cálculo mental, cálculo estimativo y uso de la calculadora · análisis de los enfoques que ha...
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Marcos Daniel Martínez Zamora
Luz Roncal Gómez
Facultad de Letras y de la Educación
Grado en Educación Primaria
2015-2016
Título
Director/es
Facultad
Titulación
Departamento
TRABAJO FIN DE GRADO
Curso Académico
Cálculo mental, cálculo estimativo y uso de lacalculadora
Autor/es
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Cálculo mental, cálculo estimativo y uso de la calculadora, trabajo fin de gradode Marcos Daniel Martínez Zamora, dirigido por Luz Roncal Gómez (publicado por la
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Facultad de Letras y de la
Educación Curso 2015/16
Cálculo mental, cálculo
estimativo y uso de la
calculadora Trabajo Fin de Grado
Autor: Marcos D. Martínez Zamora
Tutor: Luz Roncal Gómez
G R A D O E N E D U C A C I Ó N P R I M A R I A
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1. RESUMEN
Resumen
El cálculo mental, el cálculo estimativo y el uso de la calculadora tienen una
gran importancia en la vida real y, por supuesto, en las matemáticas. Este texto incluye
una serie de estrategias y actividades para trabajar el cálculo mental, cálculo estimativo
y uso de la calculadora en el aula, todas ellas ordenadas según los diferentes niveles
académicos. Previamente se analizaron los factores que acompañan a la clase de
Matemáticas en este momento como son el currículo o la motivación y características
psicológicas de los estudiantes de Educación Primaria. En este escrito no se pretende
construir una concepción idealizada de la realidad con propuestas idílicas, más bien se
quiere conseguir una mejor disposición de varios de los elementos anteriormente
estudiados para trabajar de manera óptima en el aula el cálculo mental, estimativo y el
uso de la calculadora. Para la puesta en práctica de esta propuesta es necesario que el
profesor se implique en su acción en el aula ya que es el principal responsable del
proceso educativo. Con ligeras variaciones se pueden conseguir resultados muy
positivos y un ambiente de trabajo sustancialmente mejor.
Palabras clave: cálculo mental, cálculo estimativo, calculadora, motivación,
estrategia, actividad y profesor.
Abstract
Mental calculation, estimated calculation and use of calculator have a big
importance in real life and, obviously, in Maths. This text includes several strategies
and activities in order to work mental calculation, estimated calculation and use of
calculator in class, they have been organized by school years. Previously, factors that go
with mathematic lessons nowadays, as motivation and psychological features of primary
students, were analysed. In this document it is not intended to build an idealized idea of
reality with idyllic proposals, but it has been chosen to manage a better disposition of
several of the elements studied previously to work in class in a better way mental
calculation, estimated calculation and use of calculator. To the practice it is necessary
the teacher gets involved in his action in classroom because he is the main responsible
2
of educative process. With slight changes very positive results and a better atmosphere
of work can be managed.
Keywords: mental calculation, estimated calculation, calculator, motivation,
strategy, activity and teacher.
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ÍNDICE
1. RESUMEN ............................................................................................................ 1
2. INTRODUCCIÓN ................................................................................................. 5
2.1 El cálculo mental en el Currículo ........................................................................ 7
3. OBJETIVOS .......................................................................................................... 9
4. JUSTIFICACIÓN TEÓRICA .............................................................................. 11
4.1 El comienzo del camino .................................................................................... 11
4.2 Sobre la enseñanza de los números en el Primer Ciclo de Primaria ................. 12
4.3 Memorización y razonamiento .......................................................................... 13
4.4 El ámbito emocional .......................................................................................... 14
4.5 Uso de la calculadora ......................................................................................... 16
4.7 Conciencia sobre la validez de los resultados ................................................... 18
5 METODOLOGÍA ................................................................................................ 21
5.1 Cómo trabajar el cálculo mental ........................................................................ 21
6 DESARROLLO DE ESTRATEGIAS Y ACTIVIDADES ................................. 25
6.1 Estrategias .......................................................................................................... 25
6.2 Actividades ........................................................................................................ 28
6.3 Actividades con la calculadora .......................................................................... 43
6.4 Evaluación ......................................................................................................... 45
7. CONCLUSIONES ............................................................................................... 47
8. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................. 49
4
5
2. INTRODUCCIÓN
Los términos “cálculo mental”, “cálculo estimativo o aproximado” y “cálculo
escrito o de lápiz y papel” son utilizados a menudo en el ámbito de la educación de
manera errónea. El escaso conocimiento de la disciplina matemática puede conducir a
error en la delimitación de estos términos. Por lo tanto, debemos distinguir claramente
entre estos tres tipos de cálculo. A continuación expondré la clasificación que viene
recogida por María Ortiz Vallejo y Tomás Ortega del Rincón (2009) en [OO]:
-Cálculo de lápiz y papel. Se identifica con el cálculo algorítmico, y se presenta
en el ámbito escrito. Se trabaja con resultados exactos.
-Cálculo mental. Se emplea únicamente la cabeza, no se vale de ningún tipo de
acompañamiento externo pero los resultados siguen siendo exactos. Este cálculo se
divide, a su vez, en mecánico (el más automático, donde la memoria tiene un papel
protagonista, y que se pone en juego al memorizar las tablas de multiplicar) y reflexivo
(se nutre de distintos procesos para alcanzar ese resultado exacto: recolocaciones,
descomposiciones, conteos…).
-Cálculo aproximado. Con él obtenemos datos que no son exactos pero que sí
guardan cercanía con la solución cierta. No utilizaremos lápiz ni papel y nos valdremos
principalmente de la estrategia del redondeo. Destaca por su utilidad en situaciones
cotidianas donde se necesita concebir la magnitud de una operación de manera
inmediata para, por ejemplo, saber si se puede comprar un producto con el dinero del
que se dispone.
Estos tres tipos de cálculo no son grupos cerrados y claramente limitados. Hay
bastantes ejemplos de maneras de calcular que pueden ser encuadradas simultáneamente
en dos de ellos.
A modo de ejemplo podemos analizar la operación de una multiplicación que se
realiza mentalmente pero siguiendo todos aquellos pasos que se hubieran de seguir
mediante un cálculo de lápiz y papel. Esto es, 12 x 6: primeramente multiplicamos el 6
por el 2 que nos da un resultado de 12 y mentalmente escribimos ese “2” para llevarnos
el “1” correspondiente a la decena y sumárselo al “6” una vez haya sido multiplicado
por el “1” para obtener el mismo resultado, todo ello revierte en el 72 final. Aun así,
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esta definición es una buena base para poder comenzar a tratar con estos tipos de
cálculos de una forma segura y sin riesgo a equivocarnos.
Otro ejemplo en el que puede encuadrarse un cálculo en todas estas categorías es
una compra de tres productos. Se comienza haciendo un cálculo aproximado sobre lo
que se va a gastar para no pasarse del dinero del que se dispone. Más adelante, se
calcula mentalmente los resultados exactos de los productos para conocer de manera
más precisa su valor. Esto se realiza escribiendo sus precios en un papel para no
olvidarse de ellos y, finalmente, sumar todos con lápiz y papel.
No obstante, son numerosos los docentes que no se sienten cómodos trabajando
con este tipo de contenido, con lo que a veces puede quedar desplazado o incluso
eliminado en el aula. Es muy difícil transmitir pasión por algo cuando no se dispone de
esa motivación. De la misma manera que a nadie se le ocurriría acudir a una clase de
violín con un profesor al que no le guste la música, no deberíamos enseñar matemáticas,
ni cálculo mental, si sentimos aversión por este campo. En este documento se explicarán
estrategias y actividades destinadas a facilitar su trabajo que puede, y casi hasta debe,
resultar divertido.
Una vez aclarados terminológicamente los conceptos anteriores y presentadas
algunas reflexiones este trabajo se va a centrar en el cálculo mental y aproximado, que
constituyen dos elementos muy importantes en el desarrollo matemático de los alumnos.
Como comprobaremos más adelante, su inclusión en el Currículo educativo, además del
sentido común, hace necesaria la presencia de estos tipos de cálculo en la Educación
Primaria.
Este trabajo pretende proponer una serie de estrategias y actividades con las que
trabajar el cálculo mental (de manera más especial), estimativo y el uso de la
calculadora en el aula. El resultado final de estas estrategias y actividades viene
determinado por una reflexión teórica en la que se abordan varios aspectos
concernientes a estas destrezas y su influencia en las mismas.
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2.1 El cálculo mental en el Currículo
En el ámbito de la Educación Primaria el enfoque que ha seguido el Cálculo
matemático varía mucho dependiendo de si lo analizamos en una u otra época. Pocas
similitudes guardan los libros de texto, las leyes de Educación y las maneras de trabajar
de la década de los setenta con las de hoy en día. Como este trabajo no pretende ser un
análisis de los enfoques que ha seguido el cálculo a lo largo de la historia, las próximas
líneas van a centrarse en la importancia que actualmente tiene el cálculo mental y
aproximado en el Currículo de Educación Primaria.
Analicemos cómo se aborda el ámbito referente al Cálculo en la última de las
abundantes leyes de Educación que han sido promulgadas en nuestro país, la LOMCE
(Ley Orgánica para la Mejora de la Calidad Educativa). Este documento legal establece
mediante el Real Decreto 126/2014 de 28 de febrero de 2014 el currículo básico de la
Educación Primaria.
En particular, con la asignatura de Matemáticas se pueden analizar
pormenorizadamente sus estándares de aprendizaje (elemento inherente a esta nueva ley
educativa) a través de los diferentes bloques que contiene: 1. Procesos, métodos y
actitudes en matemáticas; 2. Números; 3. Medida; 4. Geometría; 5. Estadística y
probabilidad. Aunque la globalidad de las Matemáticas permite una utilización del
Cálculo en todas las secciones, el análisis se centrará en las dos primeras por ser las más
indicadas para ello.
Así pues, en los estándares de aprendizaje definidos por esta ley se pueden
encontrar algunos referentes al cálculo estimativo como es el 7.1 del Bloque 1 “Realiza
estimaciones sobre los resultados esperados y contrasta su validez, valorando los pros
y contras de su uso” o el 5.3 del Bloque 2 “Estima y comprueba resultados mediante
diferentes estrategias”. El cálculo mental también adquiere su protagonismo en el 8.12
del segundo bloque “Elabora y usa estrategias de cálculo mental” y en el 4.1 “Conoce y
aplica los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10”. Además, el cálculo de lápiz y
papel del que hablaban en [OO] viene reflejado en los estándares 5.1 “Opera con los
números conociendo la jerarquía de las operaciones” y el 8.1 “Utiliza y automatiza
algoritmos estándar de suma, resta, multiplicación y división con distintos tipos de
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números en comprobación de resultados en contextos de resolución de problemas y en
situaciones cotidianas”.
Si nos retrotraemos a la penúltima Ley de Educación y buceamos en la Orden
ECI/2211/2007, de 12 de julio, por la que se establece el currículo y se regula la
ordenación de la Educación primariaencontramos una división de la materia en el
Bloque 1. Números y operaciones; el 2. La medida: estimación y cálculo de magnitudes
(ya habla de estimación aunque sea referente a la medida); el 3. Geometría; el 4.
Tratamiento de la información, azar y probabilidad. Dentro de ese primer bloque sí que
habla en el apartado estrategias de cálculo sobre la utilización de estrategias de cálculo
mental, el cálculo algorítmico y el cálculo aproximado. Además, en los criterios de
evaluación también considera estos apartados.
Como se puede observar, estos tres tipos de cálculo están presentes en el ámbito
educativo hoy en día, deben tener importancia ya que así lo pide la ley. Sin embargo,
hay que ser autocrítico y reflexionar sobre si realmente estamos proporcionándoles este
protagonismo o no. También se debe tener en cuenta la manera en que se están
enseñando estos saberes: el clima en el que se desarrollan, la implicación tanto del
alumnado como del profesorado, los métodos para desarrollarlos… Todo ello va a ser
analizado y justificado a continuación.
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3. OBJETIVOS
El objetivo de este trabajo es realizar una propuesta compuesta por un conjunto
de estrategias y actividades relacionadas con el cálculo mental, cálculo estimativo y uso
de la calculadora en el ámbito educativo de Primaria. Estos elementos van a estar
apoyados en un cuerpo teórico y serán acompañados de unas ideas metodológicas sobre
cómo se deberían plasmar en el aula.
Este compendio puede y debe ser ampliado pero, por cuestiones espaciales a las
que me debo ceñir como Trabajo Final de Grado, he intentado dar una visión lo más
global y completa posible dentro de las normas preestablecidas.
El orden es una de las virtudes del maestro. Por ello, todas las actividades y
estrategias están sistematizadas según el curso en el que pueden llevarse a cabo.
Finalmente, se ha dotado de una evaluación posible con la que valorar de una forma
eficaz el progreso del alumnado.
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4. JUSTIFICACIÓN TEÓRICA
4.1 El comienzo del camino
El Primer curso de Educación Primaria es el momento de comenzar la relación
entre los niños y las operaciones matemáticas. Como se afirma por Broitman (et al.
2008) en [B], en este primer año los alumnos deben dar el salto de calcular mediante la
utilización de sus dedos o del conteo de objetos a establecer estrategias de cálculo.
Siguiendo a estas autoras debemos considerar que el cálculo mental puede ser llevado a
cabo de maneras muy diferentes, todas válidas mientras se llegue al resultado de manera
correcta y lógica.
Al contactar con este mundo de las matemáticas los alumnos se verán inmersos
en una atmósfera totalmente desconocida, incierta. No tendrán ninguna estrategia
elaborada más que el patrón clásico del conteo hasta el 10 que utilizarán para las
primeras sumas a las que se enfrenten. Será mediante la ejercitación de estas simples
operaciones cuando vayan adquiriendo una serie de cálculos memorísticos que asienten
la base de todo aquello que venga más adelante.
Esta generación de cálculos memorísticos debe realizarse correctamente por lo
que instaremos a los alumnos desde estas edades tan tempranas a revisar si sus cálculos
son correctos y a evitar la estrategia de ensayo error al sumar (como al principio están
trabajando con los primeros 10 números la alta probabilidad de acierto, 10%, puede
atraer a los niños para no pensar y “probar suerte”). Los algoritmos deben ser añadidos
solo cuando se hayan aprendido unos cuantos cálculos mentales básicos y no antes. Es
importante utilizar el tiempo necesario en la asimilación de estas operaciones, ya que
serán básicas para el devenir del alumno.
Esta etapa va a influir sobremanera en la concepción que tengan los alumnos
sobre el cálculo. Se puede conseguir inculcar una buena disposición por las matemáticas
pero también hay peligro de crear algún trauma o mala experiencia que produzca una
aversión hacia esta disciplina. El resultado del trabajo docente no depende únicamente
de los maestros sino que también juegan un papel importante los alumnos, con sus
características individuales. Es una convivencia en la que ambas partes deben ceder para
que esa simbiosis funcione.
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4.2 Sobre la enseñanza de los números en el Primer Ciclo de Primaria
Actualmente, y durante las últimas leyes educativas, la enseñanza de los
números ha seguido siempre un patrón que, sin intención de ponerlo en duda, podría ser
sustituido por otras formas de enseñar el conteo a nuestros alumnos.
La secuencia que siguen los alumnos para aprender los números según la
mayoría de los libros de texto consiste en aprender a contar de 0 a 10, más tarde de 11 a
20 y, a partir de ahí, continuar presentando los números por decenas hasta llegar al 100
(hasta el 30, hasta el 40…).
Teniendo en cuenta la inevitable forma de enseñar los veinte primeros números
puesto que no presentan grandes regularidades en cuanto a su escritura (a los alumnos
les cuesta pasar de decir “quince” a “dieciséis”, dando lugar numerosas veces al
inexistente número “diecicinco”) estos no pueden ser presentados de otra manera. Sin
embargo, la tremenda regularidad a la que nos van a someter los siguientes números sí
que nos ofrece la posibilidad de abogar por tomar otro camino en su presentación.
Los alumnos son pequeños, en esta época tendrán entre cinco y seis años, pero si
en algo destacan en es en su capacidad de captar regularidades. Lo hacen continuamente
en su desarrollo. Podemos encontrar ejemplo de esto en la sobrerregulación a la que
someten a la lengua en su proceso de aprendizaje. Lo hacen de manera innata. “Yo cabí”
dicen en vez de “yo cupe”; “He rompido” pronuncian en lugar de “he roto”. Son estas
generalizaciones erróneas las que nos pueden servir para enseñar de una manera más
ágil los números.
Una vez que los alumnos hayan aprendido los primeros 20 números y los
manejen con soltura se les debería mostrar el resto, los 80 hasta llegar a 100. A partir de
ahí habría que invertir un tiempo en preguntarles, a modo de descubrimiento guiado,
qué números se repiten y qué secuencia siguen. Se estaría convirtiendo a los alumnos en
pequeños investigadores, con lo que se habría captado su motivación, tendrían un
misterio por resolver.
En cuanto se hubiera resuelto esa cuestión habría que preguntar a los alumnos
cómo seguirían a partir del 99, llegando así a las tres cifras. Dependiendo del grado de
comprensión alcanzado se podría prolongar la investigación hasta las cuatro cifras. La
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actividad concluiría con la preparación de un cartel para su fijación en clase con los 100
primeros números naturales. La manera actual en la que está diseñado el aprendizaje de
los números puede conducir a error en bastantes alumnos que ven como algo totalmente
nuevo el paso de una decena a otra, cuando no es más que una simple repetición de
cifras que siempre siguen el mismo orden.
Me gustaría concluir este apartado con una crítica a la rigidez del sistema
educativo. Dedicar el primer curso únicamente a abordar hasta el número 99 puede
pecar de insuficiencia para el potencial del alumno estándar. ¿Por qué no continuar con
más números con aquellos alumnos que demuestren comprender los contenidos
curriculares?
4.3 Memorización y razonamiento
Como bien indica Susana Wolman (2006) en [SW], a la hora de analizar el
cálculo mental podemos distinguir dos fases de trabajo por parte del sujeto: la
sistematización de los resultados y la construcción de procedimientos personales.
Ninguno de los dos puede entenderse sin la presencia del otro.
En una secuencia temporal, conviene asentar primeramente una buena base de
operaciones conocidas por los alumnos (sistematización de resultados) para que, más
adelante, sean los propios sujetos quienes desarrollen procesos para calcular
operaciones más complejas y hacer acopio, a su vez, de nuevos resultados.
La construcción de un repertorio de operaciones mentales se genera mediante la
práctica. No hay que forzar esto artificialmente ya que en matemáticas es muy
importante el componente procedimental. Se debe tener paciencia con el alumnado.
Habrá niños que tendrán más facilidad para automatizar cálculos y otros a los que les
costará mucho. Todos lo conseguirán.
Un aspecto fundamental de las matemáticas, referente a este punto, es que la
práctica debe ser constante. Aunque sea para mejorar el cálculo mental, las matemáticas
siempre encuentran apoyo en el lápiz y el papel, y así debe ser. Es necesario repetir los
procedimientos muchas veces para coger agilidad y soltura. Sumar, sumar, y volver a
sumar, lo mismo con las demás operaciones.
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Se puede traer a colación una frase del gran músico Pablo de Sarasate. El
violinista navarro hizo referencia a la importancia de la práctica en la música, sentencia
que puede ser extrapolada a las matemáticas y a cualquier disciplina con componentes
prácticos: “Llevo tocando el violín 14 horas diarias durante 35 años y ahora me llaman
genio”. Nadie nace aprendido. Sí que es cierto que habrá personas a las que les cueste
menos las matemáticas y otras que no se encuentren tan cómodas en este campo. Sin
embargo, todas ellas necesitarán sentarse a sumar, restar, multiplicar, dividir… hasta
que adquieran el suficiente control de las operaciones.
Una vez más, la labor docente cobra relevancia aquí. No se puede eliminar ese
proceso de aprendizaje y ejercitado, a veces tedioso, que requiere el cálculo. Pero en la
mano del maestro está el dotarlo de un ambiente agradable y favorecedor para el
alumnado. Hay que contagiar el gusto por las matemáticas, aunque sin sentirlo es muy
difícil transmitirlo. Esto nos conduciría a una reflexión sobre si la preparación de los
futuros maestros es la adecuada en el ámbito matemático para inyectar esta motivación.
Sin embargo, estas líneas se extenderían en demasía, tanto como para derivar en otro
trabajo completo aparte.
Los alumnos van adquiriendo nociones sobre si sus cálculos son correctos o no.
De esta forma serán ellos mismos los que validen los procedimientos seguidos. El
ensayo-error será un método fundamental a seguir en estas situaciones. Ellos, conforme
acierten resultados y realicen correctamente operaciones ganarán confianza y seguridad.
Una vez más esto retroalimentará el proceso de aprendizaje ya que se sentirán seguros y
con ganas de continuar calculando.
4.4 El ámbito emocional
El factor emocional va a jugar un papel principal en la vida matemática de los
sujetos. Es por ello que hay que tener sumo cuidado con cómo se trabaja con el alumno.
Por ello, las acotaciones que se establezcan a la forma de operar de las personas deben
ser las justas y necesarias. Si ya de por sí el mundo de las matemáticas genera
inseguridad, dudas, miedo y muchos otros sentimientos negativos en algunos, los
maestros no deben añadir ni una connotación negativa más.
Como se indica en [SW], “la enseñanza del cálculo se enmarca en el mismo
clima de trabajo matemático que queremos instalar en las clases: búsquedas,
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reflexiones, argumentaciones…”. No debemos presentar el cálculo como una disciplina
aislada del mundo matemático. Si lo hiciéramos estaríamos contradiciendo totalmente
su esencia. El cálculo es un ámbito presente en toda la vida matemática: desde el
cálculo de un área hasta la enseñanza de las unidades del Sistema Métrico Decimal,
pasando por la medida de los ángulos. Allá donde haya matemáticas habrá cálculo.
Es muy importante que los alumnos estén concienciados con ello, que vean la
utilidad del cálculo en el devenir de la asignatura y de su vida, que lo sientan como algo
necesario. No obstante, para que ellos lo estén, primero deberán creérselo los maestros,
para poder transmitirlo. ¿Cómo concienciar sobre esto?
Para empezar, hay que reservar un espacio suficiente para el desarrollo del
apartado del cálculo. Tal y como afirma [SW] se debe organizar una cierta progresión
en este contenido para dejar el tiempo necesario de asimilación en el alumnado. Los
alumnos concebirán como más importante el cálculo mental si se trabaja con frecuencia
y se ve reflejado en la valoración del alumno.
Es también muy importante evitar que haya ciertos alumnos desmotivados que
pierdan el interés por esta disciplina o que lleguen a tener incluso pánico de ella. Los
maestros no pueden caer en el error de centrarse únicamente en los mejores niños que
realizan todos los cálculos de manera rápida y eficiente puesto que son ellos los que
menos necesitan su atención (aunque a estos últimos tampoco se les puede descuidar
para que no se aburran en clase con ejercicios excesivamente fáciles).
Se apunta en [SW] que aquellos niños a los que más les cuesta el cálculo mental
son los que más beneficiados van a salir de su puesta en práctica. Es por ello que hay
que tener la suficiente paciencia e implicación para conseguir que estos niños
desarrollen sus propias estrategias de cálculo ya que esto les traerá como consecuencia
una mejora sustancial de su rendimiento matemático.
Se debe variar la disposición de los alumnos a la hora de trabajar el cálculo
mental. Hay que innovar en las agrupaciones: por parejas, individual, grupos de cuatro,
grupo entero… Todo por conseguir la motivación.
Es fundamental que los alumnos vean el cálculo mental como un juego. No es
tan difícil lograr esta concepción, solo hay que explotar el componente lúdico y reducir
la parte aversiva que puedan desarrollar los niños hacia las matemáticas. Esto último se
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puede lograr invirtiendo las consecuencias de los fallos. Por ejemplo, en vez de reprimir
o castigar un mal resultado, dar una segunda opción o animar a revisar el resultado. Si
se piensa detenidamente, esta es la secuencia que siguen los videojuegos, por ejemplo,
dan vidas a los personajes que cuando mueren, tienen más vidas o simplemente se les da
la opción de volver a jugar.
4.5 Uso de la calculadora
Se afirma en [SW] que “la inclusión de la calculadora en el trabajo matemático
de la escuela primaria resulta esencial”. Sin embargo, debemos tener mucho cuidado al
introducir este material en clase. Es necesario crear una dinámica en el aula de trabajo
sin calculadora como norma general. Es cierto que habrá situaciones propicias para el
uso de la calculadora, tales como comprobar los resultados (una vez resueltas las
operaciones), descubrir propiedades o alguna propuesta lúdica que más adelante serán
desglosadas. Las operaciones básicas son absolutamente prescindibles de enseñar
debido a múltiples razones.
Para empezar, estamos en el siglo XXI, los niños con los que vamos a trabajar
son todos nativos digitales y saben perfectamente cómo funciona una calculadora. No es
necesaria ninguna explicación de cara a trabajar las 4 operaciones básicas con ella
(suma, resta, multiplicación y división) puesto que es la propia curiosidad innata del
alumno la que le va a permitir aprender a utilizarla, tal y como hacen con los móviles.
Sí se pueden enseñar ciertas operaciones más complejas cuando requieran ser
aprendidas, como por ejemplo guardar en la memoria de la calculadora resultados, o
utilizar botones como el cuadrado o la raíz.
Es el deber del maestro inculcar la importancia de desarrollar el cálculo mental
sin ayudarse de ningún otro artilugio que facilite las operaciones. Si se evita la presencia
de estos elementos en clase durante determinados momentos será más fácil. Hay que ser
firmes, en la resolución de problemas en clase no se podrá utilizar calculadora salvo
indicación específica del maestro.
Traigo a colación aquí el Concurso Primavera de Matemáticas impulsado por la
Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas en colaboración con la Consejería
Riojana de Educación y la Universidad de la Rioja. Se desarrolla entre Quinto de
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Primaria y Segundo de Bachillerato, pues bien, la filosofía de este evento apuesta por un
desarrollo de todos los problemas sin usar calculadora, que queda vetada.
Teniendo en cuenta la dificultad de los cálculos que se presentan en este
concurso esto podría parecer un hándicap insuperable. Sin embargo, esta dificultad se
convierte en un estímulo para los alumnos, que deben hacer gala, en muchas ocasiones,
de su cálculo mental, habilidades estimativas o cálculo algorítmico rápido y eficaz, por
lo tanto, ¿es tan importante su uso en Educación Primaria?
Lejos de prohibirla, la calculadora puede ser un instrumento muy valioso para
diversos aprendizajes. Se propone muy acertadamente en [SW] su empleo para
determinar ciertas propiedades de los números. La multiplicación (o división) por
(entre) 10, 100, 1000… puede ser mostrada así a los alumnos para que comprueben
cómo consiste en añadir ceros (o quitar, en el caso de dividir). También puede ser de
ayuda para comprobar la propiedad conmutativa de la suma o de la multiplicación, la
asociativa…
De manera similar, Frederic Udina i Abelló (1989) afirman en [UA] que “Para
comprender el número hay que jugar con él, hay que verlo sometido a mil situaciones
distintas, hay que sentir en propia mente las sorpresas que nos deparan los números y
sus cálculos.” La rapidez de la calculadora puede ayudar a los alumnos a descubrir
diferentes manipulaciones con los números y compararlas entre sí para sacar
conclusiones. Gracias a ello, la motivación y el interés del alumnado aumentará, por lo
que tampoco podemos eliminar este material del ámbito educativo.
Es importante que los alumnos sean conscientes de que el uso de la calculadora
no elimina por completo los problemas del cálculo. Por eso, es conveniente mostrarles
situaciones en las que deban elegir cuándo deben utilizar la calculadora y cuándo no
(cálculos difíciles y sencillos).
4.6 Ventajas de la práctica del cálculo mental
Tal y como se indica en [OV] el cálculo mental no repercute de manera positiva
únicamente en el campo matemático. Tiene otras muchas consecuencias para el
individuo que hacen de su puesta en práctica una actividad altamente enriquecedora.
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Gracias a su ejercicio se desarrollan una serie de capacidades. Entre ellas están
la habilidad de planificar, el individuo debe tener en mente qué pasos va a seguir para
resolver el cálculo. Este no es un proceso que se realice de manera espontánea, sino que
responde a unas pautas previamente establecidas y que deben recorrerse fielmente para
conseguir el objetivo. La mejora de esta capacidad permitirá al alumno organizarse
mejor en su vida, tanto personal como académica, con las pertinentes consecuencias
positivas que ello entrañará.
También entra en juego la atención, que se debe focalizar en los cálculos que se
realicen para evitar errores o en no saltarse ninguno de los pasos que previamente se han
establecido en la planificación. El desarrollo de esta habilidad permitirá al niño, entre
otras cosas, madurar, y aumentar sus períodos de concentración en cantidad (más
tiempo) y en calidad (más efectiva). La memoria también es trabajada para recordar los
resultados o recuperarlos al igual que la autonomía de cada persona para seguir su
propio proceso de resolución. Sus repercusiones académicas son bastante obvias: mayor
retención de contenidos.
La mejora del razonamiento es la capacidad de mejora más evidente a la hora de
trabajar el cálculo mental. Este progreso permitirá al alumno una mayor eficacia en lo
referente a la resolución de problemas.
Además, también se adquiere una mejora desde un punto de vista utilitario,
puesto que el alumno va a aprender cómo solventar determinadas situaciones cotidianas:
conveniencia de adquirir un producto, la cantidad de agua que necesitará para llenar una
bañera…
4.7 Conciencia sobre la validez de los resultados
Una vez realizadas las diferentes operaciones (sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones) conviene comprobar la validez de los resultados obtenidos para, más
adelante, tener conciencia sobre si se ha operado bien o mal. Para ello, es muy
importante la introducción a los alumnos del concepto de operación complementaria.
Mediante este tipo de procedimiento, se obtiene como resultado el número que antes
teníamos como dato, si hemos operado correctamente.
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Es por esto que se debe inculcar a los alumnos la comprobación de las
operaciones matemáticas mediante la puesta en práctica de la operación
complementaria. Si es una suma deberán realizar una resta, y viceversa; si han llevado a
cabo una multiplicación, la comprobación tendrá lugar mediante una división y
viceversa.
Gracias a estas medidas, se está incrementando en los alumnos las operaciones
matemáticas que realizan (más práctica, mayor efectividad) y serán ellos mismos los
que se autocorrijan y eviten operaciones mal realizadas de cara a un examen (conciencia
sobre lo realizado).
En [OO] se insiste en la importancia de generar un ambiente propicio para el
cálculo. No debe existir la tensión, ni el miedo a fallar. Tiene que asemejarse a un
juego, porque, al fin y al cabo, las matemáticas son eso, un juego en el que puedes ganar
(acertar) o perder (fallar).
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5 METODOLOGÍA
5.1 Cómo trabajar el cálculo mental
En primer lugar, voy a exponer varias consideraciones generales sobre cómo
debe tratarse el cálculo mental en el aula.
1- Para trabajar el cálculo mental no se deben emplear números muy elevados
(nunca exceder de las tres cifras) debido a la dificultad del ser humano de memorizar
muchos elementos al mismo tiempo. Si los alumnos vieran el cálculo mental como algo
muy complejo se desanimarían e incorporarían connotaciones negativas a este apartado
matemático. El cálculo aproximado sí debe asociar números más grandes ya que las
operaciones no se realizarán de manera exacta.
2- Los niños utilizan diferentes estrategias a la hora de calcular sus primeras
operaciones. Debemos tener cuidado al realizar indicaciones ya que podemos estar
condicionando su actitud hacia las matemáticas. La simple estrategia del conteo con los
dedos levanta polémica entre los docentes. Se puede pensar que este método de realizar
sumas busca seguridad y efectividad. Y es que el hecho de calcular utilizando las
falanges de las manos permite a los alumnos adoptar esa cercanía hacia las matemáticas
que tantas veces estamos pidiendo desde el mundo educativo, sienten la operación como
algo real. Al fin y al cabo están manipulando los elementos de la operación (dedos) y
van a poder entender mejor el resultado.
Poco a poco irán prescindiendo del uso de los dedos para operar. Se podría
asemejar esto, como bastantes situaciones educativas, al aprendizaje a montar en bici.
Primero se ponen ruedas pequeñas, para evitar que el niño se caiga y le coja miedo al
vehículo (conteo con las manos). Más adelante se le quitan las ruedas pequeñas,
volviendo a ponerlas en alguna ocasión si se cree necesario (en caso de que las
operaciones mentales le cuesten bastante al niño y tenga muchos errores se le permite
temporalmente utilizar la anterior estrategia).
Finalmente, se desechan para siempre las ruedas pequeñas (ya no es necesario el
conteo con las manos y será el propio alumno el que no recurra a él) y se trabaja
frecuentemente para coger más práctica en el ejercicio de los cálculos. Una vez que la
estrategia de cálculo adquirida por el niño (cualquiera que sea) sea correcta, debemos
22
abogar por coger agilidad en el cálculo (velocidad, agilidad, comodidad y destreza con
la bici) para que sea el propio niño el que se encuentre cómodo trabajando con las
operaciones.
3- Podría considerarse un error, aunque a veces no sea tomado así debido a su
común práctica, la forma en la que se enseñan numerosas operaciones en la escuela.
Estamos acostumbrados a separar las operaciones según su significado, lo que sí es
bastante lógico: sumas (añadir elementos), restas (quitar elementos), multiplicaciones
(sumas repetidas) y divisiones (repartir elementos). Sin embargo, este reduccionismo
nos limita bastante a la hora de gestionar ese aprendizaje en los alumnos.
Se dice en [OO] que “la memorización de las tablas de sumar y restar debe
hacerse conjuntamente, por ejemplo: 8+7=15, 15-8=7, 15-7=8 puesto que son
operaciones complementarias”. Se habla frecuentemente de que la operación
complementaria de la multiplicación (o suma) es la división (o resta), sí, pero no se
pone tanto en práctica. Cuando se expliquen las multiplicaciones en clase es casi seguro
que nuestros alumnos han oído hablar de las divisiones, aunque no sepan exactamente
lo que es. Se puede aprovechar esta circunstancia para relacionar operaciones
complementarias (8x5=40 es equivalente a 40/5=8). Lo mismo puede emplearse para las
sumas y las restas, y más adelante para potencias y raíces.
Los alumnos, con frecuencia, se limitan a hacer los ejercicios sin pararse a
pensar de dónde vienen, porqué se les ponen o qué relación guardan. Es fundamental
que el docente los contextualice.
4- Una buena forma de motivar a los alumnos es realizar múltiples juegos
relacionados con el cálculo mental. De ellos se hablarán más adelante, en las
actividades. Deben ser concebidas como situaciones lúdicas. Un riesgo que debemos
tener en cuenta es el hecho de que algunos alumnos respondan resultados de manera
rápida y sin reflexión. Para frenar esta práctica se podrían realizar pruebas premiando el
acierto pero castigando el error con puntos en contra.
En el siguiente punto me dispongo a relacionar una serie de pautas que seguir en
el aula para mejorar el trabajo del cálculo mental. En este documento se apostará
también por trabajar la resolución de problemas. Como nos indican Tomás Ortega del
Rincón y María Ortiz Vallejo (2002) en [MT] los enunciados de los problemas deben
23
ser sencillos y las operaciones asequibles para que los alumnos se familiaricen con este
mundo. Además hay que dejarles tiempo para razonar individualmente, antes de poner
en común la resolución. Las orientaciones didácticas que propone [MT] en este campo
son las siguientes:
1. Las estrategias deben ser descubiertas por los alumnos. El profesor debe
actuar como un guía en el proceso de enseñanza-aprendizaje y respetar el
trabajo autónomo del alumno.
2. No debemos recargar el trabajo de los alumnos con excesivos cálculos
formales. Es fundamental la introducción de material llamativo y
manipulativo ante la ausencia de comprensión por parte del alumno. Si se
consigue que interioricen como algo suyo los cálculos habrá mucho terreno
recorrido.
3. El componente competitivo puede ser introducido para motivar a los
alumnos y estimularlos con el afán de superación. Se deben variar las
agrupaciones, en grupos de diferente número de miembros y de manera
individual, para evitar una concepción aburrida o repetitiva de las actividades
en los niños.
En muchas ocasiones es lo que rodea a la actividad lo que anima o desmotiva
a la participación en ella. Los maestros también son animadores y deben
cuidar igualmente este aspecto. ¿Por qué no introducir una pelota, por
ejemplo, como símbolo del turno de respuesta para hacer un juego de cálculo
mental más lúdico?
4. Debemos aprovecharnos de las diferentes maneras de percepción que
tienen los niños. Por lo tanto, habrá que presentar el cálculo mental de forma
visual y oral, para contribuir de la mejor manera a su interiorización. La
importancia del campo visual decrece a medida que aumenta el nivel en el
alumnado.
Tal y como explica Howard Gardner (2001) en [HG] con su teoría sobre las
Inteligencias Múltiples los seres humanos son diferentes y piensan de
maneras distintas. Así que no hay que preocuparse en exceso por el proceso
(mientras sea coherente) si la solución es la correcta.
24
5. Es fundamental la explicación de igual a igual. Los alumnos deben razonar
y justificar sus problemas, resultados y cálculos delante de su clase. Esto,
además de contribuir a un continuo fluir de ideas y estrategias, repercutirá de
manera positiva en la atención mostrada por los alumnos debido al cambio
de orador (evitar la monotonía de la intervención docente).
6. Hay que aprovechar las oportunidades de trabajo del cálculo mental que nos
brindan las situaciones del aula. Los alumnos no lo deben ver como algo
aislado de su asignatura, sino como un campo muy útil y de frecuente uso.
Cualquier problema o explicación puede ser detenido para trabajar el cálculo
mental.
7. A colación con el punto anterior este trabajo no debe ser muy extendido en
el tiempo debido a su alto requerimiento de concentración. Emplearemos
momentos breves pero intensos de trabajo. Aunque no hay una fórmula
mágica, podría ser efectivo comenzar las clases de matemáticas más
tempranas con cinco minutos de cálculo mental, a modo de calentamiento,
para activar a los niños.
8. Hay que inculcar a los niños que el éxito en esta actividad es el acierto del
resultado, y no la rapidez con la que se hace. Para ello, se procurará el
repaso mental del propio cálculo mental.
25
6 DESARROLLO DE ESTRATEGIAS Y ACTIVIDADES
6.1 Estrategias
El éxito de las situaciones matemáticas va a depender sobremanera de la manera
de afrontarlas. Por lo tanto, hay que pensar cómo trabajarlas. El conocimiento de un
algoritmo no puede suprimir la acción del pensamiento ni, de la misma manera, el
hecho de pensar cómo realizar una operación puede eliminar el algoritmo. Es
importante que los niños entiendan porqué las operaciones se desarrollan de una
manera, de dónde nace ese “extraño” proceso que lleva a dividir, por ejemplo, una
cantidad en otra utilizando una cajita. Asimismo, es crucial que automaticen los
algoritmos a la hora de calcular para conseguir alcanzar una rapidez y agilidad
necesarias.
Se pueden utilizar diferentes estrategias para que los niños vayan
comprendiendo propiedades o conceptos sobre los números. Esto no pretende ser un
descubrimiento pionero sino una recopilación de estrategias que se pueden seguir a la
hora de mandar cálculos a una clase para no elegir las operaciones al azar, sino con una
intención. El objetivo de toda estrategia debe ser que el alumno se encuentre más
cómodo en su quehacer matemático, evitar el miedo a los números.
6.1.1 Estrategias para Primer curso:
1- Si se quiere explicar la noción de anterior y posterior en la recta numérica,
esta puede ser asimilada de mejor manera si previamente se han realizado varias sumas
y restas con la unidad como sumando: 5+1=6, 8-1=7. Procuraremos que los alumnos
ejecuten varias veces estas sumas antes de explicarles qué es anterior y qué es posterior.
Una vez que lo hayan interiorizado, este contenido puede ser extrapolado a otras
asignaturas: días de la semana y meses anteriores y posteriores (Ciencias Sociales), o
letra anterior y posterior del abecedario (Lengua).
2- Para que la clase entienda el valor posicional de las cifras se deben emplear
sumas o restas de múltiplos de 10: 10+30=40, 20+60=80. La motivación de trabajar con
números más grandes, unida a la lógica similar a la suma de unidades, conseguirá que
interioricen el valor posicional de los números a base de realizar numerosas sumas. El
26
recurso de pintar de azul las unidades y de rojo las decenas aunque sea habitual es
bastante efectivo.
3- A la hora de sumar o restar 9, se puede emplear la estrategia de descomponer
el 10 en 9+1 para facilitar el cálculo. De esta forma se está dando una utilidad palpable
al cálculo estimativo. Podemos instar a nuestros alumnos a que siempre sumen 10 y
resten 1 para sumar nueve indicándoselo en los enunciados de las actividades.
6.1.2. Estrategias para Segundo curso:
1- Introducir la noción del doble a los alumnos será más sencillo si previamente
han sumado en varias ocasiones números iguales de una cifra. Por ejemplo, sumando
2+2=4, 8+8=16, 15+15=30… También se pueden añadir restas que involucren dobles o
mitades para introducir los pertinentes conceptos: 10-5=5, 20-10=10, 44-22=22. De esta
forma, además de operar de manera natural para coger soltura con los números, los
niños se están familiarizando con esos conceptos que serán tan importantes de cara a la
multiplicación. Más adelante se puede dividir la multiplicación de 8x4 en (8x2) x2 para
seguir interiorizando la noción de doble.
2- Para que se vaya asimilando de una manera sencilla la propiedad conmutativa
(sin emplear esa palabra tan extraña “conmutativa”) se pueden introducir en clase sumas
cambiando los sumandos de orden, para que den el mismo resultado: 9+1=10, 1+9=10;
3+7=10, 7+3=10. A partir de ahí se puede nombrar la propiedad con términos sugeridos
por los estudiantes (creatividad) para, más tarde, proporcionar la denominación por la
que se conoce dicha propiedad.
3- Otra forma de que los alumnos entiendan el valor posicional de los números
es “obligarles” a realizar pasos intermedios por números enteros antes de acabar la
operación. Esto es, ante la suma 54+27+73+46= 200 proponerles que busquen números
enteros y la realicen así (54+46) + (27+73)= 100 + 100 = 200 para que les sea más
sencilla.
4- Conseguir que los alumnos aprendan a restar potencias de diez puede ser
bastante fácil si seguimos la siguiente estrategia. Por ejemplo, para restar a un millón,
1.000.000, trescientos cuarenta y cinco mil doscientos treinta y siete, 345.237, se debe
instar a los alumnos a contar lo que le falta a la última cifra del sustraendo (7) para
llegar a 10, y al resto de cifras del sustraendo para llegar a 9 (3, 4, 5, 2, 3), de esta
27
forma, aunque no conozcan las restas con llevadas, no tendrán problemas en realizar
este tipo de operaciones. Así pues, cualquier alumno sabrá que a 7 le faltan 3 para llegar
a 10 y a 3, 4, 5, 2, y 3 les faltan respectivamente 6, 5, 4, 7, y 6 para llegar a 9. De esta
manera, conseguir alcanzar el resultado final de 654.763 de la resta no será de gran
dificultad. Puede ser extendido, también, a números con decimales con muchos ceros.
Esta manera de operar, tan sencilla, conseguirá que los alumnos afiancen su relación
con las matemáticas (con las consiguientes repercusiones positivas en el ámbito
emocional).
5-A la hora de buscar dobles, a los niños les será muy asequible multiplicar cada
cifra por dos. De esta forma, si partimos, por ejemplo de 123, con multiplicar el 1x2, el
2x2 y el 3x2, conseguiríamos enseguida el 246. Para ello hay que guiar a los alumnos a
la consecución de estos cálculos por dicho camino como viene en la página web
www.mundoprimaria.com, indicada en [MP].
6.1.3. Estrategia para Tercer curso:
Para los niños es motivador el hecho de verse capaces de operar con grandes
números y más, si es algo aparentemente sencillo. Por eso, se pueden introducir
multiplicaciones de grandes números acabados en varios ceros (200x400=80000)
explicando que lo único que varía son las cifras distintas de 0 ya que 0x0 puesto que en
realidad son múltiplos de 10 con los que se opera. Esto se podrá aplicar de la misma
forma en cursos inferiores con la suma ya que dará resultado siempre y cuando se haya
asimilado el valor posicional de las cifras.
6.1.4. Estrategia para Cuarto curso:
El trabajo con sumas y restas de múltiplos de 25 en este nivel puede ayudar
sobremanera a comprender otros conceptos matemáticos como son las horas o las
fracciones. Si pensáramos en el 100 como una unidad, al sumarle 25 le estaríamos
añadiendo 14 , al sumarle 50, ½ y así sucesivamente. La extrapolación de un concepto a
otro es bastante sencilla y coherente.De la misma manera sucede con los 15 minutos (un
cuarto de hora) de un reloj, que se corresponden con ¼ de la cantidad total de minutos.
Para una mejor comprensión por parte del alumnado podrían realizarse varias
sumas de múltiplos de 25 y operaciones con un cuarto de hora, media hora… de manera
28
previa al trabajo con las fracciones. Unido esto a dibujos de pizzas o tartas (para apelar
también al componente visual), las fracciones serán de fácil comprensión por los
alumnos.
6.1.5. Estrategias para Quinto curso:
Cuando llega el momento de trabajar con fracciones se puede facilitar el cálculo
de las mismas si se propone a los alumnos una estrategia basada en “no superar un
número”. De esta forma, deberán simplificar la operación antes de concluirla, para
facilitar sus cálculos. Este hábito, pese a que facilita mucho el cálculo, no está muy
extendido entre los alumnos. Por ejemplo, para resolver la siguiente operación:
12x4x9x2 / 3x18x2, no se permitiría a los alumnos llegar hasta esta fracción tan
compleja, 864108,sino que deberán simplificar factores del numerador con el denominador
antes de alcanzar esas cifras tan altas. Así, acabarán mucho antes y con buen resultado,
sin necesidad de cálculos complejos.
6.1.6 Estrategias para Sexto curso:
La multiplicación debe ser concebida como la operación inversa de la división.
Para ello, debido a la soltura ya adquirida en cursos anteriores se instará a los alumnos a
comprobar sus resultados en operaciones de multiplicación/división con las operaciones
inversas de división/multiplicación para averiguar si son correctos. De la misma forma,
ya en sexto curso, se introducirá la raíz como operación inversa de la potencia con el
mismo fin, únicamente en potencias de 10.
Todas las estrategias explicadas anteriormente se explicarían de manera práctica
en cualquier sesión. A partir de un ejemplo real, visto en clase, se instaría a los alumnos
a que propusieran cómo lo resolverían. Más adelante, se contrastarían las ideas de los
alumnos con la estrategia propuesta por el maestro. Las actividades expuestas en el
siguiente apartado irán encaminadas al trabajo de las estrategias aprendidas de una
manera práctica.
6.2 Actividades
El primer contacto con las matemáticas puede resultar difícil si los alumnos no
tienen facilidad para este campo. Para hacer más sencilla la comprensión es importante
29
acercar lo más posible las matemáticas a su vida. Son niños y saben razonar, aunque en
clase se puedan quedar bloqueados en algún momento con operaciones. Debemos
aprovechar los materiales que manipulan a diario para que, si fuera necesario, utilizarlos
como protagonistas en las operaciones y buscar así un mayor entendimiento.
Conviene recordar aquí que los niños, al empezar la Educación Primaria están
todavía entrando en la etapa de las operaciones concretas de Piaget. Por lo tanto, no
podemos pedirles que trabajen con algo abstracto como pueden ser algoritmos aislados
sin que estos tengan un reflejo palpable en su realidad cotidiana.
Los alumnos coleccionan cromos, tazos, abatons… tienen juguetitos pequeños…
y es frecuente que los recuenten para saber cuántos poseen. ¡Aprovechémoslo!
Cualquier bloqueo en una operación puede ser reconducido a un simple trato con estas
unidades que poseen y que sienten como algo muy cercano. Importantísimo que los
alumnos se vean dentro, que sientan la actividad como algo real, para verle sentido.
Podemos aprender un poco de los videojuegos que crean un ambiente alrededor
de los niños, todo un mundo virtual. Los niños se ven animados a interactuar con él, a
explotar su innata curiosidad porque son los protagonistas. Todo juego que creemos será
una gran dosis de motivación para ellos. “Cualquier niño entiende que si tiene 8 abatons
(o cualquier juguete) y gana 4 alcanzará un total de 12. Sin embargo, esto se torna más
difícil si se habla únicamente de números.”
Presentamos a continuación algunas actividades para trabajar el cálculo mental,
clasificadas por curso. Algunas están extraídas de [B] y[OO].
6.2.1 Destinadas a Primer curso:
-Encuentra los números.
Contenido: ordenación de números.
Agrupaciones: de manera individual o en grupo grande.
Materiales: no se precisa de material si es de forma individual, si es en grupo
grande se podría utilizar una pelota como símbolo del turno de intervención.
Desarrollo de la actividad: el docente propondrá a los alumnos, como se indica
en [B], bien de forma oral o escrita buscar un número mayor que 4, 7…, menor que 5,
30
6…; elegir el mayor entre 4 y 5 o el menor entre 2 y 5, ordenar los números de mayor a
menor: 6, 8 y 9. También se podrán realizar preguntas como estas: ¿Qué número hay
entre 2 y 4? ¿Y entre 9 y 11? ¿Qué dos números suman 10? Esta actividad puede dar pie
a aplicar la estrategia 1 dirigida a Primer curso, ya que estamos trabajando la ordenación
de los números.
-¿Dónde está el error?
Contenido: noción de par o impar.
Agrupaciones: individual.
Material: pizarra para escribir los números.
Desarrollo de la actividad: el maestro escribirá series en la pizarra, como por
ejemplo: 2, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14… El alumno tendrá que identificar qué numero no
sigue la regla general, justificar su elección y corregir la serie. Esta actividad está
extraída de [OO].
-Dominó.
Contenido: sumas, decena y unidad.
Agrupaciones: individual.
Material: fichas entregadas a los alumnos.
Desarrollo de la actividad: tal y como proponen en [OO], se entregarán a los
alumnos unas fichas con sumas establecidas, como vemos aquí, con fichas de dominó.
De esta forma, cuando realicen los cálculos estarán separando decena y unidad sin
ningún tipo de confusión. Esta actividad pone en práctica la segunda estrategia dirigida
a Primer curso del apartado anterior. Pueden emplearse fichas de dominó con un 0 en
las unidades para comenzar (sumar 20 y 30). De esta forma, los niños irán adquiriendo
progresivamente la noción de decena y unidad.
31
+
_________________________
-Sudoku.
Contenido: los números.
Agrupaciones: de manera individual.
Materiales: fichas.
Desarrollo de la actividad: los alumnos completarán las fichas de los sudokus
que se les entreguen. Tendrán la peculiaridad de contar con solo cuatro números para
facilitar su realización.
Figura 2
Figura 1
32
-Adivino el número.
Contenido: elementos de la suma y la resta.
Materiales: nada.
Agrupaciones: en grupo grande.
Desarrollo de la actividad: se insta en [SW] a realizar concursos, para
introducir el componente motivador a los alumnos, como aquí. El docente se encargará
de realizar preguntas orales a los alumnos, como las siguientes: “¿Qué número tengo
que añadirle a 20 para obtener 50? Si lo queremos extender a Tercer curso,
incrementaríamos dificultad: ¿Por qué número tengo que multiplicar 5 para conseguir
20?” Con esta actividad se puede trabajar la segunda estrategia dirigida a Primer Curso
(valor posicional de las cifras), siempre y cuando se sumen o resten números redondos,
(40 + 30).
-Corrige los errores.
Contenido: conciencia sobre la validez de los resultados.
Materiales: fichas.
Agrupaciones: de manera individual.
Desarrollo de la actividad: como bien se indica en [OV] se pueden plantear
ejercicios en los que los alumnos identifiquen errores en operaciones ya realizadas. Esto
puede crear una conciencia sobre la importancia de la concentración y de la revisión del
trabajo realizado. El maestro repartirá fichas a los alumnos con el siguiente enunciado
para que trabajen individualmente:
Revisa estas operaciones e indica si son o no correctas. En caso negativo
corrígelas:
28+23=50 43-32=12 50+49=89 32-31=1
78+4=84 22-20=0 43+22=73 90-1=80
33
-Dominó.
Contenido: sumas y restas.
Materiales: dominó con estas operaciones y resultados.
Agrupaciones: en grupos de seis.
Desarrollo de la actividad: como indica [OV], un dominó de operaciones puede
ser muy motivador para los alumnos. La clase se dividirá en cuatro grupos de seis
personas. Cada niño empezará con siete fichas, en el centro habrá una, con un resultado
a cada lado, los alumnos deberán ir depositando sus fichas en el centro ajustándose a
las operaciones o resultados planteados, siguiendo el clásico juego del dominó. Ganará
el que se quede sin fichas. Por cada error de cálculo, colocación incorrecta de fichas, se
robará una ficha.
-Completa las tablas.
Contenido: sumas y restas, cálculo mental.
Materiales: fichas con tablas de doble entrada como la que hay a continuación.
Agrupaciones: de forma individual.
Desarrollo de la actividad: la utilización de las tablas de doble entrada que se
propone en [OV] es muy interesante para comprender las relaciones existentes entre los
números. Se repartirán fichas con una tabla como la que se ve abajo para completarlas,
empezando las operaciones por las filas, y sumándoles (o restándoles) las columnas.
Los números situados en la primera fila y columna serán exactamente los mismos, pero
la operación inversa. De esta forma los alumnos se concienciarán de la importancia de
distinguir entre suma y resta al operar.
34
Sumar 20 32 43 67 73
10
20 52
8
7
9
Restar 20 32 43 67 73
10
20 12
8
7
9
Figuras 3 y 4
Si queremos trabajar el cálculo estimativo en este curso, podríamos plantear este
ejercicio:
-Hallar la decena más próxima.
Contenido: cálculo estimativo.
Agrupaciones: en grupo grande o de manera individual.
Material: pizarra.
Desarrollo de la actividad: tal y como se explica en [OO], el profesor escribirá
en la pizarra una serie de números, por ejemplo 84, 23, 58, y 92. Los alumnos deberán
indicar cuál es la decena más próxima a esos números: las soluciones serían, 80, 20, 60
y 90.
35
6.2.2 Destinadas a Segundo curso:
-Cuadrado mágico.
Contenido: sumas y restas.
Materiales: fichas.
Agrupaciones: de forma individual.
Desarrollo de la actividad: el docente entregará fichas a los alumnos con
cuadrados como los que se muestran. En ellos, todas las filas, columnas y diagonales
suman lo mismo. Para obtener otro cuadrado mágico basta con sumar las mismas
unidades a cada cuadrado. Cabe destacar la buena disposición que presentará la clase
ante esta actividad debido a la curiosidad que despierta. La estrategia número 3 de las
presentadas para Segundo curso puede ser enfocada desde este ejercicio. En el caso del
cuadrado de abajo los alumnos se acostumbrarán a buscar el resultado 12, con lo que
podríamos realizar uno semejante con resultado 10, 50, 100…
Figura 5 Figura 6
-Crucigramas numéricos.
Contenidos: sumas y restas, cálculo mental.
Materiales: fichas.
Agrupaciones: de forma individual.
Desarrollo de la actividad: este ejercicio está extraído de [MT]. Su interés
radica en la utilización del crucigrama en un ámbito totalmente opuesto al normal,
números en vez de letras, compartiendo los números al expresar resultados (lo que
3 8 1
2 4 6
7 0 5
4 2
5
8
36
genera conciencia sobre la corrección de los cálculos). Además, se está introduciendo el
uso del espacio, de las coordenadas cartesianas. La misma estrategia que en la actividad
anterior (número 3) puede ser trabajada aquí si buscamos resultados con números
redondos. Así, se estaría guiando a los alumnos a buscar el camino fácil a la hora de
realizar sus cálculos.
Horizontales:
1. 4+5, 19+2, 5+4.
2. 93+17, 39+4.
3. 22-21, 40+24+10.
4. 3+3-5, 33+55, 12-6.
5. 100+11, 60+19-1.
6. 60-4, 66-33.
Verticales:
1. 100-9, 125-10.
2. 33-22, 21-5.
3. 10+10, 9+9.
4. 100-90-9, 83-5, 101-98.
5. 39+5, 84-11.
6. 105-12, 63+5.
¿Cuántas patas tienen?
Contenidos: sumas (multiplicaciones), resolución de problemas y animales.
Materiales: fichas.
Agrupaciones: de forma individual.
Desarrollo de la actividad: para relacionar Ciencias Naturales y Matemáticas
(transversalidad) e introducir la multiplicación si es un curso avanzado se pueden
repartir fichas a los alumnos con problemas como “¿Cuántas patas tienen 2 gatos y 3
caballos?” para resolver individualmente. Esta actividad podría ser planteada, también,
en la asignatura de Ciencias Naturales. Este ejercicio se debe introducir tras haber
Figura 7
37
trabajado previamente la estrategia primera dirigida a Segundo Curso del apartado
anterior, introducir la noción del doble. De esta forma los alumnos tendrán más soltura
al sumar números iguales y podrán calcular los resultados con más rapidez,
aproximándose así al trabajo de las multiplicaciones.
Para trabajar el cálculo estimativo en el mismo nivel podríamos utilizar estas tres
actividades:
-Juegos de velocidad.
Contenidos: velocidad de cálculo estimativo y resolución de problemas.
Materiales: nada.
Agrupaciones: en grupo grande.
Desarrollo de la actividad: para promocionar el cálculo estimativo en los
alumnos se pueden introducir juegos de velocidad de manera oral. El docente
preguntará a los alumnos si puede adquirir ciertos objetos con un determinado dinero.
El enunciado sería por ejemplo: si tengo 10€ y quiero comprarme un estuche de 3€ y un
juguete de 6€ ¿puedo? ¿Qué tres objetos puedo comprar de los siguientes con 6€: ratón
de 3€, estuche de 2€, golosinas de 2€, zapatillas de 6€. Se dejará un margen estrecho de
tiempo para contestar cada pregunta a modo de concurso.
-¿Qué número está más cerca?
Contenido: cálculo estimativo.
Materiales: pizarra.
Agrupaciones: en grupo grande.
Desarrollo de la actividad: el docente escribirá en la pizarra un número, por
ejemplo 840, e irá preguntando a sus alumnos de manera oral cuál de los dos que dice,
por ejemplo 870 o 863, está más cerca del que ha escrito. Se exigirá una respuesta casi
inmediata, sin uso de lápiz y papel, para evitar el cálculo exacto de sus alumnos, ya que
se busca la estimación. Según responda la clase se podrá realizar con números de cuatro
cifras.
38
¿Mayor o menor?
Contenidos: cálculo estimativo.
Materiales: pizarra.
Agrupaciones: en grupo grande.
Desarrollo de la actividad: como se propone en [SW] el docente puede ofrecer
retos estimativos con los que trabajar este cálculo no exacto en situaciones más
relajadas que el clásico cálculo de lápiz y papel. Para ello se plasmarán en la pizarra
varias operaciones, por ejemplo 567-203, y se preguntará a los alumnos si el resultado
será mayor o menor que 300. Para conducir la estimación, se les dejará un espacio corto
entre operaciones, de modo que no podrán detenerse a efectuarlas de manera exacta.
Será interesante preguntar de vez en cuando a los alumnos el motivo de su respuesta
para analizar cómo discurren y evitar el componente azaroso.
6.2.3 Destinadas a Tercer curso:
Concurso de rapidez.
Contenidos: sumas, restas y multiplicaciones.
Materiales: fichas y cronómetro.
Agrupaciones: de forma individual.
Desarrollo de la actividad: dependiendo de las operaciones realizadas este
ejercicio puede ser ubicado en otros cursos. Para este nivel, se proporcionarían fichas
con 50 operaciones entre las que habría sumas y restas de 3 o 4 cifras y multiplicaciones
por un factor y se dejarían 15 minutos para realizarlas. Se premiaría el acierto con cinco
puntos, el error se quedaría con cero puntos y la respuesta en blanco otorgaría dos. Así,
los alumnos deberán mediar entre realizar correctamente las operaciones y ser ágiles.
Esto permitirá tener 15 minutos trabajando a toda la clase con gran intensidad. Como es
un concurso, se premiará a los tres primeros en puntaje. El maestro irá avisando cada
cinco minutos del tiempo que resta para finalizar la prueba.
39
-Semejanzas entre las tablas de multiplicar.
Contenidos: tablas de multiplicar, cálculo mental.
Materiales: fichas con las tablas de multiplicar.
Agrupaciones: en grupo grande.
Desarrollo de la actividad: tal y como se plantea en [SW] se pretende buscar
una relación entre las tablas de multiplicar para, así, relacionar los dobles, mitades,
triples… que en ellas se producen. El docente dirigirá la actividad en la que se pintarán
con colores las tablas de multiplicar una vez que hayan sido desarrolladas. Se
preguntará a la clase tras pintar la columna del 3 y la del 6 si ven alguna relación entre
sus resultados, cuya solución sería el doble; también con el 2 y el 6, cuya solución sería
el triple...
-Totum revolutum.
Contenidos: tablas de multiplicar.
Materiales: nada.
Agrupaciones: en grupo grande.
Desarrollo de la actividad: las tablas de multiplicar serán preguntarlas al azar.
El profesor se desplazará por la clase y preguntará rápidamente a los alumnos, los
cuales deberán estar atentos ya que pueden participar en cualquier momento, las
multiplicaciones al azar, sin seguir ningún orden para captar así la atención de manera
continua. Esto se puede realizar igualmente con otras operaciones (sumas, restas…).
Para darle más realismo se podrán quitar vidas con los fallos o dar puntos tras los
aciertos. La estrategia dirigida a Tercer curso podría ser trabajada aquí incluyendo
números redondos (40x30) que sean simplemente una extensión de una multiplicación
simple (4x3).
40
-Múltiplos y divisores.
Contenidos: múltiplos y divisores.
Materiales: pizarra.
Agrupaciones: en grupo grande y después de forma individual.
Desarrollo de la actividad: se explicará la noción de múltiplo y divisor. Para
comprobar si se ha entendido se instará a los alumnos a que busquen varios múltiplos y
divisores de los números escritos en la pizarra. Más adelante, se otorgarán carteles a los
niños (con números que guarden esa relación entre ellos) para que se agrupen entre
ellos, con sus múltiplos y divisores. Por ejemplo, si un alumno tiene el número 8 deberá
juntarse con el 2 y el 4 cuando se le inste a buscar a los divisores. Por su parte, a los
alumnos que tengan el 2 y el 4 se les instará a buscar a sus múltiplos.
6.2.4 Destinadas a Cuarto curso:
-Gana a la calculadora.
Contenidos: uso de la calculadora, sumas, restas y multiplicaciones.
Materiales: calculadora.
Agrupaciones: por parejas.
Desarrollo de la actividad: (extraído de [B]) la clase se dividirá por parejas. Se
proporcionarán una serie de operaciones que ambos miembros de la pareja tendrán que
contestar pero de diferente manera: uno dispondrá de calculadora, el otro solo tendrá
lápiz y papel. A modo de concurso de velocidad, el objetivo será acertar todas en el
menor tiempo posible. Las operaciones no serán excesivamente complejas para evitar
otorgar demasiada ventaja a la calculadora.
-Pizzas y relojes.
Contenidos: fracciones y horas.
Materiales: pizarra, imágenes de pizzas y relojes.
Agrupaciones: de manera grupal.
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Desarrollo de la actividad: el maestro, a partir de los cálculos que se proponen
en [SW] (página 31) con múltiplos de 25, introducirá la noción de la fracción de ¼, y lo
comparará con 15 minutos de un reloj (un cuarto de hora) además de la clásica pizza
ayudándose de imágenes de los mismos. De esta forma se están relacionando contenidos
muy importantes para su mejor comprensión. Esta actividad guarda relación con la
estrategia explicada para Cuarto curso.
-La bomba.
Contenidos: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Materiales: cronómetros, fichas y pelotas.
Agrupaciones: en grupos de cuatro.
Desarrollo de la actividad: el docente, tras dividir a la clase, proporcionará
unas fichas de cálculo mental con operaciones combinadas (sumas, restas y
multiplicaciones) que puedan ser resueltas en veinte o treinta segundos por los alumnos.
La pelota simbolizará la bomba (el turno de cálculo) y la tendrá uno en cada grupo, que
será el que deba calcular las operaciones mentalmente. Los otros tres miembros del
grupo controlarán el tiempo que, en cuanto se acabe, la bomba explotará y el alumno
perderá una vida. Se pueden realizar eliminatorias entre los grupos para elegir un
ganador final. Un ejemplo de operación sería: (4x7) + 10 – 8= 30.
6.2.5 Destinadas a Quinto curso:
Se propone una actividad para trabajar la estimación y el cálculo a la vez y otra
para introducir las TIC.
-Coloca los signos.
Contenidos: diferenciación de operaciones y estimación de resultados.
Materiales: fichas.
Agrupaciones: individual.
Desarrollo de la actividad: el profesor repartirá una ficha con operaciones sin
los signos de multiplicar, dividir, sumar o restar. Los alumnos deberán estimar el
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resultado de cada tipo de operación para discernir qué signo hay que poner. Un ejemplo
sería: 20 60 30 4 = 200 cuya solución sería 20 + 60 + (30x4) = 200.
-Multiplica por 0,5 y 0,25.
Contenidos: comparación de la multiplicación y de la división.
Materiales: ordenadores.
Agrupaciones: de manera grupal e individual.
Desarrollo de la actividad: con los alumnos dispuestos en los ordenadores, el
profesor realizará un ejemplo de cómo multiplicar por 0,5 es lo mismo que dividir entre
2 y otro, indicando que multiplicar por 0,25 equivale a dividir entre 4. A partir de ahí,
los alumnos realizarán la actividad incluida en el enlace siguiente de manera individual
(http://goo.gl/xP2KpT).
6.2.6 Destinadas a Sexto curso:
-Cifras y letras.
Contenidos: diferenciación de operaciones y estimación de resultados.
Materiales: pizarra.
Agrupaciones: de manera individual.
Desarrollo de la actividad: esta actividad está extraída del programa de
televisión de Telemadrid. Dependiendo de la dificultad de los cálculos podrá amoldarse
a otros cursos. El maestro escribirá unos números en la pizarra y un resultado. Los
alumnos deberán encontrar ese resultado o uno lo más cercano posible utilizando solo
sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Se dará un tiempo determinado para
realizar la actividad. Por ejemplo: el maestro escribe 8, 5, 3, 10 y 2, como resultado
pone 145. La solución correcta sería (8x2x10) – (5x3)=145. La estrategia dirigida a
Sexto curso puede ser llevada a cabo en este ejercicio. Se instará a los alumnos que
comprueben la validez de sus resultados mediante la realización de las operaciones
inversas (si es una suma, realizar una resta, si es una multiplicación hacer una división)
antes de la corrección por parte del profesor.
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6.3 Actividades con la calculadora
A continuación, describo algunas actividades extraídas de [SW] para el uso de la
calculadora. Ayudan a reflexionar sobre las relaciones de los números que, unidas al
componente motivador del uso de la calculadora, pueden proporcionar gran resultado.
Están destinadas a segundo y tercer ciclo. Mediante estas actividades se intenta que los
alumnos anticipen el resultado antes de utilizar la calculadora:
1) Calculadora estropeada.
Contenidos: uso de la calculadora y cálculo mental.
Materiales: calculadora y ficha.
Agrupaciones: de forma individual.
Desarrollo de la actividad: el docente entregará a los alumnos una ficha con
preguntas de este estilo: ¿Cómo resolverías 5x6 si la tecla del 6 estuviera estropeada?
¿Y 5x9 si no funcionara la del 9? De esta forma, los niños tendrán que buscar una
descomposición factorial de 6 (2x3) y de 9 (3x3) para dar con la solución.
2) ¿Cómo alcanzar los números?
Contenidos: uso de la calculadora, anticipación del resultado y descomposición
de los números.
Materiales: calculadora, fichas, y lápiz y papel.
Agrupaciones: de manera individual.
Desarrollo de la actividad: el maestro entregará a los alumnos una ficha con
preguntas como las siguientes: Escribe 32.700 en la calculadora utilizando únicamente
los números 1 y 0 y el signo +. Haz lo propio con 32.007 y 30.027. Así los alumnos
llegarán hasta esos números sumando otros más pequeños. Como se puede comprobar,
aquí entra en juego la anticipación del resultado. Se permitirá, excepcionalmente, el uso
de lápiz y papel para cálculos complejos.
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3) Números mágicos.
Contenidos: uso de la calculadora.
Materiales: calculadora y fichas.
Agrupaciones: de manera grupal.
Desarrollo de la actividad: el maestro entregará a los alumnos fichas con
enunciados como los siguientes: Escribe el 5.944 en la calculadora. Mediante una sola
operación consigue que aparezca el 944 como resultado. Sin borrar este resultado haz
que salga con una sola operación el 44. Finalmente, consigue que aparezca el 0 con
otra sencilla operación. El docente procurará comprobar que todos los alumnos lo
entienden, fijándose en la manipulación de la calculadora.
4) Transforma los números.
Contenidos: cálculo mental y uso de la calculadora.
Materiales: calculadora.
Agrupaciones: en grupo grande.
Desarrollo de la actividad: el docente realizará preguntas a los alumnos como
las siguientes: Si tenemos el número 2.393, ¿cómo conseguiremos con una sola
operación que aparezca el 9299? ¿Y si tenemos el 2.222 y buscamos el 8.888? Será el
diálogo entre el profesor y los alumnos el motor de la actividad.
5) Juego de números.
Contenidos: descomposición de números.
Materiales: calculadora.
Agrupaciones: de forma grupal.
Desarrollo de la actividad: el docente preguntará cuestiones como la siguiente:
Dado el número 1000 en la calculadora, réstale sucesivamente 10 hasta llegar a 0 sin
pasarte. Los alumnos contestarán en voz alta y comprobarán los resultados con la
calculadora.
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6.4 Evaluación
La evaluación es una de las fases más importantes en el proceso de enseñanza-
aprendizaje. Las familias y los alumnos van a conocer sus progresos y resultados
mediante ella y, por eso, debemos planificar cómo realizarla adecuadamente para
intentar que sea lo más justa posible. Huyendo de una técnica sobreexplotada (pero
inevitable) como es el examen podemos proponer otras formas de evaluar que rompan
un poco con la rutina escolar.
Así pues, la siguiente técnica no debe ser utilizada en solitario, sino que, ha de
servir como complemento a exámenes y controles rutinarios. Los tres elementos que
protagonizan este Trabajo Fin de Grado (cálculo mental, cálculo estimativo y uso de la
calculadora) permiten la inclusión de una evaluación lúdica que consiga evadir a los
alumnos del clásico ambiente de examen. Esto es, cualquier operación que pretendamos
evaluar la podremos llevar a cabo con juegos (de esta forma estamos eliminando la
aversión hacia el examen).
Una vez llevadas a cabo las explicaciones y actividades pertinentes en el curso
correspondiente se podrían dedicar momentos puntuales del trabajo autónomo de los
niños (mientras ellos estén realizando ejercicios escritos) para “jugar” con ellos a “La
calculadora humana”. Extraída esta idea del programa de TVE, “Saber y Ganar”,
propondríamos a los alumnos una serie de cálculos adecuados a su nivel (exactos,
estimativos y otros para usar la calculadora).
Como elemento motivador, cada niño dispondría de dos vidas, que podría gastar
por cada error cometido. En función de su nivel de acierto se evaluaría su competencia
en el cálculo mental, estimativo y uso de la calculadora. Mientras tanto, para ellos, el
juego acabaría con el agotamiento de las vidas.
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7. CONCLUSIONES
Debemos trabajar con una premisa, las matemáticas son divertidas, y así
deben verlas los alumnos. Esto debe estar presente en todo momento, en cada detalle
de nuestra presencia docente, empezando por la actitud a la hora de explicar. En
cierto modo se puede considerar al maestro como un animador, que debe irradiar
energía y ganas de trabajar para contagiarlas a los alumnos.
No obstante, hay que huir de concepciones idealizadas de la realidad.
Contaremos con alumnos que por múltiples circunstancias no tengan esa
predisposición positiva hacia esta materia. Es hacia ellos donde tenemos que mirar y
dirigir nuestros esfuerzos. No basta con disfrutar con cómo razonan aquellos más
hábiles, hay que conseguir que avancen los que no lo son tanto. Aquí entra en juego
la paciencia, puesto que se corre el riesgo de generar aversión hacia la asignatura, y
esto es contraproducente.
Partiendo de la base de que el proceso de enseñanza-aprendizaje va a ser
diferente según el grupo con el que se trabaje hay que prestar atención a diferentes
aspectos pedagógicos que pueden inyectar una dosis de motivación en nuestros
alumnos: una nomenclatura diferente, un enfoque más lúdico… todo vale para
encontrarse a gusto con el cálculo.
En numerosas situaciones es el contexto el que determina la actitud de un
alumno hacia una actividad. Por ello, merece la pena emplear tiempo en buscar
formas en las que la clase pueda sentirse más cómoda en el trabajo matemático. No
hay que olvidar que el cálculo es muy susceptible de ser enfocado como un juego,
¡aprovechémoslo!
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8. BIBLIOGRAFÍA
-[B] Broitman, C., Grimaldi, V. y Sancha, I. (2008). La enseñanza del cálculo en primer
año. Matemática.
-[CM] Cálculo mental. Jueduland. Extraído de http://goo.gl/bmZwFH el 4 de mayo de
2016 a las 18:01.
-[HG] Gardner, H. (2001). La inteligencia reformulada: las inteligencias múltiples en el
siglo XXI. Barcelona: Paidós.
-ORDEN ECI/2211/2007 de 12 de julio, por la que se establece el currículo y se regula
la ordenación de la Educación Primaria. BOE nº 173 de 20/7/2007.
-[MT] Ortega del Rincón, T. y Ortiz Vallejo, M. 2002. Jerarquía holística de las
dificultades asociadas a las estrategias del cálculo mental. Investigación
didáctica. Universidad de Valladolid.
-[OO] Ortega del Rincón, T. y Ortiz Vallejo, M. (2009). Cálculo mental. Primer ciclo
de Educación Primaria. Badajoz: Abecedario.
-[OV] Ortiz Vallejo M. (2012) Cálculo mental en el aula en el Primer Ciclo de
Educación Primaria. CCS. Madrid
-[MP] Mundo Primaria. Extraído de http://goo.gl/o5Bf45 el 5 de mayo de 2016 a las
20:12.
-Real Decreto 126/2014 de 28 de febrero de 2014 por el que se establece el currículo
básico de la Educación Primaria. BOE nº 173 de 20/7/2007.
50
-[UA] Udina i Abelló, F. (1989) Aritmética y calculadoras.Colección: Matemáticas:
cultura y aprendizaje. Madrid: Síntesis.
-[SW] Wolman, S. (2006) Cálculo mental con números naturales. Matemática