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Cálculo de variacionesDe Wikipedia, la enciclopedia libre

El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o mgeneralmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituy

una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable

Índice

1 Historia1.1 Problema Isoperimétrico1.2 Braquistócrona

2 Formulación general2.1 Espacios funcionales2.2 Extremos relativos débiles y fuertes

3 Véase también4 Referencias

4.1 Bibliografía4.2 Enlaces externos

Historia

El cálculo de variaciones se desarrolló a partir del problema de la curva braquistócrona, planteado inicialmente p

Johann Bernoulli (1696). Inmediatamente este problema captó la atención de Jakob Bernoulli y el Marqués d

L'Hôpital, aunque fue Leonhard Euler el primero que elaboró una teoría del cálculo variacional. Lcontribuciones de Euler se iniciaron en 1733 con su Elementa Calculi Variationum ('Elementos del cálculo

variaciones') que da nombre a la disciplina.

Lagrange contribuyó extensamente a la teoría y Legendre (1786) asentó un método, no enteramente satisfactor

para distinguir entre máximos y mínimos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz también prestaron atención a es

asunto.1 Otros trabajos destacados fueron los de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméo

Poisson (1831), Mijaíl Ostrogradski (1834) y Car l Jacobi (1837). Un trabajo general particularmente importante

el de Sarrus (1842) que fue resumido por Cauchy (1844). Otros trabajos destacados posteriores son los de Strauc

(1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) y Carll (1885), aunque quizá el más importan

de los trabajos durante el siglo XIX es el de Weierstrass. Este importante trabajo fue una referencia estándar y es

primero que trata el cálculo de variaciones sobre una base firme y rigurosa. Los problema 20 y 23 de Hilbe

planteados en 1900 estimularon algunos desarrollos posteriores.1 Durante el siglo XX, David Hilbert, Emm

Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue y Jacques Hadamard, entre otros, hicieron contribuciones notables

Marston Morse aplicó el cálculo de variaciones a lo que actualmente se conoce como teoría de Morse.2 L

Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar y Clarke desarrollaron nuevas herramientas matemáticas dentro de

teoría del control óptimo, generalizando el cálculo de variaciones.2

Problema Isoperimétrico

https://es.wikipedia.org/wiki/Lev_Semenovich_Pontryaginhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sarrus&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendrehttps://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l%27H%C3%B4pitalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l%27H%C3%B4pitalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l%27H%C3%B4pitalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funcionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=R._Tyrrell_Rockafellar&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Lev_Semenovich_Pontryaginhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_Morsehttps://es.wikipedia.org/wiki/Marston_Morsehttps://es.wikipedia.org/wiki/Jacques_Hadamardhttps://es.wikipedia.org/wiki/Henri_Lebesguehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Leonida_Tonelli&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noetherhttps://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilberthttps://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilberthttps://es.wikipedia.org/wiki/Weierstrasshttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Carll&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Alfred_Clebschhttps://es.wikipedia.org/wiki/Otto_Hessehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Jellett&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Strauch&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sarrus&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jakob_Jacobihttps://es.wikipedia.org/wiki/Mija%C3%ADl_Ostrogradskihttps://es.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Poissonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Vincenzo_Brunacci&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendrehttps://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrangehttps://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l%27H%C3%B4pitalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttps://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoullihttps://es.wikipedia.org/wiki/Curva_braquist%C3%B3cronahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funcionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico


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¿Cuál es el área máxima A que puede rodearse con una curva de longitud L dada? Si no existen restriccion

adicionales, pudiendo la solución resulta ser:

Que es el valor que se obtiene para un círculo de radio .

Si se imponen restricciones adicionales la solución es diferente. Un ejemplo es si suponemos que L se conside

sobre una función y los extremos de las curva están sobre los puntos donde

distancia entre ellos está dada. Es decir . El problema de hallar una curva que maximice el área ent

ella y el eje x sería, hallar una función de modo que:

con las restricciones:

BraquistócronaEl problema de la curva braquistócrona se remonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en

plano cartesiano que vaya del punto al origen de modo que un punto material que se desliza s

fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de al origen. Usando principios de mecánica clásica

problema puede formularse como,

donde g es la gravedad y las restricciones son, , . Hay que notar que en exis

una singularidad.

Formulación general

https://es.wikipedia.org/wiki/Singularidad_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoullihttps://es.wikipedia.org/wiki/Braquist%C3%B3crona


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(1a)

(1b)

Uno de los problemas típicos en cálculo diferencial es el de encontrar el valor de para el cual la función

alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una funció

para la cual un funcional alcance un valor extremo. El funcional está compuesto por una integr

que depende de , de la función y algunas de sus derivadas.

Donde la función pertenece a algún espacio de funciones (espacio de Banach, espacio de Hilbert), y tan

ella como sus derivadas pueden tener restricciones. Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo

ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para :

Espacios funcionales

La fundamentación rigurosa del cálculo de variaciones requiere considerar variedades diferenciales lineales d

dimensión infinita. De hecho el punto de partida del cálculo de variaciones es un teorema de análisis funcional qu

prueba que es posible considerar una curva en un espacio funcional (e.g. trayectoria en el espacio fásic

simplemente como una función con una variable adicional, concretamente:3

La categoría formada por espacios vectoriales convenientes y funciones suaves entre ellos es cerrada por el productocartesiano, de tal manera que se tiene la siguiente biyecciónnatural:

donde son espacios vectoriales convenientes y la

biyección anterior es un difeomorfismo.

El teorema anterior puede aplicarse por ejemplo al principio de mínima acción donde trata de encontrarse

trayectoria posible en el espacio de fases que hace mínima la integral de acción. Dicha trayectoria es una curv

suave en el espacio de trayectorias E , considerando ahora:

https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_m%C3%ADnima_acci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_suavehttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial_convenientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_f%C3%A1sicohttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n_infinita&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilberthttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Banachhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funcionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial


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Se tiene que el problema de minimización puede reducirse a minimizar una cierta función real f de variable real:

Extremos relativos débiles y fuertes

Un problema variacional requiere que el funcional esté definido sobre un espacio de Banach

adecuado. La norma vectorial de dicho espacio es lo que permite definir rigurosamente si una solución es u

mínimo o un máximo relativo. Por ejemplo una función es un mínimo relativo si existe un cierto tal qu para toda función se cumpla que:

Véase también

Charles Augustin de CoulombEcuaciones de Euler-LagrangeDerivada funcionalMecánica de suelosTeoría de Mohr-CoulombTorsión mecánica

Referencias

1. van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 0-387-40247-0.

2. [|Ferguson, James (http://arxiv.org/find/math/1/au:+Ferguson_J/0/1/0/all/0/1)] (2004). «Brief Survey of the History

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Bibliografía

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Enlaces externos

Cambios acumulados de esfuerzos de Coulom(http://www.112rm.com/dgsce/planes/sismimur/sis_3_4_2.html).

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