ÍNDICE PÁG.

ÍNDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

ÍNDICE DE TABLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

SIMBOLOGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

OBJETIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

RESUMEN . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . xii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

JUSTIFICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

INTRODUCCIÓN ........... ............ . 1 Bosquejo Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Situación de los Trabajos de Conformado en Prensa . . . . . . . . . . Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO 1 Procesos de Conformación Plástica y Planteamiento del Problema

1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Conformado Metálico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Clasificación por el tipo de esfuerzos. . . . . . . . . . . . .

1 5 8

10 11 15 17

1.2.2 Caracterización del Material de Chapas Metálicas . . . . . . 20 1.3 Estadística de la industria Metal - Mecánica en México . . . . . . 21 1.4 Problemática Nacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Planteamiento del Problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 Sumario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.7 Referencias . . ...................... . 27

CAPÍTULO 2 El Proceso de Embutido . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Características y Diseños de las Piezas embutidas

2.2.1 Geometrías más comunes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Defectos en Piezas Embutidas. . . . . . . . . . . . . . . .

2..3 Análisis Mecánico del Proceso de embutido 2.3.1 Tipos de Esfuerzos y Acciones Desarrolladas Durante el

28 29 33 33 35 37 37

Embutido .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Determinación Teórica de los Esfuerzos en el Embutido 2.3.3 Relación de Embutido Límite

2.4 Cálculo del Desarrollo de la Chapa 2.5 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 42 45 47 48

i

CAPÍTULO 3 Formabilidad de Chapas Metálicas y Desarrollo De La Metodología . . . . . . . . . . .

3.1 Análisis y evaluación de la formabilidad de chapas metálicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Diagrama Límite de Conformado . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2.1 Trazado del Diagrama Límite de Conformado . . . . . . 3.1.2.2 Factores que Influyen en el DLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2.3 Índices de Formabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Métodos para Analizar los Procesos de Conformado de Metales . . 3.2.1 Método del Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1.1 Análisis Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.2 Diversos Planteamientos del Método de Elemento

Finitos Usados en conformado de Metales . . . . . . . 3.2.1.3 Fundamentos del Método del Elemento Finito . . . . . .

3.3 Método del Elemento Finito Aplicado a Plasticidad . . . . . . . . . 3.3.1 MEF Aplicado al Conformado de Chapas

3.3.1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.2 Formulación Variacional Clásica de un Sólido Rígido-

Plástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Formulación Lagrangiana y Euleriana . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 Formulación Lagrangiana en el Método del Elemento Finito 3.4.2 Formulación Euleriana en el Método del Elemento Finito

3.5 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO 4 Análisis del Caso de Estudio 4.1 Introducción 4.2 Determinación del Módulo ]Anisótropo Plástico r para chapas

49 50 50 52 53 57 57 60 61 61 65 68 71 73 73 74 82 82 80 83 84

85 86

Metálicas ................................ 86 4.3 Determinación del Exponente de Endurecimiento por Deformación

n ...................................... 4.4 Análisis Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONCLUSIONES

RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

APÉNDICES A1 PLASTICIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1.2 Condiciones de cedencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1.3 Criterio de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1.4 Criterio de von Mises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1.5 Criterio de Hosford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1.6 Esfuerzo y deformación unitarios efectivos . . . . . . . . . . . A1.7 La superficie de cedencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 99

100

100 103

104 104 104 108 109 109 110 110 112

ii

A1.8 Estado de deformación unitaria plástica . . . . . . . . . . . . . . . A1.9 Rapidez de deformación plástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1.10 Curvas esfuerzo - deformación unitaria, idealizadas y sus

ecuaciones empíricas respectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1.11 Regla de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A1.12 Relaciones esfuerzo - deformación plasticidad . . . . . . . . . . A1.13 Endurecimiento por deformación plástica . . . . . . . . . . . . .

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112 113 114 116 117 119 121

A2 ANISOTROPÍA PLÁSTICA ................. 122 A2.1 Teoría anisótropa plástica continua . . . . . . . . . . . . . . A2.2 Relaciones entre esfuerzo y deformación unitarios para un a

Material anisótropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A.3 INESTABILIDAD PLÁSTICA EN TENSIÓN. ESTRICCIÓN A3.1 Definición de Inestabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A3.2 Estricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A3.3 Estricción en chapas metálicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A4 MÉTODO Y ANÁLISIS DE LÍMITES . . . . . . . . . . . . . A4.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A4.2 Principios del Método de Límites . . . . . . . . . . . . . . . .

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122 127 129 130 130 130 133 139

140 140 142 144

iii

NO I.1 1.1 1.2 1.3

2.1 2.2 2.3

2.4

ÍNDICE DE FIGURAS

DESCRIPCIÓN

Diagrama de desarrollo interactivo Diagrama Del Sistema Global De Procesamiento De Materiales Modelo General De Un Proceso Como Un Sistema De Flujo, A La Derecha Entradas, Ala Izquierda Salidas. . . . . . . . . . . . . . . . Abrazadera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Proceso De Conformado De Una Copa Mediante Embutido . . . Primer Fase Del Conformado De Una Copa Cilíndrica, Colocado De La Chapa . .............................. Segunda Fase Del Conformado De Una Copa Cilíndrica, Contacto Planchador Con Chapa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tercer Fase Del Conformado De Una Copa Cilíndrica, Inserción Del Punzón. . . ............................ .

PÁG.

7

11 12 24

29 30 30

31

2.5 Cuarta Fase Del Conformado De Una Copa Cilíndrica, Retiro Del Punzón ... .............................. 31

2.6 Representación De Una Copa Cilíndrica, Obtenida Por Embutido 31 2.7 Radios Necesarios Entre Punzón Y Matriz Para Realizar El Embutido . 32 2.8 2.9

2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15

3.1 3.2

3.3 3.4 3.5

Estado De Esfuerzo Que Se Presenta En Una Chapa Durante El Embutido. . . ............................. Zona En Que Se Divide Una Chapa Circular, Para Análisis De Los Efectos Durante El Embutido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relación Límite De Embutido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema Del Embutido Parcial Circular, Mostrando El Sistema De Referencia Y La Notación Dimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfica Teórica De La Variación De Esfuerzos O Fuerzas Durante La Formación De La Copa Por Embutido, Ecuaciones 2.12, 2.13 . Gráfica Real De La Variación De La Fuerza Durante El Embutido Gráfica De La Variación Del Lugar Geométrico De Los Puntos De Cedencia, Indicando La Trayectoria En El Embutido. La Figura Del Sólido Para Un Material Isótropo (R01) Y La Curva Punteada Es Para Un Material Anisótropo Con Isotropía Planar (R<1) Desarrollo De Una Copa Cilíndrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Parámetros Que Influyen En La Formalidad De Chapas Método Convencional Par La Obtención Del Diagrama Límite De Conformado A) Malla Circular Antes De La Deformación, B) Malla Ovalada En La Vecindad De La Fractura Después De La Deformación, C) Especimenes Utilizados, D) Diagrama Resultante. Diagrama De Límites De Conformado Keeler-Goodwin Que Describe La Formabilidad De Una Chapa Metálica Patrones De Mallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo De Deformación Sufrida Por Un Círculo Patrón . . . . . .

37 37 39 40 41 42 44 45

51 52 53 54 54

iv

3.6 3.7 3.8 3.9

3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

A.1.1 A1.2 A1.3 A1.4 A1.5

A1.6 A1.7 A2.1 A2.2 A2.3

Posibles Combinaciones De Deformaciones En Círculos Patrón . . Localización De Puntos En Los Ejes De Deformación Unitaria Mayor O Menor De Los Círculos Deformados. . . . . . . . . . . . . Trazado Del Diagrama Límite De Conformado A Partir De La Deformaciones Del Círculo Patrón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama Límite De Conformado, Construido Para Varios Tipos De Pruebas De Laboratorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama De Factores Que Influyen El Trazo Del DLC . . . . . . . Esquema De Los Diversos Métodos Para La Solución De Problemas De Conformado De Metales . . . . . . . . . . . . . . Región De Esfuerzos En El Plano, Dividida En Elementos Finitos . Región Cerrada De Dos Dimensiones O Dominio [X1, X2], Utilizada Para Definir La Funcional Variacional Dada En La Ecuación . . . . Notación Variacional Que Define La Variación De Una Solución Provisional Y Una Exacta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama De Los Diversos Métodos De Elementos Finitos Aplicados A Procesos De Conformado En Frío . . . . . . . . . . . . Gráfica De Endurecimiento Por Deformación, Lineal Elástica, Para Caso Uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Embutido Aproximado De Una Chapa Metálica Mediante La Geometría De Una Seria De Conos Truncados . . . . . . . . . Probeta, De Acuerdo Con La Norma ASTM 517 - 00 . . . . . . . Probeta Para La Determinación Del Módulo n De Acuerdo A Norma Gráfica De Esfuerzo - Deformación Unitarios F. . . . . . . . . . Deformación Deseada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Análisis De Formabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfuerzo Efectivos En La Sección Embutida . . . . . . . . . . . Cambio De Espesor En La Parte Embutida . . . . . . . . . . . . . Deformación Unitaria Mayor En La Parte Embutida . . . . . . . . Deslizamiento Plástico Por Cizallamiento . . . . . . . . . . . . . . Esfuerzo - Deformación Unitaria, De Ingeniería Y Real . . . . . . . Lugar Geométrico De Falla Según El Criterio De Tresca . . . . . Lugar Geométrico De Falla Según El Criterio De Von Mises Para El Caso Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los Cilindros Representan Las Superficies De Cedencia En Tres Dimensiones De Acuerdo Con Los Criterios De Tresca Y Von Mises, El Prisma Hexagonal Inscrito Representa La Superficie De Cedencia De Acuerdo Con El Criterio De Máximo Esfuerzo Cortante, El Cilindro El De Von Mises Curva Esfuerzo Deformación Unitarios Efectivos, Para La Determinación De Ep ....................... . Gráfica Esfuerzo Deformaciones Unitarios Reales Orientación Preferida De Granos De Lámina Negra Comercial . . Lugar Geométrico Basado En La Teoría De Hill Para R=1 . . . . . Dirección De Probetas Para Determinación Del Módulo r . . . . .

55 54 56 56 57 60 61 62 63 65 71 78 87 90 91 95 95 96 97 98

105 106 109 110

112 119 120 122 124 126

A2.4 Gráfica Normalizada De Esfuerzos Planos Para Diferentes Valores De r ... 128

v

A3.1 Esquema De Estricción Difusa Y Localizada En Una Probeta De Chapa, Ensayada En Tensión Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

A3.2 Representación Del Cambio De Área En La Estricción . . . . . . . A3.3 Gráfica Para Determinar La Deformación Unitaria Debida A Estricción . . . . . A3.4 Gráfica Para Determinar ε * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A3.5 Gráfica Para Determinar ε * Si ε = ln(1+ ε E ) . . . . . . . . . . . . . . A3.6 Estricción Localizada De Una Probeta En Tensión Simple . . . . . A3.7 Círculo De Mohr Para Estado De Deformación Unitaria Durante La Prueba De

Tensión Axial Para Chapas Metálicas . . . . . . . . . A3.8 Estricción Localizada En Deformación Unitaria Plana . . . . . . . A3.9 Criterio De Estricción Localizad Y Difusa En Tensión Simple . . .

A3.10 Determinación Gráfica De Inestabilidad De Deformación Unitaria En Carga Axial De Tensión. Z Es La Función De La Relación De Esfuerzos Principales. Zd Relaciona El Inicio De Estricción Difusa, Al Relaciona El Inicio De .La Estricción Localizada . . . . . . . . .

133 134 134 135

135 136 137 138

139

vi

NO

1.2.1 1.3.1 2.2.1 2.2.2 3.1 4.1 4.2 4.3 4.4

A3.1

ÍNDICE DE TABLAS

DESCRIPCIÓN

Clasificación De Los Procesos De Conformado Metálico, Sobre La Base De Seis Sistemas De Esfuerzos . . . . . . . Producto Interno Bruto Por Grandes Divisiones Y Divisiones Industriales 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrías Comunes Realizables Mediante El Proceso De Embutido . . ............................ Defectos Más Comunes Durante Un Procesado Incorrecto De Embutido. ........................... Aplicaciones Del MEF A Los Diversos Procesos De Conformado En Frío. ....................... Resultados De La Medición De Ancho Y Longitud Calibrada De Las Tres Probetas Deformadas . . . . . . . . . . . . . . . Tabulación De La Valores De Carga - Deformación En Probeta De Lámina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabulación De Esfuerzos Y Deformaciones Para El Cálculo De n . . . . ............................ Comparación De Valores Disponibles Y Calculados De r y n Algunas Propiedades Mecánicas Del Aluminio 1100-0 Y Acero

Inoxidable 18-8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PÁG.

17, 18, 19

21, 22 33, 34 35, 36

66 86 89 90 90

131

vii

I1' , I '2 , I3'

f (σ

ij )

u a A

Aho Aio

BCC C

d dA dEp Do dp dt

dW dεij

dε1, dε2, dε3

dγij dλ Eo Ep f

If Ii I pn

F,G,H,L,M,N, Fe

FCC Gh

i,j,m K'

Ment Msal m M' n

P

SIMBOLOGÍA

Invariantes de deformación plástica

Función de cedencia anisótropa

Solución tentativa Exponente Área Área en la sección homogénea Área en la Estricción Constante

Diámetro Diferencial de área Componente logarítmica de la deformación unitaria plástica Diámetro de desarrollo

Diámetro del punzón Diferencial de espesor Diferencial de trabajo mecánico Diferencial de deformación unitaria lineal Incremento de deformación unitaria plástica Diferencial de deformación unitaria cortante Flexibilidad plástica Módulo plástico de pandeo Módulo de elasticidad plástico Función

geometría final deseada

información de la forma inicial información del cambio de forma de una fase simple Constantes anisótropas Fuerza de embutido Estructura cristalina cúbica centrada en la cara Módulo de Rigidez altura Nodos Material a la entrada Material a la salida Exponente, coeficiente de velocidad de endurecimiento por deformación Exponente Exponente de endurecimiento por deformación

pendiente ajustada de la curva esfuerzo real - deformación unitaria real

viii

R ST Tf t to

u(x) Vv

vx,vy,vz W Zd Zi

Zl

[F] [k] [x] R u

Módulo de deformación unitaria plástica Superficie de la chapa Temperatura Temperatura de fusión Espesor Espesor inicial Función variacional Volumen Velocidad Componentes de velocidad Trabajo Subtangente crítica para estricción difusa Subtangente Subtangente crítica para estricción localizada

Vector fuerza Matriz de rigidez Vector desplazamiento Vector Resultante Vector desplazamiento nodal

σ x ,σ y ,σ z Esfuerzos Normales en las direcciones x, y, z

σm Esfuerzo medio

σθ Esfuerzo tangencial inducido

σ1,σ 2 ,σ 3 Esfuerzos Principales

σe Esfuerzo de embutido σ Esfuerzo unitario efectivo σf Esfuerzo en el punto de cedencia ε* Deformación unitaria crítica

ε1,ε 2 ,ε3 Deformaciones unitarias principales ε

σU γ α εi β ρ

σw

σr Π

Deformación unitaria efectiva Esfuerzo de tensión última

Coeficiente de embutido por deformación Ángulo, pendiente, parámetro de flujo localizado Deformación unitaria efectiva de inestabilidad

Relación de embutido, relación de resistencia de flujo Radio Esfuerzo en la pared de la copa

Esfuerzo en el reborde

Funcional

ix

Γ Curva límite de la variacional σ ' ij Tensor de esfuerzos, componente deviatórica de esfuerzos

δ ij Delta de Kronecker

η eficiencia

x

OBJETIVO

Aplicar el Método del Elemento Finito a un análisis elastoplástico, para evaluar el comportamiento mecánico de una chapa metálica, durante el embutido de los extremos de una abrazadera para tubo utilizada en el ensamble de bicicletas, en el cual se establecen la zona de deformación dentro del Diagrama Límite de Conformado para el material de la chapa. El análisis contemplará la determinación de la fuerza de embutido, el desarrollo de la silueta, la determinación del Módulo Anisótropo r (de acuerdo con la norma ASTM E 517-00), la determinación del Exponente n de Endurecimiento por Deformación (de acuerdo con la norma ASTM E 646-91).

xi

RESUMEN

En este trabajo se evalúa numéricamente el comportamiento del embutido de los extremos de una abrazadera para tubo, mediante el Método del Elemento Finito. Para este efecto, inicialmente se presentan los diversos procesos de conformación plástica de manera general; el estado de la industria metal - mecánica en nuestro país y se plantea el problema por analizar en este trabajo. Posteriormente, se establecen los fundamentos teóricos-prácticos del proceso de embutido. Luego se trata con el concepto de "Deformabilidad" y la manera de medirla, así como con la teoría del Método del Elemento Finito, en general, en seguida es aplicado a procesos de plasticidad y finalmente cómo se simula el proceso de embutido. Una vez señalados estos conceptos se utilizan como la metodología para ser aplicada al caso de estudio; se obtienen en el laboratorio las constantes pláticas significativas, que son el módulo anisótropo r, el exponente de endurecimiento por deformación n, también se determina la fuerza necesaria para el embutido. La aplicación del Método del Elemento Finito proporcionará la factibilidad de embutir los extremos de la abrazadera al proporcionar la ubicación de sus deformaciones dentro o fuera de los límites de deformación, los cuales se comparan con el Diagrama límite de Conformado para el material utilizado. En la parte final se hace una evaluación de los resultados, se establecen conclusiones y se proponen trabajos futuros.

xii

ABSTRACT

In this work is evaluated the behavior of the drawing of the ends of a band numerically for tube, by means of the Method of the Finite Element. For this effect, initially the diverse processes of plastic conformation in a general way are presented; the state of the industry metal- mechanics in our country and it thinks about the problem to analyze in this work. Later on, the theoretical practical foundations of the drawing process settle down. Another Chapter tries with the concept of deformability and the way to measure it, as well as with the theory of the Method of the Finite Element, in general, then applied to processes of plasticity and finally how it simulates the drawing process. Once established these concepts are used as the methodology to be applied to the case of study; they are determined in laboratory the constant significant chats that are the module anisotropic r, the hardening exponent for deformation n, the necessary force is also determined for the drawing. The application of the Method of the Finite Element will provide the feasibility of stuffing the ends from the band when providing the location of its deformations inside of or outside of the limits of deformation, which it compares with the Diagram Limit for the used material. In the final part an evaluation of the results is made, conclusions settle down and thy intend future works.

xiii

JUSTIFICACIÓN

J. A. Schey, en su libro Introduction to Manufacturing Processes, establece que hay dos fuentes de

riqueza: a) materias primas, b) la creatividad y espíritu de empresa de su gente. Los Estados

Unidos de Norte América es un país que ha prosperado por tener ambas posibilidades. Japón ha

progresado a pesar de carecer de materia primas, pero cuenta con el ingenio y la productividad de su

población; importan acero de los Estados Unidos y de otros países, lo procesan y luego

comercializan productos terminados a precios competitivos. Una forma de crear riqueza, es

convertir las materias primas en productos terminados, satisfactores de necesidades, a través del

procesamiento de materiales. La manufactura, influye significativamente en la forma de vida de una

sociedad, por alto impacto en su economía. Los metales, en especial los aceros, de una manera directa o indirecta, tienen una amplia presencia

en la vida cotidiana de cualquier sociedad; el conocimiento de sus propiedades y la manera de

procesarlos, es indispensable para crear varios productos que satisfagan las necesidades humanas.

Optimizar la manufactura de productos metálicos es vital para cualquier nación que pretenda

destacar en el mundo globalizado. Un producto de amplio uso en cualquier sociedad es la bicicleta, se producen millones cada año, es

muy popular como juguete, como medio de transporte, o bien como instrumento deportivo; la alta

demanda de dicho bien, conduce a una fuerte competencia de precios y calidad entre cientos de

fabricantes. A la microempresa Fábrica de Herramienta Campos, se le planteó la mejora en la

manufactura de una parte de bicicleta, concretamente de una abrazadera metálica para tubo, con la

idea de proveer competitivamente al mercado nacional de dicha parte. El problema a estudiar es uno del tipo plástico. Para solucionarlo se hará uso del de métodos

numéricos; sin embargo dada las grandes deformaciones que se presentarán en su manufactura, se

requiere involucrar el comportamiento del material más allá del esfuerzo de cedencia; por lo que

evidentemente, se trata de un problema no-lineal. Con base en su experiencia empírica, la citada microempresa decide la fabricación de la parte

mediante procesos de troquelado, con tres herramientas, una que corta la silueta, otra que embuta

los extremos de la abrazadera e inicie el curvado, y una última que cierra doblando la parte

cilíndrica. El troquelado por embutido es un proceso que aprovecha las propiedades plásticas de los

metales, concretamente de las láminas metálicas que en este trabajo será denominada como chapa.

Esta circunstancia permite cambiar la resistencia de una lámina usarse, por ejemplo, para

xiv

unir las partes de tubo que formaran la bicicleta. Como la abrazadera es un parte visible, es

importante que esté bien conformada (sea estética), esto requiere herramientas profesionales, que

abaraten costos de producción y se obtengan piezas sin defectos. Para obtener herramientas de embutido confiables, normalmente es necesario hacer varios ensayos,

antes de definir las dimensiones y formas de las partes del troquel, lo cual requiere invertir mucho

tiempo. Con este trabajo de tesis se pretende utilizar el Método del Elemento Finito, en el que se

simulen las deformaciones plásticas que sufren los materiales. Así mismo, se verificará si con este

método, se puede ahorrar tiempo y reducir costos al diseñar troqueles, herramientas básicas para el

desarrollo de productos, que contengan partes metálicas obtenidas a partir de láminas o chapas

metálicas. Los parámetros a obtener son el desarrollo de la parte embutida (dimensiones de la lámina antes de

la deformación plástica) y la fuerza necesaria para lograr el embutido de la abrazadera. Pretendo que con este trabajo de tesis se apliquen las nuevas tecnologías numéricas a la solución de

problemas de fabricación de partes metálicas; esto es, sea apoyo directo en el diseño y manufactura de

troqueles.

xv

INTRODUCCIÓN

[1, 2, 3] BOSQUEJO HISTÓRICO El descubrimiento y utilización de los metales en diversas actividades productivas, han sido

determinantes en el desarrollo socio-económico de la humanidad; este progreso técnico representó

un cambio cualitativo en el dominio del individuo sobre su medio. Desde la época prehistórica, el

hombre aprendió a labrar los metales para desarrollar diversas herramientas, que le facilitaron su

vida, desarrolló mejores armas para la caza de animales y la guerra, mejoró el arado e instrumentos

para la elaboración de textiles, etc. La historia del labrado metálico comienza mucho antes que el de

su extracción, ya que muchos metales se hallaban de forma natural en estado puro. Los metales

preciosos fueron quizá los primeros en atraer la atención del hombre por su brillo, utilizándolos

para fines decorativos. El hierro era literalmente un don del cielo, pues dicho mineral contenido en

los meteoritos era muy apreciado para fabricar utensilios. El cobre también se conoció en estado

elemental, pero los depósitos disponibles en esa época se agotaron rápidamente. La explotación general de metales requiere de dos fases diferentes: primero, la separación del

metal de otros elementos con los que se halla combinado químicamente, y segundo el

procesamiento del metal para obtener artículos útiles. Las técnicas para obtener y trabajar el hierro, muy probablemente fueron el fruto de experiencias

difíciles y prolongadas. La separación del hierro, desde la antigüedad hasta el siglo XV de nuestra

era, fue básicamente la misma. Se obtenía mediante un proceso de reducción a baja temperatura, en

un pequeño horno de arcilla alimentado con carbón de leña y soplado a mano. El lingote de hierro

puro esponjoso y sin fundir resultante, era golpeado hasta formar barras de hierro relativamente

blando, de las cuales se podían hacer formas más complicadas forjándolas y soldándolas. La

desventaja de este hierro, era que no se podía fundir por la carencia de un fuelle para soplar el

horno; y por lo tanto, el vaciado quedó reservado al bronce. El hierro obtenido era blando, en

comparación con el bronce. La fundición de metales fue la verdadera escuela de la química. La minería llevó a descubrir

nuevos minerales, e incluso nuevos metales como el zinc, el bismuto, el cobalto, etc. Se empezó a

comprender que agregando pequeñas cantidades de carbón al hierro aumentaba su resistencia. Las mejoras en la metalurgia y maquinaria, fueron un rasgo dominante de los siglos XVIII y XIX.

El desarrollo de ambos, se debió en principio a la técnica, antes que a la ciencia. Los cambios

INTRODUCCIÓN 1

estuvieron basados en la experiencia de artesanos e ingenieros de la época, más que por científicos;

no obstante el elemento científico siempre estuvo activo y su importancia fue creciendo

gradualmente, preparando así el camino que condujo a las conquistas del siglo XX. El cambio decisivo para elaborar a gran escala hierro colado se debió a Bessemer (1856). En su

convertidor, el aire pasa a través de los lingotes de hierro fundido, haciendo que se consuma

lentamente el carbón, produciendo suficiente calor para que finalmente se obtenga el acero

fundido. Este resultado se logró por medio de la experimentación. Luego apareció el principio de

Siemens (1867), que consiste en elevar la temperatura del aire que entra al horno, aprovechando los

gases calientes que son expulsados del mismo. De este modo fue posible fundir grandes cantidades

de acero. Sin embargo, ambos procesos tenían una limitación importante: únicamente se podía usar

con minerales de hierro relativamente puros, que no son muy abundantes. Por lo que fue necesario

perfeccionarlo introduciendo un forro básico para absorber el fósforo deletéreo contenido en el

mineral. Este artificio fue descubierto por Gilchrist Thomas en 1879, lo que fue toda una conquista

científica de la teoría metalúrgica. Con la utilización de estos tres procedimientos se inauguró la edad del acero, primero con el rápido

desplazamiento de la madera como material estructural en las obras de ingeniería; luego, con el

empleo del hierro colado para fabricar rieles, buques y cañones. El acero producido a bajo costo,

fue la base sobre la cual se edificó el imperialismo al finalizar el siglo XIX, con el desarrollo del

comercio marítimo, la explotación de las colonias tropicales a través de los ferrocarriles y los

puertos. La conformación mecánica, como la forja de metales, es una de las técnicas más antiguas para dar

forma a los metales; se basa en el hecho de que al ser calentados, muchos metales se vuelven

maleables, y entonces se les puede dar forma martillándolos, laminándolos entre rodillos o

sometiéndolos a otras formas de esfuerzo mecánico. Algunos metales pueden ser forjados en frío. A

finales del siglo XIX, el martillo-pilón de vapor, la prensa hidráulica de forja, los trenes de

laminación y otros equipos pesados, hacían posible la preparación de piezas muy grandes. Los procesos de conformación hasta ahora mencionados, parten de un lingote de metal que es

reducido gradualmente hasta el tamaño deseado. Bessemer ya había concebido la posibilidad de la

fundición continua del acero entre rodillos, aunque los resultados no fueron muy positivos. No se

hicieron progresos importantes hasta 1930, cuando se introdujo la máquina inventada por S.

Juanghans y I. Rossi para la fundición continua del cobre y aleaciones de cobre entre rodillos,

INTRODUCCIÓN 2

aprovechando su punto de fusión bajo y alta la conductividad térmica de ese metal. Estas técnicas

fueron depurándose lentamente hasta alrededor de 1950.

En el estirado para formar alambre, la limitante era la fuerza que puede aplicarse, debido a la

resistencia del material a la rotura por tracción. En 1900 había una enorme demanda de alambre

para usos tradicionales tales como redes, cuerdas, cercos de alambre de púas, fabricación de clavos,

etc. En el siglo XX, destaca la tremenda demanda de alambre conductor de electricidad, así como

los filamentos de osmio para las bombillas; aunque el uso del tungsteno en 1908 fue determinante

para la iluminación. Con respecto a las bases teóricas, "Teoría de la plasticidad" es el nombre dado al estudio

matemático de esfuerzos y deformaciones unitarios en sólidos deformados plásticamente,

especialmente metales. Los estudios científicos, importantes inician en 1864, cuando Tresca[4]

publica sus experimentos de troquelado y extrución, al establecer que un metal cede plásticamente

cuando se alcanza el esfuerzo cortante máximo. Saint-Venant[3, 5] aprovecha los trabajos de Tresca

para determinar esfuerzos en cilindros sometidos a torsión o flexión (1870), y en la expansión de

tubos por presión interna (1872), introduce las relaciones constitutivas para materiales rígido -

plástico perfecto en esfuerzo plano, y sugiere que los ejes principales de deformación y esfuerzos

unitarios coinciden. En 1871 Lévy[6] concibe un material idealmente plástico, propone relaciones

tridimensionales entre esfuerzos y razones de deformación unitaria plástica. En 1886

Bauschienger[7] (1886) observó el efecto que lleva su nombre: "una deformación plástica previa con

cierto signo, disminuye la resistencia del material con respecto a la próxima deformación plástica

con signo opuesto". No hubo avances importantes en el resto de siglo XIX, hasta 1913 cuando von Mises, basado en

consideraciones puramente matemáticas, propone un criterio de cedencia del cual se derivan las

ecuaciones generales para plasticidad, conocida como teoría del esfuerzo de corte octaedral, que

posteriormente Hencky lo relacionará con la energía mecánica. Durante las dos guerras mundiales surgen varios escritores de origen alemán, en 1920 y 1921

Prandtl[8] muestra que los problemas plásticos en dos dimensiones son de índole hiperbólica, en

1922 formula ecuaciones para problemas continuos en el plano e incluye la componente elástica de

deformación. En 1923 Hencky[3] mejora la teoría de Prandtl y descubre propiedades geométricas

simples concibiendo el campo de líneas de deslizamiento y el estado de deformación unitaria

plástica en el plano; en 1930 Geireinger[3] propone ecuaciones para el cambio de velocidad de flujo

de las líneas de deslizamiento. En 1923 Nadai[3] investiga teórica y prácticamente las zonas

plásticas en prismas sometidos a torsión, con formas arbitrarias. En 1925 von Karman[3] da

INTRODUCCIÓN 3

aplicaciones efectivas de la teoría de plasticidad a procesos tecnológicos tales como el rolado. En

el siguiente año Siebel y luego Sachs lo utilizaron en la formación de alambre. En 1926 Lode[3]

mide la deformación en tubos de varios metales bajo combinaciones de tensión y presión interna,

que fue antes propuesta por Lévy-Mises, donde mostró la validez de la teoría aunque con ligeras

discrepancias. En 1931 Nadia[9] publica su libro de plasticidad donde resume varios de los

conocimientos a la fecha y da novedosos enfoques a la teoría. En 1938 Melan[10] generaliza los

conceptos de plasticidad perfecta, mediante relaciones incrementales de endurecimiento de sólidos

en la superficie de cedencia, además discute problemas de elastoplasticidad. Desde 1940, la teoría

de plasticidad ha visto desarrollos relativamente rápidos. En 1949 Prager[11] obtiene un marco

general de relaciones constitutivas para endurecimiento de materiales con funciones de cedencia y

reconoce la relación entre superficies de cedencia, ley de la normalidad asociada con valores de

problemas en la frontera. Drucker[12] en 1951 propone el postulado de estabilidad, con este

concepto, las relaciones esfuerzo deformación unitarios, junto con varias relaciones fundamentales, se

empezaron a tratar de manera unificada. En 1953 Koiter[13] generaliza las relaciones esfuerzo

deformación unitarios plásticos para superficies no suaves y obtiene algunos resultados

variacionales, introduce las funciones de cedencia, contribuye al concepto de incremento de

deformación unitaria plástica al ubicarlo dentro de la superficie de cedencia. Desde 1970 se da especial atención a la aplicación de métodos numéricos a problemas de

elastoplasticidad. El primer estudio sistemático de problemas con valores en la frontera en

elastoplasticidad se debe a Duvaut y Lions[14], quienes considerando el problema para un material

elástico- plástico perfecto, formularon el problema como una desigualdad variacional. Moreau[15,16]

consideró los mismos temas, pero para un punto de vista geométricos. Johnson[17] extendió el

análisis de Duvaut y Lions en dos estados, en el primero elimina la velocidad de deformación y el

problema llega a ser una desigualdad variacional, formulada en dependencia del tiempo; y segundo

involucra la solución considerando la velocidad. Recientemente, se ha incrementado el uso del Método el Elemento Finito por varios investigadores.

También Han y Reddy[18] proveen un tratamiento matemático y de análisis numérico a los

problemas de elastoplasticidad con endurecimiento. Los párrafos anteriores muestran que los problemas asociados con procesos de manufactura sin

arranque de viruta, han sido tratados desde dos enfoques: el tecnológico y el teórico. Los procesos

de conformado de metales, son fenómenos que aprovechan sus propiedades plásticas. El

comportamiento plástico es del tipo n o l i n e a l . De ahí que no sea fácil plantear una solución

analítica para estos problemas. Partiendo de este hecho, el objeto de este trabajo es modelar y

INTRODUCCIÓN 4

analizar el proceso de fabricación de una abrazadera sin arranque de viruta; es decir, se analizará

un problema de deformación elastoplástica mediante el Método del Elemento Finito, de una pieza

en cuya fabricación requiere, entre otros, del proceso de conformado denominado embutido.

SITUACIÓN DE LOS TRABAJOS DE CONFORMADO EN PRENSA

Históricamente, la evolución del estampado de chapas desde su concepción, diseño de partes,

diseño de herramientas, han sido desarrollados lentamente y requieren de mucho cuidado. Se han

basado en la experiencia, en ensayos de prueba y error, e inclusive en cierta habilidad artesanal[19]. El

troquelado ha sido satisfactorio, gracias al trabajo desarrollado por los artesanos del ramo durante

varios años. En el presente, es relativamente difícil utilizar solo métodos analíticos para el estudio y

diseño de partes metálicas; ya que únicamente se puede proveer una solución analítica aproximada

para anticipar un desempeño del proceso del trabajo en chapas. La compresión del flujo de material durante el proceso de conformado, puede conquistarse de la

teoría y/o experimentación. La teoría plástica, da sugerencias para establecer líneas de

deslizamiento que indican la dirección de los esfuerzos máximos, en cualquier punto del plano del

proceso de conformado. Datos geométricos adicionales son encontrados en la líneas de flujo, las

cuales dan la dirección del movimiento de todos los puntos para cierto instante y las líneas de

trayectorias que representan el recorrido de un punto particular a través del proceso completo.

Líneas de deslizamiento y de trayectoria son idénticas en procesos estacionarios tales como la

extrución, pero no así en procesos no estacionarios como la forja. Información experimental puede obtenerse observando el flujo del material por medio de los

siguientes experimentos: 1) insertando pequeños pernos en la pieza de trabajo y viendo sus

movimientos durante la deformación; 2) usando tintas de diferentes colores, analizando el

movimiento después de procesada la pieza; 3) usando patrones de mallas en la superficies o

secciones transversales de la pieza de trabajo y notando el cambio de los patrones después de la

deformación; 4) Rayando las secciones transversal o la superficie de trabajo. Algunos de estas

técnicas experimentales se discutirán con cierto detalle en los capítulos de este trabajo.

INTRODUCCIÓN 5

El desuso de los sistemas artesanales ocurre por las siguientes razones:

1. La lentitud en el aprendizaje y el desarrollo de los sistemas,

2. La tendencia a modificar los productos rápidamente debido a la fuerte competencia,

3. La necesidad de reducir los tiempos entre pruebas y desarrollos,

4. El incremento en la complejidad de las partes,

5. La introducción de nuevos materiales,

6. El rápido desarrollo del diseño asistido por computadora.

De acuerdo con Keeler[19], los sistemas que reemplacen la metodología artesanal deben contener

ocho requerimientos:

1. Ser un sistema interactivo,

2. Modelarse con variables conocidas y desconocidas,

3. Incorporar las propiedades reales del material, 4. No

estar basadas en reglas históricas inútiles,

5. Tener una amplia capacidad predicativa,

6. Mejorar la interacción entre las funciones de diseño y manufactura,

7. Responder a los requerimientos de servicio de la actualidad, 8.

Atenuar la economía de producto terminado.

Los requerimientos anteriores utilizan ampliamente sistemas de diseño y manufactura asistidos por

computadora (CAD-CAM), mediante el uso de software para operaciones de conformado de

chapas, lo que hace necesario desarrollar los siguientes puntos[20]:

1. Modelos analíticos que describan el comportamiento del material bajo varias condiciones

de conformado, temperatura, deformación y razón de deformación;

2. Modelos matemáticos que simulen cada proceso específico de conformado de chapas.

Los modelos analíticos del comportamiento de materiales deben tener la capacidad de calcular los

límites para los cuales el material puede ser deformado, esto involucra dos factores:

1. La adquisición y/o medición de propiedades del material relevantes, esto es la

caracterización del material, y

2. La identificación y verificación de ecuaciones constitutivas aplicables al material y al

proceso.

INTRODUCCIÓN 6

Los modelos matemáticos deben describir los estados locales de esfuerzos y deformaciones

unitarios en el material durante la deformación. Ambos modelos forman un sistema que debe ser

capaz, de trabajar con el comportamiento del material, las condiciones del proceso, las variables de

proceso y el equipo procesador (herramienta); todos ellos considerados simultáneamente. Un

ejemplo de desarrollo interactivo asistido por computadora se estructura de acuerdo con el

siguiente diagrama:

Procedimientos de Pruebas

(Equipo para)

Requerimientos del Sistema

DIAGRAMAS LÍMITE DE

Material MODELO DEL

MATERIAL

CONFORMADO

SISTEMAS

DE

Herramientas y Geometría de la parte

Variables del Proceso

MODELO

DEL PROCESO

CÓMPUTO CONDUCTA VALIACIÓN

PRUEBAS

RESULTADOS VALIDADOS

Figura I.1 Diagrama de desarrollo interactivo[21]

Este trabajo se puede relacionar en dos aspectos con las experiencias previas en la SEPI-ESIME.

En primera instancia está el trabajo de Guerra Loeza[22] quien evaluó numéricamente el proceso de

deformación plástica y embutido de dos piezas fabricadas sin arranque de viruta. En segundo

lugar, están los diversos trabajos que se han desarrollado en el marco del proyecto financiado por el

CONACYT U-34950 "Análisis Mecánico Estructural en Componenta con Nivel de Seguridad

Clase 1 en plantas Nucleares", en donde se han evaluando problemas de Fractura elasto-plásticas

INTRODUCCIÓN 7

REFERENCIAS [1] T. Derry/ Trevor Williams, Historia de la Tecnología, volúmenes 1, 2, 4, Editorial Siglo XXI,

1991. [2] R. J. Forbes, Historia de la Técnica, Fondo de Cultura Económica 1958

[3] Stephen P. Timoshenko, History of Strength of Materials, Dover 1953

[4] H. E. Tresca, Mémoire sur L'écoulement des corps solids, Mémoire Présentés par Divers

Savants, Acad. Sci. Paris 20 (1872), 75-135

[5] J. Barré de Saint Venant, Mémoire sur L'établissement des équations différentielles des

mouvements intérieurs opérés dans les corps solides ductiles…, J. Math Pures et Appl. 16

(1871), 308-316.

[6] M Lévy, Estrait du mémoire sur les équatins générales des mouvements intérieurs des corps

solids ductiles au delá des limites oú l'élasticité pourrait les ramener á leur premier état, J. Math

Pures Appl. 16 (1871), 369-372

[7] J. Bauschinger, Yearly report, Mitt. Mech. Lab. Munich, 1886

[8] L. T. Prandtl, Spannungesverteilung in plastischen Körpern, in Proc. 1st Intern. Congr.

Mechancis Delft, 1922, 43-54

[9] Nadai A. Theory of Flow and Fracture of Solids, McGraw Hill N Y, 1950

[10] E. Melan, Zur Plastizität des räumlichen Kontinuums, Ing. Arch. 9 (1938), 116-125

[11] W. Prager, Recent developments in the mathematical theory of plasticity, J. Appl. Phys. 20

(1949), 235-241

[12] D. C. Drucker, A more fundamental approach to plastic stress-strain relations, in Proc. 1st US

National Congress of Applied Mechanics, ASME, N Y. 1951, 487-491.

[13] W. T. Koiter, Stress-strain relations, uniqueness and variational theorems for elastic-plastic

material with a singular yield surface, Quarat. Appl. Math. 11 (1953), 29-53.

[14] G. Duvaut and J. L. Lions, Inequalities in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, Berlin,

1976.

[15] J. J. Moreau, Application for convex analysis to the treatment of elastoplastic systems, in P.

Germain and B. Nayroles, eds., Applications of Methods of Functional Analysis to Problems

INTRODUCCIÓN 8

in Mechanics Springer-Verlag, Berlin, 1976.

[16] J. J. Moreau, Evolution problem associated with a moving convex set in a Hilbert space, J.

Diff. Eqns 26 (1977), 347-374.

[17] C. Johnson, Existence theorems for plasticity problems, J. Math. Pures Appl. 55 (1976),

79-84.

[18] W. Han, B. C. Reddy, Computational plasticity: the variational basis and numerical analysis,

Computational Mechanics Advances 2 (1995), 283-400.

[19] Keeler, S. P. "Sheet Metal Stamping Technology- Need for Fundamental Understanding"

Mechanics of Sheet Metal Forminig, D. P. Koistinen and N. M. Wang, Plenum Pres 1977

[20] Nagpal, V., B. S. Shabel, J. F. Thomas Jr, "formability Models for 2024-O aluminium alloy

Sheet Material" 7th NAMRC, 1977, SME.

[21] Nagpal V., T. L. Subramanian, and T. A. Altan, "ICAM Mathematical Modelling of Sheet

Metal Formability Indices and Sheet Metal Forming Processes, "Thecnical Report AFML-

TR-79-4168, 1979, AFML/LTC, WPAFB, OH 45433

[22] J. O. Guerra Loeza "Análisis de la Deformación Elasto-Plática mediante el Método del

Elemento Finito" Tesis de Maestría en Ciencia SEPI-ESIME, 1997.

INTRODUCCIÓN 9

CAPÍTULO 1

Procesos de Conformación

Plástica y Planteamiento

del Problema

En este capítulo se presenta la idea de

procesamiento global de materiales, y se trata en

particular de los procesos de conformado metálico, de la

importancia de la industria metal - mecánica en la

economía nacional; por último se plantea el problema a

estudiar.

CAPÍTULO 1 10

1.1 GENERALIDADES

El procesamiento de materiales, en su sentido más amplio, es definido como la conversión de

materias primas en productos terminados, para que posean formas y propiedades útiles. Algunos

ejemplos son las piezas forjadas, estampadas, fundidas y las soldaduras, entre muchos otros. Es una

de las actividades de ingeniaría más interdisciplinaria; ya que, involucra la contribución de

ingenieros químicos, eléctricos, industriales, mecánicos y metalúrgicos, entre otros. El término

Procesamiento de Materiales es restringido, comparado con el de Ingeniería de Manufactura.

La Ingeniería de Manufactura se define como, la especialidad del profesional en ingeniería, con la

educación y experiencia necesarias para comprender, aplicar y controlar, los procedimientos y

métodos de manufactura, en la producción de bienes; tiene que poseer la habilidad para planear la

práctica de manufactura, la investigación, el desarrollo y diseño de herramientas, procesos,

máquinas y equipos, que integren con facilidad sistemas, para elaborar productos de calidad con

gasto óptimo. No se debe de confundir el término proceso de manufactura, con el de

procesamiento de materiales.

Para aprovechar óptimamente la transformación de materiales, es necesario conocer el proceso en

sí y las salidas del mismo (producto terminado bien definido). Entender los diversos factores que

intervienen, directa o indirectamente, como son el diseño del equipo y herramientas, maquinaría

disponible, el consumo de energía, la lubricación apropiada para el proceso, control y

automatización adecuadas, y aspectos de lanzamientos e investigación de operaciones, que

minimicen costos y maximicen producción. Las salidas de un proceso involucran temas sociales y

ambientales, generación de productos biodegradables, productos cuyos materiales sean reciclables.

La idea anterior se representa en la siguiente figura.

Control

ENTRADA Pieza de Trabajo

Herramienta

PROCESO

Equipo SALIDA Producto

Energía Lubricación

Planeación

ENTORNO MEDIO AMBIENTE

Figura 1.1 Diagrama del sistema global de procesamiento de materiales

CAPÍTULO 1 11

De acuerdo con Alting[1], un proceso puede definirse de manera general, como un cambio en la

forma y/o propiedades (o cualidades) de un material incluyendo comportamiento mecánico, estado,

contenido de información, etc. Para este efecto, tres agentes deben estar disponibles: el material, la

energía y la información, lo que se representa en el siguiente diagrama:

Material Material Energía Energía

PROCESO Información Información

Figura 1.2 Modelo General de un Proceso como un sistema de Flujo. A la izquierda entradas, a la derecha salidas

El modelo general del proceso anterior, involucra tres sistemas de flujo:

Flujo de Material Fl ujo de energía Fl ujo de inf ormac ió n

El flujo de material puede ser de tres tipos:

1. Flujo de parte a parte, corresponde a procesos de cambio de masa, tal como la forja y

extrución.

Ment PROCESO Msal = Ment

2. Flujo divergente, corresponden a procesos con reducción de masa, como el punzonado.

Msal 1

Ment

PROCESO Msal 2

CAPÍTULO 1 12

3. Flujo convergente, corresponden a procesos con incremento de masa, tales como los

ensambles y las soldaduras.

Ment 1

Msal PROCESO Ment 2

En algunos procesos, se deben incluir materiales adicionales como lubricantes, refrigerantes

materiales de relleno, etc. El flujo de energía asociado con el proceso puede caracterizarse como

1) Energía suministrada,

2) Energía trasmitida a la pieza de trabajo, y 3)

Energía perdida o removida.

El flujo de información incluye:

1) Información sobre el cambio de forma,

2) Información sobre el cambio de propiedades.

La información del cambio de forma, produce la conversión de la forma inicial a la deseada.

Cuando el cambio de geometría de una pieza, requiere varias fases, para llegar a su forma final, las

diferentes operaciones se representan mediante la siguiente ecuación:

I f = Ii + I p

1 + I p

2 + .......... + I pn (1.1)

Donde, I f es la geometría final deseada, Ii es la información de la forma inicial del material, e I pn es la información del cambio de forma de una fase simple. De igual manera, el flujo de

información de las propiedades, tales como dureza, resistencia, etc., involucran la suma de las

propiedades iniciales del material y el cambio producido en las mismas debida a las varias fases a

las que se somete un material.

CAPÍTULO 1 13

Los elementos generales fundamentales y sus parámetros característicos, involucrados en los

cambios de forma y propiedades son:

1. Flujo a)

b)

c)

de Material Procesos básicos: mecánicos, térmicos o químicos.

Estado del material: sólido, granular o gaseoso.

Tipo de flujo o proceso: conservación de masa, reducción de masa, o incremento de

masa.

2. Flujo de energía a) Tipo de energía: mecánica, eléctrica, química o térmica.

b) Medio de transferencia (herramienta): rígido o no rígido, elástico, plástico, granular,

fluido o gaseoso (El medio de transferencia, es el material o agente a través del cual

la energía y/o información son transmitidas a la pieza de trabajo).

3 . Flujo de información a) La Generación de Superficies, se pueden clasificar en:

i. Herramienta formadora. Es este caso, la herramienta contiene la superficie

de la geometría deseada. No se requiere movimiento de la pieza de trabajo,

como sucede en el acuñado o en la forja cerrada.

ii. Formado en una dirección. Aquí el medio de transferencia contiene la

superficie a generar, es necesario movimiento relativo entre herramienta y

pieza de trabajo, como sucede en la extrución.

iii. Formado en dos direcciones. Aquí el medio de transferencia contiene un

punto o superficie de la geometría deseada, en el que se requieren

movimientos en dos direcciones para producir la superficie deseada, tal

como sucede en el rolado, donde es necesario avanzar la pieza de trabajo en

dirección lineal pero, además los rodillos deben girar para dar forma

cilíndrica.

iv. Formado libre. Aquí el medio de transferencia no contiene la geometría

deseada, esto sucede en torcido de barras.

b) Trayectorias de movimiento que se encuentran con el material, tal como sucede en

troqueles. El material avanza linealmente y la herramienta tiene movimiento lineal

alternativo, en dirección transversal a la pieza de trabajo.

CAPÍTULO 1 14

El presente trabajo se centra en un proceso mecánico de conservación de masa, de un material en

estado sólido, generando superficies por medio de una herramienta formadora, donde el

movimiento del material es lineal y el de la herramienta alternativo. La energía a utilizar es

mecánica, en un medio de transferencia rígido (troquel). La información está contenida en la

herramienta, y es conformar una superficie en una dirección. La pieza final se realiza en varias

operaciones, pero solo se analizará con detalle, la que corresponde al embutido.

1.2 CONFORMADO METÁLICO

El conformado de metales, se define como una operación en la que el cambio de forma de la pieza

de trabajo, se ejecuta sin remoción de material, como el principal método para alterar su forma.

El punzonado de metales, no es considerado como un proceso de conformado metálico (este es un

proceso de flujo divergente o reducción de masa.)

Varios criterios o mecanismos han sido propuestos para clasificar los procesos de conformado de

metales, tales como la ocurrencia o no de endurecimiento por deformación, trabajo en frío o

caliente; tipo o estado de esfuerzos involucrados durante el trabajo de conformación; cambio en el

espesor de la pieza de trabajo durante el conformado; forma de la pieza de trabajo, si la pieza de

trabajo es un bloque o una lámina (chapa); modo de deformación, zona de deformación (general o

localizada); procesamiento continuo o alternativo, etc. Tomado en cuenta varios de los criterios anteriores, Boulger[2], clasifica las operaciones o procesos

de conformado de metales, como sigue:

1. De cuerdo con el tipo de pieza de trabajo:

a) Procesos de Conformado de Bloques.- El material está inicialmente en forma semi

terminada, lingote; la pieza de trabajo tiene una relación superficie - volumen

pequeño; el conformado causa grandes cambios en la forma y sección transversal; la

recuperación elástica es normalmente despreciada.

b) Procesamiento en Láminas.- El material inicial en rolado en láminas; la pieza de

trabajo tiene una relación superficie-volumen alta; el conformado produce grandes

cambios en la forma pero pequeños cambios de espesor; la recuperación elástica es

usualmente significativa.

CAPÍTULO 1 15

2. De acuerdo al efecto de deformación y temperatura en las propiedades mecánicas:

a) Trabajo en Caliente.- no hay endurecimiento por deformación, el rango de

temperatura para la deformación es 0.5Tf ≤ Tconf<0.8Tf, donde Tf es la temperatura

de fusión, Tconf Temperatura en que se conformaa la pieza. b) Trabajo a Temperatura Intermedia.- se presenta cierto endurecimiento por

deformación, y/o puede ocurrir endurecimiento por precipitación, el rango de

temperatura para deformación es 0.3Tf ≤ Tconf<0.5Tf. c) Trabajo en Frió.- ocurre endurecimiento por deformación, y se presenta cuando la

temperatura es menor 0.3Tf.

3. De acuerdo con el modo de deformación:

a) Estado permanente.- conformación continua, por ejemplo fabricación de alambre.

b) Estado no permanente.- conformación alternativa o por ciclos por ejemplo

troquelado en varias fases.

c) Mixta o transitoria.- por ejemplo la extrución.

4. De acuerdo con le sistema de esfuerzos impuestos durante el trabajo en la pieza:

a) Compresión.- como sucede en forja, acuñado, extrución, clavado, rolado, rechazado,

aplastado.

b) Tensión- Estirado, estampado y expandido.

c) Tensión combinada con compresión.- Embutido d)

Flexión.- doblado recto, doblado curvo. e) Corte.-

punzonado.

f) Torcido

El inciso 4 se amplia en el siguiente tema.

CAPÍTULO 1 16

1.2.1 CLASIFICACIÓN POR EL TIPO DE ESFUERZOS Uno de los principales sistemas para la clasificación de un proceso de deformación plástica, basado

en el sistema de esfuerzo desarrollados durante el conformado, fue presentado por Kienzle[3], quien

catalogó seis tipos de sistemas de esfuerzo diferentes, como se muestra en la tabla 1.1. Además

presenta subdivisiones de acuerdo con: 1) El movimiento de la herramienta relativo a la pieza de

trabajo, 2) La geometría de la herramienta, 3) la geometría de la pieza de trabajo, y 4) la

interrelación entre herramienta y geometría de la pieza de trabajo.

Tabla 1. Clasificación General De Los Procesos De Conformado Metálico, Sobre La Base De Seis Sistemas De Esfuerzos.

TIPO DE PROCESO ESFUERZO

Aplastamiento

Clavado

Acuñamiento

Conformado por compresión (forja)

Extrusión

Reducción de la Sección

Transversal

CAPÍTULO 1 17

CO

MP

RE

SIÓ

N

Conformado de tubos por golpeteo

Rolado

Rechazado convencional

Rechazado forzado, reducción de espesor

Expandido de tubo

Curvado por estiramiento

Estampado de nervaduras

Trefilado

Embutido con planchador

Embutido sin planchador

CAPÍTULO 1 18

CO

MP

RE

SIÓ

N

TE

NS

IÓN

C

OM

PR

ES

IÓN

TE

NS

IÓN

Y

Doblado recto Doblado curvo

Cortado progresivo Corte por presión Conformado por

Torcido

Las formas geométricas que pueden producirse por un proceso en particular varían dentro de los

límites determinados por las propiedades del material, condiciones de lubricación, temperatura de

trabajo y velocidad de deformación. Hay varias maneras o procesos en que puede producirse una

parte.

CAPÍTULO 1 19

FLE

XIÓ

N

CO

RT

E

TO

RS

IÓN

1.2.2 CARACTERIZACIÓN DEL MATERIAL DE CHAPAS [3] Para utilizar las propiedades de un material en operaciones de conformado, se requerir conocer su

historial de deformación, el cual involucra el límite de flujo estable que el material puede soportar, y

el punto de fractura. Los parámetros derivados de un ensayo de tensión simple son valores

cuestionables, para estas necesidades, ya que este ensayo no considera grandes deformaciones

plásticas, y desprecia los efectos de rozamiento y razón de deformación. El conformado metálico es

una situación muy compleja, ya que involucra estados de esfuerzos combinados y detalles de su

micro-estructura.

Para la caracterización del material, la siguiente información puede ser útil:

1. Los datos del ensayo de tensión simple.

2. La razón esfuerzo-deformación en el estado de deformación requerido, la temperatura y

carga de relajación.

3. Pruebas de estiramiento biaxial.

4. Información sobre anisotropía plástica*.

La prueba de relajación, ayuda ha determinar el exponente m (razón de sensibilidad) de la

deformación unitaria. Para una deformación plástica conveniente, se obtiene el dato de carga-

tiempo para calcular el esfuerzo verdadero y la razón de deformación unitaria real ε , para

intervalos de cargas iguales. La prueba de estiramiento biaxial, consiste en penetrar una chapa con

una esfera, estirándola hasta la falla. La relación esfuerzo- deformación unitarios, para el material

puede derivarse de mediciones en la superficie deformada, la curvatura, y la presión aplicada. Por

ejemplo para una membrana deformada se puede obtenerse una relación de esfuerzo σ m como la

siguiente:

σ m = PR = PR e−ε

z

donde

ε z = ln t = −2ln ⎛ D ⎞

2.1

2t 2t0 t ⎜D ⎟

⎝ 0 0 ⎠

Donde R es el radio de curvatura, P es la presión del fluido, D0 es el diámetro inicial del círculo de

referencia, y D es el diámetro instantáneo basado en el desplazamiento del extensómetro

* Ver apéndice 1

TULO 1

20

1.3 ESTADÍSTICA DE LA INDUSTRIA METAL -

METÁLICA EN MÉXICO

El INEGI (Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática) divide en 9 grandes

divisiones las actividades económicas del País:

1.

2.

3.

4.

5.

Agropecuario, silvicultura y pesca

Minería

Industria manufacturera

Construcción

Electricidad, gas y agua

6.

7.

8.

9.

Comercio, restaurantes y hoteles

Transporte, almacenaje y comunicaciones

Servicios financieros, seguros

Servicios comunales, sociales y personales

El conformado de metales se ubica dentro del la división VIII Productos metálicos, maquinaria y

equipo, perteneciente a la gran división de la industria manufacturera. También en forma indirecta

está involucrada la gran división de la Minería, en su división de Extracción y Beneficio de mineral

de Hierro. Se presentan cifras del Producto Interno Bruto hasta el año 2001, que es el que el

INEGI proporciona, y luego los porcentajes de las divisiones mencionadas en le párrafo anterior:

Tabla 1.3.1 PRODUCTO INTERNO BRUTO POR GRANDES DIVISIONES Y DIVISIONES INDUSTRIALES 1999

Gran división (GD) y división industrial Nacional Entidad Nacional Entidad

Miles de pesos a precios Miles de pesos a precios corrientes de 1993

Total 4,196,502,671 30,731,703 1,384,697,01 10,937,48 GD 1 Agropecuario, silvicultura y pesca 197,728,268 5,501,349 81,048,685 2,451,255 GD 2 Minería 60,139,580 1,011,225 18,431,124 359,149 GD 3 Industria manufacturera 884,526,833 2,121,959 296,528,442 629,050 División I Alimentos, bebidas y tabaco 225,412,657 1,209,008 72,469,657 316,051 División II Textiles, vestido y cuero 69,303,503 187,042 24,932,200 56,629 División III Madera y sus productos 22,260,317 114,907 8,033,105 42,467 División IV Papel, imprentas y editoriales 35,456,386 31,304 13,669,431 12,531 División V Químicos, derivados del petróleo; caucho y plástico 128,451,196 2,783 44,415,303 910 División VI Minerales no metálicos, excepto derivados del petróleo 56,596,067 194,895 19,879,090 78,296 División VII Industrias metálicas básicas 40,953,228 14,033 14,776,737 5,051 División VIII Productos metálicos, maquinaria y equipo 281,065,616 285,845 89,668,044 90,181 División IX Otras industrias manufactureras 25,027,863 82,143 8,684,875 26,933 GD 4 Construcción 207,277,181 2,559,772 60,328,557 734,681

CAPÍTULO 1 21

GD 5 Electricidad, gas y agua 55,514,858 534,032 23,717,887 216,006 GD 6 Comercio, restaurantes y hoteles 837,562,187 4,186,397 287,748,625 1,739,699 GD 7 Transporte, almacenaje y comunicaciones 468,656,734 2,361,598 151,675,934 775,808 GD 8 Servicios financieros, seguros, actividades inmobiliarias y de alquiler 546,964,174 5,220,234 218,227,435 1,930,915 GD 9 Servicios comunales, sociales y personales 995,143,356 7,425,633 286,180,777 2,231,852 FUENTE INEGI. Sistema de Cuentas Nacionales de México. Producto Interno Bruto por Entidad : Federativa, 1993-1999. México, 2000.

La industria manufacturera representa el 21% de producto Interno Bruto Nacional, que es la gran

división de mayor cuantía. Y la división de Productos metálicos, maquinaria y equipo representa el

31.78% dentro del gran división de la industria manufacturera. El monto de dinero generado en esta

división es superior a los 281 065 miles de millones de pesos anuales, lo que representa un

importante actividad industrial. Considerando los tratados comerciales y la fuerte competencia

internacional, es fundamental desarrollar y aplicar tecnologías que hagan eficiente los trabajos

dentro de esta rama económica.

1.4 PROBLEMÁTICA NACIONAL

Basado en mi experiencia académica y profesional, considero que para el desarrollo y manufactura

de partes que requieren procesos de conformado de metales, en especial del embutido, en México

se presenta una problemática la cual divido en dos áreas, que finalmente se ligan: la tecnológica -

económica y la académica.

La industria Nacional grande y sobre todo la transnacional en México, prácticamente no invierten

en diseño de productos, ni en desarrollo de tecnología; normalmente importan la maquinaría, el

equipo, inclusive el personal técnico y administrativo, necesarios para el funcionamiento de las

empresas instaladas en nuestro país. Herramientas Campos (antes Técnicos Campos, S. A.) es una

microindustria que se ha preocupado en desarrollar tecnología propia, para la fabricación de

CAPÍTULO 1 22

herramientas procesadoras de lámina (troqueles). Las empresas transnacionales, aprovechan la

mano de obra barata, inclusive a nivel licenciatura y postgrado; traen de sus países de origen toda la

infraestructura importante, que les permita fabricar productos a costos bajos, esto da lugar a la

industria maquiladora; pero actualmente dicha industria está emigrando a países como China y

ahora también a la India.

Algunos empresarios Nacionales, al considerar que el gobierno, no ha cumplido con su función de

formar personal calificado, decidió fundar Universidades Privadas, como lo es el Tecnológico de

Monterrey, la Universidad de las Américas, etc. Desde mi punto de vista lo que han buscado es

formar capataces de obreros mal pagados, autómatas que pongan a funcionar el equipo y

maquinaría importada; pero no se han preocupado por una vinculación Empresa - Universidad, y

mucho menos en un desarrollo tecnológico Nacional.

En cuanto al ámbito académico, no se cuenta con alguna Escuela que tenga una carrera para el

diseño y manufactura de máquinas y de herramientas, enfocadas concretamente al conformado de

metales; sólo se estudian los aspectos fundamentales del análisis y diseño de estos equipos, en

algunas Instituciones como el Instituto Politécnico Nacional, el cual por desgracia, no ha estado

exento del deterioro académico, debido entre otras cosas a la falta de recursos, tanto económicos

como humanos.

Las Asociaciones, Sociedades y Colegios en México, no contemplan en sus comités o grupos,

especialistas en diseño de herramientas y máquinas, destinadas al conformado de Metales. No

contamos, hasta donde tengo conocimiento, con laboratorios dedicados a realizar pruebas o

ensayos mecánicos relacionados con este tema. Solo en la Cámara Nacional de la Industria de

Transformación hay una sección de fabricantes de herramientas, pero su enfoque es dirigido

únicamente a la mejora de calidad y no al diseño ni al desarrollo de tecnología.

Los Estados Unidos de Norteamérica, cuanta con las siguientes asociaciones y publicaciones,

relacionadas directa o indirectamente con el conformado de metales: Precision Metalforming

Association; Society of Manufacturing Engineers; American Tool, Die & Stamping news;

International Deep Drawing Research Group; The Minerals, Metals & Materials Society y sus

divisiones. Desgraciadamente tan solo suscribirse a sus publicaciones, es muy costoso, participar a

los eventos de actualización y difusión aún lo es más. También hay varios laboratorios que dan el

servicio de ensayos mecánicos, como por ejemplo los de embutido de metales. De ahí la

importancia de este tipo de trabajo en los que se puede generar especialistas en está área de trabajo.

CAPÍTULO 1 23

1.5 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

A la microempresa Fábrica de Herramienta Campos, se le solicitó la fabricación del herramental

(troqueles) necesarios para la manufactura de una abrazadera para tubo:

El cliente presenta una muestra de abrazadera fabricada en algún país asiático; con la idea de

mejorar el costo de manufactura y así acaparar el mercado de esta parte. La producción estimada

es de 20,000 piezas mensuales y cuenta con una máquina troqueladora

Material: Lámina 1018, calibre 16 (espesor 1.5 mm)

CAPÍTULO 1 24

Figura 1.3 Abrazadera

Basado en la experiencia de los diseñadores de dicha empresa se decide fabricar dicha abrazadera

mediante tres troqueles, los cuales se muestran y describen brevemente a continuación. Se hace

referencia a la nomenclatura de fases utilizada en la ecuación 1.1.

Fase I1 FOTO 1.1

Troquel corte silueta en los extremos de la tira de

lámina y punzonado de orificio para entrada de

tornillo.

Fase I2 FOTO 1.2

Troquel embutido y curvado inicial

CAPÍTULO 1 25

Fase I3 FOTO 1.3

Troquel curvado final, cierre de la

abrazadera

En la fase dos se tiene el proceso de conformado por embutido, la pieza no es simétrica, lo que

dificulta la determinación del desarrollo de la chapa (forma de la lámina plana). En especial el valor

adecuado del ángulo α. La importancia de dicho ángulo, es que influye directamente en la forma final de la

pieza, concretamente con la rectitud del extremo embutido. Por lo tanto, el problema consiste en evaluar el proceso de manufactura para determinar los

parámetros de producción. Para este efecto, el problema se evaluará con las diversas soluciones

propuestas en la literatura abierta, y asimismo, se simulará numéricamente con el Método del

Elemento Finito. Resalto que este es un problema de tipo no lineal, que sufre grandes

deformaciones durante el conformado metálico.

CAPÍTULO 1 26

1.6 SUMARIO

La manufactura de un producto requiere de conocimientos de diversas disciplinas profesionales

debidamente relacionadas, lo que conduce a un procesamiento de materiales adecuado. Todo

proceso solicita el material sobre el que se trabaja, la energía para llevar acabo la transformación y la

información del cambio de la materia prima. El conformado de metales produce un cambio de

forma en el material, a otra útil; en general se trabajan cuerpos metálicos o láminas; existe una gran

variedad de procesos de conformado metálico, dada su complejidad se utilizan diversas

clasificaciones como son: el tamaño de la pieza a trabajar, el tipo de esfuerzo que se desarrolla

durante el procesamiento, la temperatura de trabajo, etc. Estadísticamente la manufactura en

México, representa un porcentaje importante del PIB más del 20%. A pesar de esto, el país no

cuenta con suficientes centro de desarrollo tecnológico que ayuden al desarrollo de mejores y

nuevos procesos, para ser competitivos dentro de un mercado globalizado. Aquí se plantea un

trabajo que pretende utilizar el elemento finito para dar mayor eficiencia al desarrollo de piezas por

embutido metálico. 1.7 REFERENCIAS

[1] Alting L, Manufacturing Engineering Processes, Marcel Dekker, Inc., N: Y: 1982.

[2] Boulger, F. W. "Metal Forming: Status and Challenges," Towards the factory of the Future,

PED-Vol. 1, Winter Annual Meeting, No. 16-21- 1980, p 18, ASME.

[3] Kienzle, O., "Classes and Characteristics of Plastic-Deformation Processes," Machine Design

pp 200-207, Nov. 7 1963.

CAPÍTULO 1 27

CAPÍTULO 2

El Procesos de

Embutido

En este capítulo se presenta la teoría del embutido

de chapas metálicas, fases para la formación de una

copa cilíndrica, esfuerzos desarrollados y cálculo del

desarrollo de la plantilla a embutir.

28 CAPÍTULO 2

2.1 GENERALIDADES

Embutido es un proceso de conformación plástica, en el que un material, originalmente plano se

trasforma en un cuerpo hueco por medio de deformaciones controladas.

A continuación se presenta esquemáticamente el conformado de una copa cilíndrica:

Desarrollo de la pieza

(Chapa) Proceso de conformación

Recipiente conformado

Figura 2.1 Proceso de conformado de una copa mediante embutido.

La pieza anterior se obtiene aplicando la fuerza de un punzón sobre una chapa (plana), obligándola

a fluir plásticamente, dentro de la cavidad de una matriz, para adquirir la forma de un recipiente

hueco; esto es el material, al sobrepasar su límite elástico, alcanza la deformación plástica,

obteniendo así la forma de una copa.

29 CAPÍTULO 2

El proceso para obtener un recipiente cilíndrico mediante embutido, es el siguiente[2.1]:

I. Se coloca una chapa circular, de diámetro D (desarrollo) sobre la matriz para embutido II.

Figura 2.2 Primer fase del conformado de una copa cilíndrica, colocado de la chapa

Desciende el planchador y punzón de embutido. El planchador sostiene la chapa antes

del contacto entre chapa y punzón, ejerciendo presión sobre el contorno exterior, que

llamaremos reborde.

III.

Figura 2.3 Segunda fase del conformado de una copa cilíndrica, contacto planchador con Chapa

El punzón de diámetro dp hace contacto con la chapa y al ejercer la fuerza la embute a

través del agujero en la matriz, con lo que la chapa fluye plásticamente, sobre la matriz

aprovechando el radio r en la matriz. El diámetro D, disminuye al diámetro D', como

30 CAPÍTULO 2

se muestra en la figura 2.4. El reborde va disminuyendo de diámetro a medida que el

punzón continúa introduciéndose, desapareciendo finalmente cuando se ha embutido

toda la pieza, o bien si se desea que quede algún reborde, se limita la profundidad de

embutición.

Figura 2.4 Tercer fase del conformado de una copa cilíndrica, inserción del punzón

IV. Una vez obtenido la forma hueca deseada, se sube el punzón y planchador.

Figura 2.5 Cuarta fase del conformado de una copa cilíndrica, retiro del punzón

El cuerpo obtenido, de altura h, está formado por el fondo y una camisa cilíndrica designada como

pared lateral.

Figura 2.6 Representación de un Copa Cilíndrica, obtenida por embutido

31 CAPÍTULO 2

Se conoce como razón de embutido, a la relación entre el diámetro del desarrollo, respecto al

diámetro del punzón: β= D ( 2.2) dp

Debe determinarse con cierta precisión el diámetro D adecuado del desarrollo de la copa, para

proporcionar el material necesario. Otros factores que influyen en el resultado del proceso de

embutido, son las propiedades mecánicas del material como resistencia, ductilidad, elasticidad,

calidad en el espesor de la chapa, etc. Cualquier exceso o deficiencia en las propiedades anteriores

no ayudan a un proceso favorable de embutido. Además para que el material fluya fácilmente y no se

fracture, se deben hacer radios en el punzón y matriz.

Punzón

Matriz

Fig. 2.7 Radios necesarios entre punzón y matriz para el embutido

En caso que se requiere un radio sumamente pequeño en la copa, este deberá hacerse en una

operación posterior al de embutido. Si la profundidad del recipiente es grande tal vez no pueda

realizarse en una sola operación, esta deberá efectuarse en varios pasos. El objetivo del análisis del proceso de embutido, es proporcionar los conocimientos necesarios para

ayudar en las siguientes fases de la producción de un parte embutida[2.2]:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Diseñar productos de formas realizables por embutido

Planear la secuencia de operaciones

Diseñar el troquel de embutido

Seleccionar la prensa para embutir la pieza

Probar la herramienta

Diagnosticar y resolver los problemas de producción En este trabajo sólo se estudia la factibilidad de fabricar una pieza por embutido.

32 CAPÍTULO 2

2.2 CARACTERÍSTICAS Y DISEÑO DE PIEZAS

EMBUTIDAS

2.2.1 GEOMETRÍAS MÁS COMUNES De acuerdo con el Die Design Handbook de la Society of Manufacturing Engineers[2.3], las partes

que se pueden obtener mediante embutido, se pueden clasificar en los siguientes tipos:

Tabla 2.2.1 Geometrías Comunes Realizables Mediante El Proceso De Embutido

DESCRIPCIÓN DE LA GEOMETRÍA

Tipo A Copa Cilíndrica. Se caracteriza por tener paredes

verticales, con o sin orificios en la base. La relación entre

diámetro y altura de la copa, debe ser menor a 0.5 para aleaciones

de embutido profundo como acero 1010, aluminios 2024-O,

5052-O; y de 0.3 para aleaciones 6061-T4 y T6. La razón entre la

altura y espesor debe estar en el rango de 5 a 10 espesores de

chapa, con el óptimo de 8.

Tipo B Copas Ovaladas. En general prevalecen las

características de caso anterior

FIGURA

Tipo C Copas Rectangulares. Incluyen partes con paredes

verticales y esquinas con pequeños radios; todas las curvaturas

son convexas; bases regulares o irregulares, o con alguna

inclinación.

33 CAPÍTULO 2

Tipo D Partes con Paredes Inclinadas. Curvatura convexa, lados

rectos o curvos, bases planas o irregulares. La relación desarrollo

- punzón óptima es de 3 para materiales suaves

Tipo E Partes Abiertas. Caracterizada por la ausencia de paredes

continuas en uno o varios lados de la parte, curvatura convexa.

Para embutido simple, la altura deber ser 10 a 12 veces el espesor

y deben diseñarse con fondos rectos

Tipo F Contornos Entrantes. Las paredes pueden ser parciales o

continuas. El radio del área entrante no debe ser menor a la

profundidad de parte, para evitar excesivo desgaste de la

herramienta. La relación de embutido no debe ser menor de 3.

Tipo G Fondo en Forma de Montura. Generalmente deben

evitarse estas formas por su tendencia a formar arrugas, las cuales

se reducen al moderar los contornos. Se deben utilizar chapas

cuyo material sea para embutido profundo, sumamente dúctiles.

Tipo H Partes con Paredes Cortadas. Caracterizada por tener

huecos o ranuras en el fondo, se deben cumplir las condiciones de

los tipos A y B

34 CAPÍTULO 2

2 .2 .2 D E F E C T OS E N PIEZAS EMBUT IDAS Los defectos más comunes que se presentan al embutir piezas, se muestran en la siguiente tabla.

Algunos de estos defectos son causados por la herramienta o troquel (casos 5, 9, 10, 13); por el

régimen de rozamiento (caso 4); o por las propiedades mecánicas y metalúrgicas del material

(casos 1, 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12)[2.4].

T a b l a 2 . 2 . 2 D e f e c t o s Má s Co munes Durant e U n P r o c e s a d o I n c o r r e c t o D e E m b ut i d o

TIPO DE FALLA

Reborde con arrugas

Pared con arrugas

Arrugas en superficies curvas

Delineación de anillos Delineación de líneas Superficies escamadas

FIGURA REPRESENTATIVA

1

2

3

4 5

6

35 CAPÍTULO 2

Fracturas

7

Fondos Fracturados

8

Esquinas con fracturas

9

12 10 Figuras con pliegues

11

Esquinas con pliegues

13

36 CAPÍTULO 2

2.3 ANÁLISIS MECÁNICO DEL PROCESO EMBUTIDO

2.3.1 T IPOS DE ESFUERZOS Y ACCIONES DESARROLLADAS

DURANTE EL EMBUT IDO Dos acciones principales, normalmente tienen lugar en el proceso de embutido de chapas

metálicas: 1) Estiramiento biaxial, en el que ambos esfuerzos principales son tensiones, y 2)

propiamente el embutido sobre el reborde, cuando tienda hacia la cavidad (matriz) en el que un

esfuerzo principal es de tensión y el otro de compresión

Figura 2.8 Estado de esfuerzo que se presenta en una chapa durante embutirse

Para el análisis de esfuerzos y deformaciones en el embutido, la chapa se divide en tres zonas A, B

y C, como se muestra[2.5]:

Figura 2.9 Zonas en que se divide una chapa circular, para analizar los efectos durante el embutido

37 CAPÍTULO 2

La zona anular exterior A consiste del material en contacto con la matriz y planchador. La zona

anular interior B, inicialmente no está en contacto ni con el punzón, ni con la matriz, y la zona

circular C en contacto con la parte inferior del punzón.

Durante el embutido, se presentan los siguientes procesos:

1. Embutido radial puro entre matriz y planchador

2. Doblado y deslizamiento sobre el perfil de la matriz

3. Estiramiento entre matriz y punzón

4. Doblado y deslizamiento sobre el radio del punzón

5. Estirado y deslizamiento sobre el cuerpo del punzón

En cada zona, en las que se divido la chapa, se presentan tres de los procesos anteriores:

En la zona A se presentan los procesos 1, 2 y 3 En la

zona B se presentan los procesos 2, 3 y 4 En la zona

C se presentan los procesos 3, 4 y 5

La parte anular externa A está sometida a esfuerzo radial de tensión y a un esfuerzo anular

inducido de compresión, cuando la magnitud del esfuerzo excede cierto valor crítico, dependiendo

de las dimensiones de la chapa, ocurre un colapso lateral que forma arrugas en la chapa.

Consecuentemente, si la chapa no está correctamente soportada con un planchador se presenta

inestabilidad (esfuerzos de compresión), la cual comienza entre los rangos siguientes[2.5]:

0.46⎛

tO ⎜

⎟⎞ ≤ σθ ≤ 0.58⎛

tO

⎞

⎜

DO

⎝

⎟ EO

⎠

⎜ ⎟⎟

(2.3)

⎜

DO

⎝

⎠

Donde σθ, es el esfuerzo tangencial inducido, to es el espesor inicial de la chapa, DO el diámetro del

desarrollo, y Eo es el módulo plástico de pandeo dado por

4EP

EO = ( E+ P )2

(2.4)

Donde E es el módulo de elasticidad y P es la pendiente ajustada de la curva esfuerzo real -

deformación unitaria real, de la curva del material. Hay dos regiones importantes a considerar en el análisis del embutido. El arillo exterior o reborde,

donde la mayor parte de la deformación ocurre, y la pared que debe soportar las fuerzas necesarias

para causar la deformación en el reborde. Si el diámetro de la chapa es demasiado grande, la

38

CAPÍTULO 2

fuerza que deberá trasmitir la pared, será también muy grande, con lo cual fallará por fractura o

cedencia. También puede presentarse arrugas en el reborde.

La "Formabilidad" puede ser expresada por la Relación Límite de Embutido (RLE), que es la

razón entre el diámetro mayor de la chapa que puede ser embutida sin falla, por el diámetro del

punzón D0/dp

RLE = D0 (2.2) dp

Figura 2.10 Relación límite de embutido

2.3.2 DETERMINACIÓN TEÓRIC A D E L O S E S F U E R Z O S E N E L

EMBUTIDO

Para el análisis plástico del proceso de embutido, son necesarias las siguientes suposiciones

simplificadoras[2.6]:

1. Los trabajos mecánicos externo e interno, debidos al rozamiento, por la acción de los

dobleces, serán despreciados durante el tratamiento inicial; se cuantificarán al final

mediante un factor de eficiencia η, es decir, inicialmente η = 1.

2. El exponente de endurecimiento por deformación n, tiene un efecto mínimo en la relación

de embutido, para un material idealmente plástico se considera n = 0.

3. El espesor de la chapa permanece constante, durante el proceso de embutido.

4. El material tiene "isotropía planar", esto es anisotropía normal y cualquier variación anular

de R puede ser tratada por la relación de deformación anisótropa plástica media:

rm = r0 + 2r45 + r90 4 (2.5)

5. Se aplica la teoría anisótropa de Hill*.

*Apéndice A2

39

CAPÍTULO 2

Primero se considera la deformación que ocurre en el reborde o aro exterior, se parte de la siguiente

figura:

z ro

dρ

ρ

r

1

z

x x

y

y h

t

Figura 2.11 Esquema del embutido parcial circular, mostrando el sistema d e r e f e r e n c i a y l a n o t a c i ó n d i m e n s i o n a l [2.7]

si el espesor permanece constante (εz = 0), el área inicial también permanecerá constante, esto es

πρ 20= πρ 2 + 2πr1h = constante

Derivando respecto a dρ y dh respectivamente, se obtiene

(2.6)

2πρdρ + 2πr1dh = 0

⇔

dρ = − r1dh

ρ

(2.7)

Por otro lado, la circunferencia de la chapa es proporcional a ρ, dεy = dρ/ρ, además dεz=0 ,

sustituyendo, queda

dε x = −dε y = − dρ = r1dh

ρ ρ2 (2.8)

Donde r1 es el radio del punzón y dh es el incremento de la distancia que se mueve la chapa sobre el

punzón. Asimismo, el incremento de trabajo mecánico realizado sobre el elemento, es igual a su

volumen 2πtρdρ , multiplicado por el incremento de trabajo mecánico por volumen, que es

σ xdε x + σ ydε y + σ zdε z. Dado que dεz=0 y dε x = −dε y el trabajo por unidad de volumen

queda (σ x − σ y )dε x . El trabajo en el elemento es:

2πtρdρ(σ x − σ y )r1dh

dW = ρ 2 (2.9)

CAPÍTULO 2

40

Aunque el valor relativo de σx y σy varían con la posición del elemento, el término (σx - σy)

permanece constante y es designado por σf (resistencia al flujo del reborde bajo la condición dεz=0), entonces

esa resistencia queda σf = 2 σx .

El trabajo total W, para un material idealmente plástico, en todos los elementos del reborde

considerando η=1, es:

dW = rs 2πr1tσ f dρ = 2πr tσ ln⎛ r0 ⎞ = F

dh ∫r1

⎜⎟

ρ 1 f ⎝⎠

⎜

r1 ⎟

e (2.10)

donde Fe es la fuerza necesaria para embutir, la cual debe ser igual a dW/dh, cuyo valor debe ser el

máximo al inicio del proceso, esto es cuando r = r0, por tanto

Fe(máx) = dW = 2πr1σ f ln⎛ r0 ⎞ = 2πr1σ f ln⎛ d0 ⎞

⎜

r1 ⎟

⎜⎟

⎜⎟

dhmáx ⎝⎠ ⎜

d1 ⎟

⎝⎠

(2.11)

en términos del esfuerzo

σ e(máx) = σ f ln⎛ d0 ⎞

⎜⎟ (2.12)

⎝⎠ ⎜

d1 ⎟

Donde d0 es el diámetro inicial de la chapa y d1 es el diámetro del punzón. El diámetro de la chapa decrece continuamente durante el embutido desde d0 hasta el valor del diámetro del punzón d1. En

cualquier estado intermedio, el esfuerzo de embutido para una eficiencia de deformación η, da

σ e = 1 σ

f ln⎛ di ⎞

⎜

d1 ⎟

⎜⎟

(2.13)

o F

e

=

1

π

d

i

t

σ

f

l

n

⎛

d

i

⎞

η ⎝⎠ η

⎜

d1 ⎟

⎜⎟ ⎝⎠

(2.14)

la gráfica de las dos ecuaciones anteriores se indica a continuación:

Profundidad de embutido Figura 2.12 Gráfica teórica de la variación de esfuerzos o fuerzas durante la formación

de la copa por Embutido, ecuaciones 2.12, 2.13

41 CAPÍTULO 2

Sin embargo, la curva anterior no es la que se observa en la práctica durante el conformado del

recipiente. La gráfica siguiente es la que se obtiene en un ensayo de embutido de laboratorio:

Figura 2.13 Gráfica real de la variación de la fuerza durante el embutido[2.8] .

Ahora se considerará la situación en la pared del cilindro. Para evitar la falla, el área de sección

transversal de la pared debe soportar la fuerza máxima de embutido Fe(máx) . De ahí, el límite de

embutido deberá alcanzare cuando el esfuerzo axial σx, alcance la resistencia a la cedencia de la

pared σp , o cuando:

σ x = σ

p = e(máx) = σ

f ln⎛ dO ⎞

F ⎜⎟ (2.15)

2πr1t ⎝⎠ ⎜

d1 ⎟ 2 .3 .3 R E L A C IÓN D E EMBUT IDO L ÍMITE Puesto que la circunferencia de la pared está restringida por la contracción en el punzón, prevalece

una deformación unitaria plana, donde ε y = 0 , y así la relación de embutido límite

(LDR=Do(máx)/d1), está gobernada por la razón de las dos resistencias en el plano, que son σ w para

la pared y σ f para el reborde, como sigue

β= σ w (ε

σ f (ε

y =0 ) z =0 )

= ln(LDR)

(2.16)

donde β = relación de las resistencias al flujo para estado de deformación unitaria plana en la pared del cilindro.

42

CAPÍTULO 2

Para el caso de material isótropo idealmente plástico, se asume que σ f = σ w , además β = 1, con lo

que LDR = e = 2.72. En la práctica LDR, está entre 2.1 y 2.2, ya que no se consideró el

rozamiento. Para corregir esta pérdida de trabajo mecánico, se introduce el factor de eficiencia de

deformación η, antes mencionado, la fuerza axial real de embutido y el esfuerzo para un material

idealmente plástico queda como sigue:

Fe(máx)(a) =

2πr1σ f η

ln dO

(2.17)

σ x(a

) =

σ f dO ln

d1

La relación correspondiente al LDR estará dada por:

ln(LDR) = ηβ

η d1 (2.18)

(2.19)

La eficiencia η, varia con la lubricación, con el espesor de la chapa y el acabado de los radios de punzón y

matriz. Un valor típico que puede estimarse para material isótropo, con β = 1, es entre 0.74 y 0.79.

Para un material idealmente plástico, la teoría de Hill predice que

β = R +1 (2.20) 2

por lo que ln(LDR) = η R + 1 ≅ η R + 1 (2.21) 2 2

donde R = relación de deformación plástica radialmente simétricas

R = relación media de deformaciones plásticas unitarias

La relación entre R y β es de uso crítico en la teoría anisótropa, ya que R, que es una medida obtenida del

ensayo uniaxial en tensión, está relacionada con la pendiente, de la trayectoria de la gráfica de carga.

⎛ ∂σ y ⎞

La siguiente relación ⎜

⎝⎜ ∂

σ x

⎟ ⎟ ⎠

(σ y =0) = R +1 R

(2.22)

Puede derivarse de la idea de volumen constante y no depender de algún criterio de cedencia. β, de

otra manera, es la relación de esfuerzos de flujo, bajo dos diferentes trayectorias de carga como se

muestra en la siguiente figura:

43 CAPÍTULO 2

x1

x2

σσσσy

Pared

σσσσw

σσσσx

εεεεY =0

Z

Y X

Reborde

½ σσσσƒ

R=1 εεεεZ =0 Reborde

R>1 Pared

Z Y

X

Figura2.14 Gráfica de la variación del lugar geométrico de los puntos de cedencia, indicando la trayectoria en el embutido. La figura del sólido para un material isótropo (R=1) y la

curva punteada es para un material anisótropo, con isotropía planar (R<1) [2.9]

Pequeñas desviaciones del lugar geométrico de cedencia, de forma elíptica, asumidas en la teoría de

Hill, pueden causar un error substancial en la ecuación anterior, además la relación LDR es muy

sensible a β. De ahí, aunque la teoría de Hill puede describir razonablemente el lugar geométrico

de cedencia, para muchos propósitos, esta teoría puede conducir a serios errores en el análisis de

embutido[2.10].

Experimentalmente se ha obtenido la siguiente relación para valores de β, en materiales metálicos

simétricos de estructura cristalina FCC, a partir de la teoría de Hill.

⎛ 2R ⎞0,27 β =⎜ ⎟ ⎝ R + 1⎠ (2.22)

Los efectos del endurecimiento por deformación, puede incorporarse en el análisis previo, por

medio de alguna ecuación constitutiva tal como la de Ludwik - Hollomon, esto es, σ=Ken .

44 CAPÍTULO 2

[2.10]

2.4 CÁLCULO DEL DESARROLLO DE LA CHAPA

Uno de los problemas más importantes en la embutición es el de determinar las dimensiones y

forma de la chapa desarrollo), para obtener el objeto deseado, con el mínimo empleo de material.

Los desarrollos determinados teóricamente y que más exactamente pueden obtenerse corresponden

normalmente a figuras de cuerpos geométricos regulares rectos, o con secciones circulares. Sin

embargo, aún así, la exactitud obtenida no es rigurosa, debido al estiramiento que en la práctica

sufren las paredes de los recipientes. Esto afecta las dimensiones de los desarrollos o plantillas, que

previamente deben ser cortadas antes de la operación de embutido. El conocimiento preciso del

alargamiento del material puede utilizarse como un factor de corrección, considerado en tanto por

ciento de los desarrollos determinados teóricamente.

Un método elemental para efectuar el cálculo de un desarrollo es considerar éste como una

superficie equivalente de la pieza desarrollada, y no como un valor lineal de la misma. Para aclarar

mejor este concepto vamos a poner un ejemplo. Supongamos que se trata de determinar la

plantilla para la fabricación de un recipiente cilíndrico tal como se muestra en la siguiente figura.

d h d

Figura 2.15 Desarrollo de una copa cilíndrica

Si como a primera vista parece, se agrega al diámetro d dos veces la altura h, y se supusiera que la

cantidad obtenida es el diámetro de la chapa, incurriríamos en un error, ya que la cifra hallada sería

notablemente superior a la real.

45 CAPÍTULO 2

h

Considérese d = 30 mm, y h = 40 mm, de acuerdo al procedimiento erróneo citado en el párrafo

anterior, se obtendría D = 30 + (2X40) = 110 mm. Sin embargo, la superficie del desarrollo se

obtiene como sigue: considérese s la superficie del fondo, s' a la superficie lateral del cilindro, r al

radio del fondo, h la altura del cilindro y S la superficie total, entonces S = s + s' = π r2 + 2π r h (2.24)

Sustituyendo, se obtiene

S = π152 + (2π15 ⋅ 40) = 4476.8 mm2

La superficie de la chapa (desarrollo) está dada por

S = π R2 ⇔ R = S

π

(2.25)

sust. R =

4476.8 = 37.75 mm

π Por lo que D = 75.5 mm < 110 mm

La diferencia se puede comprender analizando la siguiente figura, en la que se observa los

desarrollos de la pared del cilindro y las partes que no se requerirían al desarrollar el cilindro. Al igualar las superficies del cilindro y desarrollo, en función de sus diámetros obtenemos:

πD2 = π ⎛ d 2 + dh⎞ ⎜ 2 ⎝

⎜4

⎟⎟ ⎠

D = d 2 + 4dh (2.26)

sustituyendo los datos del ejemplo anterior, se obtiene:

D = 302 + (4 ⋅ 30 ⋅ 40) = 75.5 m

46

CAPÍTULO 2

2.5 SUMARIO

El embutido es un proceso de conformación plástica, utilizado para obtener recipientes a partir de

láminas (chapas). Se realiza mediante la presión que un punzón ejerce sobre la chapa

introduciéndola en el orificio de una matriz, utilizando también un prensa- chapas que dosifica el

material que entra a la matriz y asegura no se arrugue el reborde de la chapa. Para un recipiente

cilíndrico la relación entre su diámetro y su altura, ayuda a determinar el número de operaciones

necesarias para obtener la parte embutida de acuerdo con la relación de embutido .

El análisis mecánico del modelo de embutición, muestra que es un proceso complejo, el cual se

divide en zonas, de acuerdo con el tipo de combinación de esfuerzos presentes durante la

deformación plástica. Las ecuaciones del comportamiento son aproximadas, ya que al modelar no

se puede considerar los radios que punzón y matriz requieren para permitir que la chapa fluya.

Dado el tipo de deformación plástica llevada a cabo en el embutido, un problema práctico es el

cálculo del desarrollo de chapa, para piezas simétricas se obtienen fórmulas bastante aproximadas;

sin embargo, para piezas no simétricas no se cuenta con fórmulas ni tablas que indiquen el

desarrollo de la chapa, por lo que hay que realizas pruebas y obtener la silueta necesaria para

posteriormente llevar a cabo el embutido y obtener la pieza deseada.

47 CAPÍTULO 2

2.6 REFERENCIAS: [2.1] Oeheler - Kaiser Herramientas de Troquelar Estampar y Embutir, Editorial Gustavo Gili,

Barcelona 1977, pp 305 - 306

[2.2] Weinmann, "Effect of Tools and Workpiece Geometries Upon Bending of Steel Plate" 6th

NAMRC, 1978, SME, Deaborn Michigan, pp 220-225

[2.3] Smith A., Die Design Handbook, SME 3ER Ed. 1990 Pp 2.37, 2.53

[2.4] Banabic, Bunge, Pöhlondt, Tekkaya, Formability of Metallic Materils, Springer 2000,

pp 173, 174

[2.5] Johnson, Mellor, Engineering Plasticity, Van Nostrand - Reinhol, 1973 Co. N: Y: pp 318

[2.6] Hosford, Caddell, Metal Forming Mechanics and Metallurgy 2a Ed. Prentice Hall, N: J: pp

288,289

[2.7] Hosford, W. "The Effect of Anisotropy and Work Hardening of Cup Drawing, RedraWing

and Ironing" Formability Analysis, Modeling, and Experimentation, S. S. Hecker, A. K

Grhosh and Gegel. (eds) Proc. Symp. October 1977 N: Y: pp. 78-95

[2.8] Mielnik E. M. Metalworking Science and Engineering McGraw Hill 1991, 786 pp.

[2.9] Backofen Deformation Processing, Addison- Wesley Mass, 1972, pp 199 - 207

[2.10] López Navarro, Troquelado y Estampación, Gustavo Gili, 1981, pp 128

48 CAPÍTULO 2

CAPÍTULO 3

Formabilidad de Chapas

Metálicas y Desarrollo

De La Metodología

En este capítulo se presenta el concepto de Formabilidad medido a través de los Diagramas Límite de Conformado (DLC), además se presenta un bosquejo del Método del Elemento Finito aplicado a la deformación plástica de chapas metálicas

CAPÍTULO 3 49

3.1 ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA FORMABILIDAD

DE CHAPAS METÁLICAS

3.1.1 GENERALIDADES Para este estudio, se define "Formabilidad" de una chapa, como su capacidad para deformarse por

un proceso específico de conformado, desde su forma original plana hasta la pieza final, sin que se

presente falla en el metal, ya sea por fractura o estricción; es decir, la facilidad de un material para

sufrir deformación plástica sin defectos. También se define como el grado de deformación que

puede ser alcanzado en un proceso de conformado metálico sin desarrollar condiciones

indeseables, tales como grietas, acabados superficiales ásperos, arrugas, etc.

La Formabilidad es una situación compleja, ya que intervienen diversos factores, que interactúan

simultáneamente en el proceso de conformado de una pieza, estos son: el material de la chapa, el

proceso en sí, y la forma y acabado final deseado; que a su vez dependen de diversos parámetros,

tal como se indica en la tabla 3.1.

En cuanto al material, sus características influyen profundamente en la capacidad de conformado;

las propiedades mecánicas como dureza, razón anisótropa r, módulo de elasticidad, exponente de

endurecimiento n, ductilidad, tenacidad; en cuanto a las propiedades metalográficas se encuentran

el tamaño, forma y orientación de los granos. El proceso influye en el estado de esfuerzo y

deformación desarrollados en la chapa, las trayectorias de deformación seguidas durante el

conformado, así como la utilización de agentes externos como lubricantes para favorecer el flujo

del material, la temperatura. La configuración fina influye en el número de fases convenientes para

obtener una pieza de calidad y esto a su vez en el proceso y severidad de cambio en cada fase.

Para el caso de embutido, en principio, Formabilidad de una chapa se expresa por la relación

β = D d , (ecuación 2.1). Una manera más precisa de describir la Formabilidad es a través del Diagrama Límite de Conformado, que se describe en detalle en el siguiente tema.

CAPÍTULO 3 50

Propiedades Mecánicas

MATERIAL

Propiedades Metalúrgicas

Propiedades Químicas

PROCESO

Estado de Esfuerzo

Estado de Deformación

Temperatura

FORMABILIDAD

Configuración Lubricación

Desgarramiento

Localización de la Deformación

FORMA Y ACABADO

Arrugamiento

Acabado superficial

Recuperación Elástica

Figura 3.1 Parámetros que Influyen en la Formalidad de Chapas[1] .

CAPÍTULO 3 51

3 .1 .2 D IA GR A MA S L Í M IT E DE CONF ORMADO (D LC)

En 1946 Gensamer[2] reportó que cuando una chapa es sometida a estado de esfuerzo biaxial, el

valor de la deformación máxima inestable*, varia de acuerdo con la razón de cambio de la

deformación unitaria. En el siglo pasado, en los 60's, Keeler[3] recolectó información de la relación

entre las deformaciones unitarias hasta la fractura de la chapa, de varios experimentos en

estiramiento biaxial y de muchos estampados industriales, notó que el valor de la deformación

principal unitaria, es una función del menor valor de la deformación unitaria. Graficó los valores de

las deformaciones mayores contra las menores y obtuvo el diagrama denominado "Diagrama

Límite de Conformado" (DLC); concluyó que las curvas en los DLC representan, de manera

confiable, los límites entre las deformaciones unitarias combinadas que producen inestabilidad y/o

fractura. Al referirse a las curvas como tales, se llamarán Curva Límites de Conformado; al usar la

fractura como criterio de falla, el diagrama se llama diagrama límite de falla.

DIAGRAMA LÍMITE DE CONFORMADO

Figura 3.2Método Convencional para la obtención del diagrama límite de conformado a) malla circular antes de la deformación, b) malla ovalada en la vecindad de la fractura después

de la deformación, c) especimenes utilizados, d) diagrama resultante (cortesía de los

Laboratorios de Investigación de la General Motors).

*Ver apéndice 3

CAPÍTULO 3 52

El trabajo de Keeler[3] estuvo limitado al caso en que amabas deformaciones unitarias principales

superficiales eran positivas. En 1968 Goodwin[4] extiende los trabajos de Keeler a situaciones donde

la mayor deformación unitaria principal en la superficie es positiva y la menor negativa, con lo que

obtuvo los diagramas límites de conformado Keeler - Goodwin, que se muestra a continuación.

Tensión Tensión

Compresión Tensión

Figura 3.3 Diagrama de Límites de Conformado Keeler-Goodwin que Describe la Formabilidad de una Chapa Metálica

El Diagrama Límite de Conformado para una chapa, es una representación gráfica, de los límites

de las deformaciones unitarias principales, donde puede surgir la falla en un proceso de

conformado. Los criterios de falla o ejecución son: Estricción localizada, Fractura y Arrugamiento.

[5] 3.1.2.1 TRAZADO DEL DIAGRA MA L Í MI T E D E C O N F O R MAD O Los diagramas parten de mediciones de la deformación sufrida por la chapa después del proceso de

conformado. Se dibuja en la chapa un enrejado o malla circular con diámetros normalizados,

similares a los siguientes patrones:

CAPÍTULO 3 53

Figura3.4 Patrones de Mallado

Se miden las deformaciones sufridas en la chapa, midiendo las deformaciones mayor y menor, que

se encontrarán en direcciones perpendiculares:

DIRECCIÓN DE DEFORMACIÓN

MAYOR

DIRECCIÓN DE DEFORMACIÓN

MENOR

Figura 3.5 Ejemplo Deformación Sufrida por un Círculo Patrón.

Las variaciones de deformación se presentan en %, obtenidas de acuerdo con la siguiente relación:

l f − l0 % alargamiento = ⋅100 (3.1)

l0

El número de combinaciones entre mayor y menor alargamientos que puede sufrir una chapa al

embutirse es infinito. Algunos ejemplos de posibles combinaciones son los siguientes:

CAPÍTULO 3 54

Figura 3.6 Posibles Combinaciones de Deformaciones en Círculos Patrón

Los valores de estas combinaciones sé grafican en un sistema ortogonal, donde el eje horizontal

representa el % de deformación unitaria menor, y el eje vertical el % de deformación unitaria

mayor, como se indica a continuación:

Figura 3.7 Localización de Puntos en los Ejes de Deformación Unitaria Mayor o Menor de los Círculos Deformados

Los conceptos anteriores se aprovechan para determinar las condiciones de inicio de la falla, para

un material dado. Se miden los alargamientos mayores y menor sufridos por la circunferencia justo

al inicio (límite) de la falla. Los valores obtenidos en el límite se grafican, se unen puntos

significativos con una línea continua, de un lado están los valores seguros y del otro los de falla:

CAPÍTULO 3 55

Deformación mayor

Figura 3.8 Trazado del Diagrama Límite de Conformado a Partir de las Deformaciones del Círculo Patrón

Ejemplo de DLC con varias trayectorias de deformación unitaria, en donde se indican los límites de

fractura y estados de deformación unitaria, límite de aparición de arrugas, es el siguiente:

CORTE SIMPLE

TENSIÓN SIMPLE

140 100

80

DEFORMACIÓN

PLANA

TENSIÓN BIAXIAL

ARRUGAS EN LA COPA

ε1=ε2

ε1=2ε2 ε1>ε2

60

ALGUNAS TRAYECTORIAS

DE DEFOMRACIÓN LÍMTE DE

FALLA POR 20 ESTRICCIÓN

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 DEFORMACIÓN UNITARIA MENOR ε2 en %

Figura 3.9 Diagrama Límite de Conformado, Construido para Varios tipos

de Pruebas de Laboratorio

CAPÍTULO 3

56

DE

FO

RM

AC

IÓN

UN

ITA

RIA

MA

YO

R ε1 en %

3.1.2.2 FACTORE S QUE INFLUYE N EN EL DLC

Tomando en cuenta que los valores de las deformaciones unitarias principales ε1 y ε2 se determinan en la

fractura, de acuerdo con la malla circular deformada, y considerando la propiedades del

material de la chapa y el proceso de conformado, Banabic[1] resume los factores que influyen el

DLC, según el siguiente diagrama:

Trayectoria de deformación

Espesor de la Chapa

Propiedades Mecánicas r, n

Razón de Deformación

Factores Principales que influyen en el diagrama límite de

conformado.

Tamaño de malla

Temperatura

Presión Hidrostática

Microestructura del Material

Curvatura de Penetrador

Vibraciones

Figura 3.10 Diagrama de Factores que Influyen el Trazo del DLC.

CAPÍTULO 3 57

La manera más realista y eficiente de estimar las posibilidades tecnológicas de manufacturar una

parte embutida y evitar errores de diseños es aplicar los Diagramas Límites de Conformado, lo que

permite establecer:

• El rango seguro de un embutido profundo,

• Las zonas críticas donde la estricción o fractura son más factibles de ocurrir,

• El nivel de deformación unitaria,

• Las condiciones favorables en lubricación, fuerza del prensachapas, •

Apoyan en el control de la producción, y diseño del troquel.

En la práctica este método es aplicado siguientes a secuencia que se describe en los siguientes

párrafos. Una vez definida la forma, dimensiones y calidad de material de una parte, será prescrita por el

diseñador la tecnología de conformado y las herramientas a diseñar. Para estos propósitos las

máximas deformaciones unitarias en la parte de conocerse, así como el diagrama límite del

material. Comparando los puntos correspondientes a las deformaciones unitarias principales en la parte, con

el DLC puede estimarse donde sucederá fractura o estricción durante el conformado. Si no se

esperan defectos se prosigue con los diseños.

Si los puntos superan los límites de las curvas, deberán hacerse modificaciones de:

• Las condiciones de trabajo (desarrollo, lubricación, número de fases)

• El diseño de parte (filetes, ángulos, radios)

• Material (calidad, espesor, dureza)

CAPÍTULO 3 58

3.1.2.3 ÍNDICE S DE FORMABILIDAD [1] Los índices de Formabilidad dependen del tipo de simulación de prueba, así como de criterio de

deformación unitaria limitante. Desde luego esto límites también dependen de los parámetros

mecánicos del material Fkl = F (n, m, r,εu , f ) , donde n es el coeficiente de endurecimiento por deformación, m es la razón de sensibilidad a la deformación unitaria, r el coeficiente anisótropo, y f

un coeficiente de no homogeneidad.

El incremento del índice de Formabilidad puede expresarse como:

dF = ∂F dn + ∂F dm + ∂F dr + ∂F dεu + ∂F df (3.2)

∂n ∂m ∂r ∂εu ∂f

Cada derivad de esta ecuación puede determinarse teórica o experimentalmente para cada procesos

de conformado de chapas. La siguiente figura muestra los factores que influyen en el índice de

Formabilidad, donde µp y µm son los coeficiente de rozamiento en chapa y punzón y chapa y

matriz respectivamente.

CAPÍTULO 3 59

3.2 MÉTODOS PARA ANALIZAR LOS PROCESOS DE

CONFORMADO DE METALES

La teoría de la plasticidad, que sirve de fundamento para el análisis del proceso de conformado

metálico, corresponde a un fenómeno macroscópico, basado en descripciones matemáticas del

comportamiento "a gran escala" de un material continuo, durante la deformación plástica. Existen

varios métodos para esos análisis, los cuales se presentan en la siguiente figura:

TEORÍA DE LA PLASTICIDAD

TEORÍA ELEMENTAL DE PLASTICIDAD TEORÍA TÉCNICA DE LA PLASTICIDAD (METODO DE TABLETAS)

SIMÉTRICA

DEBIDO A SIMPLIFICACIONES DEBIDO A LA TEORÍA SOLUCIONES APROXIMADAS

SOLUCIONES CONTINUAS

Figura 3.11 Esquema de los diversos métodos para la solución de problemas de Conformado de metales [6]

CAPÍTULO 3 60

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

LIN

EA

L

TE

OR

ÍA

SU

PE

RIO

IR E

M

ÉT

OD

O D

E L

OS

RE

SIU

DA

LE

MÉ

TO

DO

DE

LA

S

FIN

ITO

M

ÉT

OD

O D

EL

EL

EM

EN

TO

SO

LU

CIÓ

N

VIS

CO

PL

AS

TIC

IDA

MÉ

TO

DO

DE

MO

DE

LO

DE

MO

DE

LO

DE

MO

DE

LO D

E

Para describir un proceso de conformado de metales se utilizan ecuaciones diferenciales, cuya

solución no siempre es fácil o conocida; se evitan dificultades matemáticas haciendo suposiciones

simplificadoras, en cuanto al modo de deformación y el estado de esfuerzo que ocurre en el

proceso de conformación. En la teoría elemental de plasticidad se considera que la deformación es

homogénea; esto es, las secciones permanecen planas durante el ciclo de deformación. Los

procesos de conformado son por naturaleza problemas no homogéneos, en que el eje principal de

deformación y esfuerzo tienen diferentes direcciones, para diferentes puntos de la pieza de trabajo.

Consecuentemente, la ecuación fundamental se formula de modo independiente a la orientación del

sistema de coordenadas.

3.2.1 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO 3.2.1.1 ANÁLISIS VARIACIONAL El Método del Elemento Finito (MEF), está fundamentado en los principios del método de análisis

al límite*. Para este efecto, se divide la pieza de trabajo en subregiones llamadas elementos, cómo

se muestra en la siguiente figura:

Y

(g ) = ⎪ g ⎧

⎪⎫

⎨g x ⎬

⎩⎪

y ⎪⎭

i

j m

X

[7] Figura 3.12 Región de esfuerzos en el plano, dividida en elementos finitos

*Ver apéndice A4

CAPÍTULO 3 61

Dichos elementos se suponen interconectados en un número discreto de nodos localizados en sus

fronteras. A cada elemento se le asigna un grupo de funciones de prueba (o campos de velocidades

admisibles) mediante parámetros constantes que son identificados con el punto nodal de velocidad.

La función de prueba de cada región está combinada para un campo de velocidad admisible, que

satisface los requerimientos, excepto el de volumen constante[8].

Primero para aplicar el método variacional, se considera la funcional expresada por:

Π = ∫x1 x2

F⎜

⎛ x, u, ∂u , ∂2u ,......⎞dx

⎜ ⎝ ∂x ∂x2 ⎟

⎟ ⎠

(3.3)

donde la variable dependiente u, es una función de la variable independiente x. La integral anterior

es definida en el plano o dominio [x1,x2] como se muestra en la figura 3.11.

u2

u1

F i g u r a 3 . 1 3 R e g i ó n c e r r a d ax1d e d o s d i m e n s i o n e s o d o m i nxi o [ x 1 , x 2 ] , u t i l i z a d a 2 para definir la funcional variacional dada en la ecuación [9]

Es importante tomar en cuenta que las Funcionales, son funciones de otras funciones. En

mecánica, la funcional usualmente tiene algún significado físico, tal como la energía potencial de

deformación de un cuerpo. En el método variacional, una solución tentativa es probada para un

problema dado, y la funcional es expresada en términos de la solución tentativa. Para todas las

soluciones posibles que satisfacen las condiciones de frontera, habrá una que cumpla el principio

variacional gobernante del comportamiento, que hará la funcional Π estacionaria; esto es, existe un

CAPÍTULO 3

62

estado con un máximo o mínimo. El procedimiento matemático utilizado para seleccionar la

solución correcta entre varias tentativas, es llamado cálculo de variaciones.

Cualquier solución tentativa u , en la vecindad de la solución exacta, puede representarse por la

suma de la solución exacta u y una variación δu de u: u = u + δu, lo que se muestra en la siguiente

gráfica:

Figura 3.14 Notación Variacional que define la variación de una solución provisional y una exacta[9]

La variacional de u = u(x) es definida como un cambio infinitesimal arbitrario en u, para un valor

fijo de la variable dependiente que es, δx = 0[10].

Pequeños cambios o variaciones de esta funcional, corresponden a la variación en su solución. De

ahí, el extremo (máximo o mínimo) de una funcional hace que la primer variación de la funcional

Π, se desvanezca; esto es, su trazo se moverá desde su posición, a la estacionaria. Esta condición

puede expresarse como:

δΠ = ∫x ∂Fdx = 0 x2

1

(3.4)

Un principio variacional especifica una cantidad escalar o funcional, que es definida por una

integral de la forma:

Π = ∫ F⎛u, ∂u ,....⎞dΩ + ∫ E⎛u, ∂u ,....⎞dΓ Ω ⎝⎜ ∂

x

⎟ ⎠ Γ ⎜ ∂x

⎝

⎟ ⎠ (3.5)

ÍTULO 3

63

donde, Π es una cantidad escalar o funcional estacionaria, u función desconocida, que puede estar

en forma de matriz, tal como u = ΣNiai , donde ai son los parámetros nodales y F, E son funciones

de u(x,..) y su derivada y Γ es la curva límite de la región o dominio Ω.

Se puede intentar hacer Π estacionaria con respeto a la variación de la cantidad u, el grupo

admisible de funciones satisface las siguientes condiciones generales de frontera:

B1(u) = 0 en Γ1

B2(u) = 0 en Γ2

Donde Γ1 + Γ2 = Γ Para pequeñas variaciones admisibles de u, la primera variación de Π, puede expresarse como:

δΠ = ∫ A(u)δudΩ Ω

(3.6)

El requerimiento de estado estacionario, es:

δΠ = 0

Al ser δu arbitraria.

o

A(u) = 0 en Ω

(3.7)

La solución de un problema de un continuo es una función de u, que hace a Π estacionaria, con

respecto a pequeños cambios δu. La variación es δΠ = 0 . Se debe reconocer que la ventaja del MEF es su habilidad para generalizar problemas, ya que

puede aplicarse a una amplia gama de condiciones de frontera (está libre de restricciones

geométricas).

CAPÍTULO 3 64

3 . 2 . 1 . 2 D IV E R S O S P L A N T EAMIENTOS DE L MÉTODO DEL ELE ME NT O

FINITO USADOS EN CONFO R MA D O D E ME T A L E S

Existen varios métodos de elementos finitos aplicados al conformado de metales. Dependiendo del

modelo seleccionado, los más usados son: elástico-plástico y rígido-plástico, como se muestran en la

siguiente figura.

FEM para cálculos de procesos de conformado en frío

Formulación Rígido - plástico Formulación elasto - plástica

Teorema

modificado del límite superior

(I)

Modelo viscoplástico

(II)

Pequeñas deformaciones

(III)

Grandes deformaciones

(IV)

Figura 3.15 Diagrama de los diversos métodos de elementos finitos aplicados a procesos de conformado en frío[10]

La teoría de deformación utilizada en el análisis de Elementos Finitos, es a menudo referido a la

teoría de deformación J2 (segundo invariante de esfuerzos), para material isótropo incompresible,

el criterio puede expresarse como J2 = −(σ1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ1 ).

La formulación rígida - plástica es preferida en el desarrollo del MEF, para calcular procesos de

conformado con deformaciones plásticas muy grandes. Sin embargo, en algunos problemas de

conformado de chapas metálicas involucran deformación elástica, que puede simularse mejor, por

el modelo elástico-plástico. Se recomiendan para los diferentes procesos las siguientes

aplicaciones:

CAPÍTULO 3 65

MEF FORMULACION FORMULACION RIGIDO - PLASTICA ELASTO - PLASTICA

PROCESOS

Indentación

Forja

Extrusión Embutido Rolado Estirado

Embutido

(I) X X X X X

(II) X X X

X X

X

(III) X X X

(IV) X X X X X X

X

profundo Embutido radial X X X

Conformado X X X

tridimensional

Tabla 3.1 Aplicaciones del MEF a los diversos procesos de conformado en frío[10]

A continuación se resumen la formulación de los métodos de Elementos Finitos anteriores y se

indican algunas ventajas y desventajas

1. Elástico - Plástica (E-P)

(a) Material.- Cumple la Ley de Hooke para la región elástica

dε e = 1 +ν

⎛ dσ − ν δ dσ ⎞ ij E ⎜ ij 1 +ν ij

kk ⎟ ⎝

⎠

(3.8)

Para la región Plástica, se sigue la ecuación Prandtl - Reuss (que incluye deformación unitaria

plástica) con base en el criterio de von Mises:

dεij = dε e + dεijp ij (3.9)

dεijp = dλσ 'ij con σ ′ijσ ′ij = 2 σ 2 , (3.10) 3

dσ ij = 2G⎡dεij + δ ij ν dε kk − σ ′ij σ kldε kl ⎤ ′

donde

σ ′ij = tensor de esfuerzo ν = razón de Poisson

⎢ ⎣ 1 +ν S⎥ ⎦ (3.11)

CAPÍTULO 3

66

G = módulo de rigidez

δij = Delta de Kronecker (i = j δij = 1, si i ≠ j δij = 0)

S = valor que depende del material

σ = esfuerzo equivalente.

(b) Formulación. 1) Se usa un sistema de referencia Lagrangiano, donde las deformaciones son

referidas a la configuración no deformada, 2) La formulación de esfuerzo o de deformación

unitarias es en el espacio, 3) La cantidad desconocida es el desplazamiento, 4) Las

funcionales básicas están fundamentadas en principios variacionales o el principio del

trabajo virtual, 5) Se usa el método de solución de incrementos para deformaciones

plásticas grandes.

(c) Ventajas.- 1) Considera la transición entre la región elástica y la plástica, 2) Las regiones

elástica y plástica pueden ser manipuladas, 3) Son consideradas la geometría no lineal y la

inestabilidad, 4) Se pueden manipular los esfuerzos residuales, la recuperación y el

rozamiento.

(d) Desventajas.- 1) Puede ser necesario un método de solución complicado para material no

lineal, 2) es requerido mucho tiempo de computadora, especialmente si se usa la teoría de

flujo plástico, 3) Los errores numéricos pueden acumularse.

2. Rígido - Plástico (R-P)

(a) Material.- Se aplica la ley de Levy - Mises:

σ <σy

σ ′ij = 2 σ εij 3ε

material rígido

con

σ =σy

región plástica

(3.12)

ε =0 ε =

2

3

εijεij

(3.13)

(b) Formulación.- 1) Usa sistema de referencia Euleriano, 2) El campo de velocidad es

desconocido, 3) Problemas funcionales básicos con valores en la frontera tiene la condición de

incompresibilidad sumada al principio variacional utilizando multiplicadores de Lagrange,

4) El análisis no estacionario del proceso de conformado es alcanzado por medio de varios

pasos de estados de deformación estables.

(c) Ventajas.- 1) La relación lineal entre esfuerzo y deformación unitarios es dada en cada

paso de iteración, 2) Se utiliza el método de solución para estado quasi estable para

CAPÍTULO 3 67

problemas no estables, 3) Eslabonamientos fáciles de alcanzar mediante el procedimiento

de relocalización, 4) Bajo tiempo de computadora, dependiendo de la teoría plástica usada.

(d) Desventajas.- No hay solución no lineal, ni inestable de manera factible.

3. Rígido - viscoplástico (R-V)

(a) Material.- Se adapta el criterio de von Mises

(b) Formulación.- Es la misma que para rígido - plástico.

(c) Ventajas.- 1) Es posible simulaciones para conformado en caliente, 2) cada paso de

iteración tiene un significado físico en el proceso de estado no estable.

(d) Desventajas.- 1) Se desprecia la deformación elástica, 2) Sistemas no lineales de ecuaciones

se llegan a crear debido a los coeficientes viscoelásticos.

3.2.1.3 FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO [7]

Para la solución de problemas de análisis de esfuerzo y deformación, se establecen modelos que

ayuden a resolverlos; sí el modelado se puede llevar acabo mediante un número bien definido de

componentes o elementos, tal problema se denomina discreto. Si no se puede descomponer en

elementos definidos el problema corresponde a un continuo.

La solución de problemas continuos requiere el uso de ecuaciones diferenciales. Otra manera de

tratar problemas continuos es discretizarlos, con lo que se obtienen soluciones aproximadas.

Una definición del método del elemento finito, es que da una solución general discretizada a

problemas continuos expresados por planteamientos matemáticamente definidos.

La base del Método del Elemento Finito, es la representación de un cuerpo (o estructura) por

ensambles contiguos de subdivisiones, llamados elementos finitos, es decir un continuo es divido en

un número finito de elementos, de manera que provean cálculos útiles. Este proceso es llamado

discretización. Los elementos deben estar interconectados en puntos llamados nodos. Se eligen

funciones simples para aproximar la distribución o variación de desplazamiento reales sobre cada

elemento finito; estas funciones se llaman funciones desplazamiento o modelos de

desplazamiento, y el método en general es conocido como formulación de desplazamientos. Las

magnitudes desconocidas de las funciones desplazamientos son los desplazamientos de los puntos

nodales. Un modelo de desplazamiento puede expresarse en formas simples tales como funciones

CAPÍTULO 3 68

trigonométricas o polinomios algebraicos. Los polinomios ofrecen una fácil manipulación

matemáticas, por lo que son muy usados en el Método del Elemento Finito.

Para obtener el grupo de ecuaciones de equilibrio de cada elemento, se utilizan principios

variacionales de la Mecánica, como el principio de energía potencial mínima. La energía potencial

de un cuerpo sometido a carga mecánica, es representada por la suma de la energía interna

almacenada resultada de las deformaciones, y energía potencial de las cargas externas; sí el cuerpo

está en equilibrio dicha energía es mínima.

Las siguientes seis etapas resumen la utilización del MEF.

1. Discretización del Continuo- El continuo en general es un cuerpo, que se

subdivide en un sistema equivalente de elementos finitos. En el plano, los

elementos son triángulos o cuadriláteros; en el espacio, los elementos son tetraedros,

prismas rectangulares, hexaedros, etc. La elección de la geometría, el número y

tamaño del arreglo, de elementos finitos depende del tipo de problema especifico a

tratar.

2. Selección del Modelo de Desplazamiento- Esta función represente un

aproximación de la distribución de desplazamiento real o exacta, influyen tres

factores en su selección a) El tipo y grado de modelado, b) las magnitudes de los

desplazamientos, c) Los requerimientos que el modelo debe satisfacer.

3. Deducción de la Matriz de rigidez de los Elementos- Usando el

principio variacional, la matriz de rigidez consta de los coeficientes de las

ecuaciones de equilibrio derivadas del material y de las consideraciones

geométricas, y obtenidas por el uso del principio de energía potencial mínima. La

matriz de rigidez relaciona desplazamientos nodales con fuerzas nodales. La

relación de equilibrio entre la matriz rectangular de rigidez [k], el vector fuerza

nodal [F ], y el vector desplazamiento nodal [x]se expresa en notación matricial

como un grupo de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas,

[k][x]= [F] (3.13)

La matriz de rigidez de un elemento depende de a) el modelo de desplazamiento, b)

la geometría del elemento, c) las propiedades mecánicas y relaciones constitutivas.

4. Ensamble de las ecuaciones algebraicas para el continuo

discretizado- En general, la base para un método de ensamble es que las

interconexiones nodales requieren los desplazamientos en un nodo sean los mismos

CAPÍTULO 3 69

para todos lo elementos adyacentes a cada nodo. Toda las relaciones de equilibrio

entre la matriz de rigidez total [K ], el vector resultante R, y el vector de

desplazamiento nodal para el cuerpo entero U es de nuevo expresado por

[K]U= R (3.15) Estas ecuaciones no pueden resolverse hasta que se tomen en consideración las condiciones de frontera geométricas, mediante una apropiada modificación de las

ecuaciones.

5. Obtención de los desplazamientos desconocidos- Para problemas lineales

de equilibrio se aplican técnicas de álgebra matricial. Para problemas no lineales, se

requieren las modificaciones de la matriz de rigidez y del vector carga para cada

secuencia o fase.

6. Cálculo de las deformaciones y esfuerzos unitarios del elemento a

partir de los desplazamientos nodales. A partir de los desplazamientos se derivan

las deformaciones unitarias, con las relaciones constitutivas se obtienen los esfuerzos

y finalmente se aplica una teoría de falla.

CAPÍTULO 3 70

3.3 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO APLICADO A

PLASTICIDAD [7]

El comportamiento elasto - plástico en una dimensión está caracterizado por una respuesta de

material inicialmente elástico, en el que las deformaciones plásticas lineales son superpuestas

después de que cierto nivel de esfuerzo ha sido alcanzado, como muestra en la siguiente gráfica.

Figura 3.16 Gráfica de endurecimiento por deformación, lineal elástica, para caso uniaxial

La deformación plástica es esencialmente irreversible al descargarse el material. La deformación

plástica está gobernada por el criterio de cedencia, F ′([σ ], H ) = 0 , donde H es el parámetro de

endurecimiento por deformación, [σ] es la matriz de esfuerzos.

H ′ = d σ = dσ = ET

dε p dε − dε

e 1 − ET (3.16)

E

El incremento de deformación unitaria plástica dεp, puede relacionarse con la superficie de

cedencia mediante:

dε = λ ∂F ′ ∂[σ ]

El incremento total de deformación unitaria está dado por:

(3.17)

dεij = dε e + dεijp ij (3.18)

CAPÍTULO 3 71

Puesto que los incrementos de deformación unitaria elástica, están relacionados por la matriz

simétrica D, el incremento total puede expresarse como

dεij = D−1dσ ij + ∂F ′ λ ∂σ ij

(3.19)

Cuando el flujo plástico ocurre, el estado de esfuerzo en la superficie de cedencia dado por la

función F', estará dado por la variación continua del H.

Diferenciado F', queda

dF ′ = ∂F ′ dσ1 + ∂F ′ dσ 2 + ..... + ∂F ′ dH = 0 (3.20)

∂σ1 ∂σ 2 ∂H

Cuando se emplee la ecuación Levy - Mises, queda

∂F ′ = 3 σ [] T ∂σ ij 2σ ij ij

En forma matricial:

(3.21)

⎡ D−1

⎢ ∂F ′ ⎤

⎡ dε ⎤ = ⎢ ∂σ ij ⎥⎡dσ

ij ⎤ ⎥

⎢ 0 ⎥ ⎢⎛ ∂F ′ ⎞T ⎣ ⎦ ⎢⎜ ⎥⎢ λ ⎥ (3.22)

− A ⎥⎣ ⎦ ⎢⎝

⎟

⎣ ⎜ ∂σ

ij ⎟ ⎠

⎦⎥

donde A = − ∂F′ dH 1 ∂H λ (3.23)

Empleando la ecuaciones de Levy - Mises se puede mostrar que

∂F ′ = 3 σ T ∂σ 2σ (3.24)

Donde A=n, que es la pendiente σ − ε de la curva. La ecuación 3.18 pueden escribirse en la forma

matricial simple

CAPÍTULO 3 72

⎡ D−1 ∂F ′⎤

⎧dε ⎫ = ⎢

∂σ ⎥⎧dσ ⎫

⎨

0 ⎬ ⎢⎛ ∂F ′ ⎞T ⎩ ⎭ ⎢⎜

⎥⎨ ⎬ − A ⎥⎩ λ ⎭

(3.25)

⎢⎝ ∂σ

⎟ ⎣

⎠

⎥ ⎦

La constante λ puede eliminarse, con lo que el resultado en la expansión del determinante de

esfuerzo cambia a: donde

dσ = D*,pdε e

−1

(3.26)

D*,p e = D − D⎨ ⎧∂F ′⎫⎧∂F ′⎫T • D • ⎡A + ⎧∂F ′⎫T D⎧∂F ′⎫⎤ ⎬⎨

⎬ ⎢ ⎩ ∂σ ⎭⎩ ∂σ ⎭

⎢ ⎨ ∂σ ⎬ ⎨ ∂σ ⎬⎥ (3.27)

⎣ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎥ ⎦ La matriz combinada elástico - plástica D*,p , es análoga a la matriz D para análisis elástico: e

⎡1 υ ⎢

0⎤ ⎥

(3.28)

D = [D] = E 2 ⎢υ 1

1−υ ⎢ 0⎥

1−υ ⎥ ⎢0 0 ⎣ 2⎥ ⎦

3 .3 .

1 MEF APL ICADO AL CONF ORMADO DE CHAPAS [ 7] 3.3.1.1 GENERALI DADES

Los procesos de conformado de chapas involucran una cantidad significativa de deformación, y

debido a las complejidades de la plasticidad, el análisis exacto de un proceso no es factible en

muchos casos. Así un número de métodos aproximados, se han sugerido con grados de variación

en aproximaciones e idealizaciones. Por lo tanto, el principal objetivo del análisis matemático de

los procesos de conformado de metales, es proveer la información necesaria para un apropiado

diseño y control de dichos procesos. De ahí, el método de análisis debe ser capaz de determinar los

CAPÍTULO 3

73

efectos de varios parámetros en las características del material, durante el flujo del metal. Más aún

la eficiencia en cómputo, más que la precisión de la solución, es una consideración importante para el

método a ser usado en el análisis de problemas de trabajo de metales.

Con lo anterior en mente, la formulación del método rígido - plástico de Elementos Finitos

(algunas veces llamado Método Matriz) se utiliza para el conformado de chapas metálicas, ya que:

1. La formulación variacional clásica que es la base del método matriz no necesariamente

determina un modo de deformación único

2. La suposición cinemática en el método matriz, ya no es válida para el proceso de

conformado de chapas

La formulación variacional clásica para un sólido rígido - plástico no es apropiada para resolver

problemas plásticos de chapas. Porque, hay varios modos de deformación, bajo ciertas condiciones

de fronteras. Lo cual se soluciona si se toma la relación de endurecimiento por deformación.

Además de la consideración del cambio geométrico. 3.3.1.2 FORMULACIÓN V A R I A C I O NAL CLÁSICA DE UN SÓL I DO RÍGIDO - PLÁSTICO

En esta formulación, se considerará la deformación quasi - estática de un cuerpo sólido. En una

porción Sv de la superficie de dicho cuerpo son descritizadas por las velocidades dadas, mientras la

restante ST de la superficie es sometida a una fuerza de tracción Fi. Si se supone que las

velocidades de esa superficie y sus fuerzas de tracción son tales que el cuerpo entero está en un

estado de flujo plástico, los esfuerzos σij y las relaciones de deformación unitaria εij a través de

cuerpo pueden determinarse.

La formulación convencional del principio variacional para este problema es que la cantidad total

cinéticamente admisible es el campo ε * , la expresión real que minimiza es: ij

π1 = ∫σ εdV − ∫S FiVi

*dS T

(3.29)

donde

σ = 32 σ ′ijσ ′ij

y

ε = 32 εijεij

(3.30)

CAPÍTULO 3

74

donde, σ ′ij es la componente deviatórica de σ ij . Aquí un campo de deformación unitaria εij ,

definida a lo largo del cuerpo bajo consideración, es llamada cinemáticamente admisible, si es

derivable de un acampo de velocidad Vi* , que satisface la condición de incompresibilidad

∂Vi* = 0 , a lo largo de todo el cuerpo y la condiciones de frontera en S . El principio variacional ∂xi

v

en esta forma, tiene buen resultado al aplicarlo al análisis de problemas de conformado de metales. Las condiciones de frontera usadas son:

niσ ij = Fi en ST

vi = vi en Sv

donde, n j es el vector unitario normal a la superficie del cuerpo, y Fi y VI son valores

prescritos.

El significado de estas condiciones de frontera, es que el flujo plástico es no constreñido, y todo o

parte del cuerpo está libre de deformarse. Matemáticamente, la no unicidad es debida al hecho

que la teoría de Levy - Mises, implicada en la formulación variacional de π1, y que también

aparece en la ecuación constitutiva ( µσ ij = εij , µ es una constante arbitraria), no incluye el flujo viscoso en la consideración. En la formulación apropiada de la velocidad de la fuerza de tracción

Fi debe especificase en ST , y entonces de un número infinito de posibles modos cinemáticas, el

modo real puede singularizarse por el requerimiento adicional que debe existir una distribución

equilibrada de velocidad de esfuerzos compatible con la velocidad de tracción Fi dada, en ST .

También, el efecto por el trabajo de endurecimiento, está explícitamente incluido en la ecuación

constitutiva de la forma σ′

hεij =

ij σ

σ (3.31)

donde, σ es el tiempo de razón de cambio de σ , y h es el efecto del trabajo de endurecimiento del

material, el cual es igual a 2/3 dσ / dε . Hill mostró, que entre todos los modos variacionales compatibles con las condiciones de frontera,

para Vi en ST y la existencia de la distribución de esfuerzos σ ij , el modo real de minimizar la

siguiente expresión cuando los cambios geométricos son incluidos, es:

π 2 = 1 ∫ h(ε *ij )2 dv − 1 ∫σ

kjv*i,

kv j.i

vdv − ∫S Fiv*i dS (3.32)

2 2 T

donde, las cantidades con asteriscos son las cinéticamente admisibles y h es el efecto por trabajo de

endurecimiento. π 2 debe ser normal a la superficie de cedencia en el punto de esfuerzo del

CAPÍTULO 3 75

espacio de esfuerzo debido al requerimiento de compatibilidad, con existencia de distribuciones de

esfuerzos. La formulación variacional usada en el análisis previo, es inadecuada para el análisis de los

procesos de conformado de chapas metálicas, por la ausencia de unicidad de los modos de

deformación para una deformación "quasi - estática" de un sólido rígido - plástico bajo ciertos tipos

de condiciones de frontera. Más aún, el plano de formación de la chapa, involucra grandes cambios

geométricos durante la deformación.

Si la funcional total es igual a la suma de las contribuciones de la elemento φ (m) , entones el

modelado de elementos finitos puede alcanzarse por la aproximación de la funcional π por φ:

π ≅ φ = ∑ φ ( m)u (m) M

m=1

(3.33)

donde, u(m

) es el incremento del vector desplazamiento, en el nodo asociado con el elemento. Suponiendo equilibro de esfuerzo y el principio de trabajo virtual, y considerando que los ejes

principales de la relación de deformaciones unitarias reales, tengan las mismas direcciones en los

elementos como en la chapa y los componentes principales de la deformación unitaria mantengan

relaciones constantes durante incrementos de tiempo pequeños, así se puede obtener la funciona φ en la siguiente forma para simetría de chapas delgadas sujetas a carga:

Φ = ∫v

σ (d E)tdA + 1 ∫ H ′(d E)(tdA) − ∫ (T + dT )du jdA 2 (3.34)

donde d E =

2 (dE )2

3∑

p

dEp = componente logarítmica de la deformación unitaria plástica σ = esfuerzo efectivo

t = Espesor local de la chapa

dA = incremento de área del elemento de la chapa

dV = tdA

dH' = dσ/dε = pendiente de la curva esfuerzo deformación

T = Fuerza de tracción

duj = incremento del desplazamiento del elemento

CAPÍTULO 3 76

El primer término de la ecuación anterior corresponde a la energía de deformación unitaria

volumétrica, el segundo representa la energía de deformación involucrada con la deformación

unitaria por endurecimiento, y tercero representa el trabajo externo de tracción (esfuerzos). Si la dirección circunferencial y la dirección meridional son las direcciones principales y si el

rozamiento entre chapa o herramienta son despreciables, la dirección del espesor es la tercera

dirección. El incremento de la deformación unitaria logarítmica, puede usarse para medir al

incremento de la deformación unitaria, esto es por definición:

dE = ⎡ 1 ⎤ = ⎡ r ⎤ = ⎡ dE dE ln s / s0 ⎤ ⎢dE ⎥ ⎢dE ⎥ ⎢ln r / r ⎥ (3.35)

⎣ 2⎦ ⎣ θ ⎦ ⎣ 0⎦

Si, durante el incremento de deformación, un elemento de longitud no deformada s0, es estirado a

la longitud s, entonces el punto concurrente a la distancia radial r0, se mueve al radio r. Para considerar el hecho de que una chapa real tiene propiedades direccionales, anisotropía normal,

se asume la relación de Hill:

dEr = dEθ = dE (1 + R)σ r − Rσθ (1 + R)σθ − Rσ r (1 + R)σ (3.36)

donde, T es el parámetro isótropo en el plano, que es la relación de la deformación unitaria

transversal logarítmica y la deformación logarítmica del espesor, del ensayo uniaxil en tensión

además:

σ = σθ2 − 2R σ rσθ + σ 2 (3.37)

1+ R r

dE = 1+ R

dE 2 + 2R dEθ dEr + d E 2

(3.38)

1 + 2R r

1+ R θ

La deformación unitaria efectiva d E puede escribirse en forma de matriz, como:

dE =

2 [dETDdE]1/2 3

(3.39)

D = 3(1 + R) ⎡

1+ R R⎤

donde, dE = (dEr,dEθ)Τ , 2(1 + 2R) ⎣ ⎢ R 1 + R⎥ ⎦ (3.40)

PÍTULO 3

77

La geometría de la chapa es aproximada por una serie de conos truncados, como se muestra en la

siguiente figura

dw2 t'= -1

(r0)2 S 2

dv2 t'

1 dw1

t'=+1 dv1

(z0)2

(z0)1 (r0)1

Figura 3.17 Embutido aproximado de una chapa metálica mediante la geometría de una serie de conos truncados[12]

Las funciones lineales o funciones de forma, como comúnmente se llaman en la literatura del MEF,

son muchas, ya que depende de la clase de integrando de la funcional. Los coeficientes

desconocidos, o valores nodales, son tomados de los incrementos de desplazamiento en los nodos.

El campo de incremento de desplazamiento, dentro del elemento puede escribirse como:

⎡1 + t ′ ⎢2

0

1 − t′ 2

0 ⎤ ⎡ dv1 ⎤ ⎥ u= ⎡ dv ⎤ = ⎢ 0

1 + t′ 1 − t ′ ⎥ ⎢ dw1 ⎥ ⎢dW ⎥ ⎢ 0 ⎥⎢ ⎥ (3.41)

⎣ ⎦⎢ 2 2 ⎥ ⎢ dv 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢dw ⎥ ⎢ ⎣

u = N u(m)

⎥⎣ 2 ⎦ ⎦ (3.42)

donde, t' es la coordenada local que varia desde el valor de -1 en nodo 2 a +1 en el nodo 1 como se

puede aprecia en la figura anterior, y dvi y dwi son las componentes radial y axial del incremento de

desplazamiento del iésimo nodo. El campo de incrementos de desplazamiento, de una longitud del

elemento s0, es:

CAPÍTULO 3 78

s0 = [(r ) − (r ) ] + [(z ) − (z ) ] el cual es estirado a la nueva longitud s

01 02 2 02 01 2 (3.43)

s= (r1 − r2 )2 + (z2 − z1)2 (3.44)

donde, (r1)i , (z0)i son las posiciones radial y vertical del iésimo nodo, en la configuración no

deformada y (r)i , (z)i la configuración deformada. Puesto que el elemento es recto, cualquier punto

de t' en las coordenadas locales, es mostrados tener una posición radial global determinadas por:

r0 = ⎛1 + t ⎞(r0 )1 + ⎛1 − t (r0 )2

⎞

⎜2⎟ ⎟ (3.45)

⎝ ⎠ ⎝⎜2

⎠

La nueva posición r, de la misma partícula esta dada por:

r = r0 + ⎛1 + t ⎞dv1 + ⎛1 − t ⎞dv2

⎜2⎟ ⎝

⎠

⎜2⎟ (3.46)

⎝ ⎠ Mediante el uso de las ecuaciones 3.42 y 3.45, inclusive, la siguiente expresión para el incremento

de la energía de deformación unitaria, dE, puede obtenerse por:

⎡1 [(r0 )1 − (r0 )2

+ dv1 − dv2 ]2 + [(z0 )1 − (z0 )2

+ dw2 − dw1]2 ⎤ dE = ⎢ ⎢ 2 ln s2

0

⎥ ⎥ ⎢ r0 + [(1 + t′)/ 2]dv1 + [(1 + t′)/ 2][(1 + t′)/ 2]dv2

⎥ (3.47)

⎢ ⎣ ln r0 ⎥ ⎦

El incremento de la deformación unitaria Lagrangiana es aproximado, por simplicidad, dado por la

deformación unitaria logarítmica durante un incremento de tiempo pequeño, dada por la ecuación

3.34, donde s0, s, r0, y r son expresadas por las ecuaciones 3.42 a 3.45. φ (m

) de la ecuación 3.32 ahora puede expresarse en términos de los valores nodales como:

φ (m) = ∫ σ ⎛ 2 ⎞t[dET Dde]2 dA + 1 ∫ H ′⎛ 2 t ⎞[dET DdE]dA − ∫ T T Nu(m)dA 1

⎜ ⎜ ⎟

⎟

⎜⎟ (3.48)

⎝ 3⎠

2 ⎝3 ⎠

Para una unidad, incluida el ángulo del elemento donde dA = rdt', t es el espesor de la chapa, y la

integración es efectuada desde t' = -1 a t' = +1, y donde

CAPÍTULO 3 79

⎧T1 + dT1 ⎫ ⎪T + dT ⎪

T =⎪ 2 ⎪

⎨T + dT2 ⎬ (3.49) ⎪3

3⎪

⎪T4 + dT4 ⎪ ⎩ ⎭

La minimización de la función anterior puede obtenerse mediante el uso de la derivada parcial

∂φ (m) / ∂u(m

) , lo que da:

∂φ (m) = σ ⎛ 2 ⎞t dET Dde −12 ∂(dE) DdEdA + H ′⎛ 2 t ⎞⎡DdEdA ∂(dE)T ⎤ − N T TdA (3.50)

⎜ ⎟ [ ] ∂u(m) ∫ ⎜ 3 ⎟

⎝ ⎠ ∂u(m)

∫ ⎜⎝

3 ⎟⎠⎢⎣ ∂u(m

) ⎥ ∫ ⎦

∂(dE)/ ∂u(m) , puede evaluarse utilizando la ecuación 3.34 como sigue

⎡ r1 − r2 1+ t ⎤ ⎢ 2

2r ⎥ ⎢ − (zs − z1 )

⎥

∂(dE ) = Q = ⎡ ∂(dE )i ⎤ = ⎢

2 0⎥

∂u ( m ) ⎢⎢ ∂u(

m) ⎥ ⎢ − (rs− r ) 2

⎥⎢

⎥ 1− t ⎥

(3.51)

⎣ j ⎦⎢ 1 s

2 2

2r ⎥

⎢ z2 − z1 ⎥

La ecuación 3.49 puede rescribirse como:

1

⎢ ⎣ s2 0⎥ ⎦

∂φ (m) = ⎛ 2 t ⎞σ ⎡ 2 dET DdE⎤−2QDdEdA + ⎛ 2 t ⎞HQDdEdA − N T TdA = 0

∂u(m) ∫ ⎜ 3 ⎟ ⎢ 3

⎝ ⎠⎣ ⎦⎥

∫ ⎜⎝

3 ⎟⎠

∫ (3.52)

Ensamblando todos los elementos en el esquema de elementos finitos, surge la siguiente ecuación

diferencial no lineal:

∂Φ = ∂u ∑ ∂u(m) ∂φ

(m) = 0

(3.53)

CAPÍTULO 3 80

la cual puede resolverse mediante el método de Newton-Raphson, tomando un cálculo inicial de la

solución, u , a partir de la solución real u0 y despreciando los términos de orden superior de

∆u = u0 − u , con la expansión de Taylor se obtiene la ecuación lineal:

P∆u = H − f

Donde P es la carga tal que, en el troquelado hemisférico:

(3.54)

P = ∑ p ( m)

H = ∑ H (M )

f = ∑ f ( m)

(3.55)

3.4 FORMULACIÓN LAGRANGIANA Y EULERIANA [13]

La formulación más "natural" es probablemente la Langragina, en la cual la memoria guarda las

posiciones iniciales de los puntos del material durante el proceso de deformación. Sin embargo,

para procesos estacionarios, en los que el dominio de interés puede considerarse fijo, la descripción

Euleriana es más conveniente, principalmente para problemas en los que la ecuación constitutiva

incluye efectos despreciables. La deformación unitaria Lagrangiana, se calcula considerando la geometría original no deformada,

como geometría de referencia

L − Lo

ε= f L0

(3.56)

La deformación unitaria Euleriana, se calcula considerando la geometría final deformada, como

geometría de referencia:

L − Lf ε= 0

Lf (3.57)

CAPÍTULO 3 81

3.4.1 FORMULACIÓN LAGRANGIANA EN EL MÉTODO DEL ELEM ENTO FINITO

Debe distinguirse entre el método total Lagrangiano, en el cual todos los problemas son definidos a

partir de su configuración original Ω0, correspondiente al tiempo inicial t = 0; y el método

Lagrangiano actualizado, para el que la configuración de referencia durante un incremento de

tiempo [t, t+∆t] es el dominio en el inicio del incremento Ωt. Sea Ωt, la configuración al inicio de incremento y Ωt+∆t, la configuración al final del incremento.

Suponiendo que ambos dominio son mallados y que cualquier nodo n con coordenadas Χt+∆t, esta

ligada con su correspondiente coordenada Χt, mediante la fórmula de desplazamiento, siguiente:

Χtn+∆t = Χtn + ∆U tn (3.58)

El incremento de la deformación unitaria ∆ε , puede calcularse con la derivada en el espacio del

incremento de desplazamiento ∆U tn . Si el dominio de variación durante el incremento puede

considerarse pequeño puede establecerse

∫σ

Ωt

t +∆t

ε * dV − ∫∂Ω

T (t+∆t)d ⋅ v * dS = 0 s

t

(3.59)

3.4.2 FORMULACIÓN EULERIANA EN EL MÉTODO DEL ELEMEN TO FINITO Cuando el problema es estacionario in un dominio fijo Ω se puede utilizar la descripción de Euler en la que el campo de velocidad en Ω depende solo de las coordenadas en el espacio v(x). Este campo de velocidad es discretizado de la manera usual y la funcional del problema es minimizada en el domino fijo W. Hay dos casos de interés práctico en el que la formulación de Euler induce dificultades para resolver el problema completo. El cálculo de una superficie libre se analiza primero. Supóngase que la superficie libre ∂ΩF es una parte invariante del limite ∂Ω . Si la presión externa puede despreciarse, las condiciones de esfuerzo en la superficie libre puede escribirse como: T=σ ⋅ n = 0, donde n es la normal a la superficie La segunda condición es mejor expresada si se supone que la ecuación de la superficie libre se escribe como h(x) = 0, lo cual significa que no depende explícitamente del tiempo. Si x

es un vector de posición de un punto material, se tiene que dx dt = v, derivando con respecto al tiempo

CAPÍTULO 3 82

∂h (x)⋅ v = 0 = n ⋅ v ∂x

(3.60)

Donde el vector ∂h ∂x es proporcional a la normal n. Esta ecuación muestra que para procesos de estado estable, si una punto material está en la superficie libre en un tipo determinado permanecerá ahí hasta que encuentre un obstáculo. Esto prueba que la suposición de estado estable es invariante. El segundo problema concierne con otro parámetro físico que representa una clase de memoria del material tal con la deformación unitaria equivalente y la temperatura. Por ejemplo para deformación unitaria equivalente, la ecuación básica es obtenida a partir de la razón de deformación equivalente para el material:

ε = dε = ∂ε + grad(ε )⋅ v = grad (ε )⋅ v (3.61) dt ∂t

donde se asume estado estacionario al cancela la derivada parcial. Este problema puede tratarse

globalmente por una aproximación Galerkin; donde ε es conocida de la velocidad calculada, ε puede

deducirse desde la ecuación siguiente, una para cada valor de n.

∫Ω

grad (ε )⋅ vNndV − ∫Ω

εNndV = 0 (3.62)

con una selección de límites adecuados.

3.5 SUMARIO Con los Diagramas Límite de Conformado, se puede determinar la Formabilidad de una chapa metálica, siguiendo una trayectoria de deformación; en él se indican los límites o zonas de falla, ya sea por estricción arrugamiento o fractura. La plasticidad, dada su complejidad, es tratada por diversas teorías que describen su comportamiento, el Método del Elemento Finito puede aprovecharse para intentar predecir el comportamiento de un metal al deformarse plásticamente. El cálculo variacional proporciona el fundamento matemático para desarrollar el programa numérico. Para el caso de embutido es preferible utilizar una combinación de sistemas de referencia Lagrangiano y Euleriano

CAPÍTULO 3 83

3.6 REFERENCIAS [1] Banabic, Bunge Pöhlandt, Formability of Metallic Materials, Springer 2000 pp 176

[2] Gensamer, Strength and Ductility, Trans. ASM 36, 1946

[3] Keeler, Plastic Instability and Fracture in Sheet Stretched Over Rigid Punches, Thesis MIT,

1961

[4] Goodwinn, SAE Automotive Engineering Congress, Paper No. 680093, Detroit, 1968

[5] ASM Metals Handbook 9th ed. Vol. Properties and Selection: Irons and Steels, Metals Park

Ohio.

[6] Lange K., Handbook of metal forming, McGraw hill 1981, pp 5.2

[7] Zinkiewicz, El Método de los Elementos Finitos Vol 2. McGraw Hill 1994

[8] Oh Lahoti, Altan, "Application of a Rigid-Plastic Finite Element Method to some Metal-

forming Operations", Process Modelling Tools, ASM, 1981 pp 196-197

[10] Desai Abel, Introduction to the Finite Element Method, Van Nostrand Reinhold Co. N.Y.

1972.

[11] Kim, Oh, Kobayashi, "Analysis of Axisymetric Sheet Metal Forming by the Rigid Plastic

FEM, DTICI Technical Report AFML-TR 78-120, 1978.

[12] Kobayashi, Rim "Axisymetric Sheet - Metal forming Processes by The Rigid - Plastic

Plenum Press 1978.

[13] R. H. Wagoner, j. L. Chenot Metal Formingn Analysis, Cambridge University Press 2001.

CAPÍTULO 3 84

CAPÍTULO 4

Aplicación de la metodología

Al Caso de Estudio

En este capítulo se reportan los resultados obtenidos en el laboratorio del módulo anisótropo r y de exponente de endurecimiento n, así como los resultados de la utilización del paquete de Elemento Finito.

85 CAPÍTULO 4

4.1 GENERALIDADES

Para realizar el análisis mecánico del embutido, se requiere caracterizar el material de la chapa que

se utilizará en la fabricación de la abrazadera, Primero se determinan loS dos parámetros básicos

del comportamiento de materiales metálicos en la fase plástica, que son el módulo anisótropo

plástico r y el exponente de endurecimiento por deformación plástica n, ambos tomado en cuenta la

norma ASTM correspondiente y aprovechando el Laboratorio de ensaye de materiales de la

ESIME unidad Ticoman.

Luego se presenta el análisis utilizando el método del elemento finito para la abrazadera descrita en

el capítulo I, utilizando el software Altair Hyperform, que está basado en la simulación "sheet

metal". Contiene un módulo denominado Parametric Die, en el que el proceso simulación de

generación de superficies por troquelado, inicia con la creación de la forma a la que debe

"adherirse" la chapa, identificando la geometría a desarrollar. Luego el conector de rebordes es

creado entre dichas entidades, utilizando el editor paramétrico de reborde 2D. Esto permite generar

superficies suaves. El resultado es la superficie deseada mediante la metodología de deformación

incremental.

4.2 DETERMINACIÓN DEL MÓDULO ANISÓTROPO PLÁSTICO

r PARA CHAPAS METÁLICAS

Para su determinación se seguirá la norma ASTM E 517-00 standard test method for plastic strain

ratio r for sheet metal[1]. Esta norma se describe brevemente a continuación:

ALCANCE.- Este método cubre la medición del módulo de deformación unitaria plástico,

mediante un ensayo de tensión especial, en chapas metálicas usadas en embutido.

SIGNIFICADO Y USO.- El módulo de deformación unitario plástico r, es un parámetro que indica

la habilidad de una chapa metálica, para resistir adelgazamiento o engrosamiento de su espesor,

cuando se somete a fuerzas, ya sea de tensión o compresión en el plano de la chapa. Es una medida de

anisotropía plástica y está relacionado con la preferencia de las orientaciones cristalográficas,

86 CAPÍTULO 4

dentro de un metal policristalino. Dicha resistencia al adelgazamiento o engrosamiento, contribuye

al conformado de piezas, tales como copas, mediante el proceso de embutido. El valor r, por tanto,

es considerado como una medida de la capacidad de embutido de la chapa. Es particularmente útil

para evaluar la cantidad de material que puede embutirse en el agujero de la matriz.

Para muchos materiales este módulo permanece esencialmente constante dentro de un rango de

deformaciones unitarias plásticas. Para materiales que tengan diferentes valores de r, para

diferentes niveles de deformaciones unitarias, se utiliza un exponente que indique el porcentaje de

deformación unitaria, dentro de la cual el módulo r, es medido. Por ejemplo, si se utiliza una

elongación de un 20%, entonces se reporta r20. Los materiales normalmente tienen diferentes valores de r cuando se ensayan en diferentes

direcciones, relativas a la dirección de rolado de la chapa. El ángulo en que se corta la probeta,

tiene que indicarse. Así, para una probeta cortada en la dirección de rolado deberá indicarse

como r0 . Si además, la mediada fue realizada en una elongación del 20%, entonces se reportará

como r020 .

PROBETA

• La longitud y ancho de la probeta no son críticos.

• El espesor debe ser constante, con tolerancia de más menos 0.013mm.

• Se utilizará una probeta tipo B cuyas medidas son:

Figura 4.1 Probeta de chapa calibre 16, de acuerdo con norma ASTM E 517 - 00 (Acotaciones en milímetros)

87 CAPÍTULO 4

PROCEDIMIENTO: Se deben conocer las propiedades a tensión de la probeta; esto es, debe tenerse definido las

características de cedencia y elongación del material de acuerdo con el método ASTM E 8[2]. Esto

ayuda a establecer dentro de que límites de deformación unitaria, deberá determinarse el valor r. Se

considera que el volumen de la probeta permanece constante, con lo que r, se obtiene a partir de los

cambios de longitud y ancho de la probeta.

Procedimiento Manual:

• Determinar el ancho original de la probeta con tolerancia de ± 0.013 mm.

• Determinar la longitud calibrada de la probeta con tolerancias de ± 0.025 mm.

• Se aplica la carga de tensión a la probeta midiendo el cambio en la longitud y ancho

calibrados. Para probetas de acero de bajo carbón, la medición se realiza en deformaciones

unitarias del 20%, respecto a la ruptura.

La máquina e instrumento para medir alargamiento se muestran en las siguientes fotografías:

El material en ensayado en las direcciones 0°, 45°, 90°* como indica la norma, el espesor de la

probeta es el mismo que será utilizado en la manufactura del al abrazadera. La primer fotografía

corresponde a una máquina universal de ensayos, y la segunda a un micrométro * Ver apéndice A2.1

88 CAPÍTULO 4

r0 r45 r90

G0

mm

49.948 49.922 49.982

Gf

mm

55.928 56.073 56.438

w0

mm

19.978 19.976 19.980

wf

mm

18.624 18.758 18.508

r

1.636 1.1807 1.702

r=

ln(w0 / wf ) ln(l f wf / l0w0 )

ln⎛19.978 ⎞

r0 = ⎝⎜18.624 ⎟ ⎠

⎛ 55.928⋅18.624 ⎞

= 1.636

ln⎜

⎟

⎝ 49.948⋅19.978 ⎠

ln⎛19.976 ⎞ r45 = ⎜18.758

⎟ ⎝

⎠

⎛ 56.073⋅18.758 ⎞

= 1.1807

ln⎜

⎟

⎝ 49.922⋅19.976 ⎠

ln⎛19.980 ⎞

⎜18.508 ⎟ ⎝ ⎠

r90 = ⎛ 56.438⋅18.508 ⎞

= 1.702

ln⎜

⎟

⎝ 49.982⋅19.980 ⎠

rm = r0 + 2r45 + r90 4

rm = 1.636 + 2(1.1807) +1.702 = 1.425 4

89 CAPÍTULO 4

4.3 DETERMINACIÓN DEL EXPONENTE DE ENDURECIMIENTO

POR DEFORMACIÓN n

Para su determinación se seguirá la norma ASTM E 646-91 Tensile Strain-Hardening Exponents

(n-Values) of Metallic Sheet Materials[3]. Esta norma se describe brevemente a continuación:

ALCANCE.- Esta prueba cubre la determinación del exponente de endurecimiento por

deformación con el ensayo de tensión de chapas metálicas, para materiales que siguen el

comportamiento descrito por la ecuación A1.20; utilizable para chapas de espesores que varían de

0.13 mm a 6.4 mm.

SIGNIFICADO Y USO.- Este método es útil para estimar la deformación unitaria en la estricción

del ensayo uniaxial de tensión. Prácticamente provee un parámetro empírico para evaluar la

resistencia a la formabilidad relativa para sistemas metálicos similares. El exponente de

endurecimiento por deformación es también una medida del incremento de resistencia de un

material debido a la deformación plástica; el cual puede determinarse sobre toda la curva esfuerzo

deformación unitarios de ingeniería, o cualquier porción específica de la curva; además el valor de n

varía con la velocidad de deformación y temperatura de ensayo.

PROBETA

Figura 4.2 Probeta para la determinación del módulo n de acuerdo a la norma (Acotación en mm)

90 CAPÍTULO 4

PROCEDMIENTO:

• Medir el espesor y ancho de la probeta en la longitud calibrada con tolerancias para ancho

± 0.025 mm y espesor de 0.013 mm.

• Colocar la probeta y establecer la velocidad de deformación entre el 5% y el 50% de

reducción de sección por minuto.

• Obtener la gráfica esfuerzo deformación, unitarios hasta la ruptura.

Tiempo sec 01

Carga kN

0.2215625 2.553437

Deform. mm

0 0.311

Tiempo Carga sec 58 8.627188 60 8.644062

Deform. mm

19.311 19.978

GRÁFICA ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIOS

2 5.118437 0.645 62 8.65875 20.645 10 9

4 68

10 12 14

5.934062 6.263437 6.53875

6.773125 6.980937 7.162188

1.311 1.978 2.644 3.311 3.978 4.645

64 8.669687 66 8.679063 68 8.688125 70 8.696875 72 8.702812 74 8.706562

21.311 21.978 22.645 23.311 23.978 24.645

87654 32

16 7.325 5.311 76 8.71125 25.311 1 0

18 20

7.47 7.6

5.978 6.645

78 8.713125 80 8.713437

25.978 26.645

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 Def.

22 7.7175 7.311 82 8.7125 27.311 24 7.822813 7.978 84 8.712188 27.978 26 7.916563 8.645 86 8.708438 28.645 28 8.001875 9.311 88 8.7025 29.311 30 8.079062 9.978 90 8.698125 29.978 32 8.149688 10.645 92 8.687187 30.645 34 8.21375 11.311 94 8.679063 31.311 36 8.27 11.978 96 8.665625 31.978 38 8.320937 12.644 98 8.647187 32.644 40 8.36875 13.311 100 8.625313 33.311 42 8.41125 13.978 102 8.594375 33.978 44 8.449062 14.645 104 8.55 34.645 46 8.483125 15.311 106 8.483125 35.311 48 8.514375 15.978 108 8.379375 35.978 50 8.543125 16.644 110 8.22625 36.644 52 8.567187 17.311 112 8.003125 37.311 54 8.59125 17.978 114 7.60875 37.978 56 8.61 18.645 115 7.162813 38.311

91 CAPÍTULO 4

P

CÁLCULOS: Se calculan los valores de los esfuerzos y deformaciones unitarios reales

σ R = S(1+ e) ε R = ln(1+ e) donde S, es el esfuerzo de ingeniería y e es la deformación unitaria de ingeniería. La fórmula para

el cálculo del exponente n, por regresión lineal es la siguiente:

N

P Newto

n

σ MPa

σ

real

log σ

(log σ)2

δ mm

ε

ε real

log ε

(log ε)2

log σ X

log ε

1 6773 277.6 286.8 2.458 6.042 3.311 0.0331 0.0326 -1.487 2.211 -3.655

2 7325 300.2 316.1 2.500 6.250 5.311 0.0531 0.0517 -1.287 1.656 -3.218 3

7718 316.3 339.4 2.531 6.406 7.311 0.0731 0.0706 -1.151 1.325 -2.913 4

8002 328.0 358.5 2.554 6.523 9.311 0.0931 0.0890 -1.051 1.105 -2.684

5 8214 336.6 374.7 2.574 6.625 11.311 0.1131 0.1071 -0.970 0.941 -2.497

Σ=12.617 Σ=31.846 Σ=-5.946 Σ=7.238 Σ=-14.967

logε logσ = (− 5.946)(12.617) = −15.004 N 5

logε logσ − Σ logεl logσ = -14.967-(-15.004) = .037 N

Σlogε 2

N5

= − 5.946 = 7.071 2

5

7-238-7.071 = 0.167

n = 0.037 = 0.22 0.167

92 CAPÍTULO 4

Disponible* Obtenido Observaciones

N 0.20 - 0.26 0.22 Dentro de Rango

rm 1.0 - 1.8 1.425 Dentro de Rango

* Hosford R./ Caddell M. Metal Forming, 1993 Prentice Hall.

4.4 ANÁLISIS NUMÉRICO

Aquí se reportan los datos y resultados dados por el software descrito en la introducción: ** ** ** ** **

HyperForm 6.0-025

Inverse Metalforming Analysis from Altair Engineering

** ** ** ** **

*************************************************** ********************* ** COPYRIGHT (C) 1996-2004 Altair Engineering, Inc. ** *************************************************** ********************* All Rights Reserved. Contains trade secrets of Altair Engineering, Inc. Copyright notice does not imply publication Decompilation or disassembly of this software is strictly prohibited.

Input Deck Summary: -------------------

Nodes . . . . . . . . . . Elements. . . . . . . . . QUAD4 Element . . . . . . . TRIA3 Element . . . . . . . Shell property sets . . . . Material property sets. . . Blank Holder Cards . . . .

Effective Number

429 382 374 821 1

Largest Number 1715 1304

66189

1 2

Number of Used

21 1

93 CAPÍTULO 4

USER SPECIFIED MATERIAL PROPERTIES ----------------------------------

E POIS Y K n R00 R45 R90 0.210E+06 0.30 184.30 549.03 0.22 1.636 1.1817 1.702

*************************************************** ********************* MEMORY ESTIMATION INFORMATION : ------------------------------- Current Memory (RAM): Estimated Minimum Memory (RAM) for Out of Core Solution: Recommended Memory (RAM) for Out of Core Solution: Recommended Memory (RAM) for In-Core Solution: DISK SPACE ESTIMATION INFORMATION : -----------------------------------

32 MB 1 MB 1 MB 1 MB

Estimated Disk Space for Output Data Files: 1 MB Estimated Scratch Disk Space for In-Core Solution: 2 MB Estimated Scratch Disk Space for Out of Core Solution: 2 MB

Estimated press tonnage = 0.186E+01 (tons) *************************************************** ********************* RESOURCE USAGE INFORMATION -------------------------- MAXIMUM MEMORY USED 32 MB MAXIMUM DISK SPACE USED 3 MB *************************************************** ********************* COMPUTE TIME INFORMATION ------------------------ EXECUTION STARTED Tue May 18 07:08:26 2004

94 CAPÍTULO 4

EXECUTION COMPLETED Tue May 18 07:08:27 2004 *************************************************** ********************* La primera figura que analiza este paquete es la forma deseada de la pieza:

Figura 4.4 Deformación deseada

La segunda figura muestra la formabilidad. Solo se presenta una deformación de ancho pero marginal y en las orillas pequeñas arrugas

Figura 4.5 Análisis de Formabilidad

95 CAPÍTULO 4

Esta figura muestra la variación de esfuerzos efectivos en los elementos deformados y la ubicación de las deformaciones unitarias mayor y menor en el DLC.

Figura 4.6 Esfuerzos efectivos en la sección embutida

96 CAPÍTULO 4

En esta figura se representa el cambio de espesor de la chapa durante el embutido

Figura 4.7 Cambio de espesor en la parte embutida

97 CAPÍTULO 4

Aquí se muestran los elementos que sufren mayor deformación unitaria mayor

Figura 4.7 Deformacion unitaria mayor en la parte embutida

98 CAPÍTULO 4

Una vez dibujada la pieza deseada, la cual se obtendrá una vez deformada la chapa, (únicamente se va a analizar la parte embutida, de cualquiera de los extremos de la abrazadera, como se planteó en los objetivos), el análisis números determina la factibilidad de poder procesar la conformación sin que se presente alguna falla; para ello compara las deformaciones mayores y menores sufridas en la zona de deformación plástica contra las gráficas de los Diagramas Límites de Conformado, para el material y propiedades de anisotropía, antes calculado. Como se puede observar en las figuras 4.6, 4.7 y 4.8, los puntos de deformación mayor y menor, están legos de los límites superiores de deformación. Esto implica que es factible embutir la pieza sin ningún problema. 4.4 SUMARIO Los valores de las propiedades de chapas metálicas calculados y de manual son:

Calculado de Tablas*

r 1.425 1.4 - 1.8 dentro del rango

n 0.22 0.22 - 0.26 dentro del rango

* Hosfor/ Caddel Metal Forming PTR Prentice Hall 1993

El análisis numérico, a través de los Diagramas limites de Conformado, ayuda a determinar la factibilidad desconformado metálico.

99 CAPÍTULO 4

CONCLUSIONES

La industria Metal - Mecánica es se gran importancia para la economía Nacional. Los procesos de

conformación plástica forman parte de este sector, por lo que optimizar estos trabajos ayudará a

fortalecer la competitividad de las empresas. Las piezas fabricadas a partir de chapas metálicas que requieran grandes deformaciones y formas

caprichosas son de difícil fabricación. El método de Diagramas Límites de Conformado es una

herramienta útil que facilita el estudio de la Formabilidad de chapas, proporcionado la factibilidad de

realizar deformaciones severas en la chapa. Combinando esos diagramas con los Métodos de

Elementos Finitos, se obtiene un medio que ayuda en el diagnostico para decidir sin es posible

obtener piezas sin defectos. Esto facilita el Diseño de la pieza, de las herramientas para su

manufactura, apoya en la producción en serie de la misma.

RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS

FUTUROS

El software utilizado en este análisis lo conocí en una plática dada en el Tecnológico de Monterrey,

Instituto donde lo van a estudiar. La empresa que distribuye dicho paquete de cómputo está

dispuesta a que con un costos de 2,500.00 puede instalar en red para todas las computadoras

disponibles. Se que es la única institución que se actualiza en México con una baja inversión. Esto

debe representar la IPN, un reto de no permitir que otras instituciones educativas estén a la

vanguardia antes que nosotros. Con todo lo antes dicho y el trabajo presentado, sugiero como trabajos futuros, profundizar el tema

de conformación de metales, desde el punto de vista teórico, en las ramas de cálculo variacional y la

teoría de la plasticidad; así como en el uso de paquetería actualizada y enfocada específicamente a

estos temas. Esto debe servir de plataforma para crear softwares con ayuda de la adquisición de

equipos de laboratorio cuya aplicación sea específicamente para el estudio de comportamiento de

metales en el rango plástico.

CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES 100

Estudio completo de la teoría de la plasticidad, abarcando los diversos métodos para la

solución de problemas de conformado metálico (aspectos indicados en la figura 3.11), así

como un desarrollo profundo de los criterios de cedencia anisótropos, por ejemplo los que

se enlistan en la siguiente tabla

CRITERIOS DE LA FAMILIA HILL

Hill 1948 Hill 1979 Hill 1990 Hill 1993 Chu 1995

Lin, Ding 1996

CRITERIOS DE LA FAMILIA HOSFORD

Hosford 1979 Barlat y Lian 1989 Barlat et al. 1992 Karafillis- Boyce Barlar et al. 1994 Barlat et al. 1996

Desarrollar pruebas y medidas para una más precisa caracterización del material utilizado

para conformar piezas (aplicar completamente las normas respectivas por ejemplo ASTM E

2218-02 Standard Test Method for Determining Forming Limit Curves):

www.trilion.com/Ppr.303.Stamping.ARGUS.

CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES 101

Análisis mecánico así como la aplicación de paquetes computacionales, a piezas embutidas

complejas, por ejemplo las siguientes

www.trilion.com/Ppr.303.Stamping.ARGUS.

Aplicación de los conocimientos de plasticidad para un mejor y más eficiente diseño de

herramientas para la manufactura de piezas embutidas;

Análisis mecánico y aplicación de paquetes computacionales a partes de troquel, tales como

punzones y matrices con figuras irregulares, concentración de esfuerzos en esquinas;

Optimización del número de fases y formas de las mismas, en piezas embutidas fabricadas

mediante troqueles progresivos, por ejemplo reducir el número de fases en el siguiente

arreglo: Profundizar en los tipos y usos de los Diagramas Límite de conformado, modificación de

las curvas límite tomando en cuenta el espesor de la chapa, tipo de proceso, dureza;

CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES 102

Simulación por hidroformado, análisis de piezas como las que se muestran:

REFERENCIAS www.thefabricator.com/Articles/Tube_and_Pipe_Article.cfm

CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES 103

APÉNDICE 1

PLASTICIDAD

A.1.1 GENERALIDADES

Plasticidad, es una propiedad mecánica de los materiales que les permite sobrellevar deformación continua y permanente sin que el material falle durante la aplicación de esfuerzos mayores al esfuerzo de cedencia del

material. Una expresión general de la acción plástica, debe involucrar la velocidad de deformación, ya que en

estado plástico los materiales pueden deformarse bajo esfuerzo constante y sostenido; así mismo se requiere el

concepto de límite de deformación antes de la fractura. Las leyes de la plasticidad son parte

necesaria de la mecánica de materiales Hay tres aspectos de estudio de la plasticidad:

1. Teoría de la Plasticidad, trata con materiales ideales y analiza la distribución de esfuerzos y

deformaciones unitarios de acuerdo con propiedades idealizadas.

2. La física del metal. Examina la naturaleza de un cristal simple y trata de relacionar sus ideas con un

arreglo policristalino.

3. Tecnológico. Trata de relacional la teoría matemática con un estudio del comportamiento general de

cuerpos deformables plásticamente, determinando leyes y criterios experimentalmente, para predecir

resultados.

Actualmente, la utilización de la computadora facilita el uso la de la teoría matemática, a través de métodos numéricos, a aplicaciones práctica, junto con mediciones, a través de métodos ópticos, y así predecir el

comportamiento de las grandes deformaciones que puede sufrir un material metálico.

Las deformaciones plásticas causadas por deslizamiento, son inducidas por esfuerzos cortantes como se muestra en la figura.

APÉNDICE 1 104

F Plano de deslizamiento

F

Figura A1.1 Deslizamiento Plástico Por Cizallamiento

Tales deformaciones ocurren a un determinado valor de esfuerzo a temperatura ambiente; pero también, las deformaciones plásticas se pueden presentar a esfuerzos menores al límite de cedencia, siempre y cuando se deje

transcurrir tiempo suficiente y se provean altas temperaturas que favorezcan el deslizamiento. Además en metales

se presenta un efecto de endurecimiento debido al deslizamiento plástico. La diferencia entre las consideraciones de esfuerzo y deformación unitarias para diseño mecánico y estructural, y conformado metálico son las deformaciones resultantes; para el primero son pequeñas tanto en el

rango elástico como en el plástico, mientras en el segundo ocurren deformaciones plásticas grandes. Para

deformaciones pequeñas menores del 0.2%, el método para calcular esfuerzo y deformaciones unitarias no es

importante. Sin embargo, para grandes deformaciones en el rango plástico, el método de cálculo hace una

diferencia significativa; los dos métodos más utilizados son, el esfuerzo y deformación unitarios de

ingeniería, convencional o nominal, y el esfuerzo y deformación unitarios reales, naturales o logarítmicos.

APÉNDICE 1 105

Figura A1.2 Gráfica Esfuerzo - Deformación Unitaria, De Ingeniería y Real Idealizados

La deformación unitaria real antes de la estricción se obtiene considerando los pequeños incrementos de longitud e integrando sobre el cambio de longitud total esto es:

l

ε = ∫ dl = ln l l l0

si el volumen permanece constante, A0l0 = Al , entonces:

lo

ε = ln l = ln A0 = 2ln D0

l0 A D

Donde los símbolos se refieran a la longitud, área y diámetros originales respectivamente. Puesto que

l = l0 + ∆l, la deformación unitaria real puede relacionarse con la deformación unitaria de ingeniería como

sigue:

ε = ln⎛ l0 + ∆l ⎞ = ln(1+ ε ) ⎜

⎜

l0 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠

Las ventajas de utilizar deformaciones unitarias reales son las siguientes:

1. Para deformaciones relativamente grandes, es la deformación en tensión y en compresión son

numéricamente iguales pero de signo opuesto, lo que no sucede en el caso de deformaciones unitaria de

ingeniería. Por ejemplo, si una probeta es alargada de 10 a 20 mm o comprimida de 20 a

10 mm se obtiene para cada caso lo siguiente:

APÉNDICE 1 106

a) Para deformación unitaria real:

εT = ln 20 = 0.693

10 b) Para deformación unitaria de ingeniería:

εT = ∆l = 20 −10 = 1

εC = ln 10 = −0.693

20

εC = 10 − 20 = − 1 l 10 20 2

2. Las deformaciones unitarias reales se pueden sumar para estados sucesivos de deformación, no así

en el caso de deformaciones de ingeniería:

ε1 = ε1 + ε 2 = ln l1 + ln l2 = ln l2 l0 l1 l0

mientras que en ingeniería

ε1 = l1 − l0 ε 2 = l2 − l1 ε1+2 = l2 − l0

l0 l1 l0

de donde ε1 + ε2 ≠ ε1+2

La t e o r í a d e l a p l a s t i c i d a d trata con los métodos para calcular esfuerzos y deformaciones unitarios, después de que un cuerpo elástico, fundamentalmente metálico, ha alcanzado su punto de cedencia; toma como

punto de partida observaciones experimentales, del comportamiento plástico macroscópico de sólidos, sometidos a

cualquier estado de esfuerzos; su tarea es doble; primero, construir relaciones explícitas generales entre esfuerzos

y deformaciones unitarios, de acuerdo con las observaciones; segundo, desarrollar las técnicas matemáticas que

representan el comportamiento de cuerpos deformados permanentemente. La deformación plástica o permanente,

es esencialmente independiente del tiempo; la visco-plástica es función del tiempo, temperatura y velocidad de

deformación. Varios modelos para materiales plásticos serán presentados más adelante (A.1.10), junto con sus

curvas esfuerzo - deformación y sus respectivas fórmulas empíricas.

Este apéndice se enfoca en las condiciones bajo las cuales un material, pasa de su estado elástico al plástico, así como de las "reglas de flujo" asociadas. Para describir el comportamiento plástico de un material

sometido a un estado general de esfuerzos, se deben considerar tres elementos:

1. Un criterio de cedencia que exprese una relación entre los componentes de esfuerzo en el momento

que ocurre la cedencia,

APÉNDICE 1 107

2. Una regla de flujo que exprese la relación entre los componentes de esfuerzo y deformación

unitarios,

3. Una regla de "endurecimiento" que describa la evolución del esfuerzo de cedencia inicial, durante

el proceso de conformado.

A.1.2 CONDICIONES DE CEDENCIA

La transición del estado elástico al plástico ocurre cuando el esfuerzo alcanza el punto de cedencia del material. La importancia de predecir la cedencia en el trabajo de conformado metálico se debe a dos razones, 1)

es cuando inicia la deformación permanente (conformado), y 2) es el límite de falla de las herramientas utilizadas

en el conformado de metales. La función de cedencia se define de dos maneras: asumiendo que la "cedencia

plástica" inicia cuando alguna cantidad mecánica (esfuerzo, energía, etc) alcanza su valor crítico, o se aproxima

con datos experimentales a una función analítica.

La mayoría de las operaciones de conformado metálico, involucran estados de esfuerzos combinados. Cualquier

expresión matemática que trate de predecir el estado de esfuerzos que induzca cedencia, es

llamada criterio de cedencia. Una forma general de tal expresión es:

f (σ x ,σ y ,σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx ) = C

o en función de los esfuerzos principales:

f (σ1,σ 2 ,σ 3 ) = C

Al tratar con cedencia y plasticidad, normalmente se consideran las siguientes simplificaciones:

1. El material se considera homogéneo, isótropo y continuo,

(A1.1)

(A1.2)

2. Los esfuerzos de cedencia a tensión y compresión son idénticos, esto es, no se presenta el efecto

Bauschinger,

3. El volumen permanece constante, y la suma de las deformaciones unitarias plásticas son cero, esto

es, ∆V/V = cte. y dε1 + dε 2 + dε 3 = 0 , (el módulo de Poisson es igual a 0.5),

4. El estado de esfuerzo hidrostático no influye en la cedencia,

5. Los efectos del módulo de deformación unitaria se desprecian, 6. No se

consideran los efectos de temperatura.

APÉNDICE 1 108

Los criterios de cedencia, para materiales isótropos más ampliamente usados, son el criterio de máximo

esfuerzo de corte (Propuesto por Tresca), el criterio del esfuerzo octaedral o criterio de energía de

deformación (Propuesto por Huber - von Mises) y más recientemente se considera el criterio de Hosford:

A1.3 CRITERIO DE TRESCA

De acuerdo con este criterio, un material pasa de su estado elástico al plástico cuando se alcanza el valor crítico denominado esfuerzo cortante máximo.

σ máx −σ mín = σ f

o

σ1 −σ 3 = σ f

σ2

σf

(A1.3) (A1.4)

σf σ1 σf

σf

Figura A1.3 Lugar Geométrico De Falla Según El Criterio De Tresca Para El Caso Bidimensional.

A1.4 CRITERIO DE VON MISES

Este criterio postula que la cedencia ocurre cuando se alcanza algún valor:

(σ

x

− σ y )2 + (σ

y −σ

z )2 + (σ

z − σ

x )2 + 6 τ 2 + τ 2

yz + τ 2 = 2σ 2f

En este caso se está representando la falla dúctil del material. (

xy zx

) (A1.5)

APÉNDICE 1 109

Figura A1.4 Lugar Geométrico De Falla Según El Criterio De Von Mises

Para El Caso Bidimensional.

A1.5 CRITERIO DE HOSFORD

En 1972 Hosford[1], introduce una generalización de los dos criterio anteriores, de la siguiente forma:

(σ1 −σ 2 )m + (σ 2 −σ3 )m + (σ3 −σ1)m = 2σ mf (A1.6) donde m es un exponente que depende del comportamiento de material y varia entre lo valores 1< m < ∞ ,

para m = 1 este criterio se reduce al de Tresca, para m = 2 se tendrá el criterio de Mises

A1.6 ESFUERZO Y DEFORMACIÓN UNITARIOS EFECTIVOS

Para tratar los estados de esfuerzos complejos (combinados) en trabajos de metal, se introducen los

conceptos de esfuerzo unitario efectivo σ , y deformación unitaria efectiva ε . El esfuerzo efectivo, se

define en términos del lugar geométrico de todas las posibles combinaciones de estados de esfuerzos, que

iniciaría la cedencia o flujo plástico, caracterizado por un grupo de propiedades de resistencia dadas. Una expresión para el esfuerzo efectivo σ , puede escribirse como función de los esfuerzos aplicados para

cualquier criterio de cedencia, como los antes expuestos. Como resultado de la variación del estado de

esfuerzos aplicados, ocurrirá cedencia cuando el esfuerzo efectivo alcance un valor crítico.

APÉNDICE 1 110

El concepto de esfuerzo unitario efectivo, y deformación unitaria efectivos son necesarios para analizar el

endurecimiento por deformación unitaria que ocurre en otra trayectoria de carga diferente a la de tensión

uniaxial; se define tomando en cuenta:

1. σ y ε , se reducen a σ x y a ε x en la dirección x del ensayo de tensión. 2. El incremento de trabajo mecánico por unidad de volumen realizado en la formación plástica de un

material es dw = σdε .

3. Además es usual asumir que la curva σ - ε describe el endurecimiento por deformación unitaria

para cargas baja un rezón de esfuerzo constante.

Para el criterio de Von Mises:

σ = 1 (σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 [ 2

]1

2

(A1.7)

La deformación unitaria plástica efectiva, se define como el incremento de trabajo de deformación por

unidad de volumen que se expresa de la siguiente manera:

dWz = σdε = σ1dε1 + σ 2dε 2 + σ 3dε3 (A1.8)

para el criterio de Von Mises en su forma simplificada, da:

1

dε = ⎡ 2 (dε12 + dε 2 + dε 2

)⎤ 2 (A1.9)

⎣⎢3 2

3⎥ ⎦

la deformación unitaria plástica efectiva total, donde sea aplicable, esta dada por:

1

ε = ⎡2 (ε12 + ε 2 + ε 2

)⎤ 2 (A1.10)

⎣⎢3 2

3⎥ ⎦

111

A1.7 LA SUPERFICIE DE CEDENCIA

Los esfuerzos efectivos antes definidos, también son llamados esfuerzos de flujo puede graficarse mediante un cilindro de longitud infinita en el espacio tridimensional, cuando los tres esfuerzo principales, son usados como

ejes cartesianos, según se muestra en la siguiente figura.

σ3 σ3 σ1=σ2=σ3 σ1=σ2=σ3

SUPERFICIE DE SUPERFICIE DE CEDENCIA CEDENCIA

σ2 σ2

PLANO PLANO OCTAHEDRAL OCTAHEDRAL

HEXÁGONO ELIPSE σ1 σ1

a b

Figura A1.5. Los Cilindros Representan Las Superficies De Cedencia En Tres Dimensiones De Acuerdo Con Los Criterios A) De Tresca Y Von Mises, El Prisma Hexagonal Inscrito Representa La Superficie

De Cedencia De Acuerdo Con El Criterio De Máximo Cortante, B) El Cilindro El De Von Mises.

La superficie de cedencia indica los estados de esfuerzos multiaxiales, en los que ocurre la cedencia y son los que quedan fuera del prisma hexagonal, o del cilindro inclinado. Ambas figuras forman un ángulo de 54.73°,

respecto de cada eje de esfuerzos principales. Además el estado de esfuerzos que está sobre el eje

del cilindro, corresponde a un estado de esfuerzos hidrostático σ1=σ2=σ3.

A1.8 ESTADO DE DEFORMACIÓN UNITARIA PLÁSTICA

Las deformaciones unitarias elásticas, normalmente son más pequeñas que la deformación total, por lo que

se consideran como despreciables en todos los análisis futuros de deformación plástica. Pero, las

APÉNDICE 1

112

deformaciones unitarias pláticas son mucho mayores, que sus incrementos dε x , dε y y dε z así que son usados como deformación unitaria, entre instantes consecutivos, durante el proceso de flujo plástico.

Hay mucha semejanza entre las ecuaciones para deformación unitaria elástica y plástica, la única diferencia

es que las deformaciones unitarias εii, γij y εij son remplazadas por sus diferenciales dεii, dγij y dεij.

Tomando en cuenta desplazamientos pequeños del vector u (ux, uy, uz,) entonces

dεij = 1 ⎜ ∂ui + ⎛

∂u j ⎞ ⎟

2 ⎝ ∂x j

⎜

∂xi ⎠ ⎟

(A1.11)

que es análoga a la definición de deformaciones unitarias elásticas pequeñas. Los invariantes de la deformación unitaria plástica son:

I1′ = 0 ya que dε1 + dε 2 + dε3 = 3dε m = 0

I ′2 = 1 (dε1 − dε 2 )2 + (dε 2 − dε3 )2 + (dε3 − dε1 )2 [ 6

I ′3 = (dε1 − dε m )(dε 2 − dε m )(dε3 − dε m )

] (A1.12)

El segundo invariante, es un concepto fundamental en la teoría de flujo plástico, ya que representa el cuadrado de una magnitud llamada incremento de intensidad de distorsión o incremento de deformación

unitaria equivalente, dεi = I ′2 , dεi representa el incremento de la intensidad de distorsión acumulada en

una partícula de material, es un periodo de tiempo corto entre dos estados consecutivos del proceso de flujo

plástico[2].

A1.9 RAPIDEZ DE DEFORMACIÓN PLÁSTICA

La velocidad de flujo plástico, en un punto de un material está determinada por el vector v, de componentes

vx, vy, vz, si δt es un intervalo de tiempo corto, entonces los desplazamientos pueden determinarse mediante

u x = v x δt u y = v y δt uz = vzδt (A1.13)

entonces las deformaciones unitarias, pueden expresarse mediante las siguientes relaciones

ε x = ∂vx , ∂x

εy =

∂vy , ∂y

ε z = ∂vz

∂z

(A1.14)

APÉNDICE 1

113

ε xy = 1 ⎛ ∂vx + y

⎞ ∂v

⎜ ⎟ ε xy = 1 ⎛ y + ∂vz ⎞ ∂v

⎜ ⎟ ε xy = 1 ⎛ ∂vz + ∂vx ⎞

2 ⎜ ∂y ⎝

∂x ⎟ ⎠

2 ⎜ ∂z

⎝

∂y ⎟ ⎠

⎜ 2 ⎝ ∂x ⎜

⎟ ∂y ⎠ ⎟

(A1.15)

En términos de la rapidez de deformación unitaria, la condición de incompresibilidad de los materiales está

dada por: ε x + ε y + ε z = 0 .

A1.10 CURVAS ESFUERZO - DEFORMACIÓN UNITARIA, [3]

IDEALIZADAS Y SUS ECUACIONES EMPÍRICAS RESPECTIVAS

La relación más importante en conformado de metales, es la relación entre esfuerzos y deformaciones unitarios. Para facilitar los problemas de plasticidad, se utilizan formas simplificadas de la curvas esfuerzo -

deformación, y sus respectivas ecuaciones empíricas. Las curvas idealizadas difieren esencialmente en: 1)

si se incluye o no la porción elásticas ( ε = 0 o E = ∞ ), 2) si es tomado en cuenta el endurecimiento por

deformación o no (ideal o perfectamente plástico). Para una rapidez de deformación constante se tienen los

siguientes casos:

0. Cu erpo Ríg ido

σ

ε =0 o

E =∞ E Módulo de Elasticidad

ε

1 . Grá fica pa ra materia l ríg ido - plástico p e rfecto

σ Trayectoria de carga

σ0

Trayectoria de descarga

σ = σ0

dσ = 0 dε

(A1.16)

ε0 ε

PÉNDICE 1

114

2 . Gráfica linealmente el ástico - p e rfectament e plá sti co

σ

σ

0

σ=Εε

σ = σ0

de 0 a σ 0

de σ 0 en adelante

(A1.17)

No se presenta endurecimiento

por deformación

ε0 ε

3. Gráfica rígido - plástico lineal endu recido por d eforma ción

σ

σ0 σ = σ 0 + Kε (A1.18)

o

σ + σ 0 + K ′σ 0ε

ε0 ε

4. Grá fi ca lin eal elá sti ca - plásti ca linea l en durecida p or d eforma ción (plástico - plástico )

σ

σ = Eε de 0 a σ 0 σ0 (A1.19)

σ = σ 0Kε de σ 0 en adelante

ε0 ε 5 . Gráfica n o linea l - plástico en durecida p or d eforma ción

σ

σ = Kε n donde 0 < n < 1 (A1.20)

Relación conocida como ley de

potencia de Hollomon-Ludwik

Relación conocida como ley de potencia de

Hollomon-Ludwik. ε

6 . Grá fica rígido - no lineal endu recida

σ APÉNDICE 1 115

σ = σ 0 + Kε n (A1.21) σ0

ε0 ε

7 . Grá fica elástico lineal - plá stico no lineal endu recida:

σ = K(ε0 + εi )n 0 ≤ n ≤ 1

ε0 Deformación por trabajo en frío

εi Deformación por trabajo plástico posterior

(A1.22)

8. Grá fica elástico line al - plá stico no linea l con endu recimiento

σ

σ0

σ = Eε de 0 a σ 0

(A1.23)

σ = Kε n de σ0 en adelante

ε0 ε

A1.11 REGLA DE FLUJO

Para deformación elástica, la relación entre esfuerzo y deformación unitarios, está dada por la ley de Hooke

generalizada:

ε1 = 1 [σ1 − µ(σ 2 + σ 3 )] E

(A1.24)

APÉNDICE 1

116

Las relaciones esfuerzo-deformación unitarios, que describen la trayectoria de deformación unitaria de un

material son llamadas reglas de flujo. Para cualquier criterio de cedencia, dichas reglas pueden obtenerse

usando la siguiente fórmula:

∂f (σ ij )

dεij = ∂σ ij (dλ)

(A1.25)

Donde f σ ij , es la función de cendencia isótropa. De acuerdo con el criterio de von Mises, la regla de ()

flujo obtenida es:

dε1 = dε 2 = dε3 = dλ (A1.25) σ ′1 σ ′2 σ ′3

Donde σ i′ es el componente de esfuerzo de dilatación:

σ ′x = σ

x −σ

m

σ ′y = σ y − σ m (A1.26)

σ ′z = σ

z −σ

m

A1.12 RELACIONES ESFUERZO - DEFORMACIÓN EN PLASTICI DAD

La teoría matemática general de plasticidad, no está tan desarrollada coma la teoría de Elasticidad, por las

complejidades inherentes que se deben involucrar. En Plasticidad, la deformación es irreversible, se

presentan endurecimiento del material por deformación y ocurre anisotropía con deformación continua. La

deformación elástica depende de los estados de esfuerzo y deformación unitarios, inicial y final; mientras que la

deformación plástica también depende de la trayectoria de los esfuerzos y deformaciones.

En la teoría de Plasticidad, algunos conceptos del continuo elástico se extienden para obtener un enfoque

simplificado, llamado plasticidad de un medio continuo, o simplemente plasticidad continua. Para facilitar el

tratamiento matemático en plasticidad continua se asume que el material es isótropo, rígido-plástico y que

no se endurece por deformación (no se presenta efecto de Bauschinger). Aunque los metales y sus

aleaciones no pueden estrictamente ser considerados como un continuo, exhiben un comportamiento

macroscópico.

APÉNDICE 1 117

Hay dos teorías de Plasticidad comúnmente usadas: La teoría de Flujo o incremental, como expresa la

ecuación de Levy-Mises, y la teoría de deformación, en la que se asume proporcionalidad de la carga. De la ecuación A1.25, se puede obtener la comúnmente usada ecuación de Levy-Mises, para material isótropo:

dε x = dε y = dε z = dγ xy = dγ yz = dγ zx = dλ (A1.27)

σ x −σ m σ y −σ m σ z −σ m 2τ xy τ yz τ zx

donde dγ , es un factor de proporcionalidad instantáneo, positivo, variable, llamado factor de flexibilidad

plástica, y σ m , es el esfuerzo hidrostático. Esto implica que la razón entre la deformación unitaria plástica y el esfuerzo de dilatación es constante. De lo anterior, se puede generalizar la deformación como

(de ) ij p

= σ ′ijdλ

(A1.28)

Los términos diferenciales deij , son usados en plasticidad puesto que las deformaciones son grandes y varía considerablemente de punto apunto en un material durante el proceso de conformado.

En componentes de esfuerzo la ecuación anterior se puede expresar, como:

dε1 = dλ ⎡σ1 − ⎛ σ 2 + σ 3 ⎞⎤ ⎢ ⎝ 2 ⎠⎥ ⎜ ⎟

dε1 = dε ⎡σ1 − ⎛ σ 2 + σ 3 ⎞⎤ ⎣ ⎦ σ⎢ ⎝ 2 ⎠⎥ ⎣ ⎜ ⎟ ⎦

dε 2 = dλ ⎡σ 2 − ⎛ σ1 + σ 3 ⎞⎤ (A1.29) o bien

⎢ ⎜ ⎟ dε 2 = dε ⎡σ 2 − ⎛ σ1 + σ 3 ⎞⎤ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎥ ⎦ σ⎢ ⎜ ⎟ (A1.30

⎣ ⎝ 2 ⎠⎥ ⎦ dε3 = dλ ⎡σ 3 − ⎛ σ1 + σ 2 ⎞⎤ ⎢

dε3 = dε ⎡σ 3 − ⎛ σ1 + σ 2 ⎞⎤ ⎣ ⎜ 2 ⎟⎥ ⎝ ⎠

⎦ σ⎢ ⎣ ⎜ 2 ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦

En estas últimas relaciones son análogas a las ecuaciones constitutivas para deformación elástica si se reemplaza dε /σ por 1/E; y ½ por µ , de la ley de Hooke. Esto es, si σ x = σ y = σ z = σ v , sustituyendo

en la ley de Hooke Generalizada, se obtiene lo siguiente: ε v =

1 E [σ v

− µ(σ v +σ

v )] = σE (1− 2µ), v pero

εv = ε x + ε y + ε z = 3σ

E

(1− 2µ ). Se define el módulo volumétrico como σ v = Κ = v εv

permanece constante si Κ → 0 , esto es que 1 − 2µ = 0 ∴ µ = 12

E

3(1−

2µ )

, el volumen

Si en la ecuación anterior se reemplaza dε /σ por 1/Ep, entonces Ep puede considerarse como el módulo

plástico que, no es constante para un material dado, como lo es el módulo de elasticidad. Ep puede evaluarse

de dos maneras, usando la gráfica de esfuerzo deformación, unitarios experimental, o asumiendo que el

esfuerzo y deformación unitarios están relacionados por una ecuación empírica aproximada.

APÉNDICE 1 118

En la siguiente gráfica de esfuerzos efectivos contra deformaciones unitarias efectivas, se indica cómo se

puede obtener Ep: ε

σ2

σ1

E p1 = σ 1

ε1

ε1

ε2

Ep2 = σ 2

ε2

σ Fig. A1.6 Curva Esfuerzo Deformación Unitarios Efectivos, Para La Determinación De Ep[4]

Si se tiene la relación aproximada de la variación de la curva de la gráfica, que puede ser la ley de potencia

de Ludwik-Hollomon:

σ = kε n (A1.31)

donde Ep, está dada por

Ep = σ =

σ

1

= K1 )−1

n

(A1.32)

ε (σ / K )1 n σ ( n

El valor del módulo de Poisson es ½ , ya que el volumen se considera constante.

A1.13 ENDURECIMIENTO POR DEFORMACIÓN PLÁSTICA

El Endurecimiento por deformación, es el fenómeno por el cual un metal dúctil se endurece y aumenta su resistencia debido a deformación plática (permanente), algunas veces también llamado trabajo por

endurecimiento en frío. Este proceso se lleva a cabo a temperatura ambiente, más concretamente, menor a la

temperatura de recristalización. Al incrementar su resistencia y dureza, se pierde ductilidad. El grado de

deformación plástica que admiten los metales se expresa en por ciento de la reducción de área en la

estricción:

⎛ A0 − Af ⎜ ⎞ ⋅100

⎝⎜

A0

⎟⎟ ⎠

donde A0 → Área inicial,

Af → área final

APÉNDICE 1

119

El método más común, para describir el comportamiento de endurecimiento de un metal dúctil, de manera

cuantitativa, es por medio del ensayo de tensión simple. Las condiciones en que se debe realizar en ensayo son:

1. La velocidad de deformación debe ser del orden de 10-2 a 10-4/seg,

2. La temperatura entre 20 y 30° C,

3. Las mediciones están restringidas a la sección calibrada, que sufre un estado de tensión uniaxial,

durante deformación unitaria

La figura A1.3 muestra la curva esfuerzo deformación unitarios reales en tensión simple, de un material recocido. Se analizará el comportamiento después del esfuerzo en el punto de cedencia.

Al rebasar dicho punto el material se deformará permanentemente, si la probeta se esfuerza hasta el punto B, y se

retira la carga de tensión, habrá una recuperación que sigue la trayectoria BC, que es muy cercana a una línea recta

y de ahí al punto D.

La deformación permanente sin carga corresponde a la distancia OD. Despreciando el fenómeno de Histéresis,

consideramos que se carga de nuevo la probeta, entonces el punto F coincide con el B, es decir es el nuevo punto de

cedencia.

El crecimiento en el valor del esfuerzo de cedencia es conocido como el endurecimiento por deformación.

G σ B

F

σPC

O

E

D

C

ε

Figura A1.7 Gráfica Esfuerzo Deformación Unitarios Reales

APÉNDICE 1 120

La parte curva de la gráfica se describe adecuadamente con relación AI.20, en términos de esfuerzo y

deformación unitarios efectivos se tendrá σ = Kε n .

REFERENCIAS [1] Hossford W. F. A generalised isotropic yield criterion, J Appl. Mech. 39, 1972

[2] Szpcepinxki, W. Introduction to the mechanics of Plastic Forming of Metals, Sijthoff & Noordhoff, Inst.

Pub., Netherlands, , 1979 pp 24.

[3] Johnson, W., y P. B. Mellor, Engineering Plasticity, Van Nostrand Reinhold Co. N: Y: 1973, p 14 [4] E.

M. Mielnik Metalworking Science and Engineering McGr4aw-Hill 1991p 50.

APÉNDICE 1 121

APÉNDICE 2

ANISOTROPÍA PLÁSTICA

La mayoría de los materiales utilizados en conformado de metales son anisótropos, estos es, tiene diferentes

propiedades elasto-plásticas, en distintas direcciones. La anisotropía, puede ser de dos clases: mecánica y

cristalográfica; la mecánica es importante en el tratamiento de la fractura; mientras la cristalográfica, lo es para el

fenómeno de cedencia y deformación plástica. La anisotropía mecánica en aceros, se debe a la orientación y

distribución de inclusiones no metálicas como escorias de silicatos, lo que produce una resistencia última a la

tensión, del 30% menor en la dirección transversal, que en la dirección del rolado. La anisotropía cristalográfica es

debida a la orientación del grano cristalino adquirida durante el procesamiento. Durante el rolado en frió, los

granos de un metal rotan, pueden quedar paralelos al plano de la lámina o girados, como se muestra en la siguiente figura:

Figura A.2.1 Orientación Preferida De Granos De Lámina Negra Comercial (Adaptada De Van Vlac, Materials, Science For Engineers, Addisón-Wesley)

La orientación que siguen los cristales es llamada orientación preferida, o textura cristalográfica, sus propiedades

mecánicas varían de acuerdo a su orientación. Los cristales metálicos tienen determinadas propiedades en

diferentes direcciones, esto es, el material texturizado es anisótropo. Si los granos del metal policristalino son

orientados al azar, dicho material es usualmente considerado como isótropo. La recristalización por revenido de

un material trabajado en frió, usualmente no renueva la textura cristalográfica, pero puede producir una textura

diferente.

A2.1 TEORÍA ANISÓTROPA PLÁSTICA CONTINUA

Esta teoría intenta describir el comportamiento, entre el esfuerzo y la deformación unitarios de un continuo,

fundamentados en los postulados de cedencia, sin olvidar la estructura interna. La plasticidad cristalina, está

planteada en el comportamiento del deslizamiento y la rotación de un grano metálico policristalino. La

APÉNDICE 2 122

modelación matemática del conformado de láminas requiere un criterio de cedencia, que describa el comportamiento de cedencia anisótropo de una chapa. La teoría plástica continua fue originalmente desarrollada para un material isótropo, de acuerdo con la

ecuación Levy - Mises:

dε x = dε

y = dε

z = dγ

xy = dγ

yz = dγ

zx = dλ

σ x −σ

m σ

y − σ

m σ

z − σ

m 2τ

xy 2τ

yz 2τ

zx

(A1.27)

Donde, dλ es un factor instantáneo de proporcionalidad llamado flexibilidad plástica, y σ

m es el esfuerzo

hidrostático.

Posteriormente esta teoría fue modificada por R. Hill [1], para explicar los efectos de la anisotropía en el proceso de

conformación, incorporando los "parámetros de anisotropía plástica" o "coeficientes anisótropos". Los postulados de Hill están basados en las siguientes suposiciones:

1) Los parámetros anisótropos, aumentan en proporción directa con la deformación. 2) El

esfuerzo efectivo, únicamente es función, del trabajo plástico total. 3) El estado de anisotropía posee tres ejes ortogonales con respecto a los cuales las propiedades son

simétricas. 4) El estado hidrostático de esfuerzos no influye en la cedencia. 5) El efecto Bauschinger no afecta la deformación; esto es, las cuervas esfuerzo deformación unitarios,

en tensión y compresión son imágenes reflejadas.

Si se eligen como X, Y y Z los ejes de anisotropía, el criterio de cedencia puede escribirse[2] , como sigue:

2 f (σ ij ) = F (σ y −σ z )+ G(σ z −σ x )+ H (σ x −σ y )+ 2Lτ 2yz + 2Mτ 2 + 2Nτ 2 = 1

zx xy (A2.1)

Donde, f σ ij es una función de cedencia anisótropa, y F, G H, L, M, y N son constantes, que caracterizan ()

el estado anisótropo común. Sí F=G=H, y L=M=N=3F, se obtiene el criterio de von Mises. Las constantes F, G H, pueden evaluarse a partir del ensayo de tensión simple. Las constantes L, M y N pueden determinarse a partir del ensayo a corte (torsión). Si Sx, Sy y Sz son las resistencias de cedencia a tensión de las probetas, tomadas en las direcciones x, y y z, respectivamente, entonces:

S2 = x

1

G+H

SY2 =

1

H+F

y

S2 = Z

1

F +G

(A2.2)

resolviendo simultáneamente:

2F = 12 + 1

2 − 12 2G = 1

2 + 1

2 − 12 2H = 1

2 + 1

2 − 12 (A2.3)

S y Sz Sx Sz Sx S y Sx S y Sz

APÉNDICE 2 123

Para láminas no es conveniente hacer mediciones en la dirección z.

A partir de la forma de los lugares geométricos de cedencia, Bishop y Hill, encontraron que para metales

FCC y BCC, con texturas cristalográficas simétricas respecto al eje z, esto es, r0° = r45°

= r90° ≠ 1

, para el

rango de texturas establecidas, los efectos de r, tienden a sobre estimar la forma del lugar geométrico de cedencia. Considerando los ejes, x y z como ejes principales, es mejor representar el criterio de Hill por la generalización siguiente:

F σ 2 −σ 3 a + Gσ 3 −σ1 a + H σ1 −σ 2

a =1 (A2.4)

Donde el exponente a, es mayor a 2. Para un material isótropo en el plano:

σ1 a + σ 2 a r σ1 − σ 2 a = (r +1)σ ay (A2.5)

El exponente a, se ha estimado en el valor de 6 para metales BCC, y de 8 a 10 para metales FCC. Al

incrementara el valor de a, la gráfica se aproxima al lugar geométrico de Tresca. Mellor y Parman[.3], propusieron una nueva expresión para el criterio de Hill, de la forma:

(1+ 2r)σ1 −σ 2 m′ + σ1 +σ 2 m′ = 2(1+ r)σ m′ y (A2.6)

m′ es un parámetro nuevo, análogo al exponente a, el cual se determina experimentalmente. La Figura A2.2

muestra los lugares geométricos para valores del exponente entre 1.5 ≤ m′ ≤ 2

[3] Figura 2.2 Lugar Geométrico Basado En La Teoría De Hill Para R=1.0 .

La regla de flujo, puede desarrollarse utilizando:

APÉNDICE 2 124

dεij =

∂f (σ

ij ) ∂σ ij

(dλ)

(A1.24)

donde, f σ ij , es la función de cedencia anisótropa, diferenciando la ecuación (A2.1), obtenemos las () siguientes fórmulas de flujo para un material rígido - plástico:

dε x = dλ H (σ

x − σ

y )+ G(σ

x − σ

z )

[ ] dε yz = dε zy = dλLτ yz

dε y = dλ F (σ y − σ z )+ H (σ y − σ x ) [ ] dε

zx = dε

xz = dλMτ

xz (A2.7)

dε z = dλ F (σ

z − σ

y )+ G(σ

z − σ

x )

[ ] dε xy = dε

yx = dλNτ

xy

Si una probeta en tensión simple es tomada de una lámina, colocando el eje x en la dirección de la carga, y como σ

x ≥ σ

y = σ

z = 0 , y de las fórmulas anteriores, las razones de los incrementos de formación

unitaria plástica son:

d ε x : d ε y : d ε z = G + H : − H : −G (A2.8)

Donde, dε x , dε y , dε z , son los incrementos de deformaciones unitarias en longitud, ancho y espesor, respectivamente.

En conformado de metales, la relación de los incrementos de deformaciones unitarias entre el ancho y espesor, es

conocida como el valor r, o módulo de deformación unitaria plástica; este es el parámetro más usado para evaluar

la anisotropía de una chapa metálica. Puesto que el eje x es tomado en la dirección del rolado, el valor de r en términos de los coeficientes de Hill, queda definido como:

r = r0° = H = ε0ancho 0°

G εespesor °

Análogamente, para un plano cortado en la dirección y, o 90° de la dirección de rolado, se tiene:

(A2.9)

ry = r90°

=

H = ε 90° a

(A2.10)

F ε 90° e

DICE 2

125

DIRECCIÓN DE ROLADO α=0 α

DIRECCIÓN TRANSVERSAL AL ROLADO

α = 90°

Figura A2.3 Dirección De Probetas Para Determinación Del Módulo r

Si durante la deformación de la chapa, las fuerzas actúan solo en el plano de la chapa, y las componentes en la dirección z, valen cero, entonces el criterio de cedencia de la ecuación A2.1, se reduce a:

(G + H )σ 2x − 2Hσ xσ y + (H + F)σ 2

y + 2Nτ 2

xy =1

(A2.11) Para obtener N, es necesario cortar con un plano que forme un ángulo α , respecto a la dirección x, puesto que:

σ x = σ α cos2 α

σ y = σα sen2α

τ xy = σ α senα cosα

(A2.12)

Sustituyendo en la ecuación A2.7, se obtiene la expresión para rα , que es:

rα = dα + π / 2 = H + (2N − F − G − 4H ) sen2α cos2 α ( ) (A2.13)

si α = 45°

dε 2 Fsen2α + G cos2 α

ordenando se obtiene

r45° = 2N − (F + G + 3H )

2(F + G) (A2.14)

N = ⎛ r + 1 ⎞⎛ H +

r0° ⎞

(A2.15)

G ⎜ 45°

2 ⎟⎜ ⎜

⎟

⎝ ⎠⎝

r90° ⎟ ⎠

Se ha supuesto que los parámetros permanezcan constantes, y que el material es inicialmente isótropo.

APÉNDICE 2

126

A2.2 RELACIONES ENTRE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN UNITAR IOS PARA UN MATERIAL ANISÓTROPO.

Las expresiones para esfuerzo y deformación unitarios, efectivos (generalizado o equivalentes) para un

material anisótropo, pueden escribirse a partir de la teoría de Hill, de acuerdo con Hasek[4], como:

⎧3 σ =⎨

1 [F (σ y − σ z ) + G(σ z − σ x ) + H (σ x − σ y ) + 2Lτ yx + 2Mτ zx + 2Nτ xy ⎬

2 2 2 2 2

2⎫

]

12

⎩2 F + G + H ⎭ (A2.16)

⎡ 2 (F + G + H )⎤1 2 ⎡ F (Gdε y − Hdε z ) + G(Fdε y − Hdε z ) + H (Fdε xGdε y ) + 2dγ 2 + 2dλ2zy + 2dγ

2 ⎤

dε = ⎢ 2 2 2 zy xy ⎥ ⎣3 ⎥⎢ ⎦⎢ ⎣ (FG + GH + HF) 2

L M N ⎥ (A2.17) ⎦

La ecuación del esfuerzo efectivo anterior, se reduce al criterio de von Mises, cuando la anisotropía es

despreciable, esto es, para F = G = H y L = M = N = 3F.

Para tensión simple a lo largo del la dirección de rolado σ x = σ 0° , σ y = σ z = 0 , τ xz = τ zx = τ xy = 0 , por

lo que queda:

σ=

3⎡

1+ r0°

⎤1 2 σ

12

2 ⎢1+ r0° + r0°

r90° ⎥ 0° (A2.18) ; ε = 2 ⎡1+ r0° + r0°

r90°

⎤ ε (A2.19)

⎣

Para la dirección transversal

⎦ 3⎢ ⎣ 1+ r0° ⎥ 0° ⎦

3⎡

1+ r90°

12

σ= ⎤1 2 σ

2 ⎢1+ r90° + r90°

r0° ⎥ 90° (A2.20) ; ε= 2 ⎡1+ r90° + r90°

r0°

⎤ ε (A2.21)

⎣ ⎦ 3⎢ ⎣ 1+ r90° ⎥ 90° ⎦

Para anisotropía normal e isotropía planar, es decir, donde hay simetría isótropa respeto al eje z, donde

r0° = r45°

= r90° ≠ 1 las ecuaciones, A2.17 a la A2.20 se reducen a:

σ=

3 ⎡1+ r ⎤1 2σ (A2.22) ;

ε=

2 ⎡ 2 + r ⎤1 2 ε 2 ⎢2 + r ⎥ (A2.23)

⎣ ⎦ 3 ⎢1+ r ⎥

⎣ ⎦

Para un estado biaxial de deformación de la chapa las ecuaciones A2.15 y A2.16, se reducen a:

12

σ= 3 ⎧⎛ 1+ r ⎞⎡σ 2 + σ 2 − ⎛ 2r ⎞σ σ ⎤⎫

2 ⎨⎝ 2 + r ⎠⎢ x

⎩ ⎜ ⎟ ⎣ y

⎜ 1 + r ⎟ x

y ⎥⎬ ⎝

(A2.24)

⎠ ⎦⎭

APÉNDICE 2 127

dε =

2 ⎧(2 + r)(1+ r) ⎡dε 2 + dε 2 + ⎛ 2r ⎞dε dε ⎤⎫ 12

3 ⎨ 1 + 2r ⎢x y ⎜ 1 + r ⎟ x y

⎥⎬ (A2.25)

⎩ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦⎭

Referido a esfuerzo de tensión uniaxial por las ecuaciones A2.21-23, se obtiene para el caso de esfuerzo

plano:

σ 2x + σ 2

y − ⎛ 2r ⎞σ

xσ

y = σ 2

⎜1+

r ⎟

(A2.26)

⎝

dividiendo porσ 2 , sustituyendo y ordenando se obtiene:

⎠

σ 2x = ⎛1+ α 2 − 2αr ⎞−1 (A2.27) σ

2 ⎜ ⎝

r +1⎟ ⎠

Donde α = σ y σ

x .

Figura A2.4 Gráfica Normalizada De Esfuerzos Planos Para Diferentes Valores De r. σx/σ

σy/σ

Nótese que si α = 1, σ x = σ y y r = 5 entonces σ x σ y = 3 = 1.732 , esto es 73% mayor que para un material isótropo (r=1).[5] Del criterio de cedencia da en la ecuación A2.6, el esfuerzo efectivo, está dado por:

′

σ = ⎡ 1 (1+ 2r)σ1 −σ 2 m′

+ σ1 + σ 2

m′

⎤1 m

⎣⎢ 2

(1

r)

⎥ ⎦ (A2.28)

y de la suposición de equivalencia de trabajo plástico, el incremento generalizado de deformación unitaria[3], es:

APÉNDICE 2 128

dε = [2(1+ r)] ⎪ 1

m′ ⎧

1

dε 1 − dε 2

m′

m′−1

m′ ⎫

m′−1 m′

⎨ 1 + dε 1 + dε 2

m′−1 ⎪

⎬

(A2.29)

2 ⎪(1+

2r) ⎩

m′−1 ⎪⎭

donde m′ , es una parámetro nuevo usado en combinación con la ecuación A2.6. REFERENCIAS

[1] Hill R. Mathematical Theory of Plasticity, Oxford University Press, London, 1971 [2] Mellor, P. B. "Forming of Anisotropic Sheet Metal" in Engineering Plasticity: Theory of metal Forming

Processes, Vol. 1 H. Lippman, Springer Verlag, N: Y: 1977 pp 67 y 146. [3] Mellor y Parman, "Plasticity Analysis of Sheet Metal Forming" in Mechanics of Sheet Metal Forming,

Plenum Press, N: Y: 1978, p 67. [4] Hasek, V. "An Evaluation of the Applicability of The theoretical Analyses to the Forming Limit

Diagram", 4th international Conf. On Fracture June 1977 p 476 [5] Hosford, W. F. y R. M. Caddell, Metal forming, Prentice hall, Inc. N. Y. 1983

129

APÉNDICE 3

[A3.1] INESTABILIDAD PLÁSTICA EN TENSIÓN. ESTRICCIÓN

A3.1 DEFINICIÓN DE INESTABILIDAD.

La deformación que se incrementa continuamente con la carga aplicada, en un ensayo de tensión simple, es

considera estable; la deformación producida después del punto de cedencia o de la carga máxima, es considerada

inestable. Otro criterio de inestabilidad considera la diferencia de áreas de secciones transversales, si el cambio

es considerable se presenta el caso de inestabilidad.

A3.2 ESTRICCIÓN

Estricción o reducción transversal en el área puede ser, difusa donde la reducción en el área de sección transversal

produce un apreciable aumento de longitud en la probeta; o bien localizada donde una interacción apreciable

entre los elementos adyacentes de la probeta imponen un estado triaxial de esfuerzos.

Figura A.3.1 Esquema De Estricción Difusa Y Localizada En Una Probeta De Chapa, Ensayada En Tensión Simple

130 APÉNDICE 3

La condición de inestabilidad se define al iniciar la estricción mediante la relación dP=0, puesto que P=σA,

entonces

dP = σdA + Adσ = 0 ⇔ − dA = dσ A σ

(A3.1)

Esto físicamente significa que el incremento en la resistencia, debido al endurecimiento por deformación, se da al reducirse el área. Si el volumen permanece constante V=Al=C

dV = Adl + ldA = 0

⇔

− dA = dl = dε

(A3.2)

igualando ecuaciones (A3.1) y (A3.2) se obtiene

dσ = dε σ

Si σ = Kε n , sustituyendo

dσ = nKε n−1 = σ = Kε n dε

∴

o

dσ = σ = σ dε

⇔

n =1 ε

A

U

l

nKε n−1 = Kε n

(A3.3) (A3.4)

Esto es, la estricción ocurre cuando ε = n [AIII.2] . En la siguiente tabla se comparan dos materiales con bajo

y alto valores de K y n respectivamente:

Tabla 3.1 Algunas Propiedades Mecánicas Del Aluminio 1100-0 Y Acero Inoxidable 18-8[A3.1]

Propiedad o Parámetro

Resistencia de cedencia

Resistencia última

% de alargamiento

n en la estricción

ε de ingeniería en la estricción

ε de ingeniería en la fractura

ε real en la fractura

Aluminio 1100-0

24 MPa

48 MPa

45

0.20

0.22

9.0

2.3

Acero Inoxidable 18-8

275 MPa

725 MPa

55

0.51

0.67

1.9 1.1

131 APÉNDICE 3

Si σ es función de ε y de ε a temperatura, la ecuación (1) queda:

0 = σdA + A⎛ ∂σ ⎞ dε + A⎛ ∂σ ⎞ dε

⎜ ∂ε

⎟

⎜ ∂ε

⎟

(A3.5)

⎝ ⎠ ε

T

⎝ ⎠ εT

Utilizando la ecuación (A3.2), se pueden definir los siguientes parámetros:

γ = 1 ⎛ ∂σ ⎞

m = ε ⎛ ∂σ ⎞

α = 1 dε

σ ⎜ ∂ε ⎟ εT

⎝ ⎠ (A3.6) σ ⎜ ∂ε ⎟ εT (A3.7)

de la ecuación (A3.5) se obtiene

⎝ ⎠ ε dε (A3.8)

0 = −1 + γ + m α

o

α = 1−γ m

(A3.9)

donde γ es un coeficiente adimensional del endurecimiento por deformación

m coeficiente de velocidad de endurecimiento por deformación, sensibilidad

α parámetro de flujo localizado.

El proceso de estricción se expresa en términos de los parámetros anteriores. Para un estado estable

γ + m ≥1 Como se indica antes, la estricción involucra una interacción entre el esfuerzo aplicado y la resistencia al flujo del material. Como el espécimen se alarga bajo una carga dada, el área decrece y el esfuerzo se incrementa.

Si la estricción no ocurre, la resistencia al fluyo del material debe incrementarse hasta el

endurecimiento por deformación y la razón de deformación endurecimientos se expresa por γ y m. A temperatura ambiente m se aproxima a 0, y el criterio de inestabilidad reduce a γ ≥ 1 , entonces la

deformación de tensión inestable ocurre para

∂σ ≥ σ . ∂ε

(A3.10)

Desde luego influyen las propiedades del material como tamaño, forma y orientación de grano, en la estricción, así como las imperfección de manufactura.

Para simplificar el análisis, una probeta a tensión físicamente homogénea, se puede considerar con una dimensión

no homogénea consistente de una ligera reducción de la sección transversal como se muestra en

la siguiente figura:

132 APÉNDICE 3

Figura A3.2 Representación Del Cambio De Área En .

La Estricción La severidad de la no-homogeneidad puede definiera por el factor o razón de no-homogeneidad como sigue:

f = Ai0 (A3.11) Ah0

Ai0 área en la estricción,

Ah0 área en la sección homogénea

f = 1, para homogeneidad completa

A3.3 ESTRICCIÓN EN CHAPAS METÁLICAS

Para un estado biaxial de esfuerzos, donde la deformación unitaria mayor es positiva y la menor negativa, la

estricción localizada es considerada como el mecanismo de falla. Hill y otros han analizado este tipo de

inestabilidad para materiales anisótropos utilizando su teoría. El criterio de inestabilidad plástica es

expresado analíticamente por la ecuación

dσ ≤ f (F,G, H ,σ ,ε ,α,T ) ≤ σ

donde

G=1

dε (A2.8)

F= 1

Z (A2.9)

α = σ2

(A3.12) (A3.13)

H r0° H r90° σ1

Otra manera de simplificar la expresión anterior, para estricción difusa en estado de tensión simple, es

1 ⎛ dσ ⎞ ≤ 1

σ ⎜

dε ⎟

(A3.14)

⎝ ⎠

133

APÉNDICE 3

que es otro enfoque de la ecuación (A3.10).

La deformación unitaria critica verdadera, ε* para estricción puede encontrarse gráficamente dibujando

dσ dε en la gráfica σ−ε , como se muestra en la figura A3.3

Figura A3.3 Gráfica Para Determinar La Deformación Unitaria Debida A Estricción

Para estricción difusa ε* puede encontrase por prueba y error, moviendo la longitud unitaria (ε=1) de la

abcisa hasta la línea tangente. Fig. A3.4

σ

1

ε∗

ε

Figura 3.4 Gráfica Para Determinar ε∗.

a construcción anterior se simplifica al reemplazar ε por ε Ε, donde

134 APÉNDICE 3

ε E = l − l0 = 1 − l0

⇔

l0 = 1 + ε

E

l l l

ε = ln⎛ l0 ⎞ = ln(l + ε

E ) ⎜⎟ ⎝l⎠

(A3.15)

esto se muestra en la siguiente gráfica:

Figura A3.5 Gráfica Para Determinar ε∗ Si ε = ln(1+ ε E )

La probeta de chapa ensayada en tensión simple adquiere los dos tipos de estricción. En los casos de embutido, la estricción localizada es usada como criterio de falla. En la presente discusión se considera que no se

exhibe punto de cedencia y que el material es isótropo. La estricción localizada en probetas de chapas es una banda que forma un ángulo φ, como se muestra en la

figura A3.6

F i g u r a A 3 . 6 E s t r i c c i ó n L o c a l i z a d a D e U n a P r o b e t a E n T e n s i ó n S i m p l e [ ].

135 APÉNDICE 3

La orientación de la banda, está gobernada por el hecho que la deformación a lo largo de a estricción debe ser cero. Si no es cero formará estricción difusa. Se espera que la inestabilidad local ocurra, cuando la razón de

endurecimiento por deformación en la estricción difusa es equilibrada por la razón de decrementos en el área de

sección transversal, en una estricción localizada, como se expresó en la ecuación A3.1. El estado de deformación unitaria, durante la tensión simple, para un material anisótropo es mostrada

mediante el siguiente círculo de Mohr:

dγ 2

dε 2 = r dε1 1+ r

2φ

dε1 1+ r

dε

Figura A3.7 Círculo De Mohr Para Estado De Deformación Unitaria Durante La Prueba De Tensión Axial Para Chapas Metálicas.

Si dε1, dε 2 , dε3 son los incrementos de deformaciones unitarias en dirección axial, ancho y espesor, respectivamente, y la razón de deformación unitaria plástica esta dada por r = dε 2 dε3 , para volumen constante, se pueden expresar los incrementos mediante[3.16].

d ε 2 = −⎛ r ⎞ d ε 1

⎜1 +

r ⎟

(A3.16) d ε 3 = −⎛ 1 ⎞ d ε 1 ⎜1 + r ⎟

(A3.17)

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ El centro del círculo de Mohr se localiza en

dε = dε1 + dε 2 = ⎛ 1 ⎞dε1

2 ⎝

⎜ 2(1 + r)⎟

⎜ ⎟ ⎠ (A3.18)

Si la deformación en la dirección y es cero, como se muestra en la figura A3.6, los incrementos de

deformación unitaria normales a esa orientación pueden obtener de círculo de Mohr:

dε xx = −⎛ 1 ⎞dε1 (A3.19)

⎜1 +

r ⎟

dε yy = 0 (A3.20) dε zz = −dε xx = −⎛ 1 ⎞dε1

(A3.21)

⎝ ⎠ ⎜1 +

r ⎟ ⎝ ⎠

136 APÉNDICE 3

La cantidad dA A , a lo largo de la dirección de deformación unitaria y es cero, estará dada por:

dA = −dε = −⎛ 1 ⎞dε xx (A3.22) A ⎜1 + r ⎟ 1

⎝ ⎠

Utilizando esta ecuación junto con las relaciones para endurecimiento por deformación, se obtiene la siguiente condición para inestabilidad local

∂σ = σ ∂ε 1 + r

De la figura A3.7 en ángulo φ puede obtenerse como sigue

12

(A3.23)

cos(180 − 2φ ) = − cos 2φ = 1 (A3.24) o tan φ = ⎛1 + r ⎞ ⎜r⎟ (A3.25)

1 + 2r

para material isótropo r=1 por tanto φ = 54°44' [3.16]

⎝ ⎠

El círculo de esfuerzo de Mohr para estricción localizada en el plano, y para material isótropo es

τ

φ 2φ

σ

EXT

ENS

IÓN

NUL A

Figura A3.8 Estricción Localizada En Deformación Unitaria Plana

Dado que para cualquier estado de deformación unitaria, P=σA, La razón de cambio de la Carga P respecto

a a ε, por unida de área es

1 dP = ∂σ A dε ∂ε

(A3.26)

Para la condición de deformación unitaria plana, el área de sección transversal cambia sólo en el espesor t y no en el ancho w. Puesto que dA=wdt, la ecuación anterior puede escribirse como

137 APÉNDICE 3

1 dP = 1 ⎛ − σwdt ⎞ = − σwdt = σ (dt / t) A ⎜ dε ⎟

(A3.27)

A cε ⎝ ⎠ wtdε dε donde

dε = dε1

y

dt = dε = − dε1 3

(A3.28)

t 2 Sustituyendo en las ecuaciones A3.27 y A3.28 se obtiene

1 dP = σ (A3.29) A dε 2

La condición para estricción localizada, se obtiene de las ecuaciones A3.26 y A3.29:

∂σ = σ (A3.30) ∂ε 2

en contraste, para estricción difusa se tiene que

∂σ = σ ∂ε

1 (A3.31)

Estos criterios para estricción localizada y difusa se muestran en la siguiente figura A3.8

σ

∂σ = σ ∂ε 1

LOCALIZADA

∂σ = σ DIFUSA

1 2

∂ε 2 ε

Figura A3.9 Criterio De Estricción Localizad Y Difusa En Tensión Simple.

Para estado biaxial, el criterio de estricción se da por la siguiente relación:

dσ = σ d ε Zi

Z es una función de la razón de la deformaciones unitarias principales, si α = σ 2 σ1 , entonces

(A3.32)

138

APÉNDICE 3

⎡ 2(1 − α + α 2

)1 2 ⎤ σ = σ1(1 − α + α 2 12

)

(A3.33) y ε = ε1 ⎢ ⎥ (A3.34)

⎢⎣

2 −α ⎥⎦ A continuación se muestra la solución gráfica de la ecuación A3.30, donde Zi, es conocida como subtangente, y Zd y Zl, son las sutangentes críticas para estricción difusa y localizada respectivamente.

σ

dσ = σ dε Z

LOCALIZADA

DIFUSA ε

Zd Zl

Figura A3.10 Determinación Gráfica De Inestabilidad De Deformación Unitaria En Carga Axial De Tensión. Z Es La Función De La Relación De Esfuerzos Principales. Zd Relaciona El Inicio De

Estricción Difusa,Al Relaciona El Inicio De .La Estricción Localizada

La subtangente crítica planar anisótropa, para estricción local está dada por [A3.2]

[2 (r +

2)] [(r +1)α 1 2

2

− 2rα + (r + 1) 1 2 ] 12

12

Zl =3 = [A] [B] (A3.35)

α +1 α +1

La descripción matemática de las curvas esfuerzo deformación unitarios permiten que el endurecimiento por deformación de un amplio rango de deformación, sea tratado por un parámetro simple. Si se aplica la condición general de inestabilidad expresada por la ecuación A3.30 sustituida en la ecuación σ = Kε n , la

deformación unitaria efectiva de inestabilidad es ε i = nZi .

REFERENCIAS

[1] E. M. Mielnik Metalworking Science and Engineering, McGraw hill 1991.

[2] Keeler, S. P., y W. A: Backofen, "Plastic Instability y Fracture in Sheets Stretched Over Rigid Punches"

Trans. AS;, vol 56, 1963 pp 25-31

139 APÉNDICE 3

APÉNDICE 4

MÉTODO Y ANÁLISIS DE LÍMITES

A4.1 GENERALIDADES

No siempre es posible determinar con precisión la carga que causa deformación plástica, en un proceso de

conformado; sin embargo, una solución aceptable se obtiene delimitando la carga; esto es, se establece un límite

superior y otro límite inferior. El límite superior está basado en un posible campo de velocidad. El límite inferior asegura que exista equilibrio de esfuerzos mientras no se exceda un criterio de cedencia[A.4.1]. La solución obtenida se separar en 1) Límite superior, que da un valor de la razón de trabajo cedido o potencia

requerida, igual o mayor a la potencia real, y 2) Límite inferior, que provee un valor de la potencia igual a menor a

la potencia real. Puesto que el valor real esta entre dos límites, este análisis es llamado análisis límite.

La solución exacta debe satisfacer completamente las siguientes condiciones preestablecidas [A4.2]:

1. La ecuación diferencial de equilibrio para el tensor de esfuerzos debe satisfacerse durante toda la deformación del cuerpo, despreciando las fuerzas de cuerpo, la ecuación en forma compacta es:

∂σ ij

∂xi

=0 (A.4.1)

2. Debe mantenerse un flujo continuo, volumen constante:

εii = ε11 + ε 22 + ε33 = 0

o

εii = ε11 + ε22 + ε33 = 0

3. Debe satisfacerse un criterio de cedencia, tal como el de von Mises. 4.

Las condiciones límites de geometría y estática deben satisfacerse.

(A.4.2) (A.4.3)

Una solución analítica exacta para procesos de conformado metálico, es usualmente muy compleja, por ello se

asumen simplificaciones, esto es se considera una solución aproximada. Teorema I, del límite inferior, se establece como: La razón de trabajo realizado por fuerzas de superficie reales,

con velocidades preestablecidas, es mayor o igual que la razón de trabajo realizado o potencia requerida por las

fuerzas de superficie correspondiente a cualquier otro campo de esfuerzo estáticamente

140 APÉNDICE 4

admisible. Este campo de esfuerzo debe satisfacer la ecuación de equilibrio interno, las condiciones de frontera estáticas y asegurar que el criterio de cedencia no sea violado. Las condiciones de frontera cinemáticas y

de compatibilidad pueden no ser satisfechas [A.4 .3]. Concretamente el Teorema de límite inferior establece que en un material rígido - plástico perfecto o e uno

elástico-plástico en un proceso de estado estable, puede no deformase plásticamente bajo la acción de cargas,

para que una distribución de esfuerzos se encontrada se requiere: 1) satisfacer las ecuaciones de equilibrio, 2) estar

en equilibro con las cargas externas, y 3) estar dentro de la superficie de cedencia[A.4.4]. El poder de este teorema

recae en el hecho que la distribución de esfuerzos buscada no necesariamente debe ser la correcta. Teorema II, del límite superior: La razón de trabajo realizado por las fuerzas de superficie reales, para un campo

de velocidades preestablecido, es menor o igual a la razón de trabajo realizado o potencia requerida por las fuerzas

de superficie, correspondientes a cualquier otro campo de velocidades cinemáticamente admisible. El límite

superior para una carga, puede encontrarse a partir de cualquier mecanismo de deformación admisible, que

satisfaga las condiciones de compatibilidad y incompresibilidad; así como la condiciones cinemáticas límites. Este teorema establece que para un material continuo rígido-plástico (A1.18), las deformaciones deben ocurrir bajo cualquier sistema de cargas Pk, en el cual una distribución de desplazamientos debe cumplir con: 1) Las condiciones de desplazamientos límites, 2) Los desplazamientos pueden ser diferenciales de deformación unitaria, sin cambio de volumen en cualquier momento, y 3) El trabajo plástico resultante cedido por

el material se encuentra de la deformación unitaria equivalente resultante, que es menor al trabajo cedido por las fuerzas externas, el cual se obtiene por[A.4.4]:

∑ P dp

k k

k

> ∫V

σ ydε

pdV

(A.IV.4)

Donde σ

y = esfuerzo de flujo equivalente

dε p = incremento de deformación plástica unitaria equivalente

dV = Incremento de volumen del material.

El poder de este teorema recae en el hecho que los desplazamientos supuestos no necesariamente deben ser

correctos. El método del límite superior considera un campo de velocidades cinemáticamente admisible (un campo de

velocidad que satisfaga la concisión de incompresibilidad y de las condiciones límite de velocidad) que describa el

flujo del metal. Basado en este campo de velocidad, la deformación, el corte y la energía de

141 APÉNDICE 4

rozamientos son calculadas para dar la potencia y carga total de conformado. La carga de conformado calculada, por este teorema límite, es necesariamente mayor que la carga real requerida por el proceso. Un campo cinemáticamente admisible, puede definirse, como una serie de componentes de velocidad vi, que satisfacen la relación razón de velocidad y deformación unitaria, la condición de volumen constante, y las condiciones de compatibilidad. De otra manera, un campo estáticamente admisible, es una serie de componentes de esfuerzo σij que satisfacen las ecuaciones de equilibrio y las condiciones de frontera, sin violar el criterio de cedencia del material[A.4.5]. Las bases del análisis de límite superior son[A.4.6]:

1. La suposición del campo de flujo debe considerarse para el cambio de forma requerida y ser geométricamente consistente

2. La energía consumida internamente en el campo de deformación es calculada por el uso de propiedades de resistencia apropiadas del material de la pieza de trabajo

3. Las fuerzas externas o esfuerzos son calculados igualando el trabajo externo con la energía interna consumida.

Se utilizan las siguientes suposiciones para operaciones de trabajo de metales: 1. El material de la pieza de trabajo se considera homogéneo, isótropo, rígido - perfectamente plástico,

continuo, de acuerdo don el criterio de von Mises. 2. No hay endurecimiento por deformación, ni efectos por la relación de deformación. 3. Se

consideran usualmente problemas en el plano.

A4.2 PRINCIPIOS DEL MÉTODO DE LÍMITES

Este método se basa en el principio de extremos que involucra el método del trabajo virtual. En él se impone un

campo de desplazamientos virtuales al cuerpo, mientras el esfuerzo se mantiene constante. Este procedimiento es

equivalente a imponer una variación de primer orden de la energía de deformación unitaria del cuerpo, que está dado por:

dE = ∫V

σ ijdεijdV (A.4.5)

Donde el producto σ ij dεij es la variación de la energía externa utilizada por unidad de volumen sobre todas las ij permutaciones de variaciones de esfuerzos y deformaciones unitarios. La integras es simplemente la suma de las variaciones de energías de deformación unitaria sobre todo el volumen dE, debido a las cargas

142 APÉNDICE 4

externas. Para tensión simple, dicha energía es equivalente al área bajo la curva de la gráfica de esfuerzo deformación unitarios verdaderos. El trabajo virtual de las fuerzas externas que actúan en la superficie del cuerpo esta dado por:

dWE = ∫S FiduidS

(A.4.6)

donde Fi = Componentes de fuerzas externa que actúan en la superficie del cuerpo por unidad de área

inicial

dui = incremento de desplazamiento de punto específico de la superficie

σ ij = tensor esfuerzo en un punto arbitrario del cuerpo.

S = Área de superficie externa del cuerpo.

Esta ecuación es simplemente la suma de los productos de las fuerzas y desplazamientos sobre la superficie

involucrada. El principio del Trabajo Virtual puede escribirse como:

∫σ

V

ij

dεijdV = ∫

S FiduidS

(A.4.6)

Si v, es la componente de velocidad de un punto de la superficie, y ε ij es el tensor de la deformación unitaria, la ecuación anterior puede escribirse de la forma:

∫σ

V

ij

dεijdV = ∫S FividS

(A.IV.7)

Esta ecuación establece que la razón de cambio de la energía elástica dentro del cuerpo es igual al trabajo de la

velocidad cedido por la fuerza externa aplicada a la superficie en los puntos de aplicación. Solo provee la porción

de energía relacionada a deformación homogénea. El Método del límite superior sigue las siguientes fases:

1. Describir una familia de campos de velocidad admisible, que satisfaga las condiciones de incompresibilidad, continuidad y límites de velocidad.

2. Calcular la energía para a) deformación homogénea, b) deformación redundante (corte interno) y c) corte por rozamiento

3. Calcular la energía total, y minimizarla con respecto a parámetros desconocidos de la formulación del campo de velocidad.

La carga se obtiene dividiendo la razón de energía por la velocidad relativa entre el troquel y el material

deformado.

143 APÉNDICE 4

La energía total o límite superior de potencia ET , está dada por la carga multiplicada por la velocidad del troquel:

ET = PvD = ED + ES + EF

o

ET = ∫V

σ εdV + ∫SS τ ∆vdS + ∫SF

τividS

(A.4.8) (A.4.9)

Donde ED , ES , EF , son la energía para deformación plástica, corte interno y rozamiento externo, respectivamente, P es la carga de conformado, V es el volumen del material deformado, v es la velocidad relativa entre dos zonas del material, S indica la superficie (SS interna de corte, o SF interfase troquel- material), v

velocidad entre interfase de la porción i, del material deformado, τ esfuerzo de corte ejercido

por la superficie de la herramienta en la superficie de trabajo del material, τ = σ 3 y τ i = miσ 3 esfuerzo de corte en la interfase en la porción i del material deformado. REFERENCIAS [1] Jonson, W., "Continuum Mechanics and Deformation Processing," Advances in Deformation

Processing, J J Burke And V. Wiss (eds.), Plenum Press, 1978, p 9

[2] Avtizur, B., Metal Forming, The Application of Limit Analysis, Marcel Dekker, Inc N. Y. 1980, pp 137,

152 y 160.

[3] Szczepinski, W., Introduction to Mechanics of Plastic Forming Of Metals, Sijthoff & Noordhoff int.

Pubs., Warsow, 1979, pp. 59-63

[4] McClintock, F. A. y A. S. Aragon, Mechanical Behavior of Materials, Addison-Wesley Pub. Co., 1966

pp 365-367.

[5] Shabaik, A. H., "Analysis of Forming Processes: Experimental and Numerical Methods," Applications

of Numerical Methods to Forming Processes, ASME Winter Meetin, December 1978, pp 143-154.

[6] Hosford, W. F., y R. M. Caddell, Metal Forming Mechanics and Metallurgy Prentice Hall 1983 o 115,

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