UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemáticas

Escuela de Ingeniería Civil

Programación II

Tema: DETERMINANTES

Integrantes:

Casamín Socasi Wilson Jacobo

Conrado Zapata Hernán Israel

Parra Villa Bryan Alexis

Sánchez Moreno Cristian Sebastián

Yépez Lobato Alex Patricio

Semestre: Segundo

Paralelo: Primero

Docente: Ing. Ramiro Pilaluisa

Fecha: 10 de Febrero del 2015

Cálculo de determinantes por el método de

Sarrus

En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes

EJEMPLO :

Tenemos nuestro determinante de una matriz 3×3 cualquiera, por ejemplo,

Volvemos a escribir las dos primeras filas ocupando unas hipotéticas cuarta y quinta fila respectivamente:

Una vez hecho esto el cálculo del determinante es como sigue:

Multiplicamos los elementos por diagonales.

Las diagonales descendentes de izquierda a derecha llevan un signo +, mientras que las de derecha a izquierda, también descendentes, llevan el signo −.

Por ejemplo:

Expansión por cofactores de un determinante

Teorema

Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes.

Esto es :

(2)

Es el desarrollo del determinante D por el renglón i, y similarmente

(3)

Es el desarrollo del determinante D por la columna k.

Se puede probar el siguiente

Las expresiones (2) y (3) son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas.

Ejemplo:

Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante D.

 

Para expandir D, por cofactores del segundo renglón, calculamos primero los cofactores A21, A22 y A23 de los elementos del segundo renglón.

Entonces

Cálculo de determinantes por el método de Gauss

Se conoce cómo método de Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando las propiedades de éstos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes.

Para conseguir triangulizar el determinante se puede aplicar las siguientes operaciones:

1.- Permutar do filas o columnas.2.- Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.3.- Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.Aplicando todas estas operaciones llegamos a la siguiente matriz:

EJEMPLO :