capitulo 04 el plano

GEOMETRÍADESCRIPTIVA

Primera Edición

Geometría

Descriptiva

Autor:

Víctor Vidal Barrena

Universidad

Nacional de Ingeniería

CAPÍTULO

© 2012 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

EL PLANO

©2012 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Prim

era

Edic

ión


4 - 2



Prim

era

Edic

ión


3 - 3

El plano es una superficie en laque una recta que conecte dospuntos cualquiera descansa porcompleto sobre ella. Dos líneascualquiera trazadas en un planodeben intersectarse o serparalelas entre sí.

3.1 Su determinación:



Prim

era

Edic

ión


3 - 4

La figura muestra cuatro formas derepresentar un plano oblicuo oinclinado, ya sea mediante dos rectasconcurrentes o bien utilizando dosrectas paralelas, tres puntos nocolineales o un punto y una recta,como se indica en las figurassiguientes .

3.1 Su determinación:



Prim

era

Edic

ión


3 - 5

3.1.1 EL PLANO ESTA FORMADO POR :

DOS RECTAS QUE SE SE CORTAN.

DOS RECTAS



Prim

era

Edic

ión


3 - 6

3.1.1 EL PLANO ESTA FORMADO POR:

UNA RECTA Y UN PUNTO EXTERIOR

TENER MINIMO TRES PUNTOS. Y MAS PERO COPLANARES.



Prim

era

Edic

ión


3 - 7

3.2 POSICIONES PARTICULARES DE UN PLANO EN EL ESPACIO:

Es la posición que adopta un plano de ser paralelo o perpendiculara los planos principales de proyección, para ambas posiciones elplano se proyecta de canto en uno de los planos principales.

3.2.1 CON RESPECTO AL PARALELISMO

Un plano al ser paralelo a un plano de proyección, se proyectará sobre él en dimensión verdadera; se tienen tres tipos de planos:

1.- Plano horizontal2.- Plano frontal3.- Plano de perfil



Prim

era

Edic

ión


3 - 8

1. PLANO HORIZONTAL:

dv

PROYECCION TRIDIMENSIONAL

DEPURADO

Es aquel plano que aparece de canto y paralelo al plano principal

horizontal proyectándose sobre él en dimensión verdadera.



Prim

era

Edic

ión


3 - 9

2. PLANO FRONTAL.-


dv

DEPURADO

Es aquel plano que aparece de canto y paralelo al plano principal frontal,

proyectándose sobre el en dimensión verdadera.



Prim

era

Edic

ión


3 - 10

3. PLANO DE PERFIL.-


DEPURADO

dv

Es aquel plano que aparece de canto y paralelo al plano principal de perfil,

proyectándose sobre el en dimensión verdadera.



Prim

era

Edic

ión


3 - 11

Un plano al ser perpendicular a un plano de proyección, se proyectará sobre él de vista de canto; se tienen los siguientes tipos de planos:

1.- Plano vertical2.- Plano normal3.- Plano ortoperfil

3.2.2 CON RESPECTO A LA PERPENDICULARIDAD:



Prim

era

Edic

ión


3 - 12

1. PLANO VERTICAL.-


DEPURADO

Es aquel plano que es perpendicular al plano principal horizontal y se

proyecta sobre el de canto .



Prim

era

Edic

ión


3 - 13

2. PLANO NORMAL.-


DEPURADO

Es aquel plano que es perpendicular al plano principal frontal y se proyecta

sobre el de canto.



Prim

era

Edic

ión


3 - 14

3. PLANO ORTOPERFIL.-

DEPURADO


Es aquel plano que es perpendicular al plano principal de perfil y se proyecta

sobre el de canto.



Prim

era

Edic

ión


3 - 15

3.3 RECTA CONTENIDA EN UN PLANO.-

NOTAR QUE LA RECTA PQ CORTA AL PLANO ABC EN LOS PUNTOS 1y 2 . AL PLANO ABC LO CORTA EN EL PUNTO 1 EN EL LADO AC , y AL PUNTO 2 EN EL LADO BC. TANTO EN LA VISTA FRONTAL COMO HORIZONTAL .ENTONCES LA RECTA ESTA CONTENIDA EN EL PLANO ABC.

Si una recta intercepta dos rectas de un plano en puntos no coincidentes,

entonces esta contenido en el plano.



Prim

era

Edic

ión


3 - 16

3.3 RECTA NO CONTENIDA EN UN PLANO.-

NOTAR QUE LA RECTA PQ CORTA AL PLANO ABC, EN VISTA HORIZONTAL EN 1y EN 2, EN LOS LADOS AC y EN BC , COSA QUE NO OCURRE AL PROYECTAR ESTOS PUNTOS AL PLANO FRONTAL DONDE LOS PUNTOS 1 y 2 SOLO ESTAN EN EL PLANO y NO EN LA RECTA , DE MODO QUE LA UNION DE ESTOS PUNTOS 1y 2 CORTARAN A LA RECTA PQ HALLANDO SU INTERSECCION. ENTONCES LA RECTA NO ESTA CONTENIDA EN EL PLANO.

Si una recta no esta contenida en un plano como en el caso anterior entonces

se debe hallar su intersección.



Prim

era

Edic

ión


3 - 17

3.4 PUNTO CONTENIDO EN UN PLANO.-

TRAZAMOS POR EL PUNTO P , UNA RECTA CUALQUIERA QUE CORTE AL PLANO TAL COMO A1, EN VISTA HORIZONTAL AL PROYECTAR ESTA RECTA A1 EN VISTA FRONTAL EL PUNTO P DEBE ESTAR SOBRE ESTA RECTA A1. ENTONCES EL PUNTO ESTA SOBRE LA RECTA A1 Y TAMBIEN EN EL PLANO ABC.

Si un punto esta en un plano entonces esta contenida en una recta del plano.



Prim

era

Edic

ión


3 - 18

3.4 PUNTO QUE NO ESTA CONTENIDO EN UN PLANO.-

NOTAR QUE AL TRAZAR LA RECTA A1, POR EL PUNTO P. EN VISTA FRONTAL. ESTA AL PROYECTARSE AL PLANO HORIZONTAL NO PASA POR EL PUNTO P. ENTONCES LA RECTA A1 QUE ESTA CONTENIDA EN EL PLANO ABC NO CONTIENE AL PUNTO P. LO CUAL INDICA QUE EL PUNTO P NO ESTA EN EL PLANO ABC.



Prim

era

Edic

ión


3 - 19

Las rectas notables son aquellas rectas que están contenidas en un plano oblicuo y que permiten proyectar de canto a un plano oblicuo. Se tienen las siguientes rectas notables:

1. Recta Horizontal, 2. Recta Frontal, 3. Recta de Perfil, 4. Recta Vertical, 5. Recta Normal,6. Recta Ortoperfil.

3.5 RECTAS NOTABLES EN UN PLANO.-



Prim

era

Edic

ión


3 - 20

1. LA RECTA HORIZONTAL

dvES LA RECTA PARALELA AL PLANO PRINCIPAL HORIZONTAL Y SE PROYECTA SOBRE EL EN DIMENSION VERDADERA, DICHA RECTA ESTA CONTENIDA EN EL PLANO. ESTA RECTA NOS DARA LA ORIENTACION DEL PLANO.

RECTA AX HORIZONTAL.



Prim

era

Edic

ión


3 - 21

2. LA RECTA FRONTAL

RECTA BX FRONTAL

dv

ES LA RECTA PARALELA AL PLANO PRINCIPAL FRONTAL Y SE PROYECTA SOBRE EL EN DIMENSION VERDADERA, DICHA RECTA ESTA CONTENIDA EN EL PLANO ABC.



Prim

era

Edic

ión


3 - 22

3. RECTA DE PERFIL.

RECTA CX DE PERFIL

dv

ES LA RECTA CONTENIDA EN EL PLANO ABC. QUE ES PARALELA AL PLANO PRINCIPAL DE PERFIL Y SE PROYECTA SOBRE EL EN DIMENSION VERDADERA.



Prim

era

Edic

ión


3 - 23

La RMP es aquella recta que esta contenida en un plano oblicuo y perpendicular a la recta horizontal de este plano. La pendiente de esta recta es la misma que la del plano.

LA RMP.- Indica el sentido del recorrido que sigue un objeto cuando rueda sobre este plano. Y su recorrido se mide trazando un plano de elevación paralelo al recorrido; proyectándose en dimensión verdadera la recta de máxima pendiente y al mismo tiempo el plano se proyectara de canto.

3.6 RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE.



Prim

era

Edic

ión


3 - 24

3.6 RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE.

dv

30% = PENDIENTE DEL PLANO.SO = SENTIDO DE LA RECTA DE MAXIMA PENDIENTE.

30%SO

LA RECTA DE MAXIMA PENDIENTE SE EXPRESA EN TERMINOS DE BUZAMIENTO,

CD RECTA DE MAXIMA PENDIENTE PERPENDICULAR A LA RECTA HORIZONTAL AX.



Prim

era

Edic

ión


3 - 25

Un plano oblicuo se proyectará decanto o de filo, en cualquier planode proyección; cuando una rectanotable de este plano oblicuo seproyecte de punta.

3.7 PROYECCION DE CANTO DE UN PLANO OBLICUO.-



Prim

era

Edic

ión


3 - 26

3.7 PROYECCION DE CANTO DE UN PLANO OBLICUO

SE DAN LAS PROYECCIONES DEL PLANO ABC. SE PIDE LLEVAR EL PLANO DE CANTO.



Prim

era

Edic

ión


3 - 27

3.7 PROYECCION DE CANTO DE UN PLANO OBLICUO.-

dv

TRAZAMOS LA RECTA AX .NOTABLE HORIZONTAL DENTRO DEL PLANO ABC. PROYECTAMOS AX DE PUNTA TRAZANDO EL PLANO DE ELEVACION H1 PERPENDICULAR A LA PROYECCION DE LA RECTA HORIZONTAL AX. EN EL PLANO H1 PASAMOS LOS DEMAS PUNTOS DEL PLANO CON LAS COTAS, QUEDANDO ESTOS PUNTOS EN LINEA , DANDO FORMA AL PLANO DE CANTO O DE FILO.

PLANO DE CANTO



Prim

era

Edic

ión


3 - 28

3.8 DETERMINAMOS LA PENDIENTE DEL PLANO OBLICUO

dv

PLANO DE CANTO

80

1OO

PARA MEDIR LA

PLANO OBLICUO. EL PLANO DEBE DE ESTAR DE CANTO.Y ES EL ANGULO QUE HACE EL PLANO DE CANTO CON RESPECTO A UN PLANO HORIZONTAL, PUEDE ESTAR MEDIDO EN GRADOS O EN PORCENTAJE.

PENDIENTE DEL PLANO 80%SO.



Prim

era

Edic

ión


3 - 29

3.9 DIMENSION VERDADERA DEL PLANO OBLICUO.-

SE DAN LAS PROYECCIONES DEL PLANO OBLICUO ABC. HALLAR SU DIMENSION VERDADERA.

Un plano oblicuo que sea paralelo a un plano de proyección se proyectará

sobre este en dimensión verdadera.



Prim

era

Edic

ión


3 - 30

3.9 DIMENSION VERDADERA DEL PLANO OBLICUO.-

dv

1OO

80


PLANO DE CANTO PARALELO AL PLANO 12

PARA LLEVAR EL PLANO OBLICUO A DIMENSION VERDADERA. DEBEMOS PRIMERO LLEVAR EL PLANO DE CANTO. DONDE

SU PENDIENTE,

TRAZAR OTRO PLANO AUXILIAR

PLANO DE CANTO.



Prim

era

Edic

ión


3 - 31

3.9 DIMENSION VERDADERA DEL PLANO OBLICUO

dv

1OO

80


PLANO DE CANTO PARALELO AL PLANO 12

dv

CON LOS ALEJAMIENTOS UBICAMOS LOS PUNTOS ABC , DEL PLANO Y HALLAMOS SU DIMENSION VERDADERA EN VISTA 2.



Prim

era

Edic

ión


3 - 32

Es el ángulo comprendido entre unarecta horizontal contenida en el planooblicuo con respecto al meridiano(línea norte - sur). Definido de otramanera diremos que es la direcciónde una línea horizontal que estacontenida en el plano.

3.10 ORIENTACIÓN DE UN PLANO OBLICUO



Prim

era

Edic

ión


3 - 33


SE DAN LAS PROYECCIONES DEL PLANO OBLICUO ABC. HALLAR SU ORIENTACION.



Prim

era

Edic

ión


3 - 34


TRAZAMOS POR EL PLANO ABC UNA RECTA HORIZONTAL.EN ESTE CASO LO TRAZAMOS POR EL PUNTO A DEL PLANO ABC. UNA RECTA AX QUE CORTA AL PLANO EN EL LADO BC.



Prim

era

Edic

ión


3 - 35


O E

S

N

O E

S

N

O E

N

S

O E

N

S

LA ORIENTACION SOLO EN EL PLANO HORIZONTAL

DE AX= SØ°E

DE XA =NØ°O

O E

S

N

LA RECTA HORIZONTAL AX NOS DA LA ORIENTACION DEL PLANO.



Prim

era

Edic

ión


3 - 36

PROBLEMAS RESUELTOS.



Prim

era

Edic

ión


3 - 37

Una billa parte del punto M que esta contenida en el planoEl plano ABC tiene una orientación de N60°E y unapendiente del 120%NO, rueda sobre este hasta el borde ycae verticalmente sobre el plano normal PQR; que tieneuna pendiente del 50% descendente, rodando tambiénsobre este, finalmente por gravedad cae al suelo .Completar las proyecciones principales de los planos ABCy PQR, y determinar la trayectoria, la posición final de labilla y la longitud recorrida. Resolver sin vistas auxiliares.

PROBLEMA 3.1:

ESCALA 1:1000

A(3, 7, 11.5) , B(7, - , 17.5) , C(11, 9.5, - );

P(3.5, 4, 16), Q(7.5, - , 17.5) R( 10, - , 12.5);

M(8.5, - , 14), nivel del piso (- , 1, -).



Prim

era

Edic

ión


3 - 38

PASO 1:17.5

7

3 7

AH

AF

11.5

H

11

9.5 CF

16

4

3.5

FP

HP

7.5

HQ

12.5

10

RH

13.5

8.5

HM

1 Nivel del piso

SE UBICAN LOS PUNTOS Y SE UNEN SEGUN CORRESPONDAN

TAMBIEN TRAZAMOS EL NIVEL DEL PISO



Prim

era

Edic

ión


3 - 39

PASO 2:

17.5

7

3 7

AH

AF

11.5

HB

11

9.5 CF

16

4

3.5

FP

HP

7.5

HQ

12.5

10

RH

13.5

8.5

HM

1 Nivel del piso

FB

N60°E

HX

dc

H100

120

XH B

CH

YH

F

FX

Y

dc

SE TRAZA LA DIRECCIÓN N60 E DEL PUNTO A y POR EL PUNTO B UNA RECTA DE MAXIMA PENDIENTE QUE ES PERPENDICULAR A LA DIRECCION DEL PLANO CON LA RECTA BX y PENDIENTE DE 120% POR DIFERENCIA DE COTAS COMPLETAMOS LAS PROYECCIONES DEL PLANO ABC.



Prim

era

Edic

ión


3 - 40

PASO 3:

17.5

7

3 7

AH

AF

11.5

HB

11

9.5 CF

16

4

3.5

FP

HP

7.5

HQ

12.5

10

RH

13.5

8.5

HM

1 Nivel del piso

FB

N60°E

HX

dc

H100

120

XH B

CH

YH

F

FX

Y

dc100

50

FRQF

COMO EL PLANO PQR ES NORMAL ESTARA DE CANTO EN EL PLANO FRONTAL DONDE PODEMOS MEDIR SU PENDIENTE DE 50% AL ESTE ENCONTRANDO LOS PUNTOS Q y R.



Prim

era

Edic

ión


3 - 41

PASO 4:

Y

M13.5

3

1

4

12.5

9.5

11.5

7AF

AH

PF

Nivel del piso

3.5

10050

8.57.57

Q5

F

4

3

2

BF

dc

X

1 FM

F

1 H

P16

17.5

H2-3

H

XH

4-5

H

HC

B

10 11

RF

H

F

RH

CF

X

120

100H

dc

N60°E

HY

POR EL PUNTO M TRAZAMOS LA RECTA DE DE MAXIMA PENDIENTEPARA PODER VER EL MOVIMIENTO DE LA BILLA, PROYECTANDO EL RECORRIDO AL PLANO FRONTAL DONDE SE OBSERVARA MEJOR EL RECORRIDO.



Prim

era

Edic

ión


3 - 42

PASO 5:

Y

M13.5

3

1

4

12.5

9.5

11.5

7AF

AH

PF

Nivel del piso

3.5

10050

8.57.57

Q5

F

4

3

2

BF

dc

X

1 FM

F

1 H

P16

17.5

H

B Q

2-3

H

XH

4-5

H

HC

B

10 11

RF

H

F

RH

CF

X

120

100H

dc

N60°E

HY

SOLUCION FINAL

RECORRIDO TOTAL DEL PUNTO 1 AL PUNTO 5.



Prim

era

Edic

ión


3 - 43

PROBLEMA 3.2.

La recta RS de 60% de pendiente ascendente esta

contenida en el plano oblicuo ABC. Determinar

las proyecciones principales del plano y su

pendiente en porcentaje. Resolver sin vistas

auxiliares.

A(8.5, 2, 16), B(13.5, - , 11)

C(3, 6, - ). R(7, 5 , 13.5), S(11, - , 9.5)



Prim

era

Edic

ión


3 - 44

PASO 1

8.57

2

16AH

AF

13.5

11B H

6

8

CF

13.5

5

RH

RF

9.5

11

HS

3

EL GRAFICO DE LAS

COORDENADAS



Prim

era

Edic

ión


3 - 45

PASO 2:

8.57

2

16AH

AF

13.5

11BH

6

8

CF

13.5

5

RH

RF

9.5

11

HS

3

dc

SF

R 100H

60

H

dc

S

CON PENDIENTE DE 60% Y

LA PROYECCIÓN HORIZONTAL

DE LA RECTA RS

COMPLETAMOS LA

PROYECCION DE LA RECTA

RS EN EL PLANO FRONTAL.



Prim

era

Edic

ión


3 - 46

PASO 3:

AH

AF

B H

CF

RH

RF

HSSF

Fx

8.57

2

16

13.5

11

6

8

13.5

5

9.5

113

100RH

60

dc

HS

SE PROYECTA LA RECTA RS HASTA CORTAR A LA RECTA AC DEL PLANO ABC. EN EL PUNTO X.

dc



Prim

era

Edic

ión


3 - 47

PASO 4:

AH

AF

BH

CF

RH

RF

HSSF

Fx

x H

SE UBICA EL PUNTO X SOBRE LA PROYECCION DE LA RECTA RS, TANTO EN EL PLANO FRONTAL COMO HORIZONTAL.

dc

R 100H

60

SH

8.57

16

13.5

11

8

13.5

9.5

113

dc

2

6

5



Prim

era

Edic

ión


3 - 48

PASO 5:A H

A F

B H

C F

R H

R F

HSS F

Fx

xH

HC

8.57

2

16

13.5

11

6

8

13.5

5

9.5

113

100R H

60

HS

dc

PASAMOS POR EL PUNTO A Y EL PUNTO X UNA RECTA HASTA QUE CORTE LA LINEA DE PROYECCION DEL PUNTO C, Y SE HALLA EL PUNTO C EN VISTA HORIZONTAL.

dc



Prim

era

Edic

ión


3 - 49

PASO 6:

A H

A F

B H

C F

R H

R F

HS

S F

Fx

xH

HC

B F

HY

FY

8.57

2

16

13.5

11

6

8

13.5

5

9.5

113

dc

SE COMPLETA EL PLANO ABC EN VISTA HORIZONTAL, CORTANDO A LA RECTA RS EN UN PUNTO Y.

SE COMPLETA EL PUNTO B, EN FORMA SIMILAR AL PUNTO ANTERIOR

60

HR 100

dc

S H



Prim

era

Edic

ión


3 - 50

PASO 7:

A H

A F

B H

C F

R H

R F

HS

100

60

R H S H

S F

Fx

xH

HC

B F

HY

FY

HZ

FZ

dc

Hp

Hq

Fp q F

dc

HZ HA

8.57

2

16

13.5

11

6

8

13.5

5

9.5

113

dc

dc

100

110

SE TRAZA LA RECTA HORIZONTAL PQ, PARA OBTENER LA RECTA DE MAXIMA PENDIENTE, Y PODER HALLAR LA PENDIENTE DEL PLANO



Prim

era

Edic

ión


3 - 51

PASO 8: SOLUCION FINALA H

A F

B H

C F

R H

R F

HS

S F

Fx

xH

HC

B F

HY

FY

HZ

FZ

dc

Hp

Hq

Fp q F

8.57

2

16

13.5

11

6

8

13.5

5

9.5

113

dc

100Z H

110

dc

A H

R H100

60

dc

HS

RESPUESTA :PENDIENTE = 110%NE



Prim

era

Edic

ión


3 - 52

El plano ABC, tiene orientación S70°E ypendiente de 70% SO. Del punto M del planoABC, parte una billa que resbala en dichoplano. Al llegar al borde cae verticalmente alplano normal PQ, de 50% ascendente. Digacual es la distancia recorrida por la billa, sillega hasta el punto R.

PROBLEMA 3.3:

A(3, 5, 13.5), B(6, 4 , -), C(7.5, -7, - )

R(9, 1, - ). M(5.5, - , 13)



Prim

era

Edic

ión


3 - 53

PASO 1:H

A F

HM

R F

FB

FC

5

7.5

13.5

3

13

5.5

1

9

4

6

7

GRAFICO DE LOS PUNTOS



Prim

era

Edic

ión


3 - 54

PASO 2:

HA

A F

HM

R F

FB

FC

H 1

HF

1A

5

7.5

13.5

3

13

5.5

1

9

4

6

7

COTA

COTA

COMPLETAMOS LAS PROYECCIONES DEL PLANO ABC

TRAZAMOS S70°E Y PERPENDICULAR A LA DIRECCION SE TRAZA EL PLANO H1 PARA OBTENER EL PLANO DE CANTO Y GRAFICAR LA PENDIENTE.

S70°E



Prim

era

Edic

ión


3 - 55

PASO 3:

HA

A F

HM

R F

FB

FC

H 1

HF

1A

5

7.5

13.5

3

13

5.5

1

9

4

6

7

S70°E

100

70

COMPLETAMOS LAS PROYECCIONES DEL PLANO ABC

PLANO DE CANTO CON 70% DE PENDIENTE AL SO



Prim

era

Edic

ión


3 - 56

PASO 4:

HA

A F

HM

R F

FB

FC

S70°E

H 1

HF

100

70

A 1

1C

B 1

C

B

COTACOTA

COTA

COTA

5

7.5

13.5

3

13

5.5

1

9

4

6

7


SOBRE EL PLANO DE CANTO SE UBICAN LOS PUNTOS CON SUS COTAS.



Prim

era

Edic

ión


3 - 57

PASO 5:

HA

A F

HM

R F

FB

FC

H 1

HF

A 1

1C

B 1

C

B

COTACOTA

COTA

COTA

CH

BH

10050

5

7.5

13.5

3

13

5.5 9

4

6

S70°E

100

70

PLANO NORMAL CON 50%E

SE COMPLETAN LAS PROYECCIONES DEL PLANO ABC.Y EL PLANO NORMAL


7

1



Prim

era

Edic

ión


3 - 58

PASO 6:

HA

A F

HM

R F

FB

FC

S70°E

H 1

HF

100

70

A 1

1C

B 1

C H

BH

10050

FMM F

1

2

3

4

F

2

1

RMP

5

7.5

13.5

3

13

5.5

1

9

4

6

7

PUNTO FINAL R

SOLUCION FINAL

REC TOTAL = DE 1 A 4



Prim

era

Edic

ión


3 - 59

El plano ABC, es un triángulo equilátero. Elpunto X pertenece a la altura trazada desde Bal lado AC. Completar las proyecciones delplano ABC.

PROBLEMA 3.4:

A(6, 5, 14.5). B(9.5, 7 , 10);

X(9, -, 12.5).



Prim

era

Edic

ión


3 - 60

PASO 1:

HA

A F

B H

B F

HX

5

7

14.5

12.5

6 9.5

10

9




Prim

era

Edic

ión


3 - 61

PASO 2:

HF

HA

A F

B H

B F

HX

1A

B 1

dc

dc

HA B H

dv DE LA RECTA AB

H 1

5

7

14.5

12.5

6 9.5

10

9

AO

C

B

CON dv DE LA RECTA AB SE CONSTRUYE EL TRIANGULO EQUILATERO CON EL FIN DE OBTENER LA dv DE LA ALTURA.

TRAZAMOS EL PLANO HI PARALELO A LA ALTURA DEL TRIANGULO



Prim

era

Edic

ión


3 - 62

PASO 3:

HF

HA

A F

B H

B F

HX

1A

B 1

dc

dc

HA B H

B

A C

H 1

O

O1

12

ALTURA

14.5

12.5

6 9.5

10

9

SE TRAZA MEDIA CIRCUNFERENCIA CON BASE AB EN VISTA I. Y CON RADIO IGUAL A LA ALTURA DEL TRIANGULO SE HALLA EL PUNTO MEDIO DEL LADO OPUESTO O.

dv DE LA RECTA AB

ALTURA

5

7



Prim

era

Edic

ión


3 - 63

PASO 4:

HF

HA

A F

B H

B F

HX

1A

B 1

H 1

O1

12

2A

2OB2

2C

C 1

HC

5

7

14.5

12.5

6 9.5

10

9

ALTURA

A HB H

dc

dc

AO

C

B

ALTURA

LONGITUD DEL LADO DEL TRIANGULO EN dv.

SE COMPLETA LAS PROYECCIONES DEL TRIANGULO EQUILATERO.

dv DE LA RECTA AB



Prim

era

Edic

ión


3 - 64

PASO 5.- SOLUCION COMPLETA

HF

5

7

14.5

12.5

6 9.5

HA

AF

10

B H

BF

9

HX

1A

B1

dc

dc

HA B H

dv DE LA RECTA AB

B

A C

H1

O

ALTURA

ALTURA

O1

12

2A

2OB2

2C

LONGITUD DEL LADO DEL TRIANGULO EN dv.

C1

HC

SE COMPLETA LAS PROYECCIONES DEL TRIANGULO EQUILATERO.

FC

HO



Prim

era

Edic

ión


PQ es recta de máxima pendiente del plano

PQR. JK mide 4.5cm y es perpendicular a

PQ determinar la proyección horizontal de

P y Q considerar que JK va hacia delante y

PQ va hacia atrás.

PROBLEMA 3.5:

ESCALA 1:1.

P(8, 6, - ), Q(9, 3, - ), R(11, 5, 9);

J(9, 5, - ), K(11, 3, -).

3 - 65



Prim

era

Edic

ión


PASO.1

6

98 11

F

3

5 RF

RH

P

FJ

FQ

FK

9


3 - 66



Prim

era

Edic

ión


PASO 2:

9

8 9

3

5

6

HF

11

FK

F R

dcF

H

4.5cm

F1

K 11J

J

QF

FP

FQ

FPSE LLEVA A dv LA RECTA JK y CON LONGITUD 4.5cm EN POSICION ARBITRARIA .

EM VISTA 1 SE TRAZA LA RECTA PQ PERPENDICULAR A LA RECTA JK EN POSICION ARBITRARIA PQ .

3 - 67



Prim

era

Edic

ión


PASO 3:

9

8 9

3

5

6

HF

R

11

FK

F R

dcF

H

4.5cm

F1

K 11J

J

QF

FP

FQ



ALE

J. DE Q

PHALEJ. DE Q

HQ

POSICION ARBITRARIA

3 - 68



Prim

era

Edic

ión


PASO 4:

9

8 9

3

5

6

HF

R

11

FK

F R F

H

4.5cm

F1

K 11J

J

QF

FP

FQ



ALE

J. DE Q

PHALEJ. DE Q

HQ

POSICION ARBITRARIA

1Q

H1

1P

RMP

R1

PLANO

DE CANT

O

3 - 69



Prim

era

Edic

ión


PASO 5:

9

8 9

3

5

6

HF

R

11

FK

F R F

H

4.5cm

F1

K 11J

J

QF

FP

FQ



ALE

J. DE Q

PHALEJ. DE Q

HQ

POSICION ARBITRARIA

1Q

H1

1P

RMP

R1

PLANO

DE CANT

O1P

Q1P

Q

PASAMOS EL PLANO DE CANTO POR EL PUNTO R

3 - 70



Prim

era

Edic

ión


PASO 6:

9

8 9

3

5

6

HF

R

11

FK

F R F

H

4.5cm

F1

K 11J

J

QF

FP

FQ



ALE

J. DE Q

PHALEJ. DE Q

POSICION ARBITRARIA

1Q

1PRMP

R1

PLANO

DE CANT

O1P

Q1P

Q

RMP

HQPH

Q H

H1

SE COMPLETA LA PROYECCION HORIZONTAL DEL PLANO PQR.

SOLUCION FINAL

3 - 71



Prim

era

Edic

ión


Una Billa parte del punto P del plano ABC quetiene una orientación de N60°E y una pendientede 50%SE, rueda sobre este hasta el borde y caeverticalmente sobre el plano DEF, que tiene unaorientación de N30°O y una pendiente del 90% SOrodando también sobre este, finalmente porgravedad cae al suelo. Completar lasproyecciones principales de los planos dados ydeterminar la trayectoria, la posición final de labilla y la longitud recorrida.

PROBLEMA 3.6:

ESCALA 1:10,000A(6, 10, 15), B(8, - , 18), C(11, - , 14); D(10.5, 6, 13.5), E(9, - , 17), F(6, - , 14);P(7, - , 16) S(- , 1, - )

3 - 72



Prim

era

Edic

ión


SOLUCION : PASO 1:

AF

AH

HB

HE

HD

14

10

13.5

6

6 987

15

16

17

18

1110.5

F H HC

FD

PH

GRAFICO DE LAS COORDENADAS

3 - 73



Prim

era

Edic

ión


PASO 2:

A

1

F

FD

AH

HH D

F

HF HHC

1

E

HP

H

HB

100 50

A1

B 1

C1

10.56 7 98 11

6

10

14

13.5

15

16

17

18

N60°E SE COMPLETAN LAS

PROYECCIONES DEL PLANO ABC. CON DATO DE N60°E SE TRAZA EL PLANO H1 PERPENDICULAR y EN VISTA 1 SE TRAZA LA PENDIENTE DE 50%SE. TENIENDO EL PLANO DE CANTO.

3 - 74



Prim

era

Edic

ión


PASO 3:

1C

1A

1

100 50

1B

N60°E

DH

DF

HC H

E22D

100

H2

E H

PH

B H

H

F

A

2

90

H

FA

F

H

N30°O

10.5 11

18

17

16

15

7 8 96

6

13.5

10

14

DE IGUAL MANERA CON DATO DE N30°O Y PENDIENTEDE 90%SO SE HALLA EL PLANO DE CANTO EN VISTA 2.

3 - 75



Prim

era

Edic

ión


PASO 4:

N30°O

E

H

AF

F

HA

F H

H

90

2

2D

100

E2

B

2H

H

CN60°E

FD

H

DH

HC1

1

B 1

50

A

100

1

18

6

17

16

15

13.5

10

14

6 7 8 9 1110.5

PH

FB

CF

F

FE

F

CON LAS COTAS SE COMPLETAN LAS PROYECCIONES DE AMBOS PLANOS .

3 - 76



Prim

era

Edic

ión


PASO 5:

N30°O

H

FF

F

AF

H

EF

B F

90

2F

A

F

H

HB

HP

HE

2H

100

D22E

HCH

C

FD

F

HD

N60°E

B 1

50

100

1

A1

C1

10

6

6 987 1110.5

14

13.5

15

16

17

18

SE TRAZA RECTAS DE MAXIMA PENDIENTE POR AMBOS PLANOS A PARTIR DEL PUNTO P y SE ANALIZA EL RECORRIDO DE LA BILLA

RESP: REC .TOTAL DE 1 A 4

SOLUCION FINAL.

3 - 77



Prim

era

Edic

ión


PROBLEMA 3.7:

PQ es una recta que tiene una pendiente de 100%hacia arriba , y esta contenida en el plano ABC.Completar las proyecciones del plano y de la recta,además hallar la pendiente del plano, y de larespuesta en porcentaje. No usar vistas auxiliares.

3 - 78



Prim

era

Edic

ión


SOLUCION: Paso 1

3 - 79



Prim

era

Edic

ión


SOLUCION: Paso 2

3 - 80



Prim

era

Edic

ión


SOLUCION: Paso 3

3 - 81



Prim

era

Edic

ión


SOLUCION: Paso 4

3 - 82



Prim

era

Edic

ión


SOLUCION: Paso 5

3 - 83



Prim

era

Edic

ión


SOLUCION: Paso 6

3 - 84



Prim

era

Edic

ión


SOLUCION: Paso 7

3 - 85



Prim

era

Edic

ión


SOLUCION: Paso 8

3 - 86



Prim

era

Edic

ión


SOLUCION: Paso 9

3 - 87



Prim

era

Edic

ión


3 - 88

SOLUCION: Paso 10



Prim

era

Edic

ión


3 - 89

SOLUCION: Paso 11



Prim

era

Edic

ión


AB, y AD . Son los lados de un rectángulo ABCD., completar las proyecciones y hallar su dimensión verdadera. A(2, 6, 12),B(2, 3, 9), D( 4, 4, -).

3 - 90

PROBLEMA 3.8:



Prim

era

Edic

ión


3 - 91

PROBLEMA:PROBLEMA: Paso 1



Prim

era

Edic

ión


3 - 92

PROBLEMA: Paso 2



Prim

era

Edic

ión


3 - 93

PROBLEMA: Paso 3



Prim

era

Edic

ión


3 - 94

PROBLEMA: Paso 4



Prim

era

Edic

ión


3 - 95

PROBLEMA: Paso 5



Prim

era

Edic

ión


3 - 96

PROBLEMA: Paso 6



Prim

era

Edic

ión


3 - 97

PROBLEMA: Paso 7



Prim

era

Edic

ión


Una billa parte de un punto M. del plano ABC. Que tieneorientación S60ºE. Y una pendiente del 40%SO. Ruedasobre este hasta el borde y cae verticalmente sobre elplano PQR que tiene una orientación N75ºO y unapendiente del 80%NE, rodando también sobre éste,finalmente por gravedad cae al suelo. Completar lasproyecciones principales de los planos dados ydeterminar la trayectoria, la posición final de la billa yla longitud recorrida.ESCALA:1:1000.

PROBLEMA 3.9:

A(5, 10, 18), B(8.5, 8, - ), C(12.5, 13, - ), P(12, 5, 16)Q(8, 2, -), R(4, 8, -), M(5, - , 17), suelo(-, 1, -).



Prim

era

Edic

ión


1.- Paso.- grafico de los puntos



Prim

era

Edic

ión


2.- Paso.- unión de los puntos



Prim

era

Edic

ión


3.- Paso.- se completan las proyecciones de ambos planos



Prim

era

Edic

ión





Prim

era

Edic

ión


6.- Paso.- solución final



Prim

era

Edic

ión


O es el centro de un triangulo equilátero. ABC. Este plano tiene una orientacion de S60ºE. Y pendiente de 40ºSO . Hallar las proyecciones del mencionado triangulo.

PROBLEMA 3.10:



Prim

era

Edic

ión


1.- Paso.-con dato de la dirección.



Prim

era

Edic

ión


2.- Paso.-con dato de la dirección y pendiente



Prim

era

Edic

ión


3.- Paso.- grafico del triángulo



Prim

era

Edic

ión


4.- Paso.- completamos las proyecciones del triangulo

capitulo 04 el plano

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