capc3adtulo 10 circuito resonante

7/24/2019 Capc3adtulo 10 Circuito Resonante

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Capítulo 10 Circuito Resonante 1

Capítulo 10

Circuito Resonante




En el presente capítulo discutiremos el circuito resonante. De manera especialse presentarán las combinaciones y características del mismo, por lo cual, en laSección 10.1 se ve el circuito resonante combinado con dispositivos LCbásicos y sus características. En la Sección 10.!, Circuitos Resonantes RLC en

Serie, y en la Sección 10." Circuitos Resonantes RLC en paralelo, lesuministran a los estudiantes las características del circuito resonante RLC.

#inalmente, en la Sección 10.$, se discute la utilidad del circuito resonante, yen la Sección 10.%, se presentan las aplicaciones de los mismos. Es de esperar &ue el estudiante aprenda los principios del circuito resonante, la relación entrelos parámetros, y los campos de aplicación práctica.

10.1 Circuito Resonante L-CEn esta sección presentamos el circuito resonante LC, y se divide en dospartes' 10.1.1, Circuitos Resonantes LC en Serie y 10.1.!, CircuitosResonantes es (aralelo.(ara comen)ar, revisemos las características de los capacitores e inductores,vistos en los primeros capítulos y podemos clasi*icar las relaciones entredispositivos con impedancia y *recuencia como'

1. Resistencia +R es independiente de la *recuencia. Su impedancia nocambia cuando cambia la *uente de *recuencia.

!. -mpedancia del inductor +L es dependiente de la *uente de *recuencia.

En realidad es proporcional a la *recuencia. La impedancia +reactanciainductiva es XL ωL !πf L /mios.

". La impedancia de capacitor +C es dependiente de la *uente de*recuencia es inversamente proporcional a la *recuencia. La impedancia

+reactancia capacitiva es XC 1 2 ωC 1 2 +!πf L /mios.

La #i3. 10.1 muestra las relaciones entre reactancia inductiva, reactanciacapacitiva y *recuencia. Se pueden dividir como tres condiciones &ue'

1. 4 una *recuencia 0 +f 0 5), es decir, estado de CD, XL !πf L 0 Ω

y XC 1 2 +!πf L ∞ Ω. (or lo tanto, la reactancia inductiva es i3ual a la&ue e6iste en estado de cortocircuito. La cuando reactancia capacitivaes in*inita, lo cual es i3ual a un estado de circuito abierto.

!. Cuando la *recuencia se aumenta 3radualmente a partir de 0, XL seincrementa 3radualmente y XC disminuye 3radualmente.

". Cuando la *recuencia es muy alta +f →∞ entonces XL →∞ y es como un

circuito abierto, mientras &ue si XC → 0, es como un circuito en corto.

La #i3. 10.1+a muestra las relaciones entre reactancia inductiva y

*recuencia. XL !π f L, donde ! πL es constante, por lo &ue la reactancia

inductiva es proporcional a f , con una relación lineal.




La #i3. 10.1+b muestra la relación entre reactancia capacitiva y *recuencia. XC

12 +! π f C, donde !πC es constante, por lo tanto la reactancia capacitiva es

inversamente proporcional a f con una relación curva.

10.1.1 Resonancia L-C en Serie

Cuando se conecta un inductor L y un capacitor C en serie, como se muestraen la #i3. 10.!+a, se tiene'

&ue es la reactancia capacitiva y la impedancia total. 4l aplicar una *uente de*recuencia a7ustable en el circuito en serie, se obtiene la curva de impedanciacomo se muestra en la #i3. 10.!+b. El e7e real es la *recuencia, y el e7eima3inario es la impedancia..

#i3. 10.! 8 Circuito LC en serie y curva de impedancia.

En la #i3. 10.!+b, se pueden ver las relaciones entre la impedancia total Z delcircuito LC en serie y la *recuencia * '

1. La *recuencia aumenta desde 0 5) asta f 0, | XC | > XL. En esta re3ión, la

impedancia total revela &ue se trata de un circuito capacitivo, y laimpedancia total | Z | disminuirá 3radualmente y la corriente aumenta.

+a Reactancia -nductiva vs Reactancia capacitiva vs *recuencia *recuencia

#i3. 10.1 Relaciones

Reactancia inductiva, así como tambi9n,

f variable

E7e ima3inario

#recuencia




!. f f 0, y entonces | XC | XL, la impedancia total Z 0, la corriente

alcan)a el valor má6imo, y en teoría lle3a al in*inito.

". La *recuencia se ale7a de f 0, * > f 0, y | XC | : XL. En esta re3ión, la

impedancia total revela &ue se trata de un circuito inductivo, y laimpedancia total | Z | aumenta 3radualmente y la corriente disminuirá.

De lo anterior es posible obtener la curva de respuesta de la corriente vs

*recuencia, como se muestra en la #i3. 10.". En este dia3rama, cuando la*recuencia *uente f 0, la corriente es muy alta. Se le llama resonancia LC enserie. Esto sucede cuando XC XL, es decir'

f 0 es la *recuencia resonante, &ue tambi9n se e6presa como f r . Cuando la*recuencia e6terna es i3ual a f 0, ará &ue la impedancia del circuito 0. Estecircuito se llama ;circuito resonante< y la *recuencia e6terna se llama;*recuencia resonante<. En la #i3. 10.", cuando la *recuencia e6terna f es menor

&ue f 0, XL : | XC|, el circuito es capacitivo, y la corriente va adelantada =0> con

respecto al potencial. Cuando la *recuencia e6terna f es mayor &ue f 0, entonces

XL ? | XC|, el circuito es inductivo, y la corriente va atrasada =0> con respecto alpotencial.

E7emplo10.1. L 0.$ 5, C 100µ* en serie. Determinar la *recuencia resonante.

Respuesta' De acuerdo con la Ecuación +10.1,

Capacitivo -nductivo

#i3. 10." 8 Curva de respuesta para corriente vs. *recuencia enun circuito LC en serie




10.1.! Resonancia LC en (aralelo.

4l conectar un capacitor y un inductor en paralelo, como se muestra en la #i3.10.$+a, se obtienen respectivamente la suceptancia del conductor, la

admitancia total y la suceptancia del inductor con las si3uientes *órmulas'

#i3. 10.$ 8 Circuito paralelo LC y curva de respuesta

De la #i3. 10.$+b obtenemos la relación entre *recuencia y admitancia total delcircuito LC en paralelo como si3ue'

+1 La *recuencia aumenta desde 0 5) asta f 0, | BL | > BC. En estare3ión, la admitancia total revela &ue se trata de un circuito inductivo, y

la admitancia total | Y | disminuirá 3radualmente y la corriente disminuye.

+! Cuando f f 0 , | BL | BC, la admitancia total 0. (or la Ley de

/m, I VY V 6 0 0, por lo &ue la corriente es i3ual a cero. @odavía&uedan corrientes *luyendo en el capacitor y el inductor, &ue tienen lamisma ma3nitud pero con *lu7o opuesto.

+" Cuando la *recuencia se ale7a de f 0, * > f 0, y | BL | : BC. En esta

re3ión, la admitancia total revela &ue se trata de un circuito capacitivo, y

la admitancia total | Y | aumenta 3radualmente y la corriente aumentará

tambi9n.De lo anterior es posible obtener la curva de respuesta de la corriente vs

*recuencia, como se muestra en la #i3. 10.%. En este dia3rama, cuando la*recuencia *uente f 0, la corriente es cero. Se le llama resonancia LC enparalelo. Esto sucede cuando BC BL, es decir'

+a circuito LC paralelo +b Curva de respuesta BL, BC, e Y vs. *recuencia

siendo la *recuencia de resonancia




10.1.3 Circuito R-L-C Resonante en Serie

En aplicaciones prácticas, no e6iste un circuito con ;inductor puro<, y debeaber una pe&ueAa porción de resistencia interna en el inductor. (or lo tanto,en análisis de circuitos, debemos usar como norma el circuito resonante RLC.En esta sección, presentaremos las combinaciones y características de loscircuitos RLC resonantes en serie. En la sección 10.!.1 discutiremos primero laimpedancia y el án3ulo de *ase de los circuitos RLC resonantes en serie. En lasección 10.!.! se ablará de la potencia y del anco de banda del los circuitosRLC resonantes en serie, y *inalmente en la sección 10.!." se discutirá el *actor de calidad B y la selectividad.

Cap. -nd.

#i3. 10.% 8 Curva de respuesta de la Corriente vs. #recuencia en un circuito LC enparalelo

E7emplo 10.!' L 1 5, C 100µ* en paralelo, con una *uente de tensión de 100

con *recuencia variable. Determinar +1 la corriente resonante, y +! la corriente atrav9s del inductor con esa resonancia.

Respuesta' +1 cuando su resonancia Y 0, la *uente de corriente I 6 6 0 04. +! De acuerdo con la Ecuación +10.!, la *recuencia resonante es'

Cuando está en resonancia'




10.2.1 Impedancia y Angulo de Fase de Circuito RLCResonante en Serie

La #i3. 10. muestra un circuito normal RLC en serie, &ue se puede considerar como la suma de las resistencias en toda la red en serie, incluyendo laresistencia interna de la *uente de tensión, la resistencia interna del inductor, laresistencia de los alambres o de la resistencia. El capacitor y el inductor sepueden simpli*icar como dispositivos ideales +con solamente reactanciainductiva y capacitiva, sin nin3Fn otro componente de resistencia.

De la Ecuación +10.", para el circuito resonante RLC en serie, tanto f como L

y C deben satis*acer la Ecuación, independientemente del valor de R.

* variable

-mpedancia

-mpedancia total Z @

+a Circuito +b Dia3rama de -mpedancia vs.#recuencia

#i3. 10. 8 circuito RLC en serie

De la #i3. 10. sabemos &ue la impedancia total del circuito es Z T = R+jX L jX C = R + j(X L-X C ). (ara producir resonancia en el circuito, la parte ima3inaria de laimpedancia 0: X L – X C 0, o sea X L = X C

#inalmente, obtenemos la *recuencia de resonancia del circuito en serief 0 como'




En el circuito de la #i3. 10.+a, la impedancia total del circuito en serie RLCes una curva como se muestra en la #i3. 10.+b,

er Libro de @e6to

La ma3nitud y án3ulo de la impedancia Z @ es'

er Libro de @e6to +10.$

er Libro de @e6to +10.%

Con resonancia GL GC, la impedancia de resonancia H0 R y θ tan1 0 0>

cuando la *recuencia e6terna se cambia, el resultado se muestra en la #i3.10.I'

1. f>f 0 , X L > X C . El circuito es inductivo. La impedancia aumentará3radualmente y el án3ulo de *ase de su impedancia será mayor de 0>.@al como se muestra en la #i3. 10.I+a'

er Libro de @e6to

!. f = f 0 , X L = X C . Esta reactancia capacitiva es i3ual a la reactanciainductiva. El circuito está en estado de resonancia. La impedancia R esmínima y el án3ulo de *ase de la impedancia es 0> +er 10.I+b.

er Libro de @e6to

". f<f 0 , X L < X C . El circuito es capacitivo. La impedancia aumentará3radualmente y el án3ulo de *ase de su impedancia será menor de 0>.@al como se muestra en la #i3. 10+c'

er Libro de @e6to




#i3. 10.I 8 Dia3ramas de impedancia

Si en el circuito no ay resistencia, cuando f > f 0 el circuito es inductivo, y elán3ulo de *ase de la impedancia es J=0>. Cuando f < f 0 , entonces el circuito es

capacitivo y el án3ulo de *ase es 8=0>. Cuando el circuito es resonante, varíaentre inductivo y capacitivo y el án3ulo de *ase varía entre J=0> y 8=0>. La #i3.10.K+a muestra el dia3rama de *recuencia y del án3ulo de *ase de laimpedancia. Si consideramos el e*ecto de la resistencia, el án3ulo de *ase de laimpedancia depende de la resistencia y de la reactancia.

a 8 =0>, y cuando está en resonancia, el án3ulo de *ase del circuito es todavíai3ual a 0>, como se ve en la #i3. 10.K+b.

Con una misma *recuencia, cuando R lle3a a ser más 3rande, menor será θ y

viceversa, cuando R se ace más pe&ueAa, θ se ará más 3rande. En el punto

de resonancia, el án3ulo de *ase es todavía de 0 3rados. La #i3. 10.= muestrael dia3rama relativo del án3ulo de *ase y la *recuencia, para di*erentes valoresde R.

Cuando lle3a a ser muy 3rande, el án3ulo de *ase tenderá a J=0> o

4n3ulo de *ase θ 4n3ulo de *ase θ

+a Sin resistencia +b con resistencia

#i3. 10.K 8 4n3ulo de *ase vs. *recuencia




#i3. 10.= 8 Dia3rama de án3ulo de *ase de impedancia vs. #recuencia para

di*erentes valores de R.

E7emplo 10.". En la #i3. 10., R 10 Ω, L ! µ5, C ! µ#. Determine +1 la

*recuencia resonante *0, +! la impedancia en el punto de resonancia, +" laimpedancia a 0 5), la impedancia a 100 5).

Respuesta'

4n3ulo de *ase θ

R pe&ueAo R mediano R 3rande

+!

+"

+$




10.2.2 otencia y Anc!o de "anda en Circuitos RLCResonantes en Serie.

De acuerdo con la Ley de /m, sabemos &ue la corriente en un circuito es I V/Z . En la #i3. 10.+b, se obtiene la impedancia mínima y la corriente má6imacuando f f 0 . Cuando f < f 0 o cuando f > f 0 , la impedancia aumentará cuando la*recuencia se ale7a lo su*iciente de f 0 . Cuando f 0, el capacitor actFa como un

circuito abierto, por lo tanto la corriente es cero. Cuando f → ∞ , el inductor

actFa como un circuito abierto, y la corriente se apro6ima a cero. (or lo tanto, lacurva de respuesta es como la &ue se muestra en la #i3. 10.10.

La #i3. 10.11 muestra la curva de *recuencia vs. potencia. En el punto en el &uef f 0 , es donde abrá la mayor potencia. Cuando f < f 0 o cuando f > f 0 , lapotencia se disminuye con*orme la *recuencia se ale7a de f 0 .

En la práctica, es di*ícil &ue un circuito permane)ca en estado de resonancia.(or lo tanto, en 3eneral lo &ue se de*ine es un ran3o ra)onable de *recuencia,donde la respuesta de *recuencia es aceptable. Esta respuesta pierde sucalidad una ve) *uera del ran3o. 4 este ran3o se le llama ;4nco de anda<.

#i3. 10.10 8 Curva de *recuencia vs. Corriente

La potencia total inducida por la corriente en cual&uier *recuencia es'

La corriente tiene su má6ima resonancia. De i3ual manera, la potencia esmá6ima en esa resonancia, y por lo tanto, la potencia má6ima P 0 para elcircuito resonante en serie es'




#i3. 10.11 8 Curva de *recuencia vs. potencia

(or lo 3eneral, el anco de banda +BW , por sus si3las en -n3l9s se de*inecomo el ran3o entre f 2 – f 1 de la #i3. 10.11.

BW = ∆f = f 2 – f 1 +10.I

4mbas *recuencias son las cuales la potencia está a*ectada por un *actor de Mde su má6imo, por lo &ue las *recuencias f 2 y f 1 se llaman *recuencias de mediapotencia o *recuencias de corte, dado &ue la potencia es la mitad de la potenciade resonancia. La ra)ón por la cual se les llama *recuencias de corte es por larespuesta &ue lle3a a ser muy pobre cuando f < f 1 o cuando f > f 2 . para lo3rar una buena respuesta, la *recuencia debe estar entre f 2 y f 1, es decir, f 1 < f< f 2 .Cuando f = f 0 , la respuesta de la resonancia es la óptima.

4 la mitad de la potencia de la *recuencia , la potencia P 5( es'

La #i3. 10.1!+a muestra la curva de corriente vs. *recuencia. La #i3. 10.1!+bmuestra la curva de impedancia vs. *recuencia.

De la Ecuación +10.K sabemos &ue'

Cuando la corriente va desde alta acia ba7a, la Ley de /m nos dice &ue laimpedancia será de ba7a acia alta, por lo tanto, la impedancia Z a la mitadde la potencia es'




10.2.3 Factor de Calidad Q y Selecti#idad paraCircuitos R-L-C Resonantes en Serie.

El *actor de calidad Q se de*ine como' la relación entre la potencia dereactancia y la potencia real del inductor o del capacitor, cuando el circuito está

en resonancia. Es decir,

+a Curva de corriente vs. +b curva de impedancia vs. *recuencia *recuencia

#i3. 10.1! 8 Curvas de corriente e impedancia para media potencia.

E7emplo 10.$. Se tiene un circuito resonante en serie con 10∠0>, R 10 Ω, L

1 m5 y C !0 p#. Determine' +1 *recuencia de resonancia, +! corriente parala resonancia, y +" la corriente en la *recuencia de corte.

Respuesta'

En el circuito resonante en serie, las corrientes a trav9s de cada dispositivoson las mismas. (or lo tanto, la disipación de potencia en cada uno será'




er Libro de @e6to

Donde -0 es la corriente en el punto de resonancia, por lo tanto'

er Libro de @e6to

Nultiplicando estas dos ecuaciones se obtiene'

er Libro de @e6to +10.10

De la Ecuación +10.10 sabemos &ue entre menos resistencia aya, el valor deQ será más alto. (or lo tanto, para obtener un Q alto, la resistencia se debemantener a un mínimo. (odemos tambi9n elevar la relación entre la inductanciay la capacitancia y obtener un Q más alto.

En el punto de resonancia, I 0 V/R , y el potencial en el inductor L/ y en elcapacitor C/ son como si3ue'

er Libro de @e6to

er Libro de @e6to

De las dos ecuaciones anteriores sabemos &ue el potencial en el inductor y enel capacitor tienen la misma ma3nitud pero un *asor opuesto. 4mbos son Q

veces el valor de la tensión de la *uente. (or lo tanto es necesario ponerleatención a la tolerancia al potencial del inductor y del capacitor cuando sediseAa un circuito resonante en serie con un valor Q alto.

Las potencias a di*erentes *recuencias son como si3ue'

P = I 2 Z , cuando está en *recuencia de resonancia, P 0 es má6imo y Z=R

er Libro de @e6to

En la potencia media, P 5( '




er Libro de @e6to

Las *recuencias son *1 o *!, y la ecuación para la impedancia +10.$ es'

er Libro de @e6to

(or lo tanto, la potencia media es'

er Libro de @e6to

Cuando f 1 es la *recuencia de media potencia y f 1<f 0 , ω!LC debe tener un valor

ne3ativo. 4l resolver la si3uiente ecuación'

er Libro de @e6to

o sea, er Libro de @e6to

Osando la misma ecuación para probar &ue cuando f 2 es la *recuencia de

media potencia y f 2 > f 0 , ω!LC debe asumir un valor positivo. Se obtiene &ue'

er Libro de @e6to

El anco de banda es'




Entre más anco sea el anco de banda, peor será la selectividad. Si el ancode banda es más an3osto, se me7ora la selectividad. (or lo tanto, la curva en la#i3. 10.1" se llama curva de selectividad. La calidad de la selectividad a*ectaráel e*ecto de la *recuencia de ampli*icación. (ara una me7or selectividad, elanco de banda es más an3osto, pero se empeora la sensitividad. (or ello, el &más alto producirá un anco de banda más an3osto y ace &ue la *recuenciano se &uede dentro del anco de banda.

De la ecuación anterior sabemos &ue'

De la Ecuación +10.11 sabemos &ue el P es inversamente proporcional a Q.Si la *recuencia de resonancia permanece constante, Q1 ? Q! implica &ue P1 esmás an3osto &ue P!, como lo muestra la #i3. 10.1".

#i3. 10.1" 8 Relación entre B y el 4nco de anda.




Q se verá a*ectado por el RLC. Cuando L y C permanecen constantes, entremayor sea R , se tendrá un Q más ba7o. (or lo tanto, el anco de banda serámás amplio, como lo muestra la #i3. 10.1$+a. Cuando R" ? R! ? R1, entoncestambi9n Q 1 ? Q 2 ? Q 3. Cuando R se mantiene constante, la relación L / C seace más alta, el Q se ace más pe&ueAo y el anco de banda será másamplio, como lo muestra la #i3. 10.1$+b.

E7emplo 10.%. Se tiene un circuito RLC en serie, donde R 10 Ω, L ! m5, C

!0 µ#. Determine' +1 la *recuencia f 0 de resonancia, +! el valor de Q, y +" el

anco de banda.

Respuesta'

10.3 Circuito Resonante RLC en aralelo

En esta sección se presentarán las combinaciones y características del circuitoRLC resonante en paralelo. (rimero, discutiremos la impedancia y el án3ulo de*ase de un circuito RLC resonante en paralelo en la sección 10.".1. Lue3o, enla sección 10.".! veremos la potencia y el anco de banda de un circuito RLCresonante en paralelo, y *inalmente veremos el *actor de calidad B y la

selectividad en la Sección 10."."

L y C constantes R constante

#i3. 10.1$ 8 Relación entre dispositivo y selectividad




10.3.1 Impedancia y Angulo de Fase de Circuito RLCResonante en aralelo

La #i3. 10.1%+a muestra un circuito normal RLC en paralelo. (ara una mayor conveniencia al anali)ar sus parámetros, se usa la admitancia del circuito. Laadmitancia total para el circuito es Y G + j (BC – BL ), donde G = 1/R , BC = 1 / XC, BL = 1 / X L. La #i3. 10.1%+b muestra la relación entre admitancia y*recuencia.

+a Circuito RLC en paralelo +b Curva admitancia vs. *recuencia

#i3. 10.1% 8 Circuito RLC paralelo

La condición para resonancia en el circuito es &ue la parte ima3inaria de laadmitancia total sea i3ual a 0, o sea, BC – BL 0, lo cual implica &ue'




Cuando se cambia la *recuencia e6terna, el dia3rama de admitancia es talcomo se muestra en la #i3. 10.1'

1. Si f > f 0, B L < BC , el circuito es capacitivo. La admitancia aumenta

3radualmente y el án3ulo de *ase de la admitancia será mayor de 0>, comose muestra en la #i3. 10.1+a, es decir,

!. Si f = f 0, B L = BC , la reactancia capacitiva es i3ual a la reactancia inductiva. Elcircuito está en estado de resonancia. La admitancia Q es mínima y elán3ulo de *ase de la admitancia es 0>, como se muestra en la #i3. 10.1+b'

". Si f < f 0, B L > BC , el circuito es inductivo. La admitancia aumenta3radualmente y el án3ulo de *ase de la admitancia será menor de 0>, comose muestra en la #i3. 10.1+c'

#i3. 10.1 8 Dia3rama de admitancia para circuito resonante en paralelo.

Si en el circuito no ay resistencia, cuando f > f 0 el circuito es capacitivo, y elán3ulo de *ase de la impedancia es J =0>. Cuando f < f 0 , entonces el circuito esinductivo y el án3ulo de *ase es 8=0>. Cuando el circuito es resonante, varíaentre inductivo y capacitivo y el án3ulo de *ase varía entre J=0> y 8=0>. La #i3.10.1I+a muestra el dia3rama de *recuencia y del án3ulo de *ase de laadmitancia. Si consideramos el e*ecto de la resistencia, el án3ulo de *ase de laadmitancia depende de la resistencia y de la reactancia.

Cuando el valor se ace muy 3rande, el án3ulo de *ase seapro6ima a J =0> o a 8 =0>. Cuando entra enresonancia, el án3ulo de *ase del circuito estodavía i3ual a 0>, como se muestra en la

#i3. 10.1I+b.




a7o una misma *recuencia, cuando Q se ace más 3rande, la *recuencia de

admitancia θ se ará más pe&ueAa, y viceversa, cuando Q disminuye, θ se

ará más 3rande. En el punto de resonancia, el án3ulo de *ase es siempre 03rados, como lo muestra la #i3. 10.1K.

E7emplo 10.. En la #i3. 10.1% se tiene un circuito RLC paralelo, donde R 10

Ω, L 1 m5, C $00 p#. Determine' +1 la *recuencia f 0 de resonancia, +! la

impedancia en el punto de resonancia, +" la impedancia a la *recuencia de la*uente de 100 5), +$ la impedancia a la *recuencia de la *uente de $00 5).

4n3ulo de 4dmitancia θ 4n3ulo de admitancia θ

+a Sin resistencia +b con resistencia

#i3. 10.1I 8 Dia3rama de *recuencia vs. án3ulo de admitancia

4n3ulo de admitancia

#i3. 10.1K 8 Relación entre R y la #recuencia




Respuesta' +1 er Libro de @e6to

+! En el punto de resonancia X L = X C

er Libro de @e6to

+" cuando f 100 5)

er Libro de @e6to

+$ cuando f $00 5)

er Libro de @e6to




10.3.2 otencia y Anc!o de "anda en Circuito R-L-CResonante aralelo

De acuerdo con la Ley de /m, sabemos &ue la corriente en un circuito es I V/Z , y sustituy9ndola en Y = I / Z obtenemos &ue I = VY . En la #i3. 10.1%+b, seobtiene la admitancia mínima y la corriente má6ima cuando f f 0 . Cuando f < f 0

o cuando f > f 0 , la admitancia aumentará cuando la *recuencia se ale7a losu*iciente de f 0 . Cuando f 0, el capacitor actFa como un circuito abierto, por lo

tanto la corriente es cero. Cuando f → ∞ , el inductor actFa como un circuito

abierto, y la corriente se apro6ima a in*inito. (or lo tanto, la curva de respuestade la corriente es como la &ue se muestra en la #i3. 10.1=.

La es una constante, ya &ue RLC se conecta en paralelo con una *uente detensión 4C. De la #i3. 10.1%+b, en el punto cuando f f 0 se obtiene laadmitancia mínima. Cuando f < f 0 o cuando f > f 0 , la admitancia aumentarácuando la *recuencia se ale7a lo su*iciente de f 0 . De a&uí podemos obtener el

dia3rama de potencia vs. *recuencia, como se muestra en la #i3. 10.!0.De las #i3. 10.!0 y 10.1%+a, encontramos &ue'

1. Cuando f < f 0 o cuando f > f 0 , el circuito es capacitivo o inductivo. Lareactancia inductiva no es i3ual a la reactancia capacitiva. (or lo tanto, laparte ima3inaria de la admitancia se ará más 3rande, y la admitancia seará más 3rande, tambi9n. De la Ecuación +10.1% sabemos &ue la potenciaaumentará, tambi9n. Esto si3ni*ica &ue las seAales de salida de la *uente detensión tienen mayor potencia disipada en el circuito RLC paralelo.

#i3. 10.1=. Curva de *recuencia vs. corriente en circuito RLC paralelo

De la Ecuación +10., la corriente total inducida por la corriente a cual&uier*recuencia es P + I 2 Z , y sustituyendo Y = I/Z '




#i3. 10.!0 8 Dia3rama de potencia vs. *recuencia en circuito RLC paralelo

!. Cuando f = f 0 , el circuito es resistivo puro. La admitancia es mínima. De laecuación +10.1% sabemos &ue la potencia es mínima en este momento.Esto si3ni*ica &ue ay una disipación mínima de potencia en el circuito RLC.

Del análisis anterior sabemos &ue el si3ni*icado de la curva de potencia en la#i3. 10.!0 es &ue la *uente de tensión V disipa la potencia en el circuito RLC.(or lo tanto, ay una disipación mínima de potencia en el circuito RLC paraleloen el punto f 0 , y la mayoría de la potencia puede entre3arse. Cuando f < f 0 ocuando f > f 0 , y la *recuencia se ale7a lo su*iciente de f 0 , la potencia disipada en

el circuito RLC paralelo se aumentará 3radualmente. Esto si3ni*ica &ue lasalida de potencia se disminuirá 3radualmente. La impedancia de resonancia yla respuesta corriente vs. *recuencia en el circuito RLC paralela son opuestosa los resultados del circuito RLC en serie. (or lo tanto, se le llama tambi9ncomo antiresonante.

#i3. 10.!1 8 dia3rama de anco de banda.

En la #i3. 10.!1 correspondiente al dia3rama del anco de banda de lacorriente, 9sta tiene un mínimo I 0 en el punto de resonancia. En el punto de

veces la corriente e6isten dos *recuencias, f 1 y f 2 , siendo la primera, la*recuencia de corte ba7o , y f 2 la *recuencia de corte alto. El anco de banda P

es'




10.3.3 Factor de Calidad Q y Selecti#idad paraCircuito R-L-C paralelo resonante.

De la Ecuación +10.1= sabemos &ue Q = P L / P R o &ue Q = P C / P R. (or lo tanto,tambi9n sabemos &ue'

+a (otencia vs. *recuencia +b 4dmitancia vs. *recuencia

#i3. 10.!! 8 Corriente y admitancia en el anco de banda.

E7emplo 10.I. Se tiene un circuito paralelo resonante con 10∠0>, R 1 Ω,

L 1 m5 y C !0 µ#. Determine' +1 la *recuencia de resonancia, +! la

corriente en el punto de resonancia, +" la corriente en la *recuencia de corte

Respuesta'




De la Ecuación +10.1 sabemos &ue Q es proporcional a la resistencia. (ara

obtener una Q alta, entonces es necesario &ue la resistencia se manten3a altaen el circuito paralelo. Se puede tambi9n elevar la relación de capacitancia ainductancia para obtener un Q más alto. En el punto de resonancia, V = I 0 R, lascorrientes en el inductor y capacitor son respectivamente'

De las ecuaciones anteriores sabemos &ue la corriente a trav9s de un inductor y de un capacitor son Q veces la corriente en la resistencia. La relación entre Q

y el anco de banda es Q = f 0 / BW, &ue es la misma relación &ue en el circuitoen serie.

Sabemos &ue el propósito del circuito resonante es de7ar salir del circuitosolamente *recuencias particulares. Si el anco de banda es muy amplio,entonces cual&uier *recuencia puede pasar por el circuito, y la selectividad espobre. o obstante, con un anco de banda más an3osto, se me7ora laselectividad, como se muestra en la #i3. 10.!".

De las ecuaciones anteriores' Q = f 0 / BW, o sea BW * 0 2 B podemos obtener ciertas conclusiones sobre el *actor de calidad, anco de banda, amplitud de laonda de corriente y selectividad como si3ue'

1. Si Q es relativamente 3rande, el anco de banda será relativamente an3osto,la curva de la corriente se tornará más a3uda y se me7ora la selectividad,como se muestra en la #i3. 10.!" +P1.

!. Si Q es relativamente pe&ueAa, el anco de banda será relativamente másanco, la curva de la corriente se tornará más suave y se desme7ora laselectividad, como se muestra en la #i3. 10.!" +P!.

/ &ue'




10.$ Circuitos Resonantes %tiles

La utilidad de un circuito LC resonante en paralelo se muestra en la #i3.10.!$+a. El inductor se ace arrollando un alambre alrededor de una bobina,por lo tanto, el inductor no solamente tiene inductancia sino tambi9nresistencia, como se puede ver en la #i3. 10.!$+b. Esta resistencia es mucomás pe&ueAa &ue la impedancia del circuito. o obstante, cuando el circuito esresonante, la resistencia sí es muy importante. (or lo tanto, no se puedei3norar la resistencia durante el análisis del circuito. De i3ual *orma para elcapacitor, ya &ue el alambre y las placas tienen resistencia, pero debido a suvalor ba7o, la resistencia se puede i3norar.

alto

bajo

#i3. 10.!". Comparación de la selectividad

E7emplo 10.K. En la #i3. 10.1%+a, cuando !00∠0>, R %0 Ω, L $ m5 y C

100 n#, determine' +1 *actor de calidad, +! corriente en el punto deresonancia, +" el *lu7o de corriente a trav9s del capacitor e inductor, +$*recuencia de resonancia, y +% anco de banda.

Respuesta'




(ara anali)ar el circuito de la #i3. 10.!$+b, lo convertiremos en un circuito RLC en paralelo, como se ve en la #i3. 10.!%. Osamos la *recuencia resonante

como base debido a &ue el valor de R es el &ue tiene una in*luencia másimportante en este momento.

(ara convertir el circuito en serie resistencia 8 reactancia como se ve en la #i3.10.!+a a un circuito en paralelo resistencia 8 reactancia como en 10.!+b, laimpedancia e&uivalente en los dos terminales debe ser i3ual. La impedancia de

la resistencia 8 reactancia en serie es Z = RS ± j X S , y la impedancia de la

resistencia 8 reactancia en paralelo es Y = G P ± jB p, donde Y = 1/Z .

+a Resonancia de -nductorcapacitor +b Resonancia real de -nductor en paralelo capacitor

#i3. 10.!$ 8 Circuito Ftil en paralelo

#i3. 10.!% 8 Circuito RLC e&uivalente en paralelo

+a Circuito en Serie +b Circuito en (aralelo

#i3. 10.!. Conversión de circuito resistencia 8 reactanciade serie a paralelo




Cuando'

Como Y = G p J2 jB p, entonces la parte real de la ecuación anterior es G p y laparte ima3inaria es B p. Se puede obtener R p y X p como si3ue'

En la #i3. 10.!I+a tenemos un circuito resistencia 8 reactancia en paralelo,

&ue se convierte en otro circuito resistencia 8 reactancia en serie como semuestra en la #i3. 10.!I+b. El m9todo es el si3uiente'

Si la reactancia en el circuito resistencia 8 reactancia en serie es capacitivo,entonces, de la Ecuación +10.1I y +10.1K sabemos &ue la reactanciae&uivalente en el circuito es'

+a Circuito paralelo +b Circuito en serie

#i3. 10.!I. Conversión de circuito resistencia 8 reactanciade paralelo a serie




er Libro de @e6to +10.!!

Cuando el circuito en la #i3. 10.!% *unciona a la *recuencia de resonancia,entonces'

er Libro de @e6to

(or lo tanto, er Libro de @e6to

Reacomodando de tal *orma &ue' er Libro de @e6to

Sustituyendo en la Ecuación +10.!1'

er Libro de @e6to +10.!"

En el punto de resonancia X LS = X C ,

er Libro de @e6to

De la Ecuación +10.!"'

er Libro de @e6to

er Libro de @e6to +10.!$

En aplicaciones prácticas, cuando el *actor de calidad es más alto de 10,entonces L es muco más alta &ue C . Esto convierte a R2C/L en un valor pe&ueAo, &ue se puede i3norar. (or lo tanto, cuando Q : 10 podemos usar laEcuación +10.!$ para calcular la *recuencia de resonancia. Cuando Q ? 10 se

puede i3norar R2C/L , y usar f 0= π √ !LC"#

El *actor de calidad Q debe tener el mismo valor en circuitos RL en serie y en

el circuito RL paralelo e&uivalente. Esto se comprueba de la si3uiente *orma'




er Libro de @e6to +10.!%

E7emplo 10.=. Se conectan un capacitor con C 100µ#, L 0.0" 5 y R ! Ω

en paralelo con una *uente de tensión de v 100∠0> oltios. Determine' +1 la

*recuencia de resonancia f 0, y +! el *actor de calidad.

Respuesta' er Libro de @e6to

10.& Aplicaci'n de (tros Circuitos Resonantes

ásicamente, los circuitos resonantes se diseAan para obtener buenos e*ectosen al3unas *recuencias particulares. /tras *recuencias son reca)adas o suseAal se atenFa. (or lo tanto, estos circuitos se llaman ;*iltros<. Estos *iltros3eneralmente se usan en circuitos modernos de comunicación, y de los cualese6isten cuatro tipos'1. #iltros pasa banda!. #iltros parada 8 banda". #iltros pasa ba7os$. #iltros pasa altos

10.&.1 Filtros asa - "anda

En realidad, el *iltro pasa 8 banda es un circuito RLC resonante en serie.La entrada proviene de una *uente de tensión con di*erentes *recuencias, y lasalida se obtiene en el terminal de potencial de la resistencia, como se muestraen la #i3. 10.!K. La respuesta de la corriente vs. *recuencia ya se discutió

anteriormente, y la curva se muestra en la #i3. 10.!=. En la *recuencia deresonancia f 0, se tiene la corriente má6ima.




La tensión de salida entre los terminales de la resistencia se puede obtener

mediante la Ley de /m, V 0 = IR. De esta ley, vemos &ue la tensión esproporcional a la corriente, y la curva toma la *orma &ue se muestra en la #i3.10.!=. En el punto de resonancia, la tensión de salida es un má6imo y es i3uala la tensión de entrada. Como se mencionó antes, se puede obtener asta0.I0I veces la tensión má6ima de salida en la *recuencia de corte f 1 y f 2, donde

f 2 $ f 1 es el anco de banda P. En *recuencias &ue se encuentren entre f 1 y f 2,la tensión de salida es bastante alta. (ara seAales con *recuencias menores de

f 1 o mayores de f 2, las tensiones de salida son muy pe&ueAas. Esto si3ni*ica&ue a&uellas seAales con *recuencias entre f 1 y f 2 son más *áciles de acer pasar a trav9s del circuito acia la car3a. (or lo tanto, a este circuito lollamamos ;*iltro pasa 8 banda<.

10.&.2 Filtros arada ) "anda

El e*ecto de este *iltro es opuesto al *iltro pasa 8 banda. Es tambi9n un circuitoRLC en serie pero la salida se obtiene de los terminales del inductor y elcapacitor, como se ve en la #i3. 10."0.

La tensión de salida

Resonancia, V L y V % tienen la misma ma3nitud pero dirección opuesta. (or lotanto, 0 es i3ual a 0.

Si la *recuencia es cero,

salida es i3ual a la tensión de entrada.

Si la *recuencia es in*inita,

salida es i3ual a la de entrada. (or lo tanto, la curva de respuesta de la*recuencia es como se muestra en la #i3. 10."1. Si la *recuencia se encuentraentre *1 y *!, la salida es muy pe&ueAa, y es di*ícil &ue la seAal pase. (or ello

se llama ; *iltro parada 8 banda<.

ajustableVoltaje de salida V0

#i3. 10.!K 8 #iltro pasa 8 banda #i3. 10.!=. Curva de respuesta

en la *recuencia de

La tensión de

La tensión de




#i3. 10."1 8 Curva de respuesta para *iltro parada banda

10.&.3 Filtros asa ) "a*o

En la #i3. 10."!+a y +b, la reactancia inductiva X L = 2 π fL es proporcional a la

*recuencia y la reactancia capacitiva X % = π fC es inversamente proporcional a

la *recuencia. Cuando la *recuencia de entrada es cero, X L 0, X % ∞, y el

circuito se considera como en cortocircuito, con una salida de tensión de cero.

De lo anterior, se puede dibu7ar la respuesta de la *recuencia de la tensión desalida como se muestra en la #i3. 10."". (or lo tanto, cuando la *recuencia esmenor de f 2, la seAal es más *ácil de pasar por el circuito. (or esto se le llama;*iltro pasa ba7o<.

#i3. 10."0 8 #iltro parada banda

Salida de tensión 0




10.&.$ Filtros asa ) Altos

En la #i3. 10."$+a y +b, cuando la *recuencia de entrada es cero, X L 0, X %

∞, y la seAal no puede pasar acia la salida. (or lo tanto la tensión de salida es

i3ual a cero. Ciando la *recuencia es in*inita, X % o y el circuito se consideracomo en cortocircuito, siendo *ácil de pasar la seAal acia la salida. (or lo tantola tensión de salida es i3ual a la de entrada. La respuesta de la *recuencia dela tensión de salida como se muestra en la #i3. 10."%. (or lo tanto, cuando la*recuencia es mayor de f 1, la seAal es más *ácil de pasar por el circuito. (or esto se le llama ;*iltro pasa alto<.

#i3. 10."$ 8 #iltro pasa alto

#i3. 10."! 8 #iltro pasa ba7o

#i3. 10."" 8 Respuesta de la *recuencia para *iltro pasa ba7o




#i3. 10."% 8 Respuesta de la *recuencia para un *iltro pasa 8 alto

Estos *iltros se pueden usar en di*erentes aplicaciones, tal como separar las

seAales de audio y video en un aparato de televisión. La modulación de la ondaportadora es como se muestra en la #i3. 10.". (or lo 3eneral, cada canal detelevisión tiene un anco de banda de N5), donde unos $ N5) son para lamodulación de la seAal de video, y se tiene un canal de modulación de audioen los $.% N5). (or lo tanto, se re&uieren dos *iltros para separar estas dosseAales. Se pueden usar un circuito resonante paralelo L1C 1 para obtener laseparación del audio en $.% N5), y usar un circuito resonante en serie L2C 2para lo3rar la separación de la salida de video en $.% N5). La respuesta de la*recuencia es tal como se muestra en la #i3. 10."I.

#i3. 10." 8 separación de audio y video en @

SeAal de SeAal de ideo audio

Entrada de audio yvideo +42

4mpli*icador deaudio y video

Salida de audio

Salida de video

+a anda de modulación +b Circuito




10.+ Resumen

-. Características de la resonancia RLC en serie

+1 Condición' X L = X C

+! -mpedancia de resonancia' Z = R +mínimo

+" #recuencia de resonancia'

+$Corriente de resonancia' I 0 V / Z 0 = V / R +má6imo

+% (ara f > f 0 , el circuito es inductivo.

+ (ara f < f 0, el circuito es capacitivo

+I (ara f = f 0 , el circuito es resistivo

+K (otenciales de terminal'

+= #actor de calidad '

+10 4nco de banda P '

+11 Si Q es relativamente alto, la *orma de la onda es más a3uda, y se me7orala selectividad.

--. Características del circuito RLC resonante paralelo

SeAal devideo

SeAal de audioSeAal de video

SeAal de audio

+a Respuesta L1C 1 de seAal de audio SeAal L2 C 2 de video

#i3. 10."I 8 Curvas de respuesta de audio y video




+1 Condición ' L C, &ue es lo mismo &ue X L = X C

+! #recuencia de resonancia f 0 = 1/ 2 π √ (LC)

+" -mpedancia de resonancia Z = R +má6imo, admitancia Y = G +mínimo

+$ Corriente de resonancia I 0 = V/Z = VY = V/R = VG = I R +mínimo

+% (ara f > f 0 , el circuito es capacitivo.

+ (ara f < f 0 el circuito es inductivo

+I (ara f = f 0 , el circuito es resistivo.

+K Corrientes' I R = V/R = I 0 , I C = V / X L = ! / X C = Q I 0

+= #actor de calidad ' Q = BL / G = BC / G = R √ (C/L)

+10 4nco de banda P : f 2 – f 1 = f 0 / Q

+11 Si Q es relativamente alto, la *orma de la onda es más a3uda, y se me7orala selectividad.

---. El circuito e&uivalente de un inductor real es una resistencia interna R y un

inductor puro L en serie.

-. En un circuito LC resonante en paralelo real, si B : 10 la *recuencia de

resonancia f " = 1 / (2 π√ (LC) ) √ (1-R 2 C/L). Si B ? 10, la *recuencia de

resonancia f " = 1 / (2 π√ (LC). El *actor de calidad es' Q = X L / R = 2 π f " L/R .

. Los *iltros pasa 8 banda y parada 8 banda son circuitos RLC en serieresonantes. Si la salida se obtiene de los terminales de la resistencia es un*iltro pasa 8 ba7o. Si la salida se obtiene de los terminales del inductor ycapacitor en serie, se trata de un *iltro parada 8 banda.

-. #iltro pasa 8 ba7o' de7a pasar las seAales de ba7a *recuencia y reca)a oatenFa al circuito con seAales de alta *recuencia.

--. #iltro pasa 8 alto' de7a pasar las seAales de alta *recuencia y reca)a oatenFa al circuito con seAales de ba7a *recuencia.

10., reguntas

1. Cuando una corriente 4C en un circuito RLC en serie está en resonancia, larelación del *asor entre el potencial de terminal y la corriente es' TTTTTTTTT




!. En un circuito LC en serie, si está en resonancia, la impedancia del circuito

es de TTTTTT Ω.

". En un circuito LC en paralelo, si está en resonancia, la impedancia del

circuito es de TTTTTT Ω.

$. En un circuito RLC en serie, la *recuencia de resonancia es de TTTTTTT 5).%. En un circuito RLC en serie, la corriente de resonancia es de TTTTTTT 5).. En un circuito RLC en serie, si la *recuencia es mayor &ue la *recuencia de

resonancia, el circuito se comporta como TTTTTT.I. En un circuito RLC en serie, la relación entre L y C es' TTTTTTTTT.

K. En un circuito RLC en paralelo, si R1UΩ, L0.%5, C!00µ#, entonces la

*recuencia de resonancia es de TTTTTT.=. Si la *recuencia de resonancia en serie de un circuito RLC es de 1 5), el

*actor de calidad es !0, entonces el anco de banda es de TTTTTT 5).10. En un circuito RLC en serie resonante, entre más pe&ueAo sea R, el *actor

de calidad será TTTTTT.11. En un circuito RLC en serie, si la *recuencia es menor &ue la *recuencia de

resonancia, el circuito actFa como TTTTTT.1!. 4ntiresonancia es ' TTTTTT.1". En un circuito RLC en paralelo, si la *recuencia es mayor &ue la *recuencia

de resonancia, el circuito actFa como TTTTTT.1$. En un circuito RLC en paralelo resonante, entre más pe&ueAo sea R, el

*actor de calidad será TTTTTT.1%. En un circuito RLC resonante, un *actor de calidad alto si3ni*ica' TTTTTT.

1. En un circuito RLC en serie, si R%Ω, L0.15, C%0µ# y el potencial en la

*uente de tensión es de 100 , entonces la corriente es TTTT4 en el punto

de resonancia.1I. On circuito RLC en serie tiene 10 4 en el punto de resonancia, entonces la

corriente es de TTTTT4 en las *recuencias de corte.1K. El circuito de la #i3. 10."K+a es ' TTTTTT.1=. El circuito de la #i3. 10."K+b es' TTTTTTT.

#i3. 10."K




10. rolemas

1. Dibu7e la curva de respuesta de *recuencia de la corriente del circuito LC enserie, y e6plí&uelo brevemente.

!. E6pli&ue las condiciones &ue acen &ue un circuito LC en serie o LC enparalelo sean resonantes.

". En la #i3. 10."=, determine' +1 *recuencia resonante, +! impedanciaresonante, +" corriente resonante, +$ corriente en las *recuencias de corte,+% potencial en cada uno de los dispositivos en resonancia, + potenciaresonante, +I *actor de calidad, y +K anco de banda.

#i3. 10."= #i3. 10.$0

$. En la #i3. 10.$0, determine' +1 *recuencia resonante, +! admitanciaresonante, +" corriente resonante, +$ corriente en las *recuencias de corte,+% potencial en cada uno de los dispositivos en resonancia, + potenciaresonante, +I *actor de calidad, y +K anco de banda.

%. En la #i3. 10.$1, determine' +1 *recuencia resonante, y +! *actor de calidad.

#i3. 10.$1 #i3. 10.$!

. VBu9 es un *iltro pasa 8 bandaW DibF7elo y e6pli&ue.




I. VBu9 es un *iltro pasa 8 ba7oW DibF7elo y e6pli&ue.K. VBu9 es un *iltro pasa 8 altoW DibF7elo y e6pli&ue.=. En la #i3. 10.$!, determine' +1 *recuencia resonante, +! impedancia

resonante, +" potencial en cada uno de los dispositivos en resonancia.

10. En un circuito RLC en serie se obtiene resonancia a una *recuencia de 05). Determine la capacitancia si L 0.$ 5.

11. En la #i3. 10.$", Vcuál debe ser la inductancia para &ue aya resonancia en f ! 5)W

#i3. 10.$"

1!. Describa la relación entre *actor de calidad y selectividad.

capc3adtulo 10 circuito resonante

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