Cálculo mental

Cálculo mental

El cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólo el

cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como calculadoras o incluso lápiz y

papel o los dedos para contar fácilmente. También se puede considerar cálculo mental al uso del cerebro y cuerpo. Algunos calculistas pueden realizar operaciones matemáticas muy complejas (como productos de números de 4 o

más cifras) mediante el cálculo mental. Sin embargo, los mejores matemáticos muchas veces no coinciden con los mejores calculistas.

Igualmente, los grandes calculistas no son los de mejor memoria pues las técnicas del cálculo mental y las de potenciación de la memoria son diferentes. Los

campeones del mundo y los que figuran en el libro Guiness de los records de ambas especialidades (cálculo y memoria) suelen ser siempre diferentes.

La práctica del cálculo mental ayuda al estudiante para que ponga en juego diversas estrategias. Es la actividad matemática más cotidiana y la menos

utilizada en el áula. Entre sus beneficios se encuentran: desarrollo del Sentido Numérico y de habilidades intelectuales como la atención y la concentración, además de gusto por las Matemáticas. Para su enseñanza es aconsejable

enseñar el descubrimiento de reglas nemotécnicas fáciles así como las de selección de estrategias. Aquí se presentan algunas formas de entrenar el cálculo

mental aunque cada uno tiene que hacerlo con sus propios números.

Sumas y restas

Si no hay acarreos, es decir, si ninguna suma parcial es mayor que 9, las sumas

se pueden realizar directamente. Lo mismo ocurre con las restas.

En caso contrario, hay que saber modelar los números de los que se dispone, a

veces convirtiendo una suma de dos números en una suma más sencilla de más sumandos, y algo análogo para las restas. Calculistas como Alberto Coto proponen realizar las sumas siempre de izquierda a derecha, aunque haya

acarreos.

Ejemplos:

Calcular 456 + 155:

456 + 155 = 461 + 150 = 511 + 100 = 611 (método tradicional, sumando de derecha a izquierda)

456 + 155 = 455 + 5 + 151 = 460 + 40 + 111 = 500 + 111 = 611 (llevando el primer

sumando a la decena superior, a la centena superior... para acabar realizando una suma más sencilla equivalente a la primera)

456 + 155 = 556 + 55 = 606 + 5 = 611 (sumando de izquierda a derecha)

Calcular 876 - 98:

876 - 98 = 868 - 90 = 778 (método tradicional, de derecha a izquierda)

876 - 98 = 876 - (100 - 2) = 876 - 100 + 2 = 776 + 2 = 778 (valiéndose de la proximidad del sustraendo (98) a uno que facilita la resta (100))

876 - 98 = 786 - 8 = 778 (restando de izquierda a derecha)

Calcular 634 - 256:

634 - 256 = 434 - 56 = 384 - 6 = 378 (de izquierda a derecha)

Duplicación y mediación

Multiplicar por 2 es lo mismo que sumarle al número inicial el mismo número. La duplicación y la mediación son un pilar fundamental de las matemáticas egipcias.

Ejemplo: multiplicar 173 × 16:

Esto se puede hacer por duplicaciones sucesivas: 173 × 16 = 346 × 8 = 692 × 4 = 1384 × 2 = 2768.

La multiplicación y la mediación sirven, en general, para calcular el producto de un número cualquiera por el producto de potencias de 2 y de 5. Multiplicar por 5 es lo

mismo que calcular la mitad del número inicial multiplicado por 10, lo que a veces es más fácil de hallar.

Ejemplo: multiplicar 376 × 125

Como 125 = 5³ = 10³/2³, se puede hallar la solución añadiendo los tres ceros

correspondientes y dividiendo el resultado tres veces por 2.

376 × 125 = 376000/8 = 188000/4 = 94000/2 = 47000.

324 x 125 = 324000/8 = 162000/4 = 81000/2 = 40500.

Es útil conocer algunas potencias de 2 y 5 para realizar estas operaciones con soltura.

También se puede utilizar este método para multiplicar por otros números que son sumas de (pocas) potencias de 2 o de 5, como 12 (8 + 4), 130 (125 + 5), 18 (16 +

2), etc.

Multiplicación por números cercanos a las potencias de 10

Multiplicar por 9, 11, 99, 101..., es decir, por una potencia de 10 menos 1 (o mas

1), se puede hacer mentalmente con un poco de práctica mediante la suma (o resta) de 10n veces el número inicial más (o resta) del número inicial. Sin

embargo, es fácil cometer errores al sumar o restar al mezclar, por ejemplo,

unidades con decenas.

Ejemplo: multiplicar 28 × 99

28 × 99 = 28 × (100 - 1) = 2800 - 28 = 2772

Otro ejemplo: multiplicar 37 × 121

121 es el cuadrado de 11, así que lo que se pide es lo mismo que multiplicar 37 por 11 y el resultado de nuevo por 11: 37 × 121 = 37 ×(10 + 1) × 11 = (370 + 37) ×

11 = 407 × 11 = 4477

Además multiplicar por 11 resulta fácil: se separan las cifras y luego se escribe

siempre cifra de las unidades y seguidamente se van sumando grupos de dos cifras seguidas poniendo el resultado o la última cifra de la suma llevando un

acarreo de 1 si la suma es mayor que 10, y finalmente se coloca la cifra más significativa, así:

Multiplicar:

12345 × 11: 1° las unid 5, 5+4=9, 4+3=7, 3+2=5,2+1=3, y finalmente 1; ahora

colocar en orden inverso: 135795

8946 × 11: 1° las unid 6, 6+4=10 (0 y lleva 1), 4+9+1(acarreo)=14 (4 y lleva 1), 9+8+1(acarreo)=18 (8 y lleva 1), y finalmente 8+1(acarreo)=9; ahora colocar en orden inverso: 98406

Análogamente, se puede aplicar esto a las multiplicaciones por potencias de 2, o de 5, más 1. Por ejemplo, 26, 17, 124 y 63.

Multiplicación por 37

Primero, basta recordar lo siguiente:

37 × 3 = 111

37 × 27 = (37 × 3) × 9 = 999 = 1000 - 1

El procedimiento es este:

1. Se divide el otro factor entre 3. Hay que recordar el cociente y el resto. Si el resto es 1, al resultado final habrá que sumar 37; si es 2, habrá que sumar

74.

Ejemplo: en 37 × 94, se toma 94: 3 = 31, resto 1. Ahora el producto es 111 × 31.

2. Se divide el cociente del paso anterior entre 9. El cociente se multiplica por 999 (= 1000 - 1) y el resto por 111.

En el ejemplo anterior, 31: 9 = 3, resto 4. Ahora tenemos la suma de dos

productos: 999 × 3 (= 2997, o, si se prefiere, 3000 - 3) y 111 × 4 = 444. Como el resto del primer cociente que hicimos era 1, al resultado habrá que sumar 37.

3. Se suma todo.

3000 - 3 + 444 + 37 = 3000 + 444 + 37 - 3 (a menudo es más fácil organizar los términos de esta forma, dejando el número que se resta al final) = 3444 + 34 =

3478.

Una variante es tomar por exceso y no por defecto el cociente de la división del

primer paso. Esto significa que se suma uno al cociente y al resto se le restan 3. Así, en lugar de un número de la forma 3 × Q + R (donde R = 1 ó 2) tenemos uno de la forma 3 × (Q + 1) + R' (donde R' = -2 ó -1, respectivamente), y al resultado final se le restará 74 o 37 (porque el nuevo "resto" de la división es negativo).

Más ejemplos:

37 × 54 = 111 × 18 = 999 × 2 = 2000 - 2 = 1998

37 × 79 (método usual) = 111 × 26 + 37 = 999 × 2 + 111 × 8 + 37 = 2000 - 2 + 888 + 37 = 2925 - 2 = 2923

37 × 79 (variante) = 111 × 27 - 74 = 999 × 3 - 74 = 3000 - 3 - 74 = 3000 - 77 =

2923

Como se puede comprobar, en este caso la variante es más fácil, aunque no tiene

por qué ser siempre así. En general, si el factor es uno o dos menos que un múltiplo de 27 (recordar que 37 × 27Q = 999Q), es más sencillo ir a por ese

múltiplo de 27.

Si uno de los factores del producto no es 37 pero sí un múltiplo, se puede

reformular la multiplicación haciendo que uno de los factores sea 37. Probemos por ejemplo con los siguientes cuadrados:

74 × 74 = 37 × 2 × 74 = 37 × 148 = 111 × 49 + 37 = 999 × 5 + 111 × 4 + 37 = 5000

- 5 + 444 + 37 = 5444 + 32 = 5476

111 × 111 = 37 × 3 × 111 = 37 × 333 = 999 × 12 + 333 = 12000 - 12 + 333 = 12321

(en este caso, como ya teníamos el 333, el procedimiento era más sencillo)

148 × 148 = 37 × 4 × 148 = 37 × 592 = 111 × 198 - 74 (en este caso se vuelve a

emplear la variante porque 594 es múltiplo de 27) = 999 × 22 - 74 = 22000 - 22 -

74 = 21904

Métodos así funcionan cuando uno de los factores de la multiplicación tiene a su vez un múltiplo que es una concatenación de nueves. Se trata pues de encontrar ese múltiplo. Otro ejemplo notable es el número 142857. No sólo el producto de

este número por 7 es igual a 999999, sino que su tabla de multiplicar es muy

sencilla, ya que en la cadena 142857142857... Basta con tomar seis dígitos

consecutivos a partir de una posición dada:

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

Probemos a calcular el cuadrado de este número de seis cifras (!):

142857 × 142857 = (142857 × 7) × (142857: 7) = 999999 × 20408 + 142857 (Como el resto de 142857 : 7 da 1, al resultado de la multiplicación hay que

sumarle 142857. Es lo mismo que se hacía en la multiplicación por 37) = (1.000.000 - 1) × 20.408 + 128.857 = 20.408.000.000 - 20.408 + 142857 = 20.408.000.000 + 122.449 = 20.408.122.449

Igualdades notables y cálculo de cuadrados

Las llamadas igualdades notables pueden aplicarse al cálculo mental:

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. (a - b)² = a² - 2ab + b²

3. (a + b) (a - b) = a² - b²

Cálculo del cuadrado de un número cualquiera de dos cifras

Las dos primeras identidades se pueden aplicar al cálculo de cuadrados perfectos.

Supongamos que queremos calcular 52². 52 = 50 + 2, así que aplicamos la identidad correspondiente al cuadrado de la suma, donde a = 50 y b = 2.

(50 + 2)² = 50² + 2 × 2 × 50 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704

Más ejemplos:

17² = (10 + 7)² = 10² + 2 × 7 × 10 + 7² = 100 + 140 + 49 = 289

76² = (70 + 6)² = 70² + 2 × 6 × 70 + 6² = 4900 + 840 + 36 = 5776

95² = (90 + 5)² = 90² + 2 × 5 × 90 + 5² = 8100 + 900 + 25 = 9025

Con este método también es fácil calcular el cuadrado de un número con una cifra entera y un decimal, sólo hay que acordarse del lugar que ocupa cada cifra:

2,4² = (2 + 0,4)² = 0,1² × 14² = 0,01 × (20² + 2 × 4 × 20 + 4²) = 0,01 × (400 + 160 +

16) = 0,01 × 576 = 5,76

Algoritmo para elevar al cuadrado un número de dos cifras que empieza con 4: (4*10+u)^2 = (15+u) y (10-u)^2 Ejemplo: 47^2= (15+7) y (10-7)^2 = 22 y 09 =2209, ya que 47^2= 40x40 + 40x7x2 + 7x7 = 1600 + 560 + 49 = 2209.

Algoritmo idem, para los que empieza con 5.- (5*10+u)^2 =(25+u) y u^2; ejemplo:

53^2= (25+3) y 3^2 = 2809

Algoritmo idem, para los que empiezan con 9.- (9*10+u)^2= (80+2u)y(10-u)^2;

ejemplo: 96^2=(80+2*6)y(10-6)^2= 92y16= 9216

Algoritmo idem, para los de tres cifras que empieza con 10.- (10*10+u)^2=

(100+2u)y u^2; ejemplo 108^2= (100+2*8)y8^2 = 116y64= 11664

Algunos calculistas conocen de memoria las tablas de multiplicar del 1 al 100, por lo que pueden utilizar este método fácilmente para hallar el cuadrado de un número de cuatro cifras o más. Esto sólo se consigue tras mucho entrenamiento,

pero simplifica enormemente el cálculo como se puede observar:

5782² = (5700 + 82)² = 5700² + 2 × 82 × 5700 + 82² = 32.490.000 + 934.800 +

6.724 = 33.431.524

Producto de dos números equidistantes de un número cuyo cuadrado es conocido

El número cuyo cuadrado es conocido generalmente será uno acabado en 0. Por ejemplo, a la hora de calcular 58 × 62 nos apoyaremos en el 60, ya que ambos

están a la misma distancia (2 unidades) de 60. Aquí se puede utilizar la tercera identidad, la del producto de suma por diferencia, donde a = 60 y b = 2.

(60 + 2) (60 - 2) = 60² - 2² = 3600 - 4 = 3596

Más ejemplos:

77 × 83 = (80 - 3) (80 + 3) = 6400-9= 6391

95 × 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10000-25= 9975

128 × 152 = (140 - 12) (140 + 12) = 19600-144= 19456

Cuadrado de un número acabado en 5

El cálculo del cuadrado de un número que acabe en 5 puede simplificarse utilizando la tercera identidad. Aquí a será el número inicial (por ejemplo, 65), y b =

5: (a + 5) (a - 5) = a² - 25

Por tanto, se tiene que: (a + 5) (a - 5) + 25 = a²

Si a = 65, el resultado es el siguiente:

65² = 70 × 60 + 25 = 4200 + 25 = 4225.

Más ejemplos:

35 × 35 = 40 × 30 + 25 = 1225

105 × 105 = 110 × 100 + 25 = 11025

255 × 255 = 260 × 250 + 25 = 65025

En este último caso, para calcular 260 × 250 se puede optar por formularlo de esta

manera: 260 × 250 = (250 + 10) × 250 = 250² + 2500, y ya sabemos calcular con facilidad 250², así, quedaría 62500 + 2500 + 25 = 65025.

Cubos y potencias superiores

El cálculo de cubos y potencias superiores mediante el uso de igualdades notables

es progresivamente más difícil, y a menudo es más sencillo hallar la cuarta potencia de un número como el cuadrado de su cuadrado:

954 = (95²)² = 9025² = (9000 + 25)² = 9000² + 2 × 25 × 9000 + 25² = 81.000.000 + 450.000 + 625 = 81.450.625 (Facilita mucho el cálculo el hecho de que la segunda

cifra de 9025 sea un cero)

Cálculo de logaritmos (en base 10)

Para aproximar el logaritmo común o en base 10 con una o dos cifras

significativas, se requiere conocer algunas propiedades de los logaritmos y la memorización de algunos logaritmos. En particular, es necesario saber lo siguiente:

log(ab) = log(a) + log(b)

log(a : b) = log(a) - log(b)

log(0) si existe

log(1) = 0

log(2) ~ 0,33

log(3) ~ 0,48

log(7) ~ 0,85

log(10) = 1

Si a > b, forzosamente log(a) > log (b). En lenguaje matemático, se dice que la función logaritmo es creciente.

A partir de esta información, se puede calcular el logaritmo de cualquier número del 1 al 9:

log(1) = 0

log(2) ~ 0,30

log(3) ~ 0,48

log(4) = log(2 × 2) = log(2) + log(2) ~ 0,60

log(5) = log(10 : 2) = log(10) - log(2) ~ 0,70

log(6) = log(2 × 3) = log(2) + log(3) ~ 0,78

log(7) ~ 0,85

log(8) = log(2 × 2 × 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ 0,90

log(9) = log(3 × 3) = log(3) + log(3) ~ 0,96 (en realidad, se acerca más a

0,95)

log(10) = 1

El primer paso para aproximar el logaritmo común de un número es expresar dicho

número en la notación científica. Por ejemplo, el número 45 en notación científica es 4,5 × 101. En general, tendremos un número de la forma a × 10b, donde a es un número entre 1 y 10. El segundo paso es utilizar lo que se llama interpolación

lineal para estimar el logaritmo que queramos calcular a partir de dos ya conocidos. En el ejemplo del 45 (= 4,5 × 10), se parte de que log(4) ~ 0,60 y log(5)

~ 0,70, y como 4,5 está a medio camino entre 4 y 5, log(4,5) estará aproximadamente a medio camino entre log(4) y log(5), por tanto, será aproximadamente 0,65. En realidad, el resultado correcto siempre es ligeramente

mayor de lo esperado, de hecho, log(4,5) = 0,6532125... El tercer y último paso, una vez obtenido log(a), es sumarle b para obtener el logaritmo deseado. En este

caso, como log(4,5) ~ 0,65, basta añadir 1 para obtener log(45) ~ 1,65. El valor real es log(45) ~ 1,6532125...

El mismo proceso se puede emplear para calcular el logaritmo de un número entre 0 y 1. Por ejemplo, 0,045 en notación científica se expresa como 4,5 × 10-2. Hay que tener cuidado con este exponente, que es negativo. Esto dará lugar al

resultado log(0,045) ~ 0,65 - 2 = -1,35.

Otro método es calcular el logaritmo del número a partir de una factorización de números cuyos logaritmos sean conocidos. En el ejemplo anterior, 45 = 9 × 5, por tanto, log(45) = log(9) + log(5) ~ 0,96 + 0,70 = 1,66.

Verificar el resultado

Hay varias formas de comprobar si el resultado al que se ha llegado es el correcto:

Orden de magnitud: Si, tras multiplicar dos números menores de 100, el resultado es mayor de 10.000, seguro que hay algún problema. En una multiplicación de dos factores, hay que comprobar que el resultado tiene un

número de cifras igual, o una unidad mayor (según el caso) que la suma de

las cifras de los factores. A menudo los errores en el orden de magnitud se deben a una mala posición de uno de los números a la hora de sumar los

productos parciales. Por ejemplo, multiplicar 65 × 205 en lugar de 65 × 25, o viceversa.

Cifra de las unidades: Consiste en comprobar que la última cifra del resultado es correcta vista la última cifra de cada uno de los números con

que se parte. Por ejemplo, 73 × 64 debe terminar en 2, ya que 3 × 4 = 12. Esta verificación permite conocer una cifra con certeza.

Prueba del nueve: Esta verificación se basa en la suma de las cifras de cada uno de los factores y del resultado hasta que sólo queden números de

una cifra. Por ejemplo, si nos queda 73 × 64 = 4662, podemos comprobar si es cierto sumando las cifras de cada uno de los números:

7 + 3 = 10, 1 + 0 = 1

6 + 4 = 10, 1 + 0 = 1

4 + 6 + 6 + 2 = 18, 1 + 8 = 9

Sin embargo, 1 × 1 no es igual a 9, así que el resultado no es correcto. Habría que revisar de nuevo la multiplicación o realizarla de nuevo. (El resultado correcto es

4672) Este método es bueno para detectar errores de acarreo.

Conclusión

En general, el cálculo mental consiste en modelar los números de la forma más

conveniente para realizar las operaciones prescritas. Para desarrollar una mayor agilidad en el cálculo mental, es útil:

Conocer algunas potencias de números pequeños, como 2, 3 y 5. En muchos casos, un producto se puede escribir de otra forma más conveniente si se juega con los factores. Por ejemplo, 65 × 27 es más fácil

de calcular si se entiende el producto por 27 como productos sucesivos por 3.

Conocer algunos cuadrados y saber utilizar las igualdades notables y la propiedad distributiva de la multiplicación para simplificar el cálculo. Por

ejemplo, 13 × 18 es lo mismo que 13 × (17 + 1) = 13 × 17 + 13. Mediante las igualdades notables, 13 × 17 = 225 - 4 = 221, así que el resultado final

es 234.

Método Trachtenberg

El método Trachtenberg es un sistema de cálculo mental, algo parecido a la

matemática védica de Bharati Krishna Tirtha. Fue desarrollado por el ingeniero ruso Jakow Trachtenberg con el fin de mantener su mente ocupada cuando era prisionero en un campo de concentración nazi.

El sistema consiste de un número de patrones memorizables con gran facilidad

que le permiten a uno realizar computaciones aritméticas sin ayuda de lápiz y papel.

El resto de este artículo presenta algunos de los métodos diseñados por Trachtenberg.

Índice

1 Multiplicar por 12

2 Multiplicar por 11

3 Multiplicar por 5

4 Multiplicar por 6

5 Multiplicar por 7

6 Multiplicar por 8

7 Multiplicar por 9

8 Enlaces externos

Multiplicar por 12

Regla: para multiplicar por 12, duplicar el dígito antes de sumarlo al dígito a

su derecha y luego volver a copiar el primer dígito:

Ejemplo: 314 × 12 = 3.768:

4 × 2 = 8

1 × 2 + 4 = 6

3 × 2 + 1 = 7

Volver a copiar 3

Multiplicar por 11

Regla: para multiplicar por 11, vuelva a copiar el último dígito. Luego, dos

por dos, añada los dígitos uno al otro. Vuelva a copiar el primer dígito.

Ejemplo: 3.422 × 11 = 37.642

Volver a copiar 2

2 + 2 = 4

4 + 2 = 6

3 + 4 = 7

Volver a copiar 3

Multiplicar por 5

'Regla:' si multiplicaras 14× 5 solo tendrías que dividir 14 ÷2 =7 y agregarle un 0 o sea 70, agregar 0 si el dígito de la derecha es par y un 5 si es impar

Multiplicar por 6

Regla: para multiplicar por 6:

1. Agregar la mitad del vecino a cada dígito

2. Si el dígito es impar, reducirlo al número entero más bajo.

3. Si el resultado es impar, agregar 5.

Ejemplo: 657.832 × 6 = 3.946.992

Volver a copiar 2

3 + (2 / 2) + 5 = 9; 3 es impar se suma 5

8 + (3 / 2) = 9; 3 es impar se reduce a 2

7 + (8 / 2) + 5 = 16; 7 es impar se suma 5, y se lleva 1

5 + (7 / 2) + 1 + 5 = 14; 5 es impar se suma 5, y 1 que se llevaba. 7 es impar se

reduce a 6

6 + (5 / 2) + 1 = 9; se suma 1 que se llevaba. 5 es impar se reduce a 4

6 × 6 = 36

Multiplicar por 7

Regla: para multiplicar por 7:

1. Multiplicar por dos cada dígito.

2. Añadir la mitad de su vecino.

3. Si el dígito es impar, añadir 5.

Ejemplo: 657.832 × 7 = 4.604.824

2 × 2 = 4

3 × 2 + (2 / 2) + 5 = 12; 3 es impar se suma 5

8 × 2 + (3 / 2) + 1 = 18; Se suma 1 que se llevaba. 3 es impar se reduce a 2.Se

lleva 1

7 × 2 + (8 / 2) + 1 + 5 = 24; Se suma 1 que se llevaba. 19 es impar se suma 5, y se

llevan 2

5 × 2 + (7 / 2) + 2 + 5 = 20; Se suman 2 que se llevaban. 15 es impar se suma 5. 7

es impar se reduce a 6

6 × 2 + (5 / 2) + 2 = 16; se suman 2 que se llevaban. 5 es impar se reduce a 4

6 × 7 = 42

Multiplicar por 8

Regla: para multiplicar por 8:

1. Substraer el último dígito de 10 y duplicar.

2. Substraer 9 de los otros dígitos.

3. Quitar dos al dígito de la derecha y sumar si se lleva.

Multiplicar por 9

Regla: para multiplicar por 9:

1. Substraer el último dígito de 10. (Ex.: 10 - 3 = 7)

2. Substraer los otros números de 9 y añadir al dígito a la derecha.

3. Quitar uno del primer dígito.

LOS MÉTODOS DE CÁLCULO MENTAL VERTIDOS

POR LA TRADICIÓN REFLEJADA EN LOS LIBROS DE

ARITMÉTICA

Bernardo Gómez Alfonso.

Resumen

En este artículo se presentan los métodos de cálculo mental que se han obtenido

a partir de un extenso análisis histórico bibliográfico. La finalidad del mismo es

aportar un catálogo de los mismos, actualizado en su lenguaje y organizado con

criterios estructurales, conducente a dar una visión de conjunto, global y

unificadora.

1. Introducción

En primer lugar, se hace una breve exposición acerca de la motivación educativa

actual del cálculo mental

1. Después se discuten los criterios que se han tomado en cuenta para el

compendio y organización de sus métodos. Por último, se hace una presentación

detallada, e ilustrada con ejemplos, de los métodos seleccionados.

2. Interés educativo del cálculo mental

El cálculo mental en el anterior currículum oficial español (MEC,1970) no aparecía

explícitamente, aunque se establecía entre los objetivos específicos del área de

matemáticas el "Desarrollo de la agilidad mental", expresión cuyo significado no

era explicada en el texto donde se recogía la propuesta.

Posteriormente, en los programas renovados del año 1981 (MEC,1981), sí se

mencionaba el cálculo mental, relacionándolo con la aplicación 2 de las

propiedades de las operaciones y con la resolución de situaciones de la vida real,

en un enfoque vinculado al cálculo rápido.

Así queda reflejado en la cita siguiente:

Cálculo mental y rápido de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.

Desarrollo de la agilidad mental en el cálculo de estas cuatro operaciones.

Aplicar las propiedades conocidas para simplificar y agilizar el cálculo mental.

(MEC, 1981)

En esta propuesta, de carácter funcional, no se explicitaban los métodos que

había que enseñar.

En cambio, en el nuevo modelo educativo español (LOGSE), donde se otorga al

cálculo mental un renovado protagonismo, si que se señalan (DCB 1989) algunos

de ellos.

Concretamente, en el cálculo mental aditivo: la conmutación, descomposición,

redondeo, conteo y duplicado; y, en el cálculo mental multiplicativo: la distribución

y la factorización.

Lo innovador del enfoque actual es que está orientado hacia el cálculo flexible,

bajo una perspectiva que defiende la autonomía, la exploración y la reflexión sobre

los procedimientos mismos (DCB 1989); se proyecta en la educación secundaria y

se fundamenta en la valoración del papel que el cálculo mental tiene en la

adquisición de los conceptos relacionados con las operaciones (DBR, 1990).

También en otros países la propuesta oficial u oficialista discurre por estos

derroteros, así por ejemplo, la propuesta Norteamericana, plasmada en el

documento “Standards” (NCTM, 1989), para los años 90 recomienda repensar el

cálculo enfatizando más variación y menos predominio de cálculo escrito.

En definitiva, puede verse en los documentos oficiales que hay una serie de

planteamientos innovadores en relación a la anterior propuesta del currículum

donde el cálculo mental atendía a un requerimiento utilitario, centrado en el Ciclo

Medio, que es la época del aprendizaje de las operaciones.

3 Para desarrollar este nuevo planteamiento, se requiere precisar dos puntos

principales: uno es el del contenido que debe enseñarse, es decir, los métodos de

cálculo mental que se deben considerar con interés educativo; y el otro es la forma

de presentarlos, es decir, la secuencia didáctica de enseñanza que asegure su

apropiación óptima por parte de los estudiantes, de acuerdo con los objetivos

propuestos.

En relación con el primer punto se puede considerar, de acuerdo con Schubring

(1987), que la enseñanza práctica no está tanto más determinada por los decretos

ministeriales y programas oficiales como por los libros de texto usados para la

enseñanza. Esto puede interpretarse en el sentido de que para establecer una

lista de métodos de cálculo mental para la enseñanza, que pueda ser aceptada

por el profesorado, debe tenerse en cuenta lo que ha sido la tradición vertida en

los libros.

En cuanto al segundo punto, cabe admitir que cualquier acción de enseñanza de

los métodos de cálculo mental siempre producirá un avance en su conocimiento,

uso y aplicabilidad; pero no es esto lo único que interesa, sino, más bien, que el

avance se produzca en una determinada dirección. En este sentido, lo que se

persigue es que la enseñanza de los métodos de cálculo mental conduzca a

conseguir una disminución del énfasis en los automatismos en favor del análisis y

la expresión significativa de las acciones sobre las situaciones numéricas.

En consideración a lo dicho con relación al primer punto se ha procedido de la

siguiente manera 2:

3. Criterios para la selección, organización y presentación de los métodos de

cálculo mental

La lista o catálogo de métodos de partida

Las listas o catálogos de métodos de cálculo que recoge cada uno de los libros de

aritmética revisados 3 son, vistas una a una, incompletas; esto es, ningún libro

recoge todos los métodos. No obstante, todas ellas en 4 conjunto permiten

elaborar una lista lo suficientemente exhaustiva para el propósito de este trabajo.

En la medida en que los métodos de cálculo mental no se pueden desligar de los

métodos del cálculo escrito, ya que no hay una línea divisoria clara entre los que

son para ser aplicados por escrito y los que son para ser aplicados mentalmente,

cualquier lista que se elabore, a partir de poner juntos los métodos que aparecen

en los diversos libros, ha de recoger tanto a los unos como a los otros.

Ahora bien, para elaborar esta lista es necesario establecer criterios para la

presentación, organización y lenguaje de los métodos, que, siendo convincentes

puedan ser admitidos por la comunidad de educadores, eviten redundancias o

dobles inclusiones, permitan agruparlos para facilitar una visión de conjunto y

contribuyan a la actualización y unificación del lenguaje.

Las diferentes formas de enunciar de los métodos

Una mirada detenida a los enunciados de los métodos tal y como aparecen

recogidos en las Aritméticas revisadas muestra tres enfoques diferentes: métodos

que se enuncian vinculándolos a una cifra particular como, por ejemplo, los

métodos para multiplicar por 5, 25, 9, 45, etc.; métodos que se enuncian

vinculándolos a condiciones particulares que cumplen los datos como, por

ejemplo, ser próximos a la unidad seguida de ceros, ser parte alícuota de la

misma, etc.; y, por último, métodos que se enuncian vinculándolos a principios

generales de actuación, con independencia de cualquiera que sea el dato como,

por ejemplo, los que se enuncian como métodos de descomposición en sumandos

o en factores, o métodos que consisten en completar a la decena, centena,

superior, etc.

Las relaciones notables que sustentan los métodos

Algunos autores (Lacroix, 1797, Bruño, 1932) han destacado que el cálculo mental

debería basarse en el aprovechamiento de las relaciones 5 numéricas notables de

los datos. Así, han sugerido basarse en el número redondo, operar cambiando

multiplicación por división o viceversa, cuando esto haga más fácil obtener el

resultado; reducir los números decimales a fracciones, o aprovechar el que un

dato sea el doble, triple, mitad, etc., que el otro.

La estructura común

Los métodos de cálculo mental se basan, en gran medida, en la aplicación de las

mismas propiedades de las operaciones y en el uso de los mismos hechos del

sistema de numeración. Concretamente, se basan en la aplicación, sea cual sea la

operación implicada, de las propiedades conmutativa, asociativa o distributiva y de

los valores de orden de unidad de las cifras.

El lenguaje horizontal

Algunos autores (Smith, 1923, y Sánchez Pérez, 1949) han recurrido a abreviar la

presentación de los métodos mediante su formulación algebraica, pero esto

conlleva el riesgo de no dejar ver con facilidad la casuística a la que se aplican.

Para solventar este problema, lo que se ha hecho en los textos escolares actuales

es presentarlos con el lenguaje horizontal tomado del álgebra de igualdades y

paréntesis, pero usando siempre ejemplos numéricos, en vez de expresiones

estrictamente literales.

La presentación

En definitiva, los puntos que se acaban de señalar: lista exhaustiva, formas de

enunciar, relaciones numéricas notables, estructura común y lenguaje horizontal,

son elementos cuyo aprovechamiento conduce necesariamente a un determinado

modelo de presentación: enunciado, orden y enlace de los métodos.

6

Previamente, es obligado hacer ciertas precisiones con el fin de eliminar

ambigüedades y de disponer de terminología apropiada.

Diferenciación entre estrategia, método, procedimiento, etc.

Aunque estrategia, método y procedimiento se usan en el cálculo unas veces

como sinónimos4 y otras no5, según quien sea el autor, en este trabajo, se ha

considerado (siguiendo la tendencia oficial del currículum español) por razones de

organización y descripción, que son términos que se refieren a hechos diferentes.

Así:

Las estrategias de cálculo mental son los principios directores generales de la

resolución, y por lo tanto, que funcionan con cualquiera que sea la operación

atendiendo a la manera de tratar los datos.

Los métodos de cálculo mental son las formas en que se concretan las estrategias

al tomar en cuenta las operaciones, los hechos y las relaciones numéricas

involucradas en los datos6. Las modalidades de los métodos son sus diversas

variantes según que se aplique a uno o al otro dato, o sobre una u otra operación.

Y, por último, los procedimientos son las secuencias ordenadas y explícitas de

cálculos que desarrollan los métodos hasta llegar al resultado.

4. Esquema global de los métodos de cálculo mental

Con la diferenciación entre estrategia (en mayúsculas) y método (en minúsculas)

junto con los criterios señalados antes, se ha elaborado el siguiente esquema:

1. ARTIFICIOS

1.1 DE COLUMNAS

Además de los usuales, cuatro variantes en la resta (llevando, prestando,

complementando y aditiva.

1.2 REGLAS

Multiplicación reglada de números terminados en ceros, de números formados

sólo por unos, de números formados sólo por nueves, de los números de la Tabla

Mayor, y, de números con coma decimal

Multiplicación por Complementos. Multiplicación Cruzada o Cruceta

1.3 FÓRMULAS

Cuadráticas y Numéricas

7

2. DESCOMPOSICIONES

2.1 DISOCIACIONES

A) DISOCIACIONES POR DESCABEZAMIENTO

De un dato: Agregar, segregar, distribuir

De los dos datos: Primeros Dígitos reagrupando, recuperando, cambiando

B) DISOCIACIONES SUBSIDIARIAS

Resta haciendo la misma terminación, resta prestando y resta por Patrones-

Hecho conocido

2.2 FACTORIZACIONES

A) FACTORIZACIONES SIMPLES

B) FACTORIZACIONES SUBSIDIARIAS

3. COMPENSACIONES

3.1 COMPENSACIONES INTERMEDIAS

Añadir y quitar, Promediar, Doble y mitad, Conservar y Alicuotar

3.2 COMPENSACIONES FINALES.

Redondeo

Incremento Subsidiario

4. RECUENTOS

4.1 CONTAR A SALTOS

Repetición de grupo

5. Catálogo de los métodos de cálculo mental, ilustrado con ejemplos.

A continuación, se detalla el esquema anterior ilustrando la casuística con

ejemplos tomados de la literatura.

El hecho de que no hayan ejemplos de todos los métodos en todas las

operaciones debe entenderse como que los diversos autores no los han

considerado relevantes.

1. ARTIFICIOS

1.1 DE COLUMNAS. Es la reproducción o emulación mental del algoritmo

estándar de lápiz y papel, o algunas de sus variantes. Se actúa siempre en

términos de posición, por columnas tomando las cifras o grupos de cifras

aisladamente 7.

Resta: 672-458

Llevando: "12 menos 8, 4; 7 menos 6, 1; 6 menos 4, 2. Total 214".

Natural o Prestando: "12 menos 8; 6 menos 5 y 6 menos 4".

8 Complementando: "el complemento de 8, 2; 2 y 2 son 4; el complemento de 5, 5;

5 y 6, 11; el complemento de 4, 6; 6 y 6, 12".

Aditiva: "8 y 4, 12, llevo una, 5 y 1, 6; 6 y 1, 7; 4 y 2 son 6".

1.2 REGLAS. Son las recogidas por la tradición escrita en las Aritméticas antiguas

como tales.

Multiplicación de números terminados en ceros

Suma, cuando los sumandos terminan en ceros, sumando sólo las cifras

significativas: 600+700+4500= "son 6+7+45 cientos, 5800".

Multiplicación por números que terminan en ceros: 7x1000="son 7 y añado tres

ceros, 7000". 7x300= "son 7x3 y añado dos ceros, 2100".

División cuando el dividendo y divisor terminan en ceros, o sólo el divisor:

36000:500= "son 360:5, 72 y resto 0”.

Multiplicación reglada de números formados sólo por unos

Multiplicación por 11: 57x11="dejo el 7; sumo 5+7,12; dejo el 2 y llevo 1 al 5, que

son 6. Total 627”.

Multiplicación de 101 por un número de 2 cifras, y 1.001 por uno de tres:

58x101=“a 58 le añado 58. Total 5858”. 988x1001=“988 y añado 988. Total

988988”.

Multiplicación reglada de números formados sólo por nueves

47x99=...“a 47 le quito 1, 46; luego 100-47, 53. Total 4653”.

Multiplicación de números de dos cifras o Tabla Mayor. Son las reglas que

resultan al agrupar los factores comunes que resultan de aplicar la doble

distribución a números comprendidos entre 10 y 100.

Los dos nºs son iguales en decenas: (10a+b)(10a+c)=10a(10a+b+c)+bc.

“Uno más unidades del otro por decenas y añado unidades por unidades”.

25x27=(25+7)x2x10+7x5=675. 13x18=(18+3)x10+3x8=234.

103x106=(103+6)x100+3x6=10918. 1005x1008=1013x1000+5x8=1013040.

Los dos nºs son iguales en decenas, y sus unidades suman diez:

(10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc. “Primero por siguiente y añado

9 unidades por unidades”. 47x43=40x50+3x7=2021. 35x35=“12 y añado

25”=1225.

Los dos números son iguales en unidades y sus decenas suman diez:

(10a+b)(10c+b)=100(ac+b)+b2). “uno por otro más unidades y añado el

cuadrado de las unidades”. 34x74= (3x7+4)100+4x4=2516.

Multiplicación por Complementos. Son las reglas que resultan al apoyarse

en el producto de los complementos aritméticos, cuando éste es más

fácil que el producto de los dados.

Multiplicación por la regla de "los Perezosos": ab=(10-a)(10-b)+10[a-

(10-b)]). 8x7=“10-8=2; 10-7=3; 8-3=5, son las decenas, y 2x3=6 son las

unidades. Total 56”.

Multiplicación por la regla de "San Andrés": ab=(100-a)(100-b)+100[a-

(100-b)]. 89x98=“100-98=2, 100-89=11, 98-11=87, esto son las centenas;

2x11=22, esto son las unidades”=8722. 989x998=11x2+(998-11)x1000

=987022.

Multiplicación Cruzada o Cruceta. Consiste en sumar los parciales del

mismo orden de unidad, al tiempo que se obtienen, para ahorrarse

filas de las que salen en el algoritmo escrito. 17x16= “6x7, 52, 2 y me

llevo 4. 6 y 7, 13. 13 y 4 que me llevo 17, 7 y me llevo 1. Siempre 1 y

una que me llevo son 2. Total 272”.

1.3 FÓRMULAS. Son las identidades literales o numéricas conocidas.

Cuadráticas.

Cuadrado de un nº por la fórmula del binomio (a+b)2=a2+2ab+b2:

312=(30+1)2=302+2x1x30+1=961. 182=(20-2)2=... 10012=(1000+1)2 ...

Multiplicación por la fórmula de la diferencia de cuadrados: axb=[

a+b

2

]2 - [

a-b

2 ]2, en los casos de cero o de cinco central: 19x21=202-1=399.

6,5x7,5=72-0,52=49-0,25=48,75. 64x66=652-1=4224.

Cuadrado de números comprendidos entre 25 y 50, por el método de

las diferencias a 25 y 50: a2=100x(a-25)+(50-a)2. 46x46=“46-25=21; 50-

46=4. 21x100+4x4 ó a 21 le añado 16. Total 2116".

Numéricas

10

Suma de secuencias nºs naturales limitadas: 1+2+...+ n, o trozos de ella

por la fórmula correspondiente: 1+2+3+ ... +40=40x41:2=820.

61+63+65+67+69=5x65=325.

2. DESCOMPOSICIONES. Uso de cantidades menores que las dadas.

2.1 DISOCIACIONES. Son las descomposiciones en sumandos.

A) DISOCIACIONES POR DESCABEZAMIENTO. Cuando los sumandos

son los que resultan al completar las cifras con sus ceros correspondientes

o con sus órdenes de unidad.

Descabezamiento de un dato

Agregar, o sumar sucesivamente empezando por la cifra de orden superior

completada: 63+45=63+40+5=108.

Segregar, o restar sucesivamente empezando por la cifra de orden superior

completada: 894-632=894-600-30-2=262.

Distribuir, o multiplicar sucesivamente empezando por la cifra de orden superior

completada: 46x32=(40+6)x32=40x32+6x32.

División sucesiva de los diversos órdenes de unidad del dividendo:

1500:25=1000:25+500:25=60.

Descabezamiento de los dos datos o por "primeros dígitos" Resta descabezando y

recuperando: 725-443=((700-400)+25)-43.

Suma descabezando y reagrupando: 154+26=(150+20)+(4+6).

Resta descabezando y cambiando el signo de la resta parcial cuando la parte que

hace de sustraendo es mayor que la que hace de minuendo:

725-443=(700-400)-(43-25).

B) DISOCIACIONES SUBSIDIARIAS. Descomposición de uno de los datos en

función del otro.

Resta haciendo la misma terminación: 461-166=461-161-5=295.

Resta prestando: 13-8,25=(12-8)+(1-0,25).

Suma, resta, multiplicación o división por patrones o hechos conocidos:

Dobles, 25+28=25+25+3=53. Complementos, 54+48= 54+46+2=102.

Cuadrados, 25x26=25x(25+1)=650. Cuartos, 36x1,25= 36x(1+1/4)=45.

11 Mitades, 38x1,5=38x(1+1/2)=57. tercios, 27:0,75= 27x(1+1/3)=36. Otros,

46x22=46x(20+20/10)=“Doble de 46, 92, 920 y añado su décima parte”.

Análogamente, con 33, 44 ... , 110.

Multiplicación de 5, 25, 35,... por un número no par:

25x17=25x(16+1) =50x8+25=425.

Multiplicación por 25, 1215, 1125, 75, 175, 15, 150, 155:

34x25= 34x(10x2+10/2). 36x125=36x(100+100/4). 36x1125=36x(1000+

100+100/4). 36x75=36x(50+25)=36x(100/2+50/2). 38x15=38x(10+10/2).

División, descomponiendo el dividendo en sumandos que son

múltiplos del divisor:

792:11=(770+22):11=770:11+22:11=72.

2.2 FACTORIZACIONES. Descomposición de uno o ambos datos en

factores.

A) FACTORIZACIONES SIMPLES

Multiplicación por 12, 15, 22, 33, 44, ... :

37x12=37x3x4=111x4=444. 18x15=9x2x5x3=27x10=270.

26x33=(26x11)x3.

División descomponiendo el divisor en factores: 75:15=75:3:5=5.

B) FACTORIZACIONES SUBSIDIARIAS

División descomponiendo el dividendo en factores:

1500:25= 15x(100:25)=15x4=60.

3. COMPENSACIONES. Es servirse del incremento de uno o los dos datos

compensando adecuadamente el resultado.

3.1 COMPENSACIÓN INTERMEDIA. Compensar antes de operar los parciales.

Añadir y quitar. Añadir a un dato unidades que se quitan al otro.

Suma completando decenas: 81+59=80+60.

Suma doblando el número central, conocida como procedimiento del

“número misterioso”(Green, 1985): 34+36=35+35=70.

Promediar. Hallar la media de productos equidistantes:

60x25=...60x20=1200, 60x30=1800. Luego 60x25=(1200+1800)/2=1500.

12

Doble y mitad. Doblar un dato y dimidiar el otro simultáneamente.

Multiplicación de 15, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, por un número par:

28x35=14x70=980.

Multiplicación por un número que es potencia de 2:

16x36= 8x72=4x144=2x288=576.

Conservar. Sumar o restar el mismo número al minuendo y al

sustraendo, para hacer decenas, centenas, ..., completas.

Resta sumando a los datos el complemento del sustraendo: 46-18 =48-

20=28.

Alicuotar. Aplicar las relaciones alícuotas (ser divisor) de un dato.

Multiplicación por 5, 2 y 1/2 o 2,5, 25, 125, 75, 375, 625, 875 etc., o

cualquier otro número que sea parte alícuota de 10, 100, 1000:

420x5=420x10/2; 82x(2 y 1/2) ó 82x2,5=82x10/4; 64x25=64x100/4;

36x75=(36:4)x3x100; 72x125=72x1000/8; 64x375=64x3000/8, 64x625=

64x5000/8, 64x875=64x7000/8.

División por 5; 25; 125; 75; 0,50; 0,25; 0,125; 0,75; 1,25; 1,5; etc., y en

general cuando el divisor es parte alícuota de 10, 100,... : 48:5=48x2/10;

2400:25=2400x4/100.

Multiplicación por 0,5; 0,25; 0,2; 0,125: 28x0,5=28x(1/2): 36x0,25=

36x(1/4); 18x0,2=18:5.

División por 0,5; 0,25; 0,2; 0,125: 36:0,5=36x2; 38:0,25=38x4; 18:0,2=18x5

Multiplicación por 0, 75 1,25; 1,5: 28x0,75=(28:4)x3; 24x1,25=24x5/4;

34x1,5=(34:2)x3/2.

División por 0,75; 1,25; 1,5: 69:0,75=(69:3)x4.

División por un número al que a su inverso le falta una parte alícuota

de 1, 10, 100,... : 65:1,25=65x(1-1/5); 93:1,5=93x(1-1/3).

3.2 COMPENSACIÓN FINAL. Compensar al acabar las operaciones

parciales.

Redondeo. Completar la decena, centena,..., inmediata superior de

alguno de los datos.

Suma añadiendo a cualquiera de los sumandos para hacer una

cantidad exacta de decenas, centenas, ... : 56+17=(56+20)-3

13

Resta añadiendo al sustraendo para hacer una cantidad exacta de

decenas, centenas, ... : 265-199 =265-200+1.

Multiplicación por un número cualquiera de nueves: 9, 99,... :

84x9=84x(10-1)=840-84; 47x99=47x(100-1)=4700-47.

Multiplicación por un número próximamente menor que un número

múltiplo 10, 100, 1000: 34x19=34(20-1); 25x47=25x(50-3).

Multiplicación por un número próximamente menor que 10, 100, 1000

al que le falta un número que es parte alícuota de alguno de éstos:

36x7,5=36x(10-1/4 de 10); 32x75=32x(100-1/4 de 100); 48x0,75= 48x(1-

1/4); 64x87,5=64x(100-1/8 de 100); 48x875=48x(1000-1/8 de 1000).

División cuando al dividendo le falta un múltiplo del divisor para ser

100, 1000, ... : 975:25=(1000-25):25.

Multiplicación por un número al que le falta 1/10 de su decena

inmediata superior: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 91: 67x18=67x(20-1/10 de

20).

Incremento Subsidiario . Suplir un dato por otro mayor que tiene un

método vinculado o da lugar a un hecho de resultado conocido.

Multiplicación por 7, 6, 4, 45: 256x4=256x(10/2 -1).

4. RECUENTOS

4.1 CONTANDO A SALTOS

Repetición de grupo. Es servirse de actuaciones aditivas repetitivas que

involucran a las pautas recurrentes de la secuencia numérica.

División restando del dividendo múltiplos del divisor:

570:38="570-38x10, que son 570-380, 190, y 190 son 5x38 Total 10+5;

1500:25=4 veces 25 son 100, 1000 serán 40, y 500 la mitad, 20. Total 60.

Notas

1. El cálculo Mental es el cálculo de cabeza o de memoria (sin ayuda externa) y

con datos exactos. Esto incluye tanto a la emulación o adaptación mental de los

artificios estándar de columnas como a cualquier otro método alternativo. Debe

entenderse que el cálculo Mental es diferente del cálculo Estimado, del cálculo

Abreviado y del cálculo

Aproximado, aunque para algunas personas éstas sean denominaciones

14 sinónimas. En efecto, el cálculo Estimado es el cálculo cuando los números

que se operan son aproximaciones subjetivas de los datos para obtener una

respuesta razonablemente cercana del resultado real. El cálculo Aproximado es el

cálculo cuando los números que se operan son aproximaciones objetivas, por

restricciones obligadas o limitaciones derivadas de una medida, acotación o

magnitud del error acordada. Por último, el cálculo Abreviado, es el escrito con

datos exactos pero con métodos alternativos, o adaptaciones particulares de los

algoritmos estándar que ahorran o simplifican tarea.

2. El segundo punto ha sido abordado en una fase posterior a la que aquí se

presenta, en el marco de un trabajo de investigación que ha sido reflejado en la

tesis doctoral del autor.

3. La metodología seguida para la revisión fue la de consultar varios textos

renombrados de tres clases cronológicas de aritméticas: Textos anteriores al siglo

XIX, textos del siglo XIX y textos del siglo XX.

Fundamentalmente se ha trabajado sobre la información documentada por Smith

(1923) y Sánchez Pérez (1949), y sobre los textos de Treviso

(1478), Juan Pérez de Moya (1563), José Mariano Vallejo (1813), Sylvestre

François Lacroix (1797), Dalmáu Carles (1898), Bruño (1932), Anaya

(1986) y Santillana (1982 y 1988).

4. "Método de cálculo o estrategia es un procedimiento esquemático que

descompone su

trabajo en una preorganizada secuencia de pasos" (Hunter, 1978).

5. "... el aprendizaje de una serie de métodos y estrategias que permitan al

alumno operar" (DCB, 1989)

6. Se han utilizado estos hechos y relaciones para agrupar los métodos y

asignarles nombre, guardando en lo posible correspondencia con lo que

son denominaciones históricas, más o menos reconocidas.

7. En esta estrategia sólo se han encontrado métodos alternativos del tipo de

columnas

en el caso de la resta, en la suma, multiplicación y división sólo aparece el método

usual

Referencias bibliográficas

Anaya: EGB. AZIMUT. Equipo Signo. Madrid. Ediciones Anaya. 1986.

Serie reeditada.

Bruño:Tratado Teórico-Práctico de Aritmética Razonada. Curso Sup. (2ª. Ed.) y

Solucionario. Madrid, Barcelona. Ed. “La instrucción popular”. S. A. 1932.

15

Dalmáu Carles. J.:Aritmética razonada y Nociones de álgebra. Tratado

teóricopráctico

demostrado con aplicación a las diferentes cuestiones mercantiles para

uso de las Escuelas Normales y de las de Comercio. Libro del alumno. Grado

profesional. Barcelona, Madrid y Gerona. 1898. Serie reeditada.

D. B. R.: Documento Base para la reforma de la EGB . Valencia. Consellería de

Cultura. E. y C. de la C. Valenciana. 1990.

D. C. B.:Documento Diseño curricular base. Madrid. Ministerio de educación

y Ciencia (MEC). 1989.

Gómez, Alfonso, B.: Cognición y competencia en cálculo mental. En Joao

Pedro da Ponte y Joao Filipe Matos.Actas del XVIII congreso internacional

del PME (vol. 2, pp. 9-15). Lisboa. 1994. 29 Julio-3 Agosto.

Gómez Alfonso, B.: Los métodos de cálculo mental en el contexto educativo y

los procesos cognitivos involucrados en los errores que cometen los estudiantes al

aplicarlos. Doctoral dissertation, Universidad de Valencia-España. 1994.

Green, G.: Math-Facts Memory Made Easy. Arithmetic Teacher 33, 21-25.

1985.

Hunter, I. M. L.: The role of memory in expert mental calculations. In M.

M. Gruneberg; P. E. Morris y R. N. Sykes (eds.), Practical aspects of memory.

Londres. Academic Press, 339-345 (Cit. Hope, 1984). 1978.

Lacroix, S. F.: Tratado elemental de Aritmética. Traducción española de

Rebollo Morales. Edición de 1846. Madrid. Imprenta Nacional. 1797.

MEC. Nuevas Orientaciones Pedagógicas para la Educación General

Básica. Magisterio Español. Madrid. Ministerio de Educación y Ciencia.

1970

MEC . Programas Renovados de E.G.B. Ciclo Medio y Ciclo Superior.

Escuela española. Madrid. Ministerio de Educación y Ciencia. 1981.

NCTM (1989). Curriculum and evaluation. Standards for School Mathematics.

Reston, VA. National Council of Teachers of Mathematics.

Pérez de Moya, J.: Tratado de Mathematica en que se contienen cosas de

Arithmetica, Cosmografía, y Philosophia natural. Alcalá de Henares. 1573.