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Aprendizajes esperados

BLOQUE 3

1.Interpretenyrepresentengráficay,

algebraicamente,relacioneslinealesyno

lineales.

2.Utilicenadecuadamentelafórmula

generalpararesolverecuacionesde

segundogrado.

3.Resuelvanproblemasgeométricosque

impliquenelusodelteoremadeTales.

4.Conozcanlascondicionesquegeneran

dosomásfigurashomotéticas,asícomo

laspropiedadesqueseconservanylas

quecambian.

Que los alumnos:

109

La Ingeniería, la Arquitectura, la Geología, el Diseño industrial y la Escultura son algunos campos de la actividad humana en que el conocimiento y uso de la Geometría son esenciales. Así, los sismólogos (geólogos especializados en el estudio de los terremotos) la utilizan, por ejemplo, para localizar el epicentro de un terremoto, cuando varios observatorios se encuentran en comunicación. Como cada observatorio puede calcular la distancia a la cual ocurrió el sismo, si se trazan círculos tomando como centro el observatorio y como radio la distancia al epicentro, el punto donde se cortan los círculos corresponde al área del terremoto. En la figura se muestra la localización de un terremoto ocurrido en las costas de Guerrero, mediante los datos aportados por los observatorios de Houston, Tijuana y la Ciudad de México.

Un arquitecto la utiliza, por ejemplo, para diseñar un aula en la que 18 alumnos pueden sentarse ante una computadora y mostrar su trabajo en una amplia pantalla que se halla al frente. Los pasillos tienen el espacio suficiente para que el profesor pueda transitar por ellos y revisar el trabajo de los alumnos. La ilustración muestra un diseño a base de arcos circulares.

BLOQUE

3

¿Qué escalas se utilizan para medir la intensidad de un terremoto? ¿Cómo se interpretan los valores de esas escalas?

P Proyecto

¿Quiénes utilizan la geometría?

110

Bloque 3

111

Ernesto tiene 18 m de malla. Él desea cercar tres lados de un terreno rectangular, utilizando una loma como límite del cuarto lado, como se muestra en la figura.

¿Qué dimensiones deberá tener el rectángulo para que dé el área máxima?

14Relaciones funcionales

Hay situaciones en las que una cantidad está asociada únicamente con otra cantidad. Por ejemplo, la altura que alcanza una pelota de béisbol está asociada o relacionada con la can-tidad de tiempo transcurrido desde que la pelota fue golpeada. Acerca de este tipo de relaciones

entre cantidades, llamadas funciones, tratará la siguiente lec-ción.

Exploración y discusión

14.1. Cantidades que varían

en relación funcional

Te sugerimos leer:

“La caja más grande”, en De la Peña, J. A., Geometría y el mundo, pp. 42-43.

a) ¿Qué cálculos debes realizar para hallar el área del terreno cercado, si la medida de la anchura es 1, 2, 3, 4, 5 o 6 metros?

b) ¿El terreno puede medir 10 m de ancho? ¿Cuál es la mayor medi-da que puede tener la anchura? Comenta tu respuesta con un com-pañero o compañera.

c) La variación de las dos cantidades puede presentarse en una tabla como la siguiente. Complétenla.

Anchura (x)

0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 8.5

Longitud

Área

Tema 14

112

d) De acuerdo con la tabla que completaron, el área máxima se obtiene cuando la medida del ancho mide entre 4 y 5 m. Calculen las medi-das de la anchura y la longitud, expresadas hasta décimos de metro, que dé el área máxima del terreno.

e) Si se representa con la variable x la medida del ancho de este terreno rectangular, ¿cómo se representa el largo? ¿Cómo se representa el área?

?

xx

1. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Si se deja caer un objeto, la velocidad con que cae al suelo depen-de del tiempo transcurrido (y no del peso del objeto). La siguiente tabla muestra la velocidad de un cuerpo que se ha dejado caer como función del tiempo (v, está dada en metros por segundo, y t, en se-gundos).

Actividades adicionales

a) ¿Con qué velocidad llega al suelo un objeto que ha tardado 5 se-gundos en caer? ¿Y otro que tardó 5.5 segundos?

b) ¿En cuanto tiempo, aproximadamente, un cuerpo que cae alcan-za una velocidad de 100 m por segundo?

c) La velocidad que alcanza un cuerpo que cae y el tiempo que tarda en caer, ¿son magnitudes que varían en proporción directa?

d) ¿Qué fórmula relaciona la variación de la velocidad en función del tiempo?

2. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ La distancia que recorre un objeto, cuando se deja caer, depende también del tiempo transcurrido. La siguiente tabla muestra la dis-

Tiempo (t) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

Velocidad (v) 0.0 9.8 19.6 29.4 39.2 49.7 58.8 68.6 78.4 88.2 98.0

Bloque 3

113

tancia que desciende un cuerpo que se ha dejado caer, como función del tiempo (d está dada en metros, y t, en segundos). Nota: Sabemos que no hay distancias negativas. En este ejemplo se han empleado números negativos para indicar el sentido del recorrido (en descen-so) del objeto. Entre dos conjuntos

de cantidades existe una relación funcional, si a cada valor del primer conjunto corresponde un único valor del segundo. Por ejemplo, refiriéndonos al problema inicial de esta lección, si con los 18 m de malla hubiera que cercar el terreno por sus cuatro lados, entre las medidas de la anchura y el área del terreno hay una relación funcional: por cada medida del ancho (el valor de x) se obtiene un área.

Una relación funcional puede representarse mediante una tabla de valores o una fórmula. En el caso del ejemplo anterior, la fórmula es y = x(9 – x), y una tabla de valores sería:

Anchura: x 1 2 3 4Longitud: 9 – x 8 7 6 5Área: x(9 – x) 8 14 18 20

a) ¿Qué distancia habrá descendido el objeto a los 3 segundos de haber sido soltado? ¿Y a los 3.5 segundos?

b) ¿En cuanto tiempo, aproximadamente, un cuerpo que cae re-corre una distancia de 100 m?

c) La distancia que recorre un cuerpo que cae y el tiempo que tarda en recorrerla, ¿son magnitudes que varían en proporción directa?

d) ¿Qué fórmula relaciona la variación de la distancia recorrida en función del tiempo?

3. Cuando viajamos en un vehículo, el tiempo que tardamos en re-correr una distancia dada depende de la velocidad promedio con que se desplaza el vehículo. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido para avanzar 150 km como función de la velocidad promedio (v está dada en kilómetros por hora, y t, en horas).

a) ¿En cuánto tiempo se recorren los 150 km, si se viaja a una velocidad de 100 km por hora? ¿Y a 125 km por hora?

b) ¿A qué velocidad promedio el vehículo recorre los 150 km en 2 horas y media?

c) El tiempo que tarda el vehículo en recorrer una distancia y la ve-locidad promedio con que viaja, ¿son magnitudes que varían en proporción directa o inversa? ¿Por qué?

d) ¿Qué fórmula relaciona la variación del tiempo en función de la velocidad promedio?

4. Juan grabó 480 fotografías en un videodisco. Cuando Teresa las vio en su computadora, ésta indicaba el tiempo de exhibición transcu-rrido y el número de fotografías que quedaban por exhibir.

Tiempo (t) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Distancia (d) 0.0 – 4.9 –19.6 – 44.1 – 78.4 – 122.5

Velocidadpromedio (v)

0.0 25.0 50.0 75.0 100.0 150.0

Tiempo (t) 0.0 6.0 3.0 2.0 1.5 1.0

Tiempotranscurrido (t) 0 1 2 3 4 5

Fotografíasporexhibir (y) 480 474 468 462 456 450

x x

3

3 m3 mx

x

Tema 15

114

a) ¿Cuántas fotografías faltan por exhibir después de cuatro minu-tos de exhibición?

b) ¿Cuánto tiempo tarda la computadora en exhibir las 480 fotogra-fías?

c) El número de fotografías que quedan por exhibir y el tiempo transcurrido, ¿son magnitudes que varían en proporción directa o inversa, o en ninguna de estas dos formas?

d) ¿Qué fórmula relaciona la variación del número de fotografías que quedan por exhibir y el tiempo transcurrido?

15La fórmula cuadrática

Hay ecuaciones cuadráticas cuya resolución implicaría muchos cálculos y tiempo si no se contara con una fórmula para resolverlas. En las siguientes lecciones reconocerás esta fórmula y podrás aplicarla en la resolución de interesantes problemas.

15.1. Resolución de ecuaciones

cuadráticas por el método de

completar el trinomio cuadrado

perfecto

Te sugerimos leer:

“Inconmensurables” y otros temas, en Marván, L. M., Representación numérica, pp. 44-45.

Una alberca de fondo cuadrado tiene una profundidad de 3 m. Si su superficie interior, formada por el fondo y las caras laterales, mide 133 m2, ¿cuánto mide por lado?

Bloque 3

115

a) ¿Cuál es el área del fondo de la alberca? ¿Cuál es el área de las caras laterales?

b) ¿Cuánto suman las áreas de las cinco partes de la alberca?c) Si sabemos que el área de la superficie interior de la alberca es

133 m2, ¿qué ecuación cuadrática puede plantearse con esta infor-mación?

d) Si al “desarrollo plano” de la alberca se le agrega un cuadrado de 9 m2 en cada esquina, se forma un cuadrado cuya área será 133 + 36 m2. Con esta información, plantea una ecuación que resuelva el problema.


9 m2

x2

4x

4x 4x

4x

4 m

4 m

e) ¿Cuánto mide por lado la alberca? Compara tu respuesta con la de un compañero o compañera, y después con las de los demás com-pañeros del grupo.

Supón que, en el problema inicial, la profundidad de la alberca es de 4 m y que el área interior es de 161 m2. ¿Cuánto mediría por lado la alberca?

Observa que esta situación puede representarse mediante la siguien-te ecuación cuadrática:

x2 + 16x = 161

Además, nota que el primer miembro de esta ecuación no es un trinomio cuadrado perfecto. Sin embargo, si se agrega a ambos miem-

Tema 15

116

bros el área de los cuadrados de las esquinas del desarrollo plano de la figura, se completa dicho trinomio cuadrado. Veamos:

x2 + 16x + 64 = 161 + 64x2 + 16x + 64 = 225(x + 8)2 = 225

x + 8 = ± 225 = ± 15

x = ± 15 – 8

Sumamos 64 a cada miembro.Simplificamos el segundo miembro.Expresamos el primer miembro

como el cuadrado de un binomio.Obtenemos la raíz cuadrada de cada

miembro.Restamos 8 a cada miembro.

Ahora, obtenemos una raíz (o solución) tomando el signo positivo de ±15:

x1 = + 15 – 8 = 7

y la otra, tomando el signo negativo de ±15:

x2 = – 15 – 8 = –23

La solución –23 se descarta porque la alberca sólo tiene dimensio-nes positivas. Por tanto, la alberca mide 7 m por lado.

Comprobemos nuestro resultado:

Área del fondo: x2 = 72 = 49 m2

Área de las caras laterales: 16x = 16(7) = 112 m2

Área total: 49 m2 + 112 m2 = 161 m2

Hemos obtenido la solución del problema resolviendo la ecuación x2 + 16x = 161 por medio del métodode completareltrinomiocuadradoperfecto.

Observa que, para convertir x2 + 16x en trinomio cuadrado perfecto, le hemos agregado el cuadrado de la mitad de 16, que es 82 = 64.

x y y

x

x

x

y

y x

x

y

y

1. ¿Cuánto se agregó al rectángulo para convertirlo en el cuadrado que muestra la ilustración? Indícalo completando la expresión algebraica.


x2 + 2xy + ______

Bloque 3

117

2. En cada caso, completa el trinomio cuadrado perfecto.

Para convertir una expresión de la forma x2 + 2ax en un trinomio cuadrado perfecto, se le agrega a2, que es el cuadrado de la mitad de 2a.

Por ejemplo, para convertir una expresión como x2 + 10x en un trinomio cuadrado perfecto, se agrega el cuadrado de la mitad del coeficiente de x; esto es:

mitadde 10

elevada al cuadrado

x2 + 10x + 52 = x2 + 10x + 25

a) x2 + 14x

b) y2 + 4y

c) y2 + 20y

d) m2 + m

e) n2 + 3n

f ) t2 – 2t

g) x x2 1

2+

h) x x2 13

+

i) x y2 23

−

j) 4x2 + 3x

k) 5y2 – 2y

l) x2 + 2bx

3. En cada caso, halla el término faltante para que la expresión sea un trinomio cuadrado perfecto.

a) x2 + ____ + 81

b) y2 – ____ + 9

c) m2 + ____ + a2

d) x2 – ____ + 25a2

4. La expresión x2 + 8x + 16 es un trinomio cuadrado perfecto.

a) Calcula el valor numérico de ese trinomio para x = 3. ¿El resulta-do es un cuadrado perfecto?

b) Calcula el valor numérico del mismo trinomio para x = 5. ¿El resultado es también un cuadrado perfecto?

c) ¿Para qué valor de la literal, la expresión vale 0?d) Comprueba que para cualquier otro valor entero de la literal, el

valor del trinomio x2 + 8x + 16 es un cuadrado perfecto.

5. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de completar cuadrados.

a) x2 + 5x = – 6

b) x2 + 7x = 8

c) 2x2 + 3x = 2

d) 3y2 – 2y – 1 = 0

e) 5m2 – 4m = 1

f ) 2n2 + 4n – 5 = 0

g) 3r2 – 9r = 2

h) 3p–2p2 = 1

i) 1 + 4x2 = 63x

j) 3 – 4q =q2

k) x(x + 14) = 1632

l) y2 = 4(2y – 3)

m) 1

2

6

4352x x+ =

n) 13

106

22x x− =

ñ) x x2 32

1− =

o) x x2 34

13 0− − =

Tema 15

118

6. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:

a) El terreno en que está construida una casa mide 5 m más de frente que de fondo. Su área es de 104 m2. ¿Cuáles son sus dimensiones?

5 m

x

x

15.2. Uso de la fórmula general

para resolver ecuaciones

cuadráticas

La forma general de una ecuación cuadrática es ax2 + bx + c = 0. Si de esta ecuación despejamos x, obtenemos una fórmula para encontrar las dos soluciones de cualquier ecuación cuadrática. La fórmula es:

xb b ac

a= − ± −2 4

2

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno, y usa la información ante-rior para completarla.

Ecuaciones Coeficientes Fórmulacuadrática

Primerasolución Segundasolución

ax2 + bx + c = 0 a b cx

b b aca1

2 42= − + −

x2

b b aca

2 42

=− − −

x2 – 5x + 6 = 0 1 –5 6

1 –5 –6

1 –5 0

b) El cuadrado de un número negativo menos cinco veces el mismo número, es igual a 50. ¿Cuál es el número?

c) Utiliza el método de completar el trinomio cuadrado perfecto para resolver el problema de Al-Juarizmi: “El cuadrado de un número más 10 veces el mismo número da 39”. ¿De qué número se trata?

Bloque 3

119


a) Observa que, en la ecuación que se da como ejemplo (x2 – 5x + 6 = 0), los coeficientes son 1, –5 y 6. Completa la columna de ecuaciones en la tabla. Compara tus respuestas con las de un compañero o com-pañera.

b) Una solución de x2 – 5x + 6 = 0, es 3. ¿Cuál es su otra solución? Veri-fíquenlo. Tengan cuidado tanto en la sustitución de valores como en la realización de las operaciones.

c) ¿Cuáles son las dos soluciones de la ecuación cuyos coeficientes son 1, –5 y –6?

d) ¿Cuál de las tres ecuaciones tiene una solución cuyo valor es cero?e) Resuelvan las tres ecuaciones mediante factorización. ¿Cuál de los

dos procedimientos se les facilitó más?f ) ¿Con qué método, el de la fórmula general o el de factorización,

pueden resolver la ecuación 2x2 + 6x + 1 = 0? ¿Cuáles son sus dos soluciones?

g) ¿En qué casos conviene usar la fórmula general para resolver una ecuación cuadrática?


1. Las siguientes ecuaciones son de la forma ax2 + bx + c = 0. Escri-be los valores de a, b y c de cada una.

a) x2 + 5x + 6 = 0

b) x2 – 4x + 3 = 0

c) 4x2 – x – 3 = 0

d) 2x2 – 3x + 1 = 0

e) 3x2 + 7x + 2 = 0

f ) 5x2 + 6x – 1 = 0

2. Expresa las siguientes ecuaciones en la forma ax2 + bx + c = 0, y escribe los valores de a, b y c de cada una de ellas.

a) 3x2 + 8 = 10x

b) 6x2 = 9 – 5x

c) x2 – 5x = 0

d) 2x2 = 3x

e) 3x2 – 7 = 0

f) 2x2 = 5

g) (3x + 2)2 = 0

h) (x + 1)(x + 3) = 0

i) (x + 1)2 = 6

La expresión

xb b ac

a=

− ± −2 4

2

es la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. En ella, el signo ± significa que hay dos soluciones: una con el signo (+) y otra con el signo (–). Por tanto, una solución es:

x b b aca1

2 42

= − + −

y la otra:

x2

b b aca

2 42

= − − −

120

3. Dos de las siguientes ecuaciones no son cuadráticas. ¿Cuáles son? Subráyalas.

a) (x + 3)2 = x2 + 5

b) (2x + 1)2 = (x + 1)2

c) (x + 1)(x + 2) = 15

d) (3x + 2)2 = 12x + 6

e) (2x + 1)(2x + 3) = 2 + 4x2

f ) (2x + 1)(3x + 3) = 9

4. Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula cua-drática. Antes de aplicar la fórmula, escribe cada ecuación en la forma general ax2 + bx + c = 0.

a) x2 + 7x + 12 = 0

b) x2 + 8x + 7 = 0

c) (x + 3) (x + 2) = 0

d) x2 – 5x + 6 = 0

e) x2 + 6x + 8 = 0

f ) x2 – 12x + 20 = 0

g) 2x2 + 3x – 1 = 0

h) 6x2 – 10 = 4x

i) 6x2 – 5x = 9

j) 1 1x– x+ = 0 2 3

5. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. Dis-cute con un compañero o compañera los argumentos en que basas cada una de tus respuestas.

a) Encuentra dos números cuya suma sea 100 y cuyo pro-ducto sea 2100.

b) El perímetro de un terreno rectangular es 100 m y su área es 600 m2. Halla las dimensiones del terreno.

c) Si una ecuación cuadrática tiene la forma x2 + bx + c = 0 (es decir, el coeficiente de x2 es 1, como x2 + 7x + 6 = 0), es posible resolverla aplicando una fórmula simplifi-cada. ¿Cuál de las siguientes fórmulas es? ¿Por qué?

x b

a= ± x ba

= ±2

xb b c= − ± −2 4

2

Veamos un ejemplo. Resolver la ecuación:

2x2 + 7x = 4,

Escribimos la ecuación en la forma general ax2 + bx + c = 0:

2x2 + 7x – 4 = 0

Determinamos los valores de a, b y c.

a = 2; b = 7; c = – 4

Utilizamos la fórmula cuadrática.

x b b ac= − ± −2 42a

Sustituimos a, b y c.

x =− ±7 7 4 2 4

2 2

2 ( )

Simplificamos el radicando.

x =− ± +

=− ±7 32

47 81

4

49

Obtenemos la raíz cuadrada.

x = − ±7 94

Tomamos el signo positivo de ±9.

x17 94

24

12

= − +

Tomamos el signo negativo de ±9.

x2

7 94

164 4= − −

= −= −

Por tanto, las soluciones son:

x1 = 12

; x2 = –4

Bloque 3

121

15.3. Discriminante y número de raíces

¿Cuántas soluciones tiene cada una de las siguientes ecuaciones?

x2 – 6x + 9 = 0 x2 – 9x – 36 = 0

¿En qué argumentos basas tu respuesta?


a) ¿Cómo puedes saber cuántas y cuáles son las soluciones de estas ecuaciones si usas una tabla de valores como la siguiente? Complé-talas y comenta tu respuesta con un compañero o compañera?

x –3 –2 –1 0 1 2 3

x2 – 6x + 9

x –3 –2 –1 0 4 8 12

x2 – 9x – 36

b) ¿Cuántas soluciones tiene la primera ecuación? ¿Y la segunda? ¿Tie-ne más soluciones una ecuación que la otra?

c) Resuelvan las ecuaciones utilizando el procedimiento de factoriza-ción. ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación x2 – 6x + 9 = 0? ¿Cuá-les son las de x2 – 9x – 36 = 0?

d) Con la fórmula cuadrática resuelve la ecuación x2 – 6x + 9 = 0. Al realizar la sustitución de los coeficientes en la fórmula, ¿a qué número hay que extraer raíz cuadrada?

e) Ahora resuelve la ecuación x2 – 9x – 36 = 0 con la fórmula cuadráti-ca. Al realizar la sustitución de los coeficientes en la fórmula, ¿a qué número hay que extraer raíz cuadrada?

f ) Comparen las soluciones que encontraron mediante los tres proce-dimientos. ¿Los resultados son iguales o diferentes?

Observa que la ecuación x2 – 6x + 9 = 0 tiene una sola solución debi-do a que el valor del subradical b – 4ac es 0.

En cambio, en la ecuación x2 – 9x – 36 = 0, el valor del subradical es 225, que es un número positivo. En este caso, la ecuación tiene dos soluciones.

Hay ecuaciones en las que el valor del subradical es negativo. Por ejemplo, en la ecuación 5x2 – 3x + 6 = 0, el valor del subradical es –111. En este caso, la ecuación no tiene solución, porque no hay un número que multiplicado por sí mismo dé un número negativo.

El subradical b2 – 4ac de la fórmula cuadrática recibe el nombre de discriminante.

Tema 15

122

1. Calcula el valor del discriminante de las siguientes ecuaciones. Si es positivo o cero, halla las soluciones.

a) x2 – 6x + 8 = 0b) x2 + 2x + 1 = 0c) x2 + x + 5 = 0

2. ¿Por qué las siguientes ecuaciones no tienen soluciones reales?

a) x2 + x + 1 = 0b) x2 + 2x + 3 = 0c) x2 – x + 2 = 0

3. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. Comenta con un compañero o compañera tus respuestas y los procedi-mientos que usaste para encontrarlas.

a) ¿Qué valor debe tener c, para que la ecuación x2 – 8x + c = 0 tenga una raíz doble (esto es, una sola solución)?

b) Calcula el valor de b en la ecuación x2 + bx + 36 = 0, sabiendo que es un número negativo y que la ecuación tiene una sola raíz.


Al resolver los siguientes problemas, compara tus estrategias y resultados con los de otro compañero o compañera. Revisa tus procedimientos y, si es necesario, corrige.

1. Resuelve la ecuación 5(x + 2)(x – 3) = 0 sin convertirla a la forma general. Halla las soluciones directamente y comprueba luego los resultados utilizando la fórmula cuadrática.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas sin utilizar la fórmula general.

15.4. Actividades sobre problemas

que se resuelven con

ecuaciones cuadráticas

a) (x – 2)(x + 5) = 0

b) 2(x + 3)(x – 1) = 0

c) (x + 2)(3 – x) = 0

d) (2x – 3)(3x + 1) = 0

El discriminante de una ecuación cuadrática es la expresión b – 4ac, y permite determinar la naturaleza y el número de soluciones que tiene una ecuación, según sea b – 4ac positivo, cero o negativo.

• Si el discriminante es positivo, existen dos soluciones reales distintas:

x b b aca

1

2 42

= − + −

x b b aca

2

24

2= − − −

• Si el discriminante es cero, la única raíz cuadrada es cero, y se obtiene una solución única, llamada solución doble:

x x ba

1 2 2= = −

• Si el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución real, puesto que no hay ningún número real que sea raíz cuadrada de un número negativo.

Bloque 3

123

3. El área de una cartulina cuadrada es de 169 cm2. ¿Cuánto mide su perímetro?

4. El área de un terreno rectangular es de 300 m2. Halla las dimen-siones del terreno de modo que su perímetro sea de 74 m.

5. Halla las dimensiones de otro terreno rectangular de la misma área que el del problema anterior, pero de 70 m de perímetro.

6. Calcula las longitudes de las diagonales de un terreno en forma de rombo, sabiendo que difieren en 6 m y que el área del terre-no es de 216 m2.

7. Un cuadrado es un rombo cuyas diagonales tienen igual lon-gitud. Determina la longitud de las diagonales de un terreno cuadrado si su área es de 200 m2.

8. Una caja abierta de base cuadrada se construye con 340 cm2 de cartulina. ¿Cuánto mide el lado de la base si la altura mide 6 cm?

9. Luis tiene una cartulina de forma cuadrada. De cada esquina, corta un cuadrado de 5 cm de lado, y al doblar y pegar la pieza, obtiene una caja abierta de 720 cm3 de volumen. Halla las di-mensiones de la cartulina original.

10. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ La ecuación 3x2 – 8x + 5 = 0 puede resolverse con una calcu-

ladora de bolsillo, usando la fórmula cuadrática. Una manera de hacerlo consiste en seguir los siguientes pasos:

• Paso1. Calcular la raíz cuadrada del discriminante ( b ac2 4− ) y guardar el resultado en la memoria:

8 8 4x – 3 5x x M+== √

MR8 2+ ÷ ÷ 3= = =

MR 2÷ ÷ 3= =8 – =

• Paso2. Encontrar la primera solución − +b

a2:

• Paso3. Encontrar la segunda solución − −ba2

:

a) ¿Qué valor hallaste para la raíz cuadrada del discriminan-te de la ecuación, después de pulsar la secuencia de teclas del paso 1?

b) ¿Qué soluciones encontraste al pulsar la secuencia de te-clas de los pasos 2 y 3?

c) ¿Son correctas estas soluciones?

Tema 16

124

11. Usa una calculadora de bolsillo para resolver las siguientes ecua-ciones:

a) 5x2 – 7x – 12 = 0b) 3x2 + 11x – 4 = 0c) 15x2 + 19.5x + 4.5 = 0

16Teorema de Tales

Existen muchísimas aplicaciones de las pro-piedades de la semejanza de figuras al cálculo geométrico. En particular, hay una propiedad que destaca, conocida con el nombre de teore-ma de Tales, por atribuirse su autoría al matemáti-co griego Tales de Mileto, quien vivió en el siglo vi

antes de nuestra era. Este teorema se aplica principalmente al cálculo de longitudes y de distancias inaccesibles, como vere-mos en las siguientes lecciones.

16.1. ¿Qué es el teorema

de Tales?

Luis dibujó en su cuaderno de rayas dos triángulos como los que se muestran:

B

D

A

E

C

Los triángulos ADE y ABC se parecen. ¿Son semejantes?

Bloque 3

125


a) Los segmentos DE y BC son paralelos. ¿Qué relación hay entre los ángulos 1 y 2? ¿Y entre los ángulos 3 y 4? ¿Por qué?

B

D

A

E1

5

3

2 4C

b) ¿Son semejantes los triángulos ADE y ABC? ¿Por qué?c) Si los triángulos ADE y ABC son semejantes, sus lados homólogos

son proporcionales, es decir:

AB

AD

AC

AE

BC

DE= =

B

A

C

A

D E

Mide los lados de estos triángulos. ¿Cuál es el valor numérico de la razón entre sus lados homólogos?

d) ¿Cómo sería el dibujo de Luis, si la razón entre los lados homólo-

gos de los triángulos fuera 12

? ¿Y si la razón fuera 45

? Dibuja los trián-

gulos en tu cuaderno y compara tu trabajo con el de un compañero o compañera.

Tema 16

El teorema de Tales afirma: “Si los lados de un ángulo son cortados por dos rectas paralelas, la razón de los segmentos situados en uno de los lados es igual a la razón de sus correspondientes en el otro lado”.

Esta igualdad se expresa de la siguiente manera:

BC

A

B'C'

ABAB

ACAC

' '=

A continuación se presenta un ejemplo de cómo se aplica este teorema en la solución de problemas: si PQ y MN son paralelas, la longitud de LQ se calcula mediante la siguiente proporción:

MN

L

P

5

34

x

Q

LP

LMLQ

LN=

55 3 4+ =

+x

x

58 4

= +x

x

8x = 5(x + 4) 8x = 5x + 20 3x = 20

x = =203

6 23

126

1. Aplica el teorema de Tales para hallar las longitudes de los seg-mentos señalados con la letra x. (Las parejas de rectas de color son paralelas.)


7

5 6

x

5

8

7 x

x

6

12

8

30

42

x48

x

x

9

4

2. Utilicen regla y compás para realizar en equipo la siguiente actividad.

CP

D

B

A

a) b)

c)

d)

e)

Bloque 3

127

A

D

X Y

C

Z

B

8

24 36

16 24

12

a) Tracen un ángulo agudo P.b) A partir de P, en una de las semirrectas, marquen dos puntos (A y

B), de modo que PA mida 6 cm, y AB, 8 cm. Anoten junto a cada segmento la medida de su longitud.

c) En la otra semirrecta, marquen otros dos puntos (C y D), de modo que PC mida 9 cm, y CD , 12 cm. Anoten junto a cada segmento la medida de su longitud.

d) ¿Cuál es la razón entre las longitudes de PA y AB? ¿Y entre las longitudes de PC y CD? ¿Qué relación hay entre estas dos razo-nes?

e) Con el transportador, midan ∠PAC y ∠PBD. ¿Son iguales o dife-rentes estos ángulos? Comparen sus resultados con los obtenidos por otros equipos del grupo.

De hecho, los resultados que obtuvieron en esta actividad se confir-man con el siguiente teorema, llamado recíprocodelteoremadeTales: “Si los lados de un ángulo son cortados por dos rectas, de modo que la razón de los segmentos situados en uno de los lados es igual a la razón de los correspondientes en el otro, las rectas son paralelas”.

3. Aplica el recíproco del teorema de Tales para determinar si el seg-mento que une los puntos A y B es paralelo al segmento que une los puntos C y D.

C

A

16

8 15

30B

D51 C

A6

2

16

3

9B

D

4

2

14

4

36D

B

C

A

7

27C D

15

30

24 16

20

A B

a) b)

c)

d)

4. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno:

a) ¿Es XY paralela a CD?

¿Es XY paralela a AB?

¿Es ABCD un trapecio?

Tema 16

128

b) ¿Cuánto mide la altura h del triángulo que se muestra en el dibujo?

2 m8 m

h

1.5 m

2 m

10 m3 m

h

I

60 m

?

?

?

120 m

Calle Bolívar

Calle Sucre

90 m

II III

C

A B

Z

D

12

15

36

x

c) En una práctica de tiro, se coloca una barrera de 2 m de alto a 3 m de un blanco. Para disparar, el tirador debe subirse a un poste que está a 10 m del pie de la barrera. ¿Desde qué altura mínima hdebe disparar para poder dar en el blanco?

d) Tres terrenos se extienden desde la calle Sucre hasta la calle Bo-lívar. Las cuatro rectas transversales forman ángulos rectos con la calle Bolívar. Si el frente total en la calle Sucre mide 360 m, ¿cuánto mide el frente de cada terreno en esa calle?

e) En la figura, AB es paralela a CD. Alguien trató de hallar el va-lor de x mediante la siguiente proporción:

15 36 – x = 12 x

Sugiere una ecuación más conveniente. ¿Obtienes el mismo re-sultado?

Bloque 3

129

En equipo, realicen las siguientes actividades:

1. Las instrucciones siguientes les permitirán trazar, con regla y com-pás, una paralela a la recta m, que pase por el punto O fuera de la recta.

16.2. Actividades sobre el

teorema de Tales y

su recíproco

P Qm

S

R

O

• Tracen una recta m. Elige un punto P en la recta y otro O fuera de ella.

• Tracen un círculo con centro en O y radio OP . Este círculo cortará a la recta m en otro punto; llámenlo Q.

• Tracen la recta que pase por P y O. Esta recta corta a la circunfe-rencia en el punto R.

• Tracen el segmento RQ y su mediatriz. Llamen S al punto medio del segmento RQ.

• Tracen la recta OS. Esta recta es paralela a la recta m que pasa por el punto O.

a) Consideren el triángulo PQR. El punto O divide al segmento PR en dos partes. ¿Qué relación hay entre estas partes? ¿Cuál

es el valor de la razón RQRP

?

b) Construimos S como punto medio de RQ . ¿Cuál es el valor de

la razón RSRQ

?

c) ¿Pueden establecer una proporción con las razones RQRP

y RSRQ

?

¿Por qué?d) ¿Por qué puede afirmarse que la recta OS es paralela a la rec-

ta m?

Tema 16

130

e) ¿De qué manera se aplica en este problema el recíproco del teorema de Tales?

f ) En este problema, el ángulo PQR es recto. ¿Qué argumento darían para probarlo?

2. La siguiente secuencia de figuras ilustra un procedimiento para dividir un segmento en tres partes congruentes. Observen en la cuarta figura que los segmentos O’D y OC son paralelos al segmento O’’B.

O

A B A B

A B

O

O'

O''

A BDC

O

O'

O''

A BDC

a) Escriban en su cuaderno los pasos que se siguieron para dividir el segmento AB en tres partes congruentes.

b) Utilicen este procedimiento para dividir un segmento AB en cin-co, en seis y en siete partes congruentes.

c) ¿Qué argumentos geométricos darían a otro equipo para conven-cerlo de que, efectivamente, el segmento AB queda dividido en tres (o cinco, seis o siete) partes congruentes?

3. Lucero y Manuel trabajan en un edificio cuya forma se mues-tra en la ilustración. Ella trabaja en la planta baja, cuya longitud es de 37.5 m. El piso donde está Manuel está 10 m arriba del piso donde trabaja Lucero. La longi-tud del piso de Manuel es de 25 m. ¿Cuál es la altura del edificio?

37.5 m

25 m

10 m

x

Bloque 3

131

En tu cuaderno, dibuja un cuadrilátero ABCD y un punto P arriba de él, al que llamaremos centro, como puedes apreciar en la figura. (El punto P es como la fuente de luz de un proyector, y el cuadrilátero, como la transparencia de una fotografía que se va a proyectar en una pantalla.)

Prolonga los rayos PA, PB, PC y PD hasta la parte inferior de la hoja. (Los rayos son como los rayos de luz de la lámpara del proyector.)

Con tu compás, mide las distancias PA, PB , PC y PD , y marca sobre los rayos los puntos A’, B’, C’ y D’, de modo que:

PA'=2(PA), PB'=2(PB), PC'=2(PC) y PD'=2(PD)

y forma el cuadrilátero A’B’C’D’.Ahora localiza sobre los rayos los puntos A’’, B’’, C’’ y D’’, de

modo que:

1PA''= (PA) 2 ,

1PB''= (PB) 2

, 1PC''= (PC) 2 y

1PD''= (PD) 2

y forma el cuadrilátero A’’B’’C’’D’’.¿Qué relación hay entre los cuadriláteros ABCD, A’B’C’D’ y

A’’B’’C’’D’’?Toma encuenta que todos los puntos están en el plano del

papel y no en el espacio, como la imagen parece hacernos creer.

17Homotecia

En cursos anteriores estudiaste un tipo de trans-formaciones geométricas que conservan la forma y el tamaño de las figuras: rotaciones, traslacio-nes y simetrías. En la siguiente lección estudiarás un tipo distinto de transformación geométrica, que cambia el tamaño de las figuras, aunque no

su forma. Se trata de la homotecia.

17.1. Figuras semejantes en

cascada: homotecias

B'

BC

D

A'

A

A''

B'' C''

D''

P

D'

C'

P

P'

O

Tema 17

132


a) Mide los lados de los cuadriláteros A’B’C’D’ y ABCD, y halla el valor de las razones de sus lados homólogos. ¿Son iguales o diferentes estas razones?

A'B'A'B'

B'C'B'C'

C'D'C'D'

A'D'A'D'

b) ¿Los lados homólogos de los cuadriláteros son proporcionales?; es decir:

¿A'B'AB

= B'C'BC

= C'D'CD

= A'D'AD

?

c) Copia en papel transparente el cuadrilátero original. Compara los ángulos homólogos de los cuadriláteros ABCD y A’B’C’D’. ¿Son igua-les o diferentes?

d) ¿Son semejantes los cuadriláteros A’B’C’D’yABCD?e) Mide los lados del cuadrilátero A’’B’’C’’D’’ y halla el valor de las razones.

A''B''AB

B''C''BC

C''D''CD

A''D''AD

f ) ¿Los lados homólogos de los cuadriláteros A’’B’’C’’D’’ y ABCD son proporcionales?; es decir:

¿ A''B''AB

= B''C''BC

= C''D''CD

= A''D''AD

?

g) Compara los ángulos homólogos de los cuadriláteros A’’B’’C’’D’’ y ABCD. ¿Son iguales o diferentes?

h) ¿Son semejantes los cuadriláteros A’’B’’C’’D’’yABCD?

Se dice que estas figuras son homotéticas y tienen la propiedad de que sus lados homólogos son paralelos.

i) Consulta la sección No olvides que… para contestar: ¿cuál es la razón de homotecia (o el valor de k) del cuadrilátero A’B’C’D’ con respecto del cuadrilátero ABCD? ¿Y del cuadrilátero A’’B’’C’’D’’ con respecto del cuadrilátero ABCD?

j) ¿En cuál de los casos se trata de una reducción? ¿Y en cuál de una ampliación?

Si el valor de k es menor que cero (digamos, –2), tomamos el punto P’ situado a una distancia 2×OP, pero del lado de la recta donde no está P.

Bloque 3

133

acb

d

P

O

P'''P''

P'P''

O

P

P'

ab

c

Q'

P'

P

Q

O

12

Por ejemplo, la siguiente figura muestra el cuadrilátero A’B’C’D’, que es homotético del cuadrilátero ABCD en la homotecia de centro O y razón de homotecia k = –2.

A'

A

BO

C

B'

C'

D'

D

Centro dehomotecia

k) Dibuja en tu cuaderno un triángulo ABC y construye su homo-tético con centro O y k = –3.

Dos figuras semejantes, no congruentes, son homotéticas si sus lados homólogos son paralelos.

Las rectas que unen los vértices correspondientes de dos polígonos homotéticos se cortan en un punto P, llamado centro de homotecia.

En general, si OP'=kOP (donde k es un factor de ampliación o reducción), se dice que P´ es el punto homotético de P con centro O y razón de homotecia k. De esta manera:

• Si k es mayor que 1, la homotecia es una ampliación.

• Si k es mayor que 0, pero menor de 1, la homotecia es una reducción.

• Si k es menor que 0, un punto cualquiera P’ que es homotético de P con centro O, está situado a una distancia k=OP, pero del lado de la recta donde no está P.

La siguiente figura muestra un triángulo A’B’C’ que es homotético del triángulo ABC, con centro de homotecia O y razón de homotecia k = –1.

A

A'

B'

C'C O

B


1. En cada caso, el punto O es el centro de homotecia, y la figura P’Q’ es la homotética. ¿Cuál es la razón de homotecia? ¿Se trata de una ampliación o de una reducción?

Q

PP'

Q'

O

3

2

a) b)

2. En cada caso, la figura a es la original. ¿Cuál es la razón de homotecia de las demás figuras?

a) b)

Tema 17

134

4. En el cuadrilátero A’B’C’D’, los lados A’B’ y B’C’ miden 4 y 7 cm, respectivamente.

3. Se ha hecho una reducción de la imagen del lápiz y una ampliación de la vela. ¿Cuál es el valor de x en cada caso? ¿Cuál es la razón de homotecia?

x 3

6

24

x5

6

34

1

3

B C

x

A

A' D'

B' C'D

a) Halla el perímetro de ABCD.b) Halla el área de ABCD.c) Calcula los siguientes cocientes:

A'B'AB

B'C'BC

C'D'CD

A'D'AD

d) ¿Qué relación hay entre los ángulos A’B’C’ y ABC?e) ¿El cuadrilátero A’B’C’D’ está a escala con respecto del cuadrilá-

tero ABCD? Si es así, ¿cuál es la escala?

a) b)

Bloque 3

Rectángulo A B C D

Base(cm) 1 1.5 2.8 0.5

Altura(cm) 3

135

La siguiente tabla muestra algunas dimensiones de cuatro rectán-gulos que tienen la misma área (6 cm2).

18Gráficas de funciones lineales y no lineales

Una imagen dice más que mil palabras. Esta frase, que los publicistas aceptan como una verdad absoluta, en Matemáticas también es válida, sobre todo cuando se trata de describir mediante una gráfica la función que liga a dos conjuntos de cantidades. En las siguientes leccio-

nes aprenderás a interpretar y construir gráficas de funciones lineales y no lineales.

18.1. Algunos ejemplos de gráficas

de funciones lineales y no lineales

Te sugerimos leer:

“Descartes y las coordenadas”, en De la Peña, J. A., Geometría y el mundo, pp. 22-23.

5 cm

1.2 cm

3 cm

1 cm

En esta otra tabla se hace lo mismo con rectángulos cuyo perímetro es de 8 cm.

Rectángulo P Q R S

Base(cm) 5 2.5 1 4

Altura(cm) 1.2

Completa las tablas y contesta: ¿qué relación hay entre las medidas de las bases y las alturas de rectángulos que tienen la misma área? ¿Y entre las de los rectángulos que tienen el mismo perímetro? ¿Qué forma tienen las gráficas que representan estas relaciones?

Tema 18

136


a) En el caso de los rectángulos P, Q, R y S, si conoces la medida de una de las dimensiones de esos rectángulos, ¿cómo calculas la otra?

b) Si designas con la variable x la medida de la base, y con la variable y, la medida de la altura, ¿cómo expresas simbólicamente el área (6 cm2) de los rectángulos P, Q, R y S? ¿Y el perímetro (8 cm) de los rectángulos A, B, C y D?

c) ¿Qué fórmula expresa la relación entre la altura y la base de los rec-tángulos de área 6 cm2? ¿Y la relación entre la altura y la base de los rectángulos cuyo perímetro es 8 cm?

d) Usa los datos de las tablas anteriores para ubicar en el plano carte-siano los puntos que representan la relación entre las dimensiones de los rectángulos en uno y otro caso.

x

Base(encm)

Alt

ura

(en

cm

)

y

3

3

6

9

12

0 6 9 12

e) Une con una línea continua los puntos P, Q, R y S. Haz lo mismo con los puntos A, B, C y D. ¿En cuál de los dos casos la línea es recta? ¿En cuál es curva?

f ) Utilizando la primera gráfica, ¿cómo puedes estimar la medida de la altura de un rectángulo T de 6 cm2 de área y cuya base mide 0.6 cm? Compara tu respuesta con la de un compañero o compañera.

g) Utilicen la segunda gráfica para estimar la medida de la altura de un rectángulo Z de 6 cm de perímetro y 2.3 cm de base?

Rectángulos de 6 cm2 de área

Rectángulos de 8 cm de perímetro

xBase(encm)

Alt

ura

(en

cm

)

y

3

3

6

9

12

0 6 9 12

Bloque 3

137

1. En cada caso, completen la tabla de valores y tracen la gráfica que representa la relación entre las variables:

a) Longitud de una circunferencia

La relación de dependencia entre una magnitud y otra puede manifestarse de distintas maneras y en contextos variados, dando lugar a expresiones algebraicas y representaciones gráficas diferentes.

Por ejemplo, la siguiente situación puede representarse mediante una curva llamada hipérbola:En un viaje de k kilómetros a la playa, cuanto más rápido se maneje, menos tiempo se tarda para llegar allí. En esta situación hay dos cantidades que pueden variar: la velocidad promedio (r) y el tiempo (t).

La relación entre el tiempo t y la velocidad promedio r puede ser descrita por una función de la forma: kt = r

en donde el tiempo t es inversamente proporcional a la velocidad promedio r;k es la constante de variación y puede ser un número cualquiera, y r es diferente de cero.

Si el viaje es de 150 km, la función es 150t = r y su representación gráfica es la siguiente:

r

t


x

radio(encm)

Lon

gitu

dde

laci

rcu

nfe

ren

cia

(en

cm

)

y

5

35

0

xLado(encm)

Áre

a(e

nc

m2 )

y

4

4

8

12

16

0

b) Área de un cuadrado

Medidadelradio(cm) 0 1 2 3 4 5

Longituddelacircunferencia(cm)

Medidadellado(cm)

0 1 2 3 4

Área(cm2)

Tema 18

138

c) Volumen de un cubo

Medidadelaarista(cm)

0 1 2 3 4 5

Volumen(cm3)

xArista(encm)

Vol

um

en(

enc

m3 )

y

5

20

40

60

80

120

100

0

xÁreadelabase

(encm2)

Alt

ura

(en

cm

)

y

5 10

5

10

0

d) El volumen de un prisma es 10 cm3

Áreadelabase(cm2)

1 2 3 4 5 10

Altura(cm)

2. ¿En cuáles de las funciones definidas en la actividad anterior ocurre lo que enseguida se menciona?

a) Si al aumentar el valor de una de las variables el de otra también aumenta, la gráfica de la función se eleva por la derecha.

b) Si al aumentar el valor de una de las variables el de la otra disminuye, la gráfica baja por la derecha.

c) Si el valor cero de una de las variables hace que el de la otra también sea cero, la gráfica contiene al origen del plano cartesiano.

d) Si a incrementos iguales de una de las variables le corresponden incrementos iguales en la otra, la gráfica es una recta.

Bloque 3

139

1. En cada caso, elijan la gráfica que mejor se conecta con la tabla y anoten una en el recuadro correspondiente. Al terminar, comparen sus respuestas con las obtenidas por otros equipos del grupo.

a) ¿Cuánto tiempo se requiere para que se cueza un pavo?

18.2. Actividades sobre gráficas

de funciones lineales

y no lineales

x

y

Peso Peso

Lon

gitu

d

Lon

gitu

d

y

x

x

y

Edad Edad

Nú

mer

o de

sobr

eviv

ien

tes

Nú

mer

o de

sobr

eviv

ien

tes

y

x

b) ¿Qué tanto crece un niño antes de nacer?

Peso(kg) 3 4 5 6 7 8 9

Tiempodecocción(horas)

12 2 3 13 2 4 14 2 5 15 2

Nota: Supongan que el eje horizontal empieza en 3.

Edad(meses)

2 3 4 5 6 7 8 9

Longitud(cm)

4 9 16 24 30 34 38 42

c) ¿Cuál es la esperanza de vida?

Edad(años) 0 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Númerodesobrevivientes

1000 979 978 972 963 950 913 808 579 248 32 1

x

y

Peso Peso

Tiem

po

Tiem

po

y

x

Tema 18

140

2. Alicia viaja por carretera a una velocidad constante de 75 km por hora.

a) Completa la tabla de valores y traza la gráfica que represente la relación entre la distancia recorrida y el tiempo.

xTiempo(horas)

Vel

ocid

ad(

km/h

)

y

4

100

200

300

0

Tiempo(horas) 0 1 2 3

Distanciarecorrida(km)

b) Completa la tabla de valores y traza la gráfica que representa la relación entre la velocidad y el tiempo.

Tiempo(horas) 0 1 2 3 4

Velocidad(km/h)

xTiempo(horas)

Dis

tan

cia

(km

)

y

4

100

200

300

0

Bloque 3

141

La gráfica de la función y = x2 es una curva que llamaremos parábo-la; esta parábola pasa por el origen del plano cartesiano. La siguiente tabla presenta algunos valores de las variables de esta función.

19Relación entre la fórmula de una función y su representación gráfica

¿En qué se diferencian las fórmulas de las

funciones y = x4, y = 5x4 y 1Y = x4

2 ? ¿Y en qué se

diferencian las fórmulas de las funciones y = x4, y = x4 + 2 y y = x + 3? ¿De qué manera se manifies-

tan estas diferencias en las gráficas de estas funciones? En las siguientes lecciones se aborda esta cuestión.

19.1. Comparando las gráficas de las

funciones y = ax2, y =ax3 y y =ax4

Te sugerimos leer:

“Funciones y polinomios”, en Bosch, C. et al., Una ventana a las incógnitas, pp. 56-57.

x

y

4–4

4

8

12

16

0

y = x2

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

y = x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16

¿Cómo son las gráficas de las funciones y = x3 y y = x4 con respecto de la de y = x2? ¿En qué se parecen? ¿En qué son diferentes?

Tema 19

142


a) En la función y = x2, cada valor de y se calcula elevando al cuadrado el valor de x. ¿Cómo se calcula cada valor de y en la función y = x3?

b) Completa la siguiente tabla de valores de la función y = x3, para va-lores de x ≥ 0.

x

y

5

10

2

20

16

30

40

50

60

0

x 0 1 2 3 4 10

y = x3

c) Utiliza los datos que obtuviste en la tabla anterior para ubicar los puntos correspondientes en el plano cartesiano de la derecha, en el cual está dibujada una rama de la parábola. (Nota que se cambió la escala del eje y.)

d) ¿Qué diferencias observas entre la gráfica de la función y = x2 y la de y = x3, cuando el valor de x aumenta? ¿Cuál de las dos gráficas sube más rápido?

e) ¿Sucederá lo mismo cuando el valor de x disminuye? Completa la siguiente tabla de y = x3, para valores negativos de x.

f ) ¿Cómo son los valores de x3 cuando los de x son negativos? Utiliza los cuatro primeros valores de esta tabla para completar la gráfica de y = x3 en el plano cartesiano de la derecha.

g) ¿Qué diferencias observas entre la gráfica de la función y = x2 y la de y = x3, cuando los valores de x son negativos?

h) Observa los puntos de la gráfica de y = x3 donde el valor de la abscisa es 10 y donde es –10. ¿Cuál de esos dos puntos está más lejos del eje x?

i) ¿Encuentras algunas semejanzas entre las gráficas de las funciones anteriores? ¿Cuáles?

j) Compara ahora las gráficas de las funciones y = x2, y = x3 y y = x4. Para ello, completa la siguiente tabla de valores de la función y = x4 y traza su gráfica en el plano cartesiano de la derecha. ¿Qué semejanzas y diferencias encuentras entre las tres gráficas?

x 0 –1 –2 –3 –4 –10

y = x3

x –10 –3 –2 –1 0 1 2 3 10

y = x4

– 5 – 2

– 10

– 16

– 20

– 30

x

y

5

10

2

20

16

30

40

50

60

0

Bloque 3

143

La forma de la gráfica de y = x3 es muy parecida a la de y = x2, cuando x ≥ 0, pero sube más rápido conforme x se hace mayor. Cuando x < 0, los valores de x3 son los negativos de los correspondientes a x > 0, por lo que la gráfica tiene la siguiente forma:

x

yy = x3

y = x2

Las gráficas de y = x4 y de y = x2 son simétricas con respecto al eje y y también son muy parecidas . Observa:

x

yy = x 4

y = x2

1. Completa la siguiente tabla para los valores de las funciones y = 2x3 y y = 3x3. ¿De qué manera están relacionados los valores de estas funciones con los de y = x3?


x –10 –4 –2 –1 0 1 2 4 10

y = 2x3

y = x3 –1000 –64 –8 –1 0 1 8 64 1000

y = 3x3

a) Utiliza los valores anteriores para trazar las gráficas de y = x3, y = 2x3 y y = 3x3 en el plano cartesiano.

x

y

b) Para trazar estas gráficas, ¿qué escala tuviste que utilizar en cada uno de los ejes del plano cartesiano?

c) ¿Qué valor tiene cada una de estas tres funciones cuando el de x es 4? ¿Y cuando es – 4? ¿Cómo se manifiesta este hecho en las gráficas de estas funciones?

Tema 19

144

d) ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las gráficas de las fun-ciones y = 2x3, y = 3x3 y y = x3?

e) ¿Cómo crees que sería la gráfica de la función y 1y = x3

2? ¿En qué

razones basas tu suposición? Coméntalas con un compañero o compañera.

2. ¿En qué se parecen las gráficas de las funciones y = 2x4, y = 3x4,

1y = x4

2 y y = x4? ¿En qué se diferencian? Comenta tu respuesta con

un compañero o compañera.

3. Verifiquen la suposición que acaban de hacer. Para ello, completen la siguiente tabla de valores de estas funciones y tracen las gráficas correspondientes en un mismo plano cartesiano.

x

y

0 5–5

50

100

150

150

100

50

x

y

4. ¿Cuál de las gráficas de la derecha corresponde a la función y = 2x2?

¿Cuál corresponde a la función 1y = x2

2? ¿Por qué?

x y = x4 y = 2x4 y = 3x4 1y = x4

2

–10

–3

–2

–1

0

1

2

3

10

Bloque 3

145

La siguiente ilustración muestra la gráfica de la función y = x2:

19.2. Gráficas que suben

o bajan

x

yy = x2

¿Cómo son las gráficas de y = x2 + 2 y y = x2 – 2 con respecto a la gráfica de y = x2? ¿En qué se parecen? ¿En qué son diferentes?


a) Completa la tabla de valores de las funciones y = x2 + 2 y y = x2 – 2:

x –10 –3 –2 –1 0 1 2 3 10

y = x2 + 2

y = x2 100 9 4 1 0 1 4 9 100

y = x2 – 2

b) ¿De qué manera están relacionados los valores de las fun-ciones y = x2 + 2 y y = x2 – 2, con los de y = x2?

c) Traza las gráficas de y = x2 + 2 y y = x2 – 2, en el plano cartesia-no de la derecha en que ya está dibujada la gráfica de y = x2.

d) ¿En qué se parecen las tres gráficas? ¿En qué se diferencian?e) ¿Qué punto del eje y corta cada una de estas gráficas?

¿Cuántos puntos del eje x corta cada una de ellas?f ) ¿En qué punto del plano tiene su vértice cada parábola?

¿Cuántas unidades separan a estos vértices? g) Las funciones y = x2 + 2 y y = x2 – 2 se obtienen, respecti-

vamente, sumando o restando 2 a la función y = x2. ¿Qué efecto tiene sobre la gráfica de y = x2 el hecho de haberle sumado o restado ese número?

h) ¿Cómo sería la gráfica de la función y = x2 + 5 con res-pecto de la de y = x2? Compara tu respuesta con la de un compañero o compañera.

x

y

0 4– 4

10

– 3

Tema 19

146

1. La siguiente figura presenta la gráfica de la función y = x4. Di-buja sobre el mismo plano cartesiano las graficas de las funciones y = x4 + 1 y y = x4 – 1.

Las gráficas de y = x2 + c, y = x3 + c, y = x4 + c,… son, respectivamente, las de y = x2, y = x3, y = x4,… trasladadas c unidades hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si c es positiva o negativa. Por ejemplo:

x

y

0 4– 4

3

– 3

Las gráficas de y = x2 + 3 y de y = x2 – 3 son la de y = x2: la primera trasladada 3 unidades hacia arriba, y la segunda, 3 unidades hacia abajo.


x

y

0 4–4

8

16

–2

y = x4

2. La gráfica marcada con letra A que presenta la siguiente figu-ra corresponde a la función y = x3. ¿A qué función correspon-de la marcada con la letra B?

x

y

3

AB

– 3

Bloque 3

147

3. La gráfica marcada con la letra A que presenta la siguiente figura, corresponde a la función y = x3. ¿A qué función corresponde la mar-cada con la letra B?

x

y

3– 3

A

B

4. La ilustración muestra las gráficas de cinco funciones. Anota en cada recuadro la letra de la función que le corresponde.

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

a) y = x2

b) y = 2x2

c) 1y = x2

2

d) y = 2x2 – 10

e) 1y = x2 – 10 2

Tema 19

148

La siguiente ilustración muestra la gráfica de la función y = x2:

19.3. Gráficas que se mueven a la

derecha o a la izquierda

4

y

x0 4– 4

¿Hay alguna relación entre la gráfica de y = x2 y la de y = (x – 4)2? ¿Puede obtenerse la gráfica de y = (x – 4)2 a partir de la de y = x2? ¿De qué manera?


a) Compara las tablas de valores de las funciones y = (x – 4)2 y y = x2 que se presentan a continuación. ¿Qué tienen en común? ¿Qué diferen-cias encuentras entre ellas?

x –2 –1 0 1 2

y = x2 4 1 0 1 4

x 2 3 4 5 6

y =(x – 4)2 4 1 0 1 4

b) Traza la gráfica de y = (x – 4)2 en el plano cartesiano en que ya está dibujada la gráfica de y = x2.

4

0 2 4 6 x

y

Bloque 3

149

c) ¿Observas alguna relación entre estas gráficas? ¿Cómo puedes obtener la gráfica de y = (x – 4)2 si conoces la de y = x2?

d) Usa el plano cartesiano para trazar ahora la gráfica de y = (x + 4)2

a partir de la siguiente tabla de valores.

x –6 –5 –4 –3 –2

y =( x + 4)2 4 1 0 1 4

4

6

2

0– 2 2– 4– 6 x

y

e) Hay alguna relación entre estas dos gráficas? ¿Cómo puedes obtener la gráfica de y = (x + 4)2 si conoces la de y = x2?

f) ¿En qué punto del plano tiene su vértice cada una de las tres parábolas? ¿Cuántas unidades separan a estos vértices?

g) ¿Cómo sería la gráfica de la función y = (x + 5)2 con respecto de la gráfica de y = x2? ¿Cómo sería la gráfica de la función y = (x – 5)2? Compara tus respuestas con las de un compañero o compañera.

La gráfica de y = (x + b)2 es la de y = x2 trasladada b unidades a la derecha o a la izquierda, dependiendo de si b es negativa o positiva. Por ejemplo:

4

6

2

0 3 5–3–5 x

y

y = (x+3)2y = (x–3)2y = x2

Las gráficas de y = (x + 3)2 y de y = (x – 3)2 son la de y = x2: la primera trasladada 3 unidades a la izquierda, y la segunda, 3 unidades a la derecha.


1. La siguiente figura presenta la gráfica de la función y = x2. Dibuja sobre el mismo pla-no cartesiano las gráficas de las funciones y = (x + 1)2 y y = (x – 1)2.

2

6

4

2

0–2

–2

y

x

Tema 19

150

2. Dibuja ahora sobre el siguiente plano cartesiano las gráficas de las funciones y = (x + 1)2 + 1 y y = (x – 1)2 – 1.

4

6

3

0–4

–3

y

x

a) ¿En qué punto del plano tiene su vértice cada una de las tres pa-rábolas anteriores? ¿Cuántas unidades separan a estos vértices?

b) ¿Qué punto del eje y corta cada una de estas gráficas? ¿Cuántos puntos del eje x corta cada una de ellas?

3. La figura muestra las gráficas de cuatro funciones. Anota en cada recuadro la letra de la función que le corresponde.

x

y

x

y

x

y

x

y

a) y = x2

b) y = (x – 3)2

c) y = (x – 3)2 + 2

d) y = (x – 3)2 – 2

Bloque 3

151

¿Cuál es la representación gráfica de la función y = x2 – 4x + 5?

19.4. Gráficas de funciones

cuadráticas

x

yy x2

¿Puede obtenerse la gráfica de esa función a partir de la de y = x2? ¿Hay alguna relación entre ellas?


a) ¿La expresión x2 – 4x + 5 se parece al desarrollo de algún producto notable (en particular, al cuadrado de un binomio)? ¿A cuál?

b) ¿De qué manera puede representarse la expresión x2 – 4x + 5 en la forma (x + b)2 + c? ¿Cuál sería el valor de b y cuál el de c?

c) ¿Qué movimientos tienes que hacer a la gráfica de y = x2 para obte-ner la que corresponde a la función y = x2 – 4x + 5?

d) Traza la gráfica en el siguiente plano cartesiano para verificar tu su-posición.

y x2

5

6

– 2

0– 3

y

x

Tema 19

152

1. Anota en cada recuadro la letra de la función que le corres-ponde.

Para trazar la gráfica de una función de la forma:

y = x2 + 6x + 8, se requiere expresarla en la forma:

y = (x + b)2 + c.

Esto se consigue completando el trinomio cuadrado perfecto. (Repasa el tema 15.1.) Observa:y = x2 + 6x + 8

Restamos 8 a cada miembro.y – 8 = x2 + 6x

Completamos el trinomiocuadrado perfecto.

y – 8 + 9 = x2 + 6x + 9Simplificamos el primer miembroy factorizamos el segundo.

y + 1 = (x + 3)2

Restamos 1 a cada miembro.y = (x + 3)2 – 1

Por tanto, la gráfica de la función y = x2 + 6x + 8 es la de y = x2 trasladada 3 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia abajo.Las coordenadas del vértice de la parábola son: (–3, –1).

3

5

0– 5

y

x

y x2y (x 3)2 1


x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

a) y = (x + 3)2

b) y = (x – 3)2

c) y = (x + 3)2 – 2

d) y = (x – 3)2 + 2

e) y = x2 + 1

f ) y = x2 – 1

Bloque 3

153

2. En cada caso, traza la gráfica de la función cuadrática e indica cuáles son las coordenadas del vértice.

42

2

4

6

0– 4– 8

y

x

a) y = x2 + 8x + 17

2

2

4

– 4

0– 2– 4

y

x

b) y = x2 + 4x + 3

3 6

3

– 3

0– 3

y

x

c) y = x2 – 6x + 10

84

3

0– 2

– 3

– 6

y

x

d) y = x2 – 10x + 20

Tema 19

154

c) ¿Qué punto del eje y corta cada una de estas gráficas? ¿Cuán-tos puntos del eje x corta cada una de ellas? (Sugerencia: expresa cada función en la forma y = x2 + bx + c.)

d) ¿En qué punto del plano tiene su vértice cada parábola? ¿Cuántas unidades separan a estos vértices?

3. Traza las gráficas de las siguientes funciones.

6

9

0–3

–2

y

x

7

7

0–4

–10

y

x

b) y = (x – 1)(x – 3)a) y = (x – 4)(x + 2)

Con una pistola de resorte se lanza una pelota de béisbol en direc-ción vertical hacia arriba. La pelota sale al nivel de la plataforma con una velocidad inicial de 14.7 m/s y la altura que alcanza está determi-nada por la fórmula:

y = – 4.9t2 + 14.7t

en donde t representa el tiempo en segundos a partir del momento en que fue lanzada, y y representa la altura en metros que alcanza. ¿Cuánto tarda en caer al nivel de dicha plataforma?

19.5. Interpretación de la gráfica

de una función cuadrática

1 m

Bloque 3

155


a) C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Registra en la tabla de la derecha la altura que alcanza la pelota cada medio segundo, desde 0 hasta 3.5 segundos. Puedes auxiliarte con una cal-culadora.

b) Cuando t = 0, el valor de y también es igual a 0. ¿Qué interpretación le das a este hecho? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

c) De acuerdo con la información que proporciona la tabla, cuando t = 0.5, el valor de y es igual a 6.125. ¿Qué significa este hecho?

d) Cuando la pelota aún no ha sido disparada, ¿cuál es el valor de y? ¿Por qué?

e) ¿Cuánto tarda la pelota en caer al nivel de la plata-forma?

f ) La siguiente gráfica relaciona la altura (y) que alcanza la pelota en cada momento (t). Se ha trazado a partir de los datos de la tabla an-terior. Junto a los puntos marcados con las letras A, B, C, D, E, F y G, anota el par de valores (t, y) que les corresponden.

0 1

12

10

8

6

4

2

2 3

Segundos

Met

ros

A

B

C ED

F

Gt

y

g) En la parábola hay dos puntos en los que la ordenada y es 0. ¿Qué representa cada uno?

h) Plantea y resuelve la ecuación cuadrática que permite hallar el mo-mento en que la pelota cae al nivel de la plataforma.

i) En la parábola hay un punto en el que la ordenada y alcanza el ma-yor valor, y éste representa la altura máxima alcanzada por la pelota. ¿Cuál es esa altura máxima y en qué momento ocurre?

Tiempo (t)

Operación Altura (y)

0 – 4.9(0)2 + 14.7(0) 0

0.5 – 4.9(0.5)2 + 14.7(0.5) 6.125

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tema 19

156

y

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Por ejemplo, la siguiente parábola es la gráfica de la función y = x2 + 3x – 4.

0

2

8

y

6

4

x5– 5 – 2

– 4

– 7

3

Los puntos en los que la gráfica corta al eje de las x (es decir, en donde y = 0) determinan las raíces o soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0. En este caso, las raíces de la ecuación x2 + 3x – 4 = 0 son: x1 = –4 y x2 = 1.

Cuando el coeficiente del término cuadrático es positivo (como en la función y = x2 + 3x – 4), la gráfica tiene un mínimo, que es su punto más bajo. En este caso, las coordenadas del mínimo son: (–1.5, –6.25).

Cuando ese coeficiente es negativo (como en la función del problema inicial, y = –4.9t2 + 14.7t), la gráfica tiene un máximo, es decir, su punto más alto. En esta función, el máximo es 11.025 m y ocurre en el segundo 1.5.


1. Se deja caer una piedra en un pozo. Haz una gráfica que descri-ba su movimiento, sabiendo que la ecuación de esa parábola es y = –4.9x2, en la que x es el tiempo medido en segundos, y y repre-senta los metros descendidos por la piedra.

Tiempo x 0 1 2 3 4

Distancia y

a) ¿Cuántos metros desciende la piedra durante el primer se-gundo?

b) ¿Cuántos metros habrá descendido la piedra a los 2 minutos de haber sido soltada?

c) ¿La piedra recorre la misma distancia durante el primer segundo que durante el siguiente?

d) ¿Cuál es la profundidad del pozo, si la piedra ha tardado exactamente 2.5 segundos en recorrerlo?

2. Al patear con cierta fuerza un balón de futbol, su trayecto-ria describe una parábola.

a) Completa la tabla y traza la gráfica de su movimiento, sa-

biendo que la ecuación de esta parábola es x2y = +x 36

, en

Bloque 3

157

donde x es la distancia horizontal que recorre el balón, y y es la altura que alcanza sobre el suelo.

La gráfica de una función cuadrática te permite conocer, además, el número de raíces o soluciones que tiene una ecuación, así como la naturaleza de éstas.

x

y

x

y

Raíz Raíz

Raíz

Raíz

Dos soluciones o raícesdistintas

Discriminante positivo

Discriminante cero

Una sola solucióno una raíz doble

x

y

x

y

Dobleraíz

Dobleraíz

Discriminante negativo

Sin solución

x

y

x

y

6 3630241812

10

0

y

x

b) ¿A qué distancia del punto en que fue pateado, el balón vuel-ve a tocar el suelo?

c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el balón?d) ¿A qué distancia sobre la horizontal, desde el punto en que

fue pateado el balón, puede estar éste, si sabemos que se lo-caliza a una altura de 8 m?

3. Juan Rompebardas, bateó la pelota a 3.5 pies de altura, y la manda a volar hacia el jardín central describiendo una curva que es casi una parábola, cuya ecuación es:

h = 0.005x2 – 2x +3.5

donde x es la distancia horizontal (en pies) que recorre la pelota des-de la caja de bateo, y h es la altura (en pies) que alcanza la pelota en cada instante.

a) ¿Qué distancia horizontal habrá recorrido la pelota cuando al-canza una altura de 8 pies? (Ayuda: debes resolver la ecuación 0.005x2 – 2x + 3.5 = 8.)

b) Las soluciones de la ecuación cuadrática anterior representan los dos momentos en que la pelota está a 8 pies de altura. ¿Cuál solución representa el primer momento y cuál el segundo? ¿Por qué? Comenta con un compañero o compañera las razones en que basas tu respuesta.

x 0 6 12 18 24 30 36

y

Tema 20

158

c) Para que Juan Rompebardas se haya “volado la barda”, la pe-lota deberá recorrer al menos 400 pies. ¿Lo habrá logrado el pelotero?

3.5 pies

400 pies

8 pies

Imaginemos que una isla volcánica surgió en el año 1900 y que, poco a poco, diversas especies de aves fueron habitándola. El número de especies que la han habitado se da en la siguiente tabla:

20Interpretación de gráficas formadas por secciones rectas y curvas

¿Cómo pueden describirse, mediante gráfi-cas, las variaciones que se observan en algunos fenómenos como el desplazamiento de un auto-móvil que cambia de velocidad, o los cambios ecológicos que ocurren en una región? En situa-ciones como éstas, las gráficas formadas por

secciones rectas y curvas resultan muy útiles, como veremos en esta lección.

20.1. Algunos ejemplos de gráficas

formadas por secciones rectas

y curvas

Te sugerimos leer:

“Gráficas de funciones” y otros temas, en Hernández Garciadiego, C., Matemáticas y deportes, pp. 26-27.

Año 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960

Númerodeespecies

0 1 5 17 30 30 30

Bloque 3

159

¿Cuál de las siguientes gráficas muestra esta situación? (Se trata de que elijas la gráfica que, en tu opinión, se ajusta mejor a los datos que se dan, y no de que traces un plano cartesiano y dibujes en él punto por punto.)

y

x x

y

x

y


a) ¿Los incrementos en el número de años son iguales o diferentes? ¿Los incrementos en el número de especies de aves son iguales o di-ferentes? ¿Hay alguna relación entre los valores de estas variables?

b) ¿Alguna de las gráficas muestra la estabilidad en el número de espe-cies de aves en varios años?

c) ¿Hay algunos datos de la tabla que te ayuden a identificar la gráfica que le corresponde?

d) ¿Hay algunos puntos de la gráfica que puedas asociarlos con algunos datos de la tabla?

e) ¿Hay alguna relación entre los valores de las variables de la tabla, que te ayude a identificar la gráfica que le corresponde? Comenta tus respuestas a estas preguntas con un compañero o compañera.


1. Imagina ahora que, por alguna razón, a partir de 1960, algunas de esas especies fueron abandonando la isla. El número de especies que han quedado se da en la siguiente tabla.

y

x

Año 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

Númerodeespecies

30 29 25 13 12 10 10 10 10

A la derecha traza la gráfica que muestre esta situación.

Tema 20

160

2. Sin trazar punto por punto, elige la gráfica que mejor represente el fenómeno descrito en la siguiente tabla.

¿Cuál es el estado de la sangre después de tomar tres vasos de cerveza?

x

y

x

y

Tiempo

Dis

tan

cia

x

y

Tiempo

Dis

tan

cia

x

y

3. Un bumerang es un objeto de madera, doblado por el centro, de modo que lanzado con movimiento giratorio, puede volver al punto de par-tida. ¿Cuál de las dos gráficas Distancia contraTiempo representa mejor el fenómeno que se observa al lanzar un bumerang?

Tiempo(horas) 1 2 3 4 5 6 7

Alcoholenlasangre(mg/100ml)

90 75 60 45 30 15 0

4. A continuación se describen dos situaciones. ¿Cuál de ellas se ajusta más a la información que proporciona la gráfica?

Tiempo

Vel

ocid

ad

x

y

• Cuando Carmen fue a visitar a su amiga Teresa, caminó un rato, bajó por una pendiente y luego subió otra. Finalmente, caminó en un terreno plano y tocó la puerta de la casa de Teresa.

• Carmen conducía su coche a cierta velocidad. Un agente de trán-

Bloque 3

161

sito le pidió que se detuviera y, después de recibir la infracción, continuó su camino, esta vez respetando el límite de velocidad.

5. Toma en cuenta el volumen del recipiente que se está llenando con un líquido. ¿Cuál de las dos gráficas Volumen contra Altura re-presenta mejor el fenómeno?

Altura

Vol

um

en

h

v

Altura

Vol

um

en

h

v

h

6. En cada caso, traza la gráfica Volumen contra Altura que repre-sente el fenómeno de llenado del recipiente formado por dos partes cilíndricas.

h

Altura

Vol

um

en

h

v

h

Altura

Vol

um

en

h

v

7. Elabora una tabla de valores que podría corresponder a cada una de las siguientes gráficas. Reúnete con un compañero o compañera para realizar la actividad. Al terminar, comparen sus respuestas con las de otros equipos del grupo.

a)

x

y x

y

b)

x

y x

y

Tema 20

162

c)

x

y x

y

d)

x

y x

y

e)

x

y x

y

f )

x

y x

y

g)

x

y x

y

h)

x

y x

y


BLOQUE 4

1. Representen algebraicamente el

término general, lineal o cuadrático, de

una sucesión numérica o con figuras.

2. Resuelvan problemas que impliquen el

uso del teorema de Pitágoras y razones

trigonométric

as.

3. Resuelvan problemas que impliquen el

uso de procedimientos recursiv

os, tales

como el crecimiento poblacional o el

interés sobre saldos in

solutos.

Que los alumnos:

163

Muchas aplicaciones de la trigonometría implican cantidades que tienen magnitud y dirección, como las fuerzas, velocidades, aceleraciones y desplazamientos. Un ejemplo de lo anterior es el problema típico de aeronáutica, que consiste en calcular, por ejemplo, la velocidad resultante y el ángulo de dirección del vuelo de un avión cuya velocidad en aire tranquilo es de 400 km por hora, que vuela en dirección Este en un viento que sopla de norte a sur a 100 km por hora. Los conocimientos de trigonometría permiten encontrar que el avión navega con una velocidad de 412 km por hora y su curso es de 104°. La ilustración muestra el uso de las rectas norte-sur y este-oeste para hallar los ángulos de dirección de la navegación aérea, los cuales se miden en el sentido de las manecillas del reloj.

BLOQUE

4

Forma un equipo de cuatro compañeros. Construyan un goniómetro y una cinta métrica de 20 metros. Usen estos instrumentos para medir la altura de algunos edificios, casas y árboles de su comunidad que les parezcan interesantes.

P Proyecto

¿Quiénes utilizan la trigonometría?

E

N

S

104°

NN30°

Rumbo aeronáutico de 320° Viento de 30°

164

Bloque 4

165

21El método de diferencias en la resolución de problemas de sucesiones

Ya has resuelto problemas en los que se trata de predecir el término que sigue en una suce-sión como ésta: 6, 13, 20, 27, 34, ___ ,… También sabes hallar la expresión algebraica que permite conocer los números que faltan en una sucesión como la anterior. Sin embargo, hay sucesiones

que pueden presentar mayor dificultad para hallar el número siguiente, como en: 5, 11, 21, 35, 53,… En estos casos puede aplicarse el llamado método de diferencias, que estudiaremos en las siguientes lecciones.

21.1. Patrones numéricos

y de figuras

Te sugerimos leer:

“Números figurados”, en Ruiz, C. et al., Crónicas geométricas, pp. 20-21.

¿Cuál es el número que sigue de 53 en la sucesión 5, 11, 21, 35, 53,…?


a) ¿Cuál número supones que viene después del 53 en esta sucesión? ¿Tu compañero o compañera propone una respuesta diferente? ¿En qué razones basan ambos sus respuestas?

b) Para decidir cuál es el término que sigue de 53, puedes iniciar la bús-queda de un patrón tomando en cuenta las diferencias entre térmi-nos sucesivos; esto es, resta el primer término del segundo término, el segundo término del tercero, el tercero del cuarto, y así, sucesiva-mente:

511213553?

11 − 5 = 621 − 11 = 1035 − 21 = 1453 − 35 = 18

¿Qué patrón observas que se forma en la segunda columna de dife-

rencias: 6, 10, 14, 18,…? Para que este patrón continúe, ¿qué núme-ro debe venir después del 18?


Tema 21

166

c) Repetimos el proceso con la sucesión que obtuvimos:

511213553?

6101418

4444

Para que el patrón continúe en la tercera columna, ¿qué número debe venir después del 18 en la segunda columna? ¿Qué número debe venir después del 53 en la primera columna?

A este método de encontrar términos faltantes de una sucesión se le llama método de diferencias.

Cuando se tiene una sucesión numérica una manera de determinar cuál es el número que sigue, es aplicando el método denominado método de diferencias o de diferencias sucesivas.

Por ejemplo, para hallar el término que sigue de 35 de la sucesión: 1, 5, 12, 22, 35,… mediante este método, restamos el primer término del segundo, el segundo del tercero, el tercero del cuarto, y así, sucesivamente:

47

1013

15

122235

1. En cada caso, completa los procesos de encontrar el sexto término de la sucesión:

a) 3, 6, 11, 18, 27, ,…

36111827

b) 4, 13, 28, 49, 76, ,…

413284976

2. Para cada una de las siguientes sucesiones, halla los términos sexto y séptimo:

a) 4, 8, 14, 22, 32, , ,…

48142232

b) 3, 3, 5, 9, 15, , ,…

335915

Bloque 4

167

3. El matemático griego Pitágoras estudiaba, entre otras cosas, los llamados números figurativos, los cuales se representan por puntos en arreglos triangulares, cuadrados, pentagonales, etc. Así, los primeros cuatro números pentagonales son 1, 5, 12 y 22, como se muestra en la siguiente ilustración. ¿Cuál es el quinto número pentagonal?

Númerospentagonales

1 5 12 22

a) ¿Percibes algún patrón que permita encontrar el quinto número pentagonal a partir de los cuatro primeros? ¿En qué consiste ese patrón? ¿De cuántos puntos consta el quinto número penta-gonal?

b) Dibuja la figura que corresponde al quinto número pentago-nal y cuenta el número de puntos que contiene. ¿Cuántos son? Compara tu resultado con el de un compañero o compañera.

c) Utilicen el método de diferencias para encontrar el quinto nú-mero de esta sucesión.

151222

4. Los primeros cuatro números triangulares son 1, 3, 6 y 10. ¿Cuál es el quinto número triangular? Utilicen el método de diferen-cias para encontrarlo y dibujen la figura correspondiente.

Númerostriangulares

1 3 6 10

5. El método de diferencias no siempre funciona. En particular, hay dos sucesiones famosas en Matemáticas: las sucesiones de Fibonac-

(Continuación.)

Repetimos el proceso con la sucesión obtenida en la segunda columna: 4, 7, 10, 13,… hasta que aparezca una columna de valores constantes. En este caso, el valor constante es 3:

47

1013

15

122235

333

A partir de este punto, se trabaja “hacia atrás”, sumando hasta que se obtiene el término deseado. En este caso, con la suma 3 + 13 se obtiene 16 en la segunda columna, y con la suma 16 + 35 se obtiene 51, que es el valor que buscábamos.

47

101316

15

12223551

3333

Tema 21

168

ci y de Lucas. Analízalas y descubre cómo se forman. Intenta aplicar el método de diferencias para ver qué sucede.

a) Sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…b) Sucesión de Lucas: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,…

6. Supón que la expresión algebraica n2 + 8 es la regla general de una sucesión. Es decir, para encontrar el primer término, hacemos n = 1, para el segundo, n = 2 y así sucesivamente.

a) Halla los primeros cinco términos de la sucesión.b) Aplica el método de diferencias para predecir el sexto término de

la sucesión. c) Encuentra el sexto término de la sucesión haciendo n = 6 en la

expresión n2 + 8. ¿Coincide este resultado con el que encontraste en el inciso b)?

21.2. Generando sucesiones

Las expresiones algebraicas 2n + 3 y 2n2 + 5n – 4 son las reglas generales de dos sucesiones. Obtén los primeros seis términos de cada una de estas sucesiones y encuentra las diferencias entre los términos consecutivos. ¿Qué patrones observas en esas diferencias?


a) Completa las tablas de valores que generan estas reglas para n = 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y calcula las diferencias entre sus términos consecutivos hasta obtener una columna de valores constantes.

n 2n + 3

1 2 × 1 + 3 = 52

2 2 × 2 + 3 = 7

3

4

5

6

n 2n2 + 5n – 4

1 2 × 12 + 5 × 1 − 4 = 311

2 2 × 22 + 5 × 2 − 4 = 14

3

4

5

6

b) ¿Qué valores forman la primera columna de diferencias de la sucesión que corresponde a 2n + 3? ¿Son iguales o diferentes estos valores?

c) ¿Qué valores forman la primera columna de diferencias de la suce-sión que corresponde a 2n2 + 5n – 4? ¿Son iguales o diferentes estos valores?

Bloque 4


169

d) La expresión de primer grado 3n – 1 es la regla de una sucesión. Obtén los primeros cinco términos de esta sucesión y encuentra sus diferencias. ¿Cuántas columnas de diferencias piensas que deben calcularse para que aparezca una de valores constantes?

n 3n – 1

1

2

3

4

5

e) La expresión de segundo grado n2 + 2n – 1 es la regla de una suce-sión. Calcula los primeros cinco términos de esta sucesión y encuen-tra sus diferencias. ¿Cuántas columnas de diferencias piensas que deben calcularse para que aparezca una de valores constantes?

n n2 + 2n – 1

1

2

3

4

5

1. La regla de una sucesión es 7n – 6.

a) Encuentra sus primeros cinco términos haciendo n = 1, 2, 3, 4 y 5.

n 7n – 6

1

2

3

4

5

Tema 21

170

b) ¿En qué columna de diferencias aparece un valor constante?

c) ¿Qué relación observas entre ese valor constante y la expresión 7n – 6?

d) Si la regla de una sucesión es 5n – 1, ¿qué valor supones que aparecerá en la columna de valores constantes de la tabla de diferencias? Elabora una tabla para verificar tu suposición.

2. La regla de una sucesión es 3n2.

a) Encuentra sus primeros cinco términos hacien-do n = 1, 2, 3, 4 y 5.

n 3n2

1

2

3

4

5

b) ¿En qué columna de diferencias aparece un valor constante?

c) ¿Qué relación observas entre ese valor cons-tante y la expresión 3n2?

d) Si la regla de una sucesión es 5n2, ¿qué valor supones que aparecerá en la columna de valo-res constantes de la tabla de diferencias? Ela-bora una tabla para verificar tu suposición.

3. Un tipo particular de sucesiones tienen como regla la expresión general de primer grado an + b. La siguiente tabla de valores generales se ha ob-tenido sustituyendo n por sus valores 1, 2, 3, 4 y 5 en la expresión an + b:

n an + bPrimera

diferencia

1 a + b(2a + b) – (a + b) = a

2 2a + b(3a + b) – (2a + b) = a

3 3a + b(4a + b) – (3a + b) = a

4 4a + b(5a + b) – (4a + b) = a

5 5a + b

Si la regla general de una sucesión es una expresión de primer grado (es decir, que puede escribirse en la forma an + b, donde a ≠ 0), entonces la primera columna de la tabla de diferencias está formada por valores constantes.Por ejemplo, la primera columna de la tabla de diferencias de la sucesión 5n – 3 es el valor 5.

n 5n – 3Primera

diferencia1 2

52 753 1254 1755 22

Valoresconstantes

Si la regla general de una sucesión es una expresión cuadrática o de segundo grado (o sea, que tiene la forma an2 + bn + c, donde a ≠ 0), entonces la segunda columna de la tabla de diferencias está formada por valores constantes.Por ejemplo, la segunda columna de la tabla de diferencias de la sucesión 4n2 + n – 5 es el valor 8.

n 4n2 + n – 5Primera

diferenciaSegunda

diferencia1 0132 1321 8

3 3429 8

4 6337 8

5 100

Valoresconstantes

Bloque 4

171

a) ¿Qué valor se obtuvo en la columna de la primera diferencia?b) ¿Qué relación se observa entre este valor constante y la expresión

an + b?

4. Otro tipo particular de sucesiones tienen como regla la expresión cuadrática general an2 + bn + c. La siguiente tabla de valores genera-les se ha obtenido sustituyendo n por sus valores 1, 2, 3, 4 y 5.

n an2 + bn + c Primera diferenciaSegunda

diferencia

1 a + b + c(4a + 2b + c) – (a + b + c) = 3a + b

2 4a + 2b + c(9a + 3b + c) – (4a + 2b + c) = 5a + b

2a3 9a + 3b + c

(16a + 4b + c) – (9a + 3b + c) = 7a + b2a

4 16a + 4b + c(25a + 5b + c) – (16a + 4b + c) = 9a + b

2a5 25a + 5b + c

a) ¿Qué valor se obtuvo en la columna de la segunda diferencia?b) ¿Qué relación se observa entre el valor constante y la expresión

an2 + bn + c?

5. Aplica lo que aprendiste en las actividades 3 y 4, para contestar las siguientes cuestiones. Comenta con un compañero o compañera tus respuestas.

a) La expresión algebraica de la regla de una sucesión es 8n – 1. Si elaboras una tabla para esa expresión, ¿qué valor constante apa-recerá en la primera columna de diferencias? Elaboren la tabla para verificar sus respuestas.

b) Si la expresión algebraica fuera 8n2, ¿qué valor constante apa-recería en la segunda columna de diferencias? Elaboren la tabla para verificar sus respuestas.

21.3. Simbolización de

sucesiones mediante el

método de diferencias

Observa la siguiente sucesión de figuras. ¿Cómo será la quinta figura? ¿Cuántos cuadritos tiene? ¿Cuántos cuadri-tos tiene la décima figura de esta sucesión? ¿Qué expresión algebraica permite determinar el número de cuadritos que forman cualquier figura de la sucesión?

Tema 21

172


a) Una forma de resolver el problema consiste en remarcar y colorear las figuras para resaltar algunas partes, de modo que pueda percibirse un patrón en la formación de figuras. ¿Cuál es el patrón en este caso? Coméntalo con un compa-ñero o compañera.

b) ¿Puedes expresar algebraicamente el patrón que encontra-ron? ¿Cuál es esa expresión? ¿Cómo son la quinta y la dé-cima figuras de la sucesión? ¿Cuántos cuadritos tiene cada una?

c) Para resolver el problema mediante el método de diferen-cias, se requiere conocer algunos términos de la sucesión; es decir, necesitamos contar cuántos cuadritos forman las primeras cuatro figuras. ¿Cuáles son los primeros cuatro términos de la sucesión? Anótalos en la siguiente tabla.

n

1

2

3

4

d) Usa la tabla anterior para hallar las diferencias entre los términos de la sucesión. ¿En qué columna se obtuvo un valor constante? ¿La ex-presión algebraica de esta sucesión es de primer grado o cuadrática?

e) ¿Cuál de las siguientes tablas de valores generales conviene utilizar para hallar la expresión algebraica de la regla de esta sucesión?

n an2 + bn + c

1 a + b + c 3a + b2 4a + 2b + c 5a + b

2a

3 9a + 3b + c7a + b

2a

4 16a + 4b + c

n an + b

1 a + ba

2 2a + ba

3 3a + ba

4 4a + b

f ) ¿Cómo pueden utilizarse las tablas de los incisos c) y e) para obtener

la expresión algebraica de esta sucesión?g) ¿Qué expresión algebraica permite determinar el número de cuadri-

tos que forman cualquier figura de la sucesión?

Bloque 4Actividades adicionales

173

1. La expresión algebraica de la regla de la sucesión 5, 12, 19, 26, 33,… puede encontrarse a partir de las siguientes tablas de diferencias:

n an + b

1 a + b

2 2a + b

3 3a + b

4 4a + b

5 5a + b

n

5

12

19

26

33

a) ¿Por qué, en este caso, la tabla de diferencias que debe utilizarse es la de la expresión ge-neral de primer grado an + b, y no la de la cuadrática an2 + bn + c?

b) ¿Cuál es el valor de la literal a en este caso? ¿Y el de la literal b?

c) ¿Cuál es la expresión algebraica de la regla de la sucesión 5, 12, 19, 26, 33,…?

2. Utiliza el método de diferencias para encon-trar la expresión algebraica de la regla de las siguientes sucesiones numéricas.

a) 0, 5, 10, 15, 20,…

b) 2, 6, 12, 20, 30,…

c) 2, 8, 18, 32, 50,…

d) 2, 7, 16, 29, 46,…

e) 11, 32, 63, 104, 155,…

3. Utiliza el método de diferencias para hallar la expresión algebraica que permite encontrar el número de puntos que forman cualquier figura de las siguientes sucesiones:

Para encontrar la expresión algebraica de la regla de una sucesión mediante el método de diferencias, se utilizan las tablas de diferencias de la sucesión y la de valores generales correspondiente.Ejemplo: hallar la expresión algebraica que corresponde a la sucesión 1, 10, 23, 40, 61,…• Elaboramos la tabla de diferencias:

9131721

110234061

444

• Como el valor constante aparece en la segunda columna de diferencias, utilizamos la tabla de la expresión cuadrática general:

n an2 + bn + c1 a + b + c

3a + b2 4a + 2b + c5a + b

2a3 9a + 3b + c

7a + b 2a4 16a + 4b + c9a + b 2a5 25a + 5b + c

• Identificamos los valores correspondientes de esas tablas y establecemos las ecuaciones:

2a = 4; 3a + b = 9; a + b + c = 1• Resolvemos las ecuaciones: si 2a = 4, entonces a = 2; si 3a + b = 9, entonces 6 + b = 9, b = 3; si a + b + c = 1, entonces 2 + 3 + c =1, de modo que c = –4.• Sustituimos los valores de a, b y c en la expresión general an2 + bn + c, y obtenemos 2n2 + 3n – 4, que es la fórmula de la sucesión 1, 10, 23, 40, 61,…

Tema 21

174

a) Sucesión de números cuadrados

Númeroscuadrados

1 4 9 16

Númeroshexagonales

1 6 15 28

b) Sucesión de números hexagonales.

4. ¿De cuántos cuadritos consta la figura que ocupa la posición 15 en cada una de las siguientes sucesiones?

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

a)

b)

c)

d)

e)

Bloque 4

175

1. Utiliza el método de diferencias para hallar la expresión algebraica que permite encontrar el número de puntos que forman cualquier figura de las siguientes sucesiones:

21.4. Actividades sobre patrones

numéricos y de figuras

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

2. ¿De cuántos palillos consta la figura que ocupa la posición 10 en cada una de las siguientes sucesiones?

a)

b)

c)

d)

a)

b)

Tema 22

176

Se han reforzado los muros de una escuela para evitar desastres en caso de terremoto. ¿Qué longitud tiene la trabe de refuerzo que se ha colocado diagonalmente en una pared de 8 m de longitud y 6 m de altura?

22El teorema de Pitágoras

Los triángulos rectángulos tienen una propie-dad conocida como teorema de Pitágoras. Este teorema es uno de los más importantes de las Matemáticas y uno de sus usos consiste en cal-cular la distancia entre dos puntos. Al estudiar las siguientes lecciones, sabrás de qué trata y lo apli-

carás en la resolución de problemas de cálculo geométrico.

22.1. ¿Qué es el teorema

de Pitágoras?

Te sugerimos leer:

“El teorema de Pitágoras. Método del albañil”, en Hernández Garciadiego, C., La geometría en el deporte, pp. 40-41.

6 m Trabe

8 m


a) ¿Puedes hacer una estimación de la longitud de la trabe? ¿Medirá más de 6 m? ¿Más de 8 m? ¿Medirá más que la suma de 6 m y 8 m? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

b) ¿Qué clase de triángulo forman la base y la altura del muro y la trabe?c) Elaboren un dibujo a escala (1 cm = 1 m), y después midan la longi-

tud que representa la trabe. ¿Qué resultado encontraron? Comparen su respuesta con las de compañeros de otros equipos.

d) La figura de la derecha es famosa porque ayuda a resolver proble-mas como éste. Está formada por un cuadrado dividido en cuatro triángulos rectángulos y un cuadrado interior. Si hallan el área del cuadrado interior, pueden deducir la medida de sus lados. ¿Cómo pueden encontrar esa área?

e) ¿Cuánto mide por lado el cuadrado exterior? ¿Cuál es su área? ¿Cuál es el área de cada uno de los triángulos rectángulos? ¿Cuánto es la suma de las áreas de los cuatro triángulos?

4

43

4 3

3

43

Bloque 4


177

f ) Con la información que obtuvieron en el inciso anterior, ¿cómo pue-den calcular el área del cuadrado interior? ¿Cuánto mide por lado ese cuadrado? ¿Cuánto mide la diagonal?

En la resolución de este problema se ha aplicado de modo informal una propiedad de los triángulos rectángulos, conocida como teore-ma de Pitágoras.

g) Utiliza esta propiedad de los triángulos rectángulos, con los datos

adecuados, para hallar la longitud de la trabe del problema ini-cial.

6

8 6

86

8

68

El teorema de Pitágoras establece que:

En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos.

Observa:

a2

b2

c2 a2 b2

c2

a

a

c

c

b

b

Catetos

Hipotenusa

Simbólicamente, esta propiedad se expresa así:

c2 = a2 + b2

en donde c representa la longitud de la hipotenusa, y las letras a y b, las longitudes de los catetos.

Por tanto, la longitud de la hipotenusa es c = a2 + b2 . Y la de los catetos b = c2 – a2 ; a = c2 – b2 .

1. Los antiguos egipcios sabían que si las longitudes de los lados de un triángulo son 3, 4 y 5 unidades, respectivamente, se trata de un triángulo rectángulo. Es decir, estos números cumplen la fórmula pitagórica a2 + b2 = c2.

32 + 42 = 52

9 + 16 = 25

¿Se cumplirá también para los múltiplos de estos números (es decir, 3k, 4k, 5k, en donde k es cualquier entero positivo)? Reúnete con un compañero o compañera e investíguenlo re-solviendo algunos ejemplos.

Tema 22

178

2. ¿Cuáles de las siguientes ternas de números cumplen con la fór-mula pitagórica? (A las ternas que la cumplen se les llama ternas pitagóricas.)

El siguiente ejemplo ilustra la aplicación de este teorema. Si la base del muro de la escuela mide 6.8 m y la altura 5.1 m, calculamos la longitud de la trabe de la siguiente manera:

• Relación pitagórica: c2 = a2 + b2

• Sustituimos a y b por sus valores:

c2 = 6.82 + 5.12

c2 = 46.24 + 26.01c2 = 72.25

• Extraemos la raíz cuadrada:

c = 72 25.

c = 8.5

46.24

6.8

26.01 5.1 8.5

72.25

Por tanto, la longitud de la trabe sería 8.5 m.

a) 5, 12, 13

b) 6, 9, 12

c) 7, 15, 16

d) 7, 24, 25

e) 8, 15, 17

f ) 5k, 12k, 13k, donde k es cualquier entero positivo

3. Para que apliques lo que aprendiste en las actividades 1 y 2, calcu-la el valor de x en las siguientes expresiones:

a) 32 + 42 = x2

b) x2 + 242 = 252

c) 52 + x2 = 132

d) 112 + x2 = 612

e) 212 + 722 = x2

f ) 42 + x2 = 52

g) x2 + 1202 = 1232

h) 102 + 242 = x2

i) x2 + 122 = 202

j) 152 + x2 = 172

k) 162 + 302 = x2

l) x2 + 212 = 292

m) 1192 + x2 = 1692

n) x2 + 402 = 412

ñ) 272 + x2 = 452

o) x2 + 642 = 1362

22.2. Actividades sobre el

teorema de Pitágoras

1. Si la trabe de refuerzo de la escuela se colocara diagonalmente, pero uniendo los otros vértices del muro, ¿cuál sería su longitud?

Trabe6 m Trabe

8 m

2. Calcula la longitud de las diagonales de los cuerpos geométricos de la derecha:

10

10

10

BA

C

D

16

12

15

BA

C

D

a) b)

Bloque 4

179

3. Calcula la longitud de la apotema del hexágono, la de la generatriz del cono y la de la arista de la pirámide hexagonal.

6

6

?6

15

8

Q

?

6 cm

10 cm?

4. ¿Qué longitud mínima tiene la cuerda que sujeta a la lancha?

a)

b)

c)

4.5 m

20 m

5. Encuentra la longitud de los lados que se indican de los triángulos rectángulos siguientes:

12

35 ?

14

48?

30

120?

60

61?

?

2665

84

85?

a) b) c)

d)

e) f )

6. Se han construido figuras semejantes sobre los lados de triángu-los rectángulos. En cada caso, verifica que la suma de las áreas de

Tema 22

180

las figuras construidas sobre los catetos es igual al área de la figura construida sobre la hipotenusa.

a

b

c

c2

a2

b2

a

b

cac

b

a)b)

c)

7. Considera el segmento AB construido en el plano cartesiano, para contestar las cuestiones que se plantean.

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

a) ¿Cuáles son las coordenadas de los extremos del segmento AB?

b) Localiza un punto C del plano cartesiano de modo que se for-me un triángulo rectángulo cuyos catetos sean paralelos a los ejes. ¿Este punto es único?

c) ¿Cuánto miden los catetos del triángulo rectángulo ABC?d) ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa AB?

8. Encuentra el perímetro del cuadrilátero y del triángulo de la figura de la derecha.

Bloque 4

181

¿A qué altura está el papalote?

23Razones trigonométricas

En las siguientes lecciones aprenderás otra manera de calcular distancias que son difíciles o imposibles de medir directamente, aplicando propiedades de los triángulos rectángulos que estudia una rama de las Matemáticas, llamada trigonometría. La trigonometría se aplica en la

resolución de problemas de algunas disciplinas como la nave-gación, la astronomía, la ingeniería y la arquitectura.

23.1. Las razones seno,

coseno y tangente

Te sugerimos leer:

“Seno y tangente de un ángulo” y otros temas, en Hernández Garciadiego, C., La geometría en el deporte, pp. 54-55.

BA53°

C

E

G

D FA ?

?

L

M

53°

60 m

Utiliza la información que se da en las ilustraciones para encontrarla.


a) ¿Son semejantes los triángulos rectángulos ABC, ADE y AFG dibujados en la cuadrícula? ¿Qué criterio de semejanza permite asegurarlo?

b) ¿Son semejantes los triángulos rectángulos de la cuadrícula y el triángulo que ilustra la posición del papalote? ¿Qué criterio de se-mejanza permite asegurarlo?

c) Imagina que colocas el triángulo ABC sobre el triángulo ALM ha-ciendo coincidir uno de sus ángulos homólogos (el de 53°), como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuáles son las partes homólogas de esos triángulos?

A B?

C

M

L

5

60

4

3

?

Tema 23

182

d) ¿Cuál es el valor de la razón BCAC

?

e) Por el teorema de Tales sabemos que la razón entre un cateto y la hipotenusa es la misma en los triángulos ABC y ALM; por ejemplo, BC LM = AC AM

. Con esta información, halla la altura del papalote.

f ) ¿Qué proporción debes establecer para encontrar la distancia AL? ¿Cuánto mide esta distancia?

g) Imagina que ahora colocas el triángulo ADE o el AFG sobre el triángulo ALM, haciendo coincidir uno de sus ángulos homólogos (el de 53°). ¿Cómo aplicarías el teorema de Tales para hallar la altura del papalote? ¿Cómo encuentras la distancia AL?

h) Compara los valores de las razones LMAL

, BCAB

, DEAD

y FGAF

. ¿Son

iguales o diferentes?

En el problema inicial, observa que los triángulos rectángulos ABC y ALM son semejantes, porque comparten un ángulo agudo (∠A = 53°) y la razón entre la longitud del cateto opuesto a este ángulo y la hipo-tenusa es constante:

BC LM = = 0.8

AC AM

Esta razón se denomina seno del ángulo A, y se denota así: sen A.Por otra parte, la razón entre el cateto adyacente al ángulo A y la

hipotenusa también es una constante:

AB AL = = 0.6

AC AM

Esta razón se denomina coseno del ángulo A, y se denota así: cos A.La razón entre los catetos opuesto y adyacente al ángulo A es constante:

BC LM = = 0.8

AB AL

se llama tangente del ángulo A, y se denota así: tan A.Por tanto:

4sen 53° = = 0.8 5

3cos 53° = = 0.6 5

4tan 53° = = 1.33 5

A las razones seno, coseno y tangente se les llama razones trigono-métricas.

En realidad, el ángulo A de los triángulos ABC, ADE, AFG y ALM no es exactamente de 53°, aunque es muy cercano a esa medida. Por este motivo, los valores 0.8, 0.6 y 1.33 que se asignaron a sen 53°, cos 53° y tan 53°, respectivamente, deben tomarse como aproximaciones. (Una aproximación más precisa para estas funciones se encuentra al final del libro, en la tabla de razones trigonométricas.)

Bloque 4


183

1. Utiliza las siguientes figuras para encontrar el valor de cada razón (redondea al centésimo más próximo).

a) sen ∠X

b) cos ∠X

c) tan ∠X

d) sen ∠Y

e) cos ∠Y

f ) tan ∠Y

g) sen ∠R

h) cos ∠R

i) tan ∠R

j) sen ∠S

k) cos ∠S

l) tan ∠S

m) sen ∠DAB

n) cos ∠DAB

ñ) tan ∠DAB

o) sen ∠CBD

p) cos ∠CBD

q) tan ∠CBD

Si se consideran todos los triángulos rectángulos semejantes a uno fijo (por ejemplo, al triángulo ABC), las razones entre sus lados homólogos son constantes y se definen de la siguiente manera:

Ab

ca

B

C

cateto opuesto asen A = = hipotenusa c cateto adyacente bcos A = = hipotenusa c cateto opuesto atan A = = cateto adyacente c

Podemos usar estas definiciones para resolver el problema inicial. Por ejemplo, para hallar la altura del papalote, usamos la razón seno de un ángulo:

sen 53° = LM60

• Despejamos LM:

LM = 60 Ω sen 53°

• Sustituimos sen 53° por su valor, 0.8:

LM = 60 Ω 0.8

• Hallamos la longitud de LM:

LM = 48

El papalote está a 48 m de altura.

B

CDA

20

16

15

9

T R

S

35 37

12

Y

20 16

12 ZX

23.2. Actividades sobre las

razones seno, coseno

y tangente

Tema 23

184

2. Usa la tabla de razones trigonométricas que se presenta al final del libro, para encontrar la longitud x de cada triángulo rectángulo.

x30

25°

x18

30°

x

2035°

x

15

40°x

10

45°

x

1550°

1. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Para hallar el valor de la razón trigonométrica de un ángulo, tam-bién puedes usar una calculadora científica. Por ejemplo, las secuen-cias de pasos más comunes para hallar sen 32° son:

a) b) c)

d) e) f )

o bien:

32 =sin

sin =32

a) Usa una calculadora científica (o la tabla de razones trigonomé-tricas que aparece al final del libro) para completar la siguiente tabla. Redondea a tres cifras decimales.

A 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°

sen A 0.174 0.985

cos A 0.985 0.174

tan A 0.176

Bloque 4

185

b) En la tabla anterior se observa la siguiente relación entre el seno y el coseno:

sen 10° = cos (90° – 10°) y cos 10° = sen (90° – 10°)

¿Esta relación se cumplirá para los demás valores del ángulo A?; dicho de otra manera: ¿será sen A = cos (90° – A) y cos A = sen (90° – A)?

c) En la misma tabla se observa que el valor del ángulo A au-menta de 10° a 80°. A medida que aumenta el valor del ángulo A, ¿el valor del seno de ese ángulo aumenta o disminuye? ¿Cómo cambia el valor del coseno de ese ángulo? ¿Y el de la tangente? ¿Por qué? Comenta con un compañero o compañera las razones en que basas tus respuestas.

2. Calculen la longitud de la hipotenusa de los triángulos rectángulos que muestra la siguiente figura. Apliquen el teorema de Pitágoras.

a) En el ∆ABB’, la longitud de la hipotenusa

es:

b) En el ∆ACC’, la longitud de la hipote-

nusa es:

c) En el ∆ADD’, la longitud de la hipote-

nusa es:

d) En el ∆AEE’, la longitud de la hipote-

nusa es:

e) En el ∆AFF’, la longitud de la hipote-

nusa es:

3. Utilicen la figura anterior para calcular el va-lor de las siguientes razones del ángulo A:

a) En el ∆ABB’, sen A =

b) En el ∆ACC’, sen A =

c) En el ∆ABB’, cos A =

d) En el ∆ADD’, cos A =

e) En el ∆ABB’, tan A =

f) En el ∆AFF’, tan A =

g) ¿En alguno de estos triángulos el valor de sen A es diferente? ¿Y el de cos A? ¿Y el de tan A? ¿Por qué? Comenten sus respuestas con compañeros de otros equipos.

A

B

B1

C

C1

D

D1

E

E1

F

F1

Tema 23

186

4. En cada caso, utilicen los datos que se dan para hallar el valor de x.

A

2x + 1

3x

c) tan A = 34

A

20 – xx + 20

a) sen A = 35

B

2x + 4

3x – 2

b) cos B = 12

5. Hagan un diagrama para contestar las siguientes cuestiones:

a) En un triángulo rectángulo, sen A = 725

y cos A = 2425

. ¿Cuál es el valor de tan A?

b) En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo es 940

. ¿Cuál es el valor de la tangente del otro ángulo agudo?

c) En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es 1517

. ¿Cuál es el valor del coseno del otro ángulo agudo?

23.3. Cálculo de un lado de

un triángulo rectángulo

En una colina, la vía del tren tiene un ángulo de subida de 27°. ¿Qué distancia AB recorre un tren cuando sube 100 m?

A

B

C

100 m

?


a) ¿La distancia que recorre el tren puede ser menor que 100 m? ¿Por qué? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

b) Usen una escuadra, una regla graduada y un transportador para ha-cer un dibujo a escala de la situación ¿Qué tipo de triángulo deben construir? ¿Qué escala podría ser adecuada?

Bloque 4

187

c) Los datos de que disponen en este problema son: la medida de un ángulo y la del cateto opuesto a ese ángulo; desean conocer la medida de la hipotenusa. ¿Qué razón trigonomé-trica relaciona estos elementos del triángulo rectángulo?

d) ¿Qué distancia AB recorre un tren cuando sube 100 m?e) ¿Qué razón trigonométrica deben usar si, en vez de la hi-

potenusa, desearan conocer la medida del cateto adyacente (AC) al ángulo de 27°? Calculen esa medida.

Para calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo, cuando conocemos la medida de un ángulo agudo y la del otro lado, procedemos como sigue:

1. Dibujamos el triángulo rectángulo.

2. Anotamos en la figura los datos que conocemos y la incógnita.

3. Utilizamos la razón que relaciona el lado conocido con el que deseamos calcular, de acuerdo con la siguiente guía:

a) Escribimos la ecuación que resuelve el problema.

b) Buscamos el valor de la razón en una tabla de razones trigonométricas o en la calculadora científica.

c) Sustituimos ese valor en la ecuación.

d) Resolvemos la ecuación.

La siguiente tabla puede ayudarte a recordar la razón trigonométrica que debe aplicarse en el cálculo de la longitud de un lado, cuando se conocen las medidas de un ángulo agudo y la del otro lado:

Ángulo conocido A, lados conocido y

desconocido

Razón que debe aplicarse

Opuesto y adyacente

Tangente

Opuesto e hipotenusa

Seno

Adyacente e hipotenusa

Coseno


1. Supongamos que el ángulo de subida de la vía del tren a que se refiere el problema inicial era de 15°. ¿Qué distancia AB recorre el tren cuando sube 100 m?

A

B

C

100 m?

15°

2. Un avión que se dirige al aeropuerto está a una altura de 900 m. El ángulo de elevación con que se ve el avión des-de la torre de control es de 7°. ¿A qué distancia del punto A de la torre de control se encuentra el avión?

A900 m

?

7°

Ángulo de elevación

3. El ángulo desde el extremo de la sombra hasta la parte su-perior de un árbol es de 43°, a una distancia de 10 m. ¿Cuál es la al-tura del árbol?

10 m

43°

?

Tema 23

188

4. Desde lo alto de un acantilado de 50 m de altura, Luis saluda a Car-men, quien se encuentra en una lancha. El ángulo de depresión con que Luis ve a Carmen es de 30°. ¿A qué distancia de la orilla está la lancha?

50 m

?

30°

30° ángulo de depresión

A

C

150 m61°

B

5. Un topógrafo quiere encontrar la longitud BC de una laguna. Él en-contró un punto A situado a 150 m del extremo C de la laguna, desde el cual percibe los dos extremos de ésta, con un ángulo de 61°. Si AC y BC forman un ángulo recto, ¿cuál es la longitud de la laguna?

Un avión despega de la pista en línea recta. Cuando ha recorrido 4300 m, alcanza una altura de 600 m. ¿Con qué ángulo de elevación inicia el vuelo?

23.4. Cálculo de un ángulo

de un triángulo rectángulo

600 m

C

B

A ?

4300 m

Bloque 4

189


a) Para tener una idea de la medida del ángulo, puedes hacer un dibujo a escala de la situación y medir con un transportador el án-gulo con que el avión inicia el despegue. ¿Qué escala convendría aplicar?

b) ¿Qué razón trigonométrica relaciona el ángulo agudo que deseamos conocer, con los datos que se dan?

c) ¿Con qué ángulo de elevación inicia el vuelo el avión?d) ¿Qué razón trigonométrica utilizarías si, en vez de la medida del

ángulo A, se quiere conocer la del ángulo B?

Para calcular la medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, cuando conocemos las medidas de dos de sus lados, procedemos como sigue:

1. Dibujamos el triángulo rectángulo que representa la situación.

2. Anotamos en el dibujo las medidas de los lados conocidos y el ángulo desconocido.

3. Utilizamos la razón trigonométrica que relaciona los dos lados conocidos con el ángulo desconocido.

4. Calculamos el valor de esa razón y, en la tabla de razones trigonométricas, buscamos la medida del ángulo agudo que le corresponde o que está más cercana.


1. Si quieres colocar una escalera de 3.5 m de longitud sobre un muro de 3 m de altura, de modo que la parte superior de la escalera y del muro coincidan, ¿qué ángulo debe formar la escalera con el piso?

3.5 m

3 m

?

2. En el problema anterior, si quisieras apoyar la escalera sobre el muro, de manera que la base de la escalera esté a 2.5 m de la base del muro, ¿qué ángulo formaría la escalera con el piso?

3.5 m

2.5 m?

Tema 23

190

4. La figura muestra una torre de televisión y dos cables de soporte. Halla la medida del ángulo A.

Supongamos que cuando un avión ha recorrido 4000 m, alcanza una altura de 420 m. Para calcular el ángulo de elevación con que inicia el vuelo, utilizamos la razón que relaciona a ese ángulo con los dos lados conocidos: cateto opuesto e hipotenusa. La razón es el seno del ángulo A:

420 m

C

B

A

4000 m

Ángulo de elevación

?

cateto opuestosen A = hipotenusa

Anotamos las longitudes de los lados y efectuamos la división indicada: 420sen A = = 0.105 4000

El valor del seno más cercano a 0.105 que encontramos en la tabla es 0.1045, y corresponde al ángulo de 6°:

sen 6° = 0.1045

que es una buena aproximación del ángulo A:

∠ A = 6°

Por tanto, el ángulo de despegue del avión es de 6°, aproximadamente.

3. Un automóvil transita por un tramo recto de carretera. Cuando el vehículo recorre 1000 m, sube 17.5 m. Calcula la medida del ángulo de subida en ese tramo de carretera.

17.5 m1000 m

?

50 m 50 m

40 m

A

9 m

7.8 m

?

5. A una cierta hora del día, un edificio de 9 m de altura proyecta una sombra de 7.8 m de longitud. ¿Con qué inclinación caen los rayos solares en ese momento?

Bloque 4

191

La famosa torre de Pisa tiene una altura de 55.22 m. Cuando los rayos del sol caen perpendicularmente, la torre proyecta una sombra de 5.1 m.

• ¿Cuánto mide el ángulo de inclinación de la torre con respecto al suelo (∠ABC)?

• ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la cima de la torre con respec-to a la vertical (∠BAC)?

• ¿Cuál es la longitud AB de la torre?


a) Observa que el triángulo ABC es rectángulo. ¿De qué datos dispo-nes en este problema para calcular la medida del ángulo ABC (que llamaremos ∠B)? ¿Qué razón trigonométrica relaciona este ángulo con los lados conocidos?

b) ¿De qué datos dispones para calcular la medida del ángulo BAC (que llamaremos ∠A)? ¿Qué razón trigonométrica relaciona este ángulo con los datos conocidos?

c) Si conoces la medida del ∠B, ¿de qué otra manera puedes calcular la medida del ∠A?

d) En el triángulo ABC, el lado AB es su hipotenusa. ¿Entre qué valores se encuentra esta longitud? ¿Podría ser menor que 55.22 m? ¿Podría ser mayor que 55.22 m + 5.1 m?

e) ¿Puedes aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa AB?

23.5. Resolución de triángulos

rectángulos

55.22 m

5.1 m

A

C B


1. Unas horas después, la torre de Pisa proyecta una sombra más larga, que ahora es de 10 m. ¿Cuánto mide el ángulo de inclinación de los ra-yos solares (∠D)?

10 m

A

CD B

Tema 23

192

2. La altura de un triángulo isósceles es de 10 cm y sus lados igua-les miden 12 cm. Encuentra las medidas de los ángulos interiores y la del lado desigual.

En conjunto, el teorema de Pitágoras, las definiciones de las razones trigonométricas y el uso de tablas trigonométricas, nos permiten resolver un triángulo rectángulo; esto es, podemos hallar los valores de los tres lados y de los dos ángulos agudos con sólo conocer:

• La hipotenusa y un ángulo agudo

• Un cateto y un ángulo agudo

• La hipotenusa y un cateto

• Los dos catetos

12 cm 12 cm

10 cmA C

?

8 N

12 NO

?

r

xy

A 30 m

65°

C

B

3. Dos fuerzas (una de 8 y otra de 12 newtons de intensidad), cuyas direcciones son perpendiculares entre sí, actúan sobre un punto O. Calcula la intensidad r de la resultante y el ángulo que forma con la primera de ellas.

4. En la figura de la derecha, AB representa un cable de soporte de la torre. Halla la altura de la torre y la longitud del cable.

5. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Para calcular los elementos que se piden en cada uno de los si-guientes triángulos rectángulos, aplica el teorema de Pitágoras y las definiciones de las razones trigonométricas.

23

A C

c

b

B

37°

a)

b =

c =

B =

a

A C

c

B

62°

34

d)

a =

c =

A =

a

A Cb

B

19°

5c)

a =

b =

B =

a

A C

c

B

48°3.4

b)

a =

c =

B =

Bloque 4

193

6. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos sin aplicar el teorema de Pitágoras.

bA C

c

B

19°23.7

a)

b =

c =

B =

d)

a =

c =

A =

c)

a =

b =

B =

b)

a =

c =

B =

a

A C

c

B

27°9.5

a

A Cb

B

17°

4.9

a

A C

c

B

72°

43

Uso del goniómetro para realizar mediciones indirectas

Un goniómetro es un instrumento que se utiliza para medir ángulos. Para construirlo se requiere un trozo de car-tulina, un transportador, un trozo de hilo, un popote, una tuerca o una piedrecilla, y cinta adhesiva.

Los objetos se colocan como se muestra en la figura y se sujetan con la cinta adhesiva. La figura muestra la forma en que se usa el goniómetro para medir el ángulo de elevación con que observa la parte alta de un edificio.

Con el goniómetro, una cinta métrica y unas tablas trigonométricas (o calculadora científica), puedes medir de modo indirecto la altura de edificios, monumentos, árboles u otros objetos, en los que una medición directa sería difícil de llevar a cabo. La ilustración nos ayudará a estudiar la manera de realizar esta tarea. Para medir la altura del edi-ficio, la niña se retiró de él a una distancia tal que le permi-tiera medir el ángulo de elevación. Midió esa distancia (7.5 m) con la cinta métrica y el ángulo de elevación (50°) con el goniómetro. Luego efectuó los siguientes cálculos:

BCtan ∠ A = AC

BCtan 50º = 7.5BC = 7.5 × (tan 50°)BC = 7.5 × (1.1918)BC = 8.94

Para determinar la altura del edificio, debemos sumar la longitud BC a la altura de la niña:

Altura del edificio = 8.94 m + 1.6 m = 10.54 m

Goniómetro

A

B

?

50°

50°

1.6 m

7.5 m

C

7. Reúnete con tus compañeros para realizar algunas mediciones indirectas. Midan, por ejemplo, la altura de su escuela, la de la asta-bandera, la de su casa o del edificio donde viven.

Tema 23

194

1. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ La ilustración muestra la rosca de un tornillo. Cada sección de la rosca forma un triángulo equilátero, de manera que el ángulo del fondo es de 60°. Encuentra x, si d = 2.287 mm.

23.6. Actividades sobre resolución

de problemas aplicando razones

trigonométricas. Uso de la

calculadora científica

C

B

Ax

d60°

C D

60°

2.287

B

A

a) Observa que, en la sección del tornillo que muestran la figura an-terior y la siguiente, los puntos A, B y C determinan un triángulo. ¿Qué clase de triángulo es?

b) ¿Cómo calcularías la longitud del segmento AC? ¿La longitud del segmento AD es la mitad de la de AC? ¿Por qué? Si encuentras la longitud de AD, ¿cómo calculas la de AC?

c) Observa que el triángulo ABD es rectángulo. ¿Qué elementos co-noces de ese triángulo rectángulo? ¿Qué razón trigonométrica puedes utilizar para calcular la longitud de AD? ¿Cuál es la sepa-ración entre los puntos A y C de la rosca del tornillo?

d) En problemas como éste, los cálculos se facilitan si se dispone de una calculadora científica. Por ejemplo, si se tratara de hallar

Bloque 4

195

el valor de 2.34

× 2 tan 15°

, tecleamos sucesivamente las siguientes

expresiones:

2.34 15 x÷ = =2tan

17.465996

4 15 tan – 1

14.931417

÷ shift=

3. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Para hallar el valor del ∠A en tan A = 4

15, tecleamos:

y obtenemos: Verifica el resultado que obtuviste en el inciso c) mediante una

calculadora científica.

2. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Usa una calculadora para encontrar, en cada caso, el valor de x.

a) x = 2.8995 × cos 37°

b) x = 37.95 × sen 29°

c) x = 46.98 × tan 45°

d) x = 2 × 395.7 × cos 4°

e) 39.48x = sen 30°

f ) cos 12°x = 92.6

g) tan 39°x = 100

h) 1000x = × 4 sen 1°

i) tan 45°x = 2

y obtenemos:Observa que la calculadora da las medidas de los ángulos en

enteros y decimales. Redondeando las medidas a centésimos de grado, en este caso el valor del ∠A es 14.93°.

Usa una calculadora para encontrar las medidas de los ángulos que se indican.

a) 246sen A = 351.97

∠A =

b) 290.7cos A = 300

∠A =

c) 10tan A = 100

∠A =

d) 36sen A = 37

∠A =

Tema 24

196

El manejo de las teclas varía de una calculadora a otra, por lo que, en caso de duda, es conveniente que leas el manual de tu calculadora o que consultes a tu maestro.

4. C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Usa una calculadora científica (o la tabla de razones trigonométri-cas que aparece al final del libro) para completar la siguiente tabla. Después, contesta las preguntas que se plantean.

Ángulo A 5° 10° 15° 20° 25° … 85° 89°

sen A

cos A

tan A

a) A medida que aumenta el valor de los ángulos, ¿qué ocurre con el valor del seno: aumenta o disminuye?

b) ¿Cuál es el menor valor del seno de un ángulo agudo? ¿Cuál es el mayor?

c) Discute con tus compañeros los incisos a) y b) para los casos del coseno y la tangente de un ángulo agudo.

24Funciones de crecimiento exponencial

¿Cuántos habitantes tendrá México en el año 2050, si la tasa de crecimiento que se dio en 2006 se mantiene constante? ¿A cuánto ascenderán mis ahorros dentro de cinco años si hoy deposité $ 1000.00 en un banco que ofrece un interés com-puesto de 1 % mensual? En las siguientes sesiones

estudiaremos ejemplos de situaciones como éstas, en las que una variable crece rápidamente cuando la otra aumenta.

24.1. Comparación de situaciones de

crecimiento aritmético y exponencial

Te sugerimos leer:

“Un montón de trigo” y “Números enormes”, en Ruiz, C. et al., Crónicas algebraicas, pp. 48-51.

Supón que una persona que ganó un premio y puede elegir entre las siguientes dos opciones:

• Un depósito bancario inicial de un millón de pesos más depósitos mensuales de $ 1000.00 durante 10 meses.

• Un depósito inicial de $ 1.00, el cual se duplica mensualmente durante 20 meses.

Bloque 4

197

¿Cuál es la opción que le conviene más al ganador del premio? ¿En qué basas tu suposición?


a) ¿A cuánto asciende, mes a mes, el importe de cada premio? Presenta los cálculos en tablas como las siguientes:

0 5 10 15 20

Tiempo (en meses)

Pre

mio

($)

500 000

1 500 000

1 000 000

y

x

Primera opción

Número de meses

(x)

Operación Importe del premio

(y)

0 1 000 000 + 0(1000) = 1 000 000 1 000 000

1

2

3

4

5

Segunda opción

Número de meses

(x)

Operación Importe del premio

(y)

0 1 1

1 2(1) 2

2 2(2) 4

3 2(4) 8

4

5

b) En la primera opción, ¿en cuánto se incrementa el premio de un mes a otro? ¿El incremento es constante? ¿A cuánto asciende el premio total que recibe en los 10 meses?

c) En la segunda opción, ¿en cuánto se incrementa el premio de un mes a otro? ¿El incremento es constante? ¿A cuánto asciende el pre-mio total que recibe?

d) En la segunda opción, ¿cuánto recibirá de premio en el décimo mes? Expresa el resultado mediante una potencia.

e) ¿Cuál opción de premio le con-viene más a esa persona?

f ) Con los datos que obtuviste en las tablas anteriores, elabo-ra una gráfica y comenta con un compañero o compañera de qué manera se manifiestan en las gráficas las diferencias en el crecimiento del premio entre una opción y la otra.

Tema 24

198

1. Completa las tablas de valores de las siguientes funciones, para x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

a) y = 3x – 2

Valores de x 0 1 2 3 4 5

Operaciones

Valores de y

b) y = 0.01x + 1


Operaciones

Valores de y

c) y = x2


Operaciones

Valores de y

d) ¿Cuál es la diferencia entre un término y otro de cada una de las funciones anteriores?

2. Completa las tablas de valores de las siguientes funciones, para x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

a) y = 2x


Operaciones

Valores de y

b) y = 3x


Operaciones

Valores de y

Cuando en una función se asignan valores consecutivos a una de las variables y se obtiene una sucesión de valores con una diferencia fija, se dice que la función es de crecimiento aritmético.

Las funciones de crecimiento aritmético tienen la forma y = kx + b, donde k y b son constantes. La gráfica de una función de crecimiento aritmético es una recta.

Las funciones que tienen la forma y = ax, donde la variable x es el exponente de un número fijo a, reciben el nombre de funciones de crecimiento exponencial. La característica más observable de la gráfica de estas funciones es su rápido crecimiento.


Bloque 4

199

c) y = 5x


Operaciones

Valores de y

d) y = 10x


Operaciones

Valores de y

e) Traza la gráfica de cada una de las funciones anteriores. Ponte de acuerdo con tus compañeros de equipo sobre la escala que sería conveniente utilizar en los ejes, para que la gráfica muestre claramente las partes que interesan.

3. Luis tiene $ 2000.00 ahorrados. Desea comprar una bicicleta de montaña que cuesta $ 12 000.00. Para lograrlo, trabajará en vaca-ciones, con un sueldo de $ 100.00 al día.

a) Para trazar la gráfica que representa esta situación, ¿cuál de las dos variables representarías en el eje horizontal y cuál en el vertical?

b) ¿Qué valores sería razonable asignar a la variable Número de días trabajados?

c) ¿Qué escalas sería adecuado utilizar en los ejes para que la gráfi-ca muestre claramente las partes que interesan?

d) ¿Esta situación define una función de crecimiento aritmético o exponencial? Justifica tu respuesta.

4. La siguiente tabla muestra el número aproximado de bacterias de una colonia en crecimiento, calculado cada hora a partir de la pri-mera observación:

Tiempo, t (horas) 0 1 2 3 4

Número de bacterias, n (millones)

5 10 20 40 80

a) ¿Cuántas bacterias habrá después de 5 horas? ¿Cuántas después de 10 horas?

b) A una cierta hora hay 640 millones de bacterias. ¿Cuántas habría una hora antes? ¿Cuántas habrá una hora después?

0

y

x

Tema 24

200

c) Traza la gráfica de esta función para x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

1. José alquila un local en un parque deportivo para vender tor-tas. Además, paga una cantidad fija a sus vendedores ayudan-tes. Su ganancia es función del número de tortas que venda. La ecuación de esa función es y = 1.50x – 300.

a) ¿Cuántas tortas debe vender para cubrir sus gastos?b) ¿Cuántas tortas debe vender para ganar $ 300? c) Normalmente, José gana $ 120.00 por día. ¿En cuánto au-

menta su ganancia normal cuando la cantidad de tortas vendidas aumenta en 100?

d) ¿En cuánto disminuye su ganancia normal cuando la can-tidad de tortas vendidas disminuye en 50?

e) ¿Qué escalas sería adecuado utilizar en los ejes para que la gráfica muestre claramente las partes que interesan?

f) ¿Esta situación define una función de crecimiento aritmé-tico o exponencial? Justifica tu respuesta.

g) Traza la gráfica de esta función. ¿Qué indica el punto donde la gráfica corta al eje de las x? ¿Qué indica el punto donde la gráfica corta al eje de las y?

0 Tiempo (en horas)

Nú

mer

o de

bac

teri

as(e

n m

illo

nes

)

n

t

24.2. Actividades sobre situaciones

de crecimiento aritmético

y exponencial

0

Número detortas vendidas

Gan

anci

as (

$)

y

x

d) ¿Qué escalas sería adecuado utilizar en los ejes para que la gráfica muestre claramente las partes que interesan?

e) ¿Esta situación define una función de crecimiento aritmético o exponencial? Justifica tu respuesta.

Bloque 4

201

2. Alicia ha logrado ahorrar $ 1000.00, y quiere depositar su dinero en un banco que ofrece un interés compuesto de 2 % mensual, con renovación automática cada mes. ¿A cuánto ascenderá su cuenta al cabo de 4 meses? Registra tus cálculos en la siguiente tabla:

Número de meses (x)

0 1 2 3 4

Operaciones

Importe del ahorro (y)

a) ¿Esta situación define una función de crecimiento aritmético o exponencial? Justifica tu respuesta.

b) ¿Qué escalas sería adecuado utilizar en los ejes para que la gráfi-ca muestre claramente las partes que interesan? Traza la gráfica de esta función.

0Tiempo (en meses)

Impo

rte

del a

hor

ro (

$)

y

x

3. En México, la tasa de crecimiento anual de la población de entre 15 y 19 años es de 0.44 %. En el año 2000, había 10.1 millones de habitantes de esa edad.

a) Calcula la población de esa edad que había en México en 2001.b) ¿Cuántos habitantes de esa edad había en 2002? ¿Y en 2003? c) La función que expresa la cantidad de habitantes (en millones) con

esa edad que tendrá México dentro de n años, es y = 10.1 × (1.0044)n. Aplica esta fórmula para comprobar los resultados de los problemas de los incisos a) y b).

Tema 25

202

d) Traza la gráfica que muestre el crecimiento anual de la población de 15 a 19 años de edad en México,del año 2000 a 2005

4. Para un experimento de control sobre el crecimiento de la fauna en una zona determinada, se introdujeron 100 venados y se aplicó un mecanismo de caza. Los resultados establecen que el número y de venados que aún quedan vivos después de x años, se puede predecir con la fórmula y = 100(0.8)x.

a) Estima la cantidad de venados vivos que habrá después de un año. Luego, realiza el cálculo con lápiz y papel, y valora tu esti-mación.

b) Estima la cantidad de venados vivos que habrá después de cinco años. Enseguida, realiza el cálculo con lápiz y papel, y valora tu estimación.

c) Traza la gráfica que muestre el número de venados en los prime-ros cinco años.

y

Pob

laci

ón(e

n m

illo

nes

de

hab

itan

tes)

x

10.35

10.30

10.25

10.20

10.15

10.10

2000 2005

y

Nú

mer

o de

ven

ados

t

100

0 5

Bloque 4

203

25Análisis estadístico de fenómenos

Muchos fenómenos y situaciones se entien-den mejor si se analizan datos relativos a diversos aspectos que los producen. Por ejemplo, el esta-do del tiempo (lluvioso o soleado, caluroso o frío) puede predecirse a partir de información relacio-nada con este fenómeno: presión atmosférica,

movimiento de las masas de aire, etc. En la siguiente lección analizaremos fenómenos y situaciones, como el costo de la vida, considerando algunos aspectos relacionados con ellos.

25.1. ¿Qué información se requiere

para entender un fenómeno?

Te sugerimos leer:

“Un montón de trigo” y “Números enormes”, en Ruiz, C. et al., Crónicas algebraicas, pp. 48-51.

Año Inflación acumulada

2002 100

2003 96

2004 92

2005 88

2006 85

2007 82

Fuente: Banco de México, Precios e inflación. Base: junio de 2002 = 100.

Don Roberto, trabajador de una empresa de plásticos, recibe pun-tualmente sus aumentos salariales anuales, en julio de cada año, como se muestra en la tabla de la derecha:

Sin embargo, a pesar de los aumentos que recibe, no está contento, porque siente que cada día compra menos con su sueldo. ¿Será cierta la apreciación de don Roberto? Según cálculos del Banco de México, el poder adquisitivo del dinero, a partir de 2002, ha variado en la forma que indica la siguiente tabla:

Salarios nominales

Año Salario

2002 5000

2003 5150

2004 5305

2005 5465

2006 5628

2007 5797

Esto significa que, con respecto de 2002, el dinero pierde su capaci-dad adquisitiva. Por ejemplo, lo que en 2002 se compraba con $ 100.00, en 2003 sólo alcanza para cubrir 96 % de su nuevo precio; en 2004, 92 %, y así, sucesivamente.

¿Cuál es el salario real de don Roberto en cada uno de los años pos-teriores a 2002? Es decir, después de 2002, cuando ganaba $ 5000.00, ¿mejoró o empeoró su capacidad de compra?

Tema 25

204


a) Si, con respecto de 2002, $ 100.00 equivalen a $ 96.00 en 2003, ¿a cuánto equivalen $ 500.00? ¿Y $ 1000.00? ¿Y $ 5150.00? ¿Cuál era el salario real de don Roberto en 2003?

b) Si, con respecto de 2002, $ 100.00 equivalen a $ 92.00 en 2004, ¿a cuánto equivalen $ 500.00? ¿Y $ 1000.00? ¿Y $ 5305.00? ¿Cuál era el salario real de don Roberto en 2004?

c) Calcula los salarios reales de don Roberto en los años posteriores a 2002 y regístralos en la siguiente tabla:

Año Salarios Inflación acumulada Salarios reales

2002 5000 100 5000

2003 5150 96

2004 5305 92

2005 5465 88

2006 5628 85

2007 5797 82

d) C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Si en 2002 un artículo costaba $ 750.00, en los años posteriores será más caro. ¿Cómo variará su precio? Registra tus resultados en la siguiente tabla y compáralos con los de un compañero o compañera.

Año 2002 2003 2004 20005 2006 2007

Precio ($) 750


Los siguientes son algunos ejemplos de fenómenos físicos y socia-les que influyen en nuestra vida personal. Reúnete con 3 o 4 compañe-ros para realizar una investigación sobre algunos de ellos. Presenten sus resultados en el grupo auxiliándose de tablas de valores, esque-mas, dibujos y gráficas.

1. El crecimiento o decrecimiento de una población es ocasiona-do por los movimientos migratorios (emigración e inmigración), y por las tasas de natalidad y mortalidad. ¿Qué cambios se han dado en su localidad en los últimos años debido a estos factores?

2. La quema de combustibles fósiles (petróleo, gas, carbón) ha sido un factor determinante en el calentamiento del planeta. ¿Qué efectos se han observado en diversas partes del mundo debido a este calentamiento? ¿Qué acciones se realizan para resolver el problema?

El poder adquisitivo es lo que se puede comprar con una determinada cantidad de dinero. La inflación es un número índice que representa la pérdida del poder adquisitivo.


BLOQUE 5

1. Resuelvan problemas que impliquen

calcular el volumen de cilindros y conos

o cualquier término de las fó

rmulas

que se utilicen. Anticipen cómo cambia

el volumen al aumentar

o disminuir alguna de sus dimensiones.

2. Describan la información que contiene

una gráfica de caja-brazos.

Que los alumnos:

205

¿A qué te vas a dedicar cuando termines la secundaria? ¿Vas a trabajar o a seguir estudiando? ¿Qué carrera piensas estudiar?Haz una encuesta con todos los compañeros de tercer grado y presenta los resultados en tu grupo.

P Proyecto

BLOQUE

5

Si se nos pregunta: quiénes utilizan la probabilidad y la estadística, lo primero que viene a nuestra mente son todo tipo de empresas aseguradores y aquellas cuyo negocio son los juegos de azar. Pero el campo de aplicación de estas disciplinas es mucho más amplio, cubren casi todos los campos del quehacer humano, como la Agricultura, la Medicina, la Física, las Ciencias sociales, entre otros. En todos estos campos se nos proporciona una gran cantidad de información por medio de tablas con datos numéricos. Como es difícil extraer de éstos la información que contienen, se busca condensarla en un número pequeño de cifras: medidas de tendencia central, de dispersión, etc. De esta manera la información se utiliza para resolver problemas de la vida real, como la predicción de accidentes de carretera, casamientos y defunciones o un brote de gripe en una comunidad, etcétera. En la resolución de estos problemas se ponen en juego una diversidad de conceptos matemáticos. Esto lleva a pensar que las matemáticas, además de constituir una bella creación de la mente humana, es de gran utilidad tanto para el estudio del mundo como para la solución de los problemas que se presentan en él.

¿Quiénes utilizan la probabilidad y la estadística?

206

Bloque 5

km 90 km 100 km 110

40 km/h

km 90 km 100 km 110

80 km/h

207

26Resolución de problemas con ecuaciones

Cuando tienes un problema algebraico, sabes que hay muchas y diversas formas de resolverlo. Quizá puedas hallar su solución mediante un esquema sencillo, una tabla de valores, una gráfica o una ecuación. ¿Qué debe tomarse en cuenta para decidir cuál es el procedimiento

más eficaz en un problema específico? En las siguientes dos lec-ciones tendrás oportunidad de reflexionar sobre esta cuestión.

26.1. Resolución de problemas con

ecuaciones lineales

Te sugerimos leer:

“Ecuaciones simul-táneas. Velocidad” y otros temas, en Hernández Garciadiego, C., Matemáticas y deportes, pp. 38-39.

En una carretera, un ciclista parte hacia el norte desde el kilómetro 110, a una velo-cidad de 40 km por hora.

Una hora más tarde, y desde el kilóme-tro 90, un motociclista trata de alcanzarlo a 80 km por hora.

90 110

¿Cuánto tiempo habrá viajado el ciclista al momento en que le dan alcance? ¿En qué punto de la carretera ocurre esto?


a) ¿En qué punto de la carretera se localiza el ciclista cuando empieza a pedalear? ¿En qué punto se halla una hora después? ¿Y luego de 3 horas?

b) En una recta numérica como la siguiente, representa la ubicación del ciclista en algunos momentos de su recorrido. Haz lo mismo para el motociclista. ¿En qué punto éste alcanza al primero?


Tema 26

208

c) Elabora una tabla de valores que represente la ubicación de estas dos personas en algunos momentos del recorrido. ¿En qué punto el motociclista alcanza al ciclista?

Hora Ubicación delciclista

Ubicación del motociclista

0

1

2

3

4

d) ¿En qué punto (r) de la carretera se localiza el ciclista cuando em-pieza a pedalear? ¿En qué punto (r) se halla una hora después? ¿Y t horas después? ¿Qué expresión algebraica representa la ubicación del ciclista en cualquier momento de su recorrido?

e) Al momento de ocurrir el alcance, el ciclista había pedaleado duran-te t horas. ¿Cuántas horas había viajado el motociclista? ¿Qué expre-sión algebraica representa la ubicación del motociclista en cualquier momento de su recorrido?

f ) ¿Qué ecuación o sistema de ecuaciones resuelve el problema?g) La ecuación o el sistema de ecuaciones que resuelve el proble-

ma representa el momento en que el motociclista alcanza al ciclista. ¿Por qué? Comenta tu respuesta a un compañero o compañera.

1. La gráfica de la derecha recorrido-tiempo repre-senta las trayectorias del ciclista y el motociclista, suponiendo que el primero comenzó a las 5 de la ma-ñana, y el segundo, a las 6.

a) ¿Qué punto del plano cartesiano representa el co-mienzo del recorrido del ciclista? ¿Y el del moto-ciclista?

b) ¿Qué representan las partes de las rectas destaca-das en color?

c) ¿Cuáles son las coordenadas del punto de encuen-tro de las dos rectas? ¿Qué representa este pun-to?

d) Comparen sus respuestas a las tres preguntas an-teriores con las que dieron en el apartado Explo-ración y discusión.

r

t5 6

Rec

orri

do

8

90110

200220

Bloque 5

209

2. Un automovilista parte desde el kilómetro 100 de la misma carrete-ra, a 100 km por hora, 2 horas después que el ciclista.

a) Dibuja sobre el plano cartesiano anterior la trayectoria del auto-movilista.

b) ¿En qué punto de la carretera logrará alcanzar al ciclista? ¿En qué momento?

c) Verifica tu respuesta mediante un sistema de ecuaciones.

3. La siguiente ilustración muestra la representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales. Analízala para responder las cuestio-nes que se plantean.

2

2

4

4

6

6

y

x

A

B

a) Representa esta situación mediante una tabla de valores.b) ¿Cuál es la ecuación que corresponde a la recta A? ¿Y a la recta B? c) De acuerdo con la representación gráfica, ¿cuál es la solución del

sistema de ecuaciones?d) Resuelve el sistema para verificar la solución que muestra la grá-

fica.

4. ¿Cuál de las siguientes situaciones puede representarse mediante la recta A? ¿Y cuál mediante la recta B? Escribe la letra correspondiente.

_____ La suma de dos números es 6_____ La suma de dos números es 8_____ La diferencia de dos números es 4_____ La diferencia de dos números es 2

5. Utiliza el procedimiento que juzgues más adecuado para resolver cada uno de los siguientes problemas. Verifica tus respuestas me-diante el planteo y resolución de una ecuación o un sistema de ecua-ciones, o trazando una gráfica.

a) Dos autobuses van de Guadalajara a Tijuana por una misma ca-rretera. Uno de ellos salió a las 8 a. m. y viaja a una velocidad

Tema 26

210

uniforme de 80 km por hora. El otro salió a las 9 a. m., con una velocidad uniforme de 100 km por hora. ¿En cuánto tiempo al-canzará el segundo autobús al primero?

b) La suma de dos números es 10 y la diferencia entre ellos es 3. ¿Cuáles son los números?

c) María dice que la suma de su edad (en años) y el número de la casa en que vive es 100. Ella ha descubierto que si al número de su casa le resta cuatro veces su edad, el resultado es 30. ¿Cuál es la edad de María? ¿Cuál es el número de su casa?

d) Para tener derecho a usar las instalaciones de un club deporti-vo, deben pagarse una cuota de inscripción y mensualidades fijas. Después de 6 meses, un usuario encontró que ya había pagado $ 1480.00. Y a los 10 meses había cubierto $ 1 800.00. ¿De cuánto es la cuota de inscripción? ¿De cuánto es la mensualidad?

e) En una fábrica, un mayorista paga $ 11 000.00 por la compra de 40 pantalones y 100 camisas. Otro paga $ 14 900.00 por 60 cami-sas y 130 pantalones. ¿Cuál es el costo de cada prenda?

f) El perímetro de un rectángulo es 39 cm. Si a la medida de su base se le agregan 6 cm se obtiene el doble de la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

g) Carlos obtuvo 75 puntos en su primer examen de Matemáticas. Su promedio de los dos primeros exámenes es 3 puntos más que su tercer examen. Y el promedio de los tres exámenes es de 79 puntos. ¿Cuántos puntos obtuvo en su segundo y tercer exámenes?

26.2. Resolución de problemas

con ecuaciones lineales

y cuadráticas

Un granjero utilizó 40 m de alambre para cercar un terreno rectan-gular, uno de cuyos lados es la barda de su casa. Si el terreno cercado tiene una superficie de 150 m2, ¿cuáles son sus dimensiones?

Barda de la casa

cerca

Bloque 5

211


a) Si la superficie del terreno es de 150 m2, ¿es posible que mida 4 m de ancho? Si eso fuera posible, ¿cuánto mediría de largo? ¿La suma de las longitudes de los tres lados es 40 m? Comenta tus respuestas con un compañero o compañera.

b) ¿Cuáles podrían ser las dimensiones del terreno? Traten de encon-trar por tanteo las dimensiones del terreno y registren los resultados en una tabla como la siguiente. Por ejemplo, la medida del ancho no puede ser 3. ¿Por qué?

Ancho, a (en m) 3 4 5 6 8 10 12 14 15

Largo, l (en m) 40 – 2 × 3 = 34

A = l × a 34 × 3 ≠ 150

c) ¿Hay más de una solución? En caso afirmativo, ¿cuáles son?d) Si representan con x la medida del ancho, ¿cómo representan la medi-

da del largo? Representen simbólicamente el producto largo × ancho y anoten sus respuestas sobre la siguiente figura.

e) Representen mediante una ecuación que el área del terreno es 150 m2 y resuélvanla. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?

f ) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? ¿Estas soluciones son las mismas que obtuvieron por el método de tanteo?

1. ¿Cuántas soluciones tiene cada una de las siguientes ecuacio-nes? Justifiquen sus respuestas.

a) (x + 3)2 = (x – 2)2

b) (x + 1)2 + 3x2 = (2x – 5)2 – 2c) (5x + 3)2 + 4x2 = (2x – 5)2 – 41


150 m2x x

?

Tema 26

212

2. Utilicen el procedimiento que juzguen más adecuado para resol-ver cada uno de los siguientes problemas. Verifiquen sus respuestas mediante el planteo y resolución de una ecuación cuadrática, o tra-zando una gráfica.

a) El producto de dos números enteros consecutivos es 210. ¿Cuáles son los números?

b) Hay cuatro números enteros impares consecutivos. El producto del segundo y el tercero es 10 unidades menor que el cuadrado del cuarto. ¿Cuáles son los cuatro enteros?

c) La suma de un número y su recíproco es igual a 5 veces el núme-ro. ¿Cuál es el número?

d) La familia Martínez tiene tres hijos. El mediano le lleva dos años al menor y a su vez, el mayor le lleva dos años al mediano. El producto de las edades del menor y el mayor es igual a tres veces la del mediano. ¿Cuál es la edad de cada uno?

e) Comprueba que sólo hay un número que sumado con su recípro-co da 2.

f) Un retrato rectangular ocupa una superficie de 500 cm2. La base es 5 cm mayor que la altura. ¿Cuáles son sus dimensiones?

g) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 4 cm mayor que el cateto más corto y 2 cm mayor que el otro cateto. ¿Cuánto miden los tres lados del triángulo?

h) Cuando una pelota de beisbol se lanza desde una altura de 43.92 m, ¿cuánto tarda en llegar al suelo?

i) Un paracaidista se lanzó de un avión y contó 10 segundos antes de jalar la cuerda de su paracaídas. ¿Qué distancia cayó en ese tiempo?

3. Consideren la gráfica de la derecha de la función y = x2 – 4x – 4:

a) El valor de y es 0 para dos valores de x: uno que está entre –1 y 0, y otro, entre 4 y 5. Expliquen de qué manera esta información puede obtenerse de la gráfica.

b) Encuentren los valores de x, con una cifra decimal, que den el valor de y más cercano a 0. Justifiquen su respuesta.

4. Consideren la siguiente tabla de valores de las variables x y y de la función y = 2x2 – 5x – 8:

–2 0 6

–8

8

xx –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

y 25 10 –1 –8 –11 –10 –5 4 17

a) El valor de y es 0 para dos valores de x: uno está entre –2 y – 1, y el otro, entre 3 y 4. Expliquen de qué manera puede obtenerse esta información de la tabla.

b) Encuentren los valores de x, con una cifra decimal, que den el valor de y más cercano a 0. Justifiquen su respuesta.

Recuerda que dos números son enteros consecutivos si la diferencia entre ellos es 1. Por ejemplo, 6 y 7; –4 y –3. En general, el consecutivo de n es n + 1.

Recuerda que el recíproco

de un número n es 1n

(donde n ≠ 0). Por

ejemplo, el recíproco de 3

es 13

; el de 25

es 52

, y

el de 1– 2

es –2.

Recuerda que la fórmula de la caída libre es gt2

d = 2

, donde g es la

constante de gravitación (aproximadamente igual a 9.81).

Bloque 5

213

27Sólidos con superficies curvas

En las siguientes lecciones estudiaremos tres sólidos con superficies curvas, y que se utilizan cotidianamente: el cilindro, el cono y la esfera. Así, los pozos, los tubos y algunos depósitos tienen forma cilíndrica; los vasos y embudos tienen forma cónica. Las esferas las encontramos en deportes

como el futbol y el beisbol, y en la naturaleza, en las naranjas y los limones. ¿Qué otros ejemplos se te ocurren?

27.1. Generación del cilindro,

del cono y de la esfera

¿Qué sólidos pueden resultar si se da una vuelta completa a cada una de las siguientes figuras planas alrededor del eje que se indica?


a) ¿En qué se parecen los sólidos que se generan al dar una rotación completa a un semicírculo y a un cuarto de círculo; el primero, al-rededor del diámetro, y al segundo, alrededor de uno de sus radios? Compara tus respuestas con las de un compañero o compañera.

b) Describan el sólido que se forma al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

c) ¿Qué sólido se forma al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos?

Tema 27

214

d) ¿Cuál de los siguientes sólidos no se forma al girar las figuras planas anteriores en torno del eje indicado?

e) ¿Cuál de los siguientes sólidos sí se forma? Comparen sus res-puestas con las que obtuvieron compañeros de otros equipos.

1. Otra forma de obtener un cilindro consiste en curvar un rectángulo de papel, cartoncillo o lámina metálica, de modo de coincidan sus la-dos opuestos. De una hoja de papel, recorta dos rectángulos de 8 por 5 cm, y forma con ellos los cilindros que se muestran en la figura.


5 cm

I

II5 cm

8 cm

8 cm

Bloque 5

215

a) ¿Cuánto mide la altura del cilindro I? ¿Qué longitud tiene la circunferencia de su base?

b) ¿Cuánto mide la altura del cilindro II? ¿Cuál es la longitud de la circunferencia de su base?

2. Observa las siguientes ilustraciones:

Se llama sólido de revolución al sólido que se genera por la rotación completa de una figura plana alrededor de un eje.

Por ejemplo, un cilindro se obtiene al dar una vuelta completa a un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Radios Bases

Eje (altura)

Un cono se obtiene por la rotación completa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Base

Cono recto

Radio

Vértice

Generatriz Eje(altura)

Una esfera se obtiene por la rotación completa de un semicírculo alrededor del diámetro.

RadioCentro

A

D

B

C

A

B

C

a) ¿Es posible que las dos ilustraciones sean desarrollos pla-nos de un cilindro? ¿Por qué?

b) ¿Qué relación debe haber entre los círculos y los rectángu-los para que formen un desarrollo plano del cilindro?

3. Las siguientes ilustraciones muestran la manera en que se ge-neran un cilindro y un cono.

a) ¿Cuál de los lados del rectángulo es el eje del cilindro? ¿Qué lados del rectángulo son los radios del cilindro?

Tema 27

216

b) El lado AD del rectángulo, paralelo al eje, toma infinitas posicio-nes, que se llaman generatrices del cilindro. ¿Cuál de los lados del triángulo rectángulo, al girar, forma una infinidad de generatri-ces?

4. En un trozo de cartulina, dibuja un círculo de 8 cm de radio; recórta-lo en dos sectores circulares como se indica en las siguientes figuras. Forma un cono con cada sector circular.

a) ¿Cuál de los dos conos tiene mayor base circular? ¿Por qué?b) ¿Cuál de los dos conos es más alto? ¿Por qué?

5. Juan trata de curvar un trozo de cartulina para formar una esfera.

8 cm

a) ¿Habrá alguna manera de que Juan pueda obtener una esfera? ¿La esfera es desarrollable sobre el plano?

b) ¿De qué manera se reproducen en un plano las regiones del globo terráqueo? Consúltalo en un libro de Geografía física.

27.2. Secciones planas de

cilindros y conos

Algunos experimentos con el cilindro

1. Toma un vaso cilíndrico y ponle agua (o arena), sin llenarlo, e inclínalo un poco. La superficie libre de agua (o arena), que inicial-

Bloque 5

217

mente presentaba la forma de un círculo, ahora toma la forma de un óvalo, el cual, en Matemáticas, recibe el nombre de elipse.

¿Qué cantidad de agua (o arena) debes poner en el vaso para que se forme la elipse de mayor tamaño? Haz la prueba y comenta tus res-puestas con un compañero o compañera.

2. Ahora tapa el vaso con la palma de tu mano y colócalo de la forma horizontal. La superficie libre de agua (o arena) toma la forma de un rectángulo. ¿Qué cantidad de ese material debes ponerle para que se forme el rectángulo de mayor tamaño?

Algunos experimentos con el cono

1. Pon agua (o arena) en un vaso cónico transparente, sin llenarlo.

a) ¿Qué figura forma la superficie libre del agua (o arena) si el eje del cono es perpendicular al piso? Y si inclinas un poco el vaso, ¿qué figura se forma?

b) Tapa el vaso con la palma de tu mano e inclínalo de modo que la superficie libre del agua (o arena) sea paralela a la genera-triz opuesta. ¿Qué figura se forma?

2. Construye un cono con plastilina. Con cuidado, vas a efec-tuar cortes planos con un cuchillo. ¿Cómo harías los cortes para obtener círculos? ¿Cómo tendrías que hacer los cortes para ob-tener elipses? ¿Cómo obtienes parábolas?

Las secciones planas de un cilindro o un cono rectos, serán circulares o elípticas si el plano que lo corta no es paralelo al eje de estos sólidos. En el caso del cilindro, si el plano que lo corta es paralelo al eje, se formará un rectángulo.

La sección plana de un cono es una parábola si el plano que lo corta es paralelo a la generatriz opuesta.

Plano

Generatriz

Paralelos

Tema 27

218

Una empresa de helados vende sus productos en envases cónicos de 6 cm de altura; el radio de la tapa es de 3 cm. La empresa desea ampliar su producción para ofrecer helados en envases cónicos de 8, 10 y 12 cm de altura, como se indica en la siguiente ilustración.

27.3. Variación del radio de

los círculos en conos y esferas

El fabricante pide al ingeniero de producción que calcule el radio de las tapas de los nuevos envases. ¿Cuáles son estas medidas? ¿Qué relación hay entre la altura de los conos y el radio de las tapas? ¿Son proporcionales estos valores?


a) El ingeniero usó papel cuadriculado para hacer un esquema del envase cónico que uti-liza la empresa. ¿Podrá utilizar este recurso para determinar el radio de las nuevas tapas? ¿Cómo lo haría? Comenta tu respuesta con un compañero o compañera.

3 cm

6 cm

b) En las figuras que hicieron, ¿qué relación hay entre los cuatro trián-gulos formados por los radios, las alturas y las generatrices?

c) Completen la siguiente tabla que relaciona las alturas de los conos y los radios de las tapas.

Altura del cono 6 cm

Radio de la tapa 3 cm

¿Hay una relación de proporcionalidad entre estos valores?

Bloque 5

219

d) El ingeniero elabora una gráfica como la siguiente para representar la relación entre las alturas de los cuatro conos y los radios de sus tapas. Complétala.

0 2

2

4

6

8

10

4 6 8 10 12

Altura del cono (en cm)

Rad

io d

e la

tap

a (e

n c

m)

e) Pero al ingeniero le interesa tener la gráfica de esta relación para todos los conos, desde 0 hasta 12 cm de altura. ¿Cómo sería esta gráfica? Dibújala en el plano que se muestra enseguida.

f ) ¿Qué forma tiene la gráfica? ¿Son proporcionales los valores que relaciona la gráfica? ¿Por qué?

g) Si tuvieras el recipiente cónico en las manos y quisieras llenarlo de agua, ¿qué figura genera la superficie del agua con las paredes del cono? ¿Cuál es el radio cuando el agua alcanza un nivel de 9 cm de altura ¿Y cuando el recipiente cónico está vacío?

h) ¿Cómo sería la gráfica que representa la relación entre la altura del nivel del agua y el radio de la superficie del agua? ¿Sería diferente de la gráfica que elaboraste en el inciso e)?

0 2

2

4

6

8

10

4 6 8 10 12

Altura del cono (en cm)

Rad

io d

e la

tap

a (e

n c

m)

Tema 27

220

1. Considera la situación anterior para investigar ahora la relación que hay entre el radio y el área de las tapas.

a) Si las tapas son de 2, 3, 4, 5 y 6 cm de radio, ¿cuál es el área de cada una? Registra los resultados en la siguiente tabla.


Radio de la tapa 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cm

Área de la tapa

b) Completa la gráfica que representa la relación entre el radio y el área de estas cinco tapas.

0 1 2 3 4 5 6

120

Radio (en cm)

Áre

a (e

n c

m2 )

c) Completa ahora la gráfica que relaciona el radio con el área de cualquier tapa, desde r = 0 hasta r = 6. ¿Cómo sería esta gráfica? Dibújala en el plano de la derecha.

d) ¿Qué forma tiene la gráfica? De acuerdo con esta gráfica, ¿hay una relación de proporcionalidad entre los valores del radio y el área? ¿Por qué? Coméntalo con un compañero o compañera.

e) Supón que tienes el recipiente cónico en las manos y quisieras llenarlo de agua. ¿Cuál es el área de la superficie del agua cuando el radio es de 6 cm? ¿Y cuando el recipiente cónico está vacío? Radio (en cm)

Áre

a (e

n c

m2 )

320

160

10

Bloque 5

221

f ) ¿Cómo sería la gráfica que representa la relación entre el radio de la superficie del agua y el área de esa superficie? ¿Sería diferente de la gráfica que elaboraste en el inciso c)?

2. Imagina que abres la llave de agua para llenar un vaso cilíndrico de 3.5 cm de radio.

b) Completa la gráfica que representa esta situación.

3.5 cm

0

10

20

30

40

1Nivel del agua (cm)

Áre

a de

la s

upe

rfic

ie d

el a

gua

(cm

2 )

2 3 4 5

Nivel del agua 0 cm 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm

Área de la superficie del agua

c) Supón que el vaso está vacío. ¿Cómo se representa en la gráfica anterior esta situación?

a) Completa la siguiente tabla que relaciona el nivel del agua con el área de la superficie del agua.

Tema 28

222

La figura de la derecha muestra un prisma inscrito en un cilindro; es decir, el prisma tiene la misma altura que el cilindro y sus bases son dos polígonos inscritos en las circunferencias de las bases del cilindro.

Imagina que se aumenta el número de lados de los polígonos de las bases. ¿Qué sucederá con el número de caras laterales del prisma? ¿Cómo será el volumen del prisma en relación con el del cilindro?


a) Las figuras muestran prismas inscritos en cilindros. ¿Cuál de ellos tiene un volumen más cercano al del cilindro?

28Fórmulas del volumen de cilindros y conos

Cuando tenemos invitados en casa y les ser-vimos vasos de agua fresca, el número de vasos que podemos llenar depende del volumen de agua de que disponemos y de la capacidad de los vasos en que la serviremos. El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa. En

las siguientes sesiones aprenderás a obtener las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos.

28.1. Volumen de cilindros

Te sugerimos leer:

“El volumen”, en Noreña, F. et al., La medición y sus unidades, pp. 34-35.

b) La fórmula para calcular el volumen de un prisma es V = B × h, donde B es la superficie de la base y h es la altura. ¿Es correcto decir que la fórmula para calcular el volumen de un cilindro es también V = B × h? ¿Por qué?

Bloque 5

223

c) Si aceptamos que V = B × h es la fórmula para calcular el volu-men de un cilindro, ¿qué representa la letra B en este caso?

d) ¿Cómo se expresa de modo más específico la fórmula para calcu-lar el volumen de un cilindro?


Con la ayuda del álgebra, expresa la fórmula del volumen de cada uno de los siguientes sólidos:

2x

2x

6x

6m

m

m

m

4m

8n

2n

2n

La ilustración de la derecha muestra una pirámide inscrita en un cono. Como puedes ver, la pirámide tiene la misma altura del cono y su base es un polígono inscrito en la circunferencia de la base del cono.

¿Qué sucederá con el número de caras laterales de la pirámide si se aumenta el número de lados del polígono? ¿Cómo será el volumen de la pirámide en relación con la del cono?


a) En la figura anterior aparece un hexágono inscrito en la base del cono. En la misma figura, inscribe ahora polígonos de 8, 10 o más lados en la base del cono y une los vértices de ese polígono con el vértice del cono. ¿Cuál de esas pirámides tiene un volumen más cer-cano al del cono?

b) La fórmula para calcular el volumen de una pirámide es V B h= ×3

,

donde B es la superficie de la base y h es la altura. Si aceptamos

que V B h= ×3

es también la fórmula para calcular el volumen de un

cono, ¿qué representa la letra B en este caso?c) ¿Cómo se expresa de modo más específico la fórmula para calcular

el volumen de un cono?

a) b) c)

28.2. Volumen de conos

Tema 28

224

1. Está claro que un si un cono y un cilindro tienen las mismas dimen-siones (r y h), el volumen del cono es menor que el del cilindro, pero, ¿qué tan menor?

a) Usa tu juego de geometría para dibujar en cartoncillo el desarrollo plano de un cono abierto y ármalo. Luego, con el mismo material, construye un cilindro de la misma base y altura que el cono.


b) Llena el cono con sal, azúcar u otro material similar, y vierte su contenido en el cilindro. ¿Cuántas veces tienes que vaciar el con-tenido del cono para que se llene el cilindro?

c) ¿Cuántas veces es menor el volumen del cono que el del cilindro, cuando ambos cuerpos tienen la misma área de la base y la mis-ma altura?

2. Las longitudes del radio y la altura de un cono se han medido en centímetros. ¿Cuál es la unidad más conveniente para expresar su volumen?

3. Con la ayuda del álgebra, expresa la fórmula del volumen de cada uno de los siguientes sólidos:

12x

14x

6x

4x

6x 6x

12x

14x

12x

14xa)

b)

c)

d)

Bloque 5

225

Un pluviómetro es un aparato destinado a medir la cantidad de llu-via que ha caído en un lugar.

Un pluviómetro cilíndrico tiene un diámetro de 20 cm. El agua reco-gida después de una intensa lluvia se ha vertido en un recipiente, también cilíndrico, cuyo diámetro es el doble: 40 cm. ¿Qué altura habrá alcanzado el agua en el segundo recipiente si en el primero fue de 18.4 cm?

29Cálculo del volumen de cilindros y conos

Muchos de los objetos que utilizamos diaria-mente son cilíndricos o cónicos, y con frecuencia es necesario conocer el tamaño del espacio que encierran o la cantidad de sustancia líquida o sólida que pueden contener. En las siguientes sesiones usarás fórmulas, ecuaciones y expresio-

nes algebraicas para resolver problemas relacionados con el volumen de estos cuerpos geométricos.

29.1. Problemas de cálculo

de volumen


a) Puesto que el diámetro del segundo recipiente es el doble que el del primero, el agua alcanzará una menor altura. ¿Será ésta la mitad que la del primero? ¿Por qué? Comenta tu respuesta con un compa-ñero o compañera.

b) ¿Cuál es el volumen de agua recogida en el pluviómetro? ¿Qué fór-mula podrán utilizar para calcularlo?

c) En relación con el segundo recipiente, ¿qué datos conocen? ¿Qué valor desconocen? ¿Qué procedimiento pueden seguir para calcularlo?

Tema 29

226

31.4 cm

15.7 cm

1. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos:El volumen de un cilindro está dado por el producto

del área de su base por la altura:

V = πr2h

donde r es el radio de la base y h es la altura.

El volumen de un cono es un tercio del producto del área de su base por la altura:

πr2hV = 3

Hay situaciones relacionadas con el volumen en que la fórmula se utiliza para calcular un valor desconocido, diferente del volumen. Veamos un ejemplo.

Una pila de 3 m3 de arena tiene la forma de un cono recto. La circunferencia de la base del cono mide 9.42 m. ¿Cuál es la altura aproximada de la pila?

Para saberlo, se calcula primero la medida del radio de la base despejando r de la fórmula 2πr = 9.42. Luego, se sustituye el valor encontrado (1.5) y el del volumen (3) en la

fórmula πr2hV = 3

; esto es: 3.14(1.5)2h

= 3 3 ; finalmente, se resuelve esta ecuación para hallar la altura del cono.


18 m

7 m

25 cm

4 cm

75 cm

4 cm

18 m

7 ma) b)

d)

c)

2. Reúnete con tu equipo para resolver los siguientes problemas:

a) C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Con una placa metálica rectangular de 31.4 por 15.7 cm, pueden construirse dos cilindros, según se arrolle la placa por uno u otro de los lados del rectángulo.

• ¿Cuál es el volumen de cada uno?• ¿Qué relación hay entre los volúmenes de esos cilindros?

Bloque 5

227

b) Haciendo girar un rectángulo de 3 por 8 cm alrededor de cada uno de sus lados, se obtienen dos cilindros.

• ¿Cuál es el volumen de cada uno?• ¿Qué relación hay entre los volúmenes de esos cilindros?

8 cm

8 cm

3 cm

3 cm

c) C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Luisa tiene una pulsera formada por un cordón de oro, de 18 cm de longitud y 4 mm de diámetro. La lleva al joyero para que la funda y elabore una nueva pulsera de 24 cm de longitud. ¿Cuál será su diámetro? (Ayuda: no sustituyas π por ningún valor.)

4 mm

18 cm

d) C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Tere quiere llevar a fundir una medalla de oro, de 0.4 cm de espesor y 6 cm de diámetro, para hacer un brazalete circular de 20 cm de longitud. ¿Cuál es el diámetro del brazalete?

e) Un túnel, cuya sección es un semicírculo de 50 cm de diámetro, tiene una longitud de 100 m. ¿Cuántos metros cúbicos de tierra se han tenido que extraer para construirlo?

f ) Haciendo girar un triángulo rectángulo, alrededor de cada uno de sus catetos, los cuales miden 30 y 40 cm, se obtienen dos co-nos. ¿Cuál es el volumen de cada uno?

g) C CE %

7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 . =

±

÷

×

–

+ Curvando una cartulina que tiene la forma de un sector circu-lar y uniendo sus radios, se obtiene un cono. ¿Cuál es el volumen de éste sabiendo que el radio del sector es 10 cm y la longitud del arco es de 34.54 cm?

34.54 cm

10 cm

Tema 29

228

d) Utiliza la tabla anterior para saber el volumen de agua cuando alcanza un nivel de 22.5 cm de altura.

e) En esta situación, ¿qué expresión algebraica representa el volu-men (V) de agua para cualquier valor de h, entre 0 y 25 cm?

f ) Completa la gráfica de la relación altura-volumen.

1. Estoy llenando de agua un bote cilíndrico de 28 cm de diámetro y 25 cm de altura.

a) ¿Qué volumen de agua hay en el bote cuando la altura que al-canza en el bote es de 1 cm? ¿Y cuando la altura es de 2 cm? ¿Y cuando es de 5 cm?

b) Completa la siguiente tabla que relaciona la altura y el volumen de agua.

c) ¿Hay una relación de proporcionalidad entre la altura y el volu-men de agua que hay en el bote? ¿Por qué?

29.2. Actividades sobre cálculo del

volumen de cilindros y conos

28 cm

25 cm

Altura (cm) 0 5 10 15 20 25

Volumen (cm3)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

2000

16000

Altura (en cm)

Vol

um

en (

en c

m3 )

g) ¿Cuántos litros de líquid le caben al bote?

Bloque 5

229

180 cm

40 cm

0 1 9 108765432

50

500

Altura (en cm)

Vol

um

en (

en c

m3 )

2. En el centro de una fuente hay una escultura montada sobre una base cilíndrica, de modo que la superficie del agua adquiere la forma de una corona circular. Las dimensiones de la fuente se indican en la figura de la derecha. Imagina que empieza el proceso de llenado con agua.

a) ¿Qué volumen de agua hay en la fuente cuando el nivel es de 1 cm? ¿Y 2 cm? ¿Y 10 cm?

b) ¿Qué expresión algebraica representa el volumen (V) de agua que hay en la fuente para cualquier altura h, entre 0 y 20 cm?

c) ¿Hay una relación de proporcionalidad entre la altura y el volu-men de agua que hay en la fuente?

d) Completa la gráfica siguiente de la relación altura-volumen.

3. Un recipiente tiene la forma y dimensiones que se indican en la siguiente figura.

a) ¿Qué volumen de material hay en el recipiente cuando la parte cónica se llena?

b) ¿Qué volumen de material hay en el recipiente cuando está total-mente lleno?

20 cm

10 cm

10 cm

20 cm

Tema 30

230

c) Completa la siguiente tabla, que representa la relación entre la altura que alcanza el material y su volumen.

Altura

Vol

um

en

Altura

Vol

um

en

Altura

Vol

um

en

30Gráfica de caja-brazos

Cuando se aplica un examen a miles de estudian-tes, a menudo se utiliza un cierto tipo de gráfica que permite visualizar rápidamente algunos resultados del examen; por ejemplo: ¿cuáles fueron las puntuacio-nes mínima y máxima? ¿Qué puntuación se halla a la mitad de los datos ordenados de menor a mayor? ¿Entre qué puntuaciones se concentra la mitad de los

sustentantes que no fueron de los bajos ni de los altos? Se trata de la gráfica de caja-brazos, la cual es utilizada en diversos campos de la actividad humana y cuyo estudio abordaremos en las siguientes lecciones.

Altura(cm)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Volumen(cm3)

d) ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la relación altura-volu-men en esta situación? Justifica tu respuesta.

Bloque 5

231

De acuerdo con la gráfica, ¿qué hay más: marcas de jugos de man-zana con 8 calorías o menos, o marcas de jugo de manzana con 8 calorías o más?


a) En cuanto al número de calorías, ¿cuál fue el menor valor que se encontró entre las diferentes marcas? ¿Cuál fue el mayor?

b) ¿Cuántas calorías contienen los jugos de manzana cuyas marcas alcan-zaron el mayor porcentaje? ¿Qué porcentaje de marcas representa?

La siguiente gráfica muestra los resultados de un estudio sobre el número de calorías que contiene el jugo de manzana, en recipientes de 300 ml, de diversas marcas que se encuentran en el mercado.

30.1. Exploración de datos

00

14

18

16

12

10

8

6

4

2

151413121110987654321

Por

cen

taje

de

mar

cas

de ju

go

Número de calorías

Número de calorías en 300 mlde jugo de manzana

Tema 30

232

c) La gráfica muestra que el 7 % de las marcas ofrecen jugos de man-zana con 0 calorías. ¿Qué porcentaje de marcas ofrecen jugos de manzana con 3 o menos calorías?

d) ¿Qué porcentaje de marcas ofrecen jugos de manzana con 12 o más calorías?

e) En el eje horizontal de la gráfica se muestran, ordenados de menor a mayor, los números de calorías que contienen los jugos de manzana que se analizaron. ¿Entre cuáles de esos números se halla el valor de la mediana?

f ) ¿Qué porcentaje de marcas ofrecen jugos de manzana cuyo número de calorías es menor que el valor de la mediana? ¿En qué porcentaje es mayor que ese valor?

g) Si sumas los porcentajes de marcas que ofrecen jugos de manzana con 0 o más calorías, ¿en qué número de calorías se tiene 75 % de las marcas?

h) ¿Podrías determinar cuántas marcas de jugo de manzana de 300 ml se analizaron? ¿Por qué?

i) Si el total de marcas que se analizaron hubieran sido 200, ¿cuántas marcas ofrecen jugos de manzana con 0 calorías?

1. La siguiente gráfica muestra los resultados de otro estudio, ahora sobre el número de calorías que contienen los jugos de naranja, en recipientes de 300 ml, de diversas marcas.


00

14

12

10

8

6

4

2

151413121110987654321

Por

cen

taje

de

mar

cas

de ju

go


Número de calorías en 300 mlde jugo de naranja

Bloque 5

233

a) ¿Qué porcentaje de marcas ofrecen jugo de naranja con 0 calo-rías?

b) ¿Cuántas calorías contienen los jugos de naranja cuyas marcas alcanzaron el mayor porcentaje? ¿Qué porcentaje de marcas re-presenta?

c) ¿Entre qué números de calorías se encuentra el primer 25 % de las marcas de jugo de naranja? Subráyalo.

• Entre 0 y 1 calorías• Entre 0 y 2 calorías• Entre 0 y 3 calorías• Entre 0 y 4 calorías

d) ¿Entre qué números de calorías se encuentra el último 25 % de las marcas de jugo de naranja? Subráyalo.

• De 12 o más calorías• De 13 o más calorías• De 14 o más calorías• De 15 o más calorías

e) ¿Entre qué números de calorías se encuentra el primer 50 % de marcas de jugo de naranja?

f) ¿Qué porcentaje de marcas ofrecen jugos de naranja que contie-nen entre 0 y 13 calorías?

En estudios como los anteriores, es común mostrar la distribución de los datos obtenidos mediante porcentajes. La suma de los porcenta-jes parciales debe ser igual a 100 %.

Los datos obtenidos en ambos estudios se ordenaron de menor a mayor, y se dividieron en cuatro partes iguales; por tanto, cada una corresponde a 25 % del total. De este modo, las dos primeras cuartas partes corresponden a 50 % de los datos, y las tres primeras cuartas partes, a 75 %.

30.2. Construcción de la

gráfica caja-brazos

El siguiente es un listado de precios (en pesos) de 18 distintos modelos de cuaderno profesional de 100 hojas blancas que ofrece una casa comercial:

18, 17, 19, 20, 21, 23, 26, 27, 30, 28, 17, 18, 22, 15, 29, 31, 30, 32

De estos 18 modelos, ¿de cuáles hay una mayor variedad: de los que cuestan menos de $ 20.00 o de los que cuestan $ 20.00 o más?

Tema 30

234


a) ¿Cuántos precios diferentes se registraron? ¿Cuánto cuesta el cua-derno más barato? ¿Y el más caro?

b) Escribe el listado de precios anterior ordenado de menor a mayor.

c) Traza una línea vertical que divida a los datos en dos partes iguales. ¿Cuál es la mediana de los precios? ¿Cuántos precios están por de-bajo de la mediana? ¿Cuántos están por arriba?

d) ¿Qué porcentaje del total de precios que se registraron representa los precios que están por debajo de la mediana? ¿Qué porcentaje representa a los que están por arriba de la mediana?

e) Traza otras dos líneas verticales, de modo que una divida a la mitad inferior de datos en dos partes iguales y la otra haga lo mismo con la mitad superior de datos. ¿Qué porcentaje de precios representa cada una de esas cuatro partes?

f ) ¿Cuál es la mediana de la mitad inferior de los datos? ¿Cuál es la mediana de la mitad superior de los datos?

g) En el siguiente recuadro se han ubicado, a la misma altura, tres pun-tos: uno representa el precio del cuaderno más barato; otro que re-presenta el primer 25 % de los datos, y el tercero representa el precio más alto.

Ubica, a la misma altura, los siguientes dos puntos:

• Uno que represente la mediana de los precios.• Otro que represente el 75 % de los datos.

10 15 32

Precio de un cuaderno profesional

Bloque 5

235

1. La siguiente gráfica muestra la distribución de los re-sultados de un estudio sobre el número de calorías que contienen los jugos de naranja, en recipientes de 300 ml, de diversas marcas que se encuentran en el mercado.

Una gráfica de caja-brazos es una representación de datos en la que éstos se presentan divididos en cuatro partes iguales.Para construirla, primero se ordena de menor a mayor el conjunto de datos (o valores), y se divide en dos partes iguales para determinar la mediana.

Luego, cada una de las mitades se divide en dos partes iguales, para obtener la mediana de la mitad inferior y la mediana de la mitad superior. Cada grupo corresponde a un 25 % de los datos.Finalmente, se identifican los valores menor y mayor del conjunto de datos. El primero es el extremo inferior y el segundo es el extremo superior de la caja.

Por ejemplo:

Mitad inferior16 18 18 19 20 20 21 22 24 1er. cuarto 2o. cuarto 25 % 50 % Mitad superior25 26 27 28 29 30 30 31 32 3er. cuarto 4o. cuarto 75 % 100 %

10 15 20 25 30 35 40


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Ei 25% Me 75% Es

Marcas de jugo denaranja de 300 ml

Ei = Extramo inferiorMe = MedianaEs = Extremo superior

a) Si en total se encontraron 60 marcas diferentes de jugo de naranja, ¿cuántas marcas ofrecen jugos de naranja que contienen 7 calorías o me-nos?

b) ¿Cuántas marcas ofrecen jugos de naran-ja que contienen entre 13 y 15 calorías? ¿Y entre 4 y 13 calorías?

c) Considera las 15 marcas que ofrecen ju-gos de naranja con menor número de calorías. ¿Cuántas calorías contienen esos jugos?

d) ¿Qué porcentaje de marcas ofrecen jugos de naranja que contie-nen 13 o menos calorías?

e) Considera las marcas que ofrecen jugos de naranja que contienen entre 4 y 0 calorías y entre 13 y 15 calorías. ¿Cuál de esos dos grupos está más alejado del valor de la mediana?

f ) Escribe en tu cuaderno dos conclusiones acerca de la distribu-ción de los resultados y compáralas con las de tus compañeros.

10 15 32

Precio de un cuaderno profesional

h) En la siguiente gráfica, ¿qué representan los valores señala-dos por las flechas?

Tema 30

236

2. La siguiente tabla muestra los resultados en Matemáticas de los Exá-menes de la Calidad y el Logro Educativos (EXCALE) aplicados, en ju-nio de 2005, a alumnos de tercer grado de secundaria en todo el país:

Puntuaciones obtenidas en Matemáticas, 3o. de secundaria, EXCALE 2005, INEE

Puntuación mínima 25 % 50 % 75 %

Puntuación máxima

Nacional 200 434 497 564 800

Fuente: El aprendizaje del Español y las Matemáticas en la Educación Básica en México. Sexto de primaria y tercero de secundaria, INEE, 2006. (Nota: Los datos están redondeados.)

a) Construye en tu cuaderno la gráfica caja-brazos que corresponde a estos resultados. ¿Qué escala y qué valores utilizarás?

b) ¿Qué grupo está más cerca de la mediana de las puntuaciones: el de 200 a 434 o el de 564 a 800?

Otros datos que se obtuvieron en el estudio fueron:

• 10 % de los alumnos obtuvieron 375 puntos o menos.• La media es de 500 puntos.• 10 % de los alumnos obtuvieron 628 puntos o más.

c) Ubica estos datos en la gráfica que construiste.

• ¿Cuántos puntos de diferencia hay entre el primer 10 % de las puntuaciones y la mediana?

• ¿Cuántos puntos de diferencia hay entre el último 10 % (628 pun-tos o más) y la mediana? ¿Cuál de estas dos diferencias es mayor?

d) Escribe en tu cuaderno dos conclusiones acerca de la distribu-ción de los resultados y compáralas con las de tus compañeros.

3. Pregunta a cada uno de tus compañeros de grupo cuál es su esta-tura. Registra los resultados en la siguiente tabla:

Estaturas en centímetros

Hombres Mujeres

Bloque 5

237

a) Obtén los cinco valores que se requieren para construir la gráfica de caja-brazos que muestre los resultados.

Estatura mínima

25 %50 %

(mediana)75 %

Estatura máxima

b) Construye en tu cuaderno la gráfica caja-brazos. c) Escribe en tu cuaderno dos conclusiones acerca de la distribu-

ción de las estaturas en tu grupo y compáralas con las de tus compañeros.

Reúnete con un compañero o una compañera para trabajar esta lección.

Las siguientes gráficas de caja-brazos muestran los resultados en Matemáticas de los EXCALE aplicados, en junio de 2005, a alumnos de tercer grado de secundarias privadas y telesecundarias de todo el país:

30.3. Comparación de

distribuciones

Pu

ntu

acio

nes

Secundariasprivadas

Telesecundarias

Puntuaciones obtenidas en el examen deMatemáticas de 3o. de secundaria en la prueba

EXCALE 2005, INEE

200

800

700

600

500

400

300

Tema 30

238

De acuerdo con las gráficas, ¿cuál modalidad obtuvo mejores resul-tados: las secundarias privadas o las telesecundarias? ¿Qué dato utili-zarían para argumentar su respuesta?


a) En el caso de las secundarias privadas, ¿qué porcentaje de alumnos obtuvo entre 505 y 640 puntos?

b) De acuerdo con la gráfica que muestra los resultados de telesecunda-ria, ¿qué porcentaje de alumnos obtuvo entre 410 y 530 puntos?

c) Si se compara la diferencia entre 640 y 505 puntos con la diferencia entre 530 y 410 puntos, ¿cuál es mayor?

d) Con base en el porcentaje que representa cada intervalo de puntajes en secundarias privadas o telesecundarias, ¿cuál o cuáles de las si-guientes afirmaciones son correctas? Subráyenlas.

• El 50 % de los resultados en Matemáticas obtenidos por alumnos de secundarias privadas son entre 505 y 640 puntos.

• Menos del 50 % de los resultados obtenidos por alumnos de tele-secundarias se encuentra entre 410 y 530 puntos.

• Un 50 % de los resultados en Matemáticas obtenidos por alumnos de telesecundarias se encuentra en un rango de 120 puntos.

• Más del 75 % de los resultados obtenidos por secundarias privadas se encuentra entre 640 y 200 puntos.

e) ¿Cuál es el valor de la mediana de los puntajes obtenidos por se-cundarias privadas? ¿Cuál es el valor de la mediana de los puntajes obtenidos por telesecundarias?

f ) Se esperaba que los alumnos obtuvieran una puntuación cercana a 500. Si se consideran los valores de las medianas de los puntajes de secundarias privadas y telesecundarias, ¿cuál de ellas está por arriba y cuál por debajo de la puntuación esperada?

g) Escriban en su cuaderno dos conclusiones acerca de la distribu-ción de los resultados y compárenlas con las de sus compañeros.


1. La siguiente tabla muestra los resultados en Matemáticas de los EX-CALE que se aplicaron en 2005 a los alumnos de tercer grado de secundarias generales y técnicas:

a) Construyan las gráficas de caja-brazos que corresponden a se-cundarias generales y técnicas al lado de las otras gráficas.

b) ¿Cuál de los dos tipos de secundaria tuvo un mejor desempeño: las generales o las técnicas?

Bloque 5

239

c) ¿Cómo fue el desempeño de los alumnos de secundarias genera-les con respecto de los de telesecundarias? ¿Y con respecto de los de secundarias privadas?

d) Si se comparan los resultados nacionales con los de cada modali-dad, ¿qué conclusiones pueden obtenerse acerca de todos los da-tos? Anótenlas en sus cuadernos y compárenlas con las de otros equipos.

Puntuación

mínima25 %

50 % (mediana)

75 %Puntuación

máxima

Secundarias generales

200 436 498 563 800

Secundarias técnicas

200 434 495 560 800

Fuente: El aprendizaje del Español y las Matemáticas en la educación básica en México. Sexto de primaria y tercero de secundaria, INEE, 2006. (Nota: Los datos están redon-deados.)

Pu

ntu

acio

nes

Secundariasprivadas

TelesecundariasNacional

200

800

700

600

500

400

300

Puntuaciones obtenidas en el examen deMatemáticas de 3o. de secundaria en la prueba

EXCALE 2005, INEE

Tema 30

240

2. Las gráficas de la derecha de caja-brazos muestran las distancias re-corridas por dos aviones de papel; el primero se construyó con una hoja y el segundo con dos.

180 200 220 240 260 280 300

Distancia recorrida en centímetros

320 340 360 380 400 420

Avión 1

Avión 2

a) De acuerdo con las gráficas, ¿creen que influye el número de ho-jas en la distancia que recorre un avión? ¿Por qué?

b) ¿Qué datos de la gráfica pueden servir para argumentar su res-puesta?

c) ¿Cómo podrían explicar el hecho de que ambos aviones recorrie-ron como máximo una distancia de 414 cm?

3. En la lección anterior registraste las estaturas de tus compañeros de grupo. Ahora construyan dos gráficas de caja-brazos: una que muestre la distribución de las estaturas de los varones, y otra, la dis-tribución de las estaturas de las mujeres.

a) Expliquen cómo se distribuyen las estaturas de sus compañeros y compañeras de acuerdo con la información que proporcionan las gráficas.

b) Comparen estas gráficas con la correspondiente a todo el grupo (que construiste en la lección anterior) y anoten una conclusión sobre lo que observaron.

Apéndice

241

1. ConStRuCCionES GEométRiCAS Con lA AyudA dE lA ComPutAdoRA

A lo largo del curso realizamos algunas construcciones con regla y compás. Veamos ahora cómo la tecnología nos facilita este trabajo. Para mostrarlo, hemos seleccionado un programa computacional de geometría dinámica llamado Cabri Géomètre, aunque bien pudimos haber elegido el Geometer´s Sketchpad, que es otro programa computa-cional muy utilizado actualmente.

Asumiremos que el programa Cabri está instalado en la computado-ra de que dispones. Actívalo; cuando aparezca el aviso de presentación de Cabri Géomètre, das un clic. La imagen que verás en la pantalla es una página en blanco (el área de trabajo) con el título Figura no1, y en la parte superior, un menú que consta de 11 grupos de comandos, representado cada uno mediante un icono.

Apéndice

Apéndice

242

Las funciones que realiza cada uno de los 11 menús de comandos son las siguientes:

Mueve o arrastra objetos geométricos.

Construye puntos.

Construye objetos lineales o polígonos.

Construye curvas.

Crea construcciones euclidianas.

Crea construcciones de geometría transformacional.

Crea macro-construcciones.

Contesta preguntas sobre el estado de los objetos.

Realiza mediciones y cálculos.

Hace anotaciones en construcciones y anima objetos.

Oculta o muestra objetos y modifica su apariencia.

Con el ratón mueves el puntero (que, por omisión, tiene forma de cruz) para dar instrucciones a Cabri. Te sugerimos mover el puntero y dar clic en algunos comandos para que te vayas familiarizando con su uso. Prueba algunos; por ejemplo, crea puntos, rectas, rayos, seg-mentos y circunferencias. A continuación te indicaremos la manera de dibujar y etiquetar puntos:

1. Da clic en el icono . Selecciona el comando Punto del menú que se despliega. El puntero se transforma en un lápiz.

2. Mueve el lápiz por la pantalla y da un clic. Inmediatamente, teclea el nombre del punto (por ejemplo, A, B, C o D). Repite este proceso para dibujar cinco puntos.

Apéndice

243

Para conocer un poco más acerca de este programa, realizaremos dos actividades. La primera corresponde al tema 5.1, “Cálculo de la medida de ángulos y arcos”, y la segunda, al tema 16, “Teorema de Tales”.

Actividad 1. ¿Qué relación existe entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia que abarcan un mismo arco?

Plan de solución

Para investigarlo, construiremos con Cabri un ángulo inscrito y el ángulo central correspondiente, y los mediremos. Luego, abriremos y cerraremos los ángulos para que el programa nos muestre una diver-sidad de ángulos inscritos y centrales, con sus respectivas medidas. De este modo podremos encontrar la relación que buscamos.

Ejecución del plan

1. Comenzaremos construyendo una circunferencia y llamaremos

O a su centro. Para esto, das un clic sostenido en y selecciona el

3. Si dejaste de nombrar un punto, da clic en

y selecciona Nombre. Coloca el puntero (que tendrá forma de cruz) cerca del punto. Cuando aparezca el mensaje Este punto, da un clic.

Aparecerá una caja de texto; teclea el nombre que desees dar a este punto (una letra, una o varias palabras, etc.). Mueve el puntero fuera de la caja y da un clic para desaparecer la caja. Repite este proceso para los demás puntos que no hayan sido nombrados.

Apéndice

244

O

A

B

C

OA

B

C

O

comando Circunferencia. El puntero se convierte en un lápiz. Muévelo hacia el área de trabajo. Da clic y aparecerá un punto titilante. Luego, conforme alejas el lápiz del punto, Cabri traza una circunferencia, cuyo centro es el punto que titilante. Cuando estés conforme con el tamaño del círculo, vuelve a dar clic.

2. Para darle nombre al centro del círculo, da un clic sostenido

en y selecciona el comando Nombrar. Acerca el puntero al centro del círculo. Aparece el mensaje Este punto, lo que indica que la opción Nombrar está lista para operar sobre ese punto y darle un nombre. Da clic y aparece un cuadro de texto. Mediante el teclado, escribe una O. Para terminar de dar nombre al centro del círculo y fijar la posición de la letra, da clic en cualquier lugar del área de trabajo.

Si acercas el puntero a la O, se convierte en una mano y apa-rece el mensaje Este nombre. El programa te indica con esto que puedes arrastrar el nombre y ponerlo en algún otro lugar del área de trabajo.

Ya tienes la circunferencia y su centro. El siguiente paso será trazar un ángulo inscrito y el ángulo central correspondiente. ¿Cómo los creamos? Es necesario marcar tres puntos sobre la cir-cunferencia.

3. Da un clic sostenido en y selecciona el comando Punto sobre un objeto. Al acercar el puntero a la circunferencia, apa-rece el mensaje Sobre esta circunferencia. Das clic y se marca un punto; nómbralo con la letra A. Este punto será el vértice del ángulo inscrito.

Nuevamente, acerca el puntero a otro lugar de la circunferen-cia; cuando aparezca el mensaje Sobre esta circunferencia, da clic y se marcará otro punto; nómbralo B. Trabaja de la misma manera para marcar un punto C en la circunferencia. Los puntos B y C son los extremos de los lados de los ángulos inscrito y central.

4. Ahora vas a trazar los lados AB y AC del ángulo inscrito, y los

del ángulo central (radios), OB y OC. Da un clic sostenido en y selecciona el comando Segmento. Acerca el puntero al punto A, hasta que aparezca el mensaje Este punto. Un clic lo hará titilar y un recuadro animado rodeará tanto al punto como a la A.

Cabri ya conoce un extremo del segmento y está esperando que le marques el otro. Da clic en el punto B y quedará trazado el seg-mento AB. Haz lo mismo para trazar los segmentos AC, OB y OC, y tendrás los ángulos inscrito y central.

Apéndice

245

O40,5º

81,0ºA

B

C

O85,0º

170,0ºA

B

C

O52,2º

104,3ºA

B

C

O52,2º

104,3ºA

B

C

OA

B

C

5. Hasta aquí, el programa no sabe que querías dos ángulos; sólo sabe que has trazado cuatro segmentos. Para indicarle que se trata de ángulos, marcarás cada uno con un arco. Para ello, da un

clic sostenido en y selecciona el comando Marcar un ángulo. Para marcar el ángulo inscrito BAC, da clic sucesivamente en B, A y C; y para marcar el ángulo central, haz lo mismo con los puntos B, O y C.

6. ¿Cómo vas a medir estos ángulos? Para indicarle al programa

que deseas conocer las medidas de estos ángulos, da clic en y selecciona el comando Medida de ángulo. Acerca el puntero al arco que señala el ángulo central, hasta que aparezca el mensaje Este ángulo; da clic y automáticamente aparece su medida. Haz lo mismo para conocer la medida del ángulo inscrito.

7. Para encontrar la relación que hay entre las medidas de los ángulos inscrito y central, mueve la figura como se indica ensegui-da y contesta las preguntas que se plantean.

• Da clic en . Acerca el puntero a la circunferencia hasta que aparezca el mensaje Esta circunferencia; da un clic sos-tenido y arrastra la circunferencia alejándola del punto O; con esto la circunferencia se agranda. ¿Cambian los valores de los ángulos?

• Acerca el puntero al punto C, hasta que aparezca el mensaje Este punto. Da un clic sostenido y arrastra el punto por la circunferencia. ¿Cambian los valores de los ángulos? Compa-ra sus medidas. ¿Qué relación hay entre las medidas de un ángulo inscrito y el ángulo central correspondiente?

Apéndice

246

DC

A

B E

Actividad 2. ¿Cómo verificas con Cabri que la proporción entre los segmentos AB AE

= AC AD

se cumple?

Plan de solución

Primero construiremos un ángulo y luego lo atravesaremos con dos rectas paralelas, de modo que se determinen los segmentos AB, AC, AE y AD. Mediremos estos segmentos. Luego, amplificaremos y reduciremos la figura para cambiar la medida de los segmentos. Así podremos verificar si la proporción se mantiene.

Ejecución del plan

1. Da clic en y seleccionas el comando Recta. Da clic en el área de trabajo. Aparece un punto titilante. Arrastra el ratón y comienza a trazarse una recta. Vuelve a dar clic y queda estableci-da la recta con la inclinación deseada. (La recta cruza toda el área de trabajo.)

Si quieres girar la recta, da clic en ; acerca el puntero a la recta y, cuando aparezca el mensaje Esta recta, da un clic (el punte-ro adopta la forma de una mano); sin soltar, mueve el ratón. La recta girará alrededor del punto que la define. Si deseas trasladarla, acer-ca el puntero al punto que la define hasta que aparezca el mensaje Este punto. Da un clic y, sin soltar, la recta se trasladará por donde le indiques con el puntero.

Traza dos rectas más de modo que se determine un triángulo.

2. Para trazar una recta paralela a uno de los lados del triángu-

lo, da clic en y selecciona el comando Punto sobre un obje-to, para que Cabri cree un punto sobre una de las rectas. Da clic en

y selecciona el comando Recta paralela. Acerca el puntero a la recta respecto de la cual quieres trazar la paralela hasta que salga el mensaje Paralela a esta recta. Da clic en ella. Finalmente, acerca el puntero al punto antes creado (aparecerá el mensaje Por este punto) y da clic sobre él. Así obtendrás la construcción que querías.

3. Para medir los segmentos considerados en la proporción

AB AE =

AC AD, es necesario definirlos. Para esto, da clic en y

A

B

D

E

C

Apéndice

247

DC3,48 cm

7,27 cm

4,89 cm

10,20 cm

A

B E

DC

1,61 cm

9,59 cm

7,08 cm

1,19 cmA

B

E

DC2,37 cm

5,92 cm

3,32 cm

8,31 cm

A

B E

selecciona el comando Punto(s) de intersección para marcar los vértices de los dos triángulos como intersección de dos rectas. Luego, puedes nombrar todos los vértices, y de este modo se crean los segmentos AB, AC, AE y AD.

4. Ahora vas a medir estos segmentos. Para ello, da clic en y selecciona el comando Distancia o longitud. Da clic en el vértice A y luego en B. El programa despliega la medida del segmento AB. Procede de la misma manera con los puntos A y C, A y D, y A y E.

Auxíliate con tu calculadora para verificar la proporción AB AE

= AC AD

.

5. Mueve las bases de los triángulos y gira las rectas, con objeto de que cambien las medidas de los segmentos.

¿Se mantiene la proporción AB AE

= AC AD

?

Hay muchas otras actividades que puedes realizar con Cabri; por ejemplo, las siguientes:

• ¿Qué relación existe entre una tangente a una circunferencia y el radio que contiene el punto de tangencia?

• ¿Qué relación existe entre dos triángulos homotéticos?• Dibuja un triángulo rectángulo ABC. Enseguida, dibuja algunos

triángulos semejantes a ese triángulo. Calcula el valor de la razón cateto opuesto a ∠ A hipotenusa

en cada uno de ellos. ¿Los valores que se

obtienen son iguales o diferentes?

Apéndice

248

Dudas frecuentes al usar el programa Cabri

Duda Solución

Sin querer, di clic y el programa creó un punto donde yo no quería. ¿Cómo puedo borrarlo?

Da clic en . Luego, acerca el puntero hacia el punto no deseado, hasta que aparezca el mensaje Este punto. Da clic en el objeto. Cuando esté titilando, oprime la tecla Suprimir del teclado de tu computadora. Puedes proceder igual con cualquier otro objeto.

El programa me da la medida de un ángulo o de un segmento que no es la que yo esperaba.

Las medidas que da Cabri son aproximadas. Así es que, si da 25° como la medida de un ángulo, y tú esperas que dé 25.1°, no es para alarmarse.

Traté de girar o trasladar un segmento, pero el punto Q no se mueve con el segmento.

Seguramente definiste el punto Q con el

comando Punto del menú , en lugar de usar Punto sobre objeto, para que ese punto formara parte del segmento.

Muchas rectas se ven como trazadas en zigzag. ¿Hice algo mal?

No es un error tuyo, es un problema de la resolución del monitor de la computadora. Si imprimes tu construcción en una buena impresora, las rectas saldrán bien.

Mi construcción quedó hecha un desastre y no quiero que nadie la vea. ¿Cómo la borro sin salirme del programa?

En el menú Edición, selecciona la opción Seleccionar todo, con lo que toda tu construcción titilará. Luego, oprime la tecla Suprimir.

Apéndice

249

Ángulo Seno Coseno Tangente

1° 0.0175 0.9998 0.0175

2° 0.0349 0.9994 0.03493° 0.0523 0.9986 0.05244° 0.0698 0.9976 0.06995° 0.0872 0.9962 0.08756° 0.1045 0.9945 0.10517° 0.1219 0.9925 0.12288° 0.1392 0.9903 0.14059° 0.1564 0.9877 0.1584

10° 0.1736 0.9848 0.176311° 0.1908 0.9816 0.194412° 0.2079 0.9781 0.212613° 0.2250 0.9744 0.230914° 0.2419 0.9703 0.249315° 0.2588 0.9659 0.267916° 0.2756 0.9613 0.286717° 0.2924 0.9563 0.305718° 0.3090 0.9511 0.324919° 0.3256 0.9455 0.344320° 0.3420 0.9397 0.364021° 0.3584 0.9336 0.383922° 0.3746 0.9272 0.404023° 0.3907 0.9205 0.424524° 0.4067 0.9135 0.445225° 0.4226 0.9063 0.466326° 0.4384 0.8988 0.487727° 0.4540 0.8910 0.509528° 0.4695 0.8829 0.531729° 0.4848 0.8746 0.554330° 0.5000 0.8660 0.577431° 0.5150 0.8572 0.600932° 0.5299 0.8480 0.624933° 0.5446 0.8387 0.649434° 0.5592 0.8290 0.674535° 0.5736 0.8192 0.700236° 0.5878 0.8090 0.726537° 0.6018 0.7986 0.753638° 0.6157 0.7880 0.781339° 0.6293 0.7771 0.809840° 0.6428 0.7660 0.839141° 0.6561 0.7547 0.869342° 0.6691 0.7431 0.900443° 0.6820 0.7314 0.932544° 0.6947 0.7193 0.9657

45° 0.7071 0.7071 1.00046° 0.7193 0.6947 1.035547° 0.7324 0.6820 1.072448° 0.7432 0.6691 1.110649° 0.7547 0.6561 1.150450° 0.7660 0.6428 1.191851° 0.7771 0.6293 1.234952° 0.7880 0.6157 1.279953° 0.7986 0.6018 1.327054° 0.8090 0.5878 1.376455° 0.8192 0.5736 1.428156° 0.8290 0.5592 1.482657° 0.8387 0.5446 1.539958° 0.8480 0.5299 1.600359° 0.8572 0.5150 1.664360° 0.8660 0.5000 1.732161° 0.8746 0.4848 1.804062° 0.8829 0.4695 1.880763° 0.8910 0.4540 1.962664° 0.8988 0.4384 2.050365° 0.9063 0.4226 2.144566° 0.9135 0.4067 2.246067° 0.9205 0.3907 2.355968° 0.9272 0.3746 2.475169° 0.9336 0.3584 2.605170° 0.9397 0.3420 2.747571° 0.9455 0.3256 2.904272° 0.9511 0.3090 3.077773° 0.9563 0.2924 3.270974° 0.9613 0.2756 3.487475° 0.9659 0.2588 3.732176° 0.9703 0.2419 4.010877° 0.9744 0.2250 4.331578° 0.9781 0.20.79 4.704679° 0.9816 0.1908 5.144680° 0.9848 0.1736 5.671381° 0.9877 0.1564 6.313882° 0.9903 0.1392 7.115483° 0.9925 0.1219 8.144384° 0.9945 0.1045 9.514485° 0.9962 0.0872 11.430186° 0.9976 0.0698 14.300787° 0.9986 0.0523 19.081188° 0.9994 0.0349 28.636389° 0.9998 0.0175 57.2900

2. TAblA DE RAzoNES TRigoNoMéTRiCAS

Bibliografía

251

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ISBN-978-968-24-8332-5

www.trillas.com.mx

3MATEMÁTICAS

Fortino EscareñoOlga Leticia López

MATEMÁTICAS 3Fortino Escareño • Olga Leticia López

Matemáticas 3 ha sido elaborado con base en el enfoque de resolución de problemas, que consiste en proponer actividades de estudio que despierten el interés de los alumno, y que los

inviten a reflexionar y a encontrar distintas formas de solucionar los problemas con argumentos que respalden sus resultados.

La obra consta de 5 bloques conformados por lecciones que inician con el planteamiento de una situación problemática, para introducir los conocimientos y desarrollar habilidades, tal

como lo propone el programa de estudios.Cada situación problemática intenta provocar en los alumnos un conflicto cognitivo que los mueva a buscar la colaboración de su compañeros. Después de la situación problemática, se propone una sección de exploración y discusión en la que, mediante preguntas, se orienta la búsqueda de procedimientos de solución. El tipo de preguntas invita a los estudiantes a

trabajar en parejas, y en otras, de manera grupal.Cuando se requiere el uso de terminología o simbolismos que no pueden ser inferidos por los alumnos, se incluyen algunas notas matemáticas. A partir de allí, se usa la terminología formal.

Las actividades de exploración y discusión concluyen con un resumen de los conceptos y procedimientos estudiados. Con las actividades que cierran la lección, los alumnos aplicarán

en otros contextos lo aprendido y lo vincularán con situaciones de la vida cotidiana y de otras disciplinas.

Al final de la obra, en el apéndice, aparece primero una sección que guiará a los estudiantes en la exploración de un programa computacional de geometría dinámica. Finalmente, se incluye

una tabla de razones trigonométricas.

bloque 3 - kalihasan.com · za una velocidad de 100 m por segundo? c) ... bloque 3 117 2. en cada...

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