CAPITULO 1:

Números complejos

Conjuntos numéricos

R

Ampliación del campo numérico

Resolvé el ejercicio 1 del cuadernillo de ejercitación.

Como sabemos, en R no podemos resolver raíces cuadradas de números negativos, como

√ , ya que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a -1.

Se utiliza el símbolo i para indicar un número tal que .

√

Dicho número es la unidad imaginaria en los números complejos.

Teniendo en cuenta la igualdad a partir de la cual lo definimos, y que este número no es real,

podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de algunas ecuaciones.

Ejemplos:

| | √ | | √ | | √

√ √

Q I Z

N

Los números complejos: A los números de la forma , donde y son números reales, los llamamos números complejos. Expresión binómica Se suele utilizar la letra Z, para designar verifica que un número complejo se llama se llama es la unidad imaginaria. parte real parte imaginaria de z de z ( ) ( )

Ejemplos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

*Al conjunto de todos los números complejos, lo designamos con el símbolo C, y está definido de tal forma que incluye a los números reales, representados por aquellos números complejos cuya parte imaginaria es nula. *Un número complejo no nulo como , cuya parte real es nula, se llama imaginario puro.

Representación gráfica y expresión cartesiana de un complejo: Vimos que la recta quedó completa con los números reales; entonces, para representar números no reales, deberemos salir de la recta numérica y recurrir al plano. A cada número complejo le corresponde un punto del plano. ( ) Expresión cartesiana Componente real Componente imaginaria El eje de las abscisas se llama eje real, y el eje de ordenadas, eje imaginario. Ejemplo: Escribamos la expresión cartesiana y representemos los siguientes números complejos: ( )

El conjugado y el opuesto de un número complejo: A partir de un número complejo , se definen los siguientes números complejos: *el conjugado de z es (la parte real es igual y la parte imaginaria es la opuesta). *el opuesto de z es (la parte real y la parte imaginaria son opuestas). Ejemplos:

Operaciones con números complejos En los siguientes ejemplos, pueden observar cómo realizamos las cuatro operaciones básicas con números complejos en su forma binómica. Consideremos y . *Adición ( ) ( ) ( ) ( ) *Sustracción

( ) ( ) ( ) ( )

*Multiplicación -1

( ) ( )

*División Para resolver la división entre dos números complejos, siendo el divisor no nulo, multiplicamos ambos por el conjugado del divisor, del siguiente modo:

( )

( ) ( )

( )

( )

Potencias de i Resolvé el ejercicio 19 del cuadernillo. Los resultados de las potencias de i son: 1, i, -1, -i; y se repiten periódicamente. El resultado de elevar la unidad imaginaria a un número natural “n”, es igual a elevarlo al resto de la división entera entre n y 4. ) ) ) ) 85 4 143 4 108 4 134 4 1 21 3 35 0 27 2 33

CAPITULO 2:

Funciones

trigonométricas

Ángulos orientados en sistema cartesiano Así representamos ángulos en el sistema cartesiano:

Sistema circular de medición de ángulos

*En el sistema circular, los ángulos se miden en radianes.

*Un radián es la medida del ángulo central que en una

circunferencia determina el arco de la misma medida

que el radio.

Como el radio está comprendido veces en la longitud

de la circunferencia, un ángulo de un giro corresponde

radianes.

*Si conocemos la medida de un ángulo en grados y

queremos calcular su medida en radianes, o viceversa,

debemos tener en cuenta que 180° equivale a radianes,

es decir:

( )

( )

Ejemplos:

¿Cuántos radianes son 36°? ¿Cuántos grados son

radianes?

Las razones trigonométricas

Así definimos las razones trigonométricas para un ángulo cualquiera, en función de las

coordenadas de un punto que se encuentre en su lado terminal.

( )

P=( -3 ;4)

√

( )

( )

Secante, cosecante y cotangente de un ángulo.

Así definimos tres nuevas razones trigonométricas: cosecante, secante y cotangente de

un ángulo (para todos los casos en los que el denominador no se anule).

La circunferencia trigonométrica

*Llamamos circunferencia trigonométrica o circunferencia unidad a aquella cuyo radio

es 1 y su centro es el origen de coordenadas.

Al considerar el radio de una unidad, las expresiones en las que aparece este se

simplifican.

La circunferencia trigonométrica nos permite ver una “representación geométrica” del

seno, del coseno y de la tangente de un ángulo, mediante “segmentos asociados”.

Si pertenece al segundo o tercer cuadrante, encontramos el segmento asociado a la

tangente trazando la semirrecta opuesta al lado terminal del ángulo hasta su

intersección con la recta x=1.

Funciones trigonométricas

Como la medida en radianes de un ángulo orientado es un número real, podemos

definir las funciones seno, coseno y tangente.

*La función y= sen x

La función y=sen x, cuyo dominio es R, asigna a cada número real x el seno de ese

número.

Para representarla efectuaremos una tabla de valores y graficaremos luego lo

obtenido en la misma.

x 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° 405° 450° 495° 540°

y

Al unir los puntos se obtiene el gráfico de la función. Esta curva se llama sinusoide.

Analicemos la función:

*El valor máximo que toma es…………. y el valor mínimo es………………..

*El conjunto imagen es el intervalo *…….;………+

*El gráfico corta al eje “y” en (0;…..)

*Como los valores que toma la función se repiten cíclicamente cada , se cumple

que:

( )

Por eso la función seno es periódica; su periodo es , que es la longitud del ciclo “más

corto” en el que sus imágenes se repiten.

*La función y= cos x

La función y=cos x, cuyo dominio es R, asigna a cada número real x el coseno de ese

número.

Para representarla efectuaremos una tabla de valores y graficaremos luego lo

obtenido en la misma.

x 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° 405° 450° 495° 540°

y

Al unir los puntos se obtiene el gráfico de la función. Esta curva se llama cosinusoide.

Tiene la misma forma que la sinusoide pero esta desplazada horizontalmente con

respecto a esta:

Analicemos la función:

*El valor máximo que toma es…………. y el valor mínimo es………………..

*El conjunto imagen es el intervalo *…….;………+

*El gráfico corta al eje “y” en (0;…..)

*Es una función periódica, su periodo es…………………….

*La función y= tg x

Como

, la función y=tg x está definida para todos los números reales para

los que cos x 0.

Para construir su gráfico utilizaremos el programa de matemática llamado Geogebra:

-Abrí el programa en tu net.

-Sobre la vista gráfica (ejes cartesianos), hacé clik en botón derecho , seleccioná

propiedades.

-Una vez abierta la ventana en propiedades, en la solapa ejes: en “eje x”, clickeá en

distancia ; rótulo “x”; en eje “y” mínimo -6 y máximo 6, rótulo “y”, distancia 1.

-En la barra de entrada escribí: y=tan(x)

Analicemos ahora la función obtenida:

-Su gráfico, a diferencia de la sinusoide y la cosinusoide, no puede ser dibujado de un

solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz. Esto se debe a las interrupciones que presenta

en los valores excluidos del dominio ( ……, - ; ; ;…….). Por este motivo, la

función tangente es discontinua; en cambio, las funciones seno y coseno son

continuas.

-El conjunto imagen es……………………

-El gráfico corta al eje “y” en (0;…….)

-Es una función periódica; su periodo es…………………

-Tiene infinitas asíntotas verticales: una en cada uno de los valores reales excluidos del

dominio.

Variaciones a partir de la función y=sen x

Ahora estudiaremos las funciones del tipo y= a.sen(bx)+c , donde a, b y c son números

reales fijos no nulos.

Para ello analizaremos por separado la incidencia de los factores a, b y c en la forma

del gráfico.

-La función y=a.sen x

Efectuemos en geogebra la siguiente construcción:

-Sobre la vista gráfica hacemos click derecho, nos abre un listado de opciones,

entramos en propiedades( con el celu hacé clik sobre el engranaje). Nos abre un

cuadro de diálogo: en eje x, rótulo x y distancia ⁄ . En eje y rotulo y, mín: -6, máx:6 y

distancia 1. Agreguemos la cuadrícula.

-Hacemos click sobre la herramienta deslizador(en la barra de herramientas), nos

abrirá una ventana: nombre a, intervalo mín:-5 y máx: 5.

-En barra de entrada escribimos: y=sin(x), hacemos click derecho sobre la curva

graficada, en la lista de opciones seleccionamos propiedades. En la pestaña color, elegí

el que más te guste.

-En la barra de entrada escribimos: y=a sin(x) (dejá espacio entre la a y sin(x)).

-Parate sobre el deslizador, movelo y completá la tabla:

Función a Conjunto imagen Máximo Mínimo

y=senx

y= 2.senx

y=

senx

y= -2.senx

El factor “a” determina la amplitud de la onda y no afecta el periodo que para todas las

funciones es……………………………………..

-La función y=sen x +c

Efectuemos en geogebra la siguiente construcción:

-Sobre la vista gráfica hacemos click derecho, nos abre un listado de opciones,

entramos en propiedades (con el celu hacé clik sobre el engranaje). Nos abre un

cuadro de diálogo: en eje x, rótulo x y distancia ⁄ . En eje y rotulo y, mín: -6, máx:6 y

distancia 1. Agreguemos la cuadrícula.

-Hacemos click sobre la herramienta deslizador(en la barra de herramientas), nos

abrirá una ventana: nombre c, intervalo mín:-5 y máx: 5.

-En barra de entrada escribimos: y=sin(x), hacemos click derecho sobre la curva

graficada, en la lista de opciones seleccionamos propiedades. En la pestaña color, elegí

el que más te guste.

-En la barra de entrada escribimos: y=sin(x)+c

-Mové el deslizador, analizando la ecuación en la vista algebraica y sacá conclusiones:

El factor “c” desplaza………………………………….la gráfica hacia arriba o hacia abajo según

sea el número positivo o negativo respectivamente. No se modifican la amplitud ni el

periodo.

-La función y=sen(b x)

Efectuemos en geogebra la siguiente construcción:

-Sobre la vista gráfica hacemos click derecho, nos abre un listado de opciones,

entramos en propiedades( con el celu hacé clik sobre el engranaje). Nos abre un

cuadro de diálogo: en eje x, rótulo x y distancia ⁄ , mín:-1 y máx:16. En eje y rotulo

y, mín: -6, máx:6 y distancia 1. Agreguemos la cuadrícula.

-Hacemos click sobre la herramienta deslizador(en la barra de herramientas), nos

abrirá una ventana: nombre b, intervalo mín:0 y máx: 5.

-En barra de entrada escribimos: y=sin(x), hacemos click derecho sobre la curva

graficada, en la lista de opciones seleccionamos propiedades. En la pestaña color, elegí

el que más te guste.

-En la barra de herramientas escribimos: y=sin(bx).

-Seleccionamos la flecha en la barra de herramientas y movemos el deslizador.

-Analizamos las gráficas de y=senx , y=sen(2x) e y=sen(

) ;y completamos la tabla:

Función b Conjunto imagen Periodo

y=senx

y=sen(2x)

y=sen(

)

*El factor b determina el periodo de la función sin modificar la amplitud de la onda.

*Cuanto mayor es b,………………………………es el periodo. El valor absoluto de b indica la

cantidad de ondas que hay en el intervalo de longitud 2 . Así en y= senx hay una

onda, en y=sen(2x) hay…………………………….ondas y en y=sen(

) hay……………………….

onda. Por lo tanto, el periodo p de cada función puede calcularse así:

| |

Variaciones a partir de la función y=cos x

Las mismas variaciones analizadas sobre la función y=a. sen(bx)+c, pueden observarse

sobre la función y=a.cos(bx)+c .

Los factores a, b y c varían a la función coseno de la misma manera que a la función

seno: a (amplitud), b (determina el periodo) y c (desplaza verticalmente a la función).

CAPITULO 3:

Límites

LIMITES (aproximación intuitiva)

Dada ( )

El dominio de la función es……………………….., por lo que la función está definida para todos los valores de x, excepto para……………………… y ………………………….

Grafiquemos la función con el programa Graphmatica (imprimí el gráfico y pégalo en tu carpeta). Luego cliqueá la herramienta TABLA DE PUNTOS, la misma nos da una tabla de valores para la función graficada. Posteriormente, cliqueá sobre: OPCIONES, PREFERENCIAS; solapa TABLAS. Allí, en el cuadro de NÚMERO DE DECIMALES EN LA SALIDA CALCULADA(2-14) escribí 10. Luego cliqueá sobre: HERRAMIENTAS, EVALUAR y dale a x los valores de las siguientes tablas y completalas:

Primero tomamos valores cercanos a 2 pero menores que él:

Cuando los valores de x se aproximan a 2 “por la izquierda”, f(x) se aproxima cada vez más a……………..

Decimos, entonces, que el “ límite de f(x) cuando x tiende a 2 por izquierda es ……….” Y lo simbolizamos de la siguiente manera:

( )

Ahora dejamos que la variable se aproxime a 2, pero a través de valores mayores que él:

Vemos que a medida que x se aproxima cada vez más a 2 “por la derecha”, f(x) se aproxima cada vez más …………

Decimos, entonces, que el “ límite de f(x) cuando x tiende a 2 por derecha es ……….” Y lo simbolizamos de la siguiente manera:

( )

A los límites “por derecha” y “por izquierda” de una función en un punto los llamamos límites laterales. Cuando los límites laterales son iguales (como sucedió en el ejemplo), entonces decimos que existe el límite y lo simbolizamos:

( )

x y

1,3

1,7

1,9

1,99

1,999

1,9999

x y

2,5

2,3

2,1

2,01

2,001

2,0001

CÁLCULO DE LÍMITES (utilización de propiedades):

Para calcular el límite de una función en forma directa, necesitamos de algunas propiedades de los mismos:

Propiedad 1: El límite con x tendiendo a “a” de una función constante es igual a la misma constante. En símbolos: Si c es una constante: Ejemplo:

Propiedad 2: El límite con x tendiendo a “a” de la función identidad es igual a “a”.

En símbolos: Ejemplo:

Propiedad 3: El límite de la suma o la diferencia de dos funciones es igual a la suma o diferencia de los límites de ambas.

En símbolos: ( ) ^ ( ) ⇒ [ ( ) ( )]

Ejemplo: ^ ⇒ ( )

Propiedad 4: El límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de ambas.

En símbolos: ( ) ^ ( ) ⇒ [ ( ) ( )]

Ejemplo: ( ) ^ ⇒ [( ) ]

Propiedad 5: El límite de la potencia enésima de una función es igual a la potencia enésima del límite de la misma función.

En símbolos: ( ) ^ n ⇒ [ ( )]

Ejemplo: ( )

( )

Propiedad 6: El límite del cociente entre dos funciones es igual al cociente entre los límites de ambas.

En símbolos: ( ) ^ ( ) ⇒ ( )

( )

Ejemplo: ^ ⇒

Propiedad 7: El límite de la raíz enésima de una función es igual a la raíz enésima del límite de dicha función.

En símbolos: ( ) ⇒ √ ( ) √

Ejemplo: ⇒ √ √

Ejemplo: Calcular:

propiedad…….

( )

Propiedad….. Propiedad….

Propiedad…. Propiedad…. Propiedad….Propiedad…

LÍMITES INFINITOS:

Calculemos:

Ya sabemos que no existe la división por “CERO”, pero en realidad no tenemos que

dividir por cero, ya que lo que estamos calculando es un límite. El denominador NO ES

CERO, sino que TIENDE a CERO. Cuando graficamos y analizamos los límites laterales…

Por lo tanto:

Vemos que, cuando calculamos el límite en una función racional en la cual el

numerador tiende a un número constante, y el denominador tiende a cero, los límites

laterales de la función tienden a infinito:

Propiedad 8: Si “a” es cualquier número real, y si ( ) ( )

, donde “c” es una constante distinta de cero, entonces:

( )

( ) = ó

( )

( ) =

Y como consecuencia:

( )

( ) = ó

( )

( ) =

LÍMITES INDETERMINADOS:

Analicemos este límite:

Cuando x tiende a 3, tanto el numerador como el denominador de la función tienden a

cero. Considerando sólo el numerador, podríamos decir que una expresión que tiende

a cero dividida por otra que tiende a un número da por resultado cero. Considerando

ahora solo el denominador, podríamos decir que si a una expresión que tiende a un

número la dividimos por otra cada vez más próxima a cero, el resultado es un número

cada vez más grande y por lo tanto el límite es infinito. Entonces, ¿este límite es cero,

infinito o algún otro número distinto de cero?. Este límite esta indeterminado.

Concluímos que: Si ( ) ( ) , entonces, ( )

( ) es

indeterminado.

Veamos cómo podemos salvar la indeterminación (copiá en la carpeta la resolución).

¿Qué pasa cuando tenemos el siguiente límite?:

El polinomio ya no es de grado dos como en el ejemplo (es de grado mayor que

dos)anterior por lo que para factorizarlo deberemos utilizar Ruffini.

Copiá en tu carpeta lo explicado en el pizarrón.

LIMITES EN EL INFINITO:

Observen las gráficas y completen:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Dada ( )

, completen la siguiente tabla y respondan:

Si Si

x f(x) x f(x)

10 -10

100 -100

1000 -1000

10000 -10000

100000 -100000

1000000 -1000000

10000000 -10000000

a)¿Cuál es el comportamiento de las imágenes de la función para valores muy grandes

positivos?

b)¿Cuál es el comportamiento de las imágenes de la función para valores muy grandes

negativos?

c) ( ) ( )

Cuando “x” aumenta o disminuye tomando valores muy grandes en módulo, la función

tiende a valer 0.

0 ^

0 ⇒

¿Qué ocurrirá con las imágenes de funciones como ( )

y h( )

cuando

y ?.

Propiedad: Si ( ) , entonces, para cualquier número real K se verifica

que

( )

Veamos ahora el siguiente caso:

Dada: ( )

, representá con el Geogebra la función y determiná ( )

Si queremos calcular el límite antes mencionado nos encontramos con una

indeterminación del tipo

, para salvar dicha indeterminación procederemos de la

siguiente manera: Dividimos numerador y denominador por la variable con mayor

exponente que aparezca en la expresión (en nuestro caso ¨x¨).

CAPITULO 4:

Continuidad

CONTINUIDAD

En los comienzos del cálculo, se definía como función continua aquella que tenía un

gráfico que podía ser recorrido sin levantar el lápiz.

A partir de los siguientes gráficos, ¿cuál o cuáles consideran que corresponden a

funciones contínuas en ?, ¿qué características cumplen? (analicen ( )

y ( )).

a) b) c)

Una función f(x) es continua en si y solo si se cumplen las siguientes

condiciones:

I. ( )

II. ( ) , donde L

III. L= ( )

Se dice que una función que no es continua en es discontinua en dicho punto.

TIPOS DE DISCONTINUIDAD:

-Discontinuidad evitable:

1) Existe límite y no está definida la función en el punto.

2)Existe el límite y la función está definida pero ambos valores no coinciden.

-Discontinuidad esencial (no evitable):

1) De primera especie con salto finito: La función está definida pero no existe el límite

(los límites laterales son distintos).

2)De primera especie con salto infinito: La función está definida, pero alguno de los

límites laterales tiende a infinito.

FUNCIONES PARTIDAS Y ANÁLISIS DE CONTINUIDAD

Determinemos si la siguiente función es continua en los valores que se especifican,

previamente efectuemos su gráfico:

( ) en Continuidad: - en I. II. III. ⇒ ( )

-en I. II. Para calcular el límite cuando x tiende a -4 no es necesario calcular los límites laterales ya que en un entorno de -4 la función tiene siempre la misma expresión III. ⇒ ( )

Otro ejemplo:

( )

en

Continuidad: - en I. II. III. ⇒ ( )

-en I. II. III. ⇒ ( )

CAPITULO 5:

Derivadas

Derivada de Funciones:

No se trata de los mismos “tiempos”(educ.ar)

El gráfico muestra la trayectoria recorrida por un coche desde una ciudad A hasta otra ciudad

B. La distancia vienve dada en km, esta distancia , d, es función del tiempo, t, dado en minutos.

a. ¿Qué distancia ha recorrido en total este coche durante este viaje y cuál ha sido la duración

total del viaje?

VELOCIDAD MEDIA:

Si la función f(x) determina la distancia del móvil a un cierto lugar en función del tiempo x,

llamamos velocidad media del móvil en el intervalo de tiempo x1; x2 al cociente:

( ) ( )

b. ¿Cuál ha sido la velocidad media del coche durante el viaje?

c. ¿Cuál ha sido la velocidad media que ha llevado en la autopista?

d. ¿Cuál ha sido la velocidad media entre el instante que marca 52 minutos y el instante que

marca 64 minutos?

Para resolver la actividad anterior, hemos analizado la variación de una variable para una

cierta variación de otra y buscamos identificar la tasa de variación de la función en distintos

intervalos.

Expresiones generales de la tasa de variación o cociente incremental son: ( ) ( )

ó

( ) ( )

e. ¿Cómo se puede interpretar la tasa de variación en este problema?

L a tasa de variación en un intervalo, no nos permite saber con qué velocidad va el coche

cuando se cumple exactamente el minuto 58. Para averiguarla, hay que ir considerando la

velocidad media en intervalos cada vez más pequeños, esas velocidades se van acercando a un

mismo número, la velocidad instantánea o tasa de

variación local en un punto.

Investiguemos trabajando con la calculadora cuál es,

aproximadamente, la velocidad instantánea del auto en

el minuto 58.

Calculemos : Vm(58; 64)=

Vm(58;60)=

Vm(59;59)=

Para entender mejor qué es lo que estamos haciendo ingresá a:

http://www.geogebra.org/en/upload/files/AlfonsoMelendez/TallerUnoConceptoDerivada/Int

DErivada.html

Y utilizá el simulador de derivadas.

A partir de lo efectuado con el simulador y analizando la gráfica de la situación problemática

podemos observar:

A medida que P se acerca a M (tiende a M), se hace muy pequeño (tiende a cero) y las

pendientes de las rectas secantes MP se van aproximando a la pendiente de la recta tangente

en M que es f´(x):

( )

( ) ( )

Resumiendo, cuando obtengo la derivada en un punto obtengo la pendiente de la recta

tangente en el mismo.

Así, si queremos obtener la pendiente de la recta tangente de ( ) en x=-1,

primero calculamos la función derivada a partir de la definición (copiá aquí la explicación):