capÍtulo 1 exactitud, errores, incertidumbre

EXACTITUD, ERRORES, INCERTIDUMBRE

METROLOGÍA ELÉCTRICA C1- 1

CAPÍTULO 1.

EXACTITUD, ERRORES EN LAS MEDICIONES E

INCERTIDUMBRE EN EL RESULTADO DE UNA MEDICIÓN.

INTRODUCCION.

Cuando el valor de una magnitud1 física se obtiene por medio de una medición, solamente

por casualidad el valor obtenido coincide con su valor verdadero2, y aún en el caso

extremadamente improbable que este evento ocurra el operador desafortunadamente nunca puede

saberlo.

El valor de una magnitud física M se expresa por un número {m} que representa la medida

de la magnitud y una unidad de medida [m] apropiada, relacionada con la magnitud.

El objetivo de la medición de una magnitud M es la de determinar el valor numérico {m}

del mensurando3, esto es, el valor de la cantidad particular a ser medida ,en función de la unidad de

medida [m] que corresponde a su valor verdadero . En algunas ocasiones M es una magnitud sin

unidad de medida, como es el caso de la relación de dos resistencias y aquí solo se busca estimar el

valor de dicha relación que es independiente de la unidad de medida de las dos magnitudes.

De aquí que una medición comienza con una especificación apropiada del mensurando, el

método de medición y el procedimiento de medición4.

En general, el resultado de una medición5 sólo es una aproximación o estimación del valor

del mensurando y entonces sólo queda completo cuando va acompañado por una declaración de la

incertidumbre de esa estimación.

1 NMX-Z-055-1997- IMNC. 1.18. VIM 1.18. 1993. VALOR (DE UNA MAGNITUD). Expresión cuantitativa de una magnitud particular,

expresada generalmente en la forma de una unidad de medida multiplicada por un número.

NMX-Z-055-1997 - INMC. 1.1. VIM 1.1. 1993. MAGNITUD (MEDIBLE). Atributo de un fenómeno, cuerpo o substancia que puede ser

diferenciado cualitativamente y determinado cuantitativamente. 2 NMX-Z-055-1997 - IMNC. 1.18. VIM 1.19. 1993. VALOR VERDADERO (DE UNA MAGNITUD). Valor compatible con la definición de

una magnitud particular dada. 3 NMX-Z-055-1997 - IMNC. 2.6. VIM 2.6. 1993. MENSURANDO. Magnitud particular sujeta a medición.

4 NMX-Z-055-1997- IMNC. 2.5. VIM 2.5. 1993. PROCEDIMIENTO (DE MEDICIÓN). Conjunto de operaciones, descritas específicamente,

para realizar mediciones particulares de acuerdo a un método dado.

5 NOM-Z-055-1997. - IMNC. 3.1. VIM 3.1. 1993. RESULTADO DE UNA MEDICION. Valor atribuido a un mensurando, obtenido por

medición.

[m]}{ . m = M



En la práctica la especificación requerida o definición del mensurando es dictada por la

exactitud de la medición requerida. El mensurando se debe definir lo suficiente con respecto a la

exactitud requerida para que, para todos los propósitos prácticos asociados con la medición, su valor

sea único.

Ejemplo. Si la longitud de una barra de acero de nominalmente un metro va a ser

determinada por la exactitud de un micrómetro, esta especificación debe incluir la temperatura y

presión en la cual la longitud esta definida. Entonces el mensurando se debe especificar como, por

ejemplo, la longitud de la barra a 25,00 0C y 101 325 Pa ( más cualquier otro parámetro de

definición necesario) así como la manera en que la barra esta sostenida. De otra manera, si la

longitud va a ser determinada para una exactitud de sólo milímetros, esta especificación no debe

requerir una temperatura o presión de definición o un valor para cualquier otro parámetro de

definición.

EXACTITUD.

Exactitud de medición6

La exactitud de medición la podemos definir como la, proximidad de la concordancia entre

el resultado de una medición y el valor verdadero del mensurando. La exactitud de medición es la

propiedad global desde el punto de vista de los errores. La exactitud de la medición es tanto mayor

cuanto más cerca del valor verdadero están los resultados.

El valor verdadero de una magnitud se define como, el valor que caracteriza a una magnitud

perfectamente definida, en las condiciones que existen cuando esa magnitud es considerada. Este es

un concepto ideal y, en general, no puede ser conocido exactamente, sino que solo se puede tener

una estimación de él, por lo que en su lugar, en la práctica, se utiliza el concepto de valor

convencionalmente verdadero7, el cual se define como, valor atribuido a una magnitud particular

y aceptado, algunas veces por convención, como un valor que tiene una incertidumbre apropiada

para un propósito dado.

Antes de efectuar una medición, es preciso formarse un concepto claro de la exactitud

requerida para el caso de que se trata, y solamente entonces se está en condiciones de elegir

acertadamente los métodos y los aparatos más convenientes. No es necesario usar aparatos de gran

exactitud para toda clase de mediciones; es más, para muchas de ellas, no sólo es suficiente, sino

hasta más conveniente utilizar aparatos de servicio o industriales, como en los casos en que hay que

contar con un manejo rudo de parte del operador, o cuando las condiciones del servicio no

corresponden a la delicadeza de los instrumentos. Se debe tomar en consideración que un aumento

en la exactitud de los aparatos se obtiene en detrimento de las propiedades mecánicas del sistema de

medición y que, por lo tanto, un instrumento de mayor exactitud resiste mucho menos un manejo

rudo que un aparato industrial.

6 NMX-Z-055-1997-IMNC. 3.5. EXACTITUD DE MEDICIÓN.

7 NMX-Z-055-1997-IMNC. 1.20. VIM 1.20. 1993. VALOR CONVENCIONALMENTE VERDADERO (DE UNA MAGNITUD).



La clase e importancia de la medición que se ha de ejecutar, determinará siempre el grado de

exactitud de la misma. Así, para verificar las condiciones normales de servicio bastará generalmente

la exactitud de un aparato industrial, pero ésta no será suficiente cuando se trata de realizar pruebas

de recepción, de determinar rendimientos, o cuando se quiere seguir un proceso hasta en sus más

pequeños detalles, o realizar trabajos científicos.

Exactitud de un instrumento de medición.

La exactitud de un instrumento de medición8 la podemos definir como la aptitud de un

instrumento de medición de dar respuestas próximas a un valor verdadero. La exactitud es tanto

mayor cuanto más cerca del valor verdadero están las indicaciones.

Por lo tanto el error de exactitud de un instrumento de medición lo podemos definir como el

error global de una medición en condiciones determinadas. El error de exactitud es la diferencia

entre el valor nominal de una medida materializada9 o la indicación de un instrumento de

medición10

y el valor convencionalmente verdadero de la magnitud medida.

Clase de exactitud de un instrumento de medición (con indicador)analógico .

Un concepto relacionado con la exactitud de los instrumentos de medición analógicos11

, es

lo que se denomina "Clase de exactitud12

" y la cual podemos definir como la clasificación de los

instrumentos de medición que satisfacen ciertas exigencias metrológicas destinadas a conservar los

errores, dentro de límites especificados. Generalmente la cifra que marca la clase de exactitud indica

los errores máximos tolerados13

, expresados en por ciento, que puede tener el instrumento; por

ejemplo, la expresión "ampérmetro de clase de exactitud 0,25" significa que los errores relativos

máximos tolerados no exceden al 0,25% de su indicación mayor; a menudo se omite la expresión

"de exactitud" y se dice simplemente "ampérmetro clase 0,25".

Exactitud nominal de un instrumento de medición con indicación digital.

Por otro lado, la exactitud nominal14

de los instrumentos de medición con indicación

digital15

se especifica como el límite expresado como un porcentaje de la entrada (Nm) más un

8 NMX-Z-055-1997-IMNC. 5.18. EXACTITUD DE UN INSTRUMENTO DE MEDICION.

9 NMX-Z-055-1997-IMNC. 4.2. MEDIDA MATERIALIZADA. Dispositivo destinado a reproducir o a proporcionar, de manera permanente

durante su uso, uno o varios valores conocidos de una magnitud dada 10

NMX-Z-055-1997-IMNC. 4.1. INSTRUMENTO DE MEDICIÓN. Dispositivo destinado a ser utilizado para hacer mediciones, sólo o

asociado a uno o varios dispositivos anexos. 11

NMX-Z-055-1997-IMNC. 4.10. INSTRUMENTO DE MEDICIÓN (CON INDICADOR) ANALÓGICO. Instrumento de medición cuya

señal de salida o indicación es una función continua del mensurando o de la señal de entrada. 12

NMX-Z-055-1997-IMNC. 5.19. Clase de instrumentos de medición que satisfacen ciertos requisitos metrológicos destinados a conservar los

errores dentro de los límites especificados. 13

NMX-Z-055-1997.5.21. ERRORES MÁXIMOS TOLERADOS (DE UN INSTRUMENTO DE MEDICIÓN). Límites de los errores tolerados

(de un instrumento de medición), valores extremos de un error, tolerados por las especificaciones, reglamentos, y otros para un instrumento de

medición dado. 14 NMX-CH-131/1-1993. 3.7. EXACTITUD NOMINAL.



número del dígito(s) menos significativo (cuentas) (Nc), que la incertidumbre no debe exceder

cuando el instrumento se usa en condiciones nominales especificadas.

ivos)significat menos digitos de número entrada la de %(Nc)Nm( cu

ERRORES EN LAS MEDICIONES.

En general, una medición tiene imperfecciones que dan origen a error en el resultado de la

medición, es por esto, que el conocimiento de los errores que se puedan apreciar durante la

medición es de vital importancia para estimar la confiabilidad de los resultados.

El tratamiento de los errores en las mediciones generalmente requiere de una buena

experiencia en el laboratorio, en el cual se aprende a vencer con cierta dificultad los problemas que

se presentan. Para llegar a un resultado con la exactitud requerida no es suficiente con interconectar

aparatos de una buena clase de exactitud sino que se debe definir completamente el mensurando,

comprender con amplitud la teoría de los métodos utilizados, conocer en detalle todas las

características del equipo que se utiliza, así como hacer mínimos y corregir los factores que influyen

en los resultados, y si es necesario, hacer mediciones complementarias y evaluar las posibles

fuentes de los errores.

Error de medición y corrección.

El error de medición16

, por simplificación error, lo podemos definir como el, resultado de

una medición menos el valor verdadero del mensurando, siendo este último, en la práctica, el valor

convencionalmente verdadero.

XXex 1

Relacionada íntimamente con el error de medición tenemos la corrección17

, la cual se puede

definir como, valor agregado algebraicamente al resultado no corregido de una medición, para

compensar el error sistemático.

cXX 1

xeXXc 1

Error relativo.

El error absoluto ex, no suministra información sobre la calidad de la medición, es por esto

que es necesario relacionarlo con el valor convencionalmente verdadero. Así tenemos que el error

de medición dividido entre un valor verdadero del mensurando le denominamos error relativo

15

NMX-Z-055-1997. 4.11. INSTRUMENTO DE MEDICIÓN CON INDICACIÓN DIGITAL. Instrumento de medición que proporciona una

señal de salida o una indicación en forma digital.

16.NMX-Z-055-1997. 3.10. ERROR DE MEDICIÓN.

17 NMX-Z-055-1997-IMNC. 3.15. CORRECCIÓN.



erx18

. Puesto que un valor verdadero no puede ser determinado, en la práctica se utiliza un valor

convencionalmente verdadero.

Ejemplo.

Dos tensiones, una de 500 volts y la otra de 10 volts, se miden y la diferencia con relación a

cada uno de sus valores de comparación es de 1 volt. ¿Cuál es la mejor medición?

El error absoluto en los dos casos es igual a,

ex = 1 Volt

Los errores relativos son iguales a,

002,0500

1500

X

ee x

r

o sea 0,2%.

1,010

110 re

o sea 10%.

Evidentemente, de la observación de los cálculos anteriores podemos concluir, que aunque

los errores absolutos son iguales, la mejor medición es la correspondiente a la tensión de 500 volts.

Fuentes de error.

En las mediciones podemos considerar tres fuentes básicas de los errores, estas son:

Fallas del elemento sensor primario para reflejar la cantidad medida. Como ejemplo tenemos el

caso de la unión de un termopar que está corroída o floja, lo que ocasiona pérdidas de radiación o

conducción que dan como resultado que la temperatura de la unión sea diferente de la temperatura

que la rodea.

Fallas en la parte secundaria o indicadora del instrumento que ocasionan que la respuesta del

elemento sensor no sea reflejada fielmente. Como ejemplo tenemos un potenciómetro que da una

indicación incorrecta cuando se alimenta de un termopar, debido a una estandarización inapropiada,

un desajuste, o un mal funcionamiento de sus componentes ya sean eléctricas o mecánicas.

Fallas del observador para obtener correctamente las indicaciones de los instrumentos.

Como ejemplo tenemos el caso de una persona que lee incorrectamente la escala de la carátula de

un potenciómetro.

18 NOM-Z-055-1997-IMNC.3.12. ERROR RELATIVO.



Si bien las tres fuentes de los errores pueden estar presentes en una medición dada, una u

otra pueden ser el problema mayor. Estas fuentes de problemas producen dos clases básicas de

errores en las mediciones, siendo éstos el error sistemático y el error aleatorio.

Error sistemático.

El error sistemático19

se define como, media que resultaría de un número infinito de

mediciones del mismo mensurando, efectuadas bajo condiciones de repetibilidad20

, menos un valor

verdadero del mensurando.

Los errores sistemáticos son la componente del error de medición, que durante un número

de mediciones del mismo mensurando, permanecen constantes o varían en forma previsible. Las

causas de los errores sistemáticos pueden ser conocidas o desconocidas; si su valor se puede

determinar por cálculo o por la experiencia, éstos se deben eliminar usando una corrección

apropiada; si su valor no se puede determinar, se debe evaluar como una incertidumbre tipo B21

,

esto es por otros medios diferentes al análisis estadístico.

Como ejemplos de errores sistemáticos constantes tenemos, el error que resulta de una

pesada realizada por medio de una pesa cuya masa se toma igual a su masa nominal de 1 kg

mientras que su valor verdadero convencional es de 1,010 kg; el error que resulta al usar a una

temperatura ambiente de 20oC una regla graduada a 0

oC, sin introducir la corrección

correspondiente; el error que resulta al usar un termómetro termoeléctrico cuyo circuito sufre de

efectos termoeléctricos parásitos. Como ejemplo de error sistemático variable tenemos, el error de

indicación de un instrumento de medición que surge de una variación sistemática de temperatura

durante un número de mediciones consecutivas del mismo valor.

Error aleatorio.

El error aleatorio22

se define como el, resultado de una medición menos la media de un

número infinito de mediciones del mismo mensurando, efectuadas estas en condiciones de

repetibilidad.

Los errores aleatorios o fortuitos son la componente del error de medición, que durante un

número de mediciones del mismo mensurando varía de manera imprevisible. No es posible eliminar

el error aleatorio por medio de la aplicación de una corrección al resultado no corregido23

y sólo es

19

NMX-Z-055-1997-IMNC. 3.14. ERROR SISTEMÁTICO. 20

NMX-Z-055-1997-IMNC. 3.6. VIM 3.6. 1993. REPETIBILIDAD (DE LOS RESULTADOS DE MEDICIONES). Proximidad de la

concordancia entre los resultados de las mediciones sucesivas del mismo mensurando, con las mediciones realizadas con la aplicación de la totalidad de las siguientes condiciones: 1) Aestas condiciones se les llama condiciones de repetibilidad. 2) Las condiciones de repetibilidad

comprenden: el mismo procedimiento de medición; el mismo observador; el mismo instrumento de medición utilizado en las mismas

condiciones; el mismo lugar; la repetición dentro de un período corto de tiempo. 21

GUÍA BIM/ISO. 1993. EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE TIPO B. Método para evaluar la incertidumbre por otro medio que no

sea el análisis estadístico de una serie de observaciones. 22

NMX-Z-055-1997-IMNC. 3.13.

23 NMX-Z-055-1997-IMNC. 3.3. RESULTADO NO CORREGIDO. Resultado de una medición antes de la corrección del errores sistemático.



posible realizar una evaluación de la incertidumbre tipo A24

para estimar sus efectos en el

resultado de una medición. La totalidad de la serie de mediciones se debe realizar bajo condiciones

de repetibilidad

En la práctica es de esperarse que las mediciones posean un error compuesto de errores

sistemáticos y errores aleatorios pero con diferentes pesos relativos, dependiendo del tipo de

instrumento, método o sistema de medición.

Un mismo error puede presentar siguiendo las condiciones de la experiencia, un carácter

sistemático o un carácter aleatorio. Como en el error de la graduación de un vóltmetro particular que

es manifiestamente sistemático, por el contrario, para diferentes vóltmetros que pertenecen a una

misma población (en el sentido estadístico del término) este error presenta un carácter aleatorio.

Este es el caso para el conjunto de aparatos de una misma serie de fabricación.

Causas de los errores sistemáticos.

A diferencia de los errores aleatorios en los cuales es posible aplicar un modelo estadístico,

con el fin de evaluar la incertidumbre correspondiente al resultado de una medición, en los errores

sistemáticos no se puede justificar un tratamiento igual y solo por medio de un análisis de los

fenómenos y condiciones de la medición propia de cada técnica utilizada podemos detectar este tipo

de errores.

Si bien las causas de los errores sistemáticos son diversas, enseguida describiremos algunas

de ellas, tales como las debidas a los instrumentos, a la observación de las indicaciones, a la

aproximación en las expresiones utilizadas y al medio ambiente..

Como parte de los errores de los instrumentos tenemos los errores debidos a su construcción,

los errores debidos a sus efectos de carga, errores por envejecimiento y errores debidos a daños.

Errores sistemáticos debidos a la construcción de los instrumentos.

Todos los aparatos de medición tanto del tipo industrial como los patrones poseen errores

que son el resultado inevitable de las imperfecciones que surgen durante su construcción, estas

imperfecciones sólo se compensan parcialmente durante su calibración25

, puesto que la calibración

misma es imperfecta, pero aún en el caso de que esta fuera perfecta únicamente sería posible

compensar los errores sistemáticos. Entre las imperfecciones podemos citar el rozamiento del eje

móvil, el basculamiento de este eje entre los cojinetes, la histéresis elástica del resorte espiral o de

las bandas de suspensión, el autocalentamiento de los conductores ( el cual produce variaciones en

las propiedades eléctricas y mecánicas de estos), las tolerancias de los elementos que los

24

GUÍA BIMP/ISO. 1993. EVALUACIÓN DE INCERTIDUMBRE TIPO A. Método para evaluar la incertidumbre mediante el análisis

estadístico de una serie de observaciones. 25 NMX-Z-055-1997-IMNC. 6.11. CALIBRACION. Conjunto de operaciones que establecen, en condiciones especificadas, la relación entre los

valores de las magnitudes indicadas por un instrumento de medición o un sistema de medición, o los valores representados por una medida

materializada o un material de referencia y los valores correspondientes de la magnitud realizada por los patrones.



constituyen, etc. Si bien estas imperfecciones tienen un carácter sistemático consideradas

aisladamente, al tomarlas en conjunto son tan complejas que según el azar de las circunstancias

producen efectos globales en uno u otro sentido con intensidad variable y por consiguiente sus

errores correspondientes tienen un carácter aleatorio, por lo que mediante la calibración los errores

sólo se pueden mantener dentro de ciertos límites.

En los aparatos analógicos, éste error se expresa en forma de errores máximos tolerados26

, y

generalmente se marcan en sus cuadrantes27

, con un número que corresponde a lo que se ha

denominado como índice de clase. Estos límites se expresan, como un porcentaje del valor máximo

de la escala28

.

Así, un ampérmetro cuyo alcance y escala es de 5A y tiene marcado un índice de clase de

0.5, tendrá unos errores máximos tolerados iguales a,

Tomando los límites de la incertidumbre relativa valores muy grandes para lecturas

pequeñas; por ejemplo, si tenemos una lectura de L=0,4A, sus límites de la incertidumbre relativa

en por ciento serán iguales a,

En los aparatos digitales éste error se especifica, en sus manuales de operación, como el

límite expresado como un porcentaje de la entrada más un número del dígito(s) menos significativo

(cuentas)29

, que la incertidumbre no debe exceder.

Por ejemplo, un vóltmetro digital cuya especificación de exactitud es igual a (0,5% + 2d),

en el alcance de 20V, con un intervalo30

de 19,99V o 1999 cuentas, los errores máximos tolerados

de construcción para una lectura igual al alcance serán de,

26 NMX-Z-055-1997.IMNC 5.21. ERRORES MÁXIMOS TOLERADOS (DE UN INSTRUMENTO DE MEDICION). Límites de los errores tolerados (de un

instrumento de medición), valores extremos de un error, tolerados por las especificaciones, reglamentos, y otros para un instrumento de medición dado.

27 NMX-Z-055-1997-IMNC. 4.27. CUADRANTE. Parte fija o móvil de un dispositivo indicador que porta la o las escalas.

28 OIML 7.4.2.1.2-1982. VALOR MAXIMO DE LA ESCALA. Valor de la magnitud medida correspondiente al valor máximo de la escala.

29 NMX-Z-CH-131/1-1993.3.61. DIGITO MENOS SIGNIFICATIVO (LSD). Es el dígito más a la derecha del exhibidor y su correspondiente valor asociado en "BCD"

(Código decimal binario).

30 NMX-Z-CH-131/2. 1993. 3.93. INTERVALO. Es una banda continua de valores de una señal de entrada que pueden ser medidos.

100

ALCANCE X CLASE DE INDICE = uc

A025,0100

55,0 =

=

3,6 100 x 0,4

0,025 = 100 x

L

u = ur% c

c

Nc) + entrada la de (% = Nc) + (Nm = uc



donde Nm es el error en cuentas o dígitos, relacionado con la magnitud de la señal de entrada y

expresado en X% de la señal de entrada, y Nc es el número fijo de cuentas o dígitos menos

significativos que establece la exactitud nominal31

. De aquí que,

V12,0dígitos o cuentas12)210( cu

y los límites de los errores relativos tolerados en por ciento serán,

Si tuviéramos una lectura igual a 6,00V o 600 cuentas, los límites de la incertidumbre, para

esta condición serán iguales a,

dígitos3600100

5,0Nm

V05,0dígitos5)2(3Nc)Nm( cu

y en por ciento,

Errores sistemáticos debidos al efecto de carga de los instrumentos.

Es indispensable tener en cuenta que la magnitud que se mide inevitablemente se altera con

el proceso de la medición misma. Por ejemplo, un vóltmetro bien calibrado puede dar un valor

menor que el debido, y por consiguiente una indicación errónea si se conecta a través de dos puntos

de alta resistencia. Los instrumentos de medición siempre cambian en algún grado las condiciones

del circuito donde se incluyen, algunas veces su efecto es tan pequeño que se puede despreciar,

como cuando se conecta un vóltmetro a una fuente de gran potencia; algunas veces su efecto no se

considera despreciable y este se debe corregir por medio de cálculos; otras veces, la presencia del

aparato de medición produce un gran cambio en las condiciones del circuito alterándolo

radicalmente, como sucede si se conecta un vóltmetro de baja resistencia a la placa o a la rejilla de

un tubo de vacío de un amplificador, una solución para evitar esta condición es utilizar un

instrumento más adecuado, que en este caso sería un vóltmetro de alta resistencia o un vóltmetro de

vacío. Otro ejemplo del efecto de carga de los instrumentos, es el que se produce al obtener la curva

de resonancia de un circuito RLC con un ampérmetro de diferentes alcances, con el cual se obtiene

31 NMX-Z-CH-131/2-1993. APENDICE A.

y V,0,10 = gitosíd o cuentas 10 1999 x 100

0,5 = Nm

60,01001999

12 = ur% c

83,0100600

5 = = ur% c



una curva no continua, debido a las diferentes resistencias e inductancias de los diferentes alcances.

Por lo anterior, siempre se debe tomar en cuenta, en el plan de la medición, los efectos de carga que

pueda tener el equipo de medición sobre el circuito bajo medición.

Como ejemplo, consideremos el circuito sencillo de la figura número 1, que puede ser el

circuito equivalente de un arreglo más complicado. Sea AM un ampérmetro digital de corriente

directa, con un alcance de 20mA, cuyas especificaciones indican que tiene una tensión de carga de

0,20V. E es una fuente de corriente directa de 5V con una resistencia interna RF de 1, y R es una

resistencia de 400 a la cual se le quiere medir la corriente que circula por ella.

La corriente que toma la resistencia R cuando no se ha intercalado el ampérmetro es igual a,

La corriente en la resistencia R, cuando se intercala el ampérmetro en el circuito es igual a,

El valor de la resistencia del ampérmetro se puede calcular observando las especificaciones

del aparato, esto es,

De donde,

mA12,47 = A01247,04001

5 =

+ =

R + R

E = I

F

R + R + R

E = I

AF

A

10 = 10 x 20

,200 =

ALCANCE

CARGA DE TENSION3-

= RA

FIGURA NÚMERO 1

AM AM

E

RF

R



Lo que representa un error sistemático relativo en por ciento, por efecto de carga, de

De otra forma tenemos que el error relativo también se puede expresar como,

Donde R1=RF+R

Para nuestro ejemplo tendremos que,

Valor que corresponde al que se había calculado anteriormente, en función de las corrientes.

Haciendo RA=R1/n se ha construido la tabla número 1, en la que se puede ver que RA debe

ser mucho menor que la resistencia combinada de la fuente y el resistor R para que el error por

efecto de carga sea despreciable. Un análisis de los efectos de carga introducidos por los vóltmetros,

en comparación con la resistencia del circuito da una tabla similar a la de la tabla número 1, con la

diferencia de que en este caso la resistencia del aparato debe ser mucho mayor que la resistencia del

circuito.

TABLA NUMERO 1.

n ERROR POR EFECTO DE CARGA

%

1

10

100

1000

10000

50

9,1

0,99

0,10

0,01

mA12,17 = A01217,0400101

5 =

+ + = I A

4,210047,12

47,1217,12100 - = =

I

I - I = %e

A

r

100100 R + R

R - =

R

E

R

E -

R - R

E

= %eA1

A

1

1A1

r

4,2100104001(

10 - =

+ ) + - = % er



Errores sistemáticos debidos al envejecimiento de los instrumentos.

A medida que el equipo envejece es posible que se tengan cambios ligeros en algunas de sus

componentes y éstos pueden afectar a sus especificaciones. Por lo que es necesario calibrar los

instrumentos a intervalos regulares para estar seguro de que están funcionando dentro de sus

especificaciones o de lo contrario hacer las correcciones necesarias.

Errores sistemáticos debidos a instrumentos dañados.

Estos se presentan cuando por descuido o ignorancia se usa un instrumento que ha sido

dañado. Como un ejemplo simple, tenemos el caso de la medición de una longitud que se hace con

un metro de madera, en el cual después de un cierto número de mediciones se ha desgastado el

extremo donde se encuentra el cero, o en el caso de una medición eléctrica, el uso de un ampérmetro

que se ha dañado debido a una sobrecarga; en ambos casos tanto las lecturas presentes como las

futuras no son de confiar. Una persona con verdadero sentido de lo que es una medición siempre

tiene una vigilancia estrecha de las condiciones de su equipo.

Errores sistemáticos de observación32

e indeterminación.

Estos son los que comete el observador durante el proceso de una medición. Como ejemplo,

tenemos el error que se comete en una medición de la intensidad luminosa efectuada por medio de

un fotómetro de contraste, debido a una igualación incorrecta de las dos zonas; otro ejemplo es, el

error que se comete en una medición efectuada con un puente de corriente alterna debido a una

regulación incorrecta de la intensidad mínima del sonido del receptor de audio; otro ejemplo más es,

el error que se comete en las mediciones en las cuales está involucrado el tiempo, debido a una

anticipación o retardo al obtener la señal. Uno de los errores de observación que merece una

mención especial es el error de lectura33

de los aparatos indicadores, el cual es el que resulta de la

lectura inexacta de la indicación de un instrumento de medición por el observador; este error lo

podemos dividir en dos partes, siendo estas el error de paralaje34

y el error de interpolación35

. El

error de paralaje, es el error de lectura que se comete cuando estando el índice a cierta distancia de

la superficie de la escala, la lectura no se efectúa en la dirección de la observación prevista para el

instrumento utilizado. El error de interpolación, es el error de lectura resultante de la evaluación

inexacta de la posición del índice con relación a dos marcas vecinas entre las cuales está situado. El

error de lectura se expresa como parte de una división. Por supuesto que el error de lectura también

depende de la construcción de la escala del instrumento, en algunos casos puede ser de 0,1 de

división y en otros mucho mayor; la mayoría de los instrumentos de medición que se utilizan en los

laboratorios tienen escalas provistas de espejos y en algunos casos también tienen verniers, con el

objeto de disminuir el error de lectura. 32 OIML. 1982. 8.5. ERROR DE OBSERVACION.

33 OIML. 8.5.1. 1982. ERROR DE LECTURA.

34 OIML.8.5.1.1. 1982. ERROR DE PARALAJE.

35 OIML. 8.5.1.2. 1982. ERROR DE INTERPOLACION.



FIGURA NÚMERO 2. EJEMPLO DE ERROR DE PARALAJE.

Como ejemplo de la determinación del error de interpolación, consideremos que se tiene un

wáttmetro analógico, con una escala prácticamente uniforme, con 120 divisiones y que debido al

grueso de su aguja y a que cuenta su escala con un espejo, se puede distinguir 0,1 de división. Los

límites del error relativo, debidos al error sistemático de interpolación, en algunas partes de la escala

serán,

Para 20 divisiones,

Para 60 divisiones,

Para el final de la escala,

100 x LEIDAS DIVISIONES

DISTINGUIR PUEDE SE QUE DIVISION DE FRACCION = r%e i

5,010020

1.0 = =

0,17 = 100 x 60

0,1 = ir%e

0,08 = 100 x 120

0,1 = ir%e



Errores sistemáticos debidos a aproximación en las expresiones.

Este error se debe a la aproximación que se hace al determinar por medio de una expresión

aproximada el valor de una magnitud medida. Por ejemplo, la medición de una fuerza por medio de

un dinamómetro de elemento elástico para el que se supuso una relación lineal entre la deformación

y la fuerza, mientras que en realidad la relación entre estas dos magnitudes no es lineal.

Otro ejemplo más lo tenemos en la ecuación de equilibrio del puente doble de Kelvin,

La cual en la práctica, dadas las características de las resistencias del puente, se aproxima a

la ecuación,

que es mucho más fácil de manejar, si bien da lugar a un error debido a que se han despreciado los

términos entre corchetes.

Errores sistemáticos debidos al medio ambiente o condiciones externas.

Cuando se miden magnitudes eléctricas con cierta exactitud no hay que perder de vista las

posibles influencias de los elementos exteriores sobre el instrumento empleado. Estos elementos

pueden falsear completamente la medición. Los errores relativos que resultan de los elementos

exteriores generalmente son difíciles de evaluar, pero se pueden reducir o volver despreciables por

medio de una concepción conveniente del arreglo utilizado, en general se hace un esfuerzo para

suprimirlos o disminuirlos ya sea desde la causa o de sus efectos.

Sin agotar el tema citaremos algunas de las principales influencias exteriores que se pueden

presentar, según las circunstancias.

Los campos magnéticos parásitos pueden crear un par perturbador (o una fuerza

perturbadora) sobre el elemento móvil de ciertos instrumentos de medición, también pueden inducir

fuerzas electromotrices parásitas en los circuitos. Estos campos son por ejemplo, el campo terrestre,

el campo de fuerza de un imán permanente de un aparato, el campo creado en una corriente por un

conductor (una corriente de un Amperé crea un campo de alrededor de 16 A/m a un centímetro de

distancia). Un campo demasiado intenso puede alterar el imán permanente de un instrumento

magnetoeléctrico. Para disminuir la influencia de estos campos parásitos se siguen, según las

circunstancias, las prácticas siguientes: alejar u orientar los elementos de la causa, acorazar los

instrumentos, o volverlos astáticos, o tomar la media de dos lecturas realizadas con dos sentidos de

r

r -

R

R

r + r + J

J r + R

R

R = R

2

1

2

1

21

23

2

1X

R R

R = R 3

2

1X



corriente, evitar a lo largo de la construcción de un circuito realizar rizos alrededor de los

instrumentos, etc.

Los campos eléctricos parásitos también pueden alterar las mediciones. Por ejemplo, la

posible acción de un campo eléctrico sobre un instrumento electrostático que no esta provisto de una

pantalla, o la atracción electrostática entre las bobinas de un wáttmetro electrodinámico mal

intercalado. También señalaremos que frotando una tela sobre el vidrio que protege la carátula de un

instrumento de medición se pueden producir cargas eléctricas que atraen y hacen desviar el índice,

aún si el instrumento no está conectado. Para hacer desaparecer las cargas es suficiente con

humedecer el vidrio, por ejemplo, soplando sobre él; en algunos aparatos el vidrio o el material

utilizado en su lugar generalmente es conductor por lo que no se produce este fenómeno.

Las capacitancias parásitas que aparecen entre las diversas partes de un circuito y el exterior

pueden producir perturbaciones importantes, sobre todo en los instrumentos de medición de alterna.

Las fuerzas electromotrices parásitas pueden hacer circular corrientes perturbadoras en los

circuitos cerrados o producir diferencias de potencial entre las terminales de un circuito abierto. Las

fuerzas electromotrices debidas al contacto entre materiales de diferente naturaleza pueden alcanzar

valores del orden de un volt (en un circuito metálico isotérmico cerrado la suma de las fuerzas ahí

engendradas es nula, lo mismo que para un circuito isotérmico abierto en el cual los materiales de

los extremos son de la misma naturaleza). En principio se puede suprimir el efecto de estas fuerzas

electromotrices debidas a los contactos, tomando la media de las mediciones realizadas antes y

después de la inversión de la polaridad de la fuente de continua utilizada. Las fuerzas

electromotrices termoeléctricas, entre dos puntos de un mismo metal a dos temperaturas diferentes

(por ejemplo, para el cobre es alrededor de 2,2V/oC); entre las uniones de dos metales diferentes

(para las uniones cobre-constantan, son de 40 a 50 V por grado centígrado de diferencia de

temperatura entre las uniones). Para disminuir los efectos debidos a estas causas es necesario evitar

tocar las uniones, o si es posible, esperar que todos los elementos alcancen la misma temperatura

antes de hacer la medición; también se pueden disminuir realizando mediciones con los dos sentidos

de corriente.

Si las resistencias útiles que intervienen en un circuito de medición son pequeñas, hay la

posibilidad de que las resistencias parásitas tengan influencia, tales resistencias son debidas a los

contactos y a los conductores de unión. Para disminuir estas resistencias parásitas, es necesario

utilizar conductores lo más cortos posibles y efectuar buenos contactos. Por ejemplo, la resistencia

de contacto para los postes de latón reunidos en una clavija es del orden de 0,4 m, si los postes

están limpios y bien apretados; pero si estas condiciones no se cumplen, la resistencia puede tomar

valores entre 10 y 100 veces mayores y algunas veces más. Por otra parte, un conductor de cobre de

un milímetro de diámetro, por ejemplo, tiene una resistencia de alrededor de 0,02 por metro de

longitud a 20oC.

Los defectos e imperfecciones del aislamiento del circuito bajo medición, sobre todo cuando

la tensión es elevada, producen corrientes de fuga perturbadoras que pueden circular a través de los

aislamientos y superponerse a la intensidad de corriente útil que atraviesa los instrumentos de



medición. Lo anterior se disminuye vigilando los aislamientos, además de que en el caso de

resistencias útiles elevadas se utilizan anillos y placas de guarda para desviar las corrientes de fuga.

Las piezas conductoras localizadas en la vecindad de los circuitos recorridos por corrientes

variables pueden ser asiento de corrientes de Foucault que reactúan sobre estos circuitos. Así las

corrientes inducidas en una placa metálica localizada en la proximidad de una bobina disminuyen la

inductancia propia aparente de esta última (por disminución del flujo) y aumenta su resistencia

aparente (por crecimiento de las pérdidas). Si la pieza es de material ferromagnético, a estos efectos

se superpone la influencia de cambio de permeabilidad del medio (crecimiento de la inductancia

propia, aumento adicional en las pérdidas a causa de la histéresis).

La influencia de la frecuencia y la forma de onda de la corriente sobre la indicación de

ciertos instrumentos de medición también produce errores, la frecuencia tiene más influencia en

cuanto son más elevadas las características de las resistencias, de las bobinas y de las capacitancias.

Por otra parte, se debe prever una construcción especial para el material destinado a las mediciones

en frecuencias altas.

La temperatura tiene influencia sobre la fuerza electromotriz de una pila patrón, sobre el

valor de las resistencias, sobre las propiedades mecánicas y eléctricas de los instrumentos de

medición. En particular, se deben evitar sobrecargas permanentes en los instrumentos y se les debe

poner a cubierto de fuentes de calor exteriores.

Otras influencias que si bien no afectan a todos los instrumentos, pero que con frecuencia

son importantes, son la humedad, la presión barométrica, el campo gravitacional, la presencia de

humos u otros compuestos extraños en el aire, y el ruido.

Detección de los errores sistemáticos.

Comparación con la medición de una magnitud conocida de la misma naturaleza.

El método que con más frecuencia se emplea para poner en evidencia los errores

sistemáticos que están involucrados en un método de medición, consiste en medir con el mismo

método una magnitud conocida de la misma naturaleza y de un valor igual o cercano al valor de la

magnitud medida.

Este método permite descubrir una desviación entre la indicación del instrumento de

medición y el valor de la magnitud medida. También se utiliza para verificar si un instrumento

cumple con ciertas especificaciones dentro de las tolerancias permitidas.

Así se obtienen resultados que en general difieren entre ellos, esto permite poner en

evidencia los errores sistemáticos.



Medición de la magnitud con un instrumento diferente.

El valor numérico de la magnitud desconocida se determina midiendo esta con instrumentos

de características metrológicas diferentes.

Medición de la misma magnitud con métodos diferentes.

En ciertos casos es posible obtener el valor de una magnitud utilizando dos métodos

independientes basados en principios físicos diferentes.

Medición de la misma magnitud con diferentes sistemas de medición o en condiciones con

medio ambiente variable.

Una variación controlada de ciertos parámetros relativos al medio ambiente o al proceso de

operación permite poner en evidencia algunos errores sistemáticos.

Comparación entre laboratorios.

La comparación de los resultados obtenidos en pruebas, en diferentes laboratorios para la

medición de una misma magnitud permite constatar la presencia de errores de carácter sistemático.

Reducción de los errores sistemáticos.

Algunos de los métodos o técnicas de medición permiten reducir los errores sistemáticos.

Unas son de aplicación general mientras que otras son específicas de la medición considerada.

Ajuste de un instrumento de medición antes de su utilización.

Esta operación consiste en llevar el instrumento de medición a sus condiciones normales de

empleo, utilizando los medios puestos a la disposición del usuario, esto permite ajustar

prácticamente la indicación del instrumento de medición en uno o varios puntos de la escala.

Reducción de los errores por medio de la selección del método de medición.

Ciertas técnicas de medición permiten, por su principio, reducir los errores de carácter

sistemático. Tal es el caso del método de sustitución.

Reducción de los errores sistemáticos utilizando las correcciones.

Cuando un instrumento de medición ha sido objeto de una calibración, éste debe estar

acompañado de una ficha de calibración, en donde se indica en forma de tabla o de una curva las

correcciones que se le deben efectuar, en las condiciones del medio ambiente dadas, a sus

indicaciones, con el objeto de tener una mejor estimación del valor verdadero de la magnitud

medida.



Debido a los diferentes fenómenos que ocurren a lo largo del tiempo, la corrección de la

calibración de un instrumento de medición cambia. Las calibraciones de los instrumentos solo se

pueden considerar válidas durante un tiempo limitado, el cual varía según la naturaleza del

instrumento.

Algunas correcciones se pueden calcular teóricamente teniendo como base una ley física o

empírica. Es así que el resultado de una medición se puede corregir teniendo en cuenta uno o varios

de los factores de influencia, los cuales modifican las indicaciones del instrumento de medición.

Reglas generales para la reducción de los errores sistemáticos.

La investigación de las causas de los errores sistemáticos requiere un tiempo considerable,

así mismo, la determinación de las correcciones que se aplican a las magnitudes medidas también

toma su tiempo y generalmente requieren de mediciones adicionales con un equipo también

adicional adaptado a estas mediciones. En la práctica el aspecto del costo de una medición es un

elemento de criterio de decisión para saber si la causa del error sistemático se debe poner en

consideración y si da lugar a efectuar las correcciones correspondientes, solo es posible responder a

esta situación si se ha fijado la incertidumbre que se puede tolerar.

INCERTIDUMBRE DEL RESULTADO DE UNA MEDICIÓN. MEDICIÓN.

La palabra “incertidumbre” significa duda, y por tanto en su sentido más amplio “

incertidumbre de medición” significa duda en la validez del resultado de la medición.

La definición formal del término “incertidumbre de medición” que se ha desarrollado

para utilizarse en este escrito, ha sido tomada del “ International vocabulary of basic and general

terms in metrology “ (VIM), segunda edición de 1993, y de la norma “NMX-Z-055-1997-IMNC,

Metrología – Vocabulario de términos fundamentales y generales” y es la siguiente:

“Incertidumbre de medición . Parámetro asociado con el resultado de una medición

que caracteriza la dispersión de los valores, que razonablemente pudiera ser atribuida al

mensurando.”

El parámetro puede ser, por ejemplo, una desviación estándar36

(o un múltiplo de ésta),

o la mitad de un intervalo de nivel de confianza37

determinado.

La incertidumbre de medición comprende, en general, varios componentes. Algunos

pueden ser evaluados a partir de la distribución estadística de los resultados de una serie de

mediciones y pueden ser caracterizados por desviaciones estándar experimentales. Los otros

componentes, que también pueden ser caracterizados por las desviaciones estándar, son

36

ISO 3534-1. 1.23. 1993. DESVIACIÓN ESTÁNDAR. La raíz cuadrada de la varianza. 37

ISO 3534-1. 2.59. 1993. COEFICIENTE DE CONFIANZA; NIVEL DE CONFIANZA. El valor (1 - ) de la probabilidad asociada con un

intervalo de confianza o un intervalo de cobertura estadística. (1 - ) se expresa frecuentemente como un porcentaje.



evaluados admitiendo distribuciones de probabilidad38

, según la experiencia adquirida o de

acuerdo con otras informaciones.

Se entiende que el resultado de la medición es la mejor estimación del valor del

mensurando, y que todos los componentes de la incertidumbre, incluyendo aquellos que

provienen de efectos sistemáticos, tales que los componentes asociados a las correcciones y a los

patrones de referencia, contribuyen a la dispersión.

Mientras que los valores exactos de las contribuciones al error de un resultado de

medición son desconocidos y no se pueden conocer, las incertidumbres asociadas con los efectos

aleatorios y sistemáticos que dan lugar al error pueden ser evaluadas. Pero, aún si las

incertidumbres evaluadas son pequeñas, no existe garantía de que el error en el resultado de la

medición sea pequeño; ya que podría pasarse por alto algún efecto sistemático, en la

determinación de una corrección o debido a la falta de conocimiento, por no haberse

identificado. Por tanto, la incertidumbre del resultado de una medición no es necesariamente una

indicación de la factibilidad de que el resultado de la medición este cerca del valor del

mensurando; simplemente implica un estimado de la factibilidad de cercanía con el mejor valor

que es consistente con el conocimiento disponible actualmente.

Incertidumbre de medición es, por tanto, una forma de expresar el hecho de que, para un

mensurando y su resultado de medición dados, no hay un solo valor, sino un número infinito de

valores dispersos alrededor del resultado que son consistentes con todas las observaciones, datos

y conocimientos que se tengan del mundo físico, y que con distintos grados de credibilidad

pueden ser atribuidos al mensurando.

En la práctica, existen muchas fuentes posibles de incertidumbre en una medición,

incluyendo:

a) definición incompleta del mensurando;

b) realización imperfecta de la definición del mensurando;

c) muestreos no representativos, la muestra medida puede no representar el

mensurando definido;

d) conocimiento inadecuado de los efectos de las condiciones ambientales sobre las

mediciones, o mediciones imperfectas de dichas condiciones ambientales;

e) errores de apreciación del operador en la lectura de los instrumentos analógicos;

f) resolución39

finita del instrumento o umbral40

de discriminación finito;

g) valores inexactos de patrones de medición y materiales de referencia;

38

ISO 3534-1. 1.3. 1993. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD. Una función que da la probabilidad de que una variable aleatoria tome

cualquier valor dado o pertenezca a un conjunto de valores dados. La probabilidad sobre el conjunto de valores de la variable aleatoria es igual a

1. 39

NMX-Z-55-1986. 5.13. RESOLUCIÓN (DE UN DISPOSITIVO INDICADOR). Expresión cuantitativa de la aptitud de un dispositivo

indicador para presentar significativamente la distinción entre valores muy próximos de la magnitud indicada. 40

NMX-Z-55-1986. 5.12. UMBRAL DE LA MOVILIDAD. La más pequeña variación de una señal de entrada que provoca una variación

perceptible de la respuesta de un “instrumento de medición”.



h) valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes externas y

usados en los algoritmos de reducción de datos;

i) aproximaciones y suposiciones incorporadas a los métodos y procedimientos de

medición;

j) variaciones en observaciones repetidas del mensurando bajo condiciones

aparentemente iguales.

Estas fuentes no son necesariamente independientes, y algunas fuentes desde a) hasta i)

pueden contribuir a la fuente j). Por supuesto, un efecto sistemático no reconocido no puede ser

tomado en cuenta en la evaluación de la incertidumbre del resultado de la medición pero

contribuye a su error.

La recomendación INC-1 (1980) del grupo de trabajo del BIMP41

y el CIMP42

para la

expresión de las incertidumbres agrupa a las componentes de la incertidumbre en dos categorías,

esta clasificación se basa en los métodos de evaluación empleados, a saber: “A” y “B”. Estas

categorías se aplican a la incertidumbre y no son sustitutos para las palabras “aleatorio” y

“sistemático”. La incertidumbre de una corrección para un efecto sistemático conocido puede en

algunos casos ser obtenida mediante una evaluación Tipo A, y por una evaluación Tipo B en

algunos otros, según como pueda caracterizar la incertidumbre al efecto aleatorio.

El propósito de la clasificación Tipo A y Tipo B es para indicar las dos diferentes

maneras de evaluar las componentes de la incertidumbre y es por conveniencia de discusión

solamente; la clasificación no significa que exista alguna diferencia en la naturaleza de los

componentes que resultan de cada uno de los dos tipos de evaluación. Ambos tipos de evaluación

están basados en distribuciones de probabilidad, y las componentes de incertidumbre resultantes

de cualquier tipo son cuantificadas por varianzas y desviaciones estándar.

La varianza estimada u2 que caracteriza a una componente de incertidumbre obtenida de

la evaluación tipo A se calcula mediante series de observaciones repetidas y es la varianza

estimada estadística familiar s2. La desviación estándar estimada u, la raíz cuadrada positiva de

u2, es entonces u= s y por conveniencia es llamada algunas veces incertidumbre estándar Tipo A.

Para una componente de incertidumbre obtenida de una evaluación Tipo B, la varianza estimada

u2 es evaluada mediante el uso de la información disponible, y la desviación estándar u es

algunas veces llamada incertidumbre estándar Tipo B.

Entonces la incertidumbre estándar tipo A es obtenida de una función de densidad de

probabilidad43

deducida de una distribución de frecuencia44

observada, mientras que la

incertidumbre estándar Tipo B se obtiene de una función de densidad de probabilidad supuesta

41

BIMP. Buró Internacional de Pesas y Medidas. 42

CIMP.Comité Internacional de Pesas y Medidas. 43

ISO 3534-1. 1.5. 1993. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD. La derivada (cuando existe) de la función de distribución. 44

ISO 3534-1. 2.26. 1993. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA. La relación empírica entre los valores de una característica y sus frecuencias o

sus frecuencias relativas. La distribución puede presentarse gráficamente como un histograma, diagrama de barras, polígono de frecuencias

acumulativo, o como una tabla de dos vías.



basada en el grado de creencia de que un evento pueda ocurrir (a menudo llamada probabilidad

subjetiva). Ambas aproximaciones emplean interpretaciones de probabilidad reconocidas.

Una evaluación Tipo B de una componente de incertidumbre generalmente se basa en una

fuente común de información comparativamente confiable.

La incertidumbre estándar del resultado de una medición, cuando éste resultado se

obtiene de los valores de un conjunto de otras cantidades, se llama incertidumbre estándar

combinada45

y se denota por uc. Esta es la desviación estándar estimada asociada con el

resultado y es igual a la raíz cuadrada positiva de la varianza combinada obtenida a partir de

todas las componentes de varianza y covarianza46

, evaluados de cualquier forma, utilizando la

llamada ley de propagación de incertidumbres.

Para satisfacer las necesidades de algunas aplicaciones industriales y comerciales y

comerciales, así como los requerimientos en áreas de la salud y seguridad, se obtiene una

incertidumbre expandida47

U multiplicando la incertidumbre estándar combinada uc por un

factor de cobertura48

k. El propósito de obtener U es el de proveer de un intervalo alrededor

del resultado de una medición en el que puede esperarse que se incluya una fracción grande de la

distribución de valores que pueden razonablemente ser atribuidos al mensurando. La elección del

factor k, la cual usualmente se encuentra en el intervalo de 2 a 3, está basada en la probabilidad

de cobertura o nivel de confianza requerido para el intervalo.

El factor de cobertura tiene que ser declarado siempre, de tal manera que la incertidumbre

estándar del mensurando pueda ser recuperada para su uso en el cálculo de la incertidumbre

estándar combinada de otros resultados de la medición que pueden depender de esa cantidad.

Incertidumbre estándar49

.

Es la incertidumbre del resultado de una medición expresada como una desviación

estándar.

Es decir, cada magnitud medida tendrá una desviación estándar estimada que se utilizará

para caracterizar la incertidumbre en la medición de esa magnitud.

45

BIMP/ISO. 2.3.4.1993. INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR COMBINADA. Incertidumbre estándar del resultado de una medición cuando el

resultado se obtiene a partir de los valores de algunas otras magnitudes, igual a la raíz cuadrada positiva de una suma de términos, siendo estos términos las varianzas y covarianzas de estas otras magnitudes ponderadas de acuerdo a cómo el resultado de la medición varía con respecto a

cambios en esas magnitudes. 46

ISO 3534-1. 1.32. 1993. COVARIANZA. La covarianza de dos variables aleatorias es una medida de su dependencia mutua. 47

BIMP/ISO. 2.3.5. 1993. INCERTIDUMBRE EXPANDIDA. Cantidad que define un intervalo alrededor de una medición del que se puede

esperar que abarque una fracción grande de la distribución de valores que razonablemente pudieran ser atribuidos al mensurando. 48

BIMP/ISO. 2..6. 1993. FACTOR DE COBERTURA. Factor numérico usado como multiplicador de la incertidumbre estándar combinada para

el propósito de obtener una incertidumbre expandida. 49

GUÍA BIMP/ISO. 2.3.1. INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR.



Evaluación de la incertidumbre estándar.

Modelo de medición.

En la mayoría de los casos, el mensurando Y no se mide directamente sino que se

determina a partir de otras N magnitudes X1, X2, ......, XN, a través de una relación funcional f:

)1(......)......,,

2,

1(

NXXXfY

Ejemplo. Si una diferencia de potencial V se aplica a las terminales de un resistor

dependiente de la temperatura que tiene una resistencia R0 a la temperatura definida t0 y un

coeficiente lineal de temperatura , la potencia P (el mensurando) disipada por el resistor a la

temperatura t depende de V, R0, y t de acuerdo a,

00

2

1),,

0,(

ttR

VtRVfP

Los argumentos X1, X2, ... , XN, de los cuales depende el resultado de la medición Y, se

puede visualizar a su vez como mensurandos y depender de otras magnitudes, incluyendo

correcciones y factores de corrección para efectos sistemáticos, todo ello dando lugar a

complicadas relaciones funcionales f que pudieran nunca ser expresadas explícitamente.

Adicionalmente, f puede ser determinada experimentalmente o existir sólo como un algoritmo

que deba ser evaluado numéricamente. La función f como aparece en este escrito debe ser

interpretada en este sentido más amplio, es decir, como aquella función que contiene cada

magnitud, incluyendo todas las correcciones y factores de corrección, que pueden contribuir con

componentes significativos de incertidumbre al resultado de la medición.

Por lo tanto, si los datos indican que f no modela la medición el grado impuesto por la

exactitud requerida del resultado de medición, entonces se deben incluir argumentos adicionales

en f para eliminar el problema. Esto puede requerir la introducción de un argumento que sirva

para reflejar la carencia de conocimiento de un fenómeno que afecta al mensurando. En el

ejemplo anterior, se podrían necesitar argumentos adicionales para tomar en cuenta a una

distribución conocida, no uniforme, de temperatura a través del resistor, un posible coeficiente de

temperatura de resistencia no lineal, o una posible dependencia de la resistencia en la presión

barométrica.

El conjunto de argumentos X1, X2, ... , XN pueden dividirse en las categorías siguientes:

-magnitudes cuyos valores e incertidumbres se determinan directamente en la presente

medición. Estos valores e incertidumbres pueden ser obtenidos de, por ejemplo, una sola

observación, observaciones repetidas o por juicio basado en la experiencia, y pueden involucrar

la determinación de correcciones en la lectura de los instrumentos y correcciones debidas a la

presencia de magnitudes cuya influencia debe ser tomada en cuenta, tales como la temperatura

ambiente, la presión barométrica y la humedad;



- magnitudes cuyos valores e incertidumbres son incorporados a la medición y que

provienen de fuentes externas, tales como magnitudes asociadas con patrones de medición

calibrados, materiales de referencia certificados y datos de referencia obtenidos de manuales.

Una estimación del mensurando Y, denotada como y, se obtiene de la ecuación (1) usando

los argumentos estimados x1, x2, ... , xN para los valores de las N cantidades X1, X2, ... , XN. Por lo

tanto, la estimación de la magnitud resultante y, que es el resultado de la medición, está dada por,

),...,2

,1

(N

xxxfy ...... (2)

En algunos casos la estimación se puede obtener de:

n

k

n

kkN

Xk

Xk

Xfnk

Yn

Yy

1

)

1,

,...,,2

,,1

(11

Esto es, y se toma como la media aritmética o promedio de n determinaciones

independientes Yk de Y, cada una de éstas teniendo la misma incertidumbre y estando basada en

un grupo completo de valores observados de los N argumentos Xi obtenidos al mismo tiempo.

Esta forma de promediar, en lugar de

n

n

kki

X

iX

NXXXfy

1

,

donde),,...,2

,1

(

es la media aritmética de las observaciones individuales Xi,k , puede ser preferible cuando f es

una función no lineal de los argumentos X1, X2, ... , XN , pero las dos aproximaciones son

idénticas si f es una función lineal de Xi .

La desviación estándar estimada asociada con la estimación de la magnitud resultante o el

resultado de la medición y se denomina incertidumbre estándar combinada se denota por uc(y).

Se determina a partir de la desviación estándar estimada asociada con cada valor estimado de los

argumentos xi , la cual se denomina incertidumbre estándar y se denota por u(xi).

Cada valor estimado de un argumento xi y su incertidumbre estándar asociada u(xi ) se

obtienen a partir de una distribución de los posibles valores del argumento Xi . Esta distribución

de probabilidad puede estar basada en una frecuencia, es decir, basada en una serie de

observaciones Xi,k de Xi , o puede ser una distribución a priori. Las evaluaciones Tipo A de las

componentes de la incertidumbre estándar están basadas en distribuciones de frecuencia,

mientras que las evaluaciones del Tipo B se basan en distribuciones a priori. Se debe reconocer

que en ambos casos las distribuciones son modelos que se usan para representar el estado de

nuestro conocimiento.



Evaluación Tipo A de la incertidumbre estándar.

Incertidumbre tipo A. Es aquella cuya incertidumbre estándar se evalúa por medio de

análisis estadístico de una serie de observaciones.

En la mayoría de los casos, la mejor estimación disponible de la esperanza o valor

esperado q de una magnitud q que varía aleatoriamente (una variable aleatoria), y de la cual se

han obtenido n observaciones independientes qk bajo las mismas condiciones de medición, es la

media aritmética o promedio _

q de las n observaciones.

n

k

kqn

q1

)3(......1

Por tanto, para un argumento Xi estimado a partir de n observaciones repetidas

independientes Xi,k la media aritmética _

iX obtenida de la ecuación (3) se usa como una

estimación del argumento, xi, en la ecuación (2) para determinar el resultado de la medición y;

esto es x i= _

iX . Aquellos argumentos no evaluados a partir de observaciones repetidas deben

obtenerse por otros métodos.

Las observaciones individuales qk difieren en valor debido a las variaciones aleatorias en

las magnitudes que las afectan, es decir, debido a efectos aleatorios. La varianza experimental de

las observaciones, la cual estima la varianza 2 de la distribución de probabilidad de q, está dada

por

n

k

kk qqn

qs1

22 )4......(1

1)(

Esta estimación de la varianza y su raíz cuadrada positiva s(qk), denominada desviación

estándar experimental, caracterizan a la variabilidad de los valores observados qk, o más

específicamente, su dispersión alrededor de la media _

q .

La mejor estimación de 2(

_

q ) = 2/n, la varianza de la media, está dada por:

)5......()(

)(

2

2

n

qsqs k

La varianza experimental de la media s2(

_

q ) y la desviación estándar experimental de la



media s(_

q ), que es igual a la raíz cuadrada positiva de s2(

_

q ), cuantifican que también _

q estima el

valor esperado k de q, y cualquiera de ellas se puede usar como una medida de la estimación de _

q .

Por lo tanto, para un argumento Xi determinado a partir de n observaciones

independientes repetidas Xi,k la incertidumbre estándar u(xi) de su estimación xi = _

iX es

u( ix_

)=s(_

iX ), donde s2( iX

_

) se calcula de acuerdo con la ecuación (5). Por conveniencia,

u2(

_

ix )=s2( iX

_

) y u( ix_

)=s( iX_

) son a veces llamadas varianza Tipo A e incertidumbre estándar

Tipo A, respectivamente.

NOTAS.

1 El número de observaciones de n debe ser suficientemente grande para asegurar que _

q es una estimación confiable del valor esperado q de la variable aleatoria q y que s2(qk) es una

estimación confiable de la varianza 2(q) =

2/n. La diferencia entre s

2(

_

q ) y 2(

_

q ) que debe ser

considerada cuando se construyen intervalos de confianza. En este caso, si la distribución de

probabilidad de q es una distribución normal, la diferencia se toma en cuenta mediante la

distribución t de Student.

2 A pesar de que la varianza s2(

_

q ) es el parámetro más fundamental asociado a la

dispersión, la desviación estándar s(_

q ) es más conveniente en la práctica debido a que tiene las

mismas dimensiones que q y se comprende más fácilmente que la varianza.

Para una medición bien caracterizada bajo control estadístico, pudiera disponerse de una

estimación combinada o ponderada de la varianza s2p ( o una varianza estándar experimental

ponderada sp) que caracterizase a la medición. En tales casos, cuando el valor de un mensurando

q se determina a partir de n observaciones independientes, la varianza experimental de la media

aritmética _

q de las observaciones está mejor estimada por s2

p/n que por s2(

_

q )/n, siendo la

incertidumbre u = sp/n.

Frecuentemente una estimación xi de un argumento Xi se obtiene a partir de una curva que

ha sido ajustada a datos experimentales por el método de mínimos cuadrados. Las varianzas

estimadas y las incertidumbres estándar resultantes de los parámetros ajustados que caracterizan

la curva y de cualquier punto predicho por tal ajuste puede ser calculado comúnmente usando

procedimientos estadísticos bien conocidos.



Los grados de libertad50

vi de u(xi), que son n – 1 en el caso simple en que xi = iX_

y

u(xi)=s( iX_

) y que se calculan a partir de n observaciones independientes, siempre deben ser

expresados cuando se documentan las evaluaciones de las componentes de la incertidumbre Tipo

A.

Si las variaciones aleatorias en las observaciones de un argumento están correlacionadas,

por ejemplo, en el tiempo, la media y la desviación estándar experimental de la media pudieran

ser estimadores inapropiados de la estadística deseada. En tales casos, las observaciones deben

ser analizadas por medios estadísticos especialmente diseñados para tratar una serie de

mediciones correlacionadas que varían aleatoriamente.

NOTA. Estos métodos especializados se usan para tratar mediciones de patrones de

frecuencia. Sin embargo, es posible que conforme se va de mediciones en el corto plazo a

mediciones a largo plazo de otras magnitudes metrológicas, la suposición de variaciones

aleatorias no correlacionadas pudiera ya no ser válida y los métodos especializados pudieran

entonces ser usados también para tratar estas mediciones.

La discusión de la evaluación Tipo A de la incertidumbre estándar en los párrafos

anteriores no pretende ser exhaustiva; existen muchas situaciones, algunas muy complejas, que

pueden ser tratadas por métodos estadísticos. Un ejemplo importante es el uso de diseños de

calibración, que se basan frecuentemente en el método de mínimos cuadrados, usados para

evaluar las incertidumbres que surgen de las variaciones aleatorias a corto y largo plazo en los

resultados de las comparaciones de artefactos materiales de valor conocido, tales como bloques

patrón y patrones de masa, con patrones de referencia de valores conocidos. En estas situaciones

de mediciones comparativamente simples, los componentes de incertidumbre pueden ser

evaluados, frecuentemente, mediante el análisis estadístico de los datos obtenidos de diseños que

consisten de secuencias anidadas de mediciones del mensurando, utilizando varios valores

diferentes de las magnitudes de las cuales depende. Este procedimiento es conocido como

análisis de varianza.

Nota. En los niveles más bajos de la cadena de calibración, en donde frecuentemente se

supone que los patrones de referencia son exactamente conocidos debido a que han sido

calibrados por un laboratorio nacional o primario, la incertidumbre del resultado de una

calibración puede ser simplemente una incertidumbre estándar Tipo A, evaluada mediante una

desviación estándar ponderada que caracterice las mediciones.

La incertidumbre Tipo A, que es la desviación estándar de la media es igual a,

)6......()(

_

_

n

qsqsqu k

A

50

ISO 3534-1-1993;2.85. GRADOS DE LIBERTAD. En general, el número de términos de una suma menos el número de restricciones sobre

los términos de la suma.



a) Con frecuencia se piensa que la incertidumbre Tipo A por haber sido determinada por

métodos estadísticos, se conoce mejor que la Tipo B. Sin embargo, esto no es así, ya que

cualquier incertidumbre basada sobre una muestra finita de “n” mediciones, tiene en sí misma

una incertidumbre estadística implícita que, aún para 10 mediciones ésta llega a ser del 24 %

para una distribución normal. Así que, se debe tener presente que las estimaciones Tipo A

pueden ser poco confiables si el número de mediciones es pequeño.

Para calcular la incertidumbre sobre la desviación estándar estimada se emplea la

aproximación siguiente:

)7.....(212 2

1

2

1

_

n

q

qsqu k

ks

en donde son los grados de libertad51

.

En la tabla número 1, se muestran las incertidumbres en la desviación estándar estimadas

en función del número de datos disponibles utilizando la ecuación (7).

b) En caso de que se disponga de menos de 10 mediciones y si además no se cuenta con

alguna estimación basada en la experiencia o datos previos, entonces el resultado de la ecuación

(6) se debe multiplicar por el factor t de la tabla número 2 que están basados en la distribución “t

de Student”, y que se aplican con un factor de cobertura k = 2.

Obteniéndose finalmente la incertidumbre Tipo A como:

)8.....(

_

tn

qs

u A

Si n 10 entonces t 1.

TABLA NÚMERO 1. INCERTIDUMBRES EN LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

ESTIMADAS EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE DATOS DISPONIBLES.

NÚMERO DE

OBSERVACIONES

Us(qk)

%

2 71

3 50

4 41

5 35

10 24

20 16

30 13

50 10

51

ISO 3534-1:1993.2.85. GRADOS DE LIBERTAD. En general el número de términos de una suma menos el número de restricciones sobre los

términos de la suma.



TABLA NÚMERO 2. FACTOR t EN FUNCIÓN

DEL NÚMERO DE OBSERVACIONES.

NÚMERO DE

OBSERVACIONES

FACTOR

t

2 7,0

3 2,3

4 1,7

5 1,4

6 1,3

7 1,3

8 1,2

9 1,2

Evaluación Tipo B de la incertidumbre estándar.

Incertidumbre tipo B. Es aquella cuya incertidumbre estándar se evalúa por medios

diferentes que un análisis estadístico de una serie de observaciones.

Para una estimación xi de un argumento Xi que no se obtuvo de observaciones repetidas,

la varianza estimada asociada u2(xi ) o la incertidumbre estándar u(xi ) son evaluadas mediante

juicios y criterios científicos basados en toda la información disponible sobre la variabilidad de

Xi . Esta información puede incluir:

- datos de mediciones anteriores;

- experiencia con el conocimiento general de las características y el comportamiento y las

propiedades de los materiales e instrumentos relevantes;

- especificaciones de los fabricantes;

- datos obtenidos tanto de los certificados de calibración y otros tipos de certificados;

- incertidumbres asignadas a datos de referencia tomados de manuales.

Por conveniencia, u2(xi ) y u(xi ), evaluadas de este modo, son algunas veces llamadas

varianza Tipo B e incertidumbre estándar Tipo B, respectivamente.

Nota. Cuando xi se obtiene a partir de una distribución a priori, la varianza asociada es

denotada, propiamente como u2(Xi ), pero, por simplicidad, se usan u

2(xi ) y u(xi ).

El uso adecuado de la información disponible para una evaluación Tipo B de la

incertidumbre estándar requiere de una visión basada en la experiencia y el conocimiento

general, y es una habilidad que se puede aprender con la práctica. Se debe reconocer que una

evaluación de la incertidumbre estándar Tipo B puede ser tan confiable como una evaluación

Tipo A, especialmente en una situación en donde una evaluación Tipo A se basa en un número

comparativamente pequeño de observaciones estadísticamente independientes.

Si la estimación xi se toma de una especificación del fabricante, de un certificado de



calibración, manual, u otra fuente y su incertidumbre asignada se establece como un múltiplo

particular de una desviación estándar, la incertidumbre estándar u(xi ) es simplemente el valor

asignado dividido por el multiplicador, y la varianza estimada u2(xi ) es el cuadrado de dicho

cociente.

Ejemplo. Un certificado de calibración establece que la masa ms de un patrón de masa

hecho de acero inoxidable, de valor nominal un kilogramo es 1 000,000 325 g y que “la

incertidumbre de este valor es 240 g al nivel de tres desviaciones estándar”. La incertidumbre

estándar del patrón de masa es entonces simplemente u(ms ) = 240 g/3 = 80 g. Esto

corresponde a una incertidumbre estándar relativa u(ms )/ms de 80 X 10-9

. La varianza estimada

es u2(ms ) = (80 g)

2 = 6,4 X 10

-9 g

2.

Nota. En muchos casos, se proporciona poca o ninguna información acerca de las

componentes individuales a partir de los cuales se ha obtenido la incertidumbre asignada. Esto

generalmente no es importante para la expresión de la incertidumbre de acuerdo a las prácticas

de este escrito ya que todas las incertidumbres estándar de tratan del mismo modo cuando se

calcula la incertidumbre estándar combinada del resultado de la medición

La incertidumbre asignada a xi no necesariamente está dada como un múltiplo de una

desviación estándar. En lugar de eso, se puede encontrar que la incertidumbre asignada define un

intervalo con un nivel de confianza de 90, 95 o 99 por ciento. A menos que se indique otra cosa,

uno puede suponer que se usó una distribución normal para calcular la incertidumbre asignada, y

recuperar la incertidumbre estándar de xi dividiendo la incertidumbre asignada por el factor

apropiado para la distribución normal. Los factores correspondientes a los tres niveles de

confianza mencionados son 1,64; 1,96; y 2,58.

TABLA NÚMERO 3. FACTORES k PARA DIFERENTES NIVELES DE CONFIANZA

NIVEL DE CONFIANZA FACTOR k

50 % 0,67

68,3 % 1

90 % 1,64

95 % 1,96

95,45 % 2

99 % 2,58

97,3 % 3

Ejemplo. Un certificado de calibración declara que la resistencia de un resistor patrón Rs

de valor nominal diez ohms, tiene una resistencia de 10,000 742 129 a 23 0C y que “la

incertidumbre asignada de 129 define un intervalo con un nivel de confianza de 99 por

ciento”. La incertidumbre estándar del resistor se puede tomar como u(Rs ) = (129 )/2,58 = 50

, que corresponde a una incertidumbre estándar relativa u(Rs /Rs) de 5,0 X 10-6

. La varianza

estimada es u2(Rs) = (50 )

2 = 2,5 X 10

-9

2.



Considere el caso donde, con base en la información disponible, es posible establecer que

“existe una probabilidad cincuenta-cincuenta de que el valor del argumento Xi se encuentre en el

intervalo de a- hasta a+ (en otras palabras, la probabilidad de que Xi caiga dentro de este

intervalo es 0,5 o 50 por ciento). Si puede suponerse que la distribución de valores posibles de Xi

es aproximadamente normal, entonces la mejor estimación xi de Xi se puede tomar como el

punto medio de tal intervalo. Adicionalmente, si la mitad del ancho del intervalo se denota como

a=(a+ - a-)/2, uno pude tomar u(xi ) = 1,48 a, por que para una distribución normal con valor

esperado y desviación estándar el intervalo /1,48 incluye aproximadamente al 50 por

ciento de la distribución.

Ejemplo. Un mecánico, al determinar las dimensiones de un objeto, estima que su

longitud se encuentra, con probabilidad de 0,5 en el intervalo que va de 10,07 mm a 10,15 mm, e

informa que l=(10,11 0,04) mm, queriendo decir que 0,04 mm define un intervalo con un

nivel de confianza del 50 por ciento. Entonces a = 0,04 mm, y si se supone una distribución

normal para los posibles valores de l, la incertidumbre estándar de la longitud es u(l) = 1,48 X

0,04 mm 0,06 mm y la varianza estimada es u2(l) = (1,48 X 0,04 mm)

2 = 3,5 X 10

-3 mm

2.

Considere un caso similar al del inciso anterior pero donde, con base a la información

disponible, es posible establecer que “existen alrededor de dos de cada tres posibilidades de que

el valor de Xi se encuentre en el intervalo de a- hasta a+” (en otras palabras, la probabilidad de

que Xi esté dentro de ese intervalo es alrededor de 0,67). Entonces razonablemente es posible

tomar u(xi ) = a, por que para una distribución normal con esperanza y desviación estándar el

intervalo comprende alrededor del 68,3 por ciento de la distribución.

Nota. Si se usara el valor de la desviación normal real de 0,96742, correspondiente a una

probabilidad p = 2/3, esto es, si se escribiera u(xi ) = a/0,96742 = 1,033 a, ello daría al valor de

u(xi ) considerablemente un significado mayor de lo que está obviamente garantizado.

En otros casos puede que sea posible estimar sólo los límites (superior o inferior) para Xi ,

en particular, para establecer que “la probabilidad de que el valor de Xi esté dentro del intervalo

de a- hasta a+ para todos los propósitos prácticos es igual a uno y la probabilidad de que Xi caiga

fuera de ese intervalo es esencialmente cero”. Si no existe un conocimiento específico acerca de

los posibles valores de Xi dentro del intervalo, uno puede únicamente suponer que es igualmente

probable para Xi tomar cualquier valor dentro del intervalo (una distribución uniforme o

rectangular de valores posibles). Entonces xi , la esperanza o valor esperado de Xi es el punto

medio del intervalo, xi = (a- + a+)/2, con varianza asociada

)9(......12/)(22

aaxu

i

Si la diferencia entre los límites, a+ - a-, se denota por 2a, entonces la ecuación (9) se

convierte en

)10(......3/22 axui



Nota. Cuando una componente de la incertidumbre determinada de esta manera contribuye

significadamente a la incertidumbre del resultado de una medición, es prudente obtener datos

adicionales para su posterior evaluación.

Ejemplos.

1 Un manual establece el valor del coeficiente de expansión lineal térmica del cobre puro

a 20 0C, 20 (Cu), como 16,52 X 10

-6 0C

-1 y simplemente declara que “el error en este valor no

debería exceder 0,40 X 10-6

0C

-1”. Basados en esta información limitada, es razonable suponer

que el valor de 20 (Cu) se encuentre, con igual probabilidad, en el intervalo que va de 16,12 X

10-6

0C

-1 a 16,92 X 10

-6 0C

-1, y que es muy poco probable que el valor de 20 (Cu) este fuera de

este intervalo. La varianza de esta distribución rectangular simétrica de valores posibles de 20

(Cu), con un semiintervalo igual a a = 0,40 X 10-6

0C

-1 es entonces, de la ecuación (10), u

2(20) =

(0,40 X 10-6

0C

-1)2/3 = 53,3 X 10

-15 0C

-2, y la incertidumbre estándar es

u(20) = (0,40 X 10-6

0C

-1)/3 = 0,23 X 10

-6 0C

-1.

2 Las especificaciones de un fabricante para un vóltmetro digital establecen que “entre

uno y dos años después de que el instrumento es calibrado, su exactitud en la escala de 1 V es 14

X 10-6

veces la lectura más 2 X 10-6

veces la escala”. Considere que el instrumento se usa 20

meses después de la calibración para medir en su escala de 1 V una diferencia de potencial V. Se

encuentra que la media aritmética de varias observaciones independientes repetidas de V es _

V =

0,928 571 V con una incertidumbre estándar Tipo A u(_

V ) = 12 V. Se puede obtener la

incertidumbre estándar asociada con las especificaciones del fabricante de una evaluación Tipo

B, suponiendo que la exactitud declarada proporciona límites simétricos para una corrección

aditiva de _

V , _

V , de esperanza igual a cero y con igual probabilidad de que se encuentre en

cualquier lugar dentro de los límites. El semiintervalo a de la distribución rectangular simétrica

de valores posibles de _

V es entonces a = (14 X 10-6

) X (0,928 571 V) + (2 X 10-6

X 1V) = 15

V, y de la ecuación (10), u2(

_

V ) = 75 V2 y u(

_

V ) = 8,7 V. La estimación del valor del

mensurando V, por simplicidad denotada con el mismo símbolo V, esta dado por V = _

V + _

V =

0,928571 V. Se puede obtener la incertidumbre estándar combinada de esta estimación

combinando la incertidumbre estándar Tipo A de 12 V de _

V con la incertidumbre estándar

Tipo B de 8,7 V de _

V .

En el ejemplo anterior los límites superior e inferior, a+ y a-, respectivamente, del

argumento Xi podrían no ser simétricos con respecto a su mejor estimación xi; más

específicamente si el límite inferior se escribe como a- = xi – b- y el límite superior como a+ = xi

+ b+, entonces b- b+. Debido a que en este caso xi (que se supone que es la esperanza de Xi) no

está en el centro del intervalo de a- hasta a+, la distribución de probabilidad de Xi no puede ser



uniforme en todo el intervalo. Sin embargo, podría no haber suficiente información disponible

para escoger una distribución adecuada; diferentes modelos conducirán a diferentes expresiones

para la varianza. En ausencia de tal información la aproximación más simple es:

)11(......

1212)(

22

2

aabb

xui

la cual es la varianza de una distribución rectangular con ancho b+, + b-.

EJEMPLO - Si en el ejemplo 1 anterior el valor del coeficiente de expansión térmica se

da en el manual como 20 (Cu) = 16,52 X 10-6

0C

-1 y se establece que “el valor posible más

pequeño es 16,40 X 10-6

0C

-1 y el valor posible más grande de 20 (Cu), es 16,92 X 10

-6 0C

-1”,

entonces b-=0,12 X 10-6 0

C-1

,b+ =0,40 X 10-6 0

C-1

y, de la ecuación (11), u(20) = 0,15 X 10-6 0

C-1

.

Notas.

1 En muchas situaciones práctica de medición en donde los límites son asimétricos,

podría ser apropiado aplicar una corrección a la estimación xi cuya magnitud sea igual a

(b+ - b-)/2 de tal modo que la nueva estimación x´i, de Xi esté en el punto medio de los límites: x’i = (a- + a+)/2. Esto reduce la situación del caso anterior, con nuevos valores b´+ = b´- = (b+ + b-)/2

= (a+ - a-)/2 = a.

2 Con base en el principio de la máxima entropía, puede demostrarse que en la función de

densidad de probabilidad en el caso asimétrico es p(Xi) = A exp[- (Xi – xi)], donde A = [b-

exp(b-) + b+ exp(- b+)]-1

y = {exp[(b- + b+) – 1}/{b- exp[(b- + b+)] + b+ }. Esto conduce a

la varianza u2(xi) = b+b- - (b+ - b-)/; para b+ > b-, > 0 y para b+ < b-, < 0.

En los párrafos anteriores, debido a que no había conocimiento específico acerca de los

posibles valores de Xi dentro de sus límites estimados a- y a+, era posible suponer únicamente

que para Xi era igualmente probable tomar cualquier valor dentro de estos límites, con

probabilidad cero de caer fuera de ellos. Tales discontinuidades de la función escalón en una

distribución de probabilidad no tienen, frecuentemente, sentido físico. En muchos casos es más

realista esperar que los valores cercanos a los límites sean menos probables que aquellos que

están cerca del punto medio. Es entonces razonable reemplazar la distribución rectangular

simétrica con una distribución trapezoidal simétrica con igual pendiente en ambos lados (un

trapezoide isósceles), una base inferior de longitud a+ - a- = 2a, y una base superior de longitud

2a, donde 0 1. Conforme 1 esta distribución trapezoidal se aproxima a la

distribución rectangular, mientras que para = 0 ésta es una distribución triangular. Suponiendo

tal distribución trapezoidal para Xi, uno encuentra que la esperanza de Xi es xi = (a- + a+)/2 y su

varianza asociada es:

a)12......(6/1222 axu

i



la cual se convierte para la distribución triangular, con = 0, en

)b12(......6/22 axui

Notas.

1 Para una distribución normal con esperanza y desviación estándar , el intervalo +

3 cubre aproximadamente 99,73 por ciento de la distribución. Entonces, si los límites superior e

inferior a+ y a- definen límites al 99,73 por ciento, en lugar de límites al 100 por ciento, y puede

suponerse que Xi tiene una distribución aproximadamente normal, en lugar de asumir que no se

tiene información sobre Xi entre los límites, entonces u2(xi ) = a

2/9. Para fines de comparación,

la varianza de una distribución rectangular simétrica con semiintervalo a es a2/3 [ecuación (10)]

y la de una distribución triangular simétrica con semiintervalo a es a2/6 [ecuación(12b)]. La

magnitud de las varianzas de las tres distribuciones son sorprendentemente similares dadas las

grandes diferencias en la cantidad de información requerida para justificarlas

2 La distribución trapezoidal es equivalente a la convolución de dos distribuciones

rectangulares, con un semiintervalo a1 igual al promedio de la longitud del semiintervalo de una

distribución trapezoidal, a1 = (1 + )/2, la otra con un semiintervalo a2 igual al promedio de la

longitud de una de las porciones triangulares del trapezoide, a2 = a (1 - )/2. La varianza de la

distribución es u2 = a1

2/3 + a2

2/3. La distribución convolucionada se puede interpretar como una

distribución rectangular cuyo ancho, 2a1, tiene una incertidumbre propia representada por una

distribución rectangular de ancho 2a2 y que modela el hecho de que los límites de un argumento

no son exactamente conocidos. Pero aún si a2 es tan grande como un 30 por ciento de a1, u es

mayor que a1/3 por menos del 5 por ciento.

Es importante no “contar dos veces” las componentes de la incertidumbre. Si una

componente de incertidumbre que resulta de un efecto en particular se obtiene a partir de una

evaluación Tipo B, debería incluirse como una componente independiente de incertidumbre en el

cálculo de la incertidumbre estándar combinada del resultado de la medición únicamente si el

efecto no contribuye a la variabilidad apreciada en las observaciones. Esto es así por que la

incertidumbre debida a la porción del efecto que contribuye a la variabilidad observada está ya

incluida en la componente de la incertidumbre obtenida a partir del análisis estadístico de las

observaciones.

La discusión sobre la evaluación Tipo B de la incertidumbre estándar se debe obtener

sólo como una serie de indicaciones. Adicionalmente, las evaluaciones de incertidumbre

deberían basarse en datos cuantitativos tanto como sea posible.

Ilustración gráfica de la evaluación de la incertidumbre estándar.

La figura 3 representa la estimación del valor de un argumento Xi y la evaluación de la

incertidumbre de esa estimación a partir de la distribución desconocida de los posibles valores

medidos de Xi , o la distribución de probabilidad de Xi la cual se muestra mediante

observaciones repetidas.



FIGURA NÚMERO 3. ILUSTRACION GRÁFICA DE LA EVALUACIÓN DE LA

INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR DE UN ARGUMENTO A PARTIR

DE OBSERVACIONES REPETIDAS



En la figura 3a se supone que el argumento Xi es una temperatura y que su distribución

desconocida es una distribución normal con esperanza t = 100 0C y desviación estándar = 1,5

0C. Su función de densidad de probabilidad es entonces

222/

2

1)(

tt

etp

La figura 3b muestra un histograma de n = 20 observaciones repetidas de tk de la

temperatura t que se supone han sido tomadas aleatoriamente de la distribución de la figura 3a.

Para obtener el histograma, las 20 observaciones o muestras, cuyos valores se dan en la tabla 4,

se agrupan en intervalos de 1 0C. (La preparación de histogramas, por supuesto, no se requiere

para el análisis estadístico de datos.)

La media aritmética o promedio _

t de las n = 20 observaciones calculada de acuerdo a la

ecuación (3) es _

t = 100,145 0C, asumiéndose que es la mejor estimación de la esperanza t de t

basada en los datos disponibles. La desviación estándar experimental s(tk ) calculada usando la

ecuación (4) es s(tk ) = 1,489 0C 1,49

0C, y la desviación estándar experimental de la media

s(_

t ) calculada usando la ecuación (5), la cual es la incertidumbre estándar u(_

t ) de la media _

t ,

es:

C0,33C333,020

00 ktststu

Tabla 4. Veinte observaciones repetidas de la temperatura t agrupadas en intervalos de 1 0C.

Intervalo t1 t t2 Temperatura

t1 / 0C t2 /

0C t /

0C

94,5

95,5

96,5

97,5

98,5

99,5

100,5

101,5

102,5

103,5

104,5

95,5

96,5

97,5

98,5

99,5

100,5

101,5

102,5

103,5

104,5

105,5

---

---

96,90

98,18;98,25

98,61;99,03;99,49

99,56;99,74;99,89;100,07;100,33;100,42

100,68;100,95;101,11;101,20

101,57;101,84;102,36

102,72

---

---



Nota - Aunque los datos de la tabla 4 son razonables considerando el amplio uso de los

termómetros digitales electrónicos de alta resolución, sólo tienen propósitos ilustrativos y no se

deben interpretar como descripciones de una medición real.

La figura 4 representa la estimación del valor del argumento Xi y la evaluación de la

incertidumbre de esa estimación a partir de una distribución a priori de valores posibles de Xi , o

distribución de probabilidad de Xi , basada en toda la información disponible. Para los dos casos

mostrados, se supone que el argumento es, nuevamente, una temperatura t.

Para el caso ilustrado en la figura 4a, se asume que se dispone de poca información

acerca del argumento t y que todo lo que se puede hacer es suponer que t está descrita mediante

una distribución de probabilidad a priori simétrica y rectangular, con límite inferior a- = 96 0C,

límite superior a+ = 104 0C , y por lo tanto, un semiintervalo a = (a+ - a-)/2 = 4

0C. La función de

densidad de probabilidad de t es entonces

ataa

tp ,2

1

caso otrocualquier en ,0tp

Como se indico anteriormente, la mejor estimación de t es su esperanza t = (a+ - a-)/2 =

100 0C. La incertidumbre estándar de esta estimación es u(t ) = a/3 2,3

0C.

Para el caso ilustrado en la figura 4b, se supone que la información disponible acerca de t

está menos limitada y que t se puede describir mediante una distribución de probabilidad a priori

simétrica, triangular con el mismo límite inferior a- = 96 0C, el mismo límite superior a+ = 104

0C y, por lo tanto, con el mismo semiintervalo a = (a+ - a-)/2 = 4

0C.

La función de densidad de probabilidad de t es entonces

2/,/ 2

aataaattp

ataaatatp 2/,/ 2

caso otrocualquier en ,0)( tp

Como se indico anteriormente, la esperanza de t es t = (a+ + a-)/2 = 100 0C. La

incertidumbre estándar de esta estimación es u(t ) = a/6 1,6 0C [ver ecuación (12b)].

El valor anterior, u(t ) = 1,6 0C, se puede comparar con u(t ) = 2,3

0C obtenido

anteriormente a partir de una distribución rectangular del mismo ancho de 8 0C; con = 1,5

0C

de la distribución normal de la figura 3a cuyo ancho de – 2,58 a + 2,58, que incluye el 99 por

ciento de la distribución, es cercano a 8 0C; y con u(t) = 0,33

0C obtenido anteriormente a partir

de 20 observaciones que se supone fueron tomadas aleatoriamente de la misma distribución

normal



FIGURA NÚMERO 4. ILUSTRACIÓN GRÁFICA DE LA EVALUACIÓN DE LA

INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR DE UN ARGUMENTO A PARTIR DE UNA

DISTRIBUCIÓN A PRIORI.



Determinación de la incertidumbre estándar combinada.

Argumentos no correlacionados.

La incertidumbre estándar de y, donde y es la estimación del mensurando Y y por lo tanto

el resultado de la medición, se obtiene combinando apropiadamente las incertidumbres estándar

de las estimaciones de los argumentos x1, x2, ... , xN . Esta incertidumbre estándar combinada de

la estimación y se denota por uc (y).

La incertidumbre estándar combinada uc (y) es la raíz cuadrada positiva de la varianza

combinada uc2 (y), la cual está dada por:

)13(...2

1

2

2

i

N

i i

cxu

x

fYu

donde f es la función dada en la ecuación 1. Cada u(xi ) es una incertidumbre estándar evaluada

como se describió anteriormente en la evaluación Tipo A o evaluación Tipo B. La incertidumbre

estándar combinada uc (y) es una desviación estándar estimada que caracteriza la dispersión de

los datos que pueden ser razonablemente atribuidos al mensurando Y.

La ecuación (13) y su contraparte para argumentos correlacionados, ecuación (16), las

cuales están basadas en una aproximación en serie de Taylor a primer orden de Y = f (X1, X2, ... ,

XN ), expresan lo que se denomina la ley de propagación de incertidumbres.

Nota. Cuando la no linealidad de f es significativa, se deben de incluir términos de mayor

orden de la expansión en serie de Taylor de la expresión para uc2 (y), ecuación (13). Cuando la

distribución de cada Xi es simétrica alrededor de su promedio, los términos más importantes del

siguiente orden mayor que se deben sumar a los términos de la ecuación (13) son:

j

N

i

i

N

j jiiji

xuxuxx

f

x

f

xx

f 2

1

2

12

32

2

2

1

Las derivadas parciales f/xi son iguales a f/Xi evaluadas en Xi = xi . Estas derivadas,

llamadas frecuentemente coeficientes de sensibilidad, describen cómo la estimación y varía con

los cambios en las estimaciones de los argumentos x1, x2, ..., xN. En particular, el cambio en y

producido por un cambio pequeño xi en la estimación del argumento xi está dado por (y)i =

(f/xi ) (xi). Si este cambio es generado por la incertidumbre estándar de la estimación xi, la

correspondiente variación en y es (f/xi)u(xi). La varianza combinada uc2(y) puede entonces ser

vista como una suma de términos, cada uno de los cuales representa la varianza estimada

asociada con la estimación del mensurando y generada por la varianza estimada asociada con

cada estimación xi. Esto sugiere escribir la ecuación (13) como



N

i

N

i

iiicyuxucyu

1 1

222)a14(...

donde

)b14(...,iii

i

ixucyu

x

fc

NOTAS

1 Hablando estrictamente, las derivadas parciales son f/xi = f/Xi evaluadas en las

esperanzas de Xi. Sin embargo, en la práctica, las derivadas parciales se estiman mediante

N

ii

xxxX

f

x

f.....,,,

21

2 La incertidumbre estándar combinada uc(y) se puede calcular numéricamente si se

sustituye ciu(xi) en la ecuación (14a) por

NiiNiiii xxuxxfxxuxxfZ ,...,,...,,...,,...,2

11

Esto es, ui(y) es evaluada numéricamente calculando el cambio en y debido al cambio en

xi de + u(xi) a – u(xi). El valor de ui(y) entonces puede ser tomada como Zi y el valor del

correspondiente coeficiente de sensibilidad ci como Zi/u(xi).

EJEMPLO. En el ejemplo de la página 22, usando, por simplicidad de notación, el mismo

símbolo para la cantidad y su estimación

VPttRVVPc /21/2/ 001

00

2

0

2

02 /1// RPttRVRPc

00

2

000

2

3 1/1// ttttPttRttVPc

0

2

00

2

4 1/1// ttPttRVtPc

y

tut

Pu

PRu

R

PVu

V

PPu 2

2

2

2

0

2

2

0

2

2

2

24

2

3

2

02

2

1 tucucRucVuc



PuPuPuPuPu2

4

2

3

2

2

2

1

2

Los coeficientes de sensibilidad f/xi , en lugar de ser calculados a partir de la función f,

algunas veces son determinados experimentalmente: se mide el cambio en Y producido por un

cambio en una Xi particular, manteniéndose constantes las demás. En este caso, el conocimiento

de la función f ( o una porción de estas cuando solamente algunos coeficientes de sensibilidad

son determinados de esta manera) se ve reducido a una expansión en serie de Taylor de primer

orden experimental basada en los coeficientes de sensibilidad medidos.

Si la ecuación (1) para el mensurando Y es expandida alrededor de los valores nominales

Xi,0 de los argumentos Xi, entonces, a primer orden (que es usualmente una aproximación

adecuada), Y = Y0 + c11 + c22 + ... + cNN, donde Y0 = f(X1,0, X2,0, ... , XN,0), ci = (f/Xi)

evaluada en Xi,0, y i = Xi – Xi,0. Así para los propósitos de un análisis de incertidumbres, un

mensurando es usualmente aproximado por una función lineal de sus variables al transformar sus

argumentos de Xi a i.

Ejemplo. Del ejemplo 2 de la página 31, la estimación del valor del mensurando V es V =

V +

V , donde

V = 0,928571 V, u(

V ) = 12 V, la corrección aditiva

V = 0, y u(

V ) = 8,7

V. Ya que V/

V = 1 y V/(

V ) = 1, la varianza combinada asociada con V está dada por

1222222

10219V7,8V12 VuVuuc

y la incertidumbre estándar combinada es uc(V) = 15 V, la cual corresponde a una

incertidumbre estándar combinada relativa uc(V)/V de 16 X 10-6

. Este es un ejemplo del caso

donde el mensurando es una función lineal de las magnitudes de que depende, con coeficientes ci

= + 1. Se sigue de la ecuación (13) que si Y = c1X1 + c2X2 + ... + cNXN y si las constantes ci = + 1

o – 1, entonces

N

i

ic xuyu1

22

Si Y es de la forma

NP

N

PPXXcXY ...21

21

y los exponentes pi son números conocidos positivos o negativos que tienen incertidumbres

despreciables, la varianza combinada, ecuación (13), se puede expresar como

N

i

iiicxxupyyu

1

22)15(...//



Esta ecuación tiene la misma forma que la (14a) pero con la varianza combinada uc2 (y)

expresada como una varianza combinada relativa [uc (y)/y)2 y la varianza estimada u

2(xi )

asociada con cada estimación de los argumentos como una varianza relativa estimada [u(xi )/xi ]2.

(La incertidumbre estándar combinada relativa es uc (y)/y y la incertidumbre estándar relativa de

cada estimación de los argumentos es u(xi )/xi , y 0 y xi 0.)

Notas:

1 Cuando Y tiene esta forma, su transformación a una función lineal de variables se

realiza fácilmente haciendo Xi = Xi ,0 ( 1 + i ), donde se sigue la relación: (Y - Y0)/Y0 = N

i =1 p1

i . Por otro lado, la transformación logarítmica Z = ln Y y Wi = ln Xi conduce a una

linealización exacta en términos de las nuevas variables: Z = ln c + N

i =1 pi Wi .

2 Si cada pi es o +1 o -1, la ecuación (15) se puede escribir como

N

i

iic xxuyyu1

22//

la cual muestra que para cada caso especial la varianza combinada relativa asociada a la

estimación de y es simplemente igual a la suma de las varianzas relativas estimadas asociadas

con las estimaciones de los argumentos de xi .

Argumentos correlacionados52

.

La ecuación (13) y las deducidas a partir de ellas, tales como las ecuaciones (14) y (15)

son válidas solamente si los argumentos Xi son independientes o no correlacionados (las

variables aleatorias, no las cantidades físicas que son asumidas como invariantes). Si algunas de

las Xi están significativamente correlacionados, las correlaciones se deben tomar en cuenta.

Cuando los argumentos están correlacionados, la expresión apropiada para la varianza

combinada uc2 (y) asociada al resultado de la medición es

N

i

N

j

ji

ji

c xxux

f

x

fyu

1 1

2,

N

i

N

i

N

ij

ji

ji

i

i

xxux

f

x

fxu

x

f

1

1

1 1

2

2

)16(...,2

52

ISO 3534-1-1993, 1.13. CORRELACIÓN. La relación entre dos o más variables aleatorias dentro de una distribución de dos o más variables

aleatorias.



donde xi y xj son las estimaciones de Xi y Xj y u(xi ,xj ) = u(xj ,xi ) es la covarianza estimada

asociada con xi y xj . El grado de correlación entre xi y xj está caracterizado por el coeficiente

de correlación estimado

)17(...,

,ji

ji

jixuxu

xxuxxr

donde r(xi , xj ) = r(xj ,xi ), y -1 r(xi , xj ) +1. Si las estimaciones xi y xj son independientes

r(xi , xj ) = 0, y un cambio en una de ellas no implica un cambio en la otra.

En términos de coeficientes de correlación, que son más fácilmente interpretables que las

covarianzas, el término de covarianza de la ecuación (16) se puede escribir como

1

1 1

)18(...,2N

i

N

ij

jiji

ji

xxrxuxux

f

x

f

La ecuación (19) se puede escribir entonces, con la ayuda de la ecuación (14b), como

N

i

N

i

N

ij

jijijiiicxxrxuxuccxucyu

1

1

1 1

222)19(...,2

Notas:

1 Para el caso muy especial donde todas las estimaciones de los argumentos están

correlacionados con coeficientes de correlación r(xi , xj ) = +1, la ecuación (19) se reduce a

2

1

2

1

2

N

i

i

i

N

i

iic xux

fxucyu

La incertidumbre estándar combinada uc (y) es, por lo tanto, simplemente la raíz cuadrada

positiva de una suma lineal de términos que representan la variación de las estimaciones del

mensurando y generada por la incertidumbre estándar de cada estimación de los argumentos xi .

(Esta suma lineal no se debe confundir con la ley general de propagación de errores que tiene

una forma similar; las incertidumbres estándares no son errores.)

Ejemplo. Diez resistores, cada uno de resistencia nominal Ri = 1000 , son calibrados,

con una incertidumbre despreciable, por comparación con respecto a la resistencia patrón Rs de

1000 caracterizada por una incertidumbre estándar u(Rs ) = 100 m, de acuerdo con su

certificado de calibración. Los resistores son conectados en serie con alambres de resistencia

despreciable para obtener una resistencia de referencia Rref de valor nominal 10 k. Así que:



10

1i

iiref RRfR

Puesto que r(xi , xj ) = r(Ri , Rj ) = +1 para cada par de resistencias, la ecuación de esta

nota se aplica. Dado que para cada resistencia f/xi = Rref /Ri = 1, y u(xi ) = u(Ri ) = u(Rs ),

esta ecuación da como resultado para la incertidumbre estándar combinada de Rref ,

10

1

1m10010i

sref RuRu

Así que el resultado

32,02

1

10

1

2

i

srefc RuRu

Obtenido de la ecuación (13) es incorrecto ya que no se toma en cuenta que todos los

valores de las calibraciones de las diez resistencias están correlacionados.

2 Las varianzas estimadas u2(xi ) y las covarianzas estimadas u(xi , xj ) se pueden

considerar como los elementos de una matriz de covarianzas con elementos uij . Los elementos

de la diagonal uii de la matriz son las varianzas u2(xi ) mientras que los elementos fuera de la

diagonal uij (i j ) son las covarianzas u(xi ,xj ) = u(xj ,xi ). Si las estimaciones de dos

argumentos no están correlacionadas, su covarianza asociada y los elementos correspondientes

uij y uji de la matriz de covariancias son 0. Si las estimaciones de todos los argumentos no son

correlacionadas, todos los elementos fuera de la diagonal son cero y la matriz de covarianza es

diagonal.

3 Para propósitos de evaluación numérica, la ecuación (19) se puede escribir como

N

i

N

j

jijic xxrZZyu1 1

2,

4 Si las Xi son de forma especial y además están correlacionadas, entonces los términos

1

1 1

,//2N

i

N

ij

jijjjiii xxrxxupxxup

se deben agregar al lado derecho de la ecuación (15).

Considérense dos medias aritméticas q

y r

que estiman las esperanzas q y r de dos



variables aleatorias q y r y calcúlense q

y r

a partir de n pares independientes de observaciones

simultáneas de q y r hechas bajo las mismas condiciones de medición. Entonces la covarianza de

q

y r

se pueden estimar por

n

k

kkrrqq

nnrqs

1

____

)20(...1

1,

donde qk y rk son las observaciones individuales de las cantidades q y r, y q

y r

se calculan a

partir de las observaciones de acuerdo con la ecuación (3). Si, en efecto, las observaciones no

están correlacionadas, se espera que la covarianza calculada sea aproximadamente cero.

Así, la covarianza estimada de dos argumentos correlacionados Xi y Xj que se estima

mediante las medias X Xi j

y determinada a partir de pares independientes de observaciones

simultáneas está dada por u(xi , xj ) = s X Xi j

, , con s X Xi j

, calculada de acuerdo con la

ecuación (20). Esta aplicación de la ecuación (17) es una evaluación Tipo A de la covarianza. El

coeficiente de correlación estimado para Xi y Xj se obtiene de la ecuación (17).

Puede existir una correlación significativa entre dos argumentos si se han usado, para su

determinación, un mismo instrumento de medición, patrón físico de medición, o datos de

referencia que tengan una incertidumbre estándar significativa. Por ejemplo, si un cierto

termómetro es utilizado para determinar una corrección de temperatura requerida en la

estimación del argumento Xi , y el mismo termómetro se usa para determinar una corrección

similar de temperatura requerida en la estimación en la estimación del argumento Xj , los dos

argumentos podrían estar significativamente correlacionados. Sin embargo, si Xi y Xj en este

ejemplo se redefinen como las magnitudes no corregidas y las magnitudes que definen la curva

de calibración para el termómetro se incluyen como argumentos adicionales con incertidumbres

estándar independientes, se remueve la correlación entre Xi y Xj .

No se pueden ignorar las correlaciones entre argumentos cuando aquellas existen y son

significativas. Las covarianzas asociadas se deben evaluar experimentalmente, de ser posible,

variando los argumentos correlacionados, o usando la información disponible sobre la

variabilidad correlacionada de las magnitudes en cuestión (evaluación Tipo B de la covarianza).

La intuición basada en la experiencia y el conocimiento general son esencialmente requeridos

para estimar el grado de correlación entre argumentos que surgen de los efectos de influencias

comunes, tales como la temperatura ambiente, la presión barométrica, y la humedad.

Afortunadamente, en muchos casos, los efectos de tales influencias tienen interdependencia

despreciable y los argumentos pueden ser asumidos como no correlacionados. Sin embargo, si no

pueden suponerse no correlacionados, las correlaciones mismas pueden ser evitadas si se

consideran como argumentos adicionales las influencias comunes.



Determinación de la incertidumbre expandida.

Las diferentes asociaciones internacionales que trabajan sobre los temas de metrología,

abogan por el uso de la incertidumbre estándar combinada uc (y) como el parámetro para

expresar cuantitativamente la incertidumbre en el resultado de una medición.

Aunque uc (y) se puede usar universalmente para expresar la incertidumbre del resultado

de una medición, en algunas aplicaciones comerciales, industriales o regulatorias, y cuando la

salud o la seguridad están involucradas, frecuentemente es necesario proporcionar una medida de

la incertidumbre que define un intervalo alrededor del resultado de la medición que se espera

incluya una fracción grande de la distribución de valores que razonablemente pueden ser

atribuidos al mensurando.

Incertidumbre expandida.

La medida adicional de la incertidumbre que cumple con el requisito de definir un

intervalo es llamada incertidumbre expandida y se designa por el símbolo U. La incertidumbre

expandida U se obtiene al multiplicar la incertidumbre estándar combinada uc (y) por un factor

de cobertura k:

)21(...yukUc

Entonces el resultado de una medición se expresa, convenientemente como Y = y U,

que se interpreta diciendo que la mejor estimación del valor atribuible al mensurando Y es y, y

que se espera que el intervalo que va de y - U a y + U abarque una fracción importante de la

distribución de los valores que razonablemente se pueden atribuir a Y . Tal intervalo también se

puede expresar como;

UyYUy

Los términos intervalo de confianza y nivel de confianza tienen definiciones específicas

en estadística y sólo se aplican al intervalo definido por U cuando se satisfacen ciertas

condiciones, incluyendo aquella de que todas las componentes de la incertidumbre que

contribuyen a uc (y) sean obtenidas de las evaluaciones Tipo A. Entonces, la palabra “confianza”

no se usa para modificar a la palabra “intervalo” cuando se hace referencia al intervalo definido

por U; y el término “intervalo de confianza” no se usa para hacer referencia a ese intervalo,

utilizándose, en cambio, el término “nivel de confianza”. Específicamente, se debe interpretar a

U como el valor que define un intervalo alrededor del resultado de la medición que abarca una

fracción grande p de la distribución de probabilidad caracterizada por ese resultado y también

por su incertidumbre estándar combinada, y p es la probabilidad de cobertura o nivel de

confianza del intervalo.

Cuando sea posible, el nivel de confianza p asociado con el intervalo definido por U



deberá ser estimado y declarado. Deberá de reconocerse que al multiplicar a uc(y) por una

constante no se añade nueva información, sino que se presenta a la información previamente

disponible en una forma diferente. Sin embargo, también se debe reconocer que en la mayoría de

los casos el nivel de confianza p (especialmente en los casos cuando p toma valores cercanos a la

unidad) es un tanto inseguro, no sólo por la limitación en el conocimiento de la distribución de

probabilidad caracterizada por y y por uc (y) (particularmente en los extremos), sino también por

la incertidumbre en uc (y) misma.

Elección del factor de cobertura.

El valor del factor de cobertura k se elige en base al nivel de confianza requerido para el

intervalo de y – U a y + U . En general, k tomará valores entre 2 y 3, que equivalen a los niveles

de confianza de 95,45 % y 99,73 %. Sin embargo, para ciertas aplicaciones especiales k podrá

estar fuera de este intervalo de valores. La experiencia y el conocimiento a fondo del uso que se

le dé a los resultados de las mediciones, pueden facilitar grandemente la selección del valor

apropiado para k.

Nota.

Ocasionalmente, es posible encontrar que una corrección conocida b de un efecto

sistemático no ha sido aplicada al resultado informado de una medición, por el contrario, se ha

tratado de tomar en cuenta este efecto ampliando la “incertidumbre” asignada al resultado. Esto

se debe evitar; sólo en circunstancias muy especiales no se aplicarán las correcciones para

efectos sistemáticos significativos conocidos al resultado de una medición. La evaluación de la

incertidumbre del resultado de una medición no deberá de confundirse con la asignación de

niveles de seguridad a una cantidad.

Idealmente, se debería ser capaz de elegir un valor especifico del factor de cobertura k

que determinaría al intervalo Y = y U = y kuc(y) correspondiente al nivel de confianza

particular p, tal como 95 o 99 por ciento; en forma equivalente, para un valor dado de k, sería

agradable poder establecer inequívocamente el nivel de confianza asociado con el intervalo. Sin

embargo, esto no es sencillo de hacer en la práctica ya que se requiere un conocimiento amplio

de la distribución de probabilidad caracterizada por el resultado de la medición y, y la

incertidumbre estándar combinada uc(y). Aunque estos parámetros son de importancia crítica,

son por sí mismos insuficientes para el propósito de establecer intervalos que tengan niveles de

confianza exactamente conocidos.

En donde la distribución de probabilidad caracterizada por y y por uc(y) es



aproximadamente normal y el número de grados de libertad efectivos de uc(y) es grande. Cuando

este es el caso, que ocurre frecuentemente en la práctica, es posible suponer que al tomar k = 2 se

obtiene un intervalo cuyo nivel de confianza es aproximadamente 95 %, y que al elegir k =3 se

obtiene un intervalo que tiene un nivel de confianza de aproximadamente el 99 por ciento.

Los principales institutos internacionales de metrología han seleccionado k = 2, por lo

que se considera recomendable adoptar este criterio, entonces

)22.....(2c

uU

La selección de un nivel de confianza particular que quiera darse a la expresión de la

incertidumbre, condiciona la selección del factor de cobertura, lo que implica evaluar los grados

de libertad efectivos de uc y determinar el valor de k por medio de la distribución “t-Student”.

Para muchas situaciones de medición prácticas, generalmente las siguientes condiciones

prevalecen:

a) La estimación y del mensurando Y se obtienen de iguales estimaciones de xi de

argumentos Xi cuyas distribuciones probabilísticas se conocen con suficiente certeza, tales como

la “normal” o “rectangular”.

b) Las incertidumbres estándar u(xi) de estas estimaciones, las cuales pudieran haber sido

obtenidas por evaluaciones tipo A o B, contribuyen proporciones similares para la obtención de

la incertidumbre combinada uc(y) del resultado de la medición y.

c) Es adecuada la aproximación lineal que implícitamente se indica en la Ley de

Propagación de las Incertidumbres, ecuación (3).

d) La incertidumbre de uc(y) es razonablemente pequeña cuando el número de grados de

libertad efectivos ef es grande, por ejemplo mayor que 10.

Para obtener los eff se utiliza la ecuación siguiente:

)23.....(

1

4

4

N

i i

i

c

effyu

yu

donde uc(y) es la incertidumbre estándar combinada del resultado de la medición y, ui(y) es la

incertidumbre estándar i-ésima tipo A o B y i son los grados de libertad correspondientes que se

utilizaron para el cálculo de ui(y).



TABLA NÚMERO 5. VALORES DE tp DE LA DISTRIBUCIÓN t PARA GRADOS DE

LIBERTAD QUE DEFINEN UN INTERVALO – tp A + tp QUE INCLUYEN LA FRACCIÓN

p DE LA DISTRIBUCIÓN.

Grados de

Libertad

Fracción p en por ciento

68,27(a)

90 95 95,45(a)

99 99,73(a)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

35

40

50

100

200

1,844

1,321

1,197

1,142

1,111

1,091

1,077

1,067

1,059

1,053

1,048

1,043

1,040

1,037

1,034

1,032

1,030

1,029

1,027

1,026

1,024

1,023

1,022

1,021

1,020

1,020

1,019

1,018

1,018

1,017

1,015

1,013

1,010

1,005

1,003

1,000

6,31

2,920

2,353

2,132

2,015

1,943

1,895

1,860

1,833

1,812

1,796

1,782

1,771

1,761

1,753

1,756

1,740

1,734

1,729

1,725

1,721

1,717

1,714

1,711

1,708

1,706

1,703

1,701

1,699

1,697

1,690

1,684

1,676

1,660

1,653

1,645

12,71

4,303

3,182

2,776

2,571

2,447

2,365

2,306

2,262

2,228

2,201

2,179

2,160

2,145

2,131

2,120

2,110

2,101

2,093

2,086

2,080

2,074

2,069

2,064

2,060

2,056

2,052

2,048

2,045

2,042

2,030

2,021

2,009

1,984

1,972

1,961

13,97

4,527

3,307

2,869

2,649

2,517

2,429

2,366

2,320

2,284

2,255

2,231

2,212

2,195

2,181

2,169

2,158

2,149

2,140

2,133

2,126

2,120

2,115

2,110

2,105

2,101

2,097

2,093

2,090

2,087

2,074

2,064

2,051

2,025

2,016

2,000

63,656

9,925

5,841

4,604

4,032

3,707

3,499

3,355

3,250

3,169

3,106

3,055

3,012

2,977

2,947

2,921

2,898

2,878

2,861

2,845

2,831

2,819

2,807

2,797

2,787

2,779

2,771

2,763

2,756

2,750

2,724

2,704

2,678

2,626

2,601

2,577

235,77

19,206

9,219

6,620

5,507

4,904

4,530

4,277

4,094

3,957

3,850

3,764

3,694

3,636

3,586

3,544

3,507

3,475

3,447

3,422

3,400

3,380

3,361

3,345

3,330

3,316

3,303

3,291

3,280

3,270

3,229

3,199

3,157

3,077

3,038

3,000

(a) Para una magnitud z descrita mediante una distribución normal con esperanza z y desviación estándar , el

intervalo z k incluye la fracción p = 68,27; 95,45; y 99,73 % de la distribución para k = 1, 2 y 3.



La determinación de i(y) de una incertidumbre estándar tipo A es fácilmente reconocible

a partir del número de mediciones de que se dispone, en cambio i(y) para una incertidumbre

estándar tipo B se determina a partir de la ecuación (7), quedando como,

)24.....(2

11

2

1

2

1

2

12

2

2

2

2

i

i

i

ii

i

i

i

ixu

xu

x

xuxu

x

xu

x

donde u(xi) es la incertidumbre del estimado xi y es igual a s(_

q ), que a su vez es un “estadístico”

que estima la desviación estándar de la distribución de probabilidad de _

q ; )()(_

ixq la

desviación estándar de la distribución de los valores de _

q que se obtendrían si las mediciones se

repitiesen un número infinito de veces. Al cociente entre paréntesis rectangulares se le conoce

como la “incertidumbre relativa de u(xi)” para evaluaciones estándar tipo B y su valor está en

función de la información disponible, quedando a juicio del metrólogo la estimación de la

confiabilidad de u(xi).

Por ejemplo, si en un caso particular se considera que u(xi) es confiable al 20 %, entonces

los grados de libertad de esta incertidumbre estándar relativa tipo B serán de (16),

12

2

2,02,0

2

i

i

i

xu

xu

ya que no pueden existir fracciones de grados de libertad se toma el entero inferior inmediato.

Informes de incertidumbre.

Guía general.

En general, conforme se avanza en la jerarquía de las mediciones, se requieren más

detalles acerca de cómo se obtuvieron el resultado de una medición y su incertidumbre. No

obstante, en cualquier nivel de dicha jerarquía, incluyendo las actividades comerciales y

reglamentarias en el mercado, trabajos de ingeniería en la industria, instalaciones de calibración

no primarias, investigación y desarrollo industrial, investigación académica, laboratorios de

calibración y patrones primarios industriales, los laboratorios nacionales y el BIPM, debería estar

disponible toda la información necesaria para la reevaluación de la medición para quienes



pudieran necesitarla. La diferencia primordial es que en los niveles más bajos de la cadena

jerárquica, la mayor parte de la información puede estar disponible en informes publicados de

calibración y prueba del sistema, especificaciones de prueba, certificados de prueba y

calibración, manuales de instrucciones, normas internacionales y nacionales, y reglamentos

locales

Cuando se proporcionan los detalles de la medición, incluyendo el método para la

evaluación de la incertidumbre, haciendo referencia a documentos publicados, como es frecuente

en casos cuando los resultados de la calibración se declaran en un certificado, es imperativo que

estas publicaciones se mantengan actualizadas de manera que sean consistentes con los

procedimientos de medición que realmente están utilizándose.

En la industria y el comercio cada día se hacen numerosas mediciones sin un informe

explícito de la incertidumbre. Sin embargo, muchas se efectúan con instrumentos sujetos a

calibraciones periódicas o a inspecciones legales. Si se sabe que los incrementos se trabajan en

conformidad a sus especificaciones o a los documentos normativos existentes que puedan

aplicarse a ellos, las incertidumbres de sus indicaciones pueden inferirse a partir de esas

especificaciones o de esos documentos normativos.

Aunque en la práctica la cantidad de información necesaria para documentar el resultado

de una medición depende del uso pretendido, el principio básico de lo que se requiere permanece

sin cambio: cuando se informa el resultado de una medición y su incertidumbre, es preferible

equivocarse suministrando demasiada información en lugar de suministrarla incompleta. Por

ejemplo, se puede:

a) describir claramente los métodos utilizados para calcular el resultado de la medición y

su incertidumbre a partir de las observaciones experimentales y los argumentos utilizados;

b) hacer listas de todas las componentes de la incertidumbre y documentar totalmente

sobre como fueron evaluadas;



c) presentar los análisis de datos de una manera tal que cada uno de sus pasos importantes

pueden ser seguidos de manera sencilla y el cálculo del resultado informado pueda ser repetido

de manera independiente, en caso de ser necesario;

d) proporcionar todas las correcciones y las constantes utilizadas en al análisis, así como

las fuentes de cada una de ellas.

Una prueba de la lista que antecede es preguntar “¿se ha proporcionado suficiente

información, de una manera suficientemente clara, de tal manera que el resultado pueda ser

actualizado en el futuro en caso de que se tenga disponible nueva información?”

Guía especifica.

Cuando se informa el resultado de una medición y cuando la medida de la incertidumbre

es la incertidumbre estándar combinada uc(y), se debe:

a) dar una descripción completa de cómo se define el mensurando Y;

b) dar el valor estimado y del mensurando Y y su incertidumbre estándar combinada

uc(y); dando siempre las unidades tanto de y como de uc(y);

c) incluir la incertidumbre estándar combinada relativa uc(y)/y, y 0, cuando sea

apropiado

d) dar la información detallada de cómo fueron obtenidos los resultados de la medición o

hacer referencia a un documento publicado que la contenga.

Si se juzgara útil para los posibles usuarios de los resultados de las mediciones, por

ejemplo, para ayudar en cálculos futuros de factores de cobertura o para asistir en la comprensión

de las mediciones, se debe indicar:

- los grados de libertad efectivos estimados veff;

- las incertidumbres estándar combinadas Tipo A y Tipo B, ucA(y) y ucB(y),

respectivamente, y sus grados de libertad efectivos estimados veffA y veffB.

Cuando la medida de la incertidumbre es uc(y), es preferible declarar el resultado

numérico de la medición en una de las cuatro maneras siguientes, con el propósito de evitar

malas interpretaciones. (Se supone que la magnitud cuyo valor se está informando es,

nominalmente, una masa patrón ms de 100 g; las palabras que se encuentran entre paréntesis

pueden ser omitidas por brevedad si uc se define en cualquier parte del documento que informa el

resultado.)

1) “ms = 100,021 47 g con (una incertidumbre estándar combinada) uc = 0,35 mg”.



2) “ms = 100,021 47(35) g. Donde el número entre paréntesis es el valor numérico de (la

incertidumbre estándar combinada) uc referido a los últimos dígitos correspondientes del

resultado citado.”

3) “ms = 100,02147(0,00035) g, donde el número entre paréntesis es el valor numérico de

(la incertidumbre estándar combinada) uc expresado en la unidad del resultado citado.”

4) “ms = (100,02147 0,00035) g, donde el número que sigue al símbolo es el valor

numérico de (la incertidumbre estándar combinada) uc y no un intervalo de confianza.”

Nota- El formato que usa el símbolo se debe evitar cada vez que sea posible ya que,

tradicionalmente, se le ha usado para indicar un intervalo que corresponde a un alto nivel de

confianza y puede, por tanto, ser confundida con la incertidumbre expandida. Aún más, aunque

el propósito de la advertencia en 4) es prevenir tal confusión, escribir Y = y uc(y) se puede

seguir malinterpretándose al hacer creer que implica, especialmente si la advertencia es

accidentalmente omitida, que se pretende una incertidumbre expandida con k = 1 y que el

intervalo y – uc(y) Y y + uc(y) tiene un nivel de confianza especificado p, es decir, aquel

asociado con la distribución normal, la interpretación de uc(y) en este sentido usualmente es

difícil de justificar.

Cuando se informen los resultados de una medición y cuando la medida de la

incertidumbre sea la incertidumbre expandida U = kuc(y), se debe:

a) dar una descripción completa de cómo se define el mensurando Y;

b) declarar el resultado de la medición como Y = y U y dar las unidades de y y de U;

c) incluir la incertidumbre expandida relativa U/y, y 0, cuando sea apropiado;

d) dar el valor de k usado para obtener U [o, para conveniencia del usuario del resultado,

dar tanto k, como uc(y)];

e) dar el nivel de confianza aproximado asociado con el intervalo Y = y U y declarar

como se determinó.

f) Dar la información mencionada en los puntos A) a D) o hacer referencia a un

documento publicado que la contenga.

Cuando la medida de la incertidumbre es U, es preferible, para máxima claridad, declarar

el resultado numérico de la medición como en el ejemplo siguiente. (Las palabras que se

encuentran entre paréntesis pueden ser omitidas por brevedad si U, uc y k son definidas en

cualquier parte del documento que informa el resultado.)



“ ms = (100,02147 0,00079) g, donde el número que sigue al símbolo es el valor

numérico de (una incertidumbre expandida) U = kuc, con U determinada a partir de (una

incertidumbre estándar combinada) uc = 0,35 mg y (un factor de cobertura) k = 2,26; basada en la

distribución t para = 9 grados de libertad, y define un intervalo estimado para tener un nivel de

confianza de 95 porciento.”

Si una medición determina simultáneamente a más de un mensurado, o sea, si suministra

dos o más estimados yi, entonces, además de dar yi y uc(yi), dar los elementos matriciales de la

covarianza u(yi, yj) o los elementos r(yi, yj) de la matriz de coeficientes de correlación (y es

preferiblemente mejor ambos).

El valor numérico del estimado y y de su incertidumbre estándar uc(y) o su incertidumbre

expandida U no deben ser dadas con un número excesivo de dígitos. Usualmente es suficiente

expresar uc(y) y U [así como las incertidumbres estándar u(xi) de los argumentos xi], con a lo más

dos dígitos significativos, aunque en algunos casos puede ser necesario retener dígitos

adicionales para evitar errores de redondeo en cálculos subsecuentes.

Al informar los resultados finales, puede ser algunas veces apropiado redondear

incertidumbres al dígito superior en lugar de al dígito más cercano. Por ejemplo, uc(y) = 10,47

m se puede redondear hasta 11 m. Sin embargo, el sentido común deberá prevalecer y un

valor como u(xi) = 28,05 Hz debe ser redondeado a 28 Hz. Las estimaciones de los argumentos y

el mensurando deben ser redondeados para ser consistentes con sus incertidumbres; por ejemplo,

si y = 10,05762 con una uc(y) = 27 m, y se debe redondear a 10,058 . Los coeficientes de

correlación deberían ser dados con una exactitud de tres dígitos si sus valores absolutos son

cercanos a la unidad.

En el informe detallado que describe como fueron obtenidos el resultado de una medición

y su incertidumbre, se debe;

A) dar el valor para cada estimación de los argumentos xi y su incertidumbre estándar

u(xi); dar, además, una descripción de cómo fueron obtenidas;

B) dar las covarianzas estimadas o coeficientes de correlación estimados

(preferentemente ambos) asociados con todas las estimaciones de los argumentos que están

correlacionados y los métodos utilizados para obtenerlos;

C) dar los grados de libertad para la incertidumbre estándar de cada estimación de

argumentos y el método utilizado para obtenerlo;

D) dar la relación funcional Y = f(X1, X2, ..., XN) y, cuando se considere útil, las derivadas

parciales o coeficientes de sensibilidad f/xi. Como sea, se debe proporcionar cualesquiera de

tales coeficientes determinados experimentalmente.



Nota. Dado que la relación funcional f puede ser extremadamente compleja o puede no

existir explícitamente sino únicamente como un programa computacional, puede no ser siempre

posible dar f y sus derivadas. La función f puede ser entonces descrita en términos generales o el

programa usado puede ser citado mediante una referencia apropiada. En tales casos, es

importante que quede claro como fueron obtenidos el estimado y, del mensurado Y así como su

incertidumbre estándar combinada uc(y).

Resumen del procedimiento para la evaluación y expresión de la incertidumbre.

Los pasos a seguir para evaluar y expresar la incertidumbre de los resultados de una

medición como se presentan en este escrito se pueden resumir como sigue:

1. Expresar matemáticamente, por medio de un modelo de medición, la relación entre el

mensurando Y y los argumentos Xi de los cuales depende Y: Y = f(X1, X2, ..., XN). La función f

deberá contener cualquier magnitud incluyendo las correcciones y factores de corrección que

puedan contribuir como una componente significativa de incertidumbre al resultado de la

medición.

2. Determinar xi , el valor estimado del argumento Xi, ya sea sobre la base de análisis

estadístico de una serie de observaciones o por otro método.

3. Evaluar la incertidumbre estándar u(xi) de cada estimación de x. Para la estimación de

un argumento obtenida a partir del análisis estadístico de una serie de observaciones, la

incertidumbre estándar se evalúa como una incertidumbre estándar Tipo A. Para el caso de una

estimación obtenida por otros métodos, la incertidumbre estándar u(xi) se evalúa como una

incertidumbre estándar Tipo B.

4. Evaluar las covarianzas asociadas con cualquiera estimaciones de los argumentos que

estén correlacionadas.

5. Calcular el resultado de la medición, esto es, la estimación y del mensurando Y , a

partir de la relación funcional f usando, para los argumentos Xi , las estimaciones xi obtenidas en

el paso 2.

6. Determinar la incertidumbre estándar combinada uc(y) del resultado de la medición y a

partir de las incertidumbres estándar y las covarianzas asociadas con las estimaciones xi . Si la

medición determina simultáneamente más de un resultado, calcule sus covarianzas.

7. Si es necesario declarar una incertidumbre expandida U cuyo propósito sea establecer

un intervalo de y – U a y + U que pueda esperarse abarque una fracción grande de la

distribución de valores que razonablemente puedan ser atribuidos al mensurando Y,

multiplíquese a la incertidumbre estándar combinada uc(y) por un factor de cobertura k,

típicamente en el intervalo de 2 a 3, para obtener U = kuc(y). Seleccione k sobre la base del nivel

de confianza requerido para el intervalo.



8. Informar el resultado de la medición y junto con su incertidumbre estándar combinada

uc(y) o su incertidumbre expandida U. Descríbase, como se obtuvieron y y uc(y) o U.

EJEMPLO.

Determinar el valor y la incertidumbre del resultado de la medición de la potencia

disipada por un resistor, la cual se realizo con un vóltmetro y un ampérmetro analógicos,

utilizando el circuito de la figura

Las características de los aparatos que se utilizaron son,

CARACTERÍSTICA VÓLTMETRO AMPÉRMETRO

ALCANCE 60 V 2,4 A

NÚMERO TOTAL DE DIVISIONES 120 120

CONSTANTE DE LECTURA, C 0,5 V/D 0,02 A/D

CLASE DE EXACTITUD 0,5 0,5

RESISTENCIA, 10 000 0,05

Las lecturas que se obtuvieron en los aparatos son,

CONJUNTO

NÚMERO

k

VÓLTMETRO

VM

DIVISIONES

AMPÉRMETRO

AM

DIVISIONES

1 116,4 100,1

2 116,2 99,8

3 116,6 100,2

4 116,3 100,1

5 116,6 100,3



SOLUCIÓN.

Las lecturas de los aparatos se multiplican por sus constantes para obtener los valores en

unidades eléctricas, quedando como

VMCV1 V

AMCA I

CONJUNTO

NÚMERO

k

TENSIÓN

V1

V

CORRIENTE

I A

1 58,20 2,002

2 58,10 1,996

3 58,30 2,004

4 58,15 2,002

5 58,30 2,006

a) Definición del mensurando.

El método de medición es indirecto, es decir la potencia disipada en el resistor se

determina en función de las magnitudes relacionadas funcionalmente con la magnitud a medir,

esto es la tensión y la corriente.

La corriente medida por el ampérmetro, I, es la misma que circula por la resistencia R,

pero la caída de tensión medida por el vóltmetro, V1, esta afectada por la caída de tensión en el

ampérmetro, VA, por lo que es necesario eliminar está caída (error sistemático) para determinar la

caída de tensión, V, en la resistencia.

Tomando en cuenta lo anterior, tenemos que la potencia disipada por la resistencia es,

IVP

pero,

IRVVVV A1A1

sustituyendo tenemos,

)a(2

A1A1 IRIVIIRVP

No se estiman relevantes los efectos por temperatura y otros factores, así que se

determinará la potencia y la incertidumbre de su medición a partir de la ecuación anterior.



De donde tenemos que la potencia se puede expresar funcionalmente como,

b).....(,,1 ARIVfP

b) Fuentes de incertidumbre.

Tomando en cuenta el procedimiento de la medición y el modelo matemático de la

medición de la potencia, podemos considerar como fuentes de incertidumbre las siguientes:

Medición de la tensión con el vóltmetro.

Medición de la intensidad de corriente con el ampérmetro.

Correlación entre las mediciones de tensión y corriente.

Clase de exactitud del vóltmetro.

Clase de exactitud del ampérmetro.

Valor de la resistencia del ampérmetro.

c) Evaluación de las incertidumbres estándar.

c1) Evaluación Tipo A de las incertidumbres estándar.

Las fuentes de incertidumbre que se pueden evaluar como tipo A, son las mediciones

repetidas de tensión y corriente, éstas se calculan con las fórmulas siguientes:

Valor medio (media aritmética) de una magnitud.

n

k

kqn

q1

_

)4.....(1

Varianza experimental de las observaciones,

n

k

kk qqn

qs1

22 )5(1

1

Desviación estándar experimental,

kk qsqs 2



Desviación estándar experimental de la media, que se considera igual a la incertidumbre

estándar experimental tipo A, tomando en cuenta que se tienen menos de 10 juegos de

observaciones,

)8.....(

__

tn

qsqsqu k

A

El factor de multiplicación t se obtiene utilizando la distribución “t de student” y un

factor de cobertura k = 2, que para 5 observaciones y (5 – 1) = 4 grados de libertad, de acuerdo

con la tabla número 2, es igual a,

4,1t

Aplicando las ecuaciones anteriores a las lecturas obtenidas tenemos,

n= 5, t = 1,4

TENSIÓN

Valor medio _

V

V

Varianza estándar

kVs 2

V2

Desviación estándar

kVs

V

Incertidumbre estándar

__

VsVu A

V

58,21 0,0080 0,089 0,056

CORRIENTE

Valor medio _

I A

Varianza estándar

kIs 2

A2

Desviación estándar

kIs

A

Incertidumbre estándar

__

IsIu A

A

2,002 0,000014 0,0037 0,0023

c2) Evaluación del coeficiente de correlación,

Ya que las medias de _

V e _

I se obtienen de observaciones simultáneas estas están

correlacionadas, siendo su coeficiente de correlación,

__

__

__,

,

IsVs

IVs

IVr

Donde la estimación de la covarianza del promedio de los argumentos es,



n

k

kk IIVVnn

IVs1

____

1

1,

La sumatoria se puede calcular como,

n= 5

Conjunto número

k

_

VVk

_

II k

__

IIVV kk

1

2

3

4

5

- 0,01

- 0,11

0,09

- 0,06

0,09

0,000

- 0,006

0,002

0,000

0,004

0,00

0,000660

0,000180

0,00

0,000360

= 0,001200

Sustituyendo valores tenemos,

00006,0

155

001200,0,

__

IVs

De donde el coeficiente de correlación es,

466,00023,0056,0

00006,0,

__

IVr

c3) Evaluación Tipo B de las incertidumbres estándar.

Las fuentes de incertidumbre que se pueden evaluar como tipo B son la clase de exactitud

del vóltmetro, la clase de exactitud del ampérmetro y el valor de la resistencia del ampérmetro.

Tomando en cuenta las especificaciones suministradas por los fabricantes de los instrumentos.

Considerando la clase de exactitud de los aparatos como su incertidumbre especificada,

uE, tenemos que para el vóltmetro esta incertidumbre es igual a,

V30,0100

605,0

100

ALCANCE EXACTITUD DE CLASEVM

Eu

Para el ampérmetro,



A012,0100

4,25,0AM

Eu

Teniendo en cuenta que los fabricantes de instrumentos utilizan resistencias de buena

exactitud, se puede utilizar para ellas una incertidumbre de 1 %, de donde la incertidumbre

especificada en la resistencia del ampérmetro es,

0005,0100

05,01AE Ru

Como en los manuales de los instrumentos se especifica su clase de exactitud como un

intervalo simétrico de valores máximos, consideraremos este intervalo como una distribución

probabilística del tipo uniforme con valor medio igual a cero, entonces la evaluación tipo B de

las incertidumbres estándar para cada magnitud serán,

V17,03

30,0

3

VMVM E

B

uu

A007,03

012,0

3

AMAM E

B

uu

El mismo criterio se puede seguir para la resistencia del ampérmetro, por lo que,

0003,03

0005,0

3

AE

AB

RuRu

d) Cálculo de la mejor estimación de la potencia.

Ya que las medias de la tensión y la corriente se consideran como las mejores

estimaciones de los valores esperados, utilizaremos estas para calcular la mejor estimación de la

potencia, esto es,

W3,116002,205,0002,221,58 2

2___

IRIVP A

e) Determinación de la incertidumbre estándar combinada.

El cuadrado de la incertidumbre estándar combinada se calcula a partir de la ecuación,

N

i

N

i

jij

N

ij

i

ji

i

i

c xxrxuxux

f

x

fxu

x

fyu

1

1

1 1

2

2

2 )3...(,2

Sustituyendo las condiciones de nuestro ejemplo,



ABBBAAAAc RuCuCuCIVrIuVuCCIuCVuCPu 22

3

22

2

22

1

____

21

_22

2

_22

1

2 AMVM,2

Donde los coeficientes de sensibilidad, tomando en cuenta la ecuación (a) son,

A002,2_

1

1

IC

V

P

V00,58002,205,0221,582__

2

IRVCI

PA

22

2_

3 A008,4002,2

IC

R

P

A

Sustituyendo,

325,010446,11648,01158,001406,001780,001257,0

0003,0008,4007,000,5817,0002,2

466,00023,0056,000,58002,220023,000,58056,0002,2

6

222222

22222

PucA

Y la incertidumbre estándar combinada de la potencia es,

W6,0570,0 Puc

f) Cálculo de la incertidumbre expandida.

En virtud de que el resultado de la medición se informará con un intervalo asociado con

un nivel de confianza de 95,45 %; se utilizará para obtener la incertidumbre expandida la

fórmula siguiente:

PutPU cp

donde tp() es el factor de cobertura de la incertidumbre expandida.

Para obtener tp() es necesario calcular los grados de libertad efectivos, por medio de la

ecuación,



RA

RAccc

C

Cc

A

Ac

V

Vc

c

N

i

i

c

eff

PuPuPuPuPuPu

Pu

Pu

Pu

4

AM

4

AM

VM

4

VM

444

4

1

4

4

El número de observaciones para el cálculo de la incertidumbre tipo A y el coeficiente de

correlación es de 5, por lo tanto, a todas ellas les corresponde un grado de libertad igual a 4.

Si consideramos que las especificaciones de incertidumbre de los fabricantes son

confiables al 25 %, entonces los grados de libertad de las incertidumbres estándar tipo B serán,

82

25,0 2

AMVM

RA

Sustituyendo valores en la ecuación de los grados de libertad efectivos, tenemos,

20

8

10446,1

8

1648,0

8

1158,0

4

01406,0

4

01780,0

4

01257,0

325,02622222

2

eff

Para 20 grados de libertad y un nivel de confianza de 95,45 %, de la tabla de valores de

t(p) de la distribución de Student, tenemos,

113,220 pt

De aquí que,

W2,1570,0113,2 PU

g) La magnitud de la potencia disipada con su incertidumbre de medición, se puede

expresar como,

%1W3,116W2,13,116 P



donde el número que sigue al signo es el valor numérico de la incertidumbre expendida, con U

obtenida a partir de una incertidumbre estándar combinada de 0,570 W y un factor de cobertura

de 2,113, obtenido de un nivel de confianza de 95,45 % y 20 grados de libertad.

ERRORES DE REDONDEO Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS.

Las mediciones no son la única fuente de las inexactitudes en la determinación de las

cantidades. Trátese de escribir o 2 como un decimal exacto, no importa cuantos lugares

decimales se llenen, habrá algún error en la representación. Tal error proviene del hecho de que el

número no está dado exactamente por la representación decimal usada y se llama error de redondeo.

Los errores de medición y de redondeo en los datos tienen un efecto similar cuando se usan

para calcular una magnitud.

Una notación común para especificar los límites del error absoluto de redondeo es escribir,

por ejemplo,

005,041,12

para indicar que 1,41 es un valor aproximado del número exacto 2 y que el límite del error

absoluto es 0,005.

También podemos especificar los límites del error de redondeo tomado en cuenta las

convenciones del redondeo de los números. Por ejemplo, el número 2 con ocho cifras decimales es

1,41421352.

En general muy raras veces trabajamos con este valor, sino que usamos la mejor

aproximación obtenible con, digamos 2 o 4 cifras decimales. La aproximación con dos cifras

decimales es 1,41, esta tiene un error absoluto de 1,41 – 1,41421352... igual a – 0,00421352...

mientras que cualquier otra aproximación con dos cifras decimales, digamos 1,40 o 1,42 tendrá un

error mayor. Por otra parte la mejor aproximación con cuatro cifras decimales es 1,4142 ya que el

error es igual a – 0,00001352..., que es menor para digamos, 1,4141 o 1,4143. Este procedimiento

de representar un número por el decimal más cercano con algún número dado de dígitos digamos n,

después del punto decimal, se llama redondeo del número a n cifras decimales.

Si un número exacto X se aproxima por su forma redondeada con n cifras decimales, Xn, el

límite del error absoluto de redondeo es, 0,(n ceros)5.

Esto muestra que cualquier redondeo decimal implica un límite de error, así que podemos

usar decimales redondeados para especificar la exactitud de una aproximación sin dar

explícitamente el límite del error. Entonces escribimos,

41,12



para significar que la aproximación 1,41 tiene el límite de error de redondeo que caracteriza a la

exactitud con dos cifras decimales, esto es,

005,041,12

A veces el término cifras significativas se usa en lugar de "número de cifras decimales". Por

ejemplo, decimos que el número 18,06 tiene cuatro cifras significativas, dos antes de la coma

decimal y dos después. El número 0,0001806 también tiene cuatro cifras significativas, las últimas

cuatro, los tres primeros ceros sirven para distinguir el número de, por ejemplo, 0,180 y no se

llaman significativas. En la expresión el sol está a 150000000 km de la tierra, sólo las primeras dos

cifras son significativas. La información significa que la distancia al sol desde la tierra está más

cercana a 150000000 que a 151000000 o a 149000000 y no que sea más cercana a 150000000 que a

150000001 o a 149999999. Para evitar ambigüedades, en estos casos es conveniente escribir tales

números en la forma siguiente: 15X107, que aclara el hecho de que hay sólo 2 cifras significativas,

de modo que los límites del error absoluto de redondeo son de 0,5X107 o sea 500000 km.

La determinación de la exactitud con que se obtiene una cantidad es muy importante, sin

embargo se debe tener cuidado de no afirmar que la magnitud se ha determinado con una exactitud

mayor que la que en realidad se puede obtener.

Cuando se realizan los cálculos los resultados se deben informar solamente con una

exactitud que sea congruente con la de los datos involucrados.

Por ejemplo, se quiere determinar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo,

cuyas mediciones de la altura y de la base fueron de 3,00 metros y 6,00 metros respectivamente. Las

mediciones se hicieron con una exactitud hasta el centímetro.

La longitud de la hipotenusa se puede determinar aplicando el teorema de Pitágoras, esto es

se puede calcular como 6,708204 metros. Como se puede observar el resultado informado tiene una

exactitud hasta de 6 cifras decimales, mientras que los datos sólo tienen una exactitud hasta de 2

cifras decimales, lo cual nos hace ver que la exactitud con que se está estableciendo la longitud de la

hipotenusa es mayor que la de los datos de los que se obtuvo, razón por la cual podemos considerar

que la exactitud con que se está dando la respuesta es incongruente, por lo que una respuesta más

razonable será dar la longitud de la hipotenusa como igual a 6,71 metros.

El valor numérico de cualquier medida es una aproximación; ninguna medida física como

longitud, masa, tensión corriente, resistencia, etc., es absolutamente correcta. La confiabilidad de

toda medida está limitada por la exactitud del instrumento de medida, el cual nunca es

absolutamente confiable.

Consideremos que se ha medido una corriente, apreciándose 35,7 A. Por convenio esto

significa que la corriente se ha medido hasta el décimo del ampere más próximo y que su valor

exacto esta entre 35,65 y 35,75 A. Si esta medida fuera exacta hasta el centésimo de ampere más



próximo se hubiera anotado 35,70 A. El valor 35,7 representa tres dígitos significativos (3,5,7)

mientras que el valor 35,70 representa cuatro dígitos significativos (3,5,7,0). Una cifra significativa

es aquella que se conoce razonablemente como confiable.

De igual forma, una resistencia registrada como 64 082 , medida con un puente de

Wheatstone, significa que la resistencia se midió hasta la unidad de ohm más próxima y representa

cinco dígitos significativos, siendo el último (2) razonablemente confiable, garantizando la

certidumbre de los cuatro dígitos precedentes.

La escala de un wáttmetro de 150 W, está graduada con divisiones con una separación de un

watt, estimándose una décima de watt. Una potencia leída de 121,8 tiene cuatro dígitos

significativos. El último dígito (8), siendo estimado, puede tener una incertidumbre de uno o dos

dígitos, en ambos sentidos. Los tres dígitos precedentes son completamente ciertos.

En las mediciones, el último dígito es estimado y se considera también dígito significativo.

Los ceros se pueden utilizar ya sea para indicar un valor específico, como cualquier dígito, o

para indicar la magnitud de una cifra.

Una corriente registrada de 23 mA representa dos dígitos significativos (2,3). Si la misma

corriente se escribe en la forma 0,023 A, sigue contando con sólo dos dígitos significativos. Los

ceros que aparecen como los primeros dígitos de la cifra no son significativos, ya que se limitan a

situar la coma decimal. Sin embargo, los valores 0,023 0 A y 0,230 A tienen tres dígitos

significativos (2, 3, y el último cero); el valor 1,023 tiene cuatro dígitos significativos (1, 0, 2, 3). De

igual forma el valor 38,00 contiene cuatro dígitos significativos.

Decir que se ha medido una tensión de 6 300 V no indica en forma adecuada la exactitud de

la medición. Los dos últimos ceros pueden haber sido utilizados simplemente para situar la coma

decimal. Si se ha medido hasta el centenar de volt más próximo, la medición contendrá solamente

dos dígitos significativos y se puede escribir en la forma de 6,3 X 103 V. Si se ha medido hasta la

última decena de volt más próxima se podrá escribir como 6,30 X 103 V, lo que indica que el valor

tiene una exactitud de tres dígitos significativos. Como el cero, en este caso, no es necesario para

situar la coma decimal, tiene que ser un dígito significativo. Si la medición se ha realizado hasta el

volt más próximo, la tensión se podrá escribir como escribir como 6,300 X 103 V (cuatro dígitos

significativos) Como se puede observar, en estos últimos ejemplos, se acostumbra situar la coma

decimal después del primer dígito significativo.

En conclusión podemos llegar a las convenciones siguientes:

1. El último dígito expresado representa el punto de incertidumbre.

2. Se entiende (a menos que se indique lo contrario) que hay una incertidumbre de una

unidad en el último dígito.



3. Para evitar la necesidad de poner ceros después del dígito incierto se debe utilizar, cuando

sea necesario, una potencia apropiada de 10.

Al hacer cálculos es innecesario consumir tiempo y esfuerzo al usar más dígitos que los

significativos. Además aquellos que usan las cifras significativas pueden llegar a conclusiones de

ingeniería o científicas basadas en dígitos sin sentido. Para evitar el manejo de dígitos superfluos, se

puede utilizar el procedimiento de redondeo.

La regla básica del redondeo es que no se debe retener un dígito que no conduzca a alguna

información efectiva. El último dígito dado debe representar el punto de incertidumbre.

Hay algunas excepciones a esta filosofía. Si los datos van a estar sujetos a un análisis

estadístico, el número de dígitos significativos que se retienen en la media es normalmente uno más

que en los datos primarios, esto se justifica por que la desviación normal es 1/n veces la de una

variable individual. Las medidas de incertidumbre, tales como la desviación normal y límites del

error, normalmente se expresan con un dígito significativo y no necesitan incluir más de dos.

Cuando un número se va ha redondear a una cantidad de dígitos menor que el número total

disponible, el procedimiento se debe realizar como se indica a continuación:

1. Cuando el primer dígito descartado es menor que 5, el último dígito retenido no se debe

cambiar.

2. Cuando el primer dígito descartado es mayor que 5 o es un cinco seguido de cuando

menos un dígito distinto de cero, el último dígito retenido se incrementa en una unidad.

3. Cuando el primer dígito descartado es exactamente 5 seguido únicamente por ceros, el

último dígito retenido se redondea incrementándolo en una unidad si es un número non, pero no se

hace ajuste alguno si es un número par. La elección de par en lugar de impar es arbitraria, la idea es

que con una convención permanente se producirá un efecto equilibrador a lo largo de un gran

número de casos.

4. Si la coma decimal está después del dígito (s) eliminado, reemplace el dígito (s) con

ceros, y cuando informe el número hágalo como el producto de un número y una potencia de 10.

Para ilustrar las indicaciones anteriores, en la tabla número 5 se muestran algunos números

de cinco dígitos.

Los números que se muestran en la primera columna se han informado hasta el límite de

exactitud. En cada número, el paréntesis muestra el punto de incertidumbre. En la segunda columna

se muestra el número redondeado y en la tercera columna se ilustra la forma de informar el número

redondeado.



TABLA NÚMERO 5. EJEMPLOS DE PROCEDIMIENTO DE REDONDEO

NÚMERO

NÚMERO

REDONDEADO

NÚMERO

INFORMADO

26 54(3) 26 543 26 543

26 5(4)3 26 540 2, 654 X 104

26 (5)43 26 500 2,65 X 104

2(6) 500 26 000 2,6 X 104

2(7) 500 28 000 2,8 X 104

(2)6 543 30 000 3 X 104

2 6(5)4,6 2 650 2,65 X 103

Frecuentemente los datos requeridos para una investigación se pueden obtener de una

variedad de fuentes donde ellos se han registrado con diferentes grados de exactitud, y para llegar a

resultados adecuados se deben observar reglas específicas cuando tales datos se vayan a sumar,

restar, multiplicar o dividir.

La regla para sumar y restar es que el resultado no debe contener dígitos significativos más

allá del extremo derecho de los que tienen la cifra con menor exactitud. Consideremos la suma de

tres números tomados de tres fuentes, el primero de los cuales está informado en miles, el segundo

en unidades, y el tercero en milésimos.

543 000,000

+ 204 886,000

77 233,217

_____________

825 119, 217

El total indica una exactitud que no es válida. Primero se deben redondear los números a un

dígito significativo más allá de la derecha de los que tienen el número menos exacto, y la suma se

toma como sigue:

543 000,000

+ 204 900,000

77 200, 000 ____________________

825 100,000

El resultado se debe redondear a 825 000,000, según dice la regla e informarse como 825 X

103. Note que si el segundo sumando hubiera sido 204 986,000 el redondeo antes de la suma habría

sido 205 000,000, en cuyo caso el cero siguiente a 205 hubiera sido significativo.

La regla para multiplicar y dividir es que el producto o cociente no tenga más dígitos

significativos que los que están contenidos en el número que tiene menos dígitos significativos de



los que se usan en la multiplicación o división. Por ejemplo, al multiplicar 44,8(5) por 1,6(2), donde

ambos 5 y 2 tienen incertidumbre.

44,85

X 1,62

_______

8970

26 910

44 85 ________________

72,6570

Informando el número hasta el último dígito con incertidumbre tendremos 72,7 puesto que

0,02 X 44,85 = 0,897 0 es completamente incierto.

La regla anterior es una aproximación al enunciado más exacto de que la incertidumbre

relativa o porcentual de un producto o un cociente no puede ser menor que el correspondiente a

cualquier factor. Por esta razón los números cuyo primer dígito significativo sea 1

(ocasionalmente 2) tienen que contener un dígito significativo adicional, para tener una

incertidumbre relativa determinada en comparación con un número que empiece por 8 o 9.

Consideremos la división 9,64/9,1 = 1,06. Por la regla aproximada la contestación sería

1,1 (dos dígitos significativos). Sin embargo, una diferencia de 1 en el último dígito de 9,1

(9,10,1) da lugar a una incertidumbre aproximada del 1 %, mientras que en 1,1 (1,10,1) da

lugar a una incertidumbre de aproximadamente 10 %. Por tanto, la respuesta 1,1 tiene un

porcentaje de exactitud mucho menor que 9,1. En consecuencia, en este caso, la contestación

debe ser 1,06, ya que una diferencia de 1 en el último dígito del factor menos exacto utilizado en

el cálculo (9,1) da un porcentaje de incertidumbre aproximadamente igual a 1 % que una

diferencia de 1 en el último dígito de 1,06 (1,060,01). De igual forma tendríamos que 0,93 X

1,12 = 1,04.

Para destacar la diferencia entre la regla para la suma y resta y la regla para la

multiplicación y división utilizaremos los ejemplos siguientes:

Suma 232,3 + 3,62 = 235,92 redondeado a 235,9

Resta 232,3 – 3,62 = 228,68 redondeado a 228,7

Multiplicación 232,3 X 3,62 = 840,926 redondeado a 841

División 232,3/3,62 = 64,171 27 redondeado a 64,2

El producto y el cociente están limitados a tres dígitos significativos, puesto que 3,62

contienen solamente tres dígitos significativos. En contraste con los resultados redondeados de la



suma y resta, de los ejemplos, los cuales contienen cuatro dígitos significativos.

Los números utilizados en todas las ilustraciones anteriores son estimados o medidos. Los

números que son conteos exactos se trabajan como si consistieran de un número infinito de

dígitos significativos. Estableciendo esto en forma más simple, cuando se usa un conteo en

conjunto con una medición para realizar cálculos, el número de dígitos significativos en el

resultado es el mismo que el número de dígitos significativos que tiene la medición.

Si un conteo de 30 se multiplica por una medición de 21,3; el producto es 639. Sin

embargo, si 30 hubiera sido una estimación exacta solamente hasta la decena más cercana, y de

aquí que contenga sólo un dígito significativo, el producto debería redondearse a 600 e

informarse como 6 X 102.



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capÍtulo 1 exactitud, errores, incertidumbre

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