CALCULO PROPORCIONAL

Introducción

Aprender matemáticas es algo difícil, para los estudiantes, ya que esta ciencia exacta no la relacionan los conocimientos que se tiene de la escuela como: leyes, teoremas, formulas, entre otras. Con los problemas que se le presentan en la vida real; pues el aprendizaje no es significativo.

La lógica estudia la forma del razonamiento y es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. Para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado es correcto.

Objetivos Objetivo General:

El objetivo general del presente proyecto es incentivar al alumno a que aprenda a resolver ejercicios de lógica matemática utilizando el método directo, contradicción tautología y tablas de verdad.

Objetivo Específico:

Aprender a utilizar de manera correcta la lógica matemática en la vida diría más no solo se quede en un simple concepto.

Resolver ejercicios de una manera más dinámica y directa utilizando tabla de valores.

Obtener mejores conocimientos sobre cada uno de estos temas que serán de suma importancia en nuestra vida futura.

Tablas de verdad Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una

tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo

Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

A B C2

VVFF

VFVF

VVVF

A B C1

VVFF

VFVF

VVVV

Ejemplos:

ENLAZA CADA PREPOSICIÓN CON SU FORMALIZACIÓN

“Llueve”= p “Hace sol”=q “Las brujas se penan”=r

1 Llueve y hace sol P ^ q2 No es cierto que si llueve y hace sol las brujas no se

peinan r<-> (p ^q)

3 Las brujas se peinan si únicamente llueve y hace sol ¬r->(¬ p v ¬ q)

4 Cuando las brujas no se peinan no llueve o no hace sol

¬

5 Llueve y las brujas no se peinan o bien hace sol y las brujas no se peinan

(p^¬r)v(q^¬r)

Tautologías y contradicción

TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad  para sus proposiciones componentes.

A ¬ A AV ¬ A

VF

FV

VV

CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F.

A ¬ A A ^¬ A

VF

FV

FF

 

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

 

Leyes Idempotentes: Leyes de Morgan:p p ≡ p ~ ( p q) ≡ ~ q ~ pp p ≡ p ~ ( p q) ≡ ~ q ~ pLeyes conmutativa: Leyes del condicional:p q ≡ q p p → q ≡ ~ p qp q ≡ q p p → q ≡ ~ q → ~ p (contra

recíproco)Leyes de identidad o elemento neutro:

p → q ≡ (p ~ q → 0) (reducción)

p 0 ≡ p Leyes del bicondicional:p 1 ≡ p p ↔ q ≡ (p → q) (p → q)Leyes de dominación: p ↔ q ≡ (p q) ( ~ p ~ q)p 1 ≡ 1 p ↔ q ≡ ~ (p q)⊻p 0 ≡ 0 Ley de la disyunción exclusiva:Leyes de complementación: p q ≡ (p ~ q) ( q ~ p)⊻p ~ p ≡ 1 (tercer excluido) Leyes de absorción:p ~ p ≡ 0 (contradicción) p ( p q) ≡ p~ ~ p ≡ p (doble negación) p ( p q) ≡ p~ 1 ≡ 0 p (~ p q) ≡ p q~ 0 ≡ 1 p (~ p q) ≡ p qLeyes asociadas: Leyes distributivas:(p q) r ≡ p (q r) p (q r) ≡ ( p q) ( p r)(p q) r ≡ p (q r) p (q r) ≡ ( p q) ( p r)

Razonamientos Son proposiciones compuestas que pueden ser

representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal; y, una proposición final denominada conclusión. Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su consecuente.

[H1 ^ H2 ^ H3… ^ Hn] → C

Conjunción de Hipótesis CONDICIONAL ConclusiónANTECEDENTE Operador Lógico Consecuente

Validez de un razonamiento

Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica es una tautología. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia, entonces el razonamiento no es válido, en cuyo caso se denomina falacia.

1

Demostración matemática

Son pasos sucesivos que permiten la coherencia de algún problema relacionado a algo específico, se toma un conjunto de premisas como algo verdadero, de las mismas se obtienen una demostración que en sí, nos permiten fortalecer la tesis, x hipótesis o Conclusiones. Debemos acotar que para llegar a la conclusión se siguen una serie de reglas o pasos con secuencia lógica.

ELEMENTOS DE LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA

Basarse en conocimientos previos. Probar su verdad. Empezar desde la hipótesis y llegar a la tesis. Encadenar una serie de razonamientos deductivos. Aplicar propiedades, principios o leyes. Es un razonamiento. Se debe verificar que una proposición matemática es

verdadera o es falsa. Es una cuestión lógica. Es para que nos demos cuenta que es algo que existe por

lógica. Es un procedimiento. Es encontrar la validez de un razonamiento lógico.

FUNCIONES DE LA DEMOSTRACION MATEMATICA

Verificación (concerniente a la verdad de una afirmación). Explicación (profundizando en por qué es verdad). Sistematización (organización de resultados dentro de un

sistema axiomático). Descubrimiento (descubrimiento/invención de nuevos

resultados). Comunicación (transmisión del conocimiento matemático)

CONCLUSIONES:

Se concluye que la lógica matemática no solo se aplica en ejercicios prácticos sino también en la vida diaria.

Además se aprendió a resolver ejercicios de una manera más dinámica y directa utilizando tabla de valores y con aplicación de la lógica.

RECOMENDACIONES:

Se espera que este documento no solo se lo aplique como un tema más sino se lo utilice de la mejor manera en la vida diaria utilizando la lógica y siguiendo cada uno de los pasos planteados.