Educación Básica Regular – Nivel PrimariaSeminario de Matemática

Números Naturales ( ℕ)

Un número natural  es cualquiera de los números que se

usan para contar los elementos de un conjunto.

Es todo número perteneciente a la serie:

N= {0,1,2,3,4 ,…}

La suma de cualesquiera dos números naturales

es también un número natural.

Por ejemplo: 4 + 2000 = 2004,

El producto de cualesquiera dos números

naturales es un número natural.

Por ejemplo: 4 × 2000 = 8000

Aunque esto no es verdadero para la resta y la

división.

Números Primos

En matemáticas, un número primo es un número

natural mayor que 1 que tiene únicamente

dos divisores distintos: él mismo y el 1. El número

1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Los números primos menores que 100 son los

siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 

43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

Números Compuestos

Todo número natural no primo, a excepción del 1, se

denomina compuesto, es decir, tiene uno o más

divisores distintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza

el término divisible para referirse a estos números.

Los 30 primeros números compuestos

son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 

26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44 y 4

5.

Números Enteros ( )

Los números enteros son un conjunto de números que

incluye a los números naturales distintos de cero,

los negativos de los números naturales y al 0.

ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3,...}

La suma, producto, y diferencia de cualesquiera dos enteros también es un entero.

Pero esto no es verdadero para la división... solo intente 1 ÷ 2.

Números Racionales ( )Los números racionales son aquellos números que pueden ser expresados como una relación entre dos enteros.

Las fracciones.

Por ejemplo: 1/3 y –1111/8 ambas son números racionales.

Todos los enteros están incluidos en los números racionales.

Todos los decimales que terminan son números racionales (ya que 8.27 puede ser escrito como 827/100.)

Los decimales que tienen un patrón repetitivo después de algún punto también son racionales.

Por ejemplo, 0.083333333... = 1/12.

El conjunto de números racionales es cerrado bajo las 4 operaciones básicas, esto es, dados cualesquiera dos números racionales, su suma, diferencia, producto, y cociente también es un número racional (siempre que no dividamos entre 0.)

Números irracionales ( )En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros y n es diferente de cero. Es cualquier número real que no es racional.

Por ejemplo:

La   es alrededor de 1.414, porque 1.4142 = 1.999396

Pero:

Los números reales ( )

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Los números reales es el conjunto de números que consiste de todos los números racionales y de todos los números irracionales. Los números reales son “todos los números” en la recta numérica. Hay infinitamente muchos números reales así como hay infinitamente muchos números en cada uno de los otros conjuntos de números. Pero, puede probarse que el infinito de los números reales es un infinito muy grande.

Ejemplos.

√5 π Ln2

Múltiplos y divisores

Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales.

Ejemplo: son múltiplos del número 2 el 4,6,8,10,12,14,16,18,20,22 y muchos más los múltiplos son infinitos como son infinitos los números naturales.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par.

8, 14, 54, 382, 1876 son divisibles por 2.

Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3, si la suma de los dígitos que lo componen, es múltiplo de tres.6, 21, 69, 255, 1356 son divisibles por 3

Divisibilidad por 4: un número es divisible por cuatro si las dos últimas cifras (unidades y decenas) son dos ceros (00) o son divisibles por cuatro. Doce es divisible por cuatro por lo tanto 512 es divisible entre cuatro. Al igual que: 204 y 780, 7500...

Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 o 5.

Divisibilidad por 6: un número es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez

Divisibilidad por 7: un número es divisible por 7, si el número que se obtiene al separar el último dígito, multiplicarlo por 2 y restarle el número que queda, es múltiplo de 7.Esto se ve complicado pero observa: el número 98 es divisible por 7 porque Se separa el 9 del 8, ahora se multiplica 8 x 2 = 16 y se resta 16 –9 = 7245 es divisible por 7. Porque se separa el último dígito, el 5;  queda 24.  Ahora se multiplica 5 x 2 = 10 y se resta 24 – 10 = 14

Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

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Divisibilidad por 10: un número es divisible por 10, si su  último dígito es 0.

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El Mínimo Común Múltiplo de un conjunto de números Naturales es el número más pequeño que los contiene exactamente, es decir que es múltiplo de todos ellos

Ejm:

MCM (4 ,6 )

Forma Larga.

Determinamos el conjunto de los múltiplos de 4 y 6

M 4={4 ,8 ,12 ,16 ,20 ,24 ,28 ,32,36 ,40 ,… }

M 6= {6 ,12 ,18 ,24 ,30 ,36 ,42 ,48 ,54 ,60 ,…. }

Una vez señalado los múltiplos comunes, es decir los que se repiten en los dos conjuntos, escogemos el número más pequeño.

∴MCM (4 ,6 )=12

Forma Corta.

Utilizaremos los números primos para descomponer.

Primos={2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,… }

4 - 6 22 - 3 21 - 3 31 - 1

∴MCM (4 ,6 )=12

Máximo Común Divisor (MCD)

El Máximo Común Divisor de un conjunto de números Naturales es el número más grande que los divide exactamente, es decir, es divisor de todos ellos.

Ejm:

MCD (18 ,24 )

Forma Larga

Determinamos el conjunto de los divisores de 18 y 24

D18= {1 ,2,3 ,6 ,9 ,18 }D24= {1 ,2 ,3 , 4 ,6 ,8 ,12 ,24 }

Una vez señalado los divisores comunes, es decir los que se repiten en los dos conjuntos, escogemos el número más grande.

∴MCD (18 ,24 )=6

Forma Corta

Utilizaremos los números primos para descomponer.

Primos={2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,… }

18 - 24 2 9 - 12 2 3 - 4 3

∴MCD (18 ,24 )=6

Nota:

[MCM (a ,b)] x [MCD (a , b)]=a·b

MCM (12, 16) = 4MCD (12, 16) = 48

48 x 4=12 x16192=192

Porcentajes

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Luego:

2 x 2 x 3 = 12

Luego:

2 x 3 = 6

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En matemáticas, el porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa «de cada cien unidades».

Ejm

32%=32× 1100

Ejercicio:

¿Cuál es el 12% de 75?

12%de75= 12100

× 751

=12×75100×1

=9

Respuesta: 9

Empleando Regla de Tres Simple Directa

Cantidad %75 100X 12

X=75×12100

=9

Respuesta: 9

Ejercicio:

¿Qué porcentaje es 425 de 500?

Empleando Regla de Tres Simple Directa

Cantidad %500 100425 X

X=425×100500

=85

Respuesta: 85

Ejercicio:

¿De qué número es 300 el 40%?

Empleando Regla de Tres Simple Directa

Cantidad %X 100300 40

X=300×10040

=750

Respuesta: 750

División

Dividendo=Divisor×Cociente+Resto

3478=26×133+203478=26×133+203478=3458+203478=3478

Problemas Propuestos

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Números Naturales

1 Dados los números 5, 7 y 9: Forma todos los números posibles

de tres cifras distintas. Ordénalos de menor a mayor. Súmalos.

2 El cociente de una división exacta es

504, y el divisor 605. ¿Cuál es el dividendo?

3 El cociente de una división entera es

21, el divisor 15 y el dividendo 321. ¿Cuál es el resto?

4  Pedro compró una finca por 643 750 €

y la vendió ganando 75250 €. ¿Por cuánto lo vendió?

5  Con el dinero que tengo y 247 € más,

podría pagar una deuda de 525 € y me sobrarían 37 €. ¿Cuánto dinero tengo?

6 Se compran 1600 Kg de boquerones, a

razón de 4 €/Kg. Si los portes cuestan 400 € y se desea ganar con la venta 1200 €. ¿A cuánto debe venderse el kilogramo de boquerones?

7 ¿Cuántos años son 6 205 días?

Consideramos que un año tiene 365 días.

8 Pedro quiere comprar un automóvil. En

la tienda le ofrecen dos modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En ambos modelos los colores disponibles son: blanco, azul, rojo, gris y verde. Halla el número de posibles elecciones que tiene Pedro.

9 En una piscina caben 45 000 l itros.

¿Cuánto tiempo tarda en l lenarse mediante un grifo que echa 15 l itros por minuto?

10 En un aeropuerto aterr iza un avión

cada 10 minutos. ¿Cuántos aviones aterrizan en un día?

11 En una urbanización viven 4500

personas y hay un árbol por cada 90 habitantes.

¿Cuántos árboles hay en la urbanización?

¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas?

Múltiplos y divisores

Lima 2 de febrero del 2015 | Elías Lavado Ramos

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Elige la opción correcta:

1Un número natural.. .

Sólo puede ser múlt iplo de otros dos.

Puede ser múltiplo un sólo número.

Puede ser múltiplo de más de dos

números.

2El cero...

Tiene infinitos múltiplos.

Es múlt iplo de todos los números.

Sólo tiene un múlt iplo, que es él mismo.

3Todo número distinto de cero...

Es múlt iplo de sí mismo y de la unidad.  

Es múlt iplo de inf initos números.

Es múlt iplo de cero.

4Si a  es múltiplo de b , entonces...

Existe un número c  tal que a · c = b.

b/a  es una división exacta.

a/b  es una división exacta.

MCM y MCD

1. En un paradero del Metropolitano, un bus pasa con una frecuencia de 2 minutos, otro cada 3

minutos y un tercero cada 4 minutos. ¿Dentro de cuántos minutos, como mínimo, se encontrarán en el paradero?

2. Joaquín ha coleccionado estampitas de América y Europa. Las estampillas de América están agrupadas en sobres de 4 estampillas, mientras que las estampillas de Europa las ha agrupado en sobres de 5. Sabiendo que el número de estampillas que tienen los álbumes de América y Europa son lo mismo, ¿cuántas estampillas como mínimo entra en un álbum?

3. Tres amigas trabajan como voluntarias en un hogar de ancianos, de acuerdo con sus posibilidades de tiempo. Una de ellas va cada 5 días, otra lo hace cada 10 días y la otra, cada 15 días. Suponiendo que un día se encuentran las tres en el hogar de ancianos, ¿cuántos días después volverán a encontrarse?

Porcentaje

1 De los 800 alumnos de un colegio,

han ido de viaje 600. ¿Qué

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porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

2 Una moto cuyo precio era de 5.000

€, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

3 Al adquirir un vehículo cuyo precio

es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

4 Al comprar un monitor que cuesta

450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

5 Se vende un artículo con una

ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.

6  Cuál será el precio que hemos de

marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.

7 ¿Qué precio de venta hemos de

poner a un artículo comparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?

8 Se vende un objeto perdiendo el

20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.

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