Derivada

Derivada en un punto

Laderivadade una funcin f(x) en unpunto x = aes elvalor del lmite, si existe, delcociente incrementalcuando el incremento de la variable tiende a cero.

Ejemplo

Hallar laderivadade la funcin f(x) = x2+ 4x 5 en x = 1.

Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Unafuncin es derivableen un punto si, y slo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y lasderivadas laterales coinciden.

Ejemplo

Estudiar el valor de laderivadadeen x = 0

Como no coinciden lasderivadas laterales la funcin no tiene derivada en x = 0.

Interpretacin geomtrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces larecta secantetiende a ser larecta tangentea la funcin f(x) en P, y por tanto elngulo tiende a ser .

Lapendientede la tangente a la curva en un punto es igual a laderivadade la funcin en ese punto.

mt= f'(a)

Ejemplo

Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La ecuacin de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrn la misma pendiente, as que:

f'(a) = 1.

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

Interpretacin fsica de la derivadaVelocidad media

Lavelocidad mediaes el cociente entre elespacio recorrido (e)y eltiempo transcurrido (t).

Velocidad instantnea

Lavelocidad instantneaes el lmite de la velocidad media cuando t tiende a cero, es decir, laderivada del espacio respecto al tiempo.

Ejemplo

La relacin entre la distancia recorrida en metros por un mvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:

1la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2La velocidad instantnea en t = 1.

La velocidad instantnea es la derivada en t = 1.

Derivada de una constante

Laderivada de una constanteescero.

Derivada de x

Laderivada de xes igual a1. Es decir, la derivada de la funcin identidad es igual a la unidad.

Derivada de una potencia

Laderivada de una potencia o funcin potencial,es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

Si la base es la funcin identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.

f(x) = xkf'(x)= k xk1

Derivada de una raz

Laderivada de la raz ensimade una funcin es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raz ensima de la funcin radicando elevada a n menos uno.

Derivada de la raz cuadrada

Laderivada de la raz cuadradade una funcin es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raz.

Derivada de una suma

Laderivada de una sumade dos funciones es igual a lasuma de las derivadasde dichas funciones.

Esta regla se extiende a cualquier nmero de sumandos, ya sean positivos o negativos.

Derivada del producto

Laderivada del productode dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo ms el segundo factor por la derivada del primero.

Derivada de una constante por una funcin

Laderivadadel producto de unaconstante por una funcines igual al producto de la constante por la derivada de la funcin.

Derivada de un cociente

Laderivada del cocientede dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Derivada de una constante partida por una funcin

Derivada de la funcin exponencial

Laderivada de la funcin exponencialea igual a la misma funcin por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.

Derivada de la funcin exponencial de base e

Laderivada de la funcin exponencial de base eea igual a la misma funcin por la derivada del exponente.

Derivada de la funcin logartmica

Laderivada de un logaritmoen base a es igual a la derivada de la funcin dividida por la funcin, y por el logaritmo en base a de e.

Como, tambin se puede expresar as:

Derivada de un logaritmo neperiano

Laderivada del logaritmo neperianoes igual a la derivada de la funcin dividida por la funcin.

Derivada de la funcin seno

Laderivada del senode una funcin es igual al coseno de la funcin por la derivada de la funcin.

Derivada de la funcin coseno

Laderivada del cosenode una funcin es igual a menos el seno de la funcin por la derivada de la funcin.

Derivada de la funcin tangente

Laderivada de la funcin tangentees igual al cuadrado de la secante de la funcin por la derivada de la funcin.

Derivada de la funcin cotangente

Laderivada de la funcin cotangentees igual a menos el cuadrado de la cosecante de la funcin por la derivada de la funcin.

Derivada de la funcin secante

Laderivada de la secantede una funcin es igual a la secante de la funcin por la tangente de la funcin, y por la derivada de la funcin.

Derivada de la funcin cosecante

Laderivada de la cosecantede una funcin es igual a menos la cosecante de la funcin por la cotangente de la funcin, y por la derivada de la funcin.

Derivada de la funcin arcoseno

Laderivada del arcosenode una funcin es igual a la derivada de la funcin dividida por la raz cuadrada de uno menos el cuadrado de la funcin.

Derivada de la funcin arcocoseno

Laderivada del arcocosenode una funcin es igual a menos la derivada de la funcin dividida por la raz cuadrada de uno menos el cuadrado de la funcin.

Derivada de la funcin arcotangente

Laderivada del arcotangentede una funcin es igual a la derivada de la funcin dividida por uno ms el cuadrado de la funcin.

Derivada de la funcin arcocotangente

Laderivada del arcotangentede una funcin es igual a menos la derivada de la funcin dividida por uno ms el cuadrado de la funcin.

Derivada de la funcin arcosecante

Laderivada del arcosecantede una funcin es igual a la derivada de la funcin dividida por la funcin multiplicada por la raz cuadrada del cuadrado de la funcin menos 1.

Derivada de la funcin arcocosecante

Laderivada del arcocosecantede una funcin es igual a menos la derivada de la funcin dividida por la funcin multiplicada por la raz cuadrada del cuadrado de la funcin menos 1.