bases matematicas complementos(1)

1

SISTEMAS LINEALES DE

MULTIPLES VARIABLES Complementos Bases

Matemticas

Alain Gauthier

[email protected]

2

DEFINICIONES DE MATRCICES

Matriz Simtrica

AAT

Matriz Antisimtrica

AAT Para cualquier matriz:

SimtricaAA T

icaAntisimtrAA T Si A es rectangular:

SimtricaBAAT

3

Matriz Ortogonal

TAA 1

Matriz Hermitiana

IAAAA TT Si A es real y no singular:

1det A

AA

TT CCyBBjCBA

11 AA

4

Matriz Hermitiana

jHGA

HAAj

H

GAAG

2

1

2

1

Toda matriz A se puede escribir como:

Donde G y H son matrices hermitianas.

Entonces:

ianaAntihermitAASi

5

Matriz Unidad

AA 1

Matriz Normal

IAAAA

1det A

RealSi

ComplejaSi

AAAAA

AAAAA

TT

6

Lema de Inversin

nmmmmnnn CDBA ,,,

1111111 CABCADBAABDCASi A-1 y D-1 existen.

Si D = 1 =>

BCA

BCAAABCA

1

1111

1

7

Producto Interno

Cualquier regla que asigna un escalar a cada par de

vectores x y y del espacio vectorial se llama producto

interno, se simboliza x,y, y debe satisfacer los siguientes cuatro axiomas:

0xxx

wywxzyzxwzyx

yxyxyx

yxxy

para

ccc

0,.4

,,,,,.3

,,,.2

,,.1

Se definir el producto interno como:

yxyx,

8

Transformacin Unitaria

Si A es unitaria (A-1=A*), entonces:

x,x es invariante bajo la transformacin lineal x=Ay

Si A es ortogonal (A-1=AT), entonces:

x,x es invariante bajo la transformacin lineal x=Ay

Transformacin Ortogonal

Vectores Ortogonales

Si x,y = 0 entonces los vectores x y y son ortogonales entre s.

Normas de Vectores

Generalizacin de la longitud o magnitud de un vector.

Cualquier funcin puede ser definida como una norma si

esta cumple con las siguientes propiedades

9

1 2 1 2 1 2

0, para cada y 0 si y solo si 0

, para cualquier

, para cada y (Desigualdad Triangular)

x x x x

x x

x x x x x x

Normas de Vectores

10

1/

11

22

21

1/

1

norma-1

norma-2 norma Eu

:

: '

: max

clideana

norma-infinito

: norm a-p

n

i

i

n

i

i

i

pn

p

ipi

x x

x x x x

x x

x x

Normas de Matrices

Donde se denota sup como el supremo o limite superior.

Esta norma se conoce como norma inducida.

11

0 1

Sea una matriz . Su norma puede definirse como:

sup sup

mxn

x x

A

AxA Ax

x

Normas de Matrices

12

1

11

2

/2

1

max

valor singular mas grande de

valor propio mas g

nor

rande de '

max

ma 1

norma 2

m

jij

n

ii

i

j

j

mayor suma por columnasa

a mayor suma

A

A A

A A

A norma por filas

Ortonormalizacin

Un vector x se dice est normalizado si su norma

Euclideana es igual a 1

13

1 1T x x x

Dos vectores x1 y x2 son ortogonales si

1 2 2 1 0T T x x x x

Un conjunto de vectores xi i=1, 2, .. m es ortonormal si

0 si

1 si

T

i j

i j

i j

x x

Ortonormalizacin Dado un conjunto de m vectores Linealmente Independientes

14

1 2, ,..., me e e e

2 2 2 2 2

1 1 1 1

1

1

1

1 2 1

: : /

: : /

: : /

T

mT

m m k m k m m m

k

u e q u u

u e q e q q u u

u e q e q q u u

Proyeccin de e2 sobre q1

Procedimiento de Ortonormalizacin de

Schmidt

Ortonormalizacin

15

Si es una mtriz con . Si las columnas de son ortonormales

entonces

nxm m nB B

T

mBB I

generalmente se tiene que

m

T B B I

Los vectores q van a formar el conjunto ortonormal de l conjunto de

vectores original

Operaciones Matriciales

Derivadas

16

Diferenciacin de una Matriz

Derivadas de una funcin escalar respecto a

un vector

17

Si J(x) es una funcin escalar de un vector x se tiene

Hessiana

Derivadas de una funcin escalar respecto a

un vector

18

Asimismo, para una funcin escalar V(x(t))

JACOBIANO

19

Sea f(x) un vector m x 1 de funcin de un vector x de

dimensin n x 1

20

Se tiene que

Si A es simtrica

21

Formas Cuadrticas

Sea A una matriz simtrica, se denomina forma cuadrtica a:

n

i

n

j

jiij

T xxaA1 1

xx

Observe que xTAx es una cantidad escalar real.

Sea A una matriz hermitiana, se denomina forma cuadrtica

compleja o forma Hermtica a:

n

i

n

j

jiij xxaA1 1

xx

Observe que x*Ax es una cantidad escalar real.

22

Formas Bilineales Sea A una matriz real de nxm, un vector x de dimensin n y

un vector y de dimensin m, se denomina forma bilineal a:

n

i

m

j

jiij

T yxaA1 1

yx

Observe que xTAy es una cantidad escalar real.

Sea A una matriz compleja de nxm, vectores complejos x y y

de dimensin n y m, respectivamente, se denomina forma

bilineal compleja a:

n

i

m

j

jiij yxaA1 1

yx

Observe que x*Ay es una cantidad escalar complejo.

23

Definida Positiva 0xxxxx para)0(0 AAT

Semidefinida Positiva 0xxxxx para)0(0 AAT

Definida Negativa

0xxxxx para)0(0 AAT

Semidefinida Negativa

0xxxxx para)0(0 AAT

Si no se dice Indefinida

Lo mismo se dice de A

24

Criterio de Sylvester para la definicin positiva

0,,0,0,0

333231

232221

131211

2221

1212

11 A

aaa

aaa

aaa

aa

aaa

Criterio de Sylvester para la definicin negativa

)imparn(0

)parn(0

,,0,0,0

333231

232221

131211

2221

1212

11

A

A

aaa

aaa

aaa

aa

aaa

Menores principales sucesivos mayores a cero y det(A) mayor a cero

Menores principales sucesivos de orden par mayores a cero, de orden

impar menores a cero y det(A) mayor a cero

25

Criterio de Sylvester para la semidefinicin

positiva o negativa

Los criterios son iguales a los de Definicin pero

las relaciones son de mayor o igual que () o

menor o igual que (), segn el caso. Y el

determinante de A debe ser cero, es decir A es

singular.

Adems las desigualdades se verifican para todos

los menores principales y no slo para los

sucesivos.

Singular Value Decomposition (SVD)

Nos permite determinar el Rango de una Matriz (diferente al

mtodo de Reduccin de Gauss) con mejor fiabilidad de los

resultados cuando la precisin numrica juega un papel

importante.

26

Para una matriz , con rango existe

, y que son ortogonales y

cumplen con y tal que:

mxn

mxm nxn mxn

T T

m n

n

A A

V U

V V I U U I

T A U V

Las columnas de U son los vectores propios ortonormales de AAT

y las columnas de V son los vectores propios ortonormales de ATA


27

( )

( ) ( ) ( )

2

1

0

0 0

n R x n R

m R xn m R x n R

n

n

1 2 0

donde son los valores singulares de A.

n

i

El rango de la matriz A es igual al nmero de valores singulares

diferentes de cero


28

1 2

1

1

2 ( )

2

base ortonormal para ( )




T

n n R

nxR

T

nxR

n nxR

V V V

V R A

V N A

U

U R A

U N A

Si entonces los valores singulares pueden ser obtenidos

( )

en donde

de la forma

son los valores propios )de (

nxn i

T

i i

T

i

A

A

A

A A

29

Pseudoinversas

Son tiles para encontrar una solucin a un conjunto de

ecuaciones algebraicas en el cual el nmero de incgnitas y

el nmero de ecuaciones lineales independientes no es

igual.

Las pseudoinversas permiten determinar soluciones que

minimizan alguna norma.

mn

A

A

nmmn

11 ,, bx

bx

30

Pseudoinversa Derecha

nm

A

A

nmmn

11 ,, bx

bx

1donde

TTRM

RM

AAAA

A bx

nmesARM

.mnimanormaconsolucinlaes

,normalaminimiza

xx

x

RMA

31

Pseudoinversa Izquierda

mn

A

A

nmmn

11 ,, bx

bx

TTLMLM

AAAA

A

1donde

bx

nmesALM

.mnimanormaconsolucinlaes

,normalaminimiza

bxx

bx

A

AALM

Puede no existir solucin

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