UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

UNIDAD DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

ÁREA: EDUCACIÓN Y SERVICIOS

MATEMATICAS

TEMA:

AUTORES:

EVELYN VACAKATHERIO GUSQUI BELEN CASTILLO DANIELA NAVAS TANYA SANCHEZ

PARALELO:

EM3

OCTUBRE 2015- MARZO 2016

INTRODUCCION

Aprender matemáticas es algo difícil, para los estudiantes, ya que esta ciencia exacta no la relacionan los conocimientos que se tiene de la escuela como: leyes, teoremas, formulas,

entre otras. con los problemas que se le presentan en la vida real; pues el aprendizaje no es significativo.

La lógica estudia la forma del razonamiento y es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. Para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado es correcto.

En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico,

En este documento primeramente se establece la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Definimos tautología, contradicción y contingente,  y proporcionamos una lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción, en donde incluye reglas de inferencia. 

JUSTIFICACION:

El presente trabajo trata de motivar a los estudiantes para que con ayuda de la lógica matemática pueda ser capaz de encontrar estas relaciones entre los diferentes problemas de aprendizaje, para que de esta manera puedan crear nuevos conocimientos.

Ya que la mayoría de los libros únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá problemas para resolver ejercicios relacionados. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.

Por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea.

Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de

algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos. 

Objetivo General:El objetivo general del presente proyecto es incentivar al alumno a que aprenda a resolver ejercicios de lógica matemática utilizando el método directo, contradicción tautología y tablas de verdad.

Objetivo Específico:Aprender a utilizar de manera correcta la lógica matemática en la vida diría más no solo se quede en un simple concepto.

Resolver ejercicios de una manera más dinámica y directa utilizando tabla de valores.

Obtener mejores conocimientos sobre cada uno de estos temas que serán de suma importancia en nuestra vida futura.

MARCO TEORICO

TABLAS DE VERDAD

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo

Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

A B C2

VVFF

VFVF

VVVF

A B C1

VVFF

VFVF

VVVV

En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.

No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.

La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.

Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.

Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.

Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:

Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un argumento.

Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).

Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.

Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las premisas.

Cuando en un cálculo se establecen algunas leyes como principios o axiomas, el cálculo se dice que es axiomático.

El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa.

EJEMPLOS:

ENLAZA CADA PREPOSICIÓN CON SU FORMALIZACIÓN

“Llueve”= p “Hace sol”=q “Las brujas se penan”=r

1 Llueve y hace sol P ^ q

2 No es cierto que si llueve y hace sol las brujas no se peinan

r<-> (p ^q)

3 Las brujas se peinan si únicamente llueve y hace sol

¬r->(¬ p v ¬ q)

4 Cuando las brujas no se peinan no llueve o no hace sol

¬[ ( pq )→r ]

5 Llueve y las brujas no se peinan o bien hace sol y las brujas no se peinan

(p^¬r)v(q^¬r)

“las estrellas emiten luz”=p; “los planetas reflejanla luz”=q; ”los planetas giran alrededor de las estrellas”=r

1 Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas las reflejan y giran alrededor de ellas

(pvq)^r

2 Las estrellas emiten luz o los planeta la reflejan y,por otra parte, los planetas giran alrededor de ellas

¬(p^q)->¬r

3 Los planetas reflejan luz si y solo si las estrellas la emiten y los planetas giran alrededor de ellas

p-> (p^r)

4 Si no es cierto que las estrellas emiten luz y que los planetas la reflejan, entonces esos no giran alrededor de ellas

Q(q^r)

TAUTOLOGIAS Y CONTRADICCION

•TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad  para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

•CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

EJEMPLOS DE TAUTOLOGÍA:

p ^ q --> p

p q p^q p ^ q --> p

V V V V

V F F V

F V F V

F F F V

(p --> q) ^ ¬q --> ¬p

p q ¬p ¬q p --> q p --> q ^ ¬q (p --> q) ^ ¬q --> ¬pV V F F V F V

A ¬ A AV ¬ A

VF

FV

VV

A ¬ A A ^¬ A

VF

FV

FF

V F F V F F VF V V F V F VF F V V V V V

(p --> q) ^ (q --> r) --> (p --> r)

p q r p --> q q --> r(p --> q) ^ (q --> r)

p --> r(p --> q) ^ (q --> r) --> (p --> r)

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V F V V

V F F F V F F V

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

EJEMPLOS CONTRADICCIÓN:

[(p --> q) ^ (q --> r)] ^ ¬(p --> r)

 

p q r p --> q q --> r p --> q ^ q --> r p --> r ¬(p --> r) (p --> q) ^ (q --> r)] ^

¬(p --> r)V V 1 V V V V F FV V 0 V F F F V FV F 1 F V F V F FV F 0 F V F F V FF V 1 V V V V F FF V 0 V F F V F F

F F 1 V V V V F FF F 0 V V V V F F

p^¬p

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Leyes Idempotentes: Leyes de Morgan:

p p ≡ p ~ ( p q) ≡ ~ q ~ p

p p ≡ p ~ ( p q) ≡ ~ q ~ p

Leyes conmutativa: Leyes del condicional:

p q ≡ q p p → q ≡ ~ p q

p q ≡ q p p → q ≡ ~ q → ~ p (contra recíproco)

Leyes de identidad o elemento neutro: p → q ≡ (p ~ q → 0) (reducción)

p 0 ≡ p Leyes del bicondicional:

p 1 ≡ p p ↔ q ≡ (p → q) (p → q)

Leyes de dominación: p ↔ q ≡ (p q) ( ~ p ~ q)

p 1 ≡ 1 p ↔ q ≡ ~ (p ⊻ q)

p 0 ≡ 0 Ley de la disyunción exclusiva:

Leyes de complementación: p ⊻ q ≡ (p ~ q) ( q ~ p)

p ¬p p^¬p

V F F

F V F

p ~ p ≡ 1 (tercer excluido) Leyes de absorción:

p ~ p ≡ 0 (contradicción) p ( p q) ≡ p

~ ~ p ≡ p (doble negación) p ( p q) ≡ p

~ 1 ≡ 0 p (~ p q) ≡ p q

~ 0 ≡ 1 p (~ p q) ≡ p q

Leyes asociadas: Leyes distributivas:

(p q) r ≡ p (q r) p (q r) ≡ ( p q) ( p r)

(p q) r ≡ p (q r) p (q r) ≡ ( p q) ( p r)

La Demostración de estas leyes se puede realizar mediante el uso de Tablas de Verdad o por deducción utilizando otras leyes del Álgebra de Proposiciones.

RAZONAMIENTOS

Definición:

Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal; y, una proposición final denominada conclusión. Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su consecuente.

[H1 ^ H2 ^ H3… ^ Hn] → C

Conjunción de Hipótesis CONDICIONAL ConclusiónANTECEDENTE Operador Lógico Consecuente

VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO

Definición:

Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura

lógica es una tautología. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia, entonces el razonamiento no es válido, en cuyo caso se denomina falacia.

p q r q r H1

p → ( q r)

H2

~ q H1 H2

C

~ p [H 1H 2 ]→C

0 0 0 0 1 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0 0 1 1

0 1 1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0 0 1

1 1 0 0 0 0 0 0 1

1 1 1 1 1 0 0 0 1

Puesto que la forma proposicional resulto tautológica, podemos concluir que el razonamiento es válido.

Otro método para determinar la validez de este razonamiento consiste en la utilización de las propiedades de los operadores lógicos:

[ ( p→ (qr ) ) q ]→ p

[ ( p→ (qr ) ) q ] p

[ ( p (qr ) ) q ] p

( p (qr ) ) ( q) p

¿

( p (qr))q p

( p( q r))q p

( p q¿( p r)) (q p )

( p q¿( p r)) ( p q )

¿

1( p r )

1

Por la ley de la implicación

Por la ley de la implicación

Por la ley de Morgan de la conjunción

Por la ley de Morgan de la disyunción

Por la ley de la doble negación

Por la ley de Morgan de la conjunción

Por la ley distributiva de la conjunción

Por la ley de Morgan de la conjunción

Por la ley asociativa de la disyunción

Por la ley del tercero excluido

Por la ley de absorción de la disyunción

Ejemplo: Demostración por reducción al absurdo.

Las hipótesis y la conclusión son:

H1: a→b

H2: c→¬b

H3: cѵ¬d

C: ¬a

La estructura lógica del razonamiento será:

[(a→b) ⋀ (c→¬b) ⋀ (cѵ¬d)]→¬a

A partir de esta proposición puede obtenerse la siguiente forma proposicional:

A⟺ [ (p→q) ⋀ (r→¬q) ⋀ (rѵ¬s)] →¬p

(p→q) = 1 (r→¬q) =1 (rѵ¬s)] =1 ¬p = 0

p→q = 1

1→q = 1

q = 1

r→¬q = 1

r → 0 = 1

r = 0

rѵ¬s = 1

0 ѵ ¬s = 1

¬s = 1

s = 0

¬ p = 0

p = 1

DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA

Son pasos sucesivos que permiten la coherencia de algún problema relacionado a algo específico, se toma un conjunto de premisas como algo verdadero, de las mismas se obtienen una demostración que en sí, nos permiten fortalecer la tesis, x hipótesis o Conclusiones. Debemos acotar que para llegar a la conclusión se siguen una serie de reglas o pasos con secuencia lógica.

Por otra parte también se puede deducir que; una demostración es sencillamente, comprobar que alguna afirmación es verdadera en todos los casos posibles que estipula, siguiendo pasos lógicos que llevan de la proposición p a la proposición q. Para esto hay muchas formas de hacerlo: demostración directa, demostración por contradicción, demostración por definición, contraejemplo, enumeración (para casos enumerarles), inducción matemática. Cada método es un método lógico con nombre en latín, pero para nuestro interés bastará con esto.

A continuación detallaremos un ejemplo:

Esto se puede comprobar con el teorema de Pitágoras, que recibe su nombre del matemático y filósofo griego del siglo v a.c. Pitágoras, y que establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

A2+ B2 = C2

ELEMENTOS DE LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA

Basarse en conocimientos previos. Probar su verdad. Empezar desde la hipótesis y llegar a la tesis. Encadenar una serie de razonamientos deductivos. Aplicar propiedades, principios o leyes. Es un razonamiento. Se debe verificar que una proposición matemática es verdadera o es falsa. Es una cuestión lógica. Es para que nos demos cuenta que es algo que existe por lógica. Es un procedimiento. Es encontrar la validez de un razonamiento lógico.

DEMOSTRACIÓN POR EL CONTRA-EJEMPLO

Cuando hemos probado la validez de la implicación p= → q, frecuentemente se trata de investigar la validez de la reciproca q = → p. Empezamos analizando casos particulares que satisfagan la hipótesis q y confrontamos la validez o no de la conclusión p. Si damos un ejemplo donde la conclusión resulta falsa, tenemos que q Λ ― p es verdadera. Puesto que ― (q = → p) ↔ q Λ ― p se sigue por las reglas de inferencia que ― (q = → p) es verdadera y por lo tanto q = → p es falsa.

El determinar la falsedad de q = → p mediante un caso particular se denomina un contraejemplo.

Ejemplo:

Si n es un entero primo entonces n es impar. Es una implicación falsa porque n = 2 es primo y sin embargo es par. En este caso, n = 2 es un contraejemplo.

DEMOSTRACIÓN POR CONTRADICCIÓN:

Este tipo de demostración tiene su sustentación en las siguientes equivalencias lógicas:

1. ― (H = → T) ↔ H Λ ― T

2. H Λ ― T = → R Λ ― R ↔ H → T

El método consiste en suponer que el contenido del teorema es falso. Según 1, esto significa que siendo la hipótesis H verdadera la conclusión T puede ser falsa. En todo razonamiento las premisas se toman como verdaderas. Por eso se escribe el supuesto H Λ ― T.

Este supuesto tiene como consecuencia lógica la contradicción R Λ ― R y según 2 esto implicaría que H= → T es verdadera, lo cual finaliza la demostración.

FUNCIONES DE LA DEMOSTRACION MATEMATICA

Verificación (concerniente a la verdad de una afirmación). Explicación (profundizando en por qué es verdad). Sistematización (organización de resultados dentro de un sistema axiomático). Descubrimiento (descubrimiento/invención de nuevos resultados). Comunicación (transmisión del conocimiento matemático)

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Indique si cada enunciado es o no una proposición:

a) La edad de Gloria es de 17 años b) ¡Pare por favor! c) Mi familia y yo viajaremos a la Sierra en fin de añod) 3 es un número pare) Los números divisibles para 8 son divisibles para 2 

2. Sean las proporciones:

P: José es estudioso

Q: Juan es estudioso.

Escribir en forma simbólica:

a) José es estudioso y Juan no es estudioso. b) José no es estudioso y Juan es estudioso.c) José y Juan, no son estudiosos. d) No es cierto que Juan o José sean estudiosos.

3. Verificar, utilizando tablas de verdad, cuáles de las siguientes proposiciones son equivalentes:

a) p∨ ∼ qb) ∼ p ∨ qc) (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)d) (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p ∨ q)

4. Pruebe que son tautologías:

a) [p ∨ (p ∧ q) ⇔ p] b) (p ∧ q) ⇒∼ (∼ p∧ ∼ q) c) q ⇒ (p ⇒ q)

5. Para cada enunciado escriba su recíproco, contrario y su contrarrecíproco.

a) Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rombo.b) Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rectángulo.c) Si una figura plana es un rectángulo, entonces es un paralelogramo.d) Si una figura plana es un rombo, entonces sus diagonales son perpendiculares.e) Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces es isósceles.

6. Simbolizar:

a) La situación mejora si y sólo si, se hace una buena planificación o no se dilapidan los fondos de la institución.

a) Si el chofer estaba embriagado,  entonces no es cierto que la empresa controla a su personal o que los somete a una cuidadosa selección.

b) Sergio recibe cursos a distancia o, si permanece en Lambayeque, estudia en la Universidad.

7. Seleccionar tres leyes del algebra proposicional y demostrar si son equivalencia o implicación lógica

a) [ ( p→q )∧(q→r )]⇒ (p →r¿b) [ ( p→q )∧ p ]⇒ qc) [ ( p→q )∧∼q ]⇒ ∼ p

8. Empleando algebra proposicional, identifique cuál de las siguientes formas proposicionales no es tautología.

a) [ p∧( p→q)]→qb) [ ( p→q )∧ (q→r ) ]→ ( p∧ r )

9. Sean las proposiciones:

P: “la navidad se celebra en agosto”Q: “13 es un numero par”

Escriba la proposición resultante de la disyunción inclusiva y determine su valor de verdad.

10. La traducción al lenguaje formal de la proposición “Si tú eres inteligente y no actúas con prudencia, eres ignorante en la materia” siendo las proposiciones:

a) Tú eres inteligenteb) Tú actúas con prudenciac) Tú eres un ignorante en la materia

Es:

a) (a∧∼ b)→cb) (a∧∼ c )→bc) a→∼ (b∧∼c )

CONCLUSIONES: Se concluye que la lógica matemática no solo se aplica en ejercicios prácticos sino también en la vida diaria.Además se aprendió a resolver ejercicios de una manera más dinámica y directa utilizando tabla de valores y con aplicación de la lógica.

RECOMENDACIONES:

Se espera que este documento no solo se lo aplique como un tema más sino se lo utilice de la mejor manera en la vida diaria utilizando la lógica y siguiendo cada uno de los pasos planteados.

RECUPERADO EN:

a. https://angelarendon.wordpress.com/2011/10/20/3-1-4-tautologias- contradiccion-y-contingencia-2/

b. http://www.mitecnologico.com/Main/TablasDeVerdad#sthash.KqeZswLt.dpuf c. http://www.url.edu.gt/PortalURL/Biblioteca/Contenido.aspx?o=5238&s=49

d. Irving y Cohen (2007). Introducción a la Lógica. México: Limusae. Rosales F(2010).Lógica Jurídica: Instrumento indispensable para el Juez y el

Abogado litigante. f. Sáenz J.(2005). Fundamentos de la Matemática. Barquisimeto: Hipotenusa.