Objetivo:Estudiar una ecuacin diferencial de segundo orden lineal con valor de frontera, por mtodos aproximados por algunos mtodos convencionales numricos.4.0. SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIA-LES ORDINARIAS CON VALOR DE FRONTERA CON APROXIMACIONES POR ALGUNOS MTODOS CONVENCIONALES condiciones de contorno o valor de frontera

3.1. El Mtodo del Disparo LinealLas condiciones generales que aseguran que la solucin de un problema de valor de frontera de segundo orden, la existencia y unicidad, nos las da el teorema siguiente:3.1.1. Teorema Supngase que la funcin f en el problema de valor de frontera

es continua en el conjunto y que f / y y f / y' , son tambin continuas en D. Si para todo y existe una constante M, con para todo

y que f / y y f / y' , son tambin continuas en D. Si para todo y existe una constante M, con entonces el problema de valor de frontera tiene una solucin nica. para todo

Aclaremos con el siguiente ejemplo.3.1.2. EjemploHacer que se cumpla el teorema 3.1.1. en el problema de valor de fronteraSolucin:Se puede representar como

y como Solucin:Se puede representar como Por tanto este problema tiene solucin nica.

El mtodo del disparo lineal garantizado el teorema anterior, hace de un problema de valor frontera; un problema de condiciones iniciales3.1. El Mtodo del Disparo LinealDisparo Lineal

Disparo Linealy1y2

Disparo Linealy1y2

Disparo Linealy1y2

Disparo LinealSi y1(x) denota la solucin de (3) y1y1

Disparo LinealSi y2(x) denota la solucin de (4) y2y2

Disparo Linealverificar quey1y2

Disparo Linealverificar que

Disparo LinealEjemplo: n = 4.O sea h= / 16

Disparo Linealy " = 0 * y ' + -4 * y +cos(x); y(0)=0 y ' (0)=0con h = /8 o sea x = 0, x = /8, x = /4 este ltimo no se usa.

Para x= 0 y y1 " = 0 * y1 ' + -4 * y1 +cos(x)

y1 ' = 0 * y1 + w1 + 0 w1 ' = -4 * y1 + 0 * w1 + cos(x)Al Problema los convertimos en uno de condiciones INICIALES NO HOMOGNEO

Disparo LinealPara x = 0; ky1 = 0.3926991*(0) = 0kw1 = 0.3926991*((0)*(0) + (-4)*(0) + cos((0))) = 0.3926991ky2 = 0.3926991*(0+0.3926991/2 ) = 0.07710628kw2 = 0.3926991*((0)*(0.1963495) + (-4)*(0) + cos(0.1963495)) = 0.3851535ky3 = 0.3926991*(0+0.3851535/2 ) = 0.07562471kw3 = 0.3926991*((0)*(0.1925767)+(-4)*(0.03855314) +cos(0.1963495))=0.3245943ky4 = 0.3926991*(0+0.3245943) = 0.1274679kw4 = 0.3926991*((0)*(0.3245943)+(-4)*(0.07562471) +cos((0.3926991)))=0.24401561 wf[1] = 0.07215498 wf[2] = 0.3427017

Disparo LinealPara x= 0.3926991 /8ky1 = 0.3926991*(0.3427017) = 0.1345787kw1 = 0.3926991*((0)*(0.3427017)+(-4)*(0.07215498) +cos((0.3926991)))=0.2494659ky2 = 0.3926991*(0.3427017+0.2494659/2 ) = 0.1835612kw2 = 0.3926991*((0)*(0.46743466) + (-4)*(0.1394443) +cos(0.5890486))=0.1074787ky3 = 0.3926991*(0.3427017+0.1074787/2 ) = 0.1556821kw3 = 0.3926991*((0)*(0.3964411) + (-4)*(0.1639356) +cos(0.5890486))=0.06900797ky4 = 0.3926991*(0.3427017+0.06900797) = 0.1616780kw4 = 0.3926991*((0)*(0.4117097)+(-4)*(0.2278370) +cos(0.7853982))=-0.080205402 wf[1] = 0.2346122 wf[2] = 0.4297407

Disparo LinealOjo aqu se debe guardar este ltimo valor

wf[1] = 0.2346122 que es y1= 0.2346122.o sea es y1(b)= 0.2346122.

Disparo Linealy " = 0 * y ' + -4 * y + 0; y(0)=0 y ' (0) = 1con h = /8 o sea x = 0, x = /8, x = /4 este ltimo no se usa.

Para x= 0 y y1 " = 0 * y1 ' + -4 * y1 + 0

y1 ' = 0 * y1 + w1 + 0 w1 ' = -4 * y1 + 0 * w1 + 0Al Problema los convertimos en uno de condiciones INICIALES HOMOGNEO

Disparo LinealPara x= 0ky1 = 0.3926991*(1) = 0.3926991kw1 = 0.3926991*((0)*(1) + (-4)*(0)) = 0ky2 = 0.3926991*(1+0/2 ) = 0.3926991kw2 = 0.3926991*((0)*(1) + (-4)*(0.1963495)) = -0.3084251ky3 = 0.3926991*(1+-0.3084251/2 ) = 0.3321399kw3 = 0.3926991*((0)*(0.8457874) + (-4)*(0.1963495)) = -0.3084251ky4 = 0.3926991*(1+-0.3084251) = 0.2715808kw4 = 0.3926991*((0)*(0.6915749) + (-4)*(0.3321399)) = -0.5217242

1 wg[1] = 0.3523263 wg[2] = 0.7074292

Disparo LinealPara x= 0.3926991 /8;ky1 = 0.3926991*(0.7074292) = 0.2778068kw1 = 0.3926991*((0)*(0.7074292) + (-4)*(0.3523263)) = -0.5534329ky2 = 0.3926991*(0.7074292+-0.5534329/2 ) = 0.1691405kw2 = 0.3926991*((0)*(0.4307128) + (-4)*(0.4912297)) = -0.7716218ky3 = 0.3926991*(0.7074292+-0.7716218/2 ) = 0.1262992kw3 = 0.3926991*((0)*(0.3216183) + (-4)*(0.4368966)) = -0.6862755ky4 = 0.3926991*(0.7074292+-0.6862755) = 0.008307026kw4 = 0.3926991*((0)*(0.02115367) + (-4)*(0.4786255)) = -0.7518232

2 wg[1] = 0.4984919 wg[2] = 0.003920724

Disparo LinealOjo aqu se debe guardar este ltimo valor

wg[1] = 0.4984919 que es y2= 0.4984919.

o sea es y2(b)= 0.4984919

Disparo LinealA = alfa =0 B = beta =0 y1(b) =0.2346122 y2(b) =0.49849190 y1 = 0 y2 = 0 y = 01 y1 = 0.07215498 y2 = 0.3523263 y = -0.093665262 y1 = 0.2346122 y2 = 0.4984919 y = 0

Disparo Lineal

4.1. Procedimiento de la ColocacinPara resolver este problema elijamos, en primer lugar, un conjunto de funciones linealmente independientes (funciones bsicas), de las cuales la funcin u0(x) satisface las condiciones de contorno no homogneas mientras que las otras funciones ui(x) , i=1, 2, , n, satisfacen las condiciones de contorno homogneas:

Busquemos ahora una combinacin lineal de estas funciones bsicas Si sustituimos esta expresin en la ecuacin diferencial, obtenemos

Si adems con una eleccin ms apropiada de los coeficientes Ci , i=1, 2, , n, puede cumplirse la ecuacin Como resultado obtenemos el sistema de ecuaciones lineales: . . . . . . . . . .

4.1.1. EjemploAproximar por medio del procedimiento de colocacin el problema de valor de fronteraSolucin:Como funciones bsicas elegimos en este caso los polinomiosque satisfacen evidentemente las condiciones de contorno un(1)=0.

Como puntos de colocacin elegimos Limitndonos a dos funciones bsicas; sustituimos en la ecuacin diferencial, obtenemos

En los puntos de colocacin Luego resulta

4.3. Mtodo de GalerkinEl procedimiento de Galerkin se basa, en esencia, en un teorema de la teora de las series de Fourier.Sea dado el problema lineal de condiciones de contorno linealesen dondey las condiciones lineales de frontera

Elijamos un sistema finito de funciones coordinantes {ui(x)}, i=0, 1, .., n, las cuales deben pertenecer a un sistema ortogonal de funciones completo. para las u0(x)para i=1, 2, , n La solucin del problema de condiciones de frontera la buscamos como en los procedimientos de colocacinentonces obtenemos la desviacin (error)

Los coeficientes Ci , i=1, 2, , n se obtienen del sistema de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . o de forma ms simple

4.3.3. EjemploCon el procedimiento de Galerkin, aproximar una solucin a la ecuacin diferencial ordinaria con valores de frontera Solucin:Como funcin coordenadas

Busquemos la aproximacin en forma de un polinomioSi sustituimos este polinomio en el primer miembro de la ecuacin diferencial

Nos proporcionan el sistema de ecuaciones obtenemos as el sistema de ecuaciones

De ah resultay por consiguiente

4.4. Mtodo de Rayleigh-RitzUn problema lineal de valor de frontera en dos puntos que es importante en el anlisis de fuerzas aplicadas a vigas, est dado de manera especial por la ecuacin diferencial ordinaria y con condiciones de contorno o frontera

En los desarrollos posteriores supondremos que pC1[0,1], y q, f C[0,1]. Adems, se requerir que exista una constante >0 tal que:4.4.1. TeoremaSean pC1[0,1], y q, f C[0,1], y p(x) > > 0, para 0x1, La funcin yC02[0,1] es la nica solucin de la EDO si y slo si y es la nica funcin en C02[0,1], que minimiza la integral

Para el procedimiento de Rayleigh-Ritz, la integral I se minimiza, no sobre todas las funciones en C02[0,1], sino sobre un conjunto ms pequeo de funciones que consiste de combinaciones lineales de cierta base de funciones 1, 2, . . ., n.Las funciones de la base {k}k=1n deben ser linealmente independientes y satisfacer Una aproximacin a la solucin y(x) se obtiene entonces hallando ci que minimicen a

De la ecuacin Se tiene la ecuacin

El mnimo es alcanzado al considerar I como funcin de ci cuandopara cada j=1, 2, , n Diferenciando entonces nos resultar para cada j=1, 2, , n

Las ecuaciones se consideran normalmente como un sistema lineal Ac=b, donde la matriz A es simtrica y esta dada por y b se halla porTrataremos el primer tipo de funciones bases que involucran polinomios lineales segmentarios en Tomando h=xi+1-xi para cada i=0, 1, , n, definimos las funciones 1, 2, . . ., n

Mediante para cada i=1, 2, , n i=0, 1, , n

Las funciones i son lineales por pedazos, las derivadas i, aunque no continuas, son constantes en el subintervalo abierto (xj, xj+1) para cada i=1, 2, , n

Debido a que i y i , son diferentes de cero solamente en (xj, xj+1)excepto cuando j es i-1, i o i+1 Las componentes distintas de cero de A estn dadas por para cada i=1, 2, , n

para cada i=1, 2, , n-1 para cada i=2, 3, , n.ai,i+1 ai, i-1

Para las componentes de b tenemospara cada i=1, 2, , n.Las componentes c son las desconocidas; la solucin c1, c2, , cn, nos proporcionan la aproximacin de Rayleigh-Ritz dada por

4.4.2. Algoritmo Segmentario Lineal de Rayleigh-RitzPaso 1: Entrar n para i=1 hasta n entrar xi Paso 2: Hacer x0=0; xn=1Paso 3: Para i=0 hasta n hacer hi=xi+1-xi Paso 4: Para i=1 hasta n hacerPaso 5: Calcular

4.4.2. Algoritmo Segmentario Lineal de Rayleigh-RitzPaso 6: Para i=1 hasta n-1 hacer

4.4.2. Algoritmo Segmentario Lineal de Rayleigh-RitzPaso 7: Hacer

Paso 8: Resolver por tridiagonal el sistema formado por: Paso 10: Resolver para cualquier xi < x xi+1 por: Paso 9: Publicar el resultado del sistema o sea los ci:

4.4.3. EjemploConsidere el problema de valor de fronteraSolucin:En este problema asumiremos hi = h = 0.1 y los nodos xi = i h = 0.1i. Para cada i = 1, 2, , 9. Paso 5:

Para i=1 hasta 8 hacer Paso 6:

Paso 7:

Paso 8:

Paso 9:Publicar los valores de ciPara x=0.27, entre i = 2 y i = 3;

c1 =0.3102866742c6 =0.5902003271c2 =0.8123410598c7 =0.9549641893c3 =1.004108771c8 =0.9549641893c4 =0.8123410598c9 =0.5902003271c5 =0.3102866742