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Capıtulo 8

Flujo Viscoso: Capa lımite

8.1. Teorıa de capa lımite

Las ecuaciones de Navier-Stokes son de gran complejidad. Aunque, des-

cribe pueden predecir el comportamiento de fluidos newtonianos, su solucion

puede obtenerse solo en casos limitados.

Existen algunas simplificaciones que permiten encontrar soluciones pa-

ra algunos casos; sin embargo, estas pueden dar resultados erroneos o de

aplicabilidad limitada (ver flujo ideal o flujo viscoso).

Otra simplificacion que se puede lograr con consiste en eliminar ciertos

terminos de las ecuaciones de balance en regiones clave del flujo a resolver.

Es particular, y como se demostrara en este capıtulo, se sabe que para flujos

con un numero de Reynolds considerable los efectos viscosos del flujo son solo

importantes en la vecindad cercana a las paredes. Ası, podemos proponer la

solucion local de las ecuaciones de Navier-Stokes cerca de las paredes. A

distancias grandes de las paredes, la solucion que surge del flujo ideal es

apropiada. La solucion completa del un flujo puede entonces encontrarse

haciendo que la solucion de pared, concuerde con la solucion potencial a una

distancia media de la pared.

La idea de separar los efectos viscosos, para solo considerarlos importan-

tes cerca de las paredes, surgio en la primera decada del siglo XX. Ludwig

155

156 CAPITULO 8. FLUJO VISCOSO: CAPA LIMITE

Prandtl fue el primero en proponer esta simplificacion. Esta teorıa se conoce

como teorıa de la capa lımite.

FLUJO EXTERIOR (NO VISCOSO)

FLUJO INTERIOR (VISCOSO)

CAPA LIMITE

MMFM:Bondary layers:concepts

MMFM:Bondary layers:laminar BL

8.1.1. Ecuaciones de capa lımite laminar

En esta seccion se deduciran las ecuaciones de la teorıa de la capa lımite

utilizando la tecnica de eliminacion por ordenes de magnitud.

Consideremos el flujo bidimensional mostrado en la figura. En dicho es-

quema se muestra una placa plana horizontal fija, que esta inmersa en un

flujo. La velocidad del flujo aguas arriba de la placa es uniforme, constante e

unidireccional: −→v = (Uo, 0). Consideremos que la coordenada x esta alineada

con la placa, y que y sea perpendicular a la misma.

Puesto que debe de satisfacerse la condicion de no deslizamiento, la velo-

cidad de las partıculas de fluido que estan cerca de la placa debera ser menor

8.1. TEORIA DE CAPA LIMITE 157

��

U=0

U=U o

y

x

que la velocidad aguas arriba, y la velocidad de las partıculas de fluido ad-

yacentes a la placa debera ser cero. Consideremos que la distancia sobre la

cual se siente esta disminucion de velocidad es de tamano δ.

Puesto que vamos a considerar flujos en los cuales el efecto de la viscosidad

es pequeno (Re ≪1), podemos afirmar que

δ

x≪ 1

Ası, tambien podrıamos afirmar que:

∂

∂x∼ 1

x

y que∂

∂y∼ 1

δ

Consideremos ademas que la velocidad del fluido en la direccion x es del

mismo orden de magnitud que Uo:

u ∼ Uo

Con estas consideraciones, tomemos la ecuacion de conservacion de masa

para evaluar el orden de magnitud de cada componente. Si

∂u

∂x+∂v

∂y= 0


entonces podemos decir que∂u

∂x∼ ∂v

∂y

y por tanto

∂v ∼ ∂y∂u

∂x

Sabemos que ∂y ∼ δ y que ∂x ∼ x entonces,

∂v ∼ ∂uδ

x

Eliminado las diferenciales de v y u, y puesto que u ∼ Uo, tenemos

v ∼ Uoδ

x

Ahora, consideremos las ecuaciones de conservacion de momentum. Su-

pongamos, que tenemos un flujo estacionario y despreciemos el efecto de la

gravedad:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂P

∂y+ ν

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)

Consideremos primero cada termino de la ecuacion en la direccion x−x′:

u∂u

∂x∼ UoUo

x∼ U2

o

x

v∂u

∂y∼

(

Uoδ

x

)(Uo

δ

)

∼ U2o

x

−1

ρ

∂P

∂x∼ ?

ν∂2u

∂x2∼ ν

Uo

x2

ν∂2u

∂y2∼ ν

Uo

δ2


y cada termino de la ecuacion en la direccion y:

u∂v

∂x= U2

o

δ

x2

v∂v

∂y= U2

o

δ

x2

−1

ρ

∂P

∂y= ?

ν∂2v

∂x2= ν

Uoδ

x3

ν∂2v

∂y2= ν

Uo

δx

Consideremos primero, la componente x de las ecuaciones de Navier Sto-

kes escritas en orden de magnitud,

U2o

x+U2o

x∼ −1

ρ

∂P

∂x+ ν

Uo

x2+ ν

Uo

δ2

Primero, podemos notar que de la primera ecuacion, del lado izquierdo,

ambos terminos son del mismo tamano. El termino de gradiente de presion

aun no podemos decir nada; de hecho, su tamano puede variar dependiendo

las condiciones del flujo. Sin embargo, los dos ultimos terminos de la primera

ecuacion tienen un tamano muy diferente:

νUo

x2≪ ν

Uo

δ2

por lo que podemos despreciarlo.

Si por un momento ignoramos el termino −1ρ∂P∂x, y comparamos las mag-

nitudes de los terminos restantes en esta misma ecuacion tenemos:

U2o

x∼ ν

Uo

δ2

por lo que podemos decir que para que estos tengan tamanos similares, y por

lo tanto se puedan sumar, se debe de cumplir que

δ ∼√

νx

Uo


o escrito como:δ

x∼√

µ

ρxUo=

1√Reo

Este resultado se puede interpretar de la siguiente manera: para que se

satisfaga la condicion de que el espesor de la capa lımite se pequeno (δ/x≪ 1)

el numero de Reynolds del flujo debe se grande. Esto, pues, unicamente

impone una condicion de restriccion para el uso de la teorıa de la capa lımite.

Entonces, en la direccion x, la ecuacion se simplifica a:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

(∂2u

∂y2

)

Ahora veamos la ecuacion, en ordenes de magnitud, en la direccion y:

U2o

δ

x2+ U2

o

δ

x2∼ −1

ρ

∂P

∂y+ ν

Uoδ

x3+ ν

Uo

δx

Exceptuando el termino −1ρ∂P∂y, cuya magnitud es desconocida, todos los

demas terminos son de tamano mucho menor al tamano de los terminos en

la ecuacion x:

U2o

δ

x2≪ U2

o

x

νUoδ

x3≪ ν

Uo

δ2

νUo

δx≪ ν

Uo

δ2

Entonces de esta ecuacion solo podemos concluir que

−1

ρ

∂P

∂y≈ 0

o que la presion P es constante en y y solo podrıa depender de x.

Ası, las ecuaciones para la capa lımite son (incluyendo continuidad y

momentum):


∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (8.1)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

(∂2u

∂y2

)

(8.2)

0 =∂P

∂y(8.3)

Las condiciones de frontera necesarias para resolver este conjunto de ecua-

ciones son:

u(x, 0) = 0

v(x, 0) = 0

u(x, y) = Uo, para y grande (lejos de la placa)

Podemos ademas considerar lo siguiente. Nuestro analisis arrojo que la

presion esta independiente de la coordenada y. Esto significa que la presion

dentro y fuera de la capa lımite deben ser iguales. Si consideramos que el flujo

lejos de la placa puede considerarse irrotacional y no viscoso (flujo potencial),

entonces podemos aplicar la ecuacion de Bernoulli:

1

2U2o +

P

ρ= constante

Podrıamos considerar el caso mas general en que Uo sea funcion de x

(sigue siendo independiente de t). Entonces la ecuacion de Bernoulli se podrıa

escribir como:

−∂P∂x

= ρ1

2

∂U2o

∂x

= ρUo∂Uo

∂x


Entonces, la ecuacion de conservacion de momentum en la direccion x

para la capa lımite se puede escribir como:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= Uo

∂Uo

∂x+ ν

(∂2u

∂y2

)

De esta manera, el termino de gradiente de presion deja de ser desconocido

y se relaciona con el flujo por fuera de la capa lımite.

8.1.2. Solucion de Blasius

El sistema de ecuaciones para la capa lımite sigue siendo un sistema de

tres ecuaciones diferenciales parciales, no lineales. Sin embargo, para este caso

si se puede encontrar una solucion ( o mejor dicho, casi se puede encontrar

una solucion).

Supongamos que Uo =constante, lo que implica que el primer termino del

lado derecho de la ecuacion de conservacion de momentum en la direccion x

es cero, ∂Uo/∂x = 0.

Las ecuaciones que se deben resolver son:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

(∂2u

∂y2

)

Propongamos la existencia de una funcion de corriente Ψ(x, y) tal que:

u =∂Ψ

∂y

v = −∂Ψ∂x

Si sustituimos las velocidades u y v en funcion de Ψ en la ecuacion de

continuidad, tenemos∂2Ψ

∂x∂y− ∂2Ψ

∂y∂x= 0


la cual se satisface identicamente.

Si ahora sustituimos, u y v en funcion de Ψ en la ecuacion de conservacion

de momentum tenemos:

∂Ψ

∂y

∂2Ψ

∂x∂y− ∂Ψ

∂x

∂2Ψ

∂y2= ν

∂3Ψ

∂y3

Utilicemos el metodo de similaridad para resolver esta ecuacion. Debemos

suponer que

Ψ(x, y) ∼ f(η)

donde η es una variable adimensional que combina las variables x y y en una

sola: η = y/xn

Ası podemos encontrar que

η =y

x1/2

√

Uo

2ν

y que

Ψ =√

2νUoxf(η)

El factor de dos no es necesario (de hecho en la solucion original de Blasius

no aparece), pero se incluye para que despues se simplifique.

Podemos entonces escribir las derivaras de Ψ con respecto a x y y en

terminos de f y derivadas de η:

∂Ψ

∂y=

√

2νUox∂f

∂η

∂η

∂y=√

2νUoxf′

√

Uo

2νx= Uof

′

∂Ψ

∂x=

√

2νUox∂f

∂η

∂η

∂x+ f√

2νUo

(1

2x−1/2

)

=

√

νUo

2x(−(ηf ′) + f)

∂2Ψ

∂x∂y= −Uo

2xηf ′′

∂2Ψ

∂y2= Uo

√

Uo

2νxf ′′

∂3Ψ

∂y3=

U2o

2νxf ′′′


Sustituyendo todos estos terminos en la ecuacion, despues de simplificar,

tenemos:

f ′′′ + ff ′′ = 0

que es una ecuacion diferencial ordinaria, que debe satisfacer las siguientes

condiciones de contorno:

f(0) = 0

f ′(0) = 0

f(η) = 1, para η → ∞

La solucion de esta ecuacion es numerica. Cualquier metodo sencillo se

puede utilizar para ello (Runge-Kutta, por ejemplo).

Esfuerzo contante en la pared

El esfuerzo sobre la placa es

τw = µ∂u

∂y(x, 0)

=∂2Ψ

∂y2

= µ

√

U3o

2νxf ′′(0)

Escribiendo el esfuerzo en la pared de forma adimensional, podemos llegar

aτw

12ρU2

o

=√2f ′′(0)√Rex

donde Rex = ρxUo/µ.

La fuerza de arrastre por unidad de ancho b es

FD = b

∫ x

0

τw(x′)dx′

lo cual se puede calcular y resulta:

FD = 0.664bUo

√

ρµUox


Este resultado se puede escribir en terminos adimensionales, para una

placa de largo L, lo que resulta:

CD =FD

12ρU2

o bL=

1.328√ReL

Espesor de la capa lımite

Existen varias maneras de definir de espesor de la capa lımite.

Espesor 0.99 U Es la distancia a la cual la velocidad horizontal u tiene

un valor de 0.99 Uo. De la solucion numerica de la ecuacion de Blasius


vemos que esto es cierto en η = 5.0. Entonces

5.0 =δ

√

νx/Uo

por tanto,δ

x=

5.0√Rex

Espesor de desplazamiento Se mide como la distancia a la cual el flujo

uniforme es desplazado. Insertar dibujo. Es el grosor de una capa sin

velocidad que tiene el mismo flujo masico que la capa lımite (el volumen

de fluido que falta como resultado de la presencia de la capa lımite):

ρUoδ∗ =

∫ ∞

0

ρ(Uo − u)dy

Por lo tanto:

δ∗ =

∫ ∞

0

(

1− u

Uo

)

dy

Para la solucion de Blasius tenemos que

δ∗

x=

1.7208√Rex

Espesor de momentum Espesor de una corriente uniforme que tiene el

mismo flujo de momentum que la capa lımite. Entonces:

ρU2o θ =

∫ ∞

0

ρu(Uo − u)dy

Por lo tanto:

θ =

∫ ∞

0

u

Uo

(

1− u

Uo

)

dy

Para la solucion de Blasius tenemos que

θ

x=

0.6640√Rex


U=U o

��

��

��

U=0

x

y

8.1.3. Flujo de Falkner-Skan

Consideremos ahora el caso mostrado en la figura. Este caso se puede

analizar considerando que Uo = Uo(x), entonces la ecuacion a resolver es:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= Uo

∂Uo

∂x+ ν

(∂2u

∂y2

)

Para resolverla podemos plantear, tambien, una solucion tipo similaridad:

u(x, y) = Uo(x)f′(η)

donde η = η(x, y) es adimensional pero no es la misma que la solucion de

Blasius.

Podemos proponer que

η =y

ξ(x)

entonces, la funcion de corriente debe ser

Ψ(x, y) = Uo(x)ξ(x)f(η)

Sustituyendo en la ecuacion de conservacion de momentum tenemos:

∂Ψ

∂y

∂2Ψ

∂x∂y− ∂Ψ

∂x

∂2Ψ

∂y2= Uo

∂Uo

∂x+ ν

∂3Ψ

∂y3


Los diferentes terminos de la ecuacion puede evaluarse:

∂Ψ

∂x=

∂Uo

∂xξf + Uo

∂ξ

∂xf − Uo

∂ξ

∂xηf ′

∂Ψ

∂y= Uf ′

∂2Ψ

∂x∂y=

∂Uo

∂xf ′ − Uo

ξ

∂ξ

∂xηf ′′

∂2Ψ

∂y2=

Uo

ξf ′′

∂3Ψ

∂y3=

Uo

ξ2f ′′′

Sustituyendo en la ecuacion original, y despues de varios pasos de algebra,

tenemos:

f ′′′ +

{ξ

ν

∂

∂x(Uoξ)

}

ff ′′ +

{ξ2

ν

∂Uo

∂x

}(1− (f ′)2

)= 0

Para que exista una solucion de similaridad los coeficientes dentro de las

llaves deben de ser constantes:

α =ξ

ν

∂

∂x(Uoξ)

β =ξ2

ν

∂Uo

∂x

Entonces, la ecuacion a resolver es:

f ′′′ + αff ′′ + β(1− (f ′)2

)= 0

considerando las siguientes condiciones de frontera:

f(0) = 0

f ′(0) = 0

f ′(η) → 1 cuando η → ∞

Para el flujo sobre una cuna (como el de la figura) debemos considerar el

caso en que α = 1 y β es arbitrario.


La solucion de este caso se muestra en la figura siguiente.

Debemos notar que el perfil de velocidades es muy diferente para diferen-

tes valores de β. Este parametro denota si el gradiente de presion, ∂P/∂x,

(que lo escribimos en terminos de ∂Uo/∂x para rsolver la ecuacion) es nega-

tivo, cero o negativo. Existe, de hecho un valor de β para el cual el gradiente

de velocidad se hace cero sobre la pared. (ver figura)

��

��

y

x

dP dx

< 0 dP dx

= 0

dP dx

> 0

flujo de retorno

du dy

=0


Para valores de β que este, el perfil de velocidades presentarıa un flujo de

retorno. Se dice que la capa lımite se separa cuando en flujo es de retorno.

Ver por ejemplo el flujo alrededor de una esfera. Puesto que ∂P/∂x cambia

sobre la superficie de la esfera se espera que, para Re altos, el flujo se separe

a determinada distancia sobre la superficie de la esfera. La separacion, entre

otras cosas, causa que la diferencia de presiones entre las caras anterior y

posterior sea muy grande, lo cual se manifiesta como un incremento el el

coeficiente de arrstre del cuerpo.

Punto de separación

MMFM:Bondary layers:separation


8.1.4. Forma integral de las ecuaciones de capa lımite

Existe una manera alternativa para obtener el grosor de la capa limite y

encontrar el esfuerzo en la pared. Este analisis requiere la incorporacion de

un volumen de control.

��

��

VC

y

x

a

b c

d

dx

(x)

Consideremos que el flujo es estacionario e incompresible. Analicemos

entonces la conservacion de masa y momentum a traves del volumen de

control mostrado en la figura.

La conservacion de masa para un volumen de control es

∂

∂t

∫

V

ρdV +

∫

S

ρ~v · ~dS = 0

Para la figura mostrada, solo podemos tener flujos masicos a traves de

las paredes ab, bc y cd, entonces:

0 =

∫

S

ρ~v · ~dS = mab + mbc + mcd

El flujo mab puede calcularse como:

mab = −∫ b

a

ρu(dz)dy

El flujo en cd puede calcularse como una expansion en series de Taylor

del flujo en ab:

mx+dx = mx +∂m

∂x|xdx


entonces:

mcd = −[∫ b

a

ρu(dz)dy +∂

∂x

[∫ b

a

ρu(dz)dydx

]]

Entonces, el flujo a traves de bc se puede calcular como mbc = −mab−mcd.

Ası,

mbc = − ∂

∂x

[∫ δ

0

ρudy

]

dxdz

La ecuacion de conservacion de momentum en la direccion x para dicho

volumen de control es:

FSx + FBx =∂

∂t

∫

V

ρudV +

∫

S

uρ~v · ~dS

El primer termino es cero, porque estamos considerando un flujo estacio-

nario. Los flujos de momentum∫

Suρ~v · ~dS son:

fmab = −{∫ δ

0

uρudy

}

dz

fmcd =

{∫ δ

0

uρudy +∂

∂x

(∫ δ

0

uρudy

)

dx

}

dz

fmcd = Uombc = −Uo

{∂

∂x

(∫ δ

0

ρudy

)

dx

}

dz

fmad = 0

entonces el flujo neto de momentum sera:

=

{∂

∂x

(∫ δ

0

uρudy

)

dx− Uo∂

∂x

(∫ δ

0

ρudy

)

dx

}

dz

Las fuerzas de superficie FSx son:

Fab = +Pδdz

Fcd = −(P +∂P

∂xdx)(δ + dδ)dz

Fbc = (P +1

2

∂P

∂xdx)dδdz

Fad = −τwdxdz


entonces la fuerza total es

FSx =

{

−∂P∂x

δdx− τwdx

}

dz

Simplificando, la ecuacion de conservacion de energıa es

−∂P∂x

− τw =∂

∂x

(∫ δ

0

uρudy

)

− Uo∂

∂x

∫ δ

0

ρudy

Esta es la forma integral de la ecuacion de conservacion de momentum

en la capa lımite.

Una de las ventajas de esta formulacion es que puede conocerse el esfuerzo

en la pared de forma directa. Lo unico que necesitamos para conocer todos

los otros terminos de la ecuacion es conocer o suponer el perfil de velocidades.

Flujo sobre una placa plana

Consideremos el caso en que (∂P/∂x = 0. Tenemos entonces,

τw = Uo∂

∂x

∫ δ

0

ρudy − ∂

∂x

(∫ δ

0

uρudy

)

Puesto que Uo =constante y ρ = constante, entonces, despues de algunos

pasos de algebra, tenemos:

τwρ

=∂

∂x

∫ δ

0

(Uou− u2

)dy

De forma adimensional, tenemos

τwρU2

o

=∂

∂x

∫ δ

0

u

Uo

(

1− u

Uo

)

dy

=∂

∂xθ

donde θ es el espesor de momentum de la capa lımite.


Podemos hacer el siguiente cambio de variable

η =y

δ

entonces

dy = δdη

AsıτwρU2

o

=∂

∂xδ

∫ 1

0

u

Uo

(

1− u

Uo

)

dη

Notemos que no se hizo ninguna suposicion sobre la forma de u(y), por

lo que tambien se podrıa usar para flujos turbulentos.

Supongamos un campo de velocidades dentro de la capa lımite

u

Uo= f

(y

δ

)

Esta distribucion de velocidades debe de satisfacer ciertas condiciones:

u = 0 en y = o

u = Uo en y = δ∂u

∂y= 0 en y = δ

Una vez que se ha establecido el perfil de velocidades f(y/δ), la integral∫ 1

0

u

Uo

(

1− u

Uo

)

dyη = constante = β

Entonces,

τw = ρU2o

∂δ

∂xβ

por lo que se puede calcular τw = f(δ(x)).

Supongamos, por ejemplo, un perfil de velocidades dado por

u(y) = a + by + cy2

Para que esta expresion satisfaga las condiciones de frontera a, b y c deben

ser tal queu

Uo= 2

(y

δ

)

−(y

δ

)2


Para este perfil el esfuerzo en la pared esta dado por

τw = µ∂u

∂y|y=0

=µUo

δ

∂(u/Uo)

∂η|η=0

=µUo

δ

∂

∂η

(2η − η2

)|η=0

=2µUo

δ

Entonces, la ecuacion integral de conservacion de momentum en la capa

lımite se puede reescribir como:

2µUo

δ= ρU2

o

∂δ

∂x

∫ 1

0

(2η − η2)(1− 2η − η2

)dη

Entonces2µ

δρUo=

2

15

dδ

dx

Reearreglando e integrando tenemos

δ2

2=

15µ

ρUox+ C1

pero sabemos que δ = 0 en x = 0, por lo que C1 = 0.

Ası

δ =

√30µ

ρUox

entoncesδ

x=

√30√Rex

≈ 5.48√Rex

Podemos comparar esta prediccion con la prediccion de la solucion de

Blasius:δ

x=

5.00√Rex

lo cual no esta mal.


Calculemos ahora el espesor de desplazamiento para el perfil supuesto

δ∗ = δ

∫ 1

0

(1− (2η + η3)

)dη

entoncesδ∗

δ= 0.333

(para el caso de Blasius δ∗/δ = 0.351).

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