cap 07 intro-análisismatricialfinal (1)

7

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

7.1 GRADOS DE LIBERTAD

Será suficiente recordar lo mencionado en Cap. 5: “ Un sistema de un grado de libertad ( 1 GDL ) se define como aquél en que sólo es posible un tipo de movimiento, o sea, la posición del sistema en cualquier instante puede ser definida, por la de una sola coordenada. ” [ Ref. 1 ]

7.2 MATRIZ DE RIGIDEZ

Para entender el significado de una matriz rigidez, usaremos un elemento resorte (ver Fig. 7.1 ) [ Ref. 2 ]. Luego será mucho más fácil entender el significado de la matriz de rigidez lateral del sistema que se verá en la Secc. 7.3 y en los Cap. 8 y 9.

Fig. 7.1 Resorte con dos grados de libertad (2 GDL).

1

2

k

k

k

k

k

11 +=u01 =u

02 =u12 +=u

)(a )(c)(b

GDL

GDL

2 CAP. 7: INTRODUCCIÓN AL ANÁLIISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

Se define la matriz de rigidez como: “ Aquella cuyos coeficientes de su columna j representan las fuerzas que deben de aplicarse en correspondencia a los grados de libertad (GDL) para obtener uj = 1 y los restantes desplazamientos iguales a cero ”. Entonces, trabajando con convención positiva hacia abajo, para el resorte de la Fig. 7.1 que posee 2 GDL:

- La Columna 1 estaría esquematizada por la Fig. 7.1.(b), puesto que en el GDL 1 se aplica una fuerza de magnitud que produce y .

- La Columna 2 estaría esquematizada por la Fig. 7.1.(c), puesto que en el GDL 2 se aplica una fuerza de magnitud que produce y .

Luego, la matriz de rigidez del resorte vendría dado por:

(7.1)

Debe indicarse que la matriz de rigidez se puede definir siempre. Aun siendo el sistema inestable ( hipostático ). Como es el caso anterior, Fig. 7.1.(a), ya que si al resorte se le aplicará una fuerza este tendría un comportamiento inestable que se confirma al observar que la matriz de rigidez es singular (no existiendo la matriz de flexibilidad).

Para conseguir comportamiento estable se debe restringir un GDL como se muestra en la Fig. 7.2, en la que se ha eliminado el GDL 1. Lo hecho equivale a eliminar la fila 1 y la columna 1 de la matriz de rigidez obtenida, quedando algo conocido ya por nosotros:

kK e =)( (7.2)

Fig. 7.2 Sistema Estable que se consigue al restringir un GDL

7.3 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL

La matriz de rigidez lateral nos será de mucha utilidad en los Cap. 8 y 9.

A continuación, basados en los conceptos definidos en la Secc. 7.2, hallaremos los elementos que conforman dicha matriz, para ello analizaremos un sistema de 3 grados de libertad ( ver Fig. 7.3 ).

k 11 =u 02 =u

k 01 =u12 =u

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=kkkkK e)(

k

2

SECC. 7.3: MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL 3

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

Fig. 7.3 Sistema de 3 Grados de Libertad

Se aprenderá en la Secc. 7.4 a calcular de manera aproximada las rigideces k1, k2 y k3 mediante el método de Wilbur-Biggs. En esta sección dichas rigideces serán usadas para el cálculo de la matriz rigidez del sistema de 3 GDL (Fig. 7.3) . La mencionada matriz de rigidez viene dada por:

(7.3)

Basados en el concepto de matriz de rigidez, cada elemento tendrá una interpretación según se muestra :

: Fuerza en “ i ” para un en “ j ” .

En general, de manera similar, lo mencionado se aplica para un sistema con “ n ” grados de libertad (GDL).

Para nuestro caso en particular, basados en la Fig. 7.4, veremos como se halla cada columna de la matriz de rigidez en función de las rigideces k1, k2 y k3. Obteniendo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−+=

33

3322

221

0

0

kkkkkk

kkkK

Esta matriz tiene características especiales: es matriz simétrica y banda. Además es

definida positiva, es decir para cualquier vector .

1u

2u

3u

1k

2k

3k

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

kkkkkkkkk

K

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

M

M

KKK

M

ijkK

ijk

"" jColumna

"" iFila

1=δ

0>φφ KT φ

(7.4)



Fig. 7.4.a: { }111 == jcolu

Fig. 7.4.b: { }212 == jcolu

Fig. 7.4.c: { }313 == jcolu

2111 kkk +=

221 kk −=

031 =k

11 =u

02 =u

03 =u

1k

2k

3k

1k

2k

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

**0****

******

2

21

31

21

11

)1( kkk

kkk

K j

1=j 1=j

Fuerzas Desplazamientos

3222 kkk +=

212 kk −=

332 kk −=

01 =u

12 =u

03 =u

1k

2k

3k3k

2k

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

******

******

3

32

2

32

22

12

)2(

kkk

k

kkk

K j

2=j 2=j


323 kk −=

013 =k01 =u

02 =u

13 =u

1k

2k

3k

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

3

3

33

23

13

)3(

****

0**

******

kk

kkk

K j

3=j 3=j

333 kk =


Fig. 7.4 Cálculo de las columnas de la matriz de rigidez

SECC. 7.4: ESTIMACIÓN DE RIGIDECES: WILBUR-BIGGS 5


7.4 ESTIMACIÓN DE RIGIDECES MEDIANTE ECUACIONES SIMPLIFICADAS. WILBUR – BIGGS.

Mediante las fórmulas simplificadas de WILBUR – BIGGS, podremos calcular la rigidez de cada entrepiso. Por ejemplo para la edificación mostrada en la Fig. 7.5:

Fig. 7.5 Edificación a usar para el cálculo de las rigideces aproximadas

De dicha edificación se desea calcular la rigidez de un entrepiso típico tal como se muestra en la Fig. 7.5.a :

Fig. 7.5.a Entrepiso típico

Según WILBUR – BIGGS, la rigidez para el entrepiso típico puede calcularse con:

a.1) Para el entrepiso típico “ i ” cuando las alturas adyacentes “ hi-1 , hi y hi+1 ” son iguales:

a.2) Para el entrepiso típico “ i ” cuando las alturas adyacentes “ hi-1 , hi y hi+1 ”

son diferentes:

K entrepiso

Vigas del piso“superior”, kvs

Vigas del piso“inferior”, kvi

Columnas delentrepiso, kc

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++

=

∑∑∑ jvjvcji

i

kkkh

Ek

.,supinf,

2 112

24

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++

++

=

∑∑∑+

−

−

vi

ii

vi

ii

cj

ii

i

khh

khh

khh

Ek1

1

14

48

(7.5)

(7.6)



WILBUR – BIGGS proponen expresiones aproximadas para el primer piso, estas dependían del tipo de conexión de las columnas con la base:

b.1) Para el primer piso, cuando las columnas están articuladas en la base:

b.2) Para el primer piso, cuando las columnas están empotradas en la base:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++

=

∑∑ vjcj khh

khh

Ek211

1

128

24

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

=

∑ ∑∑12

12

24

11

21

1

cjvj

cj kk

kh

Ek

(7.7)

(7.8)

REFERENCIAS 7


REFERENCIAS 1. Biggs, J.M., "Dynamic Analysis of One-Degree Systems" en Notas del curso

Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings . Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Massachusetts. 1972

2. Scaletti, H., "Definición de la matriz de rigidez y flexibilidades" en Notas del curso de Análisis Estructural II . Universidad Nacional de Ingeniería. Lima, Perú. 2003

3. Piqué, J.R., " Introducción al análisis estructural " en Notas del curso de Ingeniería Antisísmica . Universidad Nacional de Ingeniería. Lima, Perú. 2002

4. McGuire, W. Matrix Structural Analysis, Hamilton Printing Company. The United States of America. 2000