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Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2

CAPÍTULO 2

DESARROLLO

PRÁCTICO

2.1 Introducción

La aplicación presentada en este proyecto ofrece la posibilidad de generar cada uno de los 17 tipos de mosaicos basándose en la teoría matemática de los grupos cristalográficos explicada anteriormente.

La aplicación permite al usuario, a partir de una imagen cargada, elegir sobre qué grupo quiere basar su teselación y proceder a su generación mostrando directamente el resultado final o pudiendo realizar el proceso de generación paso a paso, mostrando en la pantalla de dibujo cada uno de los pasos.

A continuación se explica el algoritmo de generación de cada uno de los grupos.

2.2 Desarrollo

2.2.1 ALGORITMO DE GENERACIÓN GENERAL

Se han realizado 17 algoritmos para la generación de grupos cristalográficos planos, uno por cada grupo de simetría correspondiente. Sin embargo todos los grupos siguen un patrón general de generación.

Todos los algoritmos comienzan con la lectura o carga de una imagen en cualquier formato: .jpg, .bpm, etc.

A partir de esta imagen el sistema crea la baldosa inicial mediante recortes en la imagen. A esta baldosa inicial que siempre se corresponde con un polígono regular se le aplicarán las transformaciones geométricas necesarias para generar lo que se denominará a partir de ahora “Célula Fundamental”. Con esta célula fundamental y mediante movimientos de traslación se completará el espacio de dibujado generando el mosaico correspondiente.


Así, cada grupo cristalográfico esta asociado a un polígono regular cuya creación es el punto de salida en la generación de la teselación. En la siguiente tabla se define el polígono o baldosa origen de la que se parte en cada grupo:

• Grupo p1: Rectángulo

• Grupo cm: Rectángulo

• Grupo pm: Rectángulo

• Grupo pg: Rectángulo

• Grupo p2: Rectángulo

• Grupo pgg: Rectángulo

• Grupo pmg: Rectángulo

• Grupo pmm: Rectángulo

• Grupo cmm: Triángulo rectángulo

• Grupo p3: Rombo de ángulos 60º y 120º

• Grupo p3m1: Triángulo equilátero

• Grupo p31m: Triángulo de ángulos 30º,30º y 120º

• Grupo p4: Cuadrado

• Grupo p4m: Triángulo rectángulo de ángulos 90º, 45º y 45º

• Grupo p4g: Triángulo rectángulo de ángulos 90º, 45º y 45º

• Grupo p6: Triángulo equilátero.

• Grupo p6m: Triángulo rectángulo de ángulos 90º, 30º y 60º

En la generación de todos los grupos se diferencian claramente dos fases:

• La construcción de la célula fundamental aplicando las transformaciones geométricas necesarias (giros, simetrías, desplazamientos) en cada uno de los 17 grupos. Por tanto ésta fase será diferente para cada uno de los grupo.


• Generación de mosaico mediante traslaciones de la célula fundamental según los vectores de traslación correspondientes en cada grupo.

El algoritmo general se puede resumir en los siguientes pasos:

1. Leer imagen original.

2. Si la imagen es demasiado grande se reduce.

3. Cortar baldosa inicial.

4. Generar célula fundamental

5. Generar mosaico.

Figura 2.1: Figura del algoritmo general de generación de mosaicos.


Se toma la esquina superior izquierda como el punto origen de la zona de dibujo. Si equiparamos el área de dibujo a una matriz de celdas, la celda superior izquierda ocupará la fila cero y columna cero. Los mosaicos se pintarán de izquierda a derecha y de arriba abajo hasta completar todo el área de dibujo.

2.2.1.1 Algoritmo de generación del grupo p1

La baldosa inicial del grupo es un rectángulo. Como se vio en el punto anterior este grupo no contiene ni giros, ni simetrías, ni simetrías con deslizamiento, lo que supone que no hay que realizar ninguna operación sobre la imagen original, por lo que su baldosa inicial coincide con su célula fundamental:

Figura 2.2: Baldosa inicial del grupo p1.

Para generar el mosaico basta con trasladar la baldosa inicial siguiendo los vectores de traslación que pueden formar cualquier ángulo.

Figura 2.3: Vectores de traslación del grupo p1

Algoritmo de traslación del grupo p1

Para generar el mosaico basta con trasladar la baldosa inicial siguiendo los

vectores AB y AF , siendo F un punto cualquiera de la recta DC que será seleccionado por el usuario, al especificar a través de pantalla el ángulo que forman los vectores.

Para simular el desplazamiento según los vectores de traslación definidos y no dejar espacios en blanco en el área de dibujado, se calcula a partir de la segunda fila que porción de célula no debe aparecer (por quedar fuera al área


de dibujado). Cómo se puede observar en las figuras siguientes este cálculo se realiza en base al ángulo formado por los vectores de traslación.

Figura 2.4: Algoritmo de traslación grupo p1

El cálculo se realiza de la siguiente manera:

Figura 2.5: Calculo desplazamiento por traslación grupo p1

Hsenx *)90( σ−=

Siendo X la porción de célula que no debe aparecer y H la altura de la célula.

Algoritmo de pintado del mosaico del grupo p1

El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente:

1. La célula fundamental inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado.

2. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma, es decir, se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno.


3. Se repite el paso anterior hasta que se completa la primera fila: para saber si se ha completado una fila se compara el ancho del área de dibujado con el ancho de la célula fundamental multiplicada por el número de repeticiones de la misma. En el momento que esta última cifra es igual o superior a la anterior se incrementa una fila.

4. Al inicio de cada siguiente fila se realiza el cálculo del desplazamiento horizontal explicado anteriormente, pero se tendrá en cuenta que X se debe multiplicar por el número de fila que se este pintando. Así como el desplazamiento vertical correspondiente al número de fila que será la altura de la célula fundamental multiplicada por el número de fila de pintado.

5. Se repiten los pasos 2 a 5 hasta que el alto del área de dibujado es menor o igual a la altura de la célula fundamental por el número de filas pintadas.

2.2.1.2 Algoritmo de generación del grupo pm

La baldosa inicial del grupo es un rectángulo. Este grupo contiene ejes de simetría paralelos y como se observa en la figura siguiente sus vectores de traslación son perpendiculares entre sí:

Figura 2.6: Baldosa inicial del grupo pm.

Para calcular su célula fundamental se realiza un movimiento de reflexión sobre la imagen original tomando como eje el lado derecho del rectángulo que forma la baldosa. Simetría con respecto al eje BC:


Figura 2.7: Célula Fundamental del grupo pm.

Algoritmo de traslación del grupo pm

Para generar el mosaico se traslada la Célula Fundamental generada siguiendo

los vectores de traslación 2 AB y AD , que en este caso son perpendiculares entre si lo que hace que el algoritmo de traslación sea más sencillo puesto que coinciden con los ejes del área de pintado.

Basta con pintar la segunda célula fundamental a continuación de la primera, es decir, traslada 2 veces el ancho de la baldosa inicial.

A partir de la segunda fila se calcula que porción de célula, x, no debe aparecer (por quedar fuera al área de dibujado). Cómo se puede observar en la figura siguiente, al ser los vectores de traslación perpendiculares, esta porción coincide con el ancho de la célula fundamental, con lo que no hay que realizar ningún calculo. Basta con tener en cuenta la traslación vertical del

vector AD que coincide con la altura de la baldosa inicial.

Figura 2.8: Algoritmo de traslación del grupo pm.

Algoritmo de pintado del grupo pm


1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado.

2. Se realiza una reflexión tomando como eje el lado derecho del rectángulo que forma la baldosa inicial construyendo la célula fundamental.


3. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma (es el doble del ancho de la baldosa inicial), es decir, se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno.


5. Al inicio de cada siguiente fila se tiene en cuenta el desplazamiento vertical a aplicar al número de fila, que será la altura de la célula fundamental (coincide con la altura de la baldosa inicial), multiplicada por el número de fila de pintado.


2.2.1.3 Algoritmo de generación del grupo pg

La baldosa inicial del grupo es un rectángulo. Este grupo contiene ejes de simetría con deslizamiento. Las direcciones de los deslizamientos son paralelas a un vector de traslación y perpendiculares al otro vector de traslación.

Figura 2.9: Baldosa inicial del grupo pg.

Para calcular su célula fundamental se realiza una simetría con deslizamiento sobre la imagen original tomando como eje el formado por los puntos YZ que son respectivamente los puntos medios de los segmentos AB y CD.


En la figura siguiente se muestra el resultado de esta operación:

Figura 2.10: Célula fundamental del grupo pg.

Algoritmo de traslación del grupo pg


los vectores de traslación AB y 2 AD . Al ser perpendiculares entre si el algoritmo es análogo que el del grupo Pm, explicado en el grupo anterior.

Figura 2.10: Algoritmo de traslación grupo pg.


Algoritmo de pintado del grupo pg



2. Se realiza una simetría con desplazamiento tomando como eje el formado por los puntos Y y Z, puntos medios de los segmentos horizontales del rectángulo que forma la baldosa inicial generando así la célula fundamental.

3. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma, es decir se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno.


5. Al inicio de cada siguiente fila se tiene en cuenta el desplazamiento vertical a aplicar al número de fila, que será la altura de la célula fundamental (que es el doble de la altura de la baldosa inicial), multiplicada por el número de fila de pintado.


2.2.1.4 Algoritmo de generación del grupo cm

La baldosa inicial del grupo es un rectángulo. En este grupo aparecen simetrías y simetría con deslizamiento con ejes paralelos. Los vectores de traslación pueden formar cualquier ángulo.

Figura 2.11: Baldosa inicial del grupo cm


La célula fundamental se genera realizando una simetría respecto el eje formado por el segmento BC, lado izquierdo del rectángulo de la baldosa inicial.

Figura 2.12: Célula Fundamental del grupo cm

Aparece también en este grupo simetrías con deslizamiento con respecto los ejes formados por los segmentos YZ y UV, siendo Y y Z los puntos medios respectivos de AB y CD, y U, V los puntos medios de BE y CF.

Algoritmo de traslación del grupo cm

Para generar el mosaico basta con aplicar traslaciones de la baldosa inicial

siguiendo los vectores 2 AB y AC. El algoritmo de traslación es el mismo que el explicado para el grupo p1, salvo que en este caso el punto F de la recta DC que determina el ángulo formado por los vectores de traslación es un punto fijo y coincide con el punto C (esquina superior derecha del rectángulo formado por la baldosa inicial). No se selecciona por el usuario como en el caso del grupo p1.

Figura 2.13: Cálculo traslación del grupo cm

Por lo que la porción de célula fundamental que no debe aparecer (por quedar fuera al área de dibujado) coincide con el ancho de la baldosa inicial.


Figura 2.14: Algoritmo traslación del grupo cm

Algoritmo de pintado del grupo cm

El algoritmo de pintado del mosaico es análogo a lo descrito en los algoritmos de pintado explicados hasta ahora.


La baldosa inicial del grupo es un rectángulo. Este grupo no contiene ni simetrías, ni simetrías con deslizamiento, pero si giros de orden 2, por lo que a la baldosa inicial se aplicará un movimiento de rotación de 180º sobre uno de sus centros de rotación.

Figura 2.15: Baldosa Inicial del grupo p2

Aplicando a la baldosa inicial un giro de 180º sobre el centro de giro O, punto medio del segmento AB, se obtiene la célula fundamental, como se observa en la figura siguiente.


Figura 2.16: Célula Fundamental del grupo p2


Los vectores de traslación pueden formar cualquier ángulo y al igual que en el grupo P1 éste será determinado por el usuario. Al especificar el ángulo

quedan definidos los vectores de traslación AB y AF que se deberán seguir para la generación de este mosaico.

El algoritmo a seguir es exactamente el mismo a lo definido en el algoritmo de traslación del grupo p1.

Figura 2.17: Algoritmo de Traslación del grupo p2





2. Se realiza un giro de 180º tomando como centro de giro el punto medio de la base del rectángulo que forma la baldosa inicial, construyendo así la célula fundamental.

3. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma, es decir, se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno.


5. Al inicio de cada siguiente fila se realiza el cálculo del desplazamiento horizontal según lo descrito en el algoritmo de traslación, pero se tendrá en cuenta que X se debe multiplicar por el número de fila que se este pintando. Así como el desplazamiento vertical correspondiente al número de fila que será el doble de la altura de la célula fundamental multiplicada por el número de fila de pintado.


2.2.1.6 Algoritmo de generación del grupo pgg

En este grupo la baldosa inicial sigue siendo un rectángulo pero en este caso contiene giros de orden do. No hay ejes de simetría, pero sí aparecen ejes de simetría con deslizamiento. Los vectores de traslación son perpendiculares entre sí.


Figura 2.18: Baldosa Inicial pgg

La construcción de la célula fundamental se realiza en dos pasos: primero se aplica una simetría con desplazamiento sobre el eje que forma el segmento YZ donde Y y Z son los puntos medios de los segmentos AB y DC (lados horizontales de la baldosa inicial), como se observa en la siguiente figura:

Figura 2.19: Generación célula fundamental paso 1 grupo pgg

A continuación al resultado de la operación anterior se le aplica un giro de 180º tomando como centro el punto C. El resultado forma la célula fundamental de este grupo:


Figura 2.20: Célula Fundamental grupo pgg

Algoritmo de traslación del grupo pgg


los vectores de traslación 2 AB y 2 AD , que en este caso son perpendiculares entre si y coinciden con los ejes del área de pintado.

Basta con pintar la segunda célula fundamental a continuación de la primera, es decir, traslada 2 veces el ancho de la baldosa inicial.

A partir de la segunda fila se calcula que porción de célula (x) no debe aparecer (por quedar fuera al área de dibujado). Cómo se puede observar en la figura siguiente al ser los vectores de traslación perpendiculares, esta porción coincide con el ancho de la célula fundamental, con lo que no hay que realizar ningún calculo. Basta con tener en cuenta la traslación vertical del

vector 2 AD que coincide con la altura de la Célula fundamental.

Figura 2.21: Algoritmo de Traslación del grupo pgg

Algoritmo de pintado del grupo pgg




2. Se realiza una simetría con desplazamiento tomando como eje el formado por los puntos Y y Z, puntos medios de los segmentos horizontales del rectángulo que forma la baldosa inicial, generando así la célula fundamental.

3. Sobre el resultado se aplica un giro de 180º tomando como centro el punto C, esquina superior derecha de la baldosa inicial, obteniendo la célula fundamental.

4. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma (2 veces el ancho de la baldosa inicial), es decir, se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno.



7. Se repiten los pasos de 4 a 6 hasta que el alto del área de dibujado es menor o igual a la altura de la célula fundamental por el número de filas pintadas.

2.2.1.7 Algoritmo de generación del grupo pmg

La baldosa inicial de este grupo sigue siendo un rectángulo. En este grupo aparecen giros de orden dos. Hay ejes de simetría, pero son todos paralelos entre sí, y ejes de simetría con deslizamiento también paralelos entre sí y perpendiculares a los anteriores. Los vectores de traslación son perpendiculares entre si.


Figura 2.22: Baldosa Inicial del grupo pmg

Como en el caso anterior la construcción de la célula fundamental se realiza en dos pasos. En el paso uno se aplica a la baldosa inicial un giro de 180º tomando como centro de giro el punto O, punto medio del segmento AB (base del rectángulo que forma la baldosa inicial). En la figura siguiente se observa el resultado de este movimiento.

Figura 2.23: Generación célula fundamental paso 1 grupo pmg

Para concluir la generación de la célula fundamental se realiza sobre el resultado obtenido en el paso anterior una simetría respecto al eje determinado por el segmento BC, obteniendo el siguiente resultado.


Figura 2.24: Célula Fundamental grupo pmg

Se puede observar que este grupo también posee simetrías con deslizamiento respecto AB, DC y KH.

Algoritmo de traslación del grupo pmg

El algoritmo de traslación necesario para generar el mosaico del grupo pmg es el mismo que el descrito en el grupo anterior pgg.

Figura 2.25: Algoritmo traslación grupo pmg

Algoritmo de pintado del grupo pmg

El algoritmo de pintado de este grupo es análogo a lo descrito para el grupo anterior pgg salvo en la construcción de la célula fundamental, que se deberá tener en cuenta lo explicado en este grupo.


2.2.1.8 Algoritmo de generación del grupo pmm

Este grupo contiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí. Todos los centros de orden dos pertenecen a algún eje de simetría. Estos centros de los giros de 180º están en las intersecciones de los ejes de simetría. Cómo en el grupo anterior su baldosa inicial es un rectángulo y, cómo se observa en la figura siguiente, sus vectores de traslación son perpendiculares entre si:

Figura 2.26: Baldosa Inicial grupo Pmm

Para generar la célula fundamental se realiza una simetría sobre el eje formado por el segmento BC y a continuación un giro de 180º sobre el resultado de la simetría.

Figura 2.27: Generación célula fundamental paso 1 grupo pmm

Figura 2.28: Célula Fundamental grupo pmm


Algoritmo de traslación del grupo pmm

El algoritmo de traslación necesario para generar el mosaico del grupo pmm es el mismo que el descrito en el grupo anterior pgg.

Figura 2.29: Algoritmo traslación grupo pmm

Algoritmo de pintado del grupo pmm

El algoritmo de pintado de este grupo es análogo a lo descrito para el grupo anterior pgg salvo en la construcción de la célula fundamental, que se deberá tener en cuenta lo explicado en este grupo.

2.2.1.9 Algoritmo de generación del grupo cmm

Este grupo contiene ejes de simetría que son perpendiculares entre sí y también giros de orden dos, es decir, giros de 180º. Los centros de giro que lo generan no están sobre los ejes de simetría, sino sobre ejes de deslizamiento, que también existen. Hay también centros de giro (de orden 2) sobre los ejes de simetría. La baldosa inicial de la que se parte es un triángulo rectángulo.

Figura 2.30: Baldosa Inicial grupo cmm


Para cortar la baldosa inicial con forma de triángulo rectángulo a partir de la imagen original rectangular se toma la diagonal del rectángulo como la hipotenusa del triángulo como se observa en la figura siguiente:

Figura 2.31: Corte Baldosa Inicial grupo cmm

Tenemos entonces que los puntos de corte del triángulo serán:

A = (0 , h)

B = (w , h)

C = (w , 0)

El primer paso de la construcción de la célula fundamental es aplicar un giro de 180º a la baldosa inicial tomando como centro m el punto medio de la hipotenusa del triángulo (segmento AC).

Figura 2.32: Célula Fundamental, paso 1 grupo cmm

A continuación se realiza una simetría tomando como eje el lado del triángulo BC obteniendo así la célula rectangular como se puede ver en la figura siguiente:


Figura 2.33: Célula Fundamental grupo Cmm

Algoritmo de traslación del grupo cmm

Para generar el mosaico basta con aplicar traslaciones de la baldosa inicial

siguiendo los vectores 2 AB y AC. El algoritmo de traslación es el mismo que el explicado para el grupo p1, salvo que en este caso el punto F de la recta DC que determina el ángulo formado por los vectores de traslación es un punto fijo y coincide con el punto C. No se selecciona por el usuario como en el caso del grupo p1.

Figura 2.34: Cálculo traslación del grupo cmm

Por lo que la porción de célula fundamental que no debe aparecer (por quedar fuera al área de dibujado) coincide con el ancho de la baldosa inicial.


Figura 2.35: Algoritmo traslación del grupo cmm

Algoritmo de pintado del grupo cmm

El algoritmo de pintado del mosaico es el mismo que el descrito para el grupo cm.


La baldosa inicial de este grupo es un rombo de ángulo º60=α , formado por dos triángulos equiláteros, como se aprecia en la figura siguiente (el triángulo formado por los puntos ABD y el triángulo formado por los puntos BCD).

Figura 2.36: Baldosa Inicial

Como la imagen siempre es rectangular (más ancha que larga), el rombo de la baldosa inicial estará contenido en el rectángulo de la imagen como se muestra en la siguiente figura:


Figura 2.37: Rombo contenido en la imagen

Para hallar los puntos de corte del rombo se realizarán los siguientes cálculos: si denominamos h a la altura del rectángulo (h es la altura de la imagen) y al

lado del triángulo a, al estar formado el rombo por triángulos equiláteros, se puede concluir que:

)(2 aha −=

aah =− 22

aah 22 +=

ah 32 =

Figura 2.38: Rombo contenido en la imagen

Si denominamos b al ancho del rombo, que coincidirá con la altura de los triángulos que lo forma, y con el que calcularemos el punto C. b se calculará de la siguiente manera:

)º60(* senab =

2

3*

3

2hb =

Con el resultado de estos datos tenemos que los puntos del rombo para aplicar a la función de corte serán:

ha3

2=

hb3

3=


A = (0, h)

B = (b, a) = ( h3

3, h3

2)

C = (b, 0) = ( h3

3, 0)

D= (0, h-a)

Figura 2.39: Puntos de corte del rombo

Generada la baldosa inicial (ver figura 2.29 baldosa inicial), se pasa a calcular la célula fundamental. El grupo P3 es el grupo cristalográfico más simple con movimientos de rotación de 120º. No aparecen ejes de simetrías ni ejes de simetrías con deslizamiento.

Su célula fundamental será el hexágono formado al aplicar a la baldosa inicial 2 giros de 120º situando el centro de giro en el punto B del rombo y girando en sentido horario. Así el primer giro será de 120º y el segundo de 240º o lo que es lo mismo de -120º.

Figura 2.40: Célula Fundamental Paso 1 grupo p3


Dado que el área de pintado es rectangular, para que sea más sencillo el algoritmo de traslación una vez obtenida la célula hexagonal se aplicaran dos transformaciones para convertirla en rectangular.

Figura 2.41: Célula Fundamental Paso 1.1 grupo p3

La primera transformación consiste en cortar el triángulo formado por los puntos KFE, marcado en gris, y trasladarlo al área superior izquierda de la célula de forma que el punto E del triángulo coincida con el punto D de la célula y el punto F coincida con el punto C, como se puede observar en la siguiente figura:

Figura 2.42: Célula Fundamental Paso 2 grupo p3


Para cortar el triángulo KFE tenemos que los puntos de corte son:

K = (b , 2

aa + ) = (b,

2

3a)

F = (2b, 2

aa + ) = (2b,

2

3a)

E = (b, 2a)

De forma análoga en la segunda transformación se cortará el triángulo formado por los puntos KEA (de fondo rallado), y se trasladará al área superior derecha de la célula de forma que el punto A del triángulo coincida con el punto C de la célula y el punto E coincida con el punto G.

En la figura siguiente se muestra la célula fundamental resultante.

Figura 2.43: Célula Fundamental grupo p3

Para cortar el triángulo KEA tenemos que los puntos de corte son:

K = (b , 2

aa + ) = (b,

2

3a)

E = (b, 2a)

A = (0,h)



Para generar el mosaico de este grupo basta con aplicar traslaciones de la

baldosa inicial siguiendo los vectores AC y AF . El algoritmo de traslación es el mismo que el explicado para el grupo p1, salvo que, como en el grupo cm, el punto C es fijo y no puede ser especificado por el usuario.

Se tiene en cuenta que la distancia de AC es igual a la de AF y se corresponde con la diagonal del rombo cuyo valor 2 b, es decir:

hbAFAC3

322 ===

Figura 2.44: Algoritmo de traslación grupo p3

La porción de célula que no aparece coincide con la mitad de la célula si se trata de líneas pares y con la célula entera si se trata de líneas impares.



1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortado el rombo de forma automática (no se considera un paso del pintado del algoritmo la generación de la baldosa inicial, se realiza como un paso interno).

2. Se gira la baldosa inicial con forma de rombo 120º en sentido de las agujas del reloj.

3. Se gira la baldosa inicial 240º en sentido de las agujas del reloj, formando la célula hexagonal.

4. Se realiza el primer paso para convertirla en célula rectangular cortando el triangulo inferior derecha y colocándolo en el área superior izquierda

5. Se realiza el segundo paso para convertirla en célula rectangular cortando el triangulo inferior izquierda y colocándolo en el área superior derecha. Se obtiene la célula fundamental rectangular.


6. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma (distancia que coincide con la diagonal del rombo), es decir, se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno.


8. Al inicio de cada siguiente fila se realiza el cálculo del desplazamiento horizontal según lo descrito en el algoritmo de traslación, si la línea es par aparece la mitad de la célula. Si la línea es impar la célula completa. Se tendrá en cuenta el desplazamiento vertical correspondiente al número de fila que será la altura de la célula fundamental multiplicada por el número de fila de pintado.


2.2.1.11 Algoritmo de generación del grupo p3m1

La baldosa inicial de este grupo es un triángulo equilátero, por tanto, de

ángulo º60=α .



Para generar el triángulo que forma la baldosa inicial se toma como lado el alto de la imagen (existe la restricción de que la imagen siempre es más ancha que larga):

Figura 2.46: Triángulo equilátero contenido en la imagen

Sólo será necesario calcular el punto B de corte del triángulo, puesto que los puntos A y B se conocen.

b

hg

2)º30(tan =

)º30(tan*2 g

hb =

Con lo que, se tiene que los puntos del triángulo para aplicar a la función de corte serán:

A = (0, h)

B = ( 2h ,)º30(tan*2 g

h)

C = (0, 0)

Generada la baldosa inicial (ver figura 2.45 baldosa inicial), se pasa a calcular la célula fundamental. Para ello se aplica un movimiento de simetría respecto del eje BC, formando un rombo. Ver la siguiente figura:


Figura 2.47: Generación Célula Fundamental Paso 1

Antes de realizar la simetría se desplaza la baldosa inicial una distancia C hacia abajo para que, al realizar la simetría, el rombo se muestre correctamente en el área de pintado. Para hallar el valor de la distancia C se realizan los siguientes cálculos:

Como conocemos el valor de )º30(tan*2 g

hb =

y de h que coincide con la altura de la imagen de la baldosa inicial, tendremos que:

22 cbh +=

22 bhc −=

Una vez generado el rombo se aplican 2 giros de 120º de forma sucesiva tomando como centro el punto “B”. Se construye de esta forma la célula hexagonal.



Al igual que en el grupo p3, construida la célula hexagonal se le aplican las transformaciones correspondientes para convertirla en una célula rectangular.

Figura 2.49: Generación Célula Fundamental Paso 2.1

Las transformaciones son las mismas que en el caso anterior. Se cortan los triángulos inferiores KFE y KEA y se sitúan en la parte superior de la célula al igual que lo descrito en el grupo p3, obteniendo la célula rectangular. Ver figuras 2.50 y 2.51



Figura 2.51: Generación Célula Fundamental

Algoritmo de traslación del grupo p3m1

Para generar el mosaico de este grupo basta con aplicar traslaciones de la

baldosa inicial siguiendo los vectores AC y AF . El algoritmo de traslación es el mismo que el explicado para el grupo p1, salvo que, como en el grupo cm, el punto C es fijo y no puede ser especificado por el usuario.


Se tiene en cuenta que la distancia de AC es igual a la de AF y se corresponde con la diagonal del rombo cuyo valor es 2 veces la altura del triángulo equilátero, es decir:

)º30(tan2*

)º30(tan*2*2

g

h

g

hb ==

Figura 2.52: Algoritmo de traslación grupo p3m1

Algoritmo de pintado del mosaico del grupo p3m1


1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortado el triángulo equilátero de forma automática y desplazada el valor correspondiente (no se considera un paso del pintado del algoritmo la generación de la baldosa inicial, se realiza como un paso interno).

2. Se realiza la simetría del triángulo sobre su eje para construir un rombo.

3. A partir de aquí el algoritmo de pintado sigue los mimos pasos que los descritos para el grupo p3 a partir del paso 2


2.2.1.12 Algoritmo de generación del grupo p31m

La baldosa inicial es un triángulo isósceles donde los ánulos opuestos de los lados iguales valen 30º, es decir:

º30ˆ =A

º30ˆ =C


Para generar el triángulo que forma la baldosa inicial, teniendo en cuenta que existe la restricción de que la imagen siempre es más ancha que larga, se realizan los siguientes cálculos:

Para hallar el punto de corte C calculamos cuanto vale b

h

bg =)º30(tan

)º30(tan* ghb =

3

3*hb =

hb3

3=


Figura 2.54: Triángulo isósceles contenido en la imagen

Para calcular el valor de a tenemos:

a

b=)º30cos(

3

2

2

3

3

3*

)º30cos(

hh

ba ===

Cortada la baldosa inicial (ver figura 2.53 baldosa inicial), se pasa a calcular la célula fundamental. Para ello se aplica un movimiento de simetría respecto del eje AC, formando un rombo. Ver la siguiente figura:


ha3

2=


Una vez generado el rombo se aplican 2 giros de 120º de forma sucesiva tomando como centro el punto “B”, construyendo de esta forma la célula hexagonal.




.


Las transformaciones son las mismas que en los casos anteriores: se cortan los triángulos inferiores KFE y KEA y se sitúan en la parte superior de la célula al igual que lo descrito en el grupo p3, obteniendo la célula rectangular. Ver figuras 2.58 y 2.59


Figura 2.59: Generación Célula Fundamental


Algoritmo de traslación del grupo p31m

El algoritmo de traslación de este grupo es exactamente igual que el descrito para el algoritmo p3.

Figura 2.60: Algoritmo de traslación grupo p31m

Algoritmo de pintado del mosaico del grupo p31m


1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya oel triángulo de forma automática (no se considera un paso del pintado del algoritmo la generación de la baldosa inicial, se realiza como un paso interno siguiendo los cálculos explicados).

2. Se realiza la simetría del triángulo sobre su hipotenusa, o lado más largo del triángulo, para construir un rombo.

3. A partir de aquí el algoritmo de pintado sigue los mimos pasos que los descritos para el grupo p3 a partir del paso 2


La baldosa inicial del grupo es un cuadrado. Este grupo no contiene ni simetrías, ni simetrías con deslizamiento pero si giros de orden 4, por lo que a la baldosa inicial se aplicará un movimiento de rotación de 90º sobre uno de sus centros de rotación.


Figura 2.61: Baldosa Inicial grupo p4

Como la imagen siempre es rectangular (más ancha que larga), se toma como lado del cuadrado la altura de la imagen como se muestra en la siguiente figura:

Figura 2.62: Cuadrado contenido en la imagen

Así los puntos de corte del cuadrado serán:

A = (0, h)

B = (h, h)

C = (h, 0)

D = (0, 0)

La construcción de la célula fundamental se realiza aplicando giros consecutivos de 90º sobre el centro B. En el primer paso se gira 90º, en el segundo se aplica un giro de 180º sobre B y en el tercero de 270º. Como resultado final tenemos la célula fundamental como se observa en la siguiente figura:


Figura 2.63: Generación Célula Fundamental Grupo p4



los vectores de traslación 2 AB y 2 AD (ver figura 2.61 Baldosa Inicial de P4), que en este caso son perpendiculares entre si y coinciden con los ejes del área de pintado. La distancia de los vectores es la misma y coincide con el valor de h, es decir, con la altura de la imagen.

2 AB = 2 AD = 2h

Basta con pintar la segunda célula fundamental a continuación de la primera, es decir, traslada 2 veces el alto de la baldosa inicial, que será el ancho de la célula fundamental.

A partir de la segunda fila se calcula que porción de célula (x), no debe aparecer (por quedar fuera al área de dibujado). Cómo se puede observar en la figura siguiente al ser los vectores de traslación perpendiculares esta porción coincide con el ancho de la célula fundamental con lo que no hay que realizar ningún calculo. Basta con tener en cuenta la traslación vertical del

vector 2 AD que coincide con la altura de la Célula fundamental.


Figura 2.54: Algoritmo de Traslación del grupo p4

Algoritmo de pintado del grupo p4


1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortada en forma de cuadrado siguiendo los cálculos descritos (no se considera un paso del pintado del algoritmo la generación de la baldosa inicial, se realiza como un paso interno).

2. Se gira la baldosa inicial con forma de cuadrado 90º en sentido de las agujas del reloj.

3. Se gira la baldosa inicial 180º en sentido de las agujas del reloj.

4. Se realiza un tercer giro de la baldosa inicial de 270º en sentido de las agujas del reloj, quedando así construida la célula fundamental con forma rectangular

5. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma (2 veces el alto de la baldosa inicial), es decir, se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno.






La baldosa inicial del grupo p4m es un triángulo rectángulo ABC donde º90ˆ =A

y º45ˆˆ == CB . Este grupo además de contener giros de orden 4 (90º) tiene simetrías de tal forma que los ejes de simetría forma un ángulo de 45º entre sí.

Figura 2.65: Baldosa Inicial grupo p4m

Para cortar la baldosa inicial con forma de triángulo a partir de la imagen original se toma la altura h de la imagen como la distancia de los lados que forman el ángulo recto del triángulo:

Figura 2.66: Triángulo contenido en la imagen


Tenemos entonces que los puntos de corte del cuadrado serán:

A = (0, h)

B = (h, h)

C = (0, 0)

El primer paso de la construcción de la célula fundamental es aplicar una simetría a la baldosa inicial sobre el lado diagonal del triángulo, es decir, tomando como eje el segmento BC. Como se observa en la siguiente figura el resultado será un cuadrado:

Figura 2.67: Generación Célula Fundamental Paso 1 Grupo p4m

A continuación se aplicarán, al cuadrado obtenido al aplicar la simetría, tres giros consecutivos de 90º tomando como centro el punto B, de forma análoga a lo explicado en el grupo p4. El resultado de los giros será la célula fundamental.


Figura 2.68: Generación Célula Fundamental Grupo p4m


El algoritmo de traslación de este grupo es análogo al descrito para el grupo

p4, salvo que aquí los vectores de traslación son 2 AB y 2 AC .

Figura 2.69: Algoritmo de Traslación Grupo p4m

Algoritmo de pintado del grupo p4m


1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortada en forma de triángulo siguiendo las indicaciones explicadas anteriormente.


2. Se realiza una simetría de la baldosa inicial tomando como eje la hipotenusa del triángulo, lado BC, obteniendo como resultado un cuadrado.

El resto del algoritmo es igual que el descrito para el grupo p4 partiendo del paso 2.

2.2.1.15 Algoritmo de generación del grupo p4g

La baldosa inicial del grupo p4g es un triángulo rectángulo ABC donde º45ˆ =A ,

º90ˆ =B y º45ˆ =C este grupo además de contener giros de orden 4 (90º) tiene simetrías y simetrías con deslizamiento.

Figura 2.70: Baldosa Inicial grupo p4g

Para cortar la baldosa inicial con forma de triángulo a partir de la imagen original se toma la altura h de la imagen como la distancia de los lados que forman el ángulo recto del triángulo, como se muestra en la figura siguiente:

Figura 2.70: Triángulo contenido en la imagen


Tenemos entonces que los puntos de corte del cuadrado serán:

A = (0, h)

B = (h, h)

C = (h, 0)

El primer paso de la construcción de la célula fundamental es aplicar una simetría a la baldosa inicial sobre el lado diagonal del triángulo, es decir, tomando como eje el segmento AC. Como se observa en la siguiente figura el resultado será un cuadrado:

Figura 2.71: Generación Célula Fundamental Grupo p4g

A continuación se aplicarán, al cuadrado obtenido al aplicar la simetría tres giros consecutivos de 90º tomando como centro el punto B, de forma análoga a lo explicado en el grupo p4. El resultado de los giros será la célula fundamental.


Figura 2.72: Generación Célula Fundamental Grupo p4g

Algoritmo de traslación del grupo p4g

El algoritmo de traslación de este grupo es exactamente igual que el descrito para el grupo p4.

Figura 2.73: Algoritmo de Traslación Grupo p4g

Algoritmo de pintado del grupo p4g


1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortada en forma de triángulo siguiendo las indicaciones explicadas anteriormente.


2. Se realiza una simetría de la baldosa inicial tomando como eje la hipotenusa del triángulo, lado AC, obteniendo como resultado un cuadra

El resto del algoritmo es igual que el descrito para el grupo p4 partiendo del paso 2.


La baldosa inicial de este grupo es un triángulo equilátero, por tanto, de

ángulo º60=α . Como se vio en el punto de teoría, este grupo contiene giros de 60º. También posee giros de 120º (orden 3) y de 180º (orden 2), pero no contiene simetrías ni simetrías con deslizamientos.

Figura 2.74: Baldosa Inicial p6

La baldosa inicial coincide con la del grupo p3m1. Como se ha descrito en ese grupo para generarla se toma como lado el alto de la imagen (existe la restricción de que la imagen siempre es más ancha que larga):

Figura 2.75: Triángulo equilátero contenido en la imagen


Si se recuerda sólo será necesario calcular el punto B de corte del triángulo puesto que los puntos A y B se conocen.

b

hg

2)º30(tan =

)º30(tan*2 g

hb =

Con lo que se tiene que los puntos del triángulo para aplicar a la función de corte serán:

A = (0, h)

B = ( 2h ,)º30(tan*2 g

h)

C = (0, 0)

Al igual que en el grupo p3m1 la baldosa inicial aparece desplazada una distancia C hacia abajo para que al generar la célula fundamental se vea correctamente en el área de pintado. El desplazamiento y los cálculos realizados para obtener su valor son los mismos que los explicados para el grupo p3m1

22 bhc −=

Una vez desplazada la baldosa inicial se pasa a calcular la célula fundamental. Para ello se aplican giros de 60º tomando como centro el punto B, formando primero un rombo como se puede ver en la siguiente figura:

Figura 2.76: Generación Célula Fundamental Paso 1 Grupo p6


Se sigue aplicando giros de 60º de forma consecutiva hasta forma la célula fundamental hexagonal:




Las transformaciones son las mismas que en el caso anterior: se cortan los triángulos inferiores KFE y KEA y se sitúan en la parte superior de la célula al


igual que lo descrito en el grupo p3, obteniendo la célula rectangular. Ver figuras 2.79 y 2.80


Figura 2.80: Generación Célula Fundamental Grupo p6


El algoritmo de traslación del grupo p6 será análogo al descrito para el grupo p3m1.


Figura 2.81: Algoritmo de traslación del Grupo p6



1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortado el triángulo equilátero de forma automática y desplazado el valor correspondiente (no se considera un paso del pintado del algoritmo la generación de la baldosa inicial, se realiza como un paso interno).

2. Se realizan 5 giros de 60º grados consecutivos hasta formar la célula hexagonal.

A partir de aquí el algoritmo de pintado sigue los mimos pasos que los descritos para el grupo p3 a partir del paso 4.


La baldosa inicial de este grupo es un triángulo rectángulo C = 90, B = 30

Figura 2.82: Baldosa Inicial p6m


Para cortar el triángulo de la baldosa inicial se realizan los siguientes cálculos:

Figura 2.83: Triángulo rectángulo contenido en la imagen

Si w representa el ancho de la imagen y h es el valor, tenemos:

wga *)30(tan=

Si ha < en ese caso b es igual al ancho de la imagen:

b=w

Si ha > entonces se sustituye el valor de a por h , tenemos:

ha =

)30(tan g

ab =

Los puntos del triángulo para aplicar a la función de corte serán:

A = (0, 0)

B = (0, a )

C = (b , 0)

Al igual que en el grupo p6 la baldosa inicial aparece desplazada una distancia d hacia abajo para que al generar la célula fundamental se vea correctamente en el área de pintado.


Figura 2.84: Desplazamiento baldosa inicial grupo p6m

Como se observa en la figura anterior la distancia de desplazamiento d es igual a 2 veces a, entonces:

ad *2=

Teniendo en cuenta que:

wga *)30(tan=

Si ha > entonces se sustituye el valor de a por h , teniendo:

ha =

Una vez desplazada la baldosa inicial se pasa a calcular la célula fundamental. Para ello se aplica en primer lugar una simetría tomando como eje el lado de la baldosa inicial CB. Se forma así un rombo como se puede ver en la siguiente figura:


Figura 2.85: Generación Célula Fundamental Paso 1 Grupo p6m

A continuación se aplica giros de 60º tomando como centro el punto B de forma consecutiva, de forma análoga a lo explicado en el grupo p6, hasta formar la célula fundamental hexagonal:




Las transformaciones son las mismas que en el caso anterior: se cortan los triángulos inferiores KFE y KEA y se sitúan en la parte superior de la célula (al igual que lo descrito en el grupo p3) obteniendo la célula rectangular. Ver figuras 2.87 y 2.88.



Figura 2.88: Generación Célula Fundamental Grupo p6m


El algoritmo de traslación del grupo p6m será análogo al descrito para el grupo p3m1.

Se tiene en cuenta que la distancia de AC es igual a la de AF y se corresponde con la diagonal del rombo cuyo valor es 2 veces la altura del triángulo equilátero, es decir, 2b teniendo en cuenta que:

Si ha < en ese caso b es igual al ancho de la imagen:

b=w

Si ha > entonces se sustituye el valor de a por h , teniendo:

ha =

)30(tan g

ab =


Figura 2.89: Algoritmo de traslación del Grupo p6m

Algoritmo de pintado del mosaico del grupo p6m


1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortado el triángulo de forma automática y desplazado el valor correspondiente (no se considera un paso del pintado del algoritmo la generación de la baldosa inicial, se realiza como un paso interno).

2. Se realiza una simetría tomando como eje el lado del triángulo BC.

3. Se realizan 5 giros de 60º grados consecutivos hasta formar la célula hexagonal.

A partir de aquí, el algoritmo de pintado sigue los mismos pasos que los descritos para el grupo p3 a partir del paso 4.


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