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Capıtulo 8
Flujo Viscoso: Capa lımite
8.1. Teorıa de capa lımite
Las ecuaciones de Navier-Stokes son de gran complejidad. Aunque, des-
cribe pueden predecir el comportamiento de fluidos newtonianos, su solucion
puede obtenerse solo en casos limitados.
Existen algunas simplificaciones que permiten encontrar soluciones pa-
ra algunos casos; sin embargo, estas pueden dar resultados erroneos o de
aplicabilidad limitada (ver flujo ideal o flujo viscoso).
Otra simplificacion que se puede lograr con consiste en eliminar ciertos
terminos de las ecuaciones de balance en regiones clave del flujo a resolver.
Es particular, y como se demostrara en este capıtulo, se sabe que para flujos
con un numero de Reynolds considerable los efectos viscosos del flujo son solo
importantes en la vecindad cercana a las paredes. Ası, podemos proponer la
solucion local de las ecuaciones de Navier-Stokes cerca de las paredes. A
distancias grandes de las paredes, la solucion que surge del flujo ideal es
apropiada. La solucion completa del un flujo puede entonces encontrarse
haciendo que la solucion de pared, concuerde con la solucion potencial a una
distancia media de la pared.
La idea de separar los efectos viscosos, para solo considerarlos importan-
tes cerca de las paredes, surgio en la primera decada del siglo XX. Ludwig
155
156 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Prandtl fue el primero en proponer esta simplificacion. Esta teorıa se conoce
como teorıa de la capa lımite.
FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)
FLUJO INTERIOR (VISCOSO)
CAPA LIMITE
MMFM:Bondary layers:concepts
MMFM:Bondary layers:laminar BL
8.1.1. Ecuaciones de capa lımite laminar
En esta seccion se deduciran las ecuaciones de la teorıa de la capa lımite
utilizando la tecnica de eliminacion por ordenes de magnitud.
Consideremos el flujo bidimensional mostrado en la figura. En dicho es-
quema se muestra una placa plana horizontal fija, que esta inmersa en un
flujo. La velocidad del flujo aguas arriba de la placa es uniforme, constante e
unidireccional: −→v = (Uo, 0). Consideremos que la coordenada x esta alineada
con la placa, y que y sea perpendicular a la misma.
Puesto que debe de satisfacerse la condicion de no deslizamiento, la velo-
cidad de las partıculas de fluido que estan cerca de la placa debera ser menor
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 157
�������
U=0
U=U o
y
x
que la velocidad aguas arriba, y la velocidad de las partıculas de fluido ad-
yacentes a la placa debera ser cero. Consideremos que la distancia sobre la
cual se siente esta disminucion de velocidad es de tamano δ.
Puesto que vamos a considerar flujos en los cuales el efecto de la viscosidad
es pequeno (Re ≪1), podemos afirmar que
δ
x≪ 1
Ası, tambien podrıamos afirmar que:
∂
∂x∼ 1
x
y que∂
∂y∼ 1
δ
Consideremos ademas que la velocidad del fluido en la direccion x es del
mismo orden de magnitud que Uo:
u ∼ Uo
Con estas consideraciones, tomemos la ecuacion de conservacion de masa
para evaluar el orden de magnitud de cada componente. Si
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
158 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
entonces podemos decir que∂u
∂x∼ ∂v
∂y
y por tanto
∂v ∼ ∂y∂u
∂x
Sabemos que ∂y ∼ δ y que ∂x ∼ x entonces,
∂v ∼ ∂uδ
x
Eliminado las diferenciales de v y u, y puesto que u ∼ Uo, tenemos
v ∼ Uoδ
x
Ahora, consideremos las ecuaciones de conservacion de momentum. Su-
pongamos, que tenemos un flujo estacionario y despreciemos el efecto de la
gravedad:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂P
∂x+ ν
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)
u∂v
∂x+ v
∂v
∂y= −1
ρ
∂P
∂y+ ν
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2
)
Consideremos primero cada termino de la ecuacion en la direccion x−x′:
u∂u
∂x∼ UoUo
x∼ U2
o
x
v∂u
∂y∼
(
Uoδ
x
)(Uo
δ
)
∼ U2o
x
−1
ρ
∂P
∂x∼ ?
ν∂2u
∂x2∼ ν
Uo
x2
ν∂2u
∂y2∼ ν
Uo
δ2
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 159
y cada termino de la ecuacion en la direccion y:
u∂v
∂x= U2
o
δ
x2
v∂v
∂y= U2
o
δ
x2
−1
ρ
∂P
∂y= ?
ν∂2v
∂x2= ν
Uoδ
x3
ν∂2v
∂y2= ν
Uo
δx
Consideremos primero, la componente x de las ecuaciones de Navier Sto-
kes escritas en orden de magnitud,
U2o
x+U2o
x∼ −1
ρ
∂P
∂x+ ν
Uo
x2+ ν
Uo
δ2
Primero, podemos notar que de la primera ecuacion, del lado izquierdo,
ambos terminos son del mismo tamano. El termino de gradiente de presion
aun no podemos decir nada; de hecho, su tamano puede variar dependiendo
las condiciones del flujo. Sin embargo, los dos ultimos terminos de la primera
ecuacion tienen un tamano muy diferente:
νUo
x2≪ ν
Uo
δ2
por lo que podemos despreciarlo.
Si por un momento ignoramos el termino −1ρ∂P∂x, y comparamos las mag-
nitudes de los terminos restantes en esta misma ecuacion tenemos:
U2o
x∼ ν
Uo
δ2
por lo que podemos decir que para que estos tengan tamanos similares, y por
lo tanto se puedan sumar, se debe de cumplir que
δ ∼√
νx
Uo
160 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
o escrito como:δ
x∼√
µ
ρxUo=
1√Reo
Este resultado se puede interpretar de la siguiente manera: para que se
satisfaga la condicion de que el espesor de la capa lımite se pequeno (δ/x≪ 1)
el numero de Reynolds del flujo debe se grande. Esto, pues, unicamente
impone una condicion de restriccion para el uso de la teorıa de la capa lımite.
Entonces, en la direccion x, la ecuacion se simplifica a:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂P
∂x+ ν
(∂2u
∂y2
)
Ahora veamos la ecuacion, en ordenes de magnitud, en la direccion y:
U2o
δ
x2+ U2
o
δ
x2∼ −1
ρ
∂P
∂y+ ν
Uoδ
x3+ ν
Uo
δx
Exceptuando el termino −1ρ∂P∂y, cuya magnitud es desconocida, todos los
demas terminos son de tamano mucho menor al tamano de los terminos en
la ecuacion x:
U2o
δ
x2≪ U2
o
x
νUoδ
x3≪ ν
Uo
δ2
νUo
δx≪ ν
Uo
δ2
Entonces de esta ecuacion solo podemos concluir que
−1
ρ
∂P
∂y≈ 0
o que la presion P es constante en y y solo podrıa depender de x.
Ası, las ecuaciones para la capa lımite son (incluyendo continuidad y
momentum):
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 161
∂u
∂x+∂v
∂y= 0 (8.1)
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂P
∂x+ ν
(∂2u
∂y2
)
(8.2)
0 =∂P
∂y(8.3)
Las condiciones de frontera necesarias para resolver este conjunto de ecua-
ciones son:
u(x, 0) = 0
v(x, 0) = 0
u(x, y) = Uo, para y grande (lejos de la placa)
Podemos ademas considerar lo siguiente. Nuestro analisis arrojo que la
presion esta independiente de la coordenada y. Esto significa que la presion
dentro y fuera de la capa lımite deben ser iguales. Si consideramos que el flujo
lejos de la placa puede considerarse irrotacional y no viscoso (flujo potencial),
entonces podemos aplicar la ecuacion de Bernoulli:
1
2U2o +
P
ρ= constante
Podrıamos considerar el caso mas general en que Uo sea funcion de x
(sigue siendo independiente de t). Entonces la ecuacion de Bernoulli se podrıa
escribir como:
−∂P∂x
= ρ1
2
∂U2o
∂x
= ρUo∂Uo
∂x
162 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Entonces, la ecuacion de conservacion de momentum en la direccion x
para la capa lımite se puede escribir como:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= Uo
∂Uo
∂x+ ν
(∂2u
∂y2
)
De esta manera, el termino de gradiente de presion deja de ser desconocido
y se relaciona con el flujo por fuera de la capa lımite.
8.1.2. Solucion de Blasius
El sistema de ecuaciones para la capa lımite sigue siendo un sistema de
tres ecuaciones diferenciales parciales, no lineales. Sin embargo, para este caso
si se puede encontrar una solucion ( o mejor dicho, casi se puede encontrar
una solucion).
Supongamos que Uo =constante, lo que implica que el primer termino del
lado derecho de la ecuacion de conservacion de momentum en la direccion x
es cero, ∂Uo/∂x = 0.
Las ecuaciones que se deben resolver son:
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= ν
(∂2u
∂y2
)
Propongamos la existencia de una funcion de corriente Ψ(x, y) tal que:
u =∂Ψ
∂y
v = −∂Ψ∂x
Si sustituimos las velocidades u y v en funcion de Ψ en la ecuacion de
continuidad, tenemos∂2Ψ
∂x∂y− ∂2Ψ
∂y∂x= 0
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 163
la cual se satisface identicamente.
Si ahora sustituimos, u y v en funcion de Ψ en la ecuacion de conservacion
de momentum tenemos:
∂Ψ
∂y
∂2Ψ
∂x∂y− ∂Ψ
∂x
∂2Ψ
∂y2= ν
∂3Ψ
∂y3
Utilicemos el metodo de similaridad para resolver esta ecuacion. Debemos
suponer que
Ψ(x, y) ∼ f(η)
donde η es una variable adimensional que combina las variables x y y en una
sola: η = y/xn
Ası podemos encontrar que
η =y
x1/2
√
Uo
2ν
y que
Ψ =√
2νUoxf(η)
El factor de dos no es necesario (de hecho en la solucion original de Blasius
no aparece), pero se incluye para que despues se simplifique.
Podemos entonces escribir las derivaras de Ψ con respecto a x y y en
terminos de f y derivadas de η:
∂Ψ
∂y=
√
2νUox∂f
∂η
∂η
∂y=√
2νUoxf′
√
Uo
2νx= Uof
′
∂Ψ
∂x=
√
2νUox∂f
∂η
∂η
∂x+ f√
2νUo
(1
2x−1/2
)
=
√
νUo
2x(−(ηf ′) + f)
∂2Ψ
∂x∂y= −Uo
2xηf ′′
∂2Ψ
∂y2= Uo
√
Uo
2νxf ′′
∂3Ψ
∂y3=
U2o
2νxf ′′′
164 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Sustituyendo todos estos terminos en la ecuacion, despues de simplificar,
tenemos:
f ′′′ + ff ′′ = 0
que es una ecuacion diferencial ordinaria, que debe satisfacer las siguientes
condiciones de contorno:
f(0) = 0
f ′(0) = 0
f(η) = 1, para η → ∞
La solucion de esta ecuacion es numerica. Cualquier metodo sencillo se
puede utilizar para ello (Runge-Kutta, por ejemplo).
Esfuerzo contante en la pared
El esfuerzo sobre la placa es
τw = µ∂u
∂y(x, 0)
=∂2Ψ
∂y2
= µ
√
U3o
2νxf ′′(0)
Escribiendo el esfuerzo en la pared de forma adimensional, podemos llegar
aτw
12ρU2
o
=√2f ′′(0)√Rex
donde Rex = ρxUo/µ.
La fuerza de arrastre por unidad de ancho b es
FD = b
∫ x
0
τw(x′)dx′
lo cual se puede calcular y resulta:
FD = 0.664bUo
√
ρµUox
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 165
Este resultado se puede escribir en terminos adimensionales, para una
placa de largo L, lo que resulta:
CD =FD
12ρU2
o bL=
1.328√ReL
Espesor de la capa lımite
Existen varias maneras de definir de espesor de la capa lımite.
Espesor 0.99 U Es la distancia a la cual la velocidad horizontal u tiene
un valor de 0.99 Uo. De la solucion numerica de la ecuacion de Blasius
166 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
vemos que esto es cierto en η = 5.0. Entonces
5.0 =δ
√
νx/Uo
por tanto,δ
x=
5.0√Rex
Espesor de desplazamiento Se mide como la distancia a la cual el flujo
uniforme es desplazado. Insertar dibujo. Es el grosor de una capa sin
velocidad que tiene el mismo flujo masico que la capa lımite (el volumen
de fluido que falta como resultado de la presencia de la capa lımite):
ρUoδ∗ =
∫ ∞
0
ρ(Uo − u)dy
Por lo tanto:
δ∗ =
∫ ∞
0
(
1− u
Uo
)
dy
Para la solucion de Blasius tenemos que
δ∗
x=
1.7208√Rex
Espesor de momentum Espesor de una corriente uniforme que tiene el
mismo flujo de momentum que la capa lımite. Entonces:
ρU2o θ =
∫ ∞
0
ρu(Uo − u)dy
Por lo tanto:
θ =
∫ ∞
0
u
Uo
(
1− u
Uo
)
dy
Para la solucion de Blasius tenemos que
θ
x=
0.6640√Rex
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 167
U=U o
�������
�������
�������
U=0
x
y
8.1.3. Flujo de Falkner-Skan
Consideremos ahora el caso mostrado en la figura. Este caso se puede
analizar considerando que Uo = Uo(x), entonces la ecuacion a resolver es:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= Uo
∂Uo
∂x+ ν
(∂2u
∂y2
)
Para resolverla podemos plantear, tambien, una solucion tipo similaridad:
u(x, y) = Uo(x)f′(η)
donde η = η(x, y) es adimensional pero no es la misma que la solucion de
Blasius.
Podemos proponer que
η =y
ξ(x)
entonces, la funcion de corriente debe ser
Ψ(x, y) = Uo(x)ξ(x)f(η)
Sustituyendo en la ecuacion de conservacion de momentum tenemos:
∂Ψ
∂y
∂2Ψ
∂x∂y− ∂Ψ
∂x
∂2Ψ
∂y2= Uo
∂Uo
∂x+ ν
∂3Ψ
∂y3
168 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Los diferentes terminos de la ecuacion puede evaluarse:
∂Ψ
∂x=
∂Uo
∂xξf + Uo
∂ξ
∂xf − Uo
∂ξ
∂xηf ′
∂Ψ
∂y= Uf ′
∂2Ψ
∂x∂y=
∂Uo
∂xf ′ − Uo
ξ
∂ξ
∂xηf ′′
∂2Ψ
∂y2=
Uo
ξf ′′
∂3Ψ
∂y3=
Uo
ξ2f ′′′
Sustituyendo en la ecuacion original, y despues de varios pasos de algebra,
tenemos:
f ′′′ +
{ξ
ν
∂
∂x(Uoξ)
}
ff ′′ +
{ξ2
ν
∂Uo
∂x
}(1− (f ′)2
)= 0
Para que exista una solucion de similaridad los coeficientes dentro de las
llaves deben de ser constantes:
α =ξ
ν
∂
∂x(Uoξ)
β =ξ2
ν
∂Uo
∂x
Entonces, la ecuacion a resolver es:
f ′′′ + αff ′′ + β(1− (f ′)2
)= 0
considerando las siguientes condiciones de frontera:
f(0) = 0
f ′(0) = 0
f ′(η) → 1 cuando η → ∞
Para el flujo sobre una cuna (como el de la figura) debemos considerar el
caso en que α = 1 y β es arbitrario.
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 169
La solucion de este caso se muestra en la figura siguiente.
Debemos notar que el perfil de velocidades es muy diferente para diferen-
tes valores de β. Este parametro denota si el gradiente de presion, ∂P/∂x,
(que lo escribimos en terminos de ∂Uo/∂x para rsolver la ecuacion) es nega-
tivo, cero o negativo. Existe, de hecho un valor de β para el cual el gradiente
de velocidad se hace cero sobre la pared. (ver figura)
����������
����������
y
x
dP dx
< 0 dP dx
= 0
dP dx
> 0
flujo de retorno
du dy
=0
170 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Para valores de β que este, el perfil de velocidades presentarıa un flujo de
retorno. Se dice que la capa lımite se separa cuando en flujo es de retorno.
Ver por ejemplo el flujo alrededor de una esfera. Puesto que ∂P/∂x cambia
sobre la superficie de la esfera se espera que, para Re altos, el flujo se separe
a determinada distancia sobre la superficie de la esfera. La separacion, entre
otras cosas, causa que la diferencia de presiones entre las caras anterior y
posterior sea muy grande, lo cual se manifiesta como un incremento el el
coeficiente de arrstre del cuerpo.
Punto de separación
MMFM:Bondary layers:separation
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 171
8.1.4. Forma integral de las ecuaciones de capa lımite
Existe una manera alternativa para obtener el grosor de la capa limite y
encontrar el esfuerzo en la pared. Este analisis requiere la incorporacion de
un volumen de control.
��������
��������
VC
y
x
a
b c
d
dx
(x)
Consideremos que el flujo es estacionario e incompresible. Analicemos
entonces la conservacion de masa y momentum a traves del volumen de
control mostrado en la figura.
La conservacion de masa para un volumen de control es
∂
∂t
∫
V
ρdV +
∫
S
ρ~v · ~dS = 0
Para la figura mostrada, solo podemos tener flujos masicos a traves de
las paredes ab, bc y cd, entonces:
0 =
∫
S
ρ~v · ~dS = mab + mbc + mcd
El flujo mab puede calcularse como:
mab = −∫ b
a
ρu(dz)dy
El flujo en cd puede calcularse como una expansion en series de Taylor
del flujo en ab:
mx+dx = mx +∂m
∂x|xdx
172 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
entonces:
mcd = −[∫ b
a
ρu(dz)dy +∂
∂x
[∫ b
a
ρu(dz)dydx
]]
Entonces, el flujo a traves de bc se puede calcular como mbc = −mab−mcd.
Ası,
mbc = − ∂
∂x
[∫ δ
0
ρudy
]
dxdz
La ecuacion de conservacion de momentum en la direccion x para dicho
volumen de control es:
FSx + FBx =∂
∂t
∫
V
ρudV +
∫
S
uρ~v · ~dS
El primer termino es cero, porque estamos considerando un flujo estacio-
nario. Los flujos de momentum∫
Suρ~v · ~dS son:
fmab = −{∫ δ
0
uρudy
}
dz
fmcd =
{∫ δ
0
uρudy +∂
∂x
(∫ δ
0
uρudy
)
dx
}
dz
fmcd = Uombc = −Uo
{∂
∂x
(∫ δ
0
ρudy
)
dx
}
dz
fmad = 0
entonces el flujo neto de momentum sera:
=
{∂
∂x
(∫ δ
0
uρudy
)
dx− Uo∂
∂x
(∫ δ
0
ρudy
)
dx
}
dz
Las fuerzas de superficie FSx son:
Fab = +Pδdz
Fcd = −(P +∂P
∂xdx)(δ + dδ)dz
Fbc = (P +1
2
∂P
∂xdx)dδdz
Fad = −τwdxdz
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 173
entonces la fuerza total es
FSx =
{
−∂P∂x
δdx− τwdx
}
dz
Simplificando, la ecuacion de conservacion de energıa es
−∂P∂x
− τw =∂
∂x
(∫ δ
0
uρudy
)
− Uo∂
∂x
∫ δ
0
ρudy
Esta es la forma integral de la ecuacion de conservacion de momentum
en la capa lımite.
Una de las ventajas de esta formulacion es que puede conocerse el esfuerzo
en la pared de forma directa. Lo unico que necesitamos para conocer todos
los otros terminos de la ecuacion es conocer o suponer el perfil de velocidades.
Flujo sobre una placa plana
Consideremos el caso en que (∂P/∂x = 0. Tenemos entonces,
τw = Uo∂
∂x
∫ δ
0
ρudy − ∂
∂x
(∫ δ
0
uρudy
)
Puesto que Uo =constante y ρ = constante, entonces, despues de algunos
pasos de algebra, tenemos:
τwρ
=∂
∂x
∫ δ
0
(Uou− u2
)dy
De forma adimensional, tenemos
τwρU2
o
=∂
∂x
∫ δ
0
u
Uo
(
1− u
Uo
)
dy
=∂
∂xθ
donde θ es el espesor de momentum de la capa lımite.
174 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE
Podemos hacer el siguiente cambio de variable
η =y
δ
entonces
dy = δdη
AsıτwρU2
o
=∂
∂xδ
∫ 1
0
u
Uo
(
1− u
Uo
)
dη
Notemos que no se hizo ninguna suposicion sobre la forma de u(y), por
lo que tambien se podrıa usar para flujos turbulentos.
Supongamos un campo de velocidades dentro de la capa lımite
u
Uo= f
(y
δ
)
Esta distribucion de velocidades debe de satisfacer ciertas condiciones:
u = 0 en y = o
u = Uo en y = δ∂u
∂y= 0 en y = δ
Una vez que se ha establecido el perfil de velocidades f(y/δ), la integral∫ 1
0
u
Uo
(
1− u
Uo
)
dyη = constante = β
Entonces,
τw = ρU2o
∂δ
∂xβ
por lo que se puede calcular τw = f(δ(x)).
Supongamos, por ejemplo, un perfil de velocidades dado por
u(y) = a + by + cy2
Para que esta expresion satisfaga las condiciones de frontera a, b y c deben
ser tal queu
Uo= 2
(y
δ
)
−(y
δ
)2
8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 175
Para este perfil el esfuerzo en la pared esta dado por
τw = µ∂u
∂y|y=0
=µUo
δ
∂(u/Uo)
∂η|η=0
=µUo
δ
∂
∂η
(2η − η2
)|η=0
=2µUo
δ
Entonces, la ecuacion integral de conservacion de momentum en la capa
lımite se puede reescribir como:
2µUo
δ= ρU2
o
∂δ
∂x
∫ 1
0
(2η − η2)(1− 2η − η2
)dη
Entonces2µ
δρUo=
2
15
dδ
dx
Reearreglando e integrando tenemos
δ2
2=
15µ
ρUox+ C1
pero sabemos que δ = 0 en x = 0, por lo que C1 = 0.
Ası
δ =
√30µ
ρUox
entoncesδ
x=
√30√Rex
≈ 5.48√Rex
Podemos comparar esta prediccion con la prediccion de la solucion de
Blasius:δ
x=
5.00√Rex
lo cual no esta mal.