calculo 1

Semestre

INTEGRAL

INDEFINIDA O ANTIDERIVADA

MODULO I

I - 2014Ing. Jhony Chilón

abril - mayo 2014

semestre I - 2014

Matemáticas II

MODULO I

72

1.19. PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Compruebe los siguientes resultados aplicando las propiedades de la integral y/o ciertos

cálculos algebraicos:

1.1. 4 3 2x (a b)x abx

x(x a)(x b)dx C4 3 2

++ + = + + +∫

1.2. 22x x

( x 1)(x x 1)dx x C5

+ − + = + +∫

1.3. 7 / 4

4 3

x x 4xdx C

7x= +∫

1.4. 2 2 4 23 3

3

3 2

(x 1)(x 2) 3x x 3x xdx 6 x C

13 7x

+ − = − − +∫

1.5. m n 2 2m m n 2n(x x ) 2x x 4x x 2x x

dx C4m 1 2m 2n 1 4n 1x

+− = − + ++ + + +∫

1.6. 4 3

2

2

x 2x xdx x ln(x 1) arctg(x) C

3x 1

+ = − + + + ++∫

1.7. 3 2 3x 3x 3x 1 (x 1)

dx Cx 1 3

− + − −= +−∫

1.8. 2x x x

x 1

a a 1 a 1dx . x C

a ln(a) aa ++ = + +∫

1.9. 3 32 2

2

3 x 3 62 x dx 2 x x x C

x x 5x

− + = − − + +

∫

1.10. x

x

x

2 ln(2)dx ln(2 1) C

2 1= + +

+∫

1.11. 2

2

2x 1dx ln x x C

x x

+ = + ++∫

1.12. 2x x

x

x

e e sen(x)dx e cos(x) C

e

− = + +∫

1.13. 3 2 5 362 x dx x C

5= +∫

1.14. n

n 1 2 xx dx 2ln x C (n 0)

x n− + = + + ≠

∫

1.15. 3

1 3x 3dx x C

4x 4= +∫

1.16. a

a

2

edx e arctg(x) C

1 x= +

+∫

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INDEFINIDA O ANTIDERIVADA U.S.M.

PRÁCTICAGUIA

73

1.17. 3

xdx arctg(x) C

x x= +

+∫

1.18. 2x x 2 x

x

a a sec (x) adx tg(x) C

ln(a)a

+ = + +∫

1.19. 2tg (x)dx tg(x) x C= − +∫

1.20. 2 4

xdx arcsen(x) C (x 0)

x x= + >

−∫

2. Halle una función G cuya tangente tenga como pendiente 2x para cada x, y que su gráfico

pase por el punto (1, 1)− .

3. Compruebe los siguientes resultados usando el cambio de variable necesario:

3.1. 2

1 1 3xdx arcsen C

3 24 9x

= + −∫

3.2. 2

3

3

x 2dx 1 x C

31 x= + +

+∫

3.3. 2

3( x 2) 2dx ( x 2) C

93 x

+ = + +∫

3.4. 3 3x 2 x3e x dx e C= +∫

3.5. dx

ln ln(x) Cx ln(x)

= +∫

3.6. 5 6(ln(x)) (ln(x))dx C

x 6= +∫

3.7. 3 2 41tg (x)sec (x)dx tg (x) C

4= +∫

3.8. 2

4

x 1dx arctg(x ) C

21 x= +

+∫

3.9. 2

2

x 1 16dx 3x 4 8ln 3x 4 C

27 3x 4(3x 4)

= + − + − + ++ ∫

3.10. 12

10 11(x 2) 3(x 2) (x 1)dx (x 2) C

12 11

++ − = − + +∫

3.11. 2x

2x 1010 dx C

2ln10

−− = − +∫

3.12. 2x

2x 2 2x

e 1dx C

(1 e ) 2(1 e )= − +

+ +∫


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74

3.13. 2

1 1 xdx arctg C

x 11 11 11

= + + ∫

3.14. sen( x)

dx 2cos( x) Cx

= − +∫

3.15. 1 x

1 x

2

edx e C

x= − +∫

3.16. 1

dx ln 1 ln(x) Cx(1 ln(x))

= + ++∫

3.17. 2 2

4sen(x)cos(x)dx ln cos(2x) C

cos (x) sen (x)= − +

−∫

3.18. 2

2 2

2xdx ln(ln(x 5)) C

(x 5)ln(x 5)= + +

+ +∫

3.19. 2 2 2

2x 1 1dx C

2(2x 3) 2x 3= − +

− −∫

3.20. 2 2 2

22 2 2

x a b xdx C (b 0)

ba b x

+= + ≠+∫

3.21. n 1

n (ax b)(ax b) dx C (a 0) (n -1)

a(n 1)

+++ = + ≠ ≠+∫

3.22. cos(x) 1

dx ln 1 2sen(x) C1 2sen(x) 2

= + ++∫

3.23. 2x ln(x) ln (x)

dx 2 x Cx 2

+ = + +∫

3.24. 2 2 2

2 2 2

ax b 1 1 axdx ln(a x b ) arctg C (a 0, b 0)

2a a ba x b

+ = + + + ≠ ≠ + ∫

3.25. 2

3 6

6

x 1dx ln x x 1 C

3x 1= + − +

−∫

3.26. 3

2

arcsen(x) 2dx (arcsen(x)) C

31 x= +

−∫

3.27. 2

2 2

dx2 ln(x 1 x ) C

(1 x )ln(x 1 x )

= + + ++ + +∫

3.28. 2 2x x1

x.7 dx 7 C2ln(7)

= +∫

3.29. sen(log(x))

dx ln(10)cos(log(x)) Cx

= − +∫

3.30. arctg(x) 2 2 2

arctg(x)

2

e xln(1 x ) 1 ln (1 x )dx e arctg(x) C

41 x

+ + + += + + ++∫


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75

4. Compruebe los siguientes resultados aplicando el método de integración por partes:

4.1. x x

x

2

xa axa dx C (a 0 , a 1)

ln(a) (ln(a))= − + > ≠∫

4.2. ax

ax

2 2

ee sen(bx)dx (asen(bx) b cos(bx)) C (a,b 0)

a b= − − + ≠

+∫

4.3. 3

2 3x 1x ln(x)dx ln(x) x C

3 9= − +∫

4.4. 21 1 1xarctg(x)dx x arctg(x) x arctg(x) C

2 2 2= − + +∫

4.5. 2 2x sen(x)dx x cos(x) 2xsen(x) 2 cos(x) C= − + + +∫

4.6. n n n 1(ln(x)) dx x(ln(x)) n (ln(x)) dx , n N−= − ∈∫ ∫

4.7. 3 3 2(ln(x)) dx x(ln(x)) 3x(ln(x)) 6x ln(x) 6x C= − + − +∫

4.8. n n 2 n 21 n 2sec (x)dx sec (x)tg(x) sec (x)dx , n N , n 2

n 1 n 1− −−= + ∈ ≥

− −∫ ∫

4.9. arctg( x)dx (1 x)arctg( x) x C= + − +∫

4.10. 2

ln(x) ln(x) 1dx C

xx

−= − +∫

4.11. 2

5 2 3 2x 2dx (3 x) 4(3 x) 18 3 x C

53 x= − − + − − − +

−∫

4.12. 2x 1 x x 1 xx arccos dx arccos 1 x arcsen C

2 2 2 2 4 2

= − − + + ∫

4.13. 2 2

2

ln(x 1) ln(x 1)dx 2arctg(x) C

xx

+ += − + +∫

4.14. x x

2

xe dx eC

x 1(x 1)= +

++∫

4.15. 2 21 1 1xarcsen(x)dx x arcsen(x) x 1 x C

2 4 4

= − + − + ∫

4.16. 3 2 5 22 4x x 1dx x(x 1) (x 1) C

3 15− = − − − +∫

4.17. 2 21 1 1x cos (x)dx x xsen(2x) cos(2x) C

4 4 8= + + +∫

4.18. 2 21 1 1x ln(x 2)dx x ln(x 2) x x ln(x 1) C

4 2 2+ = + − + − + +∫


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4.19. n 1

na 2

x ( 1 ln(x) nln(x))x log (x)dx C (a 0,a 1)

(1 n) ln(a)

+ − + += + > ≠+∫

4.20. 3

2 2 2

2

x 1 2dx x x 1 x 1 C

3 31 x= + − + +

+∫

4.21. x x

arcsen dx xarcsen 2 x 2arctg( x) Cx 1 x 1

= − + + + + ∫

4.22. 2 2 3 81 1 1 1x sen (x)dx x x sen(2x) x cos(2x) C

6 4 8 4

= − − − + ∫

4.23. 2 x x 1 x 1

2 x

2 3

x 2 2 x 2x 2 dx C

ln(2) ln(2) ln(2)

+ += − + +∫

4.24. 5

3

3 2 3

x 1 1dx ln(x 1) C

3(x 1) 3(x 1)= + − +

+ +∫

4.25. x cos(2x) sen(2x)

xsen(x)cos(x)dx C4 8

= − + +∫

5. Obtenga una fórmula de reducción integrando una vez por partes:

5.1. nx sen(ax)dx∫ 5.2. nx cos(ax)dx∫

5.3. n ax(x b) e dx+∫ 5.4. n

2

xdx

1 x−∫

6. Aplicando las fórmulas obtenidas anteriormente calcule las siguientes integrales:

6.1. 4x sen(4x)dx∫ 6.2. 4x cos(4x)dx∫

6.3. 4 8x(x 2) e dx+∫ 6.4. 5

2

xdx

1 x−∫

7. Demuestre que si P(x) es un polinomio de grado n con coeficiente principal o de mayor

grado igual a 1, entonces ax n

ax

2 3 n

e P '(x) P ''(x) P '''(x) ( 1) n!e P(x)dx P(x) ... C

a a a a a

−= − + − + + + ∫

8. Aplicando la fórmula obtenida anteriormente calcule las siguientes integrales:

8.1. 3 2x(1 x )e dx−+∫ 8.2. 4 x(x 1) e dx−+∫ 8.3. 3 3x(x x 1)e dx+ −∫


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77

9. Calcule ln(x b)dx+∫ de la siguiente manera:

9.1. Usando la sustitución u x b= + e integrando por partes.

9.2. Integrando por partes con u ln(x b)= + y dv dx.=

10. Se dice que la integral

sen(x)dx

x∫

no constituye una integral elemental, deduzca que

cos(x)ln(x)dx∫

tampoco lo es.

11. Demuestre que ax

ax

2 2

e [b.sen(bx) a.cos(bx)]e cos(bx)dx C

a b

+= ++∫

con a, b, c, constantes reales no nulas.

12. Sean

sxA e cos(tx)dx= ∫ y sxB e sen(tx)dx= ∫ .

Demuestre que sxsB tA e sen(tx) C+ = + .

13. Demuestre la siguiente relación: m 1 n

m n m n 1x (ln(x)) nx (ln(x)) dx x (ln(x)) dx

m 1 m 1

+−= −

+ +∫ ∫

donde m y n son enteros positivos y úsela para calcular

2 3x (ln(x)) dx∫ .

14. Compruebe los siguientes resultados efectuando una sustitución trigonométrica:

14.1. 2

2 2

1 1 25 xdx C

25 xx 25 x

−= − +−∫

14.2.

33 2 2

2

x 64 1 16 5x 16 5xdx C

25 3 4 416 5x

+ + = − + + ∫

14.3. 2

1 1dx arc sec( 2x) C

2x 4x 2= +

−∫


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14.4. 2

2

1dx ln x 16 x C

16 x= + + +

+∫

14.5. 2 3 2 2 2

2

(9 x ) 9 x 3 x 1 x 9 xdx 9 arcsen C

x 2 3 2 9x

− − − = − − + ∫

14.6. 2

2 3 2 2

x x 1dx arcsen x C

4(16 x ) 16 x

= − + − −∫

14.7. 2

dx 1 4arctg x C

20 525 16x

= + + ∫

14.8. 3 2 2 5 2 2 3 21x x 9dx (x 9) 3(x 9) C

5− = − + − +∫

14.9. 2

2

dx 1 1 4x 9 3ln C

3 2 xx 4x 9

+ − = + + ∫

14.10. 2

2 2

2

x dx 1x x 2 ln x x 2 C

2x 2= − + + − +

−∫

14.11. 2 2

2x 1dx 1 x 1 1x 1 ln C

x 2 x

+ + − = + + + ∫

14.12. 2 2

216 4x 2 4 xdx 2 4 x 4ln C

x x

− − −= − + +∫

14.13. 2

2

dx 1 x 5 55 ln C

5 xx x 5

+ −= ++∫

14.14. 4

2

2 2 2

x 1 1 5 3 1dx ln x ln(x 2) C

4 8 4x(x 2) x 2

− = − + + + ++ +∫

14.15. 2 2

2

2x 5 2 13dx 9x 6x 2 ln 3x 1 9x 6x 2 C

9 99x 6x 2

+ = + + + + + + + ++ +∫

15. Compruebe los siguientes resultados completando cuadrados en el denominador y dando

un cambio de variable adecuado:

15.1. 2

x 1 3 3 3dx x ln x C

2 2 4 24x 12x 9

= − + − + − +∫

15.2. 2 2

2

3x 5 4 1dx 3x 2x 1 3 ln x 3x 2x 1 C

3 33x 2x 1

+ = + + + + + + + ++ +∫

15.3. 2

2

cos(x) 3dx ln sen(x) sen (x) 3sen(x) 5 C

2sen (x) 3sen(x) 5= − + − + +

− +∫

15.4. x

x

2x x

a ln(a)dx ln(a 1) C

a 2a 1= + +

+ +∫


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15.5. 2

cos(x) 1 3 sen(x)dx arctg C

sen (x) 6sen(x) 12 3 3

−= − + − + ∫

16. Compruebe los siguientes resultados efectuando un proceso de descomposición en

fracciones simples a las siguientes integrales de funciones racionales:

16.1. 2

3x 1 1 7dx ln x ln x 2 C

2 2x 2x

+ = − + − +−∫

16.2. 2

4

2 3x 2x 1 7 1dx 3arctg (x x 1) 2ln x ln x 1 C

6 3x x 3

+ −= − − + + + + + + ∫

16.3. 5 2

2

2 4

x 1 x 1 1dx ln(x 1) arctg(x) C

2 x 2x x

+ = − + + − ++∫

16.4. 6

2 4

x 1 1 65 65 63 xdx x ln x 2 ln x 2 arctg C

16x 128 128 64 2x (x 16)

+ = + − + + − − + − ∫

16.5. 3

2

4 2 2 2

x 1 1 1 1 1 x 1dx ln(x 1) . . arctg(x) C

2 2 2 2x 2x 1 x 1 x 1

− = + − + + ++ + + +∫

16.6. 4x 1

dx ln x 3ln x 1 Cx(x 1)

+ = + + ++∫

16.7. 3

2

x 3x 1 3dx x ln x 3ln x 1 C

x 1x(x 1)

− + = + + − + +++∫

16.8. 5 3

2

4 3 2

3x 2x x 3 2dx 3x x ln x 1 7ln x 1 C

2 x 1x x x x

+ − = − + + − + + + +++ − −∫

16.9. 3

2

2

x 1 1 27dx x 4x ln x 1 ln x 3 C

2 2 2x 4x 3= + − − + − +

− +∫

16.10. 4 3 2

2 2

3 2

x x 4x 1 1 4 1dx x ln x ln x x 1 3arctg (2x 1) 3 C

2 3 3x x x

+ + + = + + + + − + + + + ∫

16.11. 3

1 1 1dx ln x ln x 1 ln x 1 C

2 2x x= − − − + + +

−∫

16.12. 4

4

x 1 x 1 1dx x ln arctg(x) C

4 x 1 2x 1

−= + − ++−∫

16.13. 2 2

4 2 2

dx 1 x x 1 1 x 1ln arctg C

4x x 1 x x 1 2 3 3x

+ + −= + + + + − + ∫

16.14. 3 16

3 7 9

x 1 1 1 xdx x ln C

4 164x x (2x 1) (2x 1)

− = + +− − +∫

16.15. 2 2 2

dx x 1arctg(x) C

2(1 x ) 2(1 x )= + +

+ +∫


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80

17. Compruebe los siguientes resultados usando las técnicas para integrandos trigonométricos:

17.1. 3 31sen (x)dx cos(x) cos (x) C

3= − + +∫

17.2. 2 5 3 5 71 2 1sen (x)cos (x)dx sen (x) sen (x) sen (x) C

3 5 7= − + +∫

17.3. 4 4 1 3 1 1sen (x)cos (x)dx x sen(4x) sen(8x) C

64 2 2 16

= − + + ∫

17.4. 6 31 3 3 sen(4x) 1 1cos (x)dx [x sen(2x) x sen(2x) sen (2x)] C

8 16 2 4 2 6

= − + + + − + ∫

17.5. 3 3 5 31 1tg (x)sec (x)dx sec (x) sec (x) C

5 3= − +∫

17.6. 2

2 2

tg(x) 1 sec (x)dx ln C

41 tg (x) 1 tg (x)= +

− −∫

17.7. 2 2

1 1 tg(x) 2dx ln C

sen (x) 2cos (x) 2 2 tg(x) 2

−= +− +∫

17.8. x2

x2

tg( ) 2 51 1dx ln C

2sen(x) cos(x) 5 tg( ) 2 5

+ −= +

− + +∫

17.9. 1 1

sen(4x)cos(5x)dx cos(9x) cos(x) C2 9

= − + + ∫

17.10. 1 1

cos(2x)cos(3x)dx sen(x) sen(5x) C2 5

= + + ∫

17.11. 2 2 1 1 sen(4ax)cos (ax)sen (ax)dx x C

8 32 a= − +∫

17.12. 6 5 31 1tg (2x)dx tg (x) tg (x) tg(x) x C

5 3= − + − +∫

17.13. 4 3 1 1sen (x)dx x sen(2x) sen(4x) C

8 4 32= − + +∫

17.14. 2(sec(x) csc(x)) dx tg(x) ctg(x) 2ln(tg(x)) C+ = − + +∫

17.15. 1 1

cos(4x)cos(5x)dx sen(x) sen(9x) C2 18

= + +∫

17.16. 2 3 51 1sen (x)cos (x)dx sen(x) sen (x) C

3 5= − +∫

17.17. x 3x 1 1

sen cos dx cos(2x) cos(x) C2 2 4 2

= − + + ∫

17.18. 3

5

dx 1 3 3sec (x)tg(x) sec(x)tg(x) ln sec(x) tg(x) C

4 8 8cos (x)= + + + +∫


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81

17.19. 4 3 1 1cos (2x)dx x sen(4x) sen(8x) C

8 8 64= + + +∫

17.20. 4

5

sen(x) 1dx sec (x) C

4cos (x)= +∫

17.21. dx 1 1 1

ln 1 tg(x) ln sec(x) x C1 tg(x) 2 2 2

= + − + ++∫

17.22. dx 2

Cx1 2sen(x)

1 tg2

= − ++ +

∫

17.23. 2

3

sen (x) 1 1dx sec(x)tg(x) ln sec(x) tg(x) C

2 2cos (x)= − + +∫

17.24. dx 1 x 1 x

ln tg 3 ln tg 3 C4 5cos(x) 3 2 3 2

= − + + + + ∫

17.25. 2 2

2 2

sen(x)cos(x) 1dx ln sen (x) cos (x) C

4sen (x) cos (x)= − +

−∫

17.26. 2 2

cos(x) 1 1 2sen(x)dx 2 ln C

4sen (x) cos (x) 1 2sen(x)

+= +− −∫

17.27. sen(x) cos(x)

dx ln sen(x) cos(x) 1 Csen(x) cos(x) 1

+ = − − +− −∫

17.28. 3

dx2 tg(x) C

sen(x)cos (x)= +∫

17.29. tg(x)

dx ln sec(x) ln sec(x) 1 Csec(x) 1

= + − +−∫

17.30. 2

2 2

1 cos (x) 1 1dx ln cos(x) C

2(1 sen (x))ctg(x) cos (x)

− = + +−∫

17.31. 2

3(1 cos(2x)) 4dx 4sen(x) sen (x) C

cos(x) 3

+ = − +∫

17.32. 3

2

3

ctg (x) 1dx ln sen(x) sen (x) C

2csc (x)= − +∫

17.33. 5 3 52 1sen (x)dx cos(x) cos (x) cos (x) C

3 5= − + − +∫

17.34. 2

3 ctg (x)ctg (x)dx ln sen(x) C

2= − − +∫

17.35. 5 4 10 163 3 33 3 3 3sen (x) cos(x)dx cos (x) cos (x) cos (x) C

4 5 16= − + − +∫


MODULO I

INTEGRAL


PRÁCTICAGUIA

82

18. Compruebe los siguientes resultados de las integrales irracionales:

18.1.

1 43 4 7 12 1 2 5 12 1 3 1 4

1 2 1 3

1 6 1 12 1 2

x 1 4 12 12dx x x 2x x 3x 4x

3 7 5x x

6x 12x 12ln x 1 C

+ = + + + + + +−

+ + − +

∫

18.2.

tg(x) 2 tg(x) 12 2tg(x)dx ln arctg( 2 tg(x) 1)

4 2tg(x) 2 tg(x) 1

2arctg( 2 tg(x) 1) C

2

− += − + − + + +

+ +

∫

18.3. 5 2 3 22x x 9dx (x 9) 6(x 9) C

5+ = + − + +∫

18.4. dx x x

2ln x 4 2 x 2ln 1 2ln 1 C2 2x 2

= − − + − + + − ++∫

18.5. 3 23 3

3

dxln x ln x 1 2ln x 1 ln 1 x x C

x(1 x)= − − − − + + + +

−∫

18.6. 3 3

3 32 2

dx2arctg( x) arctg(2 x 3) arctg(x) C

x (1 x )= + + − +

+∫

18.7. 2

2

x 1dx 2arcsen(x 1) 2x x C

2x x

+ = − − − +−∫

18.8. 3

5 6 1 2 1 3 1 3 1 6x 2 1 6dx (x 2) 2(x 2) 3(x 2) 3ln (x 2) (x 2) 1

5x 2 1

+ − = + − + − + + + − + ++ +∫

1 632 3arctg (2(x 2) 1) C

3

+ + − +

18.8. 2

2

x 1dx 2arcsen(x 1) 2x x C

2x x

+ = − − − +−∫

18.9. 3 13 12 5 33

6 54

x x x xdx 12 C

13 20x x

− = − + + + ∫

18.10. 4

14 3 7 6

3

x x 3 6dx x x C

14 7x

− = − +∫


MODULO I

INTEGRAL


PRÁCTICAGUIA

83

19. Calcule las siguientes integrales y verifique el resultado:

19.1. 4 3 2

3 2

x 6x 12x 6dx

x 6x 12x 8

− + +− + −∫

19.2. 3 2

4 2

x x x 3dx

x 4x 3

+ + ++ +∫

19.3. 2

dx

x 7x 6+ +∫

19.4. 3

dx

x 1+∫

19.5. 2x x

dx

e e 2+ −∫

19.6. 2

sen(x)dx

cos(x)(1 cos (x))+∫

19.7. 2 2

3

(2 tg ( ))sec ( )d

1 tg ( )

+ θ θ θ+ θ∫

19.8. 1 xdx+∫

19.9. 3

dx

x 1 (x 1)+ + +∫

19.10. 2 3

dx

(4 x )−∫

2

2

x 8 11R : C

2 x 2 (x 2)− − +

− −

21R : ln x 3 arctg(x) C

2+ + +

1 x 1R : ln C

5 x 6

+ ++

3

6 2

x 1 3 2x 1R : ln arctg C

3 3x x 1

+ −+ + − +

x x 2

3x

1 (e 2)(e 1)R : ln C

6 e

+ − +

21 cos (x)R : ln C

cos(x)

++

2 (2tg( ) 1)R : ln 1 tg( ) arctg C

3 3

θ −+ θ + +

5 32 2

4 4R : (1 x) (1 x) C

5 3+ − + +

R :2arctg( x 1) C+ +

2

xR : C

4 a x+

−

20. Calcule las siguientes integrales:

20.1. 4

2

x x 1dx

x x 1

+ +− +∫

20.3. 4sen (x)cos(x)dx∫

20.5. 5 4 2 3x x (20x 10x)dx− −∫

20.7. x x

x x

3 ln(3) 2 ln(2)dx

3 2

++∫

20.9. ln(x 1) ln(x)

dxx(x 1)

+ −+∫

20.11. 3

2 14

4xdx

x x− +∫

20.13. x 1

dxx

+∫

20.2. ln(x) ln(5)

dx5x

+∫

20.4. 3

1dx

x(1 x)+∫

20.6. 2 2x sec (x )dx∫

20.8. 2

sen(2x)dx

1 cos (x)−∫

20.10. x x

23 3(e e ) dx−

−∫

20.12. 3x x 1dx+∫

20.14. 3sec (x)tg(x)dx∫


MODULO I

INTEGRAL


PRÁCTICAGUIA

84

20.15. 2

dx

2x x−∫

20.17. 2

dx

x 4 ln (x)+∫

20.19. 2x

dxx 1+∫

20.21. ln(ln(x))

dxx ln(x)∫

20.23. 2(arcsen(x)) dx∫

20.25. x ln(1 x)dx+∫

20.27. 3 2x x 4dx+∫

20.29. x3 cos(x)dx∫

20.31. sen x 2dx+∫

20.33. 2ln(x 1 x )dx+ +∫

20.35. 3

2 2

xdx

(x 4)+∫

20.37. ln(x)

dxx∫

20.39. 2

2x 5dx

4x x

−

−∫

20.41. 2

1dx

x ln (x) 3ln(x) 1+ −∫

20.43. 2

x 2dx

x 4x 3

+

+ +∫

20.45. 2

x 1dx

x 4x 3

+

+ +∫

20.47. x

dx(x 1)(x 2)+ +∫

20.49. 2

1dx

x 3x 2− +∫

20.16. x

dx

1 e−+∫

20.18. dx

1 1 x+ +∫

20.20. 3

2

xdx

x 1+∫

20.22. 3x x 1dx+∫

20.24. 2xtg (x)dx∫

20.26. 25x arctg(2x)dx∫

20.28. xsen(x)cos(x)dx∫

20.30. ln(x 1)

dxx 1

++∫

20.32. 2

x ln(x)dx

1 x−∫

20.34. 2

xarctg(x)dx

1 x+∫

20.36. x ln(x)dx∫

20.38. 2

dx

x 2x 3− +∫

20.40. 2

2x 6dx

x 6x 1

+

+ +∫

20.42. x

2x x

edx

e 3e 1+ +∫

20.44. x x

2x x 1 x 2x

2 ln(2) 3 ln(3)dx

2 2 3 3 1++

+ + +∫

20.46. 2

2x 3dx

2x 6x 1

−− +∫

20.48. 3 2

4 3 2

4x 4x x 1dx

x 2x x

− + +− +∫

20.50. 2

2 2

x x 1dx

(x x 1)

− ++ +∫


MODULO I

INTEGRAL


PRÁCTICAGUIA

85

20.51. 3

1dx

x x+∫

20.53. 2

xdx

12 4x x+ −∫

20.55. 2

dx

x 2 x+∫

20.57. 2

dx

2x 4x 1−∫

20.59. 2 3 2

xdx

(1 x )−∫

20.61. 1 x

dxx

−∫

20.63. 2 4

dx

4 4x x+ +∫

20.65. 3

2

xdx

25 x−∫

20.67. cos(x)cos(2x)cos(3x)dx∫

20.69. sen(x) 2cos(x)

dx1 cos(x)

++∫

20.71. dx

4cos(x) 3sen(x)+∫

20.73. cos(2x)

dx(1 cos(2x))tg(x)+∫

20.75. 4tg(x)sec (x)dx∫

20.77. dx

(x 1) x 2− +∫

20.79. x 1 1

dxx 1 1

− +− −∫

20.81. 3

3

x 1dx

x 1

−+∫

20.83. x

xe dx∫

20.85. 3x 1

dx2 3x

++∫

20.52. 3

1dx

x 1−∫

20.54. x

2x

edx

4 e−∫

20.56. x

2x x

edx

e e 2+ +∫

20.58. 2

2 3 2

xdx

(1 x )+∫

20.60. 2 3 2

dx

(x 2x 5)− +∫

20.62. 3

2

xdx

x 4−∫

20.64. 4 4tg (x)sec (x)dx∫

20.66. 5 2sen (x)cos (x)dx∫

20.68. sen(x)sen(2x)sen(3x)dx∫

20.70. sec(x)

dx2tg(x) sec(x) 1+ −∫

20.72. 2 2

sen(x)dx

cos (x) sen (x)−∫

20.74. 5cos(5x) cos(x)

dxsen(3x)cos(2x)

+∫

20.76. 2 1 3

xdx

(1 6x )+∫

20.78. (x 2) x 1dx+ −∫

20.80. 2 3 2x (1 3x) dx−+∫

20.82. x

x

1 edx

1 e

+−∫

20.84. 2x

x x

e 1dx

e e−+

−∫

20.86. dx

x 2 x 2− − +∫


MODULO I

INTEGRAL


PRÁCTICAGUIA

86

20.87. 3 2 3 2x (1 2x ) dx−+∫

20.89. 3 3

dx

x 4 x+∫

20.91. 6

4 26

x 1dx

x x

+

+∫

20.93. 1 x dx

1 x x

−+∫

20.95. dx

x 1 x 1+ + −∫

20.97. 3 1x arcsen dx

x

∫

20.99. 2(x 3x)sen(5x)dx−∫

20.88. 2

dx

x 1 x+∫

20.90. 2

1 x dx

1 x x

−+∫

20.92. 12

6 3

xdx

x x x+ +∫

20.94. 3

x 1 3dx

x 1 1

+ ++ −∫

20.96. 2

3

x x 1dx

x 1

+ ++∫

20.98. cos(ln(x))dx∫

20.100. xarctg(2x 3)dx+∫


MODULO I

INTEGRAL


PRÁCTICAGUIA

calculo 1

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