capÍtulo 1 definiciÓn y medidas de Ángulos. unidades · creemos que se aprecia, todos los...

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CAPÍTULO 1 DEFINICIÓN Y MEDIDAS DE ÁNGULOS. UNIDADES

En estos breves apuntes se trata de dar claridad a conceptos nuevos

y sin apabullar con muchas fórmulas. Por ello, hablaremos sólo de las

ideas esenciales.

La idea de ángulo proviene de las distintas “aberturas” que pueden

formar dos rectas al cortarse y todos tenemos una idea intuitiva de lo que

es un ángulo y con eso nos parece suficiente.

Para medir los ángulos se utiliza el “transportador”, una

semicircunferencia graduada en “grados sexagesimales”: por convenio al

ángulo recto formado por dos rectas perpendiculares se le da el valor de

noventa grados; así un transportador de media circunferencia tendría

180 grados:

90° 45°

180° 0°

30°

Quedando la circunferencia entera dividida en 360 grados sexagesimales.

Una medida fundamental, y que utilizaremos siempre sino queremos

meter la pata en cálculos un poco más avanzados y en física, es el Radián o

ángulo bajo el cual se ve un radio desde el centro de cualquier

circunferencia cuando este radio lo ceñimos a la circunferencia:

1 𝑅𝑑

𝑅

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Como la circunferencia entera mide 2𝜋𝑅 de longitud, radios de longitud 𝑅

caben 2𝜋𝑅

𝑅= 2𝜋. O lo que es lo mismo, la circunferencia entera contiene

2𝜋 radianes.

Por lo tanto la relación o regla de tres para pasar de grados a radianes es:

𝟑𝟔𝟎° → 𝟐𝝅 𝑹𝒅

Entonces, 180 grados son 𝜋 𝑅𝑑 y 90 grados 𝜋

2𝑅𝑑

90° =𝜋

2𝑅𝑑

180° = 𝜋𝑅𝑑 0° = 0 𝑅𝑑

270° =3𝜋

2𝑅𝑑

Ejemplo: calcular cuánto vale en radianes el ángulo de 60 grados:

{𝜋 𝑅𝑑 → 180°

𝑥 → 60° → 𝑥 =60𝜋

180=

𝜋

3𝑅𝑑

Para acabar este capítulo, hemos de saber cómo se suman y restan

ángulos geométricamente:

Si queremos sumarle a un ángulo otro, giraremos una de sus líneas

en sentido antihorario la cantidad que le queramos sumar:

90 +30 +30

90 + 30 = 120°

30°


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Si queremos restar giraremos una de sus líneas en sentido horario

90-30 −30°

90 − 30 = 60°

Como hemos intentando reflejar en las figuras, el origen de

ángulos está siempre en el eje horizontal derecho (eje X positivo) y, como

creemos que se aprecia, todos los ángulos van acompañados de una

flecha cuyo origen es ese (eje X positivo).

CAPITULO 2. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

La definición de las principales medidas trigonométricas, como las

llamaremos a partir de ahora, seno y coseno puede enfocarse desde

muchos puntos de vista. Nosotros empezamos dando la definición

geométrica sobre la circunferencia de radio unidad (circunferencia

goniométrica –medidora de ángulos-):

𝑌 𝑃(𝑋, 𝑌)

𝛼

𝑋

En esta circunferencia de radio unidad, insistimos, hemos marcado un

ángulo 𝛼 cualquiera determinado por el eje X positivo (siempre el origen

de ángulos estará en el eje X positivo) y la recta oblicua que hemos

dibujado y que determina el ángulo. Esta recta corta a la circunferencia en

el punto 𝑃(𝑋, 𝑌), pues bien, la magnitud X de este punto (anchura) se


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define como el coseno de 𝛼 𝑜 𝑐𝑜𝑠𝛼 y la magnitud Y de este punto (altura)

define el seno de 𝛼 𝑜 𝑠𝑒𝑛𝛼.

𝑅 = 1 𝑃(𝑋, 𝑌) {𝑋 = 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑌 = 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑂 𝑄

Recordando que el radio de la circunferencia es uno, si estudiamos el

triángulo rectángulo 𝑂𝑄𝑃 y aplicamos Pitágoras a él tenemos:

𝑃

𝑂 𝑄

𝑂𝑃̅̅ ̅̅ 2 = 𝑂𝑄̅̅ ̅̅ 2 + 𝑄𝑃̅̅ ̅̅ 2 → {𝑂𝑃̅̅ ̅̅ = 1

𝑂𝑄̅̅ ̅̅ = 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑄𝑃̅̅ ̅̅ = 𝑠𝑒𝑛𝛼

→ 1 = (𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + (𝑠𝑒𝑛𝛼)2 →

→ 𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶

Fórmula fundamental de la trigonometría y que por supuesto no hay que

olvidar. Es intención de esta explicación dejar los conceptos básicos bien

claros y no ser un mero formulario de los que hay muchos (aunque al final

se incluye uno, es bueno tener uno a mano) por ello sólo hablaremos de

las más importantes según nuestro criterio.


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Son las siguientes:

𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑡𝑔𝛼 =𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑐𝑡𝑔𝛼 =𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑠𝑒𝑛𝛼=

1

𝑡𝑔𝛼

𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑠𝑒𝑐𝛼 =1

𝑐𝑜𝑠𝛼;

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼 =1

𝑠𝑒𝑛𝛼

Entre ellas hay infinitud de relaciones que, como ya hemos dicho, no

nos interesan en esta explicación.

Como hemos definido, los senos son la altura del punto que el ángulo

determina en la circunferencia y los cosenos la anchura de ese punto. Por

lo tanto, hay que tener en cuenta si son positivos o negativos:

𝑃1 𝑃2

𝑋 𝑋 𝑋

𝑃3 𝑃4

𝑃1: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 {𝑋 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 → 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑌 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 → 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑃2: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 {𝑋 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 → 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑌 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 → 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑃3: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 {𝑋 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 → 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑌 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 → 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑃4: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 {𝑋 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 → 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑌 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 → 𝑠𝑒𝑛𝛼

Los signos del seno y del coseno, y por lo tanto de las demás

razones, son fundamentales y por eso la explicación anterior que no es


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necesario memorizar si se entiende la definición y los signos en los ejes

coordenados. Veamos ahora el primer tipo de problemas para afianzar las

definiciones y las relaciones vistas.

CONOCIENDO UNA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA, CALCULAR LAS DEMÁS

1.- Sabiendo que 𝑐𝑜𝑠𝛼 =1

2 y que 𝛼 pertenece al cuarto cuadrante

deducir las demás razones trigonométricas:

Este es el caso más sencillo, cuando conocemos el seno o el coseno

𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 → 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + (1

2)2 = 1 → 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 1 −

1

4→

𝑠𝑒𝑛𝛼 = ±√3

4= ±

√3

2

Con el mismo coseno, 1

2 tenemos dos ángulos, 𝛼1 𝑦 𝛼2, con senos iguales

en longitud pero opuestos en signo como indica la figura:

𝑌

𝛼1

𝑋

𝛼2

𝑋 (= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜) =1

2

El ángulo 𝛼1 pertenece al primer cuadrante y tiene la altura y por lo tanto

el seno positivo 𝑠𝑒𝑛𝛼1 =√3

2 . El ángulo 𝛼2 pertenece sin embargo al

cuarto cuadrante y tiene por lo tanto la altura y el seno negativo

𝑠𝑒𝑛𝛼2 =−√3

2 Si en el enunciado no nos hubieran dicho a qué cuadrante


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pertenece el ángulo las dos soluciones hubieran sido válidas pero al

decirnos que pertenece al cuarto cuadrante la solución para el seno es

𝑠𝑒𝑛𝛼 =−√3

2 Las demás razones se calculan aplicando las fórmulas:

𝑡𝑔𝛼 =𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼=

−√3

21

2

= −√3; 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 =1

𝑡𝑔𝛼= −

1

√3 ; 𝑠𝑒𝑐𝛼 =

1

𝑐𝑜𝑠𝛼= 2

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼 =1

𝑠𝑒𝑛𝛼= −

2

√3

Como hemos dicho, en el caso de conocer el seno o el coseno (o la

secante o la cosecante que son sus inversos) el problema es el más

sencillo, como el problema anterior. Un poquito más largo es cuando

conocemos la tangente o la cotangente, como en el problema siguiente.

Lo vamos a resolver sin utilizar nada más que las fórmulas conocidas (hay

muchas como se ha dicho pero en muchos cálculos es más difícil

aprendérselas que el tiempo que ahorran en el problema). Cuando se

tenga duda, en estos problemas y en muchos, lo mejor es poner todo en

función de senos y cosenos que son las razones esenciales. Veamos:

2.- Calcular las razones trigonométricas de un ángulo del segundo

cuadrante cuya 𝑡𝑔𝛼 = −1

𝑡𝑔𝛼 = −1 →𝒔𝒆𝒏𝜶

𝒄𝒐𝒔𝜶= −𝟏

Ecuación en seno y coseno, dos incógnitas, pero no nos olvidamos de la

ley principal:

𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 = 𝟏

Quedándonos el siguiente sistema de ecuaciones:

{

𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼= −1 (1)

𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 (2)


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Despejando en (1) el seno por ejemplo y sustituyendo en (2) (método de

sustitución en la resolución de los sistemas) nos queda:

𝑑𝑒 (1) 𝑠𝑒𝑛𝛼 = −𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 (2) → (−𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1

→ 2𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 → 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ±√1

2= ±

1

√2= ±

√2

2

Y, al igual que antes, decidimos el signo por la información que tenemos:

el ángulo pertenece al segundo cuadrante, por lo tanto su anchura, su

“equis”, es negativa y, por lo tanto, su coseno también:

𝑐𝑜𝑠𝛼 = −√2

2

Como 𝑠𝑒𝑛𝛼 = −𝑐𝑜𝑠𝛼 → 𝑠𝑒𝑛𝛼 =√2

2

Y las otras tres razones trigonométricas se calculan aplicando las

fórmulas.

Se advierte que elegido una vez el signo de una razón

trigonométrica ya no hay que volver a elegirlo cuando se calculan las

demás; si todo está bien hecho cuadran los resultados (en nuestro caso el

seno ha salido con su signo positivo, por estar en el segundo cuadrante,

sin tener que elegirlo).

También, si “nos acordamos” de una identidad, lo podemos hacer

más corto

Identidad: 1

𝑐𝑜𝑠2𝑥= 1 + 𝑡𝑔2𝑥

Utilizándola en nuestro problema:

𝑡𝑔𝛼 = −1 →1

𝑐𝑜𝑠2𝑥= 1 + 1 → 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =

1

√2→ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±

√2

2


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RELACIONAR LAS RAZONES DE UN ÁNGULO CON LAS DE OTRO

Es muy típico y además importante para el conocimiento de este

tema el saber relacionar las razones trigonométricas de un ángulo dado

con las de otro que tiene que ver algo con él geométricamente.

Por ejemplo:

3. Conocido el 𝑠𝑒𝑛𝛼 =√3

2 𝑦 𝛼 ∈ 𝐼𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 calcular las razones

trigonométricas de:

a) 𝜋 + 𝛼

Lo primero que hacemos es conocer las de alfa como se ha hecho en los

ejercicios anteriores, seguro que nos vienen bien:

𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 → (√3

2)2 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 → 𝑐𝑜𝑠𝛼

= ±1

2 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝛼 ∈ 𝐼𝐼

Por lo tanto:

𝑠𝑒𝑛𝛼 =√3

2; 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −

1

2; 𝑡𝑔𝛼 = −√3; …

Para calcular las de 𝜋 + 𝛼 es absolutamente fundamental dibujar en la

circunferencia los ángulos 𝛼 𝑦 𝜋 + 𝛼, dibujando 𝜶 siempre en el primer

cuadrante, aunque no lo esté como es nuestro caso. La relación entre las

razones trigonométricas de 𝜶 𝒚 𝝅 + 𝜶 𝒚 𝒐𝒕𝒓𝒐𝒔 no depende del

cuadrante donde esté 𝜶.

Recordando cómo se suman ángulos del primer capítulo:

𝜋 𝛼

𝛼 + 𝜋


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𝑃(𝑋1, 𝑌1)

𝛼 + 𝜋 𝛼

𝑄(𝑋2, 𝑌2)

Recordando la definición de seno y coseno, se han marcado en rojo

los senos de 𝛼 𝑦 𝜋 + 𝛼 y los cosenos en verde. Claramente se observa que

las dos líneas verdes son iguales en longitud pero opuestas en signo pues

una está a la derecha (anchura, “x” positiva) y la otra a la izquierda,

concluimos pues:

𝑐𝑜𝑠𝛼 = −cos (𝜋 + 𝛼)

Daria decir lo mismo que cos(𝜋 + 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝛼 pues lo único que

sabemos y queremos decir es que son opuestos (no significa que el coseno

negativo es el que lleva el signo menos –recordamos que 𝛼 no tiene que

estar en el primer cuadrante y, de hecho, en nuestro caso no lo está y por

estar en el segundo cuadrante su coseno es negativo-)

También vemos que las dos líneas rojas son iguales en longitud pero

opuestas también en signo, pues una altura es positiva y la otra negativa,

por lo tanto:

𝑠𝑒𝑛𝛼 = −𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝛼)

Resumiendo

{𝒔𝒆𝒏𝜶 = −𝒔𝒆𝒏(𝝅 + 𝜶)𝒄𝒐𝒔𝜶 = −𝐜𝐨𝐬 (𝝅 + 𝜶)

Y dividiendo una entre la otra relacionamos las tangentes:

𝒕𝒈𝜶 =𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼=

−𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝛼)

−cos (𝜋 + 𝛼)= 𝒕𝒈(𝝅 + 𝜶)


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Como conocemos 𝑠𝑒𝑛𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑦 𝑡𝑔𝛼 sólo tenemos que sustituir en

cualquiera de las relaciones anteriores y despejar las razones de 𝜋 + 𝛼

Un comentario que conviene saber. La línea de las tangentes es la línea

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ de la figura y, como vemos, ambos ángulos la tienen igual, incluido el

signo (las dos son positivas en nuestro caso)

𝑡𝑔𝛼 = 𝑡𝑔(𝜋 + 𝛼)

Una advertencia: al dibujar el ángulo 𝛼 hemos recalcado el hecho de

dibujarlo siempre en el primer cuadrante por comodidad y sencillez.

También recalcamos la necesidad de no dibujarlo “especialmente guapo”

como por ejemplo de cuarenta y cinco grados pues podemos llegar a

conclusiones erróneas que sólo se cumplen para él. En nuestra figura

hemos preferido la claridad del dibujo. En el siguiente ejemplo seguimos a

“rajatabla” ambas condiciones

4. Con los mismos datos para 𝛼, calcular las de 𝜋

2+ 𝛼

Como antes, dibujamos los dos ángulos:

𝜋

2− 𝛼

𝛼


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Si observamos hay líneas claramente iguales en longitud pero no

las rojas entre sí (los senos de los dos ángulos) ni las verdes entre sí (los

cosenos) sino que la altura roja (seno) de 𝜶 coincide en longitud con la

anchura verde (coseno) de 𝝅

𝟐− 𝜶. Como además las dos son del mismo

signo, las dos positivas, diremos que son exactamente iguales:

𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝐜𝐨𝐬 (𝝅

𝟐− 𝜶)

De la misma manera, vemos que la línea verde del ángulo 𝛼, su

coseno, coincide en longitud y signo (las dos son positivas) con la línea roja

de 𝜋

2− 𝛼, su seno. Por lo tanto, decimos:

𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝒔𝒆𝒏(𝝅

𝟐− 𝜶)

Y, dividiendo una entre otra:

𝒕𝒈𝜶 =𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼=

cos (𝜋2

− 𝛼)

𝑠𝑒𝑛(𝜋2

− 𝛼)= 𝒄𝒐𝒕𝒈(

𝝅

𝟐− 𝜶)

Y sustituyendo los valores de las razones de 𝛼, nos queda:

𝐜𝐨𝐬 (𝝅

𝟐− 𝜶) = 𝑠𝑒𝑛𝛼 =

√𝟑

𝟐

𝒔𝒆𝒏 (𝝅

𝟐− 𝜶) = 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −

𝟏

𝟐

Sabiendo el seno y el coseno se pueden calcular ya las demás con las

fórmulas de la definición:

𝒕𝒈 (𝝅

𝟐− 𝜶) =

𝑠𝑒𝑛 (𝜋2

− 𝛼)

cos (𝜋2 − 𝛼)

=

−12

√32

= −𝟏

√𝟑


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CAPITULO 3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Por último, veamos cómo se resuelven triángulos rectángulos

utilizando las razones trigonométricas:

RELACIONES FUNDAMENTALES:

𝑁

ℎ

𝛼 𝑏

O 𝑐 𝑀

𝑂

Queremos relacionar los catetos, b y c, y la hipotenusa h del

triángulo OMN con el ángulo 𝛼.

La circunferencia que se ha remarcado es la circunferencia

goniométrica de radio unidad. Aplicando las simples leyes de semejanza

entre el triángulo grande OMN y el pequeño de catetos rojo y verde y de

hipotenusa el radio la unidad, podemos decir:

𝑏

ℎ=

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑟𝑜𝑗𝑜

1=

𝑠𝑒𝑛𝛼

1→ 𝒃 = 𝒉𝒔𝒆𝒏𝜶

O lo que es lo mismo:

Un cateto es igual a la hipotenusa por el seno del ángulo que está

enfrente de él.

Aplicando la semejanza entre los mismos triángulos:

𝑐

ℎ=

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒

1=

𝑐𝑜𝑠𝛼

1→ 𝒄 = 𝒉𝒄𝒐𝒔𝜶


Un cateto es igual a la hipotenusa por el coseno del ángulo que está a su

lado (el que no es de noventa grados claro)


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Y, por último, también:

𝒃

𝒄=

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑟𝑜𝑗𝑜=

𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝒕𝒈𝜶


El cociente de catetos es igual a la tangente del ángulo que está enfrente

del cateto del numerador.

Como las razones trigonométricas no son incógnitas pues las

conocemos utilizando la calculadora, este es un método fundamental para

resolver triángulos rectángulos. Veamos un ejemplo sencillo:

ℎ

7𝑚

𝑏 30°

Se trata de calcular h y b:

Aplicando las relaciones anteriores:

7

ℎ= 𝑠𝑒𝑛30 =

1

2→ ℎ = 14

Una vez conocida h, se puede aplicar Pitágoras para calcular el otro. Pero

también:

𝑏 = ℎ𝑐𝑜𝑠30 = 14𝑐𝑜𝑠30 = 14√3

2


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Veamos también un ejemplo típico:

𝐻

60° 100𝑚 55°

Se trata de calcular la altura del rectángulo remarcado. El

enunciado es:

Desde un punto arbitrario en el suelo se mira hacia la cúspide de

un edificio de altura desconocida obteniendo un ángulo de elevación de

60 grados. Alejándonos 100 m se observa el mismo punto bajo un ángulo

de elevación de 55 grados. Calcular la altura H de la torre.

Es muy típico que aparezcan dos triángulos rectángulos, vamos a

estudiar cada uno de ellos y, sin miedo, lo que no conozcamos le ponemos

nombre:

Triángulo pequeño:

𝐻

𝑥 60

Triángulo grande:

𝐻 55°

𝑥 + 100


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Como vemos, tenemos dos triángulos y dos incógnitas, una de las

cuales es la queremos calcular. Es fácil imaginar que de cada uno de ellos

nos saldrá una ecuación y de ahí un sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas. Las hipotenusas de ambos triángulos ni las conocemos ni nos

interesa conocerlas, aplicaremos entonces la relación entre catetos y

tangentes:

Triángulo pequeño

𝐻

𝑥= 𝑡𝑔60

Triángulo grande

𝐻

𝑥 + 100= 𝑡𝑔55

Y como las tangentes de 60 y 55 las conocemos por la calculadora,

tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas que no resolvemos.


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