7. Desarrollo del nmero

La capacidad para comprender y emplear el nmero, se desarro-lla directamente a partir de la experiencia de contar que tienen los ni-os? O el desarrollo de una manera significativa de contar necesita una adquisicin previa de conceptos y actitudes necesarias? Qu pue-de aprender un nio acerca del nmero a partir de su experiencia de contar? Qu papel desempea el reconocimiento de pautas en el de-sarrollo matemtico? El enfoque cardinal (teora de conjuntos) de la Matemtica Moderna o la formacin lgica de los programas piage-tianos, son tiles con los nios pequeos? Qu papel deben desem-pear las experiencias de contar en la enseanza de conceptos num-ricos a nios pequeos?

A) DOS PUNTOS DE VISTA SOBRE EL DESARROLLO DEL NUMERO

Problemas de conservacin: el caso de Peter

Peter, un nio de edad preescolar, coloc siete fichas azules en fila frente a s. Y o coloqu otra fila de siete fichas blancas en corres-pondencia biunvoca con la anterior y, mientras Peter miraba, aad otra ficha blanca. Entonces junt las ocho fichas blancas para que la hi-lera fuera ms corta y ped a Peter que contara para ver si haba el mismo nmero de fichas en cada hilera o si haba alguna que tuviera ms. Peter respondi: Mi hilera tiene [contando las fichas azules] 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. La tuya tiene [contando las fichas blancas] 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Ves? La tuya slo tiene ocho: la ma tiene ms!

A pesar de haber contado los dos conjuntos, Peter segua respon-diendo incorrectamente a la pregunta de conservacin de la no equi-valencia. Al parecer, la capacidad para contar de palabra y enumerar no implica necesariamente una comprensin del nmero bien de-sarrollada. Por qu contar no ayud a Peter, y qu tipo de ensean-za podra mejorar su comprensin del nmero?

El punto de vista de los requisitos lgicos

Los psiclogos ofrecen dos explicaciones distintas de la compren-sin del significado de los nombres de los nmeros y del acto de con-tar. Desde uno de estos puntos de vista, los nios, antes de llegar a tener uso de razn (hacia los siete aos de edad), son incapaces de comprender el nmero y la aritmtica (por ejemplo, Piaget, 1965). La curiosa respuesta de Peter se atribuye a una incapacidad de pen-sar lgicamente. Es decir, se supone que Peter carece del razonamien-tos y los conceptos lgicos necesarios para un concepto del nmero y para contar significativamente. Como contar no implica tener xito J QJ en tareas de conservacin de la desigualdad o la desigualdad, algunos

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psiclo~os (por ejemplo, Wohlwill y Lowe, 1962) han llegado a la conclusin de que la experiencia de contar tiene poco o nada que ver con el desarrollo de un concepto numrico. Por ejemplo, Piaget (1965) afirmaba que los nios aprenden a recitar la serie numrica y datos aritmticos a muy corta edad y que se trata de actos comple-tamente verbales y sin significado. Ni siquiera la numeracin garan-tiza una comprensin del nmero. Desde este punto de vista, el de-sarrollo de un concepto del nmero y de una manera significativa de contar depende de la evolucin del pensamiento lgico.

El modelo cardinal. Segn nno de los modelos que establecen la lgica como requisito previo, los nios deben entender la clasifica-cin antes de poder comprender el significado esencial del nmero. Esto implica aprender a definir un conjunto, es decir, a clasificar ob-jetos para poder asignar cada uno de ellos a un conjunto correcto. Por ejemplo, un conjunto de formas curvas puede incluir e, C, u, U, s, S y O, pero no L, v, V, F y #.

Com~render la lgica de clases tambin requiere comprender la clasificacin jerrquica o inclusin de clases: una clase es la suma de sus partes (subclases) y, por tanto, es mayor que cualquier sub-clase. Por ejemplo, si a un nio se le presentan tres rosas y cinco vio-letas y se le pregunta Hay ms violetas o hay ms flores?, debera responder que la clase (flores) es ms que la subclase (violetas). Sin embargo, los nios pequeos tienen dificultades con estos problemas de inclusin de clases (por ejemplo, Piaget, 1965). Estos resultados se han considerado evidencias de que los nios pequeos no captan la lgica de clases y que, en consecuencia, son incapaces de compren-der verdaderamente el nmero.

. Adems, la lgica de clases comporta comprender la idea de con-juntos equivalentes. La equivalencia de dos conjuntos se define me-diante una correspondencia biunvoca: Dos conjuntos pertenecen a la misma clase si se puede establecer una correspondencia biunvoca entre sus elementos resrectivos. La equivalencia y la corresponden-cia biunvoca, que son e fundamento de la matemtica formal, se con-sideran el fundamento psicolgico del aprendizaje de las matemticas.

El modelo de Piaget. Segn Piaget (por ejemplo, 1965 ), los nios deben entender la lgica de las relaciones (seriacin) y la clasificacin para comprender las relaciones de equivalencia y, a consecuencia de ello, el significado del nmero. Piaget estaba de acuerdo en que la equivalencia (la correspondencia biunvoca) es el fundamento psico-lgico de la comprensin del nmero. Sin embargo, crea que com-prender la correspondencia biunvoca implicaba comprender tanto la clasificacin como la seriacin. Por ejemplo, igualar implica observar el primer elemento de cada conjunto, y luego el segundo, el tercero, el cuarto, etc. En otras palabras, para establecer una igualdad, los ni-os tienen que llevar la cuenta de los elementos que han emparejado mediante la imposicin de un orden.

De la misma manera, Piaget consideraba que el nmero es la unin de conceptos de seriacin y de clasificacin. Por ejemplo, enumerar un conjunto implica tratar todos sus elementos como miembros de la misma clase y al mismo tiempo diferenciar dentro del conjunto el primer elemento, el segundo, etc. Adems, los nmeros forman un orden y constituyen una jerarqua de clases. Por ejemplo, tres es una clase que contiene como subclases uno y dos (y, a su vez es una sub-clase de los nmeros mayores). En resumen, Piaget afirmaba que el nmero no puede entenderse en trminos de un nico concepto l-

gico sino que constituye una sntesis nica de conceptos lgicos (Sin-clair y Sinclair, en prensa).

Para Piaget (1965 ), el desarrollo de la comprensin del nmero y de una manera significativa de contar est ligada a la aparicin de un estadio ms avanzado del pensamiento. Los requisitos lgicos del n-mero (conceptos de seriacin, clasificacin y correspondencia biun-voca) aparecen con el estadio operacional del desarrollo mental. Los nios que no han llegado al estadio operacional no pueden com-prender el nmero ni contar significativamente, mientras que los ni-os que han llegado a l s pueden hacerlo. Por tanto, el nmero es un concepto de todo o nada>>.

Piaget (1965) afirmaba que la conservacin de la cantidad tena una importancia extraordinaria porque sealaba la llegada al estadio operacional, es decir: la adquisicin del pensamiento lgico; la com-prensin de las clases, las relaciones y las correspondencias biunvo-cas; un verdadero concepto del nmero; y una manera significativa de contar. Ms concretamente, segn Piaget la conservacin de la can-tidad indicaba la comprensin de que una vez establecida la equiva-lencia (no equivalencia) de dos conjuntos, los cambios en la configu-racin de los conjuntos no modifica la relacin de equivalencia (no equivalencia). Es decir, las relaciones de equivalencia (no equivalen-cia) se conservan a travs de cualesquiera transformaciones no rele-vantes en la apariencia fsica de n conjunto. El nio que conserva se da cuenta de que el nmero de elementos de un conjunto no vara cuando vara su aspecto fsico.

El punto de vista basado en contar

Un punto de vista alternativo considera que la dificultad de Peter con la tarea de conservacin es el resultado de un conocimiento incom-pleto de cmo se debe contar y no de una completa incapacidad para pensar lgicamente. Algunos psicolgicos (por ejemplo, Gelman, 1972; Zimiles, 1963), han llegado a la conclusin de que contar es esencial para el desarrollo de la comprensin del nmero por parte del nio. El nmero no se considera un concepto tipo todo o nada>> que es posible gracias a un cambio general en la manera de pensar de los nios (una nueva etapa de desarrollo mental). En cambio, el mo-delo que basa su explicacin en la manera de contar aduce que la com-prensin del nmero evoluciona lentamente como resultado directo de las experiencias de contar. ,

Desde este punto de vista, los conceptos numricos y contar sig-nificativamente se desarrollan de manera gradual, paso a paso, y son el resultado de aplicar tcnicas para contar y conceptos de una sofis-ticacin cada vez mayor. Al principio, los preescolares suelen apren-der a emplear los nmeros de una manera mecnica para descubrir o construir gradualmente significados cada vez ms profundos del n-mero y de contar (por ejemplo, Baroody y Ginsburg, en prensa; Fu-son y Hall, 1983; von Glasersfeld, 1982; Wagner y Walters, 1982). A medida que aumenta su comprensin del nmero y de contar, los nios aplican el nmero y los procedimientos para contar de una ma-nera cada vez ms sofisticada. A su vez, esta creciente sofisticacin desemboca en una comprensin mayor, etc. En el fondo, el desarro-llo de tcnicas y conceptos est entrelazado y, de hecho, durante los ltimos aos algunos piagetianos (por ejemplo, Elkind, 1964; Piaget, 1977; Sinclair y Sinclair, en prensa) han llegado a la conclusin de J Q9 que un anlisis del desarrollo del nmero sera psicolgicamente in-

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completo si no se tuviera en cuenta la contribucin de las actividades de contar.

Conceptos relacionados con contar

Al principio, los nios se limitan a recitar nombres de nmeros. En estos momentos, contar no parece ser nada ms que un sonsonete carente de sentido (Ginsburg, 1982). Por ejemplo, Arianne, a los 22 meses, canturrea dos, cinco, dos, cinco mientras baja saltando cuatro escalones. Ha odo a sus hermanos gemelos de 3 aos de edad recitar nombres de nmeros mientras bajan las escaleras o juegan a algo. Al parecer, Arianne ha aprendido que ciertas actividades pue-den verse acompaadas por la recitacin de nombres de nmeros. Imi-ta el procedimiento (y slo una parte de la serie numrica correcta) seguido por sus hermanos. Los nombres de los nmeros son pala-bras y, como ocurre con otras palabras, los nios pueden aprender a decirlas mucho antes de formar [imgenes mentales], por no hablar ya de conceptos abstractos que asociar a las mismas ... (von Gla-sersfeld, 1982, p. 196).

Al principio, los nios pueden hacer enumeraciones sin intentar numerar conJuntos. Por ejemplo, Arianne parece disfrutar, a sus dos aos de edad, etiquetando objetos mientras busca entre sus jugue-tes; no hace ningn intento de emplear una etiqueta para cada ele-mento o de resumir la cuenta. Cuando se le hacen preguntas del tipo Cuntos hay?, sabe que el procedimiento correcto implica respon-der con un nmero, pero todava no parece apreciar que los nmeros se emplean para designar el valor cardinal de un conjunto y para di-ferenciar un conjunto de otros conjuntos con distintos valores cardi-nales. Considrese la siguiente conversacin entre Arianne y su padre:

PADRE:

ARIANNE: PADRE:

ARIANNE: PADRE: ARIANNE:

[Sealando un dibujo con dos gatos.] Cuntos gatos hay en este dibujo? Dos. fSealando un dibujo con tres perros.] Cuntos perros hay en este dibujo: . Dos. [Sealando un dibujo con un gato.] Cuntos hay? Dos.

Parece que dos es la respuesta comodn para Arianne a la hora de responder a preguntas del tipo Cuntos hay?. En estos momentos, contar es un acto enteramente verbal y sin significado. Obsrvese, no obstante, que ya trata los nmeros como una clase es-pecial de palabras. Slo emplea nmeros cuando se le pregunta cun-tos hay o cuando se le pide que cuente. Los nios parecen distinguir muy pronto entre las palabras que son para contar y las que no (Fu-son et al., 1982). Los preescolares slo emplean letras muy rara vez cuando se les pide que cuenten (por ejemplo, Gelman y Gallistel, 1978). Incluso los nios levemente deficientes del ciclo medio reco-nocen siempre los nmeros como una clase especial de palabras apli-cables a actividades de contar (Baroody y Ginsburg, 1984 ).

Principio del orden estable. Con el tiempo, a medida que los ni-os usan sus tcnicas para contar y reflexionan sobre ellas, aprenden a descubrir regularidades i~portantes en sus acciones de contar y en los nmeros. Los nios parecen aprender los primeros trminos de la serie numrica de memoria. Al principio, puede que no empleen

los mismos trminos o el mismo orden cuando recitan nmeros o cuentan objetos. Por ejemplo, cuando Alexi tena tres aos de edad no siempre empezaba desde el uno para contar conjuntos. Tarde o temprano, los nios se dan cuenta implcitamente, o hasta explcita-mente, de que contar requiere repetir los nombres de los nmeros en el mismo orden cada vez. El principio del orden estable estipula que para contar es indispensable el establecimiento de una secuencia co-herente. Los nios cuyas acciones estn guiadas por este principio pueden utilizar la secuencia numrica convencional o una secuencia propia (no convencional), pero siempre de manera coherente (Gel-roan y Gallistel, 1978). Por ejemplo, Beth siempre usa la secuencia correcta del uno al diez en tanto que Carol usa siempre su propia ver-sin (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 18) para contar diez objetos.

Principio de correspondencia. Como resultado de la imitacin, al principio los nios pueden recitar nmeros -como Arianne- mien-tras sealan objetos y hasta pueden llegar a desarrollar una cierta efi-cacia en la enumeracin de conjuntos pequeos. Ms adelante, pue-den darse cuenta de la necesidad de etiquetar cada elemento de un conjunto una vez y slo una. El principio de correspondencia sub-yace a cualquier intento genuino de enumerar conjuntos y gua los esfuerzos de construir estrategias de control de los elementos conta-dos y por contar, como separar los unos de los otros. A una edad tan corta como los tres aos, los nios parecen emplear un principio como ste para detectar errores de enumeracin como contar dos ve-ces un mismo objeto o saltarse alguno (Gelman y Meck, en prensa).

Principio de unicidad. Como una funcin de contar es asignar va-lores cardinales a conjuntos para diferenciarlos o compararlos, es im-portante que los nios no slo generen una secuencia estable y asig-nen una etiqueta, y slo una, a cada elemento de un conjunto, sino tambin que empleen una secuencia de etiquetas distintas o nicas. Por ejemplo, un nio puede usar la secuencia 1, 2, 3, 3 de manera sistemtica y emplear estas etiquetas en una correspondencia biun-voca, pero como no todos sus elementos estn diferenciados, etique-tar de la misma manera conjuntos de tres y cuatro elementos (con la designacin cardinal 3) (Baroody y Price, 1983). Incluso cuando un nio tiene que recurrir al empleo de trminos no convencionales, la apreciacin del principio de unicidad (comprender la funcin di-ferenciadora de contar) le impedira escoger trminos empleados pre-viamente. Por ejemplo, el empleo sistemtico de la secuencia no con-vencional 1, 2, 3, diecionce etiquetara errneamente conjuntos de cuatro elementos pero al menos los diferenciara de conjuntos con menos elementos. Por tanto, adems de los principios de orden es-table y de correspondencia, es importante que los nios sigan el prin-cipio de unicidad. .

Principio de abstraccin. Los nios tambin deben aprender cmo definir un conjunto para poder contarlo. El principio de abstraccin se refiere a la cuestin de lo que puede agruparse para formar un conjunto (Gelman y Gallistel, 1978). A la hora de contar, un con-junto puede estar formado por objetos similares (por ejemplo, bolas: ) o distintos (por ejemplo, bolas, estrellas y palos: * -). Para incluir elementos distintos en un conjunto, el nio debe pasar por alto las diferencias fsicas de los elementos y clasificarlos como Cosas (por ejemplo, una bola, una estrella y un bloque se pueden 111 considerar como una, dos y tres cosas). En el fondo, cuando creamos

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un conjunto de elementos distintos encontramos (abstraemos) algo comn a todos los elementos.

Principio del valor cardinal. Mediante la imitacin, los nios pue-den aprender fcilmente la tcnica de contar denominada regla del va-lor cardinal, es decir, basarse en el ltimo nmero contado en res-puesta a una pregunta sobre una cantidad. Sin embargo, el empleo de la regla del valor cardinal no garantiza una apreciacin adecuada del valor cardinal en s (Fuson y Hall, 1983; Von Glasersfeld, 1982). Es decir, no significa necesariamente que el nio se d cuenta de que el ltimo trmino designa la cantidad del conjunto y que un conjunto tendr la misma cantidad si se vuelve a contar despus de modificar la distribucin espacial de sus elementos. Por ejemplo, un nio defi-ciente empleaba correctamente la correspondencia biunvoca para enumerar quince objetos, pero empleaba la siguiente secuencia nu-mrica: 1, ... 5, 19, 14, 12, 10, 9, 20, 49, 1, 2, 3 (Baroody y Gins-burg, 1984). Cuando se le pregunt la cantidad de elementos respon-di satisfecho: Tres! Al parecer, la nocin de tres no exclua conjuntos cinco veces ms grandes!

Los nios pueden construir el principio del valor cardinal reflexio-nando sobre sus actividades de contar. Cuando, por ejemplo, un nio cuenta una coleccin de tres juguetes, los desparrama y los vuelve a contar, puede descubrir que una coleccin conserva la misma desig-nacin (cardinal) a pesar de su aspecto (tres).

Principio de la irrelevancia del orden. Parece que al reflexionar so-bre la actividad de contar tambin se descubre el principio de la irre-levancia del orden (El orden en que se enumeran los elementos de un conjunto no afecta a su designacin cardinal>>) (Baroody, 1984d). Considrese el caso descrito por Piaget (1964). Un nio --de cuatro o cinco aos- contaba una hilera de diez fichas. Como no se daba cuenta de que el resultado sera el mismo, volvi a contar las fichas en direccin contraria y volvi a encontrar que eran diez. Interesado por este resultado, el nio coloc las fichas en crculo, las volvi a contar y volvi a encontrarse con diez. Finalmente, cont el crculo de fichas en direccin opuesta para acabar obteniendo el mismo re-sultado. Al contar los elementos de varias maneras, este nio descu-bri una interesante propiedad de las acciones de contar: la distribu-cin de los elementos y el orden de su enumeracin no tenan im-portancia a la hora de determinar la designacin cardinal del conjunto.

Conceptos de equivalencia, no equivalencia y magnitud

Una vez el nio ha llegado a dominar estos conceptos bsicos para contar que se refieren a un solo conjunto, la accin de contar puede aplicarse a contextos ms complicados como la comparacin de dos conjuntos. Tambin puede emplearse la accin de contar para descu-brir que la apariencia no es pertinente para determinar si dos conjun-tos son iguales o no. Si un nio cuenta dos conjuntos y los nmeros resultantes son idnticos, puede llegar a la conclusin de que los con-juntos tienen el mismo nmero de objetos a pesar de sus diferencias en cuanto a aspecto. Es probable que los nios descubran esta no-cin numrica fundamental jugando con conjuntos pequeos de uno a cuatro elementos. Por ejemplo, los nios pueden etiquetar con la palabra dos varios pares de cosas (por ejemplo, bloques o dedos) incluyendo pares naturales de cosas (por ejemplo, ojos, brazos, ge-melos). Como el nio puede ver en seguida que estos conjuntos com-

puestos de cosas distintas se corresponden entre s, pueden llegar a la conclusin de que los conjuntos etiquetados con la palabra dos son equivalentes a pesar de las diferencias de su aspecto fsico (por ejemplo, Schaeffer et al., 1974). Esta comprensin puede aplicarse posteriormente a conjuntos mayores que el nio no puede comparar visual o mentalmente con facilidad.

Antes de llegar a la escuela, los nios tambin aprenden que el n-mero puede especificar diferencias entre conjuntos (no equivalencia) y emplearse para especificar ms o menos>> (ordenar conjuntos se-gn su magnitud). Tambin esto es probable que provenga de jugar con conjuntos de pocos elementos. Por ejemplo, un nio puede en-contrarse ante la opcin de escoger entre tres cestos con uno, dos o tres caramelos. El nio puede ver fcilmente que 3 es ms que 1 2, y que 2 es ms que l. Al contar cada conjunto, se asocian etiquetas numricas a estas diferencias perceptibles en cuanto a magnitud. Otro nio, por ejemplo, podra contar dos bloques (Uno, dos-dos blo-ques>>), luego aadir uno ms y llegar a la conclusin de que hay ms>>. Luego puede volver a contar los bloques uno, dos tres-tres bloques!>>) y encontrar que ahora, la etiqueta numrica es tres>>. A partir de casos repetidos de estos dos tipos de experiencias concretas, un nio puede llegar a la conclusin de que: a) se asocian distintos nmeros a magnitudes distintas; b) el mayor de dos nmeros siem-pre viene despus en la secuencia de contar, y e) cada trmino para contar es ms que el trmino que le precede en la serie numrica.

Contar con los dedos puede desempear un papel clave en este desarrollo del nmero. Cuando los nios cuentan con los dedos (ex-tendindolos mientras dicen uno, dos, tres ... ) pueden ver que el n-mero de dedos es cada vez mayor a medida que van contando. De esta manera, los nios pueden reconocer que la magnitud va asociada a la posicin dentro de la serie numrica. Al contar con los dedos, incluso pueden llegar a darse cuenta de que 2 es 1 (un dedo) ms que 1, que 3 es 1 (un dedo) ms que 2, etc. En resumen, como resultado de sus experiencias contando conjuntos pequeos con los dedos, los nios pueden aprender reglas de numeracin para determinar Can-tidades iguales>>, Cantidades distintaS>> y ms>>.

Conservacin de la cantidad. Con el tiempo, las reglas numricas para evaluar la equivalencia, la no equivalencia y la magnitud permi-ten a los nios poder conservar. Estos criterios numricos precisos liberan a los nios de tener que depender de indicios perceptivos como la longitud cuando hacen comparaciones cuantitativas. Como resultado, los nios dejan de despistarse cuando una hilera de fichas se alarga o se acorta durante una tarea de conservacin de la canti-dad. Quiz Paul, que lleg a la conclusin de que su hilera larga (con siete fichas) tena ms fichas que otra, ms corta, con ocho fichas, no haba tenido experiencias de contar suficientes para comparar con exactitud dos nmeros seguidos. En otras palabras, puede que este preescolar no hubiera aprendido mtodos o tcnicas numricos para calibrar la magnitud relativa de dos conjuntos relativamente grandes.

Aun despus de haber aprendido reglas numricas para determi-nar equivalencias o no equivalencias y hacer comparaciones entre magnitudes, los nios pueden dejar de emplear estas reglas en una ta-rea de conservacin de la cantidad por varias razones. En primer lu-gar, pueden no pensar en contar y, por tanto, carecen de la base para emplear reglas numricas. Cuando una hilera se ha transformado f-sicamente (por ejemplo, alargndola) los nios pueden no estar se-guros de la relacin inicial de los conjuntos (quiz las dos hileras no 11J eran iguales de entrada). Ante esta incertidumbre, pueden verse abru-

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mados por los indicios visuales de las hileras de longitud desigual, pueden echar mano del criterio perceptivo de la longitud y llegar a la conclusin de que la hilera ms larga tiene ms (Acredolo, 1982). Puede ser, pues, que los nios que no conservan crean en realidad que alargar una hilera aade algo a la misma. Adems, la no conser-vacin slo es una contradiccin lgica si se cree que las dos hileras son iguales al principio, cosa que sin contar y sin nmeros especfi-cos es una proposicin dudosa para los nios pequeos. La falta de conservacin no implica necesariamente que un nio no pueda razo-nar lgicamente sobre las relaciones de equivalencia si cuenta y em-plea nmeros (Gelman y Gallistel, 1978).

En segundo lugar, y aun si piensan en contar, puede que los ni-os pequeos no tengan suficiente confianza en sus reglas numricas para basarse en un criterio numrico en vez de perceptivo (por ejem-plo, Gelman, 1982). La tarea de conservacin de la cantidad provoca un conflicto entre la regla que tiene un nio para comparar cantida-des (~si una hilera es ms larga que la otra es que tiene "ms") y el desarrollo de una regla basada en contar (~si se cuentan dos hileras y tienen la misma etiqueta numrica, es que tienen cantidades igua-les). Un nio pequeo puede resolver el conflicto simplemente re-curriendo al criterio perceptivo familiar para l. Un nio con algo ms de experiencia puede verse dividido entre los dos criterios y res-ponder de manera incoherente.

Tarde o temprano, los nios resuelven el conflicto ideando una regla nueva y ms sofisticada que integra la regla numrica y la ba-sada en la percepcin. En el fondo, la nueva regla especifica: ~si una hilera es ms larga que otra, puede tener una cantidad mayor a me-nos que al contar se obtenga la misma etiqueta numrica, en cuyo caso se trata de hileras con la misma cantidad. Bsicamente, los ni-os parecen resolver el conflicto cognoscitivo reorganizando la in-formacin existente para darle una forma ms sistemtica. De esta ma-nera, los nios pueden continuar empleando indicios perceptivos cuando las diferencias son evidentes (por ejemplo, distinguir entre un conjunto de seis velas y otro de dos) (Zimiles, 1963 ). En casos en que las diferencias no son claras (por ejemplo, dos colas para el cine en donde una de ellas es larga pero con los integrantes separados y la otra es corta pero con los intgrantes mucho ms agrupados), la regla indica la necesidad de contar y realizar un juicio numrico.

Otros nios ni siquiera tienen que contar para conservar. Dan por sentada la conservacin de la cantidad. En realidad llegan a pensar que es extrao que un adulto plantee una pregunta cuya respue~ta es tan obvia. A partir de experiencias repetidas de contar, saben que si no se aade ni se quita nada a dos conjuntos equivalentes, esta equi-valencia permanece constante por mucho que vare la distribucin es-pacial (Lawson, Baron y Siegel, 1974). Es decir, tarde o temprano los nios infieren una regla de equivalencia relativamente abstracta ba-sada en una correspondencia biunvoca que complementa sus reglas de equivalencia, ms concretas, basadas en nmeros especficos (Gel-man y Gallistel, 1978).

En realidad, hay muchos datos que indican que la regla abstracta de equivalencia/no equivalencia se desarrolla en los nios a partir de su experiencia concreta de contar. Los nios pequeos suelen poner-se a contar como hase para realizar sus juicios sobre la conservacin de la cantidad (por ejemplo, Gelman, 1972). Adems, la enseanza o el desarrollo de tcnicas de numeracin precisas facilita la adquisi-cin de la conservacin de la cantidad (Bearison, 1969; LaPointe y O'Donnell, 1974; Starkey y Cooper, 1977). Ciertamente, parece que los nios pequeos suelen pasar por una etapa en la que se basan

en contar para conservar (conservacin con verificacin emprica) antes de conservar por comprensin (conservacin con Certeza l-gica (Apostel, Mays, Morf y Piaget, 1957; Greco, Grize, Papert y Piaget, 1960; Green y Laxon, 1970).

As pues, segn el punto de vista centrado en la manera de con-tar, la experiencia de contar es la clave para hacer explcitas y ampliar las nociones intuitivas de equivalencia, no equivalencia y orden de magnitud (Baroody y White, 1983 ). Como vimos en el captulo U, incluso los nios de seis meses pueden inspeccionar visualmente y de-terminar de manera intuitiva si unos conjuntos pequeos (hasta cua-tro elementos) son equivalentes o no. Contar proporciona etiquetas verbales que pueden adjuntarse a estos conjuntos pequeos. Es la ex-periencia de contar lo que proporciona la base para formular reglas numricas explcitas y, posteriormente, reglas ms abstractas (basa-das en la equivalencia) para razonar en torno a las relaciones num-ricas existentes entre cantidades mayores. Por tanto, al principio los nios suelen depender de contar para averiguar relaciones de equiva-lencia como la representada por la tarea de conservacin de la canti-dad, y slo despus dependen de reglas relativamente abstractas. En pocas palabras, parece que contar es, ms que igualar, la va natural de los nios para llegar a comprender las relaciones de equivalencia, no equivalencia y orden con nmeros no intuitivos.

Conceptos aritmticos bsicos

Mediante las experiencias de contar, los nios tambin descubren qu hace cambiar un nmero. Si los cambios de orden o distribucin no alteran el valor cardinal de un conjunto, ciertos tipos de transfor-macin s que lo hacen (por ejemplo, aadir o quitar objetos). Cuan-do los nios llegan a ser competentes en la .enumeracin o pueden captar directamente 1 pautas numricas, estn preparados para darse cuenta de relaciones aritmticas importantes. Un nio puede deter-minar o ver con rapidez que aadir un bloque a otro es dos y que aadir otro ms hacen tres, etc. (Baroody y White, 1983; Ginsburg y Baroody, 1983, y Von Glasersfeld, 1982). De manera similar, un nio puede determinar o ver en seguida que si se quita una galleta de un conjunto de tres, quedan dos. No hay ms que una fina lnea entre- contar y aumentar o disminuir en una unidad.

Descubrir los efectos de aadir o quitar una unidad depende de unas tcnicas numricas eficaces.

A partir de sus experiencias informales de contar, los nios cons-truyen conceptos aritmticos bsicos, pero generales. Ms concreta-mente, como resultado de sus experiencias informales los nios con-sideran la adicin como un proceso aumentativo (aadir algo a una cantidad dada) y la sustraccin como un proceso de disminucin (qui-tar algo de una cantidad dada). Por ejemplo, cuando Aaron empeza-ba a asistir al jardn de infancia se le pregunt cunto pensaba que eran cuatro y cinco (4 + 5). Replic: Si lo tuviera que adivinar, di-ra que cuatro o cinco. Espera, stos son los nmeros. Seis o siete.>> como consideraba que la adicin era un proceso aumentativo, Aaron saba que dar uno de los sumandos como resultado no estaba bien.

1 Subitize en el original. Se trata de un neologismo que podra traducirse literal-mente por subitizar/subitizacin (derivado de sbito) y que, en ocasiones, se ha traducido por repentizar/repentizacin. Dado que significa captar directamente el

11 nmero de puntos que tiene un estmulo visual no estructurado sin tenerlos que con- 5 tar, se traducir por captar [directamente]/captacin [directa]. (N. del T.)

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A causa de su concepto informal de la adicin, Aaron reajust su clculo mental para que, al menos, fuera algo mayor que cinco.

Consideremos tambin la reaccin de unos preescolares a la tarea de la Sesin de magia desarrollada por Gelman (Gelman, 1972; Gel-roan y Gallistel, 1978). La primera etapa de la tarea establece la im-portancia de un nmero determinado. Se ensean a un nio dos ban-dejas con distintas cantidades de figuras de plstico (por ejemplo, una bandeja con tres ratones y otra con cuatro). A continuacin, el exa-minador seala una de las bandejas (por ejemplo, la que tiene tres ra-tones) y la designa como la ganadora. Aunque no se les indica que lo hagan, los nios suelen contar o darse cuenta de la cantidad de ra-tones en las bandejas. Las bandejas se colocan detrs de una pantalla, se tapan, se mezclan y vuelven a mostrarse al nio. Entonces, el nio trata de escoger la ganadora. Si destapa la no ganadora (por ejemplo, la bandeja con cuatro ratones) se da al nio otra oportunidad y, na-turalmente, encuentra la ganadora. Este proceso se repite hasta que el nio espera encontrar a la ganadora, si no en el primer intento, se-guro que en el segundo.

La segunda etapa de la tarea mide la reaccin del nio a varios tipos de transformaciones. A veces el examinador realiza transforma-ciones tras la pantalla que no afectan a la cantidad: cambia la posi-cin de las figuras (por ejemplo, coloca en formacin triangular tres ratones que estaban en fila), altera el color de un objeto, o sustituye un ratn por un objeto diferente. A veces, realiza en secreto trans-formaciones pertinentes para la cantidad: aadir o sustraer figuras de la bandeja ganadora (por ejemplo, aadir otro ratn de juguete a la bandeja de tres para que ninguna bandeja sea la ganadora).

Luego se registraba la reaccin de los nios a estas transforma-ciones pertinentes y no pertinentes para la cantidad. Los nios igno-raban la transformacin no pertinente para la cantidad: la ganadora (por ejemplo, tres) segua siendo la ganadora. Sin embargo, los ni-os se sorprendan mucho cuando destapaban las dos bandejas y no podan encontrar la ganadora. Cuando se les preguntaba qu haba ocurrido, los nios decan que se haba aadido (o quitado) algo a la bandeja ganadora. Cuando se les preguntaba cmo podra arreglarse la situacin, los nios indicaban que deba quitarse la figura sobrante (reponerse la figura que faltaba).

Puede que estas pautas de respuesta no parezcan un logro ex-traordinario a ojos de un adulto, pero indican la existencia de unas aptitudes importantes en los nios de preescolar. A pesar 'de que un nio puede no conservar la cantidad, el xito en la tarea mgica im-plica una comprensin de las transformaciones que son o no impor-tantes para variar la cantidad (por ejemplo, la adicin y la sustrac-cin varan la cantidad y una nueva distribucin no lo hace) al me-nos con nmeros familiares. Adems, parecen comprender que la adi-cin y la sustraccin son operaciones inversas: la una deshace la otra. Por tanto, aun los nios pequeos que no conservan tienen alguna comprensin de la aritmtica y pueden, dentro de ciertos lmites, ra-zonar lgicamente sobre las relaciones numricas.

El papel del reconocimiento de pautas

La Captacin directa implica el reconocimiento automtico de pautas numricas (por ejemplo, identificar sin contar que son tres). El lugar del reconocimiento automtico de pautas

numericas en el desarrollo del nmero es una cuestin que todava queda abierta. Algunos tericos (por ejemplo, Klahr y Wallace, 1973;

Von Glasersfeld, 1982) indican que los nios pueden captar directa-mente pe~ueas cantidades antes de poder contar. Desde el punto de vista de P1aget, los nios muy pequeos reconocen simplemente una pauta completa. Por ejemplo, se considera una configuracin global que se asocia a tres; se considera una configuracin global distinta que simplemente tambin se asocia a treS>>, Ninguna de estas totalidades se reconoce como una coleccin de elementos que se pueden contar, es decir, una coleccin compuesta de unidades (elementos individuales). Desde este punto de vista, la captacin di-recta no implica una comprensin del nmero. Los nios no reco-nocen simultneamente una pauta numrica como una totalidad (una unidad en s misma) y un conjunto de partes (unidades individuales) hasta que llegan al estadio del pensamiento operacional. Con este lo-gro intelectual, un nio puede contemplar el nmero y las pautas nu-mricas como una unidad compuesta de unidades (por ejemplo, Stef-fe, Von Glasersfeld, Richards y Cobb, 1983).

Segn otro punto de vista, contar precede a la captacin directa (Beckmann, 1924). En otras palabras, los nios aprenden a enumerar colecciones correctamente antes de poder reconocer conjuntos con precisin y rapidez. En realidad, hay algunas evidencias (por ejem-plo, Baroody y Ginsburg, 1984; Gelman, 1977) que indican que el reconocimiento automtico de las pautas numricas suele desarrollar-se despus de una intensa experiencia de contar objetos. Esto puede ser especialmente cierto para nios deficientes (Baroody y Ginsburg, 1984 ). Desde este punto de vista, incluso los preescolares pueden re-conocer que el nmero y las pautas numricas son, a la vez, una co-leccin completa y un compuesto de partes individuales, es decir, una unidad compuesta de unidades.

En cualquier caso, los dos modelos indican que la captacin di-recta es una tcnica fundamental en el desarrollo de la comprensin del nmero por parte del nio. Cuando los nios pueden reconocer automticamente una pauta, pueden descubrir aspectos importantes deJ nmero. Por ejemplo, un nio que tome tres objetos con una dis-tribucin triangular y los coloque en fila, y reconozca que tanto como son casos de tres>>, puede formular de manera explcita o implcita el siguiente principio: La distribucin de las canicas no vara la cantidad de canicas que tengo.>> La captacin directa tambin puede desempear un papel esencial en el aprendizaje de reglas nu-mricas para apreciar equivalencias. Si a un nio se le muestran gru-pos de tres elementos con una distribucin triangular y en hilera, y, puede reconocer inmediatamente que ambos conjuntos son tres>>, puede inferir que dos conjuntos pueden tener la misma cantidad aun cuando tengan aspectos distintos (Von Glasersfeld, 1982).

B) IMPLICACIONES EDUCATIVAS: DIFICULTADES CON LOS NUMEROS Y SOLUCIONES

Principios para contar

Cuando tienen la edad de entrar en la escuela, los nios son muy expertos en contar (Gelman y Gallistel, 1978; Gelman y Meck, 1983). Prcticamente todos parecen dar por sentados los diversos principios que subyacen a contar o que lo rigen: los principios de orden esta-ble, de correspondencia, de unicidad y de abstraccin. La mayora has-ta parece apreciar el principio relativamente sofisticado de la irrele-vancia del orden. Esto no ocurre con los nios muy pequeos o de- 117 ficientes. Estos nios, por ejemplo, pueden no decir los nmeros si-

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guiendo un orden coherente. Un error mucho ms comn es decir los primeros nmeros en el orden correcto y luego soltar otros tr-minos sin orden ni concierto. Por ejemplo, un nio podra empezar sistemticamente con 1, 2, 3 y luego seguir con 6, 8, 12, 9 una vez y con 12, 3, 6, 6, la siguiente. Ntese que en el segundo caso aparecen trminos repetidos. Tres ya se haba empleado en la pri-mera parte correcta, y seis se emplea dos veces seguidas para ter-minar la cuenta. Esta manera de contar no slo viola claramente el principio de orden estable, sino tambin el principio de unicidad. (Aunque decir trminos sin sentido y repetir otros no cumple los principios de orden estable y de unicidad, estos errores no siempre indican necesariamente que estos principios no se conozcan. Por ejemplo, los nios pueden conocer estos principios, pero olvidarse de que ya han usado un trmino previamente).

Si los nios no han tenido la oportunidad de descubrir estos prin-cipios, se les deben brindar abundantes experiencias de contar, sobre todo en el contexto de juegos o actividades de inters. En realidad, puede ser til presentar estos principios explcitamente (por ejemplo: Cuando contamos cosas, debemos comprobar que decimos los n-meros de la misma manera cada vez o cuando contamos cosas, de-bemos comprobar que usamos un nmero nuevo para cada cosa que sealamos). Tambin podra ser til discutir historias como las del ejemplo 7.1 o las que aparecen regularmente en los programas infan-tiles de televisin como Barrio ssamo.

Ejemplo 7.1. Historias para contar

Una vez y slo una

Cuentamal estaba muy contento. Corra y daba saltos por todo el casti-llo. Pronto era su cumpleaos y quera organizar una gran fiesta! El coci-nero vino a preguntarle cuntas personas iba a invitar para poder hacer co-mida y pasteles para todos. Cuentamal sac su lista de invitados y empez a contar los nombres que haba en ella. Aunque haba perdido la cuenta de los nombres que haba contado, Cuentamal sigui contando. Le salieron 27. Entonces volvi a contar para asegurarse y le salieron 22. Estaba muy con-fundido. El cocinero le dijo que no poda preparar la fiesta hasta que no su-piera cunta gente iba a venir. Pobre Cuentamal! Se sent con la cabeza en-tre las manos. Justo en aquel momento, su hermano Cuentabin acababa de llegar de visita. Eh! Qu te pasa? No ests contento por la fiesta que vas a dar?, le pregunt. Cuentamalle respondi: Pues s que lo estaba, pero no puedo saber cunta gente va a venir. Cada vez que cuento me sale un n-mero diferente. Cuentabin tom la lista y dijo a su hermano que podran contar juntos. Sac un rotulador mgico y empezaron a contar la lista desde el principio. Cada vez que contaban un nombre, Cuentabin le pona una marca. De esta manera, contaron cada nombre de la lista slo una ve:z. Ha-ba 25 nombres! Cuentamal se fue corriendo a decrselo al cocinero.

El orden no importa

Cuentamal haba planificado un da muy divertido, pero no se atreva a salir de la cama y bajar las escaleras. La maana anterior haba contado los escalones cuando haba bajado a desayunar y le haban salido 10. Pero cuan-do volvi a subir para dormir, haba contado 11. Si haba menos escalones al bajar que al subir, a lo mejor hoy se iba a dar un tortazo! As que se que-d sentado mirando cmo sala el sol. Era un da muy hermoso. El cocinero se acerc al pie de la escalera y le grit que su desayuno se estaba enfriando. Sus amigos tambin se acercaron para decirle que se iban de excursin. Pero Cuentamal no quera bajar y todos se fueron. Entonces lleg Cuentabin y subi corriendo escaleras arriba para preguntar a su hermano Cuentamal si le pasaba algo. Cuando oy que Cuentamal tena miedo de caerse por las es-caleras, Cuentabin exclam: No puede ser! Las escaleras tienen el mismo

nmero de escalones tanto si subes como si bajas! Arrastr a Cuentamal fue-ra.de la cama y lo llev hasta las escaleras. Cuentamal estaba asustado, pero daba gracias a su hermano por arriesgarse a caer. Cuentabin baj por las es-caleras contando cada escaln: jlO!> Luego volvi a subir contando otra vez los escalones, y tambin le salieron 10. Es la misma escalera, as que tie-ne el mismo nmero de escalones, dijo Cuentabin. Cuentamal se puso a dar saltos de alegra, dio miles de gracias a su hermano, y baj corriendo las escaleras para salir del castillo y pillar a sus amigos para ir con ellos de excursin.

Estas historias fueron escritas en colaboracin con Cathy A. Mason.

Equivalencia, no equivalencia y ms que

Los nios aprenden a basarse en contar o en captar directamente para determinar Cantidades iguales (equivalencia) y cantidades dis-tintas (no equivalencia) bastante pronto, al menos con nmeros pe-queos. Si los nios no emplean espontneamente el nmero para de-finir equivalencias y no equivalencias, suelen tener bastantes dificul-tades con estas tareas. Despus de comprobar que un nio posee tc-nicas numricas precisas, puede ser til indicar explcitamente cmo puede usarse el contar para determinar igual que, distinto de y ms que. Esto puede hacerse en el contexto de juegos como los des-critos en el ejemplo 7.2. Se ha empleado con xito juegos como la Lo-tera con nios deficientes (Carison y Werner, 1943; Descoeudres, 1928).

Ejemplo 7.2. Juegos para ensear los conceptos de equivalencia, no equi-valencia y orden

LOTERIA

Objetivo: Equivalencia y no equivalencia. Material: l. Tableros para cada jugador. 2. Cuadrados con distintas cantidades de puntos.

Jugador B

Jugador A

11.1::1 [J~{fjj o0~ %::\Jfil ff;J~o~ ~o~0

.11: :1 Jugador e

Jugador D

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120

Instrucciones: Cada jugador toma un tablero con, por ejemplo, tres pautas numricas

(vase la figura). Por turnos, los nios tratan de encontrar un cuadrado que tenga la misma cantidad de puntos que una de las pautas numricas de su tablero. Si se encuentra un cuadrado, se coloca encima de la pauta numrica correspondiente. El primer jugador que complete su tablero (tapando todas las pautas numricas) gana la partida. Cada vez que empieza un turno, todos los jugadores pueden Jugar a la vez. Con esto se elimina la ventaja de ser el primero en jugar, y se permite que pueda haber ms de un ganador.

DOMINO DEL MISMO NUMERO

Objetivo: Equivalencia y no equivalencia. Material: Fichas de domin. Instrucciones: Este juego es una adaptacin del juego de domin descrito por Carrison

y Werner (1943) y Wynroth (1969-1980). Se colocan las fichas boca abajo. Todos los jugadores toman la misma cantidad de fichas. Sale el jugador que tenga el dos doble. Gana el jugador que coloque antes todas sus fichas. El juego con fichas de domin normales se ilustra ms abajo. Para estimular una mayor dependencia de contar, Wynroth (1969-1980) usa fichas cuyos puntos presentan una distribucin irregular para que el reconocimiento de las pau-tas sea menos fcil.

LA ESCALERA

Objetivo: l. La serie numrica como representante de cantidades cada vez mayores

(introduccin al concepto de orden),. 2. El siguiente trmino de la secuencia numrica es una unidad (o uno),

ms grande (concepto ms avanzado). Material: Bloques encajables. Instrucciones: Ayudar al nio a construir una escalera con cubos encajables. Emplear

cubos de colores diferentes para destacar los incrementos en unidades. A me-dida que el nio va construyendo la escalera, indicar que el primer escaln, slo tiene un bloque y no es muy grande, que el siguiente tiene dos bloques y es un poco (un bloque) mayor, que el siguiente tiene tres bloques y es an mayor (un bloque ms que dos), etc. Una vez construida la escalera (hasta cinco e incluso 10 escalones) hacer que el nio suba,. por la escalera con sus dedos y que vaya contando cada escaln a medida que lo toca. La esca-lera tambin puede construirse con una lista numrica. Tambin se debe in-dicar que, a medida que el nio avanza por la lista numrica, los nmeros (escalones) son mayores (cada nmero o escaln sucesivo es un bloque ms grande).

Conceptos aritmticos bsicos

No es probable que se desarrolle una comprensin fundamental de la aritmtica sin unas tcnicas eficaces y unas experiencias sufi-

cientes de contar. Si un nio no ha tenido experiencias de numera-cin abundantes y precisas, no aprender los efectos de aadir un ele-mento a un conjunto: los incrementos en una unidad varan sistem-ticamente la designacin cardinal de un conjunto para convertirla en el siguiente nmero de la serie numrica. Por tanto, la enseanza de apoyo para la aritmtica no debe realizarse hasta que el nio no ten-ga soltura con las tcnicas bsicas para contar como la enumeracin, la regla del valor cardinal e incluso la separacin. Para los nios de educacin especial puede ser especialmente til destacar los efectos de aadir o quitar una unidad en situaciones cotidianas. Por ejemplo, a la hora de desayunar, el maestro puede dar dos galletas a un nio y preguntarle cuntas tendra si se aadiera una ms a las dos que ya tiene, o preguntarle cuntas le quedan cuando se ha comido una de las tres que tena. En el ejemplo 7.3 se presentan varios juegos que implican llevar la cuenta de incrementos y disminuciones en una unidad.

Ejemplo 7.3. Juegos que implican aadir o sustraer una unidad

Objetivo: Sumar de 1 a 5. Material:

LANZAMIENTO DE FICHAS

1. Fichas, monedas u otros objetos pequeos que se puedan contar. 2. Bandejas (de colores distintos). Instrucciones: El objetivo del juego es lanzar un nmero determinado de fichas a una

bandeja. Cada jugador elige una bandeja de color distinto. Para principian-tes, hacer que el nmero de fichas a colocar en la bandeja sea 5. Por turnos, los jugadores lanzan una sola ficha. Si un nio tiene xito, cuando le toca el turno, se le dice: "Tenas tres fichas en la bandeja y ahora tienes una ms. Cunto es tres y una ms? Si un nio es incapaz de encontrar una respues-ta, aadir: Para ver cuntas son tres y una ms, cuenta las fichas de tu ban-deja. Gana el primer jugador que coloque cinco fichas en su bandeja. La di-ficultad del juego puede modificarse variando la distancia entre el jugador y la bandeja o aumentando la cantidad de fichas necesarias para ganar.

EL JUEGO DEL MONSTRUO DE LAS GALLETAS

Objetivo: Restar una unidad. Material: 1. Montn de tarjetas con 1 a 5 galletas (puntos, crculos o dibujos de

galletas). 2. Objetos redondos que se puedan contar. Instrucciones: El objetivo del juego es reunir 10 galletas (objetos que se puedan contar).

Por turnos, los jugadores levantan una tarjeta y pueden pillar tantas galletas como indica la tarjeta menos una. Explicar: Las tarjetas nos dicen cuntas galletas se pueden pillar cada vez. Sin embargo, el monstruo de las galletas siempre se come una cuando las tiene que servir. Cuando un nio, por ejem-plo, ha elegido una tarjeta con tres puntos, se le dice: Ahora tendras que tomar tres galletas, pero el monstruo se come una. Cuntas quedan para ti?,. Si el nio da la respuesta correcta, se le dice: Pues toma dos galletas. Si no puede responder, hacer que tape uno de los puntos con un dedo y que cuente el resto. Para algunos nios, puede hacer falta una demostracin ms concreta: cuando un nio ha sacado tres galletas y el monstruo se ha comido una, hacer que cuente las que le quedan. Resumir el hecho diciendo: Haba tres galletas, se han llevado una, y han quedado dos. 121

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Pautas numricas y digitales

Cuando llegan a la edad de entrar en la escuela, los nios suelen captar directamente conjuntos de hasta cuatro elementos (Bjonerud, 1960; Gelman, 1977). Algunos nios desfavorecidos y muchos nios deficientes todava no dominan esta tcnica bsica (Baroody y Gins-burg, 1984 ). Captar directamente conjuntos de cinco o seis elemen-tos, o incluso de tres o cuatro, en realidad puede depender de unas tcnicas de numeracin precisas y unas experiencias de contar abun-dantes. Por tanto, las deficiencias en estas reas deben subsanarse an-tes de pretender que el nio domine el reconocimiento de pautas. El reconocimiento de pautas regulares puede cultivarse mediante juegos con dados.

Para los nmeros del 1 al 5 al menos, muchos nios aprenden es-pontneamente pautas digitales automticas antes de incorporarse a la escuela (Siegler y Robinson, 1982; Siegler y Shrager, 1984). Esta tcnica no puede darse por sentada en poblaciones especiales. En el ejemplo 7.4 se detallan varias actividades adecuadas para fomentar el aprendizaje de pautas digitales. Ejemplo 7.4. Actividades para aprender pautas digitales

HACER TITERES CON LOS DEDOS Objetivo: Representacin automtica con los dedos de los nmeros 1 a 10. Material: l. Tteres hechos con canutillos de papel para deslizar los dedos dentro

de ellos, o pegatinas con el dibujo de una cara para pegarlas en la yema de los dedos.

Instrucciones: Mostrar al nio los dedos correctos a levantar colocndole los tteres de

canutillo o las pegatinas.

HACER CONTORNOS DE LAS MANOS Objetivo: Representacin automtica con los dedos de los nmeros 1 a 10. Material: l. Pizarra. 2. Tiza. Instrucciones: Ayudar al nio a levantar los dedos correctos para varios nmeros y a

trazar su contorno en la pizarra. Pedirle a continuacin que nos muestre va-rios nmeros con dedos. El nio puede comprobar sus respuestas compa-rndolas con las formas trazadas o confrontndolas con las nuestras, que de-bern tener la forma correcta.

Estas actividades fueron propuestas por Mary Loj.

C) IMPLICACIONES EDUCATIVAS: LA NATURALEZA DE LA INSTRUCCION BASICA

Distintos puntos de vista: distintas implicaciones

Los puntos de vista que establecen como requisitos previos la l-gica y las tcnicas para contar presentan implicaciones educativas sus-tancialmente distintas. Segn la primera, es intil dedicar directamen-te los esfuerzos iniciales de la enseanza al nmero y a tcnicas para contar. Van Engen y Grows (1975) observan: La nocin de que con-tar es la idea bsica de la aritmtica ha sido aceptada y favorecida du-

rante mucho tiempo por muchas personas interesadas en la matem-tica escolar elemental. j Contar no es la idea ms bsica de la aritm-tica! Ideas como la correspondencia biunvoca y "ms que" son mu-cho ms fundamentales y, de hecho, son requisitos previos para un desarrollo significativo de contar (pp. 252-253). Sin los requisitos psicolgicos generales, la enseanza de contar y del nmero est con-denada a carecer de sentido. Por tanto, la enseanza de la matemti-ca debe fomentar, en primer lugar, el desarrollo de conceptos lgicos y del razonamiento. Segn el otro punto de vista, la instruccin ini-cial debe centrarse directamente en el desarrollo de tcnicas y con-ceptos especficos para contar y estimular su aplicacin. En pocas pa-labras, la cuestin es si la enseanza de las matemticas elementales debe impartirse formalmente sobre la base de unos conceptos lgicos ms bs1cos o informalmente mediante el contar.

La matemtica moderna. Durante el siglo XIX y la mayor parte del XX, la enseanza de las matemticas a los nios pequeos empe-zaba por contar (Brainerd, 1973). Segn Dewey (1898) y Thorndike (1922), por ejemplo, contar debera abarcar la formacin matemtica inicial del nio. Russell (1917) denunci este enfoque informal. Afir-maba que primero deba ensearse el concepto lgico de las clases y que el nmero deba ensearse despus como colofn a estas ideas. El enfoque cardinal a la enseanza de la matemtica elemental de Russell acab tomando cuerpo con La Matemtica Moderna (Brai-nerd, 1973).

El enfoque cardinal, o Matemtica Moderna, destaca la ensean-za de la teora de conjuntos. En la figura 7.1 se muestra la primera leccin de este enfoque. Qu conceptos se pretenden cultivar con los ejercicios de la pgina 5? Cul es el objetivo de los ejercicios de la pgina 6? Y cul es el de los de la pgina 7? Como muestra la fi-gura 7.1, la instruccin inicial se centra en cultivar los conceptos de clase (clasificacin e inclusin de clases) y equivalencia (correspon-dencia biunvoca).

Sin embargo, y como se afirma en el captulo U, este tipo de en-foques formales son ajenos a los nios pequeos. Considrese el caso de Aaron, un nio inteligente y vivaz que acababa de empezar el pri-mer curso. El ao anterior, yo haba seguido su rpido desarrollo de la adicin informal. En cuestin de meses ya haba llegado a dominar la adicin de bloques con sus dedos. Luego continu inventando pro-cedimientos de clculo mental. Intrigado por sus avances, le pregbn-t si le gustaban las matemticas de este curso. Alz los hombros sin mucho entusiasmo. Le pregunt qu cosas estaba aprendiendo con las matemticas.

AARON:

INTERLOCUTOR: AARON:

INTERLOCUTOR:

AARON:

[Sin inters.] Pues no estoy muy seguro. Tenemos que trazar lneas y cosas as. Oh, comparis conjuntos para ver si son iguales. Supongo que s. [Entonces, todo su comporta-miento se transform en una explosin de entu-siasmo.] Sabes cunto son 1.000 ms 1.000? Pues 2.000! Anda! Y eso lo has aprendido en la clase de matemticas? No, pero es que soy muy listo!

Como Aaron no pareca entender el objetivo de los ejercicios de correspondencias, prestaba poco inters a este enfoque formal. Sin J2J embargo, era capaz de comprender la aritmtica bsica y ampliar una

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relacin que haba aprendido con sumandos de una sola cifra a su-mandos de cuatro cifras. Esta observacin informal era signifivativa y estimulante para Aaron.

La enseanza piagetiana. Algunos educadores piagetianos afirman que, como las primeras etapas del desarrollo intelectual limitan la ca-pacidad del nio para comprender el nmero, la enseanza inicial de las matemticas debe estar concebida para fomentar el desarrollo del pensamiento operacional (por ejemplo, Copeland, 1979). Se han di-seado varios currculos (por ejemplo, Furth y Wachs, 1974; Maffel y Buckley, 1980; Sharp, 1969) con el objetivo general de fomentar la capacidad para el pensamiento general (lgico).

Desde el punto de vista piagetiano, es intil ensear el nmero (contar y la aritmtica) directamente. Primero se deben desarrollar los requisitos psicolgicos: comprender las clases, las relaciones y la correspondencia biunvoca. Este punto de vista queda reflejado por Gibb y Castaeda (1975) en un anuario del National Council of Tea-chers of Mathematics: Clasificar [establecer correspondencias] y or-denar son tres procesos que subyacen al concepto de nmero .... De ah que la experiencia de clasificar, comparar y ordenar proporcione el fundamento necesario para el nivel ms elevado de abstraccin ne-cesario para el nmero (p. 98). El desarrollo de contar y del signi-ficado y los nombres de los nmeros slo debe darse despus de mu-chas experiencias de clasificacin, ordenacin y establecimiento de correspondencias (Gibb y Castaeda, 1975). Figura 7.1. Primeras pginas de un cuaderno de matemtica elemental.

Pgina 5

A. Rodear con un crculo todos los cuadrados.

D 06 OoQ B. Rodear con un crculo todas las

estrellas negras.

~,t;..V C. Rodear con un crculo todos los

t'rs c;f};: ti 3-'\ /\ ~

Pgina 6

A. Marty tiene dos martillos y una sierra de juguete. Tiene ms martillos o ms herramientas de juguete?

B. Unos amiguitos han venido a la fiesta de Gina. Hay ms nias o ms personas en la fiesta?

~--~======~======~----Pgina 7 Qu conjuntos son equivalentes?

Traza lneas entre los elementos de un conjunto y los elementos del otro.

0000 uvuu uv vu

@@@) ~

Sin embargo, hay pocos datos que justifiquen este enfoque pia-getiano a los inicios de la enseanza elemental. En realidad, hay da-tos (Almy, 1971; Dodwell, 1960, 192; Gonchar, 1975; Hood, 1962) que parecen apoyar la idea (Macnamara, 1975) de que el nmero no depende del desarrollo de la clasificacin formal o de tcnicas de se-riacin como describe Piaget. Adems, la capacidad de comparar con-juntos contando no depende del dominio de la correspondencia biu-nvoca (por ejemplo, Wang, Resnick y Boozer, 1971). Los nios pue-den aprender mucho acerca de contar, del nmero y de la aritmtica antes deJ'oder conservar (Mpiangu y Gentile, 1970). En realidad, la necesida de postular estadios para el desarrollo lgico ha sido pues-ta en duda muy seriamente (vase, por ejemplo, Groen y Kieran, 1982). En resumen, no se ha demostrado empricamente que sea ne-cesario tener xito en tareas operacionales>> como la inclusin de cla-ses, la seriacin, el establecimiento de correspondencias biunvocas y la conservacin de la cantidad para alcanzar una comprensin bsica del nmero, de contar y de la aritmtica.

Con todo, es de destacar que la postura de Piaget presenta mu-chas implicaciones educativas de importancia. Por ejemplo, hace fal-ta una nocin elemental de ms que para el desarrollo del concep-to de nmero y de una manera de contar significativa. Adems, el n-mero presenta a la vez significados de ordenamiento y de clasifica-cin, y contar implica realmenteuna correspondencia biunvoca. Sin embargo, es >Osible que los nios lleguen a alcanzar estos conceptos en su forma bsica antes de lo que pensaba Piaget y que el nmero y contar slo requieran una comprensin informal de estos concep-tos. Ciertamente, el desarrollo de una comprensin ms elaborada y formal de la clasificacin, la seriacin y la correspondencia biunvoca puede depender, en el fondo, del desarrollo del nmero y de contar.

Implicaciones curriculares

Es indudable la importancia del objetivo de la Matemtica Mo-derna y de los currculos piagetianos para ayudar a los nios a pen-sar lgicamente. Razonar en torno a clases y relaciones debe ser un aspecto de los currculos de las matemticas elementales. Sin embar-go, la enseanza inicial de las matemticas debera tener en cuenta qu tiene significado para los nios pequeos. Siguen a continuacin algunas recomendaciones:

1. Introducir las matemticas de una manera informal en vez de hacerlo formalmente mediante la teora de conjuntos. Las definicio-nes formales de la equivalencia numrica, etc., pueden ser demasiado abstractas para los nios pequeos. Contar ofrece una base concreta y significativa para comprender ideas esenciales como equivalencia, no equivalencia y conservacin de la cantidad, especialmente con con-juntos no intuitivos. De hecho, contar puede tener ms significado que establecer correspondencias para determinar la equivalencia de conjuntos, sobre todo si tienen ms de cinco objetos.

2. No aplazar las experiencias y la enseanza de contar. Hasta los preescolares parecen estar psicolgicamente equipados para em-pezar a aprender el nmero. A excepcin de las nociones bsicas de ms, no hay necesidad de retrasar la enseanza de contar respecto a tcnicas generales como clasificar, ordenar o establecer correspon-dencias. Es importante ensear estas tcnicas por s mismas, pero hay pocas razones para creer que sean necesarias para la enseanza del n-mero y de contar. Tampoco hay necesidad de aplazar la enseanza J25 de contar, del nmero y de la aritmtica a los nios que no conservan.

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3. Fomentar el desarrollo del reconocimiento automtico de pau-tas y de las pautas digitales. A veces se ha desestimado la captacin directa por considerarla una tcnica aprendida de memoria que se ob-tiene con ms facilidad que la enumeracin o un concepto numrico (por ejemplo, Strauss y Lehtinen, 1950). El reconocimiento de rau-tas numncas desempea un papel importante en el desarrollo de n-mero y de la aritmtica. Se debe instar a los nios a que dominen pau-tas numricas regulares como las de los dados. Adems, necesitan ex-perimentar con distribuciones irregulares de uno a cinco elementos. Mediante el reconocimiento automtico de varias pautas numricas como casos del mismo nmero, los nios pueden aprender que el n-mero y los conjuntos equivalentes no se definen por su aspecto. Las pautas digitales tambin desempean un papel importante en el de-sarrollo del nmero y, como veremos en el captulo VIII, en el de-sarrollo de la aritmtica. Por tanto, se debe instar a los nios peque-os a contar con los dedos y emplear pautas digitales.

D) RESUMEN La experiencia de contar es esencial para que los nios desarro-

llen paulatinamente la comprensin del nmero y lleguen a dominar aplicaciones numricas. Salvo en el caso de corregir el aprendizaje de nociones bsicas como ms, no hay ninguna razn para aplazar la enseanza de contar y del nmero. A partir de expenencias concre-tas de contar y de reconocimiento de pautas, los nios aprenden que los cambios de aspecto y del orden de contar no afectan al valor car-dinal, y que aadir o quitar elementos s que lo hace. La experiencia de contar es importante para ampliar las nociones intuitivas de equi-valencia, no equivalencia y orden. La enseanza formal y lgica de la teora de conjuntos es til por derecho propio, pero la enseanza del nmero basada en contar es inicialmente ms significativa para los nios.

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