capitulo i. fisica ii. elasticidad

CAPITULO I

Elasticidad

I. ANALISIS DE ESFUERZOS: Conceptos y Definiciones

Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011

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1.1. INTRODUCCIÓN

Las diversas estructuras y máquinas, de cuyo diseño y construcción se ocupa el ingeniero en su actividad práctica, deben tener ente otras, la propiedad de resistencia mecánica, es decir, deben oponerse a la rotura al ser

sometidas a la acción de fuerzas externas (cargas). Con este propósito, los elementos (piezas) de las estructuras y

máquinas deberán ser fabricadas del material correspondiente y tener las correctas dimensiones.

El primer objetivo de la Resistencia de materiales, es estudiar los métodos de cálculo de la resistencia de las

construcciones.

Además de esto, en muchos casos, es necesario determinar las variaciones de forma y de las dimensiones

(deformaciones), que surgen en los elementos de las construcciones sometidas a cargas.

Los cuerpos rígidos, indeformables, estudiados en la Mecánica, en realidad no existen

Las deformaciones de un sólido sometido a carga en general son pequeñas y se detectan con los extensómetros.

Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes de equilibrio y de movimiento. Sin

embargo, estas deformaciones son de gran utilidad para el diseño de estructuras y piezas. Al mismo tiempo, en

muchos casos, resulta necesario limitar el valor de las deformaciones, a pesar de ser pequeñas en comparación con

las dimensiones del elemento, ya que en caso contrario sería imposible el funcionamiento normal de la

construcción.

La propiedad del elemento de oponerse a las deformaciones de llama Rigidez. De aquí que el segundo objetivo es

la exposición de los métodos de cálculo de la rigidez de los elementos de las construcciones.

El problema siguiente de la Resistencia de Materiales es el estudio de la estabilidad de las formas de equilibrio de

los cuerpos reales. La estabilidad, es la capacidad de un elemento de opo nerse a grandes perturbaciones del

equilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbación pequeñas. También se dice que el equilibrio es

estable, si a una variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de las deformaciones. Por tanto

el tercer objetivo es la exposición de los métodos de cálculo de la estabilidad de los elementos de las

construcciones.

Al realizar los tipos de cálculo indicados anteriormente, se debe tender a una economía máxima del material, es

decir, las dimensiones de las piezas de las máquinas y estructuras no deben ser superiores a las necesarias. Para

ello es necesario del estudio de las propiedades de los materiales utilizados, así como de las características de las

cargas aplicadas. Ello se consigue realizando experimentos en el laboratorio, así como de la experiencia en el

diseño y el mantenimiento de la construcciones.

1.2. SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.

Para el mejor entendimiento de la Resistencia de Materiales se introducen ciertas suposiciones (hipótesis)

respecto a las propiedades de los materiales, a las cargas (fuerzas) y al carácter de interacción con los elementos

estructurales, para simplificar el cálculo de los elementos de las construcciones. Estas son:

Primera suposición: El material debe ser considerado macizo y continuo. Es decir, debe despreciarse la estructura

atomística, discontinua de la materia. Esto se explica por el hecho de que las dimensiones de las piezas reales son

muy superiores a la distancia entre átomos.

Segunda suposición: El elemento del cual está hecho el elemento se considera homogéneo, es decir tiene

propiedades idénticas en todos los puntos. En este caso los metales son materiales altamente homogéneos. Menos

homogéneos son la madera, el hormigón, la piedra, los plásticos de relleno. El hormigón por ejemplo, está

compuesto por piedras pequeñas, grava, gravilla, cuyas propiedades son distintas de las del cemento. La madera

tiene nudos, de propiedades diferentes al resto de madera. Sin embargo, los cálculos realizados de los

experimentos muestran que la suposición de homogeneidad es satisfactoria.

Tercera suposición: El material del cual se hace la pieza debe ser isótropo, es decir sus propiedades en

todas las direcciones deben ser iguales. Las investigaciones demuestran que los cristales que forman muchos

materiales tienen propiedades muy diferentes según las diferentes direcciones que se considere. Sin embargo, en el


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caso de materiales compuestos por granos finos, las propiedades en distintas direcciones son iguales. Para

materiales como la madera, el hormigón armado esta suposición es lícita con cierta aproximación.

Cuarta suposición: Se considera que las fuerzas internas, originales, las mismas que preceden a la aplicación de

cargas externas se consideran nulas. Es sabido que las fuerzas de interacción entre partículas del material, cuyas

distancias varían, se oponen a la variación de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas exteriores. Al

hablar de fuerzas interiores, en adelante tendremos en cuenta estas fuerzas despreciando las fuerzas moleculares

que existen en el cuerpo sometido a cargas. Esta suposición no se cumple cabalmente en ninguno de los materiales

utilizados en ingeniería. Así por ejemplo, se sabe que en el acero existen fuerzas internas como producto del

enfriamiento que experimenta el material, en la madera estas fuerzas aparecen como producto del secamiento de la

misma, y en l concreto armado aparecen durante el fraguado.

Quinta suposición: Esta suposición también se llama principio de superposición de cargas. Se expresa como el

efecto debido a la acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo es igual a la suma de los efectos de las acciones

de estas fuerzas, aplicadas consecutivamente, en orden arbitrario. Esta hipótesis se cumple cuando se cumplen las

siguientes condiciones:

Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños comparados con las

dimensiones del sólido.

Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas.

Sexta suposición: También llamado principio de SAINT – VENANT. El valor de las fuerzas interiores en los

puntos del sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco de l

modo concreto de aplicación de estas cargas. Este principio permite en muchos casos sustituir un sistema de

fuerzas por otro, estáticamente equivalente, lo que nos permite simplificar los cálculos.

1.3. FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS

Consideremos un sólido de forma arbitraria sobre el que actúan un conjunto de fuerzas exteriores

(concentradas o distribuidas) tal como se muestra en la figura 1.1a

(a) (b) Figura 1.1 (a) Cuerpo sometido a fuerzas externas mostrando un plano de corte imaginario; (b) Porción de cuerpo

separado mostrando las fuerzas internas.

Para obtener las fuerzas internas que actúan sobre una región específica dentro del cuerpo es necesario utilizar el

método de las secciones. Para ello debe hacerse un corte imaginario a través de una región específica dentro del

cuerpo donde van a determinarse las fuerzas internas. Las dos partes son separadas y se procede a trazar el

diagrama de sólido libre de una de las partes. Esta situación se ilustra en la figura 1.1b. En el diagrama puede

observarse que existe realmente una distribución de fuerzas interiores las que actúan sobre el área expuesta de la

sección. Estas fuerzas representan los efectos del material de la parte superior del cuerpo actuando sobre el

material adyacente.

Aunque la distribución de las fuerzas internas es desconocida se acude a las ecuaciones de equilibrio estático para

relacionar las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo con la fuerza y momento resultantes de la distribución,

RF

y ORM

en cualquier punto específico O sobre el área seccionada como se muestra en la figura 1.2a. A l hacerlo


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así, observe que RF

actúa a través del punto O, aunque su valor no dependa de la localización del punto. De otro

lado, ORM

si depende de la localización. En general puede escogerse como el centroide del área seccionada.

(a) (b)

Figura 1.2. (a) Fuerza y momento resultante de las fuerzas internas; (b) Componentes rectangulares de la fuerza y

momentos resultantes.

Las componentes de RF

y ORM

según las direcciones x, y y z, mostradas en la figura 1.2b, indican la aplicación de

cuatro diferentes tipos de carga definidas como sigue:

1.3.1. Fuerza normal (Nz). Es aquella fuerza que actúa perpendicularmente al área. Ésta fuerza se desarrolla

siempre que las fuerzas externas tienden a jalar o empujar los dos segmentos.

1.3.2. Fuerza cortante (V). Es aquella fuerza que reside en el plano imaginario de corte y se desarrolla cuando

las fuerza externas tienden a ocasionar el deslizamiento de una parte del cuerpo sobre el otro.

1.3.3. Momento o par torsional (Tz). Aquel momento que aparece cuando las fuerzas externas tienden a torcer

una parte del cuerpo respecto a la otra.

1.3.4. Momento flexionante (M). Aquel momento causado por las fuerzas externas que tienden a flexionar al

cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano.

1.4. ESFUERZO

En esta sección se muestra la forma para determinar la fuerza y el momento internos resultantes en un

punto específico sobre el área seccionada del cuerpo tal como se muestra en la figura 1.3a, la obtención de la

distribución de cargas internas es muy importante en la mecánica de materiales. Para resolver este problema es

necesario desarrollar un medio para describir la distribución de una fuerza interna en cada punto del área seccionada. Para esto, es necesario establecer el concepto de esfuerzo.

Figura 1.3. (a) Fuerza y momento resultantes de las fuerzas internas; (b) Fuerza ΔF actuando sobre un ΔA y (c) Fuerza

normal y cortante


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Consideremos al área seccionada subdividida en pequeñas áreas ΔA , tal como se muestra en la figura 1.3b. La

fuerza finita muy pequeña que actúa sobre ΔA es ∆�⃗� . Esta fuerza como todas las demás tendrá una dirección

única, pero para nuestro estudio la descomponemos en dos ∆�⃗�𝑛 y ∆�⃗�𝑡 las mismas que son normales y tangenciales

al área respectiva como se ve en la figura 1.3c.

Cuando el área ΔA tiende a cero, la fuerza ∆�⃗� o sus componentes también tiende a cero. Sin embargo, el cociente

entre la fuerza y el área tenderán a un límite finito. Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la

fuerza interna sobre un plano específico (área) que pasa por un punto.

1.4.1. Esfuerzo normal (σ). Se define como esfuerzo normal a la intensidad de fuerza, o fuerza por unidad

de área, actuando perpendicularmente a ΔA. Matemáticamente se escribe

A

Fn

A

0lim (1.1)

Si la fuerza o esfuerzo normal “jala” sobre el elemento de área ΔA como se muestra en la figura 1.4a, se

llama esfuerzo de tensión, mientras que si “empuja” sobre ΔA se denomina esfuerzo de compresión.

1.4.2. Esfuerzo cortante (τ). Se define como esfuerzo cortante a la intensidad de fuerza o fuerza por unidad

de área, que actúa tangencialmente a ΔA. Matemáticamente este esfuerzo se escribe.

A

Ft

A

0lim (1.2)

1.4.3. Componentes cartesianas del esfuerzo. Para especificar mejor la dirección del esfuerzo, se

descompone en componentes rectangulares x, y y z, orientados como se muestra en la figura 1.4a. El

elemento de área yxA y las tres componentes cartesianas de la fuerza ∆�⃗� se muestra en la

figura 1.4b. Bajo estas condiciones las componentes del esfuerzo son

A

Fz

Az

0lim (1.3)

A

Fx

Azx

0lim (1.4)

A

Fy

Azy

0lim (1.5)

El subíndice z se usa para indicar la dirección de la línea normal hacia fuera, que especifica la

orientación de ΔA y los subíndices x e y se refieren a los ejes coordenados en cuya dirección actúan los

esfuerzos cortantes.

(a) (b) (c)

Figura 1.4. Determinación de esfuerzos normales y cortantes.


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1.5. ESFUERZO NORMAL MEDIO DE UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE.

En la figura 1.5a, se muestra un elemento estructural al cual se le aplica las cargas P, estas fuerzas son

colineales con el eje centroidal de la barra y producen cargas de tensión. Estas fuerzas se llaman fuerzas axiales.

Si cortamos imaginariamente a la barra a través de la sección transversal a-a, se puede dibujar el DCL de la mitad

inferior de la barra como se muestra en la figura 1.5b. El equilibrio nos indica que en la sección hay una

distribución de fuerzas cuya resultante es F, la misma que es normal a la superficie e igual en magnitud a la fuerza

externa P y tiene una línea de acción que es colineal con P. La intensidad media de la fuerza interna por unidad

de área normal es el esfuerzo normal medio expresado como

A

Fm (1.6)

En este libro se usa el símbolo σ para denotar el esfuerzo normal. Se adopta la convención de asignarle un signo

positivo si el esfuerzo es de tensión por el contrario se asigna un signo negativo si el esfuerzo es de compresión.

Para determinar el esfuerzo en un punto se divide al área en elementos ΔA sobre los que actúa una fuerza ∆�⃗� la

misma que representa la resultante de las fuerzas internas transmitidas, como se muestra en la figura 1.5c. En estas

condiciones es esfuerzo se determina mediante la ecuación

A

F

A

0lim (1.7)

(a) (b) (c)

Figura 1.5. Elemento estructural cargado axialmente

En general el valor obtenido para el esfuerzo obtenido para un punto dado en una sección transversal es diferente

al obtenido mediante la ecuación (1.6) y se encuentra que el esfuerzo varía en la sección. La figura 1.6 muestra a

una barra delgada sometida a fuerzas axiales de compresión P y P’, estas variaciones son pequeñas en puntos

alejados del extremo, pero notoria en puntos cercanos al extremo.

Figura 1.6. Variación del esfuerzo normal en un elemento estructural cargado axialmente


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1.6. ESFUERZO CORTANTE MEDIO

En la sección 1.3 se definió al esfuerzo cortante como la componente del esfuerzo que actúa paralelamente

al plano de la sección transversal de corte. Para ver como aparece este esfuerzo consideremos un elemento tal

como se muestra en la figura 1.7 al que se le ha aplicado una fuerza P. Si los soporte B y D se consideran rígidos

y P es suficientemente grande, ésta ocasionará que el material de la barra falle a lo largo de los planos AB y CD.

El diagrama de cuerpo libre del segmento central no apoyado mostrado en la figura 1.7b, indica que una fuerza

cortante V = F/2 debe aplicarse a cada sección para mantener el equilibrio. Bajo estas condiciones el esfuerzo

cortante medio distribuido sobre cada área seccionada se define por

A

Vmed (1.8)

Donde: τmed = Esfuerzo cortante medio en la sección, se asume que es el mismo en toda la sección ; V = fuerza

cortante interna resultante en la sección determinada a partir del equilibrio; y A = Área de la sección

La distribución del esfuerzo cortante medio se muestra actuando sobre la sección derecha de la figura 1.7c. Debe

observarse que τmed tiene la misma dirección que V.

(a) (b) (c)

Figura 1.7. Esfuerzo cortante medio en un elemento estructural

1.6.1. Cortante simple.

Las placas unidas por un perno (1,8a) y (1,8e) así como las placas pegadas mostradas en la figuras

1.8c, respectivamente son ejemplos de elementos con conexiones a cortante simples. Los diagramas de

cuerpo libre mostradas en las figuras 1.8b; 1.8d, 1.8f y las ecuaciones de equilibrio muestran que las

fuerzas internas cortantes V son iguales a la fuerza exterior aplicada P, respectivamente, y el esfuerzo

cortante viene expresado por 𝜏 = 𝑉 𝐴⁄ = 𝐹𝐴⁄

(e) (f)

Figura 1.8. Elementos sometidos a esfuerzo cortante simple


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1.6.2. Cortante doble

Las placas unidas por un perno, figura 1.9a cuya vista transversal se da en la figura 1.9e, y las placas

pegadas mostradas en la 1ig figuras 1.9a y 1.9c, respectivamente son ejemplos de elementos con

conexiones a cortante dobles, en este caso debe observarse que aparecen dos superficies cortantes Los

diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras 1.9b; 1.9d; 1.9e y las ecuaciones de equilibrio muestran

que las fuerzas internas cortantes V = F/2 y el esfuerzo es 𝜏 = 𝑉 𝐴⁄ = 𝐹 2𝐴⁄ .

(e) (f) Figura 1.9. Elementos sometidos a esfuerzo cortante doble

1.7. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO

El esfuerzo de aplastamiento o de apoyo se presenta sobre la superficie de contacto entre dos elementos

interactuantes. Para el caso de la conexión mostrada en la figura 1.10a. El remache ejerce sobre la platina A una

fuerza �⃗⃗� igual y opuesta a la fuerza �⃗� que ejerce la platina sobre el remache véase figura 1.10b. En este gráfico �⃗⃗�

es la resultante de todas las fuerzas distribuidas en la superficie interior de un cilindro de diámetro d y longitud t

igual al espesor de la platina. Debido a que la distribución de esfuerzos, es muy compleja, se usa un valor medio

para el esfuerzo de aplastamiento σb, el mismo que se obtiene dividiendo la fuerza �⃗⃗� y el área proyectada del

remache en la platina (figura 1.10c). Debido a que esta área es igual a td, donde t es el espesor de la platina y d el

diámetro del remache, se tiene.

b

b

P P

A td (1.9)

(a) (b) (c)

Fig. 10. Definición de esfuerzo de aplastamiento.

1.6. ESFUERZO EN UN PLANO OBLICUO

Consideremos un elemento de sección transversal A 0 sometido a dos fuerzas �⃗⃗�y 𝑃′⃗⃗⃗⃗ tal como se muestra en

la figura 1.11a. Si trazamos imaginariamente un plano inclinado que forma un ángulo θ con el plano normal

(figura 1.11b) y dibujamos el DCL de la parte izquierda del elemento (figura 1.11c) se halla a partir de la

ecuaciones de equilibrio, que las fuerzas distribuidas en la sección inclinada deben ser equivalentes a la fuerza �⃗⃗�.


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Figura 1.11. Esfuerzo normal y cortante en planos inclinados

Descomponiendo P en sus componentes F y V, normal y tangencial a la respectiva sección, se obtiene que

cosPF (1.10)

PsenV (1.11)

La fuerza �⃗⃗⃗� representa la resultante de las fuerzas normales distribuidas en la sección y �⃗⃗� representa la resultante

de las fuerzas distribuidas paralelas al plano inclinado (figura 1.11d). El valor medio de los correspondientes

esfuerzos será

A

F (1.12)

A

V (1.13)

Remplazando las ecuaciones (1.10) y (1.11) en las ecuación (1.12) y (1.13), resulta

A

P cos (1.14)

A

Psen (1.15)

De la gráfica se observa que

cos

0AA (1.16)

Al sustituir este valor del área en las ecuación (1.14) y (1.15), se obtiene:

2

0

cosA

P (1.17)

22 0

senA

P (1.18)

De la ecuación (1.17) se observa que el esfuerzo normal es máximo cuando θ = 0º y que tiende a cero a medida

que θ se aproxima a 90º. El valor máximo del esfuerzo es

0

maxA

P (1.19)

De la ecuación (1.18) se observa que el esfuerzo cortante es máximo cuando el ángulo θ = 45º.

oA

P

2max (1.20)


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II. ANALISIS DE LA DEFORMACIÓN UNITARIA: Conceptos y Definiciones

2.1. INTRODUCCIÓN.

Utilizando los conceptos de la estática en la sección anterior se establecieron las relaciones entre las fuerzas

internas y los esfuerzos, evaluándose los esfuerzos normales y cortantes para distintos elementos sometidos a

cargas externas. Así mismo se evaluaron esfuerzos sobre superficies inclinadas de elementos. En ningún momento

se observó las deformaciones que producen la aplicación de cargas externas a un cuerpo deformable. Es sabido

que en el diseño de elementos estructurales o componentes de máquinas es de importancia considerar en el

mencionado diseño las deformaciones que experimentan los cuerpos. Por ello es importante discutir en esta

sección las deformaciones producidas por las fuerzas externas cuando son aplicadas a un cuerpo deformable real,

estableciéndose algunos métodos para medir tales deformaciones.

2.2. DESPLAZAMIENTO, DEFORMACIÓN Y DEFOMACIÓN UNITARIA

2.2.1 Desplazamiento.

Si sobre un cuerpo deformable se aplica un sistema de cargas externas, cada una de las partículas

que componen el cuerpo puede experimentar desplazamientos entre sí. Para determinar tales desplazamientos se utiliza el desplazamiento que es una magnitud vectorial que mide el movimiento de

una partícula de una posición a otra.

Para evaluar las deformaciones que experimenta un cuerpo deformable consideremos un cuerpo hecho de

un material continuo tal como se muestra en la figura 1.12. Las tres partículas A, B y C antes de la

aplicación de fuerzas están localizadas en el cuerpo como se ve en la figura. Después de la aplicación de las

fuerzas externas el cuerpo se deforma cambiando de posición y por tanto las nuevas posiciones de las

partículas son A’, B’ y C’. El desplazamiento de la partícula A viene descrito por el vector u(A).

Figura 1.12. Desplazamiento que experimenta una partícula.

2.2.2 Deformación.

La aplicación de las cargas externas ocasionan que las líneas AB y BC inicialmente rectas, se

convierten en líneas curvas A’B’ y A’C’. Por lo tanto, las longitudes de AB y AC así como el ángulo θ, serán diferentes de las longitudes curvas A’B’ y A’C’ y el ángulo θ’. Es decir la deformación se define

como la diferencia entre las longitudes y las orientaciones relativas de las dos líneas en el cuerpo debido a

los desplazamientos de cada partícula debido a la aplicación de las cargas externas al cuerpo.

2.2.3 Deformación unitaria.

La deformación unitaria se utiliza para describir la deformación por cambios en la longitud de

segmentos de línea y los cambios en los ángulos entre ellos. Existen dos tipos de deformación unitaria:


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Deformación unitaria normal. Designada por la letra griega épsilon (ε), expresa el alargamiento o

acortamiento de un segmento de línea por unidad de longitud de un cuerpo durante la deformación.

Para encontrar una expresión matemática para la deformación unitaria normal, considere una línea recta

AB dentro de un cuerpo no deformado como se muestra en la figura 1.13a, esta línea está ubicada a lo

largo del eje n y tiene una longitud inicial Δs. Después de la deformación la línea recta se transforma en

una línea curva con una longitud Δs’ como se muestra en la figura 1.13b.

(a) (b)

Figura 1.13. (a) Cuerpo sin deformación y (b) Cuerpo deformado

El cambio en la longitud es entonces (Δs’ – Δs). La deformación unitaria normal promedio εprom se define

como

s

ssprom

' (1.21)

A medida que el punto B se escoge cada vez más cercano al puno A, la longitud de la línea se vuelve cada

vez más corta, de tal modo que 0s . De igual forma B’ se aproxima a A’ de modo que 0's . Por

lo tanto, la deformación unitaria normal en el punto A es la dirección n está dada por

s

ss

AB

'lim

n de largo lo a (1.22)

En algunos casos se conoce la deformación unitaria normal, por lo que se desea determinar la longitud final

del segmento corto en la dirección n para ello se usa la relación

ss 1' (1.23)

Por tanto cuando ε es positiva, la línea inicial se alargará, mientras que si ε es negativa la línea se acortará.

Debido a que la deformación unitaria es el cambio de longitud por unidad de longitud, entonces ella será

una cantidad adimensional. Por la pequeñez de esta cantidad, la deformación unitaria normal en el SI se

expresa como (μm/m).

Deformación unitaria normal de elementos sometidos a cargas axiales.

Consideremos un barra de peso despreciable BC, de longitud L y área transversal A, suspendida de su

extremo B tal como se muestra en la figura 1.14a. Si ahora se aplica una carga externa P al extremo libre C,

la barra experimentará un alargamiento δ como se ve en la figura 1.14b.

Figura 1.14. (a) Elemento sin carga axial, (b) elemento sometido a carga axial P mostrando la

deformación que le produce y (c) diagrama fuerza-deformación.


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Al elaborar un diagrama fuerza-deformación, se obtiene una gráfica como se ve en la figura 1.14c. Debe

señalarse que aunque este diagrama contiene información útil para el análisis de la barra en estudio, no

puede utilizarse para predecir el comportamiento de otra barra del mismo material pero con dimensiones

diferentes. Así por ejemplo, la barra B’C’ de sección transversal 2A y longitud L, experimentará la misma

deformación δ cuando se aplica una fuerza 2P (ver figura 1.15a) siendo en ambos casos el esfuerzo

normal el mismo. Por otro lado, cuando la barra B’’C’’ de longitud 2L y área transversal A es sometida a

una fuerza P experimenta una deformación 2δ (ver figura 1.15b) obteniéndose además que el cociente entre

el alargamiento y la longitud inicial es el mismo.

(a) (b)

Figura 1.15. (a) Elemento de longitud L sometido a una carga 2P y (b) elemento de área y longitud 2L sometido a

una carga P

Por ello la deformación unitaria normal está dado por

L

(1.24)

Si el desplazamiento es a lo largo de una línea recta. Consideremos dos puntos A y B sobre la recta x como

se muestra en la figura 1.16a,. Después de la aplicación de la carga externa, los puntos A y b se desplazan a

los puntos A1 y B1, respectivamente. Las coordenadas de los puntos xA y xB a xA + uA y xB + uB. Entonces

las longitudes inicial y final son L0 = xB – xA y Lf = (xB + uB) –( xA + uA).

Figura 1.16. Deformación unitaria en una línea recta

La deformación unitaria será

0

0

f B Amed

B A

L L u u

L x x

(1.25)

Donde uA y uB son los desplazamientos de los puntos A y B B Au u es el desplazamiento relatico

Si ahora se construye una gráfica esfuerzo (σ) - deformación unitaria normal (ε), se obtiene una curva

característica para cada uno de los materiales la que no depende de las dimensione de la probeta. Esta

relación se discutirá más adelante. Por otro lado, cuando la sección del elemento sometido a cargas


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externas es de sección variable como se muestra en la figura 1.17a, el esfuerzo normal varía a lo largo del

elemento por ello es necesario definir la deformación en cierto punto Q considerando un pequeño elemento

de longitud no deformado x como se ve en la figura 1.17b.

(a) (b)

Figura 1.17 (a) Elemento de sección variable sin carga axial y (b) elemento de sección variable

sometido a carga axial.

Si es el alargamiento del pequeño elemento bajo la carga exterior dada, la deformación unitaria en

estas condiciones será.

dx

d

xx

0lim (1.26)

Deformación angular o cortante.

La deformación unitaria angular o cortante se define como el cambio en el ángulo que ocurre entre dos

segmentos de línea inicialmente perpendiculares. Este ángulo se denota por γ y su valor se mide en

radianes. Para mostrar esto consideremos dos segmentos de línea AB y AC a lo largo de los ejes

perpendiculares n y t como se muestra en la figura 1.18a. Después de la deformación las líneas rectas AB y

AC se vuelven curvas y el ángulo entre eles es θ’ ver la figura 1.18b. Por lo tanto, la deformación unitaria

angular será

'lim2

tde largo lo aA Cn de largo lo a

AB

nt (1.27)

Debe observarse que si θ’ es menor que 90º, la deformación angular es positiva por el contrario si θ’ es

mayor de 90º la deformación angular es negativa.

(a) (b)

Figura 1.18. (a) Angulo entre dos rectas perpendiculares de un cuerpo sin deformación y (b) ángulo entre dos

líneas de cuerpo deformado

Por otro lado cuando un cuerpo es sometido a una fuerza cortante Fs tal como se muestra en la figura 1.19,

el cuerpo cambia su forma de rectangular a romboidal. Si uno de los lados se mantiene fijo el lado superior

experimenta un desplazamiento δ s


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Figura 1.19. Deformación angular o cortante en un plano

La deformación angular promedio se obtiene dividiendo la deformación δ s en una dirección normal y la

longitud L

x

yx yxtgL

(1.28)

Para aquellos casos en los cuales la deformación no es uniforme, la deformación angular en un punto viene

dada por

0

( ) lim x xxy

L

dP

L dL

(1.29)

Análisis de deformaciones unitarias pequeñas.

En muchos problemas ingenieriles, un cuerpo solo experimenta pequeños cambios en sus dimensiones. La

aproximación de pequeñas deformaciones simplifica en alto grado la solución de tales problemas. En la

figura 1.20 se muestra un ejemplo de cómo evaluar la deformación.

Figura 1.20. Deformaciones pequeñas.

La fuerza que actúa sobre la barra provoca que el punto P se mueva en una cantidad D en un ángulo θ

referido a la dirección de la barra. La ley de los cosenos aplicada al triángulo nos permite determinar Lf,

esto es

cos21cos20

2

0

00

22

0

L

D

L

DLDLDLL f

(a)

Teniendo en cuenta la ecuación (1.24) se puede determinar la deformación promedio en la barra AP, es

decir.

1cos210

2

00

0

L

D

L

D

L

LL f (b)


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Si se considera de que D << L0, en este caso se desprecia el término cuyo exponente es 2 y si se usa el

binomio de Newton se obtiene

1.............cos10

L

D (c)

Simplificando la ecuación anterior se obtiene

0

cos

L

Dpeq

(1.30)

El cambio dimensional y deformación están linealmente relacionados en la ecuación (1.30), lo cual no

ocurre con la ecuación (a), esto implica que los cálculos de pequeña deformación resultarán en un sistema

lineal, eso simplifica los cálculos

III. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

3.1. INTRODUCCIÓN.

Si se tiene un alambre de un metal y una cuerda de hule con igual longitud antes de experimentar una

deformación al someterlos a cargas externas iguales experimentarán deformaciones diferentes. No debe de

sorprenderse al observar que el hule se deforma mucho más que el alambre de acero. Esta situación pone de

manifiesto que las propiedades mecánicas cumplen una importante función en el desarrollo de las fórmulas para

relacionar el cambio dimensional con las cargas aplicadas.

La descripción cualitativa de un material mediante adjetivos como elástico, dúctil, frágil tiene un significado muy

específico que es necesario conocer, ya que estos adjetivos nos permiten describir a los materiales. La

descripción cuantitativa se realiza a través de ecuaciones que describen las curvas esfuerzo - deformación de cada

uno de los materiales. Los parámetros en las ecuaciones se determinan experimentalmente.

Por ello el objetivo de esta sección es comprender la descripción cualitativa y cuantitativa de las propiedades

mecánicas de los materiales.

3.2. DIAGRAMAS ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA.

Se ha visto en la sección anterior que cuando se traza un diagrama carga-deformación se obtiene un

diagrama tal como el mostrado en la figura 1.14c. Debe señalarse que aunque este diagrama contiene información

útil para el análisis de elemento en es tudio, no puede utilizarse para predecir el comportamiento de otros

elementos del mismo material pero con dimensiones diferentes. Por ello es necesario buscar otro tipo de diagrama

que nos permitan caracterizar a un material en general. Estos diagramas son los diagramas esfuerzo-deformación

unitaria.

Para obtener estos diagramas se realizan ensayos de tensión o de compresión estandarizados uno de ellos es lo

normado por la ASTM.

3.2.1. Ensayo de tensión.

Uno de los ensayos mecánicos esfuerzo-deformación más comunes es el realizado a tracción. Este

ensayo es utilizado para determinar varias propiedades de los materiales que son importantes para el

diseño. Normalmente se deforma una probeta hasta la rotura, con una carga de tracción que aumenta

gradualmente y que se aplica axialmente a lo largo del eje de una probeta. En la figura 1.21a se muestra

algunas probetas cilíndricas normalizadas y en la figura 1.21b se muestran probetas planas normalizadas .

Generalmente la sección de la probeta es circular, pero también se utilizan probetas de sección rectangular.

Durante el ensayo, la deformación está confinada en la región más estrecha del centro, la cual tiene una

sección uniforme a lo largo de su longitud. El caso de probetas cilíndricas el diámetro normalizado es

aproximadamente 12,8 mm (0,5 pulgadas), mientras que la longitud de la sección reducida de ser igual a


16

por lo menos cuatro veces su diámetro, siendo usual 60 mm. La longitud de p rueba es de 50 mm (2

pulgadas) como se ve en la figura 1.21c.

(a) (b)

(c)

Figura 1.21. Probeta de tracción normalizada con sección circular

La probeta se instala con sus extremos en las mordazas de la máquina de ensayos de tracción como se

muestra en la figura 1.22. Máquina que se diseña para alargar la probeta a una velocidad constante, y para

medir continua y simultáneamente la carga instantánea aplicada (con una celda de carga) y el alargamiento

resultante (utilizando un extensómetro). El ensayo dura varios minutos y es destructivo, o sea la probeta del

ensayo es deformada de forma permanente y a menudo rota,

Figura 1.22. Máquina de ensayos de tracción con un sistema de procesamiento automático de datos.


17

3.2.2. Diagrama esfuerzo normal - deformación unitaria.

El resultado del ensayo se registra en una banda de papel como carga en función del alargamiento.

Estas características carga-deformación dependen del tamaño de la probeta. Para minimizar los factores

geométricos, la carga y la deformación son normalizadas para obtener los parámetros esfuerzo nominal y

deformación nominal, respectivamente ver la figura 1.23.

Figura 1.23. Muestra normalizada utilizada en ensayo de tracción

El esfuerzo nominal o de ingeniería σ se determina mediante la ecuación.

0A

P

(1.31)

En donde P es la carga instantánea aplicada perpendicularmente a la sección de la muestra y A0 es el área

de la sección transversal original antes de aplicar la carga.

La deformación nominal o de ingeniería se define como

00

0

LL

LLi

(1.32)

Dónde: L0 es la longitud original antes de aplicar la carga, y Li es la longitud instantánea. Algunas veces Li

- L0 se expresa mediante δ y es el alargamiento producido por la deformación, o cambio en la longitud en

un instante determinado.

Si se grafican lo valores correspondientes de σ y ε, la curva se llama diagrama convencional de esfuerzo-

deformación unitaria. Este diagrama es importante ya que nos permite obtener la resistencia a tensión (o

compresión) de un material sin considerar la geometría del material. Sin embargo, debe de precisarse de

que nunca serán exactamente iguales los diagramas esfuerzo-deformación para un material particular, ya

que los resultados dependen entre otras variables de la composición del material, las imperfecciones

microscópicas, de la forma en que fueron fabricados, de la velocidad de la carga y de la temperatura de

ensayo.

A continuación discutiremos la curva convencional del acero, material muy utilizado en la fabricación de

componentes estructurales y mecánicos. En la figura 1.24 se muestra el diagrama σ – ε de una probeta de

acero. En dicha gráfica se observa cuatro maneras diferentes en que el material se comporta dependiendo

de la cantidad de deformación unitaria inducida en el material.


18

Figura 1.24. Diagrama esfuerzo-deformación para un acero estructural

Comportamiento elástico. Decimos que el material es elástico cuando recobra su forma original después de

la suspensión de la carga aplicada a ella. Este comportamiento elástico ocurre hasta cuando el material

alcanza el límite de proporcionalidad el diagrama σ – ε es prácticamente una línea recta. En estas

condiciones el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria. El esfuerzo que le corresponde al límite de proporcionalidad se llama esfuerzo elástico (σpl). Si el esfuerzo excede un poco el límite de

proporcionalidad el material todavía puede responder elásticamente. Sin embargo, la curva tiende a

aplanarse causando un incremento mayor en la deformación unitaria. Esto continúa hasta que el esfuerzo

alcanza el límite elástico. Para determinar este esfuerzo es muy complicado debido a la cercanía en que se

encuentran estos puntos.

Fluencia. Un ligero incremento del esfuerzo más allá del límite elástico provoca un colapso del material

ocasionando que el material se deforme permanentemente. Este comportamiento se llama fluencia. El esfuerzo que origina la fluencia se llama esfuerzo de fluencia (σy) y la deformación que ocurre se llama

deformación plástica. En algunos aceros se encuentra dos valores para el límite de fluencia uno superior y

otro inferior pero una vez que se alcanza éste último el material se deforma sin la aplicación de carga.

Endurecimiento por deformación. Una vez que la fluencia termina, la aplicación de carga a la probeta

ocasiona que se eleve nuevamente pero más suavemente hasta alcanzar el esfuerzo último (σu). La

elevación en la curva se denomina endurecimiento por deformación.

(a) (b)

Figura 1.25. (a) Probeta de acero mostrando el inicio de la estricción y (b) probeta fracturada, observe la

formación del cono y la copa


19

Estricción. Cuando la probeta alcanza el esfuerzo último, comienza a experimentar una disminución en la

sección transversal en una zona localizada, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este efecto se debe al

reacomodo de los planos de deslizamiento que se forman dentro del material y las deformaciones

producidas se deben a esfuerzos cortantes. Como resultado aparece una estricción o cuello en la zona a

medida que la probeta se alarga cada vez más como se muestra en la figura 1.25a. Una vez que se alcanza

el esfuerzo cortante máximo la probeta fractura tal como se ve en la figura 1.25b.

3.2.3. Materiales Dúctiles y frágiles.

Materiales Dúctiles. Todo aquel material que puede experimentar deformaciones grandes antes de la

fractura se llama material dúctil. Esta propiedad mecánica hace que el ingeniero escoja a estos materiales

para el diseño de estructuras o elemento de máquinas por su capacidad de estos materiales para absorber

energía sin sufrir sobrecarga exhibiendo una deformación grande antes de fallar.

Una forma como expresar el grado de ductilidad de un material es el porcentaje de elongación o el

porcentaje de reducción de área en el momento de fractura. Esto es:

)%100(L

elongación de Porcentaje0

0f

L

L (1.33)

)%100(A

área dereducción de Porcentaje0

0f

A

A (1.34)

Donde Af es el área de la sección transversal después de la fractura y A0 es el área de la sección trasversal

inicial.

Además del acero existen muchos otros materiales que tienen este comportamiento tales como el latón, el

molibdeno y el zinc experimentando curvas esfuerzo deformación análogas es decir presentan una zona

elástica, una zona de fluencia, una zona de deformación por deformación sufriendo una estricción para

llegar a fracturar. Sin embargo, muchos otros materiales no presentan fluencia más allá de la zona elástica.

El aluminio por ejemplo no presenta un punto de fluencia bien definido, y por consiguiente se ut iliza el

método de la desviación para determinar el esfuerzo de fluencia. Esto se consigue escogiendo una

deformación unitaria del 0,2% y desde este punto situado sobre el eje ε en el diagrama esfuerzo -

deformación se traza una recta paralela a la porción recta inicial de la curva. El punto de intersección de

esta línea con la curva define el esfuerzo de fluencia. Este criterio se muestra en la figura 1.26

Figura 1.26. Esquema donde se indica cómo se obtiene el esfuerzo de fluencia para el aluminio.

Materiales frágiles. Aquellos materiales que presentan poca o ninguna fluencia antes de la fractura se

denominan frágiles. Destacan entre otros la fundición gris, el concreto armado, el vidrio, etc. Estos

materiales en general son ensayados en máquinas de compresión tal como se muestra en la figura 1.27a. La

forma como se produce la fractura frágil está mostrada en la figura 1.26a. En el caso del concreto el

diagrama esfuerzo-deformación dependen fuertemente de la composición (agua, arena, grava y cemento);

del tiempo y de la temperatura de curado. En la figura 1.27c se muestra el diagrama esfuerzo-deformación

para el concreto. En él se observa que el esfuerzo de compresión máximo es de casi 12,5 veces mayor que

su esfuerzo de fractura a tensión. Por ello es que el concreto siempre se refuerza con acero en estructuras.


20

(a) (c)

Figura 1.27. (a) Máquina de compresión (b) Probeta fracturada de un material frágil y (b) rotura frágil de una

probeta de acero (c) Diagrama esfuerzo-deformación para una muestra de concreto.

3.2.4. Ley de Hooke.

En un ensayo de tracción, la relación esfuerzo normal y deformación unitaria normal en la región

lineal establece que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación normal, esto se traduce en la

expresión.

E (1.35)

La ecuación (1.34) se conoce como ley de Hooke, siendo E la pendiente de la recta y se denomina módulo

de Young o módulo de elasticidad. Las unidades de E son las mismas que las del esfuerzo por ser la

deformación unitaria una cantidad adimensional.

3.2.5. Razón de Poisson.

Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza de tracción axial, no sólo se alarga sino

también experimenta una contracción lateral. Sucede el efecto inverso cuando las cargas son de

compresión. Estos casos se muestran en las figuras 1. 28a y 1.28b.

Al aplicar la carga P a la barra, su longitud se incrementa en una cantidad δ y su radio experimenta una

contracción δ’. Las deformaciones axial y lateral se expresan

L

long

y

rlat

' (1.36)

S. D. Poisson descubrió que dentro del rango elástico, la razón entre estas deformaciones unitarias es constante. A esta relación se le llama módulo de Poisson (ν) y tiene un valor único para cada uno de los

materiales considerado homogéneo e isótropo, expresado por

long

lat

(1.37)

El módulo de Poisson es adimensional y para la mayoría de materiales toma un valor dado por

5,00

(b)


21

Figura 1.28. (a) Elemento sometido a carga de tensión y (b) elemento sometido a una carga de compresión

3.2.6. Diagrama esfuerzo-deformación unitaria por cortante.

La figura 1.29a, muestra una sección de un material homogéneo e isótropo, sometido a esfuerzos

cortantes, el efecto de tale esfuerzos ocasiona que el material se distorsione quedando como lo muestra la

figura 1.29b. La deformación angular unitaria a cortante será γxy.

Los materiales sometidos a esfuerzos cortantes también pueden ser estudiados en el laboratorio utilizando

muestras en forma de tubos y sometidos a pares torsores. Los datos obtenidos nos permiten determinar el

esfuerzo cortante y la deformación angular, con estos datos se traza un diagrama esfuerzo cortante -

deformación angular unitaria cortante. Este diagrama para un material dúct il se observa en la figura 1.29c.

Al igual que en el ensayo de tracción, este material exhibe un comportamiento elástico – lineal cuando se

somete a corte y tendrá un esfuerzo de proporcionalidad definido. También presenta un endurecimiento por

deformación hasta llegar al esfuerzo cortante último. Finalmente el material comenzará a perder su

resistencia al cortante hasta que se produce la fractura.

(a) (b) (c)

Figura 1.29. (a) Forma del elemento inicial (b) elemento después de ser sometido a esfuerzos cortantes y (c) Diagrama esfuerzo cortante-deformación unitaria cortante

Múltiples materiales de ingeniería presentan el comportamiento elástico lineal, de modo que el esfuerzo

cortante es proporcional a la deformación angular por cortante, cumpliéndose en estos casos también la ley

de Hooke

G (1.38)

Donde G es el módulo de rigidez, su valor se determina calculando la pendiente de la línea recta en el

diagrama. Al igual que el módulo de Young el módulo de rigidez tiene las mismas unidades (N/m2).

Una relación muy importante que relaciona las tres constantes del material E, G y ν se da a continuación

2 1

EG

(1.39)


22

IV. ELEMENTOS AXIALES.

4.1. INTRODUCCIÓN.

En esta sección se analiza el método para determinar el esfuerzo normal en elementos estructurales o

mecánicos cargados axialmente, de otro lado se determina la deformación de estos elementos. Así mismo se

mostrará un método para determinar las reacciones en los soportes en los que se encuentran empotrados

elementos deformables.

4.2. DEFORMACIÓN DE MIEMBROS SOMETIDOS A CARGAS AXIALES

4.2.1. Miembro uniforme sometido a dos cargas axiales

Cuando una barra recta de sección uniforme es sometida a una carga axial en sus extremos,

experimentará una deformación constante y un esfuerzo constante como se mues tra en la figura 1.30.

Figura 1.30. Elemento de sección constante sometido a fuerzas axiales

Si no se sobrepasa el límite de proporcionalidad se puede aplicar la ley de Hooke para encontrar una

relación entre la deformación y la fuerza aplicada, es decir

E

LE

A

P

EA

PL (1.40)

4.2.2. Miembro uniforme sometido a varias cargas axiales.

Si una barra está sometida a varias cargas axiales en diferentes puntos a lo largo de la barra, o si la

barra está compuesta por partes que tienen diferentes secciones de diferentes materiales tal como se

muestra en la figura 1.31, entonces el cambio de longitud de cada una de las parte se determina utilizando

la ecuación (1.40). Finalmente el cambio total de longitud de la barra compuesta se determina sumando

algebraica las deformaciones individuales de cada porción. Esto es

ii

ii

iAE

LP (1.41)


23

Donde Ai y Ei son ambos constantes para el segmento i-ésimo y la fuerza Pi es la fuerza interna en el

segmento i-ésimo de la barra, fuerza que es calculada a partir de las ecuaciones de equilibrio.

Figura 1.31. Elemento sometido a varias fuerzas

4.2.3. Elemento de sección no uniforme sometido a carga axial variable.

Para aquellos casos en los cuales la fuerza axial es variable o el área transversal varía continuamente

como se muestra en la figura 1.32a, la ecuación (1.40) no es aplicable. Para determinar la deformación se

divide al elemento estructural en elementos diferenciales en forma de obleas de longitud dx y área A(x). El

DCL de la oblea muestra que la fuerza interna sobre ella es P(x). Esta carga deformará a la oblea en una

cantidad dδ tal como se ve en la figura 1.32b.

Figura 32. (a) Elemento de sección variable sometida a carga axial variable y (b) Oblea de material

utilizada para determinar la deformación en el elemento

El esfuerzo y la deformación unitaria en el elemento son

)(

)(

xA

xP (1.42)

dx

d (1.43)

Si se cumple con la ley e Hooke, se tiene

E

dx

dE

xA

xP

)(

)(

dxxEA

xPd

)(

)( (1.44)

Para determinar la deformación total de la barra se procede a integrar la ecuación (1.44) sobre toda la

longitud del elemento estructural. Esto es

L

xEA

dxxP

0 )(

)( (1.45)*


24

4.3. ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE ESTÁTICAMENTE INDETERMINADO.

Cuando una barra tal como se muestra en la figura 1.33, está sometida a una fuerza axial, la aplicación de

las ecuaciones de equilibrio a lo largo del eje nos permite determinar la reacción en el soporte fijo. Este tipo de

problema se llama estáticamente determinado. Por el contrario si la barra esta empotrada en ambos extremos

como se muestra en la figura 1.33a, el DCL de dicha barra (figura 1.33b) muestra que existen dos reacciones

desconocidas.

La ecuación de equilibrio de fuerzas se expresa

0 0y B AF F F P (1.46)

(a) (b)

Figura 1.33. (a) Elemento estáticamente indeterminado y (b) DCL del elemento

Debido a que la ecuación estática por sí sola no permite determinar las reacciones, este problema es estáticamente

indeterminado.

Para resolver el problema se utiliza la geometría de las deformaciones. Especificándose una ecuación que determina las condiciones de desplazamiento llamado condición de compatibilidad . En este caso es el

desplazamiento relativo de un extremo de la barra respecto al otro el mismo que es igual a cero ya que los muros

no ceden. Por tanto

0/ BA (1.47)

Esta ecuación puede expresarse en términos de las cargas aplicadas obteniéndose

0EA

LF

EA

LF BCBACA (1.48)

La solución de las Ecuaciones (1.45) y (1.47) permite obtener las reacciones en los soportes.

L

LPF CB

A

L

LPF AC

B (1.49)

V. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN.

Consideremos una barra BC de longitud L y sección transversal A, empotrada en B y sometida a una carga axial P

que se incrementa lentamente como se muestra en la figura 1,33a. Si se traza una gráfica P en función de δ se

obtiene una curva como se muestra en la figura 1.33b la cual es característica de la barra BC.


25

El trabajo 𝑑𝑈 realizado por P cuando la barra se alarga una pequeña cantidad 𝑑𝛿 es igual al producto de la

magnitud de P y el desplazamiento 𝑑𝛿, esto es

dU Pd (1.50)

El trabajo total cuando l barra experimenta una deflexión 𝛿 será

U Pd (1.51)

Y es igual al área bajo la curva P Vs δ.

El trabajo realizado por �⃗⃗� , cuando se aplica lentamente a la barra, debe producir el incremento de alguna energía

asociada con la deformación de la barra- Esta energía se llama energía de deformación y se expresa como

1

0deformaciònE U Pd

(1.52)

En el caso de deformaciones lineales y elásticas la relación P – δ, es una línea recta cuya ecuación es 𝑃 = 𝑘𝛿 ,

entonces la energía se escribe

2

0

1 1( )

2 2

1

2

E k d k k

E P

Si las deformaciones están en el rango elástico se cumple que = 𝑃𝐿𝐸𝐴⁄ , entonces la energía es

22

1 1

2 2

1 1

2 2 2

PLE P P

EA

P L EAE

EA L

(1.53)

Para barras de secciones variables sometidas a cargas externas variables, la energía se determina usando la

ecuación

1

2

0 2

xx

x

P dxE

EA (1.54)

Densidad de Energía. Se define como la energía por unidad de volumen, esto es


26

1

0

0

E

E x

E Pd

V AL

d

(1.54)

Donde 휀1 es la deformación correspondiente a la elongación 𝛿1. Para el caso en que 휀1 = 휀𝑅 = deformación de

ruptura, se conoce como tenacidad del material. Por tanto la tenacidad de un material es igual al área bajo la

gráfica esfuerzo-deformación.

Por otro lado si el esfuerzo aplicado permanece dentro del límite elástico (proporcionalidad) se cumple la ley de

Hooke (𝜎 = 𝐸휀𝑥) entonces la densidad de energía es

1 1

0 0

22 11

1

2 2

E x x x

E

d E d

EE

(1.55)

Si el esfuerzo correspondiente es el de fluencia, a la densidad de energía se le llama módulo de resilencia

2

2

f

resilenciaE

(1.56)


27

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 01

Dos barras sólidas cilíndricas están soldadas en B como

se muestra en la figura. Halle el esfuerzo normal en el

punto medio de cada barra.

Solución

Para determinar el esfuerzo en cada una de las secciones

de las barras, se determina las fuerzas internas en cada

una de ellas. Para esto se traza el DCL de cada porción

de la barra y se aplica las ecuaciones de equilibrio.

En la figura (a) se muestra el DCL para la barra AB y

en (b) el DCL para ABC

Ecuaciones de equilibrio para la barra AB

)1........(..............................30

0

kNF

PF

F

AB

AB

y

Ecuaciones de equilibrio para la barra ABC

kNF

kNkNF

F

BC

BC

x

70

4030

0

Los esfuerzos en cada una de las barras serán

Barra AB

..........................4,42

10.30

120

4/

30

2232

RtaMPa

m

kN

d

kN

A

F

AB

AB

AB

AB

Barra BC.

RtamMN

m

kN

d

kN

A

F

BC

BC

BC

BC

........................./65,35

10.50

280

4/

70

2

2232

Problema 02

Una barra homogénea AB de 150 kg de masa soporta

una fuerza de 2 kN, como puede verse en la figura. La

barra está sostenida por un perno en B y un cable CD de

10 mm de diámetro. Determine el esfuerzo ejercido en

el cable.

Solución

En la figura se muestra el DCL de la barra homogénea

AB, cuyo peso es W = 1470 N

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene

0

2000 6 3 3

412000 4410 3

5

6837,5 ..................................(1)

B

CD

CD

CD

M

N m W m F sen m

F

F N


28

Conocida la fuerza FCD (tensión), el esfuerzo estará

dado por

.........................................1,87

10.10

4,68394

4/

4,6839

2232

RtaMPa

m

N

d

N

A

F

CD

CD

CD

CD

Problema 03.

Sabiendo que la porción central del eslabón BD tiene

una sección uniforme de 800 mm2. Determine la

magnitud de la carga P para la cual el esfuerzo normal

en la barra BD sea de 50 MPa. φ

Solución

Datos e incógnitas

??;..800;..50 2 PmmAMPa BDBD

En la figura se muestra el DCL de ABC


2 2 2 2

0

1,4 cos 1,4 1,4 30º

0,56 1,92 3

20,56 1,92 0,56 1,92

BM

Qsen Q P sen

Q P

2 2

2 0,56 1,92

3 0,56 1,92

QP

2 2,48

3 2

33066,7 .......................... .

BD BDP A

P N Rta

Problema 04

Se quiere punzonar una placa, tal como se indica en la

figura, que tiene un esfuerzo cortante último de 300

MPa. (a) si el esfuerzo de compresión admisible en el

punzón es de 400 MPa, determine el máximo espesor de

la placa para poder punzonar un orificio de 100 mm de

diámetro. (b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm,

calcular el máximo diámetro que puede punzonarse.

Solución

Datos e incógnitas

τ u = 300 MPa, σ ad =400 MPa, e = ??; d =

100 mm;

e1 =10 mm; d1 =??.

En primer lugar se determina la relación entre la carga

de rotura de la placa y el esfuerzo cortante

)1.(.................................

22

RR

RRRR

deP

ed

AP

Como se conoce el esfuerzo máximo de compresión, se

determina la carga máxima necesaria que se debe

aplicar para poder punzonar la placa, esto es

)2..(....................

4

. 2

maxmax

maxmax

dP

AP

El corte de la placa se producirá cuando la carga de

rotura es igual a la carga axial admisible


29

)3.........(..............................maxPPR

Remplazando las ecuaciones (1) y (2) en (3), se tiene

...................................3,33

3004

400100

4

4

....

max

2

max

Rtamme

MPa

MPammde

dde

R

R

El valor de dmax si e1 =10 mm, será

............................................30

400

3001044

max

Rtammd

MPa

MPammdd R

Problema 05

Si la palanca representada en la figura está en

equilibrio. (a) Determinar el diámetro de la barra AB si

el esfuerzo normal está limitado a 100 MPa. (b)

Determinar el esfuerzo cortante en el pasador situado en

D, de 20 mm de diámetro.

Solución

Datos e incógnitas

mmddMPa PPABAB 20??;..??;..;..100

En la figura se muestra el DCL de la palanca


)3.(..............................31177

24,0º30300002,0

0

)2.......(....................315000

º6030000

0

)1.....(....................15000

º60cos30000

0

NP

msenmP

M

ND

NsenD

F

NPD

NPD

F

D

y

y

y

x

x

x

Remplazando la ecuación (3) en (1), resulta

)4(..............................46177

1500031177

ND

NND

x

x

La fuerza de reacción en la articulación D, sera

)5.........(..............................52984

2598146177 2222

ND

DDD yx

Parte (a). Cálculo del diámetro de la barra AB. De la

definición de esfuerzo normal, se tiene

...........................9,19

10.100.

311774

.

4

.

4

6

2

Rtammd

Pd

d

P

A

P

AB

AB

AB

AB

AB

Parte (b). Para determinar el esfuerzo cortante en el

pasador D de 20 mm de diámetro, primero se

determina la fuerza cortante, esto es

La ecuación de equilibrio proporciona


30

)6......(....................26492

529842

0

NP

NDP

F

t

t

y

El esfuerzo cortante será

..................33,84

10.20

264924432

RtaMPa

m

N

d

Pt

Problema 06

Dos barras cilíndricas sólidas unidas en B están

cargadas como se muestra en la figura. La barra AB es

de acero (E = 200 GPa) y la barra BC es de latón (E =

105 GPa). Determinar: (a) La deformación total de la

barra compuesta; (b) La deflexión del punto B.

Solución

Datos e incógnitas

.????;..;..105;..200 BTACAB GPaEGPaE

En primer lugar se determina las fuerzas internas en

cada una de las barras. Para ello se traza el DCL de las

diferentes pociones tal como se ve en la figura

Barra AB

)1.......(....................30

0

kNF

F

AB

y

Barra BC

)2.........(....................70

4030

0

kNF

kNkNQPF

F

BC

BC

y

La deformación total de la barra será

...............................155,0

102,0053,0

05,04

10.105

3,070000

03,04

10.200

25,030000

2929

Rtamm

mmmm

AE

LF

AE

LF

AE

LF

BCBC

BCBC

ABAB

ABAB

ii

ii

La deflexión del punto B, viene expresado por el

acortamiento de la varilla BC.

............................102,0

05,04

10.105

3,070000

29

Rtamm

AE

LF

B

BCBC

BCBC

B

Problema 07.

Un bloque prismático de concreto de masa m ha de ser

suspendido de dos varillas cuyos extremos están al

mismo nivel, tal como se muestra en la figura.

Determinar la relación de las secciones de las varillas,

de tal manera que el bloque no se desnivele.

Solución

Datos e incógnitas

“m”; Eac = 200 GPa; Lac= 3 m; EAl = 70 Gpa

LAl = 6 m; AAl/Aac = ??

En la figura se muestra el DCL del bloque


31

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

0

...................................(1)

0 5 3

3.................................(2)

5

y

ac al

A al

al

F

F F mg

M F m mg m

F mg

Remplazando la ec.(2) en (1), se tiene

)3.......(....................5

2

5

3

mgF

mgmgF

ac

ac

Como el bloque no debe desnivelarse, entonces las

deformaciones de las varillas de acero y de aluminio

deben ser iguales, es decir

200 6 3 / 5

70 3 2 / 5

8,57........................ .

ac ac al alac al

ac ac al al

al ac al al

ac al ac ac

al

ac

F L F L

E A E A

A E L F

A E L F

GPa m mg

GPa m mg

ARta

A

Problema 07

Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente

rígidas, están articuladas en A y en D y separadas en C

mediante un rodillo, como se muestra en la figura. En B

una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN.

Determinar el desplazamiento vertical del rodillo

situado en C, así como el desplazamiento del punto B.

Solución

Datos e incógnitas

????;..;..3

;300;..200;..50 2

BCac

acac

mL

mmAGPaEkNP

En la figura se muestra el DCL de la barra rígida CD

Aplicando la segunda condición de equilibrio, se tiene

)1.........(....................25000

4250000

0

NN

mNmN

M

C

C

D

En la figura se muestra el DCL de la barra rígida ABC

Al aplicar la segunda condición de equilibrio, se tiene

)2.......(....................37500

250005,43

35,4

0

NF

NF

mFmN

M

ac

ac

acC

A

Para determinar las deflexiones, se grafica la barra ABC

después de aplicada la carga P = 50kN.

Del gráfico por triángulos semejantes, se tiene

)3....(....................5,1

5,43

acC

Cac


32

La deflexión del punto B, será

.................................87,1

10.30010.200

)3(3750069

Rtamm

AE

LF

B

B

acac

acac

acB

...........................8,1 RtaB

La deflexión del punto C será

............................80,2

87,15,1

Rtamm

mm

C

C

Problema 08

El conjunto consta de tres barras de titanio y una barra

rígida AC. El área de la sección transversal de cada

barra se da en la figura. Si se aplica una fuerza vertical

de P = 20 kN al anillo F, determine el desplazamiento

vertical del punto F. Considere que ETi = 350 GPa.

Solución

Datos e incógnitas

??;..350;..20 FTi GPaEkNP

En la figura se muestra el DCL de la barra rígida AEC


0

20 ...................(1)

0

1,25 20 0,5

8 .......................(2)

Y

AB CD

A

CD

CD

F

F F kN

M

F m kN m

F kN

Remplazando la ec. (2) en (1), resulta

)3.(....................12

208

kNF

kNkNF

AB

AB

En la figura se muestra la relación entre las

deformaciones

Por semejanza de triángulos, se tiene

33

9 6 9 6

3 4

1,67 0,670,75 1, 25

1,67 0,67

0,67 8.10 212.10 2

350.10 60.10 350.10 45.10

1,67 1,14.10 6,8.10

1,08 .......................(4)

E CD AB CDE AB CD

E

AB CD

E

E

FL FL

EA EA

m m

mm

La deformación de la barra EF, está dado por

)5........(....................14,1

10.7510.350

5,110.2069

3

mm

EA

FL

EF

EF

EF

El desplazamiento del punto F, será

.................22,2

14,108,1

Rtamm

mmmm

F

EFEF

Problema 09

La viga rígida horizontal ABCD está soportada por

barras verticales BE y CF y está cargada por fuerzas

verticales P1 = 90 kip y P2 = 80 kip que actúan en los

puntos A y D, respectivamente, como se muestra en la

figura. Las barras BE y CF son de acero (E = 29.106


33

psi) y tienen un áreas transversales de ABE =19,5 pul2 y

ACF =16.8 pul2. Determinar los desplazamientos

verticales de los puntos A y B.

Solución

Datos e incógnitas.

????;..lg;3,18

lg1,22;..5,29;90,..100

ADCF

BE

puA

puAksiEkipQkipP

En la figura se muestra el DCL de la viga ABCD.


)2..(....................110

89061006

0

)1(....................190

0

kipF

pkippkippF

M

kipFF

F

CF

CF

B

CFBE

y

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), resulta

)3..(....................80

190110

kipF

kipkipF

BE

BE

En la figura se muestra el diagrama de los

desplazamientos de cada una de las barra cuando se

aplican las cargas externas


3 3

6 6

3 3

3

6 12

2 ´ 2

2 80.10 12 110.10 9

29.10 22,1 29,5.10 18,3

2,895.10 1,83.10

1,12.10 .........................(4)

CF ABE A

A BE CF

BE CF

A

A

A

FL FL

EA EA

pie pie

pies

Calculemos ahora el desplazamiento del punto

......................10.29,2

)10.73,310.9,410.12,1(

10.12,110.47,13

10

10.12,110.47,13

10

206

3

333

33

33

Rtapie

pie

pie

pie

D

D

AD

AD

ADABE

Problema 10

Cada uno de los conectores AB y CD es de acero

(29.106 psi) y tienen una sección transversal uniforme

de 0,25 pulg x 1 pulg. Halle la mayor carga que puede

suspenderse de E si la deflexión del punto E no debe

pasar de 0,01 pulg.

Solución

Datos e incógnitas

??lg;..25,0,..29 max PpuAksiE

En la figura se muestra el DCl de la barra rígida BCE.


34

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene.

0

0

0

(10 lg) (25 lg) 0

2,5 ............(2)

Y

CD AB

CD AB

B

CD

CD

F

F F P

F F P

M

F pu P pu

F P

Remplazando la ec (2) en la ec.(1), resulta

)3..(....................5,1

5,2

PF

PFP

AB

AB

Asumiendo que las fuerzas en las barras AB y CD son

de tensión, las deflexiones de los puntos B y C son:

6 2

6

8 lg

129.10 / lg 1 lg

4

1,1.10 ..............(4)

AB

B

AB

B AB

F puFL

EAlb pu x pu

F

6 2

6

8 lg

129.10 / lg 1 lg

4

1,1.10 ...................(5)

CD

C

CD

C CD

F puFL

EAlb pu x pu

F

En la figura se muestra el diagrama de las

deformaciones


)7(..........15

15

)6.........(10

10

CB

CCE

CB

CCB

xxx

xxx

De las ecuaciones (6) y (7), resulta

)8.......(..........1015 CECB

Teniendo en cuenta que δE =0,01 pulg, la ecuación (8),

se escribe

)9..(..........lg1,02515 puCB

Remplazando las ec. (4) y (5) en (9), resulta

....Rta...........lbf....... 1066P

Problema 11.

La plataforma rígida de la figura tiene una

masa despreciable y descansa sobre dos barras de

aluminio, cada una de 250 mm de longitud. La barra

central es de acero y tiene una longitud de 249,9 mm.

Calcule el esfuerzo en la barra de acero una vez que la

carga central P de 400 kN se haya aplicado. Cada barra

de aluminio tiene un área de 120 mm2 y un módulo de

elasticidad de 70 GPa. La barra de acero tiene un área

de 2400 mm2 y un módulo elástico de 200 GPa.

Solución

Datos e incógnitas

.??;..200

2400;..70;..120

;400;..2499,0;..25,0

22

acac

acalal

acal

GPaE

mmAGPaEmmA

kNPmLmL

En al figura se muestra el DCL de la placa rígida.

Además se supone que P también deforma al acero.



35

3

3

0

2

2 400.10

2 400.10 ..............(1)

y

al ac

al ac

al al ac ac

F

F F P

F F N

A A N

Independientemente a la ecuación de equilibrio estático

se determina la relación entre los esfuerzos a través de

la relación entre las deformaciones, esto es

)2(..........10.2834986,0

10.1,010.200

2499,0

10.70

25,0

..

6

3

99

acal

acal

acal

acal

m

E

L

E

L

Sustituyendo la ec. (2) en (1), resulta

6 4 4 32 0,35 28.10 (1,2.10 ) 2,4.10 400.10ac ac

Simplificando, resulta

..............7,163 RtaMPaac

Problema 12.

Una barra rígida, de masa despreciable, está articulada

en un extremo y suspendida de una varilla de acero y

una de bronce, según se muestra en la figura. ¿Cuánto

vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder

un esfuerzo en el acero de 120 MPa ni uno en el bronce

de 70 MPa?.

Solución

Datos e incógnitas

.70;..120??;..max MPaMPaP brac

En la figura se muestra el DCL de la barra AB

Aplicando las ecuaciones de equilibrio a la barra, se

tiene

)1.....(..........652

652

652

0

PAA

PFF

mPmFmF

M

brbracac

brac

brac

A

En la figura se muestra la geometría de las

deformaciones


)2..(....................56,1

5,2

5,2

52

acbr

ac

acac

br

brbr

acbr

brca

E

L

E

L

La ec. (2), determina una relación que debe existir

necesariamente entre esfuerzos, es evidente que si se

llega a σac = 120 MPa, se sobrecarga el bronce por

alcanzar según la ec. (2) un esfuerzo de 186,7 MPa. Por

lo tanto es el esfuerzo en el bronce el que limita la carga

y entonces el esfuerzo en el acero será

)3..(....................87,44

56,170

MPa

MPa

ac

ac

Remplazando el valor máximo del esfuerzo en el bronce

y el valor del esfuerzo obtenido para el acero, en la

ec.(1), se obtiene

...............96,30

610.30010.70510.90010.87,442 6666

RtakNP

P


36

Problema 13.

Las dos barras de aluminio AB y AC tienen diámetros

de 10 mm y 8 mm, respectivamente. Determinar la

fuerza P máxima vertical que puede ser soportada. El

esfuerzo admisible de tensión para el aluminio es σad

=150 MPa.

Solución

En la figura se muestra el DCl del nudo A


0

45º

2......................(1)

y

AB

AB

F

F sen P

F P

0

cos 45º

12

2

.........................(2)

x

AC AB

AC

AC

F

F F

F P

F P

Utilizando el esfuerzo admisible, se tiene

23

6

2

10.10

2410.150

4

2

P

d

P

A

F

ABAB

AB

adAB

Despejando el valor de P se tiene

)3....(..........4.8330 NP

Utilizando el esfuerzo admisible para la barra AC, se

tiene

....................82,7539

10..8

410.150

4

2

23

6

2

RtaNP

P

d

P

A

F

ACAC

AC

adAC

Problema 14.

Una barra de cobre AB sometida a una carga

de tensión P = 500 kN, cuelga de un perno sostenido

por dos pilares de acero. La barra de cobre tiene una

longitud de 10 m, área transversal de 8100 mm2 y un

módulo de elasticidad EC =103 GPa. Cada pilar de

acero tiene una altura de 1 m, un área A= 7500 mm2 y

E = 200 GPa. Determinar el desplazamiento δ del punto

A.

Solución

Datos e incógnitas

.200

7500;..1;..103

;8100;..10;..500

2

2

GPaE

mmAmLGpaE

mmAmLkNP

ac

acaccu

cuCu

En la figura se muestra el DCL de una porción de la

barra AB

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se obtiene

)1.....(....................500

0

kNPF

F

AB

y

La deformación será


37

)2.........(....................99,5

10.810010.103

10)10.500(

/

69

3

/

mm

AE

LF

BA

ABAB

ABAB

BA

En seguida se determina la deformación de cada una de

las barra de acero. Para ello se traza el DCL del perno,

en donde actúan las fuerzas: F1 ; F2 y la fuerza exterior

P


)3(....................2502

0

11

21

kNFPF

PFF

Fy

Del diagrama de una porción de la barra de acero se

obtiene la fuerza interna en el acero

Las ecuaciones de equilibrio nos da

)4.(..............................250

0

1 kFF

F

ac

y

La deformación de las barras de acero con respecto al

punto fijo D es

)5.(..............................167,0

10.750010.200

110.250

/

69

3

/

mm

EA

FL

DE

ac

DE

El desplazamiento del punto A será

..................16,6

167,099,5//

Rtamm

mmmm

A

DEBAA

Problema 15.

Una barra vertical de acero ABC tiene una longitud L1

= 0,5 m y un área de sección transversal A1 = 160 mm2

desde A hasta B; una longitud L2 = 0,8 m y un área A2 =

100 mm2 desde B hasta C como se ve en la figura. En el

punto C actúa una carga P1 = 10 kN. Un brazo

horizontal BD está articulado en B con la barra vertical

y soporta una carga P2 = 26 kN en el extremo D.

Calcular la deflexión vertical δ en el punto C. Considere

que a = b y E = 200 GPa para el acero, además

desprecie el peso de la barra.

Solución

Datos e incógnitas

??;..200;..26;..10

100;.8,0;.160;.5,0

21

2

22

2

11

CGPaEkNPkNP

mmAmLmmAmL

En la figura se muestra el DCL de la barra horizontal

BDE.


)1.........(..........26PP

tiense b,a

0

2

2

kNP

como

bPaP

M O

En la figura se muestra el DCL de la barra compuesta

ABC


38

Trazando el DCL de una porción de barra BC se

procede a determinar la fuerza interna en BC.


)2......(..........10

0

1 kNFPF

F

ACAC

y

En la figura se muestra una porción de la barra ABC

para determinar la fuerza interna en AB

)3..(162610

0

1

kNFkNkNF

PPF

F

ABAB

AB

y

Calculo de la deflexión total del punto C

..............................10.5,1

10.410.25

10.10010.200

8,010.10

10.16010.200

5,010.16

4

44

69

3

69

3

Rtam

mm

m

EA

FL

EA

FL

C

BCAB

BCABC

Problema 16

Una varilla está formada de tres partes distintas, como

se muestra en la figura, y soporta las fuerzas axiales P1

= 120kN y P2 = 50kN. Determinar los esfuerzos en cada

uno de los materiales si cada uno de los extremos está

firmemente empotrado en muros rígidos e

indeformables. Considere para el acero: L = 300mm; A

= 600mm2; E = 200GPa, para el aluminio L = 400 mm;

A = 1200 mm2, E = 70 GPa y para el bronce: L = 600

mm; A = 2400 mm2; E = 83 GPa.

Solución

En la figura se muestra el DCL de la barra compuesta


)1....(....................170

50120

0

21

kNRR

kNkNRR

PPRR

F

BA

BA

BA

x

Para determinar la fuerza interna en la barra de acero, se

traza el DCL de una porción de ella como se muestra en

la figura y se aplica las ecuaciones de equilibrio

)2.........(.......................

0

tensiónRF

F

Bac

x

Para determinar la fuerza interna en el bronce se traza el

DCL tal como se muestra en la figura y se aplica las

ecuaciones de equilibrio


39

)3.(.........................

0

nCompresiónRF

F

Abr

x

Para determinar la fuerza interna en el aluminio se traza

el DCL tal como se muestra en la figura y se aplica las

ecuaciones de equilibrio

10

............ ........(4)

x A al

al A

F R F P

F P R tensión

Por condición del ejercicio, como los muros no ceden la

deformación total es nula, entonces

0

0,6 120 ,4 0,30....(5)

83 2400 70 1200 200 600

br al ac

A A B

FL FL FL

EA EA EA

R R o R

Resolviendo simultáneamente las ec. (1), (2), (3), (4) y

(5), resulta

tensiónkNF

tensiónkNRF

compresiónkNRF

al

Bac

Abr

...........01,23

...01,73

....99,96

Finalmente los esfuerzos serán

MPaA

F

MPaA

F

MPaA

F

br

br

br

br

al

al

ac

ac

ac

4,4010.2400

10.99,96

17,1910.1200

10.01,23

7,12110.600

10.01,73

6

3

6

3

6

3

Problema 17.

La junta está sometida a la fuerza axial de miembro de 6

kip. Determine el esfuerzo normal medio que actúa

sobre las secciones AB y BC. Suponga que el miembro

es liso y que tiene 1,5 pulg de espesor.

Solución

En la figura se muestra el DCL de la cuña.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio

(1) 3000º70cos

º60cos6000º70cos

0

BCAB

BCAB

x

FF

FF

F

(2) 5529

º606000º70

0

lbF

sensenF

F

BC

BC

y

Remplazando la ec (2) en (1), se tiene

(3) 4891

º70cos55293000

lbF

F

AB

AB

El esfuerzo normal medio está dado por

Rta. lg/819

lg)5,1lg(5,4

5529

Rta. lg/1630

lg)5,1lg(2

4891

2

2

pulb

pupu

lb

A

F

pulb

pupu

lb

A

F

AB

BC

BC

BC

AB

AB

AB

AB

Problema 18.

La estructura de dos miembros está sometida a la carga

mostrada. Determine el esfuerzo normal medio y el

esfuerzo cortante medio que actúa en las secciones a-a

y b-b. El elemento estructural CB tiene una sección

transversal cuadrada de 2 pulg por lado.


40

Solución

En la figura se muestra el DCL de la viga AB.


(1) 68,135

.300)8(80)8(º60

0

lbF

pielbmlbmsenF

M

BC

BC

A

El esfuerzo normal medio en la sección a-a

Rta. lg/92,33

lg)2lg(2

68,135

2pulb

pupu

lb

A

F

AB

BC

BC

BC

Se determina el normal y cortante medios en la sección

b-b, para esto se determina las fuerzas internas

Del diagrama se tiene

lbF

sensenFF

lbF

FF

n

BCn

t

BCt

84,67

º3068,135º30

50,117

º60cos68,135º30cos

Se procede a determinar el área de acción de Ft y Fn

lg)3lg)(4(lg)2)(( pupupuxAA tn

Los esfuerzos normal y cortante medios serán

Rta. lg/68,14

lg)2lg(4

50,117

Rta. lg/48,8

lg8

84,67

2

2

2

pulb

pupu

lb

A

F

pulb

pu

lb

A

F

bb

t

t

bb

bb

n

n

bb

Problema 19.

La barra BC está hecha de acero cuyo esfuerzo

admisible de tensión es σadm =155 MPa. Determine su

diámetro más pequeño para que pueda soportar la carga

mostrada. Suponga que la viga está conectada por un

pasador en A.

Solución.

En primer lugar se procede a determinar la resultante de

las fuerzas distribuidas que actúan sobre la viga.

NmNmF

NmNmF

11250/150005,12

1

22500/1500032

1

2

1

Se traza el DCL de la viga rígida AB

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se determina la

fuerza en A.

NF

FmmNmN

mFmFmF

M A

15000

)5,4()5,2(22500)1(11250

5,45,2)1(

0

12


41

Se procede a determinar el diámetro “d”.

Rta. mm 10.11

/10.155(

)15000(44

4/

26

2

d

mN

NFd

d

F

A

F

Problema 20.

La viga rígida AC está soportada por las barras AB y

CD cuyos diámetros son de 10 mm y 15 mm,

respectivamente. Determine la intensidad w de la carga

distribuida de manera que el esfuerzo normal medio en

cada barra no exceda de 150 MPa.

Solución.

En la figura se muestra el DCL de la viga AC rígida de

masa despreciable.


(2) 3

2

4)6(

0M

(1)

0

A

R

CD

RCD

RCDAB

y

FF

mFmF

FFF

F

Remplazando la ecuación (2) en (1), se tiene

(3) 3

3

2

R

AB

RRAB

FF

FFF

La fuerza resultante de las fuerzas distribuidas es igual

al área

(4) 3

62

1

2

1

wF

wmalturabaseF

R

R

Remplazando la ec. (4) en (2) (3), resulta

(6) 33

1F

(5) 233

2

AB wFw

wFwF

AB

CDCD

Sustituyendo el valor del esfuerzo dado en el enunciado

del problema, el varilla CD, resulta

(7) /6,13253

210.154

/150

24

/10.150

232

226

mNw

wmmMN

wdmN

FA CDCDCD

Sustituyendo el valor del esfuerzo dado en el enunciado

del problema, el varilla AB, resulta

(7) /9,11780

10.104

/150

4/10.150

232

226

mNw

wmmMN

wdmN

FA ABABAB

De las ecuaciones (7) y (8) se concluye que la

intensidad w menor que se puede aplicar sin sobrepasar el valor del esfuerzo admisible es w = 11780,9 lb.

Problema 21.

Una estructura simple se usa para sostener una carga de

65 kN, tal como se muestra en la figura. Determine: (a)

el diámetro mínimo del tirante AB si el esfuerzo normal

en la varilla se limita a 100 MPa. (b) Los diámetros

mínimos para los pasadores A y B si el esfuerzo

cortante en los seguros se limita a 70 MPa. (c) El

diámetro mínimo para el seguro C si el esfuerzo

cortante en el seguro se limita a 85 MPa.


42

Solución

En la figura se muestra el DCL de la estructura BCD


(1) 13

565

5

3

cos65

0

ABx

ABx

x

FC

senFC

F

(2) 13

1265

5

4

65cos

0

ABx

ABx

y

FC

senFC

F

(3) 25.181

3607545

3

613

12653

13

5654

0

kNF

kNkNF

mmmsenF

M

AB

AB

AB

C

Remplazando las ec. (3) en (1) y (2)

(4) 75.83

2525,1815

3

kNC

kNkNC

x

x

(5) 205

6025,1815

4

kNC

kNkNC

x

y

La reacción en la articulación C será

(6) 45.221

20575.83 22

22

kNR

CCR

C

yxC

Se procede a determinar el diámetro del tirante AB.

Como éste está sometido a esfuerzo normal se tiene.

2

4

d

F

A

F AB

AB

AB

610.100

18125044

ABF

d

mmd 48 (Rta)

El diámetro mínimo del segura en A y B se determina

utilizando la definición de esfuerzo cortante y

observando que ambos pasadores actúan a cortante

simple.

2

4

d

F

A

F t

t

t

610.79

)181250(44

tF

d

mmd 57 (Rta)

El diámetro mínimo del seguro C se determina

utilizando la definición de esfuerzo cortante y

observando que el pasador también está sometido a

cortante simple.

2

4

d

R

A

R C

t

C

610.85

)221450(44

CR

d

mmd 58 (Rta)

Problema 22.

Una barra rígida AD está sostenida por dos varillas,

como se muestra en la Fig. No hay deformación unitaria

en las barras verticales antes de aplicar la carga P.

Después de aplicar la carga P, la deformación unitaria

axial en la varilla BF es de 400 μm/m. Determine: (a) la

deformación unitaria axial en la varilla CE; (b) la

deformación unitaria axial en la varilla CE si hay un

espacio libre de 0,25 mm en la conexión del seguro C

antes de aplicar la carga.


43

Solución

Datos e incógnitas.

εBF = 400.10-6m/m; εCE

En primer lugar se determina el desplazamiento del

punto B.

)1(/10.400 6 mmmLL

BFB

BF

B

mB

610.400 (1)

En la figura se muestra el diagrama de desplazamientos

de la estructura

Utilizando triángulos semejantes se tiene

m

m

mmmm

C

BC

BC

6

6

10.1200

10.40033

80240

La deformación unitaria en la varilla CE será

(Rta) /10.2

10.600

10.1200

3

3

6

mm

m

m

L

CE

CE

CCE

Determinación de la deformación unitaria cuando existe

un espacio libre de 0,25 mm en C. Para esto se traza el

diagrama de desplazamientos como se muestra en la

figura.

Utilizando triángulos semejantes se tiene

m

mm

mmmm

C

BC

BC

3

363

3

10.95,0

10.25,010.400310.25,03

80240

10.25,0

La deformación unitaria en la varilla CE será

(Rta) /10.58,1

10.600

10.950

3

3

6

mm

m

m

L

CE

CE

CCE

Problema 23.

Una barra rígida ABC está sostenida por dos eslabones

como se muestra en la figura. El eslabón BD está hecho

de una aleación de aluminio (E = 73 GPa) y tiene un

área transversal de 1250 mm2. El eslabón CE está hecho

de acero estructural (E =200 GPa) y tiene una sección

transversal de 750 mm2: determine el esfuerzo normal

en cada uno de los eslabones y la deflexión del punto A

cuando se aplica la carga P de 50 kN:

Solución

Datos e incógnitas

Eal = 73 GPa; Aal =1250 mm2; Eac= 200GPa; Aac =750

mm2; P = 50kN, σac = ¿????; σal = ¿????;

En la figura se muestra el DCL de la barra ABC


(1) 50

0

kNFF

F

acal

y

(2) 150

9,0503,0

0

kNF

KNF

M

al

al

C

Remplazando la ec. (2) en (1), resulta


44

kNFkN ac 50150

)(100

100

compresiónkNF

kNF

ac

ac

(3)

La deformación de la varilla de acero (CE) será

)10.200(10.750

)4,0(10.10096

3

acac

acac

acEA

LF

mac

410.667,2

La deformación de la varilla de aluminio (BD) será

)10.73(10.1250

)6,0(10.15096

3

alal

alal

alEA

LF

mac

410.86.9

Los esfuerzos en ambos elementos serán:

2

3

1250

10.150

mm

N

A

F

al

al

al

MPaal 120 Rta

2

3

750

10.100

mm

N

A

F

ac

ac

ac

MPaal 133 Rta

Para determinar la deflexión del punto A, se traza la

geometría de las deformaciones la misma que se

representa en la Fig.

De la semejanza de triángulos se tiene

44 10.667.2

3,0

10.86,9

3,0

xx

xx

acal

mx 236,0

Por otro lado se tiene

236,0

10.86.9

236,06,0

6,04

A

alA

xx

mmA 49,3 Rta

Problema 24.

Una barra rígida CD está sometida a carga y sostenida

como se muestra en la figura. Las barras A y B están

libres de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barra

A es de acero inoxidable (E = 190 GPa) y tiene un área

transversal de 750 mm2. La barra B está hecha de una

aleación de aluminio (E = 73GPa) y tiene un área

transversal de 1250 mm2. Después de aplicar la carga P,

se encuentra que la deformación unitaria en la barra B

es de 1200 μm/m. Determine: (a) Los esfuerzos en las

barras A y B; (b) El desplazamiento vertical (deflexión)

del seguro D y (c) la carga P.

Solución

En primer lugar se procede a determinar la deflexión de

B

)5,0(10.1200 6 mLL

BBB

B

B

mB

610.600 (1)

En la figura se muestra el diagrama de las

deformaciones a partir del cual se procede a determinar

la deflexión de A.

Mediante triángulos semejantes


45

)10.600(2

5

2,05,0

6 mmm

EBE

mE

610.1500 (2)

De la geometría de la deformación de la barra A, se

tiene

cosEA

E

ACos

5

410.1500 6 mA

mA

610.1200 (3)

Parte (a). Cálculo de los esfuerzos

m

mNm

L

E

B

BBB

5,0

/10.7310.600 296

PaB 6,87 (Tensión) Rta.

m

mNm

L

E

A

AAA

1

/10.19010.1200 296

MPaA 228 (Tensión) Rta.

Parte (b). Cálculo del desplazamiento del seguro en D

los esfuerzos. Del diagrama de deformaciones se

obtiene

)10.600(32,06,0

6 mmm

DBD

mD

610.1800 Rta.

Parte (c). Cálculo de la fuerza P

En la figura se muestra el DCL de la Barra CED


0 CM

mPmsenFmF AB 6,05,02,0

P

PAA

PFF

AABB

AB

6)10.750)(10.228(4)10.1250)(10.6,87(2

642

65

452

6666

kNP 5,150 Rta.

Problema 25.

Una pila de concreto de sección cuadrada tiene 6 m de

altura como se muestra en la figura. Los lados

convergen desde un ancho de 1.0 m en la base hasta 0,5

m en la parte superior. Determine el acortamiento del

pilar bajo una carga de compresión P = 1400 kN

(desprecie el peso propio de la pila). Suponga que el

módulo de elasticidad del concreto es 24 GPa.

Solución

Para resolver el problema se divide a la estructura en

elementos diferenciales a una distancia z y de espesor

dz, tal como se muestra en la figura.


46

La deformación unitaria del elemento diferencial será

dz

d

La deformación de la pila será

(1)

25,0

6

0 2

6

0

6

0

x

dz

E

P

dzEA

Pdz

E Z

Mediante triángulos semejantes se tiene

zxx

z04167,0

25,0

6 (2)

Remplazando la ec. (2) en (1) se tiene

08,05,0/10.24

10.1400

04167,025,0/10.24

10.1400

6

0 229

3

6

0 229

3

z

dz

mN

N

z

dz

mN

N

Integrando la ecuación anterior, se obtiene

mm714,0 Rta.

Problema 26

El miembro a tensión de la figura consta de un tubo A

de acero estructural (Eac = 29.106 lb/pulg2), que tiene un

diámetro exterior de 6 pulg y un diámetro interior de

4,5 pulg; y de una barra sólida B de aleación de

aluminio (Eal = 10,6.106 lb/pulg2) que tiene un diámetro

de 4 pulg. Determine: (a) El cambio de longitud del

tubo de acero, (b) La deflexión total del miembro, (c)

Los esfuerzos normal y cortante máximos en el tubo de

acero

Solución

Fuerza interna en la barra sólida B

3

3

0 120.10 0

120.10

y B

B

F F lb

F lb

Fuerza interna en el tubo de acero

3 3

3

0 85.10 120.10 0

205.10

y A

A

F F lb lb

F lb

Parte (a) Cambio de longitud del tubo A

0, 0,

2 2( )4

A A A A

A

A AA e i

F L F L

E AE d d

3

6 2 2 2

2

4(205.10 )(50) .

29.10 (6 4,5 ) lglg

A

lb pul

lbpu

pu

328,57.10 lgA pu

Cambio en la longitud de B

0, 0,

2

4

B B B B

B

B BB B

F L F L

E AE d

3

6 2

2

4(120.10 )(40) .

(10,6.10 )(4 )lg

B

lb pul

lbpul

pu

336,04.10 lgB pu

Parte (b) Deflexión total

3 3

3

8,57.10 lg 36,04.10 lg

64,1.10

T

T

pu pu

pul


47

Parte (c). Esfuerzos cortante máximo: En la figura se

muestra la fuerza en la sección inclinada y el área

correspondiente. Para que los esfuerzo cortante sea

máximo el ángulo θ = 45°

3 2cos 45 205.10 ( ) 144,96

2t AF F lb klb

2 2 20 0

2

45 ( 2)(6 4,5 ) lg )45 4

17,49 lg

A Asen A pu

A sen

A pu

Esfuerzo cortante máximo

max 2 2

144,968286

17,49 lg lg

tF klb lb

A pu pu

El esfuerzo normal es máximo cuando el ángulo es 0°.

Entonces su valor será

max 22 2 20

20516570

lg(6 4,5 ) lg

4

AF klb lb

A pupu

Problema 27

La barra C mostrada en la figura es una varilla de

aleación de aluminio (Eal = 73 GPa) tiene un área de

sección transversal de 625 mm2. El miembro D es un

poste de madera (Em = 12 GPa) y tiene una sección

transversal de 2500 mm2. Si los esfuerzos normales

admisibles son 100 MPa para el aluminio y 30 MPa

para la madera. Determine el valor máximo admisible

de la carga P.

Solución

En la figura se muestra el DCL de la barra rígida AB en

una posición inclinada


0

6 6

6

0

(0,3cos ) (0,05cos ) (0,1cos ) 0

0,3 0,05 0,1

0,3 0,05 0,1

0,3 0,05(2500.10 ) 0,1(625.10 )

0,3(10 ) 125 62,5 (1)

D C

D C

D D C C

D C

D C

M

P F F

P F F

P A A

P

P

Principio de compatibilidad

3

3

0, 0, 3

3

9 9

6

0.09.102( 0.09.10 )

50 100

2( ) 0,18.10

0,3 0,152( ) 0,18.10

73.10 12.10

6,08 43,8.10 (2)

CDC D

C C D D

C D

C D

C D

mm mm

L L

E E

Si el esfuerzo en la madera es 30D MPa ,

entonces se tiene 6 66,08(30.10 ) 43,8.10

226

C

C MPa

La ecuación anterior indica que se sobrecarga el

aluminio, entonces es el esfuerzo en el aluminio el que

debe usarse. Entonces tenemos

6

6 6

6,08 43,8.10

100.10 6,08 43,8.10

9,24

C D

D

D MPa

Remplazando este valor en la ecuación (1) resulta

6 6 6

max

max

0,3(10 ) 125(9,24.10 ) 62,5(100.10 )

= 24683 N Rta.

P

P


48

PROBLEMAS SOBRE ESFUERZO.

1. Dos barras Cilíndricas AB y BC Están soldadas por

una placa rígida en B y sometida a las cargas

indicadas. Sabiendo que la fuerza P = 28,2 kip.

Determine los esfuerzos normales promedios en:

(a) AB y (b) en BC

2. La lámpara de 6 kg que aparece en la figura cuelga

de un techo por medio de alambres de 0,75 mm de

diámetro. Determine el esfuerzo de tensión en los

alambres AB y BC

3. El dispositivo mostrado en la figura sirve para

determinar la resistencia de la madera al esfuerzo

cortante. Las dimensiones del bloque de madera son

6 pulg x 8pulg x1.5pulg. Si la fuerza requerida para

partirla es de 12 kip, determine la resistencia

promedio de la madera al esfuerzo cortante.

4. Dos tubos de hierro de fundición se unen con

adhesivo en una longitud de 200 mm como se

muestra en la figura. Los diámetro externos de cada

uno de los tubos son de 50 mm y 70 mm,

respectivamente y el espesor de su pared es de

10 mm. Si se separan al transmitir una fuerza de

100 KN. ¿Cuál fue el esfuerzo cortante promedio

en el adhesivo justo antes de la separación

5. La sección transversal del punzón y la matriz de la

figura es un círculo de una pulgada de diámetro.

Una fuerza P = 6 kips se aplica al punzón. Si el

espesor de la placa es t = 1/8 pulg. Determine el

esfuerzo cortante promedio en la placa a lo largo de

la trayectoria del punzón.

6. En la figura se muestra el croquis de un punzón y

matriz para hacer arandelas. Determine la fuerza P

necesaria para troquelarlas en términos del espesor

t de la placa, la resistencia promedio de ésta al

esfuerzo cortante τ y los diámetros internos y

externo de las arandelas d1 y d2.

7. La estructura mostrada en la figura soporta una

carga P = kN. Determine: (a) el esfuerzo normal en

el elemento BD si este tiene una sección transversal

de área ABD = 8.103 mm2. (b) El esfuerzo cortante

en el perno en A si este tiene un diámetro de 25

mm y actúa a cortante doble.

8. La fuerza axial P = 12.103 lb actúa sobre un

miembro rectangular, como se muestra en la figura.

Determine los esfuerzos normal y cortante

promedio sobre el plano inclinado AA.

9. La pieza de madera está sometida a una fuerza de

tensión de 85 lb. Determine los esfuerzos normales

y cortantes medios desarrollados en las fibras de la

madera orientadas a lo largo de la sección a-a a 15°

con el eje de la pieza. Rta: σ = 1,90 psi; τ = 7,08 psi.


49

10. En la figura se muestra un modelo simplificado del

brazo de un joven al levantar un peso. El área de la

sección transversal del bíceps se estima en 2 pulg2.

Determine el esfuerzo normal promedio en el

músculo y la fuerza cortante promedio en la

articulación del codo A.

11. Calcule el esfuerzo de compresión en la biela

mostrada en la figura cuando se aplica una fuerza P

= 10 lb al pedestal de freno. Suponga que la línea

de acción de la fuerza P es paralela a la biela, cuyo

diámetro es d = 0,22 pulgadas y las otras

dimensiones ilustradas se miden

perpendicularmente a la línea de acción de P.

Rta: σ = 1446,9 lb/pulg2.

12. Todos los pernos mostrados en la figura trabajan en

cortante simple y tienen un diámetro de 40 mm. La

sección transversal de todos los miembros es

cuadrada. Determine el esfuerzo cortante máximo

en el perno A y los esfuerzos axiales en el miembro

BD.

13. Un conjunto de puntal y cable ABC sostiene una

carga vertical P = 15 kN. El cable tiene una sección

transversal efectiva de 120 mm2 y el puntal un área

de 250 mm2: determine los esfuerzos normales en

el cable y en el puntal e indicar si son de tensión o

de compresión.

14. Cada uno de los cuatro eslabones verticales tienen

una sección transversal rectangular de 8 por 36 mm

y cada uno de los cuatro pines tienen 16 mm de

diámetro. Determine los valores máximos de los

esfuerzos normales medios en cada eslabón

conector en: (a) en los puntos B y D y (b) y en los

puntos C y E. Rta: σBD = 101,6 MPa; σCE = -21,7 MPa

15. Sabiendo que la porción central del eslabón BD

tiene una sección uniforme de 800mm2. determine

la magnitud de la carga P para la cual el esfuerzo

normal en esa porción BD sea de 50 MPa. Rta: P = 62,745 N

16. En la figura se ve un punzón para perforar placas

de acero, Si se usa un punzón con diámetro de 0,75

pulg para perforar un agujero en una placa de ¼

pulg, Si se requiere una fuerza de P = 28000 lb.


50

¿Cuál es el esfuerzo cortante medio en la placa y el

esfuerzo normal medio en el Punzón.

17. El elemento de madera inclinado AB de una

armadura está ensamblada en una cuerda inferior de

4 x 6 pulg, como se muestra en la figura. Determine

la fuerza de compresión axial en el miembro AB

cuando el esfuerzo cortante promedio paralelo al

grano en el extremo de la cuerda inferior es de 225

lb/pulg2.

Rta: P = 4,88 klb

18. Las dos barras de aluminio soportan la fuerza

vertical de P = 20 kN. Determine sus diámetros

requeridos si el esfuerzo permisible de tensión para

el aluminio es de σ = 150 MPa.

Rta: dAB = 15,5 mm y dAC = 13 mm

19. Una viga horizontal AB con sección transversal

rectangular y longitud de 2,4 m está sostenida

mediante un puntal inclinado CD como se muestra

en la figura. El puntal, que se compone de dos

barras planas está unido a la viga en el punto C por

un perno de diámetro d = 16 mm. Si el esfuerzo

tangencial admisible es el perno es de 90 MPa.

¿Cuál es el valor admisible de la carga P que actúa

sobre la unión B

20. La pieza mostrada en la figura está hecha de acero

con un peso específico de 7500 kg/m3. Determine el

esfuerzo de compresión medio que actúa en los

puntos A y B.

21. Un empalme en madera se fabrica con adhesivo

como se muestra en la figura. La longitud de la

región pegada es L = 4 pulg y el espesor de la

madera es de 3/8 pulg. Determine el esfuerzo de

corte promedio en el adhesivo.

22. Un empalme en madera se fabrica con adhesivo

como se muestra en la figura. La unión transmite

una fuerza P = 20 kips y tiene las siguientes

dimensiones L = 3 pulg, a = 8 pulg y h = 2 pulg.

Determine el máximo esfuerzo normal promedio y

el esfuerzo cortante en el adhesivo.

23. Dos tiras de un material plástico están unidas,

como se muestra en la figura. El esfuerzo cortante

medio en el adhesivo debe limitarse a 950 kPa.

Halle la longitud L de la placa de empalme


51

necesaria si la carga axial soportada por la junta es

de 50 kN

24. Los elementos de madera están unidos por placas

de madera contrachapada pegadas a las superficies

en contacto. Si la separación entre extremos es de

6 mm y el cortante último de la junta pegada es de

2,5 MPa. Determine la longitud L para la cual el

factor de seguridad es 2,75 con la carga mostrada.

25. La flecha compuesta consiste en un tubo AB y en

una barra sólida BC. El tubo tiene un diámetro

interno de 20 mm y un diámetro externo de 28 mm.

La barra tiene un diámetro de 12 mm. Determine el

esfuerzo normal medio en los puntos D y E

26. Se utiliza un acople para conectar una varilla de

plástico de 2 pulgadas de diámetro con una varilla

de 1,5 pulgadas, como se muestra en la figura. Si el

esfuerzo cortante promedio en el adhesivo debe

limitarse a 500 lb/pulg2. Determine la longitud

mínima L1 y L2 requeridas para la junta si la carga

aplicada es P = 8000 lb.

27. Un cilindro está sostenido por una barra y un cable,

tal como se muestra en la figura. El cilindro tiene

una masa de 75 kg y un radio de 100 mm. Determine: (a) El esfuerzo axial medio en el cable

de acero CD de 3 mm de diámetro; (b) El diámetro

mínimo requerido para el seguro A si el esfuerzo

cortante en el seguro debe limitarse a 10 MPa. El

seguro A está a cortante doble.

Rta: (a) σCD = 54,24 MPa, (b) d = 6,37 mm

28. La viga está soportada por un pasador A y un

eslabón BC. Determine el esfuerzo cortante

promedio en el pasador B que tiene un diámetro de

20 mm y está sometido a cortante doble.

29. La barra que se muestra en la figura tiene una

sección transversal rectangular de 200 x 100 mm.

Determine: (a) los esfuerzos normal y cortante en el

plano a-a; (b) los esfuerzos normal y cortante

máximos en la barra.

Rta: (a) σ = 18,75 MPa; τ = 10,83 MPa

.

30. El marco soporta la carga mostrada. El perno en A

tiene un diámetro de 0,25 pulg y está sometido a

cortante doble. Determine el esfuerzo cortante

promedio en el perno.


52

31. Determine la intensidad w máxima de la carga

distribuida que puede ser soportada por la viga

atirantada de manera que no se exceda un esfuerzo

cortante admisible de 100 MPa en los pernos de 12

mm de diámetro en A y B, ni se exceda tampoco un

esfuerzo normal admisible de 150 Mpa en el

tirante AB de 15 mm de diámetro.

32. La estructura se encuentra sometido a la fuerza de

7 kN. Determine los diámetros requeridos para los

pernos en A y B si los esfuerzos de corte

admisibles en el material es de adm = 40 MPa. El

perno en A se encuentra sometido a cortante doble

mientras que el perno en B se encuentra sometido a

cortante simple.

33. Determine el esfuerzo normal medio en la sección

a-a y el el esfuerzo cortante medio en la sección b-b

del elemento AB de peso despreciable. La sección

transversal del elemento es cuadrada de 0,5 pulg

por lado.

34. El soporte cilíndrico de aluminio de 200 mm de

diámetro soporta una carga compresiva de 300 kN.

Determine los esfuerzos normales y cortantes

medios actuando sobre la sección a-a.

35. Las tres barras de acero son utilizadas para soportar

la carga P. Si los alambre soportan un esfuerzo

admisible σadm = 165 MPa. Si el alambres AB; BC

y BD tienen diámetros de 6 mm, 5 mm y 7 mm,

respectivamente. Determine la fuerza más grande

posible P que se debe aplicar para que ninguno de

los alambres fallen.

36. El miembro ABC, el cual es soportado por un

pasador en C y un cable BD, ha sido diseñado para

soportar una carga P = 16 kN, como se muestra en

la figura. Sabiendo que la carga última que puede

soportar el cable es de 100 kN . Determine el factor

de seguridad con respecto a la falla del cable.


53

37. Un pasador de 6 mm de diámetro se usa en la

conexión en C del pedal mostrado. Sabiendo que

P = 500 N. Determine: (a) el esfuerzo cortante

medio en el pasador, (b) el esfuerzo de

aplastamiento nominal del pedal en C y (c) el

esfuerzo de aplastamiento nominal en cada uno de

los soportes en C.

38. El elemento B es sometido a una carga compresiva

de 600 lb como se muestra en la figura. Si cada uno

de los elementos A y B son hechos de madera y

tienen 𝒆 = 𝟏, 𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈 de espesor. Determine la

dimensión más pequeña a de tal manera que el

esfuerzo de corte a lo largo de la línea azul no

excede a 𝝉 = 𝟓𝟎 𝒑𝒔𝒊

39. El cable BD tiene una resistencia a la rotura de

25 kips y el factor de seguridad con respecto a la

falla requerido en el cable es 3,2. Determine la

fuerza más grande P que se puede aplicar con

seguridad al elemento ABC.

40. La barra homogénea ABCD es soportada por el

cable AB que pasa por la polea, por un cable

vertical en C y por un plano inclinado liso. Si las

áreas transversales de AB y C son 250 mm2 y 300

mm2. Determine la masa de la barra si el esfuerzo

normal en cada uno de éstos cable se encuentra

limitado a 100 MPa.

41. Determine la carga P más pequeña que puede ser

aplicada a la estructura sin exceder un esfuerzo

normal medio σ = 150 MPa ni un esfuerzo

cortante τ = 60 MPa en la sección a-a,

respectivamente. El elemento BC tiene una sección

cuadrada de 25 mm por cada lado.

PROBLEMAS SOBRE DEFORMACIONES.

42. la viga rígida es soportada por un pasador en A y

dos alambres BD y CE. Si la carga aplicada sobre

la viga produce un desplazamiento de 10 mm del

extremo C hacia abajo. Determine la deformación

unitaria normal en cada uno de los alambres. Rta: εBD = 0,00107mm/mm; εCE = 0,00250mm/mm


54

43. Como resultado de la aplicación de la fuerza P, en

el punto B de la figura se observó un movimiento

de 0,06 pulg hacia arriba. Si la longitud de la barra

A es de 24 pulg. Determine la deformación normal

media en ella



de 0,06 pulg hacia arriba. Si las longitudes de las

barras A y F es de 24 pulg. Determine la

deformación normal media en cada una de las

barras

45. La barra rígida CD de la figura es horizontal

cuando no está sometida a carga, mientras que las

barras A y B no están sujetas a deformación.

Cuando se aplica la carga P, se encuentra que la

deformación unitaria axial en la barra B es de

0,0015 pulg/pulg. Determine: (a) La deformación

unitaria axial en la barra A y (b) La deformación

unitaria axial en la barra A si hay un espacio libre

de 0,005 pulg en la conexión entre las barras A y la

barra rígida CD. Rta: (a) 938 μpulg/pulg; (b) 313 μpulg/pulg

46. La viga rígida es soportada por un pasador en A y

los alambres BD y CE. (a) Si la aplicación de la

carga P produce un desplazamiento de 10 mm hacia

abajo, determine la deformación normal en los

alambres CD y DE. (b) si la máxima deformación

normal en cada alambre es 0,02. Determine el

máximo desplazamiento vertical de la carga P.

Rta: 11,2 mm

47. la viga rígida es soportada por un pasador en a y

dos alambres BD y CE. Si la carga distribuida

sobre la viga ocasiona un desplazamiento vertical

de 10 mm del extremo C. Determine la

deformación unitaria normal en cada uno de los

alambres. Rta: εBD = 0,00276mm/mm; εCE = 0,0050mm/mm



de 0,06 pulg hacia arriba. Si la longitud de la barra

A es de 24 pulg. Determine la deformación normal

media en ella.

49. Repita el problema anterior para las barras

mostradas en la figura.


55

50. Debido a la aplicación de la fuerza P en la posición

B de la figura se observó u movimiento hacia la

izquierda de 0,75 mm. Si la longitud de la barra A

es 1,2 m. Determine la deformación normal media

en ella.

51. Debido a la aplicación de la fuerza P, en el punto B

de la figura se observó un movimiento a la

izquierda de 0,75 mm. Si las longitud de la barra

A es de 1,2 m. Determine la deformación unitaria

normal media en dichas barras.

52. Debido a la aplicación de la fuerza P, en el punto B

de la figura se observó un movimiento a la

izquierda de 0,75 mm. Si las longitudes de las

barras A y F es de 1,2 m. Determine la deformación

unitaria normal media en dichas barras.

53. El rodillo en P puede deslizarse en la ranura sólo en

la cantidad indicada. Determine la deformación en

la barra AP, mediante: (a) mediante el cálculo de la

longitud deformada de AP sin aproximaciones de

pequeña deformación, (b) usando aproximaciones

de pequeñas deformaciones.

54. Repita el problema anterior para la barra mostrada

en la figura

55. El rodillo en P se desliza en la ranura como se

indica en cada caso. Determine el cambio

dimensional en las barras AP y BP por

aproximaciones de pequeña deformación.

56. El rodillo en P se desliza en la ranura como se

indica en la figura. Determine el cambio

dimensional en la barras AP y BP por

aproximaciones de pequeña deformación.

57. Parte de la varilla de mando de un avión consta de

un miembro rígido CBD y de un cable flexible AB.

Si se aplica una fuerza al extremo D del miembro y

ocasiona una deformación unitaria normal en el

cable de 0,0035 mm/mm, determine el

desplazamiento del punto D. En la posición original

el cable no está estirado.

Rta: 4,38 mm

58. Cuando se aplica la fuerza P al extremo del brazo

de palanca rígido ABC como se muestra en la

figura, el brazo rota en sentido antihorario

alrededor del pasador en A un ángulo de 0,05°.


56

Determine la deformación unitaria normal

desarrollada en el alambre BD.

59. La fuerza aplicada al extremo C del brazo de

palanca rígido ocasiona que el brazo gire alrededor

de A un ángulo de 3° en sentido horario. Determine

la deformación unitaria promedio en el alambre.

Originalmente el alambre se encuentra sin

deformar.

60. Los dos alambres están conectados en A. Si la

fuerza P ocasiona que el punto A se desplace

horizontalmente 2 mm, determine la deformación

unitaria normal desarrollada en cada alambre.

Rta: 0,00578 mm/mm

61. Si una carga aplicada a la barra AC ocasiona que el

punto A se desplace hacia la izquierda una cantidad

L, determine la deformación unitaria normal en el

alambre AB. Inicialmente, = 45°.

Rta: 0,5ΔL/L

62. La pieza de plástico es originalmente rectangular.

Determine el esfuerzo normal medio a lo largo de

las diagonales AC y DB.

63. Antes de aplicar la carga P en el sistema de la

figura, el espacio entre la placa rígida y la barra B

es de 0,18 mm. Una vez aplicada la carga P, la

deformación axial en la barra B es de -2500 m/m.

Determine la deformación axial en la barra A

64. La carga P produce una deformación unitaria axial

en el poste de latón B de la figura de 0,0014

pulg/pulg. Determine: (a) La deformación unitaria

axial en la varilla A de aleación de aluminio. (b) La

deformación unitaria axial en la varilla A de

aleación de aluminio si hay un espacio libre de

0,005 pulg en la conexión entre A y C, además del

espacio libre de 0,009 pulg entre B y C.

Rta: (a) 1000 μpulg/pulg; (b) 900 μpulg/pulg

65. El cuadrado se deforma hasta adoptar de forma

descrita por las líneas punteadas. Determine (a) el

esfuerzo normal medio a lo largo de las diagonales

AC y DB y (b) las deformaciones angulares en A,

B, C y D. El lado D’B’ permanece horizontal. Rta: εBD = 0,00161mm/mm; εCE = 0,126mm/mm


57

66. La placa rectangular está sometida a las

deformaciones mostradas por las líneas punteadas.

Determine: (a) las deformaciones unitarias medias

a lo largo de la diagonal AC y del lado AB, y (b) la

deformación unitaria cortante media γxy.

67. La carga P produce una deformación unitaria axial

en el poste de acero D de la figura de 0,0075 m/m.

Determine: (a) La deformación unitaria axial en la

varilla de aluminio C. (b) La deformación unitaria

axial en la varilla C de aleación de aluminio si

existe un espacio libre de 0,10 mm en la conexión

en E, además del espacio libre de 0,09 mm en la

conexión en E, además del espacio libre de 0,09

mm entre B y D antes de aplicar la carga P.

Rta: (a) 8100 μm/m; (b) 900 μm/m

68. Una unidad de aislamiento vibratorio consta de dos

bloques de caucho endurecido adheridos a una

placa AB y a soportes rígidos, como se muestra en

la figura. Sabiendo que una fuerza P = 25 kN causa

una deflexión δ = 1,5 mm de la placa AB.

Determine el módulo de rigidez del caucho usado.

69. Un cojinete de elastómero (G = 0,9 MPa) es

utilizado para soportar una viga de un puente como

se muestra y proporcionar flexibilidad durante los

terremotos. La viga no puede desplazarse más de

10 mm cuando se aplica la carga lateral P = 22 kN.

Sabiendo que el esfuerzo cortante admisible

máximo es de 420 kPa. Determine: (a) la

dimensión b más pequeña requerida y (b) el espesor

a requerido.

70. La unidad de aislamiento vibratorio consta de dos

bloques de caucho endurecido adheridos a una

placa AB y a soportes rígidos como se muestra en

la figura. Sabiendo que para el caucho utilizado τadm

= 220 psi y G = 1800 psi. Y que la fuerza P = 3,2

kips puede causar una deflexión vertical de 0,1 pulg

a la placa AB. Determine las dimensiones a y b

más pequeñas requeridas.

71. Una viga rígida reposa en posición horizontal sobre

dos cilindros de aluminio 2014-T6 que tienen

longitudes sin carga que se muestran en la figura.

Si cada cilindro tiene un diámetro de 30 mm.

Determine la colocación de la carga x de modo que


58

la viga permanezca horizontal. ¿Cuál es el nuevo

diámetro del cilindro A después de haberse

aplicado la carga?. Considere que νal = 0,35

Rta: x = 1,53 m; d = 30,008 mm

72. El soporte consta de tres placas rígidas conectadas

entre sí por medio de dos cojinetes de hule situados

simétricamente. Si se aplica una fuerza vertical de

5 N a la placa A. Determine el desplazamiento

vertical aproximado de esta placa debido a las

deformaciones unitarias cortantes en el hule. Cada

cojinete tiene dimensiones transversales de 30 mm

y 20 mm. G = 0,20 MPa. Rta: δ = 0,833 mm

73. El bloque plástico mostrado está pegado al soporte

rígido y a una placa vertical, a la cual se aplica una

fuerza P de 240 kN. Sabiendo que para el plástico

utilizado G = 1050 MPa, halle la deflexión de la

placa. Todas las dimensiones se dan en mm

Rta: δ = 1,19 mm

74. El tubo rígido AC es soportado por un pasador en

A y por un alambre DB de acero (E = 29 ksi). Si el

alambre tiene un diámetro de 0,25 pulg. Determine

la carga P si el extremo C se desplaza 0,075 pulg

hacia abajo.

Rta: P = 570 lb

75. La barra AD es rígida y se encuentra inicialmente

en posición horizontal. Si el peso W ocasiona que

el punto B se desplace 0,025 pulg hacia abajo.

Determine la deformación unitaria en los alambres

DE y BC. Además, si los alambres están hechos de

acero (E = 200 GPa) y tienen una sección

transversal de 0,002 pul2, determine el peso W. Rta: εDE = 0,00116pulg/pulg; εDE = 0,00116 pulg/pulg;

W = 112 lb

76. El tubo es soportado por un pasador en C y un

alambre AB que tiene un diámetro de 0,2 pulg.

Determine la deformación del alambre AB cuando

sobre el tubo actúa la carga distribuida mostrada.

Rta: 0,0821 pulg

77. Dos barras son utilizadas para soportar la carga P

mostrada en la figura. Si las longitudes de AB y

AC antes de la aplicación de la carga son de 5 pulg

y 8 pulg, respectivamente y las coordenadas de

posición del anillo es (0; 0). Después de aplicarse la

carga P al anillo las deformaciones unitarias normal

en las barras son εAB = 0,02 pulg/pulg y son εAB =


59

0,035 pulg/pulg. Determine las coordenadas de

posición del anillo después de la aplicación de la

carga.

Rta: x = -0,192 pulg; y = -0,218 pulg

78. El alambre AB de acero (E = 200 GPa) tiene un

área transversal de 10 mm2 y no está estirado

cuando θ = 45°. Determine la carga P necesaria

para que θ = 44,9°.

Rta: P = 2,46 kN

PROBLEMAS SOBRE ELEMENTOS CARGADOS

AXIALMENTE.

79. Un tubo hueco A de acero estructural (E = 200

GPa) con un diámetro exterior de 60 mm y un

diámetro interior de 50 mm está unida a una barra

sólida B de aluminio (E = 73 GPa) que tiene un

diámetro de 50 mm sobre una mitad de longitud y

un diámetro de 25 mm sobre la otra mitad. La barra

está sometida a cargas y sostenida como se muestra

en la figura. Determine: (a) El cambio de longitud

del tubo de acero, (b) El alargamiento total del

miembro, (c) Los esfuerzos máximos normal y

cortante en la barra de aluminio y en el tubo de

acero.

Rta: (a) 0,313 mm; (b) 1,865 mm

80. El ensamble consiste de una barra CB de acero

(E = 200 GPa) y una barra BA de aluminio

(E = 70 GPa) teniendo cada una un diámetro de

12 mm. Si el sistema es sometido a las cargas

axiales mostradas. Determine: (a) el

desplazamiento de los puntos B y A y (b) la

elongación de la barra AC.

Rta: δB = 1,59 mm y δA = 6,14 mm

81. La barra compuesta de acero inoxidable (E = 20

GPa) mostrada en la figura consta de dos

segmentos, AB y BD, cuyas áreas transversales son

de 600 mm2 y 1200 mm2, respectivamente.

Determine el desplazamiento vertical del extremo

A y el desplazamiento de B respecto a C.

82. La barra rígida BDE es soportada por los

conectores AB y CD. El conector AB es de

aluminio (E = 70GPa) y tiene un sección

transversal de 500 mm2, el conector CD es de acero

(E = 200GPa) y tiene un área transversa de 600

mm2. Halle las deflexiones de: (a) B, (b) D y (c) E

83. La estructura mostrada consiste en dos barras

rígidas originalmente horizontales. Están

soportadas por pasadores y barras de acero (E =

210 GPa) de 6 mm de diámetro- Si se aplica la

carga vertical de 20 kN a la barra inferior AB.

Determine el desplazamiento en C, B y E.


60

84. El miembro a tensión de la figura consta de un tubo

A de acero estructural (29.106 lb/pulg2), que tiene

un diámetro exterior de 6 pulg y un diámetro

interior de 4,5 pulg; y de una barra sólida B de

aleación de aluminio (10,6.106 lb/pulg2) que tiene

un diámetro de 4 pulg. Determine: (a) El cambio de

longitud del tubo de acero, (b) La deflexión total

del miembro, (c) Los esfuerzos máximos normal y

cortante en la barra de aluminio.

85. El conjunto mostrado en la figura consiste en un

tubo AB de una aleación de aluminio (E =73 GPa)

con área transversal de 500 mm2. Una barra de

acero inoxidable (E = 190 GPa) con diámetro de 12

mm está unida a un collarín rígido y pasa a través

del tubo. Si se aplica una carga de tensión de 80 kN

a la barra, determine el desplazamiento del extremo

C de la barra.

86. Un tubo A de aleación de aluminio (E = 73 GPa),

con un diámetro exterior de 75 mm, se utiliza para

sostener una varilla B de acero (E = 200 GPa) de

25 mm de diámetro, como se muestra en la figura.

Determine el diámetro interior del tubo A requerido

si la deflexión máxima del extremo de la varilla

sujeto a carga debe limitarse a 0,40 mm. Rta: d = 57,5 mm

87. Un elemento estructural está hecho de un material

que tiene una densidad ρ y un módulo de

elasticidad E. Determine el desplazamiento de su

extremo inferior bajo el efecto de su propio peso y

la fuerza exterior P.

88. La barra rígida esta soportada por la barra CB

conectada ésta en sus extremos por pasadores; la

barra CB tiene un área transversal de 14 mm2 y

está hecha de aluminio 6061-T6. Determine la

deflexión vertical de la barra en D cuando se

aplica la carga distribuida. Rta: δD = 17,3 mm

89. La barra de acero tiene un área en su sección

transversal de 3 pulg2 y un módulo de elasticidad

E = 35.103 ksi. Determine el desplazamiento de su

extremo A cuando está sometido a la carga

distribuida mostrada. Rta: δA = 0,0128 pulg


61

90. Una barra de acero A-36 está sometida a las cargas

que se muestran en la figura. Si el área de la

sección transversal de la barra es de 60 mm2,

determine el desplazamiento de B y de A.

Desprecie el tamaño de los acoples B, C y D. Rta: δA = 2,64 mm

91. El sistema de eslabones está formado por tres

miembros de acero A-36 (E = 200GPa)

conectados por pasadores; cada miembro tiene un

área transversal de 450 mm2. Si se aplica una

fuerza horizontal P = 30 kN al extremo B del

miembro AB. Determine el desplazamiento

horizontal del punto B

92. Un tubo de acero A-36 tiene un radio exterior de

20 mm y un radio interior de 15 mm. Si entre

justamente entre las paredes fijas antes de ser

cargado, determine la reacción en las paredes

cuando se somete a la carga mostrada.

Rta: FC = 4,80 kN; (b) FA = 11,2 kN

93. Una barra plana de sección transversal rectangular

de lado L y espesor constante t, se somete a una

fuerza de tracción P como se muestra en la figura.

El ancho de la barra cambia en forma lineal, desde

b1 en el extremo menor hasta b2 en el mayor.

Determine el alargamiento de la barra.

94. Una barra tiene una longitud L y el área de su

sección trasversal es A. Determine su alargamiento

debido tanto a la fuerza P como a su propio peso.

El material tiene una densidad ρ y un módulo de

elasticidad E.

95. La barra tiene un ligero ahusamiento y longitud L.

Está suspendida del techo y soporta una carga P en

su extremo. Determine el desplazamiento se su

extremo libre debido a esta carga si se desprecia el

eso propio. El módulo de elasticidad es E

96. Determine el desplazamiento relativo a un extremo

de la placa tronco prismático con respecto al otro

extremo cuando está sometida a una carga axial P

97. La barra rígida AB es soportada por un pasador en

A y por una barra de acero (E = 200 GPa) BC de

500 mm2 de sección transversal. Determine el

desplazamiento vertical del extremo B de la barra

rígida cuando se le aplica la carga distribuida

mostrada en la figura.

Rta: δB = 4,17 mm


62

98. Una barra de sección rectangular de aluminio (E =

10000 ksi, ν = 0,25) de ¾ pulg de espesor consta de

una sección transversal uniforme y una piramidal,

como se observa en la figura. La altura de la

sección piramidal varía conforme a h(x) = 2 -0,02x.

Determine: (a) El alargamiento de la barra bajo las

cargas aplicadas, (b) El cambio de dimensión en la

dirección y en la sección BC.

99. Dos barras cilíndricas, una de acero (E = 200 GPa)

y la otra de latón (E = 105 GPa) están unidas en C

y y restringidas a moverse por los soportes rígidos

A y E. Si se aplica un sistema de cargas axiales

como se muestra en la figura. Determine: (a) las

reacciones en A y en E y (b) la deflexión de C. Las

dimensiones se dan en milímetros

100. El radio de un cono truncado de sección circular

varía con x de la manera siguiente

R(x) = (r/L)(5L - 4x) ver figura. Determine el

alargamiento del cono truncado debido a su propio

peso en términos de E; L, r y γ, donde E y γ son el

módulo de elasticidad y el peso específico del

material, respectivamente.

101. La barra compuesta consiste en un segmento AB de

acero A-36 de 20 mm de diámetro y de segmentos

extremos DA y CB de latón C83400 de 50 mm de

diámetro. Determine el desplazamiento del punto A

con respecto a B debido a la carga aplicada.

Rta: δA/B = 0,335 mm

102. El conjunto consta de tres barras de titanio y una

barra rígida AC. El área de la sección transversal de

cada barra se da en la figura. Si se aplica una fuerza

horizontal de P = 30 kN al anillo F, determine el

ángulo de inclinación de la barra AC. Considere

que ETi = 350 GPa.

Rta: θ = 0,063.10-3 rad

103. Un tubo de acero está lleno de concreto y sometido

a una fuerza de compresión de 80 kN. Determine el

esfuerzo en el concreto y en el acero debido a esta

carga. El tubo tiene un diámetro exterior de 80 mm

y un diámetro interior de 70 mm. Eac= 200 GPa y

Ec = 24 GPa

104. La columna mostrada en la figura es construida de

concreto de alta resistencia ( E = 4,2.103 ksi) y 6

varillas de acero reforzado (E = 29.103 ksi). Si al

sistema se le somete a una carga axial de 30 kip.

Determine el diámetro requerida de cada varilla de

tal manera que la cuarta parte de la carga sea

soportada por el concreto y las tres cuartas partes

de la carga sea soportada por el acero.

Rta d = 1,80 pulg


63

105. Una barra rígida AB descansa sobre los dos postes

cortos mostrados en la figura. AC está hecho de

acero (E = 200 GPa) y tiene un diámetro de 25

mm; BD está hecho de aluminio (E = 73 GPa)

tiene un diámetro de 50 mm. Determine el

desplazamiento del punto F s ituado en AB cuando

se aplica una carga vertical de 90 kN sobre este

punto.

106. El poste central B del conjunto tiene una longitud

original de 124,7 mm, mientras que los postes A y

C tienen una longitud de 125 mm. Si las tapas

arriba y abajo se consideran rígidas, determine el

esfuerzo normal promedio en cada poste. Los

postes están hechos ed aluminio y tienen cada uno

un área transversal de 400 mm2. E = 70 GPa.

Rta: σA = σC = 189 MPa; σB = 21,4 MPa.

107. Las tres barras colgantes están hechas del mismo

material y tienen las mismas áreas A en sus

secciones transversales. Determine el esfuerzo

normal medio en cada una de las barras si la barra

rígida ACE está sometida a la fuerza P.

108. La longitud del alambre de acero de 2 mm de

diámetro, ha de ser ajustada de manera que, sin

carga aplicada, exista una luz de 1,5 mm entre el

extremo B de la viga rígida ACB y un punto de

contacto E. Sabiendo que E = 200 GPa, halle la

posición a la cual se debe colocar un bloque de 20

kg sobre la viga de tal manera que el extremo B de

la viga entre en contacto con el apoyo E.

Rta: x = 92 mm

109. El soporte consisten un poste sólido de latón

C83400 (E = 101 GPa) que está rodeado por un

tubo de acero inoxidable 304 (E = 193 GPa). Antes

de aplicar la carga el hueco entre estas dos partes es

de 1 mm. Dadas las dimensiones mostradas,

determine la carga axial máxima que puede

aplicarse a la tapa rígida A sin generar fluencia en

ninguno de los materiales. Rta: P = 198 kN

110. La columna de concreto (E = 25 GPa) es reforzada

por seis varillas de acero (E = 200 GPa) cada una

de diámetro d = 20 mm. Si esta es sometida a una

carga axial de 900 kN, Determine el esfuerzo

normal en el concreto y en el acero


64

111. Una barra rígida BCD está engoznada en el punto

C. Si el módulo de elasticidad del poste A es

E = 30000 ksi, su área transversal es A = 1,25 pulg2

y su longitud es de 24 pulg. Determine la fuerza

aplicada F si el punto B se mueve 0,002 pulg hacia

arriba.

112. El poste A de acero inoxidable 304 tiene un

diámetro de d = 50 mm se encuentra rodeado por

un tubo B hecho de bronce C83400. Ambos se

encuentra en reposo sobre la superficie horizontal

como se muestra en la figura. Si la fuerza de 25 kN

es aplicada a la lámina rígida superior. Determine el diámetro d que debe tener el poste para que la

carga sea repartida igualmente en el poste y el tubo.

113. ¿Cuál es el desplazamiento relativo del punto A

con respecto al punto D?. Considere que lAB = 300

mm, lCD = 400 mm y lCD = 500 mm

114. La barra rígida BCD está engoznada en el punto C.

Si el módulo de elasticidad de la varilla A de peso

despreciable es E = 30000 ksi, su área transversal

es A = 1,25 pulg2 y su longitud es de 24 pulg.

Determine la fuerza aplicada F si el punto B se

mueve 0,002 pulg hacia arriba

115. Se supone que la viga horizontal es rígida mientras

soporta la carga distribuida mostrada. Determine el

ángulo de inclinación de la viga después de haberse

aplicado la carga distribuida como se muestra.

Cada poste es de madera con 120 mm de diámetro y

una longitud original (descargada) de 1,4 m.

considere que Emad = 12 GPa. Rta: θ = 1,14.10-3 grados

116. La barra rígida AB es soportada por dos cables de

aluminio (E = 10000 ksi) con un diámetro de 172

pulg la barra se encuentra en posición horizontal

antes de la aplicación de la carga. Determine el

ángulo de rotación de la barra con respecto a la

horizontal cuando se aplica una carga P = 5 kips.

117. Una barra rígida está engoznada en el punto C con

un perno de acero de 2 mm de diámetro y que actúa

cortante doble. Si el módulo de elasticidad de la

barra A es E = 100 GPa, su área transversal es

A = 15 mm2 y su longitud es de 1,2 m. Determine

(a) la fuerza aplicada F si el punto B se mueve 0,75

mm hacia la izquierda, (b) el esfuerzo cortante en el

perno C. Rta: (a) F = 3750 N, (b) τ = 667 MPa

118. El cable BC de 2 mm de radio está hecho de acero

(E = 200 GPa). Sabiendo que el máximo esfuerzo

normal en el cable no debe exceder 190 MPa y que

la elongación en el mismo no puede exceder los 6

mm, encuentre la máxima carga P que podría

aplicarse a la estructura mostrada.


65

119. Cada uno de los eslabones AB y CD está hechos de

aluminio y tienen una sección transversal de

125 mm2. Sabiendo que ellos soportan el miembro

rígido BC, determine la deflexión del punto E

120. La barra rígida ABC es soportada por dos cables de

aluminio (E = 10000ksi) con un diámetro de

½ pulg, como se muestra en la figura. Determine

los alargamientos de los cables CE y BD cuando se

le aplica una carga de P = 5 kips.

121. La barra rígida BCD está engoznada en el punto C.

Si el módulo de elasticidad del poste A es E = 100

GPa, su área transversal es A = 15 mm2 y su

longitud es de 1,2 m. Determine la fuerza aplicada

F si el punto B se mueve 0,75 mm hacia la

izquierda.

122. La barra rígida AD es soportada por dos alambres

de acero (29.103 ksi) de diámetro d = 1/16 pulg y

por un pasador en D . sabiendo que los alambres

inicialmente estaban tensos. Determine: (a)

Determine la tensión adicional en cada alambre

cuando una fuerza P = 120 lb es aplicada en B, (b)

la correspondiente deflexión del punto B.

123. El rodillo en P se mueve en la ranura debido a la

fuerza F = 100 kN. El elemento AP tiene una

sección transversal A = 100 mm2 y un módulo

elástico de 200 Gpa. Determine el desplazamiento

del rodillo.

124. Una fuerza F = 20 kN se aplica al rodillo que corre

dentro de una ranura. Las dos barras tienen una

sección transversal de A = 100 mm2 y un módulo

de elasticidad E = 200 GPa. La barra AP y BP

tienen longitudes de 200 mm y 250 mm,

respectivamente. Determine el desplazamiento del

rodillo y el esfuerzo axial en la barra A

125. Una barra ABC de longitud L consiste en dos

partes de igual longitud pero diferentes diámetros.

Los segmentos AB y BC tiene diámetros 𝑑1 =

100 𝑚𝑚 y 𝑑2 = 60 𝑚𝑚 , respectivamente. Ambos

segmentos tienen longitud 𝐿

2= 0,6 𝑚 . Se perfora un

agujero longitudinal de diámetro 𝑑 a través del

segmento AB a lo largo de la mitad de su longitud

(distancia 𝐿

4= 0,30 𝑚. La barra es de plástico con

módulo de elasticidad 𝐸 = 4 𝐺𝑃𝑎. La cargas de

compresión 𝑃 = 110 𝑘𝑁 actúan en los extremos

de la barra. Si el acortamiento de la barra está

limitado a 8 mm. ¿Cuál es diámetro 𝑑𝑎𝑑𝑚

admisible máximo para el agujero


66







rodillo y el esfuerzo axial en la barra A.







rodillo y el esfuerzo axial en la barra A

128. Entre la placa rígida y la barra A de la figura existe

una brecha de 0,004 pulg antes de que se aplique la

fuerza F. La placa está engoznada en el punto C.

Las longitudes de las barras A y B es de 1 m y 1,5

m, y sus diámetros de 5 mm y 30 mm,

respectivamente. La barras son de acero (E = 200

GPa) y tienen un módulo de Poisson = 0,28 Si la

fuerza F = 75 kN. Determine: (a) el cambio

dimensional en la longitud de la dos barras y (b) su

cambio en el diámetros.



fuerza F. La placa está engoznada en el punto C.

Las longitudes de las barras A y B es de 1 m y 1,5

m, y sus diámetros de 5 mm y 30 mm,

respectivamente. La barras son de acero (E = 200

GPa) y tienen un módulo de Poisson = 0,28. Si

los esfuerzos admisibles en las barras A y B son de

110 MPa y 125 MPa, respectivamente. Determine

la fuerza máxima F que puede aplicarse.

130. Una estructura conectada con seguros está sujeta a

cargas y sostenida como se muestra en la figura. El

miembro CD es rígido y horizontal antes de aplicar

la carga P de 75 kN. La barra A está hecha de acero

estructural (E = 200 GPa) y la barra B está hecha

de aluminio (E = 73 GPa). Si los esfuerzos

admisibles son 125 MPa para el acero y 70 MPa para el aluminio, determine: (a) El área transversal

mínima aceptable para la barra B si la barra A tiene

un área transversal de 625 mm2 y (b) El

desplazamiento vertical del extremo D de la barra

rígida.

Rta: (a) 2570 mm2; (b) 6,51 mm

131. Dos barras delgadas se fijan firmemente a una

placa rígida, como se muestra en la figura. El área

de la sección transversal de cada barra es de

20mm2. La fuerza F debe colocarse de tal manera

que la placa rígida sólo se muestra horizontalmente

0,05 mm sin girar. Determine la fuerza F y su

ubicación h en los dos casos siguientes. (a) Ambas

barras son de acero, con módulo de elasticidad E =

200 GPa. (b) La barra (1 es de acero (E = 200

GPa) y la barra 2 de aluminio (E = 70 GPa).


67

132. La barra rígida CDE, mostrada en la figura, es

horizontal antes de aplicar la carga P. El tirante A

es una barra de acero (E= 210 GPa) rolado en

caliente con una longitud de 450 mm y un área

transversal de 300mm2. el poste B es un madero de

roble (E = 12 GPa) con una longitud de 375 mm y

un área transversal de 4500 mm2. Después de que

se aplica la carga P de 225 kN, determine: (a) Los

esfuerzos normales en la barra A y el poste B. (b)El

esfuerzo cortante en el seguro de 20 mm de

diámetro en C, que se encuentra a cortante doble.

(c) El desplazamiento vertical del punto D.

133. Dos cables idénticos AB y BC soportan una carga

P = 225 N. La distancia entre los soportes A y C es

b = 1 m y los cables forman un ángulo θ = 55° con

la horizontal; está, hechos de acero de alta

resistencia y su rigidez EA = 165 kN.m2. Determine

el desplazamiento hacia abajo, δ, del punto B,

debido a la carga P.

134. Una barra de sección rectangular de aluminio (E =

10000 ksi), una barra de acero (E = 30000 ksi) y

una barra de latón (E = 15 000 ksi) forman la

estructura mostrada, todas tienen el mismo espesor

de de 0,5 pulg. Si existe una brecha de 0, 02 pulg

antes de que se aplique las fuerzas P = 15 kips a la

placa rígida y suponiendo que ésta no gira,

determine: a) El esfuerzo axial en el acero y b) el

desplazamiento de la placa rígida respecto a la

pared derecha.

135. Los conectores BC y DE son de acero (E = 29.103

ksi) y tienen ½ pul de ancho por ¼ pulg de espesor.

Determine: (a) la fuerza en cada conector cuando se

aplica una fuerza P = 600 lb al miembro rígido AF

y (b) la deflexión del punto A.

136. La estructura conectada con seguros mostrada en

la figura ocupa la posición mostrada cuando no está

sujeta a cargas. Cuando se aplican a la estructura

las cargas D = 16 klb y E = 8 klb, la barra rígida C

debe colocarse horizontal. La barra A está hecha de

aluminio (E = 10600 klb/pulg2) y la barra B está

hecha de bronce (E = 15000 klb/pulg2). Si los

esfuerzos normales en las barras deben limitarse a

20 klb/pulg2 en el aluminio y 15 klb/pulg2 en el

bronce. Determine: (a) Las áreas mínimas que

serían adecuadas para las barras; (b) los cambios de

longitud de las varillas A y B.

Rta: AA = 0,419 pulg2; AB = 1,067 pulg2.

137. La barra rígida esta soportada por dos postes cortos

de madera y un resorte. Si cada uno de los postes

tiene una altura de 500 mm y un área transversal de

800mm2 y el resorte tiene una rigidez k = 1.8

MN/m y una longitud no estirada de 520 mm,

determine la fuerza en cada poste después de

aplicada la carga a la barra. Emad = 11GPa.

Rta: F = 40 kN


68

138. Las barras A y B tienen un área de sección

transversal de 400 mm2 y un módulo de elasticidad

E = 200 GPa. Entre la barra A y la placa rígida hay

una brecha antes de que se aplique la fuerza F,

como se observa en la figura. Si F = 10 kN.

Determine: (a) el esfuerzo axial en la barra B y (b)

el cambio dimensional de la barra A.

Rta: σB = 68,7 MPa, δA = 0,146 mm

139. Barras sólidas de sección circular de latón (E = 100

GPa, ν = 0,34) y aluminio (E = 70 GPa, ν = 0,33)

del mismo diámetro extremo, como se muestra en

la figura. Con base en la carga indicada determine:

(a) El movimiento de la Placa C con respecto de la

palca A y (b) el cambio de diámetro del cilindro de

latón. (c) El diámetro interno máximo del tubo de

acero si el factor de seguridad respecto de falla a

fluencia debe ser al menos 1,2. El esfuerzo de

fluencia del acero es de 250 MPa

140. Tres barras de acero (E = 200 GPa) A; B y C

tienen longitudes LA = 4 m; LB = 3 m y LC = 2 m,

como se muestra en la figura. Todas tienen la

misma área de sección transversal de 500 mm2.

Determine: (a) El alargamiento de la barra B, (b) El

esfuerzo normal en la barra C.

141. El conector horizontal BC tiene ¼ pulg y está

hecho de acero de 60 ksi de resistencia última a

tensión. Cuál debe ser el ancho w del conector si la

estructura se diseñó para soportar P = 8 kip con un

factor de seguridad igual a 3?.

142. La barra C mostrada en la figura es una varilla de

aleación de aluminio (E = 73 GPa) tiene un área de

sección transversal de 625 mm2. El miembro D es

un poste de madera (E = 12 GPa) y tiene una

sección transversal de 2500 mm2. Si los esfuerzos

normales admisibles son 100 MPa para el aluminio

y 30 MPa para la madera. Determine el valor

máximo admisible de la carga P.

Rta: Pmax = 24683 N

143. Una estructura conectada con seguros está sujeta a

cargas y sostenida como se muestra en la figura. El

miembro CD es rígido y está horizontal antes de

aplicar la fuerza P. La barra A es de aluminio

(E = 10,6.106 lb/pulg2) tiene un área trasversal de

2,25 pulg2. La barra B es de acero inoxidable

(E = 28.106 lb/pulg2) y tiene un área transversal de

1,75 pulg. Después de que se aplica la carga P a la

Estructura, determine: (a) Los esfuerzos normales

en las barras A y B; (b) el esfuerzo cortante en el

seguro en C de 0,5 pulg de diámetro que está a

cortante doble y (c) el desplazamiento vertical del

punto D. Rta: (a) σA = 2,21 klb/pul2, σB = 2,91 klb/pul2

144. La barra rígida en forma de L es soportado por un

pasador en A y dos varillas de acero ( E = 200

GPa) que tienen una longitud sin deformar de 12


69

pulg y un área de sección transversal de 0,0125

pul2. Determine la fuerza desarrollada en cada uno

de los alambres cuando a uno de los extremos de

la barra rígida se le aplica una carga vertical de

350 lb.

Rta: FB = 86,6 lb; FC = 195 lb

145. La barra rígida ABD es soportada por un pasador

en A, un alambre de acero BC (E = 200 GPa) con

una longitud sin deformar de 200 mm y un área de

sección transversal de 22,5 mm2 y de un poste

corte de aluminio (E = 70 GPa) cuya longitud sin

carga es de 50 mm y una sección transversal de 40

mm2. Si a uno de los extremos de la barra rígida se

le aplica una carga vertical de 450 N. Determine el

esfuerzo normal medio en la barra vertical y en el

poste corto.

Rta: σD = 13,4 MPa, σBC = 9,55 MPa

146. Una barra rígida ABC está sostenida por dos

eslabones como se muestra en la figura. El eslabón

BD está hecho de una aleación de aluminio

(E = 73 GPa) y tiene un área transversal de 1250

mm2. El eslabón CE está hecho de acero estructural

(E = 200 GPa) y tiene una sección transversal de

750 mm2. Determine el esfuerzo normal en cada

uno de los eslabones y la deflexión del punto A

cuando se aplica la carga P de 50 kN.

147. El ensamble consta de dos varillas AB Y CD de

una aleación de cobre (E = 101 MPa) de 30 mm de

diámetro; de una varilla de acero inoxidable EF

(E = 193 GPa) de 40 mm de diámetro y de una

placa rígida G. Suponiendo que los soportes A, C

y F son rígidos. Determine el esfuerzo normal

medio en cada una de las barras.

Rta: σAB = σCD = 26,5 MPa, σEF = 33,8 MPa

148. La barra vertical rígida AB esta empernada en A y

soportada por dos barras de aluminio de 1 pulg de

diámetro y cuyo módulo de elasticidad es

E = 10.103 ksi. Determine el desplazamiento del

extremo B de la barra cuando sobre ella se aplica

la carga horizontal de 2 kip.

Rta: 0,00257 pulg

149. Si el espacio entre el extremo del ensamble de

acero (E = 200 GPa) y el muro rígido en D es de

0,15 mm. Determine las reacciones en A y en D

cuando en la unión B se le aplica una carga

P = 200 kN.

Rta: RA = 180 kN: RD = 20,4 kN

150. Una fuerza P se aplica a una barra engoznada en el

punto O mediante un perno hecho de acero de

0,25 pulg de diámetro, como se muestra en la

figura. Las barras A y B so de acero (E = 30000

ksi). El área de la sección transversal de las barras


70

A y B son de AA = 1 pulg2 y AB = 2 pulg2. Si la

deflexión admisible en el punto C es de 0,01 pulg

y el esfuerzo admisible en las barras es de 25 ksi.

(a) Determine la magnitud de la fuerza P que

puede aplicarse. (b) Si el perno actúa a cortante

doble ¿cuál será el esfuerzo cortante en dicho

perno?.

151. La barra A de la figura es una varilla de acero

(E = 30.106 lb/pul2) que tiene un área transversal

de 1,24 pulg2. El miembro B es un poste de latón

(E = 15.106 lb/pulg2) que tiene un área transversal

de 4 pulg2. Determine el valor máximo admisible

de la carga P si los esfuerzos normales admisibles

son 30 klb/pulg2 para el acero y 20 klb/pulg2 para

el latón.

Rta: Pmax = 167,9 klb

152. Las tres barras colgantes están hechas de acero

(E = 200 GPa) y tienen la misma sección

transversal A = 450 mm2. Determine el esfuerzo

normal medio en cada una de las barras cuando a la

viga rígida se le aplica las cargas mostradas en la

figura.

Rta: σAD = 79,6 MPa; σBE = 96,3 MPa¸ σCF = 113 MPa

153. La barra rígida se mantiene en posición horizontal

mediante un perno en A y dos varillas de acero

(E = 29.103ksi) BC y DC y cuyas secciones

transversales son de 0,04 pulg2. Determine el

esfuerzo normal medio en cada una de las barras.

Rta: σCD = 15,4 ksi; σBC = 11,4 ksi

154. La barra rígida AB de peso despreciable se

mantiene en posición horizontal gracias a dos

barras de acero (E = 200GPa) y de 12 mm de

diámetro, antes de aplicar la carga P = 20kN.

Determine el ángulo de inclinación de la viga

después de la aplicación de P.

155. La viga rígida ABC de peso despreciable se

mantiene en posición horizontal mediante un

pasador de 8 mm de diámetro en A y un cable de

acero BD de 481 mm2 de sección transversal.

Sabiendo que H = 1,6 m, L1 = 3 m y L2 = 1,5 m.

Determine después de la aplicación de la carga

P = 32 kN: (a) El esfuerzo normal en el cable, (b)

la deflexión del punto C y (c) el esfuerzo cortante

en el pasador en A si éste actúa a cortante doble

156. La barra rígida AD es soportada por un pasador en

A y por los alambres BC y DE. Si la deformación

unitaria normal admisible máxima en cada alambre


71

es εadm = 0,003. Determine el desplazamiento

vertical máximo de la carga P.

157. El conector BD está hecho de Bronce (E = 105

GPa) y tiene un área de sección transversal de

240 mm2. El conector CE está hecho de aluminio

(E = 72 GPa) y tiene un área de sección transversal

de 300 mm2. Si ellos soportan el elemento rígido

ABC. Determine la máxima fuerza P que puede ser

aplicada verticalmente en el punto A si la deflexión

de A no debe exceder a 0,35 mm.

158. La barra ABC rígida ABC de masa despreciable

mostrada en la figura se encuentra articulada en B y

conectada a la barra vertical de aluminio en A y a la

barra de acero en C. Si inicialmente las barras se

encuentran libres de esfuerzo cuando ABC se

encuentra horizontal. Determine el esfuerzo normal

medio en la barra de aluminio y en la de acero

después que al extremo D se aplica la carga P = 20

kips.

159. El brazo de palanca mostrado en la figura es

soportado por dos alambres de acero (E = 200

GPa) que tienen el mismo diámetro de 4 mm y un

pasador en E. Si se aplica una fuerza P = 2 kN al

extremo de la palanca. Determine los esfuerzos y

las deformaciones de cada uno de los alambres.



fuerza F. la placa está engoznada en el punto C.

Las longitudes de las barras A y B es de 30 y 50

pulg, respectivamente. Ambas barras tienen un área

transversal de A = 1 pul2 y un módulo de

elasticidad E = 30000ksi. Si P = 100 kips.

Determine el esfuerzo axial en las barras A y B.

161. Una barra rígida, de masa despreciable, está

articulada en O y unida a una varilla de acero y una

de bronce, según se muestra en la figura.

Asumiendo que inicialmente las barras se

encuentran libre de esfuerzos ¿Cuánto vale la carga

máxima P que puede aplicarse sin exceder un

esfuerzo en el acero de 150 MPa ni uno en el

bronce de 70 MPa? Rta: Pmax = 107,4 kN

162. La viga rígida horizontal ABCD es soportada por

barras verticales BE y CF y está cargada por

fuerzas verticales 𝑃1 = 400𝑘𝑁 y 𝑃2 = 360𝑘𝑁que


72

actúan en los puntos A y D, respectivamente, como

se muestra en la figura. Las barras BE y CF son de

acero (𝐸 = 200𝐺𝑃𝑎 ) y tienen un áreas

transversales de 𝐴𝐵𝐸 = 11100𝑚𝑚2y 𝐴𝐶𝐹 =9280𝑚𝑚2. Determinar los desplazamientos

verticales de los puntos A y B

163.

164.

capitulo i. fisica ii. elasticidad

Automotive