Estática

Cables

Estática

Cables

Los cables se utilizan en muchas aplicaciones de ingeniería por ejemplo:• Puentes colgantes• Líneas de transmisión• Teleféricos• Contravientos para torres altas

Los cables pueden dividirse en dos categorías de acuerdo a las cargas que actúan sobre ellos:• Cargas que soportan cargas concentradas• Cargas que soportan cargas distribuidas

Estática

Cables

−𝑇𝑥1 + 𝑇𝑥2 = 0

𝑇𝑦1 + 𝑇𝑦2 − 𝑃1 = 0

𝑇𝑦2 ∗ ℎ − 𝑇𝑥2 ∗ 𝐿 − 𝑃 ∗ 𝑥1 = 0

Ecuaciones de equilibrio

Ecuaciones adicionales

𝐿

ℎ

𝑥2

𝑃1

𝑥1

𝑇𝑥1

𝑇𝑥2

𝑇𝑦1𝑇𝑦2

tan 𝛼2 =𝑇𝑦2

𝑇𝑥2ó

𝑦2

𝑥2=

𝑇𝑦2

𝑇𝑥2

𝛼2

𝑇𝑥2

𝑇𝑦2

𝛼2

Fuerzas concentradas. Un cable soporta varias cargas ubicadas en posiciones definidas y se conoce la distancia tanto vertical como horizontal entre los apoyos.

El cable AE soporta tres cargas

verticales en los puntos indicados.

Si el punto C es 5 ft debajo del

soporte A. Determine (a) la

elevación de los puntos B y D y (b)

la pendiente máxima y la tensión

máxima en el cable

Estrategia:

• Determine la fuerza de reacción en A de la

solución de dos ecuaciones provenientes del

diagrama de cuerpo libre del cable completo

y tomando momentos sobre E, y tomando la

sección de cable ABC como cuerpo libre y

sumando momento alrededor de C

• Calcule la elevación B por medio del

diagrama de cuerpo libre AB y sumando

momentos alrededor de B. Igualmente,

calcule la elevación de D usando el

diagrama de cuerpo libre ABCD y

sumando momentos alrededor de D

• Calcule la pendiente máxima y la tensión

máxima en el segmente de cable DE.

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 1

7- 5

Modelamiento y análisis:

• Determine la fuerza de reacción en A de la

solución de dos ecuaciones provenientes del

diagrama de cuerpo libre del cable completo y

tomando momentos sobre E,

06606020

041512306406020

:0

yx

yx

E

AA

AA

M

tomando la sección de cable ABC como

cuerpo libre y sumando momento alrededor

de C

0610305

:0

yx

C

AA

M

Resolviendo las anteriores ecuaciones,

kips 5kips 18 yx AA

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 1

7- 6

• Calcule la elevación B por medio del diagrama de

cuerpo libre AB y sumando momentos alrededor

de B. 020518:0 BB yM

ft 56.5By

• Igualmente, calcule la elevación de D usando

el diagrama de cuerpo libre ABCD

0121562554518

:0

Dy

M

ft83.5Dy

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 1

7- 7

• Evalué la pendiente máxima y la

máxima tensión que ocurre en el

segmento DE

15

7.14tan 4.43

cos

kips 18max T kips 8.24max T

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 1

Estática

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 2

‒ La reacción HORIZONTAL en el apoyo fijo E(RxE).

‒ La reacción VERTICAL en el apoyo fijo A (RyA).‒ La reacción VERTICAL en el apoyo fijo E (RyE).‒ La tensión del tramo BC.‒ La tensión máxima en todo el cable.‒ El costo total del cable AE, sabiendo que el

cable tiene un costo 7400.0 pesos/pie.‒ La altura, Yp, mínima, para que el sistema no

toque el piso, sabiendo que la altura delsuelo al punto de la cuerda con la carga masbaja es de 12.1 cm.

(Tener especial cuidado con las unidades). El cable, AE, se encuentra sujetado en sus extremos y esta cargado como se muestra en la figura, Determinar.

Estática

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 2(Tener especial cuidado con las unidades). El cable, AE, se encuentra sujetado en sus extremos y esta cargado como se muestra en la figura, Determinar.

𝑇𝑥𝐴𝐵

𝑇𝑥𝐷𝐸

𝑇𝑦𝐴𝐵

−𝑇𝑥𝐴𝐵 + 𝑇𝑥𝐷𝐸 = 0

𝐹𝑥 = 0

𝑇𝑥𝐴𝐵 = 𝑇𝑥𝐷𝐸 = 𝑇𝑥

𝑇𝑦𝐷𝐸

Estática

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 2(Tener especial cuidado con las unidades). El cable, AE, se encuentra sujetado en sus extremos y esta cargado como se muestra en la figura, Determinar.

𝑇𝑥

𝑇𝑥

𝑇𝑦𝐴𝐵

𝑇𝑦𝐷𝐸

3934 ∗ 0.0663+ 696.5 ∗ 0.2563+ 1138 ∗ 0.4733− 𝑇𝑥 ∗ 0.134

− 𝑇𝑦𝐴𝐵 ∗ 0.6353 = 0

𝑀𝐸 = 0

0.134 𝑇𝑥 + 0.6353 𝑇𝑦𝐴𝐵 = 978 Ec 1

3934 N

1138 N696.5 N

Estática

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 2(Tener especial cuidado con las unidades). El cable, AE, se encuentra sujetado en sus extremos y esta cargado como se muestra en la figura, Determinar.

𝑇𝑥

𝑇𝑦𝐴𝐵 𝑀𝐵 = 0

1138 N

𝑇𝐵𝐶

0.134 𝑇𝑥 + 0.6353 𝑇𝑦𝐴𝐵 = 978 Ec 1

0.145 𝑇𝑥 − 0.162 𝑇𝑦𝐴𝐵 = 0 Ec 2 → 𝑇𝑥 = 1.117 𝑇𝑦𝐴𝐵

0.134 ∗ 1.117 𝑇𝑦𝐴𝐵 + 0.6353 𝑇𝑦𝐴𝐵 = 978

𝑇𝑦𝐴𝐵 = 1246 𝑁

𝑇𝑥 = 1392 𝑁

𝑇𝐴𝐵 = 12462 + 13922 → 𝑇𝐴𝐵 = 1668 𝑁

tan𝛼𝐴𝐵 =𝑇𝑦𝐵𝐶

𝑇𝑥→ 𝛼𝐴𝐵= 41.8°

Estática

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 2(Tener especial cuidado con las unidades). El cable, AE, se encuentra sujetado en sus extremos y esta cargado como se muestra en la figura, Determinar.

1392 𝑁

1138 N

𝑇𝐵𝐶

𝑇𝑥

𝑇𝑦𝐵𝐶

𝐹𝑦 = 0

1246 − 1138 − 𝑇𝑦𝐵𝐶 = 0 → 𝑇𝑦𝐵𝐶 = 108 𝑁

𝑇𝐵𝐶 = 108 2 + 13922 → 𝑇𝐵𝐶 = 1396 𝑁

1246 𝑁

tan𝛼𝐵𝐶 =𝑇𝑦𝐵𝐶

𝑇𝑥→ 𝛼𝐵𝐶= 4.44°

1392 𝑁

Estática

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 2(Tener especial cuidado con las unidades). El cable, AE, se encuentra sujetado en sus extremos y esta cargado como se muestra en la figura, Determinar.

1392 𝑁

1138 N

𝑇𝐶𝐷

𝑇𝑥

𝑇𝑦𝐶𝐷

𝐹𝑦 = 0

1246 − 1138 − 696.5 + 𝑇𝑦𝐶𝐷 = 0 → 𝑇𝑦𝐶𝐷 = 588 𝑁

𝑇𝐶𝐷 = 588 2 + 13922 → 𝑇𝐵𝐶 = 1511 𝑁

1246 𝑁

696.5 N

𝟑𝟕. 𝟗 cm

tan𝛼𝐶𝐷 =𝑇𝑦𝐶𝐷

𝑇𝑥→ 𝛼𝐶𝐷= 22.9°

1392 𝑁

Estática

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 2(Tener especial cuidado con las unidades). El cable, AE, se encuentra sujetado en sus extremos y esta cargado como se muestra en la figura, Determinar.

𝑇𝑥

𝑇𝑦𝐷𝐸

3934 N

1392 𝑁

1138 N

1246 𝑁

696.5 N

𝑇𝐶𝐷

Estática

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 2(Tener especial cuidado con las unidades). El cable, AE, se encuentra sujetado en sus extremos y esta cargado como se muestra en la figura, Determinar.

𝑇𝑥

𝑇𝑦𝐷𝐸

3934 N

1392 𝑁

1138 N

1246 𝑁

696.5 N

𝐹𝑦 = 0

1246 − 1138 − 696.5 − 3934 + 𝑇𝑦𝐷𝐸 = 0

→ 𝑇𝑦𝐷𝐸 = 4522 𝑁

𝑇𝐷𝐸 = 4522 2 + 13922 → 𝑇𝐷𝐸 = 4731 𝑁

tan𝛼𝐷𝐸 =𝑇𝑦𝐷𝐸

𝑇𝑥→ 𝛼𝐷𝐸= 73.6°

𝑇𝐶𝐷

1392 𝑁

Estática

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 2(Tener especial cuidado con las unidades). El cable, AE, se encuentra sujetado en sus extremos y esta cargado como se muestra en la figura, Determinar.

𝑇𝑥

𝑇𝑦𝐷𝐸

3934 N

1392 𝑁

1138 N

1246 𝑁

696.5 N

𝑇𝐶𝐷

1392 𝑁

𝛼2

𝑇𝑥

𝑇

𝑇𝑥 = 𝑇 cos𝛼

Estática

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 2(Tener especial cuidado con las unidades). El cable, AE, se encuentra sujetado en sus extremos y esta cargado como se muestra en la figura, Determinar.

‒ El costo total del cable AE, sabiendo que el cable tieneun costo 7400.0 pesos/pie.

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 ∗ 7400 Τ$ 𝑝𝑖𝑒

𝟏𝟐. 𝟏 cm

73.6°

22.9°

4.44°

41.8°

𝐿𝐴𝐵 =0.162

cos 41.8 °

𝐿𝐵𝐶 =0.217

cos 4.44 °

𝐿𝐶𝐷 =0.190

cos 22.9 °

𝐿𝐷𝐸 =0.0663

cos 73.6 °

𝐿 = 0.2173 + 0.2176 + 0.2062 + 0.2348

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 = 2.8740 𝑝𝑖𝑒𝑠 ∗ 7400 Τ$ 𝑝𝑖𝑒

→ 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 = $ 21267

𝐿 = 0.876𝑚 ∗3.2808𝑝𝑖𝑒𝑠

1𝑚= 2.874 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑌𝑝 = 12.1 + 19.0 ∗ tan 22.9° + 6.63 ∗ tan 73.6°

𝑌𝑝 = 12.1 + 𝑌𝐶𝐷 + 𝑌𝐷𝐸

→ 𝑌𝑝 = 42.65 𝑐𝑚

‒ La altura, Yp, mínima, para que el sistema no toque elpiso, sabiendo que la altura del suelo al punto de lacuerda con la carga mas baja es de 12.1 cm.

Estática

Cables

Fuerzas concentradas: Ejemplo 3(Tener especial cuidado con las unidades). El cable, AD, se encuentra sujetado en sus extremos y esta cargado como se muestra en la figura. Determinar:

‒ La reacción HORIZONTAL en el apoyo fijo D (RxD).‒ La reacción VERTICAL en el apoyo fijo A (RyA).‒ La reacción VERTICAL en el apoyo fijo D (RyD).‒ La tensión del tramo BC.‒ La tensión máxima en todo el cable.‒ El costo total del cable AD, sabiendo que el

costo del cable por metro es de 10200.0 pesos.‒ La altura, Yp, mínima, para que el sistema no

toque el piso, sabiendo que la altura del suelo al punto de la cuerda con la carga más baja es de 17.6 cm.

Estática

Cables

Fuerzas distribuidas

Cargas distribuidas

Aproximación parabólica

𝑦 =𝑤𝑥2

2𝑇0

Aproximación catenaria

𝑦 = 𝑐 cosh𝑥

𝑐

𝑐 = Τ𝑇0 𝑤

Siendo w, la cargapor unidad delongitud en el cable

Fuerzas distribuidas. Un cable soporta una carga distribuida cuya función w es conocida y se conoce la distancia tanto vertical como horizontal entre los apoyos.

Estática

Cables

𝒇𝟎

𝒍 𝒍

𝑭 = 𝒇𝟎 ∙ 𝒍

𝑭𝑭

𝑭 =𝟏

𝟐𝒇𝟎 ∙ 𝒍

𝒇

𝑭 = න0

𝑙

𝑓 𝑥 𝑑 𝑥

𝑇 = 𝑇02 +𝑊2

tan 𝜃 =𝑊

𝑇0

𝑇0 = 𝑇 cos 𝜃

𝑊 = 𝑇 sin 𝜃

Fuerzas distribuidas. Un cable soporta una carga distribuida cuya función w es conocida y se conoce la distancia tanto vertical como horizontal entre los apoyos.

𝑭 = 0

𝑥

Estática

Cables

𝑇 = 𝑇02 +𝑊2

tan 𝜃 =𝑊

𝑇0

𝑇0 = 𝑇 cos 𝜃

𝑊 = 𝑇 sin 𝜃

Fuerzas distribuidas. Un cable soporta una carga distribuida cuya función w es conocida y se conoce la distancia tanto vertical como horizontal entre los apoyos.

𝑀𝐷 = 0

𝒘

𝒙

𝑾 = 𝒘𝒙

𝒙

𝟐

𝑤𝑥 ∗ 𝑥2− 𝑇0 ∗ 𝑦 = 0

𝑦 =𝑤𝑥2

2𝑇0Ecuación de una parábola

𝑥

𝑦

𝒀

𝑿

Estática

Cables

Fuerzas distrinuidas. Un cable soporta una carga distribuida cuya función w es conocida y se conoce la distancia tanto vertical como horizontal entre los apoyos.

𝑩

𝑪

𝑨

𝑳

ℎ

𝒀

𝑿

𝑇𝑚á𝑥 = 𝑇02 +𝑊2

tan 𝜃 =𝑊

𝑇0

𝑦 =𝑓. 𝑥2

2𝑇0

𝑓

Estática

Cables

𝑇𝑚á𝑥 = 𝑇02 + 𝒇

𝐿2

2

tan 𝜃 =𝒇𝐿2

𝑇0

Fuerzas distribuidas. Un cable soporta una carga distribuida cuya función w es conocida y se conoce la distancia tanto vertical como horizontal entre los apoyos.

ℎ =𝑓 𝐿

2

2

2𝑇0

En el punto B, se tiene:

→ 𝑇0 =𝑓 𝐿

2

2

2ℎ

𝑩

𝑪

𝑳

𝟐

ℎ

𝒀

𝑿

𝑓

𝜃

𝑻𝟎 𝑾 = 𝒇𝐿2

𝑻𝒎á𝒙

𝜃

𝑻𝟎

𝑾 = 𝒇𝐿2

𝑻𝒎á𝒙

Estática

Cables

Un cable esta soportado en los puntos A y C como se muestra en la figura. Si se sostiene una carga uniforme rectangular W = 56.7 lb/ft y además a = 175.0 ft y l = 108.0 ft. Determinar:

‒ La distancia horizontal entre A y B: 39.53 ft‒ La magnitud de la reacción en el apoyo A. 5150.14 lb‒La tensión en el punto B.

𝒀

𝑿

Estática

Cables

Ejemplo 3Un cable esta soportado en los puntos A y C como se muestra en la figura. Si se sostiene una carga uniforme rectangular W = 56.7 lb/ft y además a = 175.0 ft y l = 108.0 ft. Determinar:

‒ La distancia horizontal entre A y B: 39.53 ft‒ La magnitud de la reacción en el apoyo A. 5150.14 lb‒La tensión en el punto B.

𝑎 =𝑤 −𝑥𝑎

2

2𝑇0

En el punto A, se tiene:

→ 𝑇0 =𝑤 −𝑥𝑎

2

2𝑎

𝒀

𝑿

𝑇0

Estática

Cables

Ejemplo 3Un cable esta soportado en los puntos A y C como se muestra en la figura. Si se sostiene una carga uniforme rectangular W = 56.7 lb/ft y además a = 175.0 ft y l = 108.0 ft. Determinar:

‒ La distancia horizontal entre A y B: 39.53 ft‒ La magnitud de la reacción en el apoyo A. 5150.14 lb‒La tensión en el punto B.

3𝑎 =𝑤 𝐿 − 𝑥𝑎

2

2𝑇0

Y en el punto C, se tiene:

→ 𝑇0 =𝑤 𝐿 − 𝑥𝑎

2

6𝑎

𝒀

𝑿

𝑇0

L-XA

Estática

Cables

Ejemplo 3Un cable esta soportado en los puntos A y C como se muestra en la figura. Si se sostiene una carga uniforme rectangular W = 56.7 lb/ft y además a = 175.0 ft y l = 108.0 ft. Determinar:

‒ La distancia horizontal entre A y B: 39.53 ft‒ La magnitud de la reacción en el apoyo A. 5150.14 lb‒La tensión en el punto B.

𝑎 =𝑤 −𝑥𝑎

2

2𝑇0

En el punto A, se tiene:

→ 𝑇0 =𝑤 −𝑥𝑎

2

2𝑎

3𝑎 =𝑤 𝐿 − 𝑥𝑎

2

2𝑇0

Y en el punto C, se tiene:

→ 𝑇0 =𝑤 𝐿 − 𝑥𝑎

2

6𝑎

𝑤 −𝑥𝑎2

2𝑎=𝑤 𝐿 − 𝑥𝑎

2

6𝑎

𝒀

𝑿

3 −𝑥𝑎2 = 𝐿 − 𝑥𝑎

2

3𝑥𝑎2 = 𝐿2 − 2𝐿𝑥𝑎 + 𝑥𝑎

2

2𝑥𝑎2 + 2𝐿𝑥𝑎 − 𝐿2 = 0

𝑥𝑎 =−2𝐿 ± 4𝐿2 + 8𝐿2

4

𝑥𝑎 =3 − 1 𝐿

2= 0.3660𝐿

Estática

Cables

Ejemplo 4Un cable esta soportado en los puntos A y B. Si se sostiene una carga distribuida como se muestra en la figura y se conoce que la tensión máxima en el cable es de: T N y además a = a m, b = b m, theta1= theta1 grados y tetha2 = theta2 grados. Determinar:

‒ La reacción horizontal en B ‒ La reacción vertical en B: ‒ La tensión mínima en el cable:‒ La magnitud del peso W aplicado al cable:

Estática

Cables

Ejemplo 5Un cable esta soportado en los puntos A y C. Si se sostiene una carga distribuida como se muestra en la figura y se sabe queW1 = 88.0 N/m W2 = 98.0 N/m y además a = 9.3 m, Sabiendo que en el punto B, la pendiente de la tangente es 0 para ambos tramos, y el valor de la carga triangular en ese punto es 0 para ambos tramos, Determinar:

‒ La tensión mínima del cable.‒ La tensión en el punto A. ‒ La tensión en el punto C.

Estática

Cables

Ejemplo 5

𝑀𝐴 = 0𝑇0 ∗ 𝑎 =

126𝑎 ∗𝑊1 ∗ 2𝑎

𝑇0 = 6 ∗𝑊1 ∗ 𝑎 = 4910

Un cable esta soportado en los puntos A y C. Si se sostiene una carga distribuida como se muestra en la figura y se sabe queW1 = 88.0 N/m W2 = 98.0 N/m y además a = 9.3 m, Sabiendo que en el punto B, la pendiente de la tangente es 0 para ambos tramos, y el valor de la carga triangular en ese punto es 0 para ambos tramos, Determinar:

𝑻𝑨

𝑻𝟎

2𝑎

𝑻𝟎

73𝑎

𝑻𝑪

𝑀𝐶 = 0𝑇0 ∗ 𝑏 =

127𝑎 ∗𝑊2 ∗ 7

3𝑎

𝒅𝒍

Estática

Cables

𝒅𝒙

𝒅𝒍 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2

𝒅𝒚

𝒍𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = න𝑥𝑖

𝑥𝑓

𝒅𝒍

𝒍𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = න𝑥𝑖

𝑥𝑓

𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2

𝒍𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = න𝑥𝑖

𝑥𝑓

𝑑𝑥2 1 +𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

𝒍𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = න𝑥𝑖

𝑥𝑓

1 +𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

𝑑𝑥

𝑦 =𝑤𝑥2

2𝑇0

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑤𝑥

𝑇0