calculo integral fase 1

7/23/2019 calculo integral fase 1

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Introduccin

El presente trabajo pretende dar solucin a los problemas propuestos para el trabajo

colaborativo no. 1 del curso Clculo Integral que se imparte en la UNAD que !ace parte

del programa educativo del programa Administracin De Empresas.

El curso aborda desde di"erentes m#todos las di"erentes metodolog$as que !acen parte del

clculo especialmente las integrales% !aciendo #n"asis en temas aplicados en di"erentes

ciencias que se presentan en la actualidad como una posibilidad para apro&imarse a laadministracin.


2/16

Desarrollo

1. [ (5 /3 )23

x2 ] dx

Aplicamos la propiedad [ f(x) g (x)] dx ' f(x ) dx g(x )dx reali(adolas operaciones por separado

dx=

5x31=

5x

3

5

3

parala segundotermino2 3x 2aplicamoslas propiedades delosradicales

nam=a

m

n Entonces tenemos obtenemos x2

3y aplicamosla 2propiedad

xn dx=xn+1

n+1+c=

x+13

2

+132 +c operamos multiplicandoencruz

2

31

1=

2+33

=5

3

x5

3

x

5

3 )ara resolver aplicamos la le de la oreja

x5

3

1

5

3

=3x

5

3

5 +c=2 3x

5

3

5 +c=

6x5

3

5 +c

*olucin


3/16

5x

3

6x5

3

5 +c

+

tan (x )+sec2(x )sec (x)

Aplicamos la propiedad para la suma [ f(x) g (x)] dx ' f(x ) dx g(x )dx reali(ado las operaciones por separado

tan (x )

sec (x)

*e aplican las integrales obtenidas por de"inicin de la anti derivada las reglas deintegral por sustitucin

E&presamos la integral en sec ,&-

sec=u sen (x)cos

2(x)dx

Aplicamos el truco para sustituir cos

f ,g,x--g,x-dx f(u )dU=P (U)+c

u=cosxdu

dx=senx dx=

1senx

du sen (x )u

2

1

senx=

1

cos (x )2+c

Aplicamos la regla de la derivada

sec2 (x )=dx=tan (x )+c

*olucin


4/16

1cos (x )2

+ tan (x )+c

/

x31

x1dx

*eparamos los t#rminos

x3

x1dx 1

x1aplicamosladivisionlarga para el primer temino

x3

x1=x2+x+1noquedacomo residuo1

x3

x1=x2+x+1+

1

x1

)ara el segundo t#rmino aplicamos la regla para integrales 1

xdx=ln (x )+c

1x1

dx=ln (x1 )+c

Derivamos el primer t#rmino con la regla de la propiedad de suma para las

integrales

kf(x )dxkg(x )dx[ ]dx=kf(x )dx kg(x )dx

x

3

x1=x2+x+1+

1

x1=x2 dx+xdx+1dx+ 1

x1

x2

dx=aplicamoslareglade potenciaxn

dx=

xn+1

n+1=

x2+1

2+1=

x3

3

x dx=procedemosconel procedimentoanterior=x1+1

1+1=

x2

2

1dx=x


5/16

1x1

=laregla paraintegrales 1x

dx=ln (x )+c=ln (x1 )+c

x3

3+

x2

2+x+ln (x1 )ln (x1 ) simplificamos

x

3

3+

x2

2+x+c

solucion=

0allar la solucin de las siguientes integrales paso a paso% teniendo en cuenta las

propiedades de las integrales inde"inidas% las cuales son consecuencia de las aplicadas en la

di"erenciacin.

4.

+ sec , - tan , - 2h x h x x dx

SOLUCION

Aplicando propiedad para la integral de una suma de "unciones3


=

+sec , - tan , -2h x h x dx

xdx

4esolviendo cada una de estas por separado3

a.


=

+ sec , - tan , -h x h x dx

5eniendo en cuenta que

1sec , -

cos , -h x

h x=

y

sen , -tan , -

cos , -

h xh x

h x=

entonces3


=

1 sen , -

+ 6cos , - cos , -

h x

dxh x h x

=

+

sen , -

+ cos , -

h x

dxh x

)ara esta integral se puede !acer la sustitucin3 cos , -u h x=

cua derivada es3 sen , -du h x dx=


6/16

De esta manera3

+

sen , -+

cos , -

h xdx

h x

=

++

du

u

=

++ u du

Aplicando propiedad

1

1

nn

d

x

x cnx

+

= ++ para n 7 81

++ u du

=

+ 1

++ 1

uc

+ + +

=

1

+1

uc

+

=

+c

u +

Pero la funcin original es x y no U, por ello se hace el reemplazo de nuevo:cos , -u h x=

Entonces3


=

,

+

cos -h xc +

=

+sec , -h x c +

b.

xdx

=

1 1

1 1

xc

+

++

=

+

+

xc+

4euniendo resultados en a. b.% tenemos que3


=

[ ]1+ sec , -h x c +

+

++

xc

+


=

+sec , -h x

+

+

xk+

5(5x4x)dx

*eparamos t#rminos aplicando la regla de la suma

5x dx 4x dx


7/16

podemosaplicar la formula para la funcion exponencial paraintegrales

obtenidas por defincionde la antiderivada

5x

ln 5 4

x

ln 4+c

ax

dx=a

x

lna+c paraa>0y a1

9

(exxe)dx

Aplicamos la regla de la suma separando los t#rminos

ex

dxxe

dx

)ara el primer t#rmino aplicamos la regla para integrales e&ponenciales

ex dx=ex+c

ex dx=ex+c

)ara el segundo t#rmino aplicamos la regla para integrales con potencias

xn dx=xn+1

n+1+c

xe dx=xe+1

e+1+c

solucionexxe+1

e+1+c

7

Ejercicio :

[

17

1x

2+(x2+1)

2

]dx

Aplicamos la regla de la suma separamos t#rminos

[ 171x2 dx+(x2+1 )

2]dx


8/16

)ara el primer t#rmino aplicamos la regla para separar la constante

a . f(x ) dx=a f(x ) dx obtenemos

17 11x2

dxAplicamos la regla de integracin

x

1x2dx=arcsenx(x )

*olucin

17arcsen(x )

)ara el segundo t#rmino para derivar separamos de la ra$( aplicamos la regla de

integracin para "unciones irracionales

Rx ,ax2+bx+c+c dx Cambiamos si a>0=ax+t de esta manera eliminamos lapotencia podemos separar de ra$(

(x2+1)2

=

x

2

(+1)dx

de esta manera podemos separar los t#rminos e integral

x2+1dx

)ara el primer t#rmino aplicamos la regla de la potencia e integramos

xn dx=xn+1

n+1=x2=x

2+1

2+1=

x3

3dx= 1

3x

3dx

)ara el segundo termino

1dx=x

*olucin

17arcsen(x)+ 13x

3+x+c

;. [ tan (x )sen2 (x ) sec (x )+cos (x) ]dx


9/16

[ tan (x )sen2 (x ) sec (x )+cos (x) ]dx

)asamos los t#rminos a senos cosenos

[ tan (x )sen2 (x ) sec (x )+cos (x )]dx=sen (x )cos (x )

sen2 (x )

1

cos (x )+cos (x )

x

sen(x ) cos (x )

sen2 (x ) cos (x )+cos (x )

dx se simplifica=

[sen (x ) cos (x )

sen2 (x ) ]

dxrescribimos y simplificamos=sen (x )sen(x)

cos (x )sen(x )

Convirtiendo la "uncin en una integral directaAplicamos la regla de sustitucin y completamos la diferencial

u=senxdu=cosxdx=dx= du

cosx

cos (x)u

du

cos (x )=

du

u=

Aplicamos la formula de integrales

du

u =ln|u|+c

cos (x)sen(x)

dx=ln|sen|+c


10/16

. encuentre el !alor promedio de la funcing (x )=|x|1

en el inter!alo [1,1 ]

SOLUCION


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i. !t=

dx

dt=6432t remplazamosdatos

!t=dx

dt=6432t

!( t:1 )=6432 (1 )=6432=2048m / s

-elocidad entre t+" y +,

Aplicamos la formula

x (t)=x0+v

0t+

1

2at

2despe"amposa=x ( t)=x

0+v

0t+

1

2a t

2

empla%amos la formula

x

ts=6432 (t)+2 t2

v (1,3)=x (3 )(x1)

31

x (3 )=6432 (3 )+2 (3 )2=6496+18=178

x (3 )=6432 (1 )+2 (1 )2=6432+2=94

v (1,3 )=178(94 )

31 =

84

2=42m / s

"". Dado

+

1, - , -

x

P x sen t dt= . Utilice el primer teorema "undamental del clculo para

encontrar la derivada de )>,&-.

SOLUCION


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+

1

, - , -

x

P x sen t dt=

[ ]+

1, - , -

xP x cos t=

[ ]+, - , - , -1P x xcos cos =

+, - , -1- ,xP x cos cos= +

A!ora% derivando la "uncin obtenida% se tiene3

( ) ( )+., - , - 6+ =P x sen x x= +

+., - + 6 , -P x x sen x=

Entonces% la derivada de

., -P x

ser3

[ ] ++.., - 6 , - ++ cos6 , -6+xP x sen x xx= +

+ + +.., - + , - ? cos, -P x sen x x x= +

1+ aplicar el segundo teorema "undamental del clculo para resolver

#

#

(sen (x )+cos (x ))2

dx

)ara poder resolver la integral usamos las identidades trigonom#tricas

Integral de cosn (x ) senm(x) para m n enteros pares positivos= 1

(sen (x )+cos (x ))2=1+sen(2x)

1+sen(2x)

)ara resolver separamos t#rminos e integramos

1dx+ sen (2x )dx

)ara el primer termino


13/16

1dx=1x simplificamos x

)ara el segundo termino

sen (2x ) dx=aplicamos sustituimosterminos

u=2x du=2dx $dx=1du

2

1

2

cosu+c=

senu ()duintegramos separandoterminos=1

2senudu=

1

2

2x

cos ()

12


14/16

lim x $#cos (2#)

2 #

cos (2#)2

=2#=6,2832

Conclusiones


15/16

Este trabajo nos sirvi para entender un poco las aplicaciones que tiene las

integrales para el uso matemtico en la administracin. @a que es una !erramienta

mu til


16/16

4ondn Duran% Borge Eli#cer ,+=1=-. aterial Didctico.Mdulo Clculo Integral .

UNAD. ogot. Consultado en septiembre de +=1+.

lanco% Bose )edro FGA. UNAD. O! sumas de riemann. Consultado el ++ de

septiembre de +=11% en la pgina Heb3

!ttp3HHH."ileden.com"iles+==JKJ+?/9?K9FGAL+=IntegralL+=sumasL+=de

L+=4iemman.sH"

BU

calculo integral fase 1

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