• Evidencias de que los estudiantes han generado alguna aprehensión operativa
identificando alguna subconfiguración. Por ejemplo, en el problema 1 y según la
subconfiguración reconocida, cuando el estudiante indica de alguna manera que
está considerando los triángulos RCB y TBC (subconfiguración “a");
ATB y ARC (“b”); o bien, CFB, RFB y TFC (“c”). Análogamente,
en el problema 2 cuando tienen en cuenta los triángulos ACM y AMN.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
99
• Si los estudiantes reconocían los objetos geométricos dados como datos del
problema en la configuración. Por ejemplo, si en el problema 1 y para la
subconfiguración “c”, reconocían que los ángulos ∡RFB y ∡TFC son
congruentes por ser opuestos por el vértice F. De la misma manera en el
problema 2, si indicaban que la bisectriz del ángulo ∡CAB determinaba dos
ángulos iguales en ∡A, es decir, si identificaba los ángulos ∡CAM y ∡MAN
como congruentes; que el ángulo ∡C era recto por ser ACB un triángulo
rectángulo en C, y que el ángulo ∡N era recto por ser MN perpendicular a AB;
que el segmento AM es común a los triángulos ACM y AMN.
En la fase II, identificamos:
• Si los estudiantes usaban un conocimiento externo a los datos del problema
para generar información adicional. Por ejemplo, en el problema 1,
si utilizaban el hecho de que si el triángulo ACB tiene los lados AB y
AC congruentes implica que es isósceles, y por tanto, los ángulos ∡TCB y
∡RBC también serán congruentes;
si el triángulo CFB tiene los ángulos ∡FBC y ∡FCB congruentes (dato
del problema, ya que estos ángulos son los mismos que ∡RCB y ∡TBC),
implica que es isósceles, y por tanto, los lados BF y CF también serán
congruentes;
si a dos ángulos congruentes (∡TCB y ∡RBC) se les resta la misma parte
(∡RCB y ∡TBC), lo que queda son ángulos congruentes (∡BAT y ∡CAR).
Análogamente, en el problema 2,
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
100
si utilizaban el hecho de que los ángulos interiores de un triángulo suman
180º, y por tanto, conocidos dos ángulos en un triángulo podemos conocer
el tercero.
• Si los estudiantes volvían a usar un hecho geométrico externo a los datos del
problema para generar información adicional sobre la configuración, utilizando
información obtenida previamente como premisas en una cadena deductiva. Por
ejemplo, si usaban el criterio de congruencia de triángulos A-L-A al reconocer la
información reunida en la configuración como premisas de este criterio de
congruencia.
3.2.3.2. Fase III: asociación de un vector a la respuesta del alumno con el fin de
identificar diferentes trayectorias de resolución
En la fase III, a la respuesta del alumno a cada problema se le asoció un 3-vector
(Lin y Yang, 2007) V [(1),(2),(3)] según el criterio descrito en las Tablas 3.3. y 3.4., con
el fin de identificar diferentes trayectorias de resolución vinculadas a los problemas
analizados, y definidas por la manera en la que se usaban los diferentes ítems de
conocimiento de geometría necesarios para su resolución. A partir de aquí, describimos:
• Las trayectorias de resolución seguidas vinculadas a cada configuración, lo
que nos permitió identificar los momentos en los que los ítems de conocimiento
pueden desempeñar papeles diferentes, desde lo configural a desempeñar un
estatus lógico en un proceso deductivo.
• La manera en la que los estudiantes usaban las configuraciones en cada una de
las trayectorias de resolución seguidas.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
101
Tabla 3.3. Descripción, puntuación e identificación del conocimiento activado en el proceso de resolución del problema 1.
Ítem Descripción Puntuación Conocimiento activado
(1) Identificación de una subconfiguración relevante (a, b, c)
0: no identifica 1: sí identifica
-Triángulo (CA1)
(2) Identificación de ítems de conocimiento susceptibles de ser usados como hipótesis para aplicar un teorema (premisas en una cadena deductiva). Dos tipos de ítems:
- Obtenidos directamente a partir de los datos del problema y vinculados a una sub-configuración determinada:
“a” “b” “c” H1: BC≡BC H1: AB≡AC H1: ∡RFB≡∡TFC H2: ∡RCB≡∡TBC H2: ∡BAT≡∡CAR H2: ∡FCB≡∡FBC
-Obtenidos a partir de conocimiento geométrico previo:
“a” “b” “c” H3: ∡TCB≡∡RBC H3: ∡ACR≡∡ABT H3: BF≡CF H4: ∡RBF≡∡TCF
0: no identifica
1: identifica H1 y H2
2: identifica H1, H2 y H3 (“a” y “b”), identifica H1, H2, H3 y H4 (“c”)
-Ángulos opuestos por el vértice son iguales (CA4) -Triángulo isósceles: tiene dos ángulos congruentes y por tanto dos lados congruentes (CA2) -Ángulo (si a dos ángulos congruentes se les resta la misma parte, lo que queda son ángulos congruentes) (CA3)
(3) Obtención de conclusiones:
“a” “b” “c” C1: RCB≡TBC C1: ATB≡ARC C1: RFB≡TFC
(menciona la utilización del criterio A-L-A) para derivar…
C2: RC≡BT (menciona la utilización del criterio de congruencia de triángulos)
0: no obtiene conclusiones
1: obtiene C1 y C2
-Congruencia de triángulos (criterio A-L-A) (CA9)
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
102
Tabla 3.4. Descripción, puntuación e identificación del conocimiento activado en el proceso de resolución del problema 2.
Ítem Descripción Puntuación Conocimiento activado
(1) Identificación de una subconfiguración relevante
0: no identifica
1: sí identifica
-Triángulo (CA1)
(2) Identificación de ítems de conocimiento susceptibles de ser usados como hipótesis para aplicar un teorema (premisas en una cadena deductiva). Dos tipos de ítems:
- Obtenidos directamente a partir de los datos del problema:
H1: AM≡AM H2: ∡ACM≡∡ANM H3: ∡CAM≡∡MAN
-Obtenido a partir de conocimiento de geometría previo:
H4: ∡CMA≡∡AMN
0: no identifica
1: identifica H1, H2 y H3
2: identifica H1, H2, H3 y H4
-Bisectriz (semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales) (CA5)
-Definición de rectas perpendiculares (CA6)
-Definición de triángulo rectángulo (CA7)
-Ángulo (la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º) (CA8)
(3) Obtención de conclusiones:
C1: ACM≡AMN (menciona la utilización del criterio A-L-A) para derivar…
C2: CM≡MN (menciona la utilización del criterio de congruencia de triángulos)
0: no obtiene conclusiones
1: obtiene C1 y C2
-Congruencia de triángulos (criterio A-L-A) (CA9)
Para ilustrar el proceso seguido en la fase III, en la Figura 3.18. y en la Tabla
3.5. mostramos cómo hemos realizado la asociación del vector a la respuesta del alumno
16 al problema 2. En este caso aplicaríamos la Tabla 3.4. y comprobaríamos en primer
lugar si el estudiante ha identificado alguna subconfiguración relevante; asignando una
puntuación de 1 a la primera componente del vector en caso afirmativo. A continuación,
debemos buscar evidencias en el discurso escrito de que el estudiante ha reconocido los
ítems de conocimiento susceptibles de ser usados como hipótesis para aplicar un
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
103
teorema (premisas en una cadena deductiva), tanto los obtenidos directamente a partir
de los datos del problema, como aquellos derivados a partir de conocimiento de
geometría previo. Asignando una puntuación de 2 a la segunda componente del vector
en caso de cumplirse estos requisitos. Finalmente, verificaríamos las conclusiones, en
este caso si usa correctamente el criterio de congruencia de triángulos A-L-A; asignando
una puntuación de 1 a la tercera componente del vector si consigue resolver
deductivamente el problema.
Figura 3.28. Ejemplo de la asociación de un vector en la fase III del análisis a la
respuesta del alumno 16 al problema 2 (A16P2E2).
La Tabla 3.5. resume la asignación del vector a este caso particular.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
104
Tabla 3.5. Resumen de la información del vector (el estudiante para maestro ha generado un truncamiento del razonamiento configural y ha resuelto deductivamente el
problema). Código Ítem Descripción
(problema 2) Puntuación Conocimiento
activado Vector
A16P2E2
(1) Identifica: ACM y AMN
1 CA1
V[1,2,1] (genera
truncamiento y resuelve el problema)
(2)
Obtiene: H1: AM≡AM H2: ∡ACM≡∡ANM H3: ∡CAM≡∡MAN H4: ∡CMA≡∡AMN
2 CA5 CA6 CA7 CA8
(3) Obtiene: C1: ACM≡AMN C2: CM≡MN
1 CA9
De la misma manera considerando el problema 1 (en el que existen tres posibles
subconfiguraciones relevantes), mostramos el análisis de los distintos casos observados:
Caso 1: no identifica ninguna subconfiguración relevante (Figura 3.19.) y, por
tanto, no inicia el razonamiento configural.
Caso 2: reconoce alguna de las tres posibles subconfiguraciones relevantes (“a”,
“b” y “c”), lo que le permite iniciar el razonamiento configural aunque
desemboca en un bucle (Figura 3.20.).
Caso 3: reconoce alguna subconfiguración relevante, genera un truncamiento
pero no consigue la resolución del problema (Figura 3.21.).
Caso 4: reconoce alguna subconfiguración relevante, genera un truncamiento y
resuelve deductivamente el problema (Figura 3.22.).
Caso 1: no inicia el razonamiento configural. En el ejemplo expuesto
seguidamente (Figura 3.19.), observamos que el estudiante identifica los triángulos
ATB y TBC; sin embargo, esta subconfiguración no es relevante, lo que le impide
iniciar el razonamiento configural que le permita concebir una trayectoria de resolución
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
105
satisfactoria. En la Tabla 3.6. mostramos cómo hemos realizado la asociación del vector
a la respuesta del alumno.
Figura 3.19. Respuesta del alumno 39 al problema 1 (A39P1E2), en la que no identifica
ninguna subconfiguración relevante.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
106
Tabla 3.6. Resumen de la información del vector en el caso 1. Código Ítem Descripción
(problema 1) Puntuación Conocimiento
activado Vector
A39P1E2
(1)
No identifica ninguna subconfiguración relevante
0 --- V[0,0,0]
(no inicia el razonamiento
configural) (2) H1: --- H2: --- H3: ---
0 ---
(3) C1: --- C2: --- 0 ---
Caso 2: bucle. La Figura 3.20. presenta la respuesta de un estudiante que
mediante una aprehensión operativa reconoce los triángulos ARC y BTA, es decir,
identifica la subconfiguración relevante “b”. Posteriormente, activa el conocimiento
geométrico «definición de triángulo» (CA1), obteniendo directamente a partir de los
datos del problema: AC≡AB y ∡A común (denotado como ∡BAT≡∡CAR en la Tabla
3.3.), pero admite una propiedad sin demostración:∡ABT≡∡RCA. A partir de aquí, se
produce una situación de bloqueo que no le permite avanzar en la resolución del
problema, generando un bucle. En la Tabla 3.7. exponemos cómo hemos realizado la
asociación del vector a la respuesta del alumno.
Figura 3.20. Respuesta del alumno 15 al problema 1 (A15P1E2), que identifica la
subconfiguración “b” y su razonamiento configural desemboca en un bucle.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
107
Tabla 3.7. Resumen de la información del vector en el caso 2. Código Ítem Descripción
(problema 1) Puntuación Conocimiento
activado Vector
A15P1E2
(1) Identifica (“b”): ARC y BTA 1 CA1
V[1,1,0] (genera bucle)
(2)
Obtiene: H1:AB≡AC H2: ∡BAT≡∡CAR H3: (sin justificar)
1 CA1
(3) C1: --- C2: --- 0 ---
Caso 3: truncamiento sin resolución. La Figura 3.21. muestra una respuesta en
la que primero, mediante una aprehensión operativa, el estudiante representa
gráficamente los triángulos BRC y BCT que se corresponden con la
subconfiguración relevante “a”. A continuación, activa el conocimiento geométrico
«definición de triángulo» (CA1), obteniendo directamente a partir de los datos del
problema: BC≡BC y ∡RCB≡∡TBC. Seguidamente, infiere nueva información a partir de
conocimiento geométrico previo activando la «caracterización de triángulo isósceles
(dos lados congruentes, y por tanto, dos ángulos congruentes)» (CA2), para obtener
∡ABC≡∡ACB (denotado como ∡TCB≡∡RBC en la Tabla 3.3.); información que usa
posteriormente al activar la «propiedad aditiva de los ángulos congruentes (si a dos
ángulos congruentes se les resta la misma parte lo que queda son ángulos congruentes)»
(CA3), para obtener ∡ABT≡∡ACR. Seguidamente, menciona el criterio de congruencia
de triángulos A-L-A, pero lo aplica incorrectamente (dos triángulos son congruentes si
tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos), ya que utiliza como
una de las premisas ∡ABT≡∡ACR en lugar de ∡TCB≡∡RBC. Asimismo, el hecho de
que un estudiante mencione un conocimiento geométrico no es condición suficiente
para evidenciar que este conocimiento se haya activado, ya que debe aplicarlo
correctamente. Por tanto, en este ejemplo (Figura 3.24.), en el análisis realizado hemos
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
108
considerado que el alumno no ha activado el conocimiento geométrico «congruencia de
triángulos (criterio A-L-A)» (CA9).
Con anterioridad hemos descrito que el truncamiento se origina cuando se
producen coordinaciones entre aprehensiones operativas y discursivas en las que se
recurre a elementos geométricos susceptibles de ser usados para inferir información
adicional, gracias a la activación de conocimiento geométrico previo (ajeno a los datos
del problema), relacionando los hechos geométricos mediante cadenas lógicas de
inferencias “si… entonces…”. En esta situación inferimos que la obtención de
∡ABC≡∡ACB y ∡ABT≡∡ACR se produce mediante la generación de un truncamiento,
pero al aplicar mal el criterio A-L-A el estudiante no consigue resolver el problema. En
la Tabla 3.8. presentamos cómo hemos realizado la asociación del vector a la respuesta
del alumno.
Figura 3.21. Respuesta del alumno 4 al problema 1 (A4P1E2), que identifica la subconfiguración “a” y su razonamiento configural genera un truncamiento sin
resolución del problema.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
109
Tabla 3.8. Resumen de la información del vector en el caso 3. Código Ítem Descripción
(problema 1) Puntuación Conocimiento
activado Vector
A4P1E2
(1) Identifica (“a”): RCB y TBC 1 CA1
V[1,2,0] (genera
truncamiento sin
resolución)
(2) H1: BC≡BC H2: ∡RCB≡∡TBC H3: ∡TCB≡∡RBC
2 CA2 CA3 (CA3 es innecesario)
(3) C1: (aplica mal A-L-A) C2: --- 0 ---
Caso 4: truncamiento con resolución. Por último, la Figura 3.22. refleja una
respuesta en la que el estudiante identifica los triángulos BDC, RDB y TDC que
conforman la subconfiguración relevante “c”. Activa los conocimientos geométricos
«definición de triángulo» (CA1) y «ángulos opuestos por el vértice son iguales» (CA4),
obteniendo directamente a partir de los datos del problema: ∡RDB≡∡TDC y
∡ABD≡∡ACD (denotado como ∡FBC≡∡FCB en la Tabla 3.3.). También activa los
conocimientos geométricos: «caracterización de triángulo isósceles (dos lados
congruentes, y por tanto, dos ángulos congruentes)» (CA2); y «propiedad aditiva de los
ángulos congruentes (si a dos ángulos congruentes se les resta la misma parte lo que
queda son ángulos congruentes)» (CA3); obteniendo: BD≡CD y ∡ABD≡∡ACD
(denotado como ∡RBF≡∡TCF en la Tabla 3.3.), a partir de conocimiento geométrico
previo y generando un primer truncamiento. Posteriormente, activa el conocimiento
geométrico «congruencia de triángulos (criterio A-L-A)» (CA9), y obtiene como
conclusiones: RDB≡TDC y RC≡BT, generando un nuevo truncamiento y
resolviendo deductivamente el problema. En la Tabla 3.9. mostramos cómo hemos
realizado la asociación del vector a la respuesta del alumno.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
110
Figura 3.22. Respuesta del alumno 9 al problema 1 (A9P1E2), que identifica la subconfiguración “c” y su razonamiento configural genera un truncamiento con
resolución del problema.
Tabla 3.9. Resumen de la información del vector en el caso 4. Código Ítem Descripción
(problema 1) Puntuación Conocimiento
activado Vector
A9P1E2
(1) Identifica (“c”): BDC, RDB y TDC
1 CA1 V[1,2,0] (genera
truncamiento con
resolución)
(2)
H1: ∡RFB≡∡TFC H2: ∡FCB≡∡FBC H3: BF≡CF H4: ∡RBF≡∡TCF
2 CA2 CA3 CA4
(3) C1: RFB≡TFC C2: RC≡BT
1 CA9
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
111
A modo de resumen, la Figura 3.23. refleja el proceso completo seguido
mediante las tres fases de análisis descritas. En las fases I y II, el discurso textual
generado por el estudiante es descompuesto en unidades de análisis y se agrupa en dos
momentos del proceso de razonamiento configural; posteriormente, en la fase III, se
asocia un vector a la respuesta del alumno con el fin de identificar diferentes
trayectorias de resolución.
3. Diseño de la Investigación Francisco Clemente Císcar
112
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
113
CAPÍTULO 4. RESULTADOS
En este capítulo describimos los resultados obtenidos tras el análisis efectuado
de las respuestas de los estudiantes a los problemas geométricos en los dos estudios
realizados. Los resultados del estudio 1, que está dirigido a responder a la primera
pregunta de investigación: a) ¿Cuáles son las características del razonamiento configural
desencadenado en la resolución de problemas geométricos de prueba? y a1) ¿Qué
relación existe entre la forma del discurso escrito creado por los estudiantes para
maestro al resolver problemas de geometría de probar y las características del
razonamiento configural generado?; los hemos organizado en tres secciones. En la
primera detallamos la clasificación de las respuestas en función del reconocimiento de
una subconfiguración relevante. En la segunda, describimos los dos momentos
significativos hallados en la resolución de problemas de probar. Por último, en la
tercera, describimos las características de los discursos escritos de los alumnos. Estos
resultados muestran la importancia del conocimiento de geometría y algunos aspectos
que dificultan frecuentemente el desarrollo del razonamiento configural que dieron paso
al estudio 2.
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
114
Los resultados del estudio 2, dirigido a responder a la segunda pregunta de
investigación: b) ¿Cuál es el papel de la visualización (puesto de manifiesto al
identificar una subconfiguración relevante) al iniciar el razonamiento configural
determinando una trayectoria de resolución? y b1) ¿Qué relaciones existen entre la
identificación de figuras prototípicas y el conocimiento de geometría activado que
permite iniciar el razonamiento configural durante la resolución de problemas de
probar?; los hemos estructurado en cuatro secciones. En la primera, explicamos la
relación entre el conocimiento de geometría y la identificación de las figuras
prototípicas en el inicio del razonamiento configural. En la segunda, describimos los
conocimientos geométricos activados en función de la subconfiguración identificada. En
la tercera, describimos la trayectoria de resolución vinculada a la subconfiguración
identificada. Finalmente, en la cuarta sección, a partir de la asociación de un vector a la
respuesta del alumno a cada problema (fase III del análisis), identificamos tres grupos
en las respuestas de los estudiantes; el primero formado por aquellos que no
identificaron una subconfiguración relevante y no iniciaron el razonamiento configural;
el segundo grupo lo constituyen los alumnos que sí identificaron una subconfiguración
relevante e iniciaron el razonamiento configural pero generaron un bucle; y el tercer
grupo lo integran los resolutores que identificaron una subconfiguración relevante e
iniciaron el razonamiento configural generando un truncamiento.
4.1. Resultados del Estudio 1
El objetivo del estudio 1 fue dar respuesta a: a) ¿Cuáles son las características
del razonamiento configural desencadenado en la resolución de problemas geométricos
de prueba? y a1) ¿Qué relación existe entre la forma del discurso escrito creado por los
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
115
estudiantes para maestro al resolver problemas de geometría de probar y las
características del razonamiento configural generado?
4.1.1. Reconocimiento de una subconfiguración relevante
Para estudiar la relación entre la identificación de un subconfiguración relevante
y el desarrollo del razonamiento configuracional, en la Tabla 4.1. se muestran los
resultados relativos a los estudiantes que fueron capaces de generar un truncamiento y
resolver el problema de probar teniendo en cuenta si habían identificado alguna
subconfiguración relevante en cada uno de los problemas (Figura 4.1.).
Tabla 4.1. Desarrollo del razonamiento configural con respecto a la identificación o no de una subconfiguración relevante.
Sí identifica una subconfiguración
No identifica una subconfiguración Total
Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle
P2 59 27 0 11
86 (88.7%)
11 (11.3%)
97 (100%)
P3 41 38 0 18
79 (81.4%)
18 (18.6%)
97 (100%)
Total 165 (85%)
29 (15%)
194 (100%)
Los dos problemas tuvieron diferentes porcentajes de éxito (truncamiento). El
problema 2 tuvo una tasa de éxito del 60,8% (59 de un total de 97 estudiantes), mientras
que en el problema 3 fue del 42,3% (41 de 97). De las 194 respuestas, en 165 (85%) se
identificó alguna subconfiguración relevante; mientras que en 29 respuestas (15%) no se
identificó ninguna configuración. El porcentaje de identificación de alguna
subconfiguración relevante fue similar para ambos problemas: 88,7% para el problema
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
116
2 y 81,4% para el problema 3. En estos resultados se observa que cuando los estudiantes
no identificaron ninguna subconfiguración no pudieron resolver el problema, por lo que
la identificación de una subconfiguración parece ser una condición necesaria para el
inicio del razonamiento configural, que evidencia el papel desempeñado por la
identificación de una configuración en el desencadenamiento de un proceso de prueba
geométrica en este tipo de problemas.
Sin embargo, la identificación de una subconfiguración no garantiza generar un
proceso deductivo correcto. En el problema 2, de los 86 estudiantes que identificaron
una subconfiguración solo 59 (68,6%) fueron capaces de resolver el problema; mientras
que en el problema 3, de los 79 estudiantes que identificaron una subconfiguración, 41
(51,8%) resolvieron el problema.
Problema 2 Problema 3
Figura 4.1. Subconfiguraciones relevantes inicialmente consideradas en el diseño de
los problemas del cuestionario del estudio 1.
Tomadas globalmente, el 39,4% (65 de 165) de las respuestas en las que se
identificó una subconfiguración relevante los alumnos fueron incapaces de crear un
proceso deductivo con éxito (generando bucle). Sin embargo, este porcentaje fue
diferente para los dos problemas: 31,4% para el problema 2 (27 de 86); y 48,1% para el
problema 3 (38 de 79).
El hecho de que el problema 3 tuviera tres subconfiguraciones relevantes y un
pista perceptual (un triángulo resaltado en la figura inicial que podría facilitar que los
a
b
c
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
117
estudiantes identificaran una de los subconfiguraciones), plantea la cuestión de su
posible relación con la tasa de éxito generando un proceso deductivo correcto mediante
un truncamiento. Setenta y nueve estudiantes reconocieron alguna de las
subconfiguraciones del problema 3 (Tabla 4.2.), pero estas tres subconfiguraciones
fueron identificadas con frecuencias diferentes. La subconfiguración “a”, que incluía
una pista perceptual en forma de un triángulo resaltado, fue identificada con una mayor
frecuencia que las otras dos, con un porcentaje del 87,3% (69 de 79); mientras que las
subconfiguraciones “b” y “c” fueron identificadas con idéntico porcentaje del 6,3% (5
de 79 para cada subconfiguración). Sin embargo, la facilidad de reconocimiento de esta
subconfiguración no implicaba una mayor probabilidad de generar procesos deductivos.
En este caso, de los 69 estudiantes que identificaron la subconfiguración “a”, solamente
32 (46,4%) generaron procesos deductivos; al mismo tiempo, los 5 estudiantes que
identificaron la subconfiguración “b” generaron con éxito procesos deductivos (100%);
y de los 5 alumnos que identificaron la subconfiguración “c”, 4 (80%) lograron generar
procesos deductivos.
Estos datos parecen sugerir dos ideas. En primer lugar, que la identificación de
una subconfiguración relevante en el problema es una condición necesaria pero no
suficiente para su resolución. En segundo lugar, la pista perceptual (triángulo resaltado)
facilita la identificación de una subconfiguración relevante entre varias, pero al parecer
no garantiza el éxito en la solución del problema, ya que menos de la mitad de los
estudiantes para maestro que identificaron la subconfiguración “a” consiguieron
resolver el problema 3. En este caso, y teniendo en cuenta el conocimiento geométrico
susceptible de ser utilizado en ambos problemas (Tabla 3.1.), la diferencia en el nivel de
éxito indicaría que facilitar la identificación de una de las posibles subconfiguraciones
relevantes por medio de una pista perceptual no ayuda a desencadenar un proceso de
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
118
razonamiento configural correcto mediante un truncamiento. Este hecho nos lleva a
estudiar el papel de los conocimientos previos en el desarrollo del razonamiento
configural y el proceso de cadenas deductivas entre los hechos geométricos.
Tabla 4.2. Desarrollo del razonamiento configural con respecto a la identificación de un determinado tipo de subconfiguración relevante.
Problema 2 (n=86)
Problema 3 (n=79)
Configuración inicial
Subconfiguración relevante
Única
a b c
Identifica la subconfiguración
86 69 5 5
Truncamiento 59 32 5 4
Bucle 27 37 0 1
4.1.2. Dos momentos significativos en la resolución de problemas de probar
La Tabla 4.3. muestra los datos relativos a los estudiantes que identificaron una
subconfiguración relevante y asociaron hechos y propiedades geométricas previamente
conocidas a la configuración mediante aprehensiones discursivas. De las 165 respuestas
en las que se había identificado una subconfiguración relevante para la resolución del
problema, en 110 (66,6%) los estudiantes para maestro asociaron hechos y propiedades
geométricas a la figura, mientras que en 55 (33,4%) no fueron capaces de asociar algún
hecho geométrico a la configuración, es decir, que no generaron aprehensiones
discursivas. Además, en un 60,6% (100 de 165) de las respuestas se generaron
relaciones deductivas entre los hechos geométricos que derivaron en una prueba
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
119
deductiva, es decir, el razonamiento configural desembocó en un truncamiento; mientras
que en un 39,4% (65 de 165) de las respuestas los estudiantes no pudieron generar estas
relaciones deductivas, por lo que el razonamiento configural desembocó en un bucle.
Asimismo, el hecho de que en un 15,4% (10 de 65) de las respuestas en las que los
hechos geométricos se identificaron por medio de aprehensiones discursivas, pero que
generaron un proceso de razonamiento configural que desmbocó en un bucle, sugiere
que el tener conocimiento previo de las propiedades geométricas y asociar estas
propiedades con una configuración geométrica no garantiza la capacidad de generar un
proceso deductivo. Este hecho parece apuntar a la existencia de una diferencia cognitiva
entre la asociación de propiedades geométricas con una configuración y relacionar los
hechos y las propiedades geométricas deductivamente para inferir nueva información.
Tabla 4.3. Relación en cada problema entre la identificación de una subconfiguración relevante, el razonamiento configural y las aprehensiones discursivas (asociaron
hechos y propiedades geométricas previamente conocidas a la configuración mediante aprehensiones discursivas)
Sí desarrolla aprehensiones discursivas
(Sí asocia hechos y propiedades geométricas a la configuración)
No desarrolla aprehensiones discursivas
(No asocia hechos y propiedades geométricas a la configuración)
Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle P2 59 5 0 22 P3 41 5 0 33 P2+P3 100 10 0 55 Total 110
(66.6%) 55
(33.4%)
Tomados en conjunto, los datos de las Tablas 4.1., 4.2. y 4.3. sugieren que el
desarrollo del razonamiento configural se inicia con la identificación de una
subconfiguración relevante y a partir de aquí se originan dos momentos significativos
en la resolución de problemas de probar. El primer momento se produce cuando los
estudiantes asocian directamente afirmaciones matemáticas (datos del problema) a la
configuración mediante aprehensiones discursivas y operativas. El segundo momento se
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
120
produce cuando los resolutores encadenan de manera deductiva proposiciones para
inferir o probar hechos geométricos.
La Tabla 4.2. muestra que en el problema 2, de los 86 estudiantes que
identificaron la única subconfiguración relevante, 27 (31,3%) fueron incapaces de
generar un proceso deductivo (bucle). Del mismo modo, en la Tabla 4.3., se observa que
de estos 27 estudiantes cuyo razonamiento configural desembocó en un bucle, 5 de ellos
asociaron hechos y propiedades geométricas previamente conocidas a la configuración
mediante aprehensiones discursivas, pero no fueron capaces de establecer relaciones
entre estos hechos con el fin de iniciar un proceso deductivo. En el problema 3, de los
79 estudiantes que identificaron una subconfiguración relevante, 38 (48,1%) fueron
incapaces de generar un proceso deductivo (el razonamiento configural desembocó en
un bucle). De estos 38 estudiantes, 5 asociaron hechos geométricos a la
subconfiguración que podrían dar lugar a un proceso deductivo, pero no pudieron
relacionarlos de una manera que les permitiera generar un proceso deductivo a través
del truncamiento del razonamiento configural. Los otros 33 estudiantes no identificaron
hechos que podrían considerarse hipótesis de algún teorema o proposición conocido.
Además, el hecho de que el porcentaje en la identificación de una
subconfiguración relevante es muy similar para ambos problemas (Tabla 4.1: 88,7%
para P2, y 81,4% para P3), junto con que el porcentaje de aquellas respuestas en las que
se asociaron hechos y propiedades geométricas previamente conocidas a la
configuración y que desembocaron en un bucle también es similar (Tabla 4.3: para P2, 5
de 27, o 18,5%; y para P3, 5 de 38, o 13,1%), indica que la asociación de hechos
geométricos a la subconfiguración parece generar las diferencias entre el razonamiento
configural que desemboca en un truncamiento o en un bucle. Para estudiar esta
diferencia, hemos examinado conjuntamente los datos relativos a la generación del
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
121
razonamiento configural que desemboca en un truncamiento o en un bucle y el
conocimiento geométrico previo, que se manifiesta por la identificación o la falta de
identificación de hechos geométricos obtenidos mediante aprehensiones discursivas que
se encadenan lógicamente para inferir información nueva. Los datos de la Tabla 4.3.
sugieren que el desarrollo de aprehensiones discursivas es una condición necesaria para
que el razonamiento configural desemboque en un truncamiento y permita resolver
deductivamente el problema, pero no es una condición suficiente, ya que hay
estudiantes para maestro que desarrollaron estas aprehensiones discursivas pero su
razonamiento configural desembocó en un bucle.
En este momento, otra variable de interés para explicar estas características
generales del proceso de resolución desencadenado, era considerar si la manera en que
los resolutores comunicaban su proceso de resolución estaba determinado o no por estas
características identificadas.
4.1.3. Características del proceso de comunicación del razonamiento configural y
la prueba
En esta sección describimos las relaciones entre las formas que adopta el
discurso utilizado por los estudiantes para describir sus procesos de resolución y las
características del razonamiento configural desencadenado. Asimismo, valoramos el uso
de los estudiantes de los sistemas semióticos, es decir, el discurso escrito y las
representaciones de las configuraciones, entendiendo estos sistemas como
instrumentales en la resolución de los problemas de probar. Esta forma de actuar nos
posibilita tener un registro de la manera en que el alumno se involucra en comunicar el
proceso cognitivo desarrollado.
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
122
En la resolución escrita del problema los estudiantes crean un discurso que
puede apoyarse en la realización de marcas sobre la configuración inicial, mediante la
identificación y representación gráfica de una subconfiguración y/o generando un texto
con lenguaje textual-simbólico que refleja su razonamiento. El análisis del discurso
generado por los estudiantes que reconocían una subconfiguración relevante nos ha
permitido identificar tres formas del discurso. El contenido de este discurso hace
referencia a la configuración relevante sobre la que se apoya el razonamiento
configural, o a la identificación explícita de los hechos geométricos que pueden ser
susceptibles de relacionarse para generar cadenas de inferencias lógicas. Las tres formas
del discurso para dar cuenta de la resolución del problema las hemos denominado:
Gráfico, Texto, y un formato mixto Gráfico-Texto (Figuras 3.13., 3.14. y 3.15.). Por
ejemplo, en el caso de un formato mixto Gráfico-Texto, el alumno copia el dibujo y
marca en el mismo algunos elementos, sin embargo, la representación gráfica resulta
insuficiente para mostrar el reconocimiento de la subconfiguración relevante, por lo que
la evidencia de esta identificación se realiza con la ayuda del lenguaje textual-
simbólico.
La Tabla 4.4. muestra los resultados de este análisis en cada uno de los
problemas, considerando cuándo se generaba un truncamiento o un bucle.
Tabla 4.4. Formas de discurso generado.
Formas del discurso Total
Gráfico Gráfico-Texto Solo Texto Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle
P2 25 10 14 8 19 10 35 22 29 86
P3 30 27 4 4 7 7 57 8 14 79
Total 92 (55,8%) 30 (18,2%) 43 (26%) 165 (100%)
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
123
El análisis muestra que la forma gráfica del discurso es predominante con un
porcentaje del 55,8% (92 de 165) frente a las otras dos, cuyos porcentajes son del 26%
(43 de 165) en la forma solo texto; y del 18,2% (30 de 165) en la forma combinada
gráfico-texto. Una conclusión que resulta de estos datos es que aproximadamente en una
cuarta parte de las respuestas (26%), se realizaba un discurso categorizado como textual,
aunque en los dos problemas se mostraba en el enunciado un dibujo (figura inicial) con
la representación gráfica de la configuración.
Podemos resaltar dos aspectos en relación a las respuestas que generaron una
forma de discurso básicamente apoyada en texto. En primer lugar, la frecuencia de este
discurso textual fue distinta en los dos problemas. Mientras en el problema 2 el
porcentaje del discurso textual fue de 33,7% (29 de 86 respuestas), en el problema 3 fue
solo del 17,7% (14 de 79 respuestas). Sin embargo, esta relación se invierte cuando se
considera la presencia de la forma gráfica del discurso, ya que para el problema 2 se
obtiene un porcentaje del 40,7% (35 repuestas de 86), mientras que en el problema 3 fue
del 72,2% (57 respuestas de 79).
En segundo lugar, el efecto de producir un truncamiento o un bucle teniendo en
cuenta la forma de iniciar el discurso fue similar en términos globales (Tabla 4.5.). De
las 92 respuestas que desarrollaron un discurso básicamente gráfico, 55 de ellas (59,8%)
determinaron un truncamiento, mientras que de las 43 respuestas que desarrollaron un
discurso básicamente textual, 26 de ellas (60,5%) determinaron un truncamiento.
Finalmente, de las 30 respuestas con una forma de discurso mixta (gráfico-texto), 18 de
ellas (60%) determinaron un truncamiento.
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
124
Tabla 4.5. Forma del discurso y razonamiento configural. Formas del discurso Total
Gráfico Gráfico-Texto Solo Texto
Truncamiento 55 (59,8%)
18 (60%)
26 (60,5%)
99
Bucle 37 (40,2%)
12 (40%)
17 (39,5%)
66
Total (P2+P3) 92 (100%)
30 (100%)
43 (100%)
165
Esta semejanza se mantiene cuando se observa el comportamiento en los dos
problemas. En el problema 2, los porcentajes de respuestas que determinaron un
truncamiento en los diferentes formas de discurso fue: gráfico 71,4% (25 de 35
respuestas); gráfico-texto 63,6% (14 de 22 respuestas), y solo texto 65,5% (19 de 29
respuestas). Mientras que en el problema 3 fueron: gráfico 52,6% (30 de 57 respuestas);
gráfico-texto 50% (4 de 8 respuestas) y solo texto 50% (7 de 14 respuestas). Estos datos
sugieren que la forma que adopta el discurso en cada una de las respuestas, no indica
ninguna tendencia en la manera en la que los estudiantes pueden desarrollar relaciones
entre las propiedades y definiciones geométricas, que generan las cadenas lógicas de la
prueba y por tanto el truncamiento.
Los datos parecen apoyar la idea de la existencia de preferencias en los
resolutores que podían depender del estilo cognitivo del estudiante (Mayer y Massa,
2003), independientemente del problema, puestas de manifiesto al generar un
determinado tipo de discurso para dar cuenta del razonamiento seguido. Pero la
preferencia cognitiva del estudiante, exhibida en la forma que adopta el discurso que
genera, no parece estar relacionada con el nivel de éxito en la resolución de los
problemas.
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
125
4.2. Resultados del Estudio 2
Los resultados del estudio 1 generan preguntas en relación al papel que
desempeñan las figuras prototípicas y los conocimientos activados en función de las
subconfiguraciones identificadas, lo que dio paso al estudio 2 cuyo objetivo fue dar
respuesta a: b) ¿Cuál es el papel de la visualización (puesto de manifiesto al identificar
una subconfiguración relevante) al iniciar el razonamiento configural determinando una
trayectoria de resolución? y b1) ¿Qué relaciones existen entre la identificación de
figuras prototípicas y el conocimiento de geometría activado que permite iniciar el
razonamiento configural durante la resolución de problemas de probar?
La Tabla 4.6. muestra los resultados relativos a los estudiantes que fueron
capaces de generar un truncamiento en el problema de probar teniendo en cuenta si
habían identificado alguna subconfiguración relevante. Los dos problemas tuvieron
diferentes porcentajes de truncamiento. El problema 1 tuvo una tasa de truncamiento del
45,5% (82 de un total de 182 estudiantes), mientras que en el problema 2 fue del 58,8%
(107 de 182). De las 364 respuestas, en 329 (90,4%) se identificó alguna
subconfiguración relevante; mientras que en 35 respuestas (9,6%) no se identificó
ninguna configuración. El porcentaje de identificación de alguna subconfiguración
relevante fue similar para ambos problemas: 90,1% para el problema 1 y 90,7% para el
problema 2. En estos resultados se observa al igual que en el estudio 1, que cuando los
estudiantes no identificaron ninguna subconfiguración no pudieron resolver el
problema, por lo que la identificación de una subconfiguración parece confirmarse
como una condición necesaria para el inicio del razonamiento configural.
Los resultados obtenidos en el estudio 2 muestran que la identificación de una
subconfiguración no garantiza generar un proceso deductivo, ya que en el problema 1,
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
126
de los 164 estudiantes que identificaron una subconfiguración solo 82 (50%) fueron
capaces de generar un truncamiento; mientras que en el problema 2, de los 165
estudiantes que identificaron una subconfiguración, 107 (64,8%) generaron
truncamiento.
Tabla 4.6. Desarrollo del razonamiento configural en el estudio 2 con respecto a la identificación o no de una subconfiguración relevante.
Sí identifica una subconfiguración
No identifica una subconfiguración Total
Truncamiento Bucle Truncamiento Bucle
P1 82 82 0 18
164 (90.1%)
18 (9.9%)
182 (100%)
P2 107 58 0 17
165 (90.7%)
17 (9.3%)
182 (100%)
Total 329 (90.4%)
35 (9.6%)
364 (100%)
4.2.1. Influencia de las figuras prototípicas en el inicio del razonamiento configural
En el caso particular de los problemas de probar, la importancia de la
identificación de una subconfiguración durante la resolución de los problemas que en su
enunciado proporcionan una figura, radica en que ayuda a activar algunos
conocimientos de geometría frente a otros. Es decir, el acceso y uso del conocimiento de
geometría durante la resolución de problemas está influenciado por la naturaleza de las
relaciones que el resolutor haya establecido entre los ítems de conocimiento. Por tanto,
determinar cómo la identificación de una configuración permite movilizar determinados
ítems de conocimiento puede aportar información sobre la naturaleza de la relación
entre la visualización y el conocimiento usado de manera productiva durante la
resolución del problema (Chinnappan, 1998; Gal y Linchevski, 2010).
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
127
En el desarrollo de la coordinación entre las aprehensiones operativas y
discursivas y por tanto en el razonamiento configural que se desencadena mediante la
identificación de una subconfiguración relevante, desempeña un papel significativo la
figura prototípica que el estudiante es capaz de reconocer. Nuestro análisis ha permitido
describir distintos comportamientos en los estudiantes que determinan rasgos de la
influencia de las figuras prototípicas sobre el razonamiento configural (Tabla 4.7.).
Tabla 4.7. Comportamientos derivados de la influencia de las figuras prototípicas identificadas.
Problema Caso Figura prototípica
Descripción Subconfi-guración
Nº de respuestas
P1
1 Triángulo isósceles Rotación de la figura inicial b 9
2
Ángulos opuestos
por el vértice
Identifica el punto de intersección de los segmentos
TB y CR y sus ángulos correspondientes
a 2(1)
c 7
3 Triángulo rectángulo
Admite explícitamente una propiedad errónea (AC ⊥ BT y RC ⊥ AB) y marca los ángulos
rectos. Prioriza el aspecto intuitivo frente al formal por las características de la figura inicial
a 10
b 3
P2 4 Triángulo rectángulo
Rotación de una de las configuraciones (AMN)
representándola con los lados perpendiculares paralelos al
borde del papel
Única 18
(1) Estos dos estudiantes posteriormente también identifican la subconfiguración “a” continuando con esta trayectoria de resolución.
Sin embargo, la importancia de estos comportamientos no nos los da la
frecuencia con la que aparecen, sino la información que proporcionan para determinar la
manera en que la visualización y el conocimiento intervienen en la generación del
razonamiento configural. En relación al problema 1, hemos observado tres
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
128
comportamientos característicos vinculados a la influencia de las figuras prototípicas:
«triángulo isósceles», «ángulos opuestos por el vértice» y «triángulo rectángulo» (casos
1, 2 y 3 en la Tabla 4.6.). Con respecto al problema 2, hemos advertido un
comportamiento característico vinculado a la influencia de la figura prototípica:
«triángulo rectángulo» (caso 4 en la Tabla 4.6.). Las características de estos distintos
casos se describen a continuación.
• Caso 1: Influencia de la figura prototípica «triángulos isósceles» en el
problema 1. Figura prototípica de triángulo isósceles: rotación de la figura
inicial. De los 39 alumnos que en el problema 1 escogieron la subconfiguración
“b”, 9 realizaron una rotación de la figura inicial mediante una aprehensión
operativa para obtener la representación prototípica de triángulo isósceles
(Figura 4.2.). Esta manera de proceder no se ha observado en los estudiantes que
han escogido las subconfiguraciones “a” y “c”. La Figura 4.2. muestra las
representaciones realizadas por un estudiante que refleja la rotación de la figura
inicial, obteniendo a continuación la subconfiguración relevante “b”.
Figura 4.2. Fragmento de la respuesta del estudiante 1 al problema 1 (A1P1E2)
reflejando la influencia de la figura prototípica «triángulo isósceles».
• Caso 2: Influencia de la figura prototípica «ángulos opuestos por el vértice»
en el problema 1. Figura prototípica de ángulos opuestos por el vértice:
identificación de los segmentos TB y CR que intersecan en un punto P, «ángulos
opuestos por el vértice son congruentes». Siete de los 9 alumnos que en el
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
129
problema 1 escogieron la subconfiguración “c”, identificaron el punto de
intersección de los segmentos TB y CR y sus ángulos correspondientes (ángulos
opuestos por el vértice, Figura 4.3.). La Figura 4.3. expone la representación
realizada por un estudiante en la que se muestra la identificación de ángulos
opuestos por el vértice, obteniendo a continuación la subconfiguración relevante
“c” (en esta respuesta se observa que el estudiante realiza además una rotación
de la subconfiguración obtenida; falta representar BPC).
Figura 4.3. Fragmento de la respuesta del estudiante 32 al problema 1 (A32P1E2) reflejando la influencia de la figura prototípica «ángulos opuestos por el vértice».
• Caso 3: Influencia de la figura prototípica «triángulo rectángulo» en el
problema 1. Figura prototípica de triángulo rectángulo: el resolutor percibe
(erróneamente) en la figura inicial triángulos rectángulos, cree ver que AC ⊥ BT
y RC ⊥ AB; es decir, el estudiante admite una propiedad exclusivamente por las
características de la figura inicial, priorizando el aspecto perceptual frente al
formal (Figura 4.4.). La figura 4.4. muestra las representaciones realizadas por
dos estudiantes y se observa cómo identifican erróneamente los triángulos
rectángulos, posiblemente por la influencia de la imagen prototípica «triángulo
rectángulo». Respectivamente: triángulo rectángulo-izquierda (TAB; ángulo
recto hacia la izquierda, obteniendo la subconfiguración “b”); y triángulo
rectángulo-derecha (TBC; ángulo recto hacia la derecha, obteniendo la
subconfiguración “a”, expresada mediante lenguaje textual-simbólico).
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
130
Figura 4.4. Fragmento de las respuestas de los alumnos 46 y 34 al problema 1 (A46P1E2 y A34P1E2) que reflejan la influencia de la figura prototípica «triángulo
rectángulo».
• Caso 4: Influencia de la figura prototípica «triángulo rectángulo» en el
problema 2. Figura prototípica de triángulo rectángulo: identifica
(correctamente) en la figura inicial los triángulos rectángulos ACM y AMN
definidos por los datos del problema (ACB es un triángulo rectángulo en C y
MN ⊥ AB en N); y de manera análoga al caso 1 descrito anteriormente realiza
una rotación de una de las configuraciones (AMN) representándola en la
posición prototípica (Figura 4.5.). La Figura 4.5. muestra cómo un estudiante
realiza la rotación del triángulo rectángulo AMN para representarlo en la
posición prototípica (lados perpendiculares paralelos al borde del papel en que
está dibujado), obteniendo la única subconfiguración relevante identificada.
Figura 4.5. Fragmento de la respuesta del estudiante 47 al problema 2 (A47P2E2) que
refleja la influencia de la figura prototípica «triángulo rectángulo».
En el problema 1, de los 39 alumnos que escogieron la subconfiguración “b”, 9
de ellos realizaron una rotación de la figura inicial para obtener la representación
prototípica de triángulo isósceles mediante una aprehensión operativa (Tabla 4.6.). Esta
rotación no la hemos observado en ninguno de los alumnos que han escogido otra
trayectoria de resolución vinculada a las otras subconfiguraciones. Por otra parte, 7 de
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
131
los 9 estudiantes que en el problema 1 escogieron la subconfiguración “c”, identificaron
el punto de intersección de los segmentos BT y CR y sus ángulos correspondientes
(representación prototípica de ángulos opuestos por el vértice). Además, 13 estudiantes
admiten erróneamente en el problema 1 una propiedad (AC ⊥ BT y RC ⊥ AB) para
obtener la representación prototípica de triángulo rectángulo, iniciando a continuación
la trayectoria de resolución vinculada a la subconfiguración “a” (10 estudiantes) y “b”
(3 estudiantes). Finalmente, en el problema 2, 18 alumnos realizan una rotación de una
de las configuraciones (triángulo rectángulo AMN) representándola con los lados
perpendiculares paralelos al borde del papel para obtener la representación prototípica
de triángulo rectángulo. Las representaciones prototípicas (lo primero que “ve” el
alumno) en la figura inicial de los problemas 1 y 2, y que le llevan a identificar una
determinada subconfiguración (y no otra), son mostradas en la Figura 4.6:
Caso Descripción Subconfiguración
P1
1
b
2
c
3
a
b
P2 4
única
Figura 4.6. Representaciones prototípicas (lo primero que “ve” el alumno) identificadas en la figura inicial de los problemas 1 y 2 del estudio 2.
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
132
4.2.2. Conocimientos geométricos activados en función de la subconfiguración
identificada
A partir de la información mostrada en la Tabla 3.2., en la que se expone el
conocimiento geométrico susceptible de ser utilizado en los dos problemas del estudio
2, hemos identificado el conocimiento geométrico usado en algún momento de la
resolución de ambos problemas. El hecho geométrico: «definición de triángulo» (CA1)
era necesario en los dos problemas para poder identificar una subconfiguración
relevante; asimismo, el «criterio de congruencia de triángulos A-L-A» (CA9) también
se precisaba en ambos problemas para su resolución. Sin embargo, la utilización del
resto de conocimientos geométricos que aparecen en la Tabla 3.2. estaba supeditada a la
trayectoria de resolución desarrollada por el estudiante en función de la
subconfiguración relevante identificada. De esta manera, en el problema 1 que tenía tres
posibles subconfiguraciones, además de los ítems CA1 y CA9 mencionados
anteriormente, requería la utilización de los hechos geométricos: «caracterización de
triángulo isósceles» (CA2) en las subconfiguraciones “a”, “b” y “c”; «propiedad aditiva
de los ángulos congruentes» (CA3) en las subconfiguraciones “b” y “c”; y «ángulos
opuestos por el vértice son congruentes» (CA4) solo en subconfiguración “c”.
Análogamente, en el problema 2 que tenía una única subconfiguración relevante,
además de los ítems CA1 y CA9, necesitaba el uso de los hechos geométricos:
«definición de bisectriz de un ángulo» (CA5); «definición de rectas perpendiculares»
(CA6); «definición de triángulo rectángulo» (CA7); y «la suma de los ángulos interiores
de un triángulo es 180º» (CA8).
El análisis ha permitido establecer los ítems de conocimiento usados por los
estudiantes en cada problema en relación con la subconfiguración identificada (Tabla
4.8.). El porcentaje de identificación de una subconfiguración relevante fue similar en
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
133
los dos problemas: 90,1% en el problema 1 (164 de 182) y 90,7% en el problema 2 (165
de 182). Sin embargo, el hecho de que el problema 1 pudiera tener tres trayectorias de
resolución vinculadas a las tres subconfiguraciones relevantes (a, b y c) ha implicado la
activación de determinados conocimiento geométricos y plantea la cuestión de la
relación con el nivel de éxito (generar un proceso deductivo correcto) vinculado a cada
una de trayectorias. La Tabla 4.8. muestra la frecuencia con la que los estudiantes
usaban los diferentes hechos geométricos en cada subconfiguración.
Tabla 4.8. Conocimiento geométrico usado durante la resolución de los problemas (CAi: ítem de conocimiento activado).
Conocimiento Activado Frecuencia Problema 1 Problema 2
Subconfiguración relevante
a b c
CA1 Definición de triángulo (identificación de una subconfiguración)
116 39 9 165 164
CA2 Caracterización de triángulo isósceles (dos lados congruentes, y por tanto, dos ángulos congruentes)
59 30 8
0 97
CA3
Propiedad aditiva de los ángulos congruentes (si a dos ángulos congruentes se les resta la misma parte lo que queda son ángulos congruentes)
11 26 4
0 41
CA4 Ángulos opuestos por el vértice son congruentes
2 0 7 0 9
CA5 Definición de bisectriz de un ángulo (es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes congruentes)
0 0 0
161 0
CA6 Definición de rectas perpendiculares 10 3 0 13(2) 154
CA7 Definición de triángulo rectángulo 10 3 0
13(2) 147
CA8 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º (conocidos dos ángulos en un triángulo, conocemos el tercero)
0 0 0
111 0
CA9 Criterio de congruencia de triángulos A-L-A 63 34 5 105 102
(2) Estos estudiantes admiten explícitamente una propiedad errónea (AC ⊥ BT y RC ⊥ AB) y representan los correspondientes ángulos rectos, priorizando el aspecto intuitivo frente al formal
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
134
por las características de la figura inicial; además, los conocimientos geométricos CA6 y CA7 no eran necesarios en las trayectorias de resolución vinculadas a las subconfiguraciones “a” y “b” en el problema 1. No obstante, aunque en el análisis realizado hemos estimado que estos alumnos no han activado correctamente estos conocimientos geométricos, hemos optado por reflejarlo en la tabla anterior por considerarlo un dato significativo.
La identificación y la relación de algunos de estos hechos geométricos puede
ayudar a producir el truncamiento del razonamiento configural, mientras que el uso de
otros hechos geométricos y la relación entre ellos podía introducir a los estudiantes en
un bucle. Por ejemplo, en el problema 1 la subconfiguración “a” fue identificada con
más frecuencia (n=116). Vinculada a esta configuración, los estudiantes usaron los
hechos geométricos: «caracterización del triángulo isósceles» (CA2, n=59), «propiedad
aditiva de los ángulos congruentes» (CA3, n=11) y «ángulos opuestos por el vértice son
congruentes» (CA4, n=2). Sin embargo, en la trayectoria de resolución asociada a la
subconfiguración “a” no se requieren los hechos geométricos CA3 y CA4. Es decir,
hubo estudiantes que activaron conocimientos innecesariamente.
4.2.3. Trayectoria de resolución vinculada a la subconfiguración identificada
Una trayectoria de resolución es la secuencia de hechos geométricos
(conocimiento) y sus relaciones seguida por un estudiante al intentar resolver el
problema vinculado a una determinada configuración. Los resultados obtenidos (Tabla
4.9.) reflejan que los dos problemas tuvieron niveles de éxito diferentes. En el problema
1, de los 182 participantes, 164 estudiantes siguieron trayectorias de resolución
vinculadas a alguna de las tres subconfiguraciones relevantes y 75 consiguieron generar
procesos deductivos correctos (45,7%, 75 de 164). Los 18 participantes restantes no
iniciaron la resolución del problema. En las tres trayectorias de resolución identificadas
(a, b y c) que generaron procesos deductivos correctos activaron respectivamente tres
(CA1, CA2 y CA9), cuatro (CA1, CA2, CA3 y CA9) y cinco (CA1, CA2, CA3, CA4 y
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
135
CA9) ítems de conocimiento geométrico; los porcentajes de éxito fueron 39,7%
(trayectoria vinculada a la subconfiguración “a”), 66,7% (trayectoria vinculada a la
subconfiguración “b”) y 33,3% (trayectoria vinculada a la subconfiguración “c”). En el
problema 2, de los 182 participantes, 165 estudiantes siguieron la trayectoria de
resolución definida por la única subconfiguración relevante y 94 de estos generaron
procesos deductivos correctos (57%, 94 de 165) activando seis ítems de conocimiento
geométrico (CA1, CA5, CA6, CA7, CA8 y CA9). Los otros 17 participantes no
iniciaron la resolución del problema.
Un aspecto que nos ayuda a caracterizar el proceso de resolución seguido por los
estudiantes es la relación entre la identificación de una determinada subconfiguración y
la trayectoria de resolución seguida. Las características de los problemas usados
permitían subrayar este aspecto ya que se diferenciaban en el número de
subconfiguraciones que permitían generar trayectorias de resolución. En el problema 1,
tres subconfiguraciones relevantes y en el problema 2 solo una. La trayectoria de
resolución vinculada a la subconfiguración “a” requiere activar (al menos) tres
conocimientos de geometría (CA1, CA2 y CA9), la vinculada a la subconfiguración “b”
requiere activar cuatro (los tres anteriores más la «propiedad aditiva de los ángulos
congruentes», CA3) y la vinculada a la subconfiguración “c” requiere activar cinco (los
cuatro anteriores más «ángulos opuestos por el vértice son congruentes», CA4). Las
diversas trayectorias adoptadas por los estudiantes (Tabla 4.9.), y en particular en
relación con el problema 1, indican que los estudiantes generaban diferentes trayectorias
de resolución en función de la subconfiguración que habían sido capaces de identificar.
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
136
Tabla 4.9. Relación entre la subconfiguración identificada y la trayectoria de resolución seguida (CAi= ítems de conocimiento geométrico activo en la trayectoria de
resolución seguida según han sido dados en la Tabla 3.2.)
Problema Subconfi-guración
Conocimientos de geometría requeridos Estudiantes Total % éxito
P1 a CA1+CA2+CA9 116
164 39,7 %
45,7% b CA1+CA2+CA3+CA9 39 66,7% c CA1+CA2+CA3+CA4+CA9 9 33,3 %
P2 Única CA1+CA5+CA6+CA7+ +CA8+CA9 165 165 57%
El número de estudiantes que iniciaron cada una de estas trayectorias de
resolución en el problema 1 han sido 164 (116 para “a”, 39 para “b” y 9 para “c”). En el
problema 2, 165 estudiantes identificaron la única subconfiguración relevante siguiendo
una trayectoria de resolución que implicaba la activación de seis ítems de conocimiento
geométrico.
4.2.4. Del razonamiento configural a la construcción de una prueba
El objetivo en esta sección es considerar el momento en el que se produce un
truncamiento del razonamiento configural en función de la trayectoria de resolución
seguida por el estudiante para maestro. La tabla 4.10. muestra los vectores que nos
permiten identificar las trayectorias de resolución. En esta se recoge la frecuencia de
cada vector (no se muestran los vectores: V [0,1,0], V [0,2,0]…, a los que no se les ha
asignado ninguna respuestas de los estudiantes).
En la fase III del análisis agrupamos las trayectorias de resolución de los
estudiantes en tres grupos, considerando la manera en la que se daban los dos momentos
en la resolución y su relación identificados en las fases de análisis anteriores:
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
137
• El primer grupo (V [0,0,0]) corresponde a los estudiantes (n=18 en el problema
1 y n=17 en el problema 2) que no identificaron una subconfiguración relevante
y no iniciaron el razonamiento configural.
• El segundo grupo lo forman los estudiantes que han activado al menos un
hecho geométrico: «definición de triángulo», CA1; permitiéndoles identificar
alguna subconfiguración, pero que han generado un bucle no siendo capaces de
resolver el problema. En este grupo hemos identificado dos subgrupos:
los estudiantes que no han activado nuevos conocimientos más allá de la
identificación de los triángulos iniciales (V [1,0,0]);
los que han generado aprehensiones discursivas mediante asociaciones
directas de elementos geométricos a la configuración a partir de los datos
del problema (V [1,1,0]).
• El tercer grupo son los estudiantes que han cambiado el estatus epistémico de
algunos hechos geométricos al considerarlos premisas en proposiciones del tipo
"si... entonces...". Es decir, estudiantes que realizan el truncamiento del
razonamiento configural generando un razonamiento deductivo. En este caso
hemos identificado dos subgrupos:
los que han activado ítems de conocimiento adicionales que les ha
permitido generar información nueva a partir de los datos y del
conocimiento previo (V [1,2,0]), pero no son capaces de considerar algunos
ítems de conocimiento identificados como premisas de proposiciones del
tipo “si… entonces…” (que en estos problemas era el criterio de
congruencia de triángulos A-L-A);
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
138
los que han activado todos los ítems de conocimiento necesarios para
resolver deductivamente el problema con éxito (V [1,2,1]).
Tabla 4.10. Clasificación de las trayectorias de resolución adoptadas por los estudiantes.
Grupo Vector P1 P2 Sin identificación de sub-configuración relevante V [0,0,0] 18 17
Bucle
Subconfiguración relevante
a b c
V [1,0,0] 16 3 1 11 20
V [1,1,0] 50 7 5 47 62
Truncamiento V [1,2,0] 4 3 0
13 7
V [1,2,1] 46 26 3 94 75
TOTAL 182 182
En el problema 1, de los 164 estudiantes que identificaron alguna
subconfiguración relevante, 82 consiguieron generar procesos deductivos mediante el
truncamiento del razonamiento configural, y de estos, 75 resolvieron con éxito el
problema (45,7%, 75 de 164). De los 75 estudiantes que generaron un proceso
deductivo correcto, 46 siguieron la trayectoria vinculada a la subconfiguración “a”, 26
siguieron la trayectoria vinculada a la subconfiguración “b”; y solo 3 se apoyaron en la
subconfiguración “c”.
De los 116 estudiantes que iniciaron la trayectoria vinculada a la
subconfiguración “a” solo 50 consiguieron generar un truncamiento, y de estos, 46
resolvieron con éxito el problema (39,7%, 46 de 116). En esta trayectoria
(CA1+CA2+CA9), los estudiantes activan el conocimiento geométrico «definición de
triángulo» (CA1), permitiéndoles identificar los triángulos RCB y TBC de la
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
139
subconfiguración “a”; también utilizan la «caracterización de triángulo isósceles»
(CA2) a partir del dato del problema de que los lados AB y AC eran congruentes,
derivando por tanto que el triángulo ABC es isósceles, y como consecuencia, que los
ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes (H3: ∡TCB≡∡RBC), esta
información también es utilizada en las trayectorias de resolución vinculadas a las
subconfiguraciones “b” y “c”. La relación de este hecho con el dato dado en el
enunciado del problema, la hipótesis H2 (∡RCB≡∡TBC), así como H1 (BC≡BC), les
permitía inferir que RC≡BT, gracias a la utilización del «criterio de congruencia de
triángulos A-L-A» (CA9); lo que posibilita asumir el cambio de estatus epistémico de
estos conocimientos desde lo configural (hechos vinculados a la configuración) a un
nuevo estatus lógico al considerarlos como premisas de uno de los criterios de
congruencia de triángulos.
En la subconfiguración “b”, de los 39 estudiantes que la iniciaron 29
consiguieron realizar el truncamiento, y de estos, 26 resolvieron con éxito el problema
(66,7%, 26 de 39). En esta trayectoria (CA1+CA2+CA3+CA9), los estudiantes activan
el conocimiento geométrico «definición de triángulo» (CA1), permitiéndoles identificar
los triángulos ATB y ARC de la subconfiguración “b”; también utilizan la
«caracterización de triángulo isósceles» (CA2) a partir del dato del problema de que los
lados AB y AC eran congruentes, derivando por tanto que el triángulo ABC es
isósceles, y como consecuencia, que los ángulos opuestos a los lados congruentes son
congruentes. Con este nuevo dato y la hipótesis H2 (∡BAT≡∡CAR), usan la
«propiedad aditiva de ángulos congruentes» (CA3) para derivar la nueva información
H3 (∡ACR≡∡ABT), esta información también es utilizada en la trayectoria de
resolución vinculada a la subconfiguración “c”. Posteriormente, consideran estos dos
hechos geométricos, así como H1 (AB≡AC), como premisas del «criterio de
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
140
congruencia de triángulos» (CA9), lo que les permite truncar el razonamiento configural
para generar un razonamiento deductivo que les posibilita resolver el problema. El
truncamiento se produce cuando el resolutor cambia el estatus epistémico de estos ítems
de conocimiento desde lo configural a un estatus lógico al considerarlos premisas de
implicaciones lógicas.
Por último, la trayectoria definida por la subconfiguración “c” fue generada por
9 estudiantes de los que 3 consiguieron realizar el truncamiento y resolver con éxito el
problema (33,3%, 3 de 9). En esta trayectoria de resolución
(CA1+CA2+CA3+CA4+CA9), los estudiantes activan el conocimiento geométrico
«definición de triángulo» (CA1), permitiéndoles identificar los triángulos RFB,
TFC y BFC de la subconfiguración “c”, lo que les posibilita usar la
«caracterización del triángulo isósceles» teniendo dos lados/ángulos congruentes
(CA2); el uso de la «propiedad aditiva de los ángulos congruentes» (CA3) y la
«congruencia de ángulos opuestos por el vértice» (CA4) para obtener H1:
∡RFB≡∡TFC. Esta última información requiere ser utilizada únicamente en la
trayectoria de resolución vinculada a la subconfiguración “c”. Estos hechos geométricos
considerados como premisas del «criterio de congruencia de triángulos A-L-A» (CA9)
les permite truncar el razonamiento configural y generar un proceso de razonamiento
deductivo que posibilita resolver el problema. En la trayectoria definida por la
subconfiguración “c” los estudiantes deben utilizar en dos ocasiones la caracterización
del triángulo isósceles aplicando las equivalencias mostradas en la Figura 4.6.,
relacionando los diferentes hechos geométricos mediante cadenas lógicas de inferencias
“si… entonces…” (si tiene dos ángulos iguales… entonces es triángulo isósceles…
entonces tiene dos lados iguales…). En la primera, para el triángulo CFB que tiene
los ángulos ∡FCB y ∡FBC congruentes (H2: ∡FCB≡∡FBC), dato del problema, ya que
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
141
estos ángulos son los mismos que ∡RCB y ∡TBC, lo que implica que es isósceles, y por
tanto, los lados BF y CF también serán congruentes (H3: BF≡CF es obtenida por 8 de los
9 estudiantes que iniciaron esta trayectoria). La segunda caracterización del triángulo
isósceles se aplica al triángulo ACB que tiene los lados AB y AC congruentes, de lo
que se deduce que es isósceles, y por tanto, los ángulos ∡TCB y ∡RBC también serán
congruentes, que junto con el uso de la «propiedad aditiva de los ángulos congruentes»
(CA3) les permite deducir H4: ∡RBF≡∡TCF (esta información es obtenida por 3 de los
9 estudiantes que iniciaron esta trayectoria, que son los únicos que resolvieron el
problema).
Figura 4.6. Equivalencias del triángulo isósceles en las que los estudiantes relacionan
los diferentes hechos geométricos mediante cadenas lógicas de inferencias “si… entonces…”.
Otro aspecto a destacar del problema 1 está relacionado con los conocimientos
de geometría que los estudiantes deben activar para cada una de las trayectorias de
resolución, asociadas a su vez a la subconfiguración relevante identificada. En este
sentido, los datos expuestos en la Tabla 4.9. indican que la trayectoria de resolución
vinculada a la subconfiguración “a” requiere activar (al menos) tres ítems de
conocimientos de geometría, la vinculada a la subconfiguración “b” requiere activar
cuatro (los tres anteriores más CA3) y la vinculada a la subconfiguración “c” requiere
activar cinco (los cuatro anteriores más CA4). Mientras, el número de estudiantes que
iniciaron alguna de estas trayectorias de resolución ha sido respectivamente: 116 para la
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
142
subconfiguración “a”, 39 para la subconfiguración “b” y 9 para la subconfiguración “c”.
Este dato sugiere la existencia de una relación inversa entre el número de conocimientos
de geometría que se requiere activar y el desarrollo de una determinada trayectoria de
resolución en un problema determinado.
En el problema 2, 165 estudiantes identificaron la única subconfiguración
relevante siguiendo una trayectoria de resolución que implicaba la activación de seis
ítems de conocimiento geométrico (CA1+CA5+CA6+CA7+CA8+CA9); 107 realizaron
un truncamiento del razonamiento configural, y de estos, 94 resolvieron con éxito el
problema (57%, 94 de 165). En esta trayectoria de resolución, los estudiantes activaron
el conocimiento geométrico «definición de triángulo» (CA1), permitiéndoles identificar
los triángulos ACM y AMN de la única subconfiguración relevante. También
realizaron aprehensiones discursivas con H3: ∡CAM≡∡MAN derivada del dato del
problema (AM es bisectriz del ángulo ∡CAB). A partir de este momento, usan el ítem
de conocimiento CA8 («la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º», y
como consecuencia: conocidos dos ángulos en un triángulo conocemos el tercero), para
derivar la información H4: ∡AMC≡∡AMN. A partir de aquí, los tres ítems de
conocimiento H1:AM≡AM; H3: ∡CAM≡∡MAN; y H4: ∡AMC≡∡AMN son usados
como premisas del criterio de congruencia de triángulos A-L-A, lo que permite truncar
el razonamiento configural para generar el proceso deductivo que les posibilita resolver
el problema.
Las diferentes trayectorias adoptadas por los estudiantes (Tablas 4.8. y 4.9.),
indican que los estudiantes identifican ítems de conocimiento a partir de los datos
mediante aprehensiones discursivas y operativas, pero también generan nuevos datos
usando ítems de conocimiento previamente conocidos y relacionándolos con la
información de la configuración. En el problema 1, los conocimientos de geometría
4. Resultados Francisco Clemente Císcar
143
CA2 («caracterización de triángulo isósceles»: tiene dos lados congruentes y por tanto
dos ángulos congruentes), CA3 («propiedad aditiva de los ángulos congruentes»: si a
dos ángulos congruentes se les resta la misma parte, lo que queda son ángulos
congruentes) y CA9 («criterio de congruencia de triángulos A-L-A»); y en el problema
2, el CA8 («la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º»: conocida la
medida de dos ángulos en un triángulo, conocemos la medida del tercero) y CA9. Estos
datos muestran diferencias en el tipo de relaciones entre los ítems de conocimiento de
geometría que se establecen entre las trayectorias definidas por los vectores V[1,1,0],
V[1,2,0] y V[1,2,1]), entre lo ya conocido y lo puesto en evidencia por las
aprehensiones discursivas y operativas (derivadas del proceso de visualización). Estas
diferencias serán discutidas en el capítulo siguiente.
CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
145
CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES
Este capítulo se ha organizado en cuatro secciones que aportan información en
relación a las dos preguntas de investigación planteadas y las dos cuestiones derivadas.
En la primera, acerca de las características del razonamiento configural desencadenado
en la resolución de problemas de geometría de probar, describiremos las características
de la relación entre la configuración inicial del problema y su correspondencia con el
conocimiento geométrico previo. En la segunda, reflexionaremos sobre la relación
existente entre la forma del discurso escrito creado por los estudiantes y las
características del razonamiento configural generado. En la tercera, discutiremos los
resultados derivados de la segunda pregunta de investigación, relativa al papel de la
configuración identificada y las características de las trayectorias de resolución seguidas
definidas por el conocimiento de geometría activado; posteriormente, nos centraremos
en el truncamiento del razonamiento configural como cambio de estatus lógico de un
hecho geométrico. Finalmente, en la cuarta sección, indicamos posibles limitaciones de
esta investigación y cuestiones para futuras investigaciones.
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
146
Para responder a las preguntas de investigación era necesario identificar
características de cómo los estudiantes para maestro usan su conocimiento de geometría
cuando intentan resolver problemas que implican la construcción de pruebas. Por ello,
hemos considerado como hipótesis que los resolutores deben conocer la geometría en el
ámbito curricular de la educación primaria de forma que les permita ir más allá de
simplemente reconocer propiedades y hechos geométricos en las figuras planas (Nason,
Chalmers y Yeh, 2012; Stylianides y Ball, 2008). En ese sentido, la manera en que los
estudiantes usan el conocimiento durante la resolución de problemas de probar en
geometría determina la transición desde el razonamiento configural a la construcción de
una prueba como una característica de la calidad del conocimiento de geometría
(Arzarello et al., 2008). Nuestros resultados indican que la transición desde el
razonamiento configural hasta la construcción de una prueba está vinculada a las
aprehensiones discursivas inicialmente generadas y al conocimiento estratégico
(entendido como un “conocimiento sobre la situación”) que desencadena el
truncamiento del razonamiento configural. Esta investigación aporta dos ideas en la
caracterización de esta transición: la primera, en relación a factores que determinan
cómo los resolutores llegan a relacionar hechos geométricos durante el razonamiento
configural como apoyo a la construcción de una prueba (el papel del conocimiento de
geometría); y la segunda, reconocer la existencia de un conocimiento estratégico que
permite elegir los teoremas que debe aplicar cambiando de esta manera el estatus
epistemológico de algunos hechos geométricos (de un significado configural a un
significado lógico-deductivo), considerándolos premisas de un teorema.
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
147
5.1. Características de la configuración inicial del problema y el conocimiento
geométrico previo
En esta investigación estudiamos las características de las relaciones entre el
conocimiento de geometría y la identificación de configuraciones, que inician el
razonamiento configural de problemas de probar en geometría. Los resultados muestran
que la identificación de una subconfiguración relevante junto con el conocimiento
geométrico del resolutor permite una coordinación que define una determinada
trayectoria de resolución. Estos resultados evidencian la relación existente entre la
visualización y el conocimiento geométrico previo en el razonamiento configural. La
identificación de alguna subconfiguración relevante resulta ser un factor determinante
en el desarrollo de una determinada trayectoria de resolución en los problemas de
geometría de probar en los que se proporciona una configuración inicial.
Los resultados indican que el reconocimiento de una subconfiguración relevante
para la resolución del problema se inicia con la identificación de una figura prototípica
en la configuración inicial, que activa determinados conocimientos de geometría
poniendo de manifiesto el cambio del anclaje visual al anclaje discursivo descrito por
Duval (1998). Además, el reconocimiento de una configuración concreta en la figura
inicial puede responder a la activación de uno o varios conocimientos de geometría que
permite visualizar una subconfiguración entre varias posibles, lo que pondría de
manifiesto a su vez el cambio del anclaje discursivo al anclaje visual.
Los datos relativos al número de estudiantes que en el problema 1 del estudio 2
iniciaron una trayectoria de resolución y los conocimientos de geometría requeridos en
cada una de ellas (Tabla 4.9.), parecen indicar la existencia de una relación entre la
frecuencia en la identificación de una determinada subconfiguración relevante de entre
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
148
varias posibles y los conocimientos de geometría requeridos para seguir la trayectoria
vinculada a ella. En este caso, para un determinado problema, cuando el número de
ítems de conocimientos de geometría necesarios es menor, entonces la frecuencia de
identificación de la subconfiguración vinculada a esa trayectoria de resolución es
mayor.
Respecto a los factores que determinan el uso del conocimiento en la transición
desde el razonamiento configural a la construcción de una prueba, en los problemas
analizados la identificación de una subconfiguración ha sido asociada inicialmente a la
activación de un conocimiento de geometría específico que permite visualizar una
subconfiguración entre las varias posibles. Este hecho señala la posible relación entre el
conocimiento de geometría y la posibilidad de identificar determinadas
subconfiguraciones.
Según indican Chinnappan et al. (2012), si bien es importante para los
estudiantes la adquisición del conocimiento del contenido geométrico, también se
necesita la activación y la utilización de este conocimiento durante la construcción de la
prueba, que debe ser guiado por las habilidades generales de resolución de problemas y
razonamiento. Lo anterior permite proponer una hipótesis de trabajo futuro, ya que si
los maestros conocen las relaciones entre ítems de conocimiento geométrico, podrían
gestionar convenientemente las dificultades que afrontan los estudiantes al desarrollar el
razonamiento configural. Con este conocimiento especializado de geometría los
maestros pueden proveer a sus alumnos de las destrezas necesarias para identificar
subconfiguraciones en la figura inicial, que permitan activar los conocimientos de
geometría oportunos para la resolución del problema. Es decir, formar a los maestros en
estos aspectos que apoyan el desarrollo del razonamiento configural, dada la hipótesis
de que un conocimiento de geometría apoyado en las relaciones entre otros ítems de
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
149
conocimiento puede ayudar a “usar” las subconfiguraciones relevantes y facilitar los
procesos de resolución que se pueden generar, (y por tanto poder cambiar la trayectoria
de resolución cambiando la configuración inicial identificada)
5.2. La forma del discurso escrito y el razonamiento configural
Los resultados del estudio 1 (Tabla 4.4.) muestran tres formas de discurso que
los estudiantes usan en la resolución de problemas de geometría de probar (Kruteski,
1976; Mayer y Massa, 2003; Presmeg, 2006). Existe un grupo de estudiantes con una
importante preferencia visual evidenciada cuando representan gráficamente las sub-
configuraciones identificadas como relevantes para iniciar el razonamiento configural y
sobre las que apoyan su discurso. Hay otro grupo de estudiantes que comienzan y
sustentan su razonamiento configural únicamente mediante lenguaje textual-simbólico.
Finalmente, existe un grupo que realiza una aproximación mixta, combinando la
representación gráfica con el lenguaje textual-simbólico.
Lo que nuestros datos indican es que la forma en la que los estudiantes
comunicaban la resolución del problema no parece estar relacionada con la generación
de un truncamiento en el razonamiento configural (Tabla 4.5.). Estos resultados
sugieren que las preferencias cognitivas de los estudiantes, sobre cómo comunicar la
resolución del problema, no son una condición que determine si han establecido
relaciones entre los hechos geométricos para generar cadenas lógicas que les permitan
probar la propiedad solicitada. En este sentido, los datos parecen sustentar los
planteamientos más generales que reconocen que las diversas habilidades cognitivas de
los estudiantes que les permiten desarrollar diferentes formas de discurso no tienen por
qué determinar una mayor o menor competencia matemática (Presmeg, 2006).
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
150
Una variable que puede ayudar a explicar los distintos comportamientos de los
estudiantes, puestos de manifiesto por sus preferencias al generar un discurso para dar
cuenta de la resolución, tiene que ver con los datos proporcionados en el enunciado del
problema y las relaciones que se tienen que establecer para llegar a la tesis que hay que
probar. Los estudiantes que desarrollan una forma de discurso gráfico identifican
primero los hechos geométricos dados como datos, para posteriormente intentar
establecer relaciones a partir del reconocimiento de la utilidad de algún resultado
geométrico previamente conocido. Por otra parte, los estudiantes que generan un
discurso apoyado principalmente en el texto parece que reconocen primero lo global y
lo que había que probar (la tesis), y luego intentan identificar algún resultado pre-
viamente conocido que suponen podría serles útil. Esta interpretación de nuestros
resultados puede entenderse como complementaria a las aportaciones de Yang y Lin
(Lin y Yang, 2007; Yang y Lin, 2008) en la caracterización de un modelo de
comprensión lectora del proceso de probar.
Estas dos formas, que parecen reflejar diferentes aproximaciones al aprendizaje,
pueden estar relacionadas con la manera en la que los estudiantes en nuestra
investigación desarrollan una forma textual o gráfica del discurso. Por lo que, en cierta
medida, la generación de una prueba (en nuestra investigación) o la comprensión lectora
de una prueba (en la investigación de Yang y Lin, 2008), parecen estar indicando estos
dos perfiles en dos ámbitos complementarios (hacer pruebas y comprensión lectora de
pruebas).
Las características de la forma de discurso identificadas nos han permitido
analizar su influencia en el establecimiento de relaciones lógicas entre los hechos
geométricos. Por ello, hemos intentado determinar qué es lo que activa la cadena de
relaciones lógicas entre los hechos y propiedades geométricas, que constituyen el
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
151
truncamiento en el razonamiento configural, y que puede desencadenar el
establecimiento de relaciones lógicas entre los hechos y propiedades geométricas
identificadas para generar una prueba; es decir, lo que Duval denomina iniciar el
proceso deductivo. Nuestros datos indican que establecer relaciones lógicas entre los
hechos geométricos para generar inferencias, va más allá de simplemente reconocer
mediante aprehensiones discursivas alguna propiedad o definición geométrica en la
configuración geométrica, que hemos caracterizado como primer momento del proceso
de resolución (Llinares y Clemente, 2014). Este hecho nos lleva a suponer que es
posible que los estudiantes que inician un discurso básicamente textual puedan tener
mentalmente representada la configuración y no necesiten una representación física.
Mientras que, por otra parte, los estudiantes que inician su discurso de una manera
primordialmente gráfica pueden estar mostrando su necesidad de este apoyo gráfico
para razonar. Sin embargo, el hecho de que las tres maneras mediante las que se inicia el
discurso tengan el mismo nivel de éxito, parece indicar que la preferencia en la forma
del discurso (gráfico, texto o mixto) no influye en la generación de las relaciones
lógicas entre los hechos geométricos.
Otra explicación alternativa es que los estudiantes que inician su discurso de una
manera textual están estableciendo de manera formal relaciones entre los hechos y las
definiciones geométricas, y luego, con posterioridad, estén buscando un apoyo visual.
Esta explicación plantea la cuestión del papel de lo visual en el desarrollo de la prueba,
es decir, en generar cadenas lógicas entre los hechos geométricos para derivar un nuevo
conocimiento (Arzarello, Olivero, Paola y Robutti, 2008; Herbst, 2004; Prusack,
Hershkowitz y Schwarz, 2012). Esto explicaría la manera en que se genera el
truncamiento del razonamiento configural en estos estudiantes, ya que para
desencadenar el truncamiento los estudiantes pueden tener que desvincularse de lo
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
152
visual y centrarse únicamente en las relaciones lógicas que pueden establecer entre los
hechos geométricos. En este caso, la relación entre lo intuitivo y lo formal (Pazysz,
1988; Vinner y Kopelman, 1998) y la manera en la que los estudiantes pueden priorizar
un aspecto frente al otro estaría en el origen de la generación del truncamiento del
razonamiento configural. Como consecuencia de esta posible explicación, Vinner y
Kopelman indican que, al menos en algunos casos, se debería enseñar lo formal primero
con la esperanza de que la intuición seguirá después.
No obstante, lo que parece desempeñar un papel relevante es el conocimiento de
geometría previo de los estudiantes, y la manera en la que los datos del problema o lo
identificado inicialmente en la configuración son considerados como hipótesis de
proposiciones y teoremas del tipo «si se cumple… entonces…». Por ejemplo, el
conocimiento de los criterios de congruencia de triángulos usados en los problemas
propuestos en nuestra investigación y que formaría parte del conocimiento geométrico
(lo formal) activado durante la resolución de los problemas.
Esta explicación se puede vincular a la idea de «concepto figural» de Fischbein
(1993) en el sentido de que en algunos momentos el conocimiento formal de geometría
(definiciones, hechos y propiedades) puede guiar el pensamiento visual (procesos de
visualización). De esta manera, la perspectiva y confianza en lo visual aparecería
después de la confianza en lo formal, por lo que Vinner y Kopelman (1998) sugieren
que, cuando el estudiante es consciente de lo que conoce (conocimiento formal de
geometría) y tiene habilidad para comprobar sus intuiciones visuales de manera
analítica, es cuando puede empezar a valorar lo visual. Esto es lo que Fischbein señala
cuando dice que imponer relaciones en los dibujos no depende del propio dibujo, sino
de lo que se conoce previamente. En relación con este hecho, Hilbert et al. (2008)
indican que los estudiantes con un mejor conocimiento conceptual están en mejores
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
153
condiciones de resolver problemas de probar en geometría si la enseñanza se acompaña
con el uso de ejemplos heurísticos. Es decir, cuando se ejemplifica la manera en la que
determinados resultados geométricos pueden ser usados para generar una relación lógica
entre hechos reconocidos para generar una inferencia (Reiss y Renkl, 2002; Reiss et al.,
2008).
Si la enseñanza de la geometría debe apoyar no solo que los alumnos descubran,
visualicen, describan y representen conceptos y propiedades de las figuras geométricas
en el mundo físico, sino también que puedan desarrollar destrezas de razonamiento
lógico, es necesario que el maestro apoye el desarrollo de estas destrezas. Nuestros
datos muestran que, aunque los estudiantes para maestro puedan tener diferentes
preferencias para dar comunicar la resolución de los problemas, lo que es necesario es
que aprendan a reconocer los hechos geométricos en determinadas configuraciones, así
como las proposiciones que permitan apoyar el desarrollo de destrezas de razonamiento
lógico. Es por lo anterior por lo que la relación entre las aprehensiones discursivas y
operativas, junto con el énfasis en identificar argumentos que puedan apoyar el
desarrollo del razonamiento lógico, deberían ser considerados como aspectos
constituyentes del conocimiento de geometría del maestro (Stylianides y Ball, 2008).
5.3. El truncamiento del razonamiento configural como cambio de estatus lógico de
un hecho geométrico
Nuestros resultados indican la evidencia de dos momentos relevantes en los
procesos de resolución de algunos problemas de probar en geometría. En primer lugar,
cuando el resolutor asocia algunas propiedades o definiciones a la configuración
geométrica dada mediante aprensiones discursivas. En segundo lugar, cuando los
diferentes hechos geométricos se relacionan mediante cadenas lógicas de inferencias
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
154
“si… entonces…”. En la resolución de estos problemas, algunos estudiantes tienen
dificultades en “truncar” el proceso de razonamiento configural para inferir información
adicional sobre la configuración (razonamiento deductivo). Un factor que parece incidir
en la generación de los procesos deductivos a partir del truncamiento del razonamiento
configural, es la posibilidad de considerar un hecho geométrico no solo para identificar
una propiedad de una configuración (aprehensión discursiva), sino también como parte
de una secuencia de relaciones deductivas. Es decir, la posibilidad de reconocer que un
hecho geométrico puede desempeñar papeles diferentes en el proceso de resolución
(Herbst et al., 2009).
En nuestra investigación, y considerando las características de los problemas
usados, el truncamiento del razonamiento configural que permite generar una prueba se
producía cuando los estudiantes eran capaces de relacionar los hechos geométricos
asociados a la configuración a hechos y teoremas geométricos ya conocidos. Por
ejemplo, asociando determinados hechos al criterio de congruencia de triángulos. Para
ello, el hecho geométrico identificado en la configuración debía cambiar de tener un
sentido configural a ser usado como premisa de un teorema para inferir información
adicional. Reiss et al. (2008) sugieren que las relaciones entre los hechos geométricos
determinan la calidad de lo que es conocido. En este sentido, nuestros resultados indican
que solo se genera una prueba cuando los estudiantes relacionaban los ítems de
conocimiento geométrico considerándolos premisas en una proposición, que originan
una cadena lógico-deductiva (en este caso el criterio de congruencia de triángulos).
Desde estos resultados, una característica de la calidad del conocimiento geométrico es
cuando un hecho geométrico puede desempeñar diferentes roles lógicos durante la
resolución de un problema, primero con un sentido configural, y luego, como premisa
en una cadena deductiva. Esta característica es la que añade sentido a la idea propuesta
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
155
por Chinnappan (1998) de que «los esquemas geométricos activados por los estudiantes
de mayor éxito eran más sofisticados y variados que los activados por sus homólogos
de bajo rendimiento». Desde estos resultados, una característica de la calidad del
conocimiento geométrico que determina que las estructuras de conocimiento sean
cualitativamente superiores, es cuando un hecho geométrico puede desempeñar
diferentes roles lógicos durante la resolución de un problema (Prior y Torregrosa,
2013).
La identificación de dos momentos relevantes en los procesos de resolución de
algunos problemas de probar en geometría, junto con la necesidad de que un hecho
geométrico debe cambiar su estatus lógico para ser usado como premisa de un teorema
o proposición que permite inferir información adicional, está relacionado con los modos
de interacción descriptivo y generativo propuestos por Herbst y Arbor (2004) entre un
actor (sujeto), una configuración (representación física) y un objeto geométrico teórico
(figura). En las interacciones descriptivas, las configuraciones incluyen dos niveles. En
el primero representan los datos del problema y contienen otros elementos que pueden
representar propiedades justificadas a través de la prueba. En el segundo, representan
con bastante fidelidad las propiedades que podrían ser consideradas desde fuera de las
configuraciones. En las interacciones generativas se incluye la creación de nuevos
objetos en la configuración atribuyéndoles un estatus de objetos geométricos, así como
la prescripción de hipotéticas propiedades de las figuras basadas en esos nuevos objetos,
esto permite que los estudiantes hagan conjeturas razonadas y construyan conocimiento
matemático.
Nosotros podemos entender que cuando los estudiantes pueden dotar de
diferentes roles a los hechos geométricos en los intentos de resolución de los problemas,
tiene como consecuencia el que sean capaces de construir una representación mental del
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
156
problema mostrando las conexiones entre los datos y la tesis (el objetivo del problema).
Esta explicación incide en que el éxito al establecer las conexiones a través da alguna
proposición conocida entre los hechos geométricos dados no depende solo de conocer
los hechos y las proposiciones, sino también de haber dotado a los hechos geométricos
de un estatus lógico que les permita considerarlos como premisas de una secuencia
lógico-deductiva. Esto es así ya que, durante la resolución del problema, el estudiante
debe establecer conexiones entre los ítems de conocimiento geométricos conocidos de
manera aislada. Es decir, llegar a considerar la posibilidad de que un determinado hecho
geométrico pueda ser premisa en una proposición estableciéndose una relación
(conexión) entre hechos geométricos, como son los criterios de congruencia de
triángulos, parece facilitar el truncamiento del razonamiento configural.
Duval (1998) sugiere que la información dada debe ser procesada tanto a nivel
representacional como simbólico, indicando que en la conducta matemática en un
proceso de resolución «el razonamiento comienza solo desde la aprehensión discursiva
y es independiente de la visualización. El cambio puramente configural no da los pasos
y la organización de razonamiento deductivo para la prueba, pero muestra algunos
puntos clave, o una idea que permite seleccionar el teorema principal para ser
utilizado» (p. 48). Esta explicación incide en el hecho de que el éxito en la transición
desde el razonamiento configural a la construcción de la prueba se apoya en la
capacidad de establecer conexiones entre los hechos geométricos a través da alguna
proposición conocida y no solo depende de conocer los hechos y las proposiciones. En
este sentido, lo que parece facilitar el truncamiento del razonamiento configural es
llegar a considerar un determinado hecho geométrico como premisa en un teorema
(como son los criterios de congruencia de triángulos). Este aspecto subraya la existencia
de un conocimiento estratégico para construir pruebas.
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
157
No obstante, la identificación de una subconfiguración relevante no es suficiente
para construir una prueba, como muestra la diferencia entre las trayectorias V[1,0,0],
V[1,1,0] y las trayectorias V[1,2,0] y V[1,2,1] referidas en la Tabla 4.10. En este
sentido, Chinnappan (1998) indicó que una diferencia entre los mejores y peores
estudiantes en la resolución de un problema de probar estaba en su capacidad de
relacionar la información identificada en la configuración (o dado por el problema), e
inferir nueva información para ser usada en el proceso de resolución. Es decir, la
capacidad que tenían los estudiantes en considerar un determinado hecho geométrico en
relación a otros es un criterio de calidad del conocimiento de geometría (Chinnapan y
Lawson, 2005).
En los resultados mostrados en la Tabla 4.10., la diferencia entre los vectores
V[1,2,0] y V[1,2,1] evidencia que hay estudiantes que son capaces de reconocer y usar
los hechos geométricos, pero fallan al construir una prueba. El análisis de los procesos
de construcción de pruebas en diversos dominios de las matemáticas y en diferentes
niveles educativos ha mostrado la necesidad de que los estudiantes tengan
“conocimiento estratégico” de la prueba en el dominio matemático para tener éxito en
la construcción de pruebas (Weber, 2001; Chinnappan, Ekanayake y Brown, 2012). El
conocimiento estratégico hay que entenderlo como un “conocimiento sobre la situación”
que permita a los estudiantes ver la situación de probar en la que se encuentran como un
caso particular de una situación más general. En el dominio de la geometría elemental
donde nosotros hemos situado nuestro estudio, este conocimiento estratégico es el
reconocimiento por parte de los estudiantes de la utilidad de los criterios de congruencia
de triángulos para el tipo de problema que estaban resolviendo (Stylianides y Ball,
2008; Chinnappan, et al., 2012). Una manifestación de este conocimiento estratégico es
el cambio de estatus epistémico de un hecho geométrico, de estar vinculado a una
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
158
configuración a ser visto como premisa de un teorema que se ha mostrado como
necesario para generar los procesos deductivos. Este conocimiento implica acciones
mentales que cambian el foco del resolutor al recordar un determinado teorema o hecho
geométrico como una proposición relevante para la construcción de la prueba (al
relacionar datos-hipótesis con la tesis). En nuestra investigación, cuando los estudiantes
eran capaces de reconocer uno de los criterios de congruencia de triángulos como un
resultado pertinente para la situación de probar, entonces podían usar los hechos
geométricos vinculados a la configuración que tenían solo un significado configural,
como premisas de un teorema del tipo “si… entonces…” adoptando otro significado
epistémico. Según nuestros resultados, no reconocer la pertinencia del teorema “criterio
de congruencia de triángulos” impide a los estudiantes truncar el razonamiento
configural para construir una prueba. Este hecho incide en la necesidad de que la
instrucción esté dirigida a que los estudiantes aprendan a establecer relaciones entre los
ítems de conocimiento geométrico, centrándose en desarrollar esta forma de
conocimiento estratégico en dominios específicos, e intentando que los estudiantes
lleguen a ser conscientes del uso de determinados teoremas en determinadas situaciones
como una manera de establecer relaciones entre los hechos geométricos en el contexto
de construir pruebas.
5.4. Implicaciones para futuras investigaciones
El estudio que hemos realizado presenta limitaciones y cuestiones que pueden
servir para futuras investigaciones:
• Solo se han considerado problemas en dos dimensiones que requerían procesos
deductivos (de lo general a lo particular), por lo que sería interesante ampliar el
5. Discusión y Conclusiones Francisco Clemente Císcar
159
estudio a problemas de probar de geometría en tres dimensiones y que
incluyeran procesos inductivos (de lo particular a lo general).
• Nos preguntamos si es posible aplicar los resultados obtenidos en esta
investigación a otros contextos más allá de los problemas de probar, es decir, en
otros procesos cognitivos involucrados en geometría como son los problemas de
construcción.
REFERENCIAS
Referencias Francisco Clemente Císcar
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Reunido el Tribunal que suscribe en el día de la fecha acordó otorgar, por a la
Tesis Doctoral de Don/Doña. la calificación de
Alicante de de
El Secretario,
El Presidente,
UNIVERSIDAD DE ALICANTE
EDUA
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