capitulo i (derivadas)

CAPITULO I:DERIVADAS DE FUNCIONES

En este captulo se estudiar una de las ramas de las matemticas conocida con el nombre de Calculo Diferencial, la que gira en torno de un proceso especial de lmite, la diferenciacin. El proceso de diferenciacin muestra dos tipos distintos de problemas el problema fsico de calcular la velocidad instantnea de una partcula mvil, y el problema geomtrico de encontrar la tangente a una curva en uno de sus puntos conducen de manera natural a la misma idea bsica que contiene la nocin de derivada. El cul se tratar en este texto desde la perspectiva matemtica.

Interpretacin Fsica de la Derivada:

El recorrido de un mvil vara dependiendo del tiempo. Si S es el espacio recorrido en el tiempo t, se puede expresar S en funcin de t como sigue:

S=f(t)

Cuando t=t1 entonces S1= f(t1). Si el tiempo t vara en t, entonces el espacio vara de S1 a S1+S.Es decir, S1+S = f(t1+t)De donde la velocidad promedio es:

Si el intervalo de tiempo t tiende a cero, se tiene la velocidad instantnea:

De igual modo se tiene para la aceleracin. La aceleracin promedio es la variacin de la velocidad con respecto al tiempo. Es decir

Y la aceleracin instantnea o simplemente aceleracin es la razn de cambio instantnea de la velocidad con respecto al tiempo t.

Interpretacin Geomtrica de la Derivada:

Consideremos la curva y un punto fijo de dicha curva, sea la recta secante que pasa por y por . y

M

P0

x

La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos y es:

Si se acerca a resulta que se acerca a , luego se acerca a 0, con lo cul se est haciendo uso del lmite.

Por lo tanto cuando se acerca a la recta se transforma en , lo cual indica que el ngulo tiende a convertirse en y:

se convertir en

Luego la derivada de en es y representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto .

Definicin: (Derivada de una Funcin)

Sea , si , la derivada de con respecto al punto est definido por:

Lo que es equivalente a:

O en el caso general, la derivada de una funcin para cualquier punto:

Notacin:

Ejemplos explicativos:Usando la definicin, hallar la derivada de las siguientes funciones:

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniera Civil

Docentes: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz Lic. Victoria de los ngeles Agustn Daz

a)Solucin:Utilizamos la definicin de derivada:

b)Solucin:Utilizamos la definicin de derivada:

c)Solucin:Utilizamos la definicin de derivada:

Ejemplos para el aula:

Hallar la derivada de:

a) b) c)

d) e) f)

Reglas de derivacin 1.

, k: constante 12.- 2.

13.- 3.

14.- 4.

15.- 5.

16.- 6.

17.- 7.

18.- 8.

19.- 9.

20.- 10.

21.- 11.

22.-

Ejemplos explicativos:

Derivar utilizando las propiedades:

1) 2)

Solucin:

3)

Solucin:

4)

Solucin:

5)

Solucin:

6)

7)


Utilizando correctamente las reglas de derivacin, derivar:

1), 9.-

2) 10.-

3) 11.-

4) 12.-

5) 13.-

6) 14.-

7) 15.-

8)

Derivadas Laterales

Definicin.- (Derivada por la Izquierda)

Sea una funcin y , es derivable por la izquierda, si existe el siguiente lmite:

Definicin.- (Derivada por la Derecha)

Sea una funcin y , es derivable por la derecha, si existe el siguiente lmite:


Calcular las derivadas laterales de la funciones en los puntos dados:

1) 2)

, en

3)

, en 4)

, en 5)

, en



1), en

2) , en

3)

, en

DERIVADA DE LA FUNCIN COMPUESTA(Regla de la Cadena)

Sea: y dos funciones, tal que ; si es derivable en y es derivable en , entonces es derivable en , y adems:


Usando la definicin, hallar la derivada de las siguientes funciones:

1)

6) 2)

7)

3)

8)

4)

9) 5)

10)



1)

11) 2)

12) 3)

13) 4)

14) 5)

15) 6)

16) 7)

17) 8)

18) 9)

19) 10)

20) DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS

Definicin (Funcin Implcita): Cuando una funcin se escribe en la forma , se dice que es una funcin implcita de .

Ejemplos:

1)

2)

3)

Para derivar este tipo de funciones, derivamos la ecuacin dada cos respecto a , teniendo en cuenta que es una funcin de , luego despejamos .


Calcular la derivada de las siguientes funciones implcitas:


6)

Docentes: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz Lic. Victoria de los ngeles Agustn Daz

7)

8)

9)

10)

11)



1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Hallar derivadas de orden superior, consiste en hallar no solo , sino adems , etc.


Hallar las siguientes derivadas:

8) 1) , hallar y2) , hallar y3)

, hallar

4)

, hallar

5)

hallar


Utilizando correctamente las reglas de derivacin, derivar:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

MONOTONIA

Definicin: Sea , se dice que es creciente en , si , se cumple:

y

x

Definicin: Sea , es decreciente en , si , se cumple:

y

x

Definicin: Una funcin se llama Montona sobre , si es cualquiera de los dos tipos antes mencionados, es decir si es creciente o decreciente.

Definicin: Sea y , es punto crtico de , si no existe.

Teorema.- Si es continua en y derivable en , se cumple:i.

Si es creciente en ii.

Si es decreciente en


Hallar los intervalos de crecimiento de las siguientes funciones:

1) 2) 3) 4) 5)

6)


Hallar los intervalos de crecimiento de las siguientes funciones:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

VALORES MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

Definicin tiene un mximo absoluto en , si , .

Definicin tiene un mnimo absoluto en , si , .

Definicin tiene un mximo relativo , si , .

Definicin tiene un mnimo relativo , si , .

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA VALORES EXTREMOS

Sea , continua en y un punto crtico y adems est definido para todos los puntos de , excepto posiblemente en , entonces:

i. Si es un punto mximo.ii. Si es un punto mnimo


Hallar los valores extremos de las siguientes funciones:

1) 2)

3) 4)

5)

6)


Hallar los extremos de:

1)

2)

3)

4)

5) CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Sea , supongamos que existe y que es un punto crtico, (i.e. ), entonces:i.

Si entonces es punto mnimo.ii.

Si entonces es punto mximo.

Ejemplos explicativos:Utilizando el criterio de la segunda derivada, hallar los valore extremos de:

1)

2) 3)

4)

5)


Utilizando el criterio de la segunda derivada, hallar los valore extremos de:

1)

2)

3)

4)

5)

CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION

y

Cuando la recta tangente T est bajo la grfica de la funcin, se dice que la funcin es cncava hacia arriba T P

x

y

Cuando la recta tangente T est sobre la grfica de la funcin, se dice que la funcin es cncava hacia abajo T

P

x

y

Cuando hay cambio de cncava hacia arriba a cncava hacia abajo (o viceversa) el punto en el que esto sucede, se llama Punto de Inflexin T

P

x

Criterios para Determinar los Puntos de Inflexin:

1 Halla los valores de para los cuales no existe, stos son los posibles puntos de inflexin.

2 Determinar el signo de para valores suficientemente prximos al posible punto de inflexin:i. Si hay cambio de signo, entonces es punto de inflexinii. Si no hay cambio de signo, entonces no es punto de inflexinTeorema:

Supongamos que es derivable en :i.

Si la grfica de es cncava hacia arriba ii.

Si la grfica de es cncava hacia abajo


Hallar los puntos de inflexin, y los intervalos donde la funcin ex cncava hacia arriba y cncava hacia abajo, bosquejar su grfica:

1)

2) 3)

4)

5)Ejemplos para el aula:

Hallar los puntos de inflexin, y los intervalos donde la funcin ex cncava hacia arriba y cncava hacia abajo, bosquejar su grfica:

1)

2)

3)

4)

5)

HOJA DE PRCTICA 1

I.- Haciendo uso de la definicin de derivada, hallar la derivada de:

1.- 6.-

2.- 7.-

3.- 8.-

4.- 9.-

5.- 10.-

II. Hallar las derivadas laterales, si existen, de las siguientes funciones:

1) , en

2)

, en

3)

, en

4)

, en

5)

, en

6)

, en

III.- Hallar la derivada de las siguientes funciones:


1) Docentes: Lic. Carlos Javier Ramrez Muoz Lic. Victoria de los ngeles Agustn Daz

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

HOJA DE PRCTICA 2

I.- Derivar las siguientes funciones:

1.- 11.-

2.- 12.-

3.- 13.-

4.- 14.-

5.- 15.-

6.- 16.-

7.- 17.-

8.- 18.-

9.- 19.-

10.- 20. -

II. Derivar implcitamente las siguientes funciones:

1) 9)

2) 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8)

III.- Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

HOJA DE PRCTICA 3

I.- Determinar los valores extremos de las siguientes funciones::

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.- II. Bosquejar la grfica de las siguientes funciones, determinando los intervalos de crecimiento, valores extremos, puntos de inflexin e intervalos de concavidad:

1) 11)

2) 12)

3) 13)

4) 14)

5) 15)

6) 16)

7) 17)

8) 18)

9) 19)

10) 20)

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