derivadas definición de derivadaºbach... · 2011-11-29 · 1 derivadas definición de derivada...

1

DERIVADAS

Definición de derivada

Ejercicio nº 1.-

Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. ¿Cuál es la derivada de cual? Justifica tus respuestas.

Ejercicio nº 2.-

Calcula la derivada de f (x) = x2 + x + 1 en x0 = 0 utilizando la definición.

Ejercicio nº 3.-


2

Ejercicio nº 4.-

Ejercicio nº 5.-


Ejercicio nº 6.-

Ejercicio nº 7.-


( ) .definición la utilizando 0 en 2 de derivada la Halla 0 =+= xxxf

( ) ( ) .' 1 que sabiendo ,1 calcula ,definición la Utilizando += xxff

3

.

Ejercicio nº 8.-

Si f (x) = 2x2 − 3 halla su derivada en x0 = 1 utilizando la definición.

Ejercicio nº 9.-


4

Ejercicio nº 10.-

Si f (x) = −x2 + 1, halla su derivada en x0 = 2 utilizando la definición.

Continuidad y derivabilidad

Ejercicio nº 11.-

Hallar a y b para que la función f (x) sea continua:

Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f.

Ejercicio nº 12.-

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida del siguiente modo:

Ejercicio nº 13.-

Ejercicio nº 14.-

Calcular m y n para que la siguiente función sea derivable en todo :

Ejercicio nº 15.-


Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad.

( )

≤<≤+

<=

xxxbax

xaxf

1si410si

0si

( )

≤+<≤+

<+−=

xxxx

xxxf

1si1310si2

0si22

2

( ) dad.derivabili ydcontinuida la estudiar ,4si4

40si20si2

función la Dada2

>−<≤−

<=

xxxx

xxf

( )

−>−−≤++

=113

2

2

xnxxxmxxxf

( )

≤

<≤−−−<−

=

xxxbax

xaxxf

1si211si

1si

5

Cálculo de derivadas

Ejercicio nº 16.-

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

Ejercicio nº 17.-

Aplica la derivación logarítmica para derivar:

y = x cos x

Ejercicio nº 18.-

Calcula la derivada de la siguiente función implícita: 4x2 + 9y2 = 36.

Ejercicio nº 19.-

Sabiendo que la derivada de f (x) = cos x es f' (x) = −sen x, calcula la derivada de f

−1 (x) = arc cos x.

Ejercicio nº 20.-


Ejercicio nº 21.-


y = (x + 1)x 2

Ejercicio nº 22.-

Halla y ' sabiendo que: x2 + y2 = x2 · y2.

Ejercicio nº 23.-

Dada la función f (x) = ex y conocida su derivada f' (x) = ex. Halla la derivada de la función f −1 (x) = ln x.

Ejercicio nº 24.-


( )3 3 1b)11a) −=

+−

= xcosyeelny x

x

( )13b)12

3a) 25

−=−

= xcosyx

y xx

·

( )4b)4a) 23 −== xlogyxcosarcy ·

6

Ejercicio nº 25.-


Ejercicio nº 26.-

Dada la función implícita x2 − 3xy − 2y2 = 4, calcula su derivada.

Ejercicio nº 27.-

Ejercicio nº 28.-


Ejercicio nº 29.-

Mediante la derivación logarítmica, calcula la derivada de y = (ln x)x.

Ejercicio nº 30.-

Halla la derivada de la siguiente función implícita: x3 + 6xy + y3 = 8.

Ejercicio nº 31.-

Teniendo en cuenta que la derivada de la función f (x) = tg x es f' (x) = 1 + tg2 x, halla la derivada de f −1 (x) = arc tg x.

Ejercicio nº 32.-


Ejercicio nº 33-

Deriva logarítmicamente la siguiente función:

y = (cos x)x

Ejercicio nº 34.-

Calcula la derivada de la siguiente función implícita: xy − 2x + 3y = 4.

x

xy

=

2

( ) ( ) ( ) .' xexfx

xfxlnxf === −1 de derivada la calcula ,1 derivada su y función la Conocida

2b)32

54a)x

xsenyx

xlny =+

−=

( ) 3 5 2b)125a) +=−= xyxarctgy ·

7

Ejercicio nº 35.-

Conocida la función f (x) = x5 y su derivada f' (x) = 5x4. Calcula la derivada de

Cuestiones sobre derivadas

Ejercicio nº 36.-

Demuestra que la función f (x) = |x + 2| + |x − 1| no es derivable ni en x = −2 ni en x = 1.

Ejercicio nº 37.-

Demuestra, utilizando la definición de derivada, que la función f (x) = (x + 1) · |x| no es derivable en x = 0. .

Ejercicio nº 38.-

Prueba que la función f (x) = ln cos x, verifica la siguiente igualdad:

Ejercicio nº 39.-

para el valor x = π.

Ejercicio nº 40.-

Prueba que la función f (x) = ex cos x verifica la siguiente ecuación:

f'' (x) − 2f' (x) + 2f (x) = 0

( ) .51 xxf =−

( ) ( )xfexf 2

1−=''

( ) anulan se 2

función la de par orden de derivadas las todas que Demuestra

=

xcosxf

8

SOLUCIONES EJERCICIOS DE DERIVADAS

Definición de derivada

Ejercicio nº 1.-


Solución: 1 − A, 2 − C, 3 − B. La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece.

Ejercicio nº 2.-

Calcula la derivada de f (x) = x2 + x + 1 en x0 = 0 utilizando la definición. Solución:

( ) ( ) 11100 22

+=+

=−++

=−+ h

hhh

hhh

hfhf

( ) ( ) ( ) ( ) 11000'00

=+=−+

=→→

hlímh

fhflímfhh

9

Ejercicio nº 3.-


Solución: 1 − B, 2 − C, 3 − A. La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece.

Ejercicio nº 4.-

Solución:

( ) .definición la utilizando 0 en 2 de derivada la Halla 0 =+= xxxf

( ) ( )h

hh

fhf 2200 −+=

−+

( ) ( ) ( ) ación.Indetermin .00000'

0=

−+=

→ hfhflímf

h

Multiplicamos numerador y denominador por 2 2 para poder simplificar la fracción.h + +

( )22

122

1)22(·)22(·

)2()2(0'00

22

0=

++=

++=

++

−+=

→→→ hlím

hhhlím

hhhlímf

hhh

10

Ejercicio nº 5.-


Solución: 1 − C, 2 − A, 3 − B. La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece.

Ejercicio nº 6.-

Solución:

( ) ( ) .' 1 que sabiendo ,1 calcula ,definición la Utilizando += xxff

( ) ( )h

hh

fhf 2211 −+=

−+

( ) ( ) ( ) ación.Indetermin .00111'

0=

−+=

→ hfhflímf

h

Multiplicamos numerador y denominador por 2 2 para poder simplificar la fracción.h + +

( )22

122

1)22(·)22(·

)2()2(1'00

22

0=

++=

++=

++

−+=

→→→ hlím

hhhlím

hhhlímf

hhh

11

Ejercicio nº 7.-


Solución:

1 − B, 2 − C, 3 − A. La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece.

Ejercicio nº 8.-

Si f (x) = 2x2 − 3 halla su derivada en x0 = 1 utilizando la definición. Solución:

Ejercicio nº 9.-


( ) ( ) ( ) hh

hhh

hh

fhf 24243231·211 22

+=+

=/+−/−+

=−+

( ) ( ) ( ) ( ) 424111'00

=+=−+

=→→

hlímh

fhflímfhh

12

Solución: 1 − B, 2 − C, 3 − A. La derivada se anula en los puntos de tangente horizontal, es positiva donde la función es creciente y es negativa donde la función decrece.

Ejercicio nº 10.-

Si f (x) = −x2 + 1, halla su derivada en x0 = 2 utilizando la definición. Solución:

Continuidad y derivabilidad

Ejercicio nº 11.-


Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f.

( ) ( ) ( ) hh

hhh

hh

fhf+−=

+−=

−+++−=

−+ 44121222 222

( ) ( ) ( ) ( ) 44222'00

−=+−=−+

=→→

hlímh

fhflímfhh

( )

≤<≤+

<=

xxxbax

xaxf

1si410si

0si

13

Solución:

CONTINUIDAD

Si x ≠ 0 y x ≠ 1: La función es continua pues está formada por polinomios. Para x = 0.

Para x = 1.

Por tanto, a = 2 y b = 2. Para estos valores, queda:

DERIVABILIDAD

Si x ≠ 0 y x ≠ 1, f (x) es derivable, además:

Para x = 0. f' (0−) = 0 ≠ f' (0+) = 2 Para x = 1.

f' (1−) = 2 ≠ f' (1+) = 4 La función no es derivable en x = 0 y x = 1. Por tanto: f (x) es derivable en − {0, 1}.

( )

( ) ( )

( )

ba

bf

bbaxlímxflím

aalímxflím

xx

xx

=→

=

=+=

==

++

−−

→→

→→

ser de ha continua, sea que Para

0

00

00

( ) ( )

( )

( )

4 ser de ha continua, sea que Para

41

4411

11

=+→

=

==

+=+=

++

−−

→→

→→

ba

f

xlímxflím

babaxlímxflím

xx

xx

( )

≤<≤+

<=

xxxx

xxf

1si410si22

0si2

( )

<<<

<=

xx

xxf

1si410si2

0si0

14

Ejercicio nº 12.-

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida del siguiente modo:

Solución:

CONTINUIDAD

Si x ≠ 0 y x ≠ 1.

La función es continua pues f (x) es una función polinómica en cada uno de estos tres intervalos.

Para x = 0.

Para x = 1.

f (x) es continua en − {1}

DERIVABILIDAD

Si x ≠ 0 y x ≠ 1, f (x) es derivable y:

Para x = 0.

f' (0−) = 0 = f' (0+) = 0

La función es derivable en x = 0.

Para x = 1.

La función no es derivable pues no es continua.

Por tanto:

f (x) es derivable en − {1}.

( )

≤+<≤+

<+−=

xxxx

xxxf

1si1310si2

0si22

2

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) 0 en continua es

20

22

22

2

00

2

00

=→

=

=+=

=+−=

++

−−

→→

→→

xxf

f

xlímxflím

xlímxflím

xx

xx

( ) ( )( ) ( )

1 en aDiscontinu413

32

11

2

11=→

=+=

=+=

++

−−

→→

→→ xxlímxflím

xlímxflím

xx

xx

( )

<<<

<−=

xxx

xxxf

1si310si2

0si2'

15

Ejercicio nº 13.-

Solución:

CONTINUIDAD

Si x ≠ 0 y x ≠ 4: La función es continua pues f (x) es una función polinómica.

Para x = 0.

Para x = 4.

Por tanto: f (x) es continua en − {0, 4}.

DERIVABILIDAD

f (x) es derivable en − {0, 4}, pues es una función polinómica en cada uno de estos tres intervalos.

La función no es derivable en x = 0 y x = 4, pues es discontinua en estos puntos.

Ejercicio nº 14.-

Calcular m y n para que la siguiente función sea derivable en todo :

Solución:

Para que sea derivable, primero ha de ser continua. Si x ≠ −1, la función es continua, pues está formada por dos polinomios. Para x = −1.

( ) dad.derivabili ydcontinuida la estudiar ,4si4

40si20si2

función la Dada2

>−<≤−

<=

xxxx

xxf

( )

( ) ( )0 en aDiscontinu

22

22

00

00=→

−=−=

==

++

−−

→→

→→x

xlímxflím

límxflím

xx

xx

( ) ( )

( ) ( )4 en aDiscontinu

124

22

2

44

44=→

=−=

=−=

++

−−

→→

→→x

xlímxflím

xlímxflím

xx

xx

( )

−>−−≤++

=113

2

2

xnxxxmxxxf

( ) ( )

( ) ( )( )

+−=−

+=−=

+−=++=

++

−−

−→−→

−→−→

mf

nnxxlímxflím

mmxxlímxflím

xx

xx

21

1

23

2

11

2

11

16

Para que sea continua en x = −1, ha de ser: −2 + m = 1 + n → m = n + 3

DERIVABILIDAD

Si x ≠ −1, la función es derivable, además:

En x = −1.

Ejercicio nº 15.-


Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad. Solución: Si x ≠ −1 y x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por polinomios. Para x = −1.

Para x = 1.

Para estos valores, queda:

( )

−>−

−<+=

12

132'

xnx

xxxf

( )( ) 0321

:ser de ha ,1 en derivable sea que Para

21'11'

=→−=→−−=

−=

−−=−=−

+

−

mnn

x

nff

( )

≤

<≤−−−<−

=

xxxbax

xaxxf

1si211si

1si

( ) ( )

( ) ( )

( )

ba

baf

babaxlímxflím

aaxlímxflím

xx

xx

−=

−−=−

−−=−=

=−=

++

−−

−→−→

−→−→

2 :ser de ha continua, sea que Para

1

11

11

( ) ( )

( )

( )

2 :ser de ha continua, sea que Para

21

2211

11

=−

=

==

−=−=

++

−−

→→

→→

b a

f

xlímxflím

babaxlímxflím

xx

xx

34,

32 tanto, Por −

== ba

17

DERIVABILIDAD

Si x ≠ −1 y x ≠ 1, f (x) es derivable, además:

Para x = −1.

Para x = 1.

La función no es derivable en x = −1 y x = 1. Por tanto: f (x) es derivable en − {−1, 1}.

Cálculo de derivadas

Ejercicio nº 16.-


Solución:

a) y = ln (1 − ex) − ln (1 + ex)

( )

≤

<≤−+

−<−

=

xx

xx

xx

xf

1si2

11si34

32

1si32

( )

<

<<−

−<−

=

x

x

x

xf

1si2

11si32

1si32

'

( ) ( )321'

321' =−≠

−=− +− ff

( ) ( ) 21'321' =≠= +− ff

( )3 3 1b)11a) −=

+−

= xcosyeelny x

x

x

x

xx

xxxx

x

x

x

x

ee

eeeeee

ee

eey 21

2)1(·)1(

)1(·)1(·11

'−

−=

+−−−+−

=+

−−

−=

3 32

32

3 32

23

)1(

)1(·

)1(3

3·)1('b)−

−−=

−

−−=

xcos

xsenx

xcos

xxseny

18

Ejercicio nº 17.-


y = x cos x Solución: f (x) = x cos x ln f (x) = cos x · ln x

Ejercicio nº 18.-

Calcula la derivada de la siguiente función implícita: 4x2 + 9y2 = 36. Solución: 8x + 18yy ' = 0

Ejercicio nº 19.-

Sabiendo que la derivada de f (x) = cos x es f' (x) = −sen x, calcula la derivada de f

−1 (x) = arc cos x. Solución: f' (x) = −sen x

Ejercicio nº 20.-


Solución:

( )( ) x

xcosxlnxsenxfxf 1··'

+−=

( ) ( )

+−=

+−=

xxcosxlnxsenx

xxcosxlnxsenxfxf xcos ····'

yxy

188' −

=

( ) ( )21

1

1

1)(

1))(('

1'xxcosarcsenxff

xf−

−=

−==

−−

( )13b)12

3a) 25

−=−

= xcosyx

y xx

·

( )( )

( )[ ]( )2

5

2

55

1223·125·3

123·2123·3·5'a)

−

−−=

−

−−=

xlnx

xxlny

xxx

19

b) y ' = 3x · ln 3 · cos (x2 − 1) − 3x · sen (x2 − 1) · 2x =

= 3x · [ln 3 · cos (x2 − 1) − 2x · sen (x2 − 1)]

Ejercicio nº 21.-


y = (x + 1)x 2 Solución: f (x) = (x + 1)x 2 ln f (x) = x2 · ln (x + 1)

Ejercicio nº 22.-

Halla y ' sabiendo que: x2 + y2 = x2 · y2. Solución: 2x + 2yy '= 2xy2 + 2x2yy ' 2yy ' · (1 − x2) = 2x · (y2 − 1)

Ejercicio nº 23.-

Dada la función f (x) = ex y conocida su derivada f' (x) = ex. Halla la derivada de la función f −1 (x) = ln x. Solución:

Ejercicio nº 24.-


( )( ) ( )

11·1·2' 2

+++=

xxxlnx

xfxf

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

+++=

+

++=1

1·2·11

1·2·'22 2

xxxlnxx

xxxlnxxfxf x

)1(·)1(·' 2

2

xyyxy

−−

=

( ) ( )xexff

xf xln

11))(('

1' 11 ===

−−

( )4b)4a) 23 −== xlogyxcosarcy ·

20

Solución:

Ejercicio nº 25.-


Solución:

Ejercicio nº 26.-

Dada la función implícita x2 − 3xy − 2y2 = 4, calcula su derivada. Solución: 2x − 3y − 3xy ' − 4yy ' = 0 2x − 3y = y ' · (3x + 4y)

Ejercicio nº 27.-

Solución:

xxxxy

−

−=

−

−=

1·2

12

1·4'a)

( )4·32'b) 2 −

=xlnxy

x

xy

=

2

( ) ( )

=→

=

xlnxxfln

xxf

x 2·2

( )( ) 12

2

2

·2' 2−

=

−

+

=

xln

x

xxx

lnxfxf

( ) ( )

−

=

−

= 12·212·'

xln

xxlnxfxf

x

yxyxy

4332'

+−

=

( ) ( ) ( ) .' xexfx

xfxlnxf === −1 de derivada la calcula ,1 derivada su y función la Conocida

( ) ( ) x

x

e

exff

xf ===−

−

11

))(('1' 1

1

21

Ejercicio nº 28.-


Solución:

Ejercicio nº 29.-

Mediante la derivación logarítmica, calcula la derivada de y = (ln x)x. Solución: f (x) = (ln x)x ln f (x) = x · ln (ln x)

Ejercicio nº 30.-

Halla la derivada de la siguiente función implícita: x3 + 6xy + y3 = 8. Solución: 3x2 + 6y + 6xy ' + 3y2 · y ' = 0 3y ' · (2x + y2) = −3 · (x2 + 2y)

Ejercicio nº 31.-

Teniendo en cuenta que la derivada de la función f (x) = tg x es f' (x) = 1 + tg2 x, halla la derivada de f −1 (x) = arc tg x.

2b)32

54a)x

xsenyx

xlny =+

−=

( ) ( )325432

54a) +−−=+

−= xlnxln

xxlny

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )32·54

2332·54542325

322

545'

+−−

=+−−−+−

=+

−−−

=xxxx

xxxx

y

34

2 2·2··'b)x

xsenxxcosx

xxsenxxcosy −=

−=

( )( ) ( ) ( )

xlnxlnln

xlnxxxlnln

xfxf 1

1

·'+=+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+=

+=

xlnxlnlnxln

xlnxlnlnxfxf x 1·1·'

( )2

2

22'

yxyxy

++−

=

22

Solución:

Ejercicio nº 32.-


Solución:

Ejercicio nº 33-

Deriva logarítmicamente la siguiente función:

y = (cos x)x Solución: f (x) =(cos x)x ln f (x) = x · ln cos x

f' (x) = f (x) · (ln cos x − x tg x) = (cos x)x · (ln cos x − x tg x)

Ejercicio nº 34.-

Calcula la derivada de la siguiente función implícita: xy − 2x + 3y = 4. Solución: y + xy ' − 2 + 3y ' = 0

Ejercicio nº 35.-

Conocida la función f (x) = x5 y su derivada f' (x) = 5x4. Calcula la derivada de

( ) ( ) 2211

11

))((11

))(('1'

xxgtarctgxffxf

+=

+==

−−

( ) 3 5 2b)125a) +=−= xyxarctgy ·

( ) ( )22 12110

1212·5'a)

−+=

−+=

xxy

( )3 25

4

2·3

5'b)+

=x

xy

( )( ) xtgxxcosln

xcosxsenxxcosln

xfxf ··'

−=−

+=

( )3

2'23·'+−

=→−=+x

yyyxy

( ) .51 xxf =−

23

Solución:

Cuestiones sobre derivadas

Ejercicio nº 36.-

Demuestra que la función f (x) = |x + 2| + |x − 1| no es derivable ni en x = −2 ni en x = 1. Solución:

f' (−2−) = −2 ≠ f' (−2+) = 0 → f no es derivable en x = −2 f' (1−) = 0 ≠ f' (1+) = 2 → f es derivable en x = 1

Ejercicio nº 37.-

Demuestra, utilizando la definición de derivada, que la función f (x) = (x + 1) · |x| no es derivable en x = 0. Solución:

Si x ≠ 0, entonces:

( ) ( )5 41

1

·5

1))(('

1'xxff

xf ==−

−

−≥+−<−−

=+2si22si2

2xxxx

x

≥−<+−

=−1si11si1

1xxxx

x

11121

222||

−−+−−+−

++−−

xxx

xxx

( )

≥+<≤−

−<−−=

1si1212si3

2si12

xxx

xxxf

( )

><<−

−<−=

1si212si0

2si2'

xx

xxf

≥<−

=0six0xsi

xx

x

( ) ( )

≥+<−−

=+=0six0xsi·1

2

2

xxxxxxxf

24

En x = 0.

f'(0−) = −1 ≠ f' (0+) = 1

Por tanto, f no es derivable en x = 0.

Ejercicio nº 38.-

Prueba que la función f (x) = ln cos x, verifica la siguiente igualdad:

Solución:

f (x) = ln cos x → ef (x) = cos x

Ejercicio nº 39.-

para el valor x = π. Solución:

...

En general, las derivadas de orden par son de la forma:

( )

>+<−−

=0si12x0xsi12

'x

xxf

( ) ( )xfexf 2

1−=''

( ) xtgxcosxsenxf −=

−='

( )xcos

xf 2

1'' −=

( ) .1'' tanto, Por )(2 xfexf −

=

( ) anulan se 2

función la de par orden de derivadas las todas que Demuestra

=

xcosxf

( )

−

=22

1I xsenxf

( )

−

=24

1II xoscxf

( )

+

=28

1III xsenxf

( )

+

=216

1IV xoscxf

25

Ejercicio nº 40.-

Prueba que la función f (x) = ex cos x verifica la siguiente ecuación:

f'' (x) − 2f' (x) + 2f (x) = 0 Solución: f' (x) = ex cos x − ex sen x f'' (x) = ex cos x − ex sen x − ex sen x − ex cos x = −2 ex sen x Así, −2 ex sen x − 2(ex cos x − ex sen x) + 2 ex cos x = 0

( ) constante. una es donde ,2

·2 kxcoskxf n

=

.02

pues , en todas anulan se tanto, Por =

π

π= cosx

derivadas definición de derivadaºbach... · 2011-11-29 · 1 derivadas definición de derivada...

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