capitulo 0 - prólogo

Ing. Ricardo Manuel Fal MECANICA DE MATERIALES Equilibrio de cuerpos deformables

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PRLOGO

Los contenidos que estudiaremos en la Mecnica de Materiales tienen como objetivo

fundamental establecer criterios que permitan analizar y disear elementos estructurales de una

construccin, elementos o componentes de mquinas cuya funcin esencial sea la transmisin de

esfuerzos mecnicos, o bien elementos cuya funcin es la retencin de fluidos a presin. Como

premisa, nos imponemos que dichos diseos debern contemplar la eleccin del material ms

conveniente como la forma y las dimensiones ms adecuadas, de tal manera que los elementos o

piezas estructurales sean aptos para resistir de manera satisfactoria, a lo largo de su vida til y con

la mxima seguridad posible compatible con la economa, las acciones provocadas por fuerzas

externas como, as tambin, las acciones producto de las variaciones de temperaturas.

Para comprender y abordar con xito el estudio de este campo del conocimiento es

indispensable que el lector posea el manejo bsico del clculo infinitesimal y del clculo integral,

puesto que no se puede escatimar esfuerzo alguno en los desarrollos matemticos necesarios que

ayuden a comprender y avalar los resultados de los fenmenos fsicos que se evidencian en un

elemento material sometido a esfuerzos; adems deben estar bien sabidos y aprendidos los

fundamentos de la esttica.

Es propsito fundamental lograr el conocimiento profundo y cientfico de cada tema, para

lo cual hay que abocarse al estudio y discusin de hiptesis y procedimientos como as tambin al

desarrollo de deducciones y ejemplos que nos permitan comprender el ordenamiento lgico de los

conceptos, los que se completan con la aplicacin y resolucin de problemas significativos

conceptualmente, como as tambin de problemas eminentemente prcticos cuyos resultados

permitan realizar comparaciones numricas.

A lo largo del libro se insiste en una necesaria revisin de los conceptos aprendidos en los

desarrollos analticos, haciendo nfasis en las hiptesis de las que hacemos uso para llegar a las

distintas expresiones del clculo y a sus lmites de aplicacin. Se plantean problemas terico

prcticos de tal manera que el lector observe el grado de ligazn existente entre un axioma y su

aplicacin, lo que nos permite establecer el grado de compatibilidad entre los planteos analticos y

la prctica. Se analiza la convencin de signos a utilizar y se recalca el significado de los distintos

trminos que aparecen en las expresiones desarrolladas analticamente.

Esto se logra planteando, por un lado, problemas algebraicos o simblicos, los cuales tienen

ciertas ventajas puesto que dan originen a ecuaciones con las que se destacan las variables que


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afectan los resultados; por ejemplo, ciertas magnitudes pueden cancelarse en la solucin,

procedimiento que no queda evidente en un problema cuyo desarrollo es numrico. Asimismo, en

las soluciones algebraicas se pone de manifiesto la forma en que las variables afectan los resultados,

tal es el caso de la aparicin de una variable en el numerador u otra en el denominador. Tambin se

plantean ejercicios conceptuales que nos permiten integrar y afianzar los conceptos impartidos en

los desarrollos analticos.

Algunos captulos se completan con el desarrollo de problemas prcticos donde se abordan

situaciones factibles prximas a la realidad y fundamentalmente ligadas al campo de la ingeniera

civil. La resolucin de problemas simples correspondientes a casos reales del ejercicio profesional

tiene como propsito motivar al lector y ayudar a fijar ideas sobre las caractersticas constructivas

como las de sus dimensiones admisibles, completando de esta manera el conocimiento de los

desarrollos analticos. A su vez los problemas numricos tienen la ventaja de que los valores de

todas las magnitudes son evidentes en cada etapa de los clculos, donde muchas veces debe

garantizarse que no sean rebasados ciertos lmites tolerables, tales como los esfuerzos unitarios

(tensiones) y las deformaciones permisibles. En general los problemas que se plantean tratan de

despertar inquietudes en el lector, con lo que se busca lograr aprendizajes rigurosos pero amenos.

Por ltimo se plantea que cada problema tenga un fin en si mismo y un fin en el conjunto

de los problemas del captulo y del texto, incluyendo tanto el dimensionado como la verificacin de

elementos que, si bien son simples, dan la base para avanzar en el anlisis de estructuras ms

complejas.

Se estimula a que el lector se acostumbre a juzgar lo apropiado de una solucin, esto se

logra creando la necesidad de buscar enfoques alternativos al resultado obtenido o bien

perfeccionando el miembro estructural en anlisis; de esta manera el proceso del pensamiento se

lleva ms all de la respuesta que se pide, encaminndolo hacia una revisin crtica del resultado.

Por separado al texto se adosa una cartilla con problemas propuestos; la resolucin por

parte del lector permitir a ste analizar si ha alcanzado los objetivos propuestos y si ha logrado

adquirir las destrezas necesarias para abordar los estudios superiores siguientes como, as tambin,

los desafos del desarrollo profesional.

Al final de la cartilla se plantearn problemas de integracin de los conocimientos de toda

la materia, stos permiten ejemplificar varias situaciones de la ingeniera prctica permitiendo una

consulta rpida y permanente para ingenieros en el ejercicio profesional.


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Los conocimientos y la forma de encararlos son vinculados y es por ello aconsejable encarar

el estudio de la materia captulo por captulo, permitiendo as un conocimiento ordenado, creciente

y fundado.

En los estudios de las carreras de Ingeniera es vital que el estudiante acceda a una slida

formacin bsica que le permita interpretar los distintos problemas que se le pueden presentar y

elaborar, a partir de la aplicacin de diversos mtodos cientficos, las posibles soluciones. El

desarrollo del sentido crtico, la capacidad para recabar y seleccionar informacin y la aptitud para

aplicar metodologas adecuadas a cada problema planteado deben ser propsitos irrenunciables a

alcanzar.

Esta formacin debe apuntar a que estudiantes y/o profesionales de la ingeniera cuenten

con la capacidad para adecuarse a los constantes cambios y a la adquisicin de nuevos

conocimientos. Por tanto es propsito que este texto est orientado a conseguir, junto a otras

materias de formacin bsica y de la tecnologa aplicada, la adquisicin de las condiciones antes

sealadas.

Finalmente es importante sealar que los desarrollos matemticos no constituyen un fin en

si mismo, los usamos tan solo como herramientas imprescindibles y poderosa que nos ayudan a

expresar, comprender, explicar y justificar cientficamente los fenmenos fsicos o naturales.

Ricardo Manuel Fal


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INTRODUCCIN

Definicin y Objetivos de la Mecnica de Materiales

La Mecnica de Materiales nos proporciona los principios y fundamentos del diseo de las

estructuras, tanto de elementos de mquinas, construcciones civiles, construcciones navales,

construcciones aeronuticas u otras. Es una disciplina que podemos considerar con carcter

independiente, pertenece al campo de la mecnica que es la ciencia que se ocupa de las

condiciones de reposo y movimiento de los cuerpos bajo la accin de fuerzas; nos permite estudiar

el comportamiento de los cuerpos slidos deformables ante diferentes tipos de situaciones tales

como son las de aplicacin de cargas o bien a las derivadas de los efectos trmicos. Como campo

de estudio podemos considerar, a la mecnica de materiales, como parte de la mecnica de los

medios continuos.

A esta rea del conocimiento tambin se la suele reconocer como mecnica de cuerpos

deformables, mecnica de cuerpos elsticos y tambin como resistencia de materiales; en sntesis,

cualquiera sea su denominacin la misma se ocupa del estudio de los efectos internos que se

producen en un cuerpo cuando es sometido a fuerzas externas o a variaciones de temperaturas.

Estos efectos internos o comportamientos, que son ms complejos que el de los slidos rgidos, se

estudian introduciendo conceptos de deformacin y de tensin, su macro mundo es la ciencia de la

fsica y particularmente el de la cinemtica, la que podemos considerar como una continuacin de la

esttica y de la dinmica.

Los estudios de la esttica, cuyos conocimientos se presuponen bien conocidos, nos

permiten estudiar el estado de equilibrio de los cuerpos rgidos teniendo en cuenta tan solo las

fuerzas externas a las que stos estn sometidos, dichos estudios del equilibrio son necesarios pero

no suficientes si consideramos que los materiales no son rgidos y que contrariamente sufren

deformaciones o pueden fracturarse ante dichas solicitaciones o ante los efectos trmicos. Es pues

la ciencia de Mecnica de Materiales la que determina los lmites de las fuerzas externas y de las

variaciones de temperatura que solicitan a un cuerpo a fin de que, en condiciones de mayor

eficiencia y seguridad, ni se deforme en demasa ni se fracture, planteando entonces el estudio del

equilibrio de los cuerpos deformables.

Esta disciplina se asienta para sus anlisis en mtodos cientficos que comprenden dos

aspectos fundamentales, a saber: el analtico y el experimental, ste ltimo se corresponde

principalmente con el estudio y ensayo de materiales, rea del conocimiento que constituye otro

campo del saber y que en el captulo 2 se aborda someramente tan solo con el propsito de dar


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algunas ideas y precisiones del comportamiento de los distintos materiales. En el texto se estudia in

extenso la parte analtica basada en experiencias como en determinaciones experimentales,

haciendo uso de herramientas matemticas generalmente de simple comprensin y de desarrollos

sencillos que validan la formulacin de los postulados fsicos.

La resolucin de problemas cada vez ms complejos demandados por la ingeniera de

vanguardia ha llevado a adentrarse al desarrollo de matemticas superiores y a tcnicas

computacionales de avanzada, permitiendo la extensin de esta materia a otras reas de la

mecnica moderna como son: teora de la elasticidad, teora de la plasticidad y ms recientemente la

mecnica de fracturas. El avance en estas reas sirve muchas veces para justificar el alcance de los

fundamentos de Mecnica de Materiales como sus propias limitaciones. Es conveniente sealar que

la Teora de la elasticidad y la Mecnica de materiales tienen objetivos comunes, sin embargo los

mtodos y procedimientos seguidos para la resolucin de problemas son de ndole diferente; la

Mecnica de materiales disminuye dificultades en su resolucin e introduce hiptesis simplificativas

para llegar a resultados que, ante lmites prefijados, para ciertos problemas no pierden ni certeza ni

rigor cientfico.

Es necesario destacar la evolucin de esta disciplina en los ltimos aos donde, si bien

mantiene los principios bsicos que la gobiernan desde su nacimiento, con el advenimiento de

nuevos materiales en estructuras combinadas de claras isotropas ha ampliado su campo del

conocimiento y ha obligado a profundizar ciertos temas para poder abordar los nuevos desafos.

En un cuerpo deformable son tambin vlidas las ecuaciones de equilibrio formuladas en la

esttica para un sistema material, siempre y cuando sean planteadas para la condicin del cuerpo

deformado, sin embargo bajo ciertos lmites de desplazamientos se puede admitir el principio de la

independencia de los efectos entre deformaciones y fuerzas externas, posibilitndonos el planteo

de las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo rgido an para cuerpos deformables, suposicin que

en muchos casos ayudan a simplificar los procedimientos para la resolucin de problemas.

Estos lmites son aquellos en los que ante solicitaciones de fuerzas externas incluidas las de

reacciones de vnculos o solicitaciones derivadas de variaciones de temperatura, las deformaciones

que sufre el cuerpo solo producen pequeos desplazamientos internos sin que se produzca rotura o

fractura del slido ni sufra inestabilidad por cambio de forma. Lo dicho se traduce por una parte en

el equilibrio que debe existir entre las fuerzas externas con los esfuerzos o fuerzas internas que se

desarrollan en el cuerpo solicitado debido a la cohesin como a la capacidad de friccin del


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material constitutivo del cuerpo en cuestin y por otra parte las consideraciones geomtricas o de

formas que garanticen estabilidad elstica de la estructura.

Es propsito de la materia a travs del diseo, eleccin del material y del dimensionado de

las formas encontrar para una estructura en equilibrio esttico, sometida a solicitaciones externas, el

equilibrio interno para soportar los esfuerzos caractersticos tales como: Normal de Traccin o de

Compresin, de Corte, de Flexin y de Torsin, simples o combinados, generados por dichas

solicitaciones; equilibrio que ha de cumplirse en cada seccin arbitraria de cualquier parte del

elemento estructural. Dichos diseos han de cumplir con requerimientos de seguridad, tales que la

estructura ante las solicitaciones externas resista satisfactoriamente y sin riesgo alguno cualquier

probabilidad de fractura o cualquier tipo de deformacin ms all de la deseada. Adems debern

imponerse requerimientos de economa, tales que las formas como los materiales a usar no afecten

el costo del diseo, impidiendo con ello la ejecucin de la estructura al convertirla en demasiado

onerosa para la funcin que sta debe cumplir y para las condiciones de uso que debe complacer.

Podemos, a partir de estos conceptos, definir Mecnica de Materiales como la ciencia que

estudia el diseo de formas y dimensiones de un cuerpo deformable para que resista

satisfactoriamente las solicitaciones externas, tanto desde los aspectos de seguridad como los de

esttica y economa.

Estos objetivos los podemos lograr a travs de la determinacin de tensiones y

deformaciones producidas por las cargas que actan sobre una estructura. Determinar estas

magnitudes para todos y cada uno de los valores de cargas, incluidas las cargas de rotura, es lo que

nos permitir tener un panorama completo del comportamiento mecnico del cuerpo solicitado.

Es propsito que el lector al terminar de estudiar el presente texto est capacitado para

reconocer las fuerzas externas que solicitan a una estructura real, poder idealizarla identificando los

tipos de vnculos que la sujetan como la forma y el reparto de las cargas actuantes, garantizando su

equilibrio esttico; as mismo estar en condiciones de optar por hiptesis y diagramas de clculo

ms convenientes para analizar en la estructura o partes de esta aspectos tales como resistencia,

rigidez y condiciones de estabilidad elstica o de forma. Finalmente a travs de estos anlisis deber

poder dimensionar verificar una estructura o parte de la misma con los tres parmetros antes

citados. Adems deber estar capacitado para realizar un anlisis crtico de los resultados obtenidos,

teniendo en cuenta que la estructura adems de segura y estticamente bella debe ser econmica y

factible de ser construida. Este esquema y sus secuencias podemos apreciarlos en el grfico 1.


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Grfica 1: Esquema de anlisis y secuencias del clculo

Buscar el equilibrio y la armona entre los objetivos antes sealados significa un desafo, es

ejercitar destrezas para analizar un problema dado en forma simple y lgica aplicando en su

resolucin principios fundamentales que se impartirn a lo largo del curso.

Es simplemente una seductora manera de combinar la ciencia y el arte.

El estudio de esta materia se basa en el entendimiento y manejo de conceptos bsicos y en

el uso de modelos simplificados. Este mtodo hace posible la deduccin de todas las ecuaciones


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necesarias en una forma lgica y fundada e indica claramente las condiciones bajo las cuales

pueden aplicarse el anlisis y diseo de estructuras de la ingeniera real sin perder nunca de vista lo

fundamental: el diseo y clculo estructural no se agota sino en la obra misma, en su factibilidad de

ser realizada, en su funcionamiento y nunca en el papel.

Entonces creo atinado recordar lo que normalmente digo a mis alumnos en el curso de

Estabilidad II de las Universidades en las que imparto clases, citando a Johann Wolfgang Von Goethe

en su obra literaria El Fausto cuando en el dilogo en la que Mefistfeles, hacindose pasar por

Fausto, le responde al Estudiante que le pide consejos: querido amigo, toda teora es gris,

pero es verde el ureo rbol de la vida.

Consideraciones generales

Es de suma importancia que el lector tenga claramente planteado el objetivo del

conocimiento que va ha adquirir en el estudio de la Mecnica de Materiales.

En cada captulo y en la necesidad de una mejor comprensin iremos abordando temas

que pueden considerarse como aislados, enfocndonos primeramente a cuerpos materiales simples

con sistemas de cargas impuestas que den como resultado esfuerzos caractersticos tambin

simples, son casos que pueden algunas veces presentarse en la realidad, sea en forma individual o

bien como partes o piezas componentes de estructuras ms complejas.

Conforme vayamos avanzando en el estudio de la materia, gradualmente se irn acoplando

los conocimientos adquiridos para abordar casos ms generales y ms complejos, tanto del anlisis

de la estabilidad como de las combinaciones de cargas y de los esfuerzos caractersticos simples.

El estudio de Mecnica de Materiales es un paso necesario e imprescindible en la formacin

del Ingeniero, pero no es ni puede ser un fin en si mismo. Es tan solo una asignatura bsica que,

conjuntamente con otras reas del conocimiento, permite resolver los problemas que la ingeniera

prctica nos presenta; ms concretamente nos prepara para el anlisis estructural que depende de

diversos factores a considerar y cuya enumeracin, an con el riesgo de ser reiterativo con

conceptos ya vertidos, es necesaria. Estos factores, no excluyentes, son:

a) Eleccin del tipo y de la forma de la estructura capaz de satisfacer las

condiciones de proyecto. Diseo estructural.

b) Estudio del destino de la obra, evaluacin de las cargas y las acciones

externas que sometern a la estructura en su vida til.


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c) Clculo de las solicitaciones externas e internas resultantes del estudio

anterior como sus formas y velocidad de transferencias.

d) Eleccin apropiada y racional de los materiales constitutivos de la estructura

o partes de la misma.

e) Dimensionado de los elementos individuales que conforman dicha

estructura a fin de que se satisfagan todas las condiciones lmites

preestablecidas, tanto de resistencia, rigidez como de la estabilidad

elstica.

f) Anlisis de costos y de viabilidad constructiva, tcnica y econmica.

g) Estudio crtico del diseo adoptado, planteo de otras alternativas posibles

que sean superadoras del mismo y que nos permitan su correccin,

optimizacin e inclusive el cambio de la propuesta original en caso de ser

necesario o conveniente.

En resumen, el diseo de una estructura parte de conocer su destino, concebir su forma,

elegir los materiales componentes, darle dimensiones volumtricas y analizar sus costos, estudio

que debe abarcar tanto la etapa constructiva como la de su funcionamiento, garantizando

estabilidad y perdurabilidad en el tiempo, resistencia y rigidez suficientes para absorber las cargas y

acciones externas a la que la misma estar expuesta, segn sea su uso como su vida til pretendida.

Diseo estructural

El diseo estructural consiste en elegir una forma o moldeo, como tambin el carcter de

sustentacin o tipo de vnculos y su posible materializacin; eleccin que se hace tanto de la

estructura en general como de las partes constitutivas de sta, con lo que se induce la manera en

que se transmiten los esfuerzos. Para la eleccin es necesario considerar y tener en cuenta las

distintas alternativas posibles siguientes:

a) Segn su geometra. Pueden ser estructuras laminares o de barras, tridimensionales

o planas.

b) Segn su sustentacin. Pueden ser estructuras isostticas o hiperestticas.

c) Segn los elementos de transmisin de esfuerzos. Pueden ser estructuras de alma

llena, estructuras reticuladas o bien estructuras de celosas.


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Estudio y evaluacin de cargas nominales de servicio

De acuerdo a su duracin o variacin en el tiempo y forma de solicitacin, las cargas que

actan en una estructura podemos clasificarlas en tres grandes grupos:

a) Cargas permanentes. Actan en tiempo prolongado con variaciones pequeas en

relacin a su valor medio. Entre stas se encuentran el peso propio del elemento

estructural considerado y las sobrecargas de otros elementos estructurales; tambin

accesorios, paredes, revoques, pisos, etc.; las deformaciones impuestas en el proceso

constructivo tales como fuerzas de retraccin en hormign o soldaduras del

elemento considerado, accin de presiones hidrulicas y empujes de suelos

continuos y accin debido al descenso de apoyos, entre otras.

b) Cargas variables. Son acciones de variacin frecuente y continua, de valores no

despreciables con su valor medio; citamos entre otras las llamadas sobrecargas de

uso (las de un hospital, las de un puente, las de un silo, etc.), cargas producidas por la

accin del viento, la nieve o el hielo, acciones debida a variaciones de temperatura y

sismos recurrentes, cargas mviles, cargas dinmicas producidas por mquinas, etc.

c) Cargas accidentales. son cargas con poca probabilidad de recurrencia, entre otras

podemos citar las producidas por un terremoto, por un tornado, por impacto de

vehculos terrestres o areos, acciones debido a explosiones, avalanchas de nieve,

lodos o piedras, etc.

De acuerdo a su distribucin sobre el cuerpo solicitado las clasificamos en:

a) Cargas superficiales. Son cargas distribuidas en una superficie o en una gran parte

de la misma, pueden estar distribuidas uniformemente o no.

b) Cargas lineales. Son cargas linealmente distribuidas, actan sobre una lnea del

elemento estructural, por ejemplo a lo largo de una barra. Generalmente provienen

de reducir una carga superficial a una lnea por interseccin de un plano arbitrario

con el plano de la superficie de carga.

c) Cargas puntuales. Son cargas concentradas que actan en superficies pequeas o

reducidas con respecto al rea del elemento estructural, se las suele concentrar en un

punto.


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De acuerdo a la forma y velocidad con que se aplican las cargas se producen distintas

respuestas en el material, de all que es necesario clasificarlas en dos grupos:

a) Cargas Estticas. son las cargas de aplicacin muy lenta sobre la estructura o que

son partes de la misma, tales como el peso propio de una viga, de una columna, de

un eje, etc. Su colocacin es progresiva, lenta y en una sola direccin. Se las conoce

tambin como cargas pseudo-estticas.

b) Cargas Dinmicas. Son cargas que se aplican con velocidad, dando como resultado

las llamadas cargas de impacto. Tambin quedan dentro de este grupo de

clasificacin las cargas que si bien son sin velocidad su aplicacin es rpida y no

progresiva, se las denominan cargas sbitas; finalmente las cargas repetidas, como

cargas cclicas con o sin inversin de esfuerzos. Estas cargas producen en los

materiales efectos distintos a los de las cargas estticas. Por ejemplo, el piso de un

aula donde hay bancos, alumnos sentados, muebles, etc., a pesar de que los alumnos

pueden estar en movimiento de entrar o salir caminando del aula, sufre la accin

equivalente a cargas estticas o cuasi-estticas, pero si el mismo piso se convierte en

una pista de baile, donde ahora los alumnos estn bailando y saltando, el piso est

ahora solicitado por acciones del tipo dinmicas, con cargas que combinan tipo de

cargas cclicas y cargas con velocidad.

Si un auto choca contra un muro, ste sufre la accin de una carga dinmica de

impacto.

Si cortamos un alambre con movimientos reversibles continuos y rpidos, estamos

frente a una carga repetida, cuyos efectos pueden ser considerados como el de una

carga en movimiento y de accin dinmica.-

Predimensionado y eleccin del material

Por limitaciones arquitectnicas o de diseo propias de la ingeniera, como son la de

disposicin de los elementos estructurales o resistentes y sus formas, se darn dimensiones a las

partes de la estructura teniendo en cuenta las solicitaciones sobre el elemento estructural, los

esfuerzos caractersticos y las reacciones de vnculos. En estructuras de conformacin hiperestticas

su resolucin es un proceso iterativo hasta conformar las dimensiones definitivas que satisfagan las

condiciones de seguridad requeridas, generalmente es una verificacin de dimensiones sobre un

predimensionado. En sistemas estructurales isostticos el proceso es generalmente ms directo


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Anlisis crtico y evaluaciones alternativas

Un diseo estructural ser agotado una vez que finalizado los procesos anteriores sea

comparado con otros alternativos posibles, sean stos de formas y dimensiones, de tipos de

materiales adoptados, de viabilidad constructiva, de costos, de funcionalidad o de durabilidad. Es

importante que el ingeniero realice seguimiento sobre sus obras, de tal manera de evaluar su

comportamiento real con los pronsticos de los comportamientos supuestos tanto desde el diseo

como desde los clculos.

Concepto de formas estructurales

Las estructuras con las que se encuentra generalmente el ingeniero civil pueden ser

clasificadas en:

a) estructuras de alma llena

b) estructuras reticular de celosa

c) estructuras aporticadas o reticuladas de nudos rgidos

Las estructuras de alma llena pueden ser barras o bien elementos de superficie tales como

placas. En este curso nos abocaremos en particular a las solicitaciones en barras, la que ser definida

como el elemento que tiene una dimensin por lo menos mayor al doble de las otras dos. Los

esfuerzos que solicitan a este tipo de estructuras son:

Momento flector fM , Esfuerzo de corte Q , Esfuerzo normal N y Momento de torsin tM , que

pueden presentarse en forma simple o bien en forma combinada.

Las estructuras aporticadas o reticuladas estn formadas por barras unidas rgidamente

entre ellas y pueden estar sometidas tambin a esfuerzos caractersticos de flexin fM , corte Q ,

normal N y/o de torsin tM .

Las estructuras de celosas tambin estn formadas por barras pero unidas entre s en

formas supuestas de articulacin, por ello se admite que presentan tan solo solicitaciones de

esfuerzos normales N cuando las cargas externas estn aplicadas en las uniones o nudos de las

mismas. Para la determinacin de los esfuerzos en barra son despreciados los efectos de los

momentos de flexin fM , derivados del peso propio, que puedan coexistir con los esfuerzos

normales caractersticos N .


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Hiptesis Fundamentales de la Mecnica de los Materiales

El campo de dominio de la Mecnica de Materiales que trata del equilibrio de los cuerpos

deformables tiene hiptesis bsicas y que hacen al fundamento de la materia, estas son:

1 Se consideran vlidas las ecuaciones de la Mecnica de Newton, modelo fsico

macroscpico en el que no se consideran efectos relativistas, o sea se acepta el

postulado de invariancia galileana1.

2 El slido en estudio se supone constituido por un material homogneo e istropo,

cuya materia es la de un medio continuo, sin discontinuidades a nivel microscpico,

consecuencia de la distribucin molecular de cada material.

3 Son de cumplimiento las leyes bsicas de la termodinmica, conservacin de la

energa y produccin de entropa, puesto que las deformaciones son adems de

pequeas, lentas y progresivas, se desprecia cualquier aceleracin y se considera

que en cualquier momento de la aplicacin de cargas el cuerpo est en equilibrio y

que no hay variacin de su temperatura.

Ciertos problemas sencillos de la mecnica de slidos deformables, cuyas geometras

podemos considerar como simples, pueden tratarse mediante la mecnica de materiales clsica. En

el clculo de barras sometidas a ciertos esfuerzos caractersticos pueden plantearse ecuaciones

diferenciales ordinarias en una variable que nos permitan conocer las tensiones y deformaciones

que tienen lugar. Esto facilita grandemente el poder conseguir soluciones analticas que nos

permitan determinar valores de tensiones que se aproximen a los valores del problema real, que

como ya sabemos es de caracterstica tridimensional.

Muchos problemas que se presentan como indeterminados en el modelo de la mecnica

del slido rgido son abordables para su resolucin en el modelo de slidos deformables, esto es

debido a que se pueden usar ecuaciones adicionales a las del equilibrio esttico como ser la

ecuacin constitutiva y las ecuaciones de compatibilidad. Normalmente estas ecuaciones

adicionales de compatibilidad se escriben en trminos de esfuerzos, de deformaciones o bien de

desplazamientos.

1 Sostiene que en todos los sistemas de referencia inerciales las leyes fundamentales de la fsica son las mismas. Longitudes y tiempos no son afectados por el cambio en la velocidad y puede ser descrito matemticamente por una transformacin de coordenadas.


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Tipos de ecuaciones

Para la resolucin de los problemas tpicos de la mecnica de slidos deformables es necesario

determinar si se cumplen ciertos requisitos de resistencia y rigidez a partir de cierta geometra del

slido y de las fuerzas aplicadas sobre el mismo. Para ello generalmente es necesario determinar el

campo de tensiones y el de deformaciones del slido mediante el planteo de ecuaciones como las

que a continuacin enumeramos:

ecuaciones de equilibrio. Las ecuaciones de la esttica son deducibles de las ecuaciones de

equilibrio que relacionan las tensiones internas del slido con las cargas externas que lo

solicitan.

ecuaciones constitutivas. Relacionan tensiones con deformaciones, en estas ecuaciones

tambin pueden intervenir otras magnitudes como ser temperatura, velocidad de

deformacin, deformaciones plsticas acumuladas, variables de endurecimiento y otras.

ecuaciones de compatibilidad. A partir de las cuales pueden calcularse los desplazamientos

en funcin de las deformaciones y de las condiciones de contorno o de enlace con el

exterior, reacciones de vnculos.

Tipos de slidos deformables

Los slidos deformables difieren unos de otros en su ecuacin constitutiva. Segn sea la

ecuacin constitutiva que relaciona las magnitudes mecnicas y termodinmicas relevantes del

slido, se tiene la siguiente clasificacin para el comportamiento de los slidos deformables:

o Comportamiento elstico, se da cuando un slido se deforma adquiriendo mayor

energa potencial elstica y por tanto aumenta su energa interna sin que se produzcan

transformaciones termodinmicas irreversibles. La caracterstica ms importante del

comportamiento elstico es que la deformacin es reversible. Si se suprimen las fuerzas

que provocan la deformacin, el slido vuelve al estado inicial que tena antes de la

aplicacin de las cargas. El comportamiento elstico puede ser lineal o no lineal y el

material puede tener condiciones de isotropa o bien presentar ortotropa, como es el

clsico ejemplo de la madera y de ciertos materiales compuestos.

o Comportamiento plstico, en este caso cuando se retiran las fuerzas bajo las cuales se

han producido deformaciones, el slido no vuelve exactamente al estado

termodinmico y de deformacin que tena antes de la aplicacin de las mismas, o sea,

acusa deformaciones irreversibles. Dentro del comportamiento plstico, tenemos que


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distinguir tres casos distintos: 1) cuando el material "fluye" libremente a partir de un

cierto valor de tensin, es lo que se denomina plstico puro, tpico de materiales

dctiles luego de superar el lmite elstico, 2) casos donde es necesario ir aumentando

la tensin solicitante para que el material acumule mayor deformacin plstica,

procedimiento que se lo conoce como deformacin plstica con endurecimiento, 3)

deformacin plstica con ablandamiento, se da en ciertas aleaciones en funcin de las

velocidades de deformacin, por ejemplo en laminacin que, con velocidad elevada, la

ductilidad decrece y el ablandamiento global se incrementa con menor grado de

deformacin. Tambin en pruebas de compresin plana que luego de un intervalo de

pequeo endurecimiento por deformacin, seguido por una tensin de saturacin,

presenta una etapa final de ligero ablandamiento.

o Comportamiento viscoso, se produce cuando la velocidad de deformacin entra en la

ecuacin constitutiva. Cuando es mayor la velocidad de deformacin es necesario

aplicar ms tensin para obtener la misma deformacin con menor velocidad de

deformacin pero aplicada en un tiempo mayor. Aqu pueden distinguirse dos

modelos, el Visco-elstico y el Visco-plstico

Un slido puede presentar varios de estos comportamientos dependiendo del material

constitutivo y de los valores de tensiones y de deformaciones predominantes. Tambin se registran

distintos comportamientos en funcin de la forma que adquiera la ecuacin constitutiva que como

sabemos relaciona distintos parmetros mecnicos, como ser, adems de los de tensin y

deformacin, los de velocidad de deformacin o de deformacin plstica, conjuntamente con las

constantes elsticas, la viscosidad y con las condiciones termodinmicas de temperatura o entropa.

Para materiales con comportamiento elstico lineal, o aproximadamente lineal, con

pequeas o moderadas deformaciones, el clculo de tensiones y deformaciones puede tambin

concebirse con el uso de la teora lineal de la elasticidad. Esta teora resuelve los problemas de la

mecnica de slidos planteando un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Esta

teora incluye las ecuaciones siguientes:

Ecuaciones de equilibrio interno: Relacionan las fuerzas volumtricas (bi) con las derivadas

de las tensiones )(i y )( ji en el interior del slido:

0

x

xzxyx bzyx


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0

y

yzyyxb

zyx

0

z

zzzyzx bzyx

Ecuaciones de equilibrio externo: Relacionan las fuerzas superficiales o fuerzas de contacto

if aplicadas en la superficie del slido con el valor de las tensiones en el contorno del

slido:

xzxzyxyxx f ...

yzyzyyxyx f ...

zzzyzyxzx f ...

Ecuaciones constitutivas o ecuaciones de Lam-Hooke: Son ecuaciones algebraicas y

lineales que relacionan el valor de las componentes del tensor tensin con el valor del

tensor deformacin:

zyxxE

1

xyxyE

.1

zxyyE

1

yzyzE

.1

yxzzE

1

xzxzE

.1

Relacin entre desplazamientos y deformaciones: Relacionan las componentes del tensor

de deformaciones ij con las componentes del vector de desplazamiento

)()()( ,, zyx uuuu :

)(

)(

)(

)(

)(2

1

i

j

j

i

jix

u

x

u

Condiciones de contorno: Fijan el valor del desplazamiento para algunos puntos del

contorno exterior, normalmente son puntos de unin del slido deformable a alguna otra

estructura o elemento resistente sobre el que se da el apoyo o anclaje.

En las ecuaciones anteriores como en el desarrollo del libro, en concordancia con los textos

de mecnica de materiales o de resistencia de materiales, las componentes normales y tangenciales


PAGINA XVII

de las fuerzas internas por unidad de rea llamadas tensiones, las reconoceremos como tensiones

normales denotadas con la letra griega sigma ( ) y tensiones tangenciales denotadas con la letra

griega tau ( ). De esta manera las tensiones normales que actan en un plano normal a un eje

dado y por lo tanto en su direccin, llevarn un solo subndice correspondiente a ese eje. En cambio

las tensiones tangenciales llevarn dos subndices correspondientes el primero a la normal al plano

donde se evidencian y la segunda a la direccin con la que esta acta y en ese orden.

La equivalencia entre las notaciones de la mecnica de materiales y las notaciones de la

teora de la elasticidad, donde en esta ltima tanto las tensiones normales como las tangenciales se

las representa con la letra griega sigma con dos subndices ji , el primero de ellos

correspondientes a la normal a la seccin y el segundo a la direccin de la tensin, vienen dada de

acuerdo a las siguientes identidades:

xxx ; yyy zzz xyxy xzxz yzyz

capitulo 0 - prólogo

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