capítulo 04 el plano

GEOMETRA

DESCRIPTIVA

Tercera Edicin

Geometra

Descriptiva

Autor:

Dr. Vctor Vidal Barrena

Universidad

Nacional de Ingeniera

CAPTULO

2015 Vctor Vidal Barrena. Edicin reservada

4 EL PLANO


GEOMETRA DESCRIPTIVA

Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 2

El plano es una superficie en la

que una recta que conecte dos

puntos cualquiera descansa por

completo sobre ella. Dos lneas

cualquiera trazadas en un plano

deben intersectarse o ser

paralelas entre s.

3.1 Su determinacin:



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 3

La figura muestra cuatro formas de

representar un plano oblicuo o

inclinado, ya sea mediante dos

rectas concurrentes o bien

utilizando dos rectas paralelas, tres

puntos no colineales o un punto y

una recta, como se indica en las

figuras siguientes .

3.1 Su determinacin:



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 4

3.1.1 EL PLANO ESTA FORMADO POR :

DOS RECTAS QUE SE

SE CORTAN.

DOS RECTAS



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 5

3.1.1 EL PLANO ESTA FORMADO POR:

UNA RECTA Y UN

PUNTO EXTERIOR

TENER MINIMO TRES

PUNTOS. Y MAS PERO

COPLANARES.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 6

3.2 POSICIONES PARTICULARES DE UN PLANO EN EL ESPACIO:

Es la posicin que adopta un plano de ser paralelo o perpendicular

a los planos principales de proyeccin, para ambas posiciones el

plano se proyecta de canto en uno de los planos principales.

3.2.1 CON RESPECTO AL PARALELISMO

Un plano al ser paralelo a un plano de proyeccin, se

proyectar sobre l en dimensin verdadera; se tienen tres

tipos de planos:

1.- Plano horizontal

2.- Plano frontal

3.- Plano de perfil



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 7

1. PLANO HORIZONTAL:

dv

PROYECCION TRIDIMENSIONAL

DEPURADO

Es aquel plano que aparece de canto y paralelo al plano principal

horizontal proyectndose sobre l en dimensin verdadera.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 8

2. PLANO FRONTAL.-


dv

DEPURADO

Es aquel plano que aparece de canto y paralelo al plano principal frontal,

proyectndose sobre el en dimensin verdadera.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 9

3. PLANO DE PERFIL.-


DEPURADO

dv

Es aquel plano que aparece de canto y paralelo al plano principal de perfil,

proyectndose sobre el en dimensin verdadera.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 10

Un plano al ser perpendicular a un

plano de proyeccin, se proyectar

sobre l de vista de canto; se

tienen los siguientes tipos de

planos:

1.- Plano vertical

2.- Plano normal

3.- Plano ortoperfil

3.2.2 CON RESPECTO A LA PERPENDICULARIDAD:



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 11

1. PLANO VERTICAL.-


DEPURADO

Es aquel plano que es perpendicular al plano principal horizontal y se

proyecta sobre el de canto .



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 12

2. PLANO NORMAL.-


DEPURADO

Es aquel plano que es perpendicular al plano principal frontal y se proyecta

sobre el de canto.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 13

3. PLANO ORTOPERFIL.-

DEPURADO


Es aquel plano que es perpendicular al plano principal de perfil y se proyecta

sobre el de canto.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 14

3.3 RECTA CONTENIDA EN UN PLANO.-

NOTAR QUE LA

RECTA PQ CORTA

AL PLANO ABC EN

LOS PUNTOS 1y 2 .

AL PLANO ABC LO

CORTA EN EL

PUNTO 1 EN EL

LADO AC , y AL

PUNTO 2 EN EL

LADO BC. TANTO

EN LA VISTA

FRONTAL COMO

HORIZONTAL .

ENTONCES LA

RECTA ESTA

CONTENIDA EN EL

PLANO ABC.

Si una recta intercepta dos rectas de un plano en puntos no coincidentes,

entonces esta contenido en el plano.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 15

3.3 RECTA NO CONTENIDA EN UN PLANO.-

NOTAR QUE LA RECTA

PQ CORTA AL PLANO

ABC, EN VISTA

HORIZONTAL EN 1y EN

2, EN LOS LADOS AC y

EN BC , COSA QUE NO

OCURRE AL

PROYECTAR ESTOS

PUNTOS AL PLANO

FRONTAL DONDE LOS

PUNTOS 1 y 2 SOLO

ESTAN EN EL PLANO y

NO EN LA RECTA , DE

MODO QUE LA UNION

DE ESTOS PUNTOS 1y

2 CORTARAN A LA

RECTA PQ HALLANDO

SU INTERSECCION.

ENTONCES LA RECTA

NO ESTA CONTENIDA

EN EL PLANO.

Si una recta no esta contenida en un plano como en el caso anterior entonces

se debe hallar su interseccin.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 16

3.4 PUNTO CONTENIDO EN UN PLANO.-

TRAZAMOS POR EL

PUNTO P , UNA

RECTA CUALQUIERA

QUE CORTE AL

PLANO TAL COMO

A1, EN VISTA

HORIZONTAL AL

PROYECTAR ESTA

RECTA A1 EN VISTA

FRONTAL EL PUNTO

P DEBE ESTAR

SOBRE ESTA RECTA

A1. ENTONCES EL

PUNTO ESTA SOBRE

LA RECTA A1 Y

TAMBIEN EN EL

PLANO ABC.

Si un punto esta en un plano entonces esta contenida en una recta del plano.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 17

3.4 PUNTO QUE NO ESTA CONTENIDO EN UN PLANO.-

NOTAR QUE AL

TRAZAR LA RECTA A1,

POR EL PUNTO P. EN

VISTA FRONTAL. ESTA

AL PROYECTARSE AL

PLANO HORIZONTAL

NO PASA POR EL

PUNTO P. ENTONCES

LA RECTA A1 QUE

ESTA CONTENIDA EN

EL PLANO ABC NO

CONTIENE AL PUNTO

P. LO CUAL INDICA

QUE EL PUNTO P NO

ESTA EN EL PLANO

ABC.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 18

Las rectas notables son aquellas rectas que

estn contenidas en un plano oblicuo y que

permiten proyectar de canto a un plano

oblicuo. Se tienen las siguientes rectas

notables: 1. Recta Horizontal,

2. Recta Frontal,

3. Recta de Perfil,

4. Recta Vertical,

5. Recta Normal,

6. Recta Ortoperfil.

3.5 RECTAS NOTABLES EN UN PLANO.-



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 19

1. LA RECTA HORIZONTAL

dvES LA RECTA PARALELA

AL PLANO PRINCIPAL

HORIZONTAL Y SE

PROYECTA SOBRE EL EN

DIMENSION VERDADERA,

DICHA RECTA ESTA

CONTENIDA EN EL

PLANO.

ESTA RECTA NOS DARA

LA ORIENTACION DEL

PLANO.

RECTA AX HORIZONTAL.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 20

2. LA RECTA FRONTAL

RECTA BX FRONTAL

dv

ES LA RECTA PARALELA

AL PLANO PRINCIPAL

FRONTAL Y SE

PROYECTA SOBRE EL EN

DIMENSION VERDADERA,

DICHA RECTA ESTA

CONTENIDA EN EL

PLANO ABC.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 21

3. RECTA DE PERFIL.

RECTA CX DE PERFIL

dv

ES LA RECTA CONTENIDA

EN EL PLANO ABC. QUE ES

PARALELA AL PLANO

PRINCIPAL DE PERFIL Y

SE PROYECTA SOBRE EL

EN DIMENSION

VERDADERA.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 22

La RMP es aquella recta que esta contenida en

un plano oblicuo y perpendicular a la recta

horizontal de este plano. La pendiente de esta

recta es la misma que la del plano.

LA RMP.- Indica el sentido del recorrido que

sigue un objeto cuando rueda sobre este plano. Y

su recorrido se mide trazando un plano de

elevacin paralelo al recorrido; proyectndose en

dimensin verdadera la recta de mxima

pendiente y al mismo tiempo el plano se

proyectara de canto.

3.6 RECTA DE MXIMA PENDIENTE.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 23

3.6 RECTA DE MXIMA PENDIENTE.

dv

30% =PENDIENTE DEL PLANO.

SO = SENTIDO DE LA RECTA DE

MAXIMA PENDIENTE.

30%SO

LA RECTA DE

MAXIMA PENDIENTE

SE EXPRESA EN

TERMINOS DE

BUZAMIENTO,

CD RECTA DE MAXIMA

PENDIENTE PERPENDICULAR A

LA RECTA HORIZONTAL AX.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 24

Un plano oblicuo se proyectar

de canto o de filo, en cualquier

plano de proyeccin; cuando

una recta notable de este plano

oblicuo se proyecte de punta.

3.7 PROYECCION DE CANTO DE UN PLANO OBLICUO.-



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 25

3.7 PROYECCION DE CANTO DE UN PLANO OBLICUO

SE DAN LAS

PROYECCIONES

DEL PLANO

ABC. SE PIDE

LLEVAR EL

PLANO DE

CANTO.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 26

3.7 PROYECCION DE CANTO DE UN PLANO OBLICUO.-

dv

TRAZAMOS LA RECTA

AX .NOTABLE

HORIZONTAL DENTRO

DEL PLANO ABC.

PROYECTAMOS AX

DE PUNTA TRAZANDO

EL PLANO DE

ELEVACION H1

PERPENDICULAR A

LA PROYECCION DE

LA RECTA

HORIZONTAL AX. EN

EL PLANO H1

PASAMOS LOS

DEMAS PUNTOS DEL

PLANO CON LAS

COTAS, QUEDANDO

ESTOS PUNTOS EN

LINEA , DANDO

FORMA AL PLANO DE

CANTO O DE FILO.

PLANO DE

CANTO



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 27

3.8 DETERMINAMOS LA PENDIENTE DEL PLANO OBLICUO

dv

PLANO DE

CANTO

80

1OO

PARA MEDIR LA

PLANO OBLICUO.

EL PLANO DEBE

DE ESTAR DE

CANTO.

Y ES EL ANGULO

QUE HACE EL

PLANO DE CANTO

CON RESPECTO A

UN PLANO

HORIZONTAL,

PUEDE ESTAR

MEDIDO EN

GRADOS O EN

PORCENTAJE.

PENDIENTE DEL PLANO

80%SO.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 28

3.9 DIMENSION VERDADERA DEL PLANO OBLICUO.-

SE DAN LAS

PROYECCIONES

DEL PLANO

OBLICUO

ABC. HALLAR

SU

DIMENSION

VERDADERA.

Un plano oblicuo que sea paralelo a un plano de proyeccin se proyectar

sobre este en dimensin verdadera.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 29

3.9 DIMENSION VERDADERA DEL PLANO OBLICUO.-

dv

1OO

80

PENDIENTE DEL PLANO

80%SO.

PLANO DE

CANTO

PARALELO AL

PLANO 12

PARA LLEVAR EL

PLANO OBLICUO

A DIMENSION

VERDADERA.

DEBEMOS

PRIMERO

LLEVAR EL

PLANO DE

CANTO. DONDE

SU PENDIENTE,

TRAZAR OTRO

PLANO AUXILIAR

PLANO DE

CANTO.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 30

3.9 DIMENSION VERDADERA DEL PLANO OBLICUO

dv

1OO

80

PENDIENTE DEL PLANO

80%SO.

PLANO DE

CANTO

PARALELO AL

PLANO 12

dv

CON LOS ALEJAMIENTOS

UBICAMOS LOS PUNTOS ABC ,

DEL PLANO Y HALLAMOS SU

DIMENSION VERDADERA EN

VISTA 2.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 31

Es el ngulo comprendido entre

una recta horizontal contenida en el

plano oblicuo con respecto al

meridiano (lnea norte - sur).

Definido de otra manera diremos

que es la direccin de una lnea

horizontal que esta contenida en el

plano.

3.10 ORIENTACIN DE UN PLANO OBLICUO



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 32


SE DAN LAS

PROYECCIONES

DEL PLANO

OBLICUO

ABC. HALLAR

SU

ORIENTACION.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 33


TRAZAMOS POR

EL PLANO ABC

UNA RECTA

HORIZONTAL.

EN ESTE CASO LO

TRAZAMOS POR

EL PUNTO A DEL

PLANO ABC. UNA

RECTA AX QUE

CORTA AL PLANO

EN EL LADO BC.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 34


O E

S

N

O E

S

N

O E

N

S

O E

N

S

LA ORIENTACION

SOLO EN EL

PLANO

HORIZONTAL

DE AX= SE

DE XA =NO

O E

S

N

LA RECTA HORIZONTAL AX NOS

DA LA ORIENTACION DEL

PLANO.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 35

PROBLEMAS RESUELTOS.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 36

Una billa parte del punto M que esta contenida en el plano

El plano ABC tiene una orientacin de N60E y una

pendiente del 120%NO, rueda sobre este hasta el borde y

cae verticalmente sobre el plano normal PQR; que tiene

una pendiente del 50% descendente, rodando tambin

sobre este, finalmente por gravedad cae al suelo .

Completar las proyecciones principales de los planos ABC

y PQR, y determinar la trayectoria, la posicin final de la

billa y la longitud recorrida. Resolver sin vistas auxiliares.

PROBLEMA 3.1:

ESCALA 1:1000

A(3, 7, 11.5) , B(7, - , 17.5) , C(11, 9.5, - );

P(3.5, 4, 16), Q(7.5, - , 17.5) R( 10, - , 12.5);

M(8.5, - , 14), nivel del piso (- , 1, -).



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 37

PASO 1:

17.5

7

3 7

AH

AF

11.5

H

11

9.5 CF

16

4

3.5

FP

HP

7.5

HQ

12.5

10

RH

13.5

8.5

HM

1 Nivel del piso

SE UBICAN LOS

PUNTOS Y SE

UNEN SEGUN

CORRESPONDAN

TAMBIEN

TRAZAMOS EL

NIVEL DEL PISO



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 38

PASO 2:

17.5

7

3 7

AH

AF

11.5

HB

11

9.5 CF

16

4

3.5

FP

HP

7.5

HQ

12.5

10

RH

13.5

8.5

HM

1 Nivel del piso

FB

N60E

HX

dc

H100

120

XH B

CH

YH

F

FX

Y

dc

SE TRAZA LA

DIRECCIN N60 E DEL

PUNTO A y POR EL

PUNTO B UNA RECTA

DE MAXIMA

PENDIENTE QUE ES

PERPENDICULAR A LA

DIRECCION DEL

PLANO

CON LA RECTA BX y

PENDIENTE DE 120%

POR DIFERENCIA DE

COTAS COMPLETAMOS

LAS PROYECCIONES

DEL PLANO ABC.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 39

PASO 3:

17.5

7

3 7

AH

AF

11.5

HB

11

9.5 CF

16

4

3.5

FP

HP

7.5

HQ

12.5

10

RH

13.5

8.5

HM

1 Nivel del piso

FB

N60E

HX

dc

H100

120

XH B

CH

YH

F

FX

Y

dc100

50

FRQF

COMO EL PLANO

PQR ES NORMAL

ESTARA DE

CANTO EN EL

PLANO FRONTAL

DONDE

PODEMOS MEDIR

SU PENDIENTE

DE 50% AL ESTE

ENCONTRANDO

LOS PUNTOS Q

y R.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 40

PASO 4:

Y

M13.5

3

1

4

12.5

9.5

11.5

7

AF

AH

PF

Nivel del piso

3.5

10050

8.57.57

Q5

F

4

3

2

BF

dc

X

1 FM

F

1 H

P16

17.5

H2-3

H

XH

4-5

H

HC

B

10 11

RF

H

F

RH

CF

X

120

100H

dc

N60E

HY

POR EL PUNTO M

TRAZAMOS LA

RECTA DE DE

MAXIMA PENDIENTE

PARA PODER VER EL

MOVIMIENTO DE LA

BILLA,

PROYECTANDO EL

RECORRIDO AL

PLANO FRONTAL

DONDE SE

OBSERVARA MEJOR

EL RECORRIDO.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 41

PASO 5:

Y

M13.5

3

1

4

12.5

9.5

11.5

7

AF

AH

PF

Nivel del piso

3.5

10050

8.57.57

Q5

F

4

3

2

BF

dc

X

1 FM

F

1 H

P16

17.5

H

B Q

2-3

H

XH

4-5

H

HC

B

10 11

RF

H

F

RH

CF

X

120

100H

dc

N60E

HY

SOLUCION FINAL

RECORRIDO TOTAL

DEL PUNTO 1 AL

PUNTO 5.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 42

PROBLEMA 3.2.

La recta RS de 60% de pendiente ascendente esta

contenida en el plano oblicuo ABC. Determinar

las proyecciones principales del plano y su

pendiente en porcentaje. Resolver sin vistas

auxiliares.

A(8.5, 2, 16), B(13.5, - , 11)

C(3, 6, - ). R(7, 5 , 13.5), S(11, - , 9.5)



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 43

PASO 1

8.57

2

16AH

AF

13.5

11B H

6

8

CF

13.5

5

RH

R F

9.5

11

HS

3

EL GRAFICO DE LAS

COORDENADAS



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 44

PASO 2:

8.57

2

16AH

AF

13.5

11B H

6

8

CF

13.5

5

RH

R F

9.5

11

HS

3

dc

S F

R 100H

60

H

dc

S

CON PENDIENTE DE 60% Y

LA PROYECCIN HORIZONTAL

DE LA RECTA RS

COMPLETAMOS LA

PROYECCION DE LA RECTA

RS EN EL PLANO FRONTAL.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 45

PASO 3:

AH

AF

B H

CF

RH

R F

HSS F

Fx

8.57

2

16

13.5

11

6

8

13.5

5

9.5

113

100RH

60

dc

HS

SE PROYECTA LA RECTA RS

HASTA CORTAR A LA RECTA

AC DEL PLANO ABC. EN EL

PUNTO X.

dc



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 46

PASO 4:

AH

AF

B H

CF

RH

R F

HSS F

Fx

x H

SE UBICA EL PUNTO X SOBRE

LA PROYECCION DE LA

RECTA RS, TANTO EN EL

PLANO FRONTAL COMO

HORIZONTAL.

dc

R 100H

60

S H

8.57

16

13.5

11

8

13.5

9.5

113

dc

2

6

5



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 47

PASO 5:

AH

AF

B H

CF

RH

R F

HSS F

Fx

xH

HC

8.57

2

16

13.5

11

6

8

13.5

5

9.5

113

100RH

60

HS

dc

PASAMOS POR EL PUNTO A Y

EL PUNTO X UNA RECTA

HASTA QUE CORTE LA LINEA

DE PROYECCION DEL PUNTO

C, Y SE HALLA EL PUNTO C

EN VISTA HORIZONTAL.

dc



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 48

PASO 6:

AH

AF

B H

CF

RH

R F

HS

S F

Fx

xH

HC

B F

HY

FY

8.57

2

16

13.5

11

6

8

13.5

5

9.5

113

dc

SE COMPLETA EL PLANO ABC

EN VISTA HORIZONTAL,

CORTANDO A LA RECTA RS

EN UN PUNTO Y.

SE COMPLETA EL PUNTO B,

EN FORMA SIMILAR AL

PUNTO ANTERIOR

60

HR 100

dc

S H



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 49

PASO 7:

AH

AF

B H

CF

RH

R F

HS

100

60

RH S H

S F

Fx

xH

HC

B F

HY

FY

HZ

FZ

dc

Hp

Hq

Fp q F

dc

HZ HA

8.57

2

16

13.5

11

6

8

13.5

5

9.5

113

dc

dc

100

110

SE TRAZA LA RECTA

HORIZONTAL PQ, PARA

OBTENER LA RECTA DE

MAXIMA PENDIENTE, Y

PODER HALLAR LA

PENDIENTE DEL PLANO



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 50

PASO 8: SOLUCION FINAL

AH

AF

B H

CF

RH

R F

HS

S F

Fx

xH

HC

B F

HY

FY

HZ

FZ

dc

Hp

Hq

Fp q F

8.57

2

16

13.5

11

6

8

13.5

5

9.5

113

dc

100ZH

110

dc

AH

RH 10060

dc

HS

RESPUESTA :

PENDIENTE = 110%NE



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 51

El plano ABC, tiene orientacin S70E y

pendiente de 70% SO. Del punto M del

plano ABC, parte una billa que resbala en

dicho plano. Al llegar al borde cae

verticalmente al plano normal PQ, de 50%

ascendente. Diga cual es la distancia

recorrida por la billa, si llega hasta el punto

R.

PROBLEMA 3.3:

A(3, 5, 13.5), B(6, 4 , -), C(7.5, -7, - )

R(9, 1, - ). M(5.5, - , 13)



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 52

PASO 1:

H

AF

HM

R F

FB

FC

5

7.5

13.5

3

13

5.5

1

9

4

6

7

GRAFICO DE LOS

PUNTOS



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 53

PASO 2:

HA

AF

HM

R F

FB

FC

H 1

HF

1A

5

7.5

13.5

3

13

5.5

1

9

4

6

7

CO

TA

CO

TA

COMPLETAMOS LAS

PROYECCIONES DEL

PLANO ABC

TRAZAMOS S70E Y

PERPENDICULAR A LA

DIRECCION SE TRAZA EL PLANO

H1 PARA OBTENER EL PLANO DE

CANTO Y GRAFICAR LA

PENDIENTE.

S70E



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 54

PASO 3:

HA

AF

HM

R F

FB

FC

H 1

HF

1A

5

7.5

13.5

3

13

5.5

1

9

4

6

7

S70E

100

70

COMPLETAMOS LAS

PROYECCIONES DEL

PLANO ABC

PLANO DE CANTO

CON 70% DE

PENDIENTE AL SO



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 55

PASO 4:

HA

AF

HM

R F

FB

FC

S70E

H 1

HF

100

70

A1

1C

B 1

C

B

CO

TA

CO

TA

CO

TA

CO

TA

5

7.5

13.5

3

13

5.5

1

9

4

6

7

PLANO DE CANTO

CON 70% DE

PENDIENTE AL SO

SOBRE EL PLANO DE CANTO SE

UBICAN LOS PUNTOS CON SUS

COTAS.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 56

PASO 5:

HA

AF

HM

R F

FB

FC

H 1

HF

A1

1C

B 1

C

B

CO

TA

CO

TA

CO

TA

CO

TA

CH

BH

10050

5

7.5

13.5

3

13

5.5 9

4

6

S70E

100

70

PLANO NORMAL CON 50%E

SE COMPLETAN LAS

PROYECCIONES DEL PLANO ABC.

Y EL PLANO NORMAL

PLANO DE CANTO

CON 70% DE

PENDIENTE AL SO

7

1



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 57

PASO 6:

HA

AF

HM

R F

FB

FC

S70E

H 1

HF

100

70

A1

1C

B 1

CH

BH

10050

FM MF1

2

3

4

F

2

1

RM

P

5

7.5

13.5

3

13

5.5

1

9

4

6

7

PUNTO FINAL R

SOLUCION FINAL

REC TOTAL = DE 1 A 4



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 58

El plano ABC, es un tringulo

equiltero. El punto X pertenece a

la altura trazada desde B al lado

AC. Completar las proyecciones del

plano ABC.

PROBLEMA 3.4:

A(6, 5, 14.5). B(9.5, 7 , 10);

X(9, -, 12.5).



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 59

PASO 1:

HA

AF

B H

B F

HX

5

7

14.5

12.5

6 9.5

10

9

GRAFICO DE LOS

PUNTOS



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 60

PASO 2:

HF

HA

AF

B H

B F

HX

1A

B 1

dc

dc

HA B H

dv DE LA RECTA AB

H 1

5

7

14.5

12.5

6 9.5

10

9

AO

C

B

CON dv DE LA RECTA AB SE

CONSTRUYE EL TRIANGULO

EQUILATERO CON EL FIN DE

OBTENER LA dv DE LA ALTURA.

TRAZAMOS EL PLANO HI

PARALELO A LA ALTURA DEL

TRIANGULO



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 61

PASO 3:

HF

HA

AF

B H

B F

HX

1A

B 1

dc

dc

HA B HB

A C

H 1

O

O1

12

ALTURA

14.5

12.5

6 9.5

10

9

SE TRAZA MEDIA

CIRCUNFERENCIA CON

BASE AB EN VISTA I. Y

CON RADIO IGUAL A LA

ALTURA DEL

TRIANGULO SE HALLA

EL PUNTO MEDIO DEL

LADO OPUESTO O.dv DE LA RECTA AB

ALT

UR

A

5

7



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 62

PASO 4:

HF

HA

AF

B H

B F

HX

1A

B 1

H 1

O1

12

2A

2OB2

2C

C1HC

5

7

14.5

12.5

6 9.5

10

9

ALTURA

AH B H

dc

dc

AO

C

B

ALT

UR

A

LONGITUD DEL LADO

DEL TRIANGULO EN dv.

SE COMPLETA LAS

PROYECCIONES DEL

TRIANGULO

EQUILATERO.

dv DE LA RECTA AB



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 63

PASO 5.- SOLUCION COMPLETA

HF

5

7

14.5

12.5

6 9.5

HA

AF

10

B H

BF

9

HX

1A

B 1

dc

dc

HA B H

dv DE LA RECTA AB

B

A C

H 1

O

ALTURA

ALTU

RA

O1

12

2A

2O

B2

2C

LONGITUD DEL LADO

DEL TRIANGULO EN dv.

C1HC

SE COMPLETA LAS

PROYECCIONES DEL

TRIANGULO

EQUILATERO.

FC

HO



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

PQ es recta de mxima pendiente del

plano PQR. JK mide 4.5cm y es

perpendicular a PQ determinar la

proyeccin horizontal de P y Q

considerar que JK va hacia delante y

PQ va hacia atrs.

PROBLEMA 3.5:

ESCALA 1:1.

P(8, 6, - ), Q(9, 3, - ), R(11, 5, 9);

J(9, 5, - ), K(11, 3, -).

3 - 64



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

PASO.1

6

98 11

F

3

5 RF

RH

P

FJ

FQ

FK

9

GRAFICO

DE LOS

PUNTOS

3 - 65



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

PASO 2:

9

8 9

3

5

6

HF

11

FK

F R

dc

F

H

4.5cm

F1

K11J

J

QF

FP

FQ

FPSE LLEVA A dv LA RECTA JK

y CON LONGITUD 4.5cm EN

POSICION ARBITRARIA .

EM VISTA 1 SE TRAZA LA

RECTA PQ PERPENDICULAR A

LA RECTA JK EN POSICION

ARBITRARIA PQ .

3 - 66



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

PASO 3:

9

8 9

3

5

6

HF

R

11

FK

F R

dc

F

H

4.5cm

F1

K11J

J

QF

FP

FQ







ARBITRARIA PQ .

ALEJ. DE Q

PHALEJ. D

E Q

HQ

POSICION

ARBITRARIA

3 - 67



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

PASO 4:

9

8 9

3

5

6

HF

R

11

FK

F RF

H

4.5cm

F1

K11J

J

QF

FP

FQ







ARBITRARIA PQ .

ALEJ. DE Q

PHALEJ. D

E Q

HQ

POSICION

ARBITRARIA

1Q

H1

1P

RM

P

R1

PLAN

O DE

CAN

TO

3 - 68



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

PASO 5:

9

8 9

3

5

6

HF

R

11

FK

F RF

H

4.5cm

F1

K11J

J

QF

FP

FQ







ARBITRARIA PQ .

ALEJ. DE Q

PHALEJ. D

E Q

HQ

POSICION

ARBITRARIA

1Q

H1

1P

RM

P

R1

PLAN

O DE

CAN

TO

1P

Q1P

Q

PASAMOS EL

PLANO DE

CANTO POR

EL PUNTO R

3 - 69



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

PASO 6:

9

8 9

3

5

6

HF

R

11

FK

F RF

H

4.5cm

F1

K11J

J

QF

FP

FQ







ARBITRARIA PQ .

ALEJ. DE Q

PHALEJ. D

E Q

POSICION

ARBITRARIA

1Q

1PRM

P

R1

PLAN

O DE

CAN

TO

1P

Q1P

Q

RM

P

HQPH

Q H

H1

SE COMPLETA

LA

PROYECCION

HORIZONTAL

DEL PLANO

PQR.

SOLUCION

FINAL

3 - 70



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

Una Billa parte del punto P del plano ABC que

tiene una orientacin de N60E y una pendiente

de 50%SE, rueda sobre este hasta el borde y cae

verticalmente sobre el plano DEF, que tiene una

orientacin de N30O y una pendiente del 90% SO

rodando tambin sobre este, finalmente por

gravedad cae al suelo. Completar las

proyecciones principales de los planos dados y

determinar la trayectoria, la posicin final de la

billa y la longitud recorrida.

PROBLEMA 3.6:

ESCALA 1:10,000

A(6, 10, 15), B(8, - , 18), C(11, - , 14);

D(10.5, 6, 13.5), E(9, - , 17), F(6, - , 14);

P(7, - , 16) S(- , 1, - )

3 - 71



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION : PASO 1:

AF

AH

HB

HE

HD

14

10

13.5

6

6 987

15

16

17

18

1110.5

F H HC

FD

PH

GRAFICO DE

LAS

COORDENADAS

3 - 72



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

PASO 2:

A

1

F

FD

AH

HH D

F

HF HHC

1

E

HP

H

HB

100 50

A1

B1

C1

10.56 7 98 11

6

10

14

13.5

15

16

17

18

N60E SE COMPLETAN LAS

PROYECCIONES DEL

PLANO ABC. CON

DATO DE

N60E SE TRAZA EL

PLANO H1

PERPENDICULAR y EN

VISTA 1 SE TRAZA LA

PENDIENTE DE

50%SE. TENIENDO EL

PLANO DE CANTO.

3 - 73



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

PASO 3:

1C

1A

1

100 50

1B

N60E

DH

DF

HCH

E22D

100

H2

E H

PH

B H

H

F

A

2

90

H

FA

F

H

N30O

10.5 11

18

17

16

15

7 8 96

6

13.5

10

14

DE IGUAL MANERA

CON DATO DE

N30O Y

PENDIENTE

DE 90%SO SE

HALLA EL PLANO

DE CANTO EN

VISTA 2.

3 - 74



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

PASO 4:

N30O

E

H

AF

F

HA

F H

H

90

2

2D

100

E2

B

2H

H

CN60E

FD

H

DH

HC1

1

B1

50

A

100

1

18

6

17

16

15

13.5

10

14

6 7 8 9 1110.5

PH

FB

CF

F

FE

F

CON LAS COTAS

SE COMPLETAN

LAS

PROYECCIONES

DE AMBOS

PLANOS .

3 - 75



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

PASO 5:

N30O

H

FF

F

AF

H

EF

B F

90

2F

A

F

H

HB

HP

HE

2H

100

D22E

HCH

C

FD

F

HD

N60E

B1

50

100

1

A1

C1

10

6

6 987 1110.5

14

13.5

15

16

17

18

SE TRAZA RECTAS

DE MAXIMA

PENDIENTE POR

AMBOS PLANOS A

PARTIR DEL

PUNTO P y SE

ANALIZA EL

RECORRIDO DE LA

BILLA

RESP: REC .TOTAL

DE 1 A 4

SOLUCION FINAL.

3 - 76



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

PROBLEMA 3.7:

PQ es una recta que tiene una pendiente de 100%

hacia arriba , y esta contenida en el plano ABC.

Completar las proyecciones del plano y de la recta,

adems hallar la pendiente del plano, y de la

respuesta en porcentaje. No usar vistas auxiliares.

3 - 77



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION: Paso 1

3 - 78



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION: Paso 2

3 - 79



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION: Paso 3

3 - 80



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION: Paso 4

3 - 81



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION: Paso 5

3 - 82



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION: Paso 6

3 - 83



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION: Paso 7

3 - 84



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION: Paso 8

3 - 85



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

SOLUCION: Paso 9

3 - 86



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 87

SOLUCION: Paso 10



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 88

SOLUCION: Paso 11



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

AB, y AD . Son los lados de un rectngulo ABCD., completar

las proyecciones y hallar su dimensin verdadera. A(2, 6, 12),

B(2, 3, 9), D( 4, 4, -).

3 - 89

PROBLEMA 3.8:



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 90

PROBLEMA: PROBLEMA: Paso 1



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 91

PROBLEMA: Paso 2



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 92

PROBLEMA: Paso 3



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 93

PROBLEMA: Paso 4



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 94

PROBLEMA: Paso 5



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 95

PROBLEMA: Paso 6



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3 - 96

PROBLEMA: Paso 7



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

Una billa parte de un punto M. del plano ABC. Que

tiene orientacin S60E. Y una pendiente del 40%SO.

Rueda sobre este hasta el borde y cae verticalmente

sobre el plano PQR que tiene una orientacin N75O y

una pendiente del 80%NE, rodando tambin sobre ste,

finalmente por gravedad cae al suelo. Completar las

proyecciones principales de los planos dados y

determinar la trayectoria, la posicin final de la billa y

la longitud recorrida. ESCALA:1:1000.

PROBLEMA 3.9:

A(5, 10, 18), B(8.5, 8, - ), C(12.5, 13, - ), P(12, 5, 16)

Q(8, 2, -), R(4, 8, -), M(5, - , 17), suelo(-, 1, -).



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

1.- Paso.- grafico de los puntos



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

2.- Paso.- unin de los puntos



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3.- Paso.- se completan las proyecciones de ambos planos



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena




Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

6.- Paso.- solucin final



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

O es el centro de un triangulo equiltero. ABC.

Este plano tiene una orientacin de S60E. Y

pendiente de 40SO . Hallar las proyecciones

del mencionado triangulo.

PROBLEMA 3.10:



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

1.- Paso.-con dato de la direccin.



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

2.- Paso.-con dato de la direccin y pendiente



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

3.- Paso.- grafico del tringulo



Terc

era

E

dic

in

Vctor Vidal Barrena

4.- Paso.- completamos las proyecciones del triangulo

capítulo 04 el plano

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