calculo integral fase 2.docx
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Evaluar las siguientes integrales impropias:
1.∫0
1
¿ ( x )dx
La función y= Inx no está definida en x= 0 donde la gráfica presenta una asíntota vertical o lo mismo:
limx→0+¿ Inx=−∞¿
¿
Ahora resolvemos la integral indefinida, por partes haciendo.
∪=Inx→d∪=1xdx
y dv=dx→v=x
Y tenemos∫¿ ( x )dx=x Inx−∫ x ( 1xdx)
¿ x Inx−∫ dx
¿ x Inx−x+C
Y así ∫0
1
Inx dx= limt →0+¿∫
t
1
¿ xdx
¿¿
¿ limt→0+¿ [ x Inx−x ]z
1
¿¿
¿ limt→0+¿ [ ( 1∈1−1)−(t∈t−t )] ¿
¿
limt→0+¿ (0−1−tInt +t ) ¿
¿
Cuando t→0+¿ ¿ limt→ 0+¿t∈t=0¿
¿
Luego
∫0
1
Inxdx=0−1−0+∪
¿−1
1. ∫2
∝1¿¿ ¿
∫2
∝1¿¿ ¿
∫ 1¿¿ ¿
Aplicamos integración por sustitución ∫ f (g (x ) ) . g´ (x )dx=∫ f (u )du ,u=g ( x )
u=(x−1): du=1dx ,dx=1du
¿∫ 1
u21du
¿∫ 1
u2du
Usamos la propiedad de los exponentes1
an=a−n
1
u2u−2
Aplicamos la regla de la potencia ∫ xadx= xa+1
a+1a≠−1
¿ u−2+1
−2+1
Sustituimos la ecuación u=( x−1 )
¿(x−1)−2+1
−2+1
Simplificamos
¿ 1x−1
Agregamos una constante dF (x)dx
=f (x )=∫ f ( x )dx=F ( x )+c
¿− 1x−1
+c
Calculamos los límites
∫2
∝1¿¿ ¿
∫a
b
f ( x )dx=F (b )−F (a )=limx→b
−(F ( x ) )−¿ limx→a
+ (F ( x ) )¿
limx→2
+( −1x−1 )=−1
limx→2
+( −1x−1 )
Sustituimos la variable f ( x ) , g ( x ) existen
lim [ f (x)±g ( x ) ]x→a
=limx→a
f ( x )± limx→a
g (x)
limx→a
[ f ( x ) . g ( x ) ]=limx→a
f ( x ) . limx→a
g (x)
limx→a
[c . f ( x ) ]=c limx→a
f (x )
limx→a [ f (x)g (x) ]=
limx→a
f (x)
limx→a
g (x)donde lim
x→ag( x)≠0
¿− 12−1
Simplificamos
¿−1
limx→∞ ( −1
x−1 )=0
limx→∞ ( −1
x−1 )Sustituimos variable
¿− 1∞−1
¿0−(−1)
¿1
2. ∫∝
∝
e−5 xdx
∫ e−5 xdx=−e−5 x
5+c
Aplicamos integración por sustitución
∫ f (g (x ) ) . g´ (x )dx=∫ f (u )du ,u=g ( x )
u=−5x :du=−5dx ,dx=(−15 )du
¿∫eu(−15 )du
¿∫−¿ eu
5du¿
Sacamos las constantes:
∫ a . f ( x )dx=a .∫ f (x )dx
¿−15eu
Aplicamos la regla de integración
∫ eudu=eu
¿−15eu
Sustituimos en la ecuación
u=−5x
¿−15e(−5 x)
Simplificamos:
¿− e−5 x
5
Agregamos la constante para la solución:
¿− e−5 x
5+C
Calculamos los límites
∫∝
∝
e−5 xdx :∫∝
∝
e−5x dx=0−0
∫a
b
f ( x )dx=F (b )−F (a )= limx→b−¿ (F ( x ) )−¿ lim
x →b+¿ (F ( x )) ¿¿¿
¿¿
limx→∝
(−e−5x
5 )=0
limx→∝
(−e−5x
5 )
limx→a
[c . f (x)]=c . limx→a
f (x )
¿ limx→∝
( e−5x
5 )
limx→a [ f ( x )
g ( x ) ]=lim
x→af ( x )
limx→a
g ( x ), dondeel lim
x→ag ( x )≠0
¿−lim
x→∝(e−5 x)
limx→∝
(5 )
limx→∝
(e−5x )=0
limx→∝
(e−5x )
Usamos la continuidad de ex en x=∝
f ( x ) es continuoal rededorde x=g (a ) y g ( x ) escontinuo alrededor de x=a
limx→a
f (g(x ))=f ¿
Calculamos elim
x →∝(−5 x)
limx→∝
(−5 x )=−∝
limx→∝
(−5 x )
Sustituimos variable
¿−5∝
Simplificamos
¿−∝
¿e−∝
Simplificamos
¿0
limx→∝
(5 )=5
limx→∝
(5 )
limx→a c=c
¿5
¿−05
Simplificamos
¿−0
Simplificamos
¿0
4-∫2
5x+4
√ x2−4dx
limt→ 2[∫t
5x+4
√x2−4dx ]
limt→ 2[∫t
5x
√x2−4dx+∫
t
54
√ x2−4dx ]
u=x2−4 x=2secθdu=2 x dxdx=2sec θ tan θ dθdu2
=x dx
limt→ 2[∫t
5 1√u (du2 )+4∫t
5 1
√ (2 secθ )2−4(2 secθ tanθ dθ )]
limt→ 2[12∫t5du
√u+4∫
t
52secθ tan θ
√4sec2θ−4dθ ]
limt→ 2[12∫t5
u−1
2 du+4∫t
52 secθ tan θ
√4 (sec2θ−1 )dθ]
limt→ 2[12∫t5
u−1
2 du+4∫t
52 secθ tan θ2 tan θ
dθ]limt→ 2[12∫t
5
u−1
2 du+4∫t
5
sec θdθ]limt→ 2[[12 u
12
12
]t
5
+4 [ ln|sec θ+ tanθ|]t5]
u=x2−4 x=2secθ2 tanθ=√ x2−4
u=x2−4x2
=secθ tanθ=√ x2−42
limt→ 2[ [√ x2−4 ]t5+4 [ ln|x
2+√ x2−4
2|]t
5]limt→ 2[ [ [√52−4 ]−[√t2−4 ] ]+4[ ln|5
2+√52−4
2|−ln|t
2+√ t2−4
2|] ]
[ [ [√52−4 ]−[√22−4 ] ]+4 [ ln|52 +√52−42
|−ln|22
+√22−42
|]]¿10 ,8498
5- ∫ Sen2√ x√ x
dx
√ x = U
X = U 2
dx = 2UdU
∫ Sen2UU
(2UdU )
∫2 Sen2U dU
2∫ Sen2U dU
2 tan U + C
2 tan √ x +c
6-∫1
4 11+√ x
dx
∫1
4 11+√x
dx
1+√x=u√x=u−1x= (u−1 )2
dx=2 (u−1 )du
∫1
4 1
1+√(u−1 )22 (u−1 )du
2∫1
4 (u−1 )1+u−1
du
2∫1
4 u−1u
du
2(∫1
4du−∫1
4 1udu)
2 [u−Ln|u|]14
2 [−1+√ x−Ln|1+√ x|]14
2 [ (−1+√4−Ln|1+√4|)−(−1+√1−Ln|1+√1|) ]¿1 ,18906
7- ∫0
π2 sin2x cos x dx
∫0
π2 sin2x cos x dx
∫0
π2 (1−cos2 x )cos x dx
∫0
π2 cos x−cos3 x dx
∫0
π2 cos x dx−∫0
π2 cos3 x dx
∫0
π2 cos x dx−∫0
π2 3 cos x+cos 3x
4dx
∫0
π2 cos x dx−3
4∫0
π2 cos x dx−1
4∫0
π2 cos3 x dx
∫0
π2 cos x dx−3
4∫0
π2 cos x dx−1
12∫0
π2 cosu du
[sin x ]0π2 −
34
[ sin x ]0π2 −
112
[ sinu ]0π2
[sin x ]0π2 −3
4[ sin x ]0
π2 −1
12[ sin 3x ]0
π2
14
[ sin x ]0π2 −1
12[sin 3 x ]0
π2
14 [sin
π2
−sin 0]−112 [sin 3(π2 )−sin 3 (0)]
¿13
=0 ,33333
8-∫ xe( x2−1 )
dx
∫ xe( x2−1 )
dx
u=x2−1du=2 xdxdu2
=xdx
∫ eudu2
12∫eudu
12eu+C
12eu+C
¿12e
( x2−1 )+C
9- ∫ 1
(x2+4 x+13)dx
∫ 1
(x2+4 x+4 )+13−4dx
∫ 1
(x+2)2+9dx
U=x+2
dU=dx
∫ 1
U 2+9dU
19∫
1
(U3
)2
+1
dU
U3
=V
12dV=dV
dU=3 Dv
19∫
1
V 2+13dV
13
arctan (V )+C
13
arctan (U3
)+C
13
arctan ( x+23
)+C
Este integral se ha desarrollado a través del método de integración por sustitución o cambio de variable.
10-∫ 1
4−x2dx
∫1
4−x2dx
∫1(2+x )(2−x )
dx
a(2−x )+b (2+ x )=1
b=14
a=14
∫14 (2+x )
dx+∫ 14 (2−x )
dx
14 (∫ 1
(2+x )dx+∫1
(2−x )dx)
14
(Ln|2+x|−Ln|x−2|)
¿14Ln|2+x|−1
4Ln|x−2|+C
Esta integral se realizó por el método de integración por fracciones parciales
11-∫ x √x+1dx
∫ x √x+1dx
u=√ x+1u2=x+1u2−1=x2u du=dx
∫ (u2−1 )√(u2−1 )+1 (2u du )
2∫ (u2−1 )u2du
2 (∫ u4 du−∫u2du)2(1
5u5−1
3u3+C )
¿25
(√x+1 )5−23
(√ x+1 )3+C
La integral se resolvió por el método de integración por sustitución o cambio de variable.
12- ∫ 2 x
x2−3 x−10dx
∫ 2x(x−5)(x+2)
dx
∫ ax−5
+ bx+2
dx
∫ a ( x+2 )+b( x−5)(x−5)(x+2)
dx
a ( x+2 )+b ( x−5 )=2x a ( x+2 )+b ( x−5 )=2x
a (5+2 )+b (5−5 )=2 (5 ) a ( (−2 )+2 )+b ( (−2 )−5 )=2 (−2 )
7a+0=10 0−7b=−4
a=107
b=47
∫ ax−5
+ bx+2
dx
∫107
x−5+
47
x+2dx
107 ∫ 1
x−5dx+ 4
7∫1
x+2dx
x−5=u x+2=v
dx=du dx=dv
107
ln|u|+ 47
ln|v|+C
107
ln|x−5|+ 47
ln|x+2|+C
Esta integral se resolvió a través del método de integración por fracciones parciales