capitulo 5. física moderna

Ec. de Onda Ec. de Schrodinger Caja Oscilador armonico Atomo H Zeeman Densidad Transiciones

Fısica Moderna: Capıtulo 5.

Mecanica cuantica.

Juan Jose Reyes Salgado


Mecanica cuantica.


La ecuacion de onda

I ∫ ∞−∞|Ψ|2dV

I Normalizacion ∫ ∞−∞|Ψ|2dV = 1

I La ecuacion de Schrodinger es la ecuacion fundamental de lamecanica cuantica.

I Ecuacion de onda

d2y

dx2=

1

v2

dy

dt


Mecanica cuantica.


La ecuacion de onda

y = F (t ± x

v)


Mecanica cuantica.


La ecuacion de onda

y = F (t ± x

v)

y = Ae−iω(t−x/v)


Mecanica cuantica.


La ecuacion de onda

y = F (t ± x

v)


e iθ = cosθ − isinθ


Mecanica cuantica.


La ecuacion de onda

y = F (t ± x

v)


e iθ = cosθ − isinθ

y = Acosω(t − x

v)− iAsinω(t − x

v)


Mecanica cuantica.


La ecuacion de Schrodinger: La forma dependiente del tiempo

I Especificada en la direccion x:

Ψ = Ae−iω(t−x/v)

I Sustituyendo ω = 2πν y v = λν:

Ψ = Ae−2πi(νt−x/λ)

I Esto lo podemos expresar en funcion de la energıa total E y elmomento p de la partıcula.

E = hν = 2π~ν

λ =h

p=

2π~p


Mecanica cuantica.



I Tenemos:Ψ = Ae−(i/~)(Et−px)

I Si diferenciamos:

d2Ψ

dx2= −p2

h2Ψ

dΨ

dt= − iE

hΨ

I La energıa total E.

E =p2

2m+ V

EΨ =p2

2mΨ + VΨ


Mecanica cuantica.



EΨ =p2

2mΨ + VΨ

EΨ = −~i

dΨ

dt

p2Ψ = −~2 d2Ψ

dx2

i~dΨ

dt= − ~2

2m

d2Ψ

dx2+ VΨ


Mecanica cuantica.



EΨ =p2

2mΨ + VΨ

EΨ = −~i

dΨ

dt

p2Ψ = −~2 d2Ψ

dx2

i~dΨ

dt= − ~2

2m

d2Ψ

dx2+ VΨ

i~dΨ

dt= − ~2

2m

(d2Ψ

dx2+

d2Ψ

dy2+

d2Ψ

dz2

)+ VΨ


Mecanica cuantica.


La ecuacion de Schrodinger: La forma en estado estacionario

I Tenemos la funcion de onda unidimensional:

Ψ = Ae−(i/~)(Et−px)

Ψ = Ae−(iE/~)te(ip/~)x

Ψ = ψe−(iE/~)t

I Sustituyendo en la ecuacion:

EΨ = − ~2

2m

d2Ψ

dx2+ VΨ

Eψe−(iE/~)t = − ~2

2me−(iE/~)t d

2ψ

dx2+ Vψe−(iE/~)t


Mecanica cuantica.



I Ası tenemos la ecuacion de Schrodinger en estadoestacionario:

d2ψ

dx2+

2m

~2(E − V )ψ = 0

d2ψ

dx2+

d2ψ

dy2+

d2ψ

dz2+

2m

~2(E − V )ψ = 0


Mecanica cuantica.




Mecanica cuantica.


Partıcula en una caja: Funciones de onda


Mecanica cuantica.



d2ψ

dx2+

2m

~2(E − V )ψ = 0


Mecanica cuantica.



d2ψ

dx2+

2m

~2(E − V )ψ = 0

ψ = Asin

√2mE

~2x


Mecanica cuantica.



d2ψ

dx2+

2m

~2(E − V )ψ = 0

ψ = Asin

√2mE

~2x

En =n2π2~2

2mL2


Mecanica cuantica.



d2ψ

dx2+

2m

~2(E − V )ψ = 0

ψ = Asin

√2mE

~2x

En =n2π2~2

2mL2

ψn = Asinnπx

L


Mecanica cuantica.



d2ψ

dx2+

2m

~2(E − V )ψ = 0

ψ = Asin

√2mE

~2x

En =n2π2~2

2mL2

ψn = Asinnπx

L∫ ∞−∞|ψn|2dx =

∫ L

0|ψn|2dx = 1


Mecanica cuantica.



d2ψ

dx2+

2m

~2(E − V )ψ = 0

ψ = Asin

√2mE

~2x

En =n2π2~2

2mL2

ψn = Asinnπx

L∫ ∞−∞|ψn|2dx =

∫ L

0|ψn|2dx = 1

= A2L

2


Mecanica cuantica.



d2ψ

dx2+

2m

~2(E − V )ψ = 0

ψ = Asin

√2mE

~2x

En =n2π2~2

2mL2

ψn = Asinnπx

L∫ ∞−∞|ψn|2dx =

∫ L

0|ψn|2dx = 1

= A2L

2

ψn =

√2

Lsin

nπx

L


Mecanica cuantica.




Mecanica cuantica.


Partıcula en una caja: Cuantizacion de la energıa


Mecanica cuantica.


El oscilador armonico


Mecanica cuantica.



En =

(n +

1

2

)hν n = 0, 1, 2, ...


Mecanica cuantica.



ψn =

(2mν

~

)(2nn!)−1/2Hn(y)e−y

2/2


Mecanica cuantica.




Mecanica cuantica.


Ecuacion de Schrodinger para el atomo de Hidrogeno

d2ψ

dx2+

d2ψ

dy2+

d2ψ

dz2+

2m

~2(E − V )ψ = 0

V = − e2

4πε0r


Mecanica cuantica.


Ecuacion de Schrodinger para el atomo de Hidrogeno


Mecanica cuantica.


Separacion de variables

ψ(r , θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)


Mecanica cuantica.



ψ(r , θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)

d2Φ

dφ2+ m2

l Φ = 0


Mecanica cuantica.



ψ(r , θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)

d2Φ

dφ2+ m2

l Φ = 0

1

sinθ

d

dθ

(sinθ

dΘ

dθ

)+

[l(l + 1)−

m2l

sin2θ

]Θ = 0


Mecanica cuantica.



ψ(r , θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)

d2Φ

dφ2+ m2

l Φ = 0

1

sinθ

d

dθ

(sinθ

dΘ

dθ

)+

[l(l + 1)−

m2l

sin2θ

]Θ = 0

1

r2

d

dr

(r2 dR

dr

)+

[2m

~2

(e2

4πε0r+ E

)− l(l + 1)

r2

]R = 0


Mecanica cuantica.


Los numeros cuanticos

Φ(φ) = Ae imlφ

Ae imlφ = Ae iml (φ+2π)


Mecanica cuantica.


Los numeros cuanticos

I Numero cuantico orbital.

n = 1, 2, 3, ...

I Numero cuantico principal.

l = 0, 1, 2, 3, ..., (n − 1)

I Numero cuantico magnetico.

ml = 0,±1,±2,±3, ...,±l


Mecanica cuantica.


El numero cuantico principal

En = − me4

32πε20~2

(1

n2

)


Mecanica cuantica.


El numero cuantico orbital

E = Tradial + Torbital + V


Mecanica cuantica.




Torbital =~2l(l + 1)

2mr2


Mecanica cuantica.





2mr2

Torbital =1

2mv2

orbital


Mecanica cuantica.





2mr2

Torbital =1

2mv2

orbital

L = mvorbital r


Mecanica cuantica.





2mr2

Torbital =1

2mv2

orbital

L = mvorbital r

Torbital =L2

2mr2


Mecanica cuantica.





2mr2

Torbital =1

2mv2

orbital

L = mvorbital r

Torbital =L2

2mr2

L2

2mr2=

~2l(l + 1)

2mr2


Mecanica cuantica.





2mr2

Torbital =1

2mv2

orbital

L = mvorbital r

Torbital =L2

2mr2

L2

2mr2=

~2l(l + 1)

2mr2

L =√

l(l + 1)~


Mecanica cuantica.




Mecanica cuantica.


El numero cuantico magnetico

Lz = ml~


Mecanica cuantica.


El numero cuantico magnetico


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman

τ = µBsinθ


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman

Vm =

∫ θ

90oτdθ


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman

Vm =

∫ θ

90oτdθ

Vm = µB

∫ θ

90osinθdθ


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman

Vm =

∫ θ

90oτdθ

Vm = µB

∫ θ

90osinθdθ

Vm = −µBcosθ


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman

Vm =

∫ θ

90oτdθ

Vm = µB

∫ θ

90osinθdθ

Vm = −µBcosθµ = iA


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman

Vm =

∫ θ

90oτdθ

Vm = µB

∫ θ

90osinθdθ


µ = −eνπr2


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman

Vm =

∫ θ

90oτdθ

Vm = µB

∫ θ

90osinθdθ


µ = −eνπr2

L = 2πmνr2


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman

Vm =

∫ θ

90oτdθ

Vm = µB

∫ θ

90osinθdθ


µ = −eνπr2

L = 2πmνr2

µ = − e

2mL


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman

Vm =e

2mLBcosθ


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman

Vm =e

2mLBcosθ

cosθ =ml√

l(l + 1)


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman

Vm =e

2mLBcosθ

cosθ =ml√

l(l + 1)

L =√

l(l + 1)~


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman

I Energıa magnetica

Vm = ml

(e~2m

)B

I Magneton de Bohr

µb =e~2m

= 9.27× 10−24J/T

I Efecto Zeeman

ν1 = ν0 − µbB

hν1 = ν0

ν1 = ν0 + µbB

h


Mecanica cuantica.


Efecto Zeeman


Mecanica cuantica.


La densidad de probabilidad electronica

ψ(r , θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)

d2Φ

dφ2+ m2

l Φ = 0

1

sinθ

d

dθ

(sinθ

dΘ

dθ

)+

[l(l + 1)−

m2l

sin2θ

]Θ = 0

1

r2

d

dr

(r2 dR

dr

)+

[2m

~2

(e2

4πε0r+ E

)− l(l + 1)

r2

]R = 0


Mecanica cuantica.



|ψ|2 = |R|2|Θ|2|Φ|2


Mecanica cuantica.



|ψ|2 = |R|2|Θ|2|Φ|2

|ψ|2dV


Mecanica cuantica.



|ψ|2 = |R|2|Θ|2|Φ|2

|ψ|2dVdV = r2sinθdrdθdφ


Mecanica cuantica.



|ψ|2 = |R|2|Θ|2|Φ|2


P(r)dr = r2|R|2dr∫ π

0|Θ|2sinθ

∫ 2π

0|Φ|2dφ


Mecanica cuantica.



|ψ|2 = |R|2|Θ|2|Φ|2


P(r)dr = r2|R|2dr∫ π

0|Θ|2sinθ

∫ 2π

0|Φ|2dφ

P(r)dr = r2|R|2dr


Mecanica cuantica.




Mecanica cuantica.


Transiciones radiativas

νn =En

h


Mecanica cuantica.



νn =En

h

Ψn = ψne−(iEn/~)t


Mecanica cuantica.



νn =En

h


Ψ∗n = ψne(iEn/~)t


Mecanica cuantica.



νn =En

h



< x >=

∫ ∞−∞

xΨnΨ∗ndx


Mecanica cuantica.



νn =En

h



< x >=

∫ ∞−∞

xΨnΨ∗ndx

< x >=

∫ ∞−∞

xψnψ∗ndx


Mecanica cuantica.



La funcion de onda de un electron es capaz de existir en dosestados.

Ψ = aΨn + bΨm


Mecanica cuantica.




Ψ = aΨn + bΨm

< x >=

∫ ∞−∞

x(a∗Ψ∗n + b∗Ψ∗m)(aΨn + bΨm)dx


Mecanica cuantica.




Ψ = aΨn + bΨm

< x >=

∫ ∞−∞

x(a∗Ψ∗n + b∗Ψ∗m)(aΨn + bΨm)dx

< x >= a2

∫ ∞−∞

xψ∗nψndx + b2

∫ ∞−∞

xψ∗mψmdx

+2a∗bcos(2πνt)

∫ ∞−∞

xψ∗nψmdx


Mecanica cuantica.

capitulo 5. física moderna

Education