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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES

MÉTODOS MATEMÁTICOS

1

SEGUNDA UNIDAD: FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIALCAPÍTULO CINCO: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.

LECCIÓN TRECE.

El estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias puede ser tema de un curso completo. Para la revisión deltema por parte del estudiante, en la carpeta del capítulo cinco ud. encontrará uno de los más completosresúmenes en el área, que hace parte de una sección del apéndice B del texto:

TOSUN, Ismail. Modeling in transport phenomena: a conceptual approach. Amsterdam, 2002, Elsevier.

LECCIÓN CATORCE.

Para una revisión de la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias el estudiante podrá encontraren la carpeta del capítulo cinco, el capítulo nueve del texto:

SPIEGEL. Ecuaciones diferenciales aplicadas. 3 ed. México, 1893. McGraw Hill.

LECCIÓN QUINCE.

La parte correspondiente a la aplicación de las EDO, la podrá encontrar en la lección dieciocho del curso.

nuevela deecuaciones diferenciales

1 . S O L U C I O N N U M E R I C A D E1.1 El método de c o n s t a n t e o

método de Euler1 .2 E l método de pendiente promedio o

m é t o d o de Euler1.3 Diagramas de computador1.4 Análisis de errores1.5 Algunas guías prácticas para la

numérica2 . E L DE RUNGE-KUTTA

4 2 0

E n m u c h o s c a m p o s d e i n v e s t i g a c i ó n c i e n t í f i c a e lnúmero o una tabla de valores. Puesto que las ecuaciones diferencialesgan una parte importante en las investigaciones científicas, naturalmenteparecería deseable aprender cómo las ecuaciones diferenciales sesolver numéricamente. Esto es de un valor aún mayor cuando nos damosc u e n t a q u e a h o r a h a y d i s p o n i b l e s m á q u i n a s d e c o m p u t a c i ó n m a r a v i l l o s a sque ayudan extraordinariamente en las laboriosas tareas de trabajo numéri-co. Algunas de estas máquinas calculan tablas de valores y pueden aún

resultados en un porcentaje muy del tiempo que requeriría uncomputador ordinario. El hecho de que las máquinas alivien el trabajo, sinembargo, no significa que el operador necesite conocer menos acerca de losmétodos numéricos. Por el contrario él debería conocer mucho acerca de losvarios métodos puesto que él debe conocer la manera más eficiente de “ali-mentar” las matemáticas dentro de la máquina.

Un estudio de las técnicas de análisis numérico es un campo extenso ensí mismo. En un libro como este podemos dar sólo una breve introducción aeste importante tema.

Solución numérica de y)

En esta sección nos restringimos a estudiar la solución numérica de laecuación diferencial de primer orden* y y). Hacemos la

Pregunta. Dado que .una solución de f (x, y) es tal que y es igual ac donde x podemos determinar el valor de y cuando b?

Por integración de la ecuación diferencial con respecto a x tenemos

y es claro que y = cuando = a de modo que satisface la condición re-querida. El valor de y cuando b debe estar dado por

Desafortunadamente, puesto que y ocurre bajo el signo de la integral de no podemos seguir adelante sin alguna clase de aproximación. Cada tipo

de aproximación usada en (2) determina un método de análisis numérico. Pri-mero examinamos uno de estos métodos, el cual llamamos el método de pen-diente constante o método de Euler.

*Suponemos que satisface las condiciones del teorema fundamental de existencia yunicidad de la página Si la solución no existe o es única no hay objeto en intentar unasolución numérica.

En la integral (1) estamos usando el símbolo como un símbolo mudo en la integración co-mo también para la variable independiente. Podríamos por supuesto haber usado un símbolo di-ferente, por ejemplo para denotar la variable muda y escribir

Sin embargo, no debería surgir confusión. Compare con el pie de página en la página

Solución numérica de ecuaciones diferenciales 421

1.1 EL DE PENDIENTE CONSTANTE 0 EL DE EULER

Asumamos que el intervalo de a a = b se subdivide en n partesiguales, cada una de longitud h, de modo que

o b = a + n hn

Llamamos h el tamaño de paso y n el número de pasos. Entonces (2) llega aser

(4)

Si usamos solamente un paso, esto es, n= 1, esto llega a ser

La aproximación más simple para tomar en (5) es asumir que la pendiente y) es constante sobre el intervalo a a + h e igual a la pendiente en

el punto donde a, y c, esto es, c). En este caso (5) llega a ser

= c + c)

Esto se llama el método de pendiente constante ó, puesto que fue primero usa-do por Euler, el método de Euler. Claramente, (6) le dará una buena aproxi-mación al valor de y en = a + h solamente si h es pequeña. El grado de pe-queñez evidentemente depende del grado de precisión deseado. Por tanto lapalabra “pequeño” debe necesariamente ser vago hasta que se disponga demayor información.

La interpretación gráfica de (6) se ve en la Figura 9.1. La solución ver-dadera se representa por la curva punteada Puesto que la distancia ADh es fácil de ver que el valor de y correspondiente a (6) está representado porla ordenada El error cometido está dado por BE. Esto se hace más

a medida que h se hace más pequeño. Si h es grande, el error cometidoes grande. Si la longitud del intervalo de a a b es grande, parecería naturaltomar valores más pequeños de h correspondiendo a un incremento en el

Y

Figura 9.1

422 Capítulo

Y

mero de pasos, esperando de esta manera disminuir el error involucrado.esta idea en mente nos lleva a escribir (4) como

(7)

Usando la aproximación descrita en la página 422 para cada una de las inte-grales en vemos que una aproximación a está dada por

= c + c) + + k, + + . . . + (8)

donde c, es el valor de y cuando a j , n 1.La interpretación geométrica de (8) está dada en la Figura 9.2. Por una

aplicación de vemos que A c), la ordenada del punto es-tando dada por

= c + c)

Se computa ahora una nueva pendiente correspondiente al punto B,, coordenadas son (a + h, el valor de esta pendiente está dado por+ h, Usando esto, llegamos al punto la distancia dada

por + h, ). Puesto que la ordenada de es la ordenada de másla distancia la ordenada de es

= c c) + k, Similarmente, la ordenada del punto es

+ + . . . + + (j

y en particular

= + + + k, . . . + + (n

Y

Valor verdadero de

Valor aproximado deError

a -- . .

+ 2h a nh

Figura 9.2

numérica de ecuaciones diferenciales 4 2 3

es la ordenada alcanzada después de n pasos, la cual es el valor de y dado en(8). Si usamos la notación a, a + jh, j = 1, 2,. , esto se puede escribir sim-plemente como

= + c) + +

A pesar de la simplicidad de este método los resultados obtenidos pue-den ser buenos, llegando la precisión a ser mejor en general a medida que nse escoge más grande. Para un valor grande de n, sin embargo, aunque la pre-cisión puede ser mayor el cómputo llega a ser más laborioso y por tanto se de-be alcanzar un compromiso. El método se adapta bien a computadores y noes difícil de programarlo. Ilustremos el método en el siguiente

EJEMPLO ILUSTRATIVO

Dado encuentre el valor de y correspondiente a = 1 si y = 1donde = 0.

Solución Aquí a = 0, b = 1. Nos gustaría escoger n para que h = (b sea pequeño. Es conveniente escoger n = 10 para que h = El cómputo sepuede entonces organizar como en la Tabla 9.1.

La condición inicial = 0, y = 1 determina una pendiente (pri-mera línea de la tabla). Puesto que el incremento en es el nuevo valorde y, el cual denotamos por se obtiene del valor de y denotado por como

Y + (pendiente) = 1,00 + =

Tabla 9.1

X y = + Y =

1,00

122 ----- ---------

---+

- - - -<Gd---- 1,53 +

- -

__ ---

- - - - - - - - - - _____

2,19 +

--

=

--------

4 2 4 Capítulo nueve

Este valor de y se transfiere luego a la segunda línea de la tabla el se repite. En la Tabla 9.1 hemos mantenido tres cifras significativas; el va-lor obtenido para y correspondiente a = es Resolviendo exactamen-te se puede verificar que el valor verdadero de y donde = 1 es errores por tanto alrededor del 8 por ciento. Si hubiéramos usado n 20, sión se hubiera incrementado considerablemente pero el cómputo involucra-do hubiera sido el doble.

1.2 EL DE PENDIENTE PROMEDIO 0 MODIFICADO DE EULER

En el método anterior la pendiente y) sobre el intervalo + hse remplazó por c) de modo que el valor de y en = + h = resultóser

= c +

Una mejor aproximación se obtiene si remplazamos y) por el promedio delas pendientes en los puntos extremos correspondientes a y = = + h, los cuales están dados, respectivamente, por y c Así

+ pendiente promedio = 2

donde y está dado por (9). Usando (10) como el valor aproxi-mado de el valor de y en está dado por

= +

2 1

Este proceso de usar pendientes promedio se puede continuar para los inter-valos sucesivos etc., hasta que fi-nalmente se tenga el valor de y para = + nh = Por ejemplo, el inter-valo h + el cual escribimos como se remplaza

pendiente promedio = 2

donde = +

y el valor de y en = 2h = está dado por

Resultados similares se pueden escribir para intervalos posteriores.Por razones obvias este método se llama el método de pendiente prome-

dio, pero también se refiere como el método modificado de Euler.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2

Trabaje el Ejemplo ilustrativo 1, página 424, usando el método de pen-diente promedio.

Solución numérica de ecuaciones diferenciales 4 2 5

Tabla 9.2

Pendiente Pendientediente derecha promedio

x Y i z q u i e r d a =

p - - - - - - - - - -p _ - - - _ - - - - - -

+

+ =- - - - - - - -

+- - -

2.46 + 2.04- - - - - - - - - -

+- - - - - - - - - - - - - - -

+ - p - - m - -- - - - - -_ - ~ - - -- -

- -- -

Solución En este caso escojamos también n = 10 de modo que h 0.1. Loscómputos se pueden arreglar como en la Tabla 9.2 en la cual los primeros cua-tro encabezamientos de columna son los mismos de la Tabla 9.1. Sin embar-go, puesto que necesitamos dos pendientes, una a la izquierda del punto ex-tremo de un intervalo y la otra a la derecha del punto extremo, para obtenerla pendiente promedio, el encabezamiento de la tercera columna de la Tabla9.1 se ha modificado a pendiente izquierda. Las tres columnas restantes enla Tabla 9.2 se usan para encontrar respectivamente, la pendiente derecha,el promedio de las pendientes izquierda y derecha denotada por y elvalor corregido de y, denotado .

Para ver cómo el cómputo sigue, obtengamos las entradas en la primerafila de la Tabla 9.2. Las primeras cuatro entradas se obtienen exactamentecomo en la Tabla 9.1. La pendiente derecha (entrada de la quinta columna)se obtiene calculando y’ = tomando como el punto extremoderecho el cual llamamos y y como el correspondiente va-lor aproximado de y, el cual hemos llamado (ya obtenido en la entradade la cuarta columna). Esta pendiente derecha está dada por ,

nuevo + Y = + = Habiendo encontrado las pendientes derecha e izquierda, podemos deter-

minar la pendiente promedio (entrada de la sexta columna) como = Finalmente el valor corregido de y denotado por (entrada de

la séptima columna) es el nuevo valor de y (cuarta columna) mas veces la

426 Capítulo nueve

pendiente promedio, esto es, = + = El valor corregidode y se transfiere a la segunda fila de la tabla como se indica.

El mismo proceso usado para obtener las entradas en la primera fila sepuede usar ahora para obtener las entradas en la segunda fila y en todas lasfilas siguientes hasta obtener el valor de y correspondiente a Comomuestra la Tabla 9.2, este valor es el cual sorprendentemente concuer-da exactamente con el verdadero valor. Esto parecería indicar que todos lospares restantes de valores (x, y) en la Tabla 9.2 son también correctos, po-demos usar éstos para obtener un gráfico de la solución en el intervalo

1. Si deseamos continuaríamos el cálculo para valores de por encimade 1, pero por supuesto no hay seguridad de que se mantendrá la misma pre-cisión.

1.3 DIAGRAMAS DE COMPUTADOR

Es de interés presentar diagramas esquemáticos que muestren las eta-pas sucesivas en los cálculos para los métodos de pendiente constante y pen-diente promedio. Tales diagramas se llaman diagramas de computador o dia-gramas de flujo. La Figura 9.3 presenta el diagrama de computador para elmétodo de pendiente constante. El par inicial de valores (x, y) proporcionanuna entrada la cual se alimenta en la primera caja, la cual calcula la pendien-te en (x, y). Esta pendiente se alimenta dentro de otra caja que calcula elnuevo valor de La salida final consiste del nuevo par de valoresY Esto proporciona una nueva entrada o retroalimentación, y el mismoproceso se repite una y otra vez hasta que se consiga el resultado final de-

ntradaPendiente

Retroalimentación

9 . 3 Diagrama de computador para método de pendiente constante.

Pendiente

Entrada

Retroalimentación

Pendiente + promedio

Figura 9 .4 Diagrama de computador para método de pendiente promedio.


En una manera similar podemos construir un diagrama de computadorque muestre el método de pendiente promedio como en la Figura 9.4. La pri-mera fila en esta figura que conduce a , es por supuesto idénticacon la de la Figura 9.3. La modificación consiste en tres cajas adicionales,la primera proporciona el cómputo de la pendiente derecha a partir deY la segunda obtiene la pendiente promedio a partir de las pendientesizquierda y derecha como se indica, y la tercera proporciona el valor corregi-do de y. El par de valores ) es la salida, la cual sirve como unanueva entrada, y el proceso se repite una y otra vez como antes.

1 . 4 D E E R R O R E S

Cada vez que se desarrolla una fórmula para obtener resultados aproxi-mados, es natural buscar algún estimador del error que se puede cometer alusarla. El proceso de estimar errores con frecuencia se llama análisisde errores. Al tratar con estos errores, no nos preocuparemos de los erroresaleatorios, como errores de redondeo, e. g., redondeo de a el cual puede ser debido por ejemplo a limitaciones en la capacidad de alma-cenamiento de un computador. En vez estaremos interesados solamente enel error producido al usar la fórmula particular. Si una fórmula produce resul-tados más precisos que otra, ciertamente esperaríamos que esta precisión au-mentada apareciera en un análisis de errores. Ilustraremos esto con un análi-sis de errores de los métodos de pendiente constante y de pendiente promedio.

Análisis de errores para el método de pendiente constante.De la página 422 vemos que una solución aproximada del problema de valorinicial = y(u) =

para y(a + está dada por

= + c)

Sin embargo, usando la serie de Taylor, asumiendo condiciones apropiadasde diferenciabilidad sobre y), el verdadero valor de y(a + h) es

+ + + . = c + + y”(U) . . (17)

Comparando (16) y vemos que el error cometido en usar (16) en vez de(17) es

donde los valores y”(a), y”‘(a), se encuentran por diferenciación sucesiva dela ecuación diferencial en (15). Este error ocurre debido al hecho de que laserie se ha cortado después de los primeros dos términos en (17). Por esta ra-zón el error con frecuencia se llama un error de truncamiento (del Latinismotruncare, que significa cortar).

Para valores de suficientemente pequeños, esperaríamos que el error(18) fuera muy próximo igual al primer término, esto es, y”(a) desprecian-do el resto de términos. Sin embargo, el estudiante puede con derecho sentir-se molesto al despreciarse un número infinito de términos sin ninguna justi-ficación apropiada. Afortunadamente, esto se puede justificar con el uso del

.

428 Capítulo nueve

teorema de Taylor con residuo, que el estudiante pudo haber estudiado encálculo. Este teorema dice que si y es al menos doblemente diferenciable

y) es al menos una vez diferenciable] , entonces

+ k) = + + f’(r), donde r está entre a y +

Aquí el último término a la derecha representa el residuo de la serie despuésde los primeros dos términos, y (19) proporciona un decidido mejoramientosobre lo cual requiere la existencia de todas las derivadas. Usandoel error se puede escribir

E = y”(r), donde r está entre a y a + h

Puesto que este error es proporcional a o como a menudo decimos esorden abreviado por vemos que reduciendo el tamaño de h po-demos reducir considerablemente el tamaño del error. Puesto que y”(r) puedeser positivo o negativo el error (20) puede también ser positivo o negativo. Sidenotamos por una constante positiva tal que para r entre a ya + h, entonces

<

representando el lado derecho una cota superior para el error.Puesto que el error está dado por si tenemos y(a) y buscamos y(a + h),

la pregunta que naturalmente surge es sería el error acumulado si pro-cedemos en n pasos al cálculo de y(b), donde b = a + nh? Análisis adicional,el cual es algo tedioso y que no haremos aquí, muestra que el error máximoes n veces el dado en tal vez con un valor diferente de el cual llama-remos K; esto es, para n pasos

o puesto que n = (b

lo cual muestra que el error acumulado es de orden h.(b) Análisis de errores para el método de pendiente promedio.

De la página 425 vemos que una solución aproximada al problema de valorinicial (15) para y(a + h) es

+ = + c) + k, c))]

la cual se debe comparar con el verdadero valor (17) o (19). El error cometidoen este caso es

Para ver cómo el lado derecho de (25) depende de h, usamos de nuevo la se-rie de Taylor. Usaremos la serie infinita en vez de la serie con residuo porsimplicidad en la notación. Tenemos como antes


Para hallar una serie para el último término a la derecha de usamos laserie de Taylor para el caso de dos variables, la cual es análoga para el casode una variable. está dada por

c = + +

+ c,] + .

donde c) denota la derivada parcial de f (x, y) con respecto ada en = a, y = c, denota la segunda derivada parcial de f (x, y)con respecto a en a, y c, c) denota la derivada par-cial de con respecto a y y en a, y c, etc.

Tomando = en (27) encontramos

+ + + c)] . . (28)

Sustituyendo (26) y (28) en (25) produce

= [y”(U) c) c)]+ términos involucrando y superiores

Puesto que y(a) = de la condición inicial en mientras que y’(a) c)de la ecuación diferencial en los primeros dos términos en (29) son cero.Tomando la derivada de ambos lados de la ecuación diferencial en tene-mos usando la regla de la cadena del cálculo elemental

De esto tenemos al evaluar las derivadas en a, y =

= +

de modo que el tercer término en (29) es también cero. El resultado muestraque E involucra sólo términos en o superiores. Usando la serie decon residuo como en el caso del método de pendiente constante, sigue que elerror es de orden esto es, E = Puesto que E = ) para el mé-todo de pendiente constante, mientras que E = ) para el método dediente promedio, podemos ver rápidamente por qué el segundo método es mu-cho más preciso.

Como una ilustración de cómo se pueden usar las ideas anteriores de ana-lisis de errores, consideremos el siguiente



Dado el problema de valor inicial = 1. Estime el error co-metido al calcular usando el método de pendiente constante con

Puesto que tenemos demodo que

y”(r) = 1 + r + d o n d e

Es razonable suponer que y 2. Así tenemos

1+ + 2 =

y de (20) o (21) vemos que

2 esto es, E 0,016

Puesto que el método de pendiente constante da (ver Tabla 9.1) mientrasque el verdadero valor es el error efectivo es el cual está de acuerdocon el estimador anterior.

1.5 ALGUNAS GUIAS PRACTICAS PARA LA

Hay muchos métodos disponibles para la solución numérica de ecuacio-nes diferenciales como puede darse cuenta el estudiante al leer la literaturaen el tema.* Para la mayoría de los métodos un análisis de errores escomo puede conjeturarse de la derivación en la página 428 para el caso rela-tivamente simple del método de pendiente constante. También, aún en el ca-so de que se disponga de un análisis de errores éste no proporciona un términode error simple, tal como el dado en página 429, sino solo que su ordenes una función del tamaño del paso, como por ejemplo etc.Una complicación adicional es que la precisión conseguida está limitada porlas características particulares de la ecuación diferencial considerada. Así,por ejemplo, si se desea una solución cerca a una singularidad, aún el “mejormétodo” puede dar una pobre precisión. Debido a estas dificultades no hayuna panacea simple para la solución numérica (lo cual puede servir para in-dicar por qué hay tantos métodos disponibles). A pesar de esto hay algunasguías prácticas que un científico puede seguir.

1. Escoja un método particular que involucre un tamaño de paso h el cualparezca razonable en vista del tipo de la ecuación diferencial involucrada.Por ejemplo, si la ecuación diferencial involucra una singularidad tal como

1 en el problema de valor inicial donde buscamos por caso, se ne-cesitan tamaños de paso más pequeños cerca de que cerca de 0.En tal caso podemos dividir el intervalo de 0 a en intervalos o ta-maños de paso de longitud desigual.

Y1 = 2. Para chequear la precisión del valor numérico hallado en 1, repita el

método usando un tamaño de paso más pequeño, por ejemplo la mitad del

por ejemplo [


maño de paso usado anteriormente. Si este procedimiento sólo produce uncambio menor en las cifras significantes podemos estar seguros de aquellasque no cambian. Así, si el valor repetido es por ejemplo en vez depodemos al menos estar seguros de la precisión a tres cifras significantes da-das por Si hay una discrepancia mayor, posiblemente tengamos que re-ducir aún más el tamaño de paso.

3. La reducción del tamaño de paso, resultante de un incremento en elnúmero de pasos, puede conducir a errores de redondeo acumulativos los cua-les afectan la precisión. Debido a esto, los cálculos se deben hacer con sufi-cientes cifras significantes. Desafortunadamente, no se pueden dar reglaspuesto que esto de nuevo depende de las clases de cálculos involucradas. Así,por ejemplo, aunque podamos tener = y y = cada una conuna precisión a seis cifras significantes, la mayoría de estas se pierden al to-mar la diferencia = Sin embargo, en la mayoría de los casos quesurgen en la práctica no ocurren pérdidas en cifras significantes.estos casos de “rutina” una regla razonable a seguir es usar al menos dos ci-fras más de las requeridas en la respuesta.

EJERCICIOS A

Use (a) el método de pendiente constante y (b) el método de pendiente promediopara determinar el valor indicado de y para cada uno de los siguientes problemas devalor inicial tomando el número indicado de subdivisiones Si es posible comparecon el valor exacto.

1. y’ = 2x 0. Halle use 5.2. = 0. Halle use n 6.3. + y(2) = 3. Halle use = 4 y n = 8.

4. (x y(3) = 2. Halle y(l); use = 5 y = 10.5. ; 2. Halle use 5 y

6. Halley(4); use y 7. use

EJERCICIOS B

1. Dado = encuentre numéricamente. puede usted usar es-te resultado para calcular e?

2. Si y’= = 1, encuentre

3. (a) Use el problema de valor inicial 1 para calcular de pendiente constante con (b) Estime el error del en (a)

usando página 429, y compare con el verdadero valor.

4. Dado el problema de valor inicial y 1

, = (a) por el mé-

todo pendiente constante usando un valor apropiado para (b) Estime error.en compare con el verdadero valor.

En Ejercicio 3 calcule usando el método de pendiente constante con estimaría usted el error

(a) ecuación diferencial se va a resolver dado y(0) = 0. son los valores numéricos obtenidos escogiendo

432 Capítulo nueve ,

2, 5, puede uno estar seguro de tener una solución concifras decimales? (b) Resuelva la ecuación diferencial de (a) exactamente usandola transformación +y v. Así encuentre y(2) exactamente y

7. Dado y’ 1, encuentre y(l) usando una calculadora o un manual quetabule los varios valores de Obtenga una precisión de al menos con dos ci-fras decimales.

Dado y’ = encuentre usando n = 5. Compare con la so-lución exacta. precisión se obtiene usando n =

9. Dado el problema de valor inicial = 1 encuentre y compare

con el verdadero valor (ver página 431).10. Dado 0, encuentre numéricamente. puede

usar sus resultados para calcular

EJERCICIOS C

1. El método de esta sección se limitó a la solución numérica de una ecuación dife-rencial de primer orden. La ecuación diferencial de segundo orden y” y’)sujeta a las condiciones y = c y’ = donde se puede escribir como dosecuaciones simultáneas de primer orden

=

sujeta a las condiciones y = v = donde = a. Puede usted idear un pro-cedimiento para encontrar y y y’ cuando a + Sí así fuera, use el método enla ecuación y = sujeta a las condiciones 0 para obtener y(l).Compare con la solución exacta.

2. Use el método ideado en el Ejercicio 1 y encuentre y para la ecuacióndiferencial = sujeta a las condiciones = 1, = 0.

3. Suponga que en la ecuación de la integral página 422 y) porsu valor en + y y c + los cuales son los valores prornedios de y y obtenidos por el método de pendiente constante. (a) Muestre que

= + + )

(b) Usando el análisis compare la precisión del resultado en con elobtenido por los métodos de pendiente constante y de pendiente promedio. (c)Trabaje algunos de los Ejercicios A en la página 432 por este método y comparecon los resultados de otros métodos. (d) Construya a diagrama de computador pa-ra el método el cual algunas veces se llama el método de Runge.

El método de Runge-Kutta

Como ya hemos visto (página si nos dan la ecuación diferencial

= donde

entonces tomando n 1 de modo que b = + h, encontramos

+ = +


También de la expansión en serie de Taylor tenemos

Expresando las derivadas indicadas en (2) en términos de y), Runge yKutta fueron capaces de obtener varias fórmulas para aproximar la serie en(2). Una de fórmulas, la cual se encuentra que está en concordancia con(2) hasta e incluyendo el término que involucra está dada por

+ = + +

donde = = + + = + = + +

La verificación de esta fórmula es tediosa pero no difícil (ver Ejercicio 2C).Otra fórmula está dada en el Ejercicio Para ver una aplicación del méto-do Runge-Kutta, como a menudo se llama, consideremos el siguiente


Dado = 1, encuentre y(1).

Tenemos en este caso 1.

h = 1, encontramos

= = 1) = = + = = 2 = + = 2 ) = + + = =

y así = 1 + 1 + 4 + 5 + =

El hecho que esto esté en tan buen acuerdo con el verdadero valor auncuando se haya usado un tamaño de paso relativamente grande h 1, sirvepara indicar la superioridad del método de Runge-Kutta sobre el método dependiente promedio (y ciertamente el método de pendiente constante), el cualrequirió más cálculos, como se vió en los Ejemplos ilustrativos 1 y 2 en las pá-ginas 424-427. El incremento en la precisión del ejemplo anterior se obtieneusando valores más pequeños de h y aplicando el método más de una vez. Así,por ejemplo, si escogemos h = y aplicamos el método dos veces, llegamosal verdadero valor de

EJERCICIOS A

Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales y condiciones, determi-ne el valor indicado de y usando el método de Runge-Kutta. Si es posible compare con

valores obtenidos resolviendo la ecuación exactamente

y(O)= 1. Encuentre 2. EncuentreY’ = 3. Encuentre 4. y’ x-y; 2. Encuentre

5. Trabaje los Ejercicios 1-7A en la página 432 usando el método de Runge-Kutta ycompare la precisión obtenida.


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